calculo diferencial e integral - granville.pdf

QA371 R 293 1998 GRANVILLE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

0233007122

http://carlos2524.jimdo.com/

Temas que trata la obra: Resumen de frmulas Variables, funciones y lmites Derivacin Reglas para derivar funciones algebraicas Aplicaciones de la derivada Derivadas sucesivas de una funcin. Aplicaciones Derivacin de funciones trascendentes. Aplicaciones Aplicaciones a las ecuaciones para mtricas y polares y al clculo de las races de una ecuacin Diferenciales Curvatura. Radio de curvatura. Crculo de curvatu ra Teorema del valor medio y sus aplicaciones Integracin de formas elementales ordinarias Constante de integracin Integral definida La integracin como suma Artificios de integracin Frmulas de reduccin. Uso de la tabla de integrales Centros de gravedad. Presin de lquidos Trabajo. Valor medio Series Desarrollo de funciones en serie de potencias Ecuaciones diferenciales ordinarias Funciones hiperblicas Derivadas parciales Aplicaciones de las derivadas parciales Integrales mltiples Curvas importantes Tabla de integrales

l.

{

,


,

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL


SIR ISAAC NEWTON


,

CALCULO DIFERENCIAL

E INTEGRALWllLlAM ANTHONY GRANVlllEDoctor en Filosofa. Doctor en Leyes Ex Presidente del Colegio de Gettisburg Edicin revisada por:

PERCEY F. SMITH WllLlAM RAYMOND lONG lEYDoctores en Filosofa y Profesores de Matemticas de la Universidad de Yale

LIMUSA


Granville. William Anthony Clculo diferencial e integral = Elements of differential and integral calculus / William Anthony Granville. -- Mxico: Limusa, 2009. 704 p. : il. ; 23 x 15.5 cm. ISBN-13: 978-968-18-1178-5 Rstica. 1. Clculo diferencial 2. Clculo integral 1. Byngton, Steven, tr. 11. Romero Jurez, Antonio, colab. Dewey: 515.33 122/ G765c Le: QA303

VERSiN AUTORIZADA EN ESPAOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLS CON EL TTULO: ELEMENTS OF DIFFERENTIALAND INTEGRAL CALCULUS JOHN WILEY & SONS, INC. C OLABORADOR EN LA TRADUCCiN: STEVEN T. BYNGTON REVISiN: ANTONIO ROMERO JUREZ PROFESOR EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO.

LA PRESENTACiN Y DISPOSICiN EN CONJUNTO DECLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR . NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA o MTODO, ELECTRNICO O MECNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACiN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiN) , SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS:

2009,

EDITORIAL LlMUSA, S.A. DE C.v. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDE RAS 95, MXICO, D . F. C.P. 06040 ~ 51300700 5512 2903 )iiii [email protected]

r2J

'T"' www.nonega.com.mxCANIEM NM. 121 HECHO EN MXICO ISBN-13: 978-968-18-1178-5 45.1


PROLOGOEsta obra es, en sus lneas generales, una edicin revisada y aumentada del texto debido al profesor Grall\'ille. Los nicos cambios introducidos se reducen a pequefios detalles en las demostraciones, a la rev isin de los problemas - afiadiendo algunos de aplicacin a la Economa y otros adicionales al final de cada captulo para alumnos ms aventajados- y a la redaccin de un captulo sobre Funciones hiperb6li cas, junto con algunos pjelllplos de apli cacin de las eoorrlenadas cilndricas en las integrales dobles. El cap tulo a11adido ha sido p,.;crito sigui endo el Illtodo del libro , procurando quP fOl'llle un todo armnico con pI resto de la obra. Lai::l soluciones de la mayor parte de 10i::l problemaf' i-'P dan en pi texto. Algun as soluciones f'e Ollliten de intento para a,costulllbl'ar al estudiante a tener confianza en s mismo. El trabajo de los autores de esta edicin. se ver ampliamente CO I1lpensado si tiene la misma acogida que tUYO la primpra edicin de la obra de Granville. PERCEY F. SMITH\VILLIAM

R.

LONGLEY



INDICECALCULO DIFERENCIALCAPITULO 1

Resumen de frmulasFrmulas de Algebra y de Geometra elementales, 3. Frmulas de Trigo nometra plana, 4. Frmulas de Geometra analtca plana, 6. Frmulas de Geometra analtica del espacio, 8. Alfabeto griego, 10. CAPITULO 11

Variables, funciones y lmitesVariables y constantes , 11. Intervalo de una variable, 11. Variacin continua, 12 . Funciones, 12. Variables independientes y dependientes, 12. Notacin de funciones. 13. La divisin por cero, excluda , 13 . Grfica de una funcin: continuidad, 15 . Lmite de una variable, 16. Lmite de una funcin , 16. Teoremas sobre lmites, 17. Funcones contnuas y discontinuas. 17 . Infinito , 19 . Infinitsimos, 22.. Teoremas relativos a infinitsimos y lmites , 23. CAPITULO III

DerivacinIntroduccin, 25. Incrementos , 25. Comparacin de incrementos 26. Derivada de una funcin de una variable, 27. Smbolos para representar las derivadas, 28, Funciones derivables, 30 . Reg la general para la derivacin, 30. Interpretacin geomtr ica de la derivada, 32. CAPITULO IV

Reglas para deri v ar funciones alge bracasImportancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37 . Derivada de una variable con respecto a, si mIsma, 38. Derivada de una suma, 38. Derivada del producto de una constante por una funcin, 39 . . Derivada del


VIII

INDICE

producto de dos funciones. 39. Derivada del producto de n funciones. siendo n un nmero fijo. 40. Derivada de la potencia de una funcin. siendo el exponente constante. 41 . D e ri vada de un cociente. 41. Derivada de una funcin de funcin. 46. Relacin entre las deri va das de las funciones inversas . 47. Funciones implicitas . 49. Derivacin de funciones implcitas. 49 .

CAPITULO V

Aplicaciones de la derivadaDireccin de un;l curva . 52. Ecuaciones de la tangente y la normal: longitudes d e la subtangente y la subnormal, 54. Valores mximo y mnimo de una funcin: introdu cc i n . 58. Funciones crecientes y decrecientes. 62. Mximos y mnimos de una funcin; definiciones. 64. Primer mtodo para calcular los rr. ximos y minimos de una funcin. Regla gua en las aplicaones. 66. Mximos o mnimos cuando f' (x) se vuelve infinita y f (x) es continua. 68. Problemas sobre m es \lna fllllcin c;)ntinll:t

(vase el Art. 70), tenemos:CUAR'!'O PASO.

dd~ = f X

I (

x)

= Im tg 1> = t g :- ,6 :1: ----7 0

= pendiente de la tangente en P .As hemos establecido el importante teorema siguien te :Teorema. El valor de la derivada en cualqer punto de na crva. es ente de la tangente a la cu rva en wuel punto . 1 gual a la pend1


14

CALCULO

DIFERENCIAL

Este problema de la t.angente del Clculo diferencial.EJ ElvIPLO.(fig.7)

llev a Leibnitz

*

al descubrimiento

Hallar las pendientes de las en el vrtice y en el punto de a bscisa Solucin. resulta: (2) Derivando

tangentes

a la parbola

y = x2

x

= Yz

.la regla general (Arr.

segn

27)

dx

dy

=

2 x

=

pendiente

de la tangente

en cualquier

punto (x, y) de la curva. Para hallar la pendiente bastar sustituir x = O en

de la tangente (2), obteniendo: dy

en el vrtice,

oFig. 7

x

= O.

dx

Luego la pendiente de la tangente en el vrtice es cero; es decir, la tangente es paralela al eje de las x , y en este caso coincide con l. Para hallar la pendiente de la tangente en el punto P, de ahscisa x = Yz ' bastar s u st i t u i r x = Yz en (2). Se obtiene: dy

=

l:

dxe s de c ir , la tangente en el punto

'con el eje de las x un a n g ul o de 45".

P forma

PROBLEMAS Aplicando las derivadas hallar la pendiente y la inclinacin de la tangente cada una de las curvas siguientes en el punto cuya absc isa se indica. Verificar re s u l t ad o r ra z.an do la curva y la tangente, 1. Y lJ y x2 2, s ie n d o x..

a el

1.

So!'

2; 63" 26'.

2. 3. 4. 5.

2x - Yz x2,4 - x-l siendo x2, x3

s ie n do x x = 2. siendo x

3.

Id = 3

+3x- 3

x = - J.

Y

=

x3

siendo

=

1.

Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) naci en Le ipz ig . Su gran talento se manifest con investigaciones originales en varios ramos de la Ciencia y de la Filosofa, Fu el primero que public sus descubrimientos de Clculo infinitesimal en un breve ensayo que apareci en la revista Acta Eru d i t or um . de Leipzig. en 1684. Se sabe, no obstan te, que ya existan manuscritos de Ne w to n sobre las" fluxiones", y algunos hi si or i.idores creen que Leibnitz recibi las nuevas ideas de aqullos. Actualmente se cree, a lo que parece, que Ne w to n y Leibnitz inventaron el Clculo inf in ite si mal independientemente el uno del otro. La notacin que hoy se usa es la que Le ibn itz introdujo.


DERIVACION 6. Hallar el p un to de la cu rva y = ' x tan ge nt e es de 45 . 7. En la cur va y = x 3 paral ela a la recta y = 4 x.X 2

35en el qu e la inclin aci n de la S ol . (2, 6 ) .

+

x h a llar lo s puntos en los que la tangente es Sol . (1. 2) . (-1. -2) .

E n cada uno de los tres siguientes problemas hallar: a) los puntos de intei. seccin del par de curvas dado; b) la pendiente y la inclinacin de la tallgente a cada curva, y el ngulo formado por las tangentes. en cada punto de interseccin (vase ( 2) del Artculo 3) . 8. y=l-x 2 , y = X2 - 1.Y =X X2.

Sol.

Angulo de interseccin

arc tg

%

53 8'.

9.

10.

!J = x 3

-

3 x.

!J

+2=

O.

2 x +!J "" O.

11. Hallar el ngulo de las curvas 9!J - x 3 y !J - 6 de interseccin (3, 3).

+8 x

- x 3 en el punto Sol. 21 27'.


CAPITULO IVREGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

29. Importancia de la regla general. La regla general para derivacin, dada en el Artculo 27, es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definicin de derivada, y es muy importante que el lector se familiarice completamente con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolucin de problemas es largo o difcil; por con>iguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciert.as formas normales que se presentan con frecuencia. Es cmodo expresar estas reglas especiales por medio de frmulas, de las cuales se da a continuacin una lista . El lector no slo debe aprender de memoria cada frmula cuando se ha deducido, sino tambin poder enunciar en palabras la regla cOlTespondiente . En estas frmulas 1l, v, w representan funciones deriva bles de x.FHMULAS DE

1)b~RJVA C16N

1II IIId - (u dx

de dx

=

O .

d:r = 1 dx .

+vd dx

w)

= -, + dv dx

du dx

do dx

dw - -. dx

IV

-(ev) = e-.d - (uv) dx

v

=

dv udx

du + v-o dx


REG LAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

37

VI

d dv _(vn) = mi' -l - . dx dx

VIa

d dx (xn)

=

nXn - l.

v dx -- ud;VIIduV 2

du

dv

VIIa

~ (~)-

=

d;.1

VIII

dy dy dv - - .siendo y funcin de v. dx - dv dx'

IX

- siendo y funcin de x. dx - dx'dy

dy

30. Derivada de una constante. Si se sabe que una funcin tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta funcin es constante, y podemos representarla pory

=

c.

Cuando x toma un incremento .1x, el valor de la funcin no se altera j es decir, .1y = O, Y

.1xPeroI

Ay = O.1y

.

hm - - = - = 1\"' -7 0 I1x dx

,

dy

o.

:.

~~ = o.

La derivada de una constante es cero.

Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la grfica de la ecuacin y = c es una recta paralela a OX j luego su pendiente es cero . Y como la pendiente es el valor de la derivada (Art. 28) resulta que la derivada es cero.


38

CALCULO DIFERENCIAL

31.

Derivada de una variable con respecto a s misma.y

Sea

=

x.

Siguiendo la regla genera.! (Art. 27), tenemos:PRIMER PASO. SEGUNDO PASO. TERCER PASO.

y

+ f'..y = x + f'..x .f'..y = f'..x . f'..y = A l.o;;

CUARTO PASO.

-= 1

dy dx

.

11

dx = 1. dx

La derivada de una variable con respecto a s misma es la unidad.

Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la pendiente de la recta y = x es la unidad.32. Derivada de una suma.1! = u

Sea Segn la regla general:PRIMER PASO. SEGUNDO PASO.

+v-

-w .

y

+ f'..y = u + f'.. u + v + f'..vf'..y = f'..u f'.. y f'..x

-

It' -

f'..w.

+ f'..v -

f'..w.

TERCElt PASO.

=

f'..u+ f'..v _ f'..U) I1x f'..x f'..x

Ahora bien (A;-t. 24) , lm f'.. u = du6.>:-)0

lm f'..v = dv6 :1:--70

lm f'..1Jj = dw6X--70

f'..x

dx'

f'..x

dx'

f'..x

dx .

Luego, segn (1) del Artculo 16 ,CUARTO PASO.

dy = du dx dx

+ dv_ dy; .dx dJ;

III

-(u+v-w) dx

d

.

du dv dw = -+---. dx dx dx


REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

39

Una demostracin semejante es vlida para la suma algebraica de cualquier nmero de funciones.La derivada de la suma algebraica. de un n"lmero finito n de funciones es 1:gual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.

33. Sea

Derivada del producto de una constante por una funcin.

y = cv .

Segn la regla general:PRIMER PASO

y

+

f1y = e (v f1yf1x

+ f1v)

=

cv

+ c/).v.

SEGUNDO PASO

=

cf1v/).x

TERCER PASO

f1,!/ f1v - =c -

De donde, segn (4) del Artculo 16,CUARTO PASO

IV

d - (ev) dx

= e-.

dv dx

La derivada del producto de una constante por una funcin es 1gual al producto de la constante por la derivada de la funcin .

34. Sea

Derivada del producto de dos funciones.

y

=

uv.

Segn la regla general:PRIMER PASO

y

+ f1y =+ l1y =f1y=

(u

+ f1u)

(v

+ f1v) .

Efectuando la multiplicacin:?JSEGUNDO PASO.

uv

+ uf1v + vf1u + f1uf1v. uf1v + vf1u + f1uf1v ./).x /).x /).x

TERCER PASO.

i1y /10 f1u /).V -=u-+v-+/).u-./).x


40

CALCULO DIFERENCIAL

Aplicandn (2) Y (4) del Artculo 16, notando que lm l1u = O,6X-7 0

I1v y que, por tant.o, el lmite del producto l1u I1x es cero, tenemo,;:CUARTO PASO.

dx

dy = u dv

dx

+ u du .d.l:

v

d dv -(uv) = udx dx

du + v-o dx

T,a derivada di! un JHvdw to de dus funciones es igual al producto de la primera funcin por la derivuda de la segunda, ms el producto de {n segunda por ln dr!1'1'vadn de la prirnem .35. Derivadadel producto de n funciones, siendo n un nmero fijo. Si se dividen am bos miembros de la fnl'mula V por x2) =

!!...dx (X2)

(ax 4) -

~dx

(bX2)

segn II! seg n IV Segn VI a

dx

a~ (x 4 )-

-

,~dx

4 ax 3

2 bx.

3.

Y

= x%

+ 5.dy =

Solucin.

dx

!!...dx

(x%)

+ _~ (5) dx .

segn JII Segn VI a y debe recibir leccin oral de

=

% x Va .

* Mientras el estudiante aprende a derivar. derivacin de funciones sencillas.



43

segn IIr Seg n IV

y vr

a

5.

y=(x2-3)~.

Solucin.

dx

dy

=

5 (x 2

--

3) 4~(.X2 - ) ) dx l () = X2 - 3 y

segun VI11

=

5. J

=5(x 2 -3)4.2x= IOx (x 2 - 3)4

Es posible desarrollar esta funcin segn la frmula del hinomi0 de Newtoll y ento nces aplicar III. etc .. pero el procedimiento aqui dado es preferible.

l (3 ). Art. 116.1} =

Va 2 - x2 Solucin. dy =.!!...dx dx

(a2 _ x2)Yo=.l (a2_ xZ ) -Yo .!!... (a Z -x2) 2 dx

segn VI

[() =

a2 -

X2

y

n

=

l1z

.1x a 2 - X2

=..!...(a 2 - x 2 )-Yo(-2x) =2

V

7.

y =

(3 x2

+ 2) vi 1 + 5

X2.

Solucin.

dI} = (3 dx

x2+2)~ ( 1 +5 x 2 )v, + ( 1 +5 X 2)Y, ~ (3 x2+2)dx dx

segn V

..!... (1 2

+ 5 X2) -Yo .!!...+(1

+5

dx

(l

+' 5 X2)

+

x2) Y, 6 x

segn VI. etc.

(1 +5 x 2 )-y, 5 x+6x(1 +5 x 2 ) y,

= Vy =a2

5x(3x2+2) ./ 5 . 45x 3 +16x 1 5 X2 + 6 x v 1 + X2 = l + 5 X2 .

+

V

+-

X2 X2

V

.

a2

Solucin.

dy =

(a 2 - X2) y, ~ (a 2 . dx

+ X2)a2-

X2

(a 2

+ x2) .!!... (a 2 dx

X2) y,

dx2 x (a 2-

x2)(a 2 -

+ x (a 2 + X2)X2)

segn VII

%-

[Multiplicando num erado r y denominador por (a 2

x2L

1

3 a2 x - x 3(a 2X2)

%


44Comprobar

CALCULO

DIFERENCIAL

cada una de las s ig u ie n t es derivadas.

10.11.

s. (4 + 3 x dx~ dt

2 x3) = 3=5 at" -

6 x2 15 bt>.

(at -- 5 b(3)7

12.

:z (~ dx

z7

)

=

Z - Z6.

13. 14.15.

~vv=~elu 2vudx'

:x (~ - ;)~(2t%-3dt

= - ~

+ ~.t-~.3

t%) =.2t~-22

16. ~ 17. 18.

(2

dx

x% + 4 x-X) = 2. x-X - x-X.

s: ( a + bx + cxdxX

2

)

=

C

_

.z .x"

19.

y=------.2a

V-:;

2

dy __dx -

V-:;2

1 __ _ /4vx

+ xvx _/- .

I_

20.

s

=

+ bt + ct

veI/-;; + _a_o

ds a b 3 cve -=---+--+---. dt 2 t

Ve

2

ve

2

21.

Y =

dydx de dO F'(t)

vax

2,/axV

a_

u2 xV-ax

22. 23. 24.

e=v~_F(t)= (2-3t2)3.

= -

1 1- 2 O't(2 3

= -18=

3 t2)2.

F (x ) = ~ 4 - 9 x.

F' (x)

25.

y=

V a2

.-

dydx

x

x2 5 O)

==

(a2 _

X2) 12

31

26.27.

F (O)

= (2 -

%.

F'(O)

32/'

(2 -

5 IJ)

15

dy=2b(a_~).dx x2 x


REGLAS 28. 29.

PARA

DERIVAR

FUNCIONES

ALGEBRAICAS

45

y=(a+~ty = x\/

rjydx ({

=

-?J>.(a x3

+

x2

~)2.

+ bx . +/2.

d Y 2 a 3 'X dX=2v/a+'-;; lis

+

30. 31. 32. 33.

s = /

V

a2x.

a2+2/2=

di

V

a2

+2 a

{2

y=-;+xy = a2 a2

a -

du d~ = 2 2

(a

+;)2

+x x-

dy _ dxti Y

4 a2x

(a2-x2)~u2

y=

V~2x x

"d.;

= -

x2V

~2

+

x2

34.

y =

V

a2 -

x2

dy a2 - = 3/' dx (a2 _ X2) /24 O. drliH -

35.

r = 02

V3._..

6 (1 \li

10 (12

3 - 4 () e (l+ex)VI-e x22

36.

1I y=\j~'2

ex

dy _dx 2

37.

y

=

\j

1a +xa2 -

is :d.x . ds

x2

2a2x _ ---2 (a - x2) V {/4 4 (2+3/)%

x"

.:.. H/2 3R. :: 9 . 40.

+3

t

s-\j2_3/lj-e-

'T:"

(2 -3/)%'

...;-=-;; ..!2- V(/ {/2 -

e/y = E... dx y x2d!J _~,:~-

y =

/)2.'lI2~1

41.

ti =

(a% _.. \Y lIalJla. funcin d.:f; ~ nr:i,n

.2/,

Por ej(~fltplo, siy

Y

=

1 - v~

entonces y es una funcin de funcin. Eliminando v podemos expresar y directamente como funcin de x, pero, en genera!, este mtodo dy no es el mejor cuando deseamos hallar dx' Si y = f (v) y v = 4> (x), decimos que y es funcin de x por intermedio de v. Entonces, si damo~ a x un incremento ~x, obtendremos para v un incremento ~v y para y un incremento correspondiente L1y. Teniendo esto en cuenta, apliquemos la regla general de derivacin sirnu ltrieamente a las dos funcione:;;

y

=

f(v)

y

;

= cp(x).


REGLASPlUM';lt

PARA

DERIVAR

FUNCIONES

ALGEBRAICAS

47

PASO.

v+l1y=f(v+l1v) y+l1y=f(v+l1v) y =f(v) l1y=f(v+l1v) - f(v)

v+l1v=1> V+I1V=

(X+I1X) (X+I1X)

.

SEGUNDO PASO.

V

= (X)I1v= (X+I1X)- I1v I1x (X+I1X)-

(X)(X)

TERCER

PASO.

l1y _f(v+l1v)-f(v) I1v I1v

I1x

Los miembros de la izquierda expresan la razn del incremento de cada funcin al incremento de la variable correspondiente, y los miembros de la derecha expresan las mismas razones en otra forma. Antes de pasar al lmite, formemos el producto de las dos razones. tomando las formas de la izquierda. Resulta: -. I1v I1x'l1y I1v

que e$, Igual a ..

.

l1y'\x.L\

l1y = l1y . l1.u !1:r !1/! 11. x .( 'l' A ttT') l' A ~u .

Cuando

~;:

---70,

igua Imen te 11.r-7().

Paliando

al

litnitr:(A)

.

SI'

obtiene :dy dx

=

dy dv dv' dx '

Segn (2), en la forma:

A rt , !ti

Esta igualdad (B)

puede tambin

escribirsef'(v).

~~ =

'(x).

Si y = f (v) y v = (x) , tu derioada de y ('un respecto a x es 'igual al producto de la derivada de y con. respecto a v por la derivada de v cori respecto a x ,

39. Relacin entre las derivadas de las funciones inversas. una funcin V llana como funcin de x segn la ecuaciny=f(x).

Sea

en

e:-;I

.A menudo es posible, en el caso de las funciones que se consideran e libro, resolver la ecuacin con respecto a x y hallarx=(y);

es decir, poclemos tambin considerar V como la variable indepeudiente y x como la dependiente En este caso se dice que f(x) y (y)


48

CALCULO DIFER ENCIAL

son funcione s inversas. Cuando deseamos distinguir la una de la otra , es usual llamar funcin directa la que se di al principio, y funcn 'inversa a la segunda. As, en los ejemplos que siguen, si los segundos llliemul'Os en la primera columna se Loman como laR funciones directa s ) entonces los miembros co rrespondientes en la segllnda serin respeeti-varncnf.e las fun ciones /;nversas.y = yX2

+ 1,,

x= , / y - l . x x

=

aX

= log" y. = arc sen y.SI-

y= scnx,

Ahora derivemos las funciones inversas y = f(x) y x = 1> (y) multneamente segn la regla general.PHIMr,m PASO.SEGUNDO PASO.

y+~y= f(x+~x)

x+ ~ x=1>

(y+Ay).

y+!\y= f(x+~x)

x+!\x= 1> (y-t,1y) x - f(x)

y

= f(x)~ y= f(x+~x)

= 1> (y)~x =1> (y + ~y)

- 1> (y).

Tlc l tC~~R

PA SO.

~y~x

f(x+~x)-f(x)~x

~x _ 1>(y+ ~y) - 1>(y)~y~y

Mu ltiplicando e:-;Las ra zo,n es , Lomando las formas d e la izquierda, tenemos: l1y I1x -=1 11~: l1y ,

~y =I1x~x '

AyCUARTO PAS. Cuando Ax-;'O, entonces, en general, tamhindy 1 dx = dx' dy[). y -;. O. Pasando al lmite, (e)

segn (3), Art. Hi

(n)

1 f'(x) = cf>/{y)

La derivada de la funcin inversa es igual al1'ec proco de la derivada de la funcin directa.



49

40. Funciones implcitas. Cuando se da una relacin entre x y y por medio de una ecuacin no resuelta para y, entonces y se llama funcin implcita de x. Por ejemplo, la ecuacin(1 )X2 -

4Y

=

O

define y como funcin implcita de x . Es claro que por medio de esta ecuacin x se define igualmente como funcin implcita de y. A veces es posible resolver la ecuacin que define una funcin implcita con respecto a una de las variables, obteniendo as una funcin explcita. As, por ejemplo, la ecuacin (1) puede resolverse con respecto a y, obtenindoseY

=x2 , 4

1

donde aparece y como funcin explcita de x. En un caso dado, sin embargo I puede ocurrir que semejante resolucin sea imposible I o demasiado complicada para una aplicacin cmoda. 41. Derivacin de funciones implcitas. Cuando y se define como funcin implcita de x I puede no ser conveniente (como hemos dicho en el artculo anterior) el resolver la ecuacin para obtener y como funcin explcita de x, o x como funcin explcita de y. Entonces para calcular la derivada seguimos la siguiente regla:Derivar la ecuacin, trmino a trmino, considerando y corno funcin deX,

y de la ecuacin resultante despejar

~~ .

La justificacin de este mtodo se dar en el Artculo 231. En la derivada pueden sustituirse solamente los valores correspondientes de x y y que satisfacen a la ecuacin dada. Apliquemos esta regla en hallar

~;

en la funcin

Tendremos:d - (ax 6) dx d + .(2 dx d X3 y ) - - (y7:x;) dx

= -d (10);dx

6 ax"

+ 2 x a dy - + 6 x2y dx(2 x 3-

y7 - 7 xy6

dI}dx

~ =

O.

)

7 xl;) dy = y7 - 6 ax .- 6 xly ; dx


50

CALCULO

DIfERENCIAL

Y desneu espejan de O dy dx'

resulta:dy _yl -

6 ax5-

dx El estudiante debe notar tanto u T como a y.

2 x3 que,

6 :J.;~y 7 xl

en general,

el resultado

contendr

PROBLEMASHallar 1. dy para dx cada una de las funciones siguientes:

2. 3.

y =

Va

2 u u(1

u2,

U

= x3 -

X.

d,y _ dx d Y = ~4.,-::..ab=-__ dx (,,-I-lI)2 (b-\-X)2

(3 x2

-

1) .

a y._--

-1-

1I=~--

b -- X b -\- x

.

4.

lI=VI-x2.15 x 15 Y -1- 5 y" -1- 3 y".

".J!

e/x (~!!.= __ dx --=l__

5.

1

+ y2 + y'2x2y

f.. 'l. 8. 9.

x = y2 x2

Vy -I--Y;;.2 px .=('2.

--- = --,-;--.il x

dy

6 y%y ...I;-\-

3

=

13. H. a2 1>2. 15.

x" .v x2

-1- 3

-1-

y~ = ('''.

+ y2-1-

+-

2V--'::Y

+y

= (/. y2 = b>.

b2 x2

a2y2

==2/

-1-

aV---;';y -13 b2xy

10. 11. 12.Hallar

V~+ Vyxl32'

V~.= O.

16.17.

x4+4x3'l+y4=20.ax3 -\- cy3 = 1.

+ yl3

2/

=

a/3 .

x3 -

3 axy

+ y3

18.

~-I-~~curvas

= 6.

la pendiente x2

de cada una de las siguientes (2, (2, (2,

en el punto Sol.

dado.

19. 20. 21. 22. 23.

+ xy

-1- 2 y2 = 28;

3) .-1) .

- );:1.~t.

x3 -

3 x q? -1- y3 = 1 ;

V2xx2-2Vxyx3 -

+ .. /'3Yax q

=

5;

3) .(8,;

'l2

+3xy -

Cl9:!.

= 52 ; = 3 a3 = (,;

2) .(a,a) .

21, x2 -

x'V

2 'l2

(4,

1) .


REGLAS PARA D ERIVAR FU N CIONE S ALGEBRA ICAS

51

25. Demo s trar que las parabolas y2 = 2 p x + p2 Y y 2 = p2 - 2 px se cor'tan e n ngulo recto. 26. Demostrar que las circu nf erencias X2 + y 2 - 12 x - 6 y + 25 = O y X 2 + y2 + 2 x + y = 10 son tangentes en e l punto (2, 1). 27. Bajoqu ngulo corta la recta y =2x alacurvax 2 -x y+2 y2=28?

28. Si f (x) y '" (y) son funciones in ve rs as, demostrar que la grfica d e '" (x) puede dibujarse construyendo la grfica de -f (x) y haciendo girar sta a la izquierda 90 a lr ede dor del origen.

PROBLEMAS ADICIONALES1. El vrtice de la parbola y2 = 2 px es el centro de una elipse. El foco de la parbola es un extremo de uno de los ejes principales de la elipse, y la parbola y la elipse se cortan en ngulo recto. Hallar la ecuacin de la elipse.Sol.2.COrla

4X2+2y2=p2.

Se tra za un circulo de centro (2 a . O) con un radio tal que el crculo en ngulo recto a la elipse 1> 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 Hallar el radio.

Sol.3 . Se un e un punto cualquiera P d e una e lip se con los focos. Demostrar que es tas re c ta s fo rman con l a n or mal a la curva en P ngul os a g udos igual es. 4. D e m ost ra r qu e l.1 re cta Bx + Ay = AH es tangente a la elipse

ni ca ment e si se verifica que

IF,, 2 + .tP'2

=

A2/F.

5 . Hallar la Hitacin de la tangente a la curva xmyll = u m + 1l en un punto cua lquiera. Demostrar que la parte de tangente comprendida entre los ejes queda di v idida en la ra z n m por el p unto de contacto.

n

Sol.6.

mYI (x -

XI)

+ nx (y

-YI) =

o.

Si k es l a pendlerLe d e una tangente a la hip rbola b 2 x2 - a 2 y2 = u 2b 2.,

demostrar qu e s u ecuacin es y = kx V a 2 k 2 - b 2 , y que el lugar geomtrico de los puntos de interseccin de las tangentes perpendiculares est dado por la ecuacin X 2 + y2 = a 2 - b 2 .


CAPITULO V

APLICACIONES DE LA DERIVADA

42. que si

Direccin de una curva.

Se ha demostrado en el Articulo 28

y = f(x)es la ecuacin de una cu rva (fig. 8), en tonces

:~ =

pendiente de la tangente a la curva en P (x, y).

y

B

x

A

F ig .8

Fig.9

La direccin de una curva en cualquier punto se define como la direccin de la tangente a la curva en este punto. Sea T = inclinacin dE' la tangente. Entonces la pendiente = tg T, Y: : = tgT

=

pendiente de la curva en cualquier punto P (x, y).

En los puntos como D, F, H, donde la direccin de la curva es paralela al eje de las x y la tangente es horizontal, se tieneT

= O; lu ego dx = O.

dy



53

En los puntos como A, B, G, donde la direccin de la curva es perpendicular al eje de las x y la tangente es vertical, se t.iene7"

= 90 ; luego

~~

se hace infinita.X2

EJ EM PLO 1. a) b) c) d) e)

3 Dada la curva y = x - 3 La inclinacin. cuando x = l.

+2

(fig. 9). hallar:

El ngulo. cuando x = 3. Los puntos donde la direccin de la cur va es paralela a OX. Los puntos donde T = 45. Los puntos donde la direccin de la curva es paralela a la recta 2:< - 3 Y = 6 (re cta AB).

Solucin. a) b)

D er ivando . dy =

dx

X2 -

2 x = tg "

Cuando x = 1. Cuando x = 3.

tg' = 1 - 2 = - 1; luego" = 135 . t g T = 9 - 6 = 3; luego. = 71 34'. luego x2 -2x=0. Resolviendo esta S ustituy endo estos valores en la ecu,lcin=

c) Cuando .=0. tg.=O: ec uac in. obtenemos x = O 2 .

de la curva. hallamos y = 2 cuando x las tan gentes en d) Cu.lno

O. y =

2 3" cuando

x = 2. Por tanto .

e(o .T

2) y D(2 .

+) son paralelas al eje OX.lu ego:

Fg.

13

"'-'----x-----f

44. Valores maxrmo y mnimo de una funcin; introduccin. Entre los Fig. 14 valores de una. funcin puede haber uno que sea ms grande (mximo) o ms pequeo (mnimo) que los dems. * En muchsimos problemas prcticos importa saber a qu valor de la variable corresponde tal valor de la funcin. Supongamos, por ejemplo, que se desea hallar las dimensiones del rectngulo de rea mxima que puede inscribirse en un crculo de. 5 cm de radio. Consideremos el crculo de la figura 14. Inscribamos un rectngulo cualquiera, como BCDE. -,--,-:--------, Sea CD = x; entonces DE = vi 100 - x2, y evidentemente, el rea del rectngulo es (1) A = xvi ] 00

- :f2.

Debe existir un rectngulo CD (= x) se aumenta hasta

de rea mxima; en efecto, si la base 10 cm (el dimetro), entonces la altu-

ra DE = vi 100 - x2 disminuir hasta cero, y el rea llegar a ser cero. Si ahora se disminuye la base hasta cero, entonces la altura aumentar hasta 10 cm y otra vez el rea llegar a ser cero. Luego es evidente, por intuicin , que existe un rectngulo que es el mayor de todos. Estudiando la figura con atencin podramos sospechar que cuando el rectngulo se convierte en un cuadrado es cuando tiene mayor rea, pero esto sera una simple conjetura. Evidentemente es mejor construir la grfica de la funcin (1) y observar cmo se comporta. Para ayudamos a trazar la grfica observemos: a) que por la naturaleza del problema es evidente que x y A deben ser positivos, y b) que los valores de x varan de cero a 10.* Ms adelante. en el Artculo 48. estudiaremos una ampliacin del concepto de mximos y mnimos. de los cuales una funcin puede presentar varios de ellos.


AP LICA C IO NES DE LA DERIVADA

59

Con struyamos a hora una tabla de valores y t racemos la grfica, tal como se indica en la figura 1.':;.jl

x

A O

5045

R

S

O2

9.9 19.628.6

403530

34

366

4} . 0b

I

25 201 5 1 0

48.0

II

78C)

49 .7 I I 48.0 39.6

10

0.0

- -- -_ _ _ _ _ ...J

I I ,I

iIMI , I

N I

3

4

5

8

/O

-X

F i g. 15

Qu nos en seia la grfica?

a) Si se ha tra zado con todo cuidado, podemos hallar con bastallt e exactitud el rea del rectngul o qu e corresponde a todo valor de x mid iendo la longit ud de la ordenada co rrespondien te. As, cuando y cuando

x A x A

= OM = 3 cm,=MP = 28,6 cm 2 , = ON = 4,.) cm, = NQ = 39,8 Clll 2 aproximadamente (hallado por IllCdici (m) .

b) Hay una tangente hOrizontal (RS) . La ordenada TU de su pun to de contact.o es mayor que toda ot.ra ordenada . Por esto observamos: Uno de los Tectngulos inscTitos tiene, evidentemente, una rea mayor que cualquiera de los otros. En otros trminos, podemos deducir de esto que la funcin definida por (1) tiene un valor mximo . N o podemos por medicin hallar con exactitud este valor ( = HT); ni el valor de x correspondiente (= Ol!), pero mediante pI Clculo di"ferencial es facilsimo hacerlo. En efecto , hemos observado que en T la tangente era horizontal; luego la pendiente ser cero en este punto (Art . 42). Por tanto, para hallar la abscisa de T, halla remos a partir


60

CALCULO

DIFERENCIAL

de (1) la derivada de A con respecto a z , la igualaremos resolveremos la ecuacin en x as obtenida. Tendremos: (1) dA

a cero y

A = z v' 100 - x2 dx

,

=

100 - 2X2 v100 _x2

'

100 - 2 x2 '-/:-=1=00==x=-2

=

O .

Resolviendo

la ecuacin se obtiene

x =Sustituyendo , obtenemos

5v2.

DE

=

vv2

100 - x2 = 5

V 2.

Luego el rectngulo de rea mxima 5 cm, es un cuadrado de rea

inscrito en el crculo de radio

A = CD

X

DE = 5

X 5

v2

= 50 cm".

Por tanto, la longitud de HT es 50. Tomemos otro ejemplo. Se ha de construir una caja de madera de base cuadrada de 108 dm" de capacidad. La parte de arriba debe ser abierta. Qu dimensiones debe tener la caja para que la cantidad de material empleada en su construccin sea mnima?, es decir, .qu dimensiones exigirn el mey.l!J!- nor costo?1

1

Sean x yFig. 16

= =

longitud del lado de la base en decmetros, altura de la caja.

y

puede hallarse dado. As,

Ve m o s que hay dos variables, pero y en funcin de z , puesto que el volumen de la caja es.:

Volumen

= x2y

= 108;

108 . Y =-x-

.

Ahora podemos expresar en funcin de x el nmero (= M) de decmetros cuadrados de madera que entran en la construccin de la caja como sigue: El rea de la base = x2 dm"; el rea de las cuatro 432 caras laterales = 4 xy = -drn". Luego:

x

(2)

M

= x2+ --. x

432


APLICACIONES

DE

LA DERIVADA

61

es la frmula que da el nmero de decmetros cuadrados que se necesitan para construir una caja cualquiera semejante a la deseada y con capacidad de 108 drri". Trcese una grfica de (2), como se indica en la figura 17,M

x

id 433 220 153 124lII

250 225

l

200 175 150 125 100 75 50 25

2 3 4

567

108lII

8 9 10

ns129 143

o

4

6

10

x

Fig,

17

, Qu nos enseia la grfica? a) Si se ha trazado esmeradamente, podemos medir la ordenada que corresponde a cualquier longitud (= x) del lado de la base cuadrada y as determinar el nmero necesario de decmetros cuadrados de madera, b) Hay una tangente horizontal (RS) , La ordenada de su punto de contacto T es menor que toda otra ordenada, Por esto observamos: Una de las cajas necesita evidentemente menos madera que cualquiera de las otras, En otros trminos, podemos inferir que la funcin definida por (2) tiene un valor minimo . Hallemos este punto de la grfica con exactitud, empleando el Clculo diferencial, Derivando (2) para obtener la pendiente en un punto cualquiera, tenemos

En el punto ms bajo,

T, la pendiente

ser cero,

Luego

432 2x--2-=0, x


62

CALC ULO DIFERENCIAL

Resolviendo esta ecuacin se obtiene que para x = 6 se necesitar la menor cantidad de madera. Sustituyendo en (2), vemos que esta cantidad es M = 108 dm 2 = 1,08 m 2 La existencia de un valor de 211 menor que todos los dems, se deduce tambin del siguiente razonamiento. Hagamos variar la base desde un cuadrado muy pequeo a uno muy grande. Es fcil ver que al dividir por 10 el lado de la base hay que multiplicar por 100 la altura de la caja para obtener el mismo volumen, y, por consiguiente, el rea de las caras laterales se har muy grande y se necesitar mucho material para la construccin. Recprocamente, si se disminuye la altura, es decir, si S0 aumenta el lado de la base, el rea llega a SCl' muy grande y el material empleado tambin muy grande. Luego, tanto si x es muy grande como si es muy pequeo, el valor de M ser mucho mayor que para un valor mediano de x . De ah se sigue que la grfica debe tener un punto, el ms bajo de todos, que corresponda a las dimenSiones que necesitan la menor cantid ad de madera y que, por esto, exigen el menor costo. Ahora pasemos a tratar deLalladamen te el tema de mxi mas y Illnimwi. 45. Funciones crecientes y decrecientes. * Una funcin y = f(x) se llama funcn creciente si y aumenta (algebra icamente) cuando x aumenta. Una funcin y = (x) se llama funcin decreciente t>i y disminuye (algebraicamente) cuando x aumenta. La grfica de u n a funcin indica claramente si es creciente o decreciente. POI' ejemplo, consideremos la grfica de b figura 18. Al variar un punto a lo largo de la o curva de izquierda a derecha, la curva ., , sube' '; es decir, a medida que la x del punto aumenta, la funcin (= y) a u m e n t a . Evidentemente, l1y y I1x Fig. 18 tienen un mismo signo. POi" otra parte, en la grfica de la figura 19, si el punto se mueve a lo largo de la curva de ilquierda a derecha, la curva "baja"; es,'o Las demostraciones que se dan aqui se apoyan principa lmente en intuicin geomtrica. El temJ de mximos y minimos se tratad Jnaliticamente en el Artculo 125.



63

decir, a medida que la x del punto aumenta, la funcin (= y) disminuye siempre. Claramente, en este caso .y y 'x tienen signos opuestos. E l hecho de que una funcin puede ser unas veces creciente y otras decrecien te, puede verse en la grfica (fig . 20) de la curva(1)y

= 2 x3

-

9

X2

+ 12 x -

3.

Si un punto se mueve a lo largo de la curva de izquierda a derecha,r

x

Fig. 1:)

Fi g. 20

la curva sube hasta llega r a l pun to A , ba ja desde A. hasta. B y sube a la derecha de B . Luego :a)

= - 00 hasta x = 1 la funcin es creciente; b) desde x = 1 hasta x = 2 la funcin es decreciente; c) desde x = 2 hasta x = + 00 la ftmcin es creciente.desde x

En cualquier punto (como C) donde la funcin es creciente , la tungen te forma un ngulo agudo con el eje de las x. La pend ien te es positiva. Por otra parte, en un punto (como D) donde la funcin es dpcreciente, la tangente forma un ngulo obtuso con el eje de las x , y la pendiente es negativa . De aqu resulta el siguiente criteri o para averiguar el carcter creciente o decreciente en un punto:Una funcin es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente cuando su deT-ivadaes n egativa.


CALCULO DIFERENCIAL

Por ejemplo, derivando (1), tenemos(2)

~~ = j'(X)=6x2 -18X +12=6(x-1)Cuando x Cuando Cuando

(x-2).

< 1, j' (x) es positiva, y f (x) 1 < x < 2 , f'(x) es negativa, y x > 2, f' (x) es positiva, y j (x)

es crec ien te.f( ;!;) es decreciente

es creciente.

Estos resultados concuerda n con las conclusiones deducidas con ayuda de la grfica (fig. 21). 46. Mximos y mnimos de una funcin; definiciones. Un valor de una funcin es un mximo si es mayor que cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Un valor de una funcin es un minimo si es menor que uno cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Por ejemplo, en la figura 21, es evidente que la funcin tiene un valor mximo MA (= y = 2) cuando x = 1, y un valor mnimo N R (= y = 1) cuando x = 2. E l estudiante observar que un mximo, as defin ido, no es, necesan:amente, el mayor valor posible de una funcin, ni un mnimo tiene que ser el menor de todos. * En efecto, y en la figura 21 se ve que la funcin (= y) tiene valores a la derecha de B que son mayores que el mx imo MA , y valores a la izquierda de A que son menores que el mnimo N R . Si j (x) es una funcin crecien te de x cua.ndo x es ligeramente menor que a, pero es una funcin decreciente de x cua ndo x es ligeramente mayor que a, x es decir, si j ' (x) cambia de sig no pasando ele + a - a l aum enta.r x a travs de a, en [,on ces f (x) ticne un mximo Fig. 2 1 cuando x = eL. Luego, :-Ji f' (x) es continua, debe anularse cuando x = a. As, en el ejemp lo anterior (fig. 21) en e, f'(x) es positiva; enA ,j'(x)=O; enD,j'(x) es negativa .." N . del T . mos y mnim os. Por es to a lg un os autores les ll ama n re/oliuo s a estos m ,lx i-



65

Por otra parte I si j (x) es una funcin decreciente cuando x es ligeramente menor que a I pero es una funcin creciente cuando x es ligerament.e mayor que a; es decir I si j' (x) cambia de signo pasando de - a al aumentar x a travs de a, entonces j(x) tiene un mnimo cuando x = a. Luego I si j' (x) es continua debe anularse cuando x = a. As I en la figura 21 I en D, j' (x) es negativa; en B I j' (x) = O; en E, j'(x) es positiva. Podemos formular I pues I las condiciones generales siguientes para mximos y mnimos de j (x) :

+

f(x) es un mximo si f'(x)

de

+

= O Y f'(x) cambia de signo pasando

a - .

f(X) es un mnimo si f'(x) = O Y f'(x) cambia de signo pasando de - a

+.

Los valores de la variable independiente que satisfacen la ecuacin j' (x) = O se llaman valores crticos; as I segn (2) del Art.culo 45 I x = 1 y x = 2 son los valores crticos de la variable para la funcin cuya grfica es la figura 21. Los valores crticos determinan puntos de cambio donde la tangente es paralela a OX. Para det,e rminar el signo de la primera derivada * en puntos vecinos a un punto de cambio, basta sustituir en ella en primer lugar un valor de la variable ligeramente menor que el valor crtico correspondiente I y despus un valor ligeramente mayor. Si el primer signo es + y el segundo - , entonces la funcin tiene un mximo para el valor crtico que se considera. Si el primer signo es - y el segundo + entonces la funcin tiene un mnimo. Si el signo es el mismo en ambos casos I en tonces la funcin no ti.~ne ni mximo ni mnimo para el valor crtico que se considera. Consideremos) por ejemplo I la funcin (1) del Artculo 45.I

(1 )

y = j(x) = 2 x 3

-

9

X2

+

12 x - 3.

Segn vimos, (2)

f'(x) = 6(x-1) (x - 2).

Resolv iendo la ecuacin j' (x) = O, hallamos los valores crticos x = 1, x = 2. Consideremos primero el valor x = 1. Sustituiremos en el segundo miembro de (2) valores de x cercanos a este valor* Por lo que veremos en el capitulo siguiente, a la derivada fl (x) de uca funcin r (x) se le lLlma tambin primera derivada.


66

CALCULO DIFERENCIAL

crtico y observaremos los signos de los factores . (Comprese con lo visto en el Articulo 45 . )xy2

< 1, ji (x) = (- ) (-) Cuando x> 1, f'(x) = (+) (-)Cuando x

+.

Luego f (x) tiene un mximo cuando x = 1. Por la tabla adjunta vemos que este valor es y = f (1) = 2. Veamos ahora lo que ocurre para x = 2. Procederemos como antes, tomanclo en este caso valores de x prximos al valor crtico 2.2

C uando x < 2, Cuando x> 2,

f' (x) f' (x)

(+)( - ) = - . (+ ) (+) = +.

Luego f(x) tiene un mnimo cuando x = 2. Segn la. tabla anterior, este valor es y = f(2) = 1 . Estos resultaclos se resumen en la siguient0, regla, que sirve de guo, en las aplicaciones. 47. Primer mtodo para calcular los mximos y mnimos de una funcin. Regla gua en las aplicaciones.Se halla la primera derz:vada de la funcin. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las races reales de la ecuacin resultante. Estas races son los valores crticos de la variable. TEHCER PASO. Se consideran los valores crticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor * que el valor cTlico y despus para un valor un poco mayor que l. Si el signo de la derivada es primeramente y despus - , la funcin tiene un mXZ:mo para este valor crtico de la variable; en el caso contrario, tiene un mnimo. Si el signo no cambia, la funcin no tiene ni mximo ni mnimo para el valor crtico considerado . En el tercer paso, a menudo conviene descomponer f'(x) en factores, como se hizo en el Artculo 46.PRIMER PASO. SECUNDO PASO.

+

EJEMPLO l. En el primer problema que se resolvi en el Artculo 44. vimos, por medio d e la grf ic a de la funcin

A=xV IOO - x 2

,

* En este caso, cuando decimos' 'u n poco menor" queremos indicar cualquier va lor entre la raz (valo r crtico) que se considera y la raz inferior a ella ms prxi m a; y " un poco mayor" significa cualquier va lor entre la ra z que se co n sidera y la prxima mayor.



67

que el rectngulo de rea mxima inscrito en un circulo de 5 cm de radio tiene una rea = 50 cm 2 . Ahora podemos obtener el mismo resultado analticamente. aplicando la regla que acabamos de dar.

Solucin. Primer paso. Segundo paso.

f(x) = xV 100-x 2f' (x)

100 - 2 x2

VIOO-x 2 'tenemos:

Resolviendo la ecuacin f' (x) = O.

x

= 5V2 = 7.07.

que es el valor cntlco. Se toma solamente el signo positivo del radical. puesto que el signo negativo carece de sentido por la natur a le za del problema.

Tercer paso.Cuando x

Cuando x

< 5 V2.X2

entonces 2

X2

c, f'(x) Luego, cuando x

e

= OM.

(fig. 24) la funcin tiene el valor mximo

1(r)=a=JvtP.

PROBLEMASCa lcul ar los mximos y mnimos de cada una de las funciones sig uien tes :

1.2.

Xl -

6

X2

+9

x.

Sol.

Mx. = 4 para x = \. Min. =0 para x = 3. 1\l x . = 17 para x = \. Min. = - 10 para x1

10

+ 12+2

x - 3

X2 -

2 x" .

3.

2 x" xl

+3

X2

+ 12

x - 4 .

No tiene ni mximos n minim os.

4.

X2 -

15 x - 20.Min. = O para x Mx. para x

= O.l.

6.

x' - 4 x . x' X2

Mn.

3 p3ra x = \.

7.

+ l.X2.

8.

3 x'-4 xl -12

Min. = - 5 para x = - l. Mx. = O para x = O. Min. = - 32 para x = 2. Mx. Min .

9.

x5

-

5 x'.

= O para x = O. = - 256 para x = 4.

10.

3 x 5 - 20 x".Mi n.

3

(12

par" x =

(l.

12.

2 x


7013.

CALCULO x2

DIFERENCIALSol. Mn.

+~.ax

x22'

=

2 a2 para

x

=

a.

14.

x2

+a

Mn. Mx.

= - 31 para x = = 31 para x = (/.

a.

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

x2

x x2

+ a'x2Z'

+a x~ + 2 a2 x2 + a2(2+x)2(1(2

-x)2

2.

+ .x )

(l -

x)

3.

b+c(x

-a)%.c)Y,.

Mi n ,

=

b para

x

=

Q.

a - b(x _.(2

No tiene ni mximo x)%.Mn. Mx.=

ni minimo.

+ x)

y, (1 -

O para

x = 1.

=

\1"4 =

1,6 para x = - l.a.x

23.

x(a+x)2

(a - X)3.

Mx. Mn. Mx. Para

= O para x = = - 2%4 a6 para = 12%29 a para6

x

= - Y2 = 7~ a.

a.

el valor cin no mnimo.

crtico tiene

x = a,

ni

la funmximo III

24.

(2 x -

a) y, (x -

a)%.

Mx. Mn. Para

= ~

a

= O para

para x = x = a.

%

a.

el valor crtico x = Y2 Q, funcin no tiene ni mximo mnimo.

laIII

25.

x2 x2

26.

+2 x +4 +x +4x+l

x+2

Mx. Mn. Mx. M n . Mx. Mn. Mx.

= Y2 para x = O. = - %. para x = = = 3 = % = %5 para x = para x = l. para para

4. 3.

-

27.

x2 x 4 x2+2 x +4 (x - a) a x2

+ +

x = - 2. x = 2.parax=~.

28,

(b - x) x~2

"" (b-a)2 4 ab

a+b2

29.

b -+--. a-x

M n.Mx.

=

(a

+ b)a

para para

a x=--.2

a+ba -

= (a - ~ a

x

= ~.b


APLICACIONES DE LA DERIVADA30.

7102

Ca X2

x) 3 a - 2 x

Sol.

Mn. = 2~~2

para x

=!!...4

31.

+

X

-

X2 -

X

+

1 1

49. Problemas sobre mximos y mnimos. En muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresin matemtica de la funcin cuyos valores mximos o mnimos se desean, tal como hemos hecho en los dos ejemplos resueltos en el Artculo 44. Esto es a veces bastante difcil. Ninguna regla es aplicable en todos los casos, pero en muchos problemas podemos guiarnos por las siguientes Instrucciones generales.a) DeteTminar la fun cin cuyo mximo o mnimo se desea obtener . b) Si la expresin resultante contiene ms de una variable, las condiciones del problema proporcionarn sujientes relaciones entTe las variables para qu e la funcin pueda expTesarse en trminos de una sola variable. c) A. la funcin resultante se le aplica la regla que se di en el Artculo 47 para el clculo de mximos y mnimos. d) En los problemas pl'cticos, muchas veces se ve con facilidad cul de los valores crticos dar un mximo y cul un mnimo; en consecuencia, no siempre es necesario aplicaT el teTcer paso. e) Conviene constTuir la grfica de la funcin para comprobar el resultado obtenido.

El clculo de mximos y mnimos puede a menudo simplificarse con la ayuda de los siguientes principios, que se deducen inmediatamente de lo anteriormente expuesto.a) Los mximos y mnimos de una funcin continua se presentan alternativamente. b) Cuando c es una constante positiva, c fe x) es un mximo o un mnimo para los valoTes de x que hacen a fe x) mxna u mnima, y no para otros.

Por tanto, al determinar los valores crticos de x y al aplicar la regla para ver si se trat.a de mximos o mnimos, pueden omitirse los factores constantes. Cuando c es n egativa, cf( x) es un mximo cuando f (x) es mnima,y recprocamente.


72

CALCULO DIFERENCIAL

c) Si c es constante, f (x) y c + f( x) tienen valores mximos y mnimos para los mismos valores de x. Por tanto, al hallar valores crticos de x y a l aplicar la regla pueden omitirse los t.rminos constantes.PROBLEMAS1. De una pieza cuadrada de hojalata de lado a (fig . 25) . se de sea conslruir una caja. abierta por arriba . del mayor volumen posible. cortando de las esqui nas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para form ar las caras laterales. Cul debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados'Solucin. Sea x

=

lado del cuadrado peq ue o

=

pr of undidad de la caja;

a-2xy

lado del cuadrado que fOfma el fondo de la caja . Ca - 2X)2X

v

es el volumen de la caja.

Queremos calcular el valor d e x para el cual esta funcin V es un mximo. Aplicando la regla CArt. 47). tendremos:

Pri mer paso.Segundo paso.

dV = (a - 2 x)

2 .-

dx

4 x ({ - 2 x)-

=

a2

-

8 axX2

+ 12

X2.

Resolvi en do la ecuacin a 2=

8 ux

+ 12

=

O. se obtie -

.. nen 1os va 1ores cntlcos x

u T

a y 6'

Se ve. por la figura 25. que x = 3... da un mnimo . puesto que en ese caso

2

toda la hojalata se quitara y no quedara material para constru ir l a caja. d o l a reg l a. se h a 11 a que x = 6 a d a e 1 vo 1um en nuxlmo .. 2a L uego l A pican U. e l lado del cuadrado que se ha de cortar es un sexto del lado del cuadrado dado. En este problema y los siguientes . se recomienda a l estudian te el trazado de la grfi ca.3

Fig. 25

Fig. 26

2. Suponiendo que la resistencia de una viga de seccin lransversal rectangular es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad. cules son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de dimetro d?



73

Solucin. Si x = la anchura y " = la prof undid a d . e nt o n ces la v iga tendr.l res i s t e n cia m x im .! cuando la funcin .::,,2 es m x im a . De la figura 26 se lh' duce !J~ = ([2 - x~; luego deb e m os trab a jar con la funcin(e x )X(J2 X2).

Pri mer paso. Segu n do paso.ponde a un mximo.

f' (x)

- 2

X2

+dx=

2 -- X2

=

d~

- 3 x2.CriticO

d V3

I = va or

' .

que co rres -

P o r tanto. si la v iga se corta de man e ra que prof undidad

=~+ del dimetr o de l tronc o.J~ d el dilimetro delt ron co .

y

a n chur a =

la viga t end"j mxima resist e ncia.

3. C ul es e! ancho de! rec t n g ulo de rea mxima que puede ins c ribirse en un seg mento d a do OAA' (fi g. 27) d e un a p arbola ?SUGESTIO . Si OC = h . entonces Be = h el rea d el rect n g ul o PD D'P I es

x y PP' = 2 y: po r ta nt o.

2 ( h - x ) y.Pero P es un punto de la parbola '1 2 = 2 px ; por co n sig ui e n te. la f un ci n por estudiar es

f ex) = 2 (17 - x)

V 2 IJX .

Sol.

Ancho

% h.

B

x

oFig.27Fig. 28

4. Hallar la altura del cono de volumen mximo que puede inscribirse en una esfera de radio r.SUGESTION . V o l u me n de l conoX2 =

= Ya=

1tX 2 y

(fig . 28). Pero

BC X CD

y (2 r -

y) ;

luego la funcin por tratar es

r ey)

T

yl (2 r -

y ). So l.Altura del cono

= Ya

f.


74

CALCULO DIFERENCIAL

5. Hallar la altura del cilindro de vol umen mximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado. SUGESTION. Sea AC = r y BC = h (figu8 ra 29). Volumen dc\ cilindro = Jtx 2 y. Pero de los tringulos semejantes ABe y DBG, se deduce

-------1h

r:x=h:h-y,Por tanto , la funcin por estudiar esr2 f (y) = y (h h2

y)2.Altura = ~h.

Sol.

Fig . 29

6. S i trcs lad os de un trap ec io miden cada uno 10 cm, cunlo debe mcdir c\ cuarto lado para que el rea sea m x ima ? Sol. 20 cm.

7. Se desea construir un a va lla alrededor de un campo rectan g ular , y dividirlo en dos parcelas por otra valla paralela a un o de los lados . Si el rea de! campo es dada, hallar la razn de los lados para qu e la longitud total de las vallas sea la mnima. Sol. %. 8. Una huerta rectangular ha de proyectarse alIado del solar de un vec ino , y ha de tener un rea de 10 800 m etros cuadrados. Si el ve cino paga la mitad de la cerca medianera, cules deben ser las dimen sio ne s de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueo de la hu erta el mnimo ? Sol. 90 m X 120 m. 9. Un fabricante de ra dios averigua que puede vender x instrumentos por semana a p pesos cada uno, siendo 5 x = 375 - 3 p . El costo de la produccin es (500 + 15 x + % X2) pesos. Demostrar que se obtie n e la m x ima ganancia cuando la produccin es alrededor d e 30 instrumentos por semana. 10. Si en el problema anterior se supone que la relacin entre x y p es

x

=

\00 - 20

~~,

demostrar que la produccin que corresponde a una ganancia mxima es la de unos 25 instrumentos por semana. 11. Si en el problema 9 se supone que la relacin entre x y p esX2 =

2 500 - 20 p,

cuntos instrumentos deben producirse cada semana para obtener la mxima ganancia ? 12. El costo total de producir x artculos por semana es (ax 2 + bx pesos, y el precio (p pesos) al que cada uno puede venderse es p = i3 Demostrar que la produccin total para la ganancia mxima es

+

e)

Cl.X 2

x=

vi a 2 + 3 o. (13 30.

b) -

Q

NOTA. En las aplicaciones a la Economa, los nmeros positivos. Lo mismo ocurre en el problema 14.

Q,

b , c, o. y

13

son


APLICACIONFS DE LA DERIVADA

75

13. En el problema 9. supngase que el gobierno imponga un impuesto de t pesos por instrumento. El fabricante agrega el impuesto a sus gastos de costo y determina la produccin total y el precio en las nuevas circunstancias.a) Demostrar que el precio aumenta un poco menos que la mitad del impuesto. b) Expresar los ingresos debidos al impuesto en funcin de t. y determinar para qu valor del impuesto la ganancia es mxima. e) Demostrar que cuando se establece el impuesto determinado en eb). el precio se aumenta alrededor de un 33 por ciento.

14.

El costo total de producc i n de x artculos por semana es

(ax 2

+ bx + e)

pesos.

a lo cual se agrega un impu esto de { pesos por artculo. decretad o por el gobierno. y rl precio (p pesos) a que cada artculo puede venderse es {3 - a x . Demostrar que el mximo retorno del impuesto se consigue cuando t Y, ({3 - b) Y que el aumento del precio de venta sobre el costo es siempre menor que el impuesto. Nota: En aplicaciones a economa, a, b, e, a, {1 son nmeros positivos.

=

15. Una planta productora de acero puede producir por da x Tm de acero de segunda cl ase . y y Tm, por da, de acero de primera clase. siendoy=

4~0 -=..5

x

x. Si el precio corriente del acero de segunda clase es la mitad del

de primera , demostrar que el mximo beneficio se obtiene produciend o alrededor de 5. 5 toneladas diarias de acero de segunda clase .16. Una compaia de telfonos halla que obtiene una ganancia lquida de 15 pesos por aparato si la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay ms de 1 000 abonados. dicha ganancia por aparato imta1ado disminuye un centavo por cada abonado que sobrepasa ese nmero. Cuntos abonados darian la mxima ganancia lquida?

Sol.

l250.

17. El costo de fabricar ci e rto artculo es p pesos. yel nmero que pueden venderse vara in v ersamente con la potencia en sima del precio de venta. Calcular el precio de venta que dar la mayor ganan cia lquida.

Sol.

-;;--=1 .

np

18. I-iai ar el dimetro de un bote cilndrico de hojalata de un litro de capacid ad. para que en su construccin entre la menor cantidad de hoja lata. a) si el bote es abierto por arriba; b) si el bote est tapado.

Sol.

a)

~

.

-

8 It

dm.

.

b)

'\j~

3/-

dm.

19. El rea lateral de un cilindro circular recto es 411: metros cuadrados. Del cilindro se corta un hemisferio cuyo dimetro es igual al dimetro del cilindro. Calcular las d i mensiones del cilindro para que el volumen que queda sea un mximo o un mnimo. Determinar si es mximo o mnimo. Sol. Radio = 1 m. altura = 2 m; mximo.20. Hallar el rea del mayor rectngulo, con lados paralelos a los ejes coordenades. que puede incribirse en la figura limitada por las dos parbolas 3 y = 12 - X2 y 6 y = X2 - 12. Sol. 16.


76

CALCULO DIFERENCIAL

21. Dos vrtices de un rectngulo estn sobre el eje de las x. Los 01 ros dos ', nices eS l n sobre las rectas cuyas ecuaciones son y = 2 x y 3 x y = 30. P.uJ qu valor de y ser mxima el rea del rectngulo? Sol. y=b.

+

22. Una base de un trapecio isscele s es un dimetro d e un circulo de r,ldio u. y los extremos de la otra base estn sobre la cir c unfHen cia . Hallar la longitud de la otra base para que el rea sea mxima. Sol. u. 23. Un rectngulo est inscrito en un se g mento de parbola y un lado del rectn g ulo es t en la base del segmento. Demostrar que la ra z n del area del rectngulo mximo al rea del segmento es

v1T

24 . La re s istencia de una vig a rectangular es proporcional ai produclo del ancho por el cuadrado de su espesor. Calcular las dimensiones de la v iga m s resistente que puede cortarse de un lronco cu y. seccin tr .llIs vers.1 es una elipse de sl'micjcs el ( m.yol') y b (menor ).

Sol.

Anchura

=

2 1>

~+;

espe so r

=

2u

~.

25. La rigidez de una viga rectangular es proporcional a l producto de la anchura por el cubo del espesor. Calcular las dimensiones de la viga ms rigida que pueda cortarse de una troza cilindrica de radio a. Sol. a X a\/1.26.La ecuacin d e l a tray ec toria de una pelota es y = m x _

(m +l )x

2

2

200

tomndose el origen en el punto desde e l cual se lan z a la pelota . y siendo m la pendiente de la curva en el origen; a) Para qu valor de m caer la pelota . en el mismo nivel horizontal. a la mayor distancia? b) Para qu valor de m dar a la mayor alt ur a en una pared vertical a la distancia de 75 metros! Sol. u ) 1; b) %. 27. Una ve ntana tiene la forma de un rectn g ulo coronado d e un trin g ulo rec t ngulo issceles . Demostrar que si el perm e tro es p metros . la mayor cantidad de luz entrar cuando los lados del rect n g ulo sean i g uales a los catetos del tringulo . 28. Dada la suma de las reas de una esfera y un cubo. demostrar que 1.1 suma de sus volmenes ser mnima cuando el dimetro de la esfera es igual a la arista del cubo. Cundo ser mxima la suma de los v olmenes?

29 .elIpse .

Hallar las aimensiones del mayor rectngulo que pueda inscribirse en laX2

a2

+b

y2

2

=

l.

Sol.

a../2

X

b../2 .

30. Hallar el rea del mayor rectngulo que pueda construirse con su base en el eje de l as x y con dos vrtices en la cur va llamada bruja de Agnesi cuya ecua.. 8 a3 ClOn es y = X2 4 a 2 (vase la grfica de la curva en el Captulo XXVI) .

+

Sul.

4

rl

2

31. Hal l M la ra z n del re.n.


APLICACIONES DE LA DER IV AD f\

77

32. Los dos v rtices inferi.o r es de un trapecio issceles son los puntos cuyas coordenadas son (-o. O) y (6, O). Los dos v rtices superiores estn e n la curva X2 4 Y = 36. Hallar el rea del mayor trapecio que puede tra za rse de Sol. 64. esta manera.

+

33. Los radios de dos esferas son a y b y la distancia entre los centros es c. i Desde qu~ punto P en la recta de los centros AB es visiJle la mayor .lrea de superficie esfrica? (El rea de una zona esfrica o casquete esfr i co de a l tura h es 2 rrrh, s iendo r el radio de la esfera.)So/ .unidad es de superficie.

34. Hallar las dimensiones del mayor paralelepipedo rectang ular con base cuadrada que puede cortarse de una esfera slida de radio f.Sol.h

2 = 3"

f

y -3.

35. Dada un a es fera de ( cm de radio , calcular l a altura d e cada uno de los sl idos siguientes:a)b)

ci lindro circular recto inscrito de volumen mximo; cilindro circular recto inscrito d e superficie total mxima; cono re cto circunscrito de "olumen m n imo. Sol .a}

e)

4y3 cm;

b)

6,31 cm;

e)

2~

C I11.

36.

Del110strar que una tienda de campaa de forma cnica de capacidad dada.

eXlglra la menOr ca ntidad de Ion,) cuando la altura es V2 ve ce s e l radio de la base. Demostrar tambin que s i se extiende la lona en un plano, se obtiene un sector circular de 207 0 51'- ,e u .i nta lona se n eces itara para una tienda de 3 111 dealto' Sol. 24,5m 2 .

37. Dado un punto d el eje de la parbola y2 = 2 px a una distancia a del vrt ice, calcular la abscisa del punto de la curVa ms cercano al punto dad o .Sol.x=a-p .

38.

Hallar e l punto de la curva 2 y

X2

ms cercano al punto

(4,

1).

Sol.

(2, 2).

39. SI PQ es el segmento de recta m s lar go que se puede trazar de P(a, b) la curva y = F (x), o e l ms CO rl O, demostrar que PQ es perpendicular a la tangente a la c urva en Q.

40.

Una frmula para e! re ndimiento de un torni l lo es

R

h (1 h

h tg~

~)

+ tg

s iendo O e l ngulo de rozamiento y h el paso del tornillo. Hallar h para rendimiento mximo. So/ h = sec O - tg O


78

CALCULO C'IFERENCIAL

41. La distancia entre dos focos calorficos A y B (fig. 30) cuyas intensida des respecti vas son a y b, es 1. La intensidad total de calor en un punto P, entre A y B, se da por la frmulaA P

B

------J

1 = ~_+ b X2 (l-x)2'

Fig. 30 siendo x la distancia entre P y A. posicin tendr P la tempera tura ms baja?

Para qua Y:;

Sol.

x

= .....-:

a Y:;

+ bY

1

42. La base inferior de un trapecio ssceles es el eje mayor de una elipse; los extremos de la base s upe rior so n puntos de la el ipse. Demostrar que en el trapecio de este tipo de ra mxima la longitud de la base superior es la mitad de la inferior. 43. En la elipse b 2x2 a 2y2 = a 2b 2 se ha de inscribir un tringulo issceles cuyo vrtice sea el punto (O, b). Hallar la ecuacin de la base correspond ient e al tringulo de rea mxima. Sol. 2 y + b = O. 44. Hallar la base y la a ltur a del tringulo issceles de rea mnima circunscr it o a b elipse b 2 x2 a 2 y2 = a 2 b 2 , y cuya base es paralela al eje de las x.

+

+

Sol.

Altura=3b,

base=2aV1.

45. Sea P (a, b) un punto en el primer cuadrante de un sistema de ejes rec tangulares. Trcese por P una recta que corte las partes positivas de los ejes en A y B. Calcu lar la longitud de OA y de OB en cada un o de los siguientesC.1S0S:

a) b) e)d)

cuando cuando cuando cuando Sol.

el rea OAB es mnima; la longitud AB es mnima; la suma de OA y OB es mnima; la di stanc ia (perpendicular) de O a AB es maxlma. ,,) 2a,2b; b) a+ a)"o b %,b+a%b Y. ; c)d)

a

50. La derivada como rapidez de variacin. la relacin funcional (1 )

*

En el Artculo 23

di como razn de los incrementos correspondientes ( 2) Cuando x(3)

!1y !1x

=

2x

+ !1x.

4 Y i1x = O ,5, la ecuacin (2) se convierte en

!1y !1x

8,5.

Llamada tambin razn de ca mbio o rapidez de cambio.



79

Luego decimos que la rapidez media de variacin de y con respecto a x es igual a 8,5 cuando x aumenta desde x = 4 hasta x = 4 ,5. En general, la razn(A)ox

~y =

rapidez media de variacin de y con respecto a x cuando x vara desde x hasta x

+ /).x.En el caso

Caso de rapidez constante de variacin.(4)

y = ax/).y /).X

+ b,

tenemos,

= a.

Es decir, la rapidez media de variacin de y con respecto a x es igual a a, la pendiente de la rect.a (4), Y es const ante . En este caso, y solamente en este caso, el cambio en y (/).y), cuando x aumenta descie un valor cualquiera x hasta x + /).x , es igual a /).X multiplicado por la rapidez de variacin a.Rapidez instantnea de variacin. Si el intervalo de x a x + /).X disminuye, es decir, si /).X ---7 0 , entonces la rapidez media de la variacjcJn de y con respecto a x se convierte, en el lmite, en la rapidez instantn ea de variacin de y con res pecto a x . Por consiguiente, segn el Artculo 24, (B)

~: = rapidez instantnea

de la vanacin de y con respecto a x

para un valor definido de x.

Por ejemplo, de (1 ) se deduce,(5 )dy

dx = 2 x.

Cuando x = 4, la rapidez inst.antnea de variacin de y es 8 unidades por unidad de vari acin de x. Es frecuente que en la igua ldad tB) se prescinda de la palabra "inst.antnea".Interpretacin geomtrica. Tracemos la grfica (fig. 31) de la funcin(6)y

8

S

y = j(x) .

A

Cuando x aumenta de OM a ON, entonces y aumenta de MP a N Q. La rapidez media de la variacin de y con respecto a x es igual a la pendiente de la recta secante PQ. La rapidez

oFig. 31

x


80

CALCULO DIFERENCIAL

instantnea cuando x gente PT.

= OM

es igual a la pendiente de la tan-

Luego la mpidez instantnea de variacin de y en P (x, y) es igual a la mpidez constante de variacin de y a lo largo de la tangente en P. Cuando x = Xo, la rapidez instan tnea de variacin de y, o sea de f(x), en (6), es f '(XO). Si x aumenta ahora de Xo a Xo + L'\x , el cambio exacto en y no es igual a f' ( Xo )L'\x , a no ser f' (x) constante, como en (4) . Sin embargo, veremos ms tarde que este producto es, aproximadamente, igual a L'\ y cuando L'\x es suficien temente pequeo 51. Velocidad en un movimiento rectilneo. Cuando la variable independiente es el tiempo, se presentan aplicaciones importantes . Entonces la rapidez de v~riacin con respecto al tiempo se llama simplemente velocidad. La velocidad en un movimiento rectilneo sumini stra un ejemplo sencillo. Consideremos el movimiento de un punto P (fig. 32) sobre la recta AB. Sea s la distancia medicta de

---' ~ la iz quierda. Qt: dimensiones darn la mxima rea impre sa?

Sol.

1.837 m por 1.225 m.

27. Una corriente elctrica fluye por un a bobina de radio r y ejerce una fuerza F so br e un pequeo imn. El eje del imn est en un a lne a que pasa por el ce ntro de la bobina y perpendicular al plano de sta. La fuerza viene x siendo x la distancia desde el centro ciada por la frmula F =(rZ

+ XZ) %'

d e la hobina ha sta el imn. Demos trar que F es mxima para x

= Y. r ,


96

CALCULO DIFERENCIAL

57. Puntos de inflexin. Un punto de inflexin en una curva es el que separa arcos que tienen su concavidad en sentidos opuestos (vase el Al't . 55 ) . En la figura 40, B es un punto de inflexin. Cuando el punto que describe una curva pasa por un punto de inflexin, la segunda derivada cambiar de signo en ese punto, y si es continua debe anu la.rse. Luego, necesariamente, se verifica la siguiente igualdad: (1) En puntos de inflexin, JI! (x) =

o.

Resolviendo la ecuacin que resulta de (1), se obtienen las abscisas de los puntos de inflexin. Para determinar el sentido de la concavidad cerca de un punto de inflexin, basta calcular JI! (x) para un valor de x un poco menor que la abscisa en y ese punto y despus para un valor un poco mayor que ella. Si JI! (x) cambia de signo, tenemos un punto de inflexin, y los signos que obtenemos determinan si en la vecindad o x del punto la curva es cncava hacia arriba o hacia abajo . F i g. 40 El lector debe observar que cerca de un punto donde la curva es cncava hacia arriba (como en A ) la curva est arriba de la tangente, y en un punto donde la curva es cncava hacia abajo (como en C ) la curva est debajo de la tangente. En un punto de inflexin (como en B) , es evidente que la tangente atraviesa la curva. A continuacin damos una regla para hallar los puntos de ~nflexin de la curva cuya ecuacin es y = j( x). La regla comprende tambin inst.rucciones para examinar el sentido de la concavidad.Se halla fl! (x ) . Se iguala a cero fl! (x) , se resuelve la ecuacin resu ltante y se cansi_ deran las Taces reales de la ecuacin . TERCER PASO. Se calcula fl!(x) , primero paTa valores de x un poco menores y despus un poco mayores, que cada una de las races obtenz:das en el segundo paso. Si f" (x) cambl:a de signo, tenemos un punto de inflexin. Cllando f" (x ) es positivo, la Cllrva es cncava hacia arriba 0 .* Cuando fl! (x) es negativo, la curva es cncava hacia al)ajo ~ . *PRIMEnPASO. SEGUNDO PASO .

., Una manera d e recordar fcilmente esta regla es tener present e que una v as ija qu e. tiene la forma de la c urva cn cav a hacia arriba re tendr (+) agua, y que u na cncava h acia abajo derramar (-) ag u a.


DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION

97

A veces conviene descomponer j" (x) en factores a ntes del tercer paso Se supone que 1'( x) y j" (x) son continuas. La resolucin del problema 2 que damos a continuacin ensea cmo se discute un caso donde j'(x) y j"(x) son infinitas.PROBLEMASHallar los puntos de infl exin y el sentido de la conca v idad de las sigui ent es cur v as:

1.

fj

= 3 x4

-

4 x3

+If (x)

Solucin.

=J

x4

-

4 x3

+ 1.

Primer paso . S egundo paso.

f /l(x ) = 36

X2 -

24 x .

36x

X2 -

24 x = O. = %y x = O f/1

son las races.

Tercer paso.

(x) = 36 x (x -

%) .

Cuando x Cuando

%>

x

< O. > O.

f/l ( x) f /l ( x )

+.

xF i g . 41 Lu ego la cur v a es cnca v a ha c ia arriba a la iz quierda d e x = O ( A e n la fi g ur a 41) Y c n cav a haci a abajo a la der echa d e es e punto. Cuando O < x Cuand o x

< %. > %.

f " ( x)(/1

(x )

+.2 (B en la fi-

Lu eg o la CUrva es cncava ha cia abaj o a la iz quierda de x

g ura 41) Y c n ca va hacia arriba a la d e rech a d e ese punto . P o r tanto . l os plinto s A ( O. 1) Y B (%. v, ) son p un tos d e i n f lex i n . E vid ent e m ent e la c u rva es c n cav a ha cia a ba jo e ntre A (O. 1) y R O'. )4 ;). y cOn Colv.l ha c ia a r r i b a en lo d os s u s p unto s sit uad os a l a iz qui e rd a d e A ya la derec ha d e H.


98 2.y

CALCULO DIFERENCIAL Hal l ar lo s pu nt os de inflexin yel se ntid o d e la concavidad de la curva(y -

2)

3

=

(x - 4) .

Solucin.Primer paso.

y = 2

+

(x - 4)

Y:I.

dY=.l(x - 4) -% . dx 3d ydX22

= _ ~ (x - 4) -%9

Fig. 42

S eg u n d o paso.

Cuando x ri vada como la segunda se v u el ven i nfinitas. Ter ce r pa so . C u and o x Cuando

= 4. tanto la p rim era de-

dX2 -

d y_

2

Lu ego. po demo s concluir que la tangente en (4. 2) es perpendicular al eje de las x; que a la izq ui erd a de (4. 2) la cur v a es cncava h acia arriba . y que a la d erec h a de (4. 2) es c nc ava hacia abajo. Por tanto . (4. 2 ) es un punto de in f lex i n. 3.4.!I =X2. X2.

Sol.

C n cava hacia arriba en todos sus p unto s. Cncava hacia abajo en todos su s p un tos. C n cava hacia abajo a la izquierda y cncava hacia arriba a la derec ha de (O. O). Cn cava hacia arriba en todos s u s p untos.

Y = 5 - 2 x !I = x 3 .

5.(i.

!I =

x'.3 -

7.

tJ

=2x

3

X2 -

3 x

+ 25.9.

Cncava hacia abajo a la iz quierda y c ncava ha cia arriba a la der ec ha d e x = ~.LJ = x

8.

!I

24x 2

-X 4 .

+L x

10.

y = x 2 +.l . x

58. Mtodo para construccin de curvas dadas por su ecuacin. E l mtodo elemental de construir una curva cuya ecuaClOn se da en coord enadas rectangulares, mtodo al que el estudian te est ya acosLumbrado, consiste en despejar de la ecuacin una de las variables, ?J (o x), da l' .valores arbitrarios a x (o y), calcular los valores correspondientes de y (o x), sealar en el papel los puntos respectivos, y trazar por ello s una curva suave ; el resulta do ser una aproximacin a la eurv:l. deseada. Ese procedimiento es en todo caso muy la borioso; y cua ndo la ecuacin de la curva es de grado superior al segundo, pucdp. se r que no sea posible despejar de la ecuacin el valor clE~ y o de x. Ordinariamente, todo lo qu e se desea es t.ene r una idea


DERIVADAS SUCESIVAS D E UNA FUNCION

99

r1 e la forma general de una curva, yel Clculo diferencial nos SUlninistra mtodos para poder determinar la forma de una curva con muy poco clculo numrico. La primera derivada nos da la pendiente de la curva en cualquier punto; la segunda derivada determina los intervalos dentro de los cuales la curva es cncava hacia arriba o hacia abajo, y los puntos dp. inflex in que separan estos intervalos; los puntos donde hay mximo son los puntos altos de la curva, y los puntos donde hay mnimo son los puntos bajos. Como gua en su trabajo puede el estudiante seguir la regla siguiente: Regla para construccin de curvas, empleando coordenadas rectangulares.PRIMER PASO. Se halla la primera derivada; se ~'guala a cero y se resuelve la ecuacin resultante al objeto de hallar las abscisas de los puntos mximos y minimos. SEGUNDO PASO. Se halla la segunda derivada; se iguala a cero y se resuelve la ecuacin resultante a fin de hallar las abscisas de los puntos de inflexin. TERCER PASO. Se calculan las ordenadas de los puntos cuyas abscisas se hallaron en los dos primeros pasos. Se determinan tantos otros puntos como se necesiten para tener una nocin suficientemente clara de la curva, Se construye una tabla tal como la que damos en el problema que se resuelve a continuacin. CUARTO PASO. Se sealan en un papel los puntos que se han determ1'nado, y se bosqueja la curva de manera de hacerla corresponder con los resultados de la tabla .

Si el clculo da valores grandes para las ordenadas, es mejor reducir la escala en el eje de las y de manera que la forma general de la curva se muestre dentro de los lmites del papel . Debe emplearse papel cuadriculado. Los resultados deben arreglarse en frma de tabla, como se hace en los problemas resueltos. En esa tabla los valores de x deben ordenarse de modo que sea.n algcbraiwmente crecientes.PROBLEMAS

Construir la s siguie nt es cu r vas, e m p leando la rcgb anterior. Hallar tambi n las ecuaciones de la tangente y la normal en ca d a punto de inflrx in.1.

Y = x:1 - 9 x2

+ 24

x -

7.


100 Solucin.y

CALCULO Siguiendo la regla dada

DIFERENCIAL en la pgina paso. x2-

anterior.-

tendremos: 18 x

Primer

y' = 3 x2

+ 24.

3

18 x

+ 24xyl!

= O.=

2. 4.18,

Segundo

paso.

= 6 x -

6 x Tercer paso. y'yl!

18

= O.

x = 3.Observaciones Sentido de la concavidad

~I_yx O 2 34

--

--

-7113 11

+O

-

O

mx. p t . de infl. mn.

~ ~

hacia

abajo

6

9 29

O + + +

hacia

arriba

Fig. mal tI)

43

Cuarto paso. Marcando los puntos y bosquejando la curva. obtenemos la figura 43. Para hallar las ecuaciones de la tangente y la nor-

a la curva en el p u n t o de inflexin PI (3. 11). aplicaremos y (2) del Articulo 43. Se obtiene 3 x y = 20 para

+

la

las frmulas tangente y

3 Y - x 2.

=

30 para= x3-

la normal.

3 Y

3 x2

-

9 x

+(-l. (l.

11. 1%); mino O); tangente. 1 = O.-

Sol.

Mx. xin. x -

(3. _1%); punto de infle4 x y - 4 = O; normal.

+

4 Y -

3.

6 Y = 12 - 24 x Sol. Mx. xin.

15 x2(-l.

2 x3.2%): IX2). mino (-4. -%); punto de infle-

(-%.(O. O);

4.

Y

x4

-

8 x2Sol. Mx. xin mino(2.

-lb);

puntos

de

infle-

(%V3,_8%).(1. 4): O). mino (-1. -4); punto de inflexin.

5.

Y

= 5 x - x5Sol. _ 6 x x2 Mx. (O.

6.

y

-

+3.Sol.

M x

.

(V3,

vi -; ):(-3,

mi n .

(-

vl3, - vl3 ) ;(O. O).(3.

pun-

tos de inflexin

-Y,).

Y,).

9.3y=4x3-18x2+15x. 8.y == 1\

+3

x - x3.

10.

y=(x-a)3+b.


DERIVADAS 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.12y=(x-l)4-14(x-I)".

SUCESIVAS

DE UNA 19. 20. 21.a2y

FUNCIONx3

101

Yt}

Y

= = =

x2 (9 - X2) .

=

+~. x + aS. 2x a3 a2

2 x5 3 x5 -

5 x2. 5 x3.

a2y = x3

y = x5 y=x(x2-4)2. ay

5 x4.

y=

8x2 x

+4

= =

x2 x2

a4 +-. x2

22. 23. 24.

Y = x2y X3y

(x

+ a)'x3

ay

2 a + --o x

3

= (x2+1)2.

+ 16 Y

=

O.

59. Aceleracin en un movimiento rectilneo. En el Artculo 51 hemos definido la velocidad en un movimiento rectilneo como la rapidez de variacin de la distancia con respecto al tiempo Ahora definimos la aceleracin como la rapidez de variacin de la velocidad con respecto al tiempo. Es decir, por definicin,(A) dv A ce1 eracron = a = dt '

De (e), del Artculo 51, obtenemos tambin, por ser v= ~~, que(B)

Segn los Artculos 45 , 47 Y 56, tenemos los siguientes criterios que se aplican a un instante t = te . Si a> O, v aumenta Si a Si a Si a (algebraicamente).

< O, v disminuye (algebraicamente). > O Y v = O, s tiene un valor mnimo.< O Y v = O, s tiene un valor mximo.

Si a = O y cambia de signo de + a - (de - a +) cuando t pasa por to , entonces v tiene un valor mximo (mnimo) cuando t = lo En tan te . de la segn un movimiento As, en el caso gravedad, a = (2) del Artculo s = 4,9 t2, rectilneo uniformemente acelerado, a es COTlS-de un cuerpo que cae libremente bajo la accin 9,8 ll1 por segundo por segundo. Es docir , 51 ,v

= dt-

d;

= 9,8

l,

a

= dt = 9,8.

dv


102

CALCULO

DIFERENCIAL

PROBLEMAS 1. Se ha averiguado, experimentalmente, que si un cuerpo cae libremente desde el reposo en el vaco, cerca de la superficie de la Tierra, obedece aproximadamente a la ley s = 4,9 t2, siendo s el espacio (la altura) en metros, y t el tiempo en segundos. Calcular la velocidad y la aceleracin, a) en un instante cualquiera; b) al final del primer segundo; e) al final del quinto segundo. Solucin. (1) s

=

4,9 t2

a)

Derivando, (e) del Art.

~ = 9,8 t. dt

o sea, segn Deri vando o sea, por

51.

(2)

udu dt

= = =

9,8 9,8,

m por segundo.

ota vez, del articulo anterior, (3)

(A)

a

9,8 m por

(seg.)

2,

lo que nos dice que la aceleracin de un cuerpo que cae es constante; en otros trminos, la velocidad aumenta 9,8 m por segundo en cada segundo que cae. b) Para hallar u y a al final del primer segundo, bastar sustituir t = I en (2) y (3). Tendremos:

ue) (2)y

=

9,8 m por segundo,

a

=

9,8 m por segundo,

(seg.)

2.

Para (3).

hallar

u y a al final

del quinto

sustituiremos

5

en

Entonces, Dadas recorrido,

u

=

49 m por segundo,

a

=

9,8 m por

(seg.)

2.

las siguientes la velocidad

ecuaciones de movimientos rectilineos, y la aceleracin en el instante indicado. r;2 ;;

calcular

el espacio

2.

s

=

4

/2

-6

=t

2.

Sol.4.

s s

= =

4, 224, 32,

u = 10, a = 8. u= -8, u = O, u = 6. u = 7!,u a u - 32.

3. s - 120 t - 16 4. 5. x=Y 32/

=

- 8-2

t2

= 2.

x=

= = O.

16.

= 6t

2

3. ,

1.

y= 4.s

6. s 7. 8.9.

= __ t_.

+l'

t

= 2.tt2 ;

= %'

a

= - "h.

x=

16t2-20t+4;

= =

2. 3.

Y = 100- 4 t - 8 s =s

vI-

5

t

10 +--. vl5i' t

t = 5.2.

10.

=

~Tt+;

=


DERIVADAS En los siguientes 11. 12.ti

SUCESIVAS calcular O.

DE

UNA

FUNCION en el instante 2

103 indicado. \.

problemas. 32 t; t

la aceleracin -32. 13.

=

80 -

=

Sol.

ti=4t2-lOt;

t=2.

6.

ti

-

"I""+l;

Dadas las siguientes ecuaciones de movimientos rectilneos. cio recorrido y la aceleracin en el instante en que la velocidad mera vez.

c a lc u l a r el espase anula por pri-

14. 15. 16.18.

s s s

=

16 t2

-

64 t + 64. 16 t 2.

Sol. 17.s

s

= O.

a = 32.

= =

120 t -

=

5

3

c2t

_.(3.

t+~.

t+1 segn la ley

Una

pelota

que se lanza

directamente s = 25 ( 5

hacia(2.

arriba

se mueve

si s se mide en metros y t en segundos. Hallar: a) su posicin y velocidad despus tres segundos; b) hasta qu alt u ra asce n de r : en el cuarto segundo. 19. Si la ecuacin que la aceleracin

de dos segundos y despus de c) a qu distancia se mover

t rese

de un movimiento rectilneo es s = v'l+T. dcm u ses negativa y proporcional al cubo de la ve loc idad.

20. La altura (s m) alcanzada en ( segundos por un cuerpo ia n z a d o ve r ticalmente hacia arriba con velocidad de til m por segundo. est dada por la frmula cuerpo s = tilt alcanza. -} gt2 Obtener una frmula para la mayor altura que el

21. En el problema anterior. supngase VI = 50. 9 = 10. a) la velocidad al final de cuatro segundos y al final de seis segundos; distancia recorrida durante el cuarto segundo y durante el sexto.22. s Un coche(4

Ca lc ul a r :b)

la

hace

un

recorrido.

en

10 minutos.

movindose a) e)

segn

la ley

=

100 t 2 -

2"'

i n d'o t en minutos miid ie

y s en metros. mxima? mxima? 770 m por

Q'ue dii st a n c t. a distancia e) 2778m ha

recorre el coche? b) Cul es su velocidad recorrido el coche cuando alcanza su velocidad Sol. a) 5000 m; b)

Qu

minuto;

PROBLEMAS1. Construir nes de la tangente la curvay la normal

ADICIONALESy hallar

(4 - 2 x + x~) y = 2 x - x2 en cada punto de inflexin. (1. ")I;). Punto de inflexin

las e c unc iotangen-

Sol.

Mx.

(O. O):

te. x - 2 Y = O; normal. inflexin (2. O): tangente. mal. 2 x - y - 4 = O.

2 x + y = O. Punto de x + 2 Y - 2 = O: nor-


104

CALCULO DIFERENCIAL

2. Cierta curva (la tract r iz) es tal que la longitud de cada ta n gente desde su punto de co ntacto P (x, y) hasta su interseccin A con el eje de las x es la constante e (AP = e). D emo strar :

a)

dy = dx

y_

v' c2

. y2 '

b)

3. Determinar el valor d e k de manera que las n orma les en l os p untos d e inflexin de la curva y = k (x 2 - 3) 2 pasen por e l origen. I

Sol.

k

=

4v'2'


CAPITULO

VIIAPLICACIONES

DERIV ACION DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

Ahora consideraremos

funciones como 3x, log (1

sen 2 x,

+ X2)

, de las funciones

que se llaman funciones trascendentes para distinguirlas algebraicas que hemos estudiado hasta aqu.

60. Frmulas de derivacin; lista segunda. Las siguientes frmulas, que se agrupan aqu para referencia cmoda, se demostrarn en este captulo. Estas y las dadas en el Artculo 29 abarcan todas las frmulas para derivadas que se emplearn en este libro.

X Xa XI XI a XII XIII XIV

d - (In v) dx d -(log dx v)

=

dv dx v

1 dv = - -.

v dx

(In v = log, v)

=

log e dv ---o v dx

d - (a") dx d - (ev) dx d - (u'V) dx

= aV In a -

dv . dx

=

e

V

-

dv dxdu

= vuv-1-

dx

+ In

u uv- dx'

dv

d dv dx [sen v) ~ cos v dx . dv d dx [cos v) := - sen v dx '


106

CALCULO DIFERENCIAL

xvXVI XVII XVIII XIX

d dx (tg v)

=

see

2

V

dv dx .

d dv dx (etg v) = - ese 2 v dx . d dv dx (see v) = see v tg v dx . d dx (ese v)

= -

dv ese v etg v dx .

d dv dv vers v = sen v dx .

XX

dv d dx -d (are sen v) = _ /XV

1_v2

XXI

-d (are eos v) = - _ / x ' v1-v2

d

dv dx

XXII

dv d dx dx (are tg v) = 1 + v2 . dv d dx dx (are etg v) = - 1 + v2 dv dv

XXIII

XXIV

-d (are see v)X

= _/Vv

div2 -1dv

.

XXV

-d (are ese v) = -

d

x

dx _/ vvv2-1dv

.

XXVI

-d (are vers v)

d

x

=

dx

calculo diferencial e integral - granville.pdf

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