calculo de regimenes de sep
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Calculo de Regimenes de SEPTRANSCRIPT
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Dr. Sergio de la F D.
Santiago de Cuba.
2002.
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Clculo de regimenes
S. de la F D. 2
CAPITULO 1. CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES Y
HERRAMIENTAS BSICAS PARA EL CLCULO DE LOS
REGMENES ESTACIONARIOS DE LOS SISTEMAS ELCTRICOS
COMPLEJOS
1.1 Datos iniciales y resultados de la solucin del calculo del rgimen estacionario.
Los datos iniciales para el clculo del rgimen estacionario (estable) del sistema elctrico
(RE) son:
Esquema de sustitucin de la red y sus parmetros. Resistencia y reactancia de las lneas de transmisin; coeficientes de transformacin e
impedancia de los transformadores, admitancia a tierra de las lneas de transmisin y
admitancia de excitacin de los transformadores, admitancia de los reactores y
equipos de compensacin; todo esto se enlaza en una red nica, por medio de la
informacin dada sobre la forma de interconexin de los distintos elementos del
sistema elctrico.
Datos sobre las cargas del sistema elctrico; Los cuales pueden ser dados de diferentes maneras: en forma de admitancia en desviacin equivalente, tomas
constantes de potencia; caractersticas estticas; dependientes del voltaje y la
frecuencia.
Datos sobre las fuentes de generacin. Potencia activa; modulo del voltaje de los generadores equipados con reguladores automticos de la excitacin (RAE), potencia
reactiva de los generadores que no poseen RAE, o limitaciones de la potencia reactiva
en los generadores con RAE; en los casos en que se considera las variaciones de
frecuencia, debe indicarse el coeficiente de estilismo del regulador y velocidad del
motor primario; as como la potencia activa, mxima y mnima con la cual el mismo
puede trabajar.
Como resultado del clculo se determina el voltaje en los nodos, el flujo de potencia activas y
reactivas en las lneas, corriente en las diferentes ramas, perdidas de potencia activa y
reactiva y la frecuencia en el sistema.
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En su forma ms simple,
el proceso de
transformacin de la
informacin sobre el
sistema elctrico durante
el calculo del RE, puede
representarse de la
forma que muestra el
grfico que a continuacin se muestra.
Los datos iniciales o de entrada de los algoritmos para el calculo del RE (conocido tambin
por
algoritmo del calculo de flujo de potencia) se denominan variables independientes. Los
resultados de este calculo fueron las variables independientes dadas, se les denomina variables
dependientes. Como regla general, las variables independientes en los sistemas elctricos son
numricamente mayores que las dependientes, esto permite contar con grados de libertad para
enfrentar la tarea de optimizacin del RE.
En la forma de captar la informacin puede tener lugar (y como regla ocurre) errores. Esto
conduce alguna indeterminacin en los resultados del calculo del RE: La magnitud del error
en la determinacin de las variables dependientes, afectada por los errores en los datos
iniciales, tambin depende fuertemente de cuanto ms lejos en el tiempo tratamos de
pronosticar las situaciones operativas del sistema.
Como es sabido, en los sistemas de despacho automatizado esta tarea se hace por estadio
temporal, as, para la estada a largo plazo, los clculos se realizan por un ao, meses o
semanas en adelanto. En el estadio de corto plazo, se analiza la situacin del esquema y sus
regmenes para la siguiente formada. En el proceso de direccin operativa, junto con la
valoracin de la situacin actual, se hacen pronsticos para la hora y horas siguientes.
Lgicamente, cuanto ms adelante nos proponemos pronosticar, mucho menos exacto es el
resultado del calculo del RE.
Estos elementos de indeterminacin, lgicamente, constituyen factores indeseables durante
los clculos, por lo que cabe preguntarse cules son las causas de su aparicin? Es posible
erradicarlos totalmente? Desgraciadamente, el error en las variables independientes es posible
disminuirlos; pero no eliminarlos totalmente. Tomemos como ejemplo los datos de las lneas
de transmisin de alto voltaje (LT); en estudios realizados, el error durante su introduccin es
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aproximadamente +/-5%. esto se debe solo a la ausencia de datos confiables, sino a que la
resistencia varia de acuerdo a las condiciones climticas, rgimen de la transmisin, etc.
Tambin influyen notablemente en la solucin de las ecuaciones del RE los errores en los
coeficientes de transformacin dadas.
En la actualidad, en todo el mundo, la informacin sobre los parmetros actuales del rgimen
se colecta en distintos puntos del sistema elctrico y se transmite con la ayuda de los equipos
de tele medicin al centro de despacho. Esta informacin, sin embargo, no es absolutamente
exacta, ya que la misma no es total (realizar tele mediciones en todos los puntos del sistema
elctrico es econmicamente impracticable); contiene errores, debido a la exactitud de los
instrumentos de medicin utilizados y la no-simultaneidad de la medicin, pueden contener
errores groseros, debido a fallas de los sensores y canales de transmisin de la informacin.
A cuenta de la informacin suplementaria (redundante) en algunas regiones del SE.
comunmente se logra elevar considerablemente la confiabilidad de los datos sobre el
rgimen actual del SE. Esto se logra con la ayuda de algoritmos especiales de valoracin de
estado. Sin embargo elementos de indeterminacin as y todo se mantiene; sin embargo,
informacin ms confiable no es posible obtener.
Como ya se dijo, la indeterminacin al calcular los valores de los parmetros del rgimen
crece bruscamente con los intentos de pronosticar la situacin futura de del SE. (Direccin
operativa a largo y mediano plazo). La mayor dificultad se encuentra en la necesidad de
pronosticar la carga del SE. En la actualidad existe el aparato metodolgico adecuado para l
pronostico de la carga, el cual se basa en la determinacin de los componentes regulares de la
variacin de la carga a lo largo del da por da de la semana, meses, trimestres y aos. Luego
estos datos estadsticos se utilizan para la extrapolacin hacia el futuro. Sin embargo la carga
del sistema elctrico esta sujeta a variaciones irregulares, lo que, naturalmente, no es posible
considerar. Esto crea diferencias entre los regmenes planificados y los reales en l SE.
Debido a la presencia de estos factores de indeterminacin, han aparecido trabajos
cientficos, en los cuales se propone pasar de una formulacin determinista de la tarea del
calculo del Rea una probabilstica. En esta formulacin los datos iniciales y resultados, se
consideran como magnitudes aleatorias, cuyas esperanzas matemticas y dispersin son
conocidas como resultado del calculo se determina el valor ms probables de las variables
dependientes y el posible error con respecto a esta solucin. Sin embargo, la utilizacin
practica de esta metodologa hasta el momento no se ha producido (1992).
1.2 Significado matemtico y particularidades del clculo del rgimen estable.
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Desde el punto de vista matemtico, la tarea del clculo del rgimen estacionario del sistema
elctrico, lo constituye la solucin de grandes sistemas elctricos, lo constituye la solucin de
grandes sistemas de ecuaciones alinales. La alinealidad de esta tare esta basada en las
siguientes causas:
Dependencia alineal de las corrientes en los generadores y cargas con el voltaje. Dependencia alineal de la potencia de los generadores y la conductancia de la carga
con la frecuencia.
S = V I*
I = VY
S=V(V*Y*)
S = V2Y*
Y =S*/ V2
La alinealidad de esta tarea determina una serie de especificidades de su solucin.
En primer lugar, la solucin existe no para todos los valores de potencia en los nodos de
generacin y de cargas. En segunda para cada combinacin de potencias en los nodos, para
los cuales existe el rgimen, pueden existir mltiples soluciones.
La solucin del sistema de ecuaciones alinales del RE es posible solo por medio de mtodos
de interaccin aproximada. Para estos mtodos una exigencia muy importante es la seguridad
en la obtencin de la solucin, si la misma existe. Desde otro punto de vista, considerando la
gran dimensin de la tarea, una exigencia importante no es la rapidez del proceso del calculo
utilizado. Estas dos exigencias estn en contradiccin una con otra, por lo que cualquiera de
los mltiples mtodos del calculo del flujo de potencia (RE) constituye un compromiso entre
ambas exigencias.
Otra particularidad reside en que la consideracin de restricciones en los parmetros del
rgimen (por ejemplo, en el intervalo de variacin de las potencias reactivas de los
generadores con RAE); el fenmeno de violacin de la estabilidad de la carga, la accin de los
dispositivos automticos de la direccin contra avera, etc. ,conduce al cambio de algunas
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ecuaciones del sistema durante el mismo proceso del calculo, esto crea discontinuidades en la
funcin del rgimen del SE. Y sus derivadas, lo que conduce a un conjunto complementario
de soluciones alternativas (para distintos componentes de las ecuaciones) y dificulta la
convergencia del proceso interactivo.
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CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOGA DE REDES Y SUS
APLICACIONES AL CLCULO DE LAS ECUACIONES DEL
RGIMEN ESTABLE
Las tcnicas bsicas para el estudio de las redes elctricas se crean en los cursos elementales
de circuitos elctricos, sin embargo, en los sistemas de potencia se trabaja con redes que
pueden tener cientos de nodos; por lo que se hace necesario el establecer un procedimiento
que permita sistematizar la escritura de estas ecuaciones de una forma concisa y fcilmente
aplicable al uso de la computadora digital.
2.1 Definiciones
1) Elemento:
En este grupo se incluyen las resistencias, inductancias, capacitancias, fuentes de voltaje y
fuentes de corriente. En el estado permanente, las admitancias e impedancias pueden
considerarse como elementos.
2) Nodo:
Un nodo es un punto de un circuito donde estn conectadas dos o mas elementos .
3) Rama:
Es la parte de una red entre dos nodos .
4) Malla:
Una malla es un paso cerrado simple en una red.
5) Grafica de una Red:
Se obtiene cuando cada elemento de una red es representado por una lnea. Las fuentes de
corriente se toman como circuito abierto y las de voltaje como fuentes en corto circuito. Si
cada elemento de la grfica se encuentra orientado; entonces se dice que la grfica es
orientada. En una grfica orientada se pueden distinguir las siguientes estructuras:
rbol_:Es una combinacin de ramas de una grfica que une todos los nodos; pero sin que
exista un camino cerrado.
Rama de rbol: Son los elementos que constituye el rbol.
Unin: son las ramas de la grfica que no forman parte del rbol. Si una unin es aadida a un
rbol, la grfica resultante contiene un paso cerrado llamado Malla .
Ejemplo:
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.FIG 1.Formas de representacin de una red.
De la representacin grfica del sistema anteriormente mostrado se obtiene su grafo
orientado:
El numero de ramas b, necesario para formar un rbol, esta dado por
b = n-1 (2-1)
Los elementos de la grfica conectada que no son ramas del rbol son las uniones y forman
una subgrafica, no necesariamente conectada, llamada co-rbol y que es el complemento del
rbol.
l numero de uniones l, es posible calcularla a partir del numero de elementos de la grfica
conectada e y del numero de ramas de rbol b; as:
l = e - b (2-2)
Y sustituyendo 1.1 tenemos
l = e n +1 (2-3)
Cuando una unin es agregada a un rbol, se forma un camino cerrado llamado malla.
Las mallas que contienen solo una unin se conocen como mallas bsicas y su numero ser
igual al numero de uniones dado por (2-3)
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En la grfica conectada mostrada a continuacin, se tiene que las ramas 1, 2, 3 y 4 forman un
rbol y los elementos 5,6 y 7 son el co-rbol o uniones.
Conjunto Cortado: _Es un grupo de elementos que al removerlo, divide a la grfica conectada
en dos subgrficas conectadas. Si el conjunto cortado contiene nicamente una rama del rbol,
entonces se le llama conjunto acotado bsico y el numero de conjuntos cortados bsicos
ser igual, entonces , al nmero de ramas de rbol (B). En la grfica I,II,III, son conjuntos
cortados bsicos .
2.2 Matrices de Conexin o Incidencia
Mediante las relaciones entre corrientes de ramas y corrientes de mallas o de voltaje de ramas
y voltaje de nodo (conjunto cortado)es posible describir la representacin geomtrica de la
red. Estas relaciones se dan mediante matrices que se conocen como matrices de conexin.
Matrices de Incidencia Elemento-Nodo
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Esta matriz muestra la incidencia de los elementos a nodo en una grfica conectada. sus
elementos toman valores de +1,-1 y 0, en correspondencia de si el elemento sale del nodo,
entra al mismo o si no hay incidencia. Esta matriz es de E x N filas y columnas
Para la grfica ya estudiada esta matriz seria:
Nodos
Ele. 1 2 3 4 0
1 -1 1
2 -1 1
3 -1 1
4 -1 1
5 1 -1
6 +1 -1
=
7 1 -1
= E x N
Como se
puede observar la suma de las columnas por fila es cero, luego esto indica que las columnas
de a son linealmente dependientes.
Matriz de Incidencia Elemento- Barra
Para eliminar la dependencia lineal de la matriz A cualquier nodo de la grfica puede ser
tomado como nodo de referencia y
entonces, todos los voltajes de otros
nodos referidos a este.
En tal caso el numero de barras ser
el de nodos menos uno, y la matriz
de incidencia elementobus se
obtiene eliminando la columna
correspondiente al nodo de
referencia en la matriz A; as:
No buses (barras)=numero de nodos
1 (2-4)
Nodos
Elem 1 2 3 4
1 -1
2 -1
3 -1
4 -1 1
5 1 -1
6 1 -1
A =
7 1 -1
= E x ( N-1)
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Para nuestra grfica orientada tomando el nodo 0 como referencia
tendramos la matriz.
De acuerdo con el arreglo de la grfica y el rbol escogido, la matriz A se divide en dos
submatrices, la matriz AB de dimensiones ramas de rbol (B)x(N-1) y AL de dimensiones l
(ramas de unin)x (n-1). La matriz AB es una matriz cuadrada no singular.
Matriz de Incidencia Trayectoria -Rama
Esta matriz muestra la incidencia de las distintas ramas de rbol y las trayectorias.
Las trayectorias se orientan de un bus al nodo de referencia. Los elementos de la matriz son
1 si la rama pertenece a la trayectoria y esta orientada en el mismo sentido; -1 si pertenece a la
trayectoria, pero esta orientada en sentido contrario; 0 si no pertenece a la trayectoria.
Donde K = cuadrada no singular
.Como las matrices K y AB relacionan
las ramas de rbol a trayectorias y a
buses; hay correspondencia de uno a
uno entre trayectorias y buses; y es
posible demostrar que KT=AR-1
Matriz de Incidencia Elemento-
Conjunto Cortado Bsico.
Es una matriz B que tiene los siguientes elementos 1 si el elemento es incidente y est
orientado en la misma direccin del conjunto cortado bsico, -1 si el elemento tiene direccin
opuesta al conjunto cortado bsico, 0 si no hay incidencia en el elemento y el conjunto
cortado bsico.
La submatriz de UB esta constituida por las ramas de rbol y la Bl por las uniones. La
identidad de la matriz UB demuestra la correspondencia uno a uno de las ramas de rbol y
conjuntos cortados.
AB
A = AL
Pasos
RAM
A
I II III IV
1 -1
2 -1
3 -1 -1
K =
4 -1
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Es posible demostrar que la submatriz BL
puede obtenerse a partir de la matriz AL; y de
matriz KT; y sera:
BL = AL KT
Matriz de Incidencia Elemento -Malla Bsica
La matriz de referencia indica la incidencia de
elementos a mallas bsicas de un grfico
conectado, se denota por c y tiene los
siguientes elementos: 1 si el elemento
considerado es incidente y posee el mismo sentido que la malla; -1 si el elemento es incidente,
pero su sentido es opuesto a la malla considerada y 0 si no hay incidencia:
La submatriz Cb
tiene tantas filas
como ramas de rbol
y la submatriz UL
(de las uniones)
poseen tantas filas como
uniones posee la grfica
conectada. La identidad de la
matriz UL demuestra la
correspondencia uno a uno de
las uniones de las mallas
bsicas.
2.3. Formulacin de las ecuaciones de una red
Veamos un procedimiento para sistematizar la informacin sobre las caractersticas de cada
rama de una red.
Conjuntos cortados Ra
mas 1 11 111 1V
1 1
2 1
3 1
4 1
UB
5 -1 1 1
6 -1 1
B =
7 -1 1
BL
Mallas
Elem I II III
1 1
2 1 -1 1
3 -1 -1
4 -1
Cb
5 1
6 1
C =
7 1
=
UL
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En la figura se representa
una la rama p de un sistema
elctrico, compuesto por R
ramas y se utilizan las
siguientes denominaciones:
Ep-fuente de voltaje de
rama Jp-fuente de
corriente de rama
Zpp-impedancia propia de la rama . Zpq-impedancia mutua entre p y q ; Vp-caida de voltaje
en la rama p.
Es evidente que no todas las ramas cuentan con los mismos elementos; en la realidad la
mayora incluirn nicamente elementos pasivos, o sea, impedancias. Por comodidad en el
esquema no se representan las otras ramas, aunque para nuestras deducciones supondremos
que entre ellas existen impedancias mutuas, hecho que en la realidad es poco frecuente,
excepto en los casos de lneas de transmisin trifsicas paralelas, suficientemente prximas,
como para que el efecto de induccin mutua este presente.
Para la rama p la ley de orden para la rama activa, tendra la expresin:
Vp= -Ep +Zpp(Ip+Yp)+Zp1(I1+J1)+... +Zpn(In+Jn) (2-4)
Anlogamente se podra escribir para toda la n ramas, obtenindose un sistema de n
ecuaciones; que expresado en forma matricial seria:
V + E = Z (I + J) (2-5)
De esta ecuacin se obtiene:
I + J = Z(-1) ( V + E ) (2-6)
I + J = Y ( V + E)
Las matrices Z y Y son conocidas como matrices primitivas, de impedancia y admitancia
respectivamente, de la red.
2.3.1 Mtodos de las mallas.
Partiendo de las ecuaciones (2-5) puede escribirse
V = ZI + ZY - E
ZI V = E -YZ
Premultiplicando ambas ecuaciones por la transpuesta de la matriz de incidencia C (rama
mallas) tendramos.
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ZYECVCZIC ttt = (2-7) Como cada columna de C y por tanto cada fila de C t indica las ramas incluidas en una malla
se debe cumplir:
0VCt = (2-8) con la cual se cumple la segunda ley de Kirchhoff ya que la expresin anterior es la suma de
las cadas de voltaje en las mallas de la red.
Por otra parte se cumple que:
Im=I Donde Im- vector de las corrientes de las mallas;
Luego la expresin (2-8) se reduce a:
IYECZCIC tmt = (2-10)
La expresin CtZC tiene dimensin de impedancia y constituye en efecto la matriz de las
impedancias propias y mallas de las ramas ; por ello
ZCCZ tm = (2-11) Esta expresin (2-11) permite establecer la matriz de impedancia propias y mutuas de una
malla a partir de la matriz primitiva de impedancias y de la matriz de incidencia rama mallas.
De acuerdo con la expresin (2-11) la(2-10 ) ser:
IYECIZ tmm = (2-12), que es la ecuacin generalizada de un sistema elctrico , aplicando el mtodo de las mallas .
2.3.2 Mtodo nodal o de los nodos
La ecuacin (2-6) utilizando la matriz primitiva de admitancia, puede ordenarse de la
siguiente forma :
YEJIYV = , Premultiplicando ambos miembros por la transpuesta de la matriz de incidencia elemento
barra A ,tendremos.
)YEI(AIAYVA ttt = (2-13) Como cada columna de A indica la conexin de las ramas a cada nodo del sistema, se ha de
cumplir que:
,0IA t = para que se cumpla la 1 ley de Kirchhoff.
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Por otra parte :
,AVnV = donde VN es la matriz de los voltajes de los nodos el fondo al nodo de referencia , o sea el
neutro en nuestro caso .
Por todo lo anterior ,la expresin (2-13) se reduce a:
)YEI(AYAVA tnt = (2-14)
Donde : YAAY tn = (2-15) Es la matriz de admitancia propias y mutuas de los nodos.
Sustituyendo (2-14) en(2-15) tendramos
)YEI(AVNY tn = (2-16) que es la ecuacin generalizada del rgimen de un sistema en base a sus potenciales de nodos
.la matriz Yn recibe corrientemente el nombre de matriz de admitancia nodal y su inverso la
matriz:
1nn YZ= ((22--1177))
recibe el nombre de la matriz Z de barra o Z bus:
Ejemplo:
Aplicando el mtodo desarrollado, determine las ecuaciones para solucionar el siguiente
sistema:
La grfica orientada para esta malla; as como su matriz de conexin rama malla base
serian:
C =
011110101100010001
=
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La matriz primitiva de impedancia Zp ser :
ZC =
ZfZe
ZdZc
ZbZa
X
011110101100010001
=
00
000
0000
ZfZfZeZeZdZd
ZcZb
Za
CtZC = 011100110010101001
00
000
0000
ZfZfZeZeZdZd
ZcZb
Za
La matriz impedancia de las mallas ser:
Zm = ZeZdZcZeZd
ZeZfZeZbZfZdZfZcZdZa
++++++
Aplicando (2-12) y teniendo en cuenta que no hay fuentes de corriente tendramos:
Im = 321
III
E =
0000
EbEa
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El signo de las corrientes de mallas es positivo ya que se eligi su sentido de forma tal que
corresponden con el de los eslabones del grafo.
El signo de la fuente de voltaje es positivo si su sentido corresponde al sentido positivo
asegurado a la rama correspondiente en el grafo.
CtE = 011100110010101001
0000
EbEa
= 0
EbEa
Zm X Im = CtE
Desarrollando se obtiene:
(Za + Zd + Zf) I1 - Zf I2 Zd I3 = Ea
Zf I1 + (Zb + Zc + Zf)I2 Ze I3 = Eb
Zd I1 Ze I2 + (Zc + Zd +Ze)I3 = 0
2.4 Mtodo de la eliminacin sucesiva: (Eliminacin Gaussiana)
Se utiliza fundamentalmente para eliminar nodos y solucionar, mediante computadoras los
sistemas de ecuaciones que describen el RE de un sistema elctrico.
Veamos su desarrollo terico para un pequeo sistema de 4 barras.
Y11 V1 + Y12 V2 + Y13 V3 + Y14 V4 = I1 (2-18)
YV = Y21 V1 + Y22 V2 + Y23 V3 + Y24 V4 = I2 (2-19)
Y31 V1 + Y32 V2 + Y33 V3 + Y34 V4 = I3 (2-20)
Y41 V1 + Y42 V2 + Y43 V3 + Y44 V4 = I4 (2-21)
Este mtodo consiste en reducir el sistema de 4 incgnitas a un sistema de una sola incgnita
mediante pasos sucesivos; as, primero se reduce de 4 a 3 incgnitas.
El proceso comienza al seleccionar una ecuacin y eliminar de ella una variable, cuyo
coeficiente se le llama pivote.
1)- se divide la primera ecuacin del sistema anterior por el pivote Y11 para obtener
V1 +Y12/Y11V2+ Y13/Y11 V3 + Y14/Y11 V4 = I1/Y11 (2-22)
2)- Se multiplica la ecuacin (2-22) por Y21,Y31 y Y41 y se resta a sus respectivas ecuaciones,
obteniendo:
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(Y22Y21*Y12/Y11)V2 + (Y23-Y21*Y13/Y11)V3 + (Y24Y21*Y14/Y11)V4 = I2 (Y21/Y11 )I1
(Y32-Y31Y12/Y11)V2 + (Y33- Y31Y13/Y11)V3 + (Y34- Y31Y14/Y11)V4 = I3 (Y31/Y11) I1 (2-23)
(Y12 Y41Y12/Y11)V2 + (Y43 Y41Y13/Y11)V3 + (Y44- Y41Y14/Y11)V4= I4 (Y41/Y11 )I1 El sistema de ecuaciones modificado para eliminar V1 seria:
V1 + Y12/Y11V2 + Y13/Y11V3 + Y14/Y11V4 = 1/Y11 I1
Y22(1)V2 + Y23(1)V3 +Y24()V4 = I2() (2-24)
Y32()V2 + Y23()V3 + Y24()V4 = I2(i) (2-25)
Y42()V2 + Y43()V3 + Y44()V4 = I4() (2-26)
Donde el superndices indica los coeficientes de la etapa 1, desarrolladas por la expresin:
Yjk()=Yjk Yj1Y1k/Y11 Para j y k = 2, 3, 4
Y las expresiones del lado derecho modificadas son
Ij(1) = Ij (Yj1/Y11 )I1 para j =2,3,4
Como se ve, las ecuaciones (2-24) (2-26) pueden ahora ser resueltas para V2, V3 y V4 porque
se ha eliminado V1, los coeficientes constituyen una matriz reducida 3x3 que representa un
sistema equivalente de 3 barras en la que se elimino la barra 1; los voltajes V2,V3,V4 de este
equivalente, tienen los mismos valores que el original; pues adems en la reduccin se ha
tomado en cuenta la inyeccin de corriente I1 sobre la red.
Procediendo de igual manera, se puede obtener un sistema de ecuaciones constituido por la
expresin 1-23 y los siguientes
V2 +Y23(1)/Y22(1) V3 + Y24(1) /Y22(1)V4=1/Y22(1)I2(1)
V3 +Y34(2)/Y33(2) V4=1/Y33(2)I3(2)
V 4=1/Y44 (3)I4(3)
A partir del cual es muy sencillo obtener los valores de los voltajes por el paso de sustitucin
inverso.
Eliminacin de nodos por lgebra matricial (eliminacin de Kron)
2.5 Mtodo de factorizacin triangular:
Frecuentemente en el estudio de un Sistemas Electricos, se analiza el comportamiento del
sistema para distintos estados de carga, mientras que la matriz Yn se mantiene constante.
En estos casos, al calcular cada flujo de potencia aplicando el mtodo de eliminacin de
Gauss, la parte derecha del sistema de ecuaciones se mantendr constante, solo vara la parte
izquierda, ya que depende de la inyeccin de corriente al nodo; por lo que se evitara un
notable esfuerzo computacional si todos los pasos de la eliminacin gaussiana no fuese
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necesario repetirlos. Esto se puede lograr expresando la matriz Yn como el producto de las
matrices L y U, que se definen para un sistema de 4 barras por:
L =
44434241033323100222100011
YYYYYYY
YYY
U =
100033Y/34Y10022Y/24Y22Y/23Y1011Y/14Y11Y/13Y11Y/12Y1
Las matrices L y U son llamadas factores triangulares inferior y superior de Yn y tienen la
importante propiedad de que: L U
Al proceso de desarrollar las matrices triangulares se le llama factorizacin triangular. La
matriz L es el registro de las columnas que son eliminadas sucesivamente y la matriz U
registra aquellos elementos de las filas que son generadas sucesivamente en cada etapa del
proceso de eliminacin Gaussiana.
Sustituyendo LU en la expresin YV = I se obtiene L(nxn)U(nxn)V(nx1) = I
El producto UV se puede reemplazar por un nuevo vector de voltaje K , tal que
L(nxn) K(nx1) = I ;
U(nxn) V(nx1) = K
lo que para el sistema de 4 nodos seria:
44434241
333231
2221
11
YYYY0YYY00YY000Y
4
3
2
1
K
K
K
K
==
4
3
2
1
I
I
I
I
1000YY100
YY
YY10
YY
YY
YY1
33
34
22
24
22
23
11
14
11
13
11
12
4
3
2
1
V
V
V
V
==
4
3
2
1
K
K
K
K
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 20
Ejemplo. Para el sistema que se muestra determine los voltajes en los nodos del mismo.
La matriz admitancia nodal se obtiene aplicando la expresin ( 1- 15)
YYnn==
1000100110100011010101100000
8,05,2
0,50,8
25,675,375,325,6
8,0
JJ
JJ
JJJJ
J
1110000000011000110100101010
YYnn==
3,80,000,510,20,08,550,210,200,550,225,1975,1150,250,275,1175,16
JJJJJJ
JJJJJJJ
;; aplicando se obtiene::
3,80,000,510,20,08,550,210,200,550,225,1975,1150,250,275,1175,16
JJJJJJ
JJJJJJJ
4321
VVVV
=
135/68,090/1
00
Aplicando ahora la eliminacin de Gauss se obtiene :
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 21
Primer paso de eliminacin de Gauss:
1 -10,70149 -0,14925 -0,14925 V1 0
0 -j11,00746 j4,25373 j6,75373 V2 = 0
0 j 4,25373 -j5,42686 j0,37313 V3 1.0/_-90
0 j6,75373 j0,3713 -j7,92686 V4 0,68/_-135
Segunda Etapa
78305,398305,20098305,278305,300
61356,038644,01014925,014925,070149,01
jjjj
+
4321
vvvv
==
135/68,090/0,1
00
Tercera Etapa
43082,100078853,010061356,038644,01014925,014925,070149,01
j
4321
VVVV
==
7466,110/35788,10/26434,0
00
Cuarta Etapa
178853,0161356,038644,0114925,014925,070149,01
4321
VVVV
==
7466,20/_94867,00/_26434,0
00
Proceso de Sustitucin Inverso:
V4=0,94867/_-20,7466
V3-0,78853V4=0,26434/_0
V3=0,99965/_-15,3716 pu.
Operando de igual forma se obtiene que:
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 22
V2=0,96734/_-18,6030 PU V1=0,96903/_-18,4189
Determnese ahora, el voltaje en la barra 3, si la fuente de corriente en la barra 4 se varia a
I4=0,60/_-120.
Para ello se utiliza la factorizacin triangular.
De los clculos anteriores se obtiene la matriz L de las columnas antes de cada paso de
eliminacin, as:
L =
43082,198305,275373,650,278305,325373,450,2
00746,1175,1175,16
JJJJJJJ
JJJ
Luego
43082,198305,275373,650,278305,325373,450,2
00746,1175,1175,16
JJJJJJJ
JJJ
4
3
2
1
KKKK
=
120/_60,090/_00,1
00
Por simple inspeccin se ve que
-j16,75K1=0 K1=0
Anlogamente ocurre para K2=0
De la tercera fila de L se obtiene :
J2,50.0 + J4,25373.0 J3,78305K3=1.0/_-90
K3= (1.00/_-90) / 3,78305/_-90=0,26434
K4=[(0,60/_-120) - J2,98305 x 0,26434]/-J1,43082=0,93800/_-12,9163
De la ltima etapa de la eliminacin se tiene la matriz U y al sustituir en la ecuacin U V = K
tenemos:
17853,01
61356,038644,0114925,014925,070149,01
4
3
2
1
VVVV
==
09163,12/_93800,026434,0
00
Y aplicando el paso de sustitucin inversa tenemos
V3=0,9380/_-12,9163 pu.
V3=0,26434-(-0,78553)x 0,93800(/_-12,9163)=0,99904/_-9,5257
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 23
Como se ve, la sustitucin de la fuente de corriente en la barra 3, provoca que el voltaje
disminuya en mdulo y se adelante en 5,8459
Si se desea se pueden calcular los otros voltajes
V2 = 0,96118/_-11,5551, V1 = 0,96324/_-11,4388
Si la matriz Yn es simtrica se puede demostrar, que el proceso de factorizacin puede seguir
el siguiente curso:
U V = I
D V I = V
donde D =
)1(44
)1(33
)1(22
11
YY
YY
matriz diagonal de los pasos de eliminacin.
U V V I
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 24
CAPITULO 3. CLCULO DE LOS REGMENES DE TRABAJO DE LAS REDES
ELCTRICAS
3.1 Introduccin:
El clculo de los regmenes de trabajo de las redes elctricas se realiza con el objetivo de
determinar sus indicadores tcnicos- econmico durante la estada de proyeccin o
explotacin; estos indicadores fundamentales son:
9 Carga de los elementos de la red, 9 Correspondencia entre la capacidad de paso de las lneas y el flujo de potencias
previsto para ellas.
9 Tensin en los nodos de la red. 9 Prdidas de potencia y energa y efectividad de las medidas para su disminucin. 9 Secciones de los conductores y cables. 9 Potencias de los transformadores, autotransformadores y equipos de
compensacin.
Un sistema elctrico en estado normal de funcionamiento esta representado por una red
elctrica trifsica equilibrada en rgimen sinusoidal permanente y donde se cumple que:
La energa generada satisface la demanda de los consumidores mas las prdidas en las lneas.
Los voltajes en los nodos permanecen prximos a los nominales. Los generadores funcionan dentro de los lmites especificados de potencia activa y
reactiva.
Las lneas de transmisin y transformadores no estn sobrecargados.
Importante particularidad del clculo del rgimen del SEE es su alinealidad, la cual se
manifiesta en que, en primer lugar, los parmetros buscados del rgimen (voltajes y
corrientes) estn enlazados entre s a travs de la potencia como expresiones de magnitudes
complejas, o bien, como expresiones que contienen funciones trigonomtricas de las fases de
las corrientes y voltajes. En segundo lugar, las potencias de los generadores y las cargas a
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 25
menudo pueden ser representadas como dependencias no lineales de otros parmetros del
rgimen (por ejemplo) el voltaje y la frecuencia.
La alinealidad de las ecuaciones que describen el rgimen elctrico del SEE, conduce a la
necesidad de solucionar sistemas de ecuaciones alineales, los cuales exigen un considerable
trabajo, particularmente para SEE con gran complejidad, dado que su solucin se basa en
mtodos iterativos.
La diversidad de tareas a enfrentar en el clculo del rgimen del SEE conduce a que, en
oportunidades, una misma magnitud, en algunos casos puede ser un dato y en otros puede ser
una incgnita. Esta situacin condujo a la necesidad de establecer, para algunos nodos del
sistema determinadas condiciones, as la informacin sobre los parmetros del rgimen puede
ser dada de dos formas:
Se conocen la potencia activa P y reactiva Q en el nodo y l mdulo del voltaje y la fase constituyen las incgnitas. Este tipo de nodo es comnmente utilizado para
representar nodos donde se conectan cargas y/o generadores pequeos o que no
poseen reguladores de la excitacin efectivos. Son conocidos como Barra PQ.
Son datos l mdulo del voltaje U y la potencia P, en este caso Q y el ngulo de la fase del voltaje () constituyen los datos buscados. Este tipo de representacin se utiliza para nodos de generacin con gran capacidad de potencia reactiva, capaces de
mantener el voltaje constante ante variaciones de la carga. Son conocidos tambin
como barras de voltaje controlado. Constituyen las llamadas Barra PV. .
Si de todos los nodos del sistema, una parte fuese PQ y la otra PV, resultara que todas las Pi del problema serian conocidas, pero como las potencias demandadas en los
nodos PDi se suponen conocidas en todo los nodos y en como se supone que todas las
PGi son datos del problema, se estara ante el hecho de que no se satisfara la condicin
del balance de potencias activas,
PGi =PDi + Pper Esto no puede ser cumplido desde un inicio ya Pper depende de los voltajes en los nodos, por lo que solo es posible calcularla luego de determinados los voltajes en los
nodos los cuales son el resultado del estudio de carga; por eso es necesario situar un
nodo del cual no se seale el valor de su potencia Si, obtenindose esta del clculo. Es
conveniente a este nodo asignarle un voltaje y sealarle como argumento 0; con lo
que todos los dems argumentos quedarn fijados a este. Luego, para este nodo, son
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 26
conocidos el voltaje en modulo y ngulo (i=0) y como incognitas Pi y Qi. Este nodo recibe el nombre de nodo de balance y de referencia barra oscilante o barra U.
Dada la complejidad de un sistema real, el anlisis de flujos de potencia se realiza mediante
programas de computacin que calculan las tensiones en los nodos, asi como los flujos de
potencia y prdidas de potencia en los distintos elementos de la red.
Los mtodos de anlisis mediante corrientes de mallas o potenciales de nodos no son
aplicables directamente, ya que las cargas vienen dadas generalmente como potencias en lugar
de impedancias y los generadores se consideran como fuentes de potencia, no de corrientes.
En consecuencia la formulacin del problema lleva al planteamiento, como ya se sealo
anteriormente, de un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales, para cuya solucin son
precisas tcnicas de resolucin iterativas.
En oportunidades, para los fines perseguidos no es necesario realizar el clculo de toda la red;
sino de una seccin de ella, siendo necesario en estos casos realizar una serie de
consideraciones, las que permiten la ejecucin del calculo en forma manual y que se vern a
continuacin.
3.2 Clculo del rgimen de un tramo de la red.
El rgimen elctrico de un tramo de la red se caracteriza por un conjunto de parmetros, para
el clculo de las cuales sirven, como datos iniciales, el esquema de conexin elctrica del
tramo dado, las resistencias, inductancias, conductancias y susceptancias de los elementos
componentes, flujo de potencia en ellas (corrientes), valores del voltaje en los nodos.
El clculo de las redes trifsicas generalmente se ejecuta a semejanza de modelos
monofsicos, donde se dan las tensiones de fase de trabajo, impedancias y admitancias de
fase, tensiones de lneas y corrientes, flujos de potencias y cargas en los nodos para las tres
fases. En estos casos la potencia en el tramo de la red trifsica se expresa, S =UI, donde
I=3Ifase, corriente de lnea. La perdida de potencia debido a la circulacin de la corriente de
lnea a travs de las impedancias de fase corresponde a las prdidas en tres fases de la red
P=I2R2=3If2R ; Q=I2X2=3If2X (3-2) En lo adelante, dentro del texto las magnitudes complejas sern representadas por el smbolo
(), as, por ejemplo, la potencia total aparente expresada en forma compleja ser denotada
como S:
S=UI*=Ue jvIe ji=UIe jiv (3-3) o tambin
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 27
S= S(cos+jsin)=P+ jQ (3-3 a) Con esta convencin, si la corriente posee carcter inductivo y se toma como referencia (>0) obtenemos Q>0
Teniendo en cuenta que la impedancia Z= R +jX y que para la reactancia inductiva, X>0; se
puede escribir la admitancia compleja Y=Z-1 como Y= G +jB; entonces la susceptancia inductiva ser negativa, b0 en los casos en que U1 adelante a U2.
En el caso de las redes con tensiones nominales 110 kV y
menos, la influencia de la componente reactiva (transversal)
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 28
no es muy grande, por eso, en los clculos prcticos se acostumbra valorar la cada de tensin
y la prdida de tensin por su componente activa (longitudinal).
U12 U12 U12 (3-8) Determinemos ahora las prdidas de potencia en un tramo de lnea, para ello partiendo de la
expresin S12=S1- S2, o sea S12=U 12I*=IZ12I* y considerando que I=(S2/ U2)* y que I*= (S2/ U2) se tiene:
S12=(S2/U2)2(R12+jX12) S12= ( P12+jQ12) P12= [(P22 +Q22)/U22]R12 (3-9) Q12= [(P22 +Q22)/U22]X12
En el caso de que se den los datos del nodo inicial (Clculo por los datos de inicio, Fig.3) es
decir a partir del voltaje U1 y de la potencia S1, haciendo coincidir el vector U1 con el eje
real (referencia), se obtendr el voltaje U2 por la expresin:
U2= U1U12= U1U12 j U12= U2= U2ej12 El mdulo del mismo sera:
U2=[( U1 U12) 2+(U12) 2] Y el ngulo de defasaje
12= tg1[U12/ ( U1 U12)] Las cadas de voltaje en el tramo son: U12=(P1R12+Q1X12)/U2 U12=(P1X12Q1R12)/U2 y las prdidas de potencia se calculan por las expresiones:
S12=(S1/U1)2(R12+jX12) S12= ( P12+jQ12)
P12= [(P12 +Q12)/U12]R12 Q12= [(P12 +Q12)/U12]X12 Ejemplo # 1.
Se desea conocer el voltaje al inicio de un tramo de
red, del cual
se conocen los
siguientes
datos.
Impedancia de
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 29
la lnea, ZL=3+j6 []; potencia aparente en el extremo del recibo S =10 MVA a cos de 0,8 en atraso; tensin efectiva de lnea en el recibo UL= 30kV. Determine tambin la potencia al
inicio de la red, as como la perdida de tensin.
De acuerdo a los datos:
S2=8 +j6
U12=(83+66)/30 = 2kV U12=(8636)/30 = 1kV U12 = 2+j1 U1= U2+U12= U2+U12 j U12= 30+2+ j1 = 32+ j1 kV U1=[( U2+U12) 2+(U12) 2] ==[( 30+2) 2+(1) 2] 32 kV 12= tg1[U12/ ( U2+ U12)] = tg1[1/ 32] = 1,8 P12= [(P22 +Q22)/U22]R12 = [(82 + 62)/302]3 = 1/3 MW Q12= [(P22 +Q22)/U22]X12 = [(82 + 62)/302]6 = 2/3 MVAR En aquellos casos, cuando el esquema del tramo de red contiene no solo impedancias, sino
que contiene admitancias; tal como se muestra en la fig. 4 el clculo del rgimen se efecta
teniendo en cuenta el balance de potencias en los nodos.
Desarrollo del clculo.
Cuando son conocidos los datos de recibo o datos terminales y existen en los nodos 1 y 2
conductancias y susceptancias capacitivas a
tierra. La potencia S20 en la rama con
admitancia Y20= g20 + jb20 cuando circula por
ella la corriente I20 se determina por la
expresin.
S20= U2I*20= U2U*2Y*20 = U22Y*20
S20= P20+j Q20= U22g20j U22b20 (3-10) Donde b20>0 para las susceptancia capacitiva y Q20
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 30
U12=(P2X12Q2R12)/U2 U1= U2 +(P2R12+Q2X12)/U2+J (P2X12Q2R12)/ U2 (3-12)
o tambin U1=U1ej12 (3-12-a)
Donde 12 se calcula de acuerdo a (3-7); haciendo un razonamiento anlogo para el nodo 1 tenemos
S10= U12g20j U12b10 =P10j Q10 Las prdidas de potencia en la impedancia Z12 son:
'''''
)()()( 1212121222
22
22
12 QjPjXRU
QPS +=++= o
Donde P12+jQ12,se calculan de acuerdo a las expresiones (3-9); entonces, la potencia al inicio del tramo, teniendo en cuenta el balance de potencias ser
S1= S2+ S12+S10 o sea S1= S1 +S10
Se deja al lector para su anlisis el caso cuando son conocidos los datos al inicio del tramo.
En lneas muy largas o aquellas cuyo voltaje excede los 110 kV; es necesario considerar la
susceptancia capacitiva ya que, como muestra la expresin (3-11) y teniendo en cuenta las
consideraciones hechas en (3-10) la potencia reactiva que la misma entrega compensa en parte
la potencia reactiva demandada por la carga; haciendo con esto disminuir la magnitud de la
potencia reactiva a transmitir y por tanto disminuyendo las cadas de tensin y las prdidas de
potencias; incluso la existencia de esta susceptancia puede acarrear peligros en la operacin
cuando los niveles de carga demandados son bajos; ya que el voltaje en el extremo de recibo
debido a este efecto capacitivo llega a alcanzar valores muy por encima de los normales.
Problemas propuestos.
Para la red del Ejemplo #1: Calcule su rgimen si la misma posee en ambos nodos una
resistencia de fuga de 30k y una capacitancia de 0,1 uf.
3.3. Caractersticas angulares de potencia.
En algunos casos, el anlisis de los regmenes estables de trabajo de una rama de la red, es
cmodo realizarlo con la ayuda de las caractersticas angulares de potencia, que reflejan las
relaciones P1(12),Q1(12),P2(21),Q2(21). Para la obtencin de las mismas hagamos coincidir el vector U2 con el eje real y representemos la corriente de lnea en los elementos serie en la
forma. I=(U1U2)/Z12 = (U1ej12 U2)/ Z12
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 31
Luego el conjugado de la corriente es I*=(U1ej12 U2)/ Z*12
La potencia S1= U1I* (figura 5) se determina segn la
expresin
S1= U1ej12 (U1ej12 U2)/ Z*12=
= U12/ Z*12(U1U2/ Z*12 )ej12 (3-13) La impedancia Z12 y su conjugadas Z*12 se
representan:
Z12=Z12 ej[(/2)12] y Z*12=Z12 ej[(/2)12] (3-14)
Donde 12
121
XRtg= es conocido como ngulo de perdida
Sustituyendo (3-14) en (3-13).
S1= [U12/ Z12] ej[(/2)12](U1U2/ Z12 )ej [(/2)+(1212)] Teniendo en cuenta que Y12= 1/Z=(1/Z) ej[(/2)12]; Y12= g12+ jb12
Por lo que Y*12 = 1/Z* =(1/Z) ej[(/2)12]; Y*12= g12 jb12 De donde:
S1= U12( g12jb12)+U1U2sin(1212) )/Z12 j U1U2cos(1212)/Z12 P1= U12g12+ U1U2sin(1212)/Z12 Q1= U12b12 U1U2cos(1212)/Z12 Si se considera la admitancia a tierra en el nodo 1 Y10= g10+jb10 , entonces la potencia que
entra a la rama ser.
S1= U12(g10 g12)+U1U2sin(1212) )/Z12 jU12 (b10 +b12)+ j U1U2cos(1212)/Z12 La admitancia propia ser Y11= g10+g12+j(b10+b12) = g11+ jb11,
luego: P1= U12g11+ U1U2sin(1212)/Z12 Q1= U12b11 U1U2cos(1212)]/Z12 (3-15)
Anlogamente; para el extremo de recibo (final) es posible obtener. `
P2= U22g22- U1U2sin(2112)/Z12 Q2= U22b22 U1U2cos(2112)]/Z12 Si tenemos en cuenta que 12=-21 y 12=21 se tiene que
P2= U22g22+ U1U2sin(1212)/Z12
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 32
Q2= U22b22 U1U2cos(1212)]/Z12 (3-16) En el caso particular, cuando en el esquema de sustitucin no se consideran las admitancias a
tierra ni la resistencia de las redes, es decir, slo se considera las reactancias inductivas, las
expresiones (3-5) y (3-16) toman la forma.
P1= U1U2sin(12)/X12 Q1= U12/X12 U1U2cos(12)/X12
Q2= U22/X12+ U1U2cos(12)/X12 (3-17) Las correspondientes curvas se representan en la figura 5.
La expresin (3-17) muestra
claramente que slo existir
transmisin de potencia entre el nodo 1
y el 2, a travs de reactancia X12, si el
ngulo 12 es positivo, es decir, si el vector U1 est adelantado con
respecto U2, el ngulo 12 determina la direccin del flujo de la potencia
activa y el mdulo del voltaje influye
solo en las magnitudes P1 y P2.
Otra cosa sucede con la potencia reactiva, efectivamente en las condiciones de U1= U2= U se
obtiene.
Q1=U2 (1-cos12)/X12 >0 Q2=U2 (cos12-1)/X12 0) se muestra en lnea de puntos),
Figura 5. Variacin de P y Q con Delta
-2,5-2
-1,5-1
-0,50
0,51
1,52
2,5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Grados
P,Q
1,Q
2 PQ1Q2
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 33
El incremento del modulo del voltaje U1 manteniendo U2= const y 12=const. conduce al aumento de Q1 y al cambio de signo de Q2 en comparacin con el caso anterior; la potencia
reactiva (Q20) fluye hacia la red exterior; tal como se muestra en la Fig. 7 con lneas de puntos.
As; los mdulos de las tensiones U1 y U2 y el ngulo 12 entre ellos determina la magnitud y la direccin de la potencia reactiva transmitida y al mismo tiempo establece la demanda de
potencia reactiva necesaria para la realizacin (establecimiento) de rgimen dado.
3.4.Clculo del rgimen de redes radiales.
En distintas oportunidades surge la necesidad de obtener resultados ingenieriles sobre el
clculo del rgimen de redes radiales, en tales casos es posible utilizar las relaciones
encontradas para el clculo de un tramo o rama de la red.
Para una red compuesta de varios tramos (Figura.8) es posible definir dos casos concretos de
tipos de clculo.
En el primero de ellos se consideran dados el voltaje Uny la potencia Si en los nodos. Con
estos parmetros el rgimen se determina directamente mediante la ejecucin consecutiva de
clculos del tipo conocido como Por datos de recibo para cada uno de los tramos, de
acuerdo a las expresiones (3-4) a (3-9) y la ejecucin del balance de potencias en los puntos
intermedios (nodos) de la red.
As para el nodo n1 se tiene. U (n1) = UnU12= Un U(n1)n j U(n1)n =U(n1)ej(n1)n
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 34
S(n1)= Sn+ S (n1)n +S(n1)0 Donde Un,Un, Sn representan las cadas de voltaje activo y reactivo y las prdidas de potencia en el tramo (n1)n, adems, el vector Un en el final del tramo se hace coincidir con el eje real, el mdulo del voltaje U(n1) y el ngulo de fase entre las tensiones U(n1) y Un se
determinan por las expresiones (3-6-a) y (3-7. De forma anloga se calcula el voltaje en los
dems nodos teniendo cuidado en hacer coincidir cada vez el eje real con el voltaje al final del
tramo,es decir para el tramo i haramos UI= UI. El giro resultante del vector U con relacin a Un es fcil de encontrar sumando todos los desplazamientos angulares i en los diferentes tramos de la red, de forma que n= i. Ejemplo # 2.
Para la red que se muestra determine los voltajes e la barra 1 y de alimentacin, as como la
potencia en el extremo de suministro. Se conoce el voltaje en la barra 2 y el mismo es igual a
100 Kv.
Calculando el voltaje en el nodo 1:
U1= U2+U12+jU12 U12= (P2R12+Q2X12)/U= (166+1512)/100=2,76 kV U12= (P2X12Q2R12)/U= (1615612)/100=1,68 kV U1= 100+2,76+j1,68= 102,76 + J1,68 kV. ; U1=102,77 kV.
12= tg-1(1,68/102,76); 12= 0,93 P12=(P22+Q22)R12/U22=(162+122)6/1002=0,24 MW Q12=(P22+Q22)X12/U22=(162+122)15/1002=0,60 MVAR S2= S2+ S12= 16+j12+0,24+j0,6=16,24+12,16
S1= S2+ S1 = 16,24+24+j16=40,24+j28,6
Haciendo ahora coincidir U1 con el eje real se
obtiene:
U1A=(40,2412+28,620)/102,77=10,26 U1A=(40,242028,612)/102,77=4,49
U1= 102,77 +10,26+ J4,49= 113,03 +j4,49= 113,12 kV
1A=tg14,49/113,03=2,27 ; =0,93+2,27=3,2 UA = 113,123,2 kV P1A =(40,242+26,62)12/102,772=2,75 MW P1A =(40,242+26,62)20/102,772=4,57 MVAR
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 35
SA= 40,24+2,75 + J(28,6+4,57) = 43 + j 33,35
En el segundo caso, cuando se da el voltaje Uen el punto de alimentacin y las diferentes
potencias en los nodos Si slo es posible obtener la solucin por medios iterativos. En la
primera etapa del clculo, suponiendo el voltaje en los nodos igual al nominal de la red U1=
U2= U3= Unominal, se calculan las prdidas de potencia Si en cada uno de los tramos de la red por los datos de recibo con la ayuda de (3-9) y considerando el balance de potencias en
los nodos, entonces para el punto de alimentacin se tiene.
SA=( Si+ Si) La segunda etapa del clculo consiste en determinar las tensiones en los nodos por el mtodo
de los valores al inicio o en el suministro, as. Para el primer tramo, por el valor encontrado de
SA y el voltaje dado UA, hacindolo coincidir con el eje real, se calcula el voltaje U1 y el
ngulo 1; en lo adelante, por la potencia en el tramo 12 (S12) y el voltaje U1 suponiendo ahora que 1=0, se calcula el mdulo y la fase del voltaje U2 y as hasta la determinacin de Un. El ngulo resultante de defasaje se determina como en el primer caso de calculo, es decir sumando los ngulos i de los distintos tramos. Cuando los valores de las tensiones determinadas no se diferencian mucho de la nominal
0,97Un
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 36
SA1= (40,22+ 28,52)( 12+j20)/1102=2,4 +j4,03 S1= S1+ SA1= 40,2 +j28,5+2,4 +j4,03=42,6+j32,53 Segundo paso. Se calcula ahora las tensiones en los nodos.
U1= UAUA1jUA1 U 1= 120(42,6x12+32,53X20)/120 j(42,6x2032,53X12)/120 U 1= 1209,63j3,85 = 110,33 j3,85= 110,4 2 Se determina el voltaje U2; para ello se hace coincidir el eje real U1 y con el valor de S=16,2
+j12,5, repitiendo el proceso anterior se calcula U12 U2= U1U12jU12 U2= 110,4(16,2x6+12,5X15)/110,4 j(16,2x1512,5X6)/110,4 U2= 110,42,57 j1,52 = 107,83 j1,52 =107,90,8; = 2 0,8 = 2,8 ; luego U2= 107,92,8; El diagrama monolineal
con el flujo de carga ser
el que se muestra:
3.5 Clculo del rgimen de trabajo de una red en lazo.
Uno de los ejemplos mas sencillo de una red en lazo es la
red en anillo; cuya representacin esquemtica se
muestra en la fig. 9.
Si la red se abre y se separa en el punto de alimentacin, la
misma puede ser representada como una transmisin
elctrica alimentada desde dos extremos (fig. 10).
Las magnitudes conocidas son el voltaje en el punto de
alimentacin UA y las cargas en los nodos y Si respectivamente. Por cuanto el voltaje y las
potencias estn dados para distintos nodos, el calculo solo puede efectuarse de forma iterativa
pero para ello es necesario determinar la potencia S que entra a la red por cada uno de sus
extremos, y luego, siguiendo un proceso igual al que se realizo para la red elctrica radial; se
calculan los voltajes en los nodos.
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 37
A continuacin se desarrollar este proceso:
Para la red en lazo es posible escribir, segn la 2da Ley de Kirchchoff la expresin.
UAA= I1Z1+ I2Z2+ I3Z3+ I4Z4 = 0 Suponiendo como aproximacin inicial que en todos los nodos las tensiones son iguales a la
nominal, y expresando la corriente en funcin de S y U, se obtendra:
UAA= (S*A1Z1+ S*12Z2+ S*23Z3+ S*3AZ4)/ Unom = 0 De donde
S*A1Z1+ S*12Z2+ S*23Z3+ S*3AZ4 = 0 (3-18)
Planteando la ecuacin de balance de potencias, en el esquema de la (Fig.10) queda:
S12= SA1S1 S23= S1 S2= (SA1S1 S2) S23= S1 S2= (SA1S1 S2) (3-19) S3A= S23 S3= (SA1S1 S2S3)
Sustituyendo (3-19) en (3-18) se tiene.
SA1Z*1+ (SA1S1)Z*2+(SA1S1S2)Z*3+(SA1S1 S2S3) Z*4=0 De donde
SA1= [S1(Z*1+Z*2+ Z*3)+ S2(Z*3+ Z*4) + S3 Z*4]/ (Z*1+Z*2+ Z*3 +Z*4)
Luego, en forma ms compacta
SA1= [SiZ*iA]/ Z*AA ; donde la sumatoria se extiende de i=1 hasta 3, que es el nmero de nodos,
para la otra entrada sera:
SA3= [SiZ*iA]/ Z*AA En el caso general para n cargas en la red anular bastara con extender la sumatoria hasta i= n
y sera:
SA1= [SiZ*iA]/ Z*AA
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 38
SAn= [SiZ*iA]/ Z*AA (3-20) Donde Z*iA y Z* iA complejos conjugados de la impedancia de la lnea del nodo i en el cual
esta conectada la carga SI, al punto de alimentacin Ay A correspondientemente.
Luego de la determinacin de los flujos de potencia en los cabezales de la lnea (tramos
iniciales), es posible en
primera aproximacin
determinar las potencias en
los restantes tramos de la
red aplicando en cada nodo
el principio de que si no
hay fuentes de energa en el
nodo la potencia que al
mismo llega es iguala la ue
sale, del resultado de este
anlisis en cada nodo se encontrar un nodo que recibe energa desde las barras A y A, este
es el punto de divisin de las potencias y este nodo hacia el cual fluye potencia desde los dos
extremos recibe el nombre de nodo de divisin de potencias y en el esquema tal nodo se
representa por el smbolo ; en la Fig. (11-a) este nodo es el 2. La carga en el nodo de divisin de potencias se separa en dos componentes de acuerdo con el flujo de potencia por
los tramos adyacentes (Fig. 11 b). Luego de efectuado esto; la red puede dividirse en dos
redes radiales en el nodo de divisin de potencias , ya que los flujos se mantienen invariables. Como resultado el esquema inicial se transforma en dos partes independientes,
cada una de las cuales se caracteriza por el voltaje UA en el punto de alimentacin y las
potencias de las cargas en los nodos.En lo adelante se efecta el clculo tal como se realiza
para las redes radiales con caractersticas semejantes. En este caso, el voltaje del punto de
divisin de potencias ser calculado dos veces; por lo que su valor ser la semisuma de
ambos valores (Vea fig. 11-b).
En el caso mas general, el punto de divisin de potencias activa y reactiva no concuerdan.
Si los puntos de divisin de las potencias activas y reactivas no coinciden; (Fig. 12-a), entonces, para la divisin de la red en dos partes independientes es necesario determinar
aproximadamente las prdidas de potencia entre los nodos de divisin de las potencias activas
y reactivas tomando como tensin dada la nominal de red para dichos nodos.
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 39
As para el esquema de la fig. 12-a, se tiene.
P32 = P322R23/Unom2 Q23 = Q23X23/Unom2 Sumando P32 y Q23 a las cargas en los puntos de divisin de
potencias, es posible entonces
dividir la red en dos partes
independientes; no variando la
distribucin del flujo de cargas en
ella. Ntese que P se suma a la carga del nodo de divisin de la
potencia reactiva y Q a la del de divisin de la potencia activa. Luego se procede como en el caso anterior.
Ejemplo 4.
Para el sistema que se muestra determine
su rgimen de trabajo. El punto A tiene
una tensin de 1200 kV. El voltaje nominal de la red es de 110Kv.
Abriendo la red se tiene el esquema que se
muestra.
Determinando SA1
SA1= (15+j8)(17j33)+ (6+j10)(13j23)+ (20+j10)(10j20)/(32j63)
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 40
SA1= 16,28 +j11,2
SA3= Si SA1= 41 +j28 (16,28 +j11,2) SA3= 24,72 +j 16,8
Calculo de los flujos en las ramas para determinar el punto de divisin de las potencias:
S12= SA1 S1=16,28+ j11,2 15 j8= 1,28+ j3,2 S23= S12 S2=1,28+ j3,2 6 j10= 4,72 j6,8
Al ser negativo el flujo S23, indica que la
carga del nodo 2 es alimentada desde ambos
extremos, por lo que el punto de divisin para
ambas potencias es el nodo 2; por lo que el
sistema se divide en 2 esquemas radiales
independientes en dicho nodo quedando
como se muestra.
Teniendo en cuenta las prdidas en los tramos
1 y 2; se calcula de nuevo SA1 luego:
S12= (1,282+3,22)(4+ j10)/1102 = 0,004+ j0,01
S1= (15+ j8 +1,28+ j3,2+0,004+ j0,01= 16,284+ j11,21
SA1= (16,2842+11,212)(15+ j30)/1102= 0,485+ j0,969 SA1= 16,77+ j12,18
Conocido el valor de SA1 ya se pueden calcular los voltajes en los distintos nodos, pues se
conocen el voltaje y la potencia en la barra A, por lo que
U1= UAUA1jUA1 U 1= (16,77x15+12,18X30)/120 j(16,77x3012,18X15)/120 U 1= 1205,143j2,668 = 114,856 j2,668= 114,89 1,33 Anlogamente se calcula U2; para ello se supone U1= U1
U2 = U1U12jU12 U 2 = (1,284x4+3,21X10)/114,89 j(1,284x103,21X4)/114,89 U 2 = 114,890,324j0 = 114,39 j2,91= 114,56 0 2= A1+1 2= 1,330 , luego U2= 114,56 -1,33 Pasando a la seccin alimentada desde la barra A se tiene:
S32= (4,722+6,82)(3+ j3)/1102= 0,02+ j0,02
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 41
S3= S32+S32 +S3 =24,74+ j16,82 SA3= (24,742+16,822)(10+ j20)/1102= 0,74+ j1,48 SA3= 25,48+ j18,30
Calculando los voltajes en las barras.
U3= UA UA3jUA3 U A 3 = (25,4810+18,3020)/120 j(25,482018,3010)/120 U 3= 1205,173j2,722 = 114,827 j2,722= 114,86 1,36 Anlogamente
U2 = U3 U32jU32 U 3 2 = (4,743+6,823)/120 j(4,743-6,823)/120 U 2 = 114,860,289+j0,054= 114,57 +j0,054= 114,86 0,027 2 =A3+3 2= 1,36+0,027=1,333; luego U 2 =114,86 1,33
3.6. Clculo del rgimen de una red con alimentacin por los dos extremos.
En los casos de redes alimentadas por los dos extremos pueden ocurrir, durante el clculo de
la misma, dos situaciones.
- Los dos voltajes (tensiones) en los puntos de alimentacin son iguales. UA= UA
- Las tensiones de alimentacin son diferentes; es decir UA UA En el primer caso, la solucin es similar al de la red anular y se aplica la metodologa
correspondiente.
Cuando las tensiones son diferentes cambia la metodologa del clculo; en este caso el
rgimen se calcula como la superposicin de
dos regmenes; uno correspondiente a
tensiones iguales en los extremos de
alimentacin (UA= UA) y otro en el cual a
la red se le aplica una Fem. equilibradora,
E= UA UAbajo cuya accin circular una corriente equilibradora Ieq = E/ZAA y determinada por esta corriente existirn potencias
"'
'
"'
""""
"'
"
"'
"''[
A
n
1iiAi
AA
AAAnA
A
n
1iiAi
AA
AAA1A
Z
ZS
Z
UUUS
)213(Z
ZS
Z
UUUS
=
=
+=
+=
o
oo
o
o
oo
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 42
completarias SeqA= UAYeq y SeqA= UAYeq que se suman a las potencias respectivas en
los puntos de entrada calculada para igualdad de voltajes. Entonces, la potencia en los puntos
de alimentacin puede ser calculada por las expresiones (3-21).
Con los valores de SA1 y SAn se determina el punto de divisin de potencias y el clculo
contina como para dos redes radiales, enlazadas en el punto de divisin de las potencias.
Ejemplo # 5
Para la red mostrada en la figura determine el rgimen de trabajo de la misma. El voltaje de
alimentacin UA= 1100o kV y UA= 110-5o kV. El voltaje nominal de la lnea es de 110 Kv.
Determinando las potencias en los extremos de suministro, suponiendo UA= UA
27515j5823S
63j3220j1010j2023j1320j2633j178j15S
1A
1A
.,
)(())(())((
'
'
+=
+++++=o
o
38j6172522j423727515j5823S
SSS38j61S
A
i2A1Ai
+=+++==++=
,,.,"
'''
o
ooQ
Teniendo en cuenta la diferencia entre las tensiones se calculan las potencias equilibradoras.
UA UA
67723J1146S
27515J58234028J52922S
27515J5823599J410076371S
27515j5823076366705110120120S
A
A
A
A
,,
,,,,
,,),,(,,
,,,,
'
'
'
'
+=+++=
++=
++=
o
o
o
oo
Luego por la barra A la potencia de entrada ser
72522j4163763j32
43j2210j2040j1920j2630j158j15S 2A ,,)(())(())((
'' +=+++++=o
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 43
32314J89114S
67723J114638J61S
A
A
,,
),,(
''
''
+=++=
o
o
Determinando los puntos divisin de potencia activa y reactiva.
S12= SA1 S1=46,11+ j23,677 15 j8= 31,11+ j15,677 S23= S12 S2=31,11+ j15,677 26 j26= 5,11 j4,323 (nodo de divisin de potencia reactiva)
S3A= S23 S3=5,11 j4,323 20 j10= 14,89 j14,323 (nodo de divisin de potencia activa)
Como se ve el punto de divisin de la potencia activa es el nodo 3 y el de la reactiva el nodo
2; como no coinciden deben determinarse las P23 y Q32 para sumarlas en los correspondientes puntos y as obtener las dos redes radiales independientes.
S23=(5,112+4,3232)(3+j3 )/1102 =0,011 +j0,011 Los dos esquemas serian los mostrados.
Se realiza el clculo para el
extremo A; determinando la
potencia en esa barra, teniendo
en cuenta las prdidas.
S12=(31,112+15,6772)(4 +j10)/1102 =0,4+j1 S1=31,11+j15,677 +0,4+j1+15+j8= 46,51+ j24,677.
Operando de igual forma se obtiene:
624624234106U
5558j8891055558j11114120U
46731j95349S
866j433S
1A1
1
1A
1A
,,,
.,,,
,.
,.'
'
'
'
====
+=+=
oo
o
o
o
Para el nodo 2 se tendra:
02
0122
9165511103U
2961511103U
,,
,,
===
o
o
Para el tramo de alimentacin A se obtiene:
342,2j485,103342,2j749,22,106U
UjUUU
2
"
12
'
1212
==
=o
oooo
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 44
7070j353034414j89114S
7070j3530S
34414j89114QSS
A
3A
233AA
,,,,
,,
,,
''
''
''''
+++=+=
+=+=
o
o
oo
05115j24415SA ,,'' +=o El voltaje U3 se calcula como:
03A33
3A3AA3
6940229106U2861j221106U
2861j7793110UjUUU
,..,
,.
"
''''''
=====
oo
ooo
Como el ngulo de defasaje de UA es -50, entonces el voltaje U3 ser
U3 = 106,229-5,694 Con los voltajes calculados, se comprueba la exactitud del clculo:
7860J393020J10106
45140715S 222
3A ,,)(,, +=++= ,como se puede ver el error es del
orden de las centsimas, por lo que se acepta como bueno el resultado para este ramal, de
igual forma se puede demostrar la validez del clculo para el otro ramal.
3.6 Metodologa para la solucin del flujo de carga en redes radiales
Resumiendo se puede establecer la siguiente metodologa para determinar el flujo de carga en
redes radiales:
3.6.1. Mtodo iterativo.
1. Expresar todas las cargas en las barras en forma P + jQ.
2. Determinar las impedancias de los tramos. Para ello, conocidos los conductores, de las
tablas se determinan r [/km] y el dimetro del conductor (d), y se determina la reactancia mediante la expresin
+= 050
dDGM2460f2x ,log, [/km].
3. Calcular la potencia que entra al lazo por cada uno de sus cabezales, aplicando la
expresin (3-20)
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 45
4. A partir de la barra de alimentacin, se determinan los flujos de potencia en los tramos
de la red Sij0, mediante balance de potencias en los nodos.
5. Determinar el punto de divisin de las potencias activas y reactivas.
6. Convertir la red en dos radiales independientes, cada uno desde la barra de
alimentacin hasta el nodo de divisin delas potencias activas.
7. Calcular el flujo de potencia en cada uno de los radiales, para ello es necesario
calcular las prdidas de potencia en cada tramo, comenzando por el ltimo, utilizando
los flujos de potencia determinados en (3-28) y suponiendo en todos los nodos el
voltaje nominal. Estas prdidas de potencia se utilizan para ajustar en cada tramo el
flujo por ellos, de forma tal que Sij = Sij0 + Sij0, as hasta determinar el flujo que entra a la red por los cabezales (Sa1 y San) y que incluye las prdidas en las lneas.
8. A partir de la barra de alimentacin, y con el voltaje conocido de la misma y el flujo
calculado que entra al sistema (Sa1 San), se determinan las cadas de voltajes en los
tramos y los voltajes en los nodos para ambos radiales.
9. Con los nuevos voltajes calculados, se determinan las prdidas de potencia en los
tramos y los nuevos valores de Sa1 y San; si la diferencia en valores relativos de stos
es menor que el error permitido, se ajusta el voltaje del nodo de divisin de potencia
como Vi = [Vi+Vi]/ 2; si no lo es, se regresa al punto 7 y se repite el proceso con los
valores calculados de (Sa1 y San) y de voltajes en los nodos.
3.6.2 Mtodo aproximado.
Este mtodo hace las siguientes suposiciones:
9 El voltaje del primer nodo del radial es el nominal y con l se calcula la cada de voltaje desde la barra de alimentacin a l.
9 La componente reactiva de la cada de voltaje V se desprecia. 9 El efecto de las prdidas de potencias sobre la magnitud de V es despreciable.
Esta metodologa repite hasta el paso 6 los de la metodologa anterior.
7a Se calculan las cadas de voltaje con el flujo del tramo debido slo a las cargas. Para
el primer nodo de cada ramal se toma como voltaje del mismo el nominal Vn y
para los dems se emplean los voltajes que van siendo calculados.
8a Con los voltajes calculados y los flujos en las ramas, se calculan las Sij y se ajustan los flujos en las ramas.
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 46
En ambas metodologas se concluye con un diagrama monolineal del circuito donde se
muestran los valores de los voltajes en los nodos y las potencias en las ramas.
3.7 Caractersticas de las cargas de los sistemas elctricos
En los clculos de los regmenes transitorios y estables tiene una particular importancia la
consideracin de las caractersticas de la variacin de la carga activa (P) y reactiva (Q) de los
nodos del sistema.
Las dependencias de las cargas del voltaje P=P(u,t), Q=Q(u,t) y la frecuencia P=P(u,t), Q=Q(u,t) en el tiempo, obtenida para uno u otro rgimen transitorio, se denominan caractersticas dinmicas. Ellas reflejan la variacin de la potencia de la carga considerando el
proceso transitorio en la misma.
Si la variacin del voltaje y la frecuencia no son notables, entonces la variacin de la potencia
de la carga puede presentarse como
,
,
ffQu
uQQ
ffPu
uPP
+
=
+
= (3-22)
Donde P/U; Q/U; P/f; Q/f reciben el nombre de efectos reguladores de la carga para el voltaje y la frecuencia respectivamente.
Las dependencias P=P(u,t), Q=Q(u,t) ; P=P(u,t), Q=Q(u,t), obtenidas para variaciones muy lentas del voltaje y frecuencia (es decir prcticamente correspondientes con el rgimen estable
de trabajo de los consumidores) reciben el nombre de caractersticas estticas de la carga.
Durante la ejecucin de los clculos del rgimen estable una consideracin bastante completa
de la carga es posible considerando la caracterstica esttica que refleja la composicin de los
consumidores de cada carga concreta. Sin embargo, en oportunidades esto no es deseable y, a
veces, es totalmente imposible hacerlo, dado a la ausencia de los datos necesarios. Por eso, en
los clculos se utilizan ampliamente las caractersticas estticas tpicas generalizadas,
obtenidas por el mtodo de clculo para la composicin tpica de la carga y esquemas de
conexin de la misma. Estas caractersticas generalizadas comnmente tienen la forma.
[ ][ ]s1
UUb
UUbbQQ
s1U
UaUUaaPP
pp2
nomp2
nomp1opnom
ppnom
p2nom
p1opnom
++
++=
++
++=
()((
()((
'
'
(3-23)
Donde Unom Tensin Nominal de la carga,
-
Clculo de regimenes
S. de la F D. 47
Pnom y Qnom Potencia de la carga a tensin nominal y frecuencia nominal fn;
s =n
n
fff resbalamiento.
Para los coeficientes de la expresin (3-20) se cumple que
1bbbaaa qqppq2q1oqp2p1op =+++++=++ Las caractersticas tpicas estticas pueden considerarse slo en los casos en los cuales no hay
transformadores con coeficiente de regulacin variable que mantengan el voltaje dentro de los
lmites establecidos. Si el voltaje sale de estos lmites, entonces si se pueden utilizar las
caractersticas tpicas estticas.
3.8 Utilizacin de las mquinas computadoras para el clculo de los regmenes de
sistemas elctricos complejo
3.8.1. Particularidades del clculo del rgimen del sistema electro energtico (SEE)
En la etapa actual durante la explotacin, proyeccin e investigacin de los regmenes de
trabajo de los SEE, el clculo de sus regmenes estables es el tipo de trabajo que se realiza con
mayor frecuencia y el mismo se efecta con una amplia utilizacin de la computacin digital.
As durante la proyeccin del SEE estos clculos se efectan con el objetivo de seleccionar y
precisar los parmetros de los elementos de la red. En el proceso de explotacin, el resultado
de los clculos se utiliza para la direccin operativa y pronstico del trabajo del SEE en sus
distintos niveles. Su objetivo es la valoracin de los regmenes permisibles por las
caractersticas tcnicas de los equipos y para la obtencin de regmenes ptimos por criterios
tcnico econmicos. Adems, el clculo de los regmenes se efecta tambin para obtener
datos iniciales para los estudios de cortocircuito, estabilidad, etc.
3.8.2 Modelo matemtico del rgimen del sistema elctrico.
La diversidad de tareas en el clculo del rgimen del SEE exige una amplia universalidad de
programas para mquinas computadoras digitales (MCD), los cuales permitan resolver las
distintas tareas independientemente de la configuracin de la red elctrica, variantes de
divisin de los parmetros del rgimen en incgnitas y datos, poseer un modelo matemtico
de la red utilizable para la solucin de la mayora de las tareas y solucionar estos con la ayuda
de mtodos cuya efectividad sea satisfactoria para la mayora de los casos; todo esto, unido a
que por regla general los sistemas elctricos estn constituidos por cientos de elementos que
originan cientos de nodos de interconexin, hace necesario el establecer algunas
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S. de la F D. 48
consideraciones y reglas para conformar el modelo del sistema. Estas consideraciones
generales son:
1. Se supone que las potencias de las cargas son conocidas y su valor es constante o
depende de una funcin conocida del voltaje en el nodo. Esta suposicin esta en
consonancia con las caracteristicas propias de las cargas demandadas por los
consumidores. En efecto, por un lado la potencia es predecible dentro de un
determinado margen de error, lo que justifica que pueda tomarse como dato, por otra
parte, su variacin a lo largo del tiempo es normalmente lenta, por lo que es
razonable tomar un valor constante.
2. Generalmente se suponen ideales los transformadores de las centrales generadoras,
asi que la potencia SGi consideradas son las suministradas a los nodos desde el lado
de alta tensin de los generadores correspondientes.
3. No se suele considerar el desfasaje introducido debido a la conexin de los
transformadores de la red y se desprecian las perdidas en el hierro y las corrientes de
magnetizacin, por lo que el circuito equivalente puede reducirse a una impedancia
serie entre los nodos primerio y secundario Si el transformador trabaja a voltaje
nominal.
4. Las lneas de interconexin se representan
por su modelo Pi, siendo habitual
despreciar la conductancia a tierra; es decir
se supone g=0.
El modelo matemtico que se cumple con las
condiciones establecidas, lo es el sistema de
ecuaciones de voltajes (tensiones) en los nodos (ETN)
del sistema elctrico. Para su obtencin es
indispensable escribir la ecuacin de balance de
corrientes en los nodos. Por ejemplo para el nodo I del
sistema complejo representado en la figura 12.
Dicha ecuacin tendr la forma.
=
=+=++++
1jijijiiii
i0iiinni2i1i1i1i
UYYU
YUYUUYUUYUU&&&
&&&&&LL&&&&&& )()()( (3-24)
Donde
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=
=K
0jijii YY
o Suma de todas las conductancias de las ramas conectadas con el nodo i,
Uj Tensin en los nodos conectados directamente al nodo i mediante las ramas con
conductancias Yij.
Corriente en el nodo i
Si son conocidas las potencia de la carga (Sni=Pni+jQni), la generada (SGi=PGi+jQGi) y
tensin Ui en el nodo la corriente puede ser determinada por la expresin:
''')()(
*
**
*
*
jUUQQjPP
USS
US HiGiHiGi
i
HiGi
i
iiGiHi +
===+= (3-25)
siendo Ui = Ui-jUi
El sistema de ecuaciones (3-24) para todos los nodos del Sistema Electroenergtico, excepto
el nodo de balance, es el sistema Ecuaciones de las Tensiones de Nodos. El mismo es cmodo
representarlo en forma matricial.
= &&& UY (3-26) Donde Y Matriz de las admitancias nodales
U Vectorcolumna de las tensiones en los nodos.
Vector columna de las corrientes en los nodos. La matriz Y es fcil de
obtener directamente a
partir de la informacin
inicial, teniendo en
cuenta las caractersticas
de esta matriz. Para la
mayora de los
programas del clculo
del rgimen, tal
informacin inicial
contiene el nmero de
los nodos que limitan la rama, asi como su reactancia , resistencia y susceptancia capacitiva,
As por ejemplo, para la red mostrada en la Figura 13 esta informacin puede darse como se
muestra en la tabla 1.
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Clculo de regimenes
S. de la F D. 50
La formacin de la matriz Y segn los datos iniciales sobre las ramas de la red, lo hace el
programa de clculo del rgimen, independientemente de la configuracin del esquema de la
red en cuestin y puede ser ejecutado por diferentes mtodos. Veamos uno de ellos que utiliza
la matriz de interconexin.
Con los valores de Ri , Xi dados en la tabla 1 es posible calcular la componente activa gi y
reactiva bi de la admitancia de la rama y con el nmero de los nodos que limitan la rama, se
establece la matriz de interconexin de la red, la cual puede ser representada como se muestra
en la tabla 2. Esta tabla puede ser llenada de distintas maneras; la mas sencilla es el
barrido de la tabla 1 por pares de nodos que limitan a la rama y bsqueda de los pares de
nodos a partir del nodo 1; luego del 2 y as sucesivamente; se llenan por orden todas las
columnas de la tabla 2. Esta claro en este caso, para la obtencin de la tabla 2 hay que
barrer tantas veces la tabla 1 como nodos tienen la red.
La informacin contenida en la tabla 2, y los valores de las conductancias de las ramas
contenidos en la tabla 1, es suficiente para la formacin de la matriz Y; y se realiza durante la
formacin de la misma tabla 2.
Tabla 1. Organizacin de la informacin para formar la matriz Y
Nodos conectados
Inicio Final
Resistencia de la
rama
Inductancia Susceptancia
Capacitiva
1 3 R1 X1 bc1
2 5 R2 X2 bc2
2 3 R3 X3 bc3
3 4 R4 X4 bc4
2 4 R5 X5 bc5
4 6 R6 X6 bc6
Tabla 2. Matriz de interconexin de la red de la Fig. 13
Nmero del nodo 1 2 3 4 5
Cantidad de ramas conectadas al nodo 1 3 3 3 2
Nmero de los nodos enlazados
directamente
2 1,3,4 2,5,4 2,3,5 3,4
Nmero de las ramas conectados con el
nodo
1 1,2,3 2,4,5 3,5,6 4,6
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S. de la F D. 51
Para el esquema de la figura la matriz Ytendr la forma que se muestra en la Tabla 3. En la
diagonal principal aparecen los elementos que constituyen las admitancias de las lneas que
llegan a un nodo dado y la semisuma de las susceptancias capacitivas de dichas ramas. Los
dems elementos, tanto en la fila y la columna corresponden a las admitancias de las dems
ramas que conectan a los nodos enlazados directamente a l; debe notarse que las mismas
aparecen con signos cambiados.
Un anlisis de la expresin (3-24), muestra que el modelo matemtico contendr tantas
ecuaciones como nodos tiene el sistema elctrico, ahora bien, como ya se dijo, este sistema es
por su naturaleza alineal, luego pueden existir soluciones que no correspondan con la
naturaleza fsica del problema, es decir soluciones impropias. Para asegurar que la solucin
sea factible, se asigna a un nodo un voltaje, casi siempre el nominal o con un valor cercano a
este. Este paso convierte el sistema (3-26) en un sistema con mas ecuaciones que variables
(hiperdeterminado), por lo que se debe eliminar de la matriz Y la fila y la columna
correspondiente al nodo cuyo valor fue
fijado, esta matriz de orden (n-1) se conoce con el nombre de matriz de admitancias de barra
del sistema Ybarra; por lo que el sistema (3-26) se transforma, quedando
= &&& UYbarra (3-26a) que es el utilizado para el clculo del rgimen del sistema elctrico.
Tabla 3. Matriz Y de la red de la figura 13.
No.
del
nodo
1
2
3
4
5
1 y1+jbc1 y1 0 0 0
2
y1 y1+y2+y3+
j(bc1+bc2+
bc3)
y2
y3
0
3
0
y2
y4+y2+y5+
j(bc2+bc4+bc5)
y5
y4
4
0
y3
y5 y5+y6+y3+ j
(bc3+bc5+ bc6)
y5 5
0
0
y4 y6 y4+y6+ j (bc4+bc6)
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Una vez determinados los voltajes en los nodos mediante la expresin (3-26-a), se produce a
la determinacin del flujo de carga en las lneas, transformadores y dems elementos del
sistema aplicando la expresin (3-3), luego , la potencia en el nodo sera:
Si=UiIi*= Ui[k=1Y*ik Uk] (3-3a)
en forma cartesiana; y utilizando la notacin:
Ui= Uie jiIe ji= Ui+jUi = Uicosi +j Uiseni Yik= Yike jik = Gik+jBik se obtiene para la forma polar la siguiente expresin:
Si= k=1 UiUkYikej(i-k-ik). (3-3b)
8.2.2 Consideraciones prcticas
Para que el problema tengasignificado prctico, todas las variables que intervienen, tanto
datos como soluciones del problema,han de satisfacer las restricciones impuestas por las
limitaciones fisicas de los equipos y por las condicones de funcionamiento adecuado del
sistema. Estas son:
1. Los mdulos de los voltajes deben estar en los rangos permitidos de trabajo de los
equipos
Uimin Ui Uimax 2. Los argumentos de las tensiones en los nodos han de cumplir la desigualdad:i-
ki-k max ; la cual garantiza la operacin adecuada para la transferencia de potencia activa Pik entre ambos nodos (sobrecarga, estabilidad esttica,etc).
3. Restricciones de los generadores en cuanto a posibilidades fsicas de entregar potencia
activa.
PGimin PGi PGimax 4. Posibilidades de los generadores para entregar (o consumir) potencia reactiva.
QGimin QGi QGimax
3.8.3 Mtodos para la solucin del sistema de ecuaciones de las tensiones de nodo.
Existen numerosos mtodos para la solucin del sistema de ecuaciones (3-26a), de ellos se
analizarn slo los mas usados.
3.8.3.1 Mtodo de Gauss.
Este mtodo, como todos los iterativos, se basa en encontrar la solucin mediante un proceso
repetitivo de clculos, en cada uno de los cuales se llegan a valores mas cercanos de la
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solucin que cumplen con una condicin prefijada de antemano, estos procesos en general
tienen el siguiente desarrollo.
1ero. Es estimada una solucin inicial.
2do. Esa solucin es usada en conjunto con el sistema de ecuaciones (5-26a) expresado en la
forma
0UY = &&& (3-26b) o mas compactamente
F(U) = 0 (3-26c)
en la obtencin de una segunda aproximacin, mejor que la primera.
3ero. La segunda aproximacin se utiliza para calcular la tercera y as se repite el proceso hasta
que se cumpla que el mximo error cometido sea menor que un error de calculo inicialmente
sealado. El mtodo iterativo de Gauss, para el caso en que todos los nodos son PQ, menos el
nodo de balance, tendr el siguiente esquema, obtenido a partir de (3-24).
ii
j