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Versión 2014
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
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TTEENNSSIIOONNEESS YY DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS.. RREEVVIISSIIÓÓNN DDEE
PPRRIINNCCIIPPIIOOSS FFÍÍSSIICCOOSS
División 1
Conceptos de Incertidumbre
Coeficientes de Seguridad
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1. El problema de la Incertidumbre
Cuando se deben diseñar y calcular elementos de máquinas, normalmente se presentan
diferentes factores con conllevan a una falta de certeza en el procedimiento. Entre tales
factores se pueden mencionar:
Las propiedades (en términos cuantitativos) del material (resistencia, módulo de
elasticidad, densidad, etc.)
La falta de homogeneidad de un material, es decir las variaciones de un punto a otro
en las propiedades.
El efecto de los tratamientos térmicos en las propiedades
Los efectos en el estado tensional de ensambles cercanos, tales como soldaduras,
ajustes por contracción, etc.
La intensidad y la distribución de las cargas.
La verdadera eficiencia de un modelo analítico para reproducir la realidad.
Los efectos del tiempo en las propiedades de resistencia y de geometría.
Los efectos de deterioro superficial como el desgaste y la corrosión, entre otras.
La verdadera longitud de la lista de incertidumbres.
Ahora bien, la tarea del ingeniero es acotar el grado de incertidumbre de una manera fiable o
mensurable, es decir en forma CUANTITATIVA. La incertidumbre está siempre al lado de
cada cambio. Las propiedades de los materiales que pueden variar a lo largo del tiempo, la
distribución de la carga, la seguridad del método de fabricación del material y/o piezas de un
accesorio, entre otras tantas, son preocupaciones permanentes que posee un ingeniero en su
trabajo habitual. Para lidiar con esta incertidumbre, históricamente se ha recurrido a diferentes
metodologías o esquemas prácticos, que fueron evolucionando y adaptándose en la medida
que las técnicas ingenieriles se perfeccionaban.
La respuesta a la incertidumbre
Desde los albores de la humanidad civilizada (estimado en 4000 años AC) los ingenieros-
constructores han utilizado diferentes métodos para solucionar el problema de la
incertidumbre. Dos de los métodos más antiguos, aun pueden utilizarse selectivamente dado
que han sido ideados muchos siglos antes de que fuera establecido el concepto de “Tensión”,
debido a las investigaciones de Cauchy (1820). Los otros métodos que se verán recurren al
concepto de “Tensión“, así como también al concepto de confiabilidad, que se halla
vinculado con aspectos estadísticos o estocásticos.
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a) El Método de imitación del éxito. También denominado método romano. Este
método apuntaba (y en algunos casos aún apunta) a reproducir los casos constructivos
que han tenido éxito y han durado. Este método fue registrado por Vitruvius (en el
siglo I antes de Cristo) como ya conocido por los macedonios en el siglo III antes de
Cristo.
b) El método del Factor de Seguridad de Carga, denominado también método de
Pilos de Bizancio (datado en el siglo III AC). La esencia de este método involucra
establecer la relación entre la carga de pérdida de una función (resistencia,
desplazamiento máximo, etc.) y la carga impuesta. es decir:
impuesta carga
función la de pérdida de cargadn (3.1)
c) El método de la tensión permisible. Este método consiste en establecer un valor
de la tensión de cálculo como fracción de la propiedad más significativa del material,
es decir la resistencia. La fracción se elige sobre base de la experiencia conjunta de
ingenieros que han hecho diseños exitosos. Este método ha sido desarrollado durante
el siglo XX y principalmente encauzado por el AISC (Instituto Americano de Aceros
para la Construcción).
d) El método de la tensión permisible vía el método del factor de diseño. Para
entender este enfoque es necesario fijar un par de ejemplos. En determinado estudio,
una vez seleccionado el factor de seguridad (según el método de Pilos), se habrá
obtenido un diámetro de perno de 1.12 cm, que se extiende a 1.5 cm por el contenido
de stock, como también se pueden haber calculado una cantidad de 6.6 bulones y se
adoptan 7 bulones. Estas modificaciones, cuando se efectúa un cálculo inverso,
conducen al incremento del factor de seguridad real. En este sentido hay que efectuar
una distinción entre el objetivo, que conduce al ”Factor de Diseño” y la realización,
que conduce al “Factor de Seguridad”. La tensión permisible (denominada en
algunos textos como esfuerzo permisible) se puede obtener con la siguiente expresión:
m
d
permn
aresistenci (3.2)
donde m es el exponente de la carga en la ecuación donde se obtiene el valor de la
tensión en función de la carga. nd es el factor de diseño.
e) El método del factor de diseño estocástico: surgido de la problemática ingenieril
de la aeronáutica y astronáutica, tiene su foco de interés en el comportamiento de
todos los elementos de una máquina funcionando como un conjunto. Esta concepción
conduce al concepto de CONFIABILIDAD. La incertidumbre de los valores de tensión
permisible, resistencia se puede cuantificar. El factor de diseño se define como:
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Snd (3.3)
donde nd, S, y son variables aleatorias que poseen parámetros estadísticos como “el
valor medio”, “la desviación estándar”, “distribución determinada”, etc. En
consecuencia, este método recurre a técnicas de probabilidad y estadística, para
obtener un determinado valor medio de dn , con el cual alejar lo suficiente la tensión
media de la resistencia media S . De esta manera se puede obtener dn de forma
que la tensión media sea:
d
permn
S (3.4)
La metodología para analizar los casos b) a d) es conocida y propia de cursos de Resistencia
de materiales. En cambio la metodología para emplear el caso e) exige conocimientos de
estadística y de probabilidad, y se verá más adelante de este Capítulo.
El concepto de tensión y el de Resistencia
En las (3.2) se puede observar la referencia a una tensión permisible y a una resistencia. Estos,
son dos conceptos que deben quedar claros. Cuando se efectúa una comparación entre tensión
y resistencia en un lugar crítico de una pieza, como en el caso de la ecuación (3.2), suele
ocurrir que se pretende establecer “la resistencia de la pieza en un sentido geométrico y
condición de uso”, según puede evidenciarse en la Figura 3.1. Ahora bien el concepto de la
palabra “resistencia” implica un estado específico de la “tensión” del material de la pieza en
el que ocurre algo especial en la pieza, donde se modifica (generalmente se reduce) la función
de la pieza. En este sentido se entenderá que resistencias pueden ser tanto “El límite de
proporcionalidad elástico o límite de fluencia” como también “El límite de fluencia al 0.2%”
como también “El límite de rotura” como también “El límite de resistencia a la fatiga”, y así
siguiendo. En este contexto, cuando se deba establecer un cálculo para dimensionar una pieza,
el valor de la tensión de cálculo o permisible saldrá de la ecuación (3.2) con el factor de
diseño apropiado.
El concepto de CONFIABILIDAD
Los diseños actuales tienen una mayor presión sobre aspectos de la responsabilidad legal y la
exigencia de cumplir con determinados reglamentos o regulaciones fijados por agencias
gubernamentales, nacionales o internacionales, entre las que se puede citar EPA
(Environmental Protection Agency), OSHA (Occupational Safety and Health Administration)
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y la OECD (Organization for Economic Co-operation and Development). Las dos primeras
son norteamericanas, y la última europea. El método de la confiabilidad de diseño, consiste en
determinar las tensiones y las resistencias para después relacionar ambas y obtener un índice
de éxito aceptable.
Figura 3.1. Sentido Geométrico de resistencia en cuanto a la confiabilidad de diseño, (a) más seguro que (b)
La confiabilidad de un elemento de máquina es la medida estadística de la probabilidad para
que el elemento de máquina no falle en funcionamiento. La confiabilidad se expresa con un
número contenido en el intervalo [0,1) es decir:
10Rdadconfiabili , (3.5)
Una pieza con una confiabilidad R = 0.95, implica que sobre 100 piezas, 95 se mantienen
funcionando sin problemas y 5 presentan fallas. Queda claro que el intervalo, excluye el valor
100%, ya que es poco probable que exista una confiabilidad absoluta.
En el método de confiabilidad, el ingeniero tiene efectuar una selección adecuada de
materiales, procedimientos de fabricación, dimensiones, etc. para hacer confiable a la pieza
y/o máquina en una probabilidad determinada. Los métodos numéricos más conocidos para
encarar este problema de la confianza, se denominan, método de la propagación de errores,
método de la propagación de incertidumbre. Ejemplos de estos métodos se verán más
adelante.
2. El Enfoque Estadístico
Cuando un ingeniero tiene que velar por el buen funcionamiento de una línea de producción,
el primer estimador que se exige como control del funcionamiento global de la línea de
producción, es la calidad del producto. Si un producto, para fijar ideas considérese un perno
de pistón, se halla fuera de los márgenes de tolerancia establecidos para el diámetro, esto
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implica el proceso de producción en alguna etapa no funciona adecuadamente y se debe
replantear.
Durante un proceso de mecanizado (sea por control numérico computado o manual) suelen
ocurrir contingencias, algunas previsibles y otras no, que pueden modificar las dimensiones
de una serie de piezas. Los enfoques estadísticos permiten analizar si la partida de piezas
hechas posee las cualidades exigidas en términos de valores estadísticamente representativos,
los cuales son el valor medio, la desviación estándar y el coeficiente de variación de la
muestra. A su vez, variables aleatorias distribuidas en determinada forma, pueden servir para
estimar coeficientes de seguridad confiables.
Los tópicos necesarios para encarar este enfoque se extraen de cursos formales de
probabilidad y estadística, no obstante ello, un resumen de conceptos de estadística se ofrece
en el Apéndice 2.
Un ejemplo introductorio. Estimación de Parámetros Estadísticos
Un ingeniero debe aceptar una partida de varilla redonda de 51 mm de acero 1035 laminado
en caliente para la fabricación de pernos en un torno CNC. Se deben estimar los principales
parámetros estadísticos para aceptar la partida de dos toneladas cuyo fabricante asegura posee
una resistencia media a la rotura de 496 Mpa y un coeficiente de variación de 0.054. Se han
tomado varillas al azar y se maquinaron 9 probetas para ensayo tractivo, cuyo resultado se
exponen en la Tabla 3.1
Muestra (Sut)i [(Sut)i]2
1 4,399E+08 1,935E+17
2 4,440E+08 1,971E+17
3 4,606E+08 2,121E+17
4 4,613E+08 2,128E+17
5 4,730E+08 2,237E+17
6 4,854E+08 2,356E+17
7 4,985E+08 2,485E+17
8 5,012E+08 2,512E+17
9 5,137E+08 2,638E+17
Suma 4,277E+09 2,038E+18
Tabla 3.1. Valores del ensayo.
El valor medio de la muestra se obtiene de la ecuación (A2.2):
MPa47508E754SN
1S
N
1j
jutmut
.
El valor de la desviación estándar se obtiene de la ecuación (A2.3)
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MPa162607E61621N
SN
1S
S
2N
1j
jut
N
1j
2
jut
deut ..
De las dos anteriores se puede obtener el coeficiente de variación como:
0550
S
SC
mut
deut
X .
Como se puede apreciar, el coeficiente de variación es muy similar al suministrado por el
fabricante, pero la media está un 4% por debajo de lo que el fabricante asegura.
Si bien tal porcentaje no es aparentemente sustancial, no puede asegurarse que el mismo no
presente confiabilidad. Esto debe ir de la mano con un cálculo adicional del coeficiente de
seguridad a emplear y verificar que cumple con los estándares que exigen confiabilidad, por
ejemplo del 98% o más, típicos de muchas industrias como la aeronáutica y aeroespacial.
Si se desea efectuar un análisis similar al precedente pero empleando los conceptos de
intervalos de clase y frecuencia de clase (ver las ecuaciones del Apéndice 2) se verá que los
valores de la media, desviación estándar y coeficiente de variación son ligeramente distintos.
Sin embargo con los conceptos mencionados establecen la idea de la distribución de la
muestra, tal como se evidencia en la Figura 3.2, propia del ejemplo evaluado.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4,49E+08 4,68E+08 4,86E+08 5,04E+08
Sut
fi
Figura 3.2. Distribución de la muestra del ejemplo en histogramas.
Con este ejemplo se establece una primera aproximación, muy elemental al concepto de
confiabilidad y sus relaciones con las distribuciones de una variable aleatoria.
Las distribuciones de las variables aleatorias aplicadas a la estimación de los
factores de diseño y de seguridad
Las variables aleatorias asociadas a distintos fenómenos se pueden representar según
diferentes distribuciones de acuerdo con las observaciones estadísticas efectuadas. Algunas
distribuciones conocidas de variables aleatorias se enumeran a continuación:
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Distribución Normal o de Gauss
Distribución Logarítmica o log-normal
Distribución de Weibull
Distribución T de Student
Distribución F de Snedecor
En este curso se le prestará mayor atención a las primeras tres por ser las de mayor injerencia
en el mundo de la ingeniería en cuanto al estudio de confiabilidad de la resistencia de un
material como el acero, en cuanto a las variantes en dimensiones y tolerancias de piezas, sus
ajustes, etc.
Las distribuciones mencionadas arriba son funciones continuas de densidad de probabilidad.
Por otro lado los ensayos que se efectúan sobre piezas o series (interpretables como variables
aleatorias) son representaciones discretas. Se emplearán las primeras sobre la base de
resultados obtenidos con las segundas para poder establecer valores confiables de los
coeficientes de diseño y de seguridad. En esta tarea intervienen distintos aspectos de las
distribuciones de las tensiones de rotura, fluencia, etc.
Determinación del coeficiente de seguridad con la Distribución Normal
Se supone que la resistencia del material (rotura o fluencia según convenga) y la tensión
actuante en una pieza particular, poseen distribución normal, dadas por S~N(Sm,Sde) y
~N(m,de) respectivamente. Se establece un margen de tensión definido por m = S – . El
margen de tensión posee también distribución normal de manera que m~N(mm,mde). La
confiabilidad es la probabilidad P de que mi > 0.
La función de confiabilidad estipulará entonces que:
00 imPSPSPR (3.6)
Se recordará que la función de densidad de probabilidad siguiendo la distribución Normal de
Gauss tiene valor medio nulo y desviación estándar unitaria.
Ahora bien, para hallar la probabilidad de cumplirse m>0, se debe introducir una variable
aleatoria dentro de m que se definirá como Z:
de
m
m
mmZ
(3.7)
Luego, en la expresión (3.7) se sustituye m = 0 para poder normalizar la distribución, y
teniendo en cuenta que mm = Sm-m y que mde=(Sde2+de
2)-1/2
, se obtendrá que Z vale:
2
de
2
de
mm
de
m
S
S
m
m0Z
(3.8)
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Recurriendo a la definición del Apéndice 2, (A2.10) y al concepto de probabilidad asociado
con la distribución normal se tiene que la confiabilidad vendrá dada por:
Z
Zdu
uZdu
uZR
2exp
2
111
2exp
2
1 22
(3.9)
La variable u en la expresión (3.9) es una variable muda solo para efectuar la integración.
Téngase presente que las funciones (Z) y R(Z) están tabuladas o bien se pueden resolver en
forma numérica en paquetes como Mathematica o Matlab.
Ahora bien un coeficiente de seguridad medio podría obtenerse de la siguiente expresión:
m
mSn
(3.10)
Si se eleva al cuadrado la (3.8) y se emplean las definiciones de los coeficientes de variación
para las variables S y , es decir CS y C, luego quedará una ecuación cuadrática en n , de
donde surge:
2
S
2
222
S
2
CZ1
CZ1CZ111n
(3.11)
Para este coeficiente de seguridad y/o diseño (según se emplee), el signo positivo del segundo
término del numerador está asociado a confiabilidad mayor al 50% (R>0.5) y el signo
negativo a confiabilidad menor al 50% (R<0.5).
Un ejemplo para fijar ideas
Un acero 1018 redondo estirado en frío tiene una resistencia a la fluencia bajo una
distribución normal de Sy~N(78400, 5900) psi, se va a someter a una tensión de carga estática
con distribución normal de P ~N(50000, 4100) lb. ¿Cuál es el factor de diseño n de manera
que tenga una confiabilidad de 99.9% contra la fluencia?
En la Figura 3.3 se muestra una porción de la Tabla 3.2 donde se puede apreciar que para una
confiabilidad de 99.9%, es decir R(Z)=0.999, se tiene que Z = -3.09.
Dadas las condiciones anteriores, para resolver este problema es necesario establecer valores
de la tensión actuante debida a la carga P.
El coeficiente de variación para la Resistencia a Fluencia vale:
0753078400
5900
S
SC
m
de
S . (a)
La variable aleatoria de la tensión resistente se establece en función de la variable P. De
manera que siendo el diámetro también una variable aleatoria pero con un coeficiente de
variación muy pequeño, lo consideraremos constante. Así
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2d
4
P (b)
Luego el coeficiente de variación C se obtiene a semejanza de CP para la variable P:
082050000
4100
P
PCC
m
de
P . (c)
Luego de la ecuación (3.11) con Z = -3.09, C y CS se obtiene
42141561n .. (d)
De tal manera que el diámetro del perno será
pul0741
nS
P4d
Ym
m ./
(e)
Veamos ahora de hacer unas comprobaciones.
Siendo el diámetro constante, el área también lo será con un valor de 0.9059 pul2. En virtud
de ello. El valor medio de la tensión resistente será
psi5519190590
50000
A
Pm
m .
(f)
Luego las desviaciones estándar de S y , serán
psi590S
psi4526
de
de
(g)
Ahora bien reemplazando los valores medio y desviaciones estándar de S y , en la ecuación
(3.8), se obtendrá que
123Z . (h)
en consecuencia reemplazando este valor de Z en la tabla se obtiene una confiabilidad de
99.91% es decir R(Z) = 0.9991, con lo cual el coeficiente de seguridad tiene la confiabilidad
requerida.
Figura 3.3. Porción de la Tabla 3.2. Recordar que R(Z)=1-(Z) y que (Z) es lo que se tabula en las Tablas 3.2
Los cálculos anteriores se pueden efectuar sin necesidad de tablas en el contexto del programa
Mathematica. Así pues en el siguiente recuadro se puede emplear un comando de
Mathematica para generar las funciones (Z) y R(Z):
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Obsérvese que se ha calculado R(Z) con dos alternativas llamadas RZ1 y RZ2 pero que como
se puede ver valen lo mismo (para fijar conceptos efectúe algunos ejemplos adicionales en
una hoja de cálculo de Mathematica).
En consecuencia si se tiene la función R(Z) con confiabilidad 99.9% o bien R(Z)=0.999, y se
desea saber el valor de Z correspondiente se emplea el siguiente comando:
Que calcula numéricamente el valor de la raíz de la ecuación R(Z)=0.999 que es similar al
valor de la tabla hasta el segundo decimal. Finalmente para saber el valor de la confiabilidad
R(Z) para Z = -3.12 según resulta de la expresión (h) se emplea el siguiente comando:
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Nótese que empleando Mathematica se ha obtenido el mismo resultado que con la
metodología tabular.
3. Tablas para el cálculo de Confiabilidad
La siguiente Tabla presente valores integrados de la función de distribución normal
estandarizada N(0,1) para su utilización en las determinaciones de coeficientes de seguridad
por medios estocásticos empleando la Distribución Normal estrictamente, es decir:
Z 2
dx2
x
2
1Z exp
Tabla 3.2. Valores integrados de la función de distribución normal estandarizada. Extractada de Ref[1]
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4. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000
[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000