calculadora hp 50gs - libro

7/23/2019 Calculadora HP 50gs - Libro

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EL ESTUDIO DE FUNCIONES

CON CALCULADORA GRFICA

"#$%&'() Julio Rodrigo Martnez

Floreal Gracia Alcaine

J. Fernando Juan Garca

Alfred Moll Pino

Onofre Monz del Olmo

Jos Antonio Mora Snchez

Pascual Prez Cuenca

Toms Queralt Llopis

Salvador Caballero Rubio


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3/156

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4.1. Dominio, cortes con los ejes, monotona,asntotas y extremos de una funcin 555555555555555555555555 (O/5 #P

4.2. Recta tangente y funcin inversa 55555555555555555555555555555 (O/5 I#

4.3. Lmites y continuidad 555555555555555555555555555555555555555555555555 (O/5 IP

4.4. La derivada en el estudio grfico deuna funcin 555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 (O/5 IJ

4.5. Aproximacin lineal de funciones derivables 555555555 (O/5 PH

4.6. Calculadora grfica e integral definida 55555555555555555555 (O/5 PI

U: 7',-)*,$% ($+),)(.% . &/*6*% 5555555555555555555555555555555555555555555555555555 (O/5 D#

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6.1. Inecuaciones en la calculadora grfica5555555555555555 5555 (O/5 NH

6.2. Programacin lineal 5555555555555555555555555555555555555555555555555555 (O/5 NP

W: ;/*H#$>.% ($ *F&)>)6.-)=, ($ +',-)*,$% 55555555555555555555555555555555 (O/5 NF

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9.1. Modelos matemticos y regresin. El zoom dela cmara fotogrfica 55555555555555555555555555555555555555555555555555 (O/5 HEP

9.2. Funciones en la construccin de figuras 55555555555555555 (O/5 HHI

9.3. Funciones y CBL55555555555555555555555555555555555555555555555555555555 (O/5 HHN

9.4. Funciones y CBR5555555555555555555555555555555555555555555555555555555 (O/5 H#F

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JOC3


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El estudio de funciones con calculadora grfica

#

Q: JOC3


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1. Introduccin

>'+*02)&,+2' 7, 02), 2) S%+.0


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P

c,&.6, aHFFIbW )+ *% ,&16.%7' Funciones de la calculadora grfica,\,.) %+,+O70*0* 2) .%O7)* 2) )*,* .'+)30'+)* )+1&) 7,* &)(&)*)+1,.0'+)* S%+.0'+,7)*(%)2)+ *)& ,%1'-,10V,2,* ('& 7,* .,7.%7,2'&,* /&OS0.,*W U Y*,* *'+ 7,* ;%)10)+)+ %+ .,&O.1)& -O* -).O+0.'5 $+ *% ,&16.%7' *)^,7, 7,* -,&.,2,* )+ )7.%,2&' ,+1)&0'& .'+ +)/&01, U +'* \,.) 'R*)&T,& ;%) *'+ (&).0*,-)+1) 7,* 2'.).,*077,* &)*1,+1)* 7,* ;%) &)S7)X,+ 7,* .'-('+)+1)* ;%) -)+'* ,1)+.0'+S0&-,& U .'-(&'R,& )*1%20'* ' .'+X)1%&,* (&)T0,*5G 97.,+V,& *'7%.0'+)* 0+1%02,* ' 2) 7,* ;%) +' )*1,-'* (7)+,-)+1)

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1. Introduccin

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N

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1. Introduccin

J

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El currculo de matemticas debera incluir una continuacin del estudiode funciones para que los estudiantes sean capaces de:

- Elaborar modelos de fenmenos del mundo real con diversostipos de funciones.

- Representar y analizar relaciones funcionales utilizando tablas,reglas orales, ecuaciones y grficas

- Hacer traducciones entre representaciones tabulares, grficas yanalticas de funciones.

- Reconocer que con el mismo tipo de funcin pueden elaborarsemodelos para una gran variedad de situaciones problemticas.

- Analizar los efectos que ocasiona en las grficas de funciones uncambio de los parmetros.

Y para que, adems, los futuros universitarios puedan:

- Entender las operaciones con conjuntos de funciones, suspropiedades generales y su comportamiento.

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F

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1. Introduccin

HE

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HH

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2. Resolucin de ecuaciones

HM


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H#

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HP

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$+ 7, /&OS0., 2) 7, S%+.0


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HN

Si hay ms de una solucin para la ecuacin, las encontraremos dando

diferentes aproximaciones al valor de -. Para otras posibilidades de Solveresconveniente revisar el manual de la calculadora.

Destrezas para utilizar calculadoras grficas

A'* -Y1'2'* /&OS0.'* .'-R0+,+ 2'* ()&*().10T,* 2) 7, &)*'7%.0


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HF

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ME


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MH

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MM


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M#

S: "@C]PJ< P" 794JEJ9@ P" 7]OBJ


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3. Estudio de las familias de funciones

(,+1,77, .%,2&,2, a('2&6,-'* -'20S0.,&7, , %+ ,X%*1) .%,2&,2' *)7)..0'+,+2'7, '(.0'-' *) T) )+ )7 /&OS0.'W )7 .%&*'& )*1O&).'&&0)+2' 7, (&0-)&, S%+.0


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MP

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MD

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MF

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##

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4. Estudio de las propiedades de una funcin

#I


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#P

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#N

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Mximos

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La demanda de un cierto bien es de YOZML;,,,ZD-,,/Z unidades almes, cuando el precio de mercado es de p miles de euros la unidad. Hallar elprecio que hace mximo el gasto de los consumidores.

$*.&0R0&)-'* 7, S%+.026()rbW '1&' , 7, 2)&).\, 2)7 -O30-' a[8\]&$>26()r bW U %+, ,(&'30-,.0


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#F

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?),-'* %+ )X)-(7'8

Se divide un hilo de alambre de longitud 100 en dos trozos. Con uno deellos se forma un tringulo equiltero y con el segundo un cuadrado.Determinar las longitudes de esos trozos para que la suma de las reas deltringulo y del cuadrado sea mxima. (Prueba de acceso a la Universidad.Comunidad Valenciana 1995).

=0 - )* )7 1&'V' 2) ,7,-R&) ;%) 2)20.,-'* (,&, S'&-,& )7 1&0O+/%7'W 7,).%,.0


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IH

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Cortes con el eje OX

A, 'R1)+.05U:

Corte con el eje OY

_'2)-'* )+.'+1&,& )7 .'&1) .'+ )7 )X) de 2) T,&0,* S'&-,*5 ?),-'*%+, 2) )77,*W %1070V,+2' 7, S%+.0


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Asntotas

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II

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51/156


IP

4.3. LMITES Y CONTINUIDAD

Estudio del lmite

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Estudio de la continuidad

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IN

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$*1%20)-'* /&OS0.,-)+1) )7 .'-('&1,-0)+1' 2) 7, S%+.0


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4.4. LA DERIVADA EN EL ESTUDIO GRFICO DE UNA FUNCIN

$+ 7,* .7,*)* 2) -,1)-O10.,* 2) R,.\077)&,1' *) \,.) )*().0,7 \0+.,(0Y)+ )7 )*1%20' 2) 7, /&OS0., 2) %+, S%+.0


55/156


IF

A, )3(&)*0


56/156


PE

dR*)&T,+2' 7,* S%+.0'+)*W %1070V,+2' U 7, 1,R7, 2) T,7'&)*W )7)*1%20,+1) 2)R) *)& .,(,V 2) &)*('+2)& , 7,* *0/%0)+1)* (&)/%+1,*8

G L'+2) 7, S%+.0


57/156


PH

4.5. APROXIMACIN LINEAL DE FUNCIONES DERIVABLES

$7 .'+.)(1' 2) 2)&0T,2, )* 20S6.075 =,R)& %1070V,& ,7/%+,* 2) *%*,(70.,.0'+)* )* &)7,10T,-)+1) SO.07 (,&, +%)*1&' ,7%-+,2'W ()&' )+1)+2)& ('&;%Y S%+.0'+,+W )* '1&, .'*,5 =0 ;%)&)-'* S,.0701,& 7, .'-(&)+*0'+ )*1' 1,-R0Y+ .'+1&0R%0&)-'* , 2,& -O* *)+102' , 7, 2)S0+0.0


58/156


PM

j)-'* )7)/02' %+, T)+1,+, 2) T0*%,70V,.0


59/156


P#

$*1) \).\' a)*1) fallo 2) 7, -O;%0+,bW 2)*.'+.)&1,+1) U -'7)*1' )+ %+(&0+.0(0'W 10)+) %+ ,(&'T).\,-0)+1' 202O.10.' -%U ('*010T'8 )3,-0+)-'* .'+ 7,.7,*) 7, ).%,.0


60/156


4.6. CALCULADORA GRFICA E INTEGRAL DEFINIDA

], F/)>$/ F/*H#$>.

En un circuito de pruebas se toman las siguientes medidas para undeterminado modelo de automvil, desde que arranca hasta que alcanza su

mxima velocidad (250Km/h) y el tiempo transcurrido.

?aw-g\5b "a*b ?aw-g\5b "a*b, ,:,,, +0, H:H+++, ,:P;! +P, ++:;,!/, ,:H0N +;, +0:0

q>%O7 )* )7 )*(,.0' &).'&&02' ('& )*1) .'.\) 2)*2) ;%) ,&&,+., \,*1,;%) ,7.,+V, *% -O30-, T)7'.02,2r

4+1&'2%.0-'* 7'* 2,1'* )+ 2'* 70*1,*8

e 7'* &)(&)*)+1,-'* .'7'.,+2' )7 10)-(' )+ )7 )X) 2) ,R*.0*,* U,X%*1,+2' 7, T)+1,+,8

=0 )+ )7 )X) 2) '&2)+,2,* 1)+)-'* 7, T)7'.02,2 aw-g\b U )+ )7 2),R*.0*,* )7 10)-(' a*bW )7 O&), R,X' 7, .%&T, *)&O aw-g\bx*W *0 20T020-'* ('&

#5DEE ]G

]

G

]

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)*(,.0' &).'&&02' .'0+.020&O .'+ )7 O&), R,X' 7, .%&T, ;%) 2)*.&0R) 7, T)7'.02,22)7 .'.\) &)*().1' ,7 10)-(' aTlSa1bb5


61/156


PP

>'-' 7' ;%) 1)+)-'* )* %+, -%)*1&,W 20*.&)1,W 2) 7'* 20*10+1'* T,7'&)*2) 7, T)7'.02,2 2)7 -


62/156


PD

>'-' T)-'* )+ )7 .')S0.0)+1) 2)2)1)&-0+,.0


63/156


PN

Clculo del rea bajo una curva y el eje OX

?),-'* 7,* ('*0R0702,2)* ;%) +'* R&0+2, 7, .,7.%7,2'&, (,&, ,('U,& )7.'+.)(1' 2) 7, 0+1)/&,7 2)S0+02,5

>,7.%7,& )7 O&), ;%) /)+)&, 7, S%+.0'7'.,-'* 7, S%+.0


64/156


Clculo del rea entre dos funciones

?),-'* )7 1&,R,X' 2) 7, .,7.%7,2'&, )+ )*1) .,*'5

>,7.%7,& )7 O&), 2)1)&-0+,2, ('& 7,* (,&OR'7,*8

0

/P

0

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-. ==

PJ

H5 >'7'.,-'* 7,*S%+.05 $*1' 7' \,&)-'* 2)*2) )7 -)+Z $ :

A, -O;%0+, ()20&O ;%) +'* .'7';%)-'* *'R&) 7, (&0-)&, .%&T,W %1070V,+2' 7,*S7).\,* +'* .'7'.,&)-'* )+ 7, (&0-)&, S%+.0


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PF

>'+ T,-'* , 7,(,+1,77, (&0+.0(,7 2'+2)(%7*,&)-'*8

>

9\'&, 7, T,&0,R7) > T,7)/:

P5 _,&, 20R%X,& )7 O&), 'RX)1' 2) +%)*1&' )*1%20' \,U ;%) &).%&&0& , 7, '(.0


66/156


Un programa para la introduccin del concepto de integral definida

>'+ )7 *0/%0)+1) (&'/&,-, *) (%)2) 0+1&'2%.0& )+ .7,*) )7 .'+.)(1' 2)0+1)/&,7 2)S0+02, .'-' O&), R,X' %+, .%&T,5 j)-'* %1070V,2' 7,* ,(&'30-,.0'+)*R,*,2,* )+ *%-,* 0+S)&0'&)* U *%-,* *%()&0'&)*5 9%+;%) )*1, )7)..0


67/156


DH

=)/%02,-)+1) 70*1,-'* 1&)* (&'/&,-,*5 $7 (&0-)&' .'+10)+) 7'* -)+Z* U&),70V, )7 .O7.%7' 20&).1' 2) 7,* *%-,*5 _,&, 7, &)(&)*)+1,.0KCMQdlUGFA"ClU38(">lU3'-"7(5(+"#22378&4J 938(f,",l938(4J 93'-o,",l93'-

?1A _XBA*g23D_D(6Oh%c_C% Y@ [4@_CddhVhXC[C_@=[5%hVXCVh^[C74BC%hV^[Vh%C?4[hV,M

?1A XCCl@">l7"dl^

?1A CmO>KCMQdlUGFABA*g23D"Y8GZ hCV>VdLhVCV>Vd"X'6GD_D(6OhXC[C_@=[5%hVhY@74d4[ ChV+VhY@74d4[ >hV/VhY@74d4[ dhV0V

hI5?I@[hVPM?1A +"X*23Z& C"^2&2 Cm?1A /"X*23Z& >"^2&2 Cm?1A 0"X*23Z& d"^2&2 Cm?1A P"^2&2 __

?1A %cO>KCMQdlX4J 4L,"^2&2 %44J mL,"^2&2 %%BA*g23D"Y8GZ h%c_C%:::hO?S[MQ/l_Y8GZ h%4V%%V_LhV?V[V_X'6GD "^2&2 ^[

?1A ^[BA*g23D"Y8GZ hC[@C CX[5ULh_D(6Oh^[C74BC%hVh%: 4d7@[45[hV!Vh%:

%cX@[45[hVNVhgC??C[%c_C%hV%cVhI5?I@[hV_XM?1A !",:"Z*\3[@B=[4_d"X'6GD ?"^2&2^[?1A N"+:"Z*\3[@B=[4_d"X'6GD ["^2&2^[

?1A __4J Cj@ 2* >j7 2* dj^"^2&2 #^2&2 _X

?1A %472*O#VCV>KXVXMJ_8(O9VUV#V#SXMl="9O=Ml4

?SXp4l?@()"+l4"^2&2 %c

?1A %%72*O#VCV>KXVXMJ_'-O9VUV#V#SXMl="9O=Ml%[SXp%l[@()"+lm"^2&2 %c

?1A ,"BA*g23D


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DM

Programa Rectrimn

C(Gl#O>KCMQdlX",l_BA*Y*'n4J #L+"^2&2 cX4J 4L, 2* cL,"^2&2 %4[DF'AAX8F X8F/

^2&2 b?1A cX4J mL, 2* IL,"^2&2 %%[DF'AAX8F X8F0

?1A bX'6GD "4(Z6&[D&6*(

?1A %4,l?72*O#VCV>KXVXMJ_8(O9OUMVUV#V#SXMl="9O=Mlg?8(DO#V,V#VgM

?8(DO#SXV,V#SXVgM?8(DO#VgV#SXVgM?SXpgl?@()%&2*DX8F X8F/"+lc"+l4^2&2 b

?1A %%,l[72*O#VCV>KXVXMJ_'-O9OUMVUV#V#SXMl="9O=Mlg?8(DO#V,V#VgM?8(DO#SXV,V#SXVgM

?8(DO#VgV#SXVgM[SXpgl[@()%&2*DX8F X8F0"+lI"+lm^2&2 b

Programa Rieminit

",lC"+l>";ld


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D#

U: 7]OBJ


70/156

5. Funciones definidas a trozos

DI


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DP

U: 7]OBJr qU , Ny>r.b $3(&)*, -)20,+1) %+, S'+ 7' ;%) 7, S%+.0


72/156


DD

=0 7, ;%)&)-'* &)(&)*)+1,& )+ +%)*1&,.,7.%7,2'&, 1)+2&)-'* ;%) 2)S0+0&7,W .'-' %+,S%+.0


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DN

El recibo del agua

Fecha:1-04-2000

Referencia:

Entidad Emisora:Aiges Netes, S.A.

Titular:AAAA BBBBB CCCCCC

Agua/basura/alcantarilladoLectura anterior: 523 lectura actual: 702 consumo: 179

Conservacin contador 90Agua: Cuota 2145 + 35 m

3x2700+ 30 m

3x3600 +114 m

3x6000: 11.010

Canon saneamiento: 636 + 179m3x2340: 4.825

IVA: 7% sobre 11.010 + 16% sobre 90: 785

J>F*/&$e QV:WQ[

La tabla anterior muestra un recibo trimestral de agua:

,b 9%+;%) +' *) .'+*%-, ,/%,W q)7 &).0R' &)S7)X,&6, ,7/Z+ 0-('&1)r

Rb q>%O7 \%R0)&, *02' )7 0-('&1) *0 *


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_,&, )77' %1070V,&)-'* )7 .'-,+2' *26()a&)2'+2),&b ;%) *) )+.%)+1&,)+ )7 -)+Z U .%U, *0+1,30* )* *26()$a.,+102,2W +Z-)&' 2) 2).0-,7)*b8

DJ

9+L*26()OOH,p+:+!S!0!S/0:P-S+:,?@ 7)0+20.,-'* ;%) .,7.%7) 7'* T,7'&)* )7)/02'*5

_,&, .,7.%7,& 7'* 76-01)* 7,1)&,7)* .'+S0/%&,-'* )7 =>?%@=U %1070V,-'* 7,1,R7,8


75/156


DF

;3


76/156

6. Programacin lineal

NE


77/156


NH

V: ;3


78/156


Inecuaciones de primer grado con dos incgnitas. Regiones del plano

=0 ;%)&)-'* *,R)& .%O7 )* 7, &)/0


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N#

d1&, S'&-, 2) \,.)&7' *)&6,8

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>'+ 0&)-'* ,7 -)+Z BC=C?5^W U +'* ('*0.0'+,&)-'* ,7 0+0.0' 2)7,* S%+.0'+)* ;%) )-(0)V,+ ('& % (%7*,+2' %a bW R%*.,-'* %]')DW .'+ )7.%&*'& U 2)*(%Y* (%7*,-'* 5 ",-R0Y+ 7, )+.'+1&,-'* )+ 7, '(.0'+ %+ )*(,.0,2' 2) H (03)7#l >'+ %+ )*(,.0,2' 2) M (03)7*

555

J l >'+ %+ )*(,.0,2' 2) N (03)7*5$* 2).0&8

%]')DOJ6(F82(8(JVJ6(F82(G6Z`VU8qT68D*)2VU)D*DF]2VZ'&*2(V *DG2A6F82(aM

$+ +%)*1&' .,*'8 %]')DOK+;V 9+b a_'+)-'* G+; (%)* +).)*01,-'* %+,S%+.0


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Sistemas de inecuaciones lineales con dos incgnitas

Un sistema de inecuaciones de primer grado con dos incgnitas estformado por dos o ms inecuaciones con dos incgnitas que deben verificarsesimultneamente.

")+0)+2' )+ .%)+1, ;%) 7, *'7%.0


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NP

_'& Z710-' .'+*02)&)-'* )7 *0/%0)+1) *0*1)-,8

- S . P-K. //-K. /

1&,+*S'&-O+2'7' U (&'.)20)+2'.'-' )+ 7,* '.,*0'+)*,+1)&0'&)* 'R1)+)-'*8

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Si su objetivo es cursar el mayor nmero posible de crditos, de cuntoscrditos tericos y prcticos deber matricularse?


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@*#'-)=,

=),+ 3 7'* >" ;%) )70/) ) U 7'* >_W )+1'+.)*

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=%X)1' , 8

- S /.NP a.P/ ]-Q/b-S.


83/156


NN

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>'+ aWc4=b (,*,-'* , 7, (,+1,77, 2) '()&,.0'+)*5

>'+ 0&)-'* ,7 -)+Z BC=C?5^ U +'*

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>'+ 7' ;%) ;%)2,8

=0 1&,V,-'* %+, (,&,7)7, , 7, S%+.0


84/156


NJ


85/156


NF

;3


86/156

7. Problemas de optimizacin de funciones

JE


87/156


JH

W: ;3


88/156


A, .,7.%7,2'&, /&OS0., +'* 'S&).) -Z710(7)* &).%&*'* (,&, &)*'7T)& )*1)(&0-)& (&'R7)-,[ )+ %+ .'+1)31' 2) 7, $=dW )+ )7 ;%) *) 2)*.'+'.) )7.'+.)(1' 2) 2)&0T,2,W \,&)-'* -O* \0+.,(0Y )+ 7,* (&'(0)2,2)* +%-Y&0.,* U/)'-Y1&0.,* 2) 7, /&OS0.,5

$*.&0R0-'* 7, S%+.0


89/156


J#

>'-' U, *,R)-'*W )7 &)*%71,2' .'&&).1' )* -LPW U )+ 7, (,+1,77,,(,&).) %+, ();%)^, 0-(&).0*0


90/156


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4+20.,+2' 7, ).%,.0?@5

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91/156


JP

L) )*1, -,+)&, \)-'* .,7.%7,2' 7, ,R*.0*, 2)7 -O30-' .'+ *)0* .0S&,*2).0-,7)*W \)-'* &)7,.0'+,2' .


92/156


_%7*,+2' ('2)-'* &).'&&)& 7, /&OS0., U .'+'.)& 7,* .''&2)+,2,*2) .,2, (%+1' 2) 7, S%+.0


93/156


JN

k+ Z710-' -Y1'2' -O* 20&).1' ()&' -)+'* 202O.10.' *) .'+*0/%) ,7 )7)/0&7, '(.0

B

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L)S0+0-'* .'+ 7, .,7.%7,2'&,8 //

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JF

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2)*10+' ,/'1,+2' )7 10)-(' 20*('+0R7)W *0+ )*1,& (,&,2'* )+ +0+/Z+-'-)+1'W *0+ (,*,& 2'* T).)* ('& )7 -0*-' *010' U ,+2,+2' ' &)-,+2'*0)-(&) )+ 76+), &).1,W q)+ ;%Y (%+1' 2) 7, .'*1, 2)R)&O 2)*)-R,&.,&r

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96/156


FE


97/156


FH

"@C]PJ< P" 7]OBJ


98/156

8. Estudio de funciones en coordenadas paramtricas y polares

FM


99/156


F#

X: "@C]PJ< P" 7]OBJ


100/156


>'-' T)-'* )+ 7, /&OS0.,W ,(,&).) &)(&)*)+1,2, 7, 1&,U).1'&0, , (,&10&2)7 (%+1' 0+0.0,75 dR1)+)-'* %+ *)/-)+1' ('&;%) " 10)+) %+ &,+/' 70-01,2'W\,R01%,7-)+1) )+1&) .)&' U /:

>'+10+%,+2' .'+ 7'* -


101/156


FP

",-R0Y+ ('2)-'* %1070V,& )7 &).%&*' 2) 7,*1,R7,* 2) T,7'&)* =C>?@W (&)(,&,+2' ,2).%,2,-)+1).'+ =>?%@=[ .'+S0&-,-'* 7'* T,7'&)* 'R1)+02'* .'+)7 -)+Z ,%-)+1,+2' )7 +Z-)&' 2) .0S&,*2).0-,7)* (,&, )7 T,7'& 2)kW ()&' 7'* T,7'&)* (,&, 7,i *'+ ('.' (&).0*'* 1'2,T6,W ,%+;%) )*1' +' 10)+)-,U'& 0-('&1,+.0,W )+ )*1) (&'R7)-, .'+.&)1'W U,

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102/156


FD

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103/156


FN

_,&, &)*'7T)& )7 (&'R7)-, )+ (,&,-Y1&0.,* \,U ;%) (&)(,&,& U)*.&0R0& )+ )7 )201'& 7,* 2'* S%+.0'+)* ;%) )3(&)*,+ )7 -'T0-0)+1' U 7, ('*0.0


104/156


FJ

_'2)-'* 20R%X,& 1'2, %+, S,-070, 2) \0(Y&R'7,*W ;%) *) ,R&)+ U *).0)&&,+W S0X,+2' )7 (,&O-)1&' , l P U 2O+2'7) *%.)*0T,-)+1) T,7'&)* 1L0V +,V;,V +,,V:::::V +V ,:


105/156


FF

@0X,&)-'* )7 .'+ #%&'()'*)U )7 T,7'& 2) , )+ H[ T)&)-'*.


106/156


HEE

_'2)-'* *)/%0& 2) )*1, S'&-, ()&' U, *) (%)2)+ ,2)7,+1,& ,7/%+,*.'+.7%*0'+)*5 q>%O7)*r qv%Y '.%&&) .'+ 7, S,-070, 2)7 *)+'r


107/156


HEH

La espiral de Arqumedes

A, )*(0&,7 2) 9&;%6-)2)* 10)+) ('& ).%,.0


108/156


9 .'+10+%,.0


109/156


HE#

4


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9. Modelos funcionales9. Modelos funcionales

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