•

CAPITULO 1

BREVE NOTA HISTORICA

El desarrollo del cálculo tensorial (también llamado análisis multilineal) se haya ligado al desarrollo de la geometría diferencial; el trabajo de Karl F. Gauss (1777-1855) sobre la geometría intrínseca de las superficies curvas bidimensionales fué generalizado por Bernhard Riemann(182 6-1866) quien desarrolló la geometría ir:.trín­seca para TI superficies TI no euclideanas de n-dimensiones (manifold s) ; en un ma­nifold . n~imensional cada punto está definido por n coordenadas y en el caso n~ tenemos una superficie no euclideana que es el único tipo de manifold que 'pode­mos captar intuitivamente. En 1827 Gauss mostró que las propiedades métricas de una superficie se pueden expresar por medio de los coeficientes 3t] (ir j=l, 2 ) de la siguiente forma diferencial:

~ ~%I d U;a. d V, + J2.l. d. Ul.. duz. ~ I

d-..s¿ siendo el cuadrado de la distancia entre dos puntos de la superficie infini-tamente cercanos y d (J, I d th son los diferenciales de las coordenadas intrín­secas de la superficie o coordenadas gaussianas.

Riemann generalizó en 1854 esta fórmula para" superficies" de n dimensiones así:

-J (i, j = 1 ,2 ...... n)

Por medio de los coeficientes J LJ' quedan determinadas todas las propiedades mé­tric;::as en el manifold, por ejemplo, longitud de curvas, ángulo entre curvas, "areas" sobre manifold¡ etc.

Después de 1868 se despierta el interés de los matemáticos por algunos de los pun­tos tocados por Riemann en sus trabajos; Christoffel y Lipzchitz introdujeron el copcepto de diferenciación covariante, Beltrami y Kronecker e s tudiaron la curvatu­ra de varios espacios y superficies n-dimensionales. Jordan generalizó las fórmu­las de Serret-Frenet para curvas en el espacio n-dimensional.

Todos estos trabajos abrieron el camino a la gran generalización que hizo el geó­métra italiano G. Ricci (1853-1925) a quien se considera fundador del cálculo ten­s~)fial; Ricci se apoyó en la métrica desarrollada por Riemann y en la diferenCia­ción covariante de ChristofÍel ; el profesor Tullio Levi-Civita, gran impulsador del cálculo de te nsores afirmó: "el desarrollo de los tensores como una rama sis­temática de las matemáticas fué un proceso posterior I el crédito del cual se debe a Ricci quien durante los diez afias desde 1887 a 1896 elaboró la teoría y realizó la elegante y comprer:.siva notación que permite adaptarla fácilmente a una gran

I

2

variedad de temas de análisis I geometría y física".

El éxito de Ricci se debió a la gran intuición que tuvo cuando percibió que las propiedades de la geometría riemanianna son propiedades de ciertos ve ctores y tensores covariantes y contravariantes; esto le permitió simplificar de un mo­do notable todos los estudios anteriores a la vez que abrió horizontes para nue-

• • • vas lnveStlgaclones.

El cálculo de Ricci despertó el interés general luego de que A. Einstein hizo u­so de él en su formulación de la teoría general de la relatividad (1913-1916) ; en su teoría, Einstein necesitó trabajar con un espacio riemanniano de cuatro dimensiones y encontró que toda la herramienta matemática necesaria ya había sido elaborada por Ricci.

Finalmente, en 1917 Gerhard Hessenberg en su obra sobre la fundamentación vec­torial de la geometría diferencial presenta un nuevo punto de vista sobre los ten­sores ; según Hessenberg un tensor puede ser mirado como una forma multilineal homogenea dada en vectores base y que es invariante bajo transformación de coordenadas; el tensor se compone así de un conjunto de escalares ( componen­tes del tensor) cada uno de ellos adscrito a un grupo de vectores base; según es­ta presentación, un vector es un tensor de orden uno porque es una forma lineal homogénea de vectores base esto es:

...... - - ~ A =. A, i l + Al t.'~+ A3(:J -;--. .., ~

siendo 1.." l~ J (..3 base vectorial en tres dimensiones.

Las componentes del tensor cambian al cambiar de sistema coordenado pero el tensor mismo permanece igual, es un invariante.

En nuestra presentación trataremos algunos temas desde este punto de vista que desarrolló Hessenberg.

'f

A-

CAPITULO II

BASES RECIPROCAS

VECTORES BASE: En el espacio tridimensional cualquier conjunto de tres vectores no coplanares puede servir de base a todos los vectores de ese espacio, es decir, todo vector A puede expresarse como una combina­ción lineal de esos tres ya que siempre es posible construir un paralepí­pedo tal que una de sus diagonales tenga la magnitud y dirección de A y que los tres lados partiendo de uno de los extremos de esa diagonal tengan respec'tivamente la dirección de los vectores base;

-.., lla.> a'i ' a:2, "a3 : vectores base

Q.,

B- BASES RECIPROCAS:

S ·....,. -'"' -. t b I al, aZ' a3 represen an una ase y se definen otros tres vectores ~l,

~2 ,a 3 de la siguiente manera:

2-1 - ~ ......, d -= Q. '1.. X. Q.'). J •

le\; Ci"~ a') 1

[ - - .-.., ) - - -) .,.....,. ( - - '1 con: ct, Ch Q:\ = a.,. ( a. '2)C a.') :: o.~" a. I lt a. LJ ::.

...;.,. - - -, "'1. a."l ~ entonces las dos bases a, a~ al ya:. Cl. 1 se llaman recIprocas; como se I ~ ---. -.

puede apreciar de la definición los vectores a' 0..1. 0...' son respectivame ;-¡ ::<:-' • •

perpendiculares a los planos determinados por los pares de vectores (¿r; Q;) (a~, a:: ), (a:,a't). J

4

Se deduce entonces lo siguiente:

2-2 I ; análogamente:

; también:

o.

; análogamente: -3 ~ -:::l -"'7 - a. -o: . (...C.,'=' C)..'. Q. '&. :. a. _ Q3

-

Resumiendo los resultados anteriores: las dos bases anteriormente definidas son tales que:

--"'......... L-

2 -3) 0.'. ajO :. $j' ;aqui i y j pueden tomar los valore s 1,2 13;

de Kronecker que vale 1 y si i= j Y vale O para i * j. •

(jt. () es el delta

~¡~ -Como·a _ Clj = O para i::f- j se aprecia que cada aJ es perpendicular- a los dos vec-

~ • .-., --, -'lo tares (,{t (i 1- j) por lo tanto a., Q.1. a'3 son respectivamente perpendiculares a los planos determinados por los pares de vectores ( Cl\ a.? ), ( a', a~ ) , ( a', a't ) y por lo tanto son proporcionales a (a..'l.¡( a.~ ) J ca.:\- a' ), (c!lltlil.) y en consecuencia:

-'7 V -"¿ -3 al = 1\\ a. 1( Cl )

con Kl, K2 I K3; escalares; si realizamos el producto al fI al = 1 la ecuación

.... 1.. "'3) -'>, 2-2) nos queda: Kl (a 'IC a: . a \

K I = [O: o.~ ~ J" =- I • ,

I - ; o sea que los vectores análogamente K2 = K3 =

se pueden expresar en función de los como:

2-4) , ,

comparando 2-1) Y 2-3) se aprecia que las dos bases se comportan recíproca­mente cuando se expresa una en función de la otra.

Una relación importante entre las bases recíprocas es la de que sus correspon­dientes triples productos mixtos son inversos es decir:

[Ci' al. 0..31 . [a, a ... a3l == l. ;esto lo demostramos así: c ..... ,

•

•

•

'.

" - ,

•

) . • •

5

2 -5) a.l • (a\ ~ ) _ (i4)( (1-;). ti 0.-; x al)>( ( a; )t lii)] - . [ al 0:-1. 0:3] 3 ; el triple producto del nume-

rador lo expandimos utilizando la regla: ti' Ir (b" e) :: (u. L ) b - (i'. ¡;- ) F ==!:;7

(cr;. X a?'3 ). F!h lt 0.'1) II (el. lt <h. )];: (~l( a~ ). {U tI; x ni). u .. 1 a. -Rá;" a-) . Q.l24}

.:: (a\ )( Q;) .[(a';x al). u1.1 etl ~ [d":. (0:"7.)( (3) 1 [ cb.. ( a3 le QI Y) [

..-, _ --'7 ,

:: Q, a.l.. Q.~J llevando a 2-4 resulta:

- _ -"1.,. \ [ al al. ct}' ~ _ a'" (a"l.}I. Q'" ) =- d .-ta, Q"t. a3j~-I -

[' - - --i d, Cl.l. Q.3J

. -,~1"""3 Si los vectores base o. o.. a son triplemente ortogonales entonces como el vector

-..., J J -...... ___ --" -? 7.. -;::=t l a.1 (de la base recíproca al Q'L Q3 ) debe ser ortogonal a a. y u... coinci-de en dirección con al ; de la misma manera al.. coincide en dirección con 0...3. y Q"3 con ct~ ; por lo tanto en este caso las dos bases coinciden por lo me­nos en cuanto a que sus correspondientes vectores tienen igual dirección y sen­tido; si además de ser ortogonal a l -a1. Q..3 está formada por vectores unitarios

~ -. -.... ,,,. --""" 1 --> --.. • \ entonces los al Q.l..Q3 tambien seran unitarios ya que a.. a. = l Y como la ... :. I

:..-"'7 \ a: \.= I y \ Q'L \ :: \ Q3 \ = I Veamos un ejemplo ilustrativo sobre bases recíprocas: tenemos en el espacio bidimensional dos vectores base unitarios al y eh dirigidos a lo largo de los ejes Xl I XZ (después encontraremos justificado el que los vectores bases lle­ven subíndices y los ejes correspondientes superíndices) ;construyamos la base "recíproca el I , a'" .

~-.-~----~------------------ Xl

• X,

,

6

De 2-1) vemos que QI debe ser normal a ~ (o sea estar sobre Xl' que forma ángulo recto con X2 ) y a 1. no.!:,.mal a al (osea es tar sobre X2 que forma ángulo recto con Xl )¡ del extremo de QI y a7.. bajemos a los ejes Xl X2 líneas que sean perpendiculares a Xl X2; vamos a demos trar que los vectores así obte­nidos son los vectores ( a, a1. ) recíprocos de ( a.)i~ ) ; para esto debemos

-... • -- e: demostrar quE2,. estos vectores satisfacen 2-3) o sea al. QJ' == J.j , tenemos: a·. al = 10.1 \ \ a.: \ . Sentr; pero en el triángulo corre spondiente a a. al , tenemos Sen fT .::. Jet. L =;7 rá.'l= ltr.lhen-9- =-~

ra'\ 1-- - \-L-al. QI :: Q, 10,11 j~-&:::. I

.5.:.M e-

uni taria'; ademá s -. ---a . al.. VI \ V"" 4 = o porque A ...L-;'\

.. porque a. es

•

.....,. ....,. ....... ---De la misma manera se demuestra Q'l., Ql.. =.t. Y a1..,a. = O por lo tanto se cum""'"' pIe: al', aj ~; o sea si los vectores (O"Cl1.. ) son unitarios su base recíproca está formada por ( "O.! ;a.'- ) obtenidos como se indicó arriba.