calculo diferencial e integral 1

Bachillerato Alexander Bain

NOTAS PARA EL CURSO DE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Alberto Ramírez de Aguilar Wille

Ciclo Escolar 2014 - 2015

Cálculo Diferencial e Integral

2

Índice

Cálculo Diferencial e Integral I

1.- Desigualdades.

Desigualdades Lineales. 6

Método de la Tabla Para Resolver Desigualdades. 7

Ejercicios. 11

2.- Funciones

Definición de Función. 12

Operaciones Elementales entre Funciones. 13

Cálculo del Dominio de una Función a partir de su Ecuación. 14

Rango de una Función. 16

Funciones Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas. 16

Función Inversa. 17

Cálculo del Rango de una Función a partir de su Inversa. 18

Gráfica Asociada a una Función. 19

Método Gráfico para Determinar si una Función es Inyectiva. 21

Funciones Polinomiales y Racionales. 23

Funciones Exponenciales y Logarítmicas. 24

Funciones Trigonométricas. 26

Transformaciones. 31

Funciones Definidas por Pedazos. 34

Ejercicios. 36

3.- Límites.

Definición de Límite. 40

Límites en Caso de Contradicción. 40

Límites al Infinito. 41

Límites en Caso de Indeterminación. Límites Laterales. 42

Método de Cambio de Variable. 44

Ejercicios. 46

4.- Cálculo Diferencial.

Definición de Derivada. 48

Derivada Por Los Cuatro Pasos. 48


Fórmulas de Derivadas. 50

La Regla de La Cadena 52

Ejemplos Diversos. 57

Ejercicios. 59

5.- Optimización. Cálculo de Máximos y Mínimos de una Función.

Pasos para Encontrar los Máximos y Mínimos de una Función. 61

Aplicaciones a la Economía (Decisiones de Empresas) 64

Aplicaciones a la Economía (Decisiones de Consumidores) 67

Ejercicios. 71

6.- Análisis Marginal.

Cambios Marginales. 74

Análisis Marginal y Derivadas. 74

Ejercicios. 76

7.- Método de Aproximación de Taylor.

Polinomio de Taylor. 78

Polinomios de Taylor más Utilizados. 79

Ejercicios. 81

8.- Método de Newton – Raphson

Teorema del Valor Intermedio. 82

Fórmulas Recursivas. 83

Método de Newton- Raphson. 83

Resolución de Ecuaciones con el Método de Newton – Raphson. 86

Ejercicios. 87

9.- Interpolación de Spline.

Planteamiento de las Ecuaciones de Spline. 88

Obtención de las Ecuaciones de Spline. 88

Ejemplo. 90

Ejercicios. 92


4

10.- Cálculo de Rectas Tangentes.

Ecuación Punto – Pendiente. 94

Cálculo de Rectas Tangentes. 94

11.- Graficación con Cálculo Diferencial.

Pasos a Seguir. 96

Ejemplos. 96

Cálculo Diferencial e Integral II

12.- Introducción al Cálculo Integral.

Teorema Fundamental del Cálculo. 103

La Constante. 104

Propiedades de las Integrales. 104

Integrales Directas. 105

Ejercicios. 108

13.- Técnicas de Integración. Integrales Por Sustitución y Por Partes.

Integrales Por Sustitución. 109

Integrales Por Partes. 111

Integrales Por Partes (Telescópicas) 114

Casos Especiales. 115

Ejercicios. 117

14.- Técnicas de Integración. Integrales Por Sustitución Trigonométrica y Por Fracciones

Parciales.

Integrales Por Sustitución Trigonométrica. 120

Integrales Por Fracciones Parciales. 127

Ejercicios. 133

15.- Áreas y Volúmenes de Revolución.

Teorema Fundamental del Cálculo Integral. 136

Área entre Curvas. 139

Volúmenes de Revolución. 142

Integrales Impropias. 144

Ejercicios. 147


16.- Aplicaciones del Cálculo Integral.

Excedente del Consumidor. 149

Cálculo de la Constante de Integración. 151

Ejercicios. 153

Tema Adicional: Integrales Trigonométricas 155

Apéndice: Fracciones. 160

Bibliografía. 162


6

Desigualdades

Desigualdades Lineales

Una desigualdad es una relación de orden entre dos números (o variables) donde se

expresa que uno de esos dos elementos es mayor que el otro. Para expresar esta

relación simbólicamente utilizamos el signo <ó > . Así, 𝑎 < 𝑏 significa 𝑎 es menor que 𝑏.

Mientras que 𝑎 > 𝑏 significa que 𝑎 es mayor que 𝑏.

Normalmente utilizamos desigualdades que involucran una ecuación o una función.

Resolver una desigualdad significa encontrar todos los posibles valores de la variable que

cumplen la desigualdad. Cuando estamos utilizando funciones también podemos usar los

símbolos ≤ (menor o igual) y ≥ (mayor o igual). Un ejemplo de una desigualdad es

𝑥2 − 2𝑥 + 1 > 0

En este caso, buscamos todos los valores de 𝑥 tales que 𝑥2 − 2𝑥 + 1 sea positivo.

Para poder expresar todos los valores de la variable que satisfacen la desigualdad

debemos usar la notación de intervalos.

Recordemos que un intervalo de números reales es un segmento de la recta real, para

denotar a un intervalo podemos usar corchetes [𝑎, 𝑏] o paréntesis (𝑎, 𝑏). Si dentro del

intervalo queremos considerar a los dos extremos (en este caso son 𝑎 𝑦 𝑏), entonces

utilizamos corchetes, esto significa que el intervalo incluye a éstos dos números. Éste tipo

de intervalos se conocen como intervalos cerrados. Si dentro del intervalo no queremos

considerar a los extremos, entonces utilizamos paréntesis. Éste tipo de intervalos son

intervalos abiertos.

Entonces resolver la desigualdad significa dar un intervalo (abierto o cerrado) de valores

de la variable que al aplicarse a la ecuación, cumplen la desigualdad.

Ejercicio. Resolver la desigualdad 5𝑥 − 20 > 0

Para encontrar qué valores de 𝑥 cumplen esta desigualdad, lo único que debemos hacer

es despejar utilizando las reglas que ya conocemos.

5𝑥 − 20 > 0 ⇒ 5𝑥 > 20 ⇒ 𝑥 > 20

5 ⇒ 𝑥 > 4

Por lo tanto toda 𝑥 que sea mayor que cuatro, cumple con esta desigualdad. Por lo tanto

la solución de esta desigualdad es

5𝑥 − 20 > 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (4,∞)


Ejercicio. Resolver la desigualdad 3𝑥 − 20 ≥ 5𝑥 + 15

Para poder resolver esta desigualdad, podemos convertir esta expresión en una ecuación

que sea mayor o igual que cero

3𝑥 − 20 ≥ 5𝑥 ∓ 15 ⇒ 3𝑥 − 20 − 5𝑥 − 15 ≥ 0 ⇒ −2𝑥 − 15 ≥ 0

Ahora si, al igual que en el caso anterior, despejamos a la variable

−2𝑥 − 15 ≥ 0 ⇒ −2𝑥 ≥ 15

El siguiente paso es pasar dividiendo por −2, pero debemos recordar, que una regla de

las desigualdades es que si pasamos multiplicando o dividiendo por un número negativo,

la desigualdad se voltea. Entonces

−2𝑥 ≥ 15 ⇒ 𝑥 ≤ −15

2

Por lo tanto

3𝑥 − 20 ≥ 5𝑥 + 15 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞ ,15

2]

Método de la Tabla para Resolver Desigualdades

El método de la tabla es una herramienta muy útil para resolver desigualdades en donde

aparecen ecuaciones de segundo grado o de grado mayor (Es decir hay una variable

elevada al cuadrado o a una potencia mayor). Los pasos para utilizar el método de la

tabla son los siguientes:

1. Poner la desigualdad de tal manera que de un lado queden todas las variables y

del otro lado sea cero.

2. Factorizar la ecuación

3. Encontrar las raíces de la ecuación

4. Crear una tabla poniendo en un renglón distinto a cada polinomio que forma parte

de la ecuación ya factorizada

5. En las columnas de la tabla, colocar intervalos que tengan en los extremos a las

raíces de la función y que estén ordenados

6. En cada intersección de renglón con columna, escribir si el polinomio que está en

el renglón es positivo o negativo en el intervalo que está en la columna

7. Al final, multiplicar de manera vertical y anotar si el resultado es positivo o negativo

8. Escribir el resultado final


8

Descritos así los pasos, pueden sonar complicados, por eso a continuación se ponen

varios ejemplos para que quede más claro.

Ejercicio. Resolver la desigualdad (𝑥 − 4)(𝑥 + 10) > 0

Para resolver esta desigualdad, debemos usar el método de la tabla ya que tenemos una

ecuación de segundo grado.

Notemos que ya para esta desigualdad, no debemos hacer los dos primeros pasos

porque ya la ecuación esta factorizada y despejada.

Busquemos entonces las raíces de la función

(𝑥 − 4)(𝑥 + 10) = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 4 ó 𝑥 = −10

Ahora construyamos la tabla, usando estas raíces y como se indica en los pasos a seguir

(−∞,−10)

(−10, 4)

(4,∞)

𝑥 − 4

Negativo

Negativo

Positivo

𝑥 + 10

Negativo

Positivo

Positivo

Ahora multiplicamos verticalmente

(−∞,−10)

(−10, 4)

(4,∞)

𝑥 − 4

Negativo

Negativo

Positivo

𝑥 + 10

Negativo

Positivo

Positivo

(𝑥 − 4)(𝑥 + 10)

Positivo

Negativo

Positivo


Por lo tanto la solución de esta desigualdad es

(𝑥 − 4)(𝑥 + 10) > 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞,−10) ∪ (4,∞)

Ejercicio. Resolver 𝑥2 − 2𝑥 > 3𝑥 − 4

Primero, debemos despejar la desigualdad para que nos quede de la forma mayor o igual

que cero

𝑥2 − 2𝑥 > 3𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥2 − 5𝑥 + 4 > 0

Ahora, hay que factorizar esta ecuación

𝑥2 − 5𝑥 + 4 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 1)

Entonces buscamos resolver la desigualdad (𝑥 − 4)(𝑥 − 1) > 0

Las raíces de esta ecuación, son claramente 𝑥 = 4 y 𝑥 = 1 ya que son los valores que

hacen que (𝑥 − 4)(𝑥 − 1) sea cero. Construyamos la tabla

(−∞, 1)

(1,4)

(4,∞)

𝑥 − 4

Negativo

Negativo

Positivo

𝑥 − 1

Negativo

Positivo

Positivo

(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)

Positivo

Negativo

Positivo

Por lo tanto

𝑥2 − 2𝑥 > 3𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (4,∞)


10

Ejercicio. Resolver la siguiente desigualdad

9 − 𝑥

3𝑥 + 1< 5

Ahora, como aparece una división en la desigualdad, lo que debemos hacer es poner de

un lado del desigual un cero y luego simplificar el otro lado sumando las fracciones.

9 − 𝑥

3𝑥 + 1− 5 < 0 ⇒

9 − 𝑥 − 15𝑥 − 5

3𝑥 + 1< 0

4 − 16𝑥

3𝑥 + 1< 0

Ahora, encontramos las raíces de los polinomios que aparecen en la desigualdad. Estas

son 𝑥 = 4 𝑦 𝑥 = −1/3. Después construimos la tabla

(−∞,−1

3)

(−1

3, 4)

(4,∞)

4 − 16𝑥

Positivo

Positivo

Negativo

3𝑥 + 1

Negativo

Positivo

Positivo

4 − 16𝑥

3𝑥 + 1

Negativo

Positivo

Negativo

Por lo tanto

9 − 𝑥

3𝑥 + 1< 5 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞,−

1

3) ∪ (4,∞)


Ejercicios

1.- Resuelve las siguientes desigualdades

a) 8𝑥 − 4 < 10

b) 9 + 𝑥 ≥ 3𝑥 + 10

c) 4 ≤3−4𝑥

4< 9

d) |𝑥 − 1| ≤ 10

e) |5−𝑥

20| ≥ 5

2.- Resuelve las siguientes desigualdades utilizando el método de la tabla.

a) 𝑥2 − 4 ≤ 12

b) 2𝑥2 + 4𝑥 > 𝑥2 + 32

c) 𝑥2 + 4𝑥 + 50 ≤ 2𝑥2 + 5𝑥 − 160

d) 𝑥3 − 100𝑥 > 0

e) 8𝑥−1

𝑥+3 ≤ 10

f) 𝑥+1

𝑥−1> 2

g) 5𝑥+1

5𝑥> 1

h) |2−𝑥

𝑥+1 | ≤ 1

i) |𝑥2 − 𝑥| ≤ 2

j) 𝑥3 − 𝑥 > 4𝑥2 − 4


12

Funciones

Definición de Función

Una función 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 es una regla de correspondencia entre el conjunto A y el B donde a

cada elemento de A se le asigna exactamente un elemento del conjunto B. Al conjunto A

se le conoce como dominio de la función (Denotado como 𝐷(𝑓) ). Al conjunto B se le

conoce como contradominio de la función (Denotado como 𝐶(𝑓) ). Para expresar la

relación entre un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 y un elemento 𝑏 ∈ 𝐵 se escribe 𝑓(𝑎) = 𝑏, esto significa

que 𝑎 𝑦 𝑏 están relacionados a través de la función f.

Hay varias maneras de escribir la regla de correspondencia entre los dos conjuntos: si el

conjunto no es muy grande, entonces se puede escribir uno por uno el elemento de B que

le corresponde a cada elemento de A. Por ejemplo si 𝐴 = { 1 , 2 , 3} y 𝐵 = { 𝑎 , 𝑏, 𝑐} una

función entre A y B podría ser tal que

𝑓(1) = 𝑏 𝑓(2) = 𝑎 𝑓(3) = 𝑐

Otra manera de describir a una función es con un diagrama. La manera como se

describiría la función anterior es la siguiente:

En los diagramas, la flecha que va del conjunto A al B representa la correspondencia que

tiene cada elemento de A con un elemento de B.


La manera más común de representar una función es la manera algebraica (o analítica),

es decir escribir la función como una ecuación. Esta forma no siempre se puede, para

poder usar la manera algebraica lo primero que necesitamos es que A y B sea un

conjunto de números. Si tomamos 𝐴 = { 1, 2, 3, 4, 5} y 𝐵 = { 2,3,4,5,6}, un ejemplo de una

función entre A y B representada de la forma algebraica es

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

Para saber con qué elemento de B está relacionado cada elemento de A, simplemente

debemos evaluar la función sustituyendo la x por el elemento de A.

Las funciones con valores reales son aquellas que tienen como dominio y rango a ℝ , el

conjunto de los números reales. Como el conjunto de los números reales es un conjunto

con infinitos elementos, la única forma de expresar una función que toma valores reales

es la manera analítica. A partir de ahora nos dedicaremos a estudiar solamente las

funciones que toman valores reales.

Operaciones Elementales entre Funciones

Hay algunas operaciones básicas entre funciones. La primera es la suma, dadas dos

funciones 𝑓: ℝ → ℝ , 𝑔 ∶ ℝ → ℝ definimos la suma como

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

Entonces la suma de funciones no es otra cosa que la suma de la correspondencia de 𝑥 a

través de 𝑓 𝑦 𝑔. Por ejemplo si

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2

La suma entre 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) es otra función , a la que llamaremos ℎ(𝑥) , definida como

ℎ(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1

De manera similar, podemos restar, multiplicar y dividir funciones de esta manera:

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑔(𝑥) ≠ 0

Es importante notar que al aplicar estas operaciones entre dos funciones estamos

obteniendo otra función con distinta ecuación algebraica. Por ejemplo el producto entre

𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) , llamado 𝑠(𝑥) , sería

𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑥2(3𝑥 + 1) = 3𝑥3 + 𝑥2


14

La operación más importante que existe entre dos funciones es la composición. Dadas

dos funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) ,la composición de 𝑔 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 es

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

Es decir, la composición entre dos funciones es evaluar una en la otra. Es importante

notar que (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ≠ (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) generalmente. Con las siguientes funciones calculemos

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) 𝑦 (𝑔𝑜𝑓)(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 4

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = (5𝑥 − 4)2 = 25𝑥2 − 40𝑥 + 16

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 5(𝑥2) − 4 = 5𝑥2 − 4

También se puede componer una función con ella misma. Se denota 𝑓𝑛(𝑥) , donde n es el

número de veces que se compuso a la función f con ella misma. Por ejemplo 𝑓4(𝑥) =

𝑓 (𝑓(𝑓(𝑓(𝑥)))). Si 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥 calculemos 𝑓2(𝑥) :

𝑓2(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) =

𝑥 + 1𝑥 + 1

𝑥 + 1𝑥

=

2𝑥 + 1𝑥

𝑥 + 1𝑥

= 𝑥(2𝑥 + 1)

𝑥(𝑥 + 1)= 2𝑥 + 1

𝑥 + 1

Entonces 𝑓2(𝑥) = 2𝑥+1

𝑥+1.

Cálculo Del Dominio De Una Función A Partir De Su Ecuación

No siempre el dominio de una función son todos los números reales. A veces puede ser

que sea imposible evaluar la función en ciertos números. Si tenemos la función expresada

de la manera analítica, podemos fácilmente encontrar el dominio de la función.

Una de las operaciones matemáticas más utilizadas es la división. Sin embargo, hay una

regla fundamental de la división: NO se permite dividir un número entre cero. Entonces, si

tenemos una función con una división, el valor de x que hace que el denominador se

vuelva cero no puede formar parte del dominio de la función.

Por ejemplo si 𝑓(𝑥) = 4𝑥+1

𝑥−7 , el valor de x que hace que el denominador se vuelva cero es

𝑥 = 7. Entonces 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 7 }.


Ejercicio. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−1

𝑥+1 encontrar el dominio de 𝑓2(𝑥).

𝑓2(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) =

𝑥 − 1𝑥 + 1 − 1

𝑥 − 1𝑥 + 1

+ 1=

𝑥 − 1 − 𝑥 − 1𝑥 + 1

𝑥 − 1 + 𝑥 + 1𝑥 + 1

= (𝑥 + 1)(−2)

(𝑥 + 1)(2𝑥)= −

2

𝑥

El único valor que hace al denominador valer cero es 𝑥 = 0. Por lo tanto

𝐷(𝑓2(𝑥)) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 0 }

Notemos que 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ −1} , por lo tanto, el dominio de una función y de la

composición de ella misma no tienen que ser iguales.

La raíz cuadrada de un número 𝑥 , es un número real 𝑦 tal que 𝑦2 = 𝑦𝑦 = 𝑥 (Normalmente

se denota a 𝑦 como √𝑥 ). Pero entonces, ningún número negativo puede tener raíz

cuadrada porque siempre el producto de dos números negativos es positivo. No existe

ningún número real negativo que al multiplicarlo por sí mismo de como resultado un

número negativo. Entonces, si tenemos una función que tenga una raíz cuadrada,

debemos eliminar del dominio todas las x tales que el argumento de la raíz sea negativo.

Por ejemplo si 𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 16 busquemos todos los valores de x tales que 4𝑥 − 16 ≥

0. Sólo las x que cumplan esta propiedad pueden formar parte del dominio de la función.

4𝑥 − 16 ≥ 0 ⇒ 4𝑥 ≥ 16 ⇒ 𝑥 ≥ 4

Entonces 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 4 }. También podemos escribir al dominio de 𝑓(𝑥) como

𝐷(𝑓) = [4 ,∞)

Ejercicio. Dar el dominio de 𝑓(𝑥) = √𝑥−10

(𝑥−15)(𝑥+10)

Para encontrar el dominio de esta función necesitamos dos cosas: Que el denominador

no sea cero para ninguna x y que además el argumento de la raíz no sea negativo.

𝑥 − 10 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 10

(𝑥 − 15)(𝑥 + 10) = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 15 ó 𝑥 = −10

Como necesitamos que se cumplan ambas cosas a la vez, el denominador sólo va a ser

cero cuando x = 15 ya que x no puede valer -10 porque si lo hiciera el argumento de la

raíz sería un número negativo. Por lo tanto

𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 10 𝑦 𝑥 ≠ 15 }


16

Rango de una Función

El rango (o imagen) de una función son todos los elementos del contradominio tales que

existe un elemento del dominio con el que están relacionados. Se denota 𝑅(𝑓).

𝑅(𝑓) = { 𝑏 ∈ 𝐶(𝑓) | ∃ 𝑎 ∈ 𝐷(𝑓) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑎) = 𝑏 }

No necesariamente el contradominio de una función tiene que ser igual al rango. Por

ejemplo si 𝑓(𝑥) = 1 (esta es la función constante igual a uno donde a todo número real se

le asocia el 1) el contradominio de una función con valores reales es ℝ y sin embargo

para esta función 𝑅(𝑓) = {1}. En este caso 𝐶(𝑓) ≠ 𝑅(𝑓).

Funciones Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas

La definición de una función nos indica que para que una regla de correspondencia sea

función, a cada elemento del dominio lo debe de relacionar con exactamente un elemento

del contradominio. Pero esta definición no dice que a un elemento del contradominio se le

tiene que asociar exactamente un elemento del dominio. Puede haber varios elementos

del dominio que a través de la función estén relacionados con el mismo elemento del

contradominio.

Decimos que una función es Inyectiva cuando para cada elemento 𝑏 ∈ 𝑅(𝑓) existe un

único elemento en el dominio, 𝑎 ∈ 𝐷(𝑓), tal que 𝑓(𝑎) = 𝑏 . En otras palabras, una función

es inyectiva si cada vez que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑐) tenemos que 𝑎 = 𝑐 .

Un ejemplo de una función no inyectiva es 𝑓(𝑥) = 1 , la función constante igual a uno.

Esta función no es inyectiva porque 𝑓(1) = 𝑓(2) = 1 y sin embargo 1 ≠ 2.

Ejercicio. Determinar si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 es o no inyectiva.

Lo primero que debemos hacer es encontrar 𝑅(𝑓). Para esto recordemos que el cuadrado

de un número siempre es mayor o igual a cero. No hay ningún número real que al elevarlo

al cuadrado nos dé un número negativo. Por lo tanto

𝑅(𝑓) = { 𝑦 ∈ ℝ |𝑦 ≥ 0 } = [0 ,∞)

Por otro lado, 𝐷(𝑓) = ℝ ya que todo número puede ser elevado al cuadrado. Además

sabemos que

𝑎2 = (−𝑎)2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎 ∈ ℝ

Por lo tanto esta función no es inyectiva, porque para todos los elementos en el rango que

sean positivos hay dos valores en el dominio que al aplicarles la función van a dar a ese

elemento. Por ejemplo

𝑓(1) = 𝑓(−1) = 1 𝑓(2) = 𝑓(−2) = 4 𝑓(√2 ) = 𝑓(−√2 ) = 2


Decimos que una función es Suprayectiva cuando 𝐶(𝑓) = 𝑅(𝑓). En el ejemplo anterior,

𝑓(𝑥) = 𝑥2, no es suprayectiva porque 𝐶(𝑓) = ℝ y 𝑅(𝑓) = [0 ,∞).

Decimos que una función es Biyectiva cuando es Inyectiva y es Suprayectiva. Saber si

una función es inyectiva o suprayectiva no siempre es tan fácil. En primer lugar porque

calcular el rango de una función no es tan fácil como calcular el dominio. La manera más

sencilla de saber si una función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva es utilizando el

método gráfico que estudiaremos más adelante.

Función Inversa

Sea 𝑓(𝑥) una función que toma valores reales. La función 𝑔(𝑥) es la inversa de 𝑓(𝑥) si

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 𝑦 (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥

A la función 𝑔(𝑥) normalmente se le denota como 𝑓−1(𝑥).

La función inversa se llama así porque hace exactamente lo contrario que 𝑓(𝑥). Un

ejemplo de una función inversa es la función raíz cuadrada 𝑓(𝑥) = √𝑥 . Esta función es la

inversa de 𝑔(𝑥) = 𝑥2 , porque

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = √𝑥2 = 𝑥2/2 = 𝑥

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = (√𝑥)2 = 𝑥2/2 = 𝑥

Esta es una prueba de que elevar al cuadrado y sacar raíz cuadrada son procesos

contrarios.

La manera más fácil de encontrar la inversa de una función es la técnica de cambio de

variable. Esta consiste en llamar 𝑦 = 𝑓(𝑥) , intercambiar las variables de tal forma que 𝑥 =

𝑓(𝑦) y despejar la 𝑦 para que nuevamente 𝑦 sea una función de 𝑥. El resultado de este

despeje es la función inversa 𝑓−1(𝑥).

Ejercicio. Encontrar la inversa de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5. Además dar 𝐷(𝑓−1).

Usaremos la técnica de cambio de variables. Sea 𝑦 = 𝑥2 − 5, ahora cambiamos los

papeles de x e y. Ahora 𝑥 = 𝑦2 − 5 . Después despejamos 𝑦.

𝑥 = 𝑦2 − 5 ⇒ 𝑥 + 5 = 𝑦2 ⇒ 𝑦 = √𝑥 + 5

Por lo tanto 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 5 . Comprobemos que esta función efectivamente es la

inversa de 𝑓(𝑥)

(𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥) = (√𝑥 + 5 )2 − 5 = 𝑥 + 5 − 5 = 𝑥

(𝑓−1 𝑜 𝑓)(𝑥) = √𝑥2 − 5 + 5 = √𝑥2 = 𝑥


18

Para encontrar 𝐷(𝑓−1), necesitamos que el argumento de la raíz sea positiva o cero.

𝑥 + 5 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −5

Por lo tanto 𝐷(𝑓−1) = [−5 ,∞).

Ejercicio. Encontrar la inversa de 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1

𝑥−1

Sea 𝑦 = 2𝑥+1

𝑥−1 . Cambiando las variables 𝑥 =

2𝑦+1

𝑦−1 . Despejemos y

𝑥 = 2𝑦 + 1

𝑦 − 1 ⇒ 𝑥(𝑦 − 1) = 2𝑦 + 1 ⇒ 𝑥𝑦 − 𝑥 = 2𝑦 + 1

⇒ 𝑥𝑦 − 2𝑦 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑦(𝑥 − 2) = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 1

𝑥 − 2

Por lo tanto 𝑓−1(𝑥) = 𝑥+1

𝑥−2 .

Cálculo del Rango de una Función a partir de su Inversa

Como ya habíamos dicho, encontrar el rango de una función no es tan fácil como calcular

su dominio. La manera más fácil de encontrar el rango de una función es a partir de su

inversa. Esto se debe a que

𝐷(𝑓) = 𝑅(𝑓−1) 𝑦 𝑅(𝑓) = 𝐷(𝑓−1)

Es decir, el dominio de una función es igual al rango de su inversa, mientras que su rango

es igual al dominio de la función inversa.

Ejercicio. Dar el dominio y rango de 𝑓(𝑥) = 3𝑥−2

𝑥−4

Para el dominio, busquemos el valor de x tal que el denominador sea cero. Este valor es

𝑥 = 4 . Por lo tanto 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 4} .

Para encontrar el rango, busquemos la inversa de f(x).

𝑥 = 3𝑦 − 2

𝑦 − 4 ⇒ 𝑥(𝑦 − 4) = 3𝑦 − 2 ⇒ 𝑥𝑦 − 4𝑥 = 3𝑦 − 2

⇒ 𝑥𝑦 − 3𝑦 = 4𝑥 − 2 ⇒ 𝑦(𝑥 − 3) = 4𝑥 − 2 ⇒ 𝑦 = 4𝑥 − 2

𝑥 − 3

Entonces 𝑓−1(𝑥) = 4𝑥−2

𝑥−3 y 𝐷(𝑓−1) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 3} . Por lo tanto

𝑅(𝑓) = { 𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≠ 3}


Ejercicio. Dar el rango de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10.

Busquemos la función inversa de f(x). Para hacer esto, lo primero que debemos hacer es

completar el trinomio cuadrado perfecto para convertir 𝑥2 − 6𝑥 + 10 en una expresión más

simple1.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 10 − 9 = (𝑥 − 3)2 + 1

Ahora sí, busquemos la inversa de f(x)

𝑥 = (𝑦 − 3)2 + 1 ⇒ 𝑥 − 1 = (𝑦 − 3)2 ⇒ 𝑦 − 3 = √𝑥 − 1

⇒ 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 − 1 + 3

Para encontrar el dominio de 𝑓−1(𝑥) buscamos las x tales que

𝑥 − 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 1

Por lo tanto 𝑅(𝑓) = 𝐷(𝑓−1) = [1 ,∞)

Gráfica Asociada a una Función

La gráfica de una función es una herramienta muy útil que nos permite conocer más

fácilmente el comportamiento de la función. Para representar a una función gráficamente

se utiliza el plano cartesiano X-Y. Lo que se hace es en el eje de las X representar al

dominio de la función y en el eje de las Y representar el rango. Para hacer esto se llama a

la función 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Recordemos que el plano cartesiano consta de parejas (𝑥, 𝑦) llamadas coordenadas.

Entonces, para representar a la función,lo que se hace es trazar las parejas que son de la

forma (𝑥 , 𝑓(𝑥)) donde 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

Ejercicio. Hacer una gráfica aproximada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2

El método más sencillo para hacer una gráfica es el de tabular. Este consta de dar ciertos

valores a 𝑥 y ver los valores que toma 𝑓(𝑥). Esto nos da una idea aproximada de la

gráfica.

Pero antes de tabular, lo primero que debemos hacer es obtener el dominio y rango de la

función. En este caso

𝐷(𝑓) = ℝ 𝑅(𝑓) = [0 ,∞ )

1 Recordar que para completar el trinomio cuadrado perfecto de 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 se suma y se resta (𝑎

2)2

de tal

forma que queda (𝑥 + 𝑎

2)2 + 𝑏 − (

𝑎

2)2


20

Ahora sí, tabulemos con 𝑥 = 0,1,−1, 2,−2 , 3 𝑦 − 3

𝑓(0) = 0 𝑓(1) = 𝑓(−1) = 1 𝑓(−2) = 𝑓(2) = 4 𝑓(−3) = 𝑓(3) = 9

Entonces la gráfica de 𝑓(𝑥) es aproximadamente la siguiente

Ejercicio. Hacer una gráfica aproximada de 𝑓(𝑥) = 𝑥+1

𝑥−2

Fácilmente nos damos cuenta que 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≠ 2} . Cuando hacemos una gráfica ,

llamamos asíntotas a los valores que la función no puede tomar ,porque se estaría

dividiendo entre cero. En este caso, la asíntota vertical de la función es 𝑥 = 2 . Una

asíntota tiene la propiedad de que la función se acerca mucho a ese valor pero nunca lo

toma.

Para encontrar el rango busquemos la inversa.

𝑥 = 𝑦 + 1

𝑦 − 2 ⇒ 𝑥𝑦 − 2𝑥 = 𝑦 + 1 ⇒ 𝑥𝑦 − 𝑦 = 2𝑥 + 1 ⇒ 𝑓−1(𝑥) =

2𝑥 + 1

𝑥 − 1

Entonces 𝑅(𝑓) = { 𝑦 ∈ ℝ| 𝑦 ≠ 1} y la asíntota horizontal de la función es 𝑦 = 1.

Tabulemos con 𝑥 = 0, 1, −1, −2 , 3 𝑦 − 3

𝑓(0) = 1

−2= −

1

2 𝑓(−1) = 0 𝑓(1) =

2

−1= −2 𝑓(−2) =

−1

−4= 4

𝑓(3) = 4

1= 4 𝑓(−3) =

−2

−5= 2

5

La gráfica aproximada es

x

y


En esta gráfica, las líneas rectas (en azul y amarillo) representan las asíntotas de la

función.

Método Gráfico Para Determinar si una Función es Inyectiva

Recordemos que una función es inyectiva cuando para cada elemento del rango, existe

solo un elemento del dominio relacionado con él a través de la función.

El método gráfico para determinar si una función es inyectiva es muy sencillo, lo único que

debemos hacer es trazar rectas horizontales a lo largo de la gráfica y checar que esta

recta sólo toque una vez a la gráfica de la función. Si esto ocurre para cualquier línea

horizontal que tracemos entonces la función es inyectiva.

Por ejemplo, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no es inyectiva porque en su gráfica, todas las líneas horizontales

que tracemos tocan dos veces a la función.

x

y

x

y


22

Ejercicio. Determinar si 𝑓(𝑥) = 3−𝑥

5𝑥 es o no inyectiva,

Lo primero que debemos hacer es trazar la gráfica de esta función. Para esto

necesitamos el dominio y rango primero. Claramente 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≠ 0}. Para el

rango debemos sacar la inversa

𝑥 = 3 − 𝑦

5𝑦 ⇒ 5𝑥𝑦 = 3 − 𝑦 ⇒ 5𝑥𝑦 + 𝑦 = 3 ⇒ 𝑓−1(𝑥) =

3

5𝑥 + 1

Entonces 𝑅(𝑓) = { 𝑦 ∈ ℝ| 𝑦 ≠ −1

5}

Tabulando con 𝑥 = 1,−1 , 2, −2, 3 , −3 nos damos cuenta que la gráfica de la función es

Por lo tanto 𝑓(𝑥) es inyectiva ya que para cualquier recta horizontal que tracemos, ésta

solo intersecta a la función una sola vez.

x

y

x

y


Funciones Polinomiales y Racionales

Una función polinomial es de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + …+ 𝑎1𝑥1 + 𝑎0

Con 𝑎𝑛 , … , 𝑎𝑜 ∈ ℝ 𝑦 𝑛 𝜖 ℕ.

Ya hemos dado varios ejemplos de funciones polinomiales, como 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Una

característica muy importante de las funciones polinomiales es que su dominio siempre es

𝐷(𝑓) = ℝ .

Ejercicio. Determinar el rango de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 y hacer una gráfica aproximada.

La función inversa de 𝑓(𝑥) es 𝑓−1(𝑥) = √𝑥3

, la función raíz cúbica. La raíz cúbica de un

número 𝑥 es un número real 𝑦 con la propiedad que 𝑦3 = 𝑥 . A diferencia de la raíz

cuadrada, los números negativos si tienen raíz cúbica. Esto se debe a que multiplicar un

número negativo por el mismo dos veces da como resultado un número negativo.

Entonces todos los números reales tienen raíz cúbica, por lo tanto 𝐷(𝑓−1) = ℝ y

𝑅(𝑓) = ℝ.

Tabulemos con 𝑥 = 0, 1, −1, 2 𝑦 − 2

𝑓(0 ) = 0 𝑓(1) = 1 𝑓(−1) = (−1)3 = −1

𝑓(2) = 23 = 8 𝑓(−2) = (−2)3 = −8

La gráfica aproximada de esta función es

x

y


24

Las funciones racionales son una división de dos funciones polinomiales. Entonces son de

la forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥

𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + …+ 𝑎1𝑥

1 + 𝑎0𝑏𝑚𝑥

𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 + …+ 𝑏1𝑥

1 + 𝑏0

El dominio de una función racional es ℝ menos todos los valores de x tales que el

denominador sea cero.

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

La función exponencial con base 𝑎 es de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ

Básicamente una función exponencial consta de elevar un mismo número a distintas

potencias. El dominio de las funciones exponenciales siempre es 𝐷(𝑓) = ℝ ya que se

puede elevar un número a cualquier potencia, incluso no importa si el valor de x es

negativo porque recordemos que

𝑎−𝑥 = 1

𝑎𝑥

En una función exponencial, mientras mayor sea el valor de x al que se le aplica la función

mayor será el valor de 𝑓(𝑥). En cambio, mientras menor sea el valor de x menor se vuelve

la función ya que el valor del denominador va aumentando cada vez mas y el numerador

siempre es uno.

La función exponencial más utilizada es

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

Donde 𝑒 es el número de Nepper que es igual a 2.718281828459… . La gráfica de esta

función es

x

y


La asíntota de esta función exponencial es 𝑦 = 0 ya que a medida que x es menor, el

valor de 𝑓(𝑥) va disminuyendo mucho y se vuelve casi cero.

Algo que podemos notar, es que no importando el valor que se le dé a 𝑥 , el valor de 𝑓(𝑥)

siempre va a ser positivo. Entonces 𝑅(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 > 0} = (0 , ∞).

La función logaritmo es la inversa de la función exponencial. Un logaritmo base 𝑎 lo que

nos dice es a que potencia debemos elevar al número 𝑎 de tal forma que nos de el

número al que le aplicamos el logaritmo. De esta manera, por ejemplo, log2( 8) = 3

significa que debemos multiplicar 2 tres veces por si mismo para que el resultado sea 8.

En otras palabras este logaritmo nos dice que 23 = 8.

El logaritmo natural, que es el más utilizado de todos, es un logaritmo con base 𝑒. Se

denota como ln( 𝑎) = log𝑒(𝑎). La función logaritmo natural es

𝑓(𝑥) = ln(𝑥)

El dominio de esta función no son todos los números reales, el dominio de esta función es

𝐷(𝑓) = (0,∞) ya que este es el rango de la función exponencial y recordemos que el

rango de una función es el dominio de su inversa. De la misma manera 𝑅(𝑓) = ℝ ya que

el dominio de una función exponencial son todos los números reales. La función logaritmo

tiene una asíntota en 𝑥 = 0 porque no existe ningún numero 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑒𝑎 = 0.

La gráfica de la función logaritmo natural es

x

y


26

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son muy importantes debido a que tienen muchas

características que otras funciones no tienen. Las funciones trigonométricas más

importantes e interesantes son la función seno y la función coseno. Recordemos que

𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑐𝑜

ℎ𝑖𝑝 cos(𝜃) =

𝑐𝑎

ℎ𝑖𝑝

Donde 𝑐𝑜 es el cateto opuesto al ángulo 𝜃 , 𝑐𝑎 es el cateto adyacente e ℎ𝑖𝑝 es la

hipotenusa, todo esto en un triángulo rectángulo. El seno y coseno tienen la siguiente

propiedad muy importante

−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ≤ 1 − 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ≤ 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝜃 ∈ ℝ

Para conocer el valor de seno y coseno de un cierto ángulo se debe partir del círculo

unitario. El círculo unitario tiene por ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 1, es una circunferencia con

centro en el origen y radio igual a uno. Después se toma un punto cualquiera dentro de la

circunferencia y se traza una recta que une al origen con ese punto.

Ya que se trazó esta línea, se forma de manera natural un triángulo rectángulo con

respecto al eje X. Notemos que el valor de la hipotenusa de este triángulo es uno ya que

es el radio del círculo. El valor del cateto opuesto al ángulo formado es el valor de la

coordenada y, mientras que el valor del cateto adyacente es el valor de la coordenada x.


Entonces para estos valores de x e y


ℎ𝑖𝑝= 𝑦

1= 𝑦 cos(𝜃) =

𝑐𝑎

ℎ𝑖𝑝= 𝑥

1= 𝑥

A lo que llegamos es que el valor del seno y coseno de un ángulo 𝜃 es igual al valor de la

coordenada x o de la coordenada y del punto que al unirse con el origen forma el ángulo

𝜃. Esta relación nos permite sacar el valor de seno y coseno para varios valores

importantes2.

En (1,0) el ángulo formado entre la línea recta que une este punto con el origen es 𝜃 = 0.

Esto quiere decir que 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 y cos(0) = 1..

En (0,1) el ángulo formado entre la línea recta que une este punto con el origen es 𝜃 =

𝜋/2. Esto quiere decir que 𝑠𝑒𝑛(𝜋/2) = 1 y cos(𝜋/2) = 0.

En (−1,0) el ángulo formado entre la línea recta que une este punto con el origen es 𝜃 =

𝜋. Esto quiere decir que 𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 0 y cos(𝜋) = −1.

En (0,−1) el ángulo formado entre la línea recta que une este punto con el origen es 𝜃 =

3𝜋/2. Esto quiere decir que 𝑠𝑒𝑛(3𝜋/2) = −1 y cos(3𝜋/2) = 0.

A continuación se presenta una tabla con los valores más importantes de seno y coseno.

Es muy importante tener esta tabla en mente para poder graficar bien las funciones

trigonométricas.

2 Hay que recordar que los radianes son una manera de medir ángulos donde 𝜋 = 180° . Normalmente las funciones trigonométricas utilizan radianes y no grados.


28

𝜃

𝑠𝑒𝑛(𝜃)

cos (𝜃)

0 0 1

𝜋/2 1 0

𝜋 0 −1

3𝜋/2 −1 0

2𝜋 0 1

Los valores de 𝑠𝑒𝑛(2𝜋) 𝑦 cos (2𝜋) son los mismos valores que 𝑠𝑒𝑛(0) 𝑦 cos (0).

La función seno es la siguiente

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

El dominio de esta función es 𝐷(𝑓) = ℝ y el rango es 𝑅(𝑓) = [−1, 1]. Usando la tabla

anterior podemos ver que la gráfica de esta función es la siguiente

La función seno tiene la propiedad de ser periódica, es decir, que se repite la forma de la

gráfica cada cierto intervalo. La periodicidad de la función seno es 2𝜋 porque cada vez

que recorremos en el eje X una longitud de 2𝜋, la gráfica de seno se repite.

x

y


Así se ve la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) con 𝑥 ∈ (−1, 20)

La función coseno es

𝑓(𝑥) = cos (𝑥)

Igual que la función seno, 𝐷(𝑓) = ℝ 𝑦 𝑅(𝑓) = [−1, 1]. Usando los valores de la tabla

podemos observar que la gráfica de la función coseno es la siguiente

x

y

x

y


30

También la función coseno es periódica, su periodo es 2𝜋. Así se ve la gráfica de 𝑓(𝑥) =

𝑐𝑜𝑠(𝑥) con 𝑥 ∈ (−1, 20)

Además de la función seno y la función coseno, hay otras funciones trigonométricas.

Pero, gracias a las identidades trigonométricas, su estudio se basa solamente en conocer

bien a la función seno y coseno.

La función tangente es

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

Para estudiar esta función, podemos usar la identidad trigonométrica tan(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos (𝑥) .

Entonces

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos (𝑥)

Aquí nos damos cuenta que el dominio de esta función no son todos los reales ya que hay

valores de x tales que cos(𝑥) = 0. Por ejemplo, en el intervalo [0, 2𝜋] , cuando 𝑥 =

𝜋

2 𝑦 𝑥 =

3𝜋

2 , cos(𝑥) = 0. Entonces 𝑓(𝑥) = tan (𝑥) tiene dos asíntotas verticales en el

intervalo [0, 2𝜋] que son 𝑥 = 𝜋

2 𝑦 𝑥 =

3𝜋

2. El numerador se hace cero en 𝑥 = 0, 𝜋 𝑦 2𝜋 ya

que en esos puntos 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0.

Con lo anterior nos podemos dar una idea de la función tangente en el intervalo [0, 2𝜋].

Esta es la gráfica aproximada

x

y


Transformaciones

Si 𝑓: ℝ → ℝ es una función, entonces una transformación de 𝑓(𝑥) es otra función 𝑔(𝑥)

donde

𝑔(𝑥) = 𝑎 𝑓(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ

Cada uno de estos números (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ) alteran de manera distinta a la función 𝑓(𝑥). Al

multiplicar por 𝑎 lo que estamos haciendo es cambiar la amplitud de la función, estamos

estirando con respecto al eje Y a 𝑓(𝑥). Al multiplicar por 𝑏 lo que estamos haciendo es

cambiar la elongación de la función original, es decir, estamos estirando con respecto al

eje X a 𝑓(𝑥). Al sumar 𝑐 estamos desplazando horizontalmente a la función original. Al

sumar 𝑑 estamos desplazando verticalmente a la función original.

En otras palabas, al multiplicar por 𝑎 y sumar 𝑑 estamos moviendo a la función con

respecto al eje Y. Al multiplicar por 𝑏 y sumar 𝑐 estamos moviendo a la función con

respecto al eje X. Es importante aclarar que 𝑏 𝑦 𝑐 tienen un "efecto contrario" sobre la

gráfica de la función. Por ejemplo si 𝑐 = 3 estamos desplazando a la izquierda a la función

3 lugares, mientras que si 𝑐 = −3 estamos desplazando a la derecha a la función 3

lugares.

Ejercicio. Trazar la gráfica de 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Podemos ver a 𝑓(𝑥) como una transformación de 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , de tal manera que

𝑓(𝑥) = 3 𝑔(𝑥)

x

y


32

Entonces lo único que se altero con respecto a la función original es la amplitud. La

función 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) se mueve en el eje Y entre -1 y 1. Entonces la función 𝑓(𝑥) =

3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) se moverá entre -3 y 3. A continuación está la gráfica de 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en rojo y

la de 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) en azul:

Ejercicio. Trazar la gráfica de 𝑓(𝑥) = 4𝑒𝑥−1

Si 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 , entonces podemos ver a 𝑓(𝑥) como

𝑓(𝑥) = 4𝑔(𝑥 − 1)

Lo que ahora se alteró es la amplitud y se desplazó horizontalmente a la función un lugar

a la derecha. Tabulando con 𝑥 = −2,−1,0,1,2 la función 𝑔(𝑥) obtenemos lo siguiente

𝑔(−2) = 1

𝑒2= .1353 𝑔(−1) =

1

𝑒= .3678 𝑔(0) = 1

𝑔(1) = 𝑒 = 2.71828 𝑔(2) = 𝑒2 = 7.3890

A partir de estos valores, podemos obtener algunos puntos de la gráfica de 𝑓(𝑥) .

𝑓(−1) = 4𝑔(−2) = .5412 𝑓(0) = 4𝑔(−1) = 1.4712 𝑓(1) = 4𝑔(0) = 4

𝑓(2) = 4𝑔(1) = 10.8731 𝑓(3) = 4𝑔(2) = 29.5562

Teniendo estos puntos podemos trazar una gráfica aproximada de 𝑓(𝑥). A continuación

están graficadas 𝑔(𝑥) en rojo y 𝑓(𝑥) en azul.

x

y


Ejercicio. Trazar la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10𝑥 + 30.

Siempre que tengamos un polinomio cuadrado, lo más fácil para trazar su gráfica es

completar el trinomio cuadrado perfecto.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10𝑥 + 30 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 + 30 − 25 = (𝑥 − 5)2 + 5

Entonces 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)2 + 5 la podemos ver como una transformación de 𝑔(𝑥) = 𝑥2

donde

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥 − 5) + 5

Es decir, la función 𝑓(𝑥) es 𝑔(𝑥) nada mas que fue desplazada 5 lugares a la derecha

(sobre el eje X) y fue desplazada 5 lugares hacia arriba (sobre el eje Y). Entonces así es

la gráfica de 𝑓(𝑥).

x

y


34

Funciones Definidas Por Pedazos

Una función definida por pedazos es aquella que tiene más de una ecuación y que

depende del intervalo donde esta 𝑥 para que sepamos que ecuación usar. Un ejemplo de

una función definida por pedazos es

𝑓(𝑥) = { −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

En este ejemplo, si el valor de 𝑥 es negativo, la función asocia a 𝑥 el valor de −𝑥 . Pero si

𝑥 es positivo , la función le asocia el valor de 𝑥2. La gráfica de esta función es la siguiente

Gracias a la gráfica podemos ver que esta función no es inyectiva y su rango es 𝑅(𝑓) =

[0,∞) por lo tanto tampoco es suprayectiva.

x

y

x

y


Ejercicio. Hacer una gráfica de la siguiente función y decir si es inyectiva o si es

suprayectiva.

𝑓(𝑥) = { 𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 < 0

Ya sabemos cómo es la gráfica de 𝑒𝑥 𝑦 𝑑𝑒 𝑥3 , lo único que debemos hacer es recortar

esas gráficas que ya conocemos, quedarnos con la parte que necesitamos y luego juntar

ambas gráficas.

Esta es la gráfica de 𝑓(𝑥)

Analizando la gráfica podemos ver que la función es inyectiva. Como el rango de esta

función es 𝑅(𝑓) = (−∞, 0) ∪ [1,∞) entonces podemos concluir que esta función no es

suprayectiva.

Ejercicio. Hacer una gráfica aproximada de la siguiente función. Decir si es

inyectiva o si es suprayectiva.

𝑓(𝑥) =

{

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1

−1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 1

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

x

y


36

Esta función es una recta con pendiente uno si x es menor que menos uno, es una

constante igual a menos uno si x está entre menos uno y uno, y es una función cuadrática

si x es mayor que uno. Así es la gráfica de esta función:

Analizando la gráfica podemos ver que esta función no es inyectiva ya que todos los

valores de 𝑥 ∈ (−1,1) están asociados con el mismo valor a través de la función (que es

menos uno).

El rango de esta función no es ℝ ya que no hay ningún valor de 𝑥 que hace que 𝑓(𝑥) este

en el intervalo (−1,1). Por lo tanto el rango de esta función es

𝑅(𝑓) = (−∞ , −1] ∪ [1,∞)

Esto quiere decir que 𝑓(𝑥) no es suprayectiva.

Ejercicios

1.- Indica si las ecuaciones presentadas a continuación son funciones o relaciones. En

caso de que sean funciones indica su dominio.

a) 𝑥2 + 𝑦2 = 10

b) 𝑦2 = 𝑥2 − 25

c) 𝑦 = √10 − 𝑥

d) 𝑦 = 10𝑥−5

𝑥+1

e) 𝑦 = 5𝑥2−𝑥𝑦

5𝑥

f) 𝑥 = 𝑦2 − 2𝑦 + 1

x

y


2.- Considera las siguientes funciones y contesta

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4 ℎ(𝑥) = 1 + 𝑥

1 − 𝑥 𝑡(𝑥) = 𝑥2 + 4

a) Encuentra el dominio y rango de estas funciones

b) Calcula (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) , (𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥) , ℎ(𝑡(𝑥))

c) Falso o Verdadero. La función 𝑡(𝑥) es la inversa de 𝑔(𝑥)

d) Encuentra el dominio de (ℎ 𝑜 ℎ)(𝑥)

e) Da las funciones inversas de 𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥)

3.- Grafica las siguientes funciones y da su dominio y su rango. Además di si la función es

inyectiva y si es suprayectiva.

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1

b) 𝑓(𝑥) = √𝑥

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1

e) 𝑓(𝑥) = 𝑥3

4.- Encuentra la función inversa de cada una de las siguientes funciones. Encuentra el

dominio de la función inversa. A partir de esto, encuentra el rango de la función original. Di

si la función es inyectiva y si es suprayectiva.

a) 𝑓(𝑥) = 3 − 5𝑥

b) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 1

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥−1

𝑥+1

d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥

𝑥−10


38

5.- Considera las siguientes funciones. Haz una gráfica aproximada de cada una.

Encuentra el dominio y rango de cada una. Di si cada función es inyectiva y si es

suprayectiva.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

b) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥)

c) 𝑓(𝑥) = 5𝑒𝑥 − 10

d) 𝑓(𝑥) = 10cos (𝑥)

e) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 10) + 5

f) 𝑓(𝑥) = tan(𝑥)

g) 𝑓(𝑥) = −2 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋) + 3

h) 𝑓(𝑥) = −𝑒−𝑥

i) 𝑓(𝑥) = ln (2𝑥 + 1)

j) 𝑓(𝑥) = cos (x + π

2) − 1

6.- Encuentra los intervalos del dominio donde cada una de las siguientes funciones es

positiva. (Pista: Usa el método de la tabla)

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1

4

b) 𝑓(𝑥) = (𝑥−1)(𝑥+3)

𝑥+4

c) 𝑓(𝑥) = (𝑥+10)(𝑥−5)

(𝑥+1)(𝑥−3)

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥2+7𝑥+12

7.- Falso o Verdadero. En caso de que sea falso justifica tu respuesta.

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1

2 es una función biyectiva.

b) Una función es suprayectiva cuando el dominio de la función es ℝ

c) El dominio de 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 − 1) es 𝐷(𝑓) = { 𝑥 𝜖 ℝ | 𝑥 > 1 }

d) El dominio de la función inversa es el dominio de la función original.

e) La función inversa de 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑛 es 𝑓−1(𝑥) = (𝑥 − 1)1/𝑛

f) La función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) es inyectiva en el intervalo [0 , 2𝜋]

8.- Indica el rango de cada una de las siguientes funciones. Además haz una gráfica

aproximada.


a) 𝑓(𝑥) = { −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

b) 𝑓(𝑥) = { 2𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

c) 𝑓(𝑥) = { 𝑒𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

−𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

d) 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 2

8 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

e) 𝑓(𝑥) =

{

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1

1 𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 5

𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5

f) 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 1

ln(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

g) 𝑓(𝑥) =

{

2 𝑠𝑖 𝑥 < 3

2𝑥 − 6 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 ≤ 6

64 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 6


40

Límites

Definición de Límite

Los límites nos permiten ver el comportamiento de una función cuando 𝑥 se acerca a un

cierto valor. Se pueden utilizar para cualquier valor de 𝑥 , pero normalmente se utilizan para

valores que están en el dominio que llevan a una división entre cero o valores que no

pueden ser evaluados en la función como infinito.

Entonces si lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 , esto significa que a medida que 𝑥 se acerca a 𝑎, el valor de 𝑓(𝑥)

se acerca a 𝐿. Por ejemplo, si lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = 10, esto significa que si evaluamos la función en

valores de 𝑥 cercanos a uno (𝑥 = .8, .9 , 1.1, 1.2, 𝑒𝑡𝑐 … ) la función tomara valores

cercanos a 10.

Hay muchas formas de encontrar el valor de un límite y realmente la forma de hacerlo

depende del tipo de límite que se tenga. A continuación se estudiarán varios tipos de límites

y cómo calcular sus valores.

Límites en Caso de Indeterminación

Los límites más sencillos de resolver son cuando al momento de que 𝑥 → 𝑎 se tiene una

indeterminación de la forma lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 0

0 .En este caso lo que hay que hacer es factorizar

el denominador y numerador, simplificar y volver a calcular el límite.

Ejercicio. Encontrar lim𝑥→1

𝑥2−1

𝑥−1

Al evaluar nos queda lim𝑥→1

𝑥2−1

𝑥−1=

0

0 ! 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡.

Entonces lo que se hace es factorizar y luego evaluar otra vez.

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

𝑥 − 1= 𝑥 + 1

lim𝑥→1

𝑥 + 1 = 1 + 1 = 2

Por lo tanto

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1 = 2


Ejercicio. Encontrar lim𝑥→2

𝑥2−𝑥−2

𝑥2+𝑥−6

lim𝑥→2

𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥2 + 𝑥 − 6= 4 − 2 − 2

4 + 2 − 6= 0


𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥2 + 𝑥 − 6= (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)= 𝑥 + 1

𝑥 + 3

lim𝑥→2

𝑥 + 1

𝑥 + 3 =

2 + 1

2 + 3= 3

5

lim𝑥→2

𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥2 + 𝑥 − 6=3

5

Límites al Infinito

Muchas veces queremos conocer qué valores toma una función 𝑓(𝑥) a medida que el

valor de 𝑥 es grande. Para hacer esto, debemos calcular el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende

a ser infinito, el valor más grande que existe.

Si lim𝑥→ ∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 , esto significa que mientras más grande sea 𝑥, el valor de 𝑓(𝑥) se

acercará mas a 𝐿.

Ejercicio. Calcular lim𝑥→∞

8𝑥2−4𝑥

4𝑥2−5

Al evaluar nos queda una indeterminación de tipo infinito entre infinito

lim𝑥→∞

8𝑥2 − 4𝑥

4𝑥2 − 5= ∞

∞ ! 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡.

Para resolver este límite lo que hacemos es dividir tanto numerador como denominador

entre 𝑥 elevado a la potencia mayor que aparece en la función. En este caso, la mayor

potencia es 2. Por lo tanto dividiremos denominador y numerador entre 𝑥2.

8𝑥2 − 4𝑥

4𝑥2 − 5=

8𝑥2 − 4𝑥𝑥2

4𝑥2 − 5𝑥2

= 8 −

4𝑥

4 − 5𝑥2

Una vez que ya se modificó la función, se vuelve a aplicar el límite y en donde haya una

división entre 𝑥 ,a medida que el valor de 𝑥 tienda a infinito ,el valor de esa división

tenderá a cero.

lim𝑥→∞

8 − 4𝑥

4 − 5𝑥2

= 8 − 0

4 − 0 = 8

4= 2


42

Por lo tanto

lim𝑥→∞

8𝑥2 − 4𝑥

4𝑥2 − 5= 2

Ejercicio. Encontrar lim𝑥→ ∞

𝑥2+4𝑥

𝑥3−1

lim𝑥→∞

𝑥2 + 4𝑥

𝑥3 − 1 =

∞

∞ ! 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡.

𝑥2 + 4𝑥

𝑥3 − 1=

𝑥2 + 4𝑥𝑥3

𝑥3 − 1𝑥3

=

1𝑥+

4𝑥2

1 −1𝑥3

lim𝑥→∞

1𝑥 +

4𝑥2

1 −1𝑥3

= 0 + 0

1 − 0 = 0

1= 0

lim𝑥→∞

𝑥2 + 4𝑥

𝑥3 − 1 = 0

Podemos calcular límites al infinito de otro tipo de funciones, no nada más de funciones

racionales. Por ejemplo si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 , a medida que 𝑥 va aumentando, el valor de esta

función va aumentando de manera exponencial, es decir, siempre que aumente 𝑥 va a

aumentar 𝑓(𝑥). Por lo tanto

lim𝑥→ ∞

𝑒𝑥 = ∞

Cálculo de Límites en Caso de Contradicción. Límites Laterales

Otro caso es cuando al momento de calcular un límite y evaluar, el resultado es una división

entre cero, es decir que lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑏

0 con 𝑏 ≠ 0.

Para encontrar el valor de este límite lo que debemos usar son los límites laterales. Estos

consisten en ver qué le pasa a la función a medida que 𝑥 se acerca a 𝑎 por la izquierda (es

decir cuando 𝑥 toma valores menores que 𝑎) y ver qué sucede con la función cuando 𝑥 se

acerca a 𝑎 por la derecha (cuando 𝑥 toma valores mayores que 𝑎). Si los dos límites

laterales dan como resultado el mismo número, entonces decimos que el límite existe.


Ejercicio. Calcular lim𝑥→4

𝑥+3

𝑥−4

lim𝑥→4

𝑥 + 3

𝑥 − 4= 7

0 !

Para encontrar a qué valor tiende la función a medida que 𝑥 se acerca por la izquierda y

por la derecha lo más fácil es tabular con valores cercanos a 4.

Se busca encontrar el valor del límite cuando 𝑥 → 4−

𝑥 𝑓(𝑥)

3.9 -69

3 -6

2 -2.5

A medida que 𝑥 tiende a ser 4, la función tiende a menos infinito. Por lo tanto

lim𝑥→4−

𝑥 + 3

𝑥 − 4= −∞

Ahora hacemos el caso cuando 𝑥 → 4+

𝑥 𝑓(𝑥)

4.1 71

5 8

6 4.5

lim𝑥→ 4+

𝑥 + 3

𝑥 − 4= ∞

Como los límites laterales no son iguales entonces este límite no existe. La manera de

concluir es la siguiente.

𝐶𝑜𝑚𝑜 lim𝑥→ 4−

𝑥 + 3

𝑥 − 4 ≠ lim

𝑥→4+

𝑥 + 3

𝑥 − 4 ⇒ ∄ lim

𝑥→4

𝑥 + 3

𝑥 − 4

Ejercicio. Considerar la siguiente función y decir si lim𝑥→0

𝑓(𝑥) existe o no. Si existe,

dar su valor.


44

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

Como esta es una función definida por pedazos y justo cuando 𝑥 = 0 la función cambia de

ecuación, entonces para saber si lim𝑥→0

𝑓(𝑥) existe, debemos usar límites laterales.

Al momento de calcular lim𝑥→ 0−

𝑓(𝑥) , como nos estamos acercando por valores menores

que cero, la ecuación de 𝑓(𝑥) es 𝑥2 + 1. Entonces

lim𝑥→ 0−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0

𝑥2 + 1 = 02 + 1 = 1

Al momento de calcular lim𝑥→ 0+

𝑓(𝑥) , como nos estamos acercando por valores mayores

que cero, la ecuación de 𝑓(𝑥) es 𝑒𝑥. Entonces

lim𝑥→ 0+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0

𝑒𝑥 = 𝑒0 = 1

Por lo tanto, como el valor de los límites laterales es el mismo, podemos concluir que

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 1

Método De Cambio de Variable

Una de las técnicas más utilizadas para calcular límites es el cambio de variable. Este

método nos ayuda a simplificar el límite y nos lleva a uno de los casos ya estudiados.

Sobre todo lo utilizaremos al momento de calcular límites a menos infinito ya que

podemos tener problemas con los signos de la función si pensamos que es lo mismo que

calcular un límite al infinito.

Ejercicio. Calcular lim𝑥→ −∞

𝑥3−4

𝑥2+1

El método consiste en lo siguiente: Sabemos muy bien tomar límites al infinito, entonces

lo que vamos a hacer es nombrar una variable nueva que cuando 𝑥 tienda a menos

infinito, esta variable tienda a infinito. Entonces

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = −𝑥

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞ 𝑢 → ∞

Ahora despejamos 𝑥 en términos de 𝑢 y sustituimos en el límite

lim𝑥→ −∞

𝑥3 − 4

𝑥2 + 1= lim

𝑢→ ∞

(−𝑢)3 − 4

(−𝑢)2 + 1= lim

𝑢→ ∞

−𝑢3 − 4

𝑢2 + 1

Y ahora calculamos el límite como ya lo hemos hecho


lim𝑢→ ∞

−𝑢3 − 4

𝑢2 + 1 = lim

𝑢→ ∞

−𝑢3 − 4𝑢3

𝑢2 + 1𝑢3

= lim𝑢→ ∞

−1 −4𝑢3

1𝑢+

1𝑢3

= −1

0= −∞

Por lo tanto lim𝑥→ −∞

𝑥3−4

𝑥2+1= −∞

Ejercicio. Encontrar lim𝑥→ −∞

𝑒𝑥

Como también este es un límite a menos infinito, usaremos el mismo cambio de variable

que en el límite anterior.



lim𝑥→ −∞

𝑒𝑥 = lim𝑢→ ∞

𝑒−𝑢 = lim𝑢→ ∞

1

𝑒𝑢

Anteriormente vimos que lim𝑥→ ∞

𝑒𝑥 = ∞ por lo tanto cuando 𝑥 → ∞ , 1

𝑒𝑥 debe tender a cero.

Entonces

lim𝑥→ −∞

𝑒𝑥 = lim𝑢→ ∞

1

𝑒𝑢 = 0

Ejercicio. Sabemos que lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥= 1, con esta información calcular lim

𝑥→1

𝑠𝑒𝑛(2𝑥−2)

6𝑥−6

Si evaluamos el límite, llegamos a lo siguiente:

lim𝑥→1

𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 2)

6𝑥 − 6= 𝑠𝑒𝑛(0)

0= 0


Aunque éste no es un límite a menos infinito, también podemos usar el método de cambio

de variables. Como sabemos que lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥= 1 , lo que vamos a hacer es convertir el

límite que queremos calcular al límite que ya sabemos su valor.

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 2𝑥 − 2

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 1 𝑢 → 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑢 = 2(1) − 2 = 0

Entonces

lim𝑥→1

𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 2)

6𝑥 − 6= lim

𝑥→1

𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 2)

3(2𝑥 − 2)= lim

𝑢→0

𝑠𝑒𝑛(𝑢)

3𝑢= 1

3 lim𝑢→0

𝑠𝑒𝑛(𝑢)

𝑢= 1

3(1) =

1

3


46

Ejercicios

1.- Calcula los siguientes límites

a) lim𝑥→3

𝑥2−1

𝑥−3

b) lim𝑥→0

𝑥2−𝑥

𝑥

c) lim𝑥→∞

𝑥3−4𝑥

2𝑥3−5

d) lim𝑥→ ∞

𝑥−4

3𝑥2−5

2.- Se conocen los siguientes datos de una función g(x)

lim𝑥→0−

𝑔(𝑥) = ∞ lim𝑥→0+

𝑔(𝑥) = ∞ lim𝑥→∞

𝑔(𝑥) = 1

lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥) = 1 𝑔(1) = 2 𝑔(−1) = 2

a) ¿Existe el límite a medida que 𝑥 tiende a ser cero?

b) Grafica a g(x)

3.- Considera 𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑥2−1 y 𝑔(𝑥) =

𝑥+1

𝑥3

a) Calcula lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

b) Falso o Verdadero. lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥→∞

𝑔(𝑥)

c) Sea ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) , calcula lim𝑥→−1

ℎ(𝑥) y lim𝑥→∞

ℎ(𝑥)

4.- Encuentra los siguientes límites. En caso de que no existan, justifica.

a) lim𝑥→ ∞

𝑒𝑥

b) lim𝑥→ − ∞

𝑒𝑥

c) lim𝑥→0

ln (𝑥)

d) lim𝑥→ ∞

ln (𝑥)

e) lim𝑥→ ∞

𝑠𝑒𝑛(𝑥)


5.- Considera la siguiente función y contesta

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

a) Haz una gráfica aproximada de esta función

b) ¿Existe lim𝑥→0

𝑓(𝑥) ?


𝑓(𝑥) = { 𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

𝑔(𝑥) =

{

−𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < −1

−1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 2

𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

a) Haz una gráfica aproximada de 𝑓(𝑥)

b) ¿Existe lim𝑥→0

𝑓(𝑥) ?

c) ¿Existe lim𝑥→ −1

𝑔(𝑥) ?

d) Encuentra un valor de 𝑎 ∈ ℝ tal que lim𝑥→2

𝑔(𝑥) exista.

e) Haz una gráfica aproximada de 𝑔(𝑥)

7.- Falso o Verdadero. En caso de que sea falso, justifica.

a) Si lim𝑥→ ∞

𝑓(𝑥) = 𝑏 , con 𝑏 ∈ ℝ, entonces 𝑓(𝑥) tiene una asíntota horizontal en 𝑦 = 𝑏

b) Si lim𝑥→ 𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝑏 y lim𝑥→ 𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑐 , entonces este límite existirá solo si 𝑏 = 𝑐

c) lim𝑥→ ∞

3𝑥

5𝑥−1 = ∞

d) Si la asíntota horizontal de 𝑓(𝑥) es 𝑦 = 3 entonces lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 3


48

Cálculo Diferencial

Definición de Derivada

El cálculo diferencial infinitesimal es el encargado de estudiar el comportamiento de la

pendiente de una función que sea derivable. La pendiente se refiere a cuanto cambia el

valor de f(x) a medida que cambia el valor de 𝑥.

𝑚 = ∆ 𝑌

∆𝑋=

𝑌2 − 𝑌1𝑋2 − 𝑋1

La pendiente que una curva o función puede tomar es conocida como Derivada. La

derivada no solamente nos da la pendiente que la curva tiene sino que también nos da la

pendiente de la recta tangente en el punto donde se está calculando la derivada.

Derivada por los Cuatro Pasos

Como se quiere observar cuanto cambia el valor de f(x) a medida que 𝑥 varía entonces se

van a tomar dos puntos de la función

(𝑥 , 𝑓(𝑥)) 𝑦 (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ))

Como lo que se quiere es calcular la pendiente entonces

𝑚 =𝑌2 − 𝑌1𝑋2 − 𝑋1

= 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

𝑥 + ℎ − 𝑥=𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Para obtener el valor más aproximado de la pendiente lo que se quiere es que estos dos

puntos que se tomaron estén muy pegados, es decir queremos que ℎ → 0. Por lo tanto la

derivada de una función es

𝑓′(𝑥) = 𝑑𝑓

𝑑𝑥= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Los cuatro pasos son el orden en cómo se tiene que seguir la fórmula para obtener la

derivada de una función.

1.- Obtener 𝑓(𝑥 + ℎ)

2.- Hacer 𝑓(𝑥 + ℎ) – 𝑓(𝑥), además factorizar ℎ

3.- Dividir entre ℎ

4.- Obtener el límite a medida que h tiende a ser cero


Ejercicio. Derivar 𝑦 = 4𝑥2 − 7𝑥 + 1

1.-

𝑓(𝑥 + ℎ) = 4(𝑥 + ℎ)2 − 7(𝑥 + ℎ) + 1 = 4(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) − 7𝑥 − 7ℎ + 1

𝑓(𝑥 + ℎ) = 4𝑥2 + 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 7𝑥 − 7ℎ + 1

2.-

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 7𝑥 − 7ℎ + 1 − (4𝑥2 − 7𝑥 + 1 )

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 7ℎ = ℎ (8𝑥 + 4ℎ − 7)

3.-

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ =

ℎ (8𝑥 + 4ℎ − 7)

ℎ= 8𝑥 + 4ℎ − 7

4.-

limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= 8𝑥 + 4(0) − 7 = 8𝑥 − 7

Ejercicio. Derivar 𝑦 = 1 − 1

𝑥

Aquí lo recomendable es primero hacer la suma de fracciones y después ya hacer los

cuatro pasos.

𝑦 = 1 − 1

𝑥= 𝑥 − 1

𝑥

1.-

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑥 + ℎ − 1

𝑥 + ℎ

2.- En este paso hay que recordar como sumar fracciones

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 1

𝑥 + ℎ−𝑥 − 1

𝑥= 𝑥(𝑥 + ℎ − 1) − (𝑥 + ℎ)(𝑥 − 1)

𝑥(𝑥 + ℎ)

= 𝑥2 + 𝑥ℎ − 𝑥 − (𝑥2 − 𝑥 + 𝑥ℎ − ℎ)

𝑥(𝑥 + ℎ)= 𝑥2 + 𝑥ℎ − 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥ℎ + ℎ

𝑥(𝑥 + ℎ)=

ℎ

𝑥(𝑥 + ℎ)


50

3.-

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=

ℎ

ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)=

1

𝑥(𝑥 + ℎ)

4.-

limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=

1

𝑥(𝑥 + 0)=

1

𝑥(𝑥)=

1

𝑥2

Esta misma definición de derivada es la que se puede usar para demostrar todas las

fórmulas de derivadas que se usarán a continuación.

Fórmulas de Derivadas

1.- Derivada de Una Función Constante

Si 𝑦 = 𝑘 , entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 ∀ 𝑘 ∈ ℝ

.

2.- Derivada de Una Función Polinomial

Si 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 ,entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎𝑛𝑥𝑛−1 ∀ 𝑎 ∈ ℝ

Ejercicio. Derivar 𝑦 = 3𝑥4 − √𝑥 = 3𝑥4 − 𝑥1/2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3(4)𝑥4−1 −

1

2𝑥12−1 = 12𝑥3 −

1

2𝑥−1/2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 12𝑥3 −

1

2𝑥12

= 12𝑥3 − 1

2√𝑥


3.- Derivada de Una Función Con Producto

Si 𝑦 = 𝑎𝑏 , entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎

𝑑𝑏

𝑑𝑥+ 𝑏

𝑑𝑎

𝑑𝑥 ∀ 𝑎, 𝑏 funciones de 𝑥

Ejercicio. Derivar 𝑦 = (𝑥3 − 4𝑥)(𝑥 + 1) utilizando la fórmula anterior

𝑎 = 𝑥3 − 4𝑥 𝑑𝑎

𝑑𝑥= 3𝑥2 − 4

𝑏 = 𝑥 + 1 𝑑𝑏

𝑑𝑥= 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑥3 − 4𝑥)(1) + (𝑥 + 1)( 3𝑥2 − 4)

4.- Derivada de una Función con Cociente

Si 𝑦 = 𝑎

𝑏 , entonces

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑏𝑑𝑎

𝑑𝑥−𝑎

𝑑𝑏

𝑑𝑥

𝑏2 ∀ 𝑎, 𝑏 funciones de 𝑥

Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑥3−4𝑥

𝑥+1

Usando la fórmula de derivada con cociente entonces tenemos

𝑎 = 𝑥3 − 4𝑥 𝑑𝑎

𝑑𝑥= 3𝑥2 − 4

𝑏 = 𝑥 + 1 𝑑𝑏

𝑑𝑥= 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑥 + 1)(3𝑥2 − 4) − (1)(𝑥3 − 4𝑥)

(𝑥 + 1)2

Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑥5−8√𝑥

𝑥2/5

𝑎 = 𝑥5 − 8𝑥12

𝑑𝑎

𝑑𝑥= 5𝑥4 − 4𝑥−

12 = 5𝑥4 −

4

√𝑥


52

𝑏 = 𝑥2/5 𝑑𝑏

𝑑𝑥 =

2

5 𝑥−3/5 =

2

5𝑥3/5

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥2/5 (5𝑥4 −4

√𝑥) − (𝑥5 − 8√𝑥) (

25𝑥3/5

)

𝑥4/5

La Regla De La Cadena

A partir de ahora utilizaremos una propiedad importante de las derivadas que se llama la

Regla de la Cadena. Esta regla nos dice que la derivada de una composición de funciones

es la siguiente:

𝑆𝑖 ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ℎ′(𝑥) = 𝑔′(𝑓(𝑥)) 𝑓′(𝑥)

Básicamente lo que dice es que si se tienen una función y o f(x) , la derivada de esta

función no consiste en derivar únicamente el argumento principal si no también lo que

está dentro de este argumento. Por ejemplo en la función

𝑦 = 5 𝑒𝑥2−1

Podemos ver que hay una exponencial que como argumento tiene una función cuadrática.

Al derivarlo tenemos que derivar la exponencial pero también la función cuadrática. En

casi todas las derivadas que van a venir a continuación , se utilizará la regla de la cadena.

1.- Derivada de una Función Trigonométrica

Vamos a estudiar las derivadas de la función seno y coseno. Conociendo como se

derivan, podemos obtener las derivadas de otras funciones trigonométricas que se

puedan escribir en términos de senos y cosenos.

Si 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 , entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑎

𝑑𝑥cos 𝑎 ∀ 𝑎 función de 𝑥

Aquí podemos ver que se aplica la Regla de la Cadena porque no solo hay que derivar el

seno, también hay que derivar al polinomio 𝑎 con respecto a 𝑥.

Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 4)

𝑎 = 𝑥2 + 4 𝑑𝑎

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 cos (𝑥2 + 4)


Si 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 , entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑑𝑎

𝑑𝑥sen 𝑎 ∀ 𝑎 función de 𝑥

Ejercicio. Derivar 𝑦 = cos (𝑥

𝑥−4)

En esta función 𝑎 = 𝑥

𝑥−4 , pero como hay que derivarlo y es un cociente entonces hay que

usar la fórmula de derivada de una función con cociente

𝑎 = 𝑥

𝑥 − 4

𝑏 = 𝑥 𝑑𝑏

𝑑𝑥 = 1

𝑐 = 𝑥 − 4 𝑑𝑐

𝑑𝑥= 1

𝑑𝑎

𝑑𝑥=𝑐𝑑𝑏𝑑𝑥− 𝑏

𝑑𝑐𝑑𝑥

𝑐2= 𝑥 − 4 − 𝑥

(𝑥 − 4)2=

−4

(𝑥 − 4)2

Por lo tanto

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

−4

(𝑥 − 4)2 𝑠𝑒𝑛 (

𝑥

𝑥 − 4) =

4

(𝑥 − 4)2 𝑠𝑒𝑛 (

𝑥

𝑥 − 4)

Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑐𝑜𝑠(𝑥3))

Esta es una función cuya operación principal es un seno que tiene un argumento coseno

que a su vez tiene un polinomio como argumento. Entonces

𝑎 = cos (𝑥3)

Para derivar 𝑎 hay que tomar ahora el argumento del coseno como 𝑏

𝑏 = 𝑥3 𝑑𝑏

𝑑𝑥= 3𝑥2

𝑑𝑎

𝑑𝑥= −

𝑑𝑏

𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑏) = −3𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥3)

Por lo tanto

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑑𝑎

𝑑𝑥cos(𝑎) = −3𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥3)cos (cos(𝑥3))


54

Para el resto de las derivadas de funciones trigonométricas lo que hay que hacer es

primero escribirlas en términos de seno y coseno y luego derivar. Este es un recordatorio

de cómo escribir algunas funciones trigonométricas en términos de seno y coseno

tan 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥 cot 𝑥 =

cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥

sec 𝑥 = 1

cos 𝑥 csc 𝑥 =

1

𝑠𝑒𝑛 𝑥

Ejercicio. Derivar 𝑦 = tan 𝑥

𝑦 = tan 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos𝑥

Viendo ahora a tangente como seno entre coseno, para derivarla hay que hacerle como si

se tuviera una función con cociente.

𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑎

𝑑𝑥= cos 𝑥

𝑏 = cos 𝑥 𝑑𝑏

𝑑𝑥= −𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= cos 𝑥 (cos 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (−𝑠𝑒𝑛 𝑥)

𝑐𝑜𝑠2𝑥= 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥=

1

𝑐𝑜𝑠2𝑥=

1

cos 𝑥 1

cos𝑥

= sec 𝑥 sec 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Por lo tanto la derivada de tangente es secante al cuadrado.

2.- Derivada De Una Función Potencia

Si 𝑦 = 𝑎𝑛 , entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑛

𝑑𝑎

𝑑𝑥 𝑎𝑛−1 ∀ 𝑎 función de 𝑥

Es importante notar la diferencia entre esta derivada y la derivada de un polinomio. Una

función potencia es todo un polinomio elevado a una potencia, por ejemplo 𝑦 = (𝑥 − 2)7

es una función potencia porque todo el polinomio x-2 esta elevado a la 7. En cambio 𝑦 =

𝑥2 − 4 no es una función potencia porque este polinomio no está elevado todo a una

potencia mayor que uno.


Ejercicio. Derivar 𝑦 = (𝑥2 − 4𝑥)20

Como hay que utilizar la Regla de la Cadena, 𝑎 va a ser el polinomio que está siendo

elevado a la 20.

𝑎 = 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑎

𝑑𝑥= 2𝑥 − 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 20 (2𝑥 − 4)(𝑥2 − 4𝑥)19

Ejercicio. Obtener 𝑑𝑦

𝑑𝑥 si 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛5(𝑥4 − 5)

Esto aunque parece una función trigonométrica, en realidad es una función potencia

porque la operación principal en la función es elevar el seno a la 5.

𝑎 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥4 − 5)

Ahora hay que derivar esto usando la derivada de la función seno

𝑏 = 𝑥4 − 5 𝑑𝑏

𝑑𝑥= 4𝑥3

𝑑𝑎

𝑑𝑥= 4𝑥3 cos(𝑥4 − 5)

Entonces

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 5 (4𝑥3 cos(𝑥4 − 5)) 𝑠𝑒𝑛4(𝑥4 − 5) = 20𝑥3 cos(𝑥4 − 5) 𝑠𝑒𝑛4(𝑥4 − 5)

3.- Derivada de una Función Exponencial

Si 𝑦 = 𝑒𝑎 , entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑎

𝑑𝑥 𝑒𝑎 ∀ 𝑎 función de 𝑥

Hay que recordar que 𝑒 es una constante muy utilizada cuyo valor es e = 2.718281. Para

derivar una función exponencial también se usa la Regla de la Cadena

Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑒tan (𝑥)

Para poder obtener la derivada de 𝑦 hay que primero derivar a tan (𝑥)

𝑎 = tan 𝑥 𝑑𝑎

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥


56

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = (𝑠𝑒𝑐2𝑥 )𝑒tan𝑥

Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑒(𝑥3−5)6

𝑎 = (𝑥3 − 5)6

Para poder derivar (𝑥3 − 5)6 hay que hacerlo usando la fórmula para las funciones

potencia

𝑏 = 𝑥3 − 5 𝑑𝑏

𝑑𝑥= 3𝑥2

𝑑𝑎

𝑑𝑥= 6(3𝑥2)(𝑥3 − 5)5 = 18𝑥2(𝑥3 − 5)5

Por lo tanto

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 18𝑥2(𝑥3 − 5)5 𝑒(𝑥

3−5)6

4.- Derivada de una Función Logaritmo Natural

El logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial. El logaritmo natural es

un logaritmo base 𝑒. Esto quiere decir que

𝑙𝑜𝑔𝑒(𝑒) = ln(𝑒) = 1

Antes de ver como derivar una función logarítmica, hay que recordar algunas propiedades

de los logaritmos ya que permiten simplificar el álgebra al momento de derivar.

ln(𝑥𝑦) = ln(𝑥) + ln(𝑦)

𝑙𝑛 (𝑥

𝑦) = ln(𝑥) − ln (𝑦)

ln (𝑥𝑦) = 𝑦 ln (𝑥)

Ahora que ya sabemos estas propiedades, derivar se vuelve muy fácil.

Si 𝑦 = ln 𝑎 , entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑎

𝑑𝑥

𝑎 ∀ 𝑎 función de 𝑥

Lo más recomendable para simplificar el álgebra cuando tenemos una función logarítmica

y la queremos derivar es primero aplicar las propiedades de los logaritmos y luego ya

derivar.


Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥2

𝑥−5)

𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥2

𝑥 − 5) = ln(𝑥2) − ln(𝑥 − 5) = 2 ln(𝑥) − ln (𝑥 − 5)

Ahora que ya tenemos una expresión más fácil de esta función, la derivada se obtiene

muy fácilmente

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2

1

𝑥− (

1

𝑥 − 5) =

2

𝑥−

1

𝑥 − 5

Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛3(𝑥)cos (𝑥))

𝑦 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛3(𝑥)cos (𝑥)) = ln(𝑠𝑒𝑛3(𝑥)) + ln(cos(𝑥)) = 3 ln(𝑠𝑒𝑛𝑥) + ln (𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑎 = ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑎

𝑑𝑥= cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥= cot 𝑥

𝑏 = ln (cos 𝑥) 𝑑𝑏

𝑑𝑥= −𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥 = − tan 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3

𝑑𝑎

𝑑𝑥+𝑑𝑏

𝑑𝑥 = 3 cot 𝑥 − tan 𝑥

Ejemplos Diversos

1.- Obtener la derivada de la función 𝑦 = (𝑥2 − 4)𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥

La operación principal que hay en esta función es un producto entre un polinomio y una

función exponencial.

𝑎 = 𝑥2 − 4 𝑑𝑎

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑏 = 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑐

𝑑𝑥= cos𝑥

𝑑𝑏

𝑑𝑥= 𝑑𝑐

𝑑𝑥 𝑒𝑐 = cos 𝑥 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎

𝑑𝑏

𝑑𝑥+ 𝑏

𝑑𝑎

𝑑𝑥= (𝑥2 − 4 )cos𝑥 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥


58

2.- Derivar 𝑦 = tan 𝑥

(𝑥4−5)7

En esta función la operación principal es un cociente.

𝑎 = tan 𝑥 𝑑𝑎

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝑏 = (𝑥4 − 5)7

𝑐 = 𝑥4 − 5 𝑑𝑐

𝑑𝑥= 4𝑥3

𝑑𝑏

𝑑𝑥= 7

𝑑𝑐

𝑑𝑥 𝑐6 = 7 (4𝑥3)(𝑥4 − 5)6 = 28𝑥3(𝑥4 − 5)6

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑏𝑑𝑎𝑑𝑥

− 𝑎𝑑𝑏𝑑𝑥

𝑏2= 𝑠𝑒𝑐2𝑥(𝑥4 − 5)7 − tan 𝑥(28𝑥3(𝑥4 − 5)6)

(𝑥4 − 5)14

c) Derivar 𝑦 = √𝑙𝑛 (𝑥2

𝑥−4)

𝑦 = (ln (𝑥2

𝑥 − 4))

1/2

= (2𝑙𝑛𝑥 − ln (𝑥 − 4))1/2

La operación principal en esta función es una potencia

𝑎 = 2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)

𝑑𝑎

𝑑𝑥= 2(

1

𝑥) − (

1

𝑥 − 4) =

2

𝑥−

1

𝑥 − 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1

2 𝑑𝑎

𝑑𝑥 𝑎12−1 =

1

2(2

𝑥−

1

𝑥 − 4) (2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4))−1/2

=

12 (

2𝑥 −

1𝑥 − 4)

(2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4))1/2=

(2𝑥 −

1𝑥 − 4)

2√2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)=

2(𝑥 − 4) − 𝑥𝑥(𝑥 − 4)

2√2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)

=

𝑥 − 8𝑥(𝑥 − 4)

2√2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)=

𝑥 − 8

2𝑥(𝑥 − 4)√2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)


Ejercicios

1.- Deriva las siguientes funciones utilizando los cuatro pasos

a) 𝑦 = 𝑥 − 4

b) 𝑦 = 5𝑥2

c) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥

d) 𝑦 = 𝑥3 − 8𝑥

e) 𝑦 = 5

𝑥

f) 𝑦 = 1

𝑥+

1

𝑥2

2.- Utilizando las fórmulas de derivadas, encuentra la derivada de cada una de las

siguientes funciones

a) 𝑦 = √𝑥3 − 4𝑥 + 5

𝑥

b) 𝑦 = (𝑥2 − 4)(√𝑥 + 𝑥)

c) 𝑦 = 𝑥3−4𝑥+1

𝑥−4

d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2)

e) 𝑦 = sec 𝑥

f) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2−4)

𝑥−1

g) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠4(𝑠𝑒𝑛(𝑥))

h) 𝑦 = (tan 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)5

i) 𝑦 = 𝑒(𝑥−4)2

j) 𝑦 = 𝑒cos (𝑥4−4𝑥)

k) 𝑦 = 𝑒√𝑠𝑒𝑛(cos(𝑥))

l) 𝑦 = 𝑒4𝑥

cos (8𝑥)

m) 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑒𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥)

n) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥3(𝑥2 − 4)5)

o) 𝑦 = 𝑙𝑛 (sec𝑥

tan𝑥)

p) 𝑦 = ln (𝑥4−4𝑥

𝑒𝑥)

q) 𝑦 = (3𝑥4 − 8𝑥)4𝑒𝑥

r) 𝑦 = 𝑒𝑥3−4𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥

s) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (cos (𝑠𝑒𝑛(𝑒𝑥3−4)))

t) 𝑦 = 𝑒𝑠𝑒𝑛4𝑥

(𝑥−1)9


𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

𝑥 − 1 𝑔(𝑥) =

3

2 − 𝑥 ℎ(𝑥) = √𝑥2 − 1

a) Encuentra el dominio y rango de estas funciones.


60

b) Encuentra el dominio y rango de 𝑑𝑓

𝑑𝑥 , 𝑑𝑔

𝑑𝑥 , 𝑑ℎ

𝑑𝑥. ¿Es igual el dominio de una función al

dominio de su derivada? ¿Es igual el rango de una función al rango de su derivada?

c) Sea 𝑡(𝑥) = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) . Encuentra 𝑑𝑡

𝑑𝑥 .

d) Encuentra la derivada de 𝑠(𝑥) = (𝑓2 𝑜 𝑔2)(𝑥)

4.- Verdadero o Falso. En caso de que sea falso, justifica.

a) Si 𝑓(0) = 1 entonces 𝑓′(0) = 𝑑𝑓

𝑑𝑥(0) = 1

b) Si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛2(𝑥) entonces

𝑑𝑓

𝑑𝑥= cos(𝑥) 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)

c) La derivada de una función 𝑓(𝑥), nos describe el comportamiento de la pendiente de

𝑓(𝑥)

d) La pendiente de 𝑓(𝑥) = √𝑥 en 𝑥 = 0 es 𝑚 = 0

e) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑛 > 2 entonces 𝐷(𝑓) = 𝐷 (𝑑𝑓

𝑑𝑥)


Optimización

Cálculo de Máximos y Mínimos de Una Función

Una de los cosas para las que más se utiliza el cálculo diferencial es para encontrar los

puntos de una función en donde se alcanzan los valores máximos o mínimos. Estos

pueden ser de gran interés por ejemplo para una empresa que desea maximizar su

utilidad y minimizar los costos de producción.

En términos de pendientes de la función, tanto los máximos como los mínimos se

alcanzan en los puntos donde la pendiente es igual a cero. En un máximo la pendiente de

los puntos que se encuentran a la izquierda del máximo es positiva y la pendiente de los

puntos que se encuentran a la derecha del máximo es negativa mientras que en un

mínimo sucede lo contrario, la pendiente de los puntos a la izquierda del mínimo es

negativa y la pendiente de los puntos que están a su derecha es positiva.

Pasos Para Encontrar los Máximos y Mínimos

1.- Derivar la función. Esto porque al derivar la función lo que obtenemos es la ecuación

que nos dice la pendiente de la función que derivamos en cualquier punto.

2.- Igualar la derivada a cero y resolver la ecuación. Al igualar la derivada a cero, estamos

haciendo que la pendiente valga cero (esta es la condición para encontrar un máximo o

un mínimo). Después resolver la ecuación, estamos encontrando justamente en qué

puntos hay un máximo o mínimo. A estos valores de 𝑥 se les conoce como Puntos

Críticos.

3.- Obtener la segunda derivada de la función. Esto nos permitirá saber si el punto crítico

es máximo o mínimo.

4.- Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos. Si el valor de la segunda derivada

es menor que cero, entonces el punto crítico es un máximo. Si el valor de la segunda

derivada evaluado en el punto crítico es mayor que cero entonces este punto es un

mínimo. Si la segunda derivada evaluada en el punto crítico es cero entonces en ese

punto hay un punto de inflexión.


62

Ejercicio. Encontrar los máximos y mínimos de 𝑓(𝑥) = 1

3𝑥3 −

5

2𝑥2 + 6𝑥 + 14

1.- Derivar

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 3

3𝑥2 −

2(5)

2𝑥 + 6 + 0 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6

2.- Igualar la derivada a cero y resolver la ecuación

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 0 ⇒ 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

Esta expresión se puede factorizar y por lo tanto se puede resolver más fácilmente

(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0

𝑥 − 3 = 0 𝑜 𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 3 𝑥 = 2 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠

3.- Encontrar la segunda derivada

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 𝑥2 − 5𝑥 + 6

𝑑2𝑓

𝑑𝑥= 2𝑥 − 5

4.- Evaluar y utilizar los criterios para determinar si el punto crítico es máximo, mínimo o

punto de inflexión

𝑥 = 3 ⇒ 𝑑2𝑓

𝑑𝑥= 2(3) − 5 = 6 − 5 = 1 ⇒

𝑑2𝑓

𝑑𝑥> 0 ⇒ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑥 = 2 ⇒ 𝑑2𝑓

𝑑𝑥= 2(2) − 5 = −1 ⇒

𝑑2𝑓

𝑑𝑥< 0 ⇒ 𝑥 = 2 𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜


Ejercicio. Encontrar los máximos y mínimos de 𝑦 = (𝑥 + 5)𝑒3𝑥

1.- Derivar

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑥 + 5)3𝑒3𝑥 + (1)𝑒3𝑥 = 𝑒3𝑥(3𝑥 + 15 + 1) = 𝑒3𝑥(3𝑥 + 16)

En esta derivada se uso la regla del producto

2.- Igualar la derivada a cero y encontrar los puntos críticos

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 ⇒ 𝑒3𝑥(3𝑥 + 16) = 0

Como 𝑒3𝑥 es una función exponencial que nunca va a valer cero, entonces como se tiene

una multiplicación igualada a cero una de las dos funciones que se están multiplicando

tiene que valer cero y en este caso es 3x + 16

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 ⇒ (3𝑥 + 16) = 0 ⇒ 𝑥 = −

16

3

Por lo tanto 𝑥 = −16

3 es un punto crítico

3.- Obtener la segunda derivada

𝑑2𝑦

𝑑𝑥= 𝑒3𝑥(3) + (3𝑥 + 16)3𝑒3𝑥 = 𝑒3𝑥(3 + 9𝑥 + 48) = 𝑒3𝑥(9𝑥 + 51)

4.- Evaluar el punto crítico y decidir si es máximo, mínimo o punto de inflexión

𝑆𝑖 𝑥 = −16

3

𝑑2𝑦

𝑑𝑥= 𝑒−16 (9 (−

16

3) + 51) > 0

Como la segunda derivada es positiva, entonces hay un mínimo en 𝑥 = −16

3


64

Aplicaciones a la Economía (Decisiones de Empresas)

Una aplicación muy interesante de la obtención de máximos y mínimos de una función se

encuentra en la economía. Hay muchos ejemplos, pero, por ahora, nosotros estaremos

resolviendo problemas orientados a empresas. Lo que una empresa busca, en términos

generales, es maximizar sus utilidades (o ganancias) sujeto a que el producto que ofrece

es demandado por un cierto mercado que está dispuesto a comprar distintas cantidades

de ese producto dependiendo solamente de su precio.

Nosotros haremos el supuesto que los ingresos de la empresa dependen solamente de la

cantidad vendida y esta será igual a la cantidad demandada. Entonces los ingresos de

una empresa tienen la siguiente ecuación:

𝐼(𝑝) = 𝑝 𝑄(𝑝)

Donde 𝑄(𝑝) es la cantidad demandada que está en función del precio de venta. Por lo

tanto como los ingresos también dependen del precio de venta nada más.

Pero los ingresos de una empresa no siempre representan sus ganancias ya que producir

cada unidad que vende tiene un costo. La función de costos depende de la cantidad

producida que es igual a la cantidad demandada. Pero entonces podemos poner a los

costos en función del precio, ya que la cantidad vendida depende del precio. Esto nos

ayudará a tener un problema de una sola variable.

Las utilidades de una empresa son los ingresos menos los costos. Por lo tanto

𝑈(𝑝) = 𝐼(𝑝) − 𝐶(𝑄(𝑝))

Donde 𝑈(𝑝) es la utilidad de la empresa en función del precio y 𝐶(𝑄(𝑝)) representan los

costos que dependen de la cantidad que a su vez dependen del precio. En resumen, lo

que una empresa gana depende solamente del precio al que vende cada unidad. Esta es

la función que una empresa busca maximizar, por lo tanto, el objetivo de una empresa es

encontrar el precio que haga que sus utilidades sean mayores.

Ejercicio. La función de demanda de Chocolates a la que se enfrenta una empresa

es

𝑄(𝑝) = 1

3𝑝2 −

15

2𝑝 + 50

Suponiendo que producir cada chocolate no le cuesta a la empresa, ¿Qué precio debe

poner la empresa para maximizar sus ganancias?

Debido a que no hay costos entonces 𝑈(𝑝) = 𝐼(𝑝) , es decir, la utilidad va a ser igual a los

ingresos. Por lo tanto debemos encontrar la función de ingresos de esta empresa.


𝐼(𝑝) = 𝑝𝑄(𝑝) = 𝑝 (1

3𝑝2 −

15

2𝑝 + 50) =

1

3𝑝3 −

15

2𝑝2 + 50𝑝

Ahora , para encontrar el máximo de esta función , usemos los cuatro pasos vistos

anteriormente.

1.- Derivar

𝑑𝐼

𝑑𝑝 = 𝑝2 − 15𝑝 + 50


𝑑𝐼

𝑑𝑝= 0 ⇒ 𝑝2 − 15𝑝 + 50 = 0 ⇒ (𝑝 − 5)(𝑝 − 10) = 0 ⇒ 𝑝 = 5 ó 𝑝 = 10


𝑑2𝐼

𝑑𝑝= 2𝑝 − 15


𝑝 = 5 ⇒ 𝑑2𝐼

𝑑𝑝 = −5 𝑝 = 10 ⇒

𝑑2𝐼

𝑑𝑝 = 5

Por lo tanto, la empresa debe vender a un precio de cinco cada chocolate para maximizar

sus ganancias.

Ejercicio. La función de demanda de paletas heladas a la que se enfrenta una

empresa es

𝑄(𝑝) = 1

3𝑝2 −

19

2𝑝 + 100

La función de costos de esta empresa en función del precio de venta por unidad es

𝐶(𝑝) = 12𝑝

Esta empresa, ¿A cuánto debe vender cada paleta para maximizar sus utilidades?


66

Debemos encontrar primeramente la función de ingresos de la empresa.

𝐼(𝑝) = 𝑝 𝑄(𝑝) = 𝑝 (1

3𝑝2 −

19

2𝑝 + 100) =

1

3𝑝3 −

19

2𝑝2 + 100𝑝

La función de utilidad de la empresa es

𝑈(𝑝) = 𝐼(𝑝) − 𝐶(𝑝) =1

3𝑝3 −

19

2𝑝2 + 100𝑝 − 12 𝑝 =

1

3𝑝3 −

19

2𝑝2 + 88𝑝

A esta función es a la que le aplicamos los cuatro pasos para encontrar su máximo.

1.- Derivar

𝑑𝑈

𝑑𝑝 = 𝑝2 − 19𝑝 + 88


𝑑𝑈

𝑑𝑝 = 0 ⇒ 𝑝2 − 19𝑝 + 88 = 0 ⇒ (𝑝 − 8)(𝑝 − 11) = 0 ⇒ 𝑝 = 8 ó 𝑝 = 11


𝑑2𝑈

𝑑𝑝= 2𝑝 − 19


𝑝 = 8 ⇒ 𝑑2𝑈

𝑑𝑝 = −3 𝑝 = 11 ⇒

𝑑2𝑈

𝑑𝑝= 3

Por lo tanto, si la empresa vende cada paleta helado a un precio de tres, estará

maximizando sus utilidades.


Aplicaciones a la Economía (Decisiones de Consumidores)

Ahora, nos dedicaremos a estudiar el lado de la demanda. Trataremos de contestar las

siguientes dos preguntas: ¿Por qué un consumidor demanda un cierto producto? ¿Qué

determina la cantidad que demanda el consumidor?

La teoría económica actual señala que los consumidores demandan un cierto producto

simplemente porque reciben utilidad (bienestar) de consumir dicho producto. Es decir, una

persona consume solamente los productos que le brindan satisfacción, esto se debe a

que por cada unidad del producto la persona debe pagar un cierto precio para poderlo

consumir. Por lo tanto, un consumidor solamente estará dispuesta a gastar en lo que le

trae algún beneficio.

Nosotros haremos un modelo económico de demanda de dos bienes (𝑋 𝑒 𝑌) pensando

que el consumidor tiene solamente la restricción de que puede gastar en ellos un ingreso

fijo. Para poder modelar la demanda de un agente, pensaremos que la utilidad de este

agente se puede medir a través de una función de utilidad 𝑈(𝑥, 𝑦) que nos dice el nivel de

utilidad (bienestar) que recibe el agente por consumir una canasta de bienes (𝑥, 𝑦). Por

ejemplo, si la función de utilidad del consumidor fuera 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 y esta persona

consumiera 4 unidades de 𝑋 y 3 unidades de 𝑌 entonces, usando la función de utilidad de

esta persona, podríamos concluir que su utilidad es 𝑈(4,3) = 4(3) = 12.

La función de utilidad nos permite clasificar distintas canastas en términos del beneficio

que recibe el agente por consumirlas. Diremos que la persona prefiere una canasta 𝐴

sobre otra 𝐵 cuando la utilidad que recibe por consumir 𝐴 es mayor que la utilidad que

recibe por consumir 𝐵.

Ejercicio. Considera un agente con función de utilidad 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2. Este agente

tiene dos posibles canastas a consumir: (1,2) 𝑜 (2,1) ¿Qué canasta prefiere

consumir esta persona?

Para ver que canasta prefiere la persona, simplemente debemos evaluar la función de

utilidad en cada canasta y ver en cual la utilidad que recibe la persona es mayor.

𝑈(1,2) = 1(22) = 4 𝑈(2,1) = 2(12) = 2

Por lo tanto, esta persona preferirá consumir la canasta (1,2) debido a que recibe una

utilidad mayor.

Hay un problema que hasta ahora no hemos considerado: Un agente no tiene recursos

ilimitados y consumir cuesta. Seguramente hay canastas de bienes que a una persona le

gustaría consumir pero la razón por la cual no lo hace tiene que ver con que las personas

cuentan con un ingreso determinado y por lo tanto, no pueden comprar lo que sea debido

a que su gasto no puede pasarse de su ingreso (estamos suponiendo que las personas

no se pueden endeudar).


68

En el modelo de demanda que estamos describiendo, pensaremos que el agente cuenta

con un ingreso 𝐼 > 0 fijo y que el gasto del agente no puede pasarse de 𝐼. Supondremos

que cada unidad del bien 𝑋 cuesta 𝑃𝑋 y que cada unidad del bien 𝑌 cuesta 𝑃𝑌. De esta

manera, el gasto de un agente por consumir una canasta (𝑥, 𝑦) es 𝑃𝑋𝑥 + 𝑃𝑌𝑦. Y como el

gasto debe ser igual al ingreso, obtenemos la siguiente ecuación

𝑃𝑋𝑥 + 𝑃𝑌𝑦 = 𝐼

Esta ecuación es conocida como la Restricción Presupuestal del consumidor. Un

consumidor lo que busca es elegir que canasta (𝑥, 𝑦) consumir para maximizar su utilidad

pero sujeto a su restricción presupuestal. La mejor canasta (que resulta de resolver el

problema de maximización descrito anteriormente) es lo que conocemos como la

demanda.

Ejercicio. Martín recibe utilidad por consumir café y helados. Las unidades de café

que consume serán representadas por la variable 𝑋 mientras que las unidades de

helado que consume serán representadas por la variable 𝑌. La función de utilidad

de Martín por consumir estos bienes es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦. Actualmente, Martín no

trabaja pero recibe 1000 pesos de sus papás para consumir estos productos. El

precio de cada café es de 20 pesos y el de cada helado es de 10 pesos (es decir

𝑃𝑋 = 20 𝑃𝑌 = 10). ¿Cuántas unidades de café y de helados demanda Martín si

busca maximizar su utilidad?

Lo primero que debemos hacer para resolver este problema es escribir la restricción

presupuestal de Martín. Debido a que 𝑃𝑋 = 20 𝑃𝑌 = 10 su restricción es la siguiente

20𝑥 + 10𝑦 = 1000

Ahora, lo que hacemos es despejar 𝑦 de esta restricción. Obtenemos lo siguiente

𝑦 = 1000 − 20𝑥

10= 100 − 2𝑥

Después, sustituimos lo despejado en la función de utilidad de Martín.

𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 = 𝑥2(100 − 2𝑥) = 100𝑥2 − 2𝑥3

Entonces, utilizando la restricción presupuestal, hemos logrado expresar la utilidad de

Martín solamente en términos de la cantidad de café que consume. Ahora seguimos los

pasos de máximos y mínimos sobre la función de utilidad.

1.- Derivar

𝑑𝑈

𝑑𝑥= 200𝑥 − 6𝑥2



200𝑥 − 6𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥(200 − 6𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = 0 ó 𝑥 = 100

3


𝑑2𝑈

𝑑𝑥= 200 − 12𝑥


𝑥 = 0 ⇒ 𝑑2𝑈

𝑑𝑥> 0 𝑥 =

100

3 ⇒

𝑑2𝑈

𝑑𝑥< 0

Por lo tanto, si Martín demanda 𝑥 = 100

3 unidades de café estará maximizando su utilidad.

Resultó que si demanda 𝑥 = 0 su utilidad se minimiza, lo cual tiene todo el sentido pues

estamos suponiendo que Martín recibe utilidad por demandar café. Para saber cuánto

demanda de helado debemos usar la restricción presupuestal despejada.

𝑦 = 100 − 2𝑥 = 100 − 2(100

3) =

100

3

En conclusión, Martín demandará 100

3 unidades de café y

100

3 unidades de helado para

maximizar su utilidad.

Ejercicio. Julia recibe utilidad por consumir dos bienes: 𝑋 𝑒 𝑌. La función de utilidad

de Julia es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Julia cuenta con un ingreso de 2500 pesos para consumir

estos bienes. El precio del bien 𝑌 es 𝑃𝑌 = 1 mientras que el precio del bien 𝑋 es

𝑃𝑋 > 0. Encuentra la demanda de Julia por el bien 𝑋 en función de su precio. A

medida que el precio de 𝑋 es mayor ¿Qué sucede con la cantidad que Julia

demanda?

La restricción presupuestal de Julia es la siguiente

𝑃𝑋𝑥 + 𝑃𝑌𝑦 = 𝑃𝑋𝑥 + 𝑦 = 2500

Despejamos 𝑦 de esta restricción

𝑦 = 2500 − 𝑃𝑋𝑥


70

La utilidad de Julia solamente en términos de 𝑋 es la siguiente

𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 = 𝑥(2500 − 𝑃𝑋𝑥) = 2500𝑥 − 𝑃𝑋𝑥2

Ahora usamos los pasos de máximos y mínimos para encontrar el valor de 𝑥 que

maximiza la utilidad de Julia.

1.- Derivar

𝑑𝑈

𝑑𝑥= 2500 − 2𝑃𝑋𝑥


2500 − 2𝑃𝑋𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 2500

2𝑃𝑋= 1250

𝑃𝑋


𝑑2𝑈

𝑑𝑥= −2𝑃𝑋


𝑥 =1250

𝑃𝑋 ⇒

𝑑2𝑈

𝑑𝑥< 0

Por lo tanto la cantidad que Julia demanda de 𝑋 en función del precio de compra es la

siguiente

𝑥 = 1250

𝑃𝑋

Esta función es conocida como la Curva de Demanda. Debido a que el precio del bien

está dividiendo, mientras más grande sea el precio de 𝑋 Julia demandará menos de este

bien. En Economía este resultado es conocido como la Ley de la Demanda (es decir, la

Ley de la Demanda dice que para algunos tipos de bienes, siempre que el precio del bien

suba, la demanda bajará).


Ejercicios

1.- Encuentra los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones

a) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2)(𝑥 + 4)

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −3

2𝑥2 − 6𝑥 + 12

c) 𝑓(𝑥) = 1

3𝑥3 +

3

2𝑥2 − 70𝑥 + 50

d) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 15)𝑒5𝑥

2.- Se conoce la siguiente información sobre una función g(x)

lim𝑥→ ∞

𝑔(𝑥) = 1 lim𝑥→ −∞

𝑔(𝑥) = 1 𝑔(0) = 2 𝑔(5) = −2 𝑔(2) = 1

𝑔′(0) = 0 𝑔′(5) = 0 𝑔′′(0) < 0 𝑔′′(5) > 0 𝑔′(2) = 0 𝑔′′(2) = 0

a) Escribe las coordenadas de los puntos de 𝑔(𝑥) donde se encuentran los máximos y

mínimos

b) Haz una gráfica de 𝑔(𝑥)

3.- Falso o Verdadero. En caso de que sea Falso justifica

a) Si una función 𝑓(𝑥) tiene un máximo, entonces tiene un mínimo

b) Si 𝑓(4) = 20 , 𝑓′(4) = 0 𝑦 𝑓′′(4) = 100 entonces 𝑓(𝑥) tiene un mínimo en x = 4 y el

valor mínimo de f(x) es 100

c) Si una función 𝑓(𝑥) tiene dos máximos, entonces tiene un mínimo

d) Una función puede no tener máximos ni mínimos

e) Si 𝑔(−5) = 0 𝑦 𝑔′′(−5) > 0 entonces 𝑔(𝑥) tiene un mínimo en 𝑥 = −5

4.- Una persona quiere construir una caja (sin tapa) a partir de un cuadrado cuyos lados

miden 100 cm recortando en cada esquina otro cuadrado de tamaño 𝑥. Encuentra el valor

de 𝑥 que maximiza el volumen de la caja.


72

5.- Un club deportivo tiene que poner el precio de su mensualidad (𝑝) de acuerdo al

número de socios que tiene (𝑞). La función de mensualidad es 𝑝 = 1

3𝑞2 − 150𝑞 + 20000

a) Encuentra la función de Ingreso de este club

b) Encuentra la cantidad de socios que maximizan el Ingreso del club

c) ¿Cuál es el ingreso del club si el número de socios es el encontrado en el inciso

anterior? ¿Cuánto debe pagar cada socio para poder estar en el club?

6.- La ecuación de demanda de calculadoras es 𝑝 = 1

3𝑞3 − 20𝑞2 + 375 donde 𝑝 es el

precio de las calculadoras que depende del número de calculadoras que se venden

(𝑞).Con esta información contesta las siguientes preguntas

a) Encuentra la función de ingreso de una empresa que se dedica a vender calculadoras

b) ¿Cuántas calculadoras debe vender y a qué precio para maximizar su ingreso?

Ahora sabemos que a esta empresa producir cada calculadora que vende le cuesta $75

c) Encuentra la función de costo y de utilidad (ganancia) de esta empresa

d) ¿Cuántas calculadoras debe vender la empresa para maximizar su utilidad?

e) ¿El precio al que debe vender las calculadoras la empresa para maximizar su utilidad

es el mismo precio al que las debe vender si quiere maximizar su ingreso?

f) Con la cantidad encontrada en el inciso d, muestra cual es el ingreso, costo y utilidad de

la empresa y compáralo con el ingreso, costo y utilidad si se toma la cantidad encontrada

en el inciso (b)

7.- Mauricio recibe utilidad por comprar refresco (𝑋) y papas (𝑌). El precio de cada

refresco es de 10 pesos al igual que el precio de cada bolsa de papas. La función de

utilidad de Mauricio es la siguiente

𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦

Actualmente, Mauricio cuenta con un ingreso de 400 pesos.

a) Encuentra la restricción presupuestal de Mauricio.

b) Encuentra la cantidad de refresco y papas que comprará Mauricio para maximizar su

utilidad


c) Actualmente, el gobierno se preocupa por el excesivo consumo de refresco. Por eso, le

puso un impuesto al consumo de refresco de tal forma que cada botella cuesta ahora 15

pesos. Encuentra ahora la cantidad de refresco que Mauricio consumirá. ¿Esta medida

fue efectiva para reducir el consumo de refresco?

8.- Guadalupe recibe utilidad por consumir café (𝑋) y dulces (𝑌). La función de utilidad de

Guadalupe es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦. El precio de cada dulce es 𝑃𝑌 = 1 mientras que el precio

de cada café es 𝑃𝑋 > 0. Guadalupe cuenta con un ingreso de 600 pesos.

a) Escribe la restricción presupuestal de Guadalupe

b) Encuentra la demanda de café de Guadalupe en términos de 𝑃𝑋

c) La demanda encontrada ¿Cumple con la Ley de la Demanda?

d) Falso o Verdadero. Sin importar cuanto cueste cada café, Guadalupe siempre

demandará 200 dulces.

9.- Gabriel recibe utilidad por viajar (reflejado en su demanda por boletos de avión) y por

consumir chocolates. Sea 𝑋 la cantidad de boletos de avión que Gabriel demanda e 𝑌 la

cantidad de chocolate que consume. La función de utilidad de Gabriel es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. El

precio de cada chocolate es 𝑃𝑌 = 1 mientras que el precio de cada boleto de avión es

𝑃𝑋 > 0. Gabriel cuenta con un ingreso de 𝐼 > 0 pesos.

a) Escribe la restricción presupuestal de Gabriel.

b) Encuentra la demanda de boletos de avión de Gabriel en términos de 𝐼 𝑦 𝑃𝑋. ¿Qué

sucede con la demanda de boletos de avión de Gabriel a medida que tiene más ingreso?

c) Supón que Gabriel tiene un ingreso de 200,000 pesos y que cada boleto de avión

cuesta 10,000 pesos. Encuentra la demanda de Gabriel de boletos de avión.

Debido a la escasez del petróleo, el precio de la turbosina ha aumentado

considerablemente. Esto ha afectado el precio de los boletos de avión que ahora es de

12,000 pesos.

d) Encuentra la cantidad de boletos de avión que Gabriel demanda ahora. ¿Este aumento

en el precio de cada boleto de avión afecta la utilidad de Gabriel?

Supón que el gobierno quiere ayudar a Gabriel dándole un subsidio al ingreso (es decir, le

va a dar más ingreso).

e) ¿De cuánto debe ser el subsidio para que Gabriel demande los mismos boletos de

avión encontrados en el inciso (c)? Recuerda que ahora 𝑃𝑋 = 12000.


74

Análisis Marginal

Cambios Marginales

Muchas veces al momento de estar analizando a una función, algo que nos interesa es

saber qué le ocurre al valor de la función si movemos a 𝑥 ligeramente. Cambiar poco el

valor de 𝑥 es conocido como cambio marginal. Un cambio, será marginal siempre y

cuando no movamos a 𝑥 más de una unidad a la derecha o a la izquierda. Es decir, si

llamamos 𝑥0 a la posición inicial de 𝑥 y 𝑥1 a la posición final, un cambio será marginal

siempre y cuando |𝑥1 − 𝑥0| ≤ 1.

Observar que le pasa al valor de la función al hacer un cambio marginal en la variable 𝑥

es conocido como análisis marginal. El análisis marginal nos permite estimar el

comportamiento de la función en distintos valores de 𝑥.

Análisis Marginal y Derivadas

Al hacer análisis marginal a una función 𝑓(𝑥), lo que estamos buscando es ∆𝑓(𝑥) , es

decir, el cambio en la función. Al cambiar 𝑥 de 𝑥0 a 𝑥1 podemos ver a ∆𝑓(𝑥) como

∆𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)

Por otra parte, recordemos que la definición de pendiente es la siguiente

𝑚 = ∆𝑦

∆𝑥= 𝑦1 − 𝑦0𝑥1 − 𝑥0

Como 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces en este caso

𝑚 = ∆𝑓(𝑥)

∆𝑥= 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)

𝑥1 − 𝑥0

Pero, como estamos hablando de funciones, a la pendiente la conocemos como derivada.

Entonces

𝑑𝑓

𝑑𝑥(𝑥0) =

𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)

𝑥1 − 𝑥0

Como estamos interesados en cambios marginales, haciendo que 𝑥1 − 𝑥0 = 1 tenemos

que

∆𝑓(𝑥) = 𝑑𝑓

𝑑𝑥(𝑥0)


Es decir, como cambia una función al mover 𝑥 marginalmente es igual a la derivada de la

función evaluada en el valor inicial de 𝑥.

El análisis marginal es muy utilizado en problemas de economía porque nos permite

saber, por ejemplo, que le sucede a la utilidad de la empresa si aumentara en una unidad

su precio. O, por ejemplo, nos permitiría saber que le sucede a los costos si se contrata a

un trabajador más, entre otras cosas.

Ejercicio. La función de costos de una empresa en función de sus trabajadores es

𝐶(𝑁 ) = 100𝑁3 − 20𝑁2 + 4000𝑁 + 10000

Donde 𝑁 es el número total de trabajadores en la empresa y 𝐶(𝑁 ) son los costos totales.

Actualmente la empresa cuenta con 100 trabajadores ( 𝑁 = 100). ¿Recomendarías que la

empresa contratara a un trabajador más?

Para saber si recomendamos a la empresa contratar a un trabajador más debemos

observar que sucede con los costos, si al tener un empleado más los costos suben,

entonces a la empresa no le conviene contratar un empleado más. Para esto usaremos

análisis marginal.

Lo primero que debemos hacer es encontrar la derivada del costo con respecto a los

empleados

𝑑𝐶

𝑑𝑁= 300𝑁2 − 40𝑁 + 4000

Entonces, si 𝑁 = 100

∆𝐶(𝑁) =𝑑𝐶

𝑑𝑁(100) = 300(100)2 − 40(100) + 4000 = 3000000

Esto quiere decir que si se contratara a un empleado más, los costos subirían

aproximadamente 3000000. Por lo tanto, no le conviene a la empresa contratar un

empleado más.

Ejercicio. La función de demanda de paletas heladas depende solamente de la

temperatura ambiental. Esta función es

𝑃(𝑡) = 𝑒𝑡2/100

Donde 𝑃(𝑡) representa el número de paletas vendidas y 𝑡 la temperatura ambiental en

grados centígrados. Si actualmente la temperatura ambiental es de 24°𝐶, ¿Aumentará la

venta de paletas si la temperatura subiera un grado?


76

Derivemos con respecto a la temperatura la cantidad de paletas vendidas

𝑑𝑃

𝑑𝑡=

2𝑡

100𝑒𝑡

2/100 = 𝑡

50𝑒𝑡

2/100

Si 𝑡 = 24 , entonces

∆𝑃(𝑡) = 𝑑𝑃

𝑑𝑡(24) =

24

50𝑒(24)

2/100 = 152.32

Esto quiere decir que si aumentara la temperatura en un grado centígrado, la venta de

paletas subiría aproximadamente 153 paletas.

Ejercicios

1.- Después de mucho tiempo de investigación se ha descubierto que la función que

predice la temperatura dependiendo la hora del día es 𝑇(ℎ) = −10𝑠𝑒𝑛(24ℎ) + 15 donde T

es la temperatura en grados centígrados y h es la hora del día (comenzando con 0 como

las 12 de la noche).

a) Encuentra la temperatura a las 0, 6, 12 y 18 horas del día

b) Si ahora son las 7 horas ¿Cuánto esperamos que la temperatura cambie para las 8?

c) Si ahora son las 22 horas ¿Cuál sería la temperatura esperada para las 23 horas?

2.- La función de utilidad (ganancia) de una empresa es 𝑈(𝑛) = 10𝑛4 − 30𝑛3 + 100𝑛 ,

donde U es la utilidad y n es el número de empleados que la empresa tiene. Actualmente

la empresa tiene 10 empleados

a) Si la empresa desea tener un empleado más, ¿Cuánto aumentaría su utilidad?

b) Debido a la recesión, el dueño ha decidido despedir a un empleado, ¿le recomendarías

que lo hiciera?

3.- La función de costo de una empresa que se dedica a producir relojes es

𝐶 (𝑟) = 1

3𝑟3 − 150𝑟2 + 20000𝑟 + 12500 donde C es el costo total y r es el número de

relojes que produce.

a) Si ahorita se producen 80 relojes, ¿Producir un reloj más aumenta el costo para la

empresa? ¿Conviene producir 81 relojes?

b) Si ahora se producen 150 relojes ¿Producir un reloj más aumenta el costo para la

empresa?¿Conviene producir 151 relojes?


c) Encuentra la cantidad de relojes que debe producir que es óptima

Ahora considera la función de costo medio de esta empresa

d) Si la empresa produce actualmente 80 relojes, ¿Cuánto aumenta su costo medio si se

produce uno más?

e) Si se producen 210 relojes ¿Conviene aumentar la producción en una unidad más?

f) ¿Cuál es el costo medio y total si se producen la cantidad de relojes encontrada en el

inciso c?

4.- Si la función de utilidad (ganancias) de una empresa es 𝑈(𝑞) donde 𝑞 es la cantidad

que produce la empresa, definimos la utilidad marginal como sigue

𝑢𝑚𝑔 = 𝑑𝑈

𝑑𝑞

Si la función de costos de la empresa es 𝐶(𝑞) entonces, el costo marginal se define como

sigue

𝑐𝑚𝑔 = 𝑑𝐶

𝑑𝑞

Considera las siguientes funciones de utilidad y costos para una cierta empresa:

𝑈(𝑞) = 𝑞3 + 2𝑞 − 𝐶(𝑞) 𝐶(𝑞) = 𝑞3 + 𝑞2

a) Encuentra la utilidad marginal y el costo marginal de esta empresa

b) Encuentra para que valores de 𝑞, la utilidad marginal de la empresa es decreciente

(Sugerencia: Básicamente debes resolver la siguiente desigualdad 𝑢𝑚𝑔 < 0)

c) Supón que la empresa produce actualmente 60 unidades ¿Recomendarías que la

empresa produzca menos? Justifica tu respuesta usando los incisos anteriores.


78

Método de Aproximación de Taylor

Polinomio de Taylor

El método de aproximación de Taylor es un procedimiento que nos permite conocer el

valor de una función evaluada en 𝑥 ,a partir de saber el valor de la función evaluada en

otro punto 𝑥0. Normalmente, pedimos que 𝑥0 tenga la característica de que 𝑓(𝑥0) sea un

valor fácil de obtener.

Si buscamos conocer el valor de 𝑓(𝑥) para alguna 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) y ya conocemos el valor de

𝑓(𝑥0), entonces

𝑓(𝑥) ≈ 𝑇(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0) ( 𝑥 − 𝑥0) +

1

2𝑓′′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0)

2 + 1

6𝑓′′′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

3

A la función 𝑇(𝑥) se le conoce como polinomio de Taylor.

Ejercicio. Obtener el valor de (2.3)3 usando el método de aproximación de

Taylor.

Lo primero que debemos hacer es plantear una función que nos permita calcular (2.3)3 .

Esta , claramente, es 𝑓(𝑥) = 𝑥3. Entonces lo que estamos buscando es el valor de

𝑓(2.3). Un valor que sea fácil de elevar al cubo y cerca de 𝑥 = 2.3 es 𝑥0 = 2. Usando 𝑥0 =

2 , calculemos lo necesario para poder aproximar el valor de 𝑓(2.3) usando a 𝑇(𝑥).

𝑓(𝑥) = 𝑥3 ⇒ 𝑓(𝑥0) = 𝑓(2) = 8

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 ⇒ 𝑓′(𝑥0) = 𝑓′(2) = 3(4) = 12

𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 ⇒ 𝑓′′(𝑥0) = 𝑓′′(2) = 12

𝑓′′′(𝑥) = 6 ⇒ 𝑓′′′(𝑥0) = 𝑓′′′(2) = 6

Siguiendo la fórmula tenemos que

𝑓(2.3) ≈ 8 + 12(2.3 − 2) + 1

2(12)(2.3 − 2)2 +

1

6(6)(2.3 − 2)3

𝑓(2.3) ≈ 8 + 12(. 3) + 6(. 09) + (. 027) = 12.167

Entonces 𝑓(2.3) ≈ 12.167

Ejercicio. Considera 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 . Encontrar el valor aproximado de 𝑓(.1)


Un valor fácil de conocer y cercano a 𝑓(.1) es el de 𝑓(0), por lo tanto utilizaremos 𝑥0 = 0.

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 1

𝑓′(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(0) = 1 + 1 = 2

𝑓′′(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′(0) = 1 + 2 = 3

𝑓′′′(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 + 3𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′′(0) = 4

Siguiendo la fórmula tenemos que

𝑓(. 1) ≈ 1 + 2(. 1 − 0) + 1

2(3)(. 1 − 0)2 +

1

6(4)(.1 − 0)3

𝑓(. 1) ≈ 1 + 2(. 1) + (1.5)(. 01) + (. 6667)(. 001) = 1.2156667

Entonces

𝑓(. 1) ≈ 1.2156667

Polinomios de Taylor más Utilizados

Ahora obtendremos el polinomio de Taylor para dos funciones en particular , 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 y

𝑓(𝑥) = 1

1−𝑥 . Para ambos usaremos 𝑥0 = 0.

Empecemos con 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 1

𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(0) = 1

𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′(0) = 1

𝑓′′′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′′(0) = 1

Entonces

𝑇(𝑥) = 1 + 1(𝑥 − 0) + 1

2(1)(𝑥 − 0)2 +

1

6(1)(𝑥 − 0)3

𝑇(𝑥) = 1 + 𝑥 +𝑥2

2+ 𝑥3

6

Ahora encontremos el polinomio de 𝑓(𝑥) = 1

1−𝑥


80

𝑓(𝑥) = 1

1 − 𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 1

𝑓′(𝑥) = 1

(1 − 𝑥)2 ⇒ 𝑓′(0) = 1

𝑓′′(𝑥) = 2

(1 − 𝑥)3 ⇒ 𝑓′′(0) = 2

𝑓′′′(𝑥) = 6

(1 − 𝑥)4 ⇒ 𝑓′′′(0) = 6

Entonces

𝑇(𝑥) = 1 + 1(𝑥 − 0) + 1

2(2)(𝑥 − 0)2 +

1

6(6)(𝑥 − 0)3

𝑇(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3

Ejercicio. Encontrar el valor de 𝑒 .2.

La función asociada a este problema es 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 . Usando la fórmula encontrada

anteriormente entonces

𝑇(𝑥) = 1 + 𝑥 +𝑥2

2+ 𝑥3

6

𝑓(. 2) ≈ 𝑇(. 2) = 1 + .2 + (.2)2

2+ (.2)3

6= 1 + .2 + .02 + .0013

Por lo tanto 𝑒 .2 ≈ 1.2213


Ejercicios

1.- Encuentra un valor aproximado de las siguientes expresiones usando el método de

aproximación de Taylor

a) 1.13

b) 3.42

c) 1

1.4

d) √5

e) √101

f) ln(1.1)

2.- Considera las siguientes funciones. Utilizando el método de aproximación de Taylor

encuentra el valor de las funciones al ser evaluadas en 𝑥

a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑥 = 1.4

b) 𝑔(𝑥) = 8𝑥3 𝑥 = 5.5

c) ℎ(𝑥) = 1

𝑥2 𝑥 = 4.1

d) 𝑡(𝑥) = (1 + 𝑥)5 𝑥 = .1

3.- Demuestra que la aproximación de Taylor cuando 𝑥0 = 0 de 𝑓(𝑥) = 1

1−𝑥 es

1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3

4.- Demuestra que la aproximación de Taylor cuando 𝑥0 = 0 de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 es

1 + 𝑥 + 𝑥2

2+ 𝑥3

6


82

Método de Newton - Raphson

Teorema del Valor Intermedio

Recordemos que si tenemos una función, las raíces son aquellos valores que hacen que

la función evaluada en ellos valga cero. Por ejemplo si tenemos 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 una raíz de

este polinomio es x = 1 porque 𝑓(1) = 12 − 1 = 0. Encontrar las raíces de un polinomio es

muy útil y tiene muchas aplicaciones (Por ejemplo nos permite encontrar los puntos

críticos de una función al igualar su derivada a cero).

El teorema del valor intermedio es un resultado muy importante en cálculo porque nos

permite conocer la existencia o no de una raíz en un cierto intervalo. El teorema dice lo

siguiente:

Si 𝑓: ℝ → ℝ es una función continua en un intervalo [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑎) > 0 𝑦 𝑓(𝑏) < 0 ó

𝑓(𝑎) < 0 𝑦 𝑓(𝑏) > 0, entonces ∃ 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑐) = 0.

Lo que éste teorema dice es que si tenemos una función que al principio de un cierto

intervalo es positiva (o negativa) y al final del intervalo es negativa (o positiva) entonces a

la fuerza tuvo que haber pasado por el cero para poder pasar de ser positiva a negativa o

viceversa.

Ejercicio. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7 ¿Tiene esta función una raíz en el intervalo [1,2] ?

Lo único que debemos hacer es evaluar en los extremos del intervalo y usar el teorema

anterior.

𝑓(1) = 1 − 7 = −6 𝑓(2) = 8 − 7 = 1

Como 𝑓(1) < 0 𝑦 𝑓(2) > 0 entonces podemos asegurar que esta función tiene una raíz

en el intervalo [1,2] .

Algo que debemos notar, es que este teorema sólo nos sirve para saber si existe o no una

raíz, pero no nos dice el valor de la raíz. Para encontrar su valor se deben de utilizar otros

caminos como el método de Newton - Raphson.


Fórmulas Recursivas

Una fórmula es recursiva cuando para calcular el n-ésimo término se necesita del anterior

o de términos anteriores. Por ejemplo la sucesión de Fibonacci es recursiva porque

𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2 𝑐𝑜𝑛 𝑓0 = 1 𝑦 𝑓1 = 1

En este ejemplo 𝑓2 = 𝑓1 + 𝑓0 = 1 + 1 = 2, por lo tanto si así seguimos calculando

𝑓3 = 𝑓2 + 𝑓1 = 2 + 1 = 3

𝑓4 = 𝑓3 + 𝑓2 = 3 + 2 = 5

𝑓5 = 𝑓4 + 𝑓3 = 5 + 3 = 8

Y así sucesivamente se sigue calculando hasta encontrar el término que se quiere.

Una fórmula recursiva se dice que converge cuando a partir de cierto término el siguiente

se parece mucho al anterior y los siguientes términos también. Por ejemplo si se tienen

los siguientes términos de una fórmula recursiva

𝑠1 = 1.7 𝑠2 = 1.6 𝑠3 = 1.55…. 𝑠20 = 1.49211 𝑠21 = 1.492111 𝑠22 = 1.492110…

Esta sucesión converge a partir del término 20 porque el 21 y los que siguen ya se

parecen al término 20. La sucesión de Fibonacci NO converge porque los términos van

siempre creciendo y no se empiezan nunca a parecer entre ellos.

Método de Newton - Raphson

El Método de Newton - Raphson es una fórmula recursiva que nos permite calcular las

raíces de una función. Si tenemos una función 𝑓(𝑥) y queremos encontrar los valores de

𝑥 tales que 𝑓(𝑥) = 0, el método de Newton - Raphson dice que

𝑋𝑛 = 𝑋𝑛−1 − 𝑓(𝑋𝑛−1)

𝑓′(𝑋𝑛−1)

Entonces, un valor más aproximado de la raíz de un polinomio se puede obtener

restándole al valor anterior (𝑋𝑛−1) la función evaluada en el valor anterior entre la

derivada de la función evaluada en el valor anterior. Es importante notar que hay que

escoger un valor inicial llamado X0 para empezar a calcular los términos que siguen.

Pero no hay que escoger un valor inicial cualquiera si no que hay que escoger uno que

este cerca de la raíz para que así esta fórmula recursiva converja, es decir , que a partir

de cierto término las Xn se empiecen a parecer.

Para encontrar cerca de qué valores es posible que haya una raíz lo que se hace es

empezar a evaluar en distintos valores y si se encuentran dos valores consecutivos uno


84

en donde la función evaluada es positiva y otro donde es negativa entonces podemos

asegurar que entre estos valores existe una 𝑥 tales que 𝑓(𝑥) = 0.

Ejercicio. Utilizando el Método de Newton - Raphson encontrar una raíz de la

siguiente función usando 𝑥0 = 2

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5

Entonces como se va a utilizar el Método de Newton - Raphson lo primero que hay que

encontrar es la derivada de la función

𝑓′(𝑥) = 2𝑥

Ahora aplicamos la fórmula hasta que empiece a converger

𝑋𝑛 = 𝑋𝑛−1 − 𝑓(𝑋𝑛−1)

𝑓′(𝑋𝑛−1)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0)= 2 −

𝑓(2)

𝑓′(2)= 2 −

22 − 5

2(2)= 2.25

𝑥2 = 𝑥1 −𝑓(𝑥1)

𝑓′(𝑥1)= 2.25 −

𝑓(2.25)

𝑓′(2.25)= 2.25 −

2.252 − 5

2(2.25)= 2.2361

𝑥3 = 𝑥1 −𝑓(𝑥2)

𝑓′(𝑥2)= 2.2361 −

𝑓(2.2361)

𝑓′(2.2361)= 2.2361 −

2.23612 − 5

2(2.2361)= 2.23606

𝑥4 = 𝑥3 −𝑓(𝑥3)

𝑓′(𝑥3)= 2.23606 −

𝑓(2.23606)

𝑓′(2.23606)= 2.23606 −

2.236062 − 5

2(2.23606)= 2.236067

𝑥5 = 2.236067

𝑥6 = 2.236067

Entonces vemos que a partir de 𝑥4, el resultado empieza a ser el mismo. Por lo tanto la

raíz de 𝑓(𝑥) es 𝑥 = 2.236067 (es decir, 𝑓(2.236067) = 0)

Ejercicio. Demuestra que la siguiente función tiene una raíz entre x = 1 y x =2.

Después usando el Método de Newton - Raphson encuentra una raíz de f(x) con

X0 = 2

𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 4𝑥5 + 𝑥4 − 11𝑥3 + 28𝑥2 − 7𝑥 + 28

Para demostrar que f(x) tiene una raíz entre x = 1 y x = 2 lo que hacemos primero es

evaluar


𝑓(1) = 16 − 4 + 1 − 11 + 28 − 7 + 28 = 36

𝑓(2) = 26 − 4(25) + 24 − 11(23) + 28(22) − 7(2) + 28 = −10

Como 𝑓(1) > 0 𝑦 𝑓(2) < 0 dado que f(x) es un polinomio podemos asegurar que entre x

= 1 y x= 2 existe un valor c tal que f(c) = 0

Ahora hay que encontrar ese valor de c usando el Método de Newton - Raphson

empezando con x = 2. Entonces hay que encontrar la derivada de f(x)

𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 − 20𝑥4 + 4𝑥3 − 33𝑥2 + 56𝑥 − 7

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0)= 2 −

𝑓(2)

𝑓′(2)= 2 −

−10

−123= 1.9187

𝑥2 = 𝑥1 −𝑓(𝑥1)

𝑓′(𝑥1)= 1.9187 −

𝑓(1.9187)

𝑓′(1.9187)= 1.9130

𝑥3 = 𝑥2 −𝑓(𝑥2)

𝑓′(𝑥2)= 1.9130 −

𝑓(1.9130)

𝑓′(1.9130)= 1.9129

𝑥4 = 𝑥3 −𝑓(𝑥3)

𝑓′(3)= 1.9129 −

𝑓(1.9129)

𝑓′(1.9129)= 1.9129

𝑥5 = 𝑥4 −𝑓(𝑥4)

𝑓′(𝑥4)= 1.9129 −

𝑓(1.9129)

𝑓′(1.9129)= 1.9129

Entonces como se está empezando a repetir el resultado x = 1.9129 es raíz de f(x)

Ejercicio. Demostrar que 𝑓(𝑥) = −cos (𝑥)𝑒𝑥 tiene una raíz en el intervalo [1,2].

Después encontrar la raíz de esta función con 𝑥0 = 1.

𝑓(1) = − cos 1 𝑒1 = −1.4686

𝑓(𝜋) = − cos(2) 𝑒2 = 3.075

Como 𝑓(0) < 0 𝑦 𝑓(𝜋) > 0 entonces esta función tiene una raíz en el intervalo [1,2].

Ahora encontremos la derivada de esta función

𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑒𝑥cos (𝑥)

Usemos el método de Newton - Raphson

𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0)= 1 −

𝑓(1)

𝑓′(1)= 2.794


86

𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1)

𝑓′(𝑥1)= 2.794 −

𝑓(2.794)

𝑓′(2.794)= 2.059

𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓(𝑥2)

𝑓′(𝑥2)= 2.059 −

𝑓(2.059)

𝑓′(2.059)= 1.7121

𝑥4 = 𝑥3 − 𝑓(𝑥3)

𝑓′(𝑥3)= 1.7121 −

𝑓(1.7121)

𝑓′(1.7121)= 1.5875

𝑥5 = 𝑥4 − 𝑓(𝑥4)

𝑓′(𝑥4)= 1.5875 −

𝑓(1.5875)

𝑓′(1.5875)= 1.5711

𝑥6 = 𝑥5 − 𝑓(𝑥5)

𝑓′(𝑥5)= 1.5711 −

𝑓(1.5711)

𝑓′(1.5711)= 1.5707

Por lo tanto la raíz de 𝑓(𝑥) es 𝑥 = 1.5707

Resolución de Ecuaciones con el Método de Newton - Raphson

Muchas ocasiones nos interesa conocer la intersección entre dos funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥),

es decir, encontrar los valores de 𝑥 ∈ ℝ tales que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). La manera más fácil de

hacer esto es planteando la siguiente función

𝑆𝑒𝑎 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

Y ahora lo que hacemos es buscar las raíces de ℎ(𝑥) . Y por ser raíces de esta función,

ocurre lo siguiente

ℎ(𝑥) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Por lo tanto, las raíces de ℎ(𝑥) son los valores de 𝑥 donde 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) se intersectan.

Ejercicio. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 5. Probar que estas funciones se

intersectan en algún punto del intervalo [2,3] . Utilizando el método de Newton -

Raphson y 𝑥0 = 2 , encontrar la intersección de estas funciones.

Encontremos a la función ℎ(𝑥)

ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 − (2𝑥2 − 𝑥 + 5) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5

ℎ(2) = 8 − 2(4) − 5 = −5

ℎ(3) = 27 − 2(9) − 5 = 4


Como ℎ(2) < 0 𝑦 ℎ(3) > 0 esto quiere decir que existe un valor 𝑐 ∈ [2,3] tal que ℎ(𝑐) =

0 y por lo tanto 𝑓(𝑐) = 𝑔(𝑐). Busquemos el valor de esa 𝑐 con el método de Newton -

Raphson.

ℎ′(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥

𝑥1 = 𝑥0 − ℎ(𝑥0)

ℎ′(𝑥0)= 2 −

ℎ(2)

ℎ′(2)= 3.25

𝑥2 = 𝑥1 − ℎ(𝑥1)

ℎ′(𝑥1)= 3.25 −

ℎ(3.25)

ℎ′(3.25)= 2.811

𝑥3 = 𝑥2 − ℎ(𝑥2)

ℎ′(𝑥2)= 2.811 −

ℎ(2.811)

ℎ′(2.811)= 2.6979

𝑥4 = 𝑥3 − ℎ(𝑥3)

ℎ′(𝑥3)= 2.6979 −

ℎ(2.6979)

ℎ′(2.6979)= 2.6906

Por lo tanto en 𝑥 = 2.6909 , ℎ(2.6909) = 0 y 𝑓(2.6909) = 𝑔(2.6909).

Ejercicios

1.- Considera las siguientes funciones. Primero, demuestra que existe una raíz entre los

dos valores de 𝑥 que se te dan. Si es que existe entonces usando el método de Newton -

Raphson encuentra el valor de la raíz de la función usando como 𝑥0 el primer valor de 𝑥

que se te da.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 17 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 3

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 7𝑥2 − 5𝑥 + 10 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 3

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥2 + 4 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 100 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 2.7

2.- Encuentra una solución usando el Método de Newton – Raphson para

𝑒𝑥 = 8𝑥2


88

Interpolación de Spline

El método de interpolación de Spline nos sirve para poder modelar el comportamiento que

existe entre dos variables. Se usa cuando tenemos algunos datos recolectados que

relacionan a dos variables y se quiere obtener una ecuación que deje a una variable en

función de la otra.

Planteamiento de las Ecuaciones de Spline

Supongamos que tenemos dos variables 𝑋 𝑒 𝑌 y tres muestras de datos relacionando a

estas variables (𝑥𝑜 , 𝑦0) , (𝑥1 , 𝑦1) , (𝑥2 , 𝑦2) con 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2. Para poder encontrar una

ecuación que pase por estos puntos, el método de interpolación de Spline dice que entre

cada par de puntos pasa un polinomio de tercer grado de la forma 𝐴𝑥3 +𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷.

En este caso que tenemos tres puntos, vamos a tener dos polinomios de tercer grado,

uno que va de (𝑥𝑜 , 𝑦0) a (𝑥1 , 𝑦1) y otro que va de (𝑥1 , 𝑦1) a (𝑥2 , 𝑦2).

Entonces, la función que nos permite modelar en comportamiento entre las dos variables

es

𝑓(𝑥) = { 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥1)

𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2]

Obtención de las Ecuaciones de Spline

Ahora, debemos encontrar los valores de 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 𝑦 𝐻 , para esto hacemos lo

siguiente:

1. Evaluar el polinomio en los dos puntos por donde queremos que pase e igualarlos

a la coordenada de 𝑌, es decir

𝐴(𝑥0)3 + 𝐵(𝑥0)

2 + 𝐶(𝑥0) + 𝐷 = 𝑦0

𝐴(𝑥1)3 + 𝐵(𝑥1)

2 + 𝐶(𝑥1) + 𝐷 = 𝑦1

𝐸(𝑥1)3 + 𝐹(𝑥1)

2 + 𝐺(𝑥1) + 𝐻 = 𝑦1

𝐸(𝑥2)3 + 𝐹(𝑥2)

2 + 𝐺(𝑥2) + 𝐻 = 𝑦2

2. Como queremos que en el punto (𝑥1 , 𝑦1) los dos polinomios sean iguales,

entonces también queremos que sus derivadas lo sean. Por lo tanto hay que

derivar cada polinomio, evaluarlos en 𝑥1 e igualarlos.


𝑓′(𝑥) = { 3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥1)

3𝐸𝑥2 + 2𝐹𝑥 + 𝐺 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2]

Ahora, evaluamos en 𝑥1 e igualamos los polinomios.

3𝐴(𝑥1)2 + 2𝐵(𝑥1) + 𝐶 = 3𝐸(𝑥1)

2 + 2𝐹(𝑥1) + 𝐺

Despejando, nos queda la quinta ecuación de Spline

𝐴(𝑥1)2 + 2𝐵(𝑥1) + 𝐶 − 3𝐸(𝑥1)

2 − 2𝐹(𝑥1) − 𝐺 = 0

3. También necesitamos que en (𝑥1 , 𝑦1) la segunda derivada de los polinomios sean

iguales. Entonces hacemos lo mismo que en paso anterior, pero con la segunda

derivada.

𝑓′′(𝑥) = { 6𝐴𝑥 + 2𝐵 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥1)

6𝐸𝑥 + 2𝐹 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2]

6𝐴(𝑥1) + 2𝐵 = 6𝐸(𝑥1) + 2𝐹

6𝐴(𝑥1) + 2𝐵 − 6𝐸(𝑥1) − 2𝐹 = 0

4. Por último, vamos a igualar la segunda derivada a cero en los puntos (𝑥𝑜 , 𝑦0) , y

en (𝑥2 , 𝑦2). La séptima ecuación de Spline entonces es

6𝐴(𝑥0) + 2𝐵 = 0

La octava ecuación de Spline entonces es

6𝐸(𝑥2) + 6𝐹 = 0

Ahora que ya tenemos todas las ecuaciones de Spline, construimos un sistema de

ecuaciones con 8 incógnitas (𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 𝑦 𝐻) y 8 ecuaciones (las obtenidas

anteriormente). Resolvemos el sistema y ya obtenemos todas las ecuaciones de Spline.


90

Ejemplo

La venta de paletas heladas depende directamente de la temperatura ambiental, se sabe

que cuando la temperatura es de 20°𝐶 se venden 100 paletas. Cuando la temperatura es

de 25° 𝐶 se venden 150 paletas y cuando es de 30° 𝐶 se venden 300 paletas. Encontrar

usando el método de interpolación de Spline una ecuación que estime el número de

paletas que se venderán en función de la temperatura. ¿Aproximadamente cuántas

paletas se venderán si la temperatura es de 27°𝐶 ?

Los tres puntos que tenemos para usar este método es (20, 100), (25, 150), (30,300).

Donde la primer coordenada es la temperatura y la segunda es la cantidad de paletas

heladas vendidas. Esta es entonces la función que buscamos

𝑓(𝑥) = { 𝐴𝑥3 +𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [20,25)

𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [25,30]

Ahora, usando los pasos vistos anteriormente encontremos las ecuaciones de Spline.

𝐴(203) + 𝐵(202) + 𝐶(20 ) + 𝐷 = 100 ⇒ 8000𝐴 + 400𝐵 + 20𝐶 + 𝐷 = 100

𝐴(253) + 𝐵(252) + 𝐶(25 ) + 𝐷 = 150 ⇒ 15625𝐴 + 625𝐵 + 25𝐶 + 𝐷 = 150

𝐸(253) + 𝐹(252) + 𝐺(25 ) + 𝐻 = 150 ⇒ 15625𝐸 + 625𝐹 + 25𝐺 +𝐻 = 150

𝐸(303) + 𝐹(302) + 𝐺(30 ) + 𝐻 = 300 ⇒ 27000𝐸 + 900𝐹 + 30𝐺 +𝐻 = 300

𝑓′(𝑥) = { 3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [20,25)

3𝐸𝑥2 + 2𝐹𝑥 + 𝐺 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [25,30]

3𝐴(252) + 2𝐵(25) + 𝐶 = 3𝐸(252) + 2𝐹(25) + 𝐺

⇒ 1875𝐴 + 50𝐵 + 𝐶 − 1875 𝐸 − 2𝐹 − 𝐺 = 0

𝑓′′(𝑥) = { 6𝐴𝑥 + 2𝐵 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [20,25)

6𝐸𝑥 + 2𝐹 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [25,30]

6𝐴(25) + 2𝐵 = 6𝐸(25) + 2𝐹 ⇒ 150𝐴 + 2𝐵 − 150𝐸 − 2𝐹 = 0


6𝐴(20) + 2𝐵 = 0 ⇒ 120𝐴 + 2𝐵 = 0

6𝐸(30) + 2𝐹 = 0 ⇒ 180𝐸 + 2𝐹 = 0

Ahora que ya tenemos todas las ecuaciones, debemos resolver el sistema. Para hacer

esto, el método más fácil es usando matrices. Tenemos este sistema

8000𝐴 + 400𝐵 + 20𝐶 + 𝐷 = 100

15625𝐴 + 625𝐵 + 25𝐶 + 𝐷 = 150

15625𝐸 + 625𝐹 + 25𝐺 + 𝐻 = 150

27000𝐸 + 900𝐹 + 30𝐺 + 𝐻 = 300

1875𝐴 + 50𝐵 + 𝐶 − 1875 𝐸 − 2𝐹 − 𝐺 = 0

150𝐴 + 2𝐵 − 150𝐸 − 2𝐹 = 0

120𝐴 + 2𝐵 = 0

180𝐸 + 2𝐹 = 0

Representándolo en forma matricial queda de la siguiente manera

(

8000 400 2015625 625 250 0 0

1 0 0 0 01 0 0 0 00 15625 625 0 0

0 0 01875 50 11501200

220

000

0 15625 625 0 00 −1875 −50 −1 0000

−1500180

−2 0 00 0 02 0 0 )

(

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻)

=

(

1001501503000000 )

Para resolver el sistema, hay que encontrar la inversa de la matriz de coeficientes

(utilizando Excel o un programa similar) y luego multiplicarla por la matriz de resultados.

Una vez que hicimos esto nos queda lo siguiente:

(

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻)

=

(

. 2−12245−1600−.218−5054650 )


92

Por lo tanto la función que buscamos es la siguiente

𝑓(𝑥) = { . 2𝑥3 − 12𝑥2 + 245𝑥 − 1600 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [20,25)

−.2𝑥3 + 18𝑥2 − 505𝑥 + 4650 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [25,30]

Donde 𝑓(𝑥) es el número de paletas heladas vendidas y 𝑥 es la temperatura.

Para contestar ¿Aproximadamente cuántas paletas se venderán si la temperatura es de

27°𝐶 ? lo único que debemos hacer es evaluar esta función en 𝑥 = 27

𝑓(27) = −.2(273) + 18(272) − 505(27) + 4650 = 200.4

Entonces si la temperatura fuera de 27 ° 𝐶, aproximadamente se venderían 201 paletas.

Ejercicios

1.- En una tienda de café, se ha observado la cantidad demandada de café americano

para distintos precios. A continuación se muestra una tabla con estos datos:

Precio Cafés Vendidos

15 130

18 124

25 89

La tienda de café quiere estimar una función de demanda que para cada precio de venta

le estime el número de cafés que vendería. Esta función la estimará usando Interpolación

de Spline.

a) Plantea la función de demanda de cafés y plantea las ecuaciones de Spline necesarias

para encontrar esta función de demanda.

b) Encuentra todas las incógnitas del modelo.

c) ¿Cuántos cafés vendería esta tienda si el precio es de 20?


2.- En un aeropuerto, el número de personas formada en migración depende de la hora

del día. A continuación se muestra una tabla con información sobre esto:

Hora (En Formato 24 horas) Número de Personas en la Fila

0 25

10 147

16 290

19 570

La oficina de Migración de este aeropuerto, quiere estimar el número de personas que

estarán formadas a cualquier hora, debido a que por cada 10 personas formadas debe

haber un agente migratorio que las atienda. Para hacer esto, utilizará el método de

Interpolación de Spline.

a) Plantea la función que permite estimar el número de personas formadas y plantea las

ecuaciones de Spline necesarias.

b) Encuentra todas las incógnitas del modelo

c) ¿Cuántos agentes migratorios deberían de estar atendiendo a las 21: 00?

d) Si actualmente son las 17: 00 ¿Esperamos que el número de personas aumente o

disminuye dentro de una hora? (Utiliza Análisis Marginal para contestar esta pregunta).


94

Cálculo de Rectas Tangentes

La Ecuación Punto - Pendiente

Hay varias maneras de expresar la ecuación de una recta. La más utilizada es la ecuación

pendiente - ordenada que es de la forma

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Donde 𝑚 representa la pendiente de la recta y 𝑏 el número donde la recta corta al eje 𝑌.

Una versión distinta de esta misma ecuación es la punto - pendiente , que es de la

siguiente manera

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)

Donde 𝑚 es la pendiente de la recta y (𝑥0, 𝑦0) es cualquier punto por donde pasa la recta.

Esta es la ecuación que estaremos utilizando para calcular rectas tangentes.

Cálculo de Rectas Tangentes

La recta tangente a una función 𝑓(𝑥) en el punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) es una recta que tiene la

propiedad de que solamente en (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) se intersecta con la función. Para poder

encontrar la ecuación de una recta tangente lo único que debemos haces es encontrar el

punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) evaluando 𝑥0 en la función y luego encontrar la pendiente de 𝑓(𝑥) en 𝑥0.

Y para encontrar la pendiente debemos derivar la función y luego evaluar la derivada en

𝑥0.

Ejercicio. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2−2𝑥 , encontrar la ecuación de la recta tangente a esta

función cuando 𝑥 = 0.

Lo primero que debemos hacer es evaluar la función en cero

𝑓(0 ) = 𝑒0 = 1

Por lo tanto la tangente pasa por el punto (0,1). Ahora busquemos la pendiente de la recta

𝑓′(𝑥) = (2𝑥 − 2)𝑒𝑥2−2𝑥

𝑓′(0) = (−2)𝑒0 = −2


Ahora usando la ecuación de la recta de la forma punto - pendiente, encontraremos a la

tangente

𝑦 − 1 = −2(𝑥 − 0)

𝑦 = −2𝑥 + 1

Ejercicio. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) , encontrar la tangente a esta función cuando 𝑥 =𝜋

2.

Evaluemos la función en 𝑥 =𝜋

2

𝑓 (𝜋

2) = ln(𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

2)) = ln(1) = 0

Por lo tanto la tangente pasa por el punto (𝜋

2, 0).

𝑓′(𝑥) = cos (𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)= cot (𝑥)

𝑓′(0) = cot(0 ) = 0

La ecuación de la tangente es

𝑦 − 0 = 0(𝑥 −𝜋

2)

𝑦 = 0


96

Graficación con Cálculo Diferencial

Ahora que ya sabemos usar derivadas y algunas de sus aplicaciones, las podemos utilizar

para graficar funciones más complicadas.

Pasos a Seguir

Para poder graficar una función usando cálculo diferencial, hay que obtener lo siguiente

de la función

1. Dominio y Rango

2. Raíces de la Función

3. Límites al Infinito

4. Máximos y Mínimos

5. Intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente

6. Tabular con algunos valores de 𝑥

Ejemplos

Graficar 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥

Usaremos los pasos que están arriba ya que esta es una función más complicada que las

que ya hemos graficado.

1. Dominio y Rango

𝐷(𝑓) = ℝ

Para encontrar el rango de esta función, no podemos utilizar el método de cambio de

variable , entonces por ahora no obtendremos el rango.

2. Raíces de la Función

𝑓(𝑥) = 0 ⇒ ( 𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥 ⇒ 𝑥2 − 2𝑥 − 5 = 0

Usemos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado

𝑥 = 2 ± √4 − 4(−5)

2=2 ± √24

2= 2 ± 2√6

2= 1 ± √6

Las raíces de esta función son 𝑥 = 1 + √6 y 𝑥 = 1 − √6


3. Límites al infinito

lim𝑥→ ∞

(𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥 = ∞

Para encontrar el límite a menos infinito, necesitamos usar el método de cambio de

variable



lim𝑥→ −∞

(𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥 = lim𝑢→ ∞

((−𝑢)2 − 2(−𝑢) − 5)𝑒−2𝑢

= lim𝑢→ ∞

(𝑢2 + 2𝑢 − 5)𝑒−2𝑢 = lim𝑢→ ∞

𝑢2 + 2𝑢 − 5

𝑒2𝑢= 0

Este límite es cero ya que al tender 𝑢 a infinito, el denominador crece más rápido que el

numerador (por ser una exponencial).

Esto quiere decir que 𝑦 = 0 es una asíntota horizontal de esta función.


𝑓′(𝑥) = (2𝑥2 − 2𝑥 − 12)𝑒2𝑥

𝑓′(𝑥) = 0 ⇒ (2𝑥2 − 2𝑥 − 12)𝑒2𝑥 = 0 ⇒ 2𝑥2 − 2𝑥 − 12 = 0

⇒ 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 ⇒ (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 ⇒ 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −2

Estos son los puntos críticos.

𝑓′′(𝑥) = (4𝑥2 − 26)𝑒2𝑥

𝑥 = 3 ⇒ 𝑓′′(3) = (27 − 26)𝑒6 > 0 ⇒ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑥 = −2 ⇒ 𝑓′′(−2) = (−10)𝑒−4 < 0 ⇒ 𝑥 = −2 𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

Ya que sabemos que el mínimo de la función es 𝑥 = 3 entonces podemos obtener el

rango.

𝑓(−2) = −2𝑒6

Por lo tanto

𝑅(𝑓) = [−2𝑒6 ,∞)


98


Para obtener esto, usaremos el método de la tabla. Recordemos que para saber cuándo

una función es creciente y cuando es decreciente, debemos utilizar la derivada.

𝑓′(𝑥) = (2𝑥2 − 2𝑥 − 12)𝑒2𝑥 = 2(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)𝑒2𝑥

(−∞ , −2)

(−2, 3)

(3,∞)

𝑥 − 3

Negativo

Negativo

Positivo

𝑥 + 2

Negativo

Positivo

Positivo

𝑒2𝑥

Positivo

Positivo

Positivo

2(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)𝑒2𝑥

Positivo

Negativo

Positivo

Por lo tanto

𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (3,∞)

𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−2,3)


𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥

𝑓(0) = −5

𝑓(−2) = (4 − 4 − 5)𝑒−4 = −5

𝑒4= −.092

𝑓(3) = (9 − 6 − 5)𝑒6 = −2𝑒6 = −806.86


𝑓(1) = (1 − 2 − 5)𝑒2 = −6𝑒2 = −44.33

Con toda la información que ya obtuvimos, entonces podemos hacer una gráfica muy

aproximada de esta función.

Graficar 𝑓(𝑥) = 𝑥2+4𝑥+3

𝑥2+4

1. Dominio y Rango

𝐷(𝑓) = ℝ

x

y


100

Esto porque no hay ningún valor de 𝑥 que hace que el denominador sea cero. El rango, al

igual que en el ejercicio anterior, lo obtendremos cuando saquemos los máximos y

mínimos de la función.

2. Raíces de la función

𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥2 + 4𝑥 + 3

𝑥2 + 4= 0 ⇒ 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0

⇒ (𝑥 + 3)(𝑥 + 1) = 0 ⇒ 𝑥 = −3 ó 𝑥 = −1

3. Límites al infinito

lim𝑥→ ∞

𝑥2 + 4𝑥 + 3

𝑥2 + 4= lim

𝑥→ ∞

1 +4𝑥+3𝑥2

1 +4𝑥2

= 1

lim𝑥→ −∞

𝑥2 + 4𝑥 + 3

𝑥2 + 4= lim

𝑢→ ∞

(−𝑢)2 + 4(−𝑢) + 3

(−𝑢)2 + 4= lim

𝑢→ ∞

𝑢2 − 4𝑢 + 3

𝑢2 + 4

= lim𝑢→ ∞

1 −4𝑢 +

3𝑢2

1 +4𝑢2

= 1

Esto quiere decir que 𝑦 = 1 es una asíntota horizontal de esta función


𝑑𝑓

𝑑𝑥= −4𝑥2 + 2𝑥 + 16

(𝑥2 + 4)2

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 0 ⇒

−4𝑥2 + 2𝑥 + 16

(𝑥2 + 4)2= 0 ⇒ −4𝑥2 + 2𝑥 + 16 = 0

𝑥 = −2 ± √4 − 4(−4)(16)

−8 =

1 ± √65

4

Los puntos críticos son 𝑥 = 1+√65

4 𝑦 𝑥 =

1−√65

4


𝑑2𝑓

𝑑𝑥= 8𝑥3 − 6𝑥2 + 64𝑥 + 8

(𝑥2 + 4)4

𝑥 = 1 + √65

4 ⇒

𝑑2𝑓

𝑑𝑥< 0 ⇒ 𝑥 =

1 + √65

4 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

𝑥 = 1 − √65

4 ⇒

𝑑2𝑓

𝑑𝑥> 0 ⇒ 𝑥 =

1 − √65

4 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

Entonces el rango de esta función es

𝑅(𝑓) = [1 − √65

4 ,1 + √65

4]


(−∞,1 − √65

4)

(1 − √65

4,1 + √65

4)

(1 + √65

4,∞)

−4𝑥2 + 2𝑥 + 16

Negativo

Positivo

Negativo

(𝑥2 + 4)2

Positivo

Positivo

Positivo

−4𝑥2 + 2𝑥 + 16

(𝑥2 + 4)2

Negativo

Positivo

Negativo

Entonces

𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (1 − √65

4,1 + √65

4)

𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞,1 − √65

4) ∪ (

1 + √65

4, ∞)


102


𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3

𝑥2 + 4

𝑓(0) = 3

4

𝑓 (1 + √65

4) = 1.858

𝑓 (1 − √65

4) = −.133

Esta es la gráfica de 𝑓(𝑥)

x

y


Introducción Al Cálculo Integral

La integral es una operación matemática que se aplica a las funciones para conocer el

área formada entre la curva y un eje. Normalmente se quiere conocer el área que hay

entre la función y el eje 𝑋.

La integral la componen tres partes: ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , el operador de la integral que se

representa con el símbolo ∫ , la función a integrar 𝑓(𝑥) y otro operador que se llama

diferencial dx que nos dice cuál es la variable de interés, es decir, la que vamos a integrar.

Para poder integrar más que utilizar fórmulas se usan técnicas que nos permiten convertir

una integral complicada a una que nosotros conocemos para que así podamos resolver la

integral más fácilmente. Durante el semestre veremos cuatro técnicas: Integración por

Sustitución, Integración por Partes, Integración por Sustitución Trigonométrica e

Integración por Fracciones Parciales. Pero para poder entender mejor estas cuatro

técnicas primero hay que conocer algunas fórmulas de integrales y las propiedades que

tiene esta operación.

Teorema Fundamental del Cálculo

Si tenemos una función 𝑓(𝑥) tal que 𝑓(𝑥) = ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (es decir tenemos una función 𝑓(𝑥)

que es la integral de otra función 𝑔(𝑥)) entonces

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)

Por otro lado si tenemos una función 𝑓(𝑥) tal que 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑔

𝑑𝑥 (la función 𝑓(𝑥) es la

derivada de otra función 𝑔(𝑥)) entonces

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥)

Lo que el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice es que derivar e integrar son

procesos contrarios. Si derivamos una función y queremos regresar a la función original lo

que hay que hacer es integrarla. Si integramos una función y queremos regresar a la

función original lo que hay que hacer es derivarla.


104

Como mencionamos, la integral nos permite conocer el área bajo la curva. Normalmente

queremos conocer el área que se forma entre dos valores de 𝑥 (a y b), es decir, en un

intervalo [a,b]. Para indicar el área formada entre la curva y el eje 𝑥 en un intervalo [a,b]

usamos esta notación

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Si estamos buscando el área formada en un intervalo se le llama una Integral Definida. En

caso contrario se le conoce como Integral Indefinida.

La Constante

Recordemos que si 𝑦 = 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0, es decir la derivada de cualquier

constante es cero. Entonces las derivadas "eliminan" constantes porque si una función

tiene una constante entonces al derivarla esta se vuelve cero y por lo tanto ya no la

consideramos. Dado que las integrales son el proceso contrario a las derivadas, las

integrales agregan constantes. Por eso es que cuando acabamos de integrar le

agregamos una C, donde C es una constante.

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Normalmente no nos interesa saber el valor de la constante que le agregamos. Sólo va a

ser importante cuando se hable sobre las aplicaciones del Cálculo Integral.

Propiedades de las Integrales

Hay tres propiedades importantes de las integrales

1.- La integral de una suma de funciones es lo mismo que la suma de las integrales

∫𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

2.- Si tenemos una constante c que no depende de la variable de interés entonces la

podemos sacar de la integral.

∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3.- Para Integrales Definidas tenemos que


𝑏

𝑎

= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

𝑏


Integrales Directas

Gracias al Teorema Fundamental del Cálculo podemos conocer algunas fórmulas de

integración sin necesidad de aplicar ninguna técnica. Estas son muy importantes porque

cuando apliquemos una técnica lo que vamos a hacer es convertir una función que no

sabemos integrar a una de estas fórmulas que si sabemos integrar. Estas fórmulas son lo

contrario de las fórmulas de derivadas (debido a que integrar es lo contrario a derivar).

Sea a una función que depende de 𝑥 y C una constante, entonces

∫𝑑𝑎

𝑑𝑥cos(𝑎) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) + 𝐶

∫−𝑑𝑎

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑑𝑥 = cos(𝑎) + 𝐶

∫𝑑𝑎

𝑑𝑥𝑒𝑎𝑑𝑥 = 𝑒𝑎 + 𝐶

∫𝑑𝑎

𝑑𝑥 1

𝑎 𝑑𝑥 = ln(𝑎) + 𝐶

∫𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑛 ∈ ℝ 𝑦 𝑛 ≠ −1 3

Ejercicio. Encontrar el valor de las siguientes integrales.

a) ∫𝑥4 + 5𝑥3 − 4 𝑑𝑥

Aplicando las propiedades de las integrales entonces

∫𝑥4 + 5𝑥3 − 4 𝑑𝑥 = ∫𝑥4𝑑𝑥 + 5∫𝑥3𝑑𝑥 − 4 ∫𝑥0 𝑑𝑥

Ahora hay que aplicar las fórmulas en este caso la última

∫𝑥4𝑑𝑥 + 5∫𝑥3𝑑𝑥 − 4 ∫1 𝑑𝑥 = 𝑥5

5+ 5

𝑥4

4− 4𝑥 + 𝐶

Entonces

3 Si n = -1 entonces ∫𝑥−1𝑑𝑥 = ∫

1

𝑥𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝐶 . Recordemos que la derivada de 𝑦 = ln 𝑥 es

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥


106

∫𝑥4 + 5𝑥3 − 4 𝑑𝑥 =𝑥5

5+ 5

𝑥4

4− 4𝑥 + 𝐶

b) ∫4𝑥3 − √𝑥 + 1

𝑥3 𝑑𝑥

Primero hay que utilizar las leyes de los exponentes y las propiedades de las integrales

para simplificar la operación.

∫4𝑥3 − √𝑥 + 1

𝑥3 𝑑𝑥 = ∫4𝑥3 − 𝑥1/2 + 𝑥−3𝑑𝑥 = 4∫𝑥3 𝑑𝑥 − ∫𝑥1/2𝑑𝑥 + ∫𝑥−3𝑑𝑥

4∫𝑥3 𝑑𝑥 − ∫𝑥1/2𝑑𝑥 + ∫𝑥−3𝑑𝑥 = 4𝑥3+1

3 + 1− 𝑥12+1

12+ 1

+ 𝑥−3+1

−3 + 1+ 𝐶

= 4𝑥4

4− 𝑥3/2

32

+ 𝑥−2

−2+ 𝐶 = 𝑥4 −

2𝑥3/2

3− 𝑥−2

2+ 𝐶

Entonces

∫4𝑥3 −√𝑥 + 1

𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥4 −

2𝑥3/2

3− 𝑥−2

2+ 𝐶

c) ∫7𝑒5𝑥𝑑𝑥

Aplicando las propiedades de las integrales podemos sacar el 7 de la integral

∫7𝑒5𝑥𝑑𝑥 = 7 ∫ 𝑒5𝑥𝑑𝑥

Ahora la fórmula de una integral de una función exponencial dice lo siguiente

∫𝑑𝑎

𝑑𝑥𝑒𝑎𝑑𝑥 = 𝑒𝑎 + 𝐶

Entonces para poder integrar 7 ∫ 𝑒5𝑥𝑑𝑥 necesitamos que la derivada de 5x este dentro

de la integral. La derivada de 5x es 5, entonces para que aparezca dentro de la integral

haremos el siguiente truco

7 ∫ 𝑒5𝑥𝑑𝑥 = 7∫1 𝑒5𝑥𝑑𝑥 = 7∫5

5𝑒5𝑥𝑑𝑥 =

7

5 ∫5𝑒5𝑥𝑑𝑥


Ahora si tenemos la derivada de 5𝑥 dentro de la integral por lo que aplicando la fórmula

tenemos que

7

5 ∫5𝑒5𝑥𝑑𝑥 =

7

5 𝑒5𝑥 + 𝐶

d) ∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥

Recordemos que la fórmula para integrar una función seno es la siguiente

∫−𝑑𝑎

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑑𝑥 = cos(𝑎) + 𝐶

Para poder integrar ∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 necesitamos que dentro de la integral este la derivada

de 4𝑥 y que esa derivada sea negativa. Aplicando el mismo truco, entonces

∫𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 = ∫−4

−4 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 =

−1

4 ∫−4 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥

Ahora ya aplicamos la fórmula para obtener el resultado

∫𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 = −1

4 ∫−4 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 =

−1

4cos(4𝑥) + 𝐶

e) ∫ 𝑒𝑥2𝑑𝑥

Esta integral ya está un poco más complicada pero apliquemos el mismo truco. Ahora

necesitamos que la derivada de 𝑥2 aparezca dentro de la integral, es decir, queremos que

2𝑥 esté dentro de la integral.

∫𝑒𝑥2𝑑𝑥 = ∫1 𝑒𝑥

2𝑑𝑥 = ∫

2𝑥

2𝑥 𝑒𝑥

2𝑑𝑥 =

1

2𝑥∫2𝑥 𝑒𝑥

2𝑑𝑥

Al parecer hasta aquí todo está muy bien hecho pero en realidad está mal. ¿Dónde está el

error? Efectivamente logramos aparecer un 2𝑥 dentro de la integral pero lo que está mal

es que sacamos un 1

2𝑥 de la integral que no es una constante porque depende de 𝑥. Solo

podemos sacar de la integral un valor que no depende de 𝑥. Por lo tanto esta integral no

la podemos resolver usando este truco. Aquí ya es necesario aplicar una técnica de

integración para poder resolver esta integral.

Desafortunadamente no todas las integrales se pueden resolver usando fórmulas, primero

es necesario aplicarles una técnica para poderlas resolver. Esto es lo que estaremos

estudiando durante el resto del texto.


108

Ejercicios

1.- Resuelve las siguientes integrales.

a) ∫8𝑥2 − 9𝑥 + 1𝑑𝑥

b) ∫𝑥3/4 − 15𝑥4 + 8𝑥𝑑𝑥

c) ∫√𝑥 − 2 √𝑥3

𝑑𝑥

d) ∫ 𝑠𝑒𝑛(8𝑥)𝑑𝑥

e) ∫ 𝑒4𝑥 + cos(7𝑥)𝑑𝑥

2.- Una integral doble, es el equivalente (en integrales) a la segunda derivada, es decir

una integral doble es la integral de la integral de una función 𝑓(𝑥). La integral doble se

denota de la siguiente manera

∬𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥

Calcula las siguientes integrales dobles:

a) ∬𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥

b) ∬𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥

c) ∬√𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥


Técnicas de Integración

Integrales Por Sustitución y Por Partes

Integrales Por Sustitución

La primera técnica que vamos a estudiar es la de Sustitución: esta consiste en que, a

través de un cambio de variables, lleguemos a una integral directa (por fórmula). No

siempre se puede aplicar esta técnica, es importante verificar que la técnica que se va a

usar para integrar sea la correcta porque si no, en vez de llegar a una integral directa (que

son las más fáciles) llegaremos a una integral mucho más complicada. Para saber

cuándo se puede integrar por sustitución hay que revisar que se cumpla lo siguiente:

1.- La técnica es posible si al ver la integral como dos partes, una de ellas es la derivada

de la otra parte. Ejemplo:

∫𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥

Esta si se puede por sustitución porque al derivar 𝑠𝑒𝑛(𝑥) nos queda 𝑐𝑜𝑠(𝑥). En cambio

∫𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

No se puede por sustitución porque ni al derivar 𝑥 nos queda 𝑠𝑒𝑛(𝑥), y si derivamos

𝑠𝑒𝑛(𝑥) no nos queda 𝑥.

2.- También es posible usar esta técnica si existen polinomios de grados subsecuentes.

Pero esta NO es la única condición, se deben de cumplir otras reglas:

a) El polinomio de grado mayor debe estar en el argumento de la función, es decir que

esté operando a una función trigonométrica, potencia o raíz. Ejemplo

∫𝑥 𝑒𝑥2 𝑑𝑥

Si se puede porque hay polinomios de grados subsecuentes y el de grado mayor está

operando con la función exponencial.

b) En caso de que haya división, el de grado mayor debe estar en el denominador. Por

ejemplo si consideramos la siguiente integral

∫𝑥2

𝑥 + 1 𝑑𝑥

No se puede integrar por sustitución porque aunque hay polinomios de grados

subsecuentes, el de grado mayor está en el numerador.


110

c) Algo muy importante que debe pasar es que la derivada del polinomio de grado mayor

se parezca en términos al de grado menor. Por ejemplo:

∫𝑥2 cos(𝑥3 − 𝑥)𝑑𝑥

Esta NO se puede por sustitución porque si derivamos 𝑥3 − 𝑥 nos queda una expresión

con dos términos mientras que en la integral sólo tenemos uno.

Los pasos para integrar por sustitución una vez que verificamos que si se puede usar esta

técnica son estos:

1.- Plantear un cambio de variables, tomando como 𝑢 al polinomio de grado mayor o a la

parte que al derivarla nos da la otra parte de la integra.

2.- Derivar 𝑢

3.- Sustituir 𝑢 y 𝑑𝑢

𝑑𝑥 en la integral. Es muy importante que después de hacer esta

sustitución la única variable que quede dentro de la integral sea 𝑢 y que el diferencial diga

𝑑𝑢.

4.- Comparar esta integral con las fórmulas de integrales directas e integrar.

5.- Hacer el cambio de variables de regreso

Ejercicio. Resolver las siguientes integrales utilizando la técnica de sustitución. En

caso de no ser posible, indicar la razón.

a) ∫𝑥2𝑒𝑥3 𝑑𝑥

Esta integral se puede hacer por sustitución porque hay polinomios de grados

subsecuentes, el de grado mayor está en el argumento de la función y si se deriva, se

parece en términos al otro polinomio.

𝑢 = 𝑥3 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3𝑥2 𝑑𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑥

1

3𝑑𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑥

∫𝑥2𝑒𝑥3 𝑑𝑥 = ∫𝑒𝑥

3𝑥2𝑑𝑥 = ∫𝑒𝑢

1

3𝑑𝑢 =

1

3 ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 =

1

3 𝑒𝑢 + 𝐶 =

1

3𝑒𝑥

3+ 𝐶

b) ∫ tan(𝑥) 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥

Esta integral se puede por sustitución porque al derivar 𝑡𝑎𝑛(𝑥) nos queda 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

𝑢 = tan(𝑥) 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥


∫tan(𝑥) 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢2

2+ 𝐶 =

𝑡𝑎𝑛2(𝑥)

2+ 𝐶

c) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(2𝑥) 𝑑𝑥

Esta integral no se puede por sustitución ya que al derivar 𝑠𝑒𝑛(𝑥) no nos da 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) y

tampoco al derivar 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) nos queda 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Y no hay polinomios de grados

subsecuentes.

d) ∫1

(𝑥+1)ln (𝑥+1)𝑑𝑥

Esta integral si la podemos resolver por sustitución ya que 1

𝑥+1 es la derivada de ln(𝑥 + 1).

𝑢 = ln(𝑥 + 1) 𝑑𝑢

𝑑𝑥=

1

𝑥 + 1 𝑑𝑢 =

1

𝑥 + 1𝑑𝑥

∫1

(𝑥 + 1)ln (𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫

1

𝑢𝑑𝑢 = ln(𝑢) + 𝐶 = ln(𝑙𝑛(𝑥 + 1)) + 𝐶

Integrales Por Partes

Esta técnica consiste en tomar dos partes de la integral, derivar una e integrar la otra para

convertir a esta integral en una más fácil. Para poder integrar por partes hay que seguir

una fórmula:

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢

Donde 𝑢 es la parte que se va a derivar, y 𝑑𝑣 es la parte que se va a integrar. Para saber

si una integral la vamos a hacer por partes, primero hay que fijarnos que no se pueda

hacer por otra técnica. Una vez que ya sabemos esto, hay que escoger una 𝑢 y una 𝑑𝑣,

para esto hay que fijarnos en lo siguiente:

1.- Para escoger𝑢 , debemos tomar en cuenta que lo que queremos es simplificar la

integral. Es por esto que generalmente tomamos como 𝑢 a los polinomios, porque al

derivarlos le bajamos un grado. Si no hay polinomios tomamos a 𝑢 como algo que no

sepamos integrar pero si derivar. Ejemplos:

∫𝑥3 𝑒𝑥 𝑑𝑥


112

Aquí 𝑢 seria 𝑥3 porque al derivarla le bajaríamos un grado al polinomio y en la nueva

integral que nos quedaría después de usar la fórmula de por partes tendríamos una 𝑥2 en

vez de una 𝑥3. Pero, por ejemplo en la siguiente integral

∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥

No hay polinomios, entonces a 𝑢 la tomaríamos como 𝑙𝑛(𝑥) porque lo sabemos derivar y

no sabemos cual es su integral.

2.- Para escoger a 𝑑𝑣, si ya escogimos a 𝑢 tomamos todo lo que esta en la integral que no

esta en 𝑢. Es decir siempre todos los componentes de la integral tienen que quedar en 𝑢

o en 𝑑𝑣, no puede haber algo que no quede en una de estas. Generalmente tomamos 𝑑𝑣

algo que integrarlo no sea difícil, es decir una integral directa.

Una vez que ya tenemos a 𝑢 y a 𝑑𝑣 seleccionadas, estos son los pasos que se deben

seguir para integrar por partes:

1.- Derivar 𝑢 e integrar 𝑑𝑣

2.- Seguir la fórmula

3.- Ver si la parte de ∫ 𝑣 𝑑𝑢 es ya una integral directa. En caso de que lo sea, integrarla,

pero si no volver a integrar por partes. Es decir de esa nueva integral volver a tomar una 𝑢

y una 𝑑𝑣 y volver a seguir la fórmula. Esto se debe de hacer hasta que ∫ 𝑣 𝑑𝑢 contenga a

una integral directa.

Ejercicio. Resolver las siguiente integrales utilizando la técnica de por Partes.

a) ∫𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥

Aquí tomaremos 𝑢 como 𝑥2 porque es un polinomio y al derivarlo le bajaremos un grado a

la nueva integral y 𝑑𝑣 como 𝑒𝑥 porque es una integral directa.

𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥

𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2∫𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥

La nueva integral que nos quedó no es una integral directa, así que tenemos que volver a

integrar por partes ahora tomando como 𝑢 a 𝑥, y como 𝑑𝑣 a 𝑒𝑥.


𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 1

𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥

𝑥2𝑒𝑥 − 2∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2 [𝑥𝑒𝑥 −∫𝑒𝑥𝑑𝑥]

𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 + ∫𝑒𝑥𝑑𝑥

Y esta última integral que nos quedó ya es directa. Por lo tanto

∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝐶

b) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥

Como ya explicamos anteriormente, 𝑢 = ln (𝑥) debido a que sabemos derivar esta función.

Debemos tomar a una parte de la integral como 𝑑𝑣, entonces tomaremos 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ya que

el diferencial es lo único que queda dentro de la integral.

𝑢 = ln(𝑥) 𝑑𝑢 = 1

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣 = ∫1𝑑𝑥 = 𝑥

𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) −∫𝑥1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) − ∫𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥 + 𝐶

c) ∫𝑥3𝑒𝑥2𝑑𝑥

Esta es una integral más complicada. La razón es la siguiente: no podemos tomar 𝑢 =

𝑒𝑥3 pues estaríamos violando la regla de que 𝑢 debe ser un polinomio siempre que

aparezcan (en este caso es 𝑥3). Pero, no podemos tomar 𝑢 = 𝑥3 ya que en este caso 𝑑𝑣

sería 𝑒𝑥2 y no sabemos integrarla (pues no es directa).

Cuando nos encontramos en una situación parecida a esta, lo que se debe de hacer es un

cambio de variable. Se toma 𝑧 = 𝑥2 debido a que 𝑒𝑧 es una integral directa. Pero, como

vamos a sustituir, también debemos sustituir la derivada de 𝑧. Entonces

𝑧 = 𝑥2 𝑑𝑧 = 2𝑥𝑑𝑥 1

2𝑑𝑧 = 𝑥𝑑𝑥

∫𝑥3𝑒𝑥2𝑑𝑥 = ∫𝑥2𝑥𝑒𝑥

2𝑑𝑥 =

1

2∫𝑧𝑒𝑧𝑑𝑧


114

Ahora, debemos resolver ∫ 𝑧𝑒𝑧𝑑𝑧 que ya es una integral que se puede hacer por partes.

Tomamos 𝑢 = 𝑧 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑒𝑧.

𝑢 = 𝑧 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑧

𝑑𝑣 = 𝑒𝑧𝑑𝑧 𝑣 = 𝑒𝑧

𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 = 𝑧𝑒𝑧 −∫𝑒𝑧𝑑𝑧 = 𝑧𝑒𝑧 − 𝑒𝑧 + 𝐶

Por lo tanto, haciendo el cambio de variables de regreso, el valor de la integral es

∫𝑥3𝑒𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥

2− 𝑒𝑥

2+ 𝐶

Integrales por Partes (Telescópicas)

Existe una manera más fácil de hacer una integral por partes si se cumplen ciertas

condiciones, estas se llaman Integrales Telescópicas. Para poder hacer esta técnica es

importante que la integral tenga las siguientes características:

1.- Debe tener un polinomio no importando el grado de este.

2.- Debe haber una función cíclica con argumento lineal. Una función cíclica es aquella

que al derivarla o integrarla eventualmente va a volver a aparecer la misma función.

Nosotros vamos a ver tres: la función seno, coseno y la función exponencial base e.

Una vez que ya sabemos que podemos usar la técnica de integrales telescópicas, estos

son los pasos a seguir:

1.- Derivar 𝑢 hasta que sea cero

2.- Integrar 𝑑𝑣 el mismo número de veces que derivamos

3.- Hacer ∑ (−1)𝑗+1(𝑈𝑗)(𝑉𝑗+1)𝑛𝑗=1 donde n es el número de veces que se derivo

𝑢

Ejercicio. Obtener ∫𝑥3 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥.

Esta es una integral telescópica debido a que 𝑥3 es un polinomio y 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) es una función

cíclica con argumento lineal.

Ahora seguimos los pasos:


𝑢 = 𝑥3 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

𝑢′ = 3𝑥2 𝑣 = −1

2cos(2𝑥)

𝑢′′ = 6𝑥 ∫ 𝑣 = −1

4sen(2𝑥)

𝑢′′′ = 6 ∬ 𝑣 = 1

8cos(2𝑥)

𝑢′′′′ = 0 ∭ 𝑣 = 1

16sen(2𝑥)

Entonces ∫𝑥3 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 es

−1

2𝑥3 cos(2𝑥) +

1

43𝑥2sen(2𝑥) +

1

86𝑥 cos(2𝑥) −

1

166 sen(2𝑥) + 𝐶

Casos Especiales

Ahora vamos a ver algunas integrales un poco más difíciles que se resuelven utilizando

integración por partes.

a) ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒3𝑥 𝑑𝑥

Al analizar esta integral vemos que no se puede por sustitución porque no hay polinomios

de grados subsecuentes ni al derivar una parte obtenemos la otra parte, no hay estructura

de sustitución trigonométrica ni hay manera en que lleguemos a ella ni hay fracciones por

lo tanto no se puede por fracciones parciales. Entonces la única que nos queda es por

partes, pero no se puede telescópica porque no hay un polinomio ni una parte que se

puede volver cero al derivarla.

Entonces da igual si tomamos u como la función seno, o la exponencial

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑢 = 2cos (2𝑥)

𝑑𝑣 = 𝑒3𝑥 𝑣 = 1

3𝑒3𝑥

∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 =1

3𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −∫

2

3cos (2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥

Ahora llegamos a otra integral y esta la tenemos que integrar por partes otra vez


116

𝑢 = cos(2𝑥) 𝑢′ = −2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

𝑑𝑣 = 𝑒3𝑥 𝑣 = 1

3𝑒𝑥

1

3𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −

2

3∫cos(2𝑥) 𝑒𝑥𝑑𝑥 =

1

3 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −

2

3[1

3cos(2𝑥) 𝑒𝑥 +

2

3∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥]

= 1


2

9cos(2𝑥) 𝑒𝑥 −

4

9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥

Aquí vemos que volvemos a llegar a la misma integral que queríamos resolver al principio,

si siguiéramos integrando por partes llegaríamos a lo mismo y no llegaríamos al resultado.

Entonces se hace esto:

∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 = 1


2


4

9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

9

9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 =

1


2


4

9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

13

9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 =

1


2

9cos(2𝑥) 𝑒𝑥 + 𝐶

∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 = 9

13[1


2

9cos(2𝑥) 𝑒𝑥] + 𝐶

b) ∫𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥

Al analizar esta integral no tenemos ninguna fórmula ni técnica que nos diga como

integrar una función inversa trigonométrica. Así que en estos casos cuando no sabemos

que hacer lo más fácil es hacer una sustitución.

𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑥 = 1

2𝑠𝑒𝑛(𝑢)

𝑑𝑥

𝑑𝑢= 1

2cos(𝑢) 𝑑𝑥 =

1

2cos(𝑢) 𝑑𝑢

∫𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 = 1

2∫𝑢 cos(𝑢) 𝑑𝑢

Ahora que analizamos esta nueva integral nos damos cuenta que se puede integrar por

partes.


𝑎 = 𝑢 𝑎′ = 1

𝑑𝑏 = cos(𝑢) 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢)

1

2∫𝑢 cos(𝑢) 𝑑𝑢 =

1

2[𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢) −∫𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢] =

1

2[𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢) + cos (𝑢)] + 𝐶

Ahora el único problema es que no sabemos cuanto vale cos(u) , pero usando un poco de

trigonometría podemos llegar a saber cuanto vale.

cos(𝑢) = √1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑢) = √1 − 4𝑥2

Entonces

∫𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 = 1

2[𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢) + cos (𝑢)] + 𝐶 =

1

2[2𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + √1 − 4𝑥2] + 𝐶

Ejercicios

1.- Resuelve las siguientes integrales utilizando Sustitución. En caso de que no se pueda

utilizar esta técnica, justifica.

a) ∫ 3𝑥𝑒𝑥2𝑑𝑥

b) ∫ 45𝑥4 cos(−5𝑥5) 𝑑𝑥

c) ∫𝑥3

𝑥4−5𝑥𝑑𝑥

d) ∫2𝑥𝑙𝑛(𝑥2+1)

𝑥2+1𝑑𝑥

e) ∫(9𝑥2 + 3)𝑠𝑒𝑛(2𝑥3 + 2𝑥)𝑑𝑥

f) ∫ 𝑠𝑒𝑛(8𝑥) cos(8𝑥) 𝑑𝑥

g) ∫𝑥

(4𝑥2−1)5𝑑𝑥

h) ∫𝑙𝑛5(𝑥+1)

6𝑥+6𝑑𝑥

i) ∫ 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥

j) ∫ cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛7(2𝑥)𝑑𝑥


118

k) ∫ cos (3𝑥)𝑒𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥

l) ∫4𝑥−2

(7𝑥2−7𝑥)100𝑑𝑥

2.- Probar, utilizando Sustitución las siguientes integrales

a)

∫𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)𝑑𝑥 = −1

𝑎cos(𝑎𝑥) + 𝐶 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0

b)

∫𝑎𝑥𝑒𝑏𝑥2𝑑𝑥 =

𝑎

2𝑏𝑒𝑏𝑥

2+ 𝐶

¿Para qué valores de 𝑎 𝑦 𝑏 esta identidad no es cierta?

3.- Prueba la siguiente integral

∫sec(𝑥) 𝑑𝑥 = ln(𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(𝑥)) + 𝐶

(Pista: Multiplica y divide por sec(𝑥) + tan (𝑥) y usa Sustitución)

4.- Resuelve las siguientes integrales Por Partes. En caso de que no se pueda usar esta

técnica, justifica.

a) ∫3𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥

b) ∫𝑥𝑐𝑜𝑠(5𝑥)𝑑𝑥

c) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥

d) ∫ 𝑥3𝑒5𝑥𝑑𝑥

e) ∫𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥

f) ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥3)𝑑𝑥

g) ∫ 𝑒√𝑥 𝑑𝑥 (Pista: Haz una sustitución)


h) ∫ 𝑠𝑒𝑛(6𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥

i) ∫ 𝑥5𝑒−𝑥3𝑑𝑥

j) ∫ 𝑥3 ln(𝑥) 𝑑𝑥

k) ∫1

𝑥2+1𝑑𝑥

l) ∫ cos (√𝑥) 𝑑𝑥 (Pista: Haz una sustitución)

m) ∫ cos (2𝑥)𝑒3𝑥𝑑𝑥

n) ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

o) ∫ 𝑠𝑒𝑛(7𝑥)𝑒5𝑥𝑑𝑥

5.- Falso o Verdadero. Debes justificar tu respuesta.

a) Todas las integrales que se resuelven Por Partes son Telescópicas.

b) Un ejemplo de una función cíclica es 𝑓(𝑥) = ln (𝑥)

c) En ∫𝑥2 ln(𝑥) 𝑑𝑥 se toma 𝑢 = 𝑥2 y 𝑑𝑣 = ln (𝑥)

d) Una integral es telescópica sólo cuando hay una función cíclica en el integrando.


120

Técnicas de Integración

Integrales Por Sustitución Trigonométrica y Por Fracciones Parciales

Integrales Por Sustitución Trigonométrica

Esta técnica es muy parecida a la de sustitución pero no siempre se puede hacer, se tiene

que presentar una cierta estructura y dependiendo de esta, cambia la función

trigonométrica que se va a sustituir. Estas son las estructuras que permiten que se use

esta técnica:

Estructura

Sustitución

𝑎2 − 𝑥2

𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑥2 − 𝑎2

sec (𝜃)

𝑥2 + 𝑎2

tan (𝜃)

Pero antes de ver cómo integrar por sustitución trigonométrica, hay que repasar algunas

identidades trigonométricas y derivadas. Estas son las identidades trigonométricas más

utilizadas en esta técnica pero no son las únicas:

𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1

1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)

tan(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑐𝑜𝑡(𝜃) =

𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑠𝑒𝑐(𝜃) =

1

𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑐𝑠𝑐(𝜃) =

1

𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Además hay que recordar las derivadas de algunas funciones trigonométricas, estas son

las más usadas:

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝑦

𝑑𝜃= 𝑐𝑜𝑠(𝜃)


𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝜃) 𝑑𝑦

𝑑𝜃= 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)

𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝑦

𝑑𝜃= 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃)

Los pasos para hacer una integral por sustitución trigonométrica son los siguientes:

1.- Localizar la estructura que se va a sustituir, a veces no es tan evidente por lo que hay

que completar un cuadrado o hacer un cambio de variables para verla más clara.

2.- Despejar la fórmula de Pitágoras para que se parezca a la estructura que está en la

integral y con eso formar el triángulo que se usará en la sustitución.

3.- Sustituir en la función trigonométrica los elementos del triángulo formado tomando en

cuenta el cateto opuesto, adyacente y la hipotenusa.

4.- Una vez que se tiene la función trigonométrica con la que se va sustituir, despejar la

variable que está en el diferencial y derivar.

5.- Hacer la sustitución en la integral tomando en cuenta que una vez que se hace la

sustitución no deben de quedar más que funciones trigonométricas y un diferencial d𝜃

6.- Modificar la integral utilizando las identidades trigonométricas hasta llegar a una

integral trigonométrica directa.

7.- Integrar y hacer el cambio de variables de regreso.

Ejercicio. Resolver las siguientes integrales utilizando Sustitución Trigonométrica.

𝑎) ∫𝑑𝑥

√9 − 𝑥2

Esta integral tiene la estructura 𝑎2 − 𝑥2 por lo que haremos la sustitución con seno. Lo

primero que debemos formar es el triángulo que va a tener los datos de la integral.

Entonces:


ℎ𝑖𝑝

De la fórmula de Pitágoras dejamos del mismo lado los dos elementos que aparecen en la

fórmula del seno y una vez despejados los igualamos a la estructura que tenemos en la

integral y así sacamos el valor de los catetos y de la hipotenusa.


122

𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2 = ℎ𝑖𝑝2

ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑜2 = 𝑐𝑎2

ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑜2 = 9 − 𝑥2

ℎ𝑖𝑝 = 3 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = √9 − 𝑥2

𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑥

3

𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃

∫𝑑𝑥

√9 − 𝑥2 = ∫

3 cos(𝜃) 𝑑𝜃

√9 − (3𝑠𝑒𝑛(𝜃))2

3∫𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃

√9 − 9𝑠𝑒𝑛2(𝜃) = 3 ∫

𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃

√9(1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃))

3∫𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃

√9 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 3∫

𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃

3 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = ∫ 1 𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶

Aquí ya terminamos de integrar pero hace falta hacer la sustitución de regreso porque no

teníamos una integral en términos de 𝜃. En este caso como nos quedo 𝜃 hay que utilizar

la función inversa de seno. Esta es la función 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛


ℎ𝑖𝑝 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝑐𝑜

ℎ𝑖𝑝)

Ahora sustituimos esta función con los elementos de la integral que se encuentran en los

lados del triángulo que formamos al principio:

ℎ𝑖𝑝 = 3 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = √9 − 𝑥2

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥

3)

Por lo tanto

∫𝑑𝑥

√9 − 𝑥2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝑥

3) + 𝐶


b) ∫𝑑𝑥

√𝑥2+2𝑥+5

Así como esta, ésta integral no se ve tan clara la estructura de sustitución trigonométrica,

pero se puede convertir a una de las formas necesarias para poder aplicar la técnica. Y

esto se hace primero completando el trinomio cuadrado perfecto y haciendo una

sustitución.

𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 4 = (𝑥 + 1)2 + 4

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥 + 1 𝑑𝑢 = 1 𝑑𝑥

∫𝑑𝑥

√𝑥2 + 2𝑥 + 1 = ∫

𝑑𝑢

√𝑢2 + 4

Aquí ya se ve claramente la estructura de𝑥2 + 𝑎2, así que ya podemos empezar a integrar

haciendo la sustitución con tangente.

𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝑐𝑜

𝑐𝑎 𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2 = ℎ𝑖𝑝2

𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2 = 𝑢2 + 4

𝑐𝑜 = 𝑢 𝑐𝑎 = 2 ℎ𝑖𝑝 = √𝑢2 + 4

𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝑢

2 𝑢 = 2 𝑡𝑎𝑛(𝜃) 𝑑𝑢 = 2𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 𝑑𝜃

∫𝑑𝑢

√𝑢2 + 4 = ∫

2𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 𝑑𝜃

√(2𝑡𝑎𝑛2(𝜃))2 + 4

2∫𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 𝑑𝜃

√4 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) + 4 = 2∫

𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 𝑑𝜃

√4(1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃))

2∫𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃

√4𝑠𝑒𝑐2(𝜃) = 2∫

𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃

2sec (𝜃)= ∫ sec(𝜃) 𝑑𝜃 = ln(𝑡𝑎𝑛(𝜃) + 𝑠𝑒𝑐(𝜃)) + 𝐶

ln(𝑡𝑎𝑛(𝜃) + 𝑠𝑒𝑐(𝜃)) + 𝐶 = ln(𝑢

2+ √𝑢2 + 4

2) + 𝐶 = 𝑙𝑛 (

𝑥 + 1

2+√(𝑥 + 1)2 + 4

2) + 𝐶

∫𝑑𝑥

√𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑙𝑛 (

𝑥 + 1

2+√(𝑥 + 1)2 + 4

2) + 𝐶


124

c) ∫𝑒𝑥 𝑑𝑥

√𝑒2𝑥−16

En esta integral es recomendable hacer un cambio de variables para simplificar la integral,

sustituyendo 𝑢 por 𝑒𝑥 (no olvidar derivar u al hacer la sustitución).

𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥

∫𝑒𝑥𝑑𝑥

√𝑒2𝑥 − 16 = ∫

𝑑𝑢

√𝑢2 − 16

Aquí ya podemos ver que tenemos una estructura de la forma 𝑥2 − 𝑎2, así que la

sustitución la haremos con secante.

sec(𝜃) = ℎ𝑖𝑝

𝑐𝑎 ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑎2 = 𝑐𝑜2

ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑎2 = 𝑢2 − 16

ℎ𝑖𝑝 = 𝑢 𝑐𝑎 = 4 𝑐𝑜 = √𝑢2 − 16

𝑠𝑒𝑐(𝜃) = 𝑢

4 𝑢 = 4𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝑢 = 4 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃

∫𝑑𝑢

√𝑢2 − 16= ∫

4 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃

√16𝑠𝑒𝑐2(𝜃) − 16

4∫ 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃

√16(𝑠𝑒𝑐2(𝜃) − 1) = 4∫

𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃

√16𝑡𝑎𝑛2(𝜃)

4∫𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃

4tan (𝜃)= ∫ sec(𝜃)𝑑𝜃 = ln(tan(𝜃) + sec(𝜃)) + 𝐶

ln(tan(𝜃) + sec(𝜃)) + 𝐶 = 𝑙𝑛 (√𝑢2 − 16

4 +

𝑢

4) + 𝐶 = 𝑙𝑛 (

√𝑒2𝑥 − 16

4+ 𝑒𝑥

4) + 𝐶

∫𝑒𝑥𝑑𝑥

√𝑒2𝑥 − 16 = 𝑙𝑛 (

√𝑒2𝑥 − 16

4+ 𝑒𝑥

4) + 𝐶


d) ∫√1 − 𝑥2𝑑𝑥

Esta integral claramente es por sustitución trigonométrica porque tiene la estructura 𝑎2 −

𝑥2 y se hace la sustitución con seno

𝑠𝑒𝑛(𝜃) =𝑐𝑜

ℎ𝑖𝑝 ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑜2 = 𝑐𝑎2

ℎ𝑖𝑝 = 1 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = √1 − 𝑥2

𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑥 𝑑𝑥 = cos(𝜃)𝑑𝜃

∫√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃

∫√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) cos(𝜃) 𝑑𝜃 = ∫√𝑐𝑜𝑠2(𝜃) cos(𝜃) 𝑑𝜃 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃

Hay varias formas de resolver la integral de coseno cuadrado, vamos a ver dos formas de

hacerlo.

Camino 1

∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃 = ∫1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃 = 𝜃 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃

Ahora para integrar seno cuadrado lo hacemos por partes

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝑢 = cos(𝜃)𝑑𝜃

𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑣 = −cos (𝜃)

𝜃 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) − ∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃

Entonces usamos el mismo truco que en el inciso (a) de la sección de casos especiales

de Integrales Por Partes:

∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) − ∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃

2∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)


126

∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =1

2[𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)] + 𝐶

Camino 2

Ahora aplicamos primero por partes

𝑢 = cos(𝜃) 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜃

𝑑𝑣 = cos(𝜃) 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

∫cos 2(𝜃) 𝑑𝜃 = cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) +∫𝑠𝑒𝑛2(𝜃) 𝑑𝜃

Utilizamos una propiedad que podemos deducir de una identidad trigonométrica

𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1

∫𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃 = 𝜃

Despejamos seno cuadrado

∫𝑠𝑒𝑛2(𝜃) 𝑑𝜃 = 𝜃 − ∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) 𝑑𝜃

Igualando y aplicando el mismo truco que en el camino 1 nos queda que

∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =1


Por lo tanto ya conociendo la integral de coseno cuadrado y recordando los lados del

triángulo que construimos podemos encontrar ahora si la integral que estábamos

buscando

∫√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =1


ℎ𝑖𝑝 = 1 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = √1 − 𝑥2

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) = 𝑥√1 − 𝑥2

∫√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 1

2[𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥√1 − 𝑥2] + 𝐶


Integrales Por Fracciones Parciales

Para poder entender mejor esta técnica, hay que recordar un poco sobre el álgebra de

fracciones. Este es un ejemplo de cómo se suman fracciones cuando los denominadores

tienen variables:

𝑥 − 1

𝑥 + 1+

3

𝑥 − 1+2𝑥

𝑥 =

𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) + 3𝑥(𝑥 + 1) + 2𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 2𝑥3 − 2𝑥

𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) =

3𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥

𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

Este ejemplo es cuando los denominadores no se parecen pero cuando hay un

denominador que se repite en otra fracción o es este mismo elevado a una potencia, se

toma solamente el que esta elevado a la potencia mayor. Esto porque se busca obtener el

mínimo común múltiplo. Ejemplo:

𝑥

(𝑥 − 1)2+

3

𝑥 − 1+

1

(𝑥 + 2)2+

𝑥

𝑥 + 2= 𝑥(𝑥 + 2)2 + 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)2 + (𝑥 + 1)2 + 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)2

(𝑥 − 1)2(𝑥 + 2)2

De lo que se trata la técnica de fracciones parciales es descomponer una fracción

complicada que se quiere integrar, en fracciones más fáciles. Se busca encontrar las

fracciones que al momento de sumarlas nos dieron como resultado la fracción que

queremos integrar. Cuando aplicamos esta técnica llegamos a fracciones mucho más

fáciles que la original y normalmente tenemos que usar otra técnica de integración para

poder integrar esas nuevas fracciones.

Los pasos para integrar por fracciones parciales son:

1.- Analizar la fracción, observar el denominador y plantear TODAS las posibles

fracciones que pudieron haber formado al momento de sumarse a esta fracción.

2.- Una vez planteadas, hacer el álgebra correspondiente y llegar a un sistema de

ecuaciones para poder saber los valores que va a tomar el numerador de cada fracción

parcial.

3.- Descomponer a la integral como la suma de las integrales de cada fracción parcial.

4.- Integrar cada fracción parcial y sumar todos los resultados.


128

Ejercicio. Resolver las siguientes integrales utilizando Fracciones Parciales.

a) ∫4𝑥3−𝑥2+3𝑥−2

𝑥(𝑥2+1)(𝑥+1) 𝑑𝑥

Analizando el denominador, como tiene 3 múltiplos los cuales cada uno de ellos es

distinto, suponemos que cada uno viene de una fracción parcial distinta. Ahora, no

sabemos que iba en el numerador de cada fracción así que lo planteamos como

incógnitas. El grado del numerador va directamente relacionado con el grado del

denominador, el grado del numerador es el grado del denominador menos uno. Es decir si

en el denominador tenemos un polinomio de grado 3, el numerador va a ser de grado 2.

A partir de ahorita vamos a dejar la integral de un lado y solo nos vamos a concentrar por

lo pronto en la fracción. Entonces:

4𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)= 𝐴

𝑥+𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 1 +

𝐷

𝑥 + 1

𝐴

𝑥 +

𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 1 +

𝐷

𝑥 + 1= 𝐴(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥(𝑥 + 1) + 𝐷𝑥(𝑥2 + 1)

𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)

Como realmente nos interesa saber qué pasa con el numerador porque el denominador

va a ser siempre el mismo, podemos solo escribir y hacer el álgebra con el numerador.

𝐴(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥(𝑥 + 1) + 𝐷𝑥(𝑥2 + 1)

𝐴(𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥2 + 𝑥) + 𝐷(𝑥3 + 𝑥)

𝐴(𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥3 + 𝑥2) + 𝐶(𝑥2 + 𝑥) + 𝐷(𝑥3 + 𝑥)

Ahora vamos a agrupar los coeficientes que acompañan a cada variable del mismo grado.

𝑥3(𝐴 + 𝐵 + 𝐷) + 𝑥2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) + 𝑥(𝐴 + 𝐶 + 𝐷) + 𝐴

Entonces la fracción completa nos queda:

𝑥3(𝐴 + 𝐵 + 𝐷) + 𝑥2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) + 𝑥(𝐴 + 𝐶 + 𝐷) + 𝐴

𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)


Y como queremos que esta fracción sea igual a la fracción que se quiere integrar,

entonces igualamos los coeficientes a lado de cada variable, a los coeficientes en la

fracción original. Así llegamos a un sistema de ecuaciones.

𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 4

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = −1

𝐴 + 𝐶 + 𝐷 = 3

𝐴 = −2

Se puede seguir el método que sea para resolver este sistema de ecuaciones. Una vez

que se resuelve llegamos a que

𝐴 = −2 𝐵 = 1 𝐶 = 0 𝐷 = 5

Entonces

4𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)= −2

𝑥+

𝑥

𝑥2 + 1 +

5

𝑥 + 1

Una vez que tenemos las fracciones parciales, volvemos a la integral que teníamos.

∫4𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫

−2

𝑥+

𝑥

𝑥2 + 1 +

5

𝑥 + 1 𝑑𝑥

∫−2

𝑥 𝑑𝑥 + ∫

𝑥

𝑥2 + 1 𝑑𝑥 + ∫

5

𝑥 + 1 𝑑𝑥

−2∫1

𝑥 𝑑𝑥 + ∫

𝑥

𝑥2 + 1 𝑑𝑥 + 5∫

1

𝑥 + 1 𝑑𝑥

Al analizar estas integrales nos damos cuenta que la primera y la tercera son integrales

directas porque al derivar el denominador tenemos el numerador (esta es la definición de

la integral que da como resultado logaritmo natural). Pero el problema está en la segunda

la cual no es tan directa. Al verla nos damos cuenta que esta integral se hace por

sustitución porque hay polinomios de grados subsecuentes y si derivamos el denominador

nos da algo muy parecido en términos al numerador.


130

∫𝑥

𝑥2 + 1 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 1

2𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥

1

2∫𝑑𝑢

𝑢= 1

2ln(𝑢) + 𝐶 =

1

2ln(𝑥2 + 1) + 𝐶

Por lo tanto

−2∫1

𝑥 𝑑𝑥 + ∫

𝑥

𝑥2 + 1 𝑑𝑥 + 5∫

1

𝑥 + 1 𝑑𝑥 = −2 ln(𝑥) +

1

2ln(𝑥2 + 1) + 5 ln(𝑥 + 1) + 𝐶

∫4𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = − 2 ln(𝑥) +

1

2ln(𝑥2 + 1) + 5 ln(𝑥 + 1) + 𝐶

b) ∫3𝑥3+6𝑥2+18𝑥+29

(𝑥2+4)(𝑥+3)2𝑑𝑥

Al analizar el denominador de esta fracción, nos damos cuenta que existe un binomio al

cuadrado, esto quiere decir que posiblemente existe una fracción parcial con denominador

𝑥 + 3 y otra con denominador (𝑥 + 3)2, así que tenemos que plantear esta posibilidad.

3𝑥3 + 6𝑥2 + 18𝑥 + 29

(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2 =

𝐴𝑥 + 𝐵

(𝑥2 + 4)+

𝐶

𝑥 + 3+

𝐷

(𝑥 + 3)2

Aquí hay que notar que aunque en la tercera fracción hay un cuadrado, como el polinomio

es de grado uno por eso el numerador es de grado cero.

𝐴𝑥 + 𝐵

(𝑥2 + 4)+

𝐶

𝑥 + 3+

𝐷

(𝑥 + 3)2

(𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 + 3)2 + 𝐶(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3) + 𝐷(𝑥2 + 4)

(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2

(𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + 𝐶(𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12) + 𝐷(𝑥2 + 4)

(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2

𝐴(𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥) + 𝐵(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + 𝐶(𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12) + 𝐷(𝑥2 + 4)

(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2


𝑥3(𝐴 + 𝐶) + 𝑥2(6𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 + 𝐷) + 𝑥(9𝐴 + 6𝐵 + 4𝐶) + 9𝐵 + 12𝐶 + 4𝐷

(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2

𝐴 + 𝐶 = 3

6𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 + 𝐷 = 6

9𝐴 + 6𝐵 + 4𝐶 = 18

9𝐵 + 12𝐶 + 4𝐷 = 29

Resolviendo el sistema nos queda:

𝐴 = 0 𝐵 = 1 𝐶 = 3 𝐷 = −4

Por lo tanto

3𝑥3 + 6𝑥2 + 18𝑥 + 29

(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2 =

1

(𝑥2 + 4)+

3

𝑥 + 3−

4

(𝑥 + 3)2

∫3𝑥3 + 6𝑥2 + 18𝑥 + 29

(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2 𝑑𝑥 = ∫

1

(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 + 3∫

1

𝑥 + 3𝑑𝑥 − 4∫

1

(𝑥 + 3)2𝑑𝑥

Al analizar esta integral vemos que la segunda fracción parcial es una integral directa

porque al derivar el denominador nos da exactamente el numerador. Pero ni la primera ni

la tercera son integrales directas. La primera fracción no tiene grados subsecuentes pero

si una estructura 𝑥2 + 𝑎2 por lo tanto la tenemos que integrar por sustitución

trigonométrica. Y la tercera integral no tiene estructura de sustitución trigonométrica pero

si hay polinomios de grados subsecuentes así que se puede por sustitución.

∫1

(𝑥 + 3)2𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥 + 3 𝑑𝑢 = 1 𝑑𝑥

∫𝑑𝑢

𝑢2= ∫𝑢−2𝑑𝑢 =

𝑢−1

−1+ 𝐶 = −

1

𝑢+ 𝐶 = −

1

𝑥 + 3+ 𝐶


132

∫1

(𝑥2 + 4)𝑑𝑥

tan(𝜃) = 𝑐𝑜

𝑐𝑎 𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2 = 𝑥2 + 4 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = 2 ℎ𝑖𝑝 = √𝑥2 + 4

tan(𝜃) = 𝑥

2 𝑥 = 2 tan(𝜃) 𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃

∫2𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃

4𝑡𝑎𝑛2(𝜃) + 4 = 2 ∫

𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃

4𝑠𝑒𝑐2(𝜃)= 1

2∫1 𝑑𝜃 =

1

2𝜃 + 𝐶

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑥

2)

∫1

(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 =

1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑥

2) + 𝐶

Por lo tanto

∫1

(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 + 3∫

1

𝑥 + 3𝑑𝑥 − 4∫

1

(𝑥 + 3)2𝑑𝑥

= 1


𝑥

2) + 3 ln(𝑥 + 3) −

4

𝑥 + 3+ 𝐶

Esto implica que

∫3𝑥3 + 6𝑥2 + 18𝑥 + 29

(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2𝑑𝑥 =

1


𝑥

2) + 3 ln(𝑥 + 3) −

4

𝑥 + 3+ 𝐶


Ejercicios

1.- Resuelve las siguientes integrales usando Sustitución Trigonométrica

a) ∫𝑑𝑥

𝑥2+1

b) ∫𝑑𝑥

√1−𝑥2

c) ∫(1 − 𝑥2)3/2𝑑𝑥

d) ∫𝑑𝑥

𝑥√𝑥2−1

e) ∫𝑑𝑥

𝑥2+4𝑥+13

f) ∫cos(𝑥)𝑑𝑥

9−𝑠𝑒𝑛2(𝑥)

g) ∫𝑑𝑥

√𝑥2+2𝑥+2

h) ∫𝑒2𝑥

(𝑒2𝑥+1)3/2 𝑑𝑥

i) ∫√𝑥2 − 1 𝑑𝑥

j) ∫√1 − 𝑥2 𝑑𝑥

k) ∫𝑥

(1−𝑥2)3/2𝑑𝑥

l) ∫ 𝑒𝑥√1 − 𝑒2𝑥𝑑𝑥

m) ∫𝑑𝑥

√𝑥2+4𝑥−12

n) ∫𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑒2𝑥+6𝑒𝑥+18

2.- Demuestra utilizando sustitución trigonométrica lo siguiente

∫𝑑𝑥

𝑥2 + 𝑎2 =

1

𝑎arctan (

𝑥

𝑎) + 𝐶


134

3.- Verdadero o Falso. En caso de que sea falso justifica

a) Para resolver ∫𝑥2𝑒𝑥3𝑑𝑥 hay que utilizar Sustitución Trigonométrica

b) Si dentro de la integral tenemos la estructura 𝑎2 − 𝑥2 entonces nuestra sustitución va a

ser 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

c) Esta identidad es cierta 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) + 1 = 𝑡𝑎𝑛2(𝜃)

d) En ∫𝑑𝑥

9−𝑥2 hay que sustituir usando seno

e) ∫ √𝑥2 + 2𝑥 + 1𝑑𝑥 no se puede resolver con Sustitución Trigonométrica

4.- Resuelve las siguientes integrales usando Fracciones Parciales

a) ∫7𝑥2−12𝑥+4

𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)𝑑𝑥

b) ∫3𝑥2−34𝑥+15

𝑥(𝑥−3)(2𝑥−1)𝑑𝑥

c) ∫−𝑥2+𝑥−2

(𝑥+1)(𝑥2+1)𝑑𝑥

d) ∫𝑥3−5𝑥

(𝑥2+1)(𝑥2+4)𝑑𝑥

e) ∫6𝑥2−19𝑥+20

(𝑥+1)(𝑥−2)2𝑑𝑥

f) ∫2𝑥2+4𝑥+6

(𝑥+1)3𝑑𝑥

g) ∫4𝑥2−𝑥+3

(𝑥+1)(𝑥2+1)𝑑𝑥

h) ∫6𝑥2+22

(𝑥2+1)(𝑥2+9)𝑑𝑥

i) ∫−𝑥2+5𝑥+2

(𝑥+4)(𝑥2+1)𝑑𝑥

j) ∫4𝑥3−4𝑥2+15𝑥−5

(𝑥2+4)(𝑥−1)3𝑑𝑥


5.- Resuelve las siguientes integrales utilizando la técnica apropiada (Sustitución, Por

Partes, Sustitución Trigonométrica, Fracciones Parciales)

a) ∫√(𝑥 − 1)2 − 1 𝑑𝑥

b) ∫𝑥5ln (𝑥) 𝑑𝑥

c) ∫𝑥3𝑒5𝑥4+12𝑑𝑥

d) ∫𝑥5 cos(7𝑥3) 𝑑𝑥

e) ∫𝑑𝑥

(𝑥−5)𝑙𝑛4(𝑥−5)

f) ∫5 𝑑𝑥

(𝑥−4)(𝑥+5)

g)∫ cot(5𝑥)𝑑𝑥

h) ∫𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑒2𝑥+16

i) ∫6𝑥2+4

(𝑥3+2𝑥)2

j) ∫𝑥3+2𝑥

(6𝑥2+4)2 𝑑𝑥

k) ∫ cos (2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥

l) ∫ 𝑡𝑎𝑛4(2𝑥)𝑠𝑒𝑐2(2𝑥)𝑑𝑥

m) ∫𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

n) ∫𝑥+4

𝑥2+ 16 𝑑𝑥

o) ∫𝑑𝑥

(𝑥+1)(𝑥−7)(𝑥+4)

p) ∫(3𝑥 + 1)(3𝑥2 + 2𝑥)50𝑑𝑥

q) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) 𝑙𝑛4(tan(𝑥))𝑑𝑥

r) ∫𝑥2

9−𝑥2𝑑𝑥

s) ∫ arccos(7𝑥) 𝑑𝑥


136

Áreas y Volúmenes de Revolución

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Hay ocasiones que queremos conocer el área formada entre la curva y el eje 𝑥 pero que

este acotada por dos valores (a y b, llamados límites de integración). El Teorema

Fundamental del Cálculo Integral nos permite saber el valor de esta área.

Supongamos que queremos calcular ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 . Si 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 entonces


𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

Lo que nos dice este teorema es que si queremos conocer el área formada entre la curva

𝑓(𝑥) y el eje en un intervalo [𝑎, 𝑏] entonces lo que debemos hacer es integrar la función

sin límites de integración y al resultado evaluarlo en b y restarle el resultado de la integral

evaluado en a.

Ejemplos

a) Calcular ∫ 3𝑥2 + 4𝑥 𝑑𝑥5

0

Usando el Teorema Fundamental del Cálculo Integral entonces lo primero que hay que

hacer es integrar la función sin límites de integración

𝐹(𝑥) = ∫3𝑥2 + 4𝑥 𝑑𝑥 = 3∫𝑥2𝑑𝑥 + 4∫𝑥 𝑑𝑥 = 3

3𝑥3 +

4

2𝑥2 + 𝐶 = 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝐶

𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝐶

Ahora evaluamos en 𝑥 = 5 𝑦 𝑥 = 0

𝐹(5) = 53 + 2(52) + 𝐶 = 125 + 50 + 𝐶 = 175 + 𝐶

𝐹(0) = 03 − 2(02) + 𝐶 = 0 + 𝐶 = 𝐶

∫3𝑥2 + 4𝑥 𝑑𝑥

5

0

= 𝐹(5) − 𝐹(0) = 175 + 𝐶 − (𝐶) = 175

Por lo tanto el área formada entre 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 y el eje 𝑥 en el intervalo [0,5] es 175 u2


Podemos tener un pequeño problema, que entre los límites de integración la función que

estamos integrando tenga una raíz. El resultado de una integral nos puede dar negativo si

el área que se está calculando está por debajo del eje, entonces si tenemos una raíz la

función va a estar por debajo del eje antes o después de la raíz. Pero si esto ocurre una

parte de la integral nos va a dar negativa y otra positiva lo cual va a provocar que se

anulen dándonos como resultado un área menor a la que realmente es. Es por esto que si

tenemos una raíz debemos separar en dos integrales y aplicar valor absoluto. A

continuación se darán algunos ejemplos.

b) Calcular ∫ 3𝑥2 − 12 𝑑𝑥5

0

Primero hay que integrar sin los límites de integración

𝐹(𝑥) = ∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥 + 𝐶

Ahora calculemos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo Integral

𝐹(5) = 53 − 12(5) + 𝐶 = 125 − 60 + 𝐶 = 65 + 𝐶

𝐹(0) = 03 − 12(0) + 𝐶 = 𝐶

∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥

5

0

= 𝐹(5) − 𝐹(0) = 65 + 𝐶 − (𝐶) = 65

Pero este resultado está mal porque 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 12 tiene una raíz en x = 2 y está

dentro de los límites de integración (𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 5) . Entonces lo que realmente hay que

hacer es lo siguiente

∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥

5

0

= |∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥

2

0

| + |∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥

5

2

|

Entonces debemos calcular 𝐹(2)

𝐹(2) = 23 − 12(2) + 𝐶 = 8 − 24 + 𝐶 = −16 + 𝐶

|∫ 3𝑥2 − 12 𝑑𝑥

2

0

| = |𝐹(2) − 𝐹(0)| = |−16 + 𝐶 − (𝐶)| = |−16| = 16

|∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥

5

2

| = |𝐹(5) − 𝐹(2)| = |65 + 𝐶 − (−16 + 𝐶)| = |81| = 81

Entonces ∫ 3𝑥2 − 12 𝑑𝑥5

0= 16 + 81 = 97 𝑢2


138

c) Obtener ∫ 𝑥3 − 𝑥2

−1𝑑𝑥

Lo primero que hay que ver es si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 tiene raíces entre x = -1 y x = 2.

𝑥3 − 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥2 − 1) = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥2 − 1 = 0

⇒ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = √1 ⇒ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 1 𝑜 𝑥 = −1

Las raíces de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 son x = 0, x = 1, x = -1. Dos de estas tres raíces están dentro

de los límites de integración4. Entonces

∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥

2

−1

= | ∫ 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥

0

−1

| + |∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥

1

0

| + |∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥

2

1

|

𝐹(𝑥) = ∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = 1

4𝑥4 −

1

2𝑥2 + 𝐶

Necesitamos conocer el valor de 𝐹(−1), 𝐹(0), 𝐹(1) 𝑦 𝐹(2)

𝐹(−1) = 1

4(−14) −

1

2(−12) + 𝐶 =

1

4−1

2+ 𝐶 =

1

4−2

4+ 𝐶 = −

1

4+ 𝐶

𝐹(0) = 𝐶

𝐹(1) = 1

4(14) −

1

2(12) + 𝐶 = −

1

4+ 𝐶

𝐹(2) =1

4(24) −

1

2(22) + 𝐶 =

16

4−4

2+ 𝐶 = 4 − 2 + 𝐶 = 2 + 𝐶

| ∫ 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥

0

−1

| = |𝐹(0) − 𝐹(−1)| = |𝐶 − (−1

4+ 𝐶)| = |

1

4| =

1

4

|∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥

1

0

| = |𝐹(1) − 𝐹(0)| = |−1

4+ 𝐶 − (𝐶)| = |−

1

4| =

1

4

|∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥

2

1

| = |𝐹(2) − 𝐹(1)| = |2 + 𝐶 − (−1

4+ 𝐶)| = |

8

4− 1

4| = |

7

4| =

7

4

Finalmente

4 x = -1 no nos interesa porque estamos buscando el área que se forma a partir de x = -1 hasta x = 2


∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥

2

−1

= 1

4+ 1

4+ 7

4= 9

4 𝑢2

Área entre Curvas

Otra aplicación importante del Cálculo Integral es conocer el área formada entre dos

curvas. Esto es lo que se hace para calcular el área formada entre 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) en el

intervalo [a,b]

Caso 1

Si 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] entonces

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Caso 2

Si 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] entonces

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Caso 3

Si existe 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑐] 𝑦 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥)

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑐, 𝑏] entonces

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎

+ ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐

Caso 4

Si existe 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑐] 𝑦 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑐, 𝑏] entonces

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎

+ ∫𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐

Estos son los cuatro casos más comunes cuando estamos calculando el área formada

entre dos curvas. Los últimos dos casos se dan cuando las curvas se intersectan en un

punto dentro de los límites de integración (𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]). Entonces

siempre que nos pidan conocer el área dos curvas hay que revisar primero si la

intersección de las curvas esta o no dentro de los límites de integración.


140

Ejemplos

a) Calcular el área formada entre 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 en el intervalo [0,1]

Lo primero que hay que ver es si 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) en el intervalo [0, 1]

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑥2 = 𝑥 + 2 ⇒ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 ⇒ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0

⇒ 𝑥 = 2 𝑜 𝑥 = −1

Las intersecciones entre 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) se dan cuando 𝑥 = 2 y en 𝑥 = −1. En este caso

ninguna de las dos está entre 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1. Ahora hay que ver que curva está por

encima de la otra. Hay muchas formas de hacerlo, la más fácil es hacer una gráfica pero

otra forma es evaluando.

𝑓(0 ) = 02 = 0 𝑓(1) = 12 = 1

𝑔(0) = 0 + 2 = 2 𝑔(1) = 1 + 2 = 3

Como 𝑔(0) > 𝑓(0) , 𝑔(1) > 𝑓(1) y NO se intersectan en [0,1] entonces podemos

asegurar que 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [0,1] lo cual quiere decir que el área entre las

curvas la vamos a calcular usando el caso 2.

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

1

0

∫𝑥 + 2 − 𝑥2 𝑑𝑥

1

0

A partir de aquí usamos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral

𝐹(𝑥) = ∫𝑥 + 2 − 𝑥2𝑑𝑥 = 1

2𝑥2 + 2𝑥 −

1

3𝑥3 + 𝐶

𝐹(1) = 1

2(12) + 2(1) −

1

3(13) + 𝐶 =

1

2+ 2 −

1

3+ 𝐶 =

7

6+ 𝐶

𝐹(0) = 𝐶

Entonces

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑥 + 2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

0

𝐹(1) − 𝐹(0) = 7

6+ 𝐶 − (𝐶) =

7

6 𝑢2


b) Obtener el área formada entre 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 1

2 𝑥 en el intervalo [0,5]

Hay que encontrar los puntos donde 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) y ver si están dentro del intervalo [0,5]

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇒ √𝑥 = 1

2 𝑥 ⇒ 𝑥1/2 =

1

2𝑥 ⇒ 𝑥 =

1

4 𝑥2

⇒ 4𝑥 = 𝑥2 ⇒ 𝑥2 − 4𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 4) = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 4

Entonces en x = 0 y en x = 4 las curvas se intersectan. Ahora lo que debemos saber es

que curva está por encima en el intervalo [0,4] y que curva está por encima en el intervalo

[4,5].

𝑓(0) = √0 = 0 𝑓(3) = √3 = 1.7320 𝑓(4) = √4 = 2 𝑓(5) = √5 = 2.2360

𝑔(0) = 1

2(0) = 0 𝑔(3) =

1

2(3) = 1.5 𝑔(4) =

1

2(4) = 2 𝑔(5) =

1

2(5) = 2.5

Como 𝑓(3) > 𝑔(3) y estas curvas NO se intersectan en el intervalo [0,4] más que en

x = 0 y en x= 4 entonces podemos asegurar que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [0,4].

Como 𝑔(5) > 𝑓(5) y estas curvas NO se intersectan en el intervalo [4,5] más que en

x= 4 entonces podemos asegurar que 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [4,5]. Por lo tanto

estamos en el caso 3.

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

4

0

+ ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

5

4

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑥1/2 − 1

2𝑥 𝑑𝑥

4

0

+ ∫1

2𝑥 − 𝑥1/2𝑑𝑥

5

4

Dividiremos este cálculo en dos partes. En ambas aplicaremos el Teorema Fundamental

del Cálculo Integral. Primero calcularemos ∫ 𝑥1/2 − 1

2𝑥 𝑑𝑥

4

0

𝐹(𝑥) = ∫𝑥1/2 − 1

2𝑥 𝑑𝑥 =

𝑥3/2

32

− 𝑥2

4+ 𝐶 =

2

3𝑥3/2 −

1

4𝑥2 + 𝐶

𝐹(0) = 𝐶

𝐹(4) = 2

3(4

32) −

1

4(42) + 𝐶 =

16

3− 16

4+ 𝐶 =

4

3+ 𝐶

∫𝑥1/2 − 1

2𝑥 𝑑𝑥

4

0

= 𝐹(4) − 𝐹(0) = 4

3+ 𝐶 − (𝐶) =

4

3


142

Ahora calculemos ∫ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥5

4

𝐺(𝑥) = ∫1

2𝑥 − 𝑥1/2𝑑𝑥 =

𝑥2

4 −

𝑥3/2

32

+ 𝐶 = 1

4𝑥2 −

2

3𝑥3/2 + 𝐶

𝐺(4) = 1

4(42) −

2

3(4

32) + 𝐶 =

16

4−16

3+ 𝐶 = −

4

3+ 𝐶

𝐺(5) = 1

4(52) −

2

3(5

32) + 𝐶 =

25

4−2√125

3+ 𝐶

∫1

2𝑥 − 𝑥1/2

5

4

𝑑𝑥 = 𝐺(5) − 𝐺(4) =25

4−2√125

3+ 𝐶 − (−

4

3+ 𝐶) =

91

12−2√125

3

Por lo tanto

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫ 𝑥1/2 − 1

2𝑥 𝑑𝑥

4

0

+ ∫1

2𝑥 − 𝑥1/2𝑑𝑥

5

4

=4

3+91

12−2√125

3= 117

12−2√125

3

Volúmenes de Revolución

Otra aplicación de las integrales es que nos permite calcular el volumen creado al rotar el

área que se crea entre la curva y el eje 360 grados. Supongamos que queremos conocer

el volumen creado por una función f(x) al girar el área creada entre la función y el eje X en

el intervalo [𝑎, 𝑏], entonces la fórmula para calcular éste volumen es

𝑉(𝑥) = ∫ 𝜋 [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Ejemplos

a) Obtener el volumen de revolución creado por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 en el intervalo [1,4]

Lo primero que debemos hacer es calcular [𝑓(𝑥)]2

[𝑓(𝑥)]2 = [𝑥2 + 2𝑥]2 = 𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2

𝑉(𝑥) = 𝜋 ∫[𝑥2 + 2𝑥]2𝑑𝑥 =

4

1

𝜋 ∫𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2 𝑑𝑥

4

1

Usaremos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral


𝐹(𝑥) = ∫𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥5

5+ 4𝑥4

4+ 4𝑥3

3+ 𝐶 =

1

5𝑥5 + 𝑥4 +

4

3𝑥3 + 𝐶

𝐹(1) = 1

5+ 1 +

4

3+ 𝐶 =

38

15+ 𝐶

𝐹(4) = 1

5(45) + 44 +

4

3(43) + 𝐶 =

1024

5+ 256 +

256

3+ 𝐶 =

8192

15+ 𝐶

Entonces

𝑉(𝑥) = 𝜋 ∫𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2 𝑑𝑥

4

1

= 𝜋[𝐹(4) − 𝐹(1)] = 𝜋 [8192

15+ 𝐶 − (

38

15+ 𝐶)]

𝑉(𝑥) = 8160 𝜋

15 𝑢3

b) Obtener el volumen de revolución creado por 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒𝑥 en el intervalo [1,2]

Hay que calcular primero [𝑓(𝑥)]2

[𝑓(𝑥)]2 = [𝑥 𝑒𝑥]2 = 𝑥2 𝑒2𝑥

𝑉(𝑥) = 𝜋 ∫𝑥2 𝑒2𝑥𝑑𝑥

2

1

Hay que usar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral e Integración Por Partes para

poder obtener F(x)

𝐹(𝑥) = ∫𝑥2 𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 1

2𝑥2𝑒2𝑥 −

1

2𝑥𝑒2𝑥 +

1

4𝑒2𝑥 + 𝐶

𝐹(1) = 1

2𝑒2 −

1

2𝑒2 +

1

4𝑒2 + 𝐶 =

1

4𝑒2 + 𝐶

𝐹(2) = 1

2(22)𝑒4 −

1

2(2)𝑒4 +

1

4𝑒4 = 2𝑒4 − 𝑒4 +

1

4𝑒4 =

5

4𝑒4 + 𝐶

𝑉(𝑥) = 𝜋 ∫𝑥2 𝑒2𝑥𝑑𝑥

2

1

= 𝜋[𝐹(2) − 𝐹(1)] = 𝜋 [5

4𝑒4 + 𝐶 − (

1

4𝑒2 + 𝐶)]

𝑉(𝑥) = 5𝜋

4 𝑒4 −

𝜋

4 𝑒2 𝑢3


144

Integrales Impropias

Hay ocasiones donde queremos conocer el área formada entre la curva y el eje pero no

en un intervalo [𝑎, 𝑏] si no en un intervalo donde el infinito está relacionado. Hay tres tipos

de intervalos donde está el infinito [𝑎 ,∞), (−∞, 𝑏] 𝑦 (−∞ ,∞). El último nos dirá el área

formada entre la curva y todo el eje X.

Si queremos conocer el área formada entre una función f(x) y el eje X en el intervalo

[𝑎 ,∞) usamos la siguiente notación

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

𝑎

Pero como los límites de integración deben ser números reales y el infinito no es un

número, entonces se hace lo siguiente


∞

𝑎

= lim𝑏→ ∞


𝑏

𝑎

Si queremos conocer el área formada función f(x) y el eje X en el intervalo (−∞, 𝑏]

hacemos lo siguiente


𝑏

−∞

= lim𝑎→ −∞


𝑏

𝑎

En el caso de querer conocer el área formada entre f(x) y el eje X en el intervalo (−∞ ,∞)

tenemos que la integral en dos tomando cualquier número 𝑐 ∈ ℝ. Además hacemos el

mismo cambio de los límites de integración


∞

−∞

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

−∞

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

𝑐

= lim𝑎→ −∞


𝑐

𝑎

+ lim𝑏→∞


𝑏

𝑐

Entonces para poder calcular integrales impropias5 necesitamos saber algunos límites

importantes relacionados con el infinito. Al final de esta nota esta una lista con límites al

infinito de algunas funciones que estaremos utilizando.

5 Que reciben este nombre cuando queremos conocer el área formada en un intervalo donde está el infinito


Como estamos obteniendo el área en un intervalo donde está el infinito nos puede

suceder que el resultado nos dé infinito (Recordemos que los límites al infinito nos pueden

dar un número real o infinito), es decir que el área formada entre la curva y el eje sea

infinita. Si esto sucede entonces decimos que el área diverge, es decir, que es infinita.

Ejemplos

a) Calcular el área formada por 𝑓(𝑥) = 1

𝑥3en el intervalo [1,∞)

Lo primero que debemos hacer es aplicar el límite al infinito

∫1

𝑥3𝑑𝑥

∞

1

= lim𝑏→ ∞

∫1

𝑥3𝑑𝑥

𝑏

1

Ahora usamos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral

𝐹(𝑥) = ∫1

𝑥3 𝑑𝑥 = ∫𝑥−3𝑑𝑥 =

𝑥−2

−2+ 𝐶 =

−1

2𝑥2+ 𝐶

𝐹(1) = −1

2(12)+ 𝐶 =

−1

2+ 𝐶

𝐹(𝑏) = −1

2𝑏2+ 𝐶

Entonces

lim𝑏→ ∞

∫1

𝑥3𝑑𝑥

𝑏

1

= limb→ ∞

[F(b) − F(1)] = limb→ ∞

[−1

2𝑏2+ 𝐶 − (

−1

2+ 𝐶)] = lim

b→ ∞

−1

2b2+ 1

2= 1

2

Por lo tanto

∫1

𝑥3𝑑𝑥

∞

1

= 1

2 𝑢2

b) Calcular ∫𝑑𝑥

1+𝑥2

∞

−∞

Vamos a usar el cero para dividir esta integral en dos partes

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

∞

−∞

= ∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

0

−∞

+ ∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

∞

0

= lim𝑎→ −∞

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

0

𝑎

+ lim𝑏→ ∞

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

𝑏

0


146

Ahora usamos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral e Integración por Sustitución

Trigonométrica

𝐹(𝑥) = ∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2 = arctan(𝑥) + 𝐶

lim𝑎→ −∞

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

0

𝑎

= lim𝑎→−∞

[𝐹(0) − 𝐹(𝑎)] = lim𝑎→ −∞

[arctan(0) − arctan (𝑎)] = 𝜋

2

Nótese que arctan(0) = 0 𝑦 lim𝑎→ −∞

arctan(𝑎) = −𝜋

2

lim𝑏→ ∞

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

𝑏

0

= lim𝑏→∞

[𝐹(𝑏) − 𝐹(0)] = lim𝑏→ ∞

[arctan(𝑏) − arctan (0)] = 𝜋

2

Nótese que lim𝑏→∞

arctan(𝑏) = 𝜋

2 . Por lo tanto

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

∞

−∞

= lim𝑎→ −∞

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

0

𝑎

+ lim𝑏→ ∞

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2

𝑏

0

=𝜋

2+ 𝜋

2= 𝜋

Esto quiere decir que toda el área formada entre 𝑓(𝑥) = 1

1+𝑥2 y el eje X es 𝜋 𝑢2

Límites Al Infinito

lim𝑥→ ∞

1

𝑥𝑝= 0 𝑠𝑖 𝑝 > 0 lim

𝑥→ ∞

1

𝑥𝑝= ∞ 𝑠𝑖 𝑝 < 0

lim𝑥→ ∞

arctan(𝑥) = 𝜋

2 lim

𝑥→ −∞arctan(𝑥) = −

𝜋

2

lim𝑥→ ∞

𝑒𝑎𝑥 = ∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0 lim𝑥→ −∞

𝑒𝑎𝑥 = 0 𝑠𝑖 𝑎 < 0

lim𝑥→ ∞

ln(𝑥) = ∞ lim𝑥→∞

(1 +1

𝑥)𝑥

= 𝑒

lim𝑥→ ∞

𝑎𝑥 = 0 𝑠𝑖 − 1 < 𝑎 < 1 lim𝑥→ ∞

arcsec(𝑥) = 𝜋

2

lim𝑥→ ∞

arccsc(𝑥) = 0 lim𝑥→ ∞

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 = ∞

lim𝑥→ ∞

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥 = ∞ lim𝑥→ ∞

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥= 0


Ejercicios

1.- Calcula las siguientes áreas.

a) ∫ 𝑥24

0𝑑𝑥

b) ∫ 𝑥2 + 𝑥5

1𝑑𝑥

c) ∫ 𝑥3 − 𝑥0

−5𝑑𝑥

d) ∫ 7𝑥31

−1𝑑𝑥

e) ∫ 𝑥4 + 𝑥210

−10𝑑𝑥

f) ∫ √𝑥1

0𝑑𝑥

g) ∫ 𝑥2 − 2𝑥3

−1𝑑𝑥

2.- Dos propiedades interesantes de las integrales definidas son las siguientes


𝑏

𝑎

= ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎

+ ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ


𝑎

𝑎

= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎 ∈ ℝ

Utiliza estas dos propiedades para probar la siguiente propiedad de las integrales


𝑏

𝑎

= −∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

𝑏

3.- Calcula el área formada entre las curvas en el intervalo indicado. (Sugerencia: Grafica

las dos funciones sobre el mismo eje para ver qué función está por arriba)

a) 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑒𝑛 [0,5]

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑦 𝑔(𝑥) = 8 𝑒𝑛 [0,2]

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑦 𝑔(𝑥) = 8 𝑒𝑛 [0,5]


148

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑒𝑛 [−1, 1]

e) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 12 − 3𝑥 𝑒𝑛 [0,5]

f) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 50 − 𝑥2 𝑒𝑛 [−5,5]

g) (𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 50 − 𝑥2 𝑒𝑛 [−5, 10]

4.- Calcula las siguientes integrales impropias.

a)

∫5

𝑥2𝑑𝑥

∞

1

b)

∫10

(𝑥 + 1)5𝑑𝑥

∞

0

c)

∫1

(𝑥 + 4)10𝑑𝑥

∞

2

5.- Encuentra el valor de 𝐴 tal que

∫3

𝑥3𝑑𝑥

∞

𝐴

= 1


Aplicaciones Del Cálculo Integral

Excedente del Consumidor

Como ya se estudió previamente, la curva de demanda de un consumidor nos dice para

cada precio 𝑃 la cantidad 𝑄 que el agente demanda de un cierto bien. También sabemos

que los consumidores demandan bienes porque reciben utilidad de consumirlos. Ya se

introdujo también la famosa Ley de la Demanda, la cual dice que una persona demandará

menos de un bien a medida que el precio de este es mayor. Una de las razones por las

cuales los economistas justifican esta Ley es la siguiente: Consumir nos da bienestar pero

a medida que consumimos más del mismo bien, la utilidad que recibimos por consumir las

últimas unidades demandadas no es igual a la utilidad que recibimos por las primeras

unidades que consumimos. Por ejemplo, si una persona con mucha sed consume una

botella de agua, el beneficio que recibe por esta botella es mucho. Pero si sigue

consumiendo botellas de agua, debido a que la primera botella le quito la sed, las

siguientes aunque le den utilidad le dan menos que la primera botella. Este hecho se

conoce como Beneficios Marginales Decrecientes.

Entonces, los consumidores estarían dispuestos a pagar un precio mayor por consumir

las primeras unidades del bien que demandan y a medida que consumen más, estarían

dispuestas a pagar menos. Pero esto no sucede cuando se compra un bien, normalmente

cada unidad del bien cuesta lo mismo. Debido a esto, los consumidores se están

“ahorrando” ingreso que estaban dispuestos a pagar por consumir las primeras unidades

del bien que no están pagando. Por ejemplo, una persona que tiene mucha sed está

dispuesta a pagar más por la primera botella de agua que por la segunda. Supongamos

que la persona está dispuesta a pagar 50 pesos para quitarse la sed. Pero, en realidad

cada botella a esta persona le cuesta 10 pesos. Entonces, podemos decir que esta

persona se está quedando con 40 pesos que estaba dispuesta a gastar pero no lo está

haciendo. Este “ahorro” que un consumidor hace se conoce como Excedente del

Consumidor.

Podemos calcular el Excedente del Consumidor fácilmente si conocemos la demanda del

consumidor que denotamos como 𝑄(𝑃). Suponiendo que el precio que el agente paga por

cada unidad del bien es 𝑃∗, entonces el excedente del consumidor se calcula de la

siguiente manera:

𝐸𝑥𝐶 = ∫ 𝑄(𝑃)𝑑𝑃

∞

𝑃∗


150

Ejercicio. La demanda de cafés que Alfredo consume solamente depende del

precio de cada unidad de café. La función de demanda de Alfredo es la siguiente

𝑄(𝑃) = 1000

𝑃2

Donde 𝑄 es la cantidad de cafés que Alfredo consume y 𝑃 es el precio de cada café.

Suponiendo que cada café cuesta 10 pesos, calcular el excedente del consumidor e

interpretar su valor.

En este caso, como cada café cuesta diez pesos, entonces 𝑃∗ = 10. Ahora, para calcular

el excedente del consumidor simplemente debemos seguir la fórmula mostrada

anteriormente.

𝐸𝑥𝐶 = ∫ 𝑄(𝑃)𝑑𝑃

∞

𝑃∗

= ∫1000

𝑃2𝑑𝑃

∞

10

Ahora debemos seguir los pasos para resolver una integral impropia.

∫1000

𝑃2𝑑𝑃

∞

10

= 1000 lim𝑏→ ∞

∫𝑃−2𝑑𝑃

𝑏

10

𝐹(𝑃) = ∫𝑃−2𝑑𝑃 = −𝑃−1 + 𝐶 = −1

𝑃+ 𝐶

Por lo tanto

𝐸𝑥𝐶 = 1000 lim𝑏→ ∞

∫𝑃−2𝑑𝑃

𝑏

10

= 1000 lim𝑏→ ∞

[𝐹(𝑏) − 𝐹(10)] = 1000 lim𝑏→∞

[−1

𝑏+1

10]

𝐸𝑥𝐶 = 1000 [1

10] = 100

Entonces el Excedente del Consumidor es de 100 pesos. Esto quiere decir que Alfredo

estaba dispuesto a gastar 100 pesos más en cafés, pero que debido a que el precio de

cada café era de 10 pesos, no tuvo que gastar esos cien pesos y se los está ahorrando.

Ejercicio. La demanda de Francisco por garrafones de agua es la siguiente

𝑄(𝑃) = 2600

(𝑃 + 1)2


Donde 𝑄 representa los garrafones que Francisco compra y 𝑃 el precio de cada garrafón.

La compañía de agua cobra 25 pesos por cada garrafón pero aparte cobra 200 pesos por

llevarle a Francisco los garrafones a su casa. ¿Francisco estará dispuesto a comprarle los

garrafones de agua a esta compañía de agua?

Para resolver esta pregunta, debemos calcular el excedente del consumidor de Francisco

cuando el precio de cada garrafón es de 25 pesos. Recordemos que esto refleja el dinero

que Francisco estaba dispuesto a gastar en garrafones pero que se está ahorrando por

pagar un precio menor al que estaba dispuesto. Por lo tanto, si el excedente es mayor a

200 (la tarifa que le quieren cobrar), Francisco si contratará a esta empresa de agua. Pero

si el excedente es menor a 200, Francisco no estará dispuesto a contratar a esta

empresa.

𝐸𝑥𝐶 = ∫2600

(𝑃 + 1)2𝑑𝑃

∞

25

= 2600 lim𝑏→ ∞

∫1

(𝑃 + 1)2𝑑𝑃

∞

25

𝐹(𝑃) = ∫1

(𝑃 + 1)2𝑑𝑃 = −

1

𝑃 + 1+ 𝐶

𝐸𝑥𝐶 = 2600 lim𝑏→ ∞

[𝐹(𝑏) − 𝐹(25)] = 2600 [−1

𝑏 + 1+1

26] = 100

Como el excedente del consumidor para Francisco es 100 pesos, Francisco no estará

dispuesto a pagar los 200 pesos de cuota para que esta compañía le lleve los garrafones

a su casa.

Cálculo de la Constante de Integración

Hasta ahorita, al momento de integrar agregamos una constante de integración cuyo valor

es desconocido. Realmente el valor de esta constante no es importante en problemas

teóricos e incluso no es necesaria al momento de calcular un área definida (recordemos

que las constantes de integración se cancelan al momento de hacer 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)).

Solo en los problemas aplicados es cuando necesitamos conocer el valor de la constante

de integración. Y para que lo podamos saber, es importante conocer una condición sobre

la función integrada. A continuación se harán un ejercicio mostrando como es esta

condición y como se utiliza para encontrar el valor de la constante de integración.

Ejercicio. La función de utilidad marginal de una empresa es

𝑢𝑚𝑔(𝑞) = 12𝑞3 − 20𝑞


152

Donde 𝑞 representa las ventas de la empresa. Esta empresa sabe que cuando vende 2

unidades sus utilidades son de 100 pesos (Es decir 𝑈(2) = 100). Encontrar las utilidades

de la empresa cuando vende 10 unidades.

Lo que se debe de hacer para resolver este problema es encontrar el valor de 𝑈(10)

donde 𝑈(𝑞) representa las utilidades de la empresa en función de la cantidad que vende.

Nosotros conocemos 𝑢𝑚𝑔(𝑞), no conocemos la función de utilidad.

Pero, recordemos que

𝑢𝑚𝑔(𝑞) = 𝑑𝑈

𝑑𝑞

Y por lo tanto

𝑈(𝑞) = ∫𝑢𝑚𝑔(𝑞) 𝑑𝑞

Entonces

𝑈(𝑞) = ∫𝑢𝑚𝑔(𝑞) 𝑑𝑞 = ∫12𝑞3 − 20𝑞 𝑑𝑞 = 4𝑞4 − 10𝑞2 + 𝐶

Ahora, es necesario que encontremos el valor de 𝐶 puesto que nosotros queremos

encontrar el valor de 𝑈(10) y esto no puede estar en función de algo que desconocemos.

Para encontrar el valor de 𝐶, utilizamos la condición que sabemos sobre la función. En

este caso sabemos que las utilidades son 100 cuando la empresa vende 2 unidades.

Como la función de utilidad es 𝑈(𝑞) = 4𝑞4 − 10𝑞2 + 𝐶 y 𝑈(2) = 100 entonces debe pasar

lo siguiente

𝑈(2) = 4(24) − 10(22) + 𝐶 = 100

Despejando 𝐶 obtenemos lo siguiente

44 + 𝐶 = 100 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐶 = 56

Esto implica que la función de utilidad de la empresa es

𝑈(𝑞) = 4𝑞3 − 10𝑞2 + 56

Y por lo tanto 𝑈(10) = 4(1000) − 10(100) + 56 = 3056.


Ejercicios

1.- El tiempo 𝑇 que tarda un automóvil en recorrer una avenida depende de muchos

factores como tráfico, tamaño de la avenida, etc… Para una avenida en particular, la

probabilidad de que un automóvil se tarde más de 𝑀 minutos en recorrer la avenida se

puede calcular de la siguiente manera

𝑃[ 𝑇 > 𝑀] = ∫2

𝑇3𝑑𝑇

∞

𝑀

a) Encuentra la probabilidad de que el automóvil se tarde más de 20 minutos en recorrer

la avenida.

b) Encuentra la probabilidad de que el automóvil se tarde menos de 10 minutos en

recorrer la avenida.

2.- La función de supervivencia de una enfermedad depende del número de días que la

persona tenga la enfermedad:

𝑆(𝑇) = 4𝑇

(𝑇2 + 1)2

Donde 𝑇 es el número de días que la persona está enferma. La probabilidad de que la

persona tenga más de 𝐷 días la enfermedad se puede calcular de la siguiente forma

𝑃[𝑇 > 𝐷] = ∫ 𝑆(𝑇) 𝑑𝑇

∞

𝐷

Encuentra la probabilidad de que la persona esté más de 3 días enferma.

3.- Para una empresa, el excedente de ventas es la diferencia del precio de venta de su

producto menos el costo de producir esa unidad que está vendiendo. La función de

producción de una cierta empresa es la siguiente

𝑄 = 𝑃(𝑃2 + 10)2

En este caso, si 𝑃𝑉 es el precio al que la empresa vende cada unidad, entonces el

excedente de ventas lo podemos calcular de la siguiente manera

𝐸 = ∫ 𝑄 𝑑𝑃

𝑃𝑉

0

Encuentra el excedente de ventas de la empresa si 𝑃𝑉 = 10. ¿Si el precio de venta

aumenta, también aumentará el excedente de ventas?


154

4.- En un cierto parque de diversiones, el parque cobra un cierto precio 𝑃 (en decenas)

para que una persona se pueda subir a cada una de sus atracciones. Además, el parque

cobra una cierta entrada. La función de demanda de atracciones de una cierta persona es

𝑄 = 15

𝑃 + 1

Donde 𝑄 es la cantidad de atracciones a las cuales la persona está dispuesta a pagar por

subirse. Si el precio de cada atracción es de 15 (𝑃 = 1.5) ¿Qué es lo máximo que esta

persona está dispuesta a pagar por entrar al parque?

5.- El número de meses 𝑇 que pueden pasar para que una cierta persona tenga un

accidente es una variable de interés para las aseguradoras. La probabilidad de que pasen

más de 𝑁 meses sin que esta persona tenga un accidente se puede calcular de la

siguiente forma

𝑃[𝑇 > 𝑁] = ∫5

𝑇6𝑑𝑇

∞

𝑁

Por otro lado, si ya sabemos que pasaron 𝑀 meses sin que esta persona tuviera un

accidente, podemos calcular cuántos meses esperamos que la persona siga sin tener un

accidente de la siguiente forma

𝐸[𝑇] = 1

𝑃[𝑇 > 𝑀] ∫

5

𝑇5𝑑𝑇

∞

𝑀

Si ya sabemos que ya pasaron 5 meses sin que esta persona tuviera algún accidente,

¿Cuántos meses más esperamos que esta persona siga sin accidentarse?

6.- La función de costo marginal de una empresa es la siguiente

𝑐𝑚𝑔(𝑄) = 3𝑄2 −1

𝑄3

Donde 𝑄 es la cantidad que produce esta empresa. Se sabe que los costos de la empresa

cuando producen 10 unidades son de 3000 pesos.

a) Encuentra la función de costos de esta empresa.

b) Encuentra los costos de la empresa cuando producen 20 unidades.


Tema Adicional: Integrales Trigonométricas

Hay ocasiones cuando usamos la técnica de sustitución o de sustitución trigonométrica

que llegamos a que debemos integrar una función de esta forma:

∫𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑚(𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑚 𝑦 𝑛 ∈ ℕ

Estas pueden llegar a ser un poco complicadas de integrar si no conocemos como

resolverlas. Cuando tengamos que integrar una función de éste estilo lo que trataremos

de hacer es convertir esta integral a una donde podamos usar la técnica de sustitución.

Para esto hay que conocer algunas identidades trigonométricas importantes:

𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1

1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 1 + 𝑐𝑜𝑡2(𝜃) = 𝑐𝑠𝑐2(𝜃)

𝑠𝑒𝑛(2𝜃) = 2 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) cos(2𝜃) = 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)

𝑠𝑒𝑛2(𝜃) = 1 − cos (2𝜃)

2 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =

1 + cos (2𝜃)

2

𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛽) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽) cos(𝛼)

cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼) cos(𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑠𝑒𝑛(𝛽)

Además ahora si hay que conocer todas las derivadas de funciones trigonométricas

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝑦

𝑑𝜃= 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑦 = cos(𝜃) 𝑑𝑦

𝑑𝜃= −𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝜃) 𝑑𝑦

𝑑𝜃= 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)

𝑦 = cot(𝜃) 𝑑𝑦

𝑑𝜃= −𝑐𝑠𝑐2(𝜃)

𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝑦

𝑑𝜃= 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃)

𝑦 = csc(𝜃) 𝑑𝑦

𝑑𝜃= − cot(𝜃) csc (𝜃)


156

Ya conociendo todo esto ahora si podemos empezar a integrar funciones de este estilo.

a) ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑑𝑥

Como no tenemos una identidad que relaciones seno cúbico entonces lo vamos a dividir

en dos y aplicar una identidad de la siguiente manera:

∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥))𝑑𝑥

= ∫𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥

La primera integral es directa, la segunda si derivamos 𝑐𝑜𝑠(𝑥) obtenemos −𝑠𝑒𝑛(𝑥) que es

la otra parte de la integral. Por lo tanto la segunda hay que hacerla por sustitución

𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−𝑢2𝑑𝑢 = − ∫𝑢2𝑑𝑢 = −𝑢3

3+ 𝐶 = −

𝑐𝑜𝑠3(𝑥)

3+ 𝐶

Por lo tanto

∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥) +𝑐𝑜𝑠3(𝑥)

3+ 𝐶

∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = −cos(𝑥) +𝑐𝑜𝑠3(𝑥)

3+ 𝐶

b) ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥

Aquí a diferencia de la integral anterior además del seno cúbico tenemos un coseno

cuadrado. Pero aplicaremos un truco parecido para poder aplicar una identidad

trigonométrica

∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)[1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)]𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥

= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠4(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠4(𝑥)𝑑𝑥

Ahora ambas integrales se pueden por sustitución. Las haremos simultáneamente

𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥


∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠4(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−𝑢2𝑑𝑢 − ∫−𝑢4𝑑𝑢

∫−𝑢2𝑑𝑢 − ∫−𝑢4𝑑𝑢 = − ∫𝑢2𝑑𝑢 + ∫𝑢4𝑑𝑢 = −𝑢3

3 +

𝑢5

5+ 𝐶

∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠3(𝑥)

3 +

𝑐𝑜𝑠5

5+ 𝐶

c) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑑𝑥

En esta integral no podemos aplicar el truco de cambiar 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) por 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥). Esto

sucede si lo hacemos

∫𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫[1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)]𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠4(𝑥)𝑑𝑥

Si aplicamos ese truco llegamos a que tenemos que integrar coseno cuadrado y coseno

cuarto donde no podemos aplicar sustitución porque la derivada de coseno no aparece en

ninguna de las dos integrales. Entonces no podemos usar esta identidad pero podemos

usar la siguiente

𝑠𝑒𝑛2(𝜃) = 1 − cos(2𝜃)

2 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =

1 + cos (2𝜃)

2

Entonces

∫𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ [1 − cos(2𝑥)

2] [1 + cos (2𝑥)

2] 𝑑𝑥 =

1

4∫1 − 𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)𝑑𝑥

= 1

4∫𝑑𝑥 −

1

4∫𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)𝑑𝑥

Ahora sabemos que 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1+cos (2𝑥)

2 pero no sabemos nada de 𝑐𝑜𝑠2(2𝑥) por lo tanto

primero hay que hacer una sustitución.

𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 1

2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

1

4∫𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)𝑑𝑥 =

1

8∫𝑐𝑜𝑠2(𝑢)𝑑𝑢 =

1

8∫1 + cos (2𝑢)

2𝑑𝑢

= 1

16∫𝑑𝑢 +

1

16∫cos(2𝑢) 𝑑𝑢 =

1

16𝑢 +

1

32𝑠𝑒𝑛(2𝑢) + 𝐶

= 1

16(2𝑥) +

1

32 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 𝐶 =

1

8𝑥 +

1

32𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 𝐶


158

Entonces

1

4∫𝑑𝑥 −

1

4∫𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)𝑑𝑥 =

1

4𝑥 − [

1

8𝑥 +

1

32𝑠𝑒𝑛(4𝑥)] + 𝐶

∫𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = 1

8𝑥 −

1

32𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 𝐶

d) ∫ 𝑠𝑒𝑐3(𝑥)𝑡𝑎𝑛3(𝑥)𝑑𝑥

Necesitamos utilizar una identidad trigonométrica para poder simplificar esta integral.

Usaremos esta identidad 1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)

∫𝑠𝑒𝑐3(𝑥)𝑡𝑎𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)𝑑𝑥

= ∫𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) [𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 1]𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑐5(𝑥) tan(𝑥) − 𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥

= ∫𝑠𝑒𝑐5(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥

Aquí ya podemos aplicar sustitución porque la derivada de secante (es tangente por

secante) está dentro de la integral.

𝑢 = sec(𝑥) 𝑑𝑢 = sec(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥

∫𝑠𝑒𝑐5(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐4(𝑥) sec(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) sec(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥

= ∫𝑢4𝑑𝑢 − ∫𝑢2𝑑𝑢 = 𝑢5

5− 𝑢2

2+ 𝐶 =

𝑠𝑒𝑐5(𝑥)

5− 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

2+ 𝐶

Por lo tanto

∫𝑠𝑒𝑐3(𝑥)𝑡𝑎𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐5(𝑥)

5− 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

2+ 𝐶


Ejercicios

1.- Resuelve las siguientes integrales trigonométricas.

a)

∫𝑐𝑜𝑠3(𝑥)𝑑𝑥

b)

∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠7(𝑥)𝑑𝑥

c)

∫𝑠𝑒𝑛5(3𝑥)𝑐𝑜𝑠3(3𝑥)𝑑𝑥

d)

∫𝑥𝑠𝑒𝑛3(6𝑥2)𝑑𝑥

e)

∫𝑠𝑒𝑛2(7𝑥)𝑐𝑜𝑠2(7𝑥)𝑑𝑥

f)

∫𝑠𝑒𝑐3(8𝑥)𝑡𝑎𝑛3(8𝑥)𝑑𝑥


160

Apéndice: Fracciones

Definición

El conjunto de los números racionales, denotado con ℚ , es el conjunto de todas las

posibles divisiones de números enteros. Es decir

ℚ = { 𝑎

𝑏| 𝑎 ∈ ℤ 𝑦 𝑏 ∈ ℤ }

A los elementos de este conjunto se les conoce como fracciones propias.

Pero también, puede haber otro tipo de fracciones, llamadas algebraicas, donde en vez de

ser divisiones de números enteros, son divisiones de polinomios que dependen de una

variable. Un ejemplo de una fracción algebraica sería

𝑥 + 1

5𝑥 − 4

En este ejemplo, y como en cualquier fracción algebraica, no solamente hay números sino

que también hay variables. A la ecuación que se encuentra en la parte de arriba se le

llama Numerador, y a la de abajo Denominador.

Suma y Resta de Fracciones Algebraicas

Dadas dos fracciones algebraicas, podemos pensar en la suma o resta entre ambas. Para

hacer cualquiera de las dos operaciones, debemos obtener el mínimo común múltiplo que

simplemente es la multiplicación de todos los elementos del denominador de cada

fracción. Luego, dividimos el mínimo común múltiplo entre el denominador de cada

fracción y lo multiplicamos por el numerador. Hacemos esto con cada fracción que

queramos sumar o restar y los resultados los sumamos o restamos. Después

simplificamos para llegar a una nueva expresión más sencilla.

Ejercicio. Obtener 𝑥+1

𝑥−1+

2𝑥

𝑥+4

El mínimo común múltiplo de estas dos fracciones es (𝑥 − 1)(𝑥 + 4) , ya que es el

resultado de multiplicar los dos denominadores de cada fracción. Ahora

𝑥 + 1

𝑥 − 1+

2𝑥

𝑥 + 4 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 4) + 2𝑥(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)= 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑥 + 4 + 2𝑥2 − 2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑥 + 1

𝑥 − 1+

2𝑥

𝑥 + 4 =

3𝑥2 + 3𝑥 + 4

(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)


Ejercicio. Obtener 3

𝑥−

𝑥+2

𝑥−1+

1

𝑥+4

En este caso, el mínimo común múltiplo es 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)

3

𝑥−𝑥 + 2

𝑥 − 1+

1

𝑥 + 4= 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 4) + 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) + 𝑥(𝑥 − 1)

𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)

=3(𝑥2 + 3𝑥 − 4) + 𝑥(𝑥2 + 6𝑥 + 8) + 𝑥2 − 𝑥

𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)= 3𝑥2 + 9𝑥 − 12 + 𝑥3 + 6𝑥2 + 8𝑥 − 𝑥2 − 𝑥

𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 3

𝑥−𝑥 + 2

𝑥 − 1+

1

𝑥 + 4= 𝑥3 + 8𝑥2 + 16𝑥 − 12

𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)

Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas

Para multiplicar dos fracciones algebraicas, simplemente lo que debemos de hacer es

multiplicar denominador por denominador y numerador por numerador, en otras palabras,

multiplicar piso por piso.

Ejercicio. Multiplicar (𝑥−1)(𝑥+2)

(𝑥−4)(𝑥+3) por

(𝑥−4)

(𝑥−1)(𝑥+7)

Entonces, para obtener este producto , multiplicamos piso por piso

((𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)) (

(𝑥 − 4)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 7)) =

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 4)

(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)

= 𝑥 + 2

(𝑥 + 3)(𝑥 − 7)

Para dividir, utilizamos la llamada "Ley del Sándwich" que significa multiplicar el

denominador de una fracción por el numerador de la otra y luego dividir.

Ejercicio. Dividir 𝑥−1

(𝑥+3)(𝑥+5) entre

𝑥−1

𝑥+2

Hay que usar la regla descrita anteriormente

(𝑥 − 1

(𝑥 + 3)(𝑥 − 5)) ÷ (

𝑥 − 1

𝑥 + 2) =

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 5)(𝑥 − 1)=

𝑥 + 2

(𝑥 + 3)(𝑥 − 5)


162

Bibliografía

Apostol, Tom. Calculus I. Barcelona: Editorial Reverté, Primera Edición, 2011

Thomas, George. Cálculo de Una Variable. México: Editorial Pearson, Decimosegunda

Edición, 2010

Spivak, Michael. Calculus. Houston: Cuarta Edición, 2008.

calculo diferencial e integral 1

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