26

UNIDAD 2

DERIVADAS

¿Que dijo? ¿Derrivadas? Yo no fuí ¿hee? . . .

27

UNIDAD II: DERIVADAS 2.1 CONCEPTO DE DERIVADA. Recordemos juntos algo de lo que estudiaste en tu curso de precálculo. . . Aquí tienes, dibujada en azul, la gráfica de una función y = f ( x ). Sobre ella se aprecia que: f ( 0 ) = 68; f ( - 2 ) = 64; f ( 2 ) = 0

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Construye una cuadrícula en el dibujo tomando como referencia los ejes coordenados y estima los valores de: f ( -3 ); f ( -1 ); f ( 3 ); f ( 4 ); f ( 5 ) Las rectas en rojo son tangentes a la curva. La pendiente de la segunda de ellas, que es tangente en el punto de abscisa x = 3, es aproximadamente -22. Decimos entonces que f ‘ ( 3 ) = -22. Estima tú los valores de f ‘ ( -2 ); f ‘ ( -1 ); f ‘ ( 4 ); f ‘ ( 5 ). La curva anterior corresponde a la ecuación y = 2x3 - 9x2 - 24x + 68 Los valores de f ( -3 ); f ( -2 ); f ( -1 );f ( 0 ); f ( 1 ); f ( 2 ); f ( 3 ); f ( 4 ) y f ( 5 ) los podías haber obtenido de la ecuación. Hazlo con ayuda de la calculadora y comprueba que coinciden, aproximadamente, con los valores estimados sobre la gráfica. ¿Cómo obtener los valores de f ‘ a partir de la ecuación? En este tema aprenderemos a hacerlo.

28

2.1.1 TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Maricela se está preparando para unas pruebas de carrera. En unos entrenamientos ha corrido 800 m y se le han cronometrado los siguientes tiempos:

Distancia Tiempo 100 m 200 m 400 m 800 m

15 s 32 s 70 s 156 s

Esta situación la podemos representar gráficamente: d 800 700 600 500 400 300 200 100 20 40 60 80 100 120 140 160 t ¿Cuál ha sido su velocidad media total? ¿Y la velocidad media de cada intervalo? ¿Observas que Maricela acusa cansancio? ¿Cómo estudiar la variación de una cantidades respecto de otras? ¿Cómo calcular velocidades medias?

Cálculo de velocidades medias. Para obtener la velocidad media alcanzada en un recorrido, calculamos el cociente

Vm = distancia recorridatiempo transcurrido

Por tanto, en nuestro caso obtenemos:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Intervalo total V m s

Intervalo V m s

Intervalo V m s

Intervalo V m s

Intervalo V m s

m

m

m

m

m

0,156

0,15

15,32

32,70

70,156

→ = =

→ = =

→ = −−

= =

→ = −−

= =

→ = −−

= =

800

100513

10015

6 67

200 10032 15

10017

588

400 200

70 32

200

385 26

800 400

156 70

400

864 65

. /

. /

. /

. /

. /

Con estos resultados podemos observar, con más claridad aún que en la gráfica, que nuestra corredora acusa cansancio, pues poco a poco va bajando el ritmo de la carrera. La velocidad media en un intervalo no significa, naturalmente, que todo el tiempo ha ido a esa velocidad. Para obtenerla, sólo tenemos en cuenta lo que marca el reloj y la distancia marcada en los extremos del intervalo.

Tasa de variación media. La velocidad media es un caso particular de la tasa de variación media, que se define para una función cualquiera: Se llama tasa de variación media de una función y = f ( x ) correspondiente al intervalo [ a, b ] ( y escribimos T.V.M. [ a, b ] )al cociente:

( ) ( )f b f a

b a

−−

Es decir, es el cociente entre la variación de f ( x ) y la variación de x en ese intervalo Observa que la T.V.M. de una función en un intervalo [ a, b ] es la pendiente del segmento cuyos extremos son los puntos ( a, f ( a ) ) y ( b, f ( b ) ).

26

Ejemplos: 1. Obtenga la tasa de variación media ( T.V.M.) de esta función en algunos intervalos: 5 4 3 2 1 -2 -1 1 2 3 4 5 6 Observa que:

• Cuando la funciones creciente en el intervalo, la T.V.M. es positiva. • Cuando la función es decreciente, la T.V.M. es negativa. • No importa que en el intervalo la función suba y baje. Para el cálculo de la T.V.M. sólo

importa el valor de la función en los extremos del intervalo. 2.- Calcula la T.V.M. de una función dada por su expresión analítica. Por ejemplo para la función definida mediante y = 2 x3 - 9 x2 - 24 x + 68.

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

T V Mf f

T V Mf f

T V Mf f

T V Mf f

. . . ,

. . . ,

. . . , ..

.

.

.

. . . , ..

.

.

..

3 66 3

6 3

32 31

321

3 44 3

4 3

44 31

113

3 3 53 5 3

3 5 3

40 5 31

0 519

3 3 13 1 3

3 1 3

33 308 31

0 123 08

=−−

=−

=

=−−

=− − −

= −

=−−

=− − −

= −

=−−

=− − −

= −

Observa que este último valor es bastante parecido al valor de f’ ‘ ( 3 ) que obtuvimos en el apartado inicial del presente capítulo, midiendo la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 3. Y es natural que sea así, toda vez que la recta tangente en 3 será muy próxima a la recta que corta a la curva en los puntos de abscisas 3 y 3.1.

[ ] ( ) ( )( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

T V Mf f

T V Mf f

T V Mf f

T V Mf f

. . . ,.

.

. . . ,. .

.

. . . , ..

.

. .

.

. . . ,. .

.

− − =− − −− − −

= − =

=−−

= − = −

=−−

= − − = −

=−−

=− −

=

2 11 2

1 24 7 4

10 7

0 22 0

2 01 2 4 6

21 7

2 2 52 5 2

2 5 20 2 1 3

0 53

3 66 3

6 3

1 4 0 7

30 7

27

EJERCICIOS. 1. Calcula la T.V.M. para la función de la gráfica en los intervalos [ -4, -2 ], [ -4, -1 ], [ -1, 2 ] y [ 2, 5 ]. 5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

0 1 2 3 4 5

3.- Durante cierto día las temperaturas en la ciudad de México fueron las que se indican en la siguiente tabla: Hora 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 T en ºC 10 11 13 14 16 18 19 20 22 22 23 21 21 20 19 18 18 17 17 • ¿ Cual es la variación media de la temperatura entre las 6 y las 15 horas ? • ¿ Cual ha sido la variación media de la temperatura entre las 15 y las 24 horas ? • La variación media, ¿ indica cuanto aumenta la temperatura y cuanto disminuye ? 4. Al lanzar cierto cohete, la relación entre el tiempo ( en minutos ) y la distancia recorrida ( en Km ) viene dada por la función d = t2 + 10t. Calcula la velocidad media en el primer minuto y en los intervalos de tiempo [ 1, 2 ], [ 2, 3 ] y [ 1, 10 ]. Su velocidad, al alejarse de la tierra, ¿ aumenta o disminuye ? 5. Calcula la T.V.M. [ 1, 3 ] para las funciones: a ) y = x3 - 3x2 + 5 b ) y = 5x4 + 2x - 4 c ) y = x2 - 4x + 3

d ) y x= +2 7 e ) y x x= − +34

32 f ) yx

=+1

1

28

2.1.2 LA TANGENTE COMO LÍMITE DE RECTAS SECANTES. PROBLEMA INICIAL: Entre las muchas funciones que has visto en este curso y en el de precálculo, con frecuencia han aparecido funciones en las que se describía la posición de un móvil al variar el tiempo. De ellas, una de las más sencillas es la del movimiento uniformemente acelerado. Aquí la tienes de nuevo. Una tenista da un fuerte raquetazo a una pelota verticalmente hacia arriba. La altura de la bola, en función del tiempo, obedece a la ecuación a = 30 t - 5 t2 y queremos saber la velocidad que lleva 2 segundos después del golpe. Podríamos calcularla, aproximadamente, representando la gráfica de la función, trazando la tangente y calculando su pendiente, pero este método, además de que requiere tener previamente la gráfica de la función, es poco preciso. Intentaremos hacerlo de forma más cómoda y exacta. ¿ Como calcular la derivada de una función en un punto a partir de su expresión analítica ? Es decir, ¿ como averiguamos la pendiente de la recta tangente a una curva sin necesidad de trazarla ? Rectas tangentes y rectas secantes. t r3 r2 r1 p1 p3 p2 P

La recta t es tangente a la curva el punto P. La recta r1 es secante a la curva, toda vez que la corta en dos puntos, P y p1. También son secantes r2 y r3. Toda ellas pasan por P y por un segundo punto cada vez más cercano a P. Y, en teoría, podríamos seguir trazando rectas que corten a la curva, además de en P, en puntos cada vez más próximos a él: p1 , p2 , p3 , p4 , . . . , pn Cuanto más próximo a P sea pn , más pequeño será el ángulo que forme la recta correspondiente con la tangente t. Por esta razón decimos que: t es el límite de la rectas rn cuando pn → P Por lo tanto, la pendiente de t se podrá obtener como límite de las pendientes de esas rectas secantes cuando pn → P.

29

Resolución del problema inicial. Vamos calcular la derivada de la función a = 30t - 5t2 en el instante 2, es decir, la pendiente de la recta t tangente a la curva en el punto P. Y lo vamos a hacer aproximándonos a t mediante rectas secantes r que además de pasar por P, pasan por otro punto pn de la curva. t Altura r 45 pn 40 35 30 25 P 20 15 10 5 1 2 3 4 5 6 tiempo

La pendiente de la recta r es la velocidad media de la pelota en el intervalo [ 2, xn ]. Calculemos la velocidad media en intervalos de este tipo, cada vez más pequeños.

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

T V Mf f

T V Mf f

T V Mf f

T V Mf f

. . . ,

. . . , ..

.

.

..

. . . , ..

.

.

..

. . . , ..

.

.

..

2 33 2

3 245 40

15

2 2 52 5 2

2 5 243 75 40

0 57 5

2 2 12 1 2

2 1 240 95 40

0 19 5

2 2 012 01 2

2 01 240 0995 40

0 019 95

=−−

= − =

=−−

= − =

=−−

= − =

=−−

= − =

Observa que las velocidades medias que se han obtenido se van acercando a 10. ¿ Será 10 el valor de f’ ( 2 ) ? Para verlo habrá que calcular el límite de las velocidades medias cuando el intervalo tiende a cero.

( ) ( )( )

( ) ( )[ ]( )

( )lim

f h f

hlim

h h

hlim

h h h

hh h h→ → →

+ −+ −

=+ − + −

+ −=

+ − − − −=

0 0

2

0

22 2

2 2

30 2 5 2 40

2 2

60 30 20 20 5 40

( )limh h

hlim h

h h→ →

− = − =0

2

0

10 510 5 10

Efectivamente, como suponíamos f’ ( 2 ) = 10. Por ser la derivada, f’ ( 2 ), el límite de las velocidades medias cuando el intervalo de éstas tiende a cero, se llama velocidad instantánea. Hemos resuelto, así, el problema planteado inicialmente: La velocidad de la pelota a los 2 segundos de ser golpeada es de 10 m/s. Observa que las gráficas han sido utilizadas, solamente, para razonar sobre ellas, pero hemos efectuado todos los cálculos exclusivamente con la expresión analítica de la función. Generalización.

30

Derivada de una función a partir de su expresión an alítica. Para obtener la derivada de una función en un punto a partir de su expresión analítica, debemos aproximarnos a la pendiente de la recta tangente mediante pendientes de rectas secantes. f ( a + h ) f ( a + h ) - f ( a ) f ( a ) h a a + h

Esto significa obtener las T.V.M. correspondientes a intervalos con un extremo en a y que tienden a 0. Por lo tanto será:

( ) ( )( )

( ) ( )lim

f a h f a

a h alim

f a h f a

hh h→ →

+ −+ −

=+ −

0 0

La derivada de una función en un punto es el límite de la T.V.M. cuando el intervalo tiende a cero. Regla práctica. Para calcular el límite anterior en casos concretos, suele convenir hacerlo, paso a paso, de la siguiente manera. 1. Calcular f ( a + h ) 2. Restarle f ( a ) a la expresión anterior: f ( a + h ) - f ( a )

3. Dividir este resultado entre h : ( ) ( )f a h f a

h

+ −

4. Calcular el límite del cociente anterior cuando h → 0: ( ) ( )

limf a h f a

hh→

+ −0

A este proceso se le suele llamar regla de los cuatro pasos. Ejemplos:

31

1. Calculemos f ‘ ( 3 ) siendo f ( x ) = 2 x2 - 5 x + 7

Primer paso: f ( 3 + h ) = 2 ( 3 + h )2 - 5 ( 3 + h ) + 7 = 18 + 12h + 2h2 - 15 - 5h + 7 = = 10 + 7h + 2h2 Segundo paso : f ( 3 + h ) - f ( 3 ) = ( 10 + 7h + 2h2 ) - 10 = 7h + 2h2

Tercer paso : ( ) ( )f h f

h

h h

hh

3 3 7 27 2

2+ −= + = +

Cuarto paso : ( ) ( )lim

f h f

hlim h

h h→ →

+ −= + =

0 0

3 37 2 7

Por lo tanto f ‘ ( 3 ) = 7. La pendiente de la recta tangente en el punto 3 es 7.

2. Calculemos f ‘ ( 2 ) siendo ( )f xx

= 1

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 21

2

2 2 21

2

1

2

2 2

2 2 4 2

32 2 4 2 1

4 2

42 2 1

4 2

1

40 0

o

o

o

o

h h

f hh

f h fh

h

h

h

h

f h f

h

h

hh h

limf h f

hlim

h

.

.•

.

.

+ =+

+ − =+

− = − −+

= −+

+ −=

−+ = −

++ −

= −+

= −

→ →

Por tanto f ‘ ( 2 ) = - 1 / 4.

3. Calculemos f ‘ ( 4 ) siendo ( )f x x= .

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )

1 4 4

2 4 4 4 4 4 2

34 4 4 2

44 4 4 2 4 2 4 2

4 2

4 4

4 2

1

4 2

14

0 0 0

0 0

o

o

o

o

h h h

h h

f h h

f h f h h

f h f

h

h

h

limf h f

hlim

h

hlim

h h

h h

limh

h hlim

h

.

.

.

.

+ = +

+ − = + − = + −

+ −= + −

+ −= + − =

+ − + +

+ +

= + −+ +

=+ +

=

→ → →

→ →

por tanto f ‘ ( 4 ) = 1 / 4. Ejercicios: 1. Calcula, aplicando la definición, la derivada de las funciones siguientes en el punto indicado:

32

• abscisa x = 2. a ) f ( x ) = x2 b ) f ( x ) = 2x - 3 c ) f ( x ) = x2 - 2x + 5 d ) f ( x ) = x3 - 4x2 + 5x • abscisa x = 3 a ) f ( x ) = x3 b ) f ( x ) = 3x - 2 c ) f ( x ) = x2 + 3x - 7 d ) f ( x ) = x3 - 5x2 + 3 • abscisa x = 1

a ) ( )f x x= b ) ( )f xx

= 1

2. La altura de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba viene dada por la siguiente gráfica: 4 2 4 3. Un cuerpo desciende por un plano inclinado. El desplazamiento en metros viene dado por la fórmula d ( t ) = 1. 5 t2 ( t está dado en segundos ). Calcula la velocidad instantánea para t = 1 segundo. 4.- Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva f, cuya gráfica aparece en la siguiente figura, en el punto de abscisa x = 1. 1 2 3 5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y = f ( x ) en x = a sabiendo que pasa por el origen del sistema de ejes coordenados y que f ’ ( a ) = 2 / 5. 6. Se puede comprobar que la derivada de la función definida mediante y = x3 - 4x2 + 3x - 2 en x = a es f ‘ ( a ) = 3 a2 - 8a + 3. Escribe la ecuación de las rectas tangentes en x = 0, x = 1, x = 2. 7. Sin efectuar ningún cálculo, deduce el valor de f ’ ( 0 ) para la función y = x2 + 1 cuya gráfica es: 1 0

2.2 FUNCIÓN DERIVADA.

¿ En que momento se detiene ? Cuando sube el proyectil, ¿ que signo tiene la velocidad ? ¿ Y cuando baja ?

33

PARA EMPEZAR, RESUELVE . . . Aplicando la definición, calculemos la derivada de f ( x ) = x2 - 2x en el punto de abscisa - 1, es decir, calculemos f ‘ ( -1 ):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

f h h h h h h h h

f h f h h h h

f h f

h

h h

hh

limf h f

hlim h

h h

− + = − + − − + = − + + − = − +

− + − − = − + − = − +

− + − −= − + = − +

− + − −= − + = −

→ →

1 1 2 1 1 2 2 3 4

1 1 3 4 3 4

1 1 44

1 14 4

2 2 2

2 2

2

0 0

Es decir, f ‘ ( -1 ) = - 4 • Comprueba que f ‘ ( 0 ) = - 2 y que f ‘ ( 3 ) = 4. • Observa que en la segunda gráfica se han representado, en rojo, los tres puntos correspondientes

a los valores obtenidos ( - 1, - 4 ), ( 0, - 2 ), ( 3, 4 ) y que dichos puntos están situados sobre la recta y = 2x - 2. Calcula f ‘ ( 2 ) y comprueba que el punto correspondiente también está sobre dicha recta.

Los resultados anteriores nos llevan a suponer que si f ‘ ( a ) = b, entonces ( a, b ) también está sobre la recta y = 2x - 2, es decir: f ‘( a ) = b → b = 2a - 2 → f ‘( a ) = 2a - 2 Según esto, el vértice de la parábola, que estará en el punto cuya derivada es 0, cumplirá: f ‘( a ) = 0 → 2a - 2 = 0 → a = 1 Efectivamente; es en el punto de abscisa 1 donde está el vértice de esta parábola. Obsérvalo en la gráfica. En este tema veremos que, efectivamente, la expresión y = 2x - 2 nos proporciona la derivada de la función f ( x ) = x2 - 2x en cada punto de abscisa x.

Dada una función f , ¿ se puede encontrar otra función que nos dé el valor de la derivada de x en cualquier punto ? Contestaremos a esta pregunta en el siguiente subtema. . .

2.2.1. DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. En la página anterior se ha obtenido, para f ( x ) = x2 - 2x, que

5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2

34

( )( )( )( )( )

′ − = − − → −

′ = − → −

′ = →

′ = →

′ = →

′

′

′

′

′

f

f

f

f

f

1 4 1 4

0 2 0 2

1 0 1 0

2 2 2 2

3 4 3 4

es decir

es decir

es decir

es decir

es decir

f

f

f

f

f

Al representar estos puntos sobre unos ejes cartesianos observamos que son puntos situados sobre la recta y = 2x - 2 Probemos lo anterior, calculando la derivada de f en un punto cualquiera, x :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

32 2

2 2

4 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

0 0

.

.

.

.

f x h x h x h x xh h x h

f x h f x x xh h x h x x xh h h

f x h f x

h

xh h h

hx h

limf x h f x

hlim x h x

h h

+ = + − + = + + − −

+ − = + + − − − − = + −

+ −= + − = + −

+ −= + − = −

→ →

Por tanto, como habíamos previsto, f ’ ( x ) = 2x - 2. A esta nueva función f ’ se le llama función derivada de f. Definición: Se llama función derivada de f a una función f ‘ que asocia a cada punto x la derivada de f en ese punto, f ‘ ( x ), es decir, la pendiente de la curva y = f ( x ) en ese punto. A la derivada de f la llamaremos f ‘ , y ‘ , f ‘ ( x ) o bien D( f ). Ejemplos: 1. Resolvamos el siguiente problema: Un cohete casero se ha lanzado verticalmente hacia arriba, y nos dicen que su desplazamiento ( altura ) siguió la ecuación h = t3 - 9t2 + 24t durante su vuelo que duró 10 segundos.

Lo cual nos lleva a conjeturar que f ’ ( a ) = 2a - 2 cualquiera que sea el punto a; es decir, que f ‘ es una función que transforma cada x en 2x - 2: x ′ →f 2x - 2

35

Debido a un fallo de la pólvora, el cohete que estaba subiendo pierde altura; luego se recupera y sube de nuevo. Para conocer la velocidad del cohete en distintos momentos, sería conveniente tener una función f ( t ) que nos diese la derivada de f en cualquier instante. Además, di dispusiéramos de esa función, podríamos calcular con facilidad los momentos en que el cohete cambia el sentido de su marcha. Con la información que tenemos ahora, sabemos que para resolverlo necesitamos conocer la función derivada de f ( t ) = t3 - 9t2 + 24t, para ello, podemos aplicar el “pesadísimo” proceso de la regla de los cuatro pasos y obtener: f ‘( t ) = 3t2 - 18t + 24 Esta función nos da la velocidad en cualquier instante. Por ejemplo: para t = 0: f ‘( 0 ) = 24 ( velocidad de salida: 24 m/s ) para t = 1: f ‘( 1 ) = 3 - 18 + 24 = 9 para t = 7: f ‘( 7 ) = 3 ( 7 )2 - 18( 7 ) + 24 = 45 También a partir de esta función, podemos obtener los instantes en que el cohete cambia el sentido de su marcha, es decir, los instantes en que tiene velocidad nula: 3t2 - 18t + 24 = 0 → t2 - 6t + 8 = 0 resolviendo por factorización: ( t - 2 ) ( t - 4 ) = 0 → t1 = 2 y t2 = 4 Lo cual indica que en los puntos de abscisas 2 y 4 se anula la derivada y corresponden, al punto más alto y más bajo de la trayectoria (máximo y mínimo ). Como ejercicio, calcule f ( t ) para estos valore y determine así, las alturas en las que se produjo un cambio de dirección. 2. Es posible representar la gráfica de una función empleando las definiciones de límites, hasta el momento consideradas, y la de derivada. Veamos el siguiente caso:

Para representar gráficamente la función y = x3 - 3x averigüemos, previamente, donde tiene los máximos y mínimos. Para ello comencemos por calcular la función derivada de f ( x ) = x3 - 3x :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 3 3 3 3 3

2 3 3 3 3 3 3 3 3

33 3 3

3 3 3

4 3 3 3 3 3

3 3 2 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3

2 2 32 2

0 0

2 2 2

.

.

.

.

f x h x h x h x x h xh h x h

f x h f x x x h xh h x h x x x h xh h h

f x h f x

h

x h xh h h

hx xh h

limf x h f x

hlim x xh h x

h h

+ = + − + = + + + − −

+ − = + + + − − − − = + + −

+ −= + + − = + + −

+ −= + + − = −

→ →

Hemos obtenido que f ‘( x ) = 3x2 - 3. Los máximos y mínimos cumplen con la condición de que f ‘( x ) = 0: f ‘( x ) = 0 → 3x2 - 3 = 0 → 3x2 = 3 → x2 = 1→ x = ± 1 Los máximos y mínimos estarán en los puntos de abscisas 1 y - 1. Calculemos sus ordenadas: f ( 1 ) = ( 1 )3 - 3( 1 ) = - 2 La curva tiene un punto de tangente horizontal en ( 1, - 2 ); f ( - 1 ) = ( - 1 )3 - 3( - 1 ) = 2 La curva tiene otro punto de tangente horizontal en ( -1, 2 ). La curva corta al eje x en los puntos 0, 3 y - 3 (compruébalo resolviendo la ecuación x3 - 3x = 0 ). Además se verifica que ( )lim f x

h→−∞= −∞ y ( )lim f x

h→∞= +∞ .

36

Con todos estos resultados podemos representar la curva con facilidad, toda vez que sabemos que es continua: 3 2 1 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 3. Represente gráficamente (de forma aproximada y s in configurar la tabla de valores) la función y = x 3 + 3x. Pasos para resolver:

• Comprueba que la función derivada es f ‘( x ) = 3x2 + 3. • Averigua en que abscisas se anula la derivada. Calcula la ordenada correspondiente a

esas abscisas para obtener los puntos de tangente horizontal. • ¿En que puntos corta la función a los ejes coordenados ? • Calcula ( ) ( )lim f x lim f x

h h→−∞ →∞ y . Sabrás hacia donde evoluciona la curva, tanto hacia la

izquierda como hacia la derecha del origen de coordenadas.

EJERCICIOS:

1. Calcula la función derivada de: a ) f ( x ) = x2 - 6x + 5 b ) f ( x ) = x3 - 4x c ) f ( x ) = x3 + x 2. Utiliza los puntos anteriores para averiguar los puntos de tangente horizontal de las curvas a ) f ( x ) = x2 - 6x + 5 b ) f ( x ) = x3 - 4x c ) f ( x ) = x3 + x 3. ¿ En que punto tiene pendiente 2 la recta tangente a la gráfica de la función y = x2 - 6x + 5 ? ( Sugerencia : Resuelve la ecuación f ‘( x ) = 2. ) 4. Hallar los dos puntos en los cuales la recta tangente a y = x3 - 4x tiene pendiente 8. 5. ¿ En que puntos la recta tangente a y = x3 + x tiene menor pendiente ? ¿ Cual es esa pendiente ? ( Sugerencia : ¿ Que valor hay que dar a x para que la derivada de la función anterior adquiera el menor valor posible ? 2.2.2 DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. La derivada de una función en un punto se ha definido como

37

( ) ( ) ( )′ =+ −

→f a lim

f a h f a

hh 0

El límite anterior puede existir o no. Es decir, una función puede ser derivable en un punto o puede no serlo. Si una función es derivable en a debe cumplirse que ( ) ( )[ ]lim f a h f a

h→+ − =

00

lo que significa que ( ) ( )lim f a h f a

h→+ =

0

que es la definición de función continua en a. Por tanto: Si una función es derivable en a tiene que ser continua en a. Sin embargo, una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. Por ejemplo: a a

La primera de estas funciones no tiene tangente en a ( presenta un vértice ) y la segunda tiene una tangente paralela al eje Y y por tanto, no tiene pendiente ( a veces se dice con pendiente infinita ). Funciones derivables y no derivables. Problema 1. Tenemos hielo triturado a -25ºC dentro de una cacerola. Lo introducimos en un recipiente de

agua hirviendo y vamos observando su temperatura.

Para la primera función se cumple que ( ) ( )

limf a h f a

hh→ −

+ −0

( ) ( )≠+ −

→ +lim

f a h f a

hh 0

y por lo tanto, no existe el límite de esa expresión. En la segunda, el límite es infinito y, por tanto, no tiene límite pues infinito no es un número.

38

Obtenemos la gráfica siguiente: T 100 75 50 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t -25 Deseamos calcular la variación instantánea de la temperatura a lo largo del tiempo que dura el experimento. Problema 2. La siguiente gráfica nos da la velocidad de un coche durante los 8 minutos que dura una prueba a la que se le somete: V en Km/min 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t en min ¿ Cual es su aceleración en cada momento ?

Ya sabemos que la variación instantánea de una función es su

derivada en ese instante, es decir , la pendiente de la tangente en el punto correspondiente. ¿ Se puede trazar la tangente a una curva en puntos angulosos ?

Hasta ahora, cada vez que hemos intentado obtener la derivada de una función en un punto lo hemos conseguido. Hemos tratado siempre con funciones derivables. Ser derivable en un punto equivale a tener tangente en ese punto. Hay funciones, como las dos que aparecen en el margen, que tienen puntos angulosos. En esos puntos la gráfica no admite tangente y, por tanto, la función no es derivable. Resolución del problema 1. La función tiene la siguiente derivada: Instante en cada

punto del intervalo:

Valor de la derivada ( variación instantánea )

( 0, 1.5 ) 25 / 1.5 = 16.67 ( 1.5, 6.5 ) 0 ( 6.5, 12 ) 100 / ( 12-6.5 ) = 18.18 ( 12, 16 ) 0

En los instantes 1.5, 6.5 y 12 la función no tiene derivada

Solución del problema 2: Hay que tener en cuenta que la aceleración es la variación de la velocidad con respecto al tiempo. Por tanto, la aceleración es la derivada de la función velocidad. Obtenemos las siguientes valores:

39

Instante en cada

punto del intervalo:

Valor de la derivada ( variación instantánea )

( 0, 1 ) 1 / 1 = 1 ( 1, 2 ) 0 ( 2, 3 ) 1 ( 3, 4 ) 0.5 ( 4, 5 ) ( 1 - 2.5 ) / ( 5 - 4 ) =-1.5 ( 5, 6 ) 0 ( 6, 8 ) ( - 1 ) / ( 8 - 6 ) = - ½ = - 0.5

La aceleración viene dada en Km/min2 y se lee kilómetros por minuto cada minuto. En los instantes 1, 2, 3, 4, 5 y 6 la función no tiene derivada. Estudio analítico. Hemos visto que, gráficamente, reconocemos los puntos en donde la función no es derivable por tratarse de vértices. ¿ Como reconocerlo analíticamente ? En la definición de derivada aparece el cálculo de un límite, y los límites pueden no existir. Una función no es derivable en un punto a cuando no existe el siguiente límite:

( ) ( )

limf a h f a

hh→ −

+ −0

Continuidad y derivabilidad. Si una función no es continua en un punto, no se puede trazar recta tangente a la misma en ese punto. Por lo tanto no tiene derivada. Esta propiedad se expresa diciendo que: Si una función es derivable, necesariamente ha de ser continua. Ejemplo: Comprobemos que la función y = | x | ( cuya gráfica aparece al margen ), no es derivable en el punto ( 0, 0 ).

40

y = | x | xx x

x x=

≥− <

si

si

0

0 x lim

x h x

hh

′ =+ −

→0

Observa que, cuando x = 0, se tiene que

( )′ =→

y limh

hh0

0

Si h se acerca a cero pero es positiva, sucede que

limh

hlim

h

hh h→ →+ += =

0 01

Si h se acerca a cero pero es negativa, sucede que

limh

hlim

h

hh h→ →− −= − = −

0 01

Como los límites al acercarnos a cero por la derecha y por la izquierda no coinciden, no existe el límite

limh

hh→0

es decir, no existe la derivada en el punto ( 0, 0 ). Desafío: Un globo esférico elástico, que desinflado tiene un metro de radio, se infla aumentando su radio 0.1 m cada segundo. Escribe la ecuación de la velocidad de crecimiento del volumen. ¿ A que velocidad crece éste a los 3 segundos ? Pasos para resolver:

• ¿ Como crece el radio r al pasar el tiempo t ? r = 1 + 0.1t

• ¿ Como crece el volumen V al crecer el radio r ? V r= 43

3π . Sustituye r por su ecuación

y desarrolla la expresión. • La velocidad de crecimiento del volumen se obtiene derivando la función volumen

tomando el tiempo t como variable ( π es constante ). Comprueba que es

[ ]′ = + + +V D t t t43

1 0 3 0 003 0 0012 3π . . .

• ¿ Cuanto vale la derivada para t = 3 ?

2.2.3 REGLAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS. ¿ Que reglas se pueden dar para obtener, con comodidad, derivadas de las funciones más usuales ?

Observemos que, en efecto, la función y = | x | no es derivable en el punto ( 0, 0 ); al tratarse de un vértice, no admite tangente posible.

41

Para calcular la derivada de una función polinómica f ( x ) = axn + bxn - 1 + . . . + q aprenderemos, sucesivamente, a calcular las derivadas de:

• xn ( para un número natural n cualquiera ). • k· f( x ) ( producto de un número por una función cualquiera, cuya derivada

se supone conocida ). • f( x ) + g( x ) ( suma de dos funciones ).

Derivada de la función potencia, f ( x ) = x n La calcularemos siguiendo los cuatro pasos usuales:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

12 3

22 3

32 3

2 3

1 2 2 3 3

1 2 2 3 3

1 2 2 3 3

1 2 3

.

.

.

f x h x h x nx hn

x hn

x h

f x h f x nx hn

x hn

x h

f x h f x

h

nx hn

x hn

x h

hnx

nx h

nx h

n n n n n

n n n

n n n

n n n

+ = + = + +

+

+

+ − = +

+

+

+ −=

+

+

+

= +

+

− − −

− − −

− − −

− − −

K

K

K

( ) ( )

2

0 0

1 2 3 2 142 3

+

+ −= +

+

+

=

→ →

− − − −

K

K. limf x h f x

hlim nx

nx h

nx h nx

h h

n n n n

Nota: Observe que en el primer paso se tiene el desarrollo del Binomio de Newton.

Se ha obtenido entonces que: D ( xn ) = n xn -1 ( 1 ) Derivada del producto de un número por una función Consideremos la función f ( x ) = k g( x ). Derivemos empleando la regla de los cuatro pasos:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

3

40 0 0

.

.

.

.

f x h kg x h

f x h f x kg x h kg x k g x h g x

f x h f x

h

k g x h g x

hk

g x h g x

h

limf x h f x

hlim k

g x h g x

hk lim

g x h g x

hkg x

h h h

+ = +

+ − = + − = + −

+ −=

+ −=

+ −

+ −=

+ −

=

+ −

= ′

→ → →

Entonces: D[ kg( x ) ] = k D[ g( x ) ] ( 2 )

42

es decir, la derivada del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Derivada de la suma de varias funciones. Consideremos, ahora, f ( x ) = g ( x ) + h ( x ).

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2

3

40 0 0

0

.

.

.

.

f x h g x h j x h

f x h f x g x h j x h g x j x g x h g x j x h j x

f x h f x

h

g x h g x j x h j x

h

g x h g x

h

j x h j x

h

limf x h f x

hlim

g x h g x

h

j x h j x

hlim

g x h g x

h

limj x h j x

hg x j x

h h h

h

+ = + + +

+ − = + + + − + = + − + + −

+ −=

+ − + + −=

+ −+

+ −

+ −=

+ −+

+ −

=

+ −+

+ −= ′ + ′

→ → →

→

Se ha obtenido, D[ g( x ) + j( x ) ] =Dg( x ) + Dj( x ) ( 3 ) La derivada de la suma de varias funciones es igual a la suma de sus funciones derivadas. Consideremos algunos ejemplos para las fórmulas obtenidas hasta el momento: Ejemplos: 1. Sean las funciones y = x, y = x3 , y = x7 su derivada estará dada por: • D[ x ] = 1 x1-1 = 1 x0 = 1 ( Efectivamente, ya sabíamos que la función y = x se

representa mediante una recta de pendiente 1 ). • D[ x3 ] = 3x3-1 = 3x2 • D[ x7 ] = 7x7-1 = 7x6 2. Sean las funciones y = 3x, y = 5x2 , y =-4x5. Calcular sus funciones derivadas: • D[ 3x ] = 3 D[ x ] = 3( 1 ) = 3

• D[ 5x2 ] = 5 D[ x2 ] = 5 [ 2x ] = 10x

43

• D[ -4x5 ] = -4 D[ x5 ] = -4 [ 5 x4 ] = -20x4 3. Derivada de una suma de funciones:

• D[ x3 + x2 + x ] = 3x2 + 2x + 1

• D[ x5 - 3x3 + 7x2 - 3x + 2 ] = 5x4 -3( 3x2 ) +7( 2x ) -3 +0 = 5x4 -9x2 +14x -3 4. La derivada de una función en un punto, se calcula de la siguiente manera:

• La derivada de f( x ) = 3x5 - 2x4 - 7x2 - x + 4 en el punto a = 2 está dada por 1º ) f ‘ ( x ) = 15x4 - 8x3 - 14x - 1 2º ) f ‘( 2 ) = 147

El mismo resultado se obtiene si f ‘( x ) se divide entre el polinomio lineal x - 2, empleando la regla de ruffini o división sintética. La fundamentación teórica de esto, está fuera de los alcances del presente curso.

15 -8 0 -14 -1 2 30 44 88 148 15 22 44 74 147

Otras derivadas interesantes. Vimos que D( xn ) = nxn-1 cuando n es un número natural. Este resultado también es válido cuando n es un número entero e, incluso, fraccionario. Por ejemplo:

• D 1x

= D ( x-1 ) = -1( x-2 ) = − 1

2x

• D 3

5x

= 3 D( x-5 ) = 3( -5 ) x-6 = − 15

6x

• D ( )x = D x1

2

=

12

1

21

x−

= 12

1

2

1

2xx

−=

• ( )D x D x x xx

232

3

2

31

1

33

23

23

2

3=

= = =

− −

• ( ) ( ) ( )D x D x D xx

3 3 33

2= = =

Con estas fórmulas, las funciones cuyas derivadas calculábamos laboriosamente en los apartados anteriores, resultan ahora sencillas de derivar. Derivadas de las funciones trigonométricas y = sen x y y = cos x. Para calcular, a partir de la definición, la derivada de la función seno, se requieren unos conocimientos de trigonometría que aún no tienes. Vamos a obtenerla por otros medios:

( Recuerde que y = 2 es una función constante, es decir, representa una recta paralela al eje de las abscisas, por lo tanto, su pendiente es cero).

44

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7

Sobre la gráfica de la función y = sen x trazamos la tangente en algunos puntos y medimos la pendiente. Se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )

sen.

. sen ..

.

sen.

. sen.

.

′ = = ′ = − = −

′ = − = − ′ = =

1112

0 55 2 6182

0 90

42 44

0 6 50 85

30 28

que coinciden con los correspondientes valores del coseno:

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7

Compruébalo para otros cuantos puntos, incluyendo a 0, π π π π2

32

, , y 2 .

Se llega así a la conclusión de que D ( sen x ) = cos x ( 4 ) Análogamente se obtendría ( compruébalo ) que D ( cos x ) = - sen x ( 5 ) Desafío: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función y = x3 - 4x2 + 1 en el punto de abscisa x0 = 2.

y = sen x

y = cos x

45

Pasos para resolver: • Comprueba que la ordenada del punto de tangencia es y0 = -7 sustituyendo

x por 2 en la ecuación de la función. La recta tangente pasará por ( 2, -7 ) y tendrá una cierta pendiente.

• Esta pendiente es la derivada de la función en el punto. Entonces, debes derivar la función y sustituir x por 2. Obtendrás f ‘( 2 ) = -4.

• Si una recta pasa por ( x0 , y0 ) y tiene pendiente m, su ecuación es y = y0 + m ( x - x0 ). Si sustituyes los valores correspondientes obtendrás y = -4x + 1.

Ejercicios: ( continuación ) 6. Encuentra la función derivada de las siguientes de las siguientes funciones polinómicas: a ) y = 7x4 - 3x3 + 5x2 - 6x + 8 b ) y = 0.03x2 + 0.15x - 0.01

c ) y = 6 π x2 - 3x + 2 d ) f ( x ) = x11 - 7x10 + 8x5 - 13x3 + 2x - 3 7. El espacio d, en metros, recorrido por una moto ( que acaba de arrancar ) en un tiempo t, en segundos, viene dado por la fórmula d = 2t2 + 5 t

a ) Calcula lo que indica el velocímetro cuando t = 2 segundos. b ) Encuentra la función velocidad ( Sugerencia : se trata de derivar la función de espacio con respecto al tiempo ). c ) Calcula la velocidad cuando ha recorrido 3 metros.

8. Calcula, desarrollando las expresiones, las derivadas de las siguientes funciones y compara los resultados obtenidos: a ) y = x2 b ) y = ( x + 5 )2 c ) y = x3 d ) y = ( x + 5 )3 9. Dibuja la parábola y = x2 + 1 y traza su tangente en el punto de abscisa x = 0. Calcula, derivando, la ecuación de la recta tangente y dibújala también. ¿ Coinciden ? 10. Se ha conseguido que una bacteria, bajo ciertas condiciones de cultivo, se multipliquen rápidamente. El número de ellas, al cabo de t minutos, viene dado por N = 50 + 50 t + 10 t2. Calcula su velocidad de crecimiento al cabo de 5 minutos, y al cabo de 7 minutos.

11. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a yx

= 4 en los puntos de abscisas x = 1,

x = 2 y x = 4. 12. Un cohete se desplaza según la función y = 100 t + 2000 t2 en la que y es la distancia recorrida en km y t es el tiempo en horas. a ) Calcula la función velocidad

b ) Calcula la función aceleración ( así como la función velocidad se obtiene derivando la función distancia, la función aceleración se obtiene derivando la función velocidad )

c ) ¿ Cuanto vale la velocidad inicial ? ( t = 0 )

46

d ) ¿ Y la aceleración inicial ?

13. Dibuja la gráfica de la función:

( )f xx x

x x=

≥<

2 0

0

si

s i

Calcula su función derivada. Dibújala e indica en que punto no existe. 14. Estudia la derivabilidad de la función y = | x + 2 |. Nota: Si tienes una receta y te has asegurado que se ajus ta a tu problema, aplícala. La matemática está muy lejos de ser una colección de recetas. La matemática es un ejercicio de la imaginación y del pensamiento. Pero sí ayuda mucho en la actividad matemática el recordar automáticamente resultados básicos. Gracias a las rutinas, el pensamiento queda libre para ir más adelante. Facilítate la tarea posterior memorizando las fórmulas de derivación básicas.

2.2.4 DERIVADAS SUCESIVAS.

Si la función f ‘ , derivada de f , es a su vez derivable, su función derivada se llama derivada segunda ; se designa por f ‘’ y se lee f segunda o segunda derivada de f:

D f ‘( x ) = f ‘’( x )

Análogamente se definirían las derivadas tercera (f ‘’’ ), cuarta (f IV ) y sucesivas.

2.3 LA FUNCIÓN COMPUESTA Y SU DERIVACIÓN. Estas funciones

47

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )

f x x

f x x

f x x x

f xx

f x x

f x x x

=

= +

= + −

=+

= +

= − +

sen

sen

cossen

2

2 120

2

2

2

2 1

15

2

2 3

π

π

tienen mucho que ver con las que ya sabemos derivar y, sin embargo, su derivación aún nos resulta inasequible. En este apartado aprenderemos a expresar tales funciones como resultado de componer otras dos o más funciones conocidas. Con esto podremos calcular su derivada a partir de las derivadas de las funciones que las componen. A este tipo de funciones se les llama compuestas. ¿ Como reconoceremos las funciones compuestas ? ¿ Como detectar sus componentes ? ¿ Existirá alguna regla para su derivación ? 2.3.1 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Vamos a jugar con tres funciones:

48

( )( )( )

f x x x

g x x

h x x

= + −

=

=

2 5 1

sen

Aunque cada una de estas funciones se ha presentado actuando sobre x , puede actuar sobre cualquier argumento ( se puede llamar argumento a aquello sobre lo que actúa una función ). Por ejemplo: f ( 3x ) = ( 3x )2 + 5( 3x ) - 1

( )

gx x

h x x

+

= +

=

π π2 2

2 2

sen

sen sen

Por lo mismo, cada una de ellas puede actuar sobre alguna de las otras:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

g f x f x x x

h g x g x x

f h x r x r x x x

= = + −

= =

= + − = + −

sen sen

sen

2

2 2

5 1

5 1 5 1

E incluso, pueden encadenarse tres o más funciones.

( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

g h f x x x

h g f x x x

h g h g x x

= + −

= + −

=

sen

sen

sen sen

2

2

5 1

5 1

Como ves, componer funciones conocidas es muy fácil. Algo menos fácil es reconocer las funciones componentes de una función compuesta. Por ejemplo:

( ) ( )φ x x x= − +2 33 5 se puede considerar compuesta de:

( )( )( )

( ) ( )( )( )r x x

c x x

p x x x

x r c p x

=

=

= − +

=3

2 3 5

φ

Pero también puede descomponerse en sólo dos funciones del siguiente modo:

( )( )

( ) ( )( )g x x

p x x xx g p x

=

= − +

=

3

2 3 5φ

49

Observa que: Puedes componer las funciones f ( x ) = x2 y g( x ) = sen x de dos formas distintas:

( )x x x xf g → →2 2sen y obtenemos y = sen ( x2 ).

O bien

( )x x xg f → →sen sen2

y obtenemos y = sen2 x.

Utiliza tu calculadora para comprobar que son distintas. Por ejemplo: Para x = π Para x = 2 x2 = π2 → sen x2 = 0.43 x2 = 4 → sen x2 = 0.75 sen x = 0 → sen2 x = 0 sen x = 0. 91 → sen2 x = 0.83 2.3.2 DEFINICIÓN Y NOMENCLATURA. Si la función φ ( x ) se puede poner como φ ( x ) = g( f( x ) ) se dice que está compuesta por f y g y se escribe así: φ = g o f Se lee f compuesta por g . Observa que se leen en sentido contrario a como se escriben. Esto es debido a que la primera que actúa sobre x es f y, después, actúa g. Análogamente h( g( f( x ) ) ) = ( h o g o f ) ( x ). 2.3.3 DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA: REGLA DE LA CADENA. Empecemos con una función compuesta por otras dos: φ ( x ) = g( f( x ) ) Si aplicamos la regla de los cuatro pasos en el paso número 3 obtendremos:

50

( ) ( )φ φx h x

h

+ −

si se multiplica y divide por ( ) ( )f x h f x+ − se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )φ φ φ φx h x

h

f x h f x

f x h f x

x h x

f x h f x

f x h f x

h

+ −⋅

+ −+ −

=+ −+ −

⋅+ −

sabemos que φ ( x ) = g( f( x ) ), entonces esta última expresión puede escribirse como

( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )g f x h g f x

f x h f x

f x h f x

h

+ −+ −

⋅+ −

, que evidentemente, se trata de un producto de

pendientes de rectas secantes. Aplicando límites se obtiene que su derivada es: ( ) ( )( ) ( )′ = ′ ⋅ ′φ x g f x f x

Es decir, la derivada de g actuando sobre lo mismo que actuaba g, multiplicada por la derivada de f. Ejemplos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

φ φ

φ φ

φ φ

x x x x x x x

x x x xx

x

x x x x x x x x x

= + − → ′ = + − ⋅ +

= = → ′ =

= − + = − + → ′ = − + ⋅ −

sen cos

sen sensen

cos

2 2

1

2

2 3 23

2 21

2

5 1 5 1 2 5

1

2

3 5 3 532

3 5 2 3

Si la función esta compuesta por tres funciones: ( ) ( )( )[ ]φ x h g f x= entonces ( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )′ = ′ ⋅ ′ ⋅ ′φ x h g f x g f x f x

Por ejemplo:

( ) ( )( )

( )( ) ( )

φ

φ

x x x

xx x

x x x

= − +

′ =− +

⋅ − + ⋅ −

2 3

2 3

2 2

3 5

1

2 3 53 3 5 2 3

Comprueba que es el mismo resultado obtenido en el tercer ejemplo anterior. Otro ejemplo:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

f x x x

f x x xx x

x x x

= −

′ = − ⋅−

⋅ − ⋅ −

sen

cos

2 5

2 5

2 5

2 4

7

71

2 75 7 2 7

51

Ejercicios: Calcula las siguientes derivadas: 1. a ) y = sen( 2x ) b ) y = cos( 5x2 - 3x + 2 ) c ) y = sen2 x d ) y = sen x2 2. a ) y = sen2 x2 b ) y = cos5 ( 7x2 ) c ) y = 6 cos2 ( 3x + 5 ) d ) y = ½ cos3 ( 2x ) 3. a ) y = sen ( sen x ) d ) y = sen2( cos 7x ) c ) y x= sen3 8 d ) y x= cos5 2

4. a ) y x= −2 3 b ) ( )y x= −2 37

c ) ( )y x= −2 37 d ) y x= 5 23

5.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

a y x y x y x x

y x y x x y x x

yx

yx

yx

yx

x x y x yx

y x y x y x

)

sen sen cos

b ) c )

d ) e ) f )

g ) h ) i )

j ) k ) l )

m ) n ) o )

= − = − = − −

= − = + − = + −

= = = −

= − + + = − =−

= − = =

5 3 1 1 2

1 3 1 3

33 4

3

511

532

4 22

3

1 3 5 7

233

2 2 5 2 23

2

42 2

2

2 2 45

6. Calcula la velocidad y la aceleración de los siguientes movimientos para t = 0, t = 1, t = 2 y t = 3: a ) e( t ) = 3 + 4 t b ) e( t ) = 19 + 9.8 t2 c ) e( t ) = 2t3 Indica que clase de movimiento es cada uno de ellos. 7. Hallar la derivada de la función y = 3x2 + 5 en el punto de abscisa x = 1 aplicando la definición de derivada. Comprueba el resultado obtenido derivando formalmente. 8. Halla los puntos de la gráfica de la función y = x3 - 3x en los que la recta tangente es horizontal. 9. Hallar las coordenadas de los puntos de la curva f ( x ) = x2 - 7x + 1 en los que la tangente a dicha curva forme un ángulo de 45º con el eje OX. 10. Calcula las derivadas de las funciones:

( ) ( )( )( ) ( )

f x x

i x x

l x n b

= −

= −

= −

3

3 5

3

sen π

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

g x ax

j x x

m x ax

= −

= −

= −

2 42

2sen

cos π

( ) ( )( )( ) ( )

h x x

k x x

n x x

= −

= −

= +

1

3 1

5 2

2 5

23

sen cos

11. ¿ En que punto no es derivable la función f( x ) = | x + 1 | ? Represéntala gráficamente.

52

12. La función f( x ) = | x2 - 6x + 8 | tiene dos puntos en los que no es derivable. ¿ Cuales son ? Represéntala gráficamente. ( Ayuda: representa primero y = x2 - 6x + 8 ). 13. Calcula las derivadas primera, segunda, tercera y cuarta de las funciones:

a y xx

x x) = − + −62

53

1143

2 ( )b y x) cos = 5 2

14. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las funciones dadas en los puntos indicados:

a y x x en x

c y x en x

)

)

=

=

= − +

= −

3 2 1 1

2 6

( )b y x en x

d yx

x en x

) sen

)

=

= - =

= 3 2 0

24

15. Determina la tangente a la semicircunferencia y x en x x y x= −25 0 52 = , = = -5 . Dibuja

la gráfica y analiza los resultados.