CALCULO DE PREDICADOS

Asignatura: Estructuras discretas

Sección: SAIA B

Docente: Domingo Méndez

Autor: Karelys Rodríguez

Noviembre, 2015

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

Funciones proposicionales

Con mucha frecuencia hallamos ciertos juicios declarativos que sin ser proposiciones están estrechamente relacionadas con estas.

Se consideran los siguientes juicios declarativos:

a) x2= 9b) y>3c) Z es la capital del Estado Lara

Estos enunciados no son ni verdaderos ni falsos si no se especifican los valores de las variables. Sin embargo, asignando valores particulares a cada variable obtenemos proposiciones. Así, si en el juicio (a) reemplazamos la “x” por 3; en (b) reemplazamos la “y” por 4 y en la (c) la “z” por Barquisimeto, obtenemos las proposiciones

a) 32

b) 4>3c) Barquisimeto es la capital del Estado Lara.

A estos juicios declarativos que poseen variables, se les llama funciones proposicionales o proposiciones abiertas. Para tener una función proposicional no basta contar con solamente un juicio declarativo que contenga variables. Se debe indicar, además, un conjunto en cual las variables toman sus valores. Este conjunto se llama dominio de la función proposicional.

Nota importante:

Función proposicional constituido por: Un conjunto Un juicio declarativo que contiene variables.

Denotaremos con P(x), Q(X), etc., a los juicios declarativos que contengan a la variable x. Con esta notación, una función proposicional puede simbolizarse como:

(A, P(x)), donde A es el dominio o universo del discurso (comprende todas las opciones que se le permite tomar a la variable x)

Los elementos de A que hacen a P(x) verdadera forman el conjunto llamado dominio de verdad de la función proposicional.

Cuantificadores¿Qué es un cuantificador? Es crear una proposición a partir de una función proposicional.

Tipos de cuantificación

Cuantificación universal:

La cuantificación universal de P(x) es la proposición

« P(x) es verdadera para todos los valores x del dominio»

La notación x P(x), denota la cuantificación universal de P(x) aquí llamaremos al símbolo el cuantificador universal. La proposición x P(x) se lee como:

«Para todo x P(x) » « para cada x P(x)» o «para cualquier x P(x)».

Ejemplo:

Sea P(x) el enunciado «x+1> x» ¿Cuál es el valor de la cuantificación x P(x), donde el dominio consiste en todos los números reales?

Respuesta: como P(x) es verdadera para todo número real x, la cuantificación x P(x) es verdadera.

Cuantificación existencial:

La cuantificación existencial de P(x) es la proposición

« Existe un elemento x en el dominio tal que P(x) es verdadera»

Usamos la notación Ǝ x P(x), para la cuantificación existencial de P(x). El símbolo Ǝ se denomina cuantificador existencial. La cuantificación existencial Ǝ xP(x) se lee como:

«Hay un x tal que P(x)», «hay al menos un x tal que P(x)» o «para algún x P(x)».

Ejemplo:

Simbolizar la siguiente proposición.

a) Algunos alumnos son irresponsables

Respuesta: sea I(x): x es un irresponsable y sea S el conjunto formado por todos los seres humanos.

La proposición “algunos alumnos son irresponsables” es verdadera y se simboliza así: (ƎxϵS)(I(x))

Cuantificador existencial de unicidad o cuantificador existencial único:

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

(∃!x∈A)(P(x))

Se lee:

Existe una única x elementos de A, que cumple P(x).

Ejemplo:

Simbolizar la siguiente proposición:

a) Existe un único número natural que sumado a 1 de 2

Respuesta:

(∃!x∈ N)(1+n=2) verdadera solo el número 1 cumple con 1+1= 2

Negaciones

A menudo hace falta considerar la negación de una expresión cuantificada. Por ejemplo consideremos la negación del enunciado.

«Todos los trabajadores de la empresa han comprado el uniforme». Esta sentencia es una cuantificación universal de la forma x P(x), donde P(x) es la sentencia «x ha comprado el uniforme». La negación de esta sentencia es «no se cumple que todos los trabajadores hayan comprado el uniforme». Esto es equivalente a «hay al menos un trabajador en la empresa que no ha comprado el uniforme». Y esto es simplemente la cuantificación existencial de la negación de la función proposicional original es decir: Ǝ x¬ P(x).

¬x P(x) Ǝ x¬ P(x)

Ahora si queremos negar una cuantificación existencial, consideremos esta proposición «hay un trabajador en la empresa que compro el uniforme» esta es una cuantificación existencial Ǝ xP(x), donde P(x) es el predicado «x ha comprado el uniforme» .La negación de sentencia es la proposición es «no se cumple que haya un trabajador en la empresa que haya comprado el uniforme». Esto es equivalente a «ninguno de los trabajadores de la empresa ha comprado el uniforme» expresado en cuantificadores como: x ¬ P(x).

Ǝ x¬ P(x) x ¬ P(x)