TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA

ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS

CALCULO INTEGRAL

PROBLEMARIO

a

a

a

a

dxxfkdxxfk )()(

M. en C. FAUSTO ALARCON HERNANDEZ

La serie de ejercicios propuestos en el presente problemario esta dirigida a

los estudiantes de segundo semestre de las diferentes carreras de ingeniería

del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec y para todo estudiante

que este interesado o tenga la necesidad de ejercitar los conceptos del

calculo integral.

La serie de ejercicios ha sido seleccionada para el estudiante promedio Los

prerrequisitos necesarios para ser abordados son; algebra, geometría y

trigonometría y geometría analítica de nivel bachillerato.

ÍNDICE

DIFERENCIALES

1

INTEGRACIÓN

2

INTEGRACIÓN DE UNA FUNCION COMPUESTA POR SUSTITUCION

5

INTEGRACION POR PARTES

13

INTEGRALES TRIGONOMETRCAS

21

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

25

INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

29

CALCULO DE AREA

33

VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

34

VOLÚMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES CONOCIDAS

36

INTEGRALES IMPROPIAS

38

1

Diferenciales

Definición.

Supóngase que y = f(x) representa una función

diferenciable en un intervalo abierto que contiene

a x. La diferencial de x (denotada por dx) es

cualquier número real diferente de cero. La

diferencial de y (denotada por dy) es.

dy = f ’ (x) dx

En los siguientes ejercicios use la información con

el fin de evaluar y comparar y y dy.

1. y = 1 – 2x2 x = 2 1.0dxx

2. y = x4 + 1 x = - 1 01.0dxx

3. x

1y x = 2 001.dxx

En los problemas 4 y 5 complete la tabla siguiente

para cada función.

x x y dy dyy

2 1

2 0.5

2 0.1

2 0.01

4. y = 5x2 5. x

1y

Encuentre la diferencial dy de la función dada.

6. 2x9y 7.

2

1x6

51 Seny

8. CosxxSenxy 9. 41

5x8y 3

10. 1x

1xy

2

2

11. )3x(Lney x

12. x

1xy 13.

1x

xSecy

2

2

Utilice el concepto de diferencial para encontrar

para encontrar una aproximación a la expresión

dada.

14. 35 15. 99

1

16. 1)9.0(

)9.0( 4

17. 1.0Tan

4

18. Sen 31º 19. (1.1)2 + 6(1.1)2

20. Se encuentra que la medida del lado de un

cuadrado es de 12 pulgadas, con un error posible

de 641 pulgada. Use diferenciales para obtener una

aproximación del error propagado posible en el

cálculo del área del cuadrado.

21. El radio de una esfera mide 6 pulgadas, con un

error posible de 0.02 pulgadas. Use diferenciales

para obtener una aproximación del error máximo

posible en el cálculo del a) volumen de la esfera,

b) el área superficial de esta y c) los errores

relativos en los incisos a y b.

22. El alcance R de un proyectil es

2Sen32

vR

20

Donde v0 es la velocidad inicial, en pies por

segundo, y θ es el ángulo de elevación. Si

v0 = 2200 pies por segundo y se cambia el ángulo

de 10º a 11º, use diferenciales para obtener una

aproximación del cambio en el alcance.

23. Un tanque de almacenamiento de aceite en

forma de cilindro circular vertical tiene una altura

de 5 m. El radio mide 8 m, con un error posible de

25.0 m. Utilice diferenciales para calcular el

error máximo en el volumen. Encuentre el error

relativo aproximado y el porcentaje aproximado de

error.

2

Integración

Una función F es una primitiva o antiderivada de f sobre un intervalo I si f(x)(x)'F para todos los x

en I.

Observe que

31 2)( xxF , 32)( 3

2 xxF , y 102)( 33 xxF

Son antiderivadas de 26)( xxf . En general para cualquier constante C, la función CxxF 32)( es

una antiderivada de f.

Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f sobre el intervalo I si

y sólo si G tiene la forma

CxFxG )()(

En la solución de una ecuación diferencial de la forma

)(xfdx

dy

Es conveniente escribirla en su forma diferencial equivalente

dxxfdy )(

A la operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se le llama antiderivacion o mejor aún

integración (integración indefinida) la cual se indica con el signo de integración . Así la solución de la

ecuación se denota como

CxFdxxfy )()(

en donde

f(x) es el integrando

dx indica la variable de integración.

C es la constante de integración

La integración y derivación tiene un carácter inverso, para comprobarlo basta sustituir )(́xF por )(xf en

la definición.

3

CxFdxxF )()(' La integración como “inversa de la derivación.

Ahora bien, si CxFdxxf )()( , entonces.

)()( xfdxxfdx

d

La derivación como operación “inversa” de la integración.

Estas dos expresiones permiten obtener las formulas básicas de integración de las formulas de derivación.

REGLAS BASICAS DE INTEGRACION

Formulas de derivación

Formulas de integración

0Cdx

d Cdx0

kkxdx

d Ckxdxk

)(')( xkfxkfdx

d dxxfkxkf )()(

)(')(')()( xgxfxgxfdx

d dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

1 nn nxxdx

d 1,

1

1

nCn

xdxx

nn

CosxSenxdx

d CSenxdxCosx

SenxCosxdx

d CCosxdxSenx

xSecTanxdx

d 2 CTanxdxxSec2

xCscCotxdx

d 2 CCotxdxxCsc 2

TanxSecxSecxdx

d CSecxdxTanxSecx

CotxCscxCscxdx

d CCotxdxCotxCscx

4

ESQUEMA GENERAL DE INTEGRACION

Ejemplo:

Integral dada Reexpresar Integrar Simplificar

i) dxx4

2 =

dxx 42 = Cx

32

3

= Cx

33

2

ii) dxx35 = dxx 31

5 = Cx

3

4

43

5 = Cx 43

4

15

iii) dxSenx3 = Senxdx3 = CCosx 3 = CCosx 3

iv)

dxx

x 2 =

dxxdxx 2

121

2 = Cxx

2

1

2

3

21

23

2 = Cxx 21

23

43

2

PROCEDIMIENTOS PARA AJUSTAR INTEGRANDOS A LAS FORMULAS BASICAS

Técnica

Ejemplo

Desarrollar xxx eee 22211

Separar el numerador

11

1

1

1222

x

x

xx

x

Completar el

cuadrado 22 )1(1

1

2

1

xxx

Dividir si la función

racional es impropia

Sumar y restar

términos al

numerador

1

11

1 22

2

xx

x

2222 )1(

2

12

22

12

222

12

2

xxx

x

xx

x

xx

x

Usar identidades

trigonométricas

Multiplicar y dividir

por el conjugado

pitagórico

122 xCscxCot

xCos

SenxxSec

xCos

Senx

xSen

Senx

Senx

Senx

SenxSenx 2

2

22

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Integral dada Reexpresar Integrar Simplificar

5

INTEGRACIÓN DE UNA FUNCION COMPUESTA POR SUSTITUCION

Sean f y g funciones que satisfacen las condiciones de la regla de la cadena para la función compuesta

))(( xgfy . Si F es una primitiva de f, entonces.

CxgFdxxgxgf ))(()('))(( ( I )

Haciendo )(xgu , entonces dxxgud )(')( y sustituyendo en I

CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((

Ejemplo:

1)

CxC

uduudu

udx

x

x 2

212

525

235

15

3

5 21

21

xdxdu

dxxdu

xu

21

2

2

3

2)

C

xxC

u

uduudu

udx

xx

x

622

1

2

1

12

115

62

12

1

212

21

222

dxxdu

dxxdxxdu

xxu

1

1222

62

2

1

2

3) CeLnu

dudx

e

e x

x

x

2

2

dxedu

eu

x

x

2

4) CxCosduudxSenxxxCos 24

8

13

2

1223

dxxSenxdu

dxxCosxdu

Cosxu

2

2

1

2

2

2

6

Evaluar las siguientes integrales

y comprobar el resultado por

diferenciación

1. dxxa5 62

2. dxxx 386 2

3. dxbxaxx

4. dxpx2

5. dxbxa

2

3

6. n x

dx

7.

dxnx nn1

8. dxxa

3

32

32

9.

dx

ax

xa4

10. dx1xx1x

11.

dxx

2x1x

3 2

22

12.

dx

x

xx2nm

13. 7x

dx

2

14. 10x

dx

2

15.

dxx4

x2x2

4

22

16. 2x8

dx

17. 2x4

dx

18. xdxTan2

19. xdxCot2

20. dxe3 xx

21. xa

adx

22.

dx

x23

x31

23. bxa

xdx

24. dx1x2

3x2

25. dxbax

bax

26. dx1x

1x2

27. dx3x

7x5x2

28. dxax

ba

2

29.

dx1x

x

2

30. dx1x

1xx 24

31. .y1

bdy

32. dxbxa

33. dx1x

x

2

34. 5x3

dx

2

35. 8x7

dx

2

36. dxx

xlnx

37. 2xbaba

dx

7

38. dx2x

x

2

2

39. dx

xa

x

22

3

40. 2x87

dx

41. 2x57

dx

42.

dx

4x

6x5x

2

2

43.

dx

2x3

5x2

2

44.

dx

7x5

x23

2

45.

dx

1x5

1x3

2

46. 5x

xdx

2

47. 3x2

xdx

2

48. dx4x

3x

2

49.

dx

bxa

bax

222

50. 4xa

xdx

4

51. dx1 6

2

x

x

52. dx

x4

arctg

22x

54. dx

x1

arcsenx

2

55.

dx

x41

x2arctgx

2

56.

22 11 xxLnx

dx

57. dx4 x32

58. dtee tt

59.

dxee

2

a

x

a

x

60. dxae mx

61.

dxba

ba

xx

2xx

68.

dxa

1a

x

x2

69. dxxe 1x2

70. dxx

e

2

x

1

71. x

dx5 x

72. dx7x2x

73. dx

1e

e

x

x

74. dxbeae xx

75. dxe1e a

x3

1

a

x

76. x2

x

a1

dxa

77.

dx

e1

e

bx2

bx

78. x2

dx

79. t2

t

e1

dte

80. dxbxaSen

8

81. dx2

xCos

82. x

dxxCos

83. x

dxxLogSen

84. dxSenaxCosax2

85. xdxSen2

86. xdxSen2

87. axdxCot 2

88. a

xSen

dx

89.

4x5Cos3

dx

90. dxbaxSec2

91. baxSen

dx

92. 22 xCos

xdx

93. dxx1xSen 2

94. dxTanx

98. dxxCot

99. dx1Senx

12

100. dx

ba

xCot

101. 5

xTan

dx

102. x

dxxTan

103. dxa

xSen

a

xCos

104. CosxSenx

dx

105. dx1xxcTan 2

106. dxx6xCos6Sen3

107. dxaxSen

Cosax

5

108. dx

x3Cos3

x3Sen

109. dxx2xSenCos31 2

110. dx3

xSec

3

xTan 23

111. dx

xSenxCos

SenxCosx

22

112. dxxCos

Tanx

2

113. dxxSen

xCot

2

3

2

114.

dxx3cos

x3sen1

2

115. dxx3aCot6

x3Csc2

116.

dx

Senax

SenaxCosax2

117. xdxsh2

118. shx

dx

119. chx

dx

9

120. thxdx

121. cthxdx

122. shxchx

dx

123. dxx5x 5 25

124.

dx

1x4x

1x

4

3

125. dx

5x

x

8

3

126.

dx

x32

x323

2

2

127.

dx

1x

1x3

128. dxxe

2x

129. xe

dx

130.

dx

Cosxx

Senx1

131.

dxx3Sen

x3Cotx3Tan

132. dx

2xTan

xSec

2

2

133. dxxxLn

dx

2

134.

dx

1x2

x2

2

135. Cosxdxa xsec

136. dx

1x

2x

3 3

137. 4x1

xdx

138. dxaxTan2

139. dx2

xSen2

140. xTan4

dxxSec

2

2

141. 2xSen

dxx

142.

dx

x1

12x1Lnxe

2

xcotar

143.

1x

dx1xTan

144.

dx

CosxSenx

CosxSenx

145.

dxSen

Sen1

2

x

2

2

x

146. dx

2x

x

2

2

147. xdx2Sene xSen2

148.

dx

x1x

x1

2

2

149.

dx

x34

x35

2

150. 1e

dx

x

151.

ab0

xbaba

dx

2

152. dx

2e

e

x2

x

153. CosaxSenax

dx

154. xLn4x

dx

2

155. dxxsece 2Tanx

10

156. dxx4

arccos

2

2x

157. dx

x4sen2

CosxSenx

158. xCosxSen

dx

22

159. dx

1xSec

TanxSecx

2

160.

dx

x1

xarcsenx

2

161. dx

x22Cos4

x2Cos

2

162. xCos1

dx

2

163.

dx

x1

12xxLn

2

164. dx3xchx 32

165. dx5x2x10

166. dxxch

thx3

2

167. 1x2x

dx

168. 1e

dx

x

169. x

dx

x4Ln

x2Ln

170.

dx

1e

e

x

x2

171.

dx

x1

arcsenx

2

2

172. dxCosx

x3Sen

173. 2x1x

dx

174. 2

2

x1

dxx

175. 2

3

x2

dxx

176. 1xx

dx

2

177. x1x

dx

Sugerencia; hacer x = Sen2 t

178. dxx

ax 22

179.

dxx

1x2

180. 22 x4x

dx

181. dxx1 2

182. dxarcsenx

183. actgxdx

184. dxLnx

185. dxxsenx

186. dxx3cosx

187. dxe

x

x

188. dxexx32

189. dxe5x2x x2

190. dx2x x

191.

dxex 3

x

3

11

192. dxxSenxCosx

193. dxLnxx2

194. dxx

xLn

195. dxxarctgx

196. dxxLn2

197.

dxx1xLn 2

198. dxxarcsenx

199. xSen

xdx

2

200. dxCosx3x

201. dxsenxex

202. dxxSen

xCosx

2

203. dxSenbxeax

204. dxLnxSen

205. dx3 x

206. dxLnx3x2x2

207.

dx

x1

x1xLn

208. dxex

2x3

209. dxarcsenx2

210. dxx

arcsenx

2

211. dxarctgxx2

212. dx

x1

xarcse

213. dxx2xtg 2

214. dxe

xSen

x

2

215. dxxLnCos2

216.

dx

1x

x

22

2

217.

222 ax

dx

218. dxxa 22

219. dxxa 2

220. 2

2

x9

dxx

221. 5x2x

dx

3

222. x2x

dx

2

223. 1xx3

dx

2

224. x2x

dx

2

225. 2x2x32

dx

226. 2xx

dx

227. qpxx

dx

2

228. dx

5x4x

6x3

2

229. dxx

xLn

2

2

12

230.

dxx

LnxLn

231. dxx3arctgx2

232. dx

xx1

8x2

2

233. dx

1x2x5

x

2

234. 2x1x

dx

235. 1xxx

dx

2

236.

2x1x

dx

2

237. dx5x2x2

238. dxxx 2

239. dxxx2 2

240. 3x4x

xdx

24

241. dx

12Senx6xSen

Cosx

2

242. x2x

x

ee1

dxe

243.

1Cosx4xCos

Senxdx

2

244. xLnLnx41x

dxLnx

2

245. bxax

dx

246. 3x2x1x

dx

247.

dx

6x5x

9x5x

2

2

248.

dx

4x3x1x

91x41x2 2

249.

dx

x4x5x

2x5

23

3

250.

21xx

dx

251. dxxx4

1x

3

3

252.

dx

8x12x6x

6x12x6x

23

234

253.

dx

1x3x

9x6x5

22

2

254.

dx

10x3x

7x8x

22

2

255.

dx

2x3x

3x2

32

256.

dx

1xx

1xx

2

3

257. dx

1x

x

4

4

258.

5x4x3x4x

dx

22

259. 1x

dx

3

260. 1x

dx

3

261. 1x

dx

3

262.

22x1

dx

263.

dx

2x2x

5x3

22

264.

22 1xx1x

dx

265.

dx

5x4x

1x

22

3

13

266.

21x2x1x

dx

267.

222

1x1x

dx

268.

24 1x

dx

269.

42 1x

dx

270.

dx

2x2x

2x2x

22

24

271.

dx8x1x

x

33

5

272. dx1x2x

xx

412

37

273.

dx2x4x

14xx

3

2

274.

234 1xx

dx

275.

234 1xx

dx

276. 1xx

dx

7

277.

25 1xx

dx

278. 2x52x4x

dx

3

279. 1xx

dx

7

280.

25 1xx

dx

281.

5x2x2x2x

dx

22

282.

10

2

1x

dxx

283. 68 xx

dx

284. dx

1x

x3

289. 3 bax

xdx

290.

3

1x1x

dx

291. 3 xxx

dx

292.

dx

1x

1x

3

293.

dx

1x1x

21x

2

294.

10

2

1x

dxx

295. x1x2

dx

296.

dx

1x

1x3

297.

dx

3x2x

3x

3

298. 1xx

dxx

2

2

299.

dxx

x

2

5

1

300.

dx

x1

x

2

6

301. 1xx

dx

25

302.

x2x1x

dx

23

303.

dx

1xxx

1xx

2

2

304. dxx21x23

23

305. 4 4x1

dx

306. 4 2x1

dx

14

307. 3 5x1x

dx

308.

35

3x2x

dx

2

309. 3 4 33 xx1x

dx

310. dxxCos3

311. dxxSen5

312. dx2

xCos

2

xSen 53

313. dxxSen4

314. dxxxCosSen 22

316. dxxCosSen 42

317. dxxCos3

318. xSen

dx

4

319. dxxxCosSen 32

320. xCos

dx

6

321. dxxSen

xCos

6

2

322. xxCosSen

dx

35

324. xxCosSen

dx

42

325. x5Sen

dx

326.

dxSenxCosx

4xSen

327. dxx4Sec5

328. dxx5Tan2

329. dxxCot 3

315. dxxSen

xCos

3

5

324. 323. 2

x3

2

x CosSen

dx

15

INTEGRACION POR PARTES

De la regla para derivar el producto de dos funciones

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d ( I )

donde u y v son funciones de x

La integración de I da lugar a una formula

dxdx

duv

dx

dvudxuv

dx

d

duvdvuuv

Llamada fórmula de integración por partes

Al aplicar esta formula la idea es resolver la integral udv por medio de la evaluación de la integral

vdu , la cual se espera sea mas sencilla.

Ilustremos este método con un ejemplo.

Ejemplo 1. Hallar dxxe x

Hagamos: xu y dxedv x

dxdu dxedv x

xev

Entonces al integrar por partes

duvuvdvu

16

CexCexedxexedxxe xxxxxx 1

Ejemplo 2. Hallar dxxxLn2

Hagamos xLnu 2 y xdxdv

Entonces x

du1

2

21 xv

CxxLnxdxxxLnxdxxxLn 3

612

212

212

21 222

Ejemplo 3. Hallar dxSenxex

Hagamos xeu y Senxdxdv

Entonces xedu Cosxv

dxxeCosxedxSenxe xxx cos

Para la última integral, sea xeu y dxCosxdv ; entonces,

xedu y dxCosxdv ; así

dxSenxeSenxeCosxedxSenxe xxxx

Trasladando la última integral

SenxeCosxedxSenxe xxx 2

Finalmente,

CCosxSenxe

dxSenxex

x 2

17

Compruebe las siguientes integrales, utilizando integración por partes.

1. CxxLnxdxLnx

2. CCosxxSenxdxxCosx

3. Cxxarcsenxdxarcsenx 21

4. Cexedxxe xxx 2

412

212

5. CxLnxxdxxLnx 2

412

21

6. CCosxxSenxCosxxdxSenxx 2222

7. CxxLnxxxLndxxLn 2222

8. CCosxSenxdxSenxexex )(

2

9. Cexxdxex xx 63 233

10. CxxxxSenxdxxSenx )1(1 2

322213

311

11. CxLnxxdxx )1(arctanarctan 2

21

12. CxLnxxdxx

xLnx42

13. CTanxSecxLnSecxTanxdxxSec )(213

18

14. CCosxLnxTanxdxxxTna x )(2

2 2

15. Cxxdxxx 23)1(1 23

152

16. CLnxxCosLnxSendxLnxSen )()(21

17. CLnxLnxLnxLndxx

LnxLn )(

)(

18. Cxxdxxx )6()9(9 22

5123 2

3

19.

CLnxxdx

x

xLn212

1

)1(

20. CCosxSenxe

dxe

Senxxx 2

1

21. CLna

axxdxax

xx 2222

22. CLnxxLnx

dxx

xLn148

32

1 2

45

2

23.

CSenxCosxLnLn

dxCosxx

x )2(12

22

2

19

MÉTODO TABULAR PARA EL USO REPETIDO DE LA INTEGRACIÓN POR PARTES.

ESTE MÉTODO FUNCIONA BIEN PARA INTEGRALES DE LOS TIPOS SIGUIENTES.

Senaxdxxn , Cosaxdxxn , dxex axn

EJEMPLO, HALLAR: xdxSenx 4

SOLUCIÓN: COMO DE COSTUMBRE, EMPEZAMOS HACIENDO 2xu , dv = Sen4x dx A

CONTINUACIÓN, CREAMOS UNA TABLA DE TRES COLUMNAS COMO SIGUE.

u Y SUS DERIVADAS

SIGNOS

ALTERNADOS

dv Y SUS PRIMITIVAS

2x

+

Sen 4x

2x - xCos4

4

1

2 + xSen4

16

1

0 - xCos464

1

DERIVAR HASTA OBTENER CERO.

FINALMENTE, LA SOLUCIÓN SURGE DE MULTIPLICAR LOS PRODUCTOS CON SIGNO DE LAS ENTRADAS

DIAGONALES, LO QUE CONDUCE A.

cxCosxxSenxCosxxdxSenx 444432

1

8

12

4

12

20

USA EL MÉTODO TABULAR PARA EVALUAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES.

21. dxex x3 22. xdxCosx 23

23. xdxxSec2 24. dxxx 2

32 2

25. dxex x22 26. Senxdxx3

RESUMEN DE ALGUNAS INTEGRALES POR PARTES COMUNES.

1. ,dxex axn Senaxdxxn , Cosaxdxxn

Tomar: .cos, dxaxosenaxdxdxedvyxu axn

2. ,dxxLnn

x ,axdxarcsenxn axdxarctgxn

Tomar: ., dxxdvyaxarcsenxLnu n

3. ,dxbxSeneax

Tomar: menterespectivaSenbxdxodxedvyeobxSenu axax ,

21

INTEGRALES TRIGONOMETRCAS

Evaluación de integrales de la forma.

duuCosuSen nm

y duuTanuSec nm

donde m y n es un entero positivo.

Para la solución de estas integrales se intenta descomponerlas en combinaciones de integrales

trigonométricas, a las que es posible aplicar la regla de la potencia Cn

uduu

nn

1

1

.

i) Para la duuCosuSen nm

1. Si m es impar, dejar un factor seno y los factores restantes se convierten en cosenos usando la identidad,

Sen2x + Cos2x = 1, desarrollar e integrar.

duuSenuCosuCosduSenuuCosuSenduuCosuSen nknknk 2212 1

2. Si n es impar, dejar un factor coseno y los factores restantes se convierten en senos usando la identidad,

Sen2x + Cos2x = 1, desarrollar e integrar.

duCosuuSenuSenduCosuuCosuSenduuCosuSenkmkmkm 2212 1

3. Si m y n son pares, usar en forma repetida las identidades

xCosxSen 21212 y xCosxCos 21

212

Para convertir el integrando en potencias impares de coseno, Aplicar las indicaciones de (2)

Ejemplo 1: Hallar dxxxSenCos 43

dxxCosxSenxsendxxCosxxSenCosdxxxSenCos 424243 1

CxSenxSendxxCosxSendxCosxxSen 7

715

5164

22

Ejemplo 2: Hallar dxCosx

xSen3

dxxSenxCosxCosdxxSenxxCosSendxCosx

xSen2

12

1 223

1

CCosxxCosdxxSenxCosxSenxCos 225

23

21

52

Ejemplo 3: Hallar dxxSen 24

dxxCosdxxCosdxdxxCosdxxSendxxSen 4424122 2

41

2

41

224

CxSenxxSenxdxxCosxSenx 84814641

81

81

41

81

81

41

CxSenxSenx 84641

81

6417

ii) Para la duuTanuSec nm

1) Si m es par, dejar un factor de la secante al cuadrado y convertir los factores restantes en tangente,

desarrollar e integrar.

duuuSecTanuTanduuSecuTanuSecduuTanuSec nknknk 2122122 1

2) Si n es impar, dejar un factor Secante-Tangente y convertir los factores restantes en secantes, desarrollar

e integrar.

duSecuTanuuSecuSecduSecuTanuuTanuSecduuTanuSeckmkmkm 1212112

Si no aplica las indicaciones anteriores, intentar convirtiendo a senos y cosenos.

Ejemplo 4: Hallar dxSecx

xTan3

dxxSecxTanxxTanSecdxxTanxSecdxSecx

xTan 233

23

21

=

23

dxxSecxTanxSecdxxSecxTanxSecdxSecxTanxxSecxSec 23

21

23

12

CSecxxSec 223

32

Ejemplo 5: Hallar dxxTanxSec 22 34

dxxxSecTanxTandxxxSecxTanSecdxxTanxSec 222122222 23223234

dxxxSecTandxxxSecTan 2222 2523

CxTanxTan 33 6

1814

121

EJERCICIOS

LAS SIGUIENTES IDENTIDADES SE UTILIZAN PARA HALLAR ALGUNAS DE LAS INTEGRALES

TRIGONOMÉTRICAS SIGUIENTES.

1. 122 xCosxSen 2. xSecxTag 221

3. xCscxCot 221 4. xCosxSen 212

12

5. xCosxCos 212

12 6. yxCosyxCosSenxCosx 2

1

7. yxSenyxSenSenxCosy 2

1 8. yxCosyxCosSenxSeny 2

1

9. yxCosyxCosCosxCosy 2

1 10. xSenCosx2

1221

11. xCosCosx2

1221 12. xCosSenx 2

11

EVALUA LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

1.

c

xCosxCos

xCosdx

xSen

25

1

3

2

22

2

533

2. cxCosxCosCosxxdxSen 535

5

1

3

2

3. cxSenxxdxCos 24

1

2

12

4. cxSenxxdxCos 48

1

2

12

5. cxSenxSenxSenxxdxSen 248

14

64

32

4

1

16

5 36

24

6. cxCosCosxxdxSenxCos 36

1

2

12

7.

c

xCos

xCosdx

xxCosSen

2

7

7

1

2

5

5

1

23

8. cxSenSenxxSenxdxSen 36

1

2

12

9.

c

xTgdx

xSec

xTg

25

6

223 524

10. cabxTgab

abxdxTgabxSec 22 24

11. cCosxCosxdxCosx

xSen2

5

5

22

3

12. cxSenxSenx

dxCos 432

12

4

1

8

34

13. cSecx

SecxdxSecx

xTan 2

3

22

33

14. cxTanxTanxdxxTanSec 36

13

4

133 6434

15. cxCotxCotxdxxCotCsc 7544

7

1

5

1

16. cCscxdxTanx

Secx

17. cxTagxTagxdxSec 26

12

2

12 34

18. cSenxxSenxdxxCosSen5

1

3

1 322

25

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Con el Teorema de Pitágoras y una sustitución trigonométrica adecuada pueden simplificarse integrales que

involucre expresiones de la forma

22 ua 22 ua

22 au

Para integrales que contienen la:

1. 22 ua , hacer

aCosua

dCosdu

Senu

22

2. 22 ua , hacer

aSecua

dSecdu

Tanu

22

2

3. 22 au , hacer

aTanau

dTanSecdu

Secu

22

Ejemplo1: Hallar 2

2

9 x

dxx

a u

22 ua

a

u

22 ua

a

u 22 au

26

Cosx

xCos

dCosdx

Senx

xSen

39

3

9

3

3

3

2

2

dCosdSen

Cos

dCosSen

x

dxx219

3

)3(9

9292

2

2

2

CxxSenCCosSenCSen x 2

29

3

1

29

29

29

29 42

4

9

Ejemplo 2: Hallar

23

42x

dx

Secx

dSecdx

Tanx

24

2

2

2

2

Cx

xCSendCos

Sec

dSec

x

dx

241

41

3

2

2 448

2

42

3

Ejemplo 3: 542 xx

dx

1)2(14434 222 x

dx

xx

dx

xx

dx

Tanx

dTanSecdx

Secx

xSec

1)2(

2

2

2

3 x

29 x

2

24 x x

1

x-2

1)2( 2 x

27

Ejercicios: Integrando verifica las siguientes integrales.

CxxxLn

xx

dx

CxxxxSendxxx

Cx

x

xx

dx

Carcsen

x

dx

CxxLnxxdxx

Carcsen

x

dx

Cxxxarcsendx

xx

x

Cx

xxdxx

x

Cxxarcsenx

x

dxx

x

x

x

122.9

4424.8

1

1

.7

9

.6

)4(244.5

9

.4

)12(.3

2arctan)1(

1.2

1

1

.1

2

2

23412

21

2122

2

22

32

22212

22

221

2

221

2

221

21

2

2

28

Cxx

xLn

xx

dx

Cx

arcsenxx

dx

Cxxx

dxx

Carcxx

dx

CxxLnx

dx

CLnxx

dx

Carcsenxx

x

x

dxx

Cxx

arcsenx

dxx

Cx

x

x

dx

x

x

x

x

|2

1|

2.18

4

4

8.17

1899

.16

sec25

.15

|142|14

.14

925.13

1)1(.12

2

42

4.11

2525)25(.10

23

2

2

2

22

3

1

2

3

55

1

2

2

2

1

2

9255

3

5

1

2

22

2

2

22

2

25

2

23

29

INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

Descomposición de )(

)(

xQ

xP, donde P y Q son polinomios, en fracciones simples.

1. Dividir si es impropia: Si)(

)(

xQ

xP es una fracción impropia (el grado del numerador es mayor o

igual que el grado del denominador ), entonces dividir el numerador por el denominador para

obtener:

)(

)()(

)(

)( 1

xQ

xPpolinomioun

xQ

xP

donde el grado de P1(x) es de menor que el grado de Q(x). A continuación aplíquese los pasos 2, 3

y 4 a la expresión racional propia )(

)(1

xQ

xP.

2. Factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador en factores de la forma

( ax + b )m y ( ax2 + bx + c )n

donde ax2 + bx + c es irreducible.

3. Factores lineales: Por cada factor de la forma ( ax + b )m, la descomposición en fracciones

simples debe incluir la suma de m fracciones de la forma:

m

m

bax

A

bax

A

bax

A

)()()( 2

21

4. Factores cuadráticos: Por cada factor de la forma (ax2 + bx + c)n, la descomposición en

fracciones simples debe incluir la suma de n fracciones de la forma:

n

nn

cbxax

CxB

cbxax

CxB

cbxax

CxB

)()( 222

22

2

11

.

30

Ejercicios: Verifica las siguientes integrales

CxxLndxxx

x

Cx

xLn

xx

dx

Cxx

xLn

xdx

xx

x

Cx

xxLndx

xx

xx

CxxxLndxxx

xx

Cx

xLndx

xx

x

CxxLndxxx

x

CxxLndxxx

x

CxxLndxx

x

Cx

xLndx

xx

Cx

xLndx

xx

x

Cx

xLndx

x

135

61

2

21

2

97

16

161

3

3

3

2

32

3

2

42

2

2

52

2

23

2

2

3

5

2

21

2

)5()1(54

23.12

22.11

)12(()12(44

1.10

)3(

)3(

9

33.9

)1()1(16

.8

)3(

12

352

77.7

412

5.6

)3()1(32

17.5

)2()2(4

25.4

1

1

2

3.3

)1(

52.2

1

1

1

1.1

61

65

31

Cx

xLn

xdx

xx

xx

Cx

xLn

xx

xxdx

xx

x

CxxLnxx

xdx

xxx

xxx

Cx

xLn

xx

xdx

xx

x

Cx

xLn

x

xdx

xx

xxx

CxLnx

xdx

x

xx

CxxLndxxxx

xx

Cx

xLn

xdx

xxx

xx

Cx

xLn

xdx

xx

x

CxLnx

dxx

x

Cx

xLnxdx

x

x

Cx

xxLn

xxx

dx

52

2

16

3

2

2

32

3

3

222

23

2

2

2

23

34

2

23

2

2

2

5

6

23

2

4

3

2

2

2

2

)1(

)32(

1

3

)1)(32(

73.25

2)2(8

41711

)2(

1.24

)1(26

)12(

234.22

1

24

)2)(1(

65

)2()1(.21

12

1

2

1.20

)2()2(

812

)2(

443.19

|)2)(3(|)44)(3(

232.18

)1(1

12

2

65.17

1

1

22

7

)1)(1(

52.16

|2|2

2

)2(.15

1

1

1

1.14

)1(

)3()2(

)3)(2)(1(.13

211

41

201

51

31

INTEGRAL DEFINIDA

A la expresión b

a

dxxf )( se le llama integral definida.

Teorema fundamental del cálculo

Si una función f es continua en el intervalo cerrado ba, y F es una antiderivada de f sobre

el intervalo ba, , entonces

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

Ejemplo: Evaluar dxx 2

1

2 3

3

23

3

16

3

833

2

1

3

31

2

1

2

xxdxx

Evalúa las siguientes integrales.

3

0

2 923.1 dxxx

4

1

15

1161.2 duuu

8

1

2631.3 dxx

4

3

2 2

3

5

1

25.4 Ln

x

dx

0

2

1

2

3

8

5

9

3

1.5

xx

dxx

1

0

2 22

21.6

LndxxLn

2

0

42

1.7 dttSen 1522

154

223

34

1.8

1

2

2

Lndxxx

x

3

0

22 427

13.9

dxxSenx

2

0

223 12

1.10 edxex

32

CALCULO DE AREA

En los problemas 1-10 calcula el área limitada por la

grafica de la función dada y el eje x en el intervalo

indicado.

1,1;1.1 2 xy

2,0;1.2 2 xy

2,0;1.3 3xy

3,0;3.4 2 xxy

1,1;6.5 3 xxy

3,0;321.6 xxxy

3,21;1

.72

2

x

xy

4,0;1.8 xy

3,2;.9 3 xy

22

3 ,;1.10 Senxy

En los problemas 11-32 calcula el área de la región

limitada por las graficas de las funciones dadas.

3,2,.11 xxyxy

4,.12 2 yxy

1,8,.13 3 yyxy

33 ,.14 xyxy

22 1,1415 xyxy .

3,1,.16 2 xxyxy

xxyxy 4,6.18 22

4,.19 32 yxy

6,1,22,32.20 2 enxyxxy

xyxxy2

3,4.21 2

6,3.22 2 xyx

22,.23 yxyx

22,22.24 22 yyxyyx

12,16.25 22 yyxyyx

1,1,4,.26 3 xxxyxxy

0,.27 3 xyyx

2,0,,.28 xxSenxyCosxy

2,,2.29 xxySenxy

65,6,2,4.30 enySenxy

2

2 9,10.31

xyxy

xxyxxxy 2,103.32 222

RESPUESTAS

1. 4/3 2. 4/3 3. 11/4 4. 9/2

5. 11/2 6. 11/4 7. 11/6 8. 2

9.3/4(24/3+34/3) 10. 2 11.27/2 12.32/3

13. 81/4 14. 1 15. 4 16. 10/3

17. 58/3 18. 64/3 19.128/5 20.118/3

21. 25/48 22. 8 2 23. 9/2 24. 8/3

25. 1/2 26. 8 27. 1/2 28.2 2

29. 4

24

30.43

43

31.3

16 32. 24

33

VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Los problemas 1- 6 se refieren a la figura A.

utiliza el método de los discos o el de las arandelas

para evaluar el volumen del sólido de revolución

que se forma haciendo girar la región dada en

torno a la recta indicada.

1. R1 en torno a OC 2. R1 en torno a OA

3. R2 alrededor de OA 4. R1 en torno a AB

5. R2 en rededor de OC 6. R2 en torno a AB

En los problemas 7-32 obten el volumen del solido

de revolucion que se forma haciendo rotar la

region limitada por las graficas de las ecuaciones

dadas en torno a la recta o eje indicado.

15. xejexyxy ;4

11,4 22

16. xejexyxy ;1,1 22

17. yejexxyyx ;0,2,3

18. xejeyyxyx ;1,0,0,2

19. 5;0,5,1 xyxxy

20. 1;1,2 xxyx

21. 2;1,0,31 yyxxy

22. 2;0,22 xxyx

23. yejexyx ;5,1622

24. xejexyxxy ;2

19,96 22

25. yejexyyx ;6,2

26. yejeyxxy ;9,0,13

27. yejeyyxxy ;9,0,3

28. xejexysenxy ;0,0,

29. xejexyxy ;20,0,cos

30. xejeyxxxy ;0,4

,4

,sec

31. xejexyxy ;4

,0,tan

32. xejexxysenxy ,0,cos,

RESPUESTAS

1. 2 3. 54 5. 6

7. 51296 9. 2 11. 38

13. 532 15. 32 17. 8

19. 15256 21. 53 23. 36

25. 3500 27. 10516 29.2

31. 44 2

33. Un mecánico perfora un agujero de 3 pulgadas

de radio, a través del centro de una esfera de metal

de 5 pulgadas de radio, ¿Cuál es el volumen del

anillo resultante?

Solución: 3

256

7. xejeyxy ;0,9 2

8. yejeyxxy ;5,0,12

9. yejeyxx

y ;2

1,1,

1

10. xejeyxxx

y ;0,3,2

1,

1

11. yejexyxy ;2,2

12. xejexyxy ;,2

13. xejeyxxy ;0,0,22

14. yejeyxxy ;0,0,12

C

0 A

B (1,1)

R1

y = x2

R2

x

y

FIGURA A

34

34. Encontrar el volumen del sólido generado al

rotar alrededor del eje “x” la región acotada por la

parábola 12 xy y la recta 3 xy .

35. Encontrar el volumen del sólido generado al

rotar alrededor de la recta 4x la región

acotada por las parábolas

322 yxyyyx .

Solución: 8

255

36. La ecuación de la curva OA de la figura B es 32 xy . Hallar el volumen del sólido que se

engendra cuando la superficie:

Figura B

a) OAB gira alrededor de OX.

Solución: 64

b) OAB gira alrededor de AB.

Solución: 351024

c) OAB gira alrededor de CA.

Solución: 5704

d) OAB gira alrededor de OY.

Solución 7512

e) OAC gira alrededor de OY.

Solución: 7384

f) OAC gira alrededor de CA.

Solución: 5576

g) OAC gira alrededor de AB.

Solución: 353456

h) OAC gira alrededor de OX.

Solución: 192

Y

0 X

A(4,8) C

B

35

VOLÚMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES CONOCIDAS

1. Calcular el volumen del sólido cuya base esta acotada por el circulo x2 + y2 = 4, con

las secciones indicadas, tomadas perpendicularmente al eje x.

a) cuadrados b) triángulos equiláteros

3

128sol

3

332sol

c) semicírculos d) triángulos rectángulos isósceles

3

16.

sol

3

32.sol

2. Hallar el volumen del sólido cuya base esta limitada por las graficas

y = x + 1 e y = x2 –1, con las secciones indicadas, tomadas perpendicularmente al

eje x. a)cuadrados b) rectángulos de altura 1

c) semielipses de altura 2 (A = ab) d) triángulos equiláteros

36

3. La base de un sólido está limitada por y = x3,

y = 0 y x = 1 . Calcular su volumen para

las siguientes secciones (perpendiculares al eje

y).

a) Cuadrados.

Sol. 1/10

b) Semicírculos.

Sol. /80

c) Triángulos equiláteros.

Sol. 3 /40

d) Trapecios con h = b1 = b2/2, donde b1 y

b2 son las longitudes de las bases.

Sol. 3/80

e) Semielipses cuyas alturas son dos veces las

longitudes de sus bases.

Sol. /20

4. Un poste de energía eléctrica de 75 pies de

altura tiene una sección transversal en forma

de triangulo equilátero. Dado que la longitud

de un lado sea 1075 x , de donde x es la

distancia en pies desde el suelo, obtenga el

volumen del poste.

1200

3875,421.sol

5. La sección transversal de una pirámide es un

cuadrado de x pie de lado, ubicado a x pie de

su vértice. Dado que la pirámide tenga 100

pies de altura, halle su volumen.

6. Un sólido tiene una sección transversal

cuadrada perpendicular a su base. Dado que la

base es un circulo de radio r=4 pies, Obtener el

volumen del sólido.

3

1024.sol

7. Las secciones transversales perpendiculares a

la base de un sólido son triángulos equiláteros.

Dado que la base sea un circulo de radio r=4

pies, Halle el volumen del sólido.

8. La base de un sólido esta limitada por las

curvas 42 xyyx en el plano xy. Las

secciones transversales perpendiculares al eje x

son rectángulos para los que la altura es 4

tantos de la base. Determine el volumen del

sólido.

128.sol

9. La base de un sólido esta limitada por la curva

.2 xejeelyxy Las secciones

transversales perpendiculares al eje x son

triángulos equiláteros. Encuentre el volumen

del sólido.

10. La base de un sólido es un triángulo isósceles

cuya base es cuatro pies, y altura, 5 pies. Las

secciones transversales perpendiculares a la

altura son semicírculos. Encuentre el volumen

del sólido.

3

10.

sol

11. Los ejes de dos cilindros circulares rectos, que

tienen cada uno un radio r = 3 pies, se

interceptan en ángulos rectos. Halle el valor

del volumen resultante.

12. La base de un sólido es un triangulo rectángulo

isósceles formado por los ejes de coordenadas y la

recta 3 yx . Las secciones transversales

perpendiculares al eje y son cuadradas. Obtenga el

volumen del sólido.

9.sol

13. Un agujero de un pie de radio se forma por el

centro de una esfera maciza de radio r = 2 pies.

Evalué el volumen del sólido restante

14. Cortamos una caña de un cilindro circular

recto de “r” pulgadas de radio mediante un

plano que pasa por el diámetro de la base,

formando un ángulo de 45° en el plano de

dicha base. Calcular el volumen de la cuña.

15. La base de un sólido es un círculo que tiene un

radio de 5 unidades. Encontrar el volumen del

sólido si todas las secciones planas

perpendiculares a un diámetro fijo de la base

son triángulos equiláteros.

37

INTEGRALES IMPROPIAS

Si en la integral definidab

a

dxxf )(

1. El integrando es discontinua en uno o mas puntos en el intervalo ba,

2. Al menos uno de los límites de integración es infinito.

Se le llama integral impropia.

INTEGRANDO DISCONTINUO

i) Si f(x) es continua en el ba, pero discontinua en x = b, entonces

b

abx

b

a

dxxfLimdxxf )()( , si el límite existe.

ii) Si f(x) es continua en el intervalo ba, pero discontinua en x = a, entonces

b

aax

b

a

dxxfLimdxxf )()( , si el límite existe.

iii). Si f(x) es continua para toda x en el intervalo ba, excepto en x = c, con a < c < b, entonces

b

ccx

c

acx

b

a

dxxfLimdxxfLimdxxf )()()( , si el límite existe.

Ejemplo 1: Evaluar la

2

024

1dx

x

2

1

2

2

02

2

022

2

02

12

2

244

1arcsenarcsenLim

xarcsenLim

x

dxLimdx

x xxx

38

Ejemplo 2: Evaluar 9

0 x

dx

Observe que x

xf1

)( cuando 0x

6)3(2322 21

212

1

0

9

0

9

0

9

0

xLimxLimdxxLimx

dx

aaaaa

Ejemplo 3:

5

1 31

2x

dx

Observe que 3

1

2

1)(

xxf , es discontinua en x = 2

5

1

5

2

2

1

31

31

31

222

dxxdxxx

dx

Ahora bien,

23

323

123

312

2

1

12222

32

32

31

31

sLimxLimdxxLimx

dx

s

s

s

s

s

23

223

5

23

2

5

2

5

2

35

32

32

32

31

31

23222

tLimxLimdxxLimx

dx

ttttt

Luego entonces

5

1 2

3

2

3

2

35

31

x

dx

39

Ejemplo 4: Probar que

4

0 4

1dx

x no tiene sentido

El integrando es discontinuo en x = 4

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

40404

4

0

Lnt

LnLimx

LnLimdxx

Limdxx t

t

t

t

t

El limite no existe, luego la integral no tiene sentido

LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS

i). Si f es continua en ,a , entonces

t

aa tdxxfLimdxxf )()(

ii). Si f es continua en a, , entonces

a

t

a

tdxxfLimdxxf )()(

iii). Si f es continua para todo x, y a es cualquier numero real, se tiene que

a

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Si los limites (i) y (ii) existen, se dice que la integral converge. Si el límite no existe entonces diverge.

40

En (iii) la integral

dxxf )( converge si y sólo tanto la integral

a

dxxf )( y la integral

a

dxxf )(

ambas convergen.

Ejemplo 1: Calcular

02 9x

dx

6

arctan99 033

1

02

02

tx

t

t

tLim

x

dxLim

x

dx

Ejemplo2: Calcular dxe

ex

x

21

dxe

edx

e

edx

e

ex

x

x

x

x

x

02

0

22 111

tx

tt

x

teLimeLim 0

0arctanarctan

4arctanarctan

4

t

t

t

teLimeLim

420

4

2

41

EJERCICIOS: Calcular la integral para comprobar

el resultado.

1. 631

0

x

dx

2. 84

24

0

x

dx

3. )(1

1

0

noexistex

dx

4. 2

4

22

22x

dx

5. 11

0

dxLnx

6. 2

121

0

dxxLnx

7. 34

24

24

xx

dx

8. divergedTan

2

0

9. 01

2

23

x

dx

10. divergex

dx

1

02

11. 11

2

x

dx

12. divergedxCosx

0

13. edxe x

1

14. 11

x

x

e

dxe

15.

21 x

dx

16. 2

13

e Lnxx

dx

17. 2

2

3

edzze z

18. 2

1

0

dxSenxe x

19. 41

21

3

dxx

x

20. 37

41

22 56

Lnxx

dx