EJERCICIO FUNCIÓN IMPLÍCITA

Construcción: Un obrero levanta, con ayuda de una soga, un tablón de cinco metros hasta lo alto de un edificio en construcción. Suponer que el otro extremo del tablón sigue una trayectoria perpendicular a la pared y que el obrero mueve el tablón a razón de 0.15 m/s. ¿A qué ritmo desliza por el suelo el extremo cuando está a 2.5 m de la pared?

Solución:

xdxdt

+ y dydt

= o

Donde, Vx = dxdt

= yx

. dydt

Vx = 4.332.5

. (0.15)

Vx = 0.26 m/s

Debemos utilizar el teorema de Pitágoras donde tenemos que x2 + y 2= r2 y teniendo en cuenta que el tablón no cambia de longitud se deriva esta función como función implícita como anteriormente se realizo. Esto se aplica en el mundo de la construcción (ingeniería civil).

Calculo con geometría analítica Octava edición Larson Pag. 155. Editorial Mc Graw Hill

MARCO TEÓRICO

Una función está escrita en forma implícita si su variable dependiente (por lo general, la y) no está despejada. Una función escrita en forma implícita puede estar así por dos razones: una, porque la variable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuando aparece como parte de algún argumento al mismo tiempo que no parte de algún argumento. Por ejemplo, en 4y = sen (2x − y2) la variable dependiente y aparece como parte del argumento del seno y además como no argumento en 4y. La otra razón es simplemente porque así convino escribirla, como en x2 + 3y + 5 = 0 (se podría despejar la y). Para obtener

la derivada de una función implícita se emplean las mismas fórmulas dydx

se debe

tenerse solamente el cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u en las fórmulas.Por otra parte, la razón de cambio de una variable respecto a otra es la magnitud de cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. También es llamada tasa de cambio. Si las variables no tienen ninguna dependencia, la tasa de cambio es cero.En una relación funcional y= f(x), la razón de cambio de la variable dependiente y respecto a la independiente x se calcula mediante un proceso de limite – de la razón [f(x+t)-f(x)]/t, denominada cociente diferencial. Entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando t tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.En la vida real, existen muchas situaciones prácticas en donde hay dos o mas razones de cambio involucradas. Por ejemplo, si un globo esférico se desinfla en una razón conocida (es decir, se conoce la razón a la que decrece su volumen), podríamos preguntarnos como calcular la razón a la que esta decreciendo su radio, su diámetro, o el área de su superficie, en algún momento determinado. En este tipo de problemas, se trata de determinar la razón a la que cambia alguna cantidad que esta relacionada con otras cantidades cuyas razones de cambio son conocidasPor ultimo, Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema.En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maximizar.En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:

¿Qué se solicita en el problema? ¿Qué restricciones aparecen en el problema?

La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada o maximizada.La respuesta correcta a la segunda pregunta dará origen a (al menos) una ecuación que será auxiliar para lograr expresar a la función deseada precisamente como una función de una variable.

BIBLIOGRAFIA

Calculo diferencial para la ingeniería. Primera edición Pearson educación, México 2006.

Cálculo diferencial e integral I. Primera edición, Ignacio Canals, Ernesto Javier Espinosa Herrera, Ernesto Espinosa, Manuel Meda. Editorial Reverte, 2008.

http://www.eduweb20.com.ve/Matem%C3%A1tica%20I_Apuntes%20de%20calculo%20diferencial_10_Derivadas_Funciones%20implicitas_Prof.%20Luis%20Castro%20Perez.pdf

http://www.matetam.com/glosario/definicion/razon-cambio-una-variable-respecto-a-otra