Cada librePara otros usos de este trmino, vase Cada libre (deporte).Cada libre de una pelota. Se muestran, mediante fotografa estroboscpica, las posiciones de la pelota a intervalos regulares de tiempo: para t = 1, 2, 3, 4, 5 , ... , el espacio recorrido es proporcional a 1, 4, 9, 16, 25, ..., etc.En fsica, se denomina cada libre al movimiento de un cuerpo bajo la accin exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definicin formal excluye a todas las cadas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinmica del aire, as como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo, es frecuente tambin referirse coloquialmente a stas como cadas libres, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general despreciables.El concepto es aplicable tambin a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la accin desaceleradora de la gravedad, como un disparo vertical; o a cualquier objeto (satlites naturales o artificiales, planetas, etc.) en rbita alrededor de un cuerpo celeste. Otros sucesos referidos tambin como cada libre lo constituyen las trayectorias geodsicas en el espacio-tiempo descritas en la teora de la relatividad general.Ejemplos de cada libre deportiva los encontramos en actividades basadas en dejarse caer una persona a travs de la atmsfera sin sustentacin alar ni de paracadas durante un cierto trayecto.La cada libre como sistema de referencia Un sistema de referencia ligado a un cuerpo en cada libre puede considerarse inercial o no inercial en funcin del marco terico que se est usando.En la fsica clsica, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una masa es proporcional a la intensidad del campo gravitatorio en la posicin espacial donde se encuentre dicha masa. La constante de proporcionalidad es precisamente el valor de la masa inercial del cuerpo, tal y como establece el principio de equivalencia. En la fsica relativista, la gravedad es el efecto que produce sobre las trayectorias de los cuerpos la curvatura del espacio-tiempo; en este caso, la gravedad no es una fuerza, sino una geodsica. Por tanto, desde el punto de vista de la fsica clsica, un sistema de referencia en cada libre es un sistema acelerado por la fuerza de la gravedad y, como tal, es no inercial. Por el contrario, desde el punto de vista de la fsica relativista, el mismo sistema de referencia es inercial, pues aunque est acelerado en el espacio, no est acelerado en el espacio-tiempo. La diferencia radica en la propia definicin de los conceptos geomtricos y cinemticos, que para cada marco terico son completamente diferentes.Cada libre ideal Vase tambin: Ecuaciones para un cuerpo en cada libre

Animacin de la cada libre.En la cada libre ideal, se desprecia la resistencia aerodinmica que presenta el aire al movimiento del cuerpo, analizando lo que pasara en el vaco. En esas condiciones, la aceleracin que adquirira el cuerpo sera debida exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si dejramos caer una bala de can y una pluma en el vaco, ambos adquiriran la misma aceleracin, g\,, que es la aceleracin de la gravedad

Ecuacin del movimientoDe acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza F que acta sobre un cuerpo es igual al producto de su masa m, por la aceleracin que adquiere. En cada libre slo intervienen el peso P (vertical, hacia abajo) y el rozamiento aerodinmico f(v) en la misma direccin, y sentido opuesto a la velocidad. Dentro de un campo gravitatorio aproximadamente constante, la ecuacin del movimiento de cada libre es:

La aceleracin de la gravedad g, lleva signo negativo porque se toma el eje vertical como positivo hacia arriba.Trayectoria en cada libre[editar]Cada libre totalmente verticalEl movimiento del cuerpo en cada libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleracin g) (aproximadamente porque la velocidad aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayora de los casos la variacin es despreciable). La ecuacin de movimiento se puede escribir en trminos la altura y:

Donde :

a_y, v_y\;, son la aceleracin y la velocidad verticales.f\;, es la fuerza de rozamiento fluidodinmico (que aumenta con la velocidad).Si, en primera aproximacin, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para cadas desde pequeas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solucin de la ecuacin diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:\begin{matrix} v_y(t)= v_0 - gt \\ y(t) = h_0 + v_0t -\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix}

donde v0 es la velocidad inicial, para una cada desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de cada.

Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracadas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluidodinmica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinmico kw:(2) -mg - k_wv_y = ma_y \,

En este caso la variacin con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solucin de la ecuacin diferencial (2):

\begin{cases} v_y = v_0e^{-k_wt/m} + \cfrac{mg}{k_w}(e^{-k_wt/m}-1) \\ y = h_0 - \cfrac{mgt}{k_w}+m\left(\cfrac{mg+k_wv_0}{k_w^2}\right)(e^{-k_wt/m}-1) \end{cases}

Ntese que en este caso existe una velocidad lmite dada por el rozamiento aerodinmico y la masa del cuerpo que cae:

v_\infty = \lim_{t\to \infty} v_y(t) = -\frac{mg}{k_w}

Un anlisis ms cuidadoso de la friccin de un fluido revelara que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de friccin se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:(3)ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - \epsilon\frac{C_d}{2}\rho A_tv_y^2

Donde:

C_d\;, es el coeficiente aerodinmico de resistencia al avance, que slo depende de la forma del cuerpo.A_t\;, es el rea transversal a la direccin del movimiento.\rho\;, es la densidad del fluido.\epsilon = \mathrm{sgn}(v_y)\;, es el signo de la velocidad.La velocidad lmite puede calcularse fcilmente poniendo igual a cero la aceleracin en la ecuacin (3):

v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A_t}}

La solucin analtica de la ecuacin diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solucin analtica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solucin de velocidades para ambos casos es:

\begin{cases} v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tan\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} +\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & \epsilon > 0\\v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tanh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} -\mbox{arctanh}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & \epsilon \le 0 \end{cases}

Donde: \alpha = C_d\rho A_t/2m\;.

Si se integran las ecuaciones anteriores para el caso de cada libre desde una altura h_0 y velocidad inicial nula y para el caso de lanzamiento vertical desde una altura nula con una velocidad inicial v_0 se obtienen los siguientes resultados para la altura del cuerpo:

Cada libre (v_y(0)=0 y y(0)=h_0):

y(t)=h_0-\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cosh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}}\right) \right]

El tiempo transcurrido en la cada desde la altura y=h_0 hasta la altura y=0 puede obtenerse al reordenar la ecuacin anterior:

t(0)-t(h_0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}{g}}}\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)

Lanzamiento vertical (v_0=v_0 y y(0)=0):

y(t)=\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cfrac{\cos\left[-t\sqrt{{\alpha}{g}}+\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]}{\cos\left[\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]} \right]

Si la altura h_0 es aquella en que la velocidad vertical se hace cero, entonces el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el instante en que se alcanza la altura h_0 puede calcularse como:

t(h_0)-t(0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)

Se puede demostrar que el tiempo que tarda un cuerpo en caer desde una altura h_0 hasta el suelo a travs del aire es mayor que el que tarda el mismo cuerpo en alcanzar la alura mxima de h_0 si es lanzado desde el suelo. Para ello basta con probar la desigualdad siguiente:

\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)>\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)

\forall \alpha, h_0 > 0

sabiendo que \mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)\in\left[1,+\infty\right) y que \mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)\in\left[0,\cfrac{\pi}{2}\right]

Intuitivamente la diferencia de tiempos es clara, en el tiro hacia arriba la velocidad inicial es mayor por lo que la fuerza de rozamiento promedio a lo largo de la trayectoria tambin es mayor que la que se alcanza en tiro hacia abajo.

Cada libre parablica y casi-parablica[editar]Cuando un cuerpo cae en cada libre pero no parte del reposo porque tiene una velocidad no nula, entonces la trayectoria de cada no es una recta sino una curva aproximadamente parablica. La ecuacin de la trayectoria en coordenadas cartesianas viene dada por:

(4)\frac{dy}{dx} = \frac{v_y}{v_x} \qquad \qquad \begin{cases} v_y(0) = 0\\ v_x(0) = V_x \end{cases} \qquad \qquad \begin{cases} y(0) = h_0\\ x(0) = 0 \end{cases}

Rozamiento -kwv. Trayectorias casi parablicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal = 1,5 - 2,5 - 3,5 - 4,5, desde una altura h = 7.

Rozamiento -Cwv2. Trayectorias casi parablicas con rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal = 1,5 - 2,5 - 3,5 - 4,5, desde una altura h = 7.donde x es la coordenada horizontal (eje de abcisas) e y la coordenada vertical (eje de ordenadas).

La expresin de la velocidad vertical debe reescribirse en funcin de la coordenada x teniendo en cuenta que t = x/vx. Pueden distinguirse los siguientes casos:

Para un cuerpo en cada libre sin rozamiento, la trayectoria es exactamente una parbola dada por:y(x) = h_0 -\frac{gx^2}{2V_x^2}

Cuando se incluye el rozamiento aerodinmico, la trayectoria no es exactamente una parbola. Por ejemplo para una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad como en la (2) la trayectoria resulta ser:y(x) = h_0 - \delta \left[\frac{x}{\beta\delta}-\ln \left(1-\frac{x}{\beta\delta} \right) \right]

donde:

\delta = gm^2/k_w^2\beta = V_xk_w/mg Para una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, la integracin de las ecuaciones del movimiento es ms compleja, presuponiendo fuerzas de rozamiento independientes en direccin horizontal y vertical proporcionales al cuadrado del valor de la componente:

\begin{cases} \cfrac{dv_x}{dt} = -C_wv_x^2 \\\cfrac{dv_y}{dt} = +C_wv_y^2 -g \end{cases}

La trayectoria viene dada por:

y(x) = h_0 - \delta \ln \left[\cosh \left( \frac{e^{x/\delta}-1}{\beta}\right) \right]

donde:

\delta = 1/C_w\beta = \sqrt{g/(C_wV_x^2)}Las figuras adjuntas muestran la forma de las trayectorias para cinco valores diferentes del parmetro para una misma altura de cada (medida en unidades de longitud ).