Teorema fundamental del cálculo integral

El teorema fundamental del cálculo integral consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función al ser integrada.

Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

Intuición geométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego deduciendo el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Los teoremas fundamentales del cálculo integral

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por

con fijo. El teorema dice que si f es continua en

, entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

Demostración

Lema importante

Sea f integrable sobre [a,b] y

Entonces

Demostración

Hipótesis:

Sea .

Sea f función integrable sobre el intervalo [a,b] y continua en c.

Sea F una función sobre [a,b] definida así: con

Tesis:

F'(c)=f(c)

Por definición se tiene que .

Sea h>0. Entonces .

Se define mh y Mh como:

,

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Por lo tanto,

Sea h < 0. Sean

,

.

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Como

,

entonces

.

Puesto que h < 0, se tiene que

.

Y como f es continua en c se tiene que

,

y esto lleva a que

.

Ejemplos

Segundo teorema fundamental

También se le llama Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow ó Regla de Newton - Leibniz.

Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva de f, es

decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:

Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.

Demostración

Hipótesis:

Sea f una función continua en el intervalo [a,b]

Sea g una función diferenciable en el intervalo [a,b] tal que

Tesis:

Demostración:

Sea

.

Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:

.

Por lo tanto,

tal que .

Observamos que

0 = F(a) = g(a) + c

y de eso se sigue que c = − g(a); por lo tanto,

F(x) = g(x) − g(a).

Y en particular si x = b tenemos que:

C.L.QQ.Q.D.

Ejemplos

como se puede integrar inmediatamente

1. Introducción

En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana.

Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes: Función TrigonométricaFunción Cuadrática

Función Afín (Lineal)Función LogarítmicaFunción ExponencialFunción Polinómica

El principal objetivo de esta monografía es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios. El método de investigación es la consulta bibliográfica y el análisis de la misma.

2. Funciones

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido".

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à BEs decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

Observaciones:En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.Un elemento y E B puede:No ser imagen de ningún elemento x E ASer imagen de un elemento x E ASer imagen de varios elementos x E A.La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.

Formas de expresión de una funciónMediante el uso de tablas:

X Y

-1

0

½

1

2

1

0

¼

1

4

Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A

3. Aplicaciones de las funciones reales

Generalmente  se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se  da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales.  Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona  un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Función AfínSe puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía  (uso de la oferta y la demanda)  los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y  las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por  ejemplo,  si un consumidor desea adquirir  cualquier producto, este  depende del precio en que el artículo esté disponible.  Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda.  La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina.  Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.

Dada la ecuación y=mx+b:Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).

Función CuadráticaEl estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota

lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniería civil,  para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos  torres.Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Existen fenómenos físicos que el  hombre a través de la historia ha tratado de explicarse.  Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos  la ecuación cuadrática.  Como  ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.Eje de simetría: x = xv.

intersección con el eje y.Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función LogarítmicaLa geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo.  La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido,  para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo),  I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo).  Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a.Logb a = N si bN = aNotación logarítmica Notación exponencial

4. Consecuencias de la definición de logaritmo

1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 12. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am

4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si la base b del logaritmo es b>1.6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si la base b del logaritmo es b<1.7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.

Propiedades de los logaritmoLogaritmo de un productoEl logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.logb(X · Y)= logb X + logb Y

Logaritmo de un cocienteEl logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Logaritmo de una potenciaEl logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.loga Xn = n loga X

Logaritmo de una raízEl logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

Función ExponencialSe aplica a la química y  física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial  y se dice que el elemento decrece o decae.En la química, el PH de es la concentración deH+, donde  H+una sustancia se define como : H = -Log iones de una sustancia expresada en moles por litro.  El PH del agua destilada es 7.  Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice  que es base.  Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.

Otras de la aplicación  de las funciones exponencial  fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por  Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo  y t es el tiempo en días.

El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población  en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt  era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre.  Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de

modelo Malthusiano).En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.

En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».

Propiedades de la función exponencial y = ax1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 12a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.

Ecuaciones ExponencialesLas ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:

x = y1. ax = ay

Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.

5. Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximadadibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias. En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical.  Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente.  En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación  y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.

En Óptica, en las dispersiones en prisma  o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material. En la  Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran  entre los mismos.El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea

recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

Funciones PolinómicasExpresión matemática formada por una suma de productos de números reales (o más generalmente de números de cualquier anillo), por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es una expresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en la que la mayor potencia de la variable se la llama grado del polinomio.Un polinomio se puede también interpretar como una función real de variable real, en la que la x es una variable numérica de la función; así, por ej., P(x) = 3x + 2, sería la función que asigna al valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera (interpretando las x como variables numéricas) se pueden generalizar las operaciones definidas en los números reales a operaciones de polinomios, que quedan entonces definidas como:

Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn + bxn = (a + b)xn; así, por ej., (3x2 + 4x + 2) + (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3x2 + 9x + 1.

Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos por el número.Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1 y se suman.Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un polinomio por todos los del otro [teniendo en cuenta que (axn) . (bxm) = abxn+m], y se suman los resultantesDivisión de polinomios: generalmente es irrealizable (su resultado no es un polinomio).P. Booleano: expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de algunas operaciones sobre un retículo distributivo complementado.P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el determinante de A – xl, donde / es la matriz identidad. Es de gran importancia dado que esta asociado a todas las matrices semejantes y es útil para reducirlas a su forma canónica.P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A en la que a partir de un cierto lugar todos los términos son nulos. Sus términos se numeran comenzando por el índice 0, existiendo por tanto un desfase de una unidad entre el índice que caracteriza un término y su orden.P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual grado respecto del conjunto de las variables, por lo que un polinomios de estas características constituye una función homogénea cuyo grado de homogeneidad coincide con el grado mencionado.P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k que no puede descomponerse en producto de polinomios de grado inferior pertenecientes a k.P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre sí.

6. Conclusiones

Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química.El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática. Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la practica.

Función matemática

Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada

que cumple con las siguientes dos condiciones:

1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos

de Y, es decir, 2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento

de Y, es decir, si

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación

o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota ,

en lugar de

Conceptos básicos

Para toda función podemos definir:

Dominio

El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se

denota o bien y está definido por:

Recorrido o codominio

El recorrido o conjunto de llegada de es el conjunto y se denota o bien

Rango

El rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los

objetos transformados, se denota o bien y está definida por:

Preimagen

Una preimagen de un es algún tal que

Note que , y que algunos elementos del recorrido pueden no ser imagen de ningún

elemento del dominio. En efecto, puede darse que tal que

Ejemplos

La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los

números reales

Función con Dominio X y Codominio Y

Para la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

En la figura se puede apreciar una función , con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda:

Representación de funciones

Las funciones se pueden representar de distintas maneras:

Como expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x), que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.

Ejemplo: y=x+2. Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la

función.

Ejemplo: X| -2 -1 0 1 2 3 Y| 0 1 2 3 4 5

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)} Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades". Como gráfica: gráfica que permite visualizar tendencias en la función. Muy utilizada

para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5 X

4 X

3 X

2 X

1 X

0 X

y / x -2 -1 0 1 2 3

Funciones según tipo de aplicación

Dados dos conjuntos X e Y, podemos clasificar a todas las funciones definidas entre ellos, en:

Función inyectiva

Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

o lo que es lo mismo,

Función sobreyectiva

Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen

. Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas.

Función biyectiva

Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

Ejemplos

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

BiyectivaNo sobreyectiva, no

inyectiva

Álgebra de las funciones

Composición de funciones

Artículo principal: Función compuesta

Dadas dos funciones f: A → B y g: B → C, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): A → C como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

Función identidad

Artículo principal: Función identidad

Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de se denomina función identidad o función unitaria.

Dada cualquier función , es claro que es igual a y que

es también igual a , puesto que para todo y

también

Función inversa

Artículo principal: función inversa

Dada una función , se denomina función inversa de , a la función que cumple la siguiente condición:

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser

inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la

existencia de es que sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

Existe función inversa de y

es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

El grupo de las funciones biyectivas

Considerando todas las funciones biyectivas , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:

1. Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa:

2. tal que tenemos

3.

Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de .

Funciones en Rn según su número de variables

Siempre es posible restringir tanto el dominio como la imagen de una función con un propósito

determinado. Por ejemplo, es completamente válido restringir al dominio de los

números naturales, para que el conjunto imagen tome así los valores comprendidos en el intervalo [0,+∞).

Además, el dominio y la imagen pueden tener cualquier número de variables. Dicho número permite clasificar a las funciones como sigue:

Función escalar: Función del tipo Campo escalar: Función del tipo

Función vectorial: Función del tipo

Campo vectorial: Función del tipo

Funciones reales de variable real

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas o

entre conjuntos de números ( ).

Funciones reales y funciones discretas

Artículo principal: Función real

Artículo principal: Función discreta

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por

conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares

Artículo principal: Función par

Artículo principal: Función impar

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Funciones monótonas

Artículo principal: Función monótona

1. La función f es estrictamente creciente en

2. f es estrictamente decreciente en

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

1. f es creciente en

2. f es decreciente en

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.

Funciones periódicas

Artículo principal: función periódica

Una función es periódica si se cumple: donde es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple:

. Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas

Artículo principal: Función convexa

Artículo principal: Función cóncava

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones concava hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función

Asintota (del idioma griego: ἀσύμπτωτος — asýmptōtos— „aquello que no cae“ palabra formada a partir del verbo συμπίπτειν sympiptein —„caer-con“—) Una asíntota es una línea recta que puede ser horizontal, vertical u oblicua a la que se aproxima una curva como gráfica de determinada función sin llegar jamás a tocarla por más que se acerque.

Conceptos básicos

En matemática enunciados tales como "aproximarse indefinidamente" (o "tender a") no son definidas rigurosamente si no se utiliza explícitamente el concepto de límite. Queriendo adoptar un lenguaje más conforme a aquel que se emplea en el estudio topológico de los límites se puede decir que la curva A es una asíntota de la curva C si se establece una distancia mínima y que existe un trecho no limitado por la curva C que dista de la asíntota A menos de la distancia mínima establecida.

En general la curva C puede parecer intersecar varias veces a su asíntota A. Sin embargo aquello que hace a A una asíntota de C es el hecho que C se aproxima a A por un trecho ilimitado sin jamás coincidir con A, y esto significa prescindir de otras eventuales y ocasionales intersecciones. Esto explica también la etimología de la palabra asíntota la cual ya se ha explicado deriva del griego a-sym-ptōtos, donde a- posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos está compuesto por sym-, "con", y ptōtos, un adjetivo que connota a aquello que "cae". Entonces sym-ptōtos describe aquello que "cae junto (a algo)", o también aquello que "interseca", y a-sym-ptōtos etimológicamente describe aquello que "no interseca". De este modo se puede recurrir a un lenguaje figurado y decir que además de las eventuales intersecciones finitas existe una "intersección al infinito" entre A y C, y que por esto tal intersección se puede aproximar entonces indefinidamente pero sin jamás alcanzarse. Es esta particular, inalcanzable "intersección al infinito" la que hace a A "asíntota" de C.

En la construcción de gráficas, las asíntotas verticales corresponden a aquellos valores de la variable independiente que indefinen la función con una división entre cero. Las asíntotas horizontales corresponden a aquellos valores de la variable dependiente (y) a los que se aproxima la gráfica de la función conforme los valores de la variable independiente (x) se aproxima a más infinito y a menos infinito respectivamente. Las asíntotas oblicuas corresponden a las funciones cuya regla de correspondencia se integra de un cociente o división de dos polinomios tales que el polinomio del numerador es de grado mayor o igual que el polinomio del denominador. En todo caso, el conocimiento de las asíntotas y cómo se trazan apropiadamente es de gran valor para el trazo apropiado de una gráfica curva en el plano cartesiano, por ejemplo, las asíntotas de una hipérbola son las líneas guía de esta curva.

Asíntota vertical

Si existe alguno de estos dos límites:

a la recta x = a se la denomina asíntota vertical.

sirven para determinar cosas

Asíntota horizontal

, siendo a un valor finito

La recta Y = a es una asíntota horizontal

Caso particular

Si para la función se calcula f(x) cuando x toma valores positivos o negativos grandes (ver valor absoluto), se puede observar que f(x) se aproxima a cero. Esta situación se puede escribir como:

y a la recta y = 0 se la denomina asíntota horizontal

Hipérbola equilátera

Asíntota oblicua

Dada la función y observando su gráfica:

se puede concluir que dicha función no posee asíntota horizontal, sino oblicua. La asíntota oblicua se calcula averiguando los siguientes límites:

Por lo tanto la ecuación de la recta asíntota oblicua está dada por:

y = mx + b

En este ejemplo la asíntota oblicua es la recta de ecuación y = x + 2

Propiedad Si existe una asíntota oblicua en uno u otro sentido de infinitud, no existe asíntota horizontal en el mismo sentido. Sí pueden existir una en un sentido y la otra en el otro.

Funciones Elementales [editar] Funciones polinómicas: Son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir

una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos).

o Función constante: f(x)= a

o Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado

o Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.

Función racional: Son funciones obtenidas al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula.

Ejemplo:

Ejemplos de funciones polinómicas: 3x2 − 5x + 1, 4.5x3 − x.

Función raíz

Funciones trascendentales [editar]

Cualquier función que no se puede expresar como una solución de una ecuación polinómica se le llama función trascendental.

Función exponencial Función logarítmica

Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente; Arcoseno, Arcocoseno, Arcotangente.

Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica

La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece además en muchas ecuaciones de la física. Esta función exponencial se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función son iguales al valor de la propia función (siendo la función exponencial la única función con esta propiedad). Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como:

Donde e es la base de los logaritmos naturales.

En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

siendo números reales. Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.

Propiedades

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →ex.

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.

La exponencial transforma una suma en una constante de la forma intrínseca del vertice de las siguientes ecuaciones:

Relación adición-multiplicación:

Sus límites en son

Inversa del logaritmo:

La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (-1, 0).

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:

.

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Más generalmente:

Derivada [editar]

Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

Esto se puede demostrar usando el teorema de la función inversa:

;

Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto. La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.

La función es solución de la ecuación diferencial y' = y.

Definición formal [editar]

La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite de la sucesión:

Dado un número real (argumento), la función logaritmo asigna el exponente (o potencia) a la que un número fijo (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn, que permite obtener n. Esta función se escribe como: n = logb x. Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 =

2. Por ejemplo:

El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, puede encontrarse b con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación.

Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares. Estas son:

sinh, cosh y tanh

csch, sech y coth

El seno hiperbólico

El coseno hiperbólico

La tangente hiperbólica

y otras líneas:

(cotangente hiperbólica)

(secante hiperbólica)

(cosecante hiperbólica)

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

donde a es la constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

tenemos:

donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:

la variación de y respecto a x es cero