calculo diferencial e integral ipn

Enero – Julio

2012

NOTAS DE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Comisión de Cálculo Diferencial e Integral

Violeta Mena

Aurelio Hernández

Ignacio Elizalde

Rogelio Deheza Cruz

Silverio Mera Luna

Moisés Salas de los Santos

Esaú Emanuel

Jesús García Flores

Comisión de Cálculo Diferencial e Integral

Violeta Mena Cervantes

Aurelio Hernández

Ignacio Elizalde

Rogelio Deheza Cruz

Silverio Mera Luna

Moisés Salas de los Santos

Esaú Emanuel

Jesús García Flores

Contenido 1. Limites ....................................................................................................................................................... 1

Introducción .................................................................................................................................................. 1

1.1. Definición informal del límite .......................................................................................................... 2

1.1.1. Idea intuitiva del límite usando diferentes representaciones del límite de una función 2

1.2. Límite de una función ...................................................................................................................... 3

1.2.1. Definición formal del límite ......................................................................................................... 4

1.2.2. Leyes de los límites ..................................................................................................................... 6

1.2.3. Determinación algebraica del límite ........................................................................................ 13

1.2.4. Límites unilaterales .................................................................................................................... 18

1.2.5. Límites infinitos y asíntotas verticales .................................................................................... 21

Asíntotas verticales ............................................................................................................................... 30

1.2.6. Límites en el infinito y asíntotas horizontales ........................................................................ 33

Asíntotas horizontales ........................................................................................................................... 36

1.2.7. Límites infinitos en el infinito .................................................................................................... 40

1.2.8. Asíntotas oblicuas ...................................................................................................................... 41

1.3. Continuidad ..................................................................................................................................... 45

1.3.1. Idea intuitiva de continuidad. .................................................................................................... 45

1.3.2. Continuidad en un punto. .......................................................................................................... 45

1.4. Derivada .......................................................................................................................................... 57

1.4.1. El problema de la tangente y la velocidad ............................................................................. 57

1.4.2. Definición de la derivada .......................................................................................................... 61

2. La derivada y sus aplicaciones .................................................................................................................... 1

2.1. Teoremas de derivación ..................................................................................................................... 2

2.1.1. Derivadas de funciones algebraicas ............................................................................................... 3

2.1.2. Derivadas de polinomios ................................................................................................................ 5

2.1.3. Derivadas de funciones trigonométricas ........................................................................................ 7

2.1.4. Derivadas de funciones trascendentales ........................................................................................ 8

2.1.5. Derivadas de funciones trigonométricas inversas ........................................................................ 13

Teorema 2.11 Derivadas de funciones trigonométricas inversas ................................................................ 13

2.2. La regla de la cadena ........................................................................................................................ 17

2.2.1. Derivación implícita ...................................................................................................................... 19

2.2.2. Derivadas de orden superior ........................................................................................................ 25

2.2.3. Teorema del valor medio.............................................................................................................. 28

2.3. Aplicaciones de la derivada .............................................................................................................. 30

2.3.1. Diferenciales .................................................................................................................................. 30

2.3.2. Problemas de razón de cambio ..................................................................................................... 34

Razones de cambio relacionadas .............................................................................................................. 37

2.3.3. Problemas de optimización ........................................................................................................... 43

2.3.4. Regla de L´hôpital .......................................................................................................................... 53

2.3.5. Análisis de función ........................................................................................................................ 58

2.3.6. Método de Newton –Raphson ...................................................................................................... 75

2.4. Definición de anti derivada o primitiva ............................................................................................. 78

3. La integral y sus aplicaciones ...................................................................................................................... 1

3.1. Teorema fundamental del cálculo ...................................................................................................... 1

Teorema 3.1 Primer teorema fundamental del cálculo. ................................................................................. 1

Teorema 3.2 Segundo teorema fundamental del cálculo. .............................................................................. 1

3.1.1. Reglas básicas de integración.................................................................................................... 3

Integración por sustitución ......................................................................................................................... 3

3.1.2. Definición de la integral definida ................................................................................................ 4

3.2. Integrales impropias ......................................................................................................................... 7

3.2.1. Integración por sustitución y cambio de variable................................................................... 12

3.2.2. Integración de funciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas ................................ 16

Función exponencial ................................................................................................................................. 16

Función logaritmo natural ......................................................................................................................... 18

3.2.3. Integración de funciones trigonométricas e inversas trigonométricas ............................... 21

3.2.4. Integración al completar el TCP. .............................................................................................. 23

3.3. Técnicas de integración ................................................................................................................. 28

3.3.1. Integración por partes ................................................................................................................... 28

3.3.2. Integración de potencias de funciones trigonométricas ....................................................... 39

3.3.3. Integración por sustitución trigonométrica .............................................................................. 60

3.3.4. Integración por descomposición en fracciones parciales ............................................................. 64

3.4. Aplicaciones de la integral ............................................................................................................ 77

3.4.1. Integración numérica ................................................................................................................. 77

3.4.2. Regla del trapecio y de Newton – Cotes ................................................................................ 82

5.1.1. Área entre curvas, longitud de curva ....................................................................................... 88

5.1.2. Volúmenes de revolución .......................................................................................................... 99

3.5.5. Problemas de ingeniería química para determinar el trabajo, calor o la cinética. ..................... 105

Apéndice A .................................................................................................................................................. 107

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN

Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 1

Enero – Julio 2012

1. Limites Introducción

Suponga que desea dibujar la gráfica de la función dada por

( )

Para todos los valores distintos de , es posible emplear las técnicas comunes para la

representación de curvas. No obstante, en no está claro qué valor obtenemos. Para obtener

una idea del comportamiento de la gráfica de ceca de , se pueden usar dos conjuntos de

valores de , uno que se aproxime a 2 por la izquierda y otro que se aproxime a 2 por la derecha,

1.75 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.35

( ) 10.562 11.410 11.940 11.994 ? 12.006 12.060 12.61 14.222

Figura 1.1

f xx3 8

x 2

limx 2

f x 12

(2,12)

4 2 2 4

10

15

20

25

𝑥 se aproxima a 2 por la izquierda

𝑓(𝑥) se aproxima a 12

𝑥 se aproxima a 2 por la derecha

𝑓(𝑥) se aproxima a 12

ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral


1.1. Definición informal del límite

La función tiende hacia el límite cerca de , si se puede hacer que ( ) este tan cerca cómo

queramos de haciendo que este suficientemente cerca de , pero siendo distinto de

1.1.1. Idea intuitiva del límite usando diferentes representaciones del límite de una función

Para tener una idea más clara de una definición formal del límite primero veamos algunos

ejemplos numéricos:

Ejemplo 1.1. Estimación numérica de un límite

Evaluar la función ( ) (√ ) en varios puntos cercanos a y usar el resultado

para estimar el límite:

( )

√

Solución En la siguiente tabla se registran los valores de ( ) para diversos valores de

cercanos a .

Figura 1.2

f no esta definidaen x 0

f xx

x 4 2

4 2 2 4

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0




Comportamiento asociados a la no existencia de un límite

1. ( ) se aproxima a números diferentes por la derecha de que por la izquierda

2. ( ) aumenta o disminuye sin límite a medida que se aproxime a . 3. ( ) oscila entre dos valores fijos a medida que se aproxime a

1.2. Límite de una función

La función tiende hacia el límite cerca de , si para todo número podemos hacer | ( ) | haciendo que | | sea suficientemente pequeño y .

A simple vista, la descripción anterior parece ser muy técnica, Sin embargo, es informal porque aún hay que conferir un significado más preciso de la frase:

“ ( ) se acerca arbitrariamente a ”

Y más aun

“ se aproxima”

Sea (minúscula de la letra griega épsilon) la representación de un número positivo (muy pequeño). Entonces, la frase “ ( ) se acerca arbitrariamente a ” significa que ( ) pertenece al

intervalo ( ). Al usar la noción de valor absoluto, esto lo podemos escribir de la siguiente forma

| ( ) |

De la misma manera para el caso de la frase “ se aproxima a ” significa que existe un número

positivo tal que pertenece al intervalo ( ) o bien al intervalo ( ). Por lo tanto, se puede expresar de manera concisa mediante la doble desigualdad

| |




1.2.1. Definición formal del límite

Examinando nuevamente la descripción informal del límite. Si ( ) se acerca de manera arbitraria

a un número a medida que se aproxima a por cualquiera de sus lados, se dice que el límite

de ( ) cuando se aproxima a es , y se escribe

( )

Nota: La primera persona en asignar un significado matemático riguroso a estas dos frases fue

Agustin-Louis Cauchy. Su definición de límite es la que se usa en la actualidad

Definición de limite

La función tiende hacia el límite en significa: para todo existe algún tal

que, que para todo , si | | , entonces | ( ) | .

Esta es una de las definiciones de mayor importancia, el alumno debe de razonar esta definición ya que posteriormente les será de mucha utilidad sobre todo si desea entender con más facilidad la demostración de teoremas importantes en el cálculo diferencial, ecuaciones diferenciales, etc.

Ejemplo 1.3. Determinar para un dado

Dado el límite 3

lim (2 5) 1

x

x , encontrar delta tal que |( )| , siempre que

| | .

Solución En este problema se trabaja con un valor de . Para encontrara un apropiado,

se observa que

|( ) | | | | |

Como la desigualdad |( ) | es equivalente a | | , podemos escoger

( ) , la cual funciona porque

| |

lo que implica que

|( ) | | | ( )




Ejemplo 1.4. Aplicación de la definición de límite.

Utilizando la definición de límite para demostrar que

l m

( )

Solución Debemos mostrar que para todo , existe un tal que |( ) |

siempre que | | . Puesto que la elección de depende de , es necesario establecer

una relación entre los valores absolutos |( ) | y | |.

|( ) | | | | |

De tal manera, que para cada dado, se puede tomar . Esta opción funciona porque

| |

Lo que implica que

|( ) | | | .

/

Ejercicios 1.2.1 En los ejercicios 1 a 5, completar la tabla y utilizar el resultado para estimar el límite

1

( )

2

√ √

( )

3

√ √

( )

4

( )

5

√

( )

6

( )




En los ejercicios 7 a 12, elabore una tabla de valores para la función y utilizar el resultado para estimar el límite. Trate de esbozar la gráfica a mano o utilice alguna herramienta computacional para confirmar el resultado

7

8

9

10

11

12

En los ejercicios 13 a 18, encontrar el límite . Luego utilice la definición de límite para

demostrar que el límite es .

13

( ) 14

(

*

15

( ) 16

√

17

(

* 18

| |

1.2.2. Leyes de los límites

Teorema 1.1 Límites básicos.

Si y son números reales y un número entero positivo

1.

2.

3.

Ejemplo 1.5. Evaluación de límites básicos

a) 2

lim5 5

x

b) 4

lim 4

x

x c) 2 2

2lim 2

x

x




Teorema 1.2 Propiedades de los Límites.

Si y son números reales y un número entero positivo, y son funciones con los límites

siguientes:

( )

( )

1. Múltiplo escalar:

, ( )-

, ( )-

2. Suma o diferencia:

, ( ) ( )-

( )

( )

3. Producto:

, ( ) ( )-

( )

( )

4. Cociente:

* ( )

( )+

( )

( )

siempre que

5. Potencias:

, ( )-

Ejemplo 1.6. Límite de un polinomio

( )

ropiedad

.

/

ropiedad

( ) Ejemplo 5

En el ejemplo anterior se observa que el límite (cuando ) de la función polinomial ( )

es simplemente el valor de en en .

( ) ( ) ( )

Nota: Esta última propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinomiales cuyos denominadores no se anulen en el punto a considerar.

Teorema 1.3. Límites de las funciones polinomiales y racionales.

Si es una función polinomial y un número real, entonces:

( ) ( )

Si es una función racional dada por ( ) ( )

( ) y un número real, tal que ( ) , entonces:

( ) ( ) ( )

( )




Ejemplo 1.7. Límite de una función racional

Encontrar el límite: 3

1

2lim

2x

x x

x

Solución Puesto que el denominador no es cuando , se puede aplicar el teorema 1.3

para obtener

Las funciones polinomiales y racionales son consideradas dos de los tres tipos básicos de

funciones algebraicas.

Teorema 1.4. Límites de una función radical.

Si es un entero positivo. El siguiente teorema es válido para todo si es impar y para todo

si es par:

√

√

El siguiente teorema muestra cómo tratar el límite de una función compuesta. Para su

demostración ver el apéndice A.

Teorema 1.5. Límites de una función compuesta.

Si y son funciones tales que limx a

g x L

y limx L

f x f L

entonces:

lim limx a x a

f g x f g x f L

Ejercicios 1.2.21.2.3 Calcular los siguientes límites

1

2

3

( )

4

( ) 5

( ) 6

( )

7

( ) 8

( ) 9

√

10

√

11

12




13.

( ) 19

√ √ √ √

14

20

( )( )( )( )

( )( )( )( )

15

( ) 21

( ( ( ( ) ) ) )

16

( )( )( )

( )( )( ) 22

( )( )( )( )

( )( )( )( )

17

√

23

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

18

24

25 Sean ( ) y ( ) dos funciones tales que

( )

( )

a) ¿Qué se puede decir de ( ) y de ( ) ?

b) Calcule el límite de

( )( )

c) Calcule el límite de

( )( )

d) Calcule el límite de .

/ ( )

26 Sean ( ) y ( ) dos funciones tales que

( )

( )

Calcule el límite

( )( )

( )

27 Considere las funciones

( ) {

y ( )

{

a) alcule ( )( ) b) alcule

( )( )

c) alcule ( )( ) d) alcule

( )( )

e) alcule

.

/ ( )




Ejercicios 1.2.2 En los ejercicios 1 a 14, calcular el límite

En los ejercicios 28 a 31, encontrara los límites

28

( ) , ( )

)

( ) )

( ) )

( ( ))

29

( ) , ( )

)

( ) )

( ) )

( ( ))

30

( ) , ( ) √

)

( ) )

( ) )

( ( ))

31

( ) , ( ) √

)

( ) )

( ) )

( ( ))

En los ejercicios 32 y 33 Utilizar la información expuesta para evaluar los límites

32

( )

( )

, ( )-

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

* ( )

( )+

33

( )

√ ( )

( )

, ( )-

, ( )-

Límites trigonométricos

Teorema 1.6. Propiedades de los Límites trigonométricos.

Si es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada se cumplen las siguientes propiedades:

1.

2.

2.

4.

5.

6.




Una herramienta que le será de gran utilidad en el cálculo de límites conocer algunas propiedades

o características importantes, dos de ellas se mencionan a continuación.

Dos límites trigonométricos especiales.

1.

2.

Usar el límite fundamental

0lim 1x

sen x

x y algunos artificios para hallar el límite de las siguientes

expresiones:

Ejemplo 1.8. 0

limsenx

x

x , forma indeterminada de la forma

0

0

0 0

0

1 1 1lim lim 1

sen sensen 1lim

x x

x

x

x xx

x x

Ejemplo 1.9.

0

sen 4limx

x

x , forma indeterminada de la forma

0

0

Primero hagamos , lo que implica que si entonces

Nota: “el alumno debe tener atención en este tipo de situaciones”

0 0 0

sen 4 sen 4 senlim lim4 4 lim 4

4x x y

x x y

x x y

Ejemplo 1.10.

0

sen 5lim

2x

x

x, forma indeterminada

0

0.

Al igual que el ejercicio 9, .

0 0

sen 5 sen5 5 5 5lim lim 1

2 5 2 2 2x y

x y

x y

Ejemplo 1.11.

0

senlimx

mx

nx , forma indeterminada

0

0, cambio de variable

0 0

sen senlim lim 1x y

mx ym m m m

n mx n y n n




Ejemplo 1.12.

0

sen 3lim

sen 2x

x

x , forma indeterminada

0

0, cambios de variables

3 ; 0, 0, 2 ; 0, 0y x x y z x x z

0

0 0 0

0

sensen 3 sen 3lim3sen 3 3 3 1 33lim lim lim

sen 2 sen 2 sensen 2 2 2 1 22 lim

2

y

x x x

z

yx x

x x yx xx x zx x

x x z

Ejemplo 1.13.

0

senlim

senx

mx

nx , cambios de variables ; 0, 0, ; 0, 0y mx x y z nx x z

0

0 0 0

0

sensen senlim

sen 1lim lim lim

sen sen sensen 1lim

y

x x x

z

ymx mxmmx x m m myx mx

nx nx znx x n n nn

x nx z

Ejemplo 1.14.

0

tanlimx

x

x

0 0 0 0 0 0

sen

tan cos sen sen1 1lim lim lim lim lim lim 1 1 1

cos cos cosx x x x x x

x

x x x x sen x

x x x x x x x x

Por lo tanto

0

tanlim 1x

x

x

Ejemplo 1.15.

2

21

tan 1lim

1a

a

a

2 1, 1, 0;w a a w

2

21 0

tan 1 tanlim lim 1

1a w

a w

wa, por lo tanto

2

21

tan 1lim 1

1a

a

a




Ejercicios 1.2.2 Encontrar el límite de la función trigonométrica.

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Determine el límite (si existe) de la función trigonométrica

11

16

( )

12

17

13

18

14

19

15

20

1.2.3. Determinación algebraica del límite

En el caso de algunas estrategias para el cálculo de límites se deben tener en cuenta algunas

situaciones especiales, tales como racionalización, factorización en el caso de ser necesario y

sobre todo si se detecta indeterminaciones en la función sobre todo en las funciones racionales.

Teorema 1.7. Funciones que coinciden en todo salvo en un punto

Sea un número real y ( ) ( ) para todo en un intervalo abierto que contiene a . Si existe el límite de ( ) cuando se aproxima a , entonces también existe el límite de ( ) y

( )

( )




Calculo del límite de una función

Ejemplo 1.16. Determinar el límite de la siguiente función:

3

2

8lim .

2x

x

x

Solución sea ( ) ( ) ( ). Factorizando y cancelando términos, se puede reescribir

de la siguiente manera

( ) ( )( )

( ) ( )

Aquí podemos observar que para rodos los valores de distintos de , las funciones y

coinciden, como se muestra en la siguiente figura, puesto que el límite 2

lim ( )x

g x

existe, se puede

aplicar el teorema anterior y concluir que y tienen el mismo límite en .

( )( )

( ) Factori ar.

( )( )

( ) ancelando factores identicos o factores comunes.

plicando el teorema anterior.

ustituci n directa.

implificando.

Figura 1.3 a)

Figura 1.4 b)

f xx3 8

x 2

2 1 0 1 2 3

4

6

8

10

12

g x x2 x 4

2 1 0 1 2 3

4

6

8

10

12




Estrategias para el cálculo de límites

i. Aprender a reconocer cuales límites pueden evaluarse por medio de la sustitución directa.

ii. Si el límite de ( ) cuando se aproxima a no se puede evaluar por sustitución

directa, tratar de encontrar una función que coincida con para todo distinto de . [Seleccionar una tal que el límite de ( ) se puede evaluar por medio de la sustitución directa.]

iii. Aplicar el teorema 1.7 para concluir de manera analítica

( )

( ) ( )

iv. Utilizar un gráfico o una tabla para respaldar la conclusión

Técnica de cancelación y racionalización

En los siguientes dos ejemplos veremos dos de las técnicas más usuales para el cálculo de

límites.

Ejemplo 1.17. técnica de cancelación.

Encontrar el límite

2

3

12lim

3x

x x

x

.

Solución Aunque es una función racional, no se puede aplicar el teorema anterior debido a que el

límite del denominador es .

( )

a sustituci n directa falla en este caso.

( )

Aquí el límite del numerador también es , numerador y denominador tienen un factor común:

( ). Por lo tanto, para todo , se cancela este factor y por lo tanto podemos obtener el

límite de la siguiente manera

( )

( )( )

( ) ( )

Empleando el teorema anterior, podemos calcular el límite de la siguiente manera

( )

Este resultado lo podemos ver con más claridad en el siguiente gráfico, observe que la función

coincide con la de la función ( ) , solo que la gráfica de la función tiene un hueco en el

punto ( ).




Figura 1.5

Ejemplo 1.18. Técnica de racionalización.

Encontrar el límite: 0

9 3limx

x

x

.

Solución al utilizar la sustitución directa

√

√

a sustituci n directa falla en este caso.

En este caso, podemos reescribir la fracción racional del siguiente modo

√

(

√

) (

√

√ )

(√ )

(√ )

√

Empleando el teorema anterior, podemos calcular el límite de la siguiente manera

√

√

f xx2 x 12

x 3

6 4 2 2 4 6

2

2

4

6

8

10




Figura 1.6

Ejercicios 1.2.3 Indeterminaciones

16

27

17

28

√

18

29

√ √

19

30

√ √

√

20

31

√ √

√ √

21

32

√

√

22

33

√

23

34

√

√

24

( ) ( )

35

√

√

25

36

√

√

√ √

26

√

37

√

√

√

En base a los últimos ejercicios los siguientes limites calcular los siguientes límites, comentar con su profesor que herramienta utilizo para llegar al resultado.

38 a)

√

)

√

41

√ √




39

√

42

√ √

√ √

√

40

(

√

)

43

√ √

√

1.2.4. Límites unilaterales

En ocasiones nos interesa conocer el comportamiento de una función f x cuando x se

encuentra cerca de un valor a por un lado en concreto a ese punto (pensando como si los puntos

de la recta de números reales tuvieran dos lados: el derecho y el izquierdo)

Por la izquierda los valores menores que a

Por la derecha los valores mayores que a

Se dice que el límite de la función f x cuando x tiende a a por la derecha es L , lo cual se

escribe:

lim

x a

f x L

De manera rigurosa:

lim si dado 0 existe 0 tal que

0

x af x L

x a f x L

Se dice que el límite de la función f x cuando x tiende a a por la izquierda es L , lo cual se

escribe:

lim

x a

f x L

De manera rigurosa:

lim si dado 0 existe 0 tal que

0

x af x L

a x f x L

Los valores de f x se pueden acercar a un mismo valor L cuando x tiende a a por ambos lados

(izquierda y derecha), o sea los limites unilaterales lim

x a

f x L y lim

x a

f x L sean iguales, le

llamaremos limite bilateral a lim

x a

f x L




El límite bilateral lim

x a

f x L existe, si y solamente si los dos limites unilaterales lim

x a

f x L y

lim

x a

f x L existen y son iguales.

Ejemplo 1.19. Considere la función 2

1

3 1

x si xf x

x si x

Figura 1.7

Determine los límites unilaterales lim

x a

f x L y lim

x a

f x L y el límite bilateral lim

x a

f x L si es

que existe

1 1 , 1 1 , 1

lim lim lim 1 1

x x x x x

f x f x x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3




22

1 1 , 1 1 , 1lim lim lim 3 1 3 2

x x x x xf x f x x

Ya que los límites unilaterales son diferentes, el límite bilateral 1

limx

f x no existe.

Ejemplo 1.20. Considere la función

21 2

3 2

x si xf x

x si x

Figura 1.8

Determine los límites unilaterales lim

x a

f x L y lim

x a

f x L y el límite bilateral lim

x a

f x L si es

que existe

2 2 , 2 2 , 2

lim lim lim 3 3 2 1

x x x x x

f x f x x

2 2

2 2 , 2 2 , 2lim lim lim 1 2 1 1

x x x x xf x f x x

Ya que los limites unilaterales son iguales, concluimos que el límite bilateral existe y 2

lim 1

x

f x

Ejercicios 1.2.4. Para las siguientes funciones, calcula los límites unilaterales

-5-4-3-2-10123456789

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5




lim

x a

f x L , lim

x a

f x L

Y el límite bilateral lim

x a

f x L si es que existe

1. 2 3

en 33 1 3

x si xf x a

x si x

2.

2 0 en 0

3 0

x si xf x a

x si x

3. 2

2

2 3 1 en 1

1 1

x x si xf x a

x si x

4.

4 2 1 en 1

2 1

x si xf x a

si x

5.

2 2

5 2 en 2

4 2

x si x

f x si x a

x si x

6.

4

2

11

1

3 1 en 1

9 1

xsi x

x

f x si x a

si x

1.2.5. Límites infinitos y asíntotas verticales

Consideremos la función 2

1f x

x e investiguemos que sucede con sus imágenes con f x

cuando la " "x se encuentra cerca del cero.

La grafica siguiente puede ayudar a entender el comportamiento

x

2

1( ) f x

x

1 1

0.5 4

0.1 100

0.01 10000

0.001 1000000

x

2

1( ) f x

x

-1 1

-0.5 4

-0.1 100

-0.01 10000

-0.001 1000000




Figura 1.9

Para referirse al comportamiento anterior, diremos que esta función tiende al infinito cuando x

tiende a cero y lo escribimos

20

1lim

x x

En general diremos que la función ( )f x tiende a infinito cuando x tiende a a lo cual se escribe

como: lim ( )

x a

f x el cual diremos que es un “l mite infinito”

De manera rigurosa, esta idea queda escrita como: la función f x tiende a infinito cuando x

tiende a a , lo cual se escribe como: lim ( )

x a

f x , si dado cualquier 0M existe un 0 tal

que 0 x a f x M

¿En qué tipos de funciones podemos encontrar límites infinitos?

La situación más común que se presenta está dada por el siguiente resultado de carácter general.

una función tal que

lim 0 y una función tal que lim 0 Entonces limx a x a x a

Sea g x

g xg x k h x h x

h x

-10

10

30

50

70

90

110

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2




Ejemplos 1.21. Sea 1

f xx

0

0 0

0

lim11 1lim lim

lim 0

x

x x

x

f xx x

El numerador 1 tiende a 1 cuando x tiende a 0 , mientras que el denominador tiende a cero

cuando x tiende a 0

El ejemplo anterior nos o liga a ser más precisos con “el signo” del infinito, se indica con el

resultado de un límite infinito cuando f x toma valores cada vez más grandes (positivos) cuando

x tiende a a y se indica con el resultado de un límite infinito cuando f x toma valores

negativos cada vez más grandes en valor absoluto. Observemos en una tabla el comportamiento

del ejemplo anterior cuando x tiende a 0 por el lado de los números negativos ó 0x

x

Numerador

1

Denominador

x

1f x

x

-2 1 -2 -0.5

-1 1 -1 -1

-0.5 1 -0.5 -2

-0.1 1 -0.1 -10

-0.01 1 -0.01 -100

-0.001 1 -0.001 -1000

Según la tabla anterior se observa que si x tiende acero, por la izquierda, el numerador es 1 , el

denominador tiende a cero, pero tomando valores negativos, por lo anterior el signo del cociente

es negativo y la función tiende a . Para el presente ejemplo diríamos que el límite unilateral por

la izquierda es lo cual queda escrito.

0

1limx x

Observemos en una tabla el comportamiento del ejemplo anterior cuando x tiende a 0 por el lado

de los números positivos ó 0x




x

Numerador

1

Denominador

x

1f x

x

2 1 2 0.5

1 1 1 1

0.5 1 0.5 2

0.1 1 0.1 10

0.01 1 0.01 100

0.001 1 0.001 1000

Según la tabla anterior se observa que si x tiende a cero, por la derecha, el numerador es 1 , el

denominador tiende a cero, pero lo hace tomando valores positivos, por lo anterior el signo del

cociente es positivo y la función tiende a . Para el presente ejemplo diríamos que el límite

unilateral por la derecha es lo cual queda escrito

0

1limx x

La grafica de 1

f xx

ayuda a entender el comportamiento

Figura 1.10

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-1 -0.5 0 0.5 1




Ejemplos 1.22. Sea 2

2

4

xf x

x

2

limx

f x

2

2 22

2

lim 22 4lim

4 0lim 4

x

x

x

xx

x x

Por que

El numerador 2x tiende a 4 cuando x tiende a 2 , mientras que el denominador tiende a cero

cuando x tiende a 2

Pero ¿será ó ?

El ejemplo anterior nos o liga a anali ar “el signo” del infinito, como se reali en el ejemplo

anterior.

x

Numerador

2x

Denominador

2 4x

2

2

4

xf x

x

-4 -6 12 -0.5

-3 -5 5 -1

-2.5 -4.5 2.25 -2

-2.1 -4.1 0.41 -10

-2.01 -4.01 0.0401 -100

-2.001 -4.001 0.004001 -1000

Según la tabla anterior se observa que si x tiende a 2 , por la izquierda, el numerador tiende a

4 Pero tomando valores negativos. Mientras el denominador tiende a cero, pero tomando valores

positivos, por lo cual el signo del cociente es negativo y la función tiende a . Para el presente

ejemplo diríamos que el límite unilateral por la izquierda es lo cual queda escrito

22

2lim

4x

x

x

Ahora observemos en una tabla el comportamiento cuando x tiende a 2 por el lado de los

números positivos.




x

Numerador

2x

Denominador 2 4x

2

2

4

xf x

x

0 -2 -4 0.5

-1 -3 -3 1

-1.5 -3.5 -1.75 2

-1.9 -3.9 -0.39 10

-1.99 -3.99 -0.0399 100

-1.999 -3.999 -0.003999 1000

Según la tabla anterior se observa que si x tiende a 2 , por la derecha, el numerador tiende a 4

, pero tomando valores negativos, el denominador tiende a cero, pero tomando valores negativos,

por lo cual es signo del cociente es positivo y la función tiende a . Para el presente ejemplo

diríamos que el límite unilateral por la derecha es lo cual queda escrito

22

2lim

4x

x

x

La grafica de 2

2

4

xf x

x

nos puede ayudar a entender el comportamiento recordemos que hay

una discontinuidad de hueco en 2x

Figura 1.11

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5




Ejemplo 1.23. Sea

2

4

2

xf x

x

2

limx

f x

22

4lim , pero ó

2x

x

x

nalicemos “el signo” del infinito, como se ha reali ado

x Numerador

4x

Denominador

2

2x

2

4

2

xf x

x

0 -4 4 -1

1 -3 1 -3

1.5 -2.5 0.25 -10

1.9 -2.1 0.01 -210

1.99 -2.01 0.0001 -20100

1.999 -2.001 1E-06 -2001000

Según la tabla anterior se observa que si x tiende a 2 , por la izquierda, el numerador tiende a 2 ,

pero tomando valores negativos, el denominador tiende a cero, pero tomando valores positivos,

por lo cual el signo del cociente es negativo y la función tiende a . Para el presente ejemplo

diríamos que el límite unilateral por la izquierda es lo cual queda escrito

2

2

4lim

2x

x

x

Ahora observemos en una tabla el comportamiento cuando x tiende a 2 por el lado de los

números positivos.




x Numerador

4x

Denominador

2

2x

2

4

2

xf x

x

4 0 4 0

3 -1 1 -1

2.5 -1.5 0.25 -6

2.1 -1.9 0.01 -190

2.01 -1.99 1E-04 -19900

2.001 -1.999 1E-06 -1999000

Según la tabla anterior se observa que si x tiende a 2 , por la derecha, el numerador tiende a 2 ,

pero tomando valores negativos, el denominador tiende a cero, pero tomando valores positivos,

por lo cual el signo del cociente es negativo y la función tiende a . Para el presente ejemplo

diríamos que el límite unilateral por la derecha también es lo cual queda escrito

2

2

4lim

2x

x

x

En este caso podemos concluir que:

22

4lim

2x

x

x




Figura 1.12

Figura 1.13

-50

-40

-30

-20

-10

0

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Gráfica

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Acercamiento Será importante mas adelante en asintotas horizontales




Ejercicios 1.2.5. Determina el límite

1.

42

1lim

2x x 2.

2

21

8 9lim

2 1x

x x

x x

3. 3 2

20

3 2 9limx

x x x

x

4.

3 2

3 21

3 2 2lim

3 3 1x

x x x

x x x

5. 5 4 2

3 22

2 3 7 2lim

3 11 8 4x

x x x x

x x x

Asíntotas verticales

Una asíntota vertical es una recta x a para la cual se cumple

lim limx a x a

f x ó f x

Recordando que

una función tal que


Sea g x

g xg x k h x h x

h x

Ejemplo 1.24. Determine la o las asíntotas verticales de existir de la función 2

2

5 6

1

xf x

x

Se trata de una función racional que puede ser vista como

2

2

2 2

5 6

1

5 6 y 1

g xxf x

x h x

Donde g x x h x x

Encontramos los valores donde se anula el denominador, planteando la ecuación respectiva

2

1

2

0

1 0

1

2

h x

x

x

x

Para que los valores anteriores sean las asíntotas deben cumplir con


g xg x k h x h x

h x

Primero 1 1x

2

1 1lim lim 5 6 11 0x x

g x x

y

2

1 1 1lim lim 1 0 limx x x

g xh x x

h x

Por lo que 1 1x es una asíntota vertical




Segundo 2 1x

2

1 1lim lim 5 6 11 0x x

g x x

y

2

1 1 1lim lim 1 0 limx x x

g xh x x

h x

Por lo que 2 1x es una asíntota vertical

Grafica de 2

2

5 6

1

xf x

x

Figura 1.14

Ejemplo 1.25. Determine la o las asíntotas verticales de existir de la función 2

2

2 12 16

5 6

x xf x

x x

Se trata de una función racional que puede ser vista como

2

2

2 2

2 12 16

5 6

2 12 16 y 5 6

g xx xf x

x x h x

Donde g x x x h x x x

Encontramos los valores donde se anula el denominador, planteando la ecuación respectiva

2

1

2

0

5 6 0

2

3

h x

x x

x

x

Para que los valores anteriores sean las asíntotas deben cumplir con

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5





g xg x k h x h x

h x

Primero 1 2x

2

2 2lim lim 2 12 16 0x x

g x x x

y 2

2 2lim lim 5 6 0 x x

h x x x

Por lo que 1 2x NO es una asíntota vertical

Segundo 2 3x

2

3 3lim lim 2 12 16 20 0x x

g x x x

y

2

3 3 1lim lim 5 6 0 limx x x

g xh x x x

h x

Por lo que 2 3x SI es una asíntota vertical

La gráfica de 2

2

2 12 16

5 6

x xf x

x x

Figura 1.15

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




Ejercicios (Asíntotas verticales) Determine de existir, las asíntotas verticales de las siguientes funciones, sino existen indique porque:

1. 2 1

xf x

x

2.

2 5 6

xf x

x x

3. 2 1

xf x

x

4.

2

2

3 1

2 2

x xf x

x x

5. 3

3 1

xf x

x

6.

4 2

3

1

1

x xf x

x

1.2.6. Límites en el infinito y asíntotas horizontales

Consideremos la función 1

f xx

. Ahora estamos interesados en el comportamiento de f x

cuando x toma valores muy grandes, ya sea en sentido positivo, como en sentido negativo.

Observemos la siguiente tabla

Se observa que a medida que los valores de aumentan, los valores de ( ) se acercan a cero.

Este hecho lo referimos diciendo: si tiende a , entonces la función 1

f xx

tiende a cero, y lo

escribimos como:

1lim 0x x

En general, decimos que la función f x tiende al límite L cuando x tiende a infinito, si a medida

que el valore de x se hace más grande, el valor de f x se encuentra más próximo a L . Lo cual

se escribe:

x

1f x

x

-1 -1

-10 -0.1

-100 -0.01

-1000 -0.001

-1000000 -0.000001

-1E+12 -1E-12

x

1f x

x

1 1

10 0.1

100 0.01

10000 0.0001

100000000 0.00000001

1E+16 1E-16




lim

dado cualquier 0 existe un M>0 Tal que:

xf x L

Si

x M ó x M f x L

Teorema

Sea un número natural y sea una constante.

Entonces la función = tiende a cero cuando tiende a infinito. Es decir:n

n k

kf x x

x

lim 0nx

k

x

El hecho establecido en el teorema anterior lo podemos entender fácilmente si pensamos que en

el cociente n

k

x el numerador es una constante mientras, mientras que el denominador es una

cantidad que está volviéndose cada vez más grande, el resultado de la división es cada vez más

cercano a cero

Ejemplo 1.26. Calcule el límite 2

3 2

4 8lim

2 7 11 12x

x x

x x x

Dividimos tanto el numerador como el denominador entre la potencia más grande de la x , que

este ejemplo es 3x

2

2 3 2 3 2 3

3 23 2

2 23

2 3

4 8 1 4 8 1 4 8 lim

4 8lim lim lim

7 11 12 7 11 122 7 11 122 7 11 122 lim 2

1 4 8lim

Por el teorema anterior

x

x x x

x

x

x x

x x x x x x x x x

x x xx x x

x x x x x xx

x x x

2

0 0 0 0= =0

7 11 12 2 0 0 0 2lim 2x x x x

Ejemplo 1.27. Calcule el límite 6 3 2

6 5

2 5 2 4lim

8 20 7x

x x x x

x x x


este ejemplo es 6x




6 3 2

6 3 2 6 3 4 5 6

6 56 5

5 66

3 4 5 6

5 6

2 5 2 4 2 5 2 4 1+

2 5 2 4lim lim lim

1 20 78 20 78 20 78

2 5 2 4lim 1+

Por el teorema ant1 20 7

lim 8

x x x

x

x

x x x x

x x x x x x x x x

x x xx x x

x x xx

x x x x

x x x

3 4 5 6

5 6

2 5 2 4lim 1+

1 0 0 0 0 1erior =

1 20 7 8 0 0 0 8lim 8

x

x

x x x x

x x x

En resumen los resultados de los casos vistos de los límites al infinito de funciones racionales

son:

1

1 1 0

1

1 1 0

0...

lim ; para 0, 0...

n n

n n

nm mxm m

m

si n ma x a x a x a

a basi n mb x b x b x b

b

Ejercicios 1.2.6. Determine los siguientes límites

1. 3

2

2 2lim

3 1x

x x

x x

5.

8 4

8 4

4 5 7lim

3 5 9x

x x x

x x

2. 3 2

4

2 3 2 1lim

3 1x

x x x

x x

6.

3 2

6 7 3

6 2 8 1lim

8 2x

x x x

x x x

3. 3

3 2

2 2lim

3 1x

x x

x x x

7.

2

3 4 2

1 3lim

1 1x

x x

x x x x

4. 5 4

3

9 7 8 3lim

1x

x x x

x

8.




Asíntotas horizontales

Cuando se tiene una función racional y se quiere calcular el límite de la función, debemos

considerar algunas situaciones que nos puede ser de utilidad en el cálculo de límites para el caso

de las asíntotas horizontales se deben considerar dos casos especiales, sea ( ) una función

racional

( )

1

1 1 0...n n

n na x a x a x a

1

1 1 0...m m

m mb x b x b x b

Casos

I) Cuando el grado del polinomio numerador es menor que la del polinomio cociente, es decir .

II) Cuando ambos polinomios tienen el mismo grado, es decir .

Caso I)

Una asíntota horizontal es una recta talque,para todoy L L para la cual se cumple:

lim limx x

f x L ó f x L

Retomemos lo escrito anteriormente

1

1 1 0

1

1 1 0

...lim 0 0 la asíntota horizontal sería 0

...

0

n n

n n

m mxm m

a x a x a x asi n m L y

b x b x b x b

ó f x

Ejemplo 1.28. Determine la asíntota horizontal de existir para:

4 2

8 4

4 2

4 2 4 6 88

8 48 4

4 88

3 6 7

5 7 7

3 6 73 6 7 lim 3 6 7 0 0 0 0

lim lim lim 07 75 7 75 7 7 5 0 0 5

lim 5

lim 0 0, la asíntota horizontal

x

x x x

x

x

x xf x

x x

x xx x x x xxf x

x xx x

x xx

f x L

es 0 =0, el eje de las absisas es la asíntota.y ó f x




Figura 1.16

Figura 1.17

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0 1 2 3 4 5

Acercamiento




Caso II)

1

1 1 0

1

1 1 0

...lim la asíntota horizontal sería

...

n n

n n n n n

m mxm m m m m

a x a x a x a a a asi n m L y

b x b x b x b b b b

Veamos un ejemplo de esta situación

Ejemplo 1.29. Determine la asíntota horizontal de existir para: 2

2

2 12 16

5 6

x xf x

x x

2

2 22

22

22

12 162 12 16 lim 2 2 12 16 2 0 0 2

lim lim lim 25 65 65 6 1 0 0 1

lim 1

lim 2 2, la asíntota horizontal es 2 2

x

x x x

x

x

x x

x x x xxf xx xx x

x xx

f x L y ó f x

Figura 1.18

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




Ejemplo 1.30. Determine la asíntota horizontal de existir para: 2

2

5 10 1

3 4 5

x xf x

x x

3

2 2 33

32

2 33

10 15 10 1 lim 5 5 10 1 5 0 0 5

lim lim lim4 53 4 53 4 5 3 0 0 3

lim 3

5 5 5 5lim , la asíntota horizontal es

3 3 3 3

x

x x x

x

x

x x

x x x xxf xx xx x

x xx

f x L y ó f x

Figura 1.19

Ejercicios (asíntotas horizontales) Determine de existir la asíntota horizontal para las siguientes funciones:

1. 3

3

7

5

x x xf x

x x

2.

3

8

1

xf x

x

3. 2

2

7 9 3

5 8

x xf x

x x

4.

3

3 2

6 3 5

3 8 6 2

x xf x

x x x

5. 2

5 3

7 9

4 6 8 5

x xf x

x x x

6.

7

7 3

4 3

9 6

xf x

x x x

-1

0

1

2

3

4

5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50




1.2.7. Límites infinitos en el infinito

Antes vimos lo que sucede en el caso de que el grado del polinomio en la posición del numerador

es menor que el grado del polinomio en la posición del numerador y también cuando el grado de

ambos son iguales. Ahora veremos lo que sucede cuando el grado del polinomio en la posición de

numerador es mayor que el grado del polinomio en la posición del denominador.

Ejemplo 1.31. Determine el límite de f x cuando x tiende a infinito:

7 3 2

4 3

5 4 5 9 2

4 3 2

x x x xf x

x x x


este ejemplo es 7x

7 3 2

7 3 2 7 4 5 6 7

4 34 3

3 4 6 77

4 5 6 6

3 4 6 7

5 4 5 9 2 4 5 9 2 5+

5 4 5 9 2lim lim lim

1 4 3 24 3 24 3 2

4 5 9 2lim 5+

Por el teorema1 4 3 2

lim

x x x

x

x

x x x x

x x x x x x x x x

x x xx x x

x x x xx

x x x x

x x x x

lim 5+0 0 0 0 5 anterior =

lim 0 0 0 0 0

El limite no es un numero al cual tiende

x

x

L f x

Por lo tanto, lo llamamos límite infinito en el infinito.

Ejemplo 1.32. Determine el límite de f x cuando x tiende a infinito:

7 3 2

4 3

5 4 5 9 2

4 3 2

x x x xf x

x x x


este ejemplo es 7x




7 3 2

7 3 2 7 4 5 6 7

4 34 3

3 4 6 77

4 5 6 6

3 4 6 7

5 4 5 9 2 4 5 9 2 5+

5 4 5 9 2lim lim lim

1 4 3 24 3 24 3 2

4 5 9 2lim 5+

Por el teorema1 4 3 2

lim

x x x

x

x

x x x x

x x x x x x x x x

x x xx x x

x x x xx

x x x x

x x x x

lim 5+0 0 0 0 5 anterior =

lim 0 0 0 0 0

El limite no es un numero al cual tiende

x

x

L f x

Ahora podemos plantear que

1

1 1 0

1

1 1 0

...lim , para 0 y b 0.

...

n n

n nn mm mx

m m

a x a x a x asi n m a

b x b x b x b

Ejercicios 1.2.7. Determina los siguientes límites

1. 3 1

1

xf x

x

2.

6 3

2

7 8

5

x x xf x

x

3. 3

4

1

9 5

xf x

x x

4.

2 7

8

xf x

5. 7 6 2

3

6 8 3

7

x x xf x

x x

1.2.8. Asíntotas oblicuas

Una situación de carácter especial en el caso de las funciones racionales, es cuando el grado del

polinomio numerador es mayor que el grado del polinomio denominador, pero solo en una unidad,

como ejemplo tenemos la siguiente función que se analizará en el siguiente ejemplo con más

detalle

( )

En este ejemplo podemos observar que el polinomio numerador tiene grado dos y el polinomio

denominador tiene grado uno, lo cual cumple con las condiciones que tratamos de analizar,

siempre que tengamos una situación de este tipo, se encuentra lo que se conoce como asíntota

oblicua.

Una asíntota oblicua es la recta con 0mx b m para la cual la diferencia entre y f x mx b

tiende a cero conforme x se aleja del origen, escrito sería:

lim 0x

f x mx b




Son un caso particular de límites infinitos en el infinito, cuando el grado del polinomio en el

numerador es mayor en la unidad, que el grado del polinomio en el denominador.

Ejemplo 1.33. Determinar de existir la asíntota oblicua para: 2 1

4

xf x

x

Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en la unidad, sí existe

asíntota oblicua.

Para determinarla procedemos:

Realizamos la división de los polinomios quedando

2 1 17

44 4

xf x x

x x

Si x entonces 17

04x

y por lo tanto 4f x x

La recta 4x satisface la condición

2 1

lim 04x

xmx b

x

Verifiquemos

2 2 2 2 2 24 41 1 1 16 1 16

lim 4 lim lim lim4 4 4 4 4 4

17lim 0

4

x x x x

x

x xx x x x x xx

x x x x x x

x

Figura 1.20

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24




Ejemplo 1.34. Determinar de existir la asíntota oblicua para: 3

2

1

1

x xf x

x

Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en la unidad, sí existe

asíntota oblicua.

Para determinarla procedemos:

Realizamos la división de los polinomios quedando

3

2 2

1 1

1 1

x xf x x

x x

Si x entonces 2

10

1x

y por lo tanto f x x

La recta x satisface la condición

3

2

1lim 0

1x

x xmx b

x

Verifiquemos

23 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

2

11 1 1 1lim lim lim lim

1 1 1 1 1 1

2 1lim 0

1

x x x x

x

x xx x x x x x x x x x x xx

x x x x x x

x

x

Figura 1.21

-15

-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

15

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




Ejemplo 1.35. Determinar de existir la asíntota oblicua para: 4 2

2

1

9

x xf x

x

Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en más de la unidad, NO

existe asíntota oblicua.

Hay otros tipos de asíntotas además de las rectas verticales, horizontales y oblicuas, las cuales no

trataremos en este curso.

Figura 1.22

Ejercicios 1.2.8. Determina de existir, la asíntota oblicua para cada función dada a continuación:

1. 2 1

1

xf x

x

2.

2 1

1

x xf x

x

3. 4

3

3 4

2 3

x xf x

x x

4.

3

2

2 3 2

1

x xf x

x x

5. 4 2

3

1

1

x xf x

x

-100

-50

0

50

100

150

200

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20




1.3. Continuidad

Continuidad está muy relacionada con aspecto gráfico y es una característica más para conocer

acerca del comportamiento de las funciones, más adelante definiremos matemáticamente este

concepto, mientras trabajaremos con la idea intuitiva de continuidad.

1.3.1. Idea intuitiva de continuidad.

Una función f x es continua si podemos realizar si gráfica sin despegar despegar el instrumento

de trazado de la superficie u observar espacios en medio de dos puntos de la gráfica de la función.

1.3.2. Continuidad en un punto.

Para la función 2 1

1

xf x

x

La grafica no existe en 1x , por lo que no es continua en ese punto.

Figura 1.23

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




Para la función 2

1

1

x si xf x

x si x

Figura 1.24

La grafica presenta un salto en 1x , porque no existe el limite bilateral pues 11

lim 1

x

f x ,

mientras que 1

lim 1

x

f x

Para la función

2

2

2 1

7 1

2 1

x si x

f x si x

x si x

-15

-13

-11

-9

-7

-5

-3

-1

1

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4




Figura 1.25

La gráfica no presenta ninguna de las dos situaciones anteriores ya que la gráfica existe en 1x y

existe el límite bilateral cuando cuando 1f x x

Una función es continua sino se presenta ninguna de las tres situaciones anteriores

matemáticamente sería:

Una función es continua en x a si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1) existe.

2) lim existe.

3) lim

x a

x a

f a

f x

f x f a

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




Ejemplo 1.36. Analicemos la continuidad de 2

1

1

f x

x

El dominio de la función es el conjunto de los números reales excepto los valores de x que anulen

el denominador. Pero como 2 1 0 x no tiene raíces reales, el dominio de f x en este ejemplo

es el conjunto de los números reales. Concluimos que la esta función es continua en todo punto

x a

Figura 1.26

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10




Ejemplo 1.37. Analicemos la continuidad de 2

1

5 6

xf x

x x

El denominador se anula para 1 22 y 3 x x por lo que el dominio de esta función es 2,3 .

Concluimos que la función es continua para todos los puntos de 2,3 . Observe que la función

no existe en 2 y 3 x x por lo que esta función es discontinua en 2 y 3 x x

Figura 1.27

Ejemplo 1.38. Dada 24 1 0

2 3 0

x si xf x

x si x ¿Será continua en 0x ?

0

0

0 0

1) 4

cumple con la primer condición

2) lim 4

lim 3

lim lim

No cumple con la segunda condición, no es continua en 0

x

x

x x

f a

f x

f x

f x f x

x

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-1 0 1 2 3 4 5 6




Figura 1.28

Ejemplo 1.39. Para

2 42

2

2

xsi x

f x x

A si x

¿Existe un número A que haga a f x continua en 2x

1)

exista

2 existe

f a

f A

Cumple con la primer condición

2)

2 2

2 2

2 2

2

lim lim

4 4lim lim

2 2

4 4

lim 4

x x

x x

x

f x f x

x x

x x

f x

El límite bilateral existe

Cumple con la segunda condición

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

-3 -2 -1 0 1 2 3




3)

2

2

lim 2

lim 2

4

x

x

f x f

f x f

A

Cumple con la tercera condición si 4A

Para que la función sea continua en 2x , A debe de ser igual a cuatro

Ejemplo 1.40. Para 1

11

1

si xf x x

A si x


1)

exista

1

f a

f A

2)

1 1

1 1

1 1

lim lim

1 1lim lim

1 1

lim lim

x x

x x

x x

f x f x

x x

f x f x

-4

-2

0

2

4

6

8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Gráfica




El límite bilateral no existe

No cumple con la segunda condición

No es posible asignar un número a A para que la función sea continua en 1x

Figura 1.29

Ejemplo 1.41. Para 2 3 0

0

x si xf x

A x si x


1)

exista

0 3 existe

f a

f

Se cumple la primer condición

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1 0 1 2 3 4




2)

0 0

2

0 0

0

lim lim

lim 3 lim

3 0

3

lim 3

x x

x x

x

f x f x

x A x

A

A

f x

Si 3A el limite bilateral existe

3) 0

lim

3 3

xf x f a

Se cumple la tercera condición

Para que la función sea continua en 0x , A debe ser igual a 3

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4




Ejemplo 1.41. Para

2

2

2 1

1 1

2 3 1

x si x

f x Ax B si x

x x si x

¿Cuánto debe valer y A B para que esta función sea continua en 1 y 1 x x ?

Para continuidad en 1 x Para continuidad en 1x

1)

exista

1

f a

f A B

exista

1

f a

f A B

2)

1 1

2

1 1

lim lim

lim 2 lim

1

x x

x x

f x f x

x Ax B

A B

1 1

2

1 1

lim lim

lim lim 2 3

6

x x

x x

f x f x

Ax B x x

A B

Resolviendo el sistema de ecuaciones

5 7 y B=

2 2A

1 1

2

1 1

lim lim

5 7lim 2 lim

2 2

1 1

x x

x x

f x f x

x x

El límite bilateral 1

limx

f x existe si

5 7 y B=

2 2A

1 1

2

1 1

lim lim

5 7lim lim 2 3

2 2

6 6

x x

x x

f x f x

x x x

El límite bilateral 1

limx

f x existe si

5 7 y B=

2 2A

3)

1

2

1

lim 1

lim 2

5 71

2 2

21

2

1 1

x

x

f x f

x A B

Se cumple con la tercer condición si

5 7 y B=

2 2A

1

1

lim 1

5 7lim

2 2

5 76

2 2

126

2

6 6

x

x

f x f

x A B

Se cumple con la tercer condición si

5 7 y B=

2 2A

Hay continuidad para f x

en 1 y 1 x x si

5 7 y B=

2 2A




Figura 1.30

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5




Ejercicios 1.3.2. Determine si f x es continua en el punto indicado

1. 2

1 1 en 1

1

x si xf x x

x x si x

2. 2

1 1 en 1

1

x si xf x x

x x si x

3. 2

0 en 0

0

x si xf x x

x si x

4. 2

0 en 0

1 0

x si xf x x

x si x

5.

2 11

en 11

1 1

xsi x

f x xx

si x

6.

3

4

11

en 11

1 1

xsi x

f x xx

si x

Ejercicios complementarios Determine el valor de y/o A B para que la función sea continua

en los puntos indicados

1. 1

1 en 11

1

xsi x

f x xx

x A si x

2. 2

1 0 en 0

0

si xf x x

x A si x

3. 3 2 0

en 00

x si xf x x

x A si x

4. 2

2 0 en 0

1 0

x A si xf x x

x x si x

5.

4 2 11

en 11

1

x x xsi x

f x xx

A si x

6.

3 1 1

1 2 en 1,2

2 2

x si x

f x Ax B si x x

x si x

7. 2

1

1 3 en 1,3

3

x A si x

f x x si x x

x B si x

8.

12

2 1 en 2,1

ln 1

si xx

f x Ax B si x x

x si x

9. 6

4

1

11 1 en 1

1

1

A si x

xf x si x x

x

B x si x

10.

2 1 1

1 1 en 1

2 4 1

x x si x

f x Ax B si x x

x si x




1.4. Derivada

Los fundamentos del cálculo tienen sus raíces en el análisis de muchos problemas geométricos y

físicos. En ésta parte se estudiarán los problemas de determinar una recta tangente a una gráfica y

de evaluar la velocidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas aparentemente distintos

en realidad son uno mismo. Las soluciones de ambos dan lugar a la noción de razón de cambio

instantánea (o tasa de variación instantánea) de una función. Esto es a lo que se refiere el Cálculo

diferencial.

1.4.1. El problema de la tangente y la velocidad

Suponer que ( ) es una función continua cuya gráfica se muestra en la ¡Error! No se

encuentra el origen de la referencia.. Si la gráfica de posee una recta tangente en un punto

, como se ilustra en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., el problema es

determinar su ecuación. Para hacerlo se necesita: a) las coordenadas de y b) la pendiente

de . Las coordenadas de no presentan dificultad, puesto que en un punto de la gráfica se

obtiene especificado un valor de , por ejemplo, , en el dominio de . Las coordenadas del

punto de tangencia son ( ( )).

Figura 1.31

Figura 1.32

Una manera de aproximar la pendiente consiste en determinar las pendientes de rectas

secantes que pasen por el punto fijo y cualquier otro punto de la gráfica. Si tiene

coordenadas ( ( )) y se hace por coordenadas ( ( )), entonces, como se

muestra en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., la pendiente de la recta

secante que pasa por y es

( ) ( )

( )

y = f(x)

y

x

y = f(x)

y

x

P

a

recta tangente L en P




Si ( ) ( )

Entonces

Cuando el valor de es pequeño, ya sea positivo o negativo, se obtienen puntos y de la

gráfica de a cada lado del punto , pero cercanos a él. Es de esperar que, a su vez, las

pendientes y estén cerca de la pendiente de la recta tangente . Esto se puede observar

en la Figura 1.33.

Figura 1.33

Figura 1.34

Ejemplo 1.43. Obtener la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ( ) en ( ).

Solución Como inicio, se elige y se encuentra la pendiente de la recta secante que pasa

por ( ) y ( ( ) ):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

y

x

tangente

P

Q

L

secante

y = f(a+x)-f(a)

a a+x

x

y

x

tangente

P

Q

Q

Q'

L




La tabla siguiente sugiere que la pendiente de la recta tangente que se muestra en la ¡Error! No

se encuentra el origen de la referencia. es .

Tabla 1

( ) ( )

Figura 1.35

La pendiente

de una recta secante que pasa por ( ( )) se llama también razón media de

cambio ( o tasa media de variación) de en .

Casi cualquier persona tiene una noción intuitiva de velocidad como una rapidez con la cual se

recorre una distancia en cierto intervalo de tiempo. Cuando un autobús recorre, por ejemplo, 60

kilómetros en una hora, su velocidad media (o promedio) debe haber sido de 60 km/h. Por

supuesto, es difícil mantener la razón o tasa de 60 km/h durante todo el viaje, porque el autobús

reduce la velocidad al pasar por poblaciones, y la aumenta al rebasar vehículos. En otras palabras,

la velocidad varía con el tiempo.

y

x

y = x2 mtan= 2

(1,1)




En general, la velocidad media o rapidez media de un objeto móvil es la razón de cambio de la

posición con respecto al tiempo, definida mediante

Para explicar lo anterior se tiene el siguiente ejemplo. Considérese ahora a un corredor que realiza

una carrera de 10 km en un tiempo de 1h 15min (1.25 h). La velocidad media del corredor durante

la carrera fue

Pero ahora suponga que se desea determinar la velocidad exacta del corredor en el instante en

el que se ha cumplido media hora de carrera. Si la distancia recorrida en el intervalo de tiempo de

0 h a 0.5 h es de 5 km, entonces

De nuevo, éste número no es una medida, o tal vez ni siquiera un buen indicador, de la rapidez

instantánea a la cual el corredor se mueve al cabo de 0.5 h de carrera. Si se determina que en

0.6 h el corredor está a 5.7 km de la línea de salida, entonces la velocidad media de 0 h a 0.6 h es

. Sin embargo, durante el intervalo de tiempo de 0.5 h a 0.6 h.

Éste número es una medida más realista de la razón .

Otro concepto que se deriva de la pendiente es la velocidad instantánea, en la cual se supone que

( ), una función que da la posición de un objeto en movimiento en línea recta. La velocidad

instantánea en el tiempo está dada por

( )

( ) ( )

Siempre que el límite exista.

En base a la problemática que existe con la tangente y la velocidad, es necesario emplear una

definición más concreta para encontrar cada uno de estos conceptos.




1.4.2. Definición de la derivada

Sea ( ) una función continua. La recta tangente a la gráfica en el punto ( ( )) es única,

puesto que un punto y una pendiente determinan una sola recta. Lo anterior lleva a la definición de

la derivada, comúnmente llamada “regla de los cuatro pasos”.

Primeramente se obtienen

( ) ( ) y ( )

Después se calcula el incremento en

( ) ( ) ( )

Se calcula la pendiente

( )

( ) ( )

Finalmente se determina el límite

( )

donde

( )

( ) ( )

siempre que el límite exista. La expresión anterior se puede generalizar como:

( )

( ) ( )

Para tener una mejor idea de lo que estamos hablando veamos un ejemplo.




Ejemplo 1.44. Encontrar la derivada de ( )

olución. Como se mencionó anteriormente, el procedimiento consta de cuatro pasos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) , ( ) - , -

( )

, -

( ) ( )

, -

Ejemplo 1.45. Encontrar la derivada de ( )

Solución. Empleando la definición de derivada:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

, -

Ejemplo 1.46. Calcular la derivada de ( )

Solución. Siguiendo la regla de los cuatro pasos:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )




( ) ( )

[

( )( )]

( )( )

( )

Ejemplo 1.47. Encontrar la derivada de ( ) √

( ) ( ) √

( ) ( ) ( ) √ √

( )

√ √

√ √

√ √

√ √

( ) ( )

[√ √ ]

[√ √ ]

[√ √ ]

( ) ( )

(

[√ √ ])

√

Ejercicios 1.4.2. Determine la derivada de las funciones siguientes utilizando la definición de la derivada

1 ( ) √ 5 ( )

2 ( )

6 ( )

3 ( )

√ 7 ( ) √

4 ( ) ( ) 8 ( )

El alumno debe

observar cómo se está

aplicando la técnica de

racionalización.




2. La derivada y sus aplicaciones En el capítulo anterior se dio una definición previa de la derivada de una función a través de lo que se

conoce como regla de los cuatro pasos: ahora se estudiará un poco de el cálculo (note el uso del argumento

“el”; de cualquier manera, se puede emplear el término “cálculo”). Es innecesario enfatizar que el cálculo

forma parte tan común y es un recurso tan bueno de las ciencias físicas que ningún estudiante se puede

permitir el lujo de no ser eficiente en este campo. El enfoque de este y el siguiente capítulo es encontrar un

punto intermedio entre un tratamiento completamente formal en que se proporcionan algunas

demostraciones a algunos de los enunciados de mayor importancia al final de estas notas, para

proporcionar este grado de comprensión es necesario que el lenguaje se haga más preciso que el que se usó

en el capítulo anterior; principalmente, significa que usted se familiarice nuevamente con el concepto de

límite.

Una situación en las que se puede ver el uso de esta herramienta.

Encontrar el radio de la órbita de Bohr para el estado más estable de un átomo de hidrogeno.

Respuesta

Un electrón que se mueve alrededor de un núcleo de carga en una órbita circular tiene momento angular

De acuerdo con la hipótesis de cuantización de Bohr. En consecuencia y

(

*

Ahora se minimiza la energía total haciendo su primera derivada igual a cero.

Y como consecuencia, tenemos

Es fácil comprobar que es realmente un mínimo




( ) (

)

Lo que demuestra que es un mínimo, este tipo de análisis se verá con más detalle más adelante.

Esta como muchas otras situaciones que podrían motivo de uso de el cálculo diferencial. Ahora veamos algunos de los teoremas más importantes para el cálculo de derivadas.

2.1. Teoremas de derivación

Los siguientes teoremas se utilizan para derivar cualquier tipo de funciones.

Teoremas 2.1. Derivación básica

Si ( ) y ( ) son derivables en y si es cualquier constante, entonces

1.

, ( ) ( )-

( )

( )

Suma

2.

, ( ) ( )-

( )

( )

Diferencia

3.

, ( )-

( )

Producto de una constante por una función

4.

, ( ) ( )- ( )

( )

( )

( )

Producto de funciones

5.

* ( )

( )+

( ) ( )

( ) ( )

, ( )- Cociente de funciones

Ejemplo 2.1 Derivar las siguientes funciones utilizando el teorema anterior

1. ( ) 2. ( ) √ 3. ( )

√

Solución

) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )




) ( ) ( ( ) ) . ( ) √ /

( ) ( )

.√ / ( )

( )

( ) ( )

.√ / ( )

( )

( ) ( )

√ √ ( )

( )

√ √

) ( )

√

( ) ( )

( ) √

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ))

( )

√ ( )

√

(√ )

( )

√

√

( )

√

(√ )

( )

√( )

2.1.1. Derivadas de funciones algebraicas

Las fórmulas de derivación más sencillas son las que se utilizan para las funciones algebraicas.

Teorema 2.2. Derivadas de funciones algebraicas

Para cualquier número

Derivada de una constante

Derivada de la función identidad

Derivada de la función potencia




Ejemplo 2.2 Derive: ( )

Solución. Usando la derivada de la función potencia: ( )

Utilizando los teoremas de derivación de suma-resta, multiplicación y división así como del

producto de una constante por una función y las fórmulas de derivación de funciones algebraicas

derive:

1. ( )

2. ( )

3. ( )

4. ( )

5. ( ) √

Solución 1 En este caso, se observa que ( ) es en realidad una función compuesta formada por

una constante y una función potencia

Para derivarla entonces se aplica la regla del producto de una constante por una función:

Solución 2 Se trata de la suma de tres funciones. Entonces, usando el teorema de la derivada de

una suma:

( )

Solución 3 Se aplica la fórmula para la derivada de un cociente, para lo cual se calculan por

separado las derivadas del numerador y denominador.

( )

( )

Sustituyendo:

[

]

( )

, -

, -

Solución 4 Se puede usar la fórmula de la función potencia:

; derivando:

Solución 5 En lugar de utilizar la fórmula del producto es mejor realizar la multiplicación antes de

efectuar la derivación: ( ) √ = . Entonces usando la fórmula de la derivada de la

potencia:

( )




Con base en los ejercicios anteriores es fácil deducir que la derivada de un polinomio se obtiene

derivando de cada uno de sus términos.

2.1.2. Derivadas de polinomios Teorema 2.3. Sea : ( ) un polinomio definido por:

( )

∑

Entonces

( )

( )

∑

Ejemplo 2.3 Derive: ( )

Derivando término a término:

( )

Ejemplo 2.4 Derive: ( ) ∑

( )

∑

∑

Derivada de funciones compuestas: para derivar funciones compuestas es necesario efectuar un

cambio de variable y emplear las fórmulas conocidas:

Teorema 2.4. Derivadas de funciones compuestas

Sea ( ) una función derivable de y ( ) una función que depende de y por lo tanto

derivable respecto a esta variable, entonces la derivada de con respecto a viene dada por:

( ( ))

( )

( )

Por ejemplo sea con como una función de entonces la derivada de con respecto a

usando la regla de derivación de una función potencia y la de derivada de una función compuesta

es:




Ejercicios 2.1.2

Funcion Respuesta

1 ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 ( ) ( ) ( ) ( )

4 1

xf x

x

2

1'

1f x

x

5 2

2

1

1

xf x

x

2

2

4'

1

xf x

x

6 1

1

xf x

x

' 0f x

7

1

1 2 3f x

x x x

2

2

3 7'

1 2 3

xf x

x x x

8 1 1 1

1 2 3f x x

x x x

2 3

2 2 2

2 3 3'

1 2 3

x xf x

x x x

9 1

1f x

x

3

1'

2 1f x

x

10 1

xf x

x

2

1'

2 11

f xx

xx

11 10

62 2f x x x

96 5

' 10 2 2 1 12 2f x x x x

12 2

1 2f x x 2 1

'2

xf x

x

13

12

4410 1

xf x

x

11

4

4 54 4

1 3 10' 12

10 1 10 1

x xf x

x x

14 1 1 1f x x 4

1 1 1 1 1'

2 11 11 1 1

f xxxxx

15

2

3

1

33

2

x xxf x

xx

3 4 3 2 2 1/2

3 23 3/2

24 33

23 4 3 2

3 6 3 / 2

1 4 91 12

33

' 2

3 6

x x x x x

x xx x x

x xf x

x x x




2.1.3. Derivadas de funciones trigonométricas

En las siguientes fórmulas se supone que es una función compuesta.

Teorema 2.5. Derivadas de funciones trigonométricas

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Ejercicios

1 4 2f x sen x ' 4cos 4 2f x x

2 1

cos 2f xx

2

1 1' 2f x sen

x x

3 tan 100 /f x x

2 2

100'

100cos

f x

xx

4 1

tan1

f xx x

2

32

2 3 1' sec

12 1

xf x

x xx x

5 2sec 2f x x 2 2' 2 sec 2 tan 2f x x x x

6 csc 7f x x ' 7csc 7 cot 7f x x x

7 cscf x x csc cot

'2

x xf x

x

8 cot 4 4f x x 2' 4csc 4 4f x x

9 2sen 2f x x ' 4sen 2 cos 2f x x x

10 3cos 1f x x 2' 3cos 1 1f x x sen x

11 5tan 5f x x 2 4 2' 5 tan 5 sec 5f x x x

12 2sec tanf x x x 4 2 2' sec 2 tan secf x x x x




2.1.4. Derivadas de funciones trascendentales

Dos funciones que están estrechamente relacionadas son la función logaritmo natural y la función

exponencial, veamos un gráfico para tener una idea más clara de la relación entre estas dos funciones.

Figura 2.1

La función logaritmo natural

Aunque en el siguiente capítulo se estudiara el tema de integrales damos la siguiente definición de

logaritmo natural de la siguiente manera, a manera de introducción a lo que será el cálculo integral.

Definición de la función logaritmo natural

La función logaritmo natural se define como

∫

El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto de todos los números reales positivos.

A partir de la definición podemos deducir que es positiva para y negativa para ver la

Figura 2.1. Además ( ) , ya que los limites inferior y superior de integración son iguales cuando .

Teorema 2.6 Propiedades de la función logaritmo natural.

La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades. 1. El dominio es ( ) y el recorrido(o rango, contradominio, codominio) es ( ). 2. La función es continua, creciente e inyectiva. 3. La grafica es cóncava hacia abajo.

f 1 x x

f x Ln x

10 5 5 10

10

5

5

10




Teorema 2.7. Propiedades de los logaritmos

Si y son números positivos y es racional, se satisfacen las siguientes propiedades.

1. ( )

2. ( )

3. ( )

4. .

/

Teorema 2.8. Derivada de la función logaritmo natural

ln 1 ', 0

du ud u

dxu

u dx u

,

ln0

1d x

dx xx

log 1 1

ln

ad u

dx a u

du

dx

Con los siguientes ejemplos veamos cómo usar estas propiedades.

Ejemplo Derivación de funciones logarítmicas

1

, -

2

, ( )-

3

, - (

, -* (

, -*

(

* ( ) ( )

( )

Regla del producto

4

,( ) - ( )

, -

( ) (

*

( )

Regla de la cadena

Nota: Recuerde que ( )

Ejemplo Derivación con ayuda de logaritmo

Derivar la siguiente función.

( )

√

Antes de derivar no debe de olvidar algunas características, como que , para todo . Así, está

definido. Iniciamos aplicando el logaritmo natural en ambas miembros de la igualdad. (Ecuación). Y

aplicamos las propiedades de los logaritmos y de derivación implícita. Y por ultimo, despejamos a .




( )

√

( )

√

( )

( )

(

( )

( ) )

(

)

( ) ( )

( )( )

(

( )( ))

( )

√ (

( )( ))

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )√

( )

Ejercicios

1 2 22ln 4 42

xf x x x x

2

2'

4

xf x

x

2 2 24 2ln 4

2

xf x x x x

2

2'

4

xf x

x

3

3/22 2 2ln 1 1 1

8 4 8

x x x x x xf x

2 2' 1f x x x

4 2

24 9 22ln 4 9

xf x x

x

24 9

'x

f xx

5 3/2 2

2

2 21

5 5 1

xf x x x dx

x

2' 1f x x x

6 2

1 1n

i

i

i n

f x x b x

1' 1 2 1 1n

i i

i

i n

f x b x i x

7

1

11

11

1

f x

x

2

1'

3 2f x

x




8 ln 1f x x 1

'1

f xx

9 lnf x x x ' 1 lnf x x

10 lnf x x x x ' lnf x x

11 23 lnf x x x

22 2' 2 ln 3 lnf x x x x x

12 3

ln 1f x x 3

'1

f xx

13 3

ln 2f x x

3'

2 2f x

x

14 2log 2f x x

2log'

ef x

x

La función exponencial natural

La función exponencial natural

Definición de la función exponencial natural

La función inversa de la función logaritmo natural ( ) se llama función exponencial natural y se denota por

( )

Esto es,

si y sólo si

Una relación entre la función logaritmo natural y exponencial natural lo podemos expresar de la siguiente

manera:

( ) ( )

Teorema 2.9 Operaciones con funciones exponenciales

Sean




Propiedades de la función exponencial

1. El dominio de ( ) es ( ), y el rango es ( ).

2. La función ( ) es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.

3. La gráfica de ( ) es cóncava hacia arriba en todo su dominio

4.

Derivadas de la funciones exponenciales.

Una característica muy particular de la función exponencial natural es que su derivada es ella misma. En

otras palabras es solución de la ecuación diferencial . Lo que se resume en el siguiente teorema

Teorema 2.10 Derivada de la función exponencial natural

Si es una función derivable de .

1.

x

xd e

edx

2.

u

ud e

edx

du

dx

3. ln

u

ud a

ax

adx

du

d

Ejemplo Derivación de funciones exponenciales

a)

( )

b)

( )

(

*

Ejercicios

1 2xf x e 2' 2 xf x e

2 21 xf x e

21' 2 xf x xe

3 22

4

xf x e dx

21

'2

xf x e

4 24 4x

xf x

e

22' 1 8 xf x x e

5 2

2xf x 22' ln 2 2x xf x

6 110 xf x 1' 10 ln 1/10xf x

7 ln xf x b ln1/' ln

xxf x b b




8 xf x x ' ln 1xf x x x

9 1/x

f x e x

1/

2

1 1' ln

xf x e x e x

x x e x

2.1.5. Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Teorema 2.11 Derivadas de funciones trigonométricas inversas

2

arcsen 1, arcsen

2 21

du

dx

d uu

dx u

2

arccot 1, 0 arccot

1

dd uu

dx u

u

dx

2

arccos 1, 0 arccos

1

dd uu

dx u

u

dx

2

arcsec 1

1

d u

dx u u

du

dx

2

arctan 1, arctan

1 2 2

du

dx

d uu

dx u

2

arccsc 1

1

d u

dx u u

du

dx

Teorema 2.12 Derivadas de funciones hiperbólicas

senhcosh

d uu

dx

du

dx

2

cothcsch

d uu

dx

du

dx

coshsenh

d uu

dx

du

dx

sechsech tanh

d uu u

d xx

du

d

2

tanhsech

d uu

dx

du

dx

cschcsch coth

d uu u

d xx

du

d

Teorema 2.13 Derivadas de funciones hiperbólicas inversas

1

2

senh 1

1

d u

dx dxu

du

1

2

csc 1

1

d h u

dx xu

u

du

d

1 1

12

cosh si cosh 0, 11

si cosh 0, 11

d u u u

u udx u

1

2

sec 1

1

d h u

dx xu

u

du

d

1

2

tanh 1, 1 1

1

d uu

dx u

1

2

coth 1, 1 1

1

d uu o u

dx u

du

dx




Ejercicios

1 1

arcsen1

f xx

1 1'

12f x

xx x

2 2arccosf x x x

2

2

2 1'

1

xf x

x x

3 2arctan 4 4f x x x

24

5 41'

11 16 1

x xf x

xx x

4 3arccot 1f xx

2 2

3 3

1 1'

31 1 1

f x

xx x

5 2arccscf x ax bx c

2

2 2

2'

1

ax bf x

ax bx c ax bx c

6 ar csec 100 0.01f x x

2

100'

100 0.01 100 0.01 1f x

x x

7

ar c tan

ln

xf x

x

22

arctan1'

ln1 ln

xf x

x xx x

8 senhf x ax ' coshf x a ax

9 coshb

f xx

2

' senhb b

f xx x

10 tanhf x x a 2' sechf x x a

11 4tanhf x ax 3 2' 4 tanh sechf x a ax ax

12 cotha

f xx

2

2' csch

a af x

x x

13 cschbx

f xa

' csch coth

b bx bxf x

a a a

14 3sech 1f x x 2 3 3

' 3 1 sech 1 tanh 1f x x x x

15 cosh

x

xf x

e 2' xf x e

16

senh

ln

xf x

x

2

cosh senh'

ln ln

x xf x

x x x

17 21 1

2

x xe x e xf x

' coshf x x x




18

2 2

2

x xe edx dx

x xf x

2

senh'

xf x

x

19 -1tanh 2f x a x

2

2'

1 2f x

a x

20 -1 2cothf x x 4

2

1

xf x

x

21 -1 2senhf x x

22

2'

1

xf x

x

22 -1cothb

f xx

2 2

'b

f xx b

23 -1cscha

f xbx

2 2

-'

bf x

bx a

24 2-1sechf x ax b

4

2'

1

af x

ax b ax b

25 -1cosh 1 1f x x x x x 1' coshf x x

26

1 1ln 1 ln 1

2

x xx x

f x

1' tanhf x x

27 cos

senx

f x x

2

2

cos 1

sen

cos

' sen

ln sen

x

x

x

f x x

x

Ejercicios 2.1.5. Derivar las siguientes expresiones empleando las fórmulas anteriormente vistas:

1 senxf x e x ' sen cosxf x e x x

2 2 cos 2xf x e x 2' 2 sen 2 cos 2xf x e x x

3 3/2

cosxf x e x

3/2

3/2sen 3

' cos22

x

xe x

f x x x ex

4 xf x e '2

xef x

x




5 3/2senf x x x 1 3' cos sen

2 2f x x x x x

6 8

2f x x x 7

2 1' 8 2

2f x x x x

x

7 5 4

3 22f x x x x x

2

3

5 43 2

2

15 3

2

' 2

14 4

2

2

xx

x x

f x x x x x

xx

x x

8

12 4ln 1

4 1 1

xf x

x x

11

4

2

ln1

1 4 1ln4

4 111 4 4 ln3

4 1

x

x xx

f xxx

x x x

xx

9

4

6

4

lnsen

x

xf x x

e

4

5

4

3

6

44

ln' 6sen cos

ln 14sen 4ln

2

x

x

xf x x x

e

xx x

xe

10

3

10

ln

xx xf x e

x

3

10

2

10

2

' 10ln

3ln 1

23ln ln

x

x

x xf x e

x

xx x

e xx x

11

4

3 6ln 4 16 256f x x x x

1/16

' ln 8 48ln 2x

f x x xx




2.2. La regla de la cadena

Teorema 2.14 (Derivación de funciones compuestas)

: , ( ),

: , (

, | , ) .

: ,

Sea I una función derivableen x I es decir x existe

y sea J una función definida en el conjunto J quecontiene

al rango de es decir que I y y x x I J derivable en y x

Entonces la función compuesta I

, .

x x

es derivableen x I y su derivada en x es x x x

Al utilizar la notación de LEIBNIZ adquiere gran sencillez si y x entonces dy

dx es igual

al producto de la derivada de la función y u que escribimos dy

du, por la derivada de la

función u x , que escribimos du

dx. Con lo anterior la regla de la cadena se escribe:

dy dy du

dx du dx

Las formulas anteriores son conocidas como REGLA DE LA CADENA PARA LA DERIVACIÓN: lo que en ellas se establece es que la derivada de una composición de funciones es el producto de las derivadas de cada una de las funciones que se están componiendo.

Se sugiere que el alumno desarrolle los ejemplos siguientes empleando también la notación de LEIBNIZ., ya que en cursos posteriores será muy recurrida.

Ejemplo 2.5 Calcular la derivada de 2 6 10f x x x

Solución.

Sea 2 6 10x x con x x x es decir f x x . Las derivadas de

cada una de las funciones son:

1

2 62

x y x xx

Entonces

2

1 12 6 2 6

2 2 6 10f x x x x x x

x x x

2

3

6 10

xf x

x x

Ejemplo 2.6 Calcule la derivada de la función 2

1

1f x sen

x




Sea 2

1y

1x sen x x

x

2 22 2

1 2cos 2

1 1

xx x y x x

x x

2 222 2

2 1 2cos cos

11 1

x xf x x x x x

xx x

Ejemplo 2.7 Calcular la derivada de 23ln 1xf x e x

Solución. Sea 23ln 1xx x y x e x

3

2xx y x e xx

2

3 232

1

x

x

x

e xf x x x x e x

x e x

La regla de la cadena se puede generalizar para la composición de más de dos funciones

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 2 3 3

:

f x x x

Su derivada es

f x x x x x

Más general, Si 1 2 3, , ... k son k

Funciones derivables, entonces la composición

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 2 3 3

... ... ...

:

... ... ... ... ... ... ... ...

k k

k k k k k

f x x x es derivable y

Su derivada es

f x x x x x x

Ejemplo 2.8 Calcular la derivada de 3sen cos 2 9f x x

Solución. Planteamos

3

1 2 2 3 3

2

1 2 2 3 3

sen , cos 2 9

cos , sen 6

x x x x y x x

x x x x y x x

1 2 3 1 2 3 2 3 3f x x x x x

3 3 3cos cos 1 sen 1 6f x x x x




Ejemplo 2.9 Calcular la derivada de 2 3sen cos 1f x x

Solución. Planteamos

23

1 2 2 3 3 4 4

2

31 2 2 3 3 4 4

, sen , cos 1

12 , cos , sen

3

x x x x x x y x x

x x x x x x y x x

1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 3 4 4f x x x x x x

2

3 3 31

2sen cos 1 cos cos 1 cos 1 sen3

f x x x x x

3 3

23

2sen cos 1 cos cos 1 sen

3 cos 1

x x xf x

x

Ejercicios 2.2

1. 2 1f x x 6. ln ln 2f x x x

2. 1 1f x x 7. ln ln lnf x x x

3. cos sen cosf x x 8. 21 ln 5f x x

4. 2 3 3 2sen cos sen cosf x x x 9. cosln

xf x x e

5. 2 3 4 5sen sen senf x x

10. sen cos 2 sen 2 cos2 2cosx x x x

f x x e e

2.2.1. Derivación implícita

Las funciones en cuales aparece despejada y las llamamos funciones explícitas ejemplos de ellas

son:




2 2

1 1

1 1

1 1

sen sen

f x x si y f x entonces y x

x xf x si y f x entonces y

x x

f x x si y f x entonces y x

Etc.

Hay funciones en las cuales la y no está despejada como:

2 5xy x

3 4 3 1x y y x x y

cos 4ysen y x e

Etc.

Y en ocasiones no se puede despejar y o es muy complicado de realizarlo, por lo que es

conveniente derivar la expresión de forma implícita. Cuyo procedimiento es:

Derivar la función término a término, considerando a y como función de x y de la expresión

resultante despejar dy

ó ydx

según la notación empleada. También cabe mencionar que pueden

utilizase otras literales como variables dependiente e independiente respectivamente pero si sucede

lo anterior se debe especificar a qué literal se deriva, con respecto de que otra literal.

Sí no se especifica de forma diferente en este tema vary es la iable dependiente y

x la variable independiente

En la derivación implícita debemos aplicar regla de la cadena o derivación de función de función.

Ejemplo 2.10 Hallar dy

dx en la función 6 3 72 10ax x y y x , Cualquier literal diferente a y y x

será considerada una constante

Derivamos ambos lados con respecto de x

6 3 72 10d d

ax x y y xdx dx

6 3 72 0d d d

ax x y y xdx dx dx

En la expresión anterior quedan planteadas varias derivadas de productos de funciones hay que

derivarlas con el teorema respectivo [ uv uv vu ] y considerar el signo que afecta a todo el

resultado de derivar el producto.

5 3 2 7 66 2 6 7 0dy dy

ax x x y y xydx dx




Los términos que contengan dy

dx se dejan de un lado de la igualdad y los términos que NO

contengandy

dx se mueven al otro lado de la igualdad

3 6 5 2 72 7 6 6dy dy

x xy ax x y ydx dx

Se factoriza dy

dx y se deja solo de un lado de la igualdad que es lo que queríamos encontrar

3 6 5 2 7

5 2 7

3 6

2 7 6 6

6 6

2 7

dyx xy ax x y y

dx

dy ax x y y

dx x xy

Obsérvese que en la derivación implícita del lado izquierdo de la igualdad quedan las dos variables.

Ejemplo 2.11 Halle la pendiente de la gráfica de la función 2

2 23 100x y xy en el punto 3,1

Hallar dy

dx en la función

22 2

2 2

3 100

6 2 2 100

d dx y xy

dx dx

dy dyx y x y x y

dx dx

Hacemos las multiplicaciones

2 2 2 212 12 100 100dy dy

x x y y x y x ydx dx

Dejamos a los términos que contienen dy

dx del lado izquierdo y los que no lo contienen del lado

derecho de la igualdad

2 2 2 212 100 100 12dy dy

y x y x y x x ydx dx

Factorizando y despejando dy

dx




2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

12 100 100 12

100 12

12 100

25 3

3 25

dyy x y x y x x y

dx

y x x ydy

dx y x y x

Simplificamos

y x x ydy

dx y x y x

Para obtener la pendiente en el punto 3,1 sustituimos los valores de x y y en la derivada que

obtuvimos

2 2

2 2

25 1 3 3 3 1 13

93 1 3 1 25 3

dy

dx


dx en la función

x

ysen x y e

Solución Derivamos ambos lados con respecto de x

x

yd dsen x y e

dx dx

Aplicando regla de la cadena

2

cos

1

cos 1

x

y

x

y

d d xx y x y e

dx dx y

dyy x

dy dxx y edx y

Hacemos las multiplicaciones del lado izquierdo

2

1

cos cos

x

y

dyy x

dy dxx y x y edx y

Multiplicamos todo por 2y

2 2cos cos

x

ydy dyy x y y x y e y x

dx dx

Hacemos las multiplicaciones del lado derecho de la igualdad




2 2cos cos

x x

y ydy dyy x y y x y ye xe

dx dx

Juntamos dy

dx de un lado y la despejamos

2 2

2 2

2

2

cos cos

cos cos

cos

cos

x x

y y

x x

y y

x

y

x

y

dy dyy x y xe ye y x y

dx dx

dyy x y xe ye y x y

dx

ye y x ydy

dxy x y xe


dx en la función

2

2

2

2 2 2

2 2

2

tan ln arcsen

tan ln arcsen

1tan ln

1

1 1sec ln ln 1

21

11 1 1

sec 2 ln

21

xy x y

y

d d xy x y

dx dx y

d d d xy x y

dx dx dx yx

y

d d d xy y x y y

dx dx dx yxx

yy

dyy x

dy dxy y x ydx y yxx

yy




Multiplicamos por 2y ambos lados

2 2 2 2 1 1sec 2 ln

21

dy dyy y y xy y y y x

dx dxxx

yy

Hacemos las multiplicaciones de lado derecho

2 2 2 2 1 1 1 1sec 2 ln

2 21 1

dy dyy y y xy y y y x

dx dxx xx x

y yy y

Juntamos del lado derecho a los términos que contienen dy

dx

2 2 2 21 1 1 1sec 2 ln

2 21 1

dy dyy y y x y xy y y

dx dxx xx x

y yy y

Multiplicamos por 1 2x x

y y

2 2 2 21 2 sec 2 1 2 1 2 lnx x dy dy x x x x

y y y x y xy y yy y dx dx y y y y

Despejamos dy

dx

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

1 2 sec 2 1 2 1 2 ln

1 2 sec 2 1 2 1 2 ln

1 2 1 2 ln

1 2 sec 2

x x dy dy x x x xy y y x y xy y y

y y dx dx y y y y

x x dy x x x xy y y x y xy y y

y y dx y y y y

x x x xy xy y y

y y y ydy

dx x xy y y x

y y

Acomodado




2

2 2 2

2 1 2 1 ln

4 1 sec

x x x xy xy y y

y y y ydy

dx x xy y y x

y y

Ejercicios 2.2.1

De las siguientes funciones determina dy

dx


dx y evaluar

en el punto dado.

1. 3 2 3 3 33x x y y c

2. 2x a xy y b

3. 3 2 33 1ax b xy cy

4. x y a

5. 6y x

x y

6. 3 3 0,0x y y x en

7. 2 4,1xy x y en

8. 3 2 22 3 38 2,3x x y xy en

9. 2 3 5 2,3x y en

10. 3 2 33 3 ,x axy ay a en a a


dx

1. 2 3 10x ye

2. 2 3 2 3sen cos 1x y x y

3. 3 2 3 5sen ln 3x

y x y x yy

4.

2 2 3sec ln

sen xy xe xy x y

y

5. 2 4 3 3sen ln cosx yx y y x

e x y xy x xyy x x y

2.2.2. Derivadas de orden superior

Las derivadas anteriormente obtenidas se conocen con el nombre de primera derivada. Si la primera

derivada existe y es diferente de cero, es posible derivar a su vez este resultado en cuyo caso se obtiene la

segunda derivada y si dicha solución aun es una función derivable este proceso puede seguirse de manera

indefinida. Por ejemplo:

Sea




( )

Entonces la primera derivada es:

( )

La segunda derivada es entonces:

(

* ( )

Y la tercera derivada queda como:

(

) ( )

Y la última derivada que puede obtenerse es la cuarta:

(

) ( )

En el caso que la función tenga derivadas la derivada es:

(

) ( )

Ejemplos de funciones con derivadas son:

( ) ∑

Ejemplo 2.14 Halle la derivada de la función siguiente

( )

Derivando sucesivamente:




( )

De donde en general:

( ) ( )

Halle la derivada de la función siguiente

( ) ( )

Derivando sucesivamente obtenemos:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

En general

( ) ( )

( )

Obtenga de derivada de:

Función k-esima derivada

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

/




Sea ( ) un polinomio de Legendre de grado , donde éste se define como:

( )

( )

Halle los polinomios de Legendre hasta de grado 5.

Sol. , ( )

2.2.3. Teorema del valor medio

Teorema 2.15 Teorema del valor medio

Si ( ) es una función continua en el intervalo cerrado , - y derivable en el intervalo abierto

( ), entonces existe un número contenido en el intervalo anterior tal que ( ) ( ) ( )

con ( ) ( ).

En otras palabras, el teorema del valor medio dice que la pendiente de la secante que corta la función en

( ( )) y ( ( )) es igual a la recta tangente de la función en el punto ( ( )). Gráficamente esto se

puede visualizar como:

,c f c

a bc

Pendiente de la línea tangente 'm f c

,b f b

x

y

,a f a

Figura 2.2

Usando el teorema del valor medio es posible encontrar el valor a través del álgebra.




Ejemplo 2.14 Calcule el número para la función ( ) en el intervalo cerrado , -.

La pendiente de la secante es:

( )

( )

Por otro lado:

( )

Igualando la derivada de la función con la pendiente de la secante se obtiene:

Entonces

Ejemplo 2.15 Calcule el número para la función ( ) en el intervalo cerrado , -

La pendiente de la secante es:

( )

( ) ( )

Mientras que la derivada de la función es:

( )

Igualando la derivada de la función con la pendiente de la secante se obtiene:

Ya que es uno de los extremos del intervalo se descarta, por lo cual se concluye que:




Ejercicios 2.2.3

Halle el número para las siguientes funciones en los intervalos indicados:

Función Intervalo Respuesta ( )

( ) , - √

( ) , - {

√

√ }

( ) √ , -

( ) , - √

( ) , - , ( )-

2.3. Aplicaciones de la derivada

La derivada es una razón de cambio; la cual desde el punto de vista geométrico es la pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función, utilizando este concepto se pueden encontrar diferentes aplicaciones de la derivada como por ejemplo:

a) La resolución de problemas de razón de cambio y de optimización (problemas de máximos y mínimos), estos muy útiles para el análisis de variables desde el punto de vista ingenieril o en su caso de la vida cotidiana.

b) La determinación de límites, en los cuales, su complejidad impida que sean resueltos por medios algebraicos. La solución de los limites puede llevarse a cabo mediante la regla de ’Hôpital

c) En combinación con conceptos como límites en el infinito; límites finitos, dominio, contradominio (rango), intersecciones con los ejes y simetría, se puede trazar (graficar) y analizar funciones.

d) Finalmente usando su concepto geométrico, es posible determinar las raíces de funciones (ceros de funciones), en las cuales mediante algebra sean difíciles de determinar. El método que utiliza el concepto mencionado es el de Newton-Raphson.

2.3.1. Diferenciales

Sea ( ) una función derivable en su dominio, entonces

( )

Con ( ) ( ).




De la ecuación anterior podemos concluir que cuando se aproxima a cero,

se aproxima a

( ). O si se designa por la diferencia entre

y ( ), o sea,

( )

Entonces cuando . Multiplicando ambos miembros de la igualdad por obtenemos

( ) Por lo que, si se aproxima a cero, y se aproxima a cero. Es decir, ( ) .

Definición. Si ( ) es una función derivable en su dominio, entonces

a) se llama diferencial de , y se define por la relación . b) se llama diferencial de , y se define por la relación ( ) o

( ) ( )

Nota: De y ( ) , al dividir las ecuaciones entre sí obtenemos

( )

( )

La igualdad en la nota expresa la derivada como cociente de dos diferenciales. La mayoría de las veces se usa la notación para designar la derivada de con respecto de , este simbolismo no debemos de confundirlo con el que acabamos de definir. Sin embargo, a veces es conveniente que se considere la derivada como cociente de dos diferenciales. Ejemplo 2.16 Sea , hallar y .

a) Para cualquier b) Para c) Para d) Para

Solución

a) , entonces tenemos lo siguiente ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

También tenemos

( )

( )

( )

Y como resumen tenemos los resultados de los incisos b), c) y d) con lo siguiente ( ) ( ) , ( ) y




2 0.1 0.11 0.1 0.01

2 0.01 0.0101 0.01 0.0001

2 0.001 0.001001 0.001 0.000001

En la tabla podemos observar que a medida que se acerca a cero la diferencia se hace más pequeña. Por lo tanto, es una aproximación de cuando es más pequeño. Ejemplo 2.17 Hallar el volumen aproxima de un recipiente esférico, cuyo radio exterior es de y su

espesor de .

Solución. Primero tenemos , el volumen de una esfera dado en centímetros cúbicos y

numero de centímetros cúbicos en el volumen del recipiente esférico.

Al sustituir y , en la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión

( ) (

*

Así concluimos que el volumen de recipiente esférico es de aproximadamente

Ejemplo 2.18 Un error de se comete al medir el radio de una esfera de . ¿Qué error se

produce al calcular el volumen de la esfera?. Obtener una respuesta exacta y una aproximación empleando

diferenciales.

Solución. Exacta. Volumen calculado

( )

( ) .

Así y el volumen y radio verdadero y y son los errores del volumen y radio.

Volumen verdadero,

.

Error en el volumen, .

Aproximada. es una aproximación de y de

tenemos

( ) ( )

La diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado, calculado empleando diferenciales, es de

.

Ejemplo 2.19 ¿Para qué valores de se puede usar √

en vez de √

si el error permitido debe ser

menor de ?




Solución. Tenemos que ⁄ y ,

.

Así

√

Ejemplo 2.20 Hallar el volumen de bolas de acero, suponiendo que son esferas perfectas, midiendo su

diámetro en una producción en serie.

Solución. La máquina que se emplea para medir el diámetro no da el valor exacto de , sino un valor

aproximado . El error relativo en esta medida es . El volumen de la esfera es ( )

. Por lo

tanto, ( )

. Asi el error relativo en el volumen es:

( )

( )

( )

( )

Este resultado nos dice que el error relativo en la medida del volumen es tres veces el error relativo en la

medida original del diámetro.

Ejemplo 2.21 Hallar el incremento y la diferencial de la función para , ver

Figura 2.3. ¿Cuál es el porcentaje de error de la aproximación de ?

Solución.

Figura 2.3

( ) ( )

( ) . Entonces tenemos que

( ) ( )

( ) , como y .

El porcentaje de error en la aproximación es:

|

| |

|

Al reemplazar por es equivalente a reemplazar el área rayada por el área de los rectángulos y despreciar la del

cuadrado pequeño ( )




Ejercicios 2.3.1

1) 1.- Si es el área de un cuadrado de lado , halle . Construya la figura que muestre el cuadrado, y

.

Resp.: 2) Halle un valor aproximado del error que puede cometerse al calcular el volumen y el área de un cubo

de arista 6 cm si se comete un error de 0.02 cm al medir la arista.

3) Usando diferenciales halle un valor aproximado de cada una de las siguientes expresiones:

) √ ) √

)

) √

) √

) √

)

√ ) √

4) Halle el valor aproximado de

5) Se desea construir una caja en forma de cubo, de de capacidad, ¿con que precisión debe

construir la arista interior para que el error en el volumen no sea mayor de de más o de menos?

2.3.2. Problemas de razón de cambio

En esta sección queremos estudiar a las partículas que se cambian de posición sobre un eje x y

cuya ley de movimiento conocemos como x x t que establece la correspondencia de la

distancia recorrida por la partícula, en términos del tiempo t . Muchas veces ocurrirá que la función

x x t tiene sentido para toda t real (es decir que su dominio es ), sin embargo por lo que

representa físicamente, sólo consideraremos valores de t no negativos, es más el valor de la

función x x t para 0t , 0 0x x es la posición inicial del cuerpo.

Recordemos que la derivada x t representa la velocidad instantánea del cuerpo a los t

segundos de haber comenzado su movimiento (las unidades pueden variar según el problema, lo más común son los segundos). Esta derivada mide la rapidez de variación de la distancia x

respecto al tiempo t . Para 0t tenemos 0x , que es la velocidad inicial del cuerpo denotada

comúnmente 0v . Si 0x t , entonces la función x t es una función creciente, lo cual significa

que los valores de x x t aumentan con el tiempo, es decir 1 20 t t , se tiene

1 1 2 2x x t x x t , lo cual se interpreta en términos de la dirección del movimiento, es decir

está ganando distancia, según su punto de partida conforme aumenta el tiempo, en forma grafica,

que se recorre a la derecha. De la misma manera, si 0x t , entonces la función x x t es

decreciente, es decir para 1 20 t t , se tiene

1 1 2 2x x t x x t lo cual significa que los

valores de x x t

disminuyen si el tiempo transcurre (aumenta), o bien que la partícula está perdiendo distancia con respecto a su punto de partida, en forma grafica se está moviendo a la izquierda.




Ejemplo 2.22 La función del movimiento de una partícula es 2 6x x t t t , en donde x se

mide en metros y t en segundos. Determine:

a) La posición inicial. b) La velocidad inicial. c) La velocidad a los dos segundos de haber comenzado el movimiento. d) La velocidad a los cinco segundos de haber comenzado el movimiento. e) El tiempo durante el cual se está moviendo a la derecha. f) El tiempo durante el cual se está moviendo a la izquierda.

Solución

a) La posición inicial de la partícula es 2

0 0 0 6 0 0x x . Es decir su movimiento

comienza en el origen

b) La velocidad inicial es 0 0 2 0 6 6m

v xs

como 0 0v . La partícula comienza a

moverse a la izquierda de punto de origen.

c) A los dos segundos la velocidad es de 2 2 2 6 2m

v xs

. El cuerpo continua

moviéndose a la izquierda.

d) A los cinco segundos la velocidad es de 5 2 5 6 4m

v xs

. El cuerpo ahora está

moviéndose a la derecha.

e) Mientras 0v x el cuerpo se moverá a la derecha. Es decir si 2 6 0t y lo anterior

ocurre si 3t . Solo después de tres segundos, el movimiento de la partícula es hacia la

derecha.

f) Mientras 0v x el cuerpo se moverá a la izquierda. Es decir si 0 3t

Figura 2.4




Ejemplo 2.23 Una partícula se mueve sobre el eje x y su movimiento se describe por la

función 3 6x x t t t donde x se mide en metros y t en minutos. Determinar los

momentos en que el cuerpo se mueve a la derecha, hacia la izquierda, con aceleración positiva y con aceleración negativa. Solución

La velocidad del cuerpo es 23 6v x t t . El cuerpo se moverá hacia la derecha cuando

23 6 0v x t t , lo cual sucede para 2t (tiempo que carece de sentido físico) y

también para 2t , entonces después de 2 minutos el cuerpo se mueve a la derecha.

Análogamente para 0 2t , el movimiento de la partícula es hacia la izquierda.

En el instante 2t en que la partícula cambia la dirección de su movimiento, su posición

esta es 3

2 2 6 2 4 2x x m a la izquierda del origen.

La aceleración es 6a x t t la cual es positiva para 0t y negativa para 0t

(tiempos negativos carecen de sentido físico). Es decir la velocidad del cuerpo siempre es creciente. Veamos un gráfico para entender mejor esta situación.

Figura 2.5




Ejercicios 2.3.2

Las funciones que describen el movimiento de unas partículas se da a continuación, calcular a) La velocidad y posición inicial b) El intervalo del tiempo en que la partícula se mueve a la derecha. c) El intervalo del tiempo en que la partícula se mueve a la izquierda. d) Para que intervalo del tiempo la velocidad aumenta.

e) Para que intervalo del tiempo la velocidad disminuye.

1. 2x f t 6. ln 1x f t t

2. 1 4x f t t t 7. 1tx f t e

3. 2 1x f t t 8. 21x f t t

4. 1 4 6x f t t t t 9. 3x f t sen t

5. 3 3x f t t t 10. 2 2tx f t t e

Razones de cambio relacionadas El esquema general de los problemas que ahora abordaremos es el siguiente: se tienen dos

variables que están cambiando con el tiempo, digamos x x t y y y t . Estas pueden ser

distancia, aéreas, volúmenes, etc. Ambas variables están relacionadas entre sí por una función

que designaremos como , 0F x y . Ya se conoce la velocidad a la que está cambiando una de

ellas con respecto al tiempo y se quiere conocer la velocidad a la que está cambiando la otra

variable es decir al conocer x t ó y t , se quiere conocer x t ó y t respectivamente. La

manera de tomar estos problemas es considerar la función , 0F x y que conecta a ambas

variables y derivarla con respecto al tiempo, aplicando correctamente la regla de la cadena,

después sustituimos los datos del problema en la derivada con respecto del tiempo de , 0F x y

. Una de las mayores dificultades en este tema es plantear , 0F x y , la función que relaciona a

las dos variables x y y

Ejemplo 2.24 Se lanza una piedra a un estanque de aguas tranquilas y se genera una serie de

ondas circulares concéntricas. El radio de la primera onda aumenta a razón de 0.5cm

s ¿A qué

rapidez está cambiando el área del círculo que encierra esta onda, cuando el radio del círculo es

1r m ?

Solución El radio es función del tiempo r r t

El área es función del tiempo A A t

A su vez, estas dos variables están relacionadas entre sí 2A r . Esta es la expresión

importante.




Si derivamos con respecto al tiempo tendremos 2dA dr

rdt dt

El problema nos da la velocidad a la que varía el radio del círculo, esta velocidad es la derivada del

radio del círculo con respecto al tiempo 0.5dr cm

dt s .

Sustituimos en la expresión 2dA dr

rdt dt

Junto con el dato del radio 1 100r m cm CUIDADO HAY QUE HOMOGENIZAR UNIDADES

2

2 2 100 0.5 100dA dr cm cm

r cmdt dt s s

En el momento que el radio es de un metro el área del círculo está cambiando a una rapidez de

100 centímetros cuadrados cada segundo.

Ejemplo 2.25 Una escalera de 7 metros de longitud está recargada sobre una pared. En su

extremo superior se encuentra una persona, en ese momento la parte inferior de la escalera

comienza a resbalar alejándose de la base de la pared a una velocidad constante de 2min

m ¿A

qué velocidad está cayendo la persona cuando está a 1 m del suelo

Figura 2.6

Las variables que están cambiando con respecto del tiempo son: la distancia respecto a la pared

llamémosla x x t y la distancia medida con respecto al suelo llamémosla y y t .

Obsérvese que x x t aumenta conforme aumenta el tiempo y que y y t disminuye con

forme el tiempo aumenta. Estas dos variables que a su vez son funciones del tiempo están

relacionadas entre sí mediante el teorema de Pitágoras en el que x x t y y y t son

catetos y la longitud de la escalera es la hipotenusa, entonces podemos plantear:

2 2 2 2 27 49x y x y

Al derivar la expresión con respecto al tiempo y simplificar




2 2 0dx dy

x ydt dt

Dividimos ambos lados entre 2 quedando 0dx dy

x ydt dt

Debemos tener claro que la pregunta es la velocidad con la que está cayendo la persona con el

extremo superior, o sea dy

dx, medida con respecto del suelo, por lo que despejamos:

...................dy x dx

dx y dt

De la expresión anterior tenemos la velocidad con que se aleja a base de la escalera de la base de

la pared 2min

dx m

dt y el quieren

dy

dx cuando 1y m calculamos x para ese instante mediante

el teorema de Pitágoras 2 2 2 2 2 2 27 7 7 1 49x y x y x x m

Sustituimos los datos anteriores en

482 2 48 8 3

1 min min min

dy x dx dy m m dy m m

dx y dt dx m dx

Obsérvese que el signo menos indica que la función y y t es decreciente.

Ejemplo 2.26 Un punto se mueve sobre la parábola 2y x de modo que su abscisa x aumenta

a una velocidad constante de 2m

s. Calcular la velocidad a la que varia la ordenada de ese punto

cuando pasa por 1,1

Solución Tanto la abscisa como la ordenada se mueven sobre 2y x y ambas están variando

con respecto al tiempo, el enunciado nos da la información 2dx m

dt s , el dato cuando pasa por

1,1 nos da el valor de 1x y se nos pregunta dy

dt.

Al derivar con respecto al tiempo la función 2 2 ...............dy dx

y x xdt dt

Sustituimos la información que se requiere en

2 2 1 2 4dy dx m m

xdt dt s s




Ejemplo 2.27 En un recipiente en forma de cono invertido con radio 30R cm y altura

50H cm , como se puede observar en la Figura 2.7, se vierte agua a razón de dos litros cada

minuto. Si en 0t el recipiente está vacío, Calcular la velocidad a la que está aumentando el nivel

del agua en el recipiente después de 5 minutos de haber comenzado a llenarse.

Figura 2.7

Solución Llamemos h a la altura del agua medida en cm respecto a la base que descansa en el

piso en un instante 0t hay un cono de agua dentro del recipiente cónico el cual tiene altura h y

base r tanto h como r son funciones del tiempo digamos h h t y r r t . El volumen V

de este cono de agua también es función del tiempo:

21..........

3V r h Observemos que en la expresión anterior hay dos variables h y r

pongamos al volumen en términos de una sola variable. De la tercera figura vemos que hay un

triángulo dentro de otro y las bases son paralelas, por lo que se debe cumplir:

50 3

30 5

H h hr h

R r r

Con esta expresión podemos plantear al volumen en términos de la altura quedando

2

31 3 3

3 5 25V h h h

Derivamos con respecto al tiempo

29

25

dV dhh

dt dt De aquí queremos

dh

dt

2

25..........

9

dh dV

dt h dt

El dato dV

dt lo tenemos pero nos hace falta la altura h cuando el tiempo es de 5 min para lo

cual usamos la información de que se vierten 2 lt cada minuto, por lo tanto a los 5 min habrá 10 lt

o sea 310,000 cm , recordemos que el volumen en términos de la altura es 33

25V h de aquí

calculamos h , cuando han pasado 5 minutos que es cuando hay 310 10,000lt ó cm




3

3325 10,00025

29.8233 3

cmVh cm

Ahora ya tenemos todos los datos para sustituir en

3

22

25 252000 1.988

9 min min9 29.823

dh dV cm cm

dt h dt cm

El nivel del líquido está subiendo a una rapidez de 1.988min

cm a los 5 min de haber comenzado a

llenarse.

Ejemplo 2.28 Un faro está situado en una isla pequeña a 2 mi de la costa. La baliza del faro gira

a razón constante de 6grados

segundo ver Figura 2.8 ¿Qué tan rápido se mueve el haz del faro a lo

largo de la costa en un punto a 3 mi del punto sobre la costa, más cercano al faro?

Figura 2.8

Solución Primero vamos a convertir los grados a radianes

º

º6

180 30

rad

s

Que es la rapidez con que está girando la baliza o sea

d

dt

en radianes

Y calculamos el ángulo en el instante en que 3x mi con 23 9tan tan tan

2 2 4

x

el resultado anterior lo sustituimos en la identidad 2 2 9 13sec 1 tan 1

4 4 este resultado lo

ocuparemos en la función que derivemos con respecto al tiempo y que más adelante llamaremos

Lo que nos piden encontrar es dx

dt . De trigonometría y de observar la figura podemos plantear




tan2

x Despejando 2tanx y al derivar con respecto al tiempo

2 22sec sec ........15

dx d

dt dt

sustituimos el resultado que previamente habíamos calculado

para 2 13sec

4

2 13 132sec

15 4 60

dx d

dt dt

.

Ejercicios 2.3.2

1. La diagonal de un cuadrado está aumentando a una razón de 4min

cm. Calcule la razón a la

que está aumentando el área del cuadrado en el momento en que la diagonal es de 5 cm .

2. Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 5 cm y su hipotenusa está aumentando a razón

de 4min

cm. Calcule la rapidez a la que está aumentando el área del triángulo, cuando la

hipotenusa es de 15cm

3. Un cono circular recto tiene una altura 15H cm mientras el radio de su base está

aumentando a razón de 1min

cm. Calcula la rapidez a la que está aumentando el volumen

del cono cuando el radio de su base sea de 3 cm .

4. Se tiene un depósito cónico de altura de 15 m y radio de la base 5m , el cual está lleno de

agua. En 0t comienza a bombearse agua hacia fuera del depósito a una razón de 3

8m

h. Determine la razón a la que está disminuyendo el nivel del líquido en el depósito

después de 10 horas de haber comenzado a llenarse.

5. Una persona que mide 1.80 m camina, alejándose de un farol que se encuentra a una

altura de 3.5 m del piso, con una rapidez de 6km

h. Determine la rapidez a la que está

creciendo la sombra que el hombre proyecta sobre el piso.

6. Al instante 0t se cruzan perpendicularmente la rutas de dos aviones, uno de los cuales

vuela en una línea a 500 m por encima de la línea de vuelo del otro. Las velocidades de

los aviones son de 750km

h y 850

km

h. Determine la velocidad a la que los aviones se

alejan el uno del otro después de dos minutos de 0t . (considere que los aviones vuelan en

el mismo plano).




7. Una cámara de rastreo, ubicada a 1200 pies del punto de lanzamiento de un globo el cual se elevara verticalmente por el aire caliente que contiene. El instante en el que el ángulo de

elevación de la cámara es 6

, el ángulo crece a razón de 0.1

min

rad. ¿A qué razón sube

el globo en ese instante?

8. Un punto se mueve sobre la hipérbola 1

yx

de tal modo que su abscisa x aumenta a

una velocidad constante de 2cm

s. Calcular la velocidad a la que varía la ordenada de ese

punto cuando pasa por 1,1 .

2.3.3. Problemas de optimización

Ejemplo 2.29 Se desea construir un cono cuya altura sesgada sea de unidades ver Figura 2.9.

¿Cuáles son las dimensiones (radio y altura) que maximizan el volumen de dicho cuerpo?

Figura 2.9

De la Figura 2.9 se deduce que:

21

3V r h …( ); 2 2 2L h r …( ), sustituyendo (2) en (1)

2 31

3V L h h …(3); tomando la primera y segunda derivada,

2 213

3

dVL h

dh …(4);

2

22

d Vh

dh …(5)

Para cualquier valor real y positivo de h, la segunda derivada será negativa, por lo cual se produce

un máximo. Resolviendo (4) para encontrar los puntos críticos:




2 210 3

3L h ;

1

3h L ;

22

3

Lr L

2

3r L , y 21 2 1

3 3 3Vmáx L L

, 32 1

9 3Vmáx L

Ejemplo 2.30 Se pretende diseñar una caja sin tapa con base cuadrada con un área superficial

, ver Figura 2.10. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que su volumen sea máximo?

Solución El área superficial es:

2 4*sA x xy …( ), de donde al despejar la altura 2

4sA x

yx

…( )

Por otro lado, el volumen de la caja está dado por:

2V x y …(3), sustituyendo (2) en (3), 2

2 31

4 4s

s

A xV x A x x

x

…(4), derivando (4)

3 21 13

4 4s s

dV dA x x A x

dx dx …(5) la segunda derivada es:

2

2

2

1 1 33 6

4 4 2s

d V dA x x x

dx dx …(6). Resolviendo (5) para encontrar los puntos críticos:

210 3

4s

dVA x

dx

3sAx

Sustituyendo el punto crítico con significado físico,

Figura 2.10




2 2

2 2

3 33, 0

2 3

s s

s

A Ad V d V

A

dx dx

, por lo tanto el volumen es máximo y la dimensión altura

es:

2

23

3 3

4 4 4 63 3 3 3

ss ss

ss

s s s s

AA AA

AA

yA A A A

, 12sAy

Y el volumen máximo está dado por:

2

3 6 36

3

s s s s

s

A A A AV

A

, 3

max108sAV

Ejemplo 2.31 Se desea elaborar un recipiente cilíndrico que tenga un volumen V. Hallar las

dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal sea mínima, considerando:

a) Recipiente abierto

b) Recipiente cerrado

Solución a) El volumen del cilindro es 2V r h …( ) mientras que el área superficial se o tiene

con:

22TA rh r …( ) para el cilindro con una sola tapa.

De la ecuación (2) se despeja h:

2

Vh

r y se sustituye en la ecuación del área total (2)

2

22T

VA r r

r

, 22

T

VA r

r …(3), derivando (3)

22TdA d Vr

dr dr r

,

2

22TdA Vr

dr r …(4). Derivando de nuevo:




2

2 3

62Td A V

dr r …(5)

Igualando a cero la primera derivada para hallar los puntos críticos:

2

22

Vr

r ; 3 V

r

, 3V

r

, por lo tanto 2/3

2 2/3

3

V Vh

VV

, 3V

h

Sustituyendo r en (5):

2

2 33

62 8Td A V

dr V

, con lo cual se verifica que con los valores de r y h hallados se obtiene el

área mínima. Por lo tanto el área mínima es:

2

3 3 32T

V V VA

, 3 2

min 3A V

Solución b) considera que el recipiente es cerrado.

2

22 2T

VA r r

r

…(6);

2

24TdA Vr

dr r ; 3

2

Vr

2/3

2 2/3

3

2

2

VVh

VV

; 34V

h

; y la segunda derivada es 2

2 3

64Td A V

dr r , sustituyendo r

2

2 33

6 114

24

Td A V

dr V

, lo cual garantiza el mínimo.

2 22

3 3 3 3 32

4 22 2

2 2 2T

V V V V VA

2

3min 5 2A V




Ejemplo 2.32 Se desea elaborar un recipiente cilíndrico abierto que tenga un volumen V. El costo

del material usado para la ase cuesta “n” veces más que el que se emplea en el cuerpo del

cilindro. Suponiendo que no hay desperdicio de material, calcular las dimensiones que permitan

que el costo del recipiente sea mínimo. El costo es P.

Solución 2V r h …( ) de donde 2

Vh

r …( ). or otro lado el área es:

22TA rh r …(3), sustituyendo la altura en función del radio y el volumen

22T

VA r

r …(4)

El costo total está dado por

Costototal áreade la base costobase áreadel cuerpo costo del cuerpo

22T

VC P nP r

r …(5), derivando respecto a “r”,

2

22TdC V

P nP rdr r

…(6), se iguala a cero la primera derivada para obtener el radio óptimo

2

22

VP nP r

r ; 3

Vr

n ;

2

3

Vh

V

n

; 2

3n V

h

Se calcula la segunda derivada:

2

2 3

62Td C V

P nPdr r

…(7); 2

2 3

3

62Td C V

P nPdr V

n

2

26 2 8Td Cn P n P n P

dr , por lo que el costo es mínimo.

2

3

3

2Tmín

V VC P nP

nV

n

, 1/3 1/32/3 2/32TC n V P n V P ; 3 23TmínC n V P




Ejemplo 2.33 Se desea construir una caja a partir de un rectángulo de cierto material con

dimensiones largo “ ” ancho “ ”, recortando un cuadrado de lado de cada esquina para tal

efecto y doblando los lados de tal manera que se forme dicha caja. Calcular las dimensiones del

volumen máximo que se produce recortando el cuadrado óptimo.

2 2 *V L x a x x …( ). i se desarrolla para derivar el polinomio en lugar de un producto:

2 32 4V aLx a L x x …( ). Derivando con respecto a x

212 4dV

x a L x aLdx

…(3).

, igualando a cero:

20 12 4x a L x aL . Resolviendo:

2 22 24 4 4 12 4 4 4 12

2 12 2 12

a L a L aL a L a L aLx

2 2 2 24 4

64 6

a L a aL L a L a aL Lx

2 2

6

a L a aL Lx

. La segunda derivada es:

2

224 4

d Vx a L

dx ; sustituyendo

2 2

6

a L a aL Lx

Figura 2.11




2 22

224 4

6x xop

a L a aL Ld Va L

dx

;

2

2 2 2 2

24 4 4 4

x xop

d Va L a aL L a L a aL L

dx

, lo cual produce un mínimo.

Sustituyendo la otra raíz:

2 22

2 2

224 4 4

6x xop

a L a aL Ld Va L a aL L

dx

, que produce un máximo por lo tanto

la raíz elegida es 2 2

6óp

a L a aL Lx

Y el volumen máximo es: 2 32 4V aLx a L x x

2 2

2 2

22 2

26

6

46

a L a aL LaL a L

a L a aL LVmáx

a L a aL L

, desarrollando y factorizando

términos

2 2

2 2 2 2454

a L a aL LVmáx aL a L a L a aL L

Ejemplo 2.34 Hallar el volumen máximo de un cono que se puede inscribir dentro de una esfera

de radio R.

Figura 2.12




Solución El volumen del cono es:

2 21

3Vc R a R a

…( ). Desarrollando el polinomio

3 2 2 31

3Vc R aR a R a

…( ). Derivando la funci n

3 2 2 31

3

d dVc R aR a R a

da da

, e igualando a cero 2 21

2 3 03

dVc R aR a

da

2 23 2 0a aR R , resolviendo: 2 22 4 4 3

6

R Ra

;

1 2

3

Ra

1

3

3

Ra R

; 2 3 3

R Ra

; 2 3

Ra

Derivando para verificar el máximo:

2

2 2

2

1 12 3 2 6

3 3

d dVc R aR a R a

dada

…(3)

2

2

1 42 6

3 3 3

d RVc R R

da

, por lo cual se garantiza el resultado esperado.

Sustituyendo el valor de “a” para encontrar las otras dimensiones:

2

2 8

3 9

Rr R R

;

2 2

3r R ;

4

3 3

Rh R R ;

4

3h R

Y el volumen máximo está dado por:

2 3

3 21

3 3 3 3

R R RVc R R R

, realizando las operaciones pertinentes

3 3 33 3

2 3

1 32

3 3 813 3

R R RVc R R

;

332

81Vcmáx R

Ejemplo 2.34 a) Suponiendo que el radio de la esfera es de 3 pulgadas, hallar las dimensiones y

el volumen que lo hacen máximo.

2 2

3 2 23

r u ; 4

3 43

h u ;

3 332 32

381 3

Vmáx u




Ejemplo 2.35 Hallar el volumen máximo de un cilindro recto que se puede inscribir dentro de una

esfera de radio R.

Figura 2.13

Solución A partir de las ecuaciones del volumen y del teorema de Pitágoras:

2 32 2

4 4

h hVc R h R h

…( ) Derivando ( )

32 2 23

4 4

d d hVc R h R h

dh dh

…( ). Igualando a cero resolviendo

2 230

4C

dV R h

dh ; 2 24

3R h ;

2

3

Rh ;

2 3

3

Rh

. Cálculo de la segunda derivada:

2

2

3

2

dVc h

dh

…(3); Utilizando el valor de h hallado anteriormente:

2

2

3 2 33

2 3

d RVc R

dh

que produce un máximo.

Utilizando el valor de h se calcula la dimensi n “r”

2

2 2

2 3

Rr R

,

1 21

3 3r R R ;

2

3r R

y el volumen es:

3

2 2 3 1 2 3

3 4 3

R RVcmáx R




Simplificando

34 3

9Vcmáx R

Ejemplo 2.35 a) Suponiendo que el radio de la esfera es de 3 pulgadas, hallar las dimensiones y

el volumen que hacen máximo al cilindro.

2

3 63

r u ; 2 3

3 2 33

h u ,

3 34 3

3 12 39

Vcmáx u

Ejemplo 2.36 Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en el

sector de parábola formado por la curva 2y

xP

y la recta 0x x

Solución Si se denota como a y b a la base y altura del rectángulo, respectivamente, se tiene que

los puntos:

0 ,2

bx a

, 0 ,

2

bx a

deben de pertenecer a la parábola, por tanto satisfacen su ecuación y se

tendrá que cumplir que:

2

0

2

b

x aP

; 2

0 4

ba x

P

Y como el área del rectángulo es A=ab, expresándola sólo en función de b sustituyendo el valor

anterior, se tiene:

A

Figura 2.14




2

0 4

bA ab x b

P

,

3

0 4

bA x b

P , derivando esta última ecuación:

2

0 34

dA bx

db P ;

2

2

3

2

d A b

Pdb , igualando a cero la primera derivada,

20

00 3 24 3

Pxbx b

P , sustituyendo la raíz positiva en la segunda derivada,

20 0

2

3 32

2 3 3

Px Pxd A

P Pdb , que resulta en un número negativo por lo cual el área es máxima.

0

00 0

4

3

4 3

Px

xa x x

P

,

0

2

3a x ; 2b Pa

0 00 0

2 42

3 3 3 3

Px PxA x x

; 3

max 2A Pa

2.3.4. Regla de L´hôpital

Formas indeterminadas

Recordemos que las formas y son llamadas indeterminadas por que no garantizan la existencia

del límite, tampoco nos indican cual es el límite, en caso de que exista. Cuando nos encontremos este tipo

de indeterminaciones podríamos intentar reescribir la expresión usando algunas técnicas algebraicas.

Ocasionalmente, podremos usar el desarrollo de estas técnicas algebraicas para encontrar el limite sobre

todo de las funciones trascendentes. Por ejemplo, calcular el límite

En este caso se produce una forma indeterminada de la forma . Ahora Factorizando y dividiendo

tenemos que

( ) ( )

( )

A pesar de ello, no todas las formas indeterminadas pueden ser evaluadas de esta manera o utilizando

algún técnica algebraica. Cuando las funciones algebraicas y trascendentes están mezcladas. Un ejemplo de

esta situación lo podemos ver en la siguiente función




Aquí se produce la forma indeterminada . Reescribiendo obtenemos lo siguiente

(

)

Lo que produce la forma indeterminada , lo cual es obvio que no podemos evualar directamente para

obtener el límite de la función.

Teorema 2.16 Regla de L’Hôpital

Supóngase que ( ) y ( ) son diferenciables y ( ) en las cercanías de excepto tal vez

en . Además si se supone que:

( )

( )

O bien

( )

( )

Entonces

( )

( )

( )

( )

La aplicación de este teorema no se limita a la primera derivada sino que se puede extender a la segunda,

tercera o -ésima derivada, siempre y cuando la función continue siendo diferenciable.

Ejemplos de la aplicación de la regla de L’Hôpital

Ejemplo 2.37 Calcule el siguiente límite

Solución La evaluación directa de la función conduce a una forma indeterminada

. Utilizando los métodos

antes vistos se concluye que el límite existe y es igual a 4. En efecto:

( )

Usando la regla de L’Hôpital se obtiene un resultado equivalente:

Nota: Es útil señalar que se debe derivar tanto el numerador como el denominador como funciones separadas y no aplicar la regla del cociente, es decir:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ( )

( )*




Ejemplo 2.38 Halle el límite indicado

√ √

Solución La evaluación directa de la función conduce a la forma indeterminada

, por lo cual usando la regla

de L’Hôpital:

( ) √ √

( )

√

( ) ( )

√ √

√

√

Ejemplo 2.39

( )

Solución Derivando por separado el numerador y el denominador:

( )

Ejemplo 2.40

x

y x 1/

1

1/

0 0lim lim 1

x

x xy x ;

0 0

1 0limln lim ln 1 ?

0x xy x

x

1

0 0 0

1limln lim 1 lim

1x x xy y e e

x

Ejemplo 2.41 Indeterminación de la forma

,

( )

Solución La evaluación directa conduce a un absurdo.

Re arreglando la expresión anterior:

( )

Usando la regla de L’Hôpital:

( )




Observe que se podría derivar

de la misma forma que en los casos anteriores el valor del cociente sería

cero. Sin embargo la expresión

no produce una forma indeterminada

por lo cual no es

correcto continuar con la derivación indiscriminada.

Ejemplo 2.42 Resolver

2

1

1 0lim ?

ln 0x

x

x

,

Solución

2

1 1 1

1 2 1lim lim lim 2 1 0

1lnx x x

x xx x

x

x

Ejemplo 2.43 Halle 0

0lim ?;

0

x x

x

e e

x

Solución

0 0

lim lim 2x x

x x

x x

e ee e

x

Uso iterado de la regla de L’Hôpital. A continuación se verán ejercicios donde es preciso utilizar derivadas de

orden superior para encontrar el límite de una función.

Ejemplo 2.44

20

cos coslim ?x

ax bx

x

Solución

20

cos cos 0lim ?

0x

ax bx

x

,

20 0

cos cos sen sen 0lim lim ?

2 0x x

ax bx a ax b bx

x x

2 2 2 2

0 0

sen sen cos coslim lim

2 2 2x x

a ax b bx a ax b bx b a

x

Ejemplo 2.45

30

tan 3 3lim ?x

x x

x

s

Solución

30

tan 3 3 0lim ?

0x

x x

x

, derivando,

2

3 20 0

tan 3 3 3sec 2 3 0lim lim ?

3 0x x

x x x

x x

2 2

20 0 0

3sec 2 3 12sec 2 sec 2 tan 2 12sec 2 tan 2 0lim lim lim ?

6 6 03x x x

x x x x x x

x xx

4 2 22

0 0

12 2sec 2 4tan 2 sec 212sec 2 tan 2 24lim lim 4

6 6 6x x

x x xx x

x




Ejemplo 2.46

30

senlim ?x

ax ax

x

x

Solución

30

sen 0lim ?

0x

ax ax

x

3 20 0

sen cos 0lim lim ?

3 0x x

ax ax a ax a

x x

,

2

20 0

cos sen 0lim lim ?

3 6 0x x

a ax a a ax

x x

,

2 3 3

0 0

sen coslim lim

6 6 6x x

a ax a ax a

x

Ejemplo 2.47 senx

y x

0

0 0lim lim sen 0 ?

x

x xy x

0 0 0

ln senlimln lim ln sen lim ?

1x x x

xy x x

x

2

0 0 0 0

2

cosln sen sen 0

limln lim lim lim ?11 tan 0x x x x

xdx x xdxy

d x

xdx x

2

2

20 0 0 0

2limln lim lim lim 2 sec 0

sectan

x x x x

dx

xdxy x xd x

xdx




Ejercicios 2.3.4 Usando la regla de L’Hôpital halle los siguientes límites

√ √

√

(

*

0

coth 13lim

tanhlim

Si

N

i

CNN

k C

1/

0 1 Demostrar que 01lim lnix

CN

k C

Sea

R C R C

k R C

01

ln1

, muestre que 01

limR

C C

k C

2.3.5. Análisis de función

Procedimiento para el análisis de funciones

1) Dominio de la función. 2) Rango de la función*. 3) Paridad. 4) Intersecciones con los ejes.

a) Intersección con el eje de las ordenadas (hacer cero la variable independiente). b) Intersección con el eje de las abscisas, raíces o ceros de la función (intersección con

el eje de las abscisas, hacer cero la variable dependiente). 5) Puntos críticos (Derivar la función, igualarla a cero y determinar las raíces; obtener los pares

ordenados de las raíces evaluando la función con estas abscisas). 6) Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento): dividir el dominio en

tantos intervalos más uno del número de puntos críticos. Excluir de los intervalos los puntos singulares. Si no hay puntos críticos tomar un solo valor de prueba en la primera derivada y con ello determinar si la función es creciente o decreciente. El recorrido se efectúa de izquierda a derecha.

Nota: es posible investigar la naturaleza de los puntos críticos (máximo o mínimo) con la primera derivada evaluando antes y después del punto crítico y si presenta decrecimiento y luego crecimiento se trata de un mínimo local, en caso contrario se trata de un máximo local.




Si ( ) la función crece, en caso contrario la función decrece.

7) Puntos de inflexión. Se obtienen a través de la segunda derivada de la función, la cual se iguala a cero y las raíces son los valores de la variable independiente de las coordenadas de los puntos de inflexión. Para hallar el par ordenado de dichos puntos es necesario sustituirlos en la regla de correspondencia de la función.

8) Intervalos de concavidad. Dividir el dominio en tantos intervalos de concavidad como puntos de inflexión más uno. Si no existen puntos de inflexión utilizar los intervalos en los cuales la función es continua y ahí tomar los valores de prueba.

Si '' 0pf x la función es cóncava hacia arriba, en caso contrario la función lo es hacia

abajo. Si '' 0cf x , donde xc es la abscisa de un punto crítico entonces el punto crítico es

un mínimo, en caso contrario es un máximo. 9) Asíntotas:

a) Horizontales: es una asíntota horizontal si

xLim f x a

b) Verticales: es una asíntota vertical si

ox a x a

Lim f x Lim f x o si ocurren ambas cosas

c) Oblicuas: La recta es una asíntota oblicua si

y

x x

f xLim a Lim f x a x b

x

Adicionalmente la recta se puede obtener efectuando la división algebraica

P x R x

f x C xQ x Q x

con ( ) como la regla de correspondencia de la asíntota.

10) Bosquejo de la función: trazo empleando el análisis anterior. * El rango algunas veces puede obtenerse al final del análisis. Si se trata de polinomios enteros ya se sabe que el rango de los impares son todos los reales, mientras que si se trata de pares es posible determinar su máximo o mínimo absoluto comparando las ordenadas de los puntos críticos entre sí. A partir del coeficiente término dominante (el que tenga la variable elevada al mayor exponente) se deduce si la función crece o decrece sin límite a medida que la variable independiente toma valores negativos grandes. Entonces con esta información y el máximo o mínimo absoluto se determina el rango.

Ejemplo 2.48 Analizar 3 26 9f x x x x

1) Dominio de la función , por ser un polinomio.

2) Rango de la función , por ser un polinomio de grado impar.

3) Paridad

3 2 3 26 9 6 9f x x x x x x x , f x f x y f x f x

No es par ni impar.

4) Intersecciones con los ejes

a) Intersección con el eje de las ordenadas




0x , 230 0 6 0 9 0 0f

b) Intersección con el eje de las abscisas

0y ; 3 20 6 9x x x , factorizando

20 6 9 3 3x x x x x x , resolviendo 3 0, 0x x 3 0x y x

0 0,1 0,2(0,0); (0,0); (3,0)x y yP P P

5) Puntos críticos

3 2 26 9 3 12* 9

df x dx x x x x

dx dx; igualando a cero la derivada

20 3 4* 3x x ; 0 3 1x x ; 3; 1x x , sustituyendo este valor en la función

3 2 3 2

1 1 6 1 9 1 4; 3 3 6 3 9 3 0f f ; 1 21,4 ; 3,0c cP P

Derivando de nuevo

2

'3 12* 9 6 12

df x dx x x

dx dx

Sustituyendo en la segunda derivada los puntos críticos hallados en [5]

'' 1 6 1 12 6; '' 3 6 3 12 6f f ; 1 21,4 ; 3,0c cP máx P mín

6) Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento)

Intervalo ( ) Comentario

,1x -2 2

'( 2) 3 2 12* 2 9 45; '( 2) 0f f Crece

1,3x 2 2

'(2) 3 2 12* 2 9 3; '(2) 0f f Decrece

3,x 4 2

'(4) 3 4 12* 4 9 9; '(4) 0f f Crece

7) Puntos de inflexión.

Igualando a cero la segunda derivada y resolviendo la ecuación resultante:

'' 6 12 0; 2f x x x , por lo tanto existe solo un punto de inflexión y su par ordenado es:

3 2

2 2 6 2 9 2 2f , 2,2IP




8) Concavidad de la función

Intervalo ( ) Comentario

,2x 0 ''(0) 6 0 12 12; ''(0) 0f f cóncava hacia abajo

2,x 3 ''(3) 6 3 12 6; ''(3) 0f f cóncava hacia arriba

9) Asíntotas:

a) Horizontales:

3 26 9x xLím f x Lím x x x

Por lo tanto, no existen asíntotas horizontales

b) Verticales: No existen asíntotas verticales

c) Oblicuas: No existen asíntotas oblicuas

10) Bosquejo de la función

Figura 2.15

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2 3 4 5

x2=x3=3

Cóncava hacia abajo

Mínimo (3, 0)

x1

Cóncava hacia arriba

Máximo (1,4)

Punto de inflexion (2,2)




Ejemplo 2.49 Analizar

2

2 1

xf x

x

1) Dominio de la función 1/2fD

2) Rango de la función* 2 2 2 22 2xy y x y x xy y y ;

2

1 1y y x y x y y y

1 21 0, 0,1 ; 1 0: 0 1 1,y y S y y y y S , 30 1 ,0y y S , por lo tanto el

rango es:

,0 1, 0,1 0,1R R

3) Paridad

22

1 22 1

f xx xf x f x

xx f x, por lo tanto no es par ni impar.

4) Intersecciones con los ejes

a) Intersección con el eje de las ordenadas

200 0

2 0 1f

b) Intersección con el eje de las abscisas

0 0 0 1 0x

0 0(0,0); (0,0)x yP P

5) Puntos críticos

2 2

2 2

2 1 ' 2 1 ' 2 1'

2 1 2 1

x x x x x xf x

x x;

2 22 2

4 3

2 1 ' 2 1 ' 2'' 2

2 1 2 1

x x x x x xf x

x x

Igualando la primera derivada a cero y resolviendo,

1 20, 1x x , sustituyendo estos valores en la función para encontrar su par ordenado,

0 0; 1 1f f

Si se evalúa la segunda derivada con estos puntos críticos para saber su naturaleza:

'' 0 2; '' 1 1f f , por lo cual 1 20,0 , 1,1Pc máximo Pc mínimo




6) Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento)

Intervalo xp f’(xp) Comentario

,0 -1 4/9 Crece

0,1 1/2 ¼ -3/2 Decrece

1, 2 4/9 Crece

7) Puntos de inflexión. Igualando la segunda derivada a cero,

3

20 2 0

2 1x, no existen puntos de inflexión

8) Concavidad de la función

Tomando el dominio para analizar las concavidades de la función

Intervalo xp f’’(xp) Comentario

,1/2 0 -2 c. abajo

1/2, 1 2 c. arriba

9) Asíntotas:

a) Horizontales:

;x xLim f x Lim f x , por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales

b) Verticales:

1 1

2 2

1/2; ;x x

x Lim f x Lim f x

c) Oblicuas:

2

2

2

/ 2 1 / 4

2 1

/ 2

/ 2 1 / 4

1/ 4

x

x x

x x

x x

, entonces

2 1/ 4/2 1/ 4

2 1 2 1

xx

x x, la asíntota oblicua es




1

2 14

z x ; 0, 1/ 4; 0, 1/2si x z si z x , o también

2

/ 1/22 1 2 1x x

x xLim x Lim

x x;

2 2 21 /21/ 4

2 1 2 2 1x x

x x x xLim x Lim

x x

10) Bosquejo de la función

Figura 2.16

Ejemplo 2.50 Analizar 4 28 16y x x

[1] Dominio de la función fD

[2] Rango de la función* 2

4 2 28 16 4y x x y x ; 2 4 0x y y ; ,0fR

[3] Paridad 4 2 4 28 16 8 16f x y x x x x f x f x , la función es par.

[4] Intersecciones con los ejes

(i) Intersección con el eje de las ordenadas

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

-2 -1 0 1 2

max

min

x=0.5

z=x/2+1/4




si x=0, 4 2

0 0 8 0 16 0 16f f

(ii) Intersección con el eje de las abscisas

si y=0, 2 4 4x y x y

1 4 0 2x ; 2 4 0 2x ; lo cual se confirma porque es una función par,

ordenando las raíces, 1 22; 2x x .

0 1 0 2 0(0, 16); (0, 2); (0, 2)x y yP P P

[5] Puntos críticos

3 21 2 3' 4 16 4 16 4; 0; 4y x x x x x x x ; evaluando en la función para obtener los

pares ordenados: 4 2

2 2 8 2 16 0f , 0 16f y 2 0f , por ser par. Los pares

ordenados de los puntos críticos son: 1 2 32,0 , 0, 16 2,0Pc Pc y Pc

Clasificación de los puntos críticos:

2

'' 2 '' 2 12 2 16 32y y , PC1 y PC3 máximos

'' 0 12 0 16 16y , PC2 mínimo.

[6] Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento)

Intervalo ( ) Comportamiento

, 2 -3 60 crece

2,0 -1 -12 decrece

0,2 1 12 crece

2, 3 -60 decrece

[7] Puntos de inflexión. 2'' 12 16 4/3y x x , con los pares ordenados:

4 2

4/3 4/3 4/3 8 4/3 16 64/ 9f f ; los pares ordenados de los puntos de

inflexión son por lo tanto: 1 24/3, 64/9 , 4/3, 64/9I IP P




[8] Concavidad de la función

Intervalo ( ) Comportamiento

, 4 /3 -2 -32 c. abajo

4 /3, 4 /3 0 16 c. arriba

4 /3, 2 -32 c. abajo

[9] Asíntotas:

(iii) Horizontales: No tiene

(iv) Verticales: No tiene

(V) Oblicuas: No tiene

[10] Bosquejo de la función

Figura 2.17

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1 2 3

PI1 PI2

r1

r2

Pc1=máx

Pc2=mín

Pc3=máx





2

21

xf x

x

[1] Dominio de la función

21 0, 1x x , 1,1fD

[2] Rango de la función*

2

21

xf x

x, despejando x,

22 2 2 2

21 , ;

1

xf x y x y x x y yx

x

2 2 2; 1 ,1

yx yx y x y y x

y

10; 0, 1 0, 1 0,

1

yy y y S

y

20, 1 0, 1 , 1y y y S la solución completa es entonces:

, 1 0,Ry

1,0Ry R

[3] Paridad

22

2 211

x xf x f x

xx, f x f x , la función es par, es decir, es simétrica respecto al

eje de las ordenadas.



00, 0 0

1 0x f


22

20, 0, 0

1

xf x x x

x

0 0(0,0); (0,0)x yP P





2

2 2 2 222

2 22

1 11

; , '1 1

x d dd x x x xdf x xx dx dxf x f xdx dxx x

2 33 3

2 2 22 2 2

2 1 2 2 2 2 2

1 1 1

x x x x x x x

x x x,

2

2

2'

1

xf x

x

2

2

2' 0 ; 2 0, 0

1

xf x x x

x, sustituyendo en la función

2

12

00 0, 0,0

1 0cf P

Derivando de nuevo

22

22 22

22

2

2 121 21

''

1

x d xd d xx xx

dx dxf xdx

x

22 22 2 2 2 2

4 42 2

12 1 4 1 2 1 8 1

''1 1

d xx x x x x x

dxf xx x

2 22 2 2

3 3 32 2 2

2 1 8 2 2 8 2 6''

1 1 1

x x x x xf x

x x x,

2

32

2 6''

1

xf x

x

Sustituyendo en la segunda derivada el PC

2

32

2 6 0 2'' 0 2

11 0

f , mínimo, y 1 0,0cP mín





Intervalo ( ) comentario

,0 1 2

22

2 2 4' 2

91 2

f decrece

0, 1 2

22

2 2 4' 2

91 2

f crece

[7] Puntos de inflexión.

Igualando a cero la segunda derivada y resolviendo,

22

32

2 6 1'' 0; 2 6 0;

31

xf x x x

x, por lo tanto NO existen puntos de inflexión.


Intervalo xp f’’(xp) comentario

, 1x -2

2

32

2 6 2 26'' 2 0

271 2

f cóncava hacia abajo

1,1x 0

2

32

2 6 0 2'' 0 0

11 0

f cóncava hacia arriba

1,x 2

2

32

2 6 2 26'' 2 0

271 2

f cóncava hacia abajo

[9] Asíntotas:

(iii) Horizontales:

2

2 2

22

22 2

1lim lim lim lim 1

1111

x x x x

x

x xf xxx

xx x

lim 1 1x

f x y




(iv) Verticales: 2

21

xf x

x

,

21 0, 1x x

1 21; 1x x

Comportamiento de la curva cerca de las asíntotas verticales

limx a

f x

2

21

lim1x

x

x

2

21

lim1x

x

x

2

21

lim1x

x

x

2

21

lim1x

x

x

Por lo tanto ambos ceros del denominador son asíntotas

(V) Oblicuas: No tiene


Figura 2.18

-6

-4

-2

0

2

4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Mínimo

Cóncava hacia

Cóncava hacia

Cóncava hacia

y=-1

x1=+1 x1=-1





2

2 4

xf x

x

[1] Dominio de la función 2 4 0, 2x x , 2,2fD

[2] Rango de la función*

2

2 4

xf x

x, despejando x,

22 2 2 2

24 , 4 ;

4

xf x y x y x x yx y

x

2 2 2 44 ; 1 4 ,

1

yx yx y x y y x

y

1

40; 0, 1 0, 1 1,

1

yy y y S

y

20, 1 0, 1 ,0y y y S la solución completa es entonces:

,0 1,Ry o bien 0,1Ry R

[3] Paridad

22

2 2 44

x xf x f x

xx, f x f x , la función es par



00, 0 0

0 4x f


22

20, 0, 0

4

xf x x x

x

0 0(0,0); (0,0)x yP P


2

2 2 2 222

2 22

4 44

; , '4 4

x d dd x x x xdf x xx dx dxf x f xdx dxx x




2 33 3

2 2 22 2 2

2 4 2 2 8 2 8

4 4 4

x x x x x x x

x x x,

2

2

8'

4

xf x

x

2

2

8' 0 ; 8 0, 0

4

xf x x x

x, sustituyendo en la función

2

12

00 0, 0,0

0 4cf P

Derivando de nuevo

22

22 22

22

2

8 484 84

''

4

x d xd d xx xx

dx dxf xdx

x

2 2 2 22 2 2

2 2 32 2 2

2 2

8 4 4 28 4 8 4 2 8 4''

44 4

x x xx x x x xf x

xx x

Sustituyendo en la segunda derivada el punto crítico:

2

32

2* 4 4 0 1'' 0

20 4f , máximo

1 0,0cP máx



,0 2

1

2

2

8 1 8' 1 0

91 4

f

crece

0, 2

1

2

2

8 1 8' 1 0

91 4

f

decrece

[7] Puntos de inflexión.

Igualando a cero la segunda derivada y resolviendo,




2

2

32

8 4'' 0; 4 0; 4

4

xf x x x

x, por lo tanto NO existen puntos de inflexión.



, 2x -3

2

32

8 4 3 104'' 3 0

1253 4

f

cóncava hacia arriba

2,2x 0

2

32

8 4 0 1'' 0 0

20 4f

cóncava hacia abajo

2,x 3

2

32

8 4 3 104'' 2 0

1253 4f

cóncava hacia arriba

[9] Asíntotas:

(iii) Horizontales:

2

2 2

22

22 2

1lim lim lim lim 1

4441

x x x x

x

x xf xxx

xx x

lim 1 1x

f x y

(iv) Verticales:

2

2 4

xf x

x

,

2 4 0, 4x x

1 22; 2x x

Comportamiento de la curva cerca de las asíntotas verticales

limx a

f x

2

22

lim4x

x

x

2

22

lim4x

x

x

2

22

lim4x

x

x

2

22

lim4x

x

x




Por lo tanto ambos ceros del denominador son asíntotas

(V) Oblicuas:

No tiene.


Figura 2.19

Ejercicios 2.3.5

Analizar las siguientes funciones

1.4 25 4y x x

4.2 4 2x xy e

2.

3

2 1

xy

x

5.

2

2

1

1

xf x

x

3. 2xf x e 6.

-4

-2

0

2

4

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Máximo (0.0)


Cóncava hacia abajo

y=-1 x1=-2 x1=+2





2.3.6. Método de Newton –Raphson

El método de Newton permite resolver ecuaciones no lineales mediante aproximaciones sucesivas o

iteraciones.

Si ( ) , donde es derivable en un intervalo abierto que contiene , entonces para aproximar se puede seguir la metodología descrita a continuación:

i. Se propone un valor inicial de la raíz la cual puede obtenerse a partir de un bosquejo o bien de las consideraciones físicas del problema ( ).

ii. Se calcula una nueva aproximación con la siguiente fórmula:

( )

( )

Donde es el valor inicial o supuesto y es el valor calculado. Dichos valores se actualizan con cada iteración. Este método permite estimar las raíces de ecuaciones con suficiente exactitud. En los problemas no lineales donde no es posible encontrar de manera exacta el valor de la raíz es necesario un criterio para que se detenga el algoritmo de Newton. Dicho criterio es:

| |

Donde es un valor suficientemente pequeño y se elige con base en el tipo de problema a resolver. El valor de inicio ( ) debe elegirse juiciosamente, ya que de lo contrario no se podría obtenerse la solución.

Ejemplo 2.53 Sea la ecuación

Cuyas raíces son * +

Solución Al aplicar el método de Newton fijando como valor inicial y un criterio de paro :

Se deriva la función:

( )

La actualización de valores se obtiene con la siguiente fórmula:

Entonces, se comienza el algoritmo como sigue:

( )

( )( )

Se calcula la diferencia absoluta entre el valor inicial y el calculado:




| |

Puesto que

Se continúa entonces con las aproximaciones tomando ahora el valor inicial como :

( )( )

De nueva cuenta se calcula la diferencia entre el valor nuevo y el propuesto:

| |

Estas iteraciones se muestran en la siguiente figura:

Figura 2.20 Ilustración del método de Newton para determinar la raíz de un polinomio.

Como aún esta diferencia es mayor que la tolerancia ( ) se actualiza el valor inicial y se calcula uno nuevo:

( )( )

El proceso continuo hasta alcanzar la convergencia deseada, y los resultados se resumen en la siguiente

tabla:

( ) ( ) | |

1.0000 -2.0000 1.0000 3.0000 2.0000

3.0000 4.0000 5.0000 2.2000 0.8000

2.2000 0.6400 3.4000 2.0118 0.1882

2.0118 0.0354 3.0235 2.0000 0.0117

2.0000 0.0001 3.0001 2.0000 0.0000

-4

-2

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4




Por lo cual se concluye que la solución con una tolerancia de 0.0001 es:

Ejemplo 2.54 Sea la ecuación

Solución Al aplicar el método de Newton comenzando con un valor inicial y un criterio de paro

para encontrar una raíz.

Usando el método se obtiene la siguiente tabla de iteraciones:

( ) ( ) | |

1.0000 -1.0000 3.2000 1.3125 -0.3125

1.3125 0.3874 5.8206 1.2460 0.0665

1.2460 0.0212 5.1910 1.2419 0.0041

1.2419 0.0001 5.1537 1.2419 0.0000

Lo cual coincide con la solución analítica hasta la tercera cifra decimal.

Resuelva la ecuación , para comenzando con

Solución

( ) ( ) | |

1.0000 1.7183 2.7183 0.3679 0.6321

0.3679 0.4447 1.4447 0.0601 0.3078

0.0601 0.0619 1.0619 0.0018 0.0583

0.0018 0.0018 1.0018 0.0000 0.0018

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 La solución es comparable al resultado analítico, .

Resuelva la ecuación ( )

con y

Las iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

( ) ( )

( ) ( ) | |

1.0000 0.3415 0.5403 0.3680 0.6320

0.3680 -0.1402 0.9330 0.5183 0.1503

0.5183 -0.0046 0.8687 0.5236 0.0053

0.5236 0.0000 0.8660 0.5236 0.0000

Y la solución analítica es:




( )

{

}

En la cual una raíz es

Ejercicios 2.3.6

Usando el método de Newton-Raphson halle una raíz de las ecuaciones utilizando como valor inicial el sugerido y el criterio de convergencia señalado.

Ecuaciones Valor de inicio

( )

Criterio

| |

Solución

Valor final Núm. iteraciones

1. 1 2.0000 5

2. 1 0.2000 6 3. √ 1 0.4804 3

4. ( ) 100 255.0000 5 5. ( ) √ 1 1.0472 3

2.4. Definición de anti derivada o primitiva El proceso de determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación y

por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una función ( ) cuya derivada

sea ( ),

( ) ( )

Entonces decimos ( ) es una primitiva (o antiderivada) de ( ).

Definición Antiderivada o primitiva

Una antiderivada o primitiva de la función es una función F tal que ( ) ( )

Siempre y cuando ( ) esté definida




En la figura anterior se ilustran las operaciones de derivación y antiderivación,

comenzando con la misma función ( ) y siguiendo en direcciones opuestas.

En la figura anterior se ilustra que la derivaci n “anula” el resultado de la antiderivaci n, la

derivada de la primitiva de ( ) es la función original ( )

Ejemplos de funciones, cada una con sus primitivas

Función ( ) Primitiva ( )

Se tiene la función ( ) , observamos que la antiderivada general de es

. Al

asignar valores específicos a la constante CV, obtenemos una familia de funciones cuyas

gráficas son traslaciones verticales de una a otra.

𝑓(𝑥) 𝐶

Teorema 2.17 si 𝐹 es una antiderivada en un intervalo 𝐼, entonces la antiderivada más general de 𝑓 en 𝐼 es

donde 𝐶 es una constante arbitraria.




-6 -4 -2 2 4 6

1

2

3

4

5

-6 -4 -2 2 4 6

1

2

3

4

-6 -4 -2 2 4 6

-1

1

2

3

-6 -4 -2 2 4 6

-2

-1

1

2

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1-6 -4 -2 2 4 6

-4

-3

-2

-1

Miembros de la familia de Antiderivadas ( )

Figura 2.21




Tabla de fórmulas de antiderivación.

Función Antiderivada

particular Función

Antiderivada particular

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

| |

√

Para obtener la antiderivada más general (en un intervalo) a partir de las particulares de la

tabla anterior, tenemos que sumar una constante.

Ejemplos 2.55 Encuentre la antiderivada de cada una de las siguientes funciones

a) ( )

b) ( )

c) ( ) √

d) ( ) ( )

a) Aplicando

Tenemos ( )

–

( )

( )

b) Aplicando

Tenemos ( )

( )

c) Aplicando

( ) ( )

( ) ( )

( )




d) Aplicando

( ) ( )

( )

Ejercicios 2.4

Determine la antiderivada de las siguientes funciones

1. ( ) 6. ( )

2. ( ) 7. ( )

3. ( ) 8. ( )

4. ( ) √

√ 9. ( )

√

5. ( )

10. ( ) √




3. La integral y sus aplicaciones

3.1. Teorema fundamental del cálculo

Teorema 3.1 Primer teorema fundamental del cálculo.

Si es una función continua en el intervalo cerrado y acotado , - y la aplicación

( ) ∫ ( )

, entonces ( ) es derivable en , -. Además, para todo de , -,

se tiene ( ) ( ).

Definición: Sea una función real definida sobre un intervalo cualquiera , -( ). Se dice que la función real definida y derivable sobre , - es primitiva de si para todo tal que se tiene que

( ) ( ).

Teorema 3.2 Segundo teorema fundamental del cálculo. Si es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado , - y si

( ) ( ) ( )

Entonces

∫ ( )

( ) ( )

Ejemplo 3.1 Calculo de una integral indefinida.

a) ∫ ( )

[

]

(

* (

*

b) ∫ √

∫

0

1

( ) ( )

c) ∫

| ( )




Como utilizar el teorema fundamental del cálculo. 1. Suponiendo que se conozca una antiderivada o primitiva , se dispone de una forma de calcular una

integral definida sin tener que utilizar el límite de la suma. 2. Cuando se aplica el teorema fundamental del cálculo, la siguiente notación resulta conveniente

∫ ( )

( )| ( ) ( )

3. No es necesario incluir una constante de integración en la antiderivada o primitiva ya que

∫ ( )

( ) | , ( ) - , ( ) -

Ejercicios 3.1.

1. ∫ ( )

2. ∫ (

*

3. ∫

√

4. ∫

5. ∫ (√

)

6. ∫ √

7. ∫ | |

8. ∫ ( | |)

9. ∫ ( )

10. ∫

11. ∫

12. ∫ ( )




3.1.1. Reglas básicas de integración

Tabla 3-1Regla basicas de integración

∫

∫

∫ ( ) ∫ ( )

∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( )

∫

∫

| |

∫

∫ ( )

Integrales con la forma

∫

∫

∫ | |

∫ | |

∫ | |

∫ | |

∫

∫

∫

∫

∫

∫

|

|

Integración por sustitución

Una forma de ver los problemas del cálculo de integrales es a través de una sustitución para identificar que

formula podríamos aplicar, de las formulas conocidas ejemplo ∫ , ∫ , ∫ , etc.

Ejemplo 3.2 Con la siguiente sustitución y , podemos hacer lo siguiente

∫( )

∫

Pero en muchas ocasiones este tipo de susticiones no es posible llevarla a una formula conocida, veamos

que ∫ √ no se puede ajustar directamente a ninguna de las formulas de la Tabla 3-1.

Ejemplos para usar la sustitución




Ejemplo 3.3. Evaluar la siguiente integral ∫ √ .

Solución Primero hacemos entonces la integral la podemos replantear en términos de la

variable , de la siguiente manera

( )

( )

( ) √

Sustituyendo se obtiene la siguiente expresión

∫ √

∫( )

∫( )

(

*

( )

( )

( )

Derivando √ podemos verificar que el resultado es correcto el lector podría comprobar este

resultado como un ejercicio.

La sustitución de cual sustitución podemos usar en caso de haber alguna, recuerde que no siempre es

evidente.

3.1.2. Definición de la integral definida Diferencial del área bajo la curva.

Sea la función continua y x y sea, la ecuación de la curva AB . Si CD es una ordenada fija,

MP una ordenada variable y la medida del área CMPD . Cuando x toma un incremento

pequeño x , toma un incremento (=área MNPQ ). Completando los rectángulos MNRP

y MNQS , vemos que:




Figura 3.1

Area MNRP área MNQP área MNQS

O sea ; Y dividiendo entre ;

Ahora hágase tender x a cero entonces NQ tiene como límite a MP y puesto que y x es

una función continua de x , tenemos:

d

y xdx

En forma diferencial d y x dx

El diferencial del área es igual al producto del la función que describe la curva por el

diferencial de la variable independiente.

Integrando y resolviendo:

d y x dx

y x dx

Si y x dx f x c f x c

Para determinar c , sabemos que 0 si x a .




Sustituyendo 0 f a c c f a f x f a

La diferencia de valores de la integral y x dx , para x a y x b da el área limitada por

la curva cuya ordenada es " "y x , el eje de las " "x y las ordenadas correspondientes a

" "x a y " "x b . La cual representamos por el símbolo:

b

a

bb

aa

y x dx

y x dx f x c f b c f a c f b c

f a c

b

a

y x dx f b f a

Ejemplo 3.4. Resolver

4

2

1

x dx

44 32

1 1

64 121

3 3 3

xx dx

Ejemplo 3.5. Resolver 0

sen x dx

0

0

cos 1 1 2sen x dx x

Ejemplo 3.6. Resolver 2 2

0

adx

a x

2 2

0 0

1 1 1arctan arctan 1 arctan 0

4

aadx x

a x a a a a a

Ejemplo 3.7. Resolver

00 0

2 2

11 1

1 3 2ln 0.134119826

4 9 9 4 12 3 2

dx dx x

x x x

Nota: Cuando el resultado sea negativo será porque el área está por debajo del eje " "x .

Ejercicios 3.1.2. Verifica las siguientes integrales definidas:




1. 4

2 3

04

aa

a x x dx 2. 1

1

edx

x

3.

1

0

3 13 2

dx

x

4.

3

2

2

2ln 2

1

zdz

z

5. 2 3

0

8ln 3

1 3

x dx

x

6. 2 2

02

rrdx r

r x

7. 2

2

06

aa

a x dx 8.

4 2

0

5.60941

x dx

x

9.

1

3

0

0.3167x

dx

e 10.

2

0

cos 1d

11. 0

2 2cos 4d

12. ∫

3.2. Integrales impropias

Limites infinitos:

Hasta aquí se ha supuesto que los límites de la integral son finitos y en algunos casos no se tiene esa restricción y debemos considerar integrales con límites infinitos para lo cual emplearemos las siguientes definiciones:

Cuando el límite superior es infinito lim

b

ba a

g x dx g x dx

Y cuando el límite inferior es infinito lim

b b

aa

g x dx g x dx




Ejemplo 3.8. 2

1

dx

x

Figura 3.2

2 2

11 1

1 1lim lim lim 1 1

bb

b b b

dx dx

x x x b

Ejemplo 3.9. 3

2 2

0

8

4

a dx

x a

Figura 3.3

Nota: la gráfica se realizó con 3a

3 32 2 2 2

2 2 2 2

00 0

8 8lim lim 4 arctan lim 4 arctan 4 2

4 4 2 2 2

bb

b b b

a dx a dx x ba a a a

x a x a a a




Ejemplo 3.10.

1

dx

x

Figura 3.4

1

1 1

lim lim ln lim ln 0 lim ln El límite NO existe.

bb

b b b b

dx dxx b b

x x




Integrales Impropias.

Cuando y g x es discontinua, Consideremos ahora casos donde la función a integrar

es discontinua para valores aislados de la variable dentro de los límites de integración. Primero, el caso en el que la función que vamos a integrar es continua para todos los valores de x entre los

límites a y b , excepto en x a .

Si a b y es positivo, empleamos la siguiente definición:

0

lim

b b

a a

g x dx g x dx

Ahora cuando g x es continua excepto en x b

0

lim

b b

a a

g x dx g x dx

Siempre y cuando los limites existan.

Ejemplo 3.11. Calcular 2 2

0

adx

a x se vuelve infinito cuando x a

2 2 2 20 0 0

00 0

lim lim lim 1 12

aa adx dx x

arcsen arcsen arcsena aa x a x

Ejemplo 3.12. Calcular

1

2

0

dx

x se vuelve infinito cuando 0x

11 1

2 20 0 0 00 0

1 1 1 1lim lim lim lim 1 El límite NO existe.

1

dx dx

x x x

Si c es un valor que está entre a y b y g x es continua excepto en x c y siendo

'y números positivos, la integral entre a y b se define por:

0 ' 0

'

lim lim

b c b

a a c

g x dx g x dx g x dx

Siempre y cuando existan ambos límites.




Calcular

3

22 2 3

0

2

a

xdx

x a La función es discontinua para x a , el cual es un valor en el

intervalo 0,3a , por lo cual emplearemos la definición anterior

3 3

2 2 20 ' 02 2 2 2 2 23 3 3

0 0 '

31 1

2 2 2 23 3

0 ' 00 '

2 2 2 22 232 2 23 33 3 3 3

0 ' 0

2 2 2lim lim

lim 3 lim 3

lim 3 3 lim 3 8 3 ' 3 6 9

a a a

a

a a

a

x x xdx dx dx

x a x a x a

x a x a

a a a a a a a a a

Ejemplo 3.13. Calcular

2

2

0

a

dx

x a esta función se vuelve infinito para x a un valor en el

intervalo 0,2a

2 2

2 2 20 ' 0

0 0 '

2

0 ' 00 '

0 ' 0

lim lim

1 1lim lim

1 1 1 1lim lim

'

a a a

a

a a

a

dx dx dx

x a x a x a

x a x a

a a

Los limites anteriores no existe, por lo que la integral anterior no tiene significado.




Ejercicios 3.2. Comprueba los resultados propuestos:

1) 2

01 2

dx

x

2) 2

142 1

dx

x x

3)

5

1

44

35

xdx

x

4) 2 2 2

02

dx

a b x ab

5)

2

2 2

1

13

44

dx

x x

6) 2

0

1

2

xxe dx

7)

0

1axe dxa

8)

3

21

2

1

dx

x

9) 2

2

2 2

0

1

4

a

x dxa

a x

10) 2 2 2

dx

x x

11)

2

2

1

1

41

xdx

x

12)

22

2 2

a

a

x dx

x a

3.2.1. Integración por sustitución y cambio de variable

El método de integración por susti tución o cambio de var iable se basa en la der ivada de la función compuesta

∫ ( ) ( ) Para cambiar de var iable ident i f icamos una par te de lo que se va a in tegrar con una nueva variable t , de modo que se obtenga una integral más senci l la .

Pasos para integrar por cambio de variable

∫ ( )

Primero: Se hace el cambio de var iable y se d iferencia en los dos términos:

Se despeja y , sust i tuyendo en la in tegral :




∫ ( ) ∫ ( )

Segundo: Si la integral resul tante es más senci l la , in tegramos:

∫ ( ) ( )

Tercero: Se vuelve a la variable inicial :

( ) ( )

Ejemplo 3.14. ∫

√

∫

, -

∫*

+

∫ ( )

*

+

√

∫

√

(√

)

(√

)

(√

)

Cambios de var iables usuales

1. ∫ . √ /

2 . ∫ . √ /

3 . ∫ . √ /

4 . ∫ 0 √

1

5 . En las funciones racionales de radicales con dist intos índices , de

un mismo radicando l ineal , e l cambio de var iable es e levado a l mínimo común múl t ip lo de los índices.




6. Si ( ) es par:

Cambio

√

√

√

7. Si ( ) es impar:

Cambio

.

/

Ejemplos 3.15. ∫

√( )

Primero hacemos el cambio de variable , sustituyendo obtenemos

∫

√( ) ∫

√( )

∫( )

∫

∫

∫ ∫

Tomando en cuenta que

( ) ( )

√

( ) √ , -2 √

∫

√( ) ( ) √




Ejemplo 3.16. ∫

Pr imero hacemos el cambio de var iable

sust i tuyendo

obtenemos

∫

∫

∫

∫

* (

√ *

+

√

∫

√

[

√ ]( )

√

√

√

[

√ ]

Ejemplo 3.17. ∫

√

Pr imero hacemos el cambio de var iable

, sust i tuyendo

obtenemos

∫

√

[

]

∫

√( )( ) ( )

( )

∫

√

√ ∫

√

√ 0

1

Ejemplo 3.18. ∫ √

√

Pr imero hacemos el cambio de var iable , sust i tuyendo obtenemos

∫

∫( )

√

∫

√

√




Ejemplo 3.19. ∫

√


∫

√ ∫

∫

√ .

/

√

√

Ejemplo 3.20. ∫

√


∫

√

∫

√ ( )

∫

( )

∫

∫

∫ ( )

0

1

0 0 11

3.2.2. Integración de funciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas

Función exponencial

Teorema 3.3 Reglas de integración para funciones exponenciales


∫ ∫




Ejemplo 3.21. Integración de funciones exponenciales

Encontrar ∫

Solución Si , entonces .

∫

∫ ( )

∫

Ejemplo 3.22. Encontrar ∫

Solución Si se tiene , entonces o .

∫ ∫

( )

∫ (

*

∫

Ejemplo 3.23.

a) ∫

⁄

∫ ⁄ (

*

b) ∫ ∫ ( )

Ejercicios 3.2.2. Exponenciales

1. ∫ 2. ∫

3. ∫ ( ) 4. ∫ √

√

5. ∫

6. ∫

7. ∫

( ) 8. ∫ √




9. ∫ ( ) 10. ∫ ( )

11. ∫

12. ∫ ( ) √

13. ∫

14. ∫

Trate de desarrollar los siguientes conceptos

15. Con sus propias palabras, enunciar las propiedades de la función exponencial natural.

16. ¿Existe una función tal que ( ) ( )?, Si es así, ¿cuál es?

17. Sin integrar, enunciar la fórmula que podría utilizarse para efectuar las integrales siguientes:

) ∫

) ∫

18. Considere la función ( )

a) Usar una herramienta de graficación para graficar . b) Escribir un párrafo corto explicando por qué la gráfica tiene una asíntota horizontal

en y por qué la función tiene una discontinuidad no desmontable en

19. Al ser para , se tiene que ∫

∫

. Efectuar esta integración para

deducir la desigualdad para

20. Discuta con su profesor la relación entre las gráficas de ( ) y ( ) .

Función logaritmo natural

Teorema 3.4 Reglas de integración para la función logaritmo natural


∫

| | ∫

| |

Ejemplo 3.24. Uso de la regla logaritmo para integración

∫

∫

( )

Como no puede ser negativa, el valor absoluto no es necesario en la forma final de la primitiva o

antiderivada.




Ejemplo 3.25.

Hallar ∫

Solución Si tomamos a , entonces .

∫

∫(

*

∫

| |

| |

Ejemplo 3.26. Cálculo de áreas con la regla de logaritmo

Encontrar el área de la región limitada por la gráfica de

Solución si tomamos a , entonces . Para aplicar la regla de logaritmo, se debe multiplicar

y dividir por 2, de la siguiente manera

∫

∫

[

( )]

∫

| |

( )

Ejemplo 3.27.

a) ∫

| |

b) ∫

| |

c) ∫

∫

| |

d) ∫

∫

| |




Ejemplo 3.28. División larga antes de integrar

Encontrar ∫

Solución

∫

∫.

/

∫

∫

( )

Ejemplo 3.29. Cambio de variable con regla de logaritmo

Encontrar ∫

( )

Solución Tomando como , entonces y .

∫

( ) ∫

( )

∫(

*

∫

∫

| | (

)

| |

| |

Ejemplo 3.30. Obtención de la fórmula de la secante

hallar ∫

Solución

∫ ∫ (

*

∫

Ahora el alumno podrá observar que el denominador de este cociente se puede obtener de la siguiente

manera

.

Por lo que podemos proceder como sigue:




∫ ∫

∫

| |

| |

Ejercicios 3.2.2. Función logaritmo natural

1. ∫

2. ∫

3. ∫

4. ∫

5. ∫

6. ∫

( )

√

7. ∫

( )

8. ∫

9. ∫

10. ∫

3.2.3. Integración de funciones trigonométricas e inversas trigonométricas

Como ya se ha dicho antes, de cada fórmula de derivación se deduce una fórmula correspondiente de integración. De las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, obtenemos el siguiente teorema que da algunas fórmulas de integrales indefinidas:

Teorema:

I. ∫

√

II. ∫

III. ∫

√

Ejercicios resueltos

Ejemplo 3.31. ∫

Solución.

∫

∫

( ) ( ) ( ( ) )




Ejemplo 3.32. ∫

Solución.

∫

∫

∫

0 1

∫

0 1

*√

+

∫

(

√

) (

√

) ( ( ) )

∫

√

√ ( )

Ejemplo 3.33. ∫

Solución.

∫

∫

(√ )

√

√ ( ( ) )

∫

√

√

Ejemplo 3.34. ∫

Solución.

∫

∫

( ) ∫

( )

∫

(

* (

* ( ( ) )

Ejemplo 3.35. ∫

Solución.

∫

∫

( ( ) )




3.2.4. Integración al completar el TCP.

En las formulas

2 2

2

2

2 2

2 2

1

ln

1ln

2

g xdgarctg c

a ag x a

dgg x g x a c

g x a

a g xdgc si g x a

a a g xg x a

2

2

Involucran expresiones de Segundo grado con solo dos términos, en el primer caso en el denominador y en el segundo caso dentro del radical. Si en una integral del tipo anterior con solo diferencia en el número de términos, que ahora sean tres, esta última se puede reducir a las formulas mencionadas con tan solo completar el trinomio cuadrado perfecto:

Ejemplo 3.36. 2 2 5

dx

x x

Sumamos y restamos 1 en el denominador 2 2 51 1

dx

x x ahora los tres primeros forman

un trinomio cuadrado perfecto. El cual factorizamos y los últimos dos términos se reducen quedando

2 2 21 4 1 2

dx dx

x x

para la cual emplearemos la primera formula SIEMPRE

DEBEMOS CUIDAR EL DIFERENCIAL

2 2 2

1 21 4 1 2

dx dxg x x dg dx a

x x

2 2

1 1

2 21 2

dx xarctg c

x

Ejemplo 3.37. 2

2

2

dx

x x

Trabajamos con el trinomio que está en el interior del radical 22 x x , acomodando

2 2x x factorizamos el signo 2 2x x completamos el TCP en el interior del corchete

2 1 1

42

4x x

los tres primeros dentro del corchete son un trinomio cuadrado perfecto y

los factorizamos como tal y los últimos dos términos se reducen. 2

1 9

2 4x

Ahora introducimos el signo

21 9

2 4x

acomodando

29 1

4 2x




Regresamos a la integral con la última expresión dentro del radical

2

2

9 1

4 2

dx

x

En la que podemos aplicar la segunda fórmula teniendo extremo cuidado

en encontrar todos los elementos 1 3

;2 2

g x x dg dx y a

2 2

1 2 12 2 12 22 2 2 2

3 3 39 1 9 12 2

4 2 4 2

xx

dx dx xarcsen c arcsen c arcsen c

x x

Ejemplo 3.38. 23 4 7

dx

x x Trabajamos con el denominador

Factorizamos el tres en el denominador 2 4 7

33 3

x x

Completamos el TCP en el interior del corchete 2 4 4

9 9

4 73

3 3x x

Factorizamos los tres primeros en el interior del corchete y reducimos los dos últimos 2

2 253

3 9x

Regresamos a la integral con la última expresión en el denominador

22 25

33 9

dx

x

El tres sale de la integral en el denominador 2

1

3 2 25

3 9

dx

x

para

la cual podemos aplicar la tercer formula con los elementos: 2 5

;3 3

g x x dg dx y a

2

2 5

1 1 1 3 2 53 3ln ln2 53 10 10 3 2 52 253 33 9

xdx x

c cx

xx




Ejemplo 3.39. 2

3 1

4 9

xdx

x

Estas integrales se deben separar en dos integrales que serán

dos casos ya vistos

2 2 2

3 1 3 1

4 9 4 9 4 9

x xdx dx dx

x x x

La primera integral es un simple cambio de variable o cambio de función

12 2

2

1

122 22

3 3 3 34 9 8

4 9

3 3 34 9 4 9

18 4 4

8

8 8 8

2

x x dx dhdx si h x x dh x dx h x dh

h x h xx

h xc x c x c

La segunda integral

2

1

4 9dx

x

se resuelve con la segunda fórmula vista en este tema solo hay que tener cuidado con encontrar el diferencial adecuado y completarlo en la integral:

2 ; 2 3g x x dg dx y a

2

2 2 2 2

1 1 2 1 1ln 2 4 9

2 2 24 9 2 9 3

dx dgdx x x c

x x g x

Unimos ambas soluciones

2 2

2

3 1 3 14 9 ln 2 4 9

4 24 9

xdx x x x c

x

Ejemplo 3.40. 2

2 3

3 4 7

xdx

x x

Trabajamos con el denominador completando el TCP como

lo vimos anteriormente

2

2 24 7 4 7 2 253 3 3

3 3 3 3 3 9

4 4

9 9x x x x x




De aquí realizamos un cambio de variable, siendo 2 2

3 3u x x u y du dx

Y realizamos las sustituciones en la integral como se muestra enseguida:

22 2 2 2

22

2 4 13 6 132 3 2 3 22 3 3 3 3 3

25 25 25 252 25 3 3 3 339 9 9 93 9

6 13 1 6 13

2525 99

99

uu u ux

dx du du du du

u u u ux

u udu du

uu

La última integral se puede realizar como la vista anteriormente separando en dos integrales

2 2 2

1 6 13 1 6 1 13

25 25 259 9 9

9 9 9

u udu du du

u u u

Resolvemos primera integral

2

1 6

259

9

udu

u

Realizamos un cambio de variable o función 2 25

29

g x u dg udu

2

2

2 2

2

1 3 2 3 2 1 1 1 25 1 2 25ln ln ln

25 259 9 3 3 3 9 3 3 9

9 9

1 4 7ln

3 3 3

udu udu dgg x c u c x c

g xu u

x x c

Resolvemos la segunda integral aplicando directamente la formula correspondiente

2 2

1 13 13 13 3 3ln

25 259 9 30 3 7

9 9

du xdu c

xu u

Unimos las dos respuestas parciales para resolver la integral original

2

2

2 3 1 4 7 13 3 3ln ln

3 4 7 3 3 3 30 3 7

x xdx x x c

x x x




Ejercicios 3.2.4. comprueba los resultados propuestos

1) 2

1 1ln

4 3 2 3

dx xc

x x x

2) 2

1 1

2 10 3 3

dx xarctg c

x x

3) 2

3 4

8 25 3

dx xarctg c

x x

4) 2

2 33 2

dxarcsen x c

x x

5) 2

1 5ln

6 5 4 1

dv vc

v v v

6) 22 1

2 2 1

dxarctg x c

x x

7)

2

2

1 2ln 1

1

x dxarctg x x c

x

8) 2 2

2

2 12 1 ln 1

1

x dxx x x c

x

9)

2

2

11

1

x dxx arcsen x c

x

10)

2

2

3 1 3 1ln 9

9 2 3 3

x dx xx arctg c

x

11) 2

2

3 23 9 2

39

r dr rr arcsen c

r

12) 2 2

2

34 3ln 4

4

x dxx x x c

x




3.3. Técnicas de integración

El cálculo diferencial nos ha proporcionado una regla general para obtener la derivada y la

diferencial. El cálculo integral no da una regla general correspondiente, que pueda

aplicarse fácilmente en la práctica para la operación inversa de la integración. Cada caso

necesita un trato especial, y se llega a la integral de una expresión diferencial dada por

medio de nuestro conocimiento de los resultados de la diferenciación. Cada método de

integración es un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo, se

forman tablas de integrales conocidas, que se llaman tablas de integrales inmediatas. Para

efectuar una integración cualquiera, comparamos le expresión diferencial dada con las

tablas. Si se encuentra registrada en ellas, se sabe la integral, si no está registrada,

miraremos, por varios métodos, de reducirla a una de las formas registradas. Como

muchos de los métodos se sirven de artificios que sólo la práctica puede sugerir, una gran

parte de nuestro texto se consagrará a la explicación de métodos para integrar las

funciones que se encuentran frecuentemente en la resolución de problemas prácticos.

Figura 3.5

3.3.1. Integración por partes

Sean ( ) ( ) dos funciones variables en un intervalo [a, b] o en todo R.

Es decir: ( )

De donde: ( )

Integrando los dos miembros de la igualdad

∫ ∫ ( ) ∫




La expresión obtenida, se denomina fórmula de integración por partes, se utiliza para

transformar una integral en otra. Transformación que será útil como método de integración

cuando la integral del segundo miembro sea inmediata o, al menos más sencilla que la

primer integral.

Las integrales que podemos resolver con este método son:

a) Integrales de la forma: ∫ ∫

b) Integrales de la forma: ∫ ∫ ∫

c) Integrales de la forma: ∫

d) Integrales de la forma: ∫ ∫

e) Integrales de la forma: ∫ ∫

f) Integrales de la forma: ∫ ∫

Normalmente se recomienda tomar como u = funciones logarítmicas, arco seno, arco

coseno, arco tangente, y polinómicas, dv = funciones trigonométricas y funciones

exponenciales.

Caso I. integrales en las cuales al aplicar la fórmula de integración por partes

∫ ∫ la integral del segundo miembro ∫ es inmediata.

Ejemplo 3.41. ∫

∫ ∫

∫ ( )

| |

Ejemplo 3.42. ∫

∫ ∫ ∫

( )




Ejemplo 3.43. ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Ejemplo 3.44. ∫

∫ ∫ | ∫

Ejemplo 3.45. ∫ √

( ) ⁄

( )

∫ √

∫

( )

∫

( )

( )

( )

( )

( )

Ejemplo 3.46. ∫




∫ ∫

∫

∫

Ejemplo 3.47. ∫

∫ ∫

∫

∫

Al resolver

∫

Recordar

∫ [

]

∫

∫

∫

Ejemplo 3.48. ∫

( )

Multiplicamos el numerador y el denominador por

∫

( ) ∫

( )

( )

Al resolver ∫

( ) , Si

Entonces ∫

∫

y Finalmente podemos obtener lo siguiente




∫

( ) ∫

∫

( ) ∫

( ) ∫

( ) ∫

( )

Ejemplo 3.49. ∫

( ) Sabemos que ( )

∫

( ) ∫

( )

( )

∫ ( ) ( )

( )

∫ ( )

( ) ∫

( )

( )

∫ ∫

( )

∫ ( )

( )

( )

( )

∫

( ) ∫ ( )

* ∫

∫

( ) +

*

∫

( ) +

*

∫ +

(

)




Caso II. En este caso, al aplicar la fórmula de integración por partes, la integral del

segundo miembro ∫ aún no es inmediata, por lo que es necesario volver a aplicar

nuevamente el método a dicha integral.

Ejemplo 3.50.

∫

∫ ∫ ∫

∫

Observamos que la integral ∫ no tiene solución inmediata. Sin embargo es más

fácil de resolver que la inicial. Esta nueva integral la resolvemos utilizando de nuevo la

técnica de integración por partes.

[ ∫ ∫ ]

Finalmente se tiene la siguiente solución

∫ ( )

Ejemplo 3.51. ∫

∫ ∫

∫

Al resolver la nueva integral ∫ tenemos:




∫ ∫

[ ∫

]

∫

Ejemplo 3.52.

∫

∫ ∫

∫

∫

Al integrar ∫ por partes

∫

[∫

∫

]

∫

Ejemplo 3.53. ∫

∫ ∫ ∫

∫




Al integrar por partes ∫

∫ ∫ ∫

Ejemplo 3.54. ∫

∫

∫

∫

∫

Al integrar por partes ∫

tenemos:

∫

( ∫

∫

*

∫

Al integrar: ∫

nuevamente por partes se tiene:




∫

( ∫

∫

*

.

/

Caso III. En este caso, al aplicar la fórmula de integración, la integral del segundo

miembro∫ no es inmediata, pero es la misma que se esta buscando inicialmente, por

lo que las agrupamos en el primer miembro para despejar la integral a resolver

inicialmente.

Ejemplo 3.55. ∫

( )

∫ ∫ ∫ ( )

( ∫ ∫ *

( ∫ ∫ *

( ∫( ) ∫ *

( ∫ ∫ ∫ *

∫ ∫ ∫

∫

Nos damos cuenta que la última integral es la que inicialmente queremos resolver por lo

tanto para facilitar la solución podemos decir que proceder de la siguiente manera

∫

∫

∫




Ejemplo 3.56. ∫

∫ ∫ ∫

∫

Al resolver por partes la nueva integral tenemos:

∫ ∫ ∫

∫

Se puede observar que vuelve a aparecer la misma integral del lado derecho por lo que

∫ ∫

∫

∫

Ejemplo 3.57. ∫

∫

∫

( )

∫

∫




(∫

∫

)

(

∫ )

∫

Si ∫

( )

∫

Ejercicios 3.3.1.

∫ R.

∫ R.

∫ R. ( )

∫ R. ( )

∫ R.

∫ R. ( )

√ ( )

∫ R. (

∫ R. .

/ .

/

∫ R.




∫ R.

∫ R.

∫ R.

∫ √ R.

( )

( )

( )

∫

R. –

∫ R.

∫ R. ( )

∫ R.

∫ R.

√

√

3.3.2. Integración de potencias de funciones trigonométricas

Ahora se considerara la integración de diferenciales trigonométricas que se presentan con

frecuencia y que pueden integrarse fácilmente, transformándose en integrales inmediatas

por medio de reducciones trigonométricas sencillas.

Figura 3.6

Integrales de la forma ∫

I. Si es impar:

Dado que es par, el primer término del segundo miembro será una potencia de

y se podrá expresar en potencias de sustituyendo

(despeje de (a)).




II. Si es impar

Dado que es par, el primer término del segundo miembro será una potencia de

y se podrá expresar en potencias de sustituyendo

(despeje de (a)).

Ejemplo 3.58.

∫ ∫

∫ ( )

∫ ∫

Ejemplo 3.59.

∫ ∫ ∫( )

∫( ) ∫( )

∫ ∫ ∫

Ejemplo 3.60.




∫ ∫ ∫( )

∫( )

∫, -

∫ ∫ ∫ ∫


En el caso de que sean un número entero positivo par, esta integración puede

practicarse por medio de las transformaciones sencillas utilizando las relaciones (b) y (c).

Ejemplo 3.61.

∫ ∫( ) ∫(

*

∫( )

∫( )

∫

∫

∫

(

*

∫

∫

Ejemplo 3.62.




∫ ( ) ∫(

*

∫

∫ ( )

Ejemplo 3.63.

∫.

/

∫.

/

.

/

∫(

*

∫(

*

∫

∫

∫

∫.

/

∫

∫




Ejemplo 3.64.

∫ ∫( ) ∫(

)

∫

∫

∫

∫

∫

∫(

*

∫

∫

∫

∫( )

∫

∫


En el caso de que sean un número entero positivo impar, no importa lo que sea el

otro, esa integración puede practicarse por medio de transformaciones trigonométricas.

Ejemplo 3.65.

∫ ∫ ∫

∫ ( )

∫ ∫




Ejemplo 3.66.

∫ ∫ ∫

∫ ( )

∫ ∫

Ejemplo 3.67.

∫( )√ ∫

∫

∫ ( )

∫ ∫

∫ ∫

(

*

(

)





Cuando y son ambos números pares, enteros y positivos, la expresión diferencial

dada puede transformarse, por sustituciones trigonométricas, en una expresión que

contiene los senos y cosenos de ángulos múltiplos (b) y (c).

Ejemplo 3.68.

∫ ∫( ) ( )

∫(

) (

)

∫( ) ( )

∫( ) ( )

∫( )

[∫ ∫ ∫ ]

*∫ ∫

∫(

*

+

[∫ ∫ ∫

∫( ) ]

[ ∫

∫

∫

∫

]

[ ∫

∫

∫

∫

∫ ]

[

]




Ejemplo 3.69.

∫ ∫( )

∫(

) (

*

∫(

) (

*

∫( )( )

∫( )

∫

∫

∫

∫

∫( )

∫( )

∫( )

∫(

*

∫( )

∫(

)

∫

∫

∫

∫

∫

∫(

*

∫

∫




Ejemplo 3.70.

∫

∫(

)

∫(

) (

*

∫(

) (

*

∫(

)(

*

∫( )( )

∫( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫( )

∫

∫




Integrales de la forma ∫ ∫

Figura 3.7

“si , realizamos la descomposición:

Utilizamos las identidades trigonométricas de la Figura 3.7, sustituimos y resolvemos

Ejemplo 3.71.

∫ ∫

∫( )

∫ ∫

∫ ∫

∫( ) ∫

∫ ∫ ∫

( )

Ejemplo 3.72.




∫ ∫

∫( )

∫ ∫

∫( )

∫ ∫

( )

Ejemplo 3.73.

∫ ∫

∫( )

∫ ∫

∫ ∫( )

∫( )

∫( )

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫( )

∫ ∫

Ejemplo 3.74.




∫ ∫

∫( )

∫( )

∫( )

∫ ∫ ∫ ∫

Resolviendo I.

∫ ∫ ∫( )

∫( )

∫( )

∫ ∫ ∫

Resolviendo II.

∫ ∫

∫( )

(∫ ∫ *

[

]

Resolviendo III.

∫ ∫




Resolviendo IV.

∫ ∫( )

∫ ∫

Finalmente tenemos el siguiente resultado

∫


es par, se realiza la descomposición:

Se utilizan las identidades:

Ejemplo 3.75.

∫ ∫




∫( )

∫ ∫

Si es impar. Se realiza la descomposición y se integra por partes. Ejemplo 3.76.

∫ ∫

∫ ∫

∫( )

∫ ∫ (Este tipo de integrales ya es conocida (caso III, por partes))

Finalmente tenemos: ∫

( ( )


Si la potencia de la tangente es impar y positiva, se conserva un factor secante-

tangente y el resto de los factores se convierte en secantes y para el caso de la

cotangente se conserva un factor cosecante-cotangente y el resto se convierte en

cosecantes. Después se desarrolla y se integra.

Ejemplo 3.77.

∫ ∫




∫( )

∫ ∫

Ejemplo 3.78.

∫ ∫

∫( )

∫ ∫

Ejemplo 3.79.

∫ ∫

∫

∫( )

∫ ∫

Ejemplo 3.80.

∫ ∫




∫

∫( )

∫ ∫

Ejemplo 3.81.

∫ ∫

∫

∫( )

∫( )

∫( )

∫

∫ ∫ ∫

+c

Ejemplo 3.82.




∫ ∫

∫( )

∫ ∫


Si la potencia de la secante es par y positiva, se conserva un factor secante cuadrada y

el resto de los factores se convierte en tangentes, para el caso de la cosecante se

conserva el factor secante cuadrada y el resto se convierte en cotangentes. Después se

desarrolla y se integra.

Ejemplo 3.83.

∫ ∫

∫

∫( )

∫ ∫

( )




Ejemplo 3.84.

∫

∫

∫

.

/

∫

∫

Ejemplo 3.85.

∫

∫

∫

(

)

∫

∫

Ejemplo 3.86.

∫ ∫

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

∫ ∫




Ejemplo 3.87.

∫ ∫

∫ ( )

∫ ∫

Ejemplo 3.88.

∫ ( )

( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( ( )) ( )

∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Ejemplo 3.89.

∫√ ∫√

∫ ( )

∫ ∫




Ejercicios

∫ R.

∫ R.

∫

R.

∫ R.

+

∫ R.

+

∫

∫

Ejercicios propuestos

∫ R.

∫

∫ R.

∫ R.

∫

∫

Ejercicios propuestos

∫ R.

( )

∫ R.




∫ R.

∫ R.

∫

R.

(

)

∫ R.

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫




3.3.3. Integración por sustitución trigonométrica

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas. Existen 3 casos diferentes, y por lo tanto 3 cambios de variable distintos.

Sustitución trigonométrica ( )

I. Para las integrales que contienen √ , sea

Entonces √ ,

Donde

II. Para las integrales que contienen √ , sea

Entonces √ ,

Donde

III. Para las integrales que contienen √ , sea

Entonces

√ {

Donde

Nota: La restricción sobre nos asegura que la función que define la sustitución sea una función inyectiva.




Ejemplo 3.90. Sustitución trigonométrica:

Encontrar ∫

√

Solución Primero, debemos notar que no hay regla básica de integrales la cual podamos aplicar.

Para poder usar la sustitución trigonométrica, veamos que √ es de la forma √ . Asi que se

puede utilizar la sustitución

Derivando y utilizando el triángulo de la figura, se obtiene

√

Sustituyendo los términos trigonométricos obtenemos lo siguiente:

∫

√ ∫

( )( )

∫

∫

(√

)

√

Ejemplo 3.91. Sustitución trigonométrica:

Encontrar ∫

√

Solución Sea , como se muestra en la figura, Entonces tenemos que:




√


∫

√

∫

∫

| |

|√ |

Ejemplo 3.92. Sustitución trigonométrica: potencias racionales

Encontrar ∫

( )

Solución Empezando escribiendo ( ) como

(√ ) . Entonces:

Sea y como se muestra en la figura y usamos

√


∫

( ) ∫

(√ )

∫

∫

∫

√

Algunas ocasiones es necesario cambiar los límites de integración pero esto se debe realizar con cierto

cuidado el alumno deberá checar estas situaciones cuando sea el caso, el siguiente ejemplo nos muestra tal

situación




Ejemplo 3.93 Transformación de los límites de integración

Evaluar ∫√

√

Solución Primero veamos que √ tiene la

forma √ entonces podemos considerar

√ √ √

Ahora para determinar los límites superiores e inferiores de la integral, usemos la situación √ de

la siguiente manera:

Límite inferior Límite superior

Cuando √

Cuando

√

Así tenemos lo siguiente

∫√

√

∫(√ )(√ )

√

∫ √

√ ∫ ( )

√ , -

√ (

√

*

Algunas sustituciones trigonométricas pueden usarse completando el cuadrado. Por ejemplo, al evaluar la

siguiente integral: (primero podemos hacer lo siguiente)

∫√ ∫√( )

Ahora veamos algunas reglas de integración para estos casos

Teorema 3.5 Formulas de integración especiales ( )

1. ∫√

.

√ /

2. ∫√

. √ | √ |/

3. ∫√

. √ | √ |/




Ejercicios 3.3.3

1. ∫

√ 2. ∫

√

3. ∫

√ 4. ∫

( )

5. ∫√ 6. ∫ √

7. ∫( )√ 8. ∫ √

9. ∫

10. ∫

11. ∫

12. ∫

3.3.4. Integración por descomposición en fracciones parciales Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de Polinomios) A manera de ilustración consideremos la siguiente integral:

∫

Obsérvese que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios:

√

Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:

( )( ) Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar, Dividimos en ambos lados entre ( )

( )




Descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones "sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.

∫

∫( ) ∫

| |

En general si queremos integrar un cociente de polinomios ( )

( )en el que el grado de ( )es mayor

o igual al grado de ( )procederemos como en el caso anterior, aplicando el algoritmo de la división

( )

( )

√ ( )

( )

Donde ( ) = 0 ó grado ( ) grad Q(x) ( ) ( ) ( ) ( ) Dividiendo entre Q(x), obtenemos:

( )

( ) ( )

( )

( )

En donde la integral buscada,

∫ ( )

( ) ∫ ( ) ∫

( )

( ) ( ) ( )

Se reduce a calcular la integral de un polinomio q(x) y la integral de una función racional en la cual el numerado tiene grado menos que el denominador. A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una suma de fracciones parciales las cuales son fáciles de integrar.




Primer caso. [Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas] Cuando la factorización del polinomio ( ) es en factores lineales y distintos, es decir: ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( n) Hacemos la siguiente descomposición: ( )

( )

Donde An son constantes reales. Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues:

∫

| |

Y por lo tanto:

∫ ( )

( ) ∫

∫

∫

∫

∫ ( )

( ) | | | | | | | |

Ejemplo 3.94. Calcular ∫

Solución: En este ejemplo ( ) ( ) ( ) La descomposición en fracciones parciales sería:




En la que bastará determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral. Procederemos a la determinación de las constantes, efectuando la suma del lado derecho:

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

Observamos que la primera y la última fracción son iguales y tienen el mismo Denominador, por lo que sus numeradores forzosamente son iguales, es decir: ( ) ( ) O bien ( ) ( ) De donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Que resolviéndolo nos queda

Por lo que ⁄ y sustituyendo en la primera ecuación ⁄ . Una vez determinadas nuestras constantes A y B, las sustituimos en la descomposición Inicial, obteniendo:

⁄

⁄

Quedando finalmente la integración:

∫

∫

⁄

∫

⁄

| |

| |




O bien, utilizando las propiedades de los logaritmos:

∫

|

|

Observación: Esta integral es un caso particular de la fórmula presentada sin demostración en el método de cambio de variable

∫

|

|

La cual puede ahora probarse con el método de fracciones parciales como un ejercicio.


Solución: En este ejemplo, ( ) ( ) La descomposición en fracciones parciales sería:

Y siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

Igualando coeficientes, obtenemos el sistema:

Que al resolverlo nos da:




Obteniendo el valor de ⁄ Para encontrar B, la despejamos en la primera ecuación ⁄⁄ Así pues, la descomposición en fracciones parciales es:

⁄

⁄

Y nuestra integral:

∫

∫

⁄

∫

⁄

| |

| |

Observación: En cada uno de los casos de este método se afirma que se puede dar una Descomposición en fracciones parciales, lo cual es un resultado del álgebra y que por lo Tanto debería probarse algebraicamente, ya que podría surgir la duda de que en una de estas descomposiciones se produjera un sistema de ecuaciones sin solución. No daremos aquí la demostración pero veremos que por lo menos en el primer caso siempre será posible encontrar las constantes, es decir los sistemas resultantes si tendrán solución. Otro método para determinar las constantes: Tratemos de "despejar" la constante A de la descomposición deseada: Multiplicamos en ambos lados de la ecuación por ( )

( )( )

Obteniendo:

( )

Despejamos a la constante A

( )




Evaluamos en x = 5 y obtenemos ⁄ Obsérvese que estos pasos para determinar A se pueden comprimir en uno solo: Determinando las constantes por otro método: De la expresión a descomponer en Fracciones parciales, se elimina del denominador el factor lineal correspondiente a esta constante y finalmente se evalúa en el punto donde este factor eliminado se anula.

Es decir

evaluado en , resultando ⁄

Similarmente para obtener el valor de , multiplicamos en ambos lados de la ecuación Original por ( ), despejamos B y evaluamos en , obteniendo:

Evaluado en

⁄


Solución: En este ejemplo ( ) ( )( ). La descomposición en fracciones parciales sería:

( )( )

Siendo los valores de las constantes:

( )( ) Evaluado en x = 0 A = 1/8

( ) Evaluado en x = 4 B = 21/8




( ) Evaluado en x = 2 C = -3/4

Así pues

∫

∫

∫

∫

Es decir:

∫

| |

| |

| |

Segundo caso. [Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas] Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente Distintos, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Por cada factor lineal aparecerán tantas fracciones parciales como multiplicidad tenga este ( )

habrá fracciones parciales:

(

( )

( )

Donde son constantes reales. De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla y se reduce a calcular integrales de la forma:

∫

( )

Las cuales, para , se resuelven por un sencillo cambio de variable.


Solución: En este ejemplo, ( ) ( ) . La descomposición en fracciones parciales sería:




( )

( )

Al desarrollar e igualar los polinomios del numerador, como en los ejemplos anteriores, Obtendremos las constantes de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si observamos con detalle la igualdad anterior nos daremos cuenta que la constante B no puede determinarse por el método "corto", pero sí las otras dos, es decir del sistema de tres por tres ya habremos determinado dos de las incógnitas y de cualquiera de las ecuaciones en que aparezca B la despejamos.

( ) Evaluado en x = 0 nos da A = 2

Evaluado en x = 2 nos da C = 7

Efectuando las operaciones y factor izando x2 y x, tenemos:

( )

( )

( ) ( )

( )

Igualando los coeficientes de los numeradores, obtenemos el siguiente sistema de Ecuaciones:

Como sólo falta determinar la constante B, la despejamos de la primera ecuación, Obteniendo B = -2. Sustituyendo e integrando:

∫

( ) ∫

∫

∫

( )

∫

( ) | | | |

( )





Solución: En este ejemplo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La descomposición en fracciones parciales sería:

( ) ( )

( )

( )

Por el método corto podemos fácilmente encontrar que B = 8, D = 7/4 y F = 9/4. Para determinar el resto de las constantes tenemos que plantear el sistema de ecuaciones:

( )

( ) ( ) (

( )

( ( ) (

( )

Conduciéndonos al siguiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnita A + C + E = 0 B - C + D + E + F = 0 -2A - C + 2D - E + 2F = 0 -2B + C + D - E + F = 0 A = 1 B = 8 Como ya tenemos los valores A = 1, B = 8, D = 7/4 y F = 9/4, sustituyéndolos en las Primeras dos ecuaciones, encontraremos los valores de C y E resolviendo el sistema:




C + E = -1 -C + E = -12 Cuya solución es C = 11/2 y E = -13/2. El valor de la integral, entonces será:

∫

| |

| |

| |

( )

Tercer caso. [Q(x) tiene raíces complejas distintas] Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma

A cada uno de estos factores le corresponderá una fracción parcial de la forma

Donde A y B son constantes reales.


Solución: En este ejemplo, ( ) ( )

con La descomposición en fracciones parciales sería:

( )

( ) ( )

( )

el sistema a resolver: A + B = 0 2A + C = 3




5A = 1

Y la solución:

∫

∫

∫

∫( )

| |

∫

( )

∫

| |

| |

∫

( )

| |

| |

,

{

}-

Cuarto caso. [Q(x) tiene raíces complejas repetidas] Cuando en la factorización del polinomio ( ) aparecen factores cuadráticos repetidos de la forma

( ) , con A cada uno de estos factores le corresponderán fracciones parciales de la forma

( )

( )

Donde y son constantes reales para .


Solución: En este ejemplo, ( ) ( )

Con




La descomposición en fracciones parciales sería:

( )

( )

( )

( )

planteándose el sistema de ecuaciones: A = 0 B = 1 A + C = 0 B + D = 0 Con solución A = 0, B = 1, C = 0 y D = -1 Así pues la integral

∫

∫

∫

( )

Donde la primera integral es la inversa de la tangente y la segunda se resuelve mediante el segundo caso de sustitución trigonométrica.




3.4. Aplicaciones de la integral

La integral definida es útil para resolver una amplia variedad de problemas. En este capítulo se estudiarán su aplicación a problemas de cálculo de áreas, volúmenes, longitudes de curva y sobre otros campos de la ciencia básica así como de la ingeniería.

3.4.1. Integración numérica

Cuando se busca calcular la integral definida de una función no posee una antiderivada, o ésta es muy difícil de calcular, así como en el caso en que no se posee la ecuación de la función (cuando se obtienen datos a partir de un experimento y estos no se ajustan a un modelo simple), se recurre a métodos numéricos para tal fin. El método básico para ello se denomina cuadratura numérica, y en este se aproxima la integral definida de una función ( ) en un intervalo [a, b] evaluando ( ) en un número finito de puntos (nodos). Estas aproximaciones pueden ser de distinto tipo y cada una de ellas conlleva un error de aproximación, de manera tal que el valor de la integral buscado es de la siguiente forma:

∫ ( ) ( ) ( )

(1)

En donde la cuadratura ( ) está dada por: ( ) ( ) ( ) ( )

Donde los puntos del intervalo(o nodos) son:

Y ( ) es error de la aproximación o error de truncamiento, el cual está referido al valor de la integral analítica (I), de forma tal que:

( ) ( ) (2)

La notación anterior indica que los coeficientes y los nodos son conocidos; y que es la función f la variable de la fórmula.

Existe una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar ( ) por

otra función ( ) de la cual se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se

encuentra de forma que en un cierto número de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, la nueva función se llama una interpolación de la función original. Típicamente estas funciones son polinomios.

Ejemplo 3.101. Considere la integral

∫

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio




Aproxime el valor de con la fórmula de cuadratura

( )

[ ( ) (

* ( )]

Calcule el valor exacto de la integral y el valor del error.

Solución:

a) Valor aproximado.

Se tiene:

( )

Ahora sustituyendo los datos proporcionados en la fórmula de cuadratura dada:

( )

, ( ) ( ) ( )-

b) Valor exacto y error.

Calculando una primitiva de ( ), utilizando el método de integración por partes

∫ =

Calculando la integral definida

∫ , -

( ) ( )

Determinando el Error de la aproximación

| ( )| | ( )| | |

El resultado indica que la fórmula de cuadratura dada, ha producido una aproximación del valor de la integral con una exactitud de 2 decimales.

3.3.1 Regla del trapecio y de Newton-Cotes Las fórmulas de cuadratura que se obtienen a partir del polinomio de interpolación de Lagrange reciben el nombre de fórmulas de Newton-Cotes, de las cuales hay dos tipos: cerradas y abiertas. Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen cuando la función a integrar se interpola sobre puntos igualmente espaciados, de manera que, dados los límites de integración y :

( )

La regla del trapecio es una de las reglas de Newton-Cotes cerradas más simples, y aproxima la

integral de una función ( ), en el intervalo [a, b] a la integral un polinomio de primer grado (línea

recta, ) ( ) el cual tiene por ecuación: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) y cuya integral




definida en el intervalo , - es ( )

( ( ) ( )). Esta integral es equivalente al área

mostrada en la siguiente figura que como se observa corresponde al área de un trapecio.

Figura 3.8. Representación gráfica de la aproximación lineal o regla del trapecio

Él error de la aproximación es igual al área entre ( ) y ( ), es decir | |. De tal manera que:

Teorema 3.6

El valor aproximado de la integral de ( ) en el intervalo , - con , es aproximadamente

igual a la integral de la función lineal ( ) que corresponde al área de un trapecio, dada por:

∫ ( )

( )

( ( ) ( ))

(3)

La ecuación (3) se conoce como regla del trapecio, el signo aproximadamente igual quiere decir

que al tratase de una aproximación tiene un error de truncamiento asociado ( ), el cual se discutirá posteriormente.

La regla del trapecio se puede ampliar si se subdivide el intervalo , - en subintervalos,

todos de la misma longitud ( )

y se aplica el método del trapecio en cada uno de ellos,

tal como se ilustra en la siguiente figura:

Figura 3.9. Representación gráfica de la regla compuesta del trapecio aplicada sobre 3 subintervalos.

Teorema 3.7

Así la regla extendida o regla compuesta del trapecio, para la función , continua en el intervalo

, -, donde este se divide en subintervalos con y , está dada por:

∫ ( )

( )

,( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4)

Es importante hacer notar que conforme se aumenta n, el error de la aproximación disminuye, sin embargo también aumenta el número de términos por calcular, por lo cual convendría desarrollar fórmulas de aproximación o polinomios de grado superior (recordar que la regla del trapecio es un polinomio de grado 1) para obtener un error menor con una mínima cantidad de términos, ejemplos de esto son la regla de Simpson, regla de 3/8 Simpson y Regla de Boole, las cuales están fuera del alcance de este material.




Por otro lado, al usar una técnica de aproximación, es importante conocer la precisión del resultado. En general, cuando se realiza una aproximación se define en el error |E| como la

diferencia entre ∫ ( )

y la aproximación. El siguiente teorema, proporciona la expresión

para estimar el error máximo o cota de error que implica el uso de la regla del trapecio.

Teorema 3.8

Si f tiene una segunda derivada ( ) continua en , -, entonces el error máximo al aproximar

∫ ( )

por medio de la regla de los trapecios es:

| | ( )

(5)

Donde K es el máximo valor de ( ) en el intervalo [a, b], es decir | ( )| .

Esta fórmula permite determinar el número de subintervalos necesarios para aproximar la integral con un error menor que una cota o l mite prefijado.

Ejemplo 3.102.

a) Usar la regla del trapecio para calcular una aproximación al valor de ∫

, con n=5 y con

n=10.

b) Calcule el error máximo asociado a cada una de las aproximaciones.

Solución

a) Se tiene:

( )

Para n=5, ( )

, por lo que x0=1, x1=1.8, x2=2.6, x3=3.4, x4=4.2 y x5=5

La regla del trapecio establece:

∫ ( )

( )

,( ( ) ( ) ( ) ( ) (

Por lo tanto∫

( )

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

Evaluando resulta: ∫




Luego para n=10 ( )

, Por lo que x0=1, x1=1.4, x2=1.8, x3=2.2, x4=2.6, x5=3, x6=3.4,

x7=3.8, x8=4.2, x9=4.6, x10=5


Mientras que la integral exacta tiene un valor de 1.6094. Por lo que se demuestra que al aumentar el números de subintervalos para la regla del trapecio se disminuye el error de la aproximación.

Ejemplo 3.103. Determinar un valor de n tal que la regla de los trapecios se aproximará al valor

de ∫ √

con un error menor que 0.01.

Solución.

Se halla la segunda derivada de f.

( ) ( )

⁄ y ( ) ( )

⁄

El valor máximo de | ( )| en el intervalo [0, 1] es | ( )| De tal modo que por el teorema 3.3.2.1, se tiene:

| | ( )

( )

=

√

Así, basta tomar n=3 y aplicar la regla del trapecio para obtener un error máximo de 0.001.

Ejercicios adicionales 3.4.1.

1. Durante un experimento se descubre que las variables físicas y están relacionadas como se muestra en la siguiente tabla:

x 1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

y 3.1 4.0 4.2 3.8 2.9 2.8 2.7

Si se considera a y como una función de x, es decir, ( ) con continua, entonces la

integral definida de ( ) en el intervalo [1,4] podría representar una cantidad física.




Estime el valor de ∫ ( )

utilizando la regla del trapecio.

Respuesta: I=10.3

2. Para registrar la contaminación térmica de un río, un ingeniero ambiental toma lecturas de la temperatura (°F) cada hora entre las 9 A.M. y las 5 P.M. Los resultados se muestran en la tabla siguiente:

Hora del día 9 10 11 12 1 2 3 4 5

( ) 75.3 77.0 83.1 84.8 86.5 86.4 81.1 78.6 75.1

Utilice la regla del trapecio para calcular una aproximación de la temperatura media del agua entre las 9 A.M. y las 5 P.M.

Respuesta: T=81.625°F

3. Determinar de modo que la regla compuesta del trapecio de el valor de:

∫

Con seis dígitos correctos después del punto decimal, suponiendo que se puede calcular de manera exacta.

Respuesta: n=129.09

3.4.2. Regla del trapecio y de Newton – Cotes

Las fórmulas de cuadratura que se obtienen a partir del polinomio de interpolación de Lagrange reciben el nombre de fórmulas de Newton-Cotes, de las cuales hay dos tipos: cerradas y abiertas. Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen cuando la función a integrar se interpola sobre puntos igualmente espaciados, de manera que, dados los límites de integración a y b:

( )

La regla del trapecio es una de las reglas de Newton-Cotes cerradas más simples, y aproxima la

integral de una función ( ), en el intervalo [a, b] a la integral un polinomio de primer grado (línea

recta, n=1) ( ) el cual tiene por ecuación:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

y cuya integral definida en el intervalo [a, b] es




( )

( ( ) ( ))

Esta integral es equivalente al área A1 mostrada en la siguiente figura que como se observa corresponde al área de un trapecio.

Figura 3.10. Representación gráfica de la aproximación lineal o regla del trapecio

Él error de la aproximación es igual al área entre ( ) y ( ), es decir | |. De tal manera que:

Teorema 3.9

El valor aproximado de la integral de ( ) en el intervalo [a, b] con n=1, es aproximadamente igual

a la integral de la función lineal ( ) que corresponde al área de un trapecio, dada por:

∫ ( )

( )

( ( ) ( ))

(3)

La ecuación (3) se conoce como regla del trapecio, el signo aproximadamente igual quiere decir que al tratarse de una aproximación tiene un error de truncamiento asociado (E), el cual se discutirá posteriormente.

La regla del trapecio se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a,b] en n subintervalos, todos

de la misma longitud ( )

y se aplica el método del trapecio en cada uno de ellos, tal

como se ilustra en la siguiente figura:

Figura 3.11. Representación gráfica de la regla compuesta del trapecio aplicada sobre 3 subintervalos.

Teorema 3.10

Así la regla extendida o regla compuesta del trapecio, para la función , continua en el intervalo [a,

b], donde este se divide en subintervalos con y está dada por:

∫ ( )

( )

,( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4)

Es importante hacer notar que conforme se aumenta n, el error de la aproximación disminuye, sin embargo también aumenta el número de términos por calcular, por lo cual convendría desarrollar fórmulas de aproximación o polinomios de grado superior (recordar que la regla del trapecio es un




polinomio de grado 1) para obtener un error menor con una mínima cantidad de términos, ejemplos de esto son la regla de Simpson, regla de 3/8 Simpson y Regla de Boole, las cuales están fuera del alcance de este material.

Por otro lado, al usar una técnica de aproximación, es importante conocer la precisión del resultado. En general, cuando se realiza una aproximación se define en el error |E| como la

diferencia entre ∫ ( )

y la aproximación. El siguiente teorema, proporciona la expresión

para estimar el error máximo o cota de error que implica el uso de la regla del trapecio.

Teorema 3.11

Si f tiene una segunda derivada f´´(x) continua en [a, b], entonces el error máximo ET al aproximar

∫ ( )

por medio de la regla de los trapecios es:

| | ( )

(5)

Donde K es el máximo valor de ( ) en el intervalo [a, b], es decir | ( )| .

Esta fórmula permite determinar el número de subintervalos necesarios para aproximar la integral con un error menor que una cota o l mite prefijado.

Ejemplos

Ejemplo 3.104.

a) Usar la regla del trapecio para calcular una aproximación al valor de ∫

, con n=5 y

con n=10.

b) Calcule el error máximo asociado a cada una de las aproximaciones.

Solución

b) Se tiene:

( )

Para n=5, ( )

, por lo que

La regla del trapecio establece:




∫ ( )

( )

,( ( ) ( ) ( ) ( ) (

Por lo tanto∫

( )

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-


Luego para =10 ( )

,

Por lo que


Mientras que la integral exacta tiene un valor de 1.6094. Por lo que se demuestra que al aumentar el número de subintervalos para la regla del trapecio se disminuye el error de la aproximación.

Ejemplo 3.105. Determinar un valor de n tal que la regla de los trapecios se aproximará al

valor de∫ √

con un error menor que 0.01.

Solución.

1) Se encuentra la segunda derivada de .

( ) ( )

⁄ y ( ) ( )

⁄

El valor máximo de | ( )| en el intervalo [0, 1] es | ( )| De tal modo que por el teorema 3.3.2.1, se tiene:

| | ( )

( )

=

√




Así, basta tomar n=3 y aplicar la regla del trapecio para obtener un error máximo de 0.01.

Ejercicios adicionales

4. Durante un experimento se descubre que las variables físicas y están relacionadas como se muestra en la siguiente tabla:

x 1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

y 3.1 4.0 4.2 3.8 2.9 2.8 2.7

Si se considera a y como una función de x, es decir, ( ) con continua, entonces la

integral definida de ( ) en el intervalo [1,4] podría representar una cantidad física.

Estime el valor de ∫ ( )

utilizando la regla del trapecio.

Respuesta: I=10.3

5. Para registrar la contaminación térmica de un río, un ingeniero ambiental toma lecturas de la temperatura (°F) cada hora entre las 9 A.M. y las 5 P.M. Los resultados se muestran en la tabla siguiente: 6.

Hora del día 9 10 11 12 1 2 3 4 5

T (°F) 75.3 77.0 83.1 84.8 86.5 86.4 81.1 78.6 75.1

Utilice la regla del trapecio para calcular una aproximación de la temperatura media del agua entre las 9 A.M. y las 5 P.M.

Respuesta: T=81.625°F

7. Determinar n de modo que la regla compuesta del trapecio dé el valor de

∫

Con seis dígitos correctos después del punto decimal, suponiendo que se puede calcular de manera exacta.

Respuesta: n=129.09

4. Utilice la regla del trapecio para calcular una aproximación del valor de la integral

∫ √

⁄

con




5. Determine n de modo que para la integral del ejercicio anterior se obtenga un valor

con 4 dígitos correctos después del punto decimal, suponiendo que √

se puede calcular de manera exacta.




x

y=(x)

a b

Ag(x)

f(x)

1)

x

y=(x)

Rectángulo representativo

Altura: f(xi)- g(xi)

Anchura: ∆x

g(x)

f(x)

a bxi

f(xi)

g(xi)

∆x

2)

3.4.3. Área entre curvas, longitud de curva De la misma forma que en el caso del cálculo de áreas de regiones que están bajo las gráficas de funciones, para calcular el área A comprendida entre las gráficas de dos funciones y en el

intervalo [a, b], se divide A en n franjas de igual anchura , para luego calcular el valor

aproximado de la i-ésima franja mediante un rectángulo con base y altura ( ) ( ).

Por lo que la suma de Rienmann

∑, ( ) ( ) -

Equivale al total de las áreas de n rectángulos de aproximación definidos, por lo que el valor límite de esta suma (cuando n tiende a infinito) equivale al valor del área A.

∑, ( ) ( )-

Aplicando el teorema fundamental del cálculo se tiene que

∑, ( ) ( )-

∫ , ( ) ( )-

Por tanto:

Teorema 3.12

Si y son funciones continuas y ( ) ( ) para todo x en [a, b], entonces el área A de la

región acotada por las gráficas de f, g, x=a y x=b, es:

∫ , ( ) ( )-

(1)

Figura 3.12




Observe que en el caso especial donde ( ) , A es la región bajo la gráfica de f y la definición general del área se reduce a la definición del área bajo la curva de la función f.

Ejemplo 3.106. Determinar el área de la región acotada por las gráficas de y

.

Solución. Sean ( ) y ( ) . Entonces ( ) ( ) para todo x en [0, 1], como se muestra en la figura x.

Así el área de la región es:

∫ , ( ) ( )-

∫ ,( ) ( )-

*

+

Área de una región entre curvas que se intersecan

En las definiciones anteriores no se establece si las curvas y se intersecan, simplemente se define un intervalo de estudio [a, b]. Un problema particular y común involucra el área de una región comprendida entre dos gráficas que se intersecan, donde los valores de a y b han de calcularse.

Figura 3.13

x

y=(x)

a b

g(x)

f(x)

A




Ejercicios resueltos

Ejemplo 3.107. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones: y √

Solución

1) Determinar los puntos donde se intersectan las gráficas (límites de integración) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones dadas

√

Resultan soluciones los valores de y . Por lo que los límites de integración quedan como a=0 y b=1.

2) Calcular el área entre curvas en el intervalo definido por la intersección de las gráficas.

Con ( ) √ y ( ) se cumple que ( ) ( ) en el intervalo , -. Por lo tanto el área buscada está dada por el teorema 3.3.3.1 de la siguiente forma:

∫ (√ )

∫ ( ⁄ )

[

⁄

⁄

]

Figura 3.14

Región comprendida por la gráfica de f y g.

1

10

y=(x)

x




Ejemplo 3.108. El seno y el coseno de las curvas se intersecan infinitas veces, acotando

regiones de áreas iguales, como se muestra en la figura. Encontrar el área de una de esas

regiones.

Figura 3.15

Solución

1) Determinar los puntos donde se intersectan las gráficas (límites de integración).

Resolviendo simultáneamente:

Así,

y

. Con ( ) y ( ) se cumple que ( ) ( ) en el intervalo

,

-. Por lo tanto el área buscada está dada por el teorema 3.3.3.1 de la siguiente forma:

y=(x)

x

-

f(x)= sen (x)

g(x)= cos (x)

a b




∫ , -

⁄

⁄

, - ⁄

⁄

√

Curvas que se intersecan en más de dos puntos

Si dos curvas se intersecan en más de dos puntos, entonces para encontrar el área de la región comprendida entre las curvas, se deben encontrar todos los puntos de intersección y verificar en cada uno de los intervalos determinados por esos puntos, cuál de las gráficas está encima de la otra.

Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de ( ) y ( ) .

Ejemplo 3.109. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de y

1) Determinar los puntos donde se intersectan las gráficas (límites de integración).

( )( )

Así las gráficas se cortan cuando . En la figura se observa que ( ) ( ) en el

intervalo , -. Sin embargo, las dos gráficas cambian en el origen, y ( ) ( )en el intervalo , -. Así, se requieren dos integrales, una para el intervalo , - y otra para el intervalo , -.

Figura 3.16. Región comprendida entre las gráficas de las funciones y .

2) Calcular el área entre curvas en el intervalo definido por la intersección de las gráficas

-12

-8

-4

0

4

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

y=(x)

xA1

A2




∫ , ( ) ( )- ∫ , ( ) ( )-

∫ ( ) ∫ ( )

*

+

*

+

( ) ( )

Longitud de curva

Para la solución de algunos problemas de aplicación, se requiere calcular la longitud de algunas gráficas (o curvas).

Por ejemplo, puede ser de interés determinar la distancia que un cohete recorre durante un intervalo de tiempo dado, o bien la longitud de un segmento de alambre doblado. Si el alambre fuera flexible, se podría enderezar y medir su longitud con una regla. Sin embargo, si el alambre no es flexible, se requiere usar otro método.

Para resolver este problema, se utiliza una aproximación, al igual que en el caso de la determinación de integrales numéricas, tal como se muestra en la figura. En este caso la solución consiste en dividir la gráfica o curva en cuestión en muchas partes pequeñas y aproximar cada parte por medio de un segmento recto, para luego tomar el límite de la suma de las longitudes de todos los segmentos rectilíneos dando lugar a una integral definida. Para garantizar la existencia de la integral, ( ) deberá ser continua en el intervalo estudiado.

Figura 3.17

Analíticamente, partiendo de la expresión para calcular un segmento de recta entre dos puntos:

x

y=(x)

x0=a xn=bx1 x2 xi-1 xi

y0

y1

y2

yi-1

yi

yn=b




√( ) ( )

Considerando una función ( ) con derivada continua en el intervalo , - se puede aproximar la gráfica de f por n segmentos de recta cuyos puntos terminales son determinados por la partición

Como se muestra en la figura anterior.

Si la longitud un segmento de recta cualquiera en el intervalo , - se define como

(con ≤i≤n) , se puede aproximar la longitud de la gráfica por

∑√( ) ( )

lo que es igual a

∑√( ) ( )

Simplificando la expresión anterior queda

∑√ (

*

( )

Tomando el límite de la suma anterior para la aproximación optima con y | |

| |

∑√ (

*

( )

Dado que ( ) existe para todo x en (), el teorema del valor medio garantiza la existencia de en de tal forma que

( ) ( ) ( )( )

( )

Debido a que ( ) es continua en , -, se tiene que √ , ( )- también es continua en , - lo que implica que

| |

∑√ , ( )-

( ) ∫ √ , ( )-

Donde L es llamada la longitud de arco L de entre y .




Definición 3.2

Sea la función dada por ( ) que representa una curva suave en el intervalo , -.

La longitud de arco de entre y es

∫ √ , ( )-

(1)

Similarmente, para una curva dada por ( ), la longitud de arco de entre y es

∫ √ , ( )-

(2)

Ejemplos

Ejemplo 3.110. Encontrar la longitud de arco de

. En el intervalo [1/2, 2].

Solución

1) Calculando ( )

( )

(

)

2) Aplicando la definición 3.3.2 (ecuación 1)

∫ √ , ( )-

∫ √ [

(

)]

⁄

∫ √

(

)

⁄

∫

(

)

⁄

*

+

(

*

Ejemplo 3.111. Encuentre la longitud de arco de la parábola de ( ) ( )




Solución

1) Calculando ( )

( )


∫ √ , ( )-

∫ √

Resolviendo la integral planteada por el método de sustitución trigonométrica con

√ √

Ahora cambiando los límites de integración para la función de . Cuando ,

por lo tanto ; cuando , por lo que ( )

De manera que

∫

∫

, | |-

( | |)

Puesto que se tiene que , de modo que √

Por lo que

√

(√ )

Ejemplo 3.113. Sea ( )

⁄ . Calcular la longitud de arco de la gráfica de f del punto

A(8,2) al punto B(27,17).




1) Calculando ( )

( )

⁄


∫ √ , ( )-

∫ √ (

⁄)

∫ √

⁄

∫ √

⁄

⁄

∫ √

⁄ (

⁄)

Para evaluar esta integral, se sustituye

⁄

⁄

Cambiando los límites de integración para la función u. Para , entonces ( )

⁄

. Para , entonces ( )

⁄

Así se tiene

∫

⁄

[

⁄

⁄]

0

⁄ 1

⁄

⁄

Ejemplo 3.114.

Halle la longitud de la curva de la función ( .

/* en el intervalo

1) Calculando ( )




( )

.

/


∫ √ , ( )-

∫ √ ( .

/)

⁄

∫ √ ( .

/)

⁄

∫ √ .

/

⁄

∫ .

/

⁄

* ( .

/ .

/)+

⁄

( .

/ .

/) ( .

/ .

/)

( )

Ejercicios adicionales

En los siguientes ejercicios, calcule el área entre curvas que se indican

1.

2.

3. √

4. y

5. y

6. y

En los siguientes ejercicios, calcule la longitud de arco que se indica.




1. ( )

2.

( ) en el intervalo , -

4. Un cable eléctrico cuelga entre dos torres que están a 200 pies de distancia. El cable

toma la forma de una catenaria, cuya ecuación es

.

⁄ ⁄ /

Encontrar la longitud de arco del cable entre las dos torres.

5. Calcule la longitud de arco entre A .

/ y B .

/ de la gráfica de la ecuación

6. Determine la longitud de arco de la curva ( ) ⁄

⁄

7. La trayectoria de un prototipo de cohete construido a escala está dada por la ecuación

Con dado en minutos y en metros.

Si al viajar desde el su despegue hasta el momento de estrellarse gasto 10 L de

combustible. Determinar el consumo promedio de combustible del prototipo en

.

3.4.4. Volúmenes de revolución

Otra aplicación básica del cálculo integral es su aplicación para determinar el volumen de un sólido tridimensional con sección trasversal característica.

Esta aplicación se basa en el hecho de que si una región de un plano gira alrededor de una recta o eje, el sólido resultante es un sólido de revolución y la recta es su eje de revolución.

Un sólido de revolución es una región del espacio generada por la rotación de una región plana en torno a una recta.




Método de los discos

El sólido más simple es un cilindro circular recto o disco que se forma al hacer girar un rectángulo alrededor

(360°) de uno de sus lados, tal como se ilustra a continuación.

Figura 3.18

De donde el volumen de tal disco es

Esta definición es útil para aproximar el volumen de un sólido tridimensional cualquiera, el cual es dividido

en discos de igual anchura , cuyo volumen es

Eje de revolución

Rectángulo

R

w

w

R

Disco




Tal como se muestra en la Figura 3.19.

Figura 3.19

Cabe aclarar que para fines de esta definición se ha ubicado al sólido de revolución en un sistema de

coordenadas cartesiano y se ha seleccionado como eje de rotación al eje x, la misma aproximación es válida

cuando del eje de rotación es el eje y.

Por lo que el volumen aproximado del sólido con discos es

∑ , ( )-

Así cuando ( ), por el teorema fundamental del cálculo

∑, ( )- ∫ , ( )-

Donde R es una función de la variable independiente x, en los ejercicios que se resuelven a continuación, la

forma en que R varía con respecto a la variable independiente está dado por la ecuación de ( ).

Por tanto si

El eje de revolución es horizontal

Eje de

revolución

Sólido de

revolución

∆x

Disco

representativo

∆x

R

Rectángulo

representativo

Región

plana

x=a x=bx




∫ , ( )-

O si, el eje de revolución es vertical (R varía con respecto a la variable y).

∫ , ( )-

Ejemplos

Ejemplo 3.115. Determinar el volumen de un sólido que se obtiene al girar la región bajo la curva √

con respecto al eje x, desde 0 hasta 1.

Figura 3.20

∫ , ( )-

Con ( ) ( ) √

∫ (√ ) ∫ ( )

*

+

*

+ [

]

Ejemplo 3.116. Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por la

gráfica de ( ) √ y el eje ( ) alrededor del eje x.

Solución.

x

y=(x)

0

1

1

∆x

R




Figura 3.21

Con ( ) ( ) √

∫ , ( )-

( ) ( ) √

∫ (√ )

∫

, -| ( )

Ejemplo 3.117. Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región definida por y

con respecto al eje .

Solución

Figura 3.22

1

∆x

R

y=(x)

y=8

x=0

o

R

∆x

2




∫ , ( )-

La rotación es alrededor del eje y, por lo que la expresión del radio requiere una función ( ) a partir de

( ) se tiene ( ) √

Así

∫ (√ )

∫

⁄

[

⁄ ]

Ejemplos adicionales

1. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por la parábola y la ordenada correspondiente a con respecto al eje x.

R

2. Calcule el volumen generado al rotar la región acotada por ( )

y el eje

.

/

R

3. Hallar el volumen del sólido que se origina al girar alrededor del eje y, la superficie

limitada por .

R

4. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región acotada por

el semicírculo √ alrededor del eje x, para .

R

5. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábola

y la recta alrededor de dicha recta.

6. Hallar el volumen del sólido producido al rotar alrededor del eje y, la superficie delimitada por .

7. Calcular el volumen de la trompeta de Torrichelli cuya sección transversal está dada

por ( )

al girar ésta en torno al eje x para .




3.5.5. Problemas de ingeniería química para determinar el trabajo, calor o la

cinética.

Ejemplo 3.118. Cálculo de trabajo de compresión o expansión en sistemas ideales

Considere un pistón cilíndrico como el que se muestra en la siguiente Figura 3.23.

Figura 3.23

Este cilindro posee un área trasversal A, y contiene en su interior un gas con comportamiento ideal, que es comprimido a través de una distancia z, manteniendo la temperatura constante. El trabajo que hay que efectuar sobre el sistema para comprimir el gas un cierto volumen ( ) que se encuentra a una presión P está dado por la ecuación:

Para obtener el trabajo total efectuado se requiere integrar la ecuación anterior utilizando como límites el volumen inicial y el volumen final.

∫

Ahora asumiendo comportamiento ideal, determine el trabajo necesario en joules para comprimir 3

kg de nitrógeno de 3 a 1.5 L, sometidos a una presión de 3 bar.




Solución

Resolviendo la integral definida

∫

, -

, -

, -

Transformando las unidades

Problemas adicionales

Se dispone de un recipiente cilíndrico que contiene 10 kg de nitrógeno a una presión de 50 lb/in2.

Asumiendo un comportamiento ideal, determine el trabajo necesario para comprimir el gas desde

un volumen de 7 hasta 1 L.

Respuesta.

calculo diferencial e integral ipn

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