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Capıtulo 6Algebra Tensorial

Este capıtulo se inicia introduzindo um conceito mais geral que engloba os demaisconceitos envolvidos nos capıtulos anteriores. Para entendermos do que se trata aalgebra tensorial, devemos ter em mente o que significa algebra, a saber, um espacovetorial munido de um produto bilinear. Mais precisamente

Ò Definicao 17: Seja V um K-espaco vetorial, com uma operacao adicional, econsidere vetores u, v 2 V . O produto bilinear em A = (V, ⇤ ) e fechado em A, ou seja,dado o produto ⇤ : A⇥A ! A, entao (u, v) 7! u ⇤ v 2 A. O par (V, ⇤ ) e denominadouma algebra sobre K se o produto for bilinear, ou seja, dado a 2 K,

1) u ⇤ (v + w) = u ⇤ v + u ⇤ w

2) (u+ v) ⇤ w = u ⇤ w + v ⇤ w

3) a.(u ⇤ v) = (a.u) ⇤ v = u ⇤ (a.v)

Se existir um elemento e 2 V tal que e ⇤ u = u ⇤ e = u para todo u 2 V , entao V euma algebra unital (ou algebra com unidade). A algebra V e dita ser comutativa seu ⇤ v = v ⇤ u, 8u, v 2 V , e associativa se (u ⇤ v) ⇤ w = u ⇤ (v ⇤ w), 8u, v, w 2 V 3

105

106 6. ALGEBRA TENSORIAL — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

6.1 Aplicacoes Multilineares

Sejam V1

, V2

, . . . , Vp e W K-espacos vetoriais. A aplicacao

� : V1

⇥ · · ·⇥ Vp ! W (6.1)

e denominada multilinear — neste caso p-linear — se for linear em cada um dos seus pargumentos, quando os outros argumentos estao fixos, ou seja, dados arbitrariamentec 2 K, v

1

, v01

2 V1

, v2

, v02

2 V2

, . . . , vn, v0n 2 Vn, entao

� (v1, . . . , vi, . . . , vp) + �(v

1, . . . , v0i, . . . , vp) = �(v

1

, . . . , vi + v0i, . . . , vp),

c�(v1,v2, . . . , vi, . . . , vp) = �(v

1,v2, . . . , cvi, . . . , vp),

para i = 1, . . . , p. Quando p = 1 a aplicacao e linear, e quando p = 2 a aplicacao � ebilinear.Tais aplicacoes formam um espaco vetorial, que e por si proprio um subespaco ve-

torial do espaco de todas as aplicacoes � : V1

⇥ · · · ⇥ Vp ! W , ao definirmos a somade duas aplicacoes p-lineares e a multiplicacao por escalar de uma aplicacao p-linear:

( + �)(v1

, . . . , vp) = (v1

, . . . , vp) + �(v1

, . . . , vp)

(a�)(v1

, . . . , vp) = a�(v1

, . . . , vp), a 2 K.

Denotamos tal subespaco por Hom(V1

, . . . , Vp;W )

Exercıcio 164: Mostre que Hom(V1

, . . . , Vp;W ) e de fato um espaco vetorial

Obs. 26: Seja V um espaco vetorial real. A complexificacao de V e definidatomando o produto tensorial de V com os numeros complexos, visto por sua vez comoum vetor de espaco bidimensional sobre os reais:

V C = V ⌦R C. (6.2)

O sımbolo R subescrito no produto tensorial indica que o produto tensorial e levadosobre os numeros reais, ja que V e um espaco vetorial real e assim o ındice podeseguramente ser omitido. Nesse sentido, V C e apenas um espaco vetorial real. No en-tanto podemos fazer de V C em um espaco vetorial complexo, definindo a multiplicacaocomplexa como se segue:

a(v ⌦ b) = v ⌦ (ab), para todo v 2 V, a, b 2 C. (6.3)

Pela natureza do produto tensorial, cada vetor v 2 V C pode ser escrito exclusivamentesob a forma

v = v1

⌦ 1 + v2

⌦ i (6.4)

onde v1

e v2

sao vetores em V . E uma pratica comum evitar o sımbolo de produtotensorial e apenas escrever v = v

1

+ iv2

. A multiplicacao pelo numero complexo a+ ibe dada pela regra usual

(a+ ib)(v1

+ iv2

) = (av1

� bv2

) + i(bv1

+ av2

) (6.5)

6.1. APLICACOES MULTILINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 107

e podemos entao escrever V C ' V � iV , com a regra acima para a multiplicacao denumeros complexos.Ha uma imersao natural de V em V C dada por v 7! v⌦1. O espaco vetorial V pode

entao ser considerado como um subespaco real de V C

Se os espacos V1

, . . . , Vp, U possuem dimensao finita, entao o espaco Hom(V1

, . . . , Vp;U)tambem tem dimensao finita, e mais precisamente

dimHom(V1

, . . . , Vp;U) = dimV1

· · · dimVp dimU,

uma vez que a aplicacao em (6.1) e determinada pelas imagens dos vetores das basesde V

1

, . . . , Vp, que por sua vez sao determinadas pelas suas coordenadas na base de U .

Exercıcio 165: Mostre a afirmacao acima.

Exercıcio 166: Mostre que dada uma aplicacao � : V1

⇥ · · · ⇥ Vk ! U k-linear,sua imagem pode nao ser um subespaco vetorial de U

Quando U = K, obtemos o espaco Hom(V1

, . . . , Vp;K) das funcoes multilineares emV1

⇥ · · ·⇥ Vp. Nesse caso, as aplicacoes p-lineares sao denominadas formas p-lineares.Em particular Hom(V,K) e o espaco dual V ⇤ de V .

Exercıcio 167: A multiplicacao de numeros reais � : R ⇥ R ! R dada por�(x, y) = xy e bilinear. Mostre que a aplicacao ' : R⇥ R⇥ · · ·⇥ R ! R definida por

'(x1

, . . . , xp) = x1

.x2

. . . . xp e p-linear

Exercıcio 168: Dados U, V K-espacos vetoriais, mostre que dada � 2 Hom(U, V )e v 2 U , a aplicacao

A : Hom(U, V )⇥ U ! V

(�, v) 7! A(�, v) = �(v)

e bilinear

Exercıcio 169: Mostre que a aplicacao � : R ⇥ V ! V dada por �(a, v) = av,v 2 V , a 2 K e bilinear. Mostre tambem que a composicao de duas aplicacoes bilinearesem End(V ) e bilinear.

IProposicao 10: Sejam U, V K-espacos vetoriais e S ⇢ U um conjunto de geradores.Se duas aplicacoes p-lineares �, : U ⇥ · · ·⇥ U

| {z }

p vezes

! V sao tais que �(v1

, . . . , vp) =

(v1

, . . . , vp) para quaisquer v1

, . . . , vp 2 S, entao � = JDemonstracao: A proposicao e obvia quando p = 1. Suponha que ela seja

valida para k p e considere �, : U ⇥ · · ·⇥ U| {z }

(p+1)vezes

! V tais que �(v1

, . . . , vp+1

)

= (v1

, . . . , vp+1

) quando v1

, . . . , vp, vp+1

2 S. Tome v 2 U fixo e defina 0,�0 :U ⇥ · · ·⇥ U| {z }

p vezes

! V , pondo �0(v1

, . . . , vp) = �(v1

, . . . , vp, v) e 0(v1

, . . . , vp) = (v1

, . . . , vp, v).


Portanto segue-se que 0 e �0 coincidem quando v1

, . . . , vp 2 S e pela hipotese deinducao 0 = �0. Portanto �(v

1

, . . . , vp, v) = (v1

, . . . , vp, v) para todos v1

, . . . , vp, v 2U , ou seja, = � o

Exercıcio 170: Mostre que, dada uma aplicacao p-linear � : U1

⇥ · · ·⇥ Up ! V ,sua imagem �(U

1

⇥ · · ·⇥Up) em geral nao e um subespaco vetorial de V , quando p 6= 1.

Exercıcio 171: Mostre que a composicao de uma aplicacao linear � 2 Hom(U, V )com uma aplicacao p-linear Hom(V

1

, . . . , Vp;U) e p-linear e pertence a Hom(V1

, . . . , Vp;V )

Exercıcio 172: Seja {e1

, e2

} a base canonica de R2 e {e1

, e2

, e3

, e4

} a base canonicade R4. Considere � : R2 ⇥ R2 ! R4 a aplicacao bilinear definida por �(e

1

, e1

) =e1

,�(e1

, e2

) = e2

,�(e2

, e1

) = e3

,�(e2

, e2

) = e4

. Mostre que um vetor v = v1e1

+v2e

2

+ v3e3

+ v4e4

2 R4 e da forma v = �(x, y), onde x, y 2 R2 se, e somente sev1v4 = v2v3. Conclua que a imagem de � gera, porem nao coincide com R4. Emparticular, �(R2 ⇥ R2) nao e subespaco vetorial

6.2 Produto Tensorial entre Espacos Vetoriais

O produto tensorial entre dois espacos vetoriais V e W surge naturalmente quandoconsideramos aplicacoes bilineares � : V ⇥W ! U . Uma dessas aplicacoes e universal,no sentido que de certa maneira ele descreve todos os outros.

Ò Definicao 18: O produto tensorial entre K-espacos vetoriais V e W e um espacoT com uma aplicacao bilinear

⌦ : V ⇥W ! T

(v, w) 7! (v ⌦ w)

que satisfaz a seguinte condicao: se {ei | i 2 I} e {fj | j 2 J} sao bases de V e W —aqui I e J sao conjuntos de ındices — respectivamente, entao {ei ⌦ fj | i 2 I, j 2 J} ebase de T 3

Tal condicao nao depende das escolha de bases de V e W . Denotamos tambem V ⌦KW quando quisermos explicitamente enfatizar sobre qual corpo estamos efetuando oproduto tensorial. Salvo mencao explıcita omitiremos tal notacao e o produto V ⌦Wdenotara daqui em diante o produto tensorial entre espacos vetoriais sobre o corpo emquestao.

O produto tensorial existe para quaisquer espacos vetoriais V e W , pois ao se con-siderar o espaco vetorial T com base {tij}, definimos a aplicacao ⌦ : V ⇥W ! T talque ei ⌦ fj = tij .

6.2. PRODUTO TENSORIAL ENTRE ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC,2015 109

O produto tensorial e unico a menos de isomorfismo, no sentido de que se (T1

,⌦1

) e(T

2

,⌦2

) sao dois produtos tensoriais entre V e W , entao existe um (unico) isomorfismo

: T1

! T2

v ⌦1

w 7! v ⌦2

w

para quaisquer v 2 V e w 2 W . Com efeito, para vetores da base de V e W oisomorfismo em questao pode ser construıdo como (ei⌦1

fj) = ei⌦2

fj . Por linearidadetal isomorfismo e estendido para todos v 2 V e w 2 W .Em particular, dim (V ⌦W ) = dim V · dim W .

B Exemplo 36: Considere respectivamente os espacos dos polinomios na variavel xe y sobre um corpo K, e a aplicacao bilinear

⌦ : K[x]⇥K[y] ! K[x, y]

(f ⌦ g)(x, y) 7! f(x)g(y)

Para i, j = 0, 1, 2, . . ., os produtos xi ⌦ yj = xiyj formam uma base de K[x, y], eportanto K[x, y] = K[x]⌦K[y] C

Exercıcio 173: Sejam v, u 2 R2 os vetores v = 2e1

� e2

, u = e1

+3e2

. Calcule osprodutos tensoriais v⌦ u e u⌦ v na base canonica, e verifique que o produto tensorialnao e comutativo

Embora o produto tensorial entre dois espacos vetoriais nao seja comutativo, epossıvel estabelecer um isomorfismo

cV,W : V ⌦W ! W ⌦ V

v ⌦ w 7! w ⌦ v (6.6)

ao requerermos que a base ei ⌦ fj de V ⌦W seja levada na base fj ⌦ ei de W ⌦ V .

Exercıcio 174:

a) Mostre que cV,W � cW,V = idW⌦V e que cW,V � cV,W = idV⌦W

b) Dado o espaco vetorial U⌦V ⌦W , mostre que (cV,W ⌦I)�(I⌦cU,W )�(cU,V ⌦I) =(I⌦ cU,V )� (cU,W ⌦ I)� (I⌦ cV,W ). Essa relacao e denominada equacao de Yang-Baxter e origina o grupo das trancas.

Obs. 27: Equipado com essas estruturas o conjunto V1

⇥ V2

⇥ · · · ⇥ Vp edenominado soma direta exterior dos espacos vetoriais V

1

, V2

, . . . , Vp e e denotada por

Lpi=1

Vi. Considere o subespaco livre V depM

i=1

Vi que consiste das somas finitas formais


P

(v1,...,vp)2�pi=1

Vi

av1...vp (v1, . . . , vp) . A denominacao livre na definicao acima significa

queX

(v1,...,vp)2�pi=1

Vi

av1...vp (v1, . . . , vp) = 0,

implicando que av1...vp = 0.O subespaco V

0

2 V e um subespaco de V gerado pelos vetores de um dos seguintestipos:

(i) (v1, . . . , v

0i + v00i , . . . , vp)� (v

1, . . . , v0i, . . . , vp)� (v

1,, . . . , v00i , . . . , vp),

(ii) (v1, . . . , cvi, . . . , vp)� c(v

1, . . . , vi, . . . , vp), i = 1, 2, . . . , p e c 2 K.

Podemos definir no espaco V a seguinte relacao de equivalencia. Dados u, v 2 Vdizemos que u ⌘ v (mod V

0

) se u � v 2 V0

. Considere agora o espaco quocienteV/V

0

, cujos elementos sao as classes de equivalencia de V . Os elementos de V/V0

saodenotados por [u] ou u+V

0

. O espaco V/V0

possui uma estrutura de espaco vetorialsobre K, ao definirmos

[u+ v] = [u] + [v],

c[u] = [cu], c 2 K. (6.7)

Eqs.(6.7) podem ser reescritas como

(u+V0

) + (v+V0

) = (u+ v)+V0

,

c(u+V0

) = (cu+V0

), c 2 K. (6.8)

A projecao canonica e definida como sendo a aplicacao ⇡ :V !V/V0

, onde ⇡ 2 Hom(V, V/V0

).Ja que ⇡(u) = ⇡(v) ) u ⌘ v (mod V

0

), e u ⌘ v (modV0

) ) ⇡(u) = ⇡(v), segue-se que⇡(u� v) = 0, de onde concluımos que ⇡(V

0

) = 0, i.e., ker⇡ = V0

. Formalmente o espacoV/V

0

e denominado produto tensorial entre os espacos V1

, V2

, . . . , Vp e denotado porV1

⌦ V2

⌦ · · ·⌦ Vp. Os elementos de V1

⌦ V2

⌦ · · ·⌦ Vp sao denominados tensores. Sejau = (v

1

, v2

, . . . , vp) 2 V e escrevemos

⇡(v1

, v2

, . . . , vp) = v1

⌦ v2

⌦ · · ·⌦ vp, (6.9)

e denominamos v1

⌦ v2

⌦ · · ·⌦ vp um tensor fatorizavel.

B Exemplo 37: Dados ↵ 2 V ⇤ e w 2 W , defina a aplicacao linear

⌦ : V ⇤ ⇥W ! Hom(V,W )

(↵, w) 7! ↵⌦ w : V ! W

v 7! (↵⌦ w)(v) := ↵(v)w (6.10)

Tomando {ei} e {fj} bases canonicas de V ⇤ e W respectivamente, o elemento ei ⌦ fje levado a matriz Eij , onde a entrada (i, j) e 1, e as demais entradas valem zero.C


B Exemplo 38: No exemplo anterior, no caso particular quando V = W , temoso isomorfismo V ⇤ ⌦ V ' End(V ), e portanto temos a equivalencia entre elementosPn

i,j=1

ajiei ⌦ ej 2 V ⇤ ⌦ V e a matriz [aij ] 2 End(V ). Sabemos que o espaco End(V )

e munido de um funcional linear canonico: o traco Tr: End(V ) ! K — definido porTr [aij ] =

Pni=1

aii. Portanto o traco induz um funcional linear

V ⇤ ⇥ V ! KnX

i,j=1

ajiei ⌦ ej 7!

nX

i=1

aii (6.11)

denominado contracao CDados ↵ 2 V ⇤,� 2 W ⇤, definimos agora o produto tensorial ↵⌦ � em V ⇥W por

(↵⌦ �)(v, w) = ↵(v)�(w), v 2 V,w 2 W (6.12)

obtendo assim a aplicacao bilinear

⌦ : V ⇤ ⇥W ⇤ ! Hom(V,W ;K).

Aqui (ei, f j)(v, w) = viwj , onde (v1, . . . , vn) e (w1

, . . . , wn) sao componentes dos veto-res v e w nas bases {ei} ⇢ V e {fj} ⇢ W , respectivamente. Ja vimos que toda funcaobilinear B : V ⌦ W ! K se decompoe unicamente como B(u, v) =

P

i,j cijuivj . O

conjunto {ei ⌦ f j} forma uma base para Hom(V,W ;K). Assim

Hom (V,W ;K) ' V ⇤ ⌦W ⇤ (6.13)

Em particular, quando nos restringimos ao produto tensorial tomado sobre copiasdo mesmo espaco vetorial V , ja vimos que um covetor age sobre um vetor resultandoem uma quantidade escalar. Desse modo, ↵,� 2 V ⇤ e u, v 2 V , sabemos que ↵(u)e �(v) pertencem ao corpo. Entao podemos considerar o produto dessas duas quan-tidades, ou seja, ↵(u)�(v). Como consequencia dessa definicao, o produto tensorialnao e comutativo. Como caso particular um produto tensorial entre vetores — comvalores em K — de um mesmo espaco vetorial age sobre o produto cartesiano V ⇤⇥V ⇤,resultando em um escalar:

(u⌦ v)(↵,�) = ↵(u)�(v). (6.14)

Essa notacao e usada para simplificar, ja que como ↵,� sao funcionais lineares tomandovalores em V e levando em K, na expressao acima u e v simbolizam respectivamente asaplicacoes ⌧u, ⌧v 2 V ⇤⇤ que tomam valores em V ⇤ e levam em K, assim como definidosna expressao (1.4) na Secao (1.6). Como existe um isomorfismo canonico entre V ⇤⇤ eV , portanto tais espacos sao tomados indistintamente na expressao (6.14).Nao e difıcil vermos que o espaco definido pelo produto tensorial de covetores e

tambem um espaco vetorial, que denotaremos por T 2(V ) = V ⇤ ⌦ V ⇤, e denotaremostambem V ⌦ V por T

2

(V ).


Exercıcio 175: Mostre que T 2(V ) e T2

(V ) sao espacos vetoriais, e mostre tambem

que T 2(V ) ' T2

(V ⇤) e que T2

(V ) ' T 2(V ⇤).

Exercıcio 176: Se dim V = n temos dim T2

(V ) = dim T 2(V ) = n2

Mais especificamente, considere {ei} uma base para V e {ei} a sua base dual. Sabe-mos que ↵(v) =

P

i ↵ivi e que �(u) =P

i �iui, onde ↵i = ↵(ei), �i = �(ei), vi = ei(v)

e ui = ei(u). Desse modo

(↵⌦ �)(v, u) =X

i,j

↵ivi�ju

j .

Mas (ei ⌦ ej)(v, u) = viuj , e portanto podemos escrever

↵⌦ � =X

i,j

↵i�jei ⌦ ej

Os funcionais bilineares {ei ⌦ ej} (i, j = 1, . . . , n) formam uma base para o espacoT 2(V ). Se B e um funcional bilinear arbitrario podemos escrever B = bijei ⌦ ej , ondeos escalares bij — componentes de B nesta base — sao dados por bij = B(ei, ej).Segue-se que B(v, u) =

P

i,j bijviuj .

Exercıcio 177: Mostre que {ei ⌦ ej} (i, j = 1, . . . , n) formam uma base parao espaco T

2

(V ), ou seja, que A 2 T2

(V ) pode ser escrito na forma A =P

i,j aijei ⌦

ej , onde aij = A(ei, ej) sao as componentes de A nessa base. Mostre ainda que oscoeficientes aij sao unicos. Da mesma maneira, mostre que {ei ⌦ ej} (i, j = 1, . . . , n)

formam uma base para o espaco T 2(V )

Os funcionais bilineares em T 2(V ) e T2

(V ) podem ser decompostos na soma defuncionais bilineares simetricos e alternados. Vamos tomar como exemplo B 2 T 2(V ),e definimos um funcional bilinear simetrico B

sim

como

Bsim

(v, u) =1

2(B(v, u) +B(u, v))

e um funcional bilinear alternado Balt

como

Balt

(v, u) =1

2(B(v, u)�B(u, v)).

Exercıcio 178: Mostre que um funcional bilinear arbitrario B 2 V ⇤ ⌦ V ⇤ podeser escrito como B = B

sim

+Balt

O espaco dos funcionais bilineares simetricos T 2

sim

(V ) e dos funcionais bilinearesalternados T 2

alt

(V ) possuem respectivamente as bases {ei⌦ej+ej⌦ei} e {ei⌦ej�ej⌦ei},onde i, j = 1, . . . , dim n.

Exercıcio 179: Prove que as componentes de um elemento A = Aijei ⌦ ej 2T 2

alt

(V ) satisfazem Aij = �Aji.


Exercıcio 180: Dados ↵,� : V ! K, mostre que:

1. ↵⌦ � = 0 , ↵ = 0 ou � = 0.

2. ↵⌦ � = � ⌦ ↵, ↵ e � sao multiplos um do outro.

Exercıcio 181: O operador de permutacao P : T 2(V ) ! T 2(V ) e definido porP (↵ ⌦ �) = � ⌦ ↵, e o operador identidade em T 2(V ) e dado por id(↵ ⌦ �) = ↵ ⌦ �.Defina os operadores ALT: T 2(V ) ! T 2

alt

(V ) e SIM: T 2(V ) ! T 2

sim

(V ) tais que ALT= 1

2

(id � P ) e SIM = 1

2

(id + P ). Prove que ALT � ALT = ALT, SIM � SIM = SIM,ALT � SIM = 0 = SIM � ALT, e que ALT + SIM = id. Mostre que ker SIM = T 2

alt

(V )

e ker ALT = T 2

sim

(V )

Exercıcio 182: Prove que T 2(V ) = T 2

alt

(V )� T 2

sim

(V )

Exercıcio 183: Dados ↵ = e3 � 4e1,� = 3e2 � e3, calcule (↵ ⌦ �)(u, v), ondeu = e

1

+ e2

+2e3

e v = �2e1

+ e3

. Calcule tambem ↵⌦ �, ↵⌦↵, � ⌦↵, � ⌦ �, ↵⌦ u,v ⌦ �, u⌦ v, u⌦ u⌦ ↵.

Exercıcio 184: Defina o produto exterior entre tres vetores {e1

, e2

, e3

} 2 R3

como sendo

e1

^ e2

^ e3

:=1

6(e

1

⌦ e2

⌦ e3

+ e2

⌦ e3

⌦ e1

+ e3

⌦ e1

⌦ e2

�e3

⌦ e2

⌦ e1

� e2

⌦ e1

⌦ e3

� e1

⌦ e3

⌦ e2

)

Mostre que e1

^ e2

^ e3

= �e1

^ e3

^ e2

e mais geralmente que e1

^ e2

^ e3

2 T3 alt

(V )

I Proposicao 11: Dada uma aplicacao linear � : V ⇥ W ! U , existe uma unicaaplicacao linear : V ⌦W ! U tal que

�(v, w) = (v ⌦ w), v 2 V,w 2 W. (6.15)

J

Demonstracao: Na base de V ⌦W , tal aplicacao linear e dado por

�(ei, fj) = (ei ⌦ fj)

o

Mais especificamente, provamos o carater universal do produto tensorial, no sentidode que existe uma funcao f : V ⇥ W ! V ⌦ W tal que � f = �, como mostra o


seguinte diagrama comutativo:

V ⇥W� - U

V ⌦W

6

f-

Portanto existe um isomorfismo entre Hom(V ⌦ W ;U) e Hom(V,W ;U) que leva : V ⌦W ! U a � : V ⇥W ! U , e em particular quando U = K temos que

(V ⌦W )⇤ ' Hom(V,W ;K)

ja que (V ⌦W )⇤ leva o espaco tensorial V ⌦W ao corpo K. Pelo isomorfismo obtidopela Eq.(6.13), acabamos de mostrar o seguinte isomorfismo:

(V ⌦W )⇤ ' V ⇤ ⌦W ⇤ (6.16)

O isomorfismo acima e visto como uma extensao da correlacao ⌧ : V ! V ⇤, que“dualiza” tambem o produto tensorial:

⌧ : V ⌦W ! (V ⌦W )⇤

v ⌦ w 7! ⌧(v ⌦ w) = ⌧(v)⌦ ⌧(w) (6.17)

Funcionais Bilineares Mistos

Assim como definimos produto tensorial entre vetores e entre covetores, podemostambem definir o produto tensorial entre um vetor e um covetor. O funcional bilinearassim obtido e denominado funcional bilinear misto. Definimos o produto tensorial↵⌦ v atraves de

(↵⌦ v)(u,�) = ↵(u)�(v).

Denotaremos este espaco vetorial por T 1

1

(V ) = V ⇤⌦V . Obviamente dim T 1

1

(V ) = n2.Uma base para T 1

1

(V ) e dada pelos produtos tensoriais do tipo ei⌦ ej . Dessa maneira

C 2 T 1

1

(V ) pode ser escrito como C =P

i,j cj

i ei ⌦ ej , onde c ji = C(ei, ej)

B Exemplo 39: Este exemplo e o Ex. 1.5 de [7]. Existe um isomorfismo entre osespacos T 1

1

(V ) e T 1

1

(V ) definido por

cV,V ⇤ : T 1

1

(V ) ! T 1

1

(V )

↵⌦ v 7! cV,V ⇤(↵⌦ v) = v ⌦ ↵

Em termos de uma base de T 1

1

(V ) podemos escrever cV,V ⇤(ei ⌦ ej) = ej ⌦ ei, e taldefinicao nao depende da base escolhida. Apesar do isomorfismo acima, devemos tomarcuidado com a notacao, distinguindo os espacos T 1

1

(V ) e T 1

1

(V ). Vamos supor que


dada uma forma bilinear simetrica g definida em termos de uma base {e1

, e2

} de R2

por g11

= 1, g12

= 1, g21

= 1, g22

= �1, onde gij = g(ei, ej). Podemos entao levantar eabaixar ındices, implicitamente usando a correlacao ⌧ : V ! V ⇤:

e1

= e1 + e2, e2

= e1 � e2,

e

e1 =1

2(e

1

+ e2

), e2 =1

2(e

1

� e2

).

Vamos agora considerar B 2 T 1

1

(V ) dado por

B = e1 ⌦ e2

.

Temos nesse caso B 1

1

= 0, B 2

1

= 1, B 1

2

= 0, B 2

2

= 0. Levantando e abaixandoındices com a ajuda das formulas acima podemos escrever

B =1

2e1

⌦ e1 � 1

2e1

⌦ e2 +1

2e1

⌦ e1 � 1

2e1

⌦ e2

ou seja, B1

1

= 1

2

, B1

2

= � 1

2

, B2

1

= 1

2

, B2

2

= � 1

2

. e portanto Bji 6= Bi

j e portanto epreciso distinguir os T 1

1

(V ) e T 1

1

(V ). CExercıcio 185: Encontre o valor do tensor � ⌦ � ⌦ � 2 T 5(V ) aplicado em

(v1

, v2

, . . . , v5

) onde � = e1 ⌦ e2 + e2 ⌦ e3 + e2 ⌦ e2 2 T 2(V ) e = e1 ⌦ e1 ⌦ (e1 � e3),

enquanto que v1

= e1

, v2

= e1

+ e2

, v3

= e2

+ e3

, v4

= v5

= e2

Exercıcio 186: Encontre as componentes T 12

123

de um tensor em T 3

2

(V ) se todasas componentes desse tensor na base {ei} valem 2, e as bases {ei} estao relacionadaspor

(e1

, e2

, e3

) = (e1

, e2

, e3

)

0

@

1 2 30 1 20 0 1

1

A (6.18)

Exercıcio 187: Dado V um espaco vetorial 4-dimensional, considere A = e1⌦e2

+e2⌦e

3

+e3⌦e4

2 T 1

1

. Encontre todos os vetores v 2 V tais que A(v,↵) = 0, 8↵ 2 V ⇤

Exercıcio 188: Considere um espaco vetorial tridimensional sobre o corpo Z2

eum tensor T = e1 ⌦ e

2

+ e2 ⌦ e3

2 T 1

1

(V ). Encontre os pares (v,↵) 2 V ⇥ V ⇤ tais que

T (v,↵) = 0

Exercıcio 189: Considere o isomorfismo : V ⇤ ⌦ V ! End(V ) em (6.10) e seja{ei}dimV

i=1

[{ei}] a base canonica de V [V ⇤]. Dado A = e1 ⌦ e3

, calcule (A)v, ondev = e

1

+ e2

+ e3

+ e4

. Calcule tambem para o caso onde A = (e1 + e3) ⌦ (e3

+ e4

) e

v = 2e1

+ 3e2

+ 2e3

+ 3e4


Exercıcio 190: Dada a forma bilinear simetrica g : V ⇥ V ! K cuja matrizassociada e dada por

0

B

B

@

2 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 1 2

1

C

C

A

,

abaixe e levante os ındices dos tensores:a) e1 ⌦ e

3

+ e2 ⌦ e4

b) (e1 + e2)⌦ (e3

+ e4

)� (e1 + e3)⌦ e3

6.3 A algebra tensorial de um espaco vetorial

Da mesma maneira que foi estabelecido um isomorfismo de permutacao (trans-posicao) entre espacos vetoriais, atraves da Eq.(6.6), dados tres espacos vetoriaisU, V,W sobre K, existe um isomorfismo

(U ⌦ V )⌦W ! U ⌦ (V ⌦W )

(u⌦ v)⌦ w 7! u⌦ (v ⌦ w) (6.19)

Ao identificarmos os espacos tensoriais (U⌦V )⌦W e U⌦(V ⌦W ) por tal isomorfismo,podemos escrever produtos tensoriais entre qualquer numero finito de espacos vetoriaisV1

, V2

, . . . , Vp sem o uso de parenteses. Inducao em p mostra que o produto tensorialentre vetores das bases de V

1

, . . . , Vp forma uma base para o espaco V1

⌦ · · ·⌦ Vp.Podemos agora generalizar os resultados obtidos em (6.13, 6.15, 6.16) para o caso

do produto tensorial (finito) entre espacos vetoriais, obtendo um isomorfismo

Hom(V1

⌦ · · ·⌦ Vp;U) ' Hom(V1

, . . . , Vp;U) (6.20)

que leva uma aplicacao linear : V1

⌦ · · ·⌦ Vp ! U a aplicacao p-linear � : V1

⇥ · · ·⇥Vp ! U , definida como

�(v1

, . . . , vp) = (v1

⌦ · · ·⌦ vp)

e em particular quando U = K obtemos um isomorfismo

(V1

⌦ · · ·⌦ Vp)⇤ ' Hom(V

1

, . . . , Vp;K) (6.21)

Podemos agora generalizar a expressao (6.12) para um numero arbitrario de espacosvetoriais de dimensao finita V

1

, . . . , Vp. Seja

(↵1

⌦ · · ·⌦ ↵p)(v1, . . . , vp) = ↵1

(v1

) . . .↵p(vp) (6.22)

onde ↵1

2 V ⇤1

, . . . ,↵p 2 V ⇤p , v1 2 V

1

, . . . , vp 2 Vp. Segue-se que

Hom(V1

, . . . , Vp;K) ' V ⇤1

⌦ · · ·⌦ V ⇤p . (6.23)

6.3. A ALGEBRA TENSORIAL DE UM ESPACO VETORIAL — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC,2015 117

Juntamente com o isomorfismo ja estabelecido em (6.21), o seguinte isomorfismo de-corre imediatamente:

{V ⇤1

⌦ · · ·⌦ V ⇤p ' (V

1

⌦ · · ·⌦ Vp)⇤ .

Essa expressao e a generalizacao da relacao (6.17), sendo a correlacao um automorfismoem relacao ao produto tensorial:

⌧ : V1

⌦ · · ·⌦ Vp ! (V1

⌦ · · ·⌦ Vp)⇤

v1

⌦ · · ·⌦ vp 7! ⌧(v1

⌦ · · ·⌦ vp) = ⌧(v1

)⌦ · · ·⌦ ⌧(vp) (6.24)

6.3.1 Produtos tensoriais entre aplicacoes lineares

Para quaisquer operadores A 2 End(V ) e B 2 End(W ), podemos construir aaplicacao linear A⌦B 2 End(V ⌦W ) atraves da definicao

(A⌦B)(v ⌦ w) = (A(v))⌦ (B(w)) (6.25)

A aplicacao A⌦B e denominada produto tensorial entre as aplicacoes lineares A e B.

B Exemplo 40: Considere A =

✓

a bc d

◆

e A0 =

✓

a0 b0

c0 d0

◆

matrizes em M(2,K).

Portanto A⌦A0 e uma aplicacao linear em Hom(K2 ⌦K2). Denotando {e1

, e2

} a basecanonica de K2, a matriz de A ⌦ A0 na base {e

1

⌦ e1

, e1

⌦ e2

, e2

⌦ e1

, e2

⌦ e2

}. Pordefinicao

(A⌦A0)(e1

⌦ e1

) = Ae1

⌦A0e1

= (ae1

+ ce2

)⌦ (a0e1

+ c0e2

)

= aa0e1

⌦ e1

+ ac0e1

⌦ e2

+ ca0e2

⌦ e1

+ cc0e2

⌦ e2

(A⌦A0)(e1

⌦ e2

) = Ae1

⌦A0e2

= (ae1

+ ce2

)⌦ (b0e1

+ d0e2

)

= ab0e1

⌦ e1

+ ad0e1

⌦ e2

+ cb0e2

⌦ e1

+ cd0e2

⌦ e2

(A⌦A0)(e2

⌦ e1

) = Ae2

⌦A0e1

= (be1

+ de2

)⌦ (a0e1

+ c0e2

)

= ba0e1

⌦ e1

+ bc0e1

⌦ e2

+ da0e2

⌦ e1

+ dc0e2

⌦ e2

(A⌦A0)(e2

⌦ e2

) = Ae2

⌦A0e2

= (be1

+ de2

)⌦ (b0e1

+ d0e2

)

= bb0e1

⌦ e1

+ bd0e1

⌦ e2

+ db0e2

⌦ e1

+ dd0e2

⌦ e2

Segue-se entao que a matriz associada a A⌦A0 e dada por0

B

B

@

aa0 ab0 ba0 bb0

ac0 ad0 bc0 bd0

ca0 cb0 da0 db0

cc0 bd0 db0 dd0

1

C

C

A

=

✓

aA0 bA0

cA0 dA0

◆

(6.26)


Neste exemplo podemos ver que o funcional linear traco do produto tensorial entrematrizes Tr (A⌦A0) = a(a0 + d0) + d(a0 + d0) = (a+ d)(a0 + d0) =(Tr A)(Tr A0). CB Exemplo 41: Considere [aij ] a matriz de A na base {e

1

, . . . , en} de V e [bkl] amatriz do operador B na base {f

1

, . . . , fm} de W . Entao, pelo mesmo procedimentodo exemplo anterior, a matriz da aplicacao A ⌦ B na base {e

1

⌦ f1

, e1

⌦ f2

, . . . , e1

⌦fm, e

2

⌦ f1

, e2

⌦ f2

, . . . , e2

⌦ fm, . . . , . . . , en ⌦ fm} para m = n de V ⌦W e dada por

A⌦B =

0

B

B

B

@

a11

B a12

B · · · a1nB

a21

B a22

B · · · a2nB

......

. . ....

an1B an2B · · · annB

1

C

C

C

A

Tal matriz e denominada produto de Kronecker entre A e B CMais geralmente, dados espacos vetoriais V, V 0, U, U 0 sobre o mesmo corpo K e dadas

aplicacoes 2 Hom(V, V 0) e � 2 Hom(U,U 0), necessita-se definir uma outra aplicacaolinear

⌦ � : V ⌦ U ! V 0 ⌦ U 0

v ⌦ u 7! ( ⌦ �)(v ⌦ u) = (v)⌦ �(u). (6.27)

Embora seja usual a notacao ⌦ �, o objeto ⌦ � nao denota um tensor. Isto esomente uma notacao para um novo aplicacao linear em V ⌦K U , o qual denotaremosde agora em diante simplesmente por V ⌦ U .

Exercıcio 191: Calcule Tr(A⌦A⌦ · · ·⌦A)

Exercıcio 192: Dada I = �0

=

✓

1 00 1

◆

e as matrizes de Pauli �1

=

✓

0 11 0

◆

, �2

=✓

0 �ii 0

◆

, �3

=

✓

1 00 �1

◆

em M(2, C), calcule �i ⌦ �j (i, j = 0, 1, 2, 3)

I Teorema 49: Considere K um corpo e sejam A 2 M(n,K) e B 2 M(m,K)matrizes que tenham autovalores a e b em K, respectivamente. Entao a aplicacaoA⌦ Im⇥m + In⇥n ⌦B tem autovalor a+ b e A⌦B possui autovalor ab J

Demonstracao: Para algum v 2 Kn e algum w 2 Km, Av = av e Bw = bw.Portanto

(A⌦ Im⇥m + In⇥n ⌦B)(v ⌦ w) = Av ⌦ w + v ⌦Bw

= av ⌦ w + v ⌦ (bw)

= (a+ b)(v ⌦ w)

Tambem

(A⌦B)(v ⌦ w) = (Av)⌦ (Bw) = (av)⌦ (bw) = ab(v ⌦ w) (6.28)

o


Exercıcio 193: Se A 2 End(V ) e diagonalizavel, mostre que A ⌦ A ⌦ · · · ⌦ A ediagonalizavel. Sendo {�i} um conjunto de autovalores de A, quais sao os autovalores

de A⌦A⌦ · · ·⌦A?

Exercıcio 194: Encontre a forma canonica de Jordan da aplicacao A⌦ B, se Ae B sao respectivamente dadas por

✓

1 10 1

◆

,

0

@

1 0 00 2 00 0 3

1

A ,

✓

1 10 1

◆

✓

2 10 2

◆

,

✓

1 10 1

◆

,

0

@

0 1 00 0 10 0 0

1

A

I Teorema 50: Dados K-espacos vetoriais V, V 0, V 00, U, U 0, U 00 e dadas aplicacoes 2 Hom(V, V 0), 0 2 Hom(V 0, V 00), � 2 Hom(U,U 0) e �0 2 Hom(U 0, U 00), entao:

(i) IV ⌦ IU = IV⌦U .(ii) ( 0 ⌦ �0) � ( ⌦ �) = ( 0 � ) ⌦ (�0 � �), enquanto aplicacoes lineares de V ⌦K Uem V 00 ⌦K U 00 JDemonstracao: (i) A funcao IV ⌦IU e uma aplicacao linear que pertence ao espaco

End(V ⌦ U) e deixa invariante qualquer tensor homogeneo da forma v ⌦ u. Segue-seque ele fixa todos os tensores de V ⌦ U e portanto IV ⌦ IU = IV⌦U .(ii) Como ( 0⌦�0)�( ⌦�) e ( 0� )⌦(�0��) sao lineares, a fim de se provar a igualdadee suficiente verificar que possuem o mesmo valor em qualquer tensor homogeneo daforma v ⌦ u, no qual ambas as aplicacoes possuem o valor 0( (v))⌦ �0(�(u)). o

B Exemplo 42: Mostramos aqui como calcular o determinante de produtos tensoriaisde aplicacoes lineares. Supomos 2 End(V ) e � 2 End(U), onde U e V sao K-espacosvetoriais de dimenao n e m, respectivamente. Calcularemos det( ⌦�) cindindo ⌦�na composicao de dois aplicacoes que pertencem a End(V ⌦ U), da seguinte maneira:

⌦ � = ( ⌦ IU ) � (IV ⌦ �),

de tal modo que a propriedade multiplicativa do determinante implica det( ⌦ �) =

det( ⌦IU )det(IV ⌦�). Alem disso, o isomorfismo que transpoe o tensor u⌦vcU,V7! v⌦u

converte ⌦ IU em IU ⌦ e da propriedade det( ⌦ IU ) = det(IU ⌦ ) segue-se que

det( ⌦ �) = det(IU ⌦ )det(IV ⌦ �).

A fim de que determinemos esses ultimos fatores, tome uma base {e1

, . . . , em} de V euma base {f

1

, . . . , fn} de U , e consequentemente uma base {ei⌦fj} (i = 1, . . . ,m; j =1, . . . , n) de V ⌦ U . Considere agora [ ] a matriz associada a na base ordenada{e

1

, . . . , em}. Como ( ⌦ IU )(ei ⌦ fj) = (ei)⌦ fj , ordene a base de V ⌦ U como

{e1

⌦ f1

, . . . , em ⌦ f1

, . . . , e1

⌦ fn, . . . , em ⌦ fn}.


A matriz de ordem mn ⇥mn associada a ⌦ IU nesta base ordenada e diagonal porblocos

0

B

B

B

@

[ ] O · · · OO [ ] · · · O...

.... . .

...O O · · · [ ]

1

C

C

C

A

,

cujo determinante e (det )n. Portanto

det( ⌦ �) = (det )n (det �)m

CObs. 28: Em particular no exemplo anterior det(A⌦A0) = (det A)2 (det A0)2

B Exemplo 43: Tomando-se U = V e = �, entao a aplicacao ⌦ possuideterminante (det )2k C

Corolario 10: Considere V um K-espaco vetorial de dimensao maior ou igual aum e 2 End(V ). Para todo i 2 N

det( ⌦i) = (det )iki�1

Exercıcio 195: Prove o corolario acima (Dica: use o princıpio da inducao finita

e a associatividade do produto tensorial de aplicacoes lineares)

ITeorema 51: Dados K-espacos vetoriais V, V 0, U, U 0, se as aplicacoes 2 Hom(V, V 0)e � 2 Hom(U,U 0) sao sobrejetivas, entao ⌦ � 2 Hom(V ⌦ U ;V 0 ⌦ U 0) e sobrejetivaJ

Demonstracao: Como ⌦ � e linear, basta mostrar que todo tensor do tipov0⌦u0 2 V 0⌦U 0 esta na imagem de ⌦�. Como e � sao ambas sobrejetivas, podemosexpressar v0 = (v) e u0 = �(u). Portanto v0 ⌦ u0 = (v)⌦ �(u) = ( ⌦ �)(v ⌦ u) o

O exemplo abaixo nos mostra que mesmo que e � definidas no Teorema acimasejam injetivas, o produto tensorial ⌦ � pode nao ser injetivo.

BExemplo 44: Considere p 2 Z um numero primo e uma aplicacao 2Hom(Zp,Zp2)dada pela multiplicacao por p 2 Z, ou seja, (a) = pa, 8a 2 Zp. Tal funcao e injetiva.Analisemos agora o aplicacao linear

IZp ⌦ : Zp ⌦Z Zp ! Zp ⌦Z Zp2

a⌦ b 7! (IZp ⌦ )(a⌦Z b) = a⌦Z (b).

Portanto, como a ⌦Z (b) = a ⌦Z pb = pa ⌦Z b = 0. Segue-se que IZp ⌦ ⌘ 0 e seudomınio Zp⌦Z Zp ' Zp e nao-nulo, nao sendo assim IZp ⌦ uma aplicacao injetiva. CAgora determinaremos uma expressao explıcita para o nucleo do produto tensorial

entre aplicacoes:


ITeorema 52: Dados K-espacos vetoriais V, V 0, U, U 0, se as aplicacoes 2 Hom(V, V 0)e � 2 Hom(U,U 0) sao ambas injetivas, entao ker ⌦ � 2 Hom(V ⌦ U ;V 0 ⌦ U 0) e umsubespaco vetorial de V ⌦U gerado pelos tensores v⌦u tais que (v) = 0 ou �(u) = 0.

Em termos das inclusoes ker ◆,! V e ker�

,! U , temos:

ker( ⌦ �) = (◆⌦ IU )((ker )⌦ U) + (IV ⌦ )(V ⌦ (ker�)) (6.29)

JDemonstracao: Se v 2 ker e u 2 U entao

( ⌦ �)((◆⌦ IU )(v ⌦ u)) = ( ⌦ �)(v ⌦ u) = (v)⌦ �(u) = 0. (6.30)

Para nao carregar demais a notacao usamos a mesma notacao para v⌦ u, que no ladoesquerdo da primeira igualdade acima esta em (V ⌦ U) enquanto que ao lado direitoda primeira igualdade v ⌦ u 2 (ker )⌦ U . Da mesma forma

( ⌦ �)((IV ⌦ )(v ⌦ u)) = ( ⌦ �)(v ⌦ u) = (v)⌦ �(u) = 0, (6.31)

se v 2 V e u 2 ker�. Definindo o conjunto

W = (◆⌦ IU )((ker )⌦ U) + (IV ⌦ )(V ⌦ (ker�)),

concluımos que W ⇢ ker ( ⌦ �), e segue-se que ⌦ � induz uma aplicacao linear

⇠ : (V ⌦ U)/W ! V 0 ⌦ U 0

v ⌦ u modW 7! ( ⌦ �)(v ⌦ u) = (v)⌦ �(u) (6.32)

Agora expressaremos a aplicacao inversa de ⇠, o que mostrara que ⇠ e injetiva e queo nucleo de ⌦ � e W . Como e � sao sobrejetivas por hipotese, qualquer tensorhomogeneo em V 0 ⌦ U 0 pode ser escrito como (v) ⌦ �(u). Os valores de (v) e�(u) somente determinam v e u a menos da adicao de elementos de ker ( ) e ker (�),respectivamente. Para v 2 ker e para u 2 ker (�),

(v + v)⌦ (u+ u) = v ⌦ u+ v ⌦ u+ v ⌦ u+ v ⌦ u 2 v ⌦ u+W, (6.33)

e portanto a funcao

V 0 ⇥ U 0 ! (V ⌦ U)/W

( (v),�(u)) 7! v ⌦ u modW

e uma funcao bilinear bem-definida. Isso induz uma funcao

! : V 0 ⌦ U 0 ! (V ⌦ U)/W

(v)⌦ �(u) 7! ( (v),�(u))v ⌦ u modW

As aplicacoes ⇠ � ! e ! � � sao aplicacoes identidades em seus respectivos domınios o


6.3.2 A Algebra Tensorial

Dados os covetores ↵1, . . . ,↵k 2 V ⇤ e os vetores v1

, . . . , vk 2 V , ja definimos naEq.(6.22) que

↵1 ⌦ · · ·⌦ ↵k :

k vezes

z }| {

V ⇥ V ⇥ · · ·⇥ V ! K(v

1

, . . . , vk) 7! ↵1(v1

) . . .↵k(vk). (6.34)

Aqui (↵1 ⌦ · · · ⌦ ↵k)(v1

, . . . , vk) = ↵1(v1

) . . .↵k(vk). O espaco vetorial V ⌦p

, formadopelo produto tensorial entre p copias de V e denotado por Tp(V ) := V ⌦ V ⌦ · · ·⌦ V ,

enquanto que o espaco vetorial (V ⇤)⌦q

definido pelo produto tensorial de q covetorese tambem um espaco vetorial, denotado por T q(V ) := V ⇤ ⌦ V ⇤ ⌦ · · · ⌦ V ⇤. Tambemdefinimos

v1

⌦ · · ·⌦ vk :

k vezes

z }| {

V ⇤ ⇥ · · ·⇥ V ⇤ ! K(v

1

⌦ · · ·⌦ vk)(↵1, . . . ,↵k) 7! ↵1(v

1

)↵2(v2

) . . .↵k(vk). (6.35)

Podemos considerar um caso mais geral, o de um produto tensorial de um numeroarbitrario de covetores e vetores, que sera elemento do espaco dos tensores de tipo(p, q) em V , denotado por T q

p (V ) = V ⌦p ⌦ (V ⇤)⌦q

. Um elemento arbitrario T 2 T qp (V )

pode ser escrito na forma (nas somatorias abaixo ⇢ = 1, . . . , p e � = 1, . . . , q)

T =X

⌫⇢

X

µ�

T ⌫1⌫2...⌫pµ1µ2...µq

e⌫1 ⌦ e⌫2 ⌦ · · ·⌦ e⌫p ⌦ eµ1 ⌦ eµ2 ⌦ · · ·⌦ eµq , (6.36)

onde T⌫1⌫2...⌫pµ1µ2...µq = T (eµ1 , eµ2 , . . . , eµq , e⌫1 , e⌫2 , . . . , e⌫p).

I Lema 9: Para um dado v 2 V \{0}, existe ↵ 2 V ⇤ tal que ↵(v) = 1 JDemonstracao: Como o conjunto {v} e linearmente independente, ele se estende

a uma base {vj}j2J de V . Tome v = vi0 . Defina ↵ : V ! K por ↵ (P

i aivi) = ai0 .Entao ↵(v) = ↵(vi0) = 1 o

I Teorema 53: Considere V1

, . . . , Vk K-espacos vetoriais e vj 2 Vj. Entao v1

⌦ · · ·⌦vk = 0 2 V

1

⌦ · · ·⌦ Vk se e somente vp = 0 para algum p = 1, . . . , k JDemonstracao: Se algum vp = 0, entao

v1

⌦ · · ·⌦ vp ⌦ · · ·⌦ vk = v1

⌦ · · ·⌦ 0⌦ · · ·⌦ vk = v1

⌦ · · ·⌦ 0vp ⌦ · · ·⌦ vk

= 0v1

⌦ · · ·⌦ vk = 0 2 V1

⌦ · · ·⌦ Vk (6.37)

Reciprocamente, usaremos a contraposicao. Se todo vj e diferente de zero, portantov1

⌦· · ·⌦vk 6= 0 e pelo Lema anterior, para j = 1, . . . , k existe ↵j 2 V ⇤j com ↵j(vj) = 1.

Portanto ↵1

⌦ · · ·⌦ ↵k e uma aplicacao multilinear tal que

(↵1

⌦ · · ·⌦ ↵k)(v1 ⌦ · · ·⌦ vk) = ↵1

(v1

) . . .↵k(vk) = 1 6= 0

e decorre que v1

⌦ · · ·⌦ vk 6= 0 o


Exercıcio 196: Mostre que dadas aplicacoes j 2 Hom(Vj , Uj) entre K-espacosvetoriais, para i = 1, . . . , k, as aplicacoes multilineares

1

⌦ · · ·⌦ k : V1

⌦ · · ·⌦ Vk !U1

⌦ · · ·⌦ Uk e nula se e somente se p for nula, para algum p = 1, . . . , k

Dada uma permutacao � : {1, 2, . . . , n} ! {1, 2, . . . , n}, definimos o operador ALTneste contexto denominado alternador, da seguinte maneira:

ALT(X1

⌦X2

⌦ · · ·⌦Xp) =1

p!

X

�2Sp

"(�)X�(1)⌦X�(2)⌦ · · ·⌦X�(p�1)

⌦X�(p), (6.38)

onde Sp e o grupo simetrico formado pelo conjunto de todas as permutacoes e "(�)vale +1[�1] se a permutacao � for par [ımpar]. O alternador definido dessa maneirae tambem um operador de projecao (ALT2 = ALT). Um k-covetor e um elemento k

tal que k = ALT( k).

B Exemplo 45: Assumimos que o espaco T 0

0

(V ) seja igual a K. Alem disso, T 1

0

(V ) =V ⇤, T 0

1

(V ) = V , e mais geralmente

T q0

(V ) = Hom(V, . . . , V| {z }

q vezes

;K)

T q1

(V ) = Hom(V, . . . , V| {z }

q vezes

;V )

Em particular, tensores do tipo (0,2) sao funcoes bilineares e tensores do tipo (1,1) saoaplicacoes lineares C

Obs. 29: Os tensores do tipo T q0

sao chamados covariantes e os do tipo T 0

q saochamados contravariantes

Obs. 30: Convencionamos denotar T 1

1

(V ) = T 1

1

(V )

Exercıcio 197: Qual e a dimensao do espaco tensorial T qp (V )?

Exercıcio 198: Mostre que T 2

2

(V ) ' End(V ⌦ V )

Exercıcio 199: Mais geralmente, mostre que Tp(V )⌦T p(V ) ' End(V ⇥ · · ·⇥ V| {z }

p vezes

)

A multiplicacao de tensores determina uma operacao bilinear

⌦ : T qp (V )⇥ T s

r (V ) ! T q+sp+r (V )

tal que

(v1

⌦· · ·⌦vp⌦↵1

⌦· · ·⌦↵q)⌦(vp+1

⌦· · ·⌦vp+r⌦↵q+1

⌦· · ·⌦↵q+s) = v1

⌦· · ·⌦vp+r⌦↵1

⌦· · ·⌦↵q+s

Exercıcio 200: Defina um isomorfismo entre T 1

1

(V )⇥ T 1

1

(V ) ! T 2

2

(V )


Exercıcio 201: Mostre que Tp(V ) ' T p(V ⇤) e que T p(V ) ' Tp(V ⇤)

Exercıcio 202: Considere a aplicacao

�V : V ⌦ V ⇤ ! End(V )

v ⌦ ↵ 7! �V (v ⌦ ↵) : V ! V

u 7! �V (v ⌦ ↵)(u) := v↵(u), 8u, v 2 V.

1. Mostre que qualquer transformacao linear T 2 End(V ) pode ser escrita na formaT = �V (

P

i,j Tijei ⌦ ej), dada uma base arbitraria {ei} de V e sua base dual

{ei} ⇢ V ⇤. Os escalares T ij sao dados por T (ei) = T i

jej .

2. Mostre que ker �V = {0}, de modo que junto com o resultado do item (a)podemos concluir que �V e um isomorfismo entre V ⌦ V ⇤ e End(V )

3. Mostre que �V (ei ⌦ ei) = idV

4. Considere as aplicacoes

V : V ⇤ ⌦ V ! R↵⌦ v 7! V (↵⌦ v) := ↵(v)

cV,V ⇤ : V ⌦ V ⇤ ! V ⇤ ⌦ V

v ⌦ ↵ 7! cV,V ⇤(v ⌦ ↵) := ↵⌦ v

para quaisquer v 2 V e ↵ 2 V ⇤. Mostre que a funcao traco pode ser definidaatraves da seguinte composicao de aplicacoes: Tr = V � cV,V ⇤ � ��1

V .

B Exemplo 46: Seja {ei} (i = 1, 2, 3) a base canonica de V = R3 {ei} a sua base dual.Defina uma correlacao ⌧ : V ! V ⇤ como ⌧(e

1

) = 4e1+ e2, ⌧(e2

) = e1+3e2, ⌧(e3

) = e3.Portanto dados u =

P

3

i=1

uiei 2 V e v =P

3

j=1

vjej 2 V , ja vimos que g(u, v) =⌧(u)(v), e temos que

g(u, v) = ⌧(u1e1

+ u2e2

+ u3e3

)(v) = u1(4e1 + e2)(v) + u2(e1 + 3e2)(v) + u3e3(v)

= 4u1v1 + u1v2 + u2v1 + 3u2v2 + u3v3

= 4(e1 ⌦ e1)(u, v) + (e1 ⌦ e2)(u, v) + (e2 ⌦ e1)(u, v)

+3(e2 ⌦ e2)(u, v) + (e3 ⌦ e3)(u, v)

e portanto

g = 4e1 ⌦ e1 + e1 ⌦ e2 + e2 ⌦ e1 + 3e2 ⌦ e2 + e3 ⌦ e3 2 V ⇤ ⌦ V ⇤ (6.39)

C


Mais geralmente, uma forma bilinear g : V ⇥ V ! K com valores em K pode serescrita como

g =nX

i,j=1

gijei ⌦ ej 2 T 2(V )

Exercıcio 203: Mostre que se g : V ⇥ V ! K for simetrica, entao gij = gji,

enquanto que se g : V ⇥ V ! K for alternada, entao gij = �gji

Exercıcio 204: Mostre que o produto vetorial e uma aplicacao bilinear alternadaem R3.

Outra operacao importante sobre os tensores e denominada contracao, uma aplicacaolinear

T qp (V ) ! T q�1

p�1

(V ), p, q > 0

definida ao se considerar a aplicacao

(v1

, . . . , vp,↵1

, . . . ,↵q) 7! ↵1

(v1

)(v2

⌦ · · ·⌦ vp ⌦ ↵2

⌦ · · ·⌦ ↵q)

que e claramente multilinear, e portanto existe uma aplicacao linear T qp (V ) ! T q�1

p�1

(V )tal que

(v1

⌦ v2

⌦ · · ·⌦ vp ⌦ ↵1

⌦ ↵2

⌦ · · ·⌦ ↵q) 7! ↵1

(v1

)(v2

⌦ · · ·⌦ vp ⌦ ↵2

⌦ · · ·⌦ ↵q)

B Exemplo 47: Dado V = R3, considere o tensor A = e1

⌦e1⌦e2 2 T 2

1

(V ). Portantoa contracao de A e dada por e1(e

1

)e2

= e2

2 T 0

1

(V ) C

Ò Definicao 19: Seja G um grupo abeliano. Um espaco vetorial V e dito sergraduado por um grupo abeliano G se V for expresso como uma soma direta V = �iVi

de subespacos, indexada por elementos i 2 G. Aqui consideraremos apenas os casosquando G e dado por Z ou Z

2

. Os elementos de Vi sao chamados homogeneos de graui, e definimos grau (v) = i, se v 2 Vi.Dizemos que uma algebra A e G-graduada se seu espaco vetorial subjacente V for

G-graduado, ou seja, se existem subespacos Ak (k 2 G) tais que A = �kAk e se dadosxk 2 Ak, yl 2 Al temos xkyl 2 Ak+l. Os elementos de Ak sao ditos homogeneos degrau k. O numero k e denominado grau de xk 2 Ak e sera denotado por deg(xk) ou|xk|. 3

Como G e abeliano temos deg(xkyl) = deg(xk) + deg(yl). Para os escalares a 2 Ktemos deg(a) = 0.

Exercıcio 205: Mostre que o anel dos polinomios e Z2

-graduado

A soma direta de todos os espacos vetoriais T qp (V ) munida da operacao de soma e

produto tensorial chama-se algebra tensorial do espaco vetorial V . A algebra tensorial


e uma algebra graduada. No caso geral a graduacao e dada por G = Z ⇥ Z. De fato,a algebra tensorial dos tensores contravariantes

T (V ) =1M

p=0

Tp(V ) (6.40)

e Z-graduada, ja queTp(V )⌦ Tq(V ) ⇢ Tp+q(V ),

enquanto que a algebra tensorial dos tensores covariantes

T ⇤(V ) =1M

p=0

T p(V ) (6.41)

e tambem Z-graduada, pois

T p(V )⌦ T q(V ) ⇢ T p+q(V )

Em particular,

Exercıcio 206: Mostre que T ⇤(V ) e a algebra das funcoes multilineares em V

Automorfismos da Algebra Tensorial

Considerando qualquer uma das algebras T (V ) ou T ⇤(V ), o fato de cada uma delasser uma algebra Z-graduada permite definir uma aplicacao denominada involucao gra-duada. Tomemos sem perda de generalidade a algebra T ⇤(V ). A involucao graduadae definida como sendo a aplicacao

cAp = (�1)|Ap|Ap = (�1)pAp, (6.42)

onde Ap 2 T p(V ) ⇢ T ⇤(V ) e um tensor covariante de ordem p.

B Exemplo 48: Podemos mostrar que a involucao graduada e um automorfismo. Defato,

\(Ap ⌦Bq) = (�1)|Ap⌦Bq|(Ap ⌦Bq)

= (�1)|Ap|+|Bq|(Ap ⌦Bq) = (�1)|A

p|Ap ⌦ (�1)|Bq|Bq

= (cAp)⌦ (cBq) (6.43)

CExercıcio 207: Qual e a ordem de tal automorfismo?

Obs. 31: Denotaremos opcionalmente bA por #A, onde A 2 T (V ) ou A 2 T ⇤(V )


Dizemos que um elemento Ap 2 T p(V ) e par ou ımpar conforme (�1)p seja par ouımpar. Podemos entao definir os operadores

⇧± : T (V ) ! T (V )

A 7! 1

2(1±#)A (6.44)

Exercıcio 208: Mostre que ⇧± sao projecoes

O subespaco T ⇤+

(V ) = ⇧+

(T ⇤(V )) consiste dos elementos pares de T ⇤(V ), enquantoque o subespaco T ⇤

�(V ) = ⇧�(T ⇤(V )) consiste dos elementos ımpares, e podemosescrever

T ⇤(V ) = T ⇤+

(V )� T ⇤�(V )

Exercıcio 209: Mostre tal afirmacao (Dica: mostre que ⇧+

+ ⇧� = 1 e que

⇧±⇧⌥ = 0)

e temos

T ⇤+

(V )⌦ T ⇤+

(V ) ⇢ T ⇤+

(V ), T ⇤+

(V )⌦ T ⇤�(V ) ⇢ T ⇤

�(V )

T ⇤�(V )⌦ T ⇤

+

(V ) ⇢ T ⇤�(V ), T ⇤

�(V )⌦ T ⇤�(V ) ⇢ T ⇤

+

Exercıcio 210: T ⇤+

(V ) e T ⇤�(V ) sao subalgebras de T ⇤(V )?

Alem da Z-graduacao inerente a algebra dos tensores covariantes (ou contravarian-tes), a involucao graduada ainda mune tais algebras com uma Z

2

-graduacao.A algebra tensorial e isomorfa a sua algebra oposta, a partir de um (anti-)automorfismo

chamado reversao. Essa aplicacao e definida por

^(Ap ⌦Bq) = fBq ⌦ fAp

onde Ap 2 T p(V ), Bq 2 T q(V ), com a = a se a 2 K e ↵ = ↵ se ↵ 2 V ⇤ = T 1(V ).A partir dessas definicoes podemos ver que

( ^↵1

⌦ ↵2

⌦ · · ·⌦ ↵p) = ↵p ⌦ ↵p�1

⌦ · · ·⌦ ↵2

⌦ ↵1

o que justifica a denominacao reversao.A composicao da involucao graduada e da reversao e denominada conjugacao e e

denotada por

Ap =f

cAp

Exercıcio 211: Calcule a involucao graduada, a reversao e a conjugacao dosseguintes elementos: a) ↵

1

⌦↵2

⌦↵3

2 T 3(V ), onde ↵1

,↵2

,↵3

2 V ⇤; b) ↵1

⌦↵2

�↵3

⌦↵2

2 T 2(V ), onde ↵1

,↵2

,↵3

2 V ⇤


6.4 Algebra exterior

6.4.1 O produto exterior

Ò Definicao 20: A p-esima potencia exterior de V e um espaco vetorial ⇤p(V )juntamente com uma aplicacao p-linear

V ⇤ ⇥ · · ·⇥ V ⇤| {z }

p vezes

7! ⇤p(V )

(↵1

, . . . ,↵p) 7! ↵1

^ · · · ^ ↵p

de tal maneira que os covetores ei1 ^ · · · ^ eip formam uma base de ⇤p(V ) 3

Uma vez definida a algebra exterior, iremos ver sua interrelacao com os tensoresanti-simetricos, bem como outros diversos aspectos formais e computacionais.Sejam p um p-vetor e �q um q-vetor. Como essas quantidades sao tensores covari-

antes alternados, e natural tomarmos o produto tensorial destas quantidades, ou seja, p ^ �q. O resultado deste produto tensorial, embora seja um tensor covariante deordem p + q, nao e alternado. Entretanto, a quantidade ALT ( p ⌦ �q) e um tensorcovariante alternado de ordem p+ q, ou seja, e um (p+ q)-vetor.

Ò Definicao 21: Sejam p 2 ⇤p(V ) um p-vetor e �q 2 ⇤q(V ) um q-vetor. O produtoexterior ^ : ⇤p(V )⇥ ⇤q(V ) ! ⇤p+q(V ) e definido como p ^ �q = ALT( p ⌦ �q) 3

O produto exterior e associativo, propriedade esta que e herdada do fato que oproduto tensorial e associativo. Obviamente o produto exterior tambem e bilinear. Sea 2 K e um escalar, temos a ^ p = a p.Dados ↵,� 2 V ⇤ e u, v 2 V , definimos1 o produto exterior entre dois covetores ↵^�

— agindo em u, v 2 V como

(↵ ^ �)(v, u) = ALT (↵⌦ �) =1

2

�

�

�

�

↵(v) ↵(u)�(v) �(u)

�

�

�

�

Desenvolvendo o determinante, obtemos

(↵ ^ �)(v, u) = 1

2(↵(v)�(u)� ↵(u)�(v)) =

1

2[(↵⌦ �)(v, u)� (� ⌦ ↵)(v, u)].

Como essa expressao e valida para qualquer u, v 2 V , concluımos que

↵ ^ � =1

2(↵⌦ � � � ⌦ ↵) = �� ^ ↵

Tal produto e bilinear e distributivo em relacao a adicao. Tambem notamos que ↵ ^↵ = 0. O conjunto desses funcionais bilineares alternados e um subespaco de T 2(V ),

1Alguns autores nao usam o fator 1/2!. Preferimos usar essa definicao pois assim ↵^� = ALT(↵⌦�)e o operador ALT depende do fator p! para ser um operador de projecao.

6.4. ALGEBRA EXTERIOR — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 129

denotado por ⇤2(V ). E comum denotarmos ⇤0(V ) = R e ⇤1(V ) = V ⇤. Um 2-covetore dito simples, ou fatorizavel, se ele puder ser escrito na forma ↵

1

^ ↵2

, onde ↵1

e ↵2

sao covetores.Uma generalizacao natural da definicao dada acima e feita para um elemento de

⇤k(V ):

(↵1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵k)(v1, v2, . . . , vk) =1

p!

�

�

�

�

�

�

�

�

�

↵1

(v1

) ↵1

(v2

) · · · ↵1

(vk)↵2

(v1

) ↵2

(v2

) · · · ↵2

(vk)...

......

...↵k(v1) ↵k(v2) · · · ↵k(vk)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

O conjunto dos funcionais k-lineares alternados formam um espaco vetorial ⇤k(V )e seus elementos serao ditos k-covetores. Definimos produtos de p-covetores simplescomo

(↵1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵m) ^ (�1

^ �2

^ · · · ^ �l) = ↵1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵m ^ �1

^ �2

^ · · · ^ �l.

Note que se k 2 ⇤k(V ) e �m 2 ⇤m(V ), entao k ^ �m = (�1)mk�m ^ k.

Exercıcio 212: Prove isso!

Algebras graduadas que possuem tal propriedade sao denominadas superalgebras.Uma base para o espaco ⇤p(V ) pode ser obtida a partir de uma base {e

1

, . . . , en} deV . Primeiramente consideraremos o espaco ⇤2(V ) e os produtos exteriores da formaei ^ ej . Devido a anti-comutatividade do produto exterior de covetores, os unicos2-covetores linearmente independentes dessa forma sao

e1 ^ e2, e1 ^ e3, e1 ^ e4, . . . , e1 ^ en,

e2 ^ e3, e2 ^ e4, . . . , e2 ^ en,...

en�1 ^ en

o que corresponde a (n� 1) + (n� 2) + · · ·+ 1 = n(n� 1)/2 elementos, exatamente adim ⇤2(V ). Este conjunto de 2-covetores forma uma base para ⇤2(V ) e portanto um2-covetor arbitrario A 2 ⇤2(V ) pode ser escrito na forma

A =1

2

nX

i,j=1

Aijei ^ ej =

X

i<j

Aijei ^ ej

Na primeira expressao acima ha um fator 1/2, ausente na segunda expressao, pois nasoma consideramos todos os valores dos ındices i, j = 1, 2, . . . , n e como Aij = �Aji

e ei ^ ej = �ej ^ ei, estamos com isso contando duas vezes um mesmo termo, daı adivisao por dois. Considerando na segunda soma ındices tais que i < j, nesse casonenhum termo e contado duas vezes.


Generalizando esse resultado para k-covetores, uma base para o espaco ⇤k(V ) e daforma eµ1 ^ eµ2 ^ · · · ^ eµk e o numero de elementos distintos consiste na combinacaode n elementos tomados k a k, que e dada por

�

nk

�

. Dado a 2 ⇤k(V ), tal elementopode ser escrito como

k =X

µ1<µ2<···<µk

aµ1µ2...µkeµ1 ^ eµ2 ^ · · · ^ eµk , aµ1µ2...µk 2 K. (6.45)

A dimensao de ⇤k(V ) e dada por

dim ⇤k(V ) =

✓

n

k

◆

=n!

(n� k)!k!=

✓

n

n� k

◆

(6.46)

Portanto

dim ⇤k(V ) = dim ⇤n�k(V ) (6.47)

I Lema 10: O produto exterior de m covetores se anula sempre que m > n, onden = dim V J

Prova: De fato, considere o produto ↵1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵n+1

. Se dim V ⇤ = n, temosno maximo n covetores {↵i} linearmente independentes. Sem perda de generalidade,escolha a combinacao linear ↵n+1

=Pn

i=1

ai↵i. Portanto

↵1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵n+1

= ↵1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵n ^ (a1↵1

+ · · ·+ an↵n)

= (�1)n�1a1↵1

^ ↵1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵n + · · ·++an↵

1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵n�1

^ ↵n ^ ↵n

= 0, (6.48)

ja que ↵i ^ ↵i = 0, 8↵i 2 ⇤1(V ).Isso mostra que o espaco ⇤k(V ) e identicamente nulo, se k > n. Em particular, dim

⇤n(V ) =�

nn

�

= 1 e os elementos de ⇤n(V ) sao denominados pseudoescalares, enquantoque os k-covetores tambem recebe o nome de k-formas.

I Proposicao 12: Seja u 2 V um vetor nao-nulo. Entao u ^ v = 0 se e somente sev = au, para algum escalar a 2 K J

Prova: Se v = au, entao u^ v = u^ (au) = a(u^ u) = 0. Reciprocamente, se v 6= au,entao u e v sao L.I., e podem ser estendidos a uma base, e portanto u ^ v e um vetorda base de ⇤2(V ), e portanto um elemento nao-nulo.

I Proposicao 13: Seja ^ : V ⇥ · · · ⇥ V ! ⇤k(V ) um produto exterior. Paratoda aplicacao k-linear alternada � : V ⇥ · · · ⇥ V ! U , existe uma unica aplicacao� : ⇤k(V ) ! U tal que � � ^ = �, ou seja, �(v

1

, . . . , vk) = �(v1

^ · · · ^ vk), para todov1

, . . . , vk 2 V . Toda funcao k-linear alternada �(v1

, . . . , vk) = �(v1

^ · · ·^vk) e funcaolinear do seu produto exterior. J


Demonstracao: Dada uma base ordenada {ei} em V , considere � : V ⇥· · ·⇥V ! Uuma funcao k-linear alternada, e defina uma aplicacao linear � : ⇤k(V ) ! U tal que�(eJ) = �(ej1 , . . . , ejk), J = {j

1

< · · · < jr} onde eJ = ej1 ^ · · · ^ ejk . Como �

e alternada, � � ^ coincide com � em todas as sequencias (ej1 , . . . , ejk). Portanto

� � ^ = �. A unicidade segue de que os valores de � sao dados pelos k-vetores quegeral ⇤k(V ). o

Ao efetuarmos a multiplicacao exterior entre 1-formas, obtemos 2-formas, 3-formas,. . . , k-formas (1 k n), dependendo do numero de vezes que efetuamos o produtoexterior (o mesmo vale para os vetores). Cada k-forma pertence a uma algebra ⇤k(V ).Alem disso essa algebra nao e fechada em relacao ao produto exterior, pois se k 2⇤k(V ) e m 2 ⇤m(V ) entao vemos que k ^ m 2 ⇤m+k(V ). Para contornarmos essasituacao nao desejada, definimos

⇤(V ) = ⇤0(V )� ⇤1(V )� ⇤2(V )� · · ·� ⇤n(V ) =nM

k=0

⇤k(V )

I Teorema 54: Seja 0 6= 2 ⇤2(V ). Entao e fatorizavel se e somente se ^ = 0 2 ⇤4(V ) J

Demonstracao: Se = u^v, u, v 2 V , entao ^ = u^v^u^v = 0. A recıprocasera provada por inducao na dimensao de V . Se dim V = 0 ou 1, entao ⇤2(V ) = 0, eportanto o primeiro caso e quando dim V = 2. Nesse caso dim ⇤2(V ) = 1 e v

1

^ v2

eum elemento nao nulo se {v

1

, v2

} for base de V , sendo fatorizavel.

Se alem disso um k-covetor k puder ser expresso como o produto exterior de kelementos de V ⇤, entao k e dito ser fatorizavel. Embora multicovetores fatorizaveisgeram ⇤k(V ), nem todo elemento de ⇤k(V ) e fatorizavel. Por exemplo, em R4 o2-covetor � = e

1

^ e2

+ e3

^ e4

e uma forma simpletica, ja que � ^ � 6= O.

O caso em que dim V = 3 consideramos separadamente agora. Dado 0 6= 2 ⇤2(V ),defina uma aplicacao A : V ! ⇤3(V ) por A(v) = ^ v. Como dim ⇤3(V ) = 1, entaodim ker A � 2, e sejam u

1

e u2

vetores L.I. em ker A. Estenda a uma base {u1

, u2

, u3

}de V , e podemos escrever

= au1

^ u2

+ bu1

^ u3

+ cu2

^ u3

Por definicao A(u1

) = 0, e portanto 0 = ^ u1

= cu1

^ u2

^ u3

, implicando em c = 0.Da mesma maneira A(u

2

) = 0, e portanto 0 = ^ u2

= �bu1

^ u2

^ u3

, o que significaque b = 0. Segue-se que

= au1

^ u2

,

que e fatorizavel. Assuma agora por inducao que a afirmacao e verdadeira para dim


V n� 1 e considere o caso onde dim V = n. Usando a base v1

, . . . , vn, escreva

=nX

1i<j

aijvi ^ vj

=

n�1

X

i=1

ainvi

!

^ vn +n�1

X

1i<j

aijvi ^ vj

= u ^ vn + 0

onde U = hv1

, . . . , vn�1

i, u 2 U e 0 2 ⇤2(V ).Agora,

0 = ^ = (u ^ vn + 0) ^ (u ^ vn + 0) = 2u ^ 0 ^ vn + 0 ^ 0

mas vn nao aparece nem na expansao de u ^ 0 nem na de 0 ^ 0, e separadamenteobtemos u ^ 0 = 0 = 0 ^ 0. Por inducao, 0 = 0 ^ 0 implica em 0 = u

1

^ u2

, eu ^ u

1

^ u2

0 = 0. Portanto existem µ,�1

,�2

2 K tais que µu+ �2

u2

+ �1

u1

= 0. Seµ = 0, entao u

1

e u2

sao L.D., e portanto 0 = u1

^u2

= 0, significando que = u^vne, portanto, e fatorizavel. Se µ 6= 0, entao u = (�

2

/µ)u2

+ (�1

/µ)u1

, e

= �1

u1

^ vn + �2

u2

^ vn + u1

^ u2

,

sendo esse o caso 3-dimensional, o qual provamos que sempre e fatorizavel o

Exercıcio 213: Considere {v1

, v2

, v3

, v4

} um conjunto L.I. de um K-espaco veto-rial V . Calcule ^ � nos seguintes casos:

1. = � = v1

^ v2

+ v2

^ v3

+ v3

^ v1

2. = v1

^ v2

+ v3

^ v1

, � = v2

^ v3

^ v4

Exercıcio 214: Prove que e1 ^ e2 + e3 ^ e4 2 ⇤2(R4) nao e fatorizavel.

B Exemplo 49: Um exemplo interessante de aplicacao da algebra exterior esta nasolucao de um sistema de equacoes lineares. Vamos considerar por simplicidade umsistema de 3 equacoes lineares e 3 incognitas (a generalizacao para um sistema de nequacoes e n incognitas e trivial):

a11

x1

+ a12

x2

+ a13

x3

= y1

a21

x1

+ a22

x2

+ a23

x3

= y2

a31

x1

+ a32

x2

+ a33

x3

= y3

que pode ainda ser escrito na forma0

@

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

1

A

0

@

x1

x2

x3

1

A =

0

@

y1

y2

y3

1

A (6.49)


Agora vamos tomar uma base {e1

, e2

, e3

} de R3 e definir os seguintes vetores:

v1

= a11

e1

+ a21

e2

+ a31

e3

v2

= a12

e1

+ a22

e2

+ a32

e3

v3

= a13

e1

+ a23

e2

+ a33

e3

w = y1

e1

+ y2

e2

+ y3

e3

(6.50)

Podemos entao escrever o sistema de equacoes lineares na forma x1

v1

+x2

v2

+x3

v3

= w.Vamos agora multiplicar exteriormente a esquerda essa equacao vetorial pelo 2-vetorv1

^ v2

. Uma vez que v1

^ v2

^ v1

= v1

^ v2

^ v2

= 0 segue que

x3

v1

^ v2

^ v3

= v1

^ v2

^ w.

Vamos agora calcular os produtos exteriores acima. Primeiro temos

v1

^ v2

= (a11

a22

� a21

a12

)e1

^ e2

+(a11

a32

� a31

a12

)e1

^ e3

+(a21

a32

� a31

a22

)e2

^ e3

.

O produto exterior deste 2-vetor por v3

fornece

v1

^ v2

^ v3

= [a33

(a11

a22

� a21

a12

)� a23

(a11

a32

� a31

a12

)

+a13

(a21

a32

� a31

a22

)]e1

^ e2

^ e3

]

que podemos escrever utilizando a funcao determinante como

v1

^ v2

^ v3

= det

0

@

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

1

A e1

^ e2

^ e3

Por outro lado, o produto exterior v1

^ v2

^ w resulta em

v1

^ v2

^ w = [y3

(a11

a22

� a21

a12

)� y2

(a11

a32

� a31

a12

)

+ y1

(a21

a32

� a31

a22

)] e1

^ e2

^ e3

que pode ser escrito na forma

v1

^ v2

^ w = det

0

@

a11

a12

y1

a21

a22

y2

a31

a32

y3

1

A e1

^ e2

^ e3

(6.51)

Portanto a equacao vetorial x3

v1

^v2

^v3

= v1

^v2

^w tem solucao se v1

^v2

^v3

6= 0,o que equivale a

det

0

@

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

1

A 6= 0 (6.52)


e nesse caso v3

e dado por

x3

=

det

0

@

a11

a12

y1

a21

a22

y2

a31

a32

y3

1

A

det

0

@

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

1

A

(6.53)

Repetindo o mesmo raciocınio, utilizando ao inves do 2-vetor v1

^v2

agora os 2-vetoresv1

^ v3

e v2

^ v3

, encontramos que

x2

=

det

0

@

a11

y1

a13

a21

y2

a23

a31

y3

a33

1

A

det

0

@

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

1

A

, x1

=

det

0

@

y1

a12

a13

y2

a22

a23

y3

a32

a33

1

A

det

0

@

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

1

A

(6.54)

As expressoes finais para x1

, x2

e x3

sao bem conhecidas de todos e atendem pelonome de regra de Cramer. Evidentemente nao ha nada dentro do exposto acima quelimite este metodo a dimensao 3, de modo que a generalizacao do resultado acimapara dimensoes maiores, correspondendo a sistemas de equacoes lineares de ordenssuperiores, pode ser facilmente efetuada. CDada uma base {ei} de vetores unitarios de V e a correspondente base dual {ei},

ao considerarmos uma variedade M e {xi} coordenadas locais definidas em um aberto

U ✓ M podemos escrever ei = dxi e ei =@

@xi temos dxi( @@xj ) =

@xi

@xj = �ji , podemosescrever uma multiforma diferencial 2 ⇤(V ) como — aqui usamos a convencao dasomatoria de Einstein:

= a+aidxi+aijdx

i^dxj+aijkdxi^dxj ^dxk+ · · ·+p dx1^dx2^ · · ·^dxn. (6.55)

onde a, ai, aij , . . . , p 2 K

Ò Definicao 22: O par (⇤(V ),^) e denominado algebra exterior do espaco vetorialV . De maneira analoga pode ser definida a algebra exterior ⇤(V ⇤), onde passamos aconsiderar o produto exterior de vetores 3

Uma base para o espaco ⇤k(V ) e da forma {eµ1 ^ eµ2 ^ · · · ^ eµk} e o numero deelementos distintos de ⇤k(V ) consiste na combinacao de n elementos tomados k a k,que e dada por

�

nk

�

. Um elemento k 2 ⇤k(V ) pode ser escrito como

Exercıcio 215: Dada uma base {ei} de V — um K-espaco vetorial n-dimensional

— expresse en ^ en�1

^ · · · ^ e2

^ e1

em termos de e1

^ e2

^ · · · ^ en�1

^ en


Exercıcio 216: Em um espaco vetorial V = R3, dados A,B,C 2 ⇤(V ), ondeA = 3 + 3e1 + e2 ^ e3, B = �e2 + 4e1 ^ e2 ^ e3 e C = 1 + e3 + e1 ^ e3 calcule

1) A ^ A, B ^ B, C ^ C, B ^ A, A ^ B, C ^ A, A ^ C, B ^ C, C ^ B, A ^ B ^ C,A ^ C ^ C

2) hA ^Bi0

; hA ^Bi1

; hA ^Bi2

; hA ^Bi3

3) hA ^ Ci0

; hA ^ Ci1

; hA ^ Ci2

; hA ^ Ci3

4) hB ^ Ci0

; hB ^ Ci1

; hB ^ Ci2

; hB ^ Ci3

Exercıcio 217: Considere {u1, u2, . . . , u2r�1, u2r} vetores duais L.I. em um K-espaco vetorial V . Seja v = u1 ^ u2 + u3 ^ u4 + u5 ^ u6 + · · · + u2r�1 ^ u2r, mostreque

v ^ v ^ · · · ^ v| {z }

r vezes

= r! (u1 ^ u2 ^ · · · ^ u2r�1 ^ u2r)

Exercıcio 218: Sejam B = {ei} e B0 = {e0i} duas bases de V relacionadasatraves de ei = Bj

i ej e B = {Bij} a matriz de mudanca de base onde Bi

j correspondeao elemento da j-esima linha e i-esima coluna (i, j = 1, . . . , n). Esta mudanca de baseinduz obviamente uma mudanca de base nos espacos dos k-vetores. (a) Mostre que

e0i ^ e0j =X

k<l

(det�klij )ek ^ el,

onde �klij denota a matriz de ordem 2 obtida a partir da matriz B da seguinte forma:

a primeira linha de �klij e dada pela i-esima linha de B e a segunda linha de �kl

ij pela

j-esima linha de B; a primeira coluna de �klij e dada pela k-esima coluna de B e a

segunda coluna de �klij pela l-esima coluna de B. Na expressao acima

P

j<l denota asoma sobre todos os valores de j e l tais que j < l. (b) Generalize o resultado anteriormostrando que no espaco dos k-vetores (k < n) tem-se

e0µ1^ · · · ^ e0µk

=X

⌫1<···<⌫k

(det�⌫1···⌫kµ1···µk

)e⌫1 ^ · · · ^ e⌫k ,

onde �⌫1···⌫kµ1···µk

denota a matriz de ordem k obtida a partir da matriz B tomando ai-esima linha de �⌫1···⌫k

µ1···µkcomo sendo a µi-esima linha de B e a j-esima coluna de

�⌫1···⌫kµ1···µk

como sendo a ⌫j-esima coluna de B. (c) Como consequencia destes resultadosmostre que para os pseudo-escalares temos

e01

^ · · · ^ e0n = (detB)e1

^ · · · ^ en.


Exercıcio 219: Partindo dessa ultima expressao (que podemos tomar como de-finicao do determinante de uma transformacao linear) deduza a regra do desenvolvi-

mento de Laplace para o calculo de determinantes.

Exercıcio 220: Seja V um espaco vetorial (dimV = n) e W o subespaco k-dimensional gerado por {v

1

, . . . ,vk}. O k-vetor IW = v1

^· · ·^vk define completamenteeste subespaco e um vetor v esta em W se e so se v^ IW = 0 (veja o exemplo 2.2). SeB = {ei} (i = 1, . . . , n) e uma base de V , as componentes do k-vetor IW com relacaoa base {eµ1 ^ · · ·^ eµk |µ1

< · · · < µk} deV

k(V ) sao chamadas coordenadas de Pluckerdo subespaco W na base B, ou seja, as coordenadas de Plucker V µ1···µk sao dadas por

IW = v1

^ · · · ^ vk = V µ1···µkeµ1 ^ · · · ^ eµk .

(a) Mostre que em geral as coordenadas de Plucker nao sao todas independentes massatisfazem um conjunto de identidades chamadas correlacoes de Plucker dadas por

V [µ1···µkV ⌫1]⌫2···⌫k = 0,

onde os colchetes indicam antissimetrizacao dos ındices, ou seja,

V [µ1···µkV ⌫1]⌫2···⌫k

= V µ1···µkV ⌫1⌫2···⌫k � V µ1···µk�1⌫1V µk⌫2···⌫k

+ V µ1···µk�2⌫1V µk�1⌫2···⌫k +�V µ1···µk�3µk�1⌫1V µk�2⌫2···⌫k · · ·+ (�1)k�1V µ1µ3···µk�1⌫1V µ2⌫2···⌫k + (�1)kV µ2µ3···µk�1⌫1V µ1⌫2···⌫k .

(b) Nem todas as correlacoes de Plucker sao nao-triviais. Muitas decorrem, por exem-plo, da anti-comutatividade das componentes V µ1···µk = V [µ1···µk] do k-vetor IW . Mos-tre que para k = n e k = n�1 todas as correlacoes de Plucker sao triviais. (c) Considereo caso em que n = 4 e k = 2. Mostre que nesse caso existe apenas uma correlacao dePlucker nao-trivial.

Finalmente, dim ⇤(V ) =Pn

k=0

�

nk

�

= 2n.

Exercıcio 221: Mostre que todo p-covetor em um espaco V tal que dim V 3 esimples

Exercıcio 222: Para dim V � 4 nem todo p-vetor e simples. Por exemplo,seja V um espaco vetorial de dimensao 4 e {e

1

, e2

, e3

, e4

} uma base de V . Seja =e1

^ e2

+ e3

^ e4

. Mostre que nao existe nenhuma combinacao linear dos vetores {ei}(i = 1, 2, 3, 4) que permita escrever na forma = v1 ^ v2

A seguir daremos uma definicao equivalente de algebra exterior.

Ò Definicao 23: Uma aplicacao � : V ⇥ · · ·⇥ V| {z }

p vezes

! U e dito anti-simetrico se

�(vi1 , . . . , vip) = sign(i1

, . . . , ip)�(v1, . . . , vp)

para qualquer permutacao dos ındices (i1

, . . . , ip) 2 Nn. O termo sign(i1

, . . . , ip) denotao sinal de tal permutacao. Quando U = K, a aplicacao � e dito ser uma aplicacaomultilinear anti-simetrica. 3


Exercıcio 223: Existem A,B 2 ⇤(V ), ambos nao-nulos tais que A ^B = 0?

Obs. 32: O espaco ⇤p(V ) pode ser identificado com o subespaco dos tensoresanti-simetricos em T p(V )

Exercıcio 224: Mostre que dadas duas aplicacoesA,B 2 End(V ), entao det(AB) =

(detA)(detB), det(A�1) = (detA)�1.

Obs. 33: A complexificacao de espacos vetoriais tambem comuta com o produtotensorial, e em particular com o produto exterior. Por exemplo, se V e W sao espacosvetoriais reais, existe um isomorfismo natural

(V ⌦R W )C ' V C ⌦C WC.

Observe que o produto tensorial do lado esquerdo da expressao acima e tomado sobreos reais enquanto que o lado direito e tomado sobre os complexos. Tambem,

(⇤kR(V ))C ' ⇤k

C(VC).

Em todos esses casos os isomorfismos sao canonicos.

6.4.2 Operacoes dentro da algebra exterior

Como a algebra exterior e formada pela parte alternada da algebra tensorial, os (anti-)automorfismos definidos para a algebra tensorial induzem os mesmos automorfismosdefinidos para a algebra exterior, que explicitaremos a seguir, devido a sua tamanhaimportancia.

A projecao

h ik : ⇤(V ) ! ⇤k(V ) (6.56)

e definida de modo que h ik denota a parte k-covetorial de 2 ⇤(V ).

A reversao e definida como (↵1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵k)⇠ = ↵k ^ ↵k�1

^ · · · ^ ↵2

^ ↵1

=(�1)k(k�1)/2↵

1

^ ↵2

^ · · · ^ ↵k.

Ja a acao da involucao graduada em 2 ⇤(V ) e denotada como no caso da algebra

tensorial por c k = #( k) = (�1)k k. Este automorfismo e usado para definirmosuma Z

2

-graduacao em ⇤(V ). Os Z2

-subespacos homogeneos consistem na soma detodos os Z-subespacos de grau par e ımpar, onde o grau do subespaco se refere aoautovalor ±1 do operador #, ja que os Z-subespacos homogeneos sao autoespacos dooperador #.

A conjugacao e analogamente definida como sendo a composicao da reversao com a

involucao graduada, e e denotada por = (e ) = b .


6.5 Algebra Exterior como Quociente da AlgebraTensorial

Num conjunto X, dados dois elementos a, b 2 X, dizemos que a e equivalente a b (edenota-se por a ⇠ b) se (i) a ⇠ a, (ii) se a ⇠ b entao b ⇠ a, e (iii) se a ⇠ b e b ⇠ c entaoa ⇠ c, 8a, b, c 2 X. O conjunto de todos os elementos equivalentes a um elemento aconstituem a classe de equivalencia de a, denotada por [a] = {b 2 X | b ⇠ a}. Oconjunto dessas classes de equivalencia e denotado por X = X/ ⇠= {[a] | a 2 X}.Seja A uma algebra sobre um corpo K. Um conjunto IL ⇢ A e um ideal a esquerda

de A se 8a 2 A e 8x 2 IL temos ax 2 IL. Analogamente, IR ⇢ A e um ideal a direitade A se 8a 2 A e 8x 2 IR temos xa 2 IR. O conjunto I ⇢ A e dito um ideal bilateral(ou simplesmente ideal) de A se 8a, b 2 A e 8x 2 I temos axb 2 I.Suponha que A = B+ C, onde necessariamente, B e C nao sao subalgebras e a soma

tambem nao precisa ser soma direta. Definimos a seguinte relacao de equivalencia emA

a ⇠ b () a = b+ x, x 2 C.

O conjunto A/ ⇠ tem uma estrutura natural de espaco vetorial com as definicoes

[a] + [b] = [a+ b] , � [a] = [�a]

para � 2 K corpo.

Exercıcio 225: Prove tal afirmacao.

Para que as classes de equivalencia sejam uma algebra, definimos o produto entreclasses de equivalencia tal como segue [a] [b] = [ab].Para c, d 2 C temos

[a] [b] = [a+ c] [b+ d] = [ab+ ad+ cb+ cd]

ou seja, ad+ cb+ cd 2 C, o que e verdade so se C for um ideal. Nesse caso temos umaalgebra denominada algebra quociente de A pelo ideal C, denotada por A/C.Seja I um ideal de T (V ) consistindo de todos elementos da forma

P

i ai ⌦ v⌦ v⌦ bicom v 2 V, ai, bi 2 T (V ). Podemos ainda dizer que o ideal I e gerado por v⌦u+u⌦ vcom v, u 2 V .Vamos agora mostrar que a algebra exterior e isomorfa a algebra quociente T (V )/I.

A relacao de equivalencia em questao e

a ⇠ b () a = b+ x, x 2 I.

A classe de equivalencia de a e denotada por [a] e o produto e denotado por

[a] ^ [b] = [a⌦ b] .

6.6. CONTRACOES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 139

Dados v, u 2 V , podemos calcular v ^ u de acordo com a definicao acima

v ⌦ u =1

2(v ⌦ u� u⌦ v) +

1

2(v ⌦ u+ u⌦ v)

onde 1/2(v ⌦ u+ u⌦ v) 2 I. Com efeito, usando a polaridade

v ⌦ u+ u⌦ v = (v + u)⌦ (v + u)� v ⌦ v � u⌦ u.

Portanto

v ⌦ u ⇠ v ^ u =1

2(v ⌦ u� u⌦ v),

ou [v ⌦ u] = [v ^ u] e [v] ^ [u] = [v ^ u].O resultado acima pode ser generalizado como

v1

⌦ · · ·⌦ vk ⇠ ALT(v1

⌦ · · ·⌦ vk) = v1

^ · · · ^ vk,

mostrando portanto que

⇤(V ) ' T (V )/I. (6.57)

6.6 Contracoes

A aplicacao linear ↵ : V ! K foi definida como um elemento do espaco dual V ⇤.Podemos generalizar esse conceito, introduzindo uma operacao denominada contracaoa esquerda pelo vetor v, que age sobre ⌦ 2 ⇤k(V ) e resulta em um elemento de⇤k�1(V ), da seguinte maneira:

(vc⌦k)(v1, v2, . . . , vk�1

) = k ⌦k(v, v1, . . . , vk�1

). (6.58)

No caso em que k = 1, a definicao se reduz a vc↵ = ↵(v). Para a 2 R, temos vca = 0.A definicao dada acima nao e util do ponto de vista computacional. Vamos considerara contracao de ↵ ^ � por um vetor v:

vc(↵ ^ �)(u) = (↵ ^ �)(v, u) = (↵(v)� � �(v)↵)(u) = ((vc↵)� � (vc�)↵)(u).

A generalizacao dessa equacao para multicovetores e � arbitrarios e dada pela regrade Leibniz graduada:

vc( ^ �) = (vc ) ^ �+ ^ (vc�) (6.59)

A definicao de contracao a direita e feita de maneira semelhante:

(⌦bv)(v1

, v2

, . . . , vk�1

) = k⌦(v1

, . . . , vk�1

, v) (6.60)


e a regra de Leibniz graduada para a contracao a direita e expressa como

( ^ �)bv = ^ (�bv) + ( bv) ^ � (6.61)

I Teorema 55: A contracao a esquerda se relaciona com a contracao a direita por:

vc = � bv (6.62)

onde 2 ⇤(V ). JÒ Definicao 24: Para encontrarmos a relacao entre a contracao a esquerda e adireita, basta notarmos que

Ak(↵,↵1

, . . . ,↵k�1

) = (v1

^ v2

^ · · · ^ vk)(↵,↵1

,↵2

, . . . ,↵k�1

)

=1

k!

X

�2Sk

✏(�)↵(v�(1))↵1

(v�(2)) . . .↵k�1

(v�(k))

=1

k!

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

↵(v1

) ↵(v2

) · · · ↵(vk)↵1

(v1

) ↵1

(v2

) · · · ↵1

(vk)↵2

(v1

) ↵2

(v2

) · · · ↵2

(vk)...

.... . .

...↵k�1

(v1

) ↵k�1

(v2

) · · · ↵k�1

(vk)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

= (�1)k�1Ak(↵1

, . . . ,↵k�1

,↵)

o que implica em ↵cAk = (�1)k�1Akb↵. Portando chegamos a relacao ↵cA = �Ab↵onde A e um multivetor arbitrario. 3

Podemos nao somente nos restringir a contracao por vetores, mas por k-vetores(ou de modo mais geral, por multivetores, estendendo-se o caso dos k-vetores porlinearidade). Dado um k-vetor v

1

^ v2

^ · · · ^ vk, definimos

(v1

^ v2

^ · · · ^ vk)c = v1

cv2

c . . . vky

e

b(v1

^ v2

^ · · · ^ vk) = bv1

bv2

. . . bvk (6.63)

Essa definicao e natural de maneira que o operador b seja o dual do operador ^.Segue-se que a contracao de um q-vetor por um p-vetor se anula para p > q. A mesmageneralizacao pode ser feita para multicovetores.

B Exemplo 50: Das definicoes acima segue imediatamente que a contracao de ump-covetor por um q-vetor anula-se quando q > p. Ilustramos agora o uso da contracaoconsiderando a contracao de um 2-vetor por um 2-covetor e em seguida um 3-vetor porum 3-covetor. Leve em conta v ^ u um 2-vetor, portanto da definicao

(↵ ^ �)c(v ^ u) = ↵c�c(v ^ u) = ↵c((�cv)u� (�cu)v)= �(v)↵(u)� �(u)↵(v)

6.7. A ALGEBRA DE GRASSMANN — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 141

e agora considerando v ^ u ^ w um 3-vetor vem

(↵ ^ � ^ �)c(v ^ u ^ w) = ↵c�c�c(v ^ u ^ w)

= ↵c�c12(�(v)u ^ w + �(u)w ^ v + �(w)v ^ u� �(w)u ^ v � �(v)w ^ u� �(u)v ^ w)

= �(v)�(u)↵(w)� �(v)�(w)↵(u) + �(u)�(w)↵(v)� �(u)�(v)↵(w)

+�(w)�(v)↵(u)� �(w)�(u)↵(v).

CB Exemplo 51: Para o nosso caso

(↵ ^ �)(v ^ u) =1

2(↵(v)�(u)� ↵(u)�(v)) = �1

2(↵ ^ �)c(v ^ u) =

1

2(� ^ ↵)c(v ^ u)

=1

2(↵ ^ �)c(v ^ u).

CGeneralizando o resultado para ⌥p 2 ⇤p(V ) e ⌅p 2 ⇤p(V ), obtemos [7]

⌥p(⌅p) =1

p!f⌥pc⌅p.

Exercıcio 226: Sejam os covetores ↵ = 5e1�2e2, � = e2+3e3�e4 e o multivetor = e

1

^ e2

^ e3

+ 2e1

^ e4

. Calcule ↵cA, �cA, ↵c�cA, �c↵cA, (↵ ^ �)cA.

6.7 A Algebra de Grassmann

Primeiramente precisamos definir a extensao do funcional bilinear simetrico nao-degenerado g : V ⇥ V ! R, que e o mesmo que estender a correlacao ⌧ : V ! V ⇤.Definimos essa extensao como uma aplicacao ⌧ : ⇤k(V ) ! ⇤k(V ) dada por

⌧(v1

^ v2

^ · · · ^ vk) = ⌧(v1

) ^ ⌧(v2

) ^ · · · ^ ⌧(vk).

Apos esse resultado, podemos definir a extensao do funcional bilinear g : V ⇥V ! R,g(v, u) = ⌧(v)(u). Denotando por G, a extensao G : ⇤k(V ) ⇥ ⇤k(V ) ! R para o casode k-vetores e dada por

G(v1

^ · · · ^ vk, u1

^ · · · ^ uk) = k!⌧(v1

^ · · · ^ vk)(u1

^ · · · ^ uk)

= ⌧(vk ^ · · · ^ v1

)c(u1

^ · · · ^ uk)

ou ainda

G(v1

^ · · · ^ vk, u1

^ · · · ^ uk) =

�

�

�

�

�

�

�

�

�

g(v1

, u1

) g(v1

, u2

) · · · g(v1

, uk)g(v

2

, u1

) g(v2

, u2

) · · · g(v2

, uk)...

.... . .

...g(vk, u1

) g(vk, u2

) · · · g(vk, uk)

�

�

�

�

�

�

�

�

�

.


Dados k 2 ⇤k(V ) e �m 2 ⇤m(V ) com k 6= m definimos

G( k,�m) = 0.

Ò Definicao 25: A algebra exterior ⇤(V ) equipada com a extensao G para todo⇤(V ) e a algebra de Grassmann do espaco vetorial V , que denotaremos por G(V ).3

Exercıcio 227: Dada uma base {v1, v2 . . . , vn} de V ⇤, e dada uma forma bilinearsimetrica nao-degenerada g : V ⇤ ⇥ V ⇤ ! K, defina o produto interno em ⇤2(V ) daseguinte maneira:

G : ⇤2(V )⇥ ⇤2(V ) ! K

(vi ^ vk, vr ^ vs) 7! G(vi ^ vk, vr ^ vs) = det

✓

g(vi, vr) g(vi, vs)g(vk, vr) g(vk, vs)

◆

Calcule a norma de v1 ^ v2 2 ⇤2(V ), onde v1 = e1 + 2e3 e v2 = e2 + e3 e {ei}ni=1

e

base canonica de V ⇤ (ou seja, g(ei, ej) = �ij).

6.8 Isomorfismo de Hodge

Vimos que os espacos vetoriais ⇤k(V ) e ⇤n�k(V ) tem a mesma dimensao e, portanto,sao isomorfos. Esse isomorfismo nao e canonico e uma maneira de construirmos esteisomorfismo e atraves do isomorfismo de Hodge, que esta definido dentro do contextoda algebra de Grassmann pois faz uso de uma correlacao em V [7].O isomorfismo de Hodge dado pelo operador dual ? : ⇤k(V ) ! ⇤n�k(V ) e definido

como

A ^ ?B = G(A,B)⌦V

8 A,B 2 ⇤k(V ) e ⌦V como sendo um n-vetor unitario. De onde temos tambem que?1 = ⌦V e ?A = Ac⌦V .

B Exemplo 52: Vamos calcular o dual de Hodge para os elementos 1, e1

, e2

, e3

, e1

^e2

, e1

^ e3

, e2

^ e3

, e1

^ e2

^ e3

com (ei)2 = 1 para i = 1, 2, 3, onde I = e1

^ e2

^ e3

eo elemento de volume:

?1 = I = e1

^ e2

^ e3

,

?e1

= e2

^ e3

, ?e2

= e3

^ e1

, ?e3

= e1

^ e2

,

?(e1

^ e2

) = e3

, ?(e3

^ e1

) = e2

, ?(e2

^ e3

) = e1

,

?I = ?(e1

^ e2

^ e3

) = 1.

C

6.9. OPERADORES DE CRIACAO E ANIQUILACAO — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015143

Exercıcio 228: Seja R3 equipado com o produto escalar euclidiano usual. Seja ⇥ oproduto vetorial usual de vetores e ˚ o produto de vetores definido como v⇥u = ?(vû),u, v 2 R3. Mostre que os objetos definidos por v⇥u e v ⇥ u apresentam as mesmascomponentes. Mostre que enquanto o objeto definido por v⇥u e o que se chama umvetor axial ou pseudovetor ou seja, e um objeto que nao muda de sinal perante umainversao do sistema de coordenadas, o objeto definido por v ⇥ u e de fato um vetor,as vezes chamado vetor polar, em distincao de vetor axial, pois neste caso ha umamudanca de sinal perante uma inversao do sistema de coordenadas.

6.9 Operadores de Criacao e Aniquilacao

Em G(V ) podemos realizar o produto exterior entre o vetor v e o multivetor A comovÂ ou A^v. Como o resultado e um multivetor, interpretamos esse produto exteriorcom um elemento do espaco dos endomorfismos2 de ⇤(V ), denotado por End(⇤(V )).Definimos E : V ! End(⇤(V )) por [7]

E(v)(A) = v Â

onde E e dito um operador de criacao. Olhando para o produto exterior entre v eA na ordem reversa, i.e., A ^ v, podemos definir outro operador que definimos porE† : V ! End(⇤(V ))

E†(v)(A) = A ^ v

Existe uma relacao entre os operadores E e E†. Considerando o caso em que A eum k-vetor temos

v Âk = (�1)kAk ^ v, donde escrevemos v Â = (#A) ^ v,

segue portanto que

E(v) = E†(v)# E†(v) = E(v)#

Outra operacao sobre multivetores sao as contracoes a esquerda e a direita por umcovetor. Utilizando estas operacoes definimos os operadores I e I†. O operador deaniquilacao I : V ⇤ ! End(⇤(V )) e definido por

I(↵)(A) = ↵cA.

Ja o operador I† e definido como

I†(↵)(A) = Ab↵,2Uma aplicacao � : X ! Y e um homomorfismo se �(a ⇤ b) = �(a) • �(b), onde ⇤ e a operacao em X

e • a operacao em Y . Se Y = X entao esse homomorfismo e dito um endomorfismo.


e a relacao entre esses operadores segue direto da relacao entre contracao a direita e aesquerda

I(↵) = �I†(↵)# I†(↵) = �I(↵)#

Da propriedade de anti-comutatividade do produto exterior de dois covetores seguede imediato a relacao de comutacao entre os operadores do tipo criacao:

E(v)E(u) + E(u)E(v) = 0 (6.64)

Com efeito,

(E(v)E(u) + E(u)E(v)) (A) = (E(v)E(u)) (A) + (E(u)E(v)) (A)

= v ^ u Â+ u ^ v Â = v ^ u Â� v ^ u Â = 0

para todo v, u 2 V,A 2 ⇤(V ). Do mesmo modo temos que

E†(v)E†(u) + E†(u)E†(v) = 0.

Temos tambem a relacao de comutacao entre os operadores do tipo aniquilacao,

I(↵)I(�) + I(�)I(↵) = 0 (6.65)

8↵,� 2 V ⇤. Com efeito,

(I(↵)I(�) + I(�)I(↵)) (A) = (I(↵)I(�)) (A) + (I(�)I(↵)) (A)

= ↵c (�cA) + �c (↵cA) = ↵c (�cA) + (� ^ ↵)cA= ↵c (�cA)� (↵ ^ �)cA = ↵c�cA� ↵c�cA = 0

Analogamente segue

I†(↵)I†(�) + I†(�)I†(↵) = 0.

E finalmente, temos a relacao entre operadores de criacao e aniquilacao.

I(↵)E(v) + E(v)I(↵) = ↵(v) (6.66)

I†(↵)E†(v) + E†(v)I†(↵) = ↵(v)

Demonstraremos apenas o primeiro resultado uma vez que o segundo e obtido demaneira analoga

(I(↵)E(v) + E(v)I(↵)) (A) = (I(↵)E(v)) (A) + (E(v)I(↵)) (A)

= ↵c(v Â) + v ^ (↵cA)

= (↵ ^ v) Â� v ^ (↵cA) + v ^ (↵cA)

= (↵ ^ v) Â = ↵(v)A

Exercıcio 229: Mostre que (↵c ) = e b↵, onde ↵ 2 V ⇤ e 2V

(V ).

6.9. OPERADORES DE CRIACAO E ANIQUILACAO — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015145

Exercıcio 230: Sejam T[p] 2

V

p(V ) e S[q] 2Vq(V ). Mostre que

T[p]bS[q] = (�1)q(p+1)

�

S[q]cT[p]

�

.

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