GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 11

UNIDAD: GEOMETRÍA

POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS

POLÍGONOS DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan). NOMBRE DE POLÍGONOS .

PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS: Suma de los ángulos interiores = 180º · (n – 2) Diagonales desde un vértice = n – 3

Suma de los ángulos exteriores = 360º Total de diagonales = n(n 3)

2−−−−

EJEMPLOS 1. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados?

A) 1.440º B) 1.080º C) 720º D) 540º E) 360º

2. ¿Cuántos lados tiene un polígono, cuyos ángulos interiores suman 900º?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

TRIÁNGULOS 3 LADOS CUADRILÁTERO 4 LADOS PENTÁGONO 5 LADOS HEXÁGONO 6 LADOS HEPTÁGONO 7 LADOS OCTÓGONO 8 LADOS

C u r s o : Matemática

Material N° 13

2

3. El número de diagonales que se pueden trazar en un pentágono desde un vértice es

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4. ¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la suma

de los ángulos exteriores?

A) Cuadrilátero B) Pentágono C) Hexágono D) Triángulo E) Ninguno de los anteriores

5. El número total de diagonales de un octógono es

A) 4 B) 7 C) 9 D) 14 E) 20

6. La razón entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores de un cierto polígono es

3 : 2, ¿cuántas diagonales tiene dicho polígono?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

7. ¿Cuál es el número de lados de un polígono, si de cada uno de sus vértices se puede

trazar 12 diagonales?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15

3

POLÍGONO REGULAR DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En caso contrario se dice que es irregular.

EJEMPLOS 1. ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo interior de un pentágono regular?

A) 18º B) 72º C) 108º D) 124º E) 136º

2. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones, es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si en un polígono sus ángulos exteriores suman 360º, entonces se sabe que el polígono es un cuadrilátero.

II) Si un polígono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polígono es regular.

III) Si en un polígono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un vértice, los ángulos formados en dicho vértice son iguales entre sí.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

3. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 135º?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

a

a

a a

a a a a

a a a a

Hexágono regular

′360°

= n

αααα

α

α

α α

α

a

a

a

a

a

α’

Pentágono regular

180º (n 2) =

n−−−−

αααα

4

4. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 900º, ¿cuántas diagonales se pueden trazar en dicho polígono?

A) 4 B) 5 C) 14 D) 18 E) 28

5. El hexágono de la figura 1 es regular, ¿cuánto mide el �x?

A) 22,5º B) 45º C) 67,5º D) 90º E) 112,5º

6. ¿Qué polígono es tal que el número de sus diagonales es igual al número de sus lados?

A) Octógono B) Hexágono C) Pentágono D) Cuadrado E) No existe tal polígono

7. En el pentágono regular de la figura 2, ¿cuál es la medida del ����αααα?

A) 36º B) 54º C) 60º D) 72º E) 75º

x fig. 1

α

fig. 2

5

CUADRILÁTERO DEFINICIÓN Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados. CLASIFICACIÓN Los cuadriláteros se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES. PROPIEDADES � La suma de los ángulos interiores es 360º.

� La suma de los ángulos exteriores es 360º. EJEMPLOS 1. En el cuadrilátero ABCD de la figura 1, CM y AM son bisectrices de los �DCB y �DAB,

respectivamente, entonces el ángulo x mide:

A) 220º B) 140º C) 110º D) 80º E) 20º

2. En el cuadrilátero PQRS de la figura 2, �α = 60º y �β = 100º, entonces el valor de

12(x + y) =

A) 200º B) 160º C) 100º D) 90º E) 80º

A

B

C D 120º

80º

fig. 1

x

M

x

α y

β Q

S R

P

fig. 2

6

3. Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 3 : 4 : 5 : 6 . El mayor de sus ángulos interiores mide

A) 85º B) 90º C) 100º D) 120º E) 125º

4. En la figura 3, el ∆ABD es isósceles de base AB . Si ABCD es un rombo y DE CE⊥ entonces α mide

A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 80º

5. Si en el cuadrilátero de la figura 4, α + β = γ, entonces �γ es igual a

A) 30º B) 50º C) 55º D) 70º E) 105º

6. Si en la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30º B) 40º C) 50º D) 80º E) 100º

α

β

γ

150º

fig. 4

100º 50º

80º

x L1

L2 L3

L4

fig. 5

fig. 3

B A

C D

E

α

7

PARALELOGRAMO DEFINICIÓN: Paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos

paralelos.

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo?

A) B) C) D) E)

2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Todo paralelogramo tiene congruentes sus lados opuestos. II) Todo paralelogramo tiene congruentes sus ángulos opuestos. III) Dos ángulos contiguos de un paralelogramo son complementarios.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

CUADRADO ROMBO RECTÁNGULO ROMBOIDE NOMBRE PROPIEDADES

Lados opuestos congruentes � � � � Ángulos opuestos congruentes � � � �

Las diagonales se dimidian � � � �

Ángulos contiguos suplementarios � � � �

Diagonales perpendiculares � �

Diagonales bisectrices � �

Diagonales congruentes � �

45º

45º

a 45º

45º

45º

45º

45º

45º a

a a α

β

α α α

β β

β

a a

a a

a

b

β α

a

b

α

α β β

α

β a

β

β

α

α

b b

a

50º

130º

130º 130º 50º

50º

130º 130º

50º 130º

130º 50º

130º

50º 50º

8

3. En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ACDF es un paralelogramo II) Si α = 90º entonces BCDE es un rectángulo III) Si AB = BE y �α = 90º, entonces ABEF es un cuadrado.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

4. Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo, se debe cumplir necesariamente que

A) sus diagonales sean congruentes. B) sus diagonales sean bisectrices. C) sus diagonales se dimidien. D) sus diagonales sean perpendiculares. E) tengan un par de lados paralelos.

5. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) necesariamente verdadera(s) en un

paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD ?

I) Si AC ⊥ BD y AC ≠ BD , entonces ABCD es un rombo.

II) Si AC ⊥ BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado.

III) Si AC ≠ BD y AB ≠ BC , entonces ABCD es un romboide.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

6. En la figura 2, ABCD es romboide. Si AE BD⊥ y �CBD = 85º, entonces �DAE es igual a

A) 5º B) 45º C) 50º D) 55º E) 85º

α α α F E D

A B C

L1

L2

fig. 1

A B

D C

E

fig. 2

9

TRAPECIO

DEFINICIÓN: Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados bases.

PROPIEDADES: En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD ) son suplementarios. TRAPECIO ISÓSCELES PROPIEDADES: Además de las propiedades generales de los trapecios, los isósceles tienen las

siguientes propiedades: � Diagonales congruentes. � Ángulos basales congruentes. � Ángulos opuestos suplementarios. EJEMPLOS 1. En el trapecio de la figura 1, AB // CD y BC = CD . Si el �BDC = 35º, entonces el

�ABC =

A) 180º B) 140º C) 110º D) 100º E) 70º

2. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 2, AB // CD y �ADC = 70º, entonces el

�ABC mide

A) 210º B) 140º C) 110º D) 70º E) ninguna de las anteriores.

αααα + δδδδ = 180º ββββ + γγγγ = 180º

Trapecio Escaleno

D C

A B α β

γ δ

AB // CD

Trapecio Isósceles

B A

C D δ γ

β α

AB // CD

α

β β

α α A B

D C

D C

A B

fig. 1

fig. 2

D C

A B

10

3. Si en la figura 3, ABCD es un cuadrado y EG // AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ∆BFC isósceles. II) FG es altura del ∆BFC. III) Los trapecios ABFE y DCFE son congruentes.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

4. La mediana de un trapecio mide 20 cm. Si una de las bases es el triple de la otra,

entonces la base mayor mide

A) 40 cm B) 30 cm C) 15 cm D) 10 cm E) 5 cm

5. En el trapecio de la figura 4, AD ≅ DC ≅ BC y AB // DC . Entonces, siempre se cumple

que

A) AC ≅ BD

B) AD ≅ AB C) AC ≅ AB D) �A ≅ �C

E) �D ≅ �B

6. En la figura 5, DC // AB . Si AD BC DC≅ ≅ , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ∆BDC es isósceles. II) AC es bisectriz �DAB.

III) ∆CAD ≅ ∆DBC

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

D C

A B

fig. 4

fig. 3

A B

D C

E G F

D C

A B

fig. 5 E

11

TRAPEZOIDE DEFINICIÓN: Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos. CLASIFICACIÓN: Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos. PROPIEDADES DEL DELTOIDE � Diagonales perpendiculares. � Una diagonal es bisectriz. � La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral

de la otra diagonal. EJEMPLOS 1. En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD DE= y GF EF= . Si �DGF = 109º y

�FDE = 14º, entonces el ángulo GFE mide

A) 33º B) 57º C) 76º D) 109º E) 114º

2. En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC y DA = BA . Si �ABC = 135º y �DCB = 70º,

entonces �CDB + �CAD =

A) 45º B) 55º C) 65º D) 90º E) 125º

D

C

A B TRAPEZOIDE

ASIMÉTRICO

D

A

C

B

TRAPEZOIDE SIMÉTRICO (DELTOIDE)

AB AD y CD CB≅ ≅

a a

b b

a ≠ b

G

D

F

E fig. 1

D

A

C

B

fig. 2

12

3. En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD y DC = BC . Si �BAD = 50º y �ADC = 150º,

entonces el valor del ángulo x es

A) 95º B) 85º C) 75º D) 65º E) 55º

4. Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva se obtiene

siempre

A) un trapezoide. B) un trapecio. C) un paralelogramo. D) un cuadrado. E) no se puede determinar.

5. En el trapezoide ABCD de la figura 4, �DCB = 120º, �DAB = 60º y �CDB = 40º,

entonces la medida de �DBA es

A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) 120º

6. Si en la figura 5, ABCD es un deltoide, AD = CD , AF : FD = 1 : 2 y DF = 8. Entonces,

AC es igual

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 2 5

A B

C D

x fig. 3

B

C A

D

fig. 5

F

fig. 4

A

B

D

C

α

5α

13

EJERCICIOS 1. Si en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es igual a 1.440º, entonces

el polígono es un

A) hexágono. B) octógono. C) decágono. D) dodecágono. E) eneágono.

2. Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígono

es tres, entonces el polígono tiene

A) 9 lados B) 8 lados C) 7 lados D) 6 lados E) 5 lados

3. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) En un pentágono regular, el suplemento de un ángulo interior mide 72º. II) El total de diagonales que se pueden trazar en un octógono son 24. III) La suma de los ángulos interiores de un heptágono es 720º.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

4. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares, el ángulo interior mide el triple del ángulo

exterior correspondiente?

A) Triángulo B) Pentágono C) Hexágono D) Decágono E) Octógono

14

5. En el rectángulo ABCD de la figura 1, AC diagonal y PQ ⊥ AC . Si �DPQ = 113º

determinar el valor de α

A) 23º B) 43º C) 67º D) 76º E) 113º

6. En el pentágono regular de la figura 2, los puntos A, B y F son colineales. Entonces, �α

mide

A) 60º B) 72º C) 80º D) 90º E) 108º

7. Si en la figura 3, ABCD es un rectángulo y L recta, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) s + u = t + v II) s + v = u + t III) s = v y u = t

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

8. La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 4, se prolonga de modo que CE = AB , entonces la medida del �x es

A) 18º B) 22,5º C) 24º D) 45º E) 135º

Q

113º α

A P D

B C

fig. 1

A

B

C D

E

F

α

fig. 2

A

B C

D

E

fig. 4

x

vº

D tº

C

A B

fig. 3

sº

uº

15

9. Si en el polígono de la figura 5, BE CD≅ , AB CF≅ y AE DF DE≅ ≅ , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ∆ABE ≅ ∆CFD II) ∆FED isósceles. III) �CFB = 45º

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

10. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 6, AB // CD y el �y = 70º, ¿cuál es la

medida del �x?

A) 210º B) 140º C) 110º D) 70º E) Ninguna de las anteriores

11. En la figura 7, ABCDE es un pentágono regular y los lados de la estrella son las

prolongaciones del pentágono, entonces el ángulo x mide

A) 75º B) 72º C) 54º D) 36º E) 18º

12. En el cuadrado de la figura 8, �α = 37º, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30º B) 45º C) 53º D) 60º E) 127º

y

x

fig. 6

A B A B

D C

fig. 8

x

α

fig. 5

C D

A E

F

B 60º 30º

x fig. 7

A

B

C

D

E

16

13. Si se trazan las diagonales de un paralelogramo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Se obtienen cuatro triángulos congruentes. II) Se obtienen cuatro triángulos semejantes. III) Se obtienen sólo triángulos rectángulos.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas

14. En el trapecio rectángulo ABCD de la figura 9, las bisectrices QB y QC de los ángulos en

B y en C, respectivamente, forman un ángulo x que mide:

A) 45º B) 60º C) 75º D) 90º E) 105º

15. En la figura 10, ABCD es un trapecio isósceles, AB // CD , AE = EB . Si AB : BC = 2 : 1 y

EC // AD , ¿cuál es la medida del �BAD?

A) 70º B) 60º C) 55º D) 30º E) 20º

16. Si en la figura 11, ∆MNP ≅ ∆QOR, �NMP = 50º y �NPM = 70º, entonces la medida del

�OQP es

A) 130º B) 120º C) 110º D) 70º E) 50º

fig. 10

A E

D C

B

A B

C D

Q fig. 9

x

fig. 11

50º

P

M Q

O N

70º

R

17

17. En la figura 12, ABCD es romboide. Si H es punto medio de DF y AD GD GF EF≅ ≅ ≅ , entonces se cumple que

I) AEFD es un rombo. II) �DGH = �HGF

III) HG DF⊥

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

18. En la figura 13, ABCDEF es un hexágono regular, EA , EB y EC son diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ∆AEF ≅ ∆CED II) ∆ABE ≅ ∆CBE III) �ABE ≅ �BED

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

19. En el polígono de la figura 14, AB // PC , AP // BC , AP y CP son bisectrices de los ángulos interiores respectivos, entonces el valor del ángulo α es

A) 160º B) 140º C) 120º D) 100º E) 60º

20. En el cuadrado ABCD de la figura 15, se ha trazado la diagonal AC el �ABE mide la

tercera parte del �ABC. ¿Cuál de las siguientes opciones no es correcta?

A) �ACB = 45º

B) �EFA = 60º

C) �AEB = 60º

D) �EFC = 105

E) �DEB = 120º

80º

α 60º

A

B

C

D

P E

fig. 14

fig. 15

F

CD

BA

E

C

A B G

D F H

E

fig. 12

fig. 13

C B

E F

A D

18

21. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales, ¿cuánto mide cada ángulo exterior de este polígono?

A) 12º B) 15º C) 24º D) 30º E) 168º

22. Si en la figura 16, ABCD es un paralelogramo, �DCA = 40º y �ABD = 50º. ¿Qué tipo de

paralelogramo es?

A) Rectángulo B) Trapecio C) Rombo D) Romboide E) Cuadrado

23. Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero se forman dos triángulos isósceles

cuyas bases son la diagonal, sin embargo los ángulos basales de un triángulo miden el doble de los ángulos basales del otro, por lo tanto dicho cuadrilátero se trata de un

A) cuadrado. B) trapecio. C) romboide. D) trapezoide. E) deltoide.

24. En un trapecio rectángulo la medida del mayor ángulo interno es el cuádruplo de la

medida del ángulo menor, ¿cuánto mide el menor de los ángulos?

A) 30º B) 36º C) 45º D) 72º E) 90º

25. En la figura 17, ABCD es un trapecio rectángulo en A y D, �ABD = 40º, ∆BDC es isósceles

de base BC , ¿cuál es el valor de �α?

A) 70º B) 30º C) 90º D) 45º E) 120º

100º

A B

C D

fig. 16

α

D C

A B

fig. 17

19

26. Se puede determinar los lados de un polígono regular si :

(1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.

(2) Sus ángulos exteriores suman 360º. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. En la figura 18, ABCD es rectángulo. Se puede afirmar que ∆ADE ≅ ∆BCE si :

(1) �BAE = 45º

(2) E es punto medio. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

28. Se puede determinar la medida del �BCD del cuadrilátero de la figura 19, si :

(1) ABCD es un paralelogramo y triángulo ABD es equilátero.

(2) El ángulo DAB mide 60º. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

29. Se puede determinar el número de lados de un polígono convexo, si :

(1) Se conoce la suma de los ángulos interiores. (2) Se conoce el número total de diagonales. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

A B

C D

fig. 19

fig. 18

A B

D C E

20

30. En la figura 20, se puede determinar la medida del ángulo α si :

(1) β + γ + δ = 300º

(2) ABCD es un romboide y β + γ = 180º.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

DMDMA13

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A

B

C

D

fig. 20

α

δ

γ

β