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ÁLGEBRA MULTILINEALY

GEOMETRÍA PROYECTIVA

Apuntes basados en el curso impartido por Miguel Ángel Barja

1

ApuntsFMEBarcelona, Enero 2018

ii

Autores principales: Òscar Benedito, Ernesto Lanchares, Miquel Ortega.

Otros autores: Jordi Castellví, Èric Sierra.

Revisores: Iñaki Garrido.

La elaboración de este documento no habría sido posible sin los apuntes de Oriol Na-varro del curso de Álgebra Multilineal y Geometría Proyectiva, impartido por MiguelÁngel Barja en la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la Universitat Politècnicade Catalunya.

Última modificación: 20 de enero de 2020.

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons“Reconocimiento-NoCommercial-CompartirIgual 4.0 Interna-cional”.

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Contenidos

0. Formas Cuadráticas 10.1. Definición, matriz de una forma cuadrática y bases . . . . . . . . . . . . 1

Teorema de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Método convergencia-pivote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.2. Clasificación afín y proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Teorema de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Álgebra multilineal 71.1. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Dimensión y bases de T qp (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Teorema de la base de T qp (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Recordatorio de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Tensores simétricos y antisimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Geometría Proyectiva 212.1. Contexto e idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Problema matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Definición y caracterizaciones del espacio proyectivo . . . . . . . . . . . . 222.3. Variedades lineales proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Sistemas de referencia proyectivos. Coordenadas proyectivas . . . . . . . 282.5. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6. Los teoremas de Desargues y Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Teorema de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Teorema de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7. Coordenadas absolutas. Razón doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Teorema de la invariancia de razón doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8. Cuaternas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Teorema de la cuaterna armónica en el cuadrilátero . . . . . . . . . . . . 42

2.9. Relación entre el espacio proyectivo y el afín . . . . . . . . . . . . . . . . 422.9.1. Completación proyectiva del espacio afín An . . . . . . . . . . . . 432.9.2. Variedades lineales afines y proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . 442.9.3. Espacios afines dentro de un espacio proyectivo . . . . . . . . . . 462.9.4. Relación entre la razón simple y la razón doble . . . . . . . . . . . 46

iii

iv CONTENIDOS

3. Proyectividades 493.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Caracterización geométrica de las proyectividades . . . . . . . . . . . . . 51

Teorema fundamental de la geometría proyectiva . . . . . . . . . . . . . . 553.3. El teorema de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Teorema de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4. Clasificación y estudio de homografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.1. Clasificación de homografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.2. Homografía dual y variedades f -invariantes . . . . . . . . . . . . . 593.4.3. Algunas familias de homografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.4. Homografías de P1

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5. Relación entre afinidades y proyectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5.1. Las afinidades definen proyectividades . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.2. Las proyectividades definen afinidades . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Cónicas y cuádricas 714.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2. Tangencia y polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.1. Polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.2. Cuádrica dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3. Cuádricas proyectivas y afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4. Clasificación proyectiva de cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Índice alfabético 85

Tema 0

Formas Cuadráticas

0.1. Definición, matriz de una forma cuadrática y ba-ses

Definición 0.1.1. Sea E un k-e.v. Diremos que una aplicación

φ : E× E→ k(u, v) 7→ φ(u, v)

es una forma bilineal simétrica si

• φ(u1 + u2, v) = φ(u1, v) + φ(u2, v)

• φ(λu, v) = λφ(u, v)

• φ(u, v) = φ(v, u)

∀u, v, u1, u2 ∈ E y ∀λ ∈ k.

Definición 0.1.2. Sea φ una forma bilineal simétrica sobre un k-e.v. E. Diremos que laaplicación

q : E→ ku 7→ q(u) = φ(u, u)

es la forma cuadrática asociada a φ.

Observación 0.1.3. Se cumple que q(λu) = λ2q(u)

Lema 0.1.4. Sea φ una forma bilineal simétrica sobre un k-e.v. E con cark 6= 2 y sea qla forma cuadrática asociada a φ, entonces

φ(u, v) = 12(q(u+ v)− q(u)− q(v))

Demostración.

q(u+ v)− q(u)− q(v) = φ(u+ v, u+ v)− φ(u, u)− φ(v, v) == φ(u, u) + φ(u, v) + φ(v, u) + φ(v, v)− φ(u, u)− φ(v, v) = 2φ(u, v)

�

1

2 TEMA 0. FORMAS CUADRÁTICAS

Definición 0.1.5. Sea φ una forma bilineal simétrica/cuadrática sobre un k-e.v. E y seaB = {u1, · · · , un} una base. La matriz de φ en base B es

MB(φ) = (aij) = (φ(ui, uj))

Observación 0.1.6. La matriz MB(φ) es simétrica

Definición 0.1.7. Sea E un k-e.v. y sea φ : E× E→ k una forma bilineal simétrica.

• Diremos que φ es definida positiva si

φ(x, x) > 0, ∀x ∈ E x 6= ~0

• Diremos que φ es definida negativa si

φ(x, x) < 0, ∀x ∈ E x 6= ~0

• Diremos que φ es no definida en cualquier otro caso.

Observación 0.1.8. Si φ es una forma bilineal simétrica y definida positiva entoncesdefine un producto escalar sobre E.

Definición 0.1.9. Dada una matriz cuadrada A (dim n) definimos

Ak = (aij), 1 ≤ i, j ≤ k y δk(A) = detAk

Teorema 0.1.10. Teorema de Sylvester.Sea E un k-e.v. de dimension n y sea φ : E×E→ k una forma bilineal simétrica, entonces

φ es definida positiva ⇐⇒ δk(MB(φ)) > 0 ∀1 ≤ k ≤ n ∀B base de E

Demostración. =⇒Como φ es definida positiva, define un producto escalar sobre E. Si tomamos una base

B cualquiera, mediante Gramm-Schmidt podemos construir una base ortogonal B2 ={v1, · · · , vn}. Por tanto

i 6= j =⇒ φ(vi, vj) = 0, φ(vi, vi) > 0 1 ≤ i, j ≤ n

Llamamos φ(vi, vi) = λi > 0. Por tanto

MB2(φ) =

λ1 0 · · · 00 λ2

. . . ...... . . . . . . 00 · · · 0 λn

=⇒ detMB2(φ) =n∏i=1

λi > 0

Entonces, como MB(φ) = STB,B2MB2(φ)SB2,B

detMB(φ) = detSB2,B2 detMB2(φ) > 0

Por lo tanto, la matriz de un producto escalar tiene determinante positivo independien-temente de la base tomada. Observamos que φ también define un producto escalar en el

0.1. DEFINICIÓN, MATRIZ DE UNA FORMA CUADRÁTICA Y BASES 3

subespacio vectorial < v1, · · · , vk > cuando lo restringimos a este. Por lo que hemos vistoantes se tiene que

detMB(φ)k = δk(MB(φ)) > 0 ∀1 ≤ k ≤ n.

⇐=Tenemos que δk(MB(φ)) > 0 ∀1 ≤ k ≤ n. Aplicamos la siguiente variación de

Gramm-Schmidt. Tomamos la base B = {u1, · · · , un} Y hacemos la siguiente construc-ción:

v1 = u1

v2 = α2,1u1 + u2v3 = α3,1u1 + α3,2u2 + u3...vn = αn,1u1 + · · ·+ αn,n−1un−1 + un

αi,j son tales que φ(vk, ui) = 0 2≤k≤n1≤i≤k−1

Propiedades de {v1, · · · , vn}

• ∀k, 〈v1, · · · , vk〉 = 〈u1, · · · , uk〉 En particular, B2 = {v1, · · · , vn} es base de E.

• φ(vk, vi) = 0 ∀1 ≤ i ≤ k − 1 porque vi ∈ 〈u1, · · · , ui〉 y hemos tomado los α demanera que φ(vk, ui) = 0 =⇒ B2 es base ortogonal

• La matriz SB2B

SB2B =

1 α2,1 · · · αn,1

0 1 . . . ...... . . . . . . αn,n−10 · · · 0 1

=⇒ detSB2B = 1 y δk(SB2B) = 1

Finalmente, tenemos

MB(φ) = STB,B2MB2(φ)SB,B2

k l↔

=

k l↔

φ(v1, v1). . .

φ(vk, vk). . .

φ(vn, vn)

k l↔

=⇒ δk(MB(φ)) = δk(StB,B2)δk(MB2(φ))δk(SB,B2) = δk(MB2(φ)) =

=k∏i=1

φ(vi, vi) > 0 (por hipótesis) =⇒ δk(MB(φ))δk−1(MB(φ)) = φ(vk, vk) > 0

Finalmente, ∀x ∈ E

φ(x, x) = φ

k∑i=1

xivi,k∑i=1

xivi

=k∑i=1

x2iφ(vi, vi) > 0 si x 6= ~0

�


Teorema 0.1.11. Método convergencia-pivote.Dada una forma bilineal simétrica φ, queremos encontrar una base de E, B2, en la cualMB2(φ) sea una matriz diagonal. Partimos de una base B i de MB(φ). El procesos es:operación con filas a las dos matrices y luego la misma operacion pero en las columnasde la primera matriz únicamente (véase ejemplo).

(MB(φ)|Id) op. filas∼ (

S1MB(φ)|S1) misma op.

∼en columnas

(S1MB(φ)ST1 |S1

)∼ · · · ∼

∼(Sr . . . S1MB(φ)ST1 . . . STr |Sr . . . S1

)Donde la matriz de la izquierda es MB2 y es diagonal.Ejemplo 0.1.12.

qφ(x, y, z) = 2x2 + 2y2 − 4xy − 2yz; A = MB(φ) =

2 −2 0−2 2 −10 −1 0

2 −2 0 1 0 0−2 2 −1 0 1 00 −1 0 0 0 1

fila∼

(1)+(2)

2 −2 0 1 0 00 0 −1 1 1 00 −1 0 0 0 1

columna∼

(1)+(2)

columna∼

(1)+(2)

2 0 0 1 0 00 0 −1 1 1 00 −1 0 0 0 1

fila∼

(2)+(3)

2 0 0 1 0 00 −1 −1 1 1 10 −1 0 0 0 1

columna∼

(2)+(3)

columna∼

(2)+(3)

2 0 0 1 0 00 −2 −1 1 1 10 −1 0 0 0 1

fila∼

(3)− 12 (2)

2 0 0 1 0 00 −2 −1 1 1 10 0 1

2−12

−12

12

columna∼

(3)− 12 (2)

columna∼

(3)− 12 (2)

2 0 0 1 0 00 −2 0 1 1 10 0 1

2−12

−12

12

Entonces, en base B, los vectores de B2 son:

• v1 = (1, 0, 0); φ(v1, v1) = 2

• v2 = (1, 1, 1); φ(v2, v2) = −2

• v3 = (−12 ,−12 ,

12); φ(v3, v3) = 1

2

Y φ(vi, vj) = 0, i 6= j.Proposición 0.1.13. Sea E un k-e.v. de dimension n, sea φ : E × E → k una formabilineal simétrica y sea q su forma cuadrática asociada. Consideremos B = {u1, . . . un}una base q-ortogonal de E. Sabemos que

D = MB (φ) =

α1 · · · 0... . . . ...0 · · · αn

.Consideremos el subespacio vectorial E⊥ ⊆ E definido por E⊥ =

{u ∈ E | φ (u, v) = 0 ∀v ∈ E

}.

Tenemos que

0.1. DEFINICIÓN, MATRIZ DE UNA FORMA CUADRÁTICA Y BASES 5

i)

D = MB (φ) =

α1 0 · · · 00 . . .

αm... 0 ...

. . .0 · · · 0

=⇒ E⊥ = 〈um+1, . . . , un〉 .

ii)rg q + dimE⊥ = n =⇒ i0 (q) = dimE⊥.

iii) Sean k = R, e i+ (q) el número de elementos estrictamente positivos de la diagonalde MB (φ). i+ (q) no depende de la base q-ortogonal B elegida.

iv) Sea k = R y sean δ0 = 1, δ1, . . . , δn 6= 0. Entonces, i− (q) es igual al número decambios de signo en la secuencia δ0, . . . , δn.

Demostración.

i) ui ∈ {um+1, . . . , un},

φ(uj, ui

)= (0 · · · 1 · · · 0 )

α1. . .

αm0

. . .0

0...1...0

= 0 ∀ 1 ≤ j ≤ n =⇒

=⇒ 〈um+1, . . . , un〉 ⊆ E⊥.

Sea u ∈ E tal que u /∈ 〈um+1, . . . un〉. Se tiene que ∃ 1 ≤ i ≤ m t.q. xi 6= 0.Entonces,

etiMB (φ)u = (0 · · · 1i · · · 0)

α1. . .

αm0

. . .0

...xi...

= αixi 6= 0 =⇒ u /∈ E⊥.

Así pues, E⊥ = 〈um+1, . . . , un〉 .

iii) Sea B′ = {u′1, . . . , u′n} una base q-ortogonal de E.

MB′ (φ) = D′ =

α′1 · · · 0... . . . ...0 · · · α′n

.


Tenemos que

m = i+ (q, B) ; F+ = 〈u1, . . . um〉 ; E = F+ ⊕ 〈um+1, . . . un〉 = F+ ⊕ F≤0.

Análogamente,

m′ = i+(q, B′

); F′+ =

⟨u′1, . . . u

′m

⟩; E = F′+ ⊕

⟨u′m+1, . . . u

′n

⟩= F′+ ⊕ F′≤0.

Consideremos la función que proyecta un vector de F+ sobre F′+.

f : F+ → E→ F′+

v 7−→ f(v).

Sea v ∈ F+ y sean v1 y v2 las proyecciones de v sobre F′+ y F′≤0 respectivamente.Tenemos que f(v) = v1. Entonces,

f(v) = 0 =⇒ v1 = 0 =⇒ v = v2.

Además, 0 ≤ φ (v, v) y φ (v2, v2) = φ (v, v) ≤ 0, de modo que v = 0 y f es inyectiva.Considerando la función que proyecta un vector de F′+ sobre F+.

g : F′+ → E→ F+

v 7−→ g(v).

y siguiendo un razonamiento análogo, obtenemos que g es inyectiva, de modo quem = m′.

�

0.2. Clasificación afín y proyectivaDefinición 0.2.1. Sean E y F k-espacios vectoriales. Sean

φ : E× E→ k,

ψ : F× F→ k

formas bilineales simétricas. Diremos que φ y ψ son afínmente equivalentes, y escribiremosφ ∼ ψ, si existe un isomorfismo f : E→ F tal que

φ (u, v) = ψ(f (u) , f (v)

) ∀u, v ∈ E,

φ(f−1

(u′), f−1

(v′))

= ψ(u′, v′

)∀u′, v′ ∈ F.

Teorema 0.2.2. Teorema de Sylvester.

i) k = Rφ ∼ ψ ⇐⇒ rg φ = rgψ y i+ (φ) = i+ (ψ) .

ii) k = Cφ ∼ ψ ⇐⇒ rg φ = rgψ.

Tema 1

Álgebra multilineal

1.1. Espacio dualDefinición 1.1.1. Sea E un k-ev. Definimos el espacio dual de E como E∗ = {φ : E →k lineales} (también es un k-espacio vectorial).Observación 1.1.2. Para definir E∗ tenemos que usar bases de E.Definición 1.1.3. Si B = {u1, · · · , un} es una base de E (k-ev.) definimos

u∗i : E→ kuj 7→ u∗i (uj) = δij.

Y llamaremos base dual de B a B∗ = {u∗1, · · · , u∗n} (que efectivamente es una base deE∗).

Observación 1.1.4. En particular si w ∈ E∗ y w =n∑i=1

aiu∗i , se cumple que:

w(uj) =n∑i=1

aiu∗i (uj) = aj =⇒ w =

n∑i=1

w(ui)u∗i .

Proposición 1.1.5. Cambios de base. Sean B1 y B2 bases de E (k-ev. de dimE = n) ysean B∗1 y B∗2 las bases duales de B1 y B2. Si SB1B2 es la matriz de cambio de base de B1a B2, entonces

SB∗1B∗2 = (S−1B1B2)T = (SB2B1)T .

Proposición 1.1.6. Aplicaciones lineales. Sean E y F k-ev. y sea φ : E→ F una aplica-ción lineal, entonces φ induce la aplicación lineal siguiente:

φ∗ : F∗ → E∗

w 7→ φ∗(w) = w ◦ φ.Observación 1.1.7. Si E y F son de dimensión finita, φ admite expresión matricial (encoordenadas). En particular:

B1 base de EB2 base de F

=⇒ φ viene dada por MB1,B2(φ),

B∗1 base de E∗

B∗2 base de F∗

=⇒ φ∗ viene dada por MB∗2 ,B∗1(φ∗) = (MB1,B2(φ))T .

7

8 TEMA 1. ÁLGEBRA MULTILINEAL

Proposición 1.1.8. Espacio bidual. Dado E k-ev. podemos definir E∗,E∗∗, · · · . En par-ticular tenemos que E∗∗ es canónicamente isomorfo a E mediante el isomorfismo

φ : E→ E∗∗

u 7→ φ(u),

dondeφ(u) : E∗ → k

w 7→ (φ(u))(w) = w(u).

Observación 1.1.9. Como este isomorfismo es canónico (no depende de las bases), E ∼=E∗∗ y no distinguimos entre E y E∗∗.

1.2. TensoresDefinición 1.2.1. Sean E1, · · · ,Er k-ev. Diremos que f : E1× · · ·×Er → k es un tensor(o una aplicación multilineal) si ∀i = 1, · · · , r y ∀vj ∈ Ej (i 6= j) se cumple que

φi : Ei → kv 7→ φ(u) = f(v1, · · · , vi−1, v, vi+1, · · · , vr)

es una aplicación lineal.

Definición 1.2.2. Sea E un k-ev. Llamaremos tensor de tipo (p, q) (o tensor p vecescovariante y q veces contravariante) (o tensor p-covariante y q-contravariante) a un tensor

f :p︷︸︸︷

E× · · · × E×q︷︸︸︷

E∗ × · · · × E∗ → k(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq) 7→ f(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq).

Observación 1.2.3. Al conjunto de tensores de este tipo se le denota como T qp (E).

Observación 1.2.4. Por convenio T0(E) = T 0(E) = T 00 (E) = k.

Ejemplo 1.2.5. Sea E un k-ev.

• T1(E) = T 01 (E) = E∗.

• T 1(E) = T 10 = E∗∗ (∼= E).

• T2(E) = T 02 (E) = {formas bilineales de E en k}.

Proposición 1.2.6. T qp (E) = T pq (E∗) (cambiando el orden).

Proposición 1.2.7. T qp (E) tiene estructura de k-espacio vectorial. Si f, g ∈ T qp (E) yα, β ∈ k,

αf + βg :p︷︸︸︷

E× · · ·E×q︷︸︸︷

E∗ × · · · × E∗ → k(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq) 7→ (αf + βg)(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq).

donde(αf + βg)(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq) = αf(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq)+

βg(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq).

1.2. TENSORES 9

Definición 1.2.8. Dados f ∈ T qp (E) y g ∈ T q′p′ (E), definimos el producto tensorial de fy g como

f ⊗ g :p+p′︷︸︸︷

E× · · · × E×q+q′︷︸︸︷

E∗ × · · · × E∗ → k(v1, · · · , vp, v1, · · · vp′ , w1, · · · , wq, w1, · · · , wq′) 7→ f(v1, · · · , vp, w1, · · · , wp)∗

g(v1, · · · , vp′ , w1, · · ·wq′).

Observación 1.2.9. Si f y g son tensores, entonces f ⊗g también lo es. Además f ⊗g ∈T q+q

′p+p′ (E).

Proposición 1.2.10. Sean f ∈ T qp (E), g ∈ T q′p′ y h ∈ T q′′

p′′ (E).

• ⊗ NO es abeliano. En general f ⊗ g 6= g ⊗ f .

• ⊗ es asociativo. (f ⊗ g)⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h). Denotado por f ⊗ g ⊗ h.

• ~0⊗ f = f ⊗~0 = ~0.

• f ⊗ (g + h) = f ⊗ g + f ⊗ h, ((f + g)⊗ h = f ⊗ h+ g ⊗ h).

• α ∈ k. (αf)⊗ g = α(f ⊗ g) = f ⊗ (αg).

Ejemplo 1.2.11. Sea E = R3, B = {e1, e2, e3}, B∗ = {e∗1, e∗2, e∗3}. Y consideramos elproducto tensorial de los tensores e∗1 y e∗2 sobre los vectores v1 = (x1, y1, z1) y v2 =(x2, y2, z2).

(e∗1 ⊗ e∗2)(v1, v2) = e∗1(v1)e∗2(v2) = x1y2

(e∗2 ⊗ e∗1)(v1, v2) = e∗2(v1)e∗1(v2) = y1x2

=⇒ e∗1 ⊗ e∗2 6= e∗2 ⊗ e∗1.

Ejemplo 1.2.12. Sea E = R2, B = {e1, e2}, B∗ = {e∗1, e∗2}, entonces

e1 ⊗ e2 ∈ T 2(E)

(e1 ⊗ e2) = (e∗∗1 ⊗ e∗∗2 )(e∗1, e∗1) = e1(e1)e2(e1) = 0,(e1 ⊗ e2)(e∗1, e∗2) = 1,(e1 ⊗ e2)(e∗2, e∗1) = 0,(e1 ⊗ e2)(e∗2, e∗2) = 0.

Observación 1.2.13. Si E es un k-ev de dimensión n y B = {e1, · · · , en}

(e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ip︸︷︷︸I={i1,··· ,ip}

⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ej2︸︷︷︸J={j1,···jq}

)(el1 , · · · , elp︸︷︷︸L={l1,··· ,lp}

, e∗m1 , · · · , e∗mq︸︷︷︸M={m1,··· ,mq}

) =1 si I = L y J = M,

0 en otro caso.

Observación 1.2.14. Sean f, g ∈ T qp (E), entonces

f = g ⇐⇒ f(ei1 , · · · , e∗jq) = g(ei1 , · · · , e∗jq),∀ei1 , · · · , eip ∈ B,∀e∗j1 , · · · , e∗jq ∈ B∗.


1.3. Dimensión y bases de T qp (E)Recordemos que T qp (E) es un k-ev.

Teorema 1.3.1. Teorema de la base de T qp (E).Sea E un k-ev. de dimensión n y sea B = {e1, · · · , en}, entonces

i) dimT qp (E) = np+q

ii) Una base de T qp (E) es

Bqp =

{e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq |

i1,··· ,ip∈{1,··· ,n}j1,··· ,j1∈{1,··· ,n}

}iii) Si f ∈ T qp (E), las coordenadas de f en la base Bq

p son

fBqp = (f(ei1 , · · · , eip , e∗j1 , · · · , e∗jq))

Demostración.

i) Es consecuencia directa de ii)

ii) Primero veamos que Bqp es linealmente independiente. Sea

w =∑

αIJ(e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq) = 0

Sean I0, J0 dos conjuntos de índices cualesquiera, entonces

0 = w(ei1 , · · · , eip , e∗j1 , · · · , e∗jq) = αI0J0

(Por la 1.2.13). Veamos ahora que Bqp es generadora. Sea f ∈ T qp (E), definimos

g ∈ T qp (E) como

g =∑∀I,J

(f(ei1 , · · · , eip , e∗j1 , · · · , e∗jq)(e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq))

Demostrando ahora que f = g quedan provados ii) y iii). Tenemos ahora que

g(ei1 , · · · , eip , e∗j1 , · · · , e∗jq) = f(ei1 , · · · , eip , e∗j1 , · · · , e∗jq)

Por la 1.2.13 y queda demostrado el teorema.�

Ejemplo 1.3.2. Sea E = Rn, B = {e1, · · · , en} y B∗ = {e∗1 · · · e∗n}• Sea u ∈ Rn

u = u(e∗1) + · · ·+ u(e∗n) (B10 = B)

• Sea w ∈ T 01 (E)(= E∗)

w = w(e1)e∗1 + · · ·+ w(en)e∗n (B01 = B∗)

• Sea n = 3 y sea f ∈ T2(E)

B02 = {e∗1 ⊗ e∗1, e∗1 ⊗ e∗2, · · · e∗3 ⊗ e∗3}

f = f(e1, e1)e∗1 ⊗ e∗1 + f(e1, e2)e∗1 ⊗ e∗2 + · · ·+ f(e3, e3)e∗3 ⊗ e∗3

1.4. RECORDATORIO DE PERMUTACIONES 11

Proposición 1.3.3. Cambio de base. Sea E un k-ev. de dimensión n y sean B ={e1, · · · , en} y B = {u1, · · · , un}. Sea S = (sij) la matriz de cambio de base de B aB y sea T = (tij) su inversa. De manera que tenemos esta relación:

BB

S

T B∗B∗

St

T t

Sea f ∈ T qp (E) y sean

fB = (αIJ)I,J =(f(ei1 , · · · , eip , e∗j1 , · · · , e∗jq)

)I,J

fB = (αIJ)I,J =(f(ui1 , · · · , uip , u∗j1 , · · · , u∗jq)

)I,J

Entonces, ∀I, J

αIJ = f(ui1 , · · · , uip , u∗j1 , · · · , u∗jq) =∑∀L,M

sl1i1 · · · slpipt

j1m1 · · · tjqmqf(ei1 , · · · , eip , e∗j1 , · · · , e∗jq)

Ejemplo 1.3.4.

• f ∈ T 1(E) = E∗∗ = E por lo tanto f = u y uB=(x1,··· ,un)uB

=(x1,··· ,xn), entoncesx1...xn

= T

x1...xn

• f ∈ T1(E) = E∗ por lo tanto f = w y wB=(x1,··· ,un)wB

=(x1,··· ,xn), entoncesx1...xn

= St

x1...xn

• f ∈ T2(E) por lo tanto f es una forma bilineal y fB=A∈Mn,n(k)fB

=A∈Mn,n(k), entonces

A = StAS

1.4. Recordatorio de permutaciones• Denotaremos como xn = {1, · · · , n}

• Denotaremos como Sn = {σ : xn → xn biyectivas}

• #Sn = n!

• Sn es un grupo por composición. Además denotaremos s1s2 = s1 ◦ s2


• Fijada s0 ∈ Sn, la aplicaciónφ : Sn → Sn

s 7→ s0s

es biyectiva.

• Sea s ∈ Sn, denotaremos s de las siguientes maneras

– s =(

1 2 · · · ns(1) s(2) · · · s(n)

)– Si s es cíclica la denotaremos como s = (1, 3, 7, 5). En este caso, s(1) = 3,s(3) = 7, s(7) = 5 y s(5) = 1, para el resto de valores s(i) = i.

• Llamaremos trasposición a una permutación del tipo s = (i, j) con i 6= j

• ∀s ∈ Sn, s se puede expresar como composición (o producto) de trasposiciones.Además, la paridad del número de trasposiciones se mantiene, es decir

s = t1 · · · tp = l1 · · · lq =⇒ p ≡ q mod 2

• Sea s ∈ Sn y sea s = t1 · · · tp una descomposición de s en trasposiciones. Entonces,definimos el signo de s como ε(s) = (−1)p.

1.5. Tensores simétricos y antisimétricosDefinición 1.5.1. Sea E un k-ev. de dimensión n, sea f ∈ Tp(E) y s ∈ Sp, entonces,definimos (sf) ∈ Tp(E) como

(sf)(v1, · · · , vp) = f(vs(1), · · · , vs(p))

Ejemplo 1.5.2. Sea E = R4, B = {e1, e2, e3, e4}, f = e∗1⊗e∗2⊗e∗3 ∈ T3(E) y s = (1, 2, 3) ∈S3, entonces

(sf)(v1, v2, v3) = f(v2, v3, v1)

Proposición 1.5.3. Sea E un k-ev. de dimensión n, sean w1, . . . , wp ∈ T1(E) = E∗, ys ∈ Sp (t = s−1). Entonces

s(w1 ⊗ · · · ⊗ wp) = wt(1) ⊗ · · · ⊗ wt(p)

Demostración. Sean u1, . . . , un ∈ E (obsérvese que w1 ⊗ · · · ⊗ wp ∈ Tp(E))

s(w1⊗· · ·⊗wp)(u1, . . . , up) = (w1⊗· · ·⊗wp)(us(1), . . . , us(p)) = w1(us(1))·w2(us(2)) · · ·wp(us(p))

Dado que s(i) = j ⇐⇒ i = t(j), wi(us(i)) = wi(uj) = wt(j)(uj). Con lo que podemosreordenar el último producto como

wt(1)(u1) · wt(2)(u2) · · ·wt(p)(up) = wt(1) ⊗ · · · ⊗ wt(p)(u1, . . . , up)

�

1.5. TENSORES SIMÉTRICOS Y ANTISIMÉTRICOS 13

Ejemplo 1.5.4. Sea E = R3, B = {e1, e2, e3}, B∗ = {e∗1, e∗2, e∗3} para los dos siguientesejemplos.

En el primero fijamos (1, 2) = s ∈ S2. Entonces s = (1, 2) = s−1 = t y para lossiguientes elementos de T2(E) se cumple:

f1 = e∗1 ⊗ e∗2 sf1 = e∗2 ⊗ e∗1f2 = e∗1 ⊗ e∗1 sf2 = e∗1 ⊗ e∗1f3 = e∗2 ⊗ e∗3 sf3 = e∗3 ⊗ e∗2

En el segundo fijamos (1, 2, 3) = s ∈ (S)3. Entonces t = s−1 = (1, 3, 2), es decir, quet(1) = 3, t(2) = 1, t(3) = 2, y para el siguiente elemento de T3(E) se cumple:

f = e∗1 ⊗ e∗2 ⊗ e∗3 sf = e∗3 ⊗ e∗1 ⊗ e∗2Observación 1.5.5. Sea fi ∈ Tp(E). Entonces s(∑αifi) = ∑

αi(sfi). Por tanto, laproposición anterior sirve para ∀f ∈ Tp(E).

Ejemplo 1.5.6. Con las mismas hipótesis que en el primer caso del ejemplo 1.5.4 secumple:

f = 3e∗1 ⊗ e∗2 + 5e∗1 ⊗ e∗1 + 5e∗2 ⊗ e∗3 sf = 3e∗2 ⊗ e∗1 + 5e∗1 ⊗ e∗1 + 5e∗3 ⊗ e∗2Definición 1.5.7. Sea E un k-ev. de dimn. Sea f ∈ Tp(E). f es simétrica ⇐⇒ ∀s ∈Sp, sf = f y

Sp(E) ={f ∈ Tp(E) | f simétrica

}⊆ Tp(E).

Definición 1.5.8. Sea E un k-ev. de dimn. Sea f ∈ Tp(E). f es antisimétrica ⇐⇒ ∀s ∈Sp, sf = ε(s)f y

Ap(E) ={f ∈ Tp(E) | f antisimétrica

}⊆ TP (E).

Observación 1.5.9. Sp(E), Ap(E) ⊆ Tp(E) son s.e-v. (ver observación 1.5.5).

Ejemplo 1.5.10. Para los dos ejemplos, sea E = R3, sean B y B∗ bases de E y de E∗correspondientemente.

1. Definimos f = e∗1 ⊗ e∗2 ∈ T2(E) y s = (1, 2) ∈ (S)2. Entonces S2 = {Id, s} yε(Id) = 1, ε(s) = −1.

Id(f) = f = ε(Id) · fs(f) = e∗2 ⊗ e∗1 6= f , s(f) 6= −f

}=⇒ f /∈ S2(E)

f /∈ A2(E)

2. Como anteriormente, S2 ={Id, s = (1, 2)

}.

• Para f = e∗1 ⊗ e∗2 + e∗2 ⊗ e∗1,

Id(f) = fs(f) = e∗2 ⊗ e∗1 + e∗1 ⊗ e∗2 = f

}=⇒ f ∈ S2(E)

• Para f = e∗1 ⊗ e∗2 − e∗2 ⊗ e∗1,

Id(f) = f = ε(Id)fs(f) = e∗2 ⊗ e∗1 − e∗1 ⊗ e∗2 = −f = ε(s)f

}=⇒ f ∈ A2(E)


Observación 1.5.11. • ε(s) = (−1)n si ε(s) = t1 · · · tn, donde t1, . . . , tn son trans-posiciones.

• ε(s1s2) = ε(s1)ε(s2).

• s ∈ Sp. Definimos A ∈ M(R)p×p, donde ai,j = 1 si i = s(j) y ai,j = 0 en otro caso.Entonces detA = ε(s).

Proposición 1.5.12. Sea E un k-e.v. de dimensión n, sea f ∈ Tp(E).

1. Podemos caracterizar los tensores simétricos como:f simétrica ⇐⇒ ∀u1, . . . , up ∈ E, ∀i, j f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up) =

f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up)

2. Podemos caracterizar los tensores antisimétricos como:f antisimétrica ⇐⇒ ∀u1, . . . , up ∈ E, ∀i 6= j f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up) =

− f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up)⇐⇒ ∀u1, . . . , up ∈ E, ∀i 6= j si ui = uj entonces f(u1, . . . , up) = 0.

Demostración. 1. La implicación directa es una consecuencia de la definición de sime-tría.En el caso de la implicación conversa se cumple:

∀t transposición tf = f =⇒ ∀t1, . . . , tm transposiciones t1, . . . , tmf =t1(t2(. . . (tmf) . . . )) = f

Finalmente,

∀s ∈ Sp s = t1 · · · tm =⇒ ∀s ∈ Sp sf = f =⇒ f es simétrica.

2. Veamos primero que la tercera condición implica la segunda.

∀u1, . . . , up ∈ E,∀i 6= j 0 = f(u1, . . . , ui + uj, . . . , ui + uj, . . . , up) =f(u1, . . . , ui, . . . , ui, . . . , up) + f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up)+f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up) + f(u1, . . . , uj, . . . , uj, . . . , up) =f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up) + f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up) =⇒f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up) = −f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up)

Veamos ahora que la segunda condición implica la primera. Suponiendo cierta lasegunda condición se cumple:

tf = −f =⇒ t1 · · · tmf = (−1)mf = ε(t1 · · · tm)f

Y entonces:

∀s ∈ Sp s = t1 · · · tm y ε(s) = (−1)m =⇒ ∀s ∈ Sp sf = ε(s)f =⇒ f ∈ Ap(E)

Y, finalmente, que la primera implica la tercera. Por ser f antisimétrica,

∀u1, . . . , up ∈ E, ∀i 6= j f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up) = −f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up)

Si ui = uj, entonces f(u1, . . . , up) = 0.�

1.5. TENSORES SIMÉTRICOS Y ANTISIMÉTRICOS 15

Proposición 1.5.13. Sea E un k-ev. con cark 6= 2 y sea f ∈ Tp(E), entonces ∀vi, vj ∈ E

f(· · · , vi, · · · , vj, · · · ) = −f(· · · , vj, · · · , vi, · · · ) ⇐⇒ f(· · · , w, · · · , w, · · · ) = 0

Demostración. =⇒

f(· · · , w, · · · , w, · · · ) = −f(· · · , w, · · · , w, · · · ) =⇒2f(· · · , w, · · · , w, · · · ) = 0 =⇒ f(· · · , w, · · · , w, · · · ) = 0

⇐=

f(· · · , vi + vj, · · · , vi + vj, · · · ) = 0 =⇒f(· · · , vi, · · · , vi, · · · ) + f(· · · , vj, · · · , vj, · · · ) + f(· · · , vi, · · · , vj, · · · ) + f(· · · , vj, · · · , vi, · · · ) = 0

=⇒ f(· · · , vi, · · · , vj, · · · ) = −f(· · · , vj, · · · , vi, · · · )

�

Ejemplo 1.5.14. Sea f ∈ T2(E) (forma bilineal) y sea B = {e1, . . . , en} una base,Llamamos MB(f) = A =

(f(ei, ej)

)y sea S2 =

{Id, s = (1, 2)

}. Entonces

Idf = f Mb(sf) =(sf(ei, ej)

)=(f(ej, ei)

)= At

Es decir, f es simétrico si y solo si At = A ⇐⇒ A simétrica y f es antisimétrico si ysolo si A = −At ⇐⇒ A antisimétrica

Ejemplo 1.5.15. Sea dimE = n y {e1, . . . , en} una base de E, entonces

f :n︷︸︸︷

E × · · · × E → k(u1, . . . , un) 7→ detB(u1, . . . , un)

Como f es multilineal ( =⇒ f ∈ Tn(E)), f es antisimétrico por la proposición 1.5.12.

Definición 1.5.16. Sea E un k-ev. con cark = 0 y f ∈ Tp(E). Llamamos simetrizado def a

S(f) = 1p!∑s∈Sp

sf

y antisimetrizado de f aA(f) = 1

p!∑s∈Sp

ε(s)sf

Ejemplo 1.5.17. Sea E = R3 y B = {e1, e2, e3} base de E

• Sea f = e∗1 ⊗ e∗2 ∈ T2(E) y Sp ={Id, s = (1, 2)

}, entonces

S(f) = 12(e∗1 ⊗ e∗2 + e∗2 ⊗ e∗1)

A(f) = 12(e∗1 ⊗ e∗2 − e∗2 ⊗ e∗1)

• Sea g = e∗1 ⊗ e∗2 ⊗ e∗3 y Sp ={Id, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)

}, entonces

S(g) = 16(e∗1⊗e∗2⊗e∗3+e∗2⊗e∗1⊗e∗3+e∗3⊗e∗2⊗e∗1+e∗1⊗e∗3⊗e∗2+e∗3⊗e∗1⊗e∗2+e∗2⊗e∗3⊗e∗1)


Observación 1.5.18. s−1 ∈ Sp, por lo tanto no hace falta calcular s−1

Ejemplo 1.5.19. Sea f ∈ T2(E) (forma bilineal) y seaMB(f) = A =(f(ei, ej)

), entonces

MB(S(f)) = 12(MB(f) +MB(f)t

)= 1

2(A+ At)

MB(A(f)) = 12(MB(f)−MB(f)t

)= 1

2(A− At)

Observación 1.5.20. Si f ∈ T2(E) =⇒ f = S(f) + A(f)

Proposición 1.5.21. Sea E un k-ev. Consideramos A, S : Tp(E)→ Tp(E), entonces

i) A, S son lineales

ii) f ∈ Sp(E) =⇒ S(f) = f y f ∈ Ap(E) =⇒ A(f) = f

iii) Im(S) = Sp(E) y Im(A) = Ap(E)

Demostración.

i) Queda como ejercicio. (pista: Consideramos S(f + g))

ii) f ∈ Sp(E) =⇒ S(f) = f queda como ejercicio. Suponemos que f ∈ Ap(E),entonces

A(f) = 1p!

∑s∈Sp

ε(s)sf

= 1p!∑s∈Sp

ε(s)(ε(s)f

)= p!f

p! = f

iii) Im(S) = Sp(E) queda como ejercicio. Demostraremos que Im(A) = Ap(E). Por ii)sabemos que Ap(E) ⊆ Im(A), por lo tanto, resta ver que A(h) ∈ Ap(E), ∀h ∈ Tp(E).Sea s ∈ Sp

sA(h) = s

1p!∑r∈Sp

ε(r)rh

= 1p!

∑r∈Sp

ε(r)s(rh)

=

= ε(s) 1p!

∑r∈Sp

ε(sr)srh

1,4= ε(s) 1p!

∑t∈Sp

ε(t)th

= ε(s)A(h)

�

Observación 1.5.22. Las mismas construcciones funcionan para tensores (0, q), T q(E) =Tq(E∗), pero no funcionan para tensores (p, q) donde p, q 6= 0 porque las construccionesimplican permutaciones.

1.6. PRODUCTO EXTERIOR 17

1.6. Producto exteriorObservación 1.6.1. Sp(E) ⊆ Tp(E), Ap(E) ⊆ Tp(E) y Sp, Ap s.e.v..

• f ∈ Sp(E), g ∈ Sp′(E) en general f ⊗ g /∈ Sp+p′(E)

• f ∈ Ap(E), g ∈ Ap′(E) en general f ⊗ g /∈ Ap+p′(E)

Ejemplo 1.6.2. Sean ω1, ω2 ∈ T1(E):

• T1(E) = E∗ = S1(E) = A1(E), porque S1 = {Id}.

• ω1 ⊗ ω2 /∈ S2(E), A2(E).

Observación 1.6.3. El producto exterior (que definiremos) manda tensores antisimétri-cos a antisimétricos.

Observación 1.6.4. Lo haremos en Tp(E), análogamente se hará en T q(E).

Definición 1.6.5. Sea E un k-e.v.; ω1, . . . , ωp ∈ T1(E) = E, el producto exterior de orden1 es:

ω1 ∧ · · · ∧ ωp = p!A(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp)

Observación 1.6.6.

ω1 ∧ · · · ∧ ωp = ��p!

1��p!∑s∈Sp

ε(s)s(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp

) =

=∑s∈Sp

ε(s)(ωs−1(1) ⊗ · · · ⊗ ωs−1(p)

) ε(s)=ε(s−1)=∑r∈Sp

ε(r)(ωr(1) ⊗ · · · ⊗ ωr(p)

)

Ejemplo 1.6.7. Sea E = R3, B = {e1, e2, e3}, B∗ = {e∗1, e∗2, e∗3}.

• e∗1 ∧ e∗2 = e∗1 ⊗ e∗2 − e∗2 ⊗ e∗1• e∗2 ∧ e∗1 = · · · = −e∗1 ∧ e∗2• e∗1 ∧ e∗1 = e∗1 ⊗ e∗1 − e∗1 ⊗ e∗1 = 0

Proposición 1.6.8. Sean ω1, . . . ωp ∈ T1(E) = E∗

i) ω1 ∧ · · · ∧ ωp ∈ Ap(E)

ii) ω1∧· · ·∧(αiωi + βiωi

).∧· · ·∧ωp = αi(ω1∧· · ·∧ωi∧. . . .∧ωp)+βi(ω1∧· · ·∧ωi∧· · ·∧ωp)

iii) Sea s ∈ Sp, t = s−1, ωs(1) ∧ · · · ∧ ωs(p) = t(ω1 ∧ · · · ∧ ωp

)= ε(s)

(ω1 ∧ · · · ∧ ωp

).

iv) Si u1, . . . , up ∈ E,(ω1 ∧ · · · ∧ ωp

) (u1, . . . , up

)= det

(ωj(ui)

).

v) Si ωi = ωj, (i 6= j) =⇒ ω1 ∧ · · · ∧ ωp = 0.

vi) ω1 ∧ · · · ∧ ωp 6= 0 ⇐⇒ {ω1, . . . , ωp} son linealmente independientes.

Demostración.


i) ω1 ∧ · · · ∧ ωp = p!A(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp.

)=⇒ ω1 ∧ · · · ∧ ωp ∈ Im(A) visto= Ap(E).

ii) Ejercicio (misma proposición que ⊗).

iii) ωs(1) ∧ · · · ∧ ωs(p) = t(ω1 ∧ · · · ∧ ωp) (Ejercicio, misma proposición que ⊗).

ωs(1) ∧ · · · ∧ ωs(p) 1,6,5+1,6,6=∑r∈Sp

ε(r)(ωrs(1) ⊗ · · · ⊗ ωrs(p)

)=

ε2(s)=1= ε(s)∑r∈Sp

ε(rs)︷︸︸︷ε(r)ε(s)

(ωrs(1) ⊗ · · · ⊗ ωrs(p)

) rs=m∈Sp= ε(s)∑

ε(m)(ωm(1) ⊗ · · · ⊗ ωm(p)

)=

= ε(s)(ω1 ∧ · · · ∧ ωp

).

iv)

Tp(E)︷︸︸︷(ω1 ∧ · · · ∧ ωp

) (u1, . . . , up

)=∑r∈Sp

ε(r)(ωr(1) ⊗ · · · ⊗ ωr(p)

) (u1, . . . , up

)=

∑r∈Sp

ε(r)(ωr(1)(u1) . . . ωr(p)(up)

) def det= det(ωj(ui))i,j.

v)

ω1 ∧ · · · ∧ ωi ∧ · · · ∧ ωi ∧ · · · ∧ ωpiii)= (−1)ω1 ∧ · · · ∧ ωi ∧ · · · ∧ ωi ∧ · · · ∧ ωp =⇒

=⇒ 2(ω1 ∧ · · · ∧ ωp

)= 0 car k6=2=⇒ ω1 ∧ · · · ∧ ωp = 0.

vi) =⇒Suponemos que son l.d. y que ωp = ∑p−1

j=1 αjωj:

ω1 ∧ · · · ∧ ωp = ω1 ∧ · · · ∧ ωp−1 ∧p−1∑j=1

αjωj

ii)=p−1∑j=1

αj(ω1 ∧ · · · ∧ ωp−1 ∧ ωj

) v)= 0 !!

⇐=

Sea B = {u1, . . . , un}, B∗ = {ω1, . . . , ωp,Steinitz︷︸︸︷

ωp+1, . . . , . . . , ωn} la base dual de B, tene-mos que:

(ω1 ∧ · · · ∧ ωp

) (u1, . . . , up

) iv)= det(ωj (ui)

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 . . . 00 . . . . . . ...... . . . . . . 00 . . . 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 6= 0.

�

Observación 1.6.9. En el caso particular de B = {e1, . . . en} base de E,

I ={i1, . . . ip

}, 1 ≤ i1 < . . . < ip ≤ n;

J ={j1, . . . jp

}, 1 ≤ j1 < . . . < jp ≤ n.

1.6. PRODUCTO EXTERIOR 19

εIJ =(e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ip

) (ej1 , · · · , ejp

)={

1 si I = J0 en el caso contrario

En efecto, si ∃jk ∈ J , jk /∈ I, entonces en virtud del cálculo dado por iv) (1.6.8), en laposición k hay una fila de ceros.Por otro lado, si I = J entonces tenemos el determinante de la matriz identidad.Observemos también que si I = J pero no están ordenadas crecientemente, εIJ = ±1 enfunción de las permutaciones que ordenan estos conjuntos.

Teorema 1.6.10. Sea E un k-e.v. de dimn, sea B = {e1, . . . , en} y sea p ≤ n.

i) dimAp (E) =(np

).

ii) Una base de Ap es B ={e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ip

}, i ≤ i1 < · · · < ip ≤ n.

iii) Si w ∈ Ap (E), las coordenadas de w en la base anterior son:(w(ei1 , . . . , eip

))1≤i1<···<ip≤n

Demostración.

i) ii) =⇒ i) trivialmente.

ii) L.I.: Seaw =

∑I={i1,...,ip}

1≤i1<···<ip≤n

αIe∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ip = 0.

Sea I0 ={i01, . . . , i

0p

}con 1 ≤ i01 < · · · < i0p ≤ n cualesquiera. Entonces,

0 = w(ei01 , . . . , ei0p

)=

∑I={i1,...,ip}

1≤i1<···<ip≤n

αIe∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ip

(ei01 , . . . , ei0p

) 1,6,9= αI0 .

Generadores:

Ap (E) = A(Tp (E)

)= Ap

([ei1 ⊗ · · · ⊗ eip

]I

)=[{ei1 ∧ · · · ∧ eip

}I

]=

ii)=[{ei1 ∧ · · · ∧ eip

}I ordenado

].

iii) Sea w ∈ Ap (E). Consideremos

w =∑

I={i1,...,ip}1≤i1<···<ip≤n

(w(ei1 , . . . , eip

))e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ip .

Veremos que w = w.Como tensores, basta ver que coinciden sobre vectores

(ej1 , . . . , ejp

). Como ambos

son alternados, podemos suponer 1 ≤ j1 < · · · < jp ≤ n. Entonces,

w(ej1 , . . . , ejp

)= w

(ej1 , . . . , ejp

).

�


Ejemplo 1.6.11. Sea E = R3 y B = {e1, e2, e3}

Espacio dim base coordenadasA1(E) = T1(E) 3 {e∗1, e∗2, e∗3} w = (a1, b1, c1)

A2(E) ⊆ T2(E) 3 {e∗1 ∧ e∗2, e∗1 ∧ e∗3, e∗2 ∧ e∗3}w1 ∧ w2 =(w1 ∧ w2)(e1, e2)e∗1 ∧ e∗2+

(w1 ∧ w2)(e1, e3)e∗1 ∧ e∗3+(w1 ∧ w2)(e2, e3)e∗2 ∧ e∗3

A3(E) ⊆ T3(E) 1 {e∗1 ∧ e∗2 ∧ e∗3} t = (w1 ∧ w2 ∧ w3) = (t(e1, e2, e3))

Además, si w1 = (a1, b1, c2)B∗ , w2 = (a2, b2, c2)B∗ y w3 = (a3, b3, c3)B∗

w1∧w2 =∣∣∣∣∣w1(e1) w1(e2)w2(e1) w2(e2)

∣∣∣∣∣ (e∗1∧e∗2)+∣∣∣∣∣w1(e1) w1(e3)w2(e1) w2(e3)

∣∣∣∣∣ (e∗1∧e∗3)+∣∣∣∣∣w1(e2) w1(e3)w2(e2) w2(e3)

∣∣∣∣∣ (e∗2∧e∗3) =

=∣∣∣∣∣a1 b1a2 b2

∣∣∣∣∣ (e∗1 ∧ e∗2) +∣∣∣∣∣a1 b1a3 b3

∣∣∣∣∣ (e∗1 ∧ e∗3) +∣∣∣∣∣a2 b2a3 b3

∣∣∣∣∣ (e∗2 ∧ e∗3)

w1 ∧ w2 ∧ w3 = (w1 ∧ w2 ∧ w3)(e1, e2, e3)(e∗1 ∧ e∗2 ∧ e∗3) =

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣ (e∗1 ∧ e∗2 ∧ e∗3)

Observación 1.6.12. De forma análoga, podemos hacer el producto exterior de ten-sores 1-contravariantes

(T 1 (E) = E

)y obtendremos Ap (E) con dimensión

(np

)y base{

ei1 ∧ · · · ∧ eip}

1≤i1<···<ip≤nsi B = {ei, . . . , en} es base de E.

Definición 1.6.13. Sea E un k-ev. y sean f ∈ Ap(E) y g ∈ Aq(E). Definimos el productoexterior de f y g como

f ∧ g = (p+ q)!p!q! A(f ⊗ g).

Proposición 1.6.14. Sea E un k-ev. y sean f ∈ Ap(E), g ∈ Aq(E) y h ∈ Ar(E).

i) (f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h) = f ∧ g ∧ h

ii) f ∧ g = (−1)pqg ∧ f

iii) ∧ es lineal en cada factor.

Observación 1.6.15. w1 ∧ w2 ∧ · · · ∧ wr = w1 ∧ (w2 ∧ (· · ·wr−1 ∧ (wr))).

Ejemplo 1.6.16. Sea E = R4, B = {e1, e2, e3, e4} y f, g ∈ A2(E)

• f = e∗1 ∧ e∗2 + e∗2 ∧ e∗3 + e∗3 ∧ e∗4• g = e∗1 ∧ e∗2 + e∗1 ∧ e∗3

f ∧ g = (e∗1 ∧ e∗2 + e∗2 ∧ e∗3 + e∗3 ∧ e∗4) ∧ (e∗1 ∧ e∗2 + e∗1 ∧ e∗3) =

=��

��:

0e∗1 ∧ e∗2 ∧ e∗1 ∧ e∗2 +

��

��:0

e∗1 ∧ e∗2 ∧ e∗1 ∧ e∗3 +��

��:

0e∗2 ∧ e∗3 ∧ e∗1 ∧ e∗2 +

��

��:0

e∗2 ∧ e∗3 ∧ e∗1 ∧ e∗3+

+e∗3 ∧ e∗4 ∧ e∗1 ∧ e∗2 +��

��:

0e∗3 ∧ e∗4 ∧ e∗1 ∧ e∗3 = e∗3 ∧ e∗4 ∧ e∗1 ∧ e∗2

Tema 2

Geometría Proyectiva

2.1. Contexto e ideaSegun el programa de Erlangen, una geometría se basa en el estudio de invariantes al

aplicar unas ciertas transformaciones. Así tenemos que las geometrías están “incluídas”en las superiores.

Así, la geometría euclidea, que estudia las transformaciones ortogonales, estaría “in-cluída” en la geometría afín, que estudia las tansformaciones lineales. Aquí se muestrauna tabla con las distintas geometrías en la cual cada una esta “incluída” en la anterior

Geometría Transformaciones de estudioG. euclídea transformaciones ortogonalesG. afín transformaciones lineales

G. proyectiva proyectividadesG. Algebraica transformaciones por polinomiosG. Analítica transformaciones por funciones analíticasG. Diferencial transformaciones por funciones de clase C∞

Topología transformaciones por funciones de clase C 0

2.1.1. Problema matemáticoπ2

π1O

r1

r2

s1

s2

pφ(p)

p′

φ(p′)

21

22 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA

La idea básica del problema es enviar los puntos de π1 a π2 mediante la siguiente aplicación

φ : π1 → π2

p 7→ p0 ∩ π2

Observación 2.1.1.

i) φ manda rectas a rectas

ii) φ no esta definida en r1

iii) r2 no esta en la imagen de φ

iv) φ(s1) y φ(s2) son pararelas, por lo tanto, φ no mantiene el paralelismo

v) φ no mantiene el tipo de cónica afín

Veremos que la solucion para ii) y iii) consistirá en añadir puntos en el ∞.

2.2. Definición y caracterizaciones del espacio pro-yectivo

Definición 2.2.1. Sea k un cuerpo, E un k-e.v. de dimn + 1. El espacio proyectivoasociado a E es

P(E) = {s.e.v. de dim 1 de E}Diremos que P(E) tiene dimensión n.

Observación 2.2.2. Se cumple P(E) = (E\{0})/ ∼, donde v ∼ v′ ⇐⇒ ∃λ 6= 0, v′ = λvpara v, v′ ∈ E \ {0}.

Definición 2.2.3. Tenemos la siguiente aplicación π dada por el paso al cociente.

π : E \ {0} → P(E)v 7→ π(v) = [v]

{s.e.v. de dim 1 de E} ↔ [v]

Definición 2.2.4. A los elementos de P(E) los llamaremos puntos de P(E).

p = π(v) = [v]

Observación 2.2.5.

• Si E no es relevante, Pn = P(E).

• Si queremos remarcar k, Pnk = P(E).

• Normalmente P + kn = P(kn+1) = (kn+1 \ 0)/ ∼.

Ejemplo 2.2.6.

1. P1R.

2.2. DEFINICIÓN Y CARACTERIZACIONES DEL ESPACIO PROYECTIVO 23

A1R

Cada objeto de P1R (rectas en naranja) tiene su equivalente en A1

R (puntos en rojo),a excepción de la recta x = 0. Para solucionar este problema, podemos usar lasiguiente representación

v1

v2C

Pero el problema ahora viene por que v1 y v2 corresponden al mismo elemento deP1R. Lo podemos solucionar de la siguiente forma:

∞

De tal forma queA1

R ∪ {∞} = P1R = C/(v1 ∼ v2)

2. P2R.


A2R

Cada objeto de P2R (rectas en naranja) tiene su equivalente en A2

R (puntos en rojo), aexcepción de las rectas del plano x = 0. Para solucionar este problema, procedemosde manera análoga a 1

C

De nuevo, nos encontramos con el problema de que hay elementos de C (en azul) quese corresponden con el mismo elemento de P2

R, No obstante, podemos visualizarlocomo

Y unir los puntos azules antipolares. Aunque, si lo tratamos de imaginar, este objetono cabe en R3.

2.3. VARIEDADES LINEALES PROYECTIVAS 25

3. P1C = (C2 \0)/ ∼ = C∪{∞} = S2. Las igualdades por el momento son por analogía

o intuición, más adelante se demostrarán. Aunque nos podemos hacer una ideabasándonos en la proyección estereográfica

∞

4. P2Z/2 contiene 7 puntos pues las rectas de Z3 solo contienen el 0 y un punto.

Observación 2.2.7. Hemos enunciado la definición algebraica de PnR. Existe una defini-ción axiomática que no es igual en algunos casos patológicos.

2.3. Variedades lineales proyectivasDefinición 2.3.1. Sea E un k-e.v. de dimensión n + 1, sea Pn = P(E). Llamaremosvariedad lineal (proyectiva) de dimensión r a cualquier conjunto de la forma:

V = π(H \ {0})

donde H ⊆ E es un subespacio vectorial de dimensión r + 1.Por convención defnimos la siguiente notación:

V = π(H \ {0}) = π(H)

Ejemplo 2.3.2.

• Pn = π(E) es una variedad lineal de dimensión n.

• p ∈ Pn, p = π(v) = π([v]) es una varidead lineal de dimensión 0.

• ∅ = π(∅E) es una variedad lineal de dimensión −1.

Definición 2.3.3.

• dim V = 1 −→ Recta

• dim V = 2 −→ Plano

• dim V = n− 1 −→ Hiperplano

Lema 2.3.4. V = π(H \ {0}) ⇐⇒ H \ {0} = π−1(V )


Ejercicio 2.3.5. Demostrar el lema anterior.

Observación 2.3.6. Hay una biyección

{s.e.v. de E}π

�π−1

{variedades lineales de P(E)

}• con dimension r + 1↔ r

• H1 ⊆ H2 ⇐⇒ V1 ⊆ V2 con Vi = π(Hi)

• Las operaciones + y ∩ definidas para subespacios, se definen a traves de esta bi-yección a variedades.

Proposición 2.3.7. Sean V1, V2 ⊆ Pn variedades lineales =⇒ V1 ∩ V2 variedad linealque verifica:

• V1 ∩ V2 ⊆ V1, V2

• Si W variedad lineal, W ⊆ V1, V2 =⇒ W ⊆ V1 ∩ V2

Demostración. Veamos que: V1 ∩ V2 = π(H1 ∩H2) si Vi = π(Hi)⊇

Si v ∈ H1 ∩H2, p = [v] ∈ π(H1), π(H2) =⇒ p ∈ V1 ∩ V2

⊆

Sea p ∈ V1 ∩ V2,p = [v1], v1 ∈ H1

p = [v2], v2 ∈ H2

=⇒ [v1] = [v2] =⇒ ∃λ 6= 0 t.q. v2 = λv1 =⇒

=⇒ v2 ∈ H1 =⇒ v2 ∈ H1 ∩H2 =⇒ p = [v2] ∈ π(H1 ∩H2)

El resto sigue de lo que sabemos de s.e.v.s. �

Definición 2.3.8. Sean V1, V2 ⊆ Pn variedades lineales, Vi = π(Hi), definimos join ovariedad lineal generada como:

V1 ∨ V2 = π(H1 +H2)

Proposición 2.3.9.

• V1, V2 ⊆ V1 ∨ V2

• Sea W una variedad lineal, V1, V2 ⊆ W =⇒ V1 ∨ V2 ⊆ W

Demostración. Propiedades de la suma de s.e.v. �

Proposición 2.3.10. Sean V1, V2 ⊆ Pn variedades lineales:

• V1 ⊆ V2 =⇒ dim (V1) ≤ dim (V2)

• Si V1 ⊆ V2 y dim (V1) = dim (V2) =⇒ V1 = V2

Proposición 2.3.11. Fórmula de Grassmann.

dim (V1 ∩ V2) + dim (V1 ∨ V2) = dim (V1) + dim (V2)

2.3. VARIEDADES LINEALES PROYECTIVAS 27

Demostración. Propiedades s.e.v. �

Ejemplo 2.3.12.

1. P2 V1, V2 rectas, tenemos que dim (V1 ∩ V2) + dim (V1 ∨ V2) = 2 (Grassmann).

dim (V1 ∩ V2) 1 ≤ dim (V1 ∨ V2) ≤ 2 Posición relativa0 2 Se cortan en un punto1 1 Son la misma recta

Por tanto, dos rectas en un plano, o se cruzan o son la misma.

2. P3 V1, V2 rectas, tenemos que dim (V1 ∩ V2) + dim (V1 ∨ V2) = 2 (Grassmann).

dim (V1 ∩ V2) 1 ≤ dim (V1 ∨ V2) ≤ 3 Posición relativa-1 3 Se cruzan0 2 Se cortan en un punto

(V1 ∨ V2 ∼= P2

)1 1 Son la misma recta

3. P3 V1, V2 planos, tenemos que dim (V1 ∩ V2) + dim (V1 ∨ V2) = 4 (Grassmann).

dim (V1 ∩ V2) 2 ≤ dim (V1 ∨ V2) ≤ 3 Posición relativa1 3 Se cortan en una recta2 2 Son el mismo plano

4. P3 V1 plano, V2 recta, tenemos que dim (V1 ∩ V2)+dim (V1 ∨ V2) = 3 (Grassmann).

dim (V1 ∩ V2) 2 ≤ dim (V1 ∨ V2) ≤ 3 Posición relativa0 3 Se cortan en un punto1 2 V2 ⊆ V1

Proposición 2.3.13. Sean p ∈ Pn, r, V,H ⊆ Pn (recta, variedad lineal, hiperplano,respectivamente).

1. dim (V ∨ p) = ódim V (⇐⇒ p ∈ V )

dim V + 1 (⇐⇒ p /∈ V )

2. dim (r ∩H) = ó1 (⇐⇒ r ⊆ H)

0 (⇐⇒ r * H)Demostración. Fórmula de Grassmann. �

Definición 2.3.14. Sean V1, V2 ⊆ Pn, (Vi = π (Hi) variedades lineales, V1 y V2 sonsuplementarias ⇐⇒ H1 y H2 son complementarios.Observación 2.3.15.

V1, V2 suplementarias ⇐⇒ H1 ⊕H2 = E ⇐⇒(1) H1 +H2 = E

(2) H1 ∩H2 = ∅

⇐⇒⇐⇒

(1) V1 ∨ V2 = Pn

(2) V1 ∩ V2 = ∅


Proposición 2.3.16. Sean V1, V2 ⊆ Pn variedades lineales:

1. V1, V2 son suplementarias =⇒ dim V1 + dim V2 = n− 1

2. Si dim V1 + dim V2 = n− 1

V1, V2 suplementarias ⇐⇒ V1 ∨ V2 = Pn ⇐⇒ V1 ∩ V2 = ∅

Demostración.

1. V1, V2 suplementarias ⇐⇒ H1, H2 complementarios =⇒dimV1+1︷︸︸︷dimH1 +

dimV2+1︷︸︸︷dimH2 =

dimE = n+ 1

2. Fórmula de Grassmann.�

Definición 2.3.17. Sea Pn = R(E), y sean p0, . . . , pm ∈ Pn tal que pi = [vi], vi ∈ E,decimos que p0, . . . , pm son linealmente independientes (l.i.) ⇐⇒ v0, . . . , vm ∈ E sonlinealmente independientes.

Observación 2.3.18. La independencia lineal no depende de los representantes elegidos.

Ejemplo 2.3.19. P2R = P(R3). Sean p0 = [(1, 1, 0)], p1 = [(0, 1, 1)], p2 = [(2, 3, 1)]. Enton-

ces p0 y p1 son linealmente independientes, pero p0, p1, p2 son linealmente dependientes.

Proposición 2.3.20. Sean p0, . . . , pm ∈ Pn puntos y V ⊆ Pn una variedad lineal:

1. dim (p0 ∨ · · · ∨ pm) ≤ m.

2. dim (p0 ∨ · · · ∨ pm) = m ⇐⇒ p0, . . . , pm son linealmente independientes.

3. dim V = m ⇐⇒ ∃p0, . . . , pm ∈ V linealmente independientes tales que V =p0 ∨ · · · ∨ pm ⇐⇒ ∀p0, . . . , pm ∈ V linealmente independientes, V = p0 ∨ · · · ∨ pm.

Demostración. Inmediata a partir de propiedades de s.e.v.. �

Definición 2.3.21. p0, . . . , pr ∈ Pn(r ≥ n) están en posición general ⇐⇒ n+ 1 puntoscualesquiera de ellos son l.i..

2.4. Sistemas de referencia proyectivos. Coordena-das proyectivas

Observación 2.4.1. Pn = P(E). Sea B = {v0, . . . , vn} base de E:

p = [v] = [λv] (v)B =

x0...xn

(λv)B =

λx0...

λxn

Vemos que las coordenadas estarían definidas salvor por multiplicar por λ.

2.4. SISTEMAS DE REFERENCIA Y COORDENADAS PROYECTIVOS 29

Definición 2.4.2. Sea Pn = P(E).Un sistema de referencia proyectivo en Pn es:

R = {p0, . . . , pn; p}

Donde p0, . . . , pn, p están en posición general.

• {p0, . . . , pn} son los vertices de R

• p es el punto unidad

Definición 2.4.3. Sea Pn = P(E). Fijado un sistema de referenciaR. SeaB = {u0, . . . , un}base de E. Diremos que B está adaptada a R si y solo si:pi = [ui],∀i = 0, . . . , n

p = [u0 + · · ·+ un]

Asignación de coordenadas proyectivasPn = P(E), Sea R = {p0, . . . , pn; p}, y B = {u0, . . . , un} una base adaptada. Sea q ∈Pn, q = [v], entonces qR = vB. (Hace falta ver que la definición es consistente)

Proposición 2.4.4. Sea R un sistema de referencia en Pn. Sean B1 = {u0, . . . , un}, B2 ={u′0, . . . u′n} bases adaptadas a R. Sea q = [v] ∈ Pn, entonces ∃λ 6= 0 tal que vB2 = λvB1 .

Demostración. pi = [ui] = [u′i],∀i = 0, . . . , n. Por tanto, ∃λ 6= 0 tal que u′i = λiui,∀i =1, . . . , n. Por otro lado,

p = [u0 + · · ·+ un] = [u′0 + · · ·+ u′n] =⇒ ∃λ 6= 0 tal que u′0 + · · ·+ u′n =

= λ0u0 + · · ·+ λnun = λ(u0 + · · ·+ un) B1 base=⇒ λi = λ ∀i = 1, . . . , n

�

Observación 2.4.5. R = {p0, . . . , pn; p} en Pn

1. q ∈ Pn, qR = (a0, . . . , an) = λ(a0, . . . , an) notación= (a0 : · · · : an) ∀λ 6= 0

2. Ejemplos:(p0)R = (1 : 0 : · · · : 0)

...(pn)R = (0 : · · · : 0 : 1)

3. qR = (0 : · · · : 0) no existe.

4. Sea P2R = P(R3), R = {p0, p1, p2; p} =

{[(1, 1, 0)], [(1, 0, 1)], [(0, 1, 1)]; [(3, 3, 2)]

}, en-

tonces B ={[(1, 1, 0)], [(1, 0, 1)], [(0, 1, 1)]

}no es una base adaptada, para que lo

sea, debemos multiplicar v0, v1, v2 por λ0, λ1, λ2 tales que p = λ0p0 + λ1p1 + λ2p2.En este caso:

λ0 + λ1 = 3λ0 + λ2 = 3λ1 + λ2 = 2

⇐⇒

λ0 = 2λ1 = 1λ2 = 1

Y el sistema de referencia con la base B adaptada es:

R′ ={[(2, 2, 0)], [(1, 0, 1)], [(0, 1, 1)]; [(3, 3, 2)]

}


Ejemplo 2.4.6. Consideremos el espacio P2R, un sistema de referencia R = {p0, p1, p2; p},

con p0 = [(1, 1, 0)], p1 = [(1, 0, 1)], p2 = [(0, 1, 1)] y p = [(3, 3, 2)]. Queremos encontrarB = {u0, u1, u2} una base adaptada, es decir, que cumpla p = [u0+u1+u2] y que pi = [ui].Comprobamos que para la base B =

{(2, 2, 0)t, (1, 0, 1)t, (0, 1, 1)t

}, se cumple

(p0)R = (1 : 0 : 0) (p1)R = (0 : 1 : 0)

(p2)R = (0 : 0 : 1) (p)R = (1 : 1 : 1)El punto q = [(3, 2, 1)] tiene las coordenadas qR = wB = (1 : 1 : 0), que, en un abuso denotación, escribiremos como (1, 1, 0).

Proposición 2.4.7. Sean R1,R2 sistemas de referencia de Pn. Sea q ∈ Pn.

i) ∃S ∈ Mn+1(k) invertible tal que qR1 = SqR2 (matriz del cambio de sistema dereferencia).

ii) Sean B1, B2 bases adaptadas a R1,R2 respectivamente. Podemos coger S = SB2,B1 .

iii) Cualquier matriz de cambio de referencia es de la forma S = λSB2,B1 (λ 6= 0).

Demostración. Cambio de base en E. �

Observación 2.4.8. Sea R sistema de referencia en Pn, y B una base adaptada a éste.Las variedades lineales se pueden describir con

• Ecuaciones paramétricas: Sea V ⊆ Pn una variedad lineal de dimm. Entonces∃p0, . . . , pm ∈ V linealmentes independientes tales que V = p0 ∨ · · · ∨ pm y paraq ∈ Pn

q ∈ V ⇐⇒ w ∈ F ⇐⇒∃α0, . . . , αm ∈ kwB = α0(v0)B + · · ·+ αm(vm)B

⇐⇒

⇐⇒∃α0, . . . , αm ∈ kqR = α0(p0)R + · · ·+ α(pm)R

Donde V = π(F ), pi = π(vi), y q = π(w).

• Ecuaciones implícitas: Las ecuaciones implícitas de V en R coinciden con las ecua-ciones implícitas de F en B. Es decir, existe una matriz A tal que los vectores

wB =

x0...xn

que cumplen A

x0...xn

=

0...0

son todos los pertenecientes a F y los

puntos qR =

x0...xn

que cumplen A

x0...xn

=

0...0

son todos los pertenecientes a V .

Observación 2.4.9. Sea E un k-e.v. de dimensión n + 1, F un subespacio vectorial dedimensión m+ 1, Pn = P(E) y V = π(F ) una variedad lineal. Entonces

dim V = dimF − 1 = dimE − rgA− 1 = n+ 1− rgA− 1 =⇒ m = dimV = n− rgA

2.4. SISTEMAS DE REFERENCIA Y COORDENADAS PROYECTIVOS 31

Observación 2.4.10.

• Para convertir de ecuaciones implícitas a paramétricas se debe resolver el sistemade ecuaciones homogéneo.

• Para convertir de ecuaciones paramétricas a implícitas se debe imponer

rg

(p0)R . . . (pm)Rx0...xn

= rg(

(p0)R . . . (pm)R)

Ejemplo 2.4.11. Consideremos el espacio P2R con un sistema de referenciaR = {p0, p1, p2, p},

y los puntos (q0)R = (1, 1, 1) y (q1)R = (1, 2, 0). Encontremos las ecuaciones paramétricase implícitas de la recta V = q0 ∨ q1.

• Dado que los puntos son dados directamente y se hace su join, las ecuaciones pa-ramétricas son tan solo las combinaciones lineales de q0 y q1. Más formalmente, si

(q)R =

x0x1x2

, se cumple

q ∈ V ⇐⇒ ∃α0, α1 t.q.

x0x1x2

= α0

111

+ α1

120

• Para encontrar las ecuaciones implícitas de esta variedad, imponemos que (x0, x1, x2)sea combinación lineal de q0 y q1, es decir,

q ∈ V ⇐⇒ rg

1 1 x01 2 x11 0 x2

= rg

1 11 21 0

= 2 ⇐⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 x01 2 x11 0 x2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Consideremos ahora la recta V ′ dada por x0 + x1 + x2 = 0. Para encontrar su expre-sión paramétrica, debemos resolver este sistema de ecuaciones. En este caso, podemosencontrar dos soluciones linealmente independientes y expresar todas las soluciones comocombinaciones lineales de estas.x0

x1x2

= β0

1−10

+ β1

01−1

En este mismo ejemplo, p0∨p1 : x2 = 0, p2∨p : x1−x0 = 0 y (p0∨p1)∩(p2∨p) = (1, 1, 0).Análogamente para los demás índices.

Ejemplo 2.4.12. Consideremos P2Z/2. Sus puntos se pueden expresar como (a, b, c) a, b, c ∈

Z/2. Podemos representarlo como


(0, 0, 1) (0, 1, 0)

(1, 0, 0)

(1, 1, 0)(1, 0, 1)

(0, 1, 1)

x0 + x1 + x2 = 0

Como se puede observar, contiene siete puntos y siete rectas. Se denomina plano de Fano.

Observación 2.4.13. En P2, sean (p0)R =

a0b0c0

y (p1)R =

a1b1c1

. Entonces, V =

p0 ∨ p1 :

x0x1x2

= α

a0b0c0

+ β

a1b1c1

. Es decir, aunque no haya operación suma definida

entre puntos, está bien definido el conjunto de combinaciones lineales de ellos.


i)V = p0 ∨ · · · ∨ pmW = q0 ∨ · · · ∨ qr

}V ∨W = p0 ∨ · · · ∨ pm ∨ q0 ∨ · · · ∨ qr.

Demostración. Directa de espacios vectoriales. �

ii)

V : A

x0...xn

= 0

W : B

x0...xn

= 0

V ∩W :

(AB

)x0...xn

= 0.

Demostración. Directa de espacios vectoriales. �

2.5. DualidadLa dualidad es una diferencia fundamental respecto de la geometría afín.

Ejercicio 2.5.1. Problema 3, Lista T1. Consideremos E un espacio vectorial y su dualE∗. Sea F ⊆ E un subespacio vectorial. Entonces, F⊥ =

{w ∈ E∗|w (u) = 0 ∀u ∈ F

}es un

subespacio vectorial de E∗ y se satisface que dimF⊥ = dimE − dimF. Además, se tieneque

• F1 ⊆ F2 ⇐⇒ F⊥2 ⊆ F⊥1 ,

2.5. DUALIDAD 33

• (F1 ∩ F2)⊥ = F⊥1 + F⊥2 ,

• (F1 + F2)⊥ = F⊥1 ∩ F⊥2 ,

•(F⊥)⊥

= F.

Por tanto,E = E∗∗ E∗

{s.e.v. de dim = d}⊥−→←−⊥{s.e.v. de dim = dimE− d}

de manera que la operación ⊥ define una biyección entre E y E∗ que invierte el orden delas inclusiones e intercambia + y ∩.

Definición 2.5.2. Sea Pn = P (E). Llamaremos espacio proyectivo dual de P (E) a

(Pn)∗ ≡ P (E∗) .

Observación 2.5.3.

i) dim (Pn)∗ = n.

ii)((Pn)∗

)∗= Pn.

Definición 2.5.4. Sea F ⊆ E y sea V = π (F) ⊆ Pn una variedad lineal de dimm.Entonces, se define la variedad lineal dual de V como

V ∗ ≡ π(F⊥)⊆ (Pn)∗ .

Observación 2.5.5.

i) dim V ∗ = n−m− 1,

ii) (V ∗)∗ = V ,

iii) V1 ⊆ V2 ⇐⇒ V ∗2 ⊆ V ∗1 ,

iv) (V1 ∨ V2)∗ = V ∗1 ∩ V ∗2 ,

v) (V1 ∩ V2)∗ = V ∗1 ∨ V ∗2 .En conclusión,

Pn = (Pn)∗∗ (Pn)∗

{vars. lins. de dim = m}∗−→←−∗{vars. lins. de dim = n−m− 1}

de manera que la operación ∗ define una biyección entre Pn y (Pn)∗ que invierte el ordende las inclusiones e intercambia ∨ y ∩.

Observación 2.5.6. Caso particular de los hiperplanos.

Pn (Pn)∗

H hiperplano 7−→ H∗ puntodimm = n− 1 dimn− (n− 1)− 1 = 0


Recíprocamente,Hp ≡ p∗ hiperplano ←− [ p ∈ (Pn)∗

En ecuaciones,

Hp : a0x0 + · · ·+ anxn = 0←→ p =

a0...an

.Conclusión: los hiperplanos de Pn son (están en biyección con) un espacio proyectivo dedimn.Definición 2.5.7. Sean H0, . . . , Hm hiperplanos de Pn. H0, . . . , Hm son linealmente in-dependientes ⇐⇒ H∗0 , . . . , H

∗m son linealmente independientes.

Definición 2.5.8. Sean H0, . . . , Hm hiperplanos de Pn. H0, . . . , Hm están en posicióngeneral ⇐⇒ H∗0 , . . . , H

∗m están en posición general.

Proposición 2.5.9. Sean H0, . . . , Hm ⊆ Pn hiperplanos, entoncesH0, . . . , Hm l.i. ⇐⇒ dim(H0 ∩ · · · ∩Hm) = n−m− 1

Demostración. H0, . . . , Hm l.i def⇐⇒ H∗0 , . . . , H∗m ∈ (Pn)∗ son l.i. ⇐⇒ dim(H∗o ∨ · · · ∨

H∗m) = m ⇐⇒ dim(H∗o ∨ · · · ∨H∗m)∗ = n−m− 1 = dim(H0 ∩ · · · ∩Hm) �

Definición 2.5.10. Una recta (o haz) de hiperplanos en Pn es la colección de hiperplanosque contienen a una variedad fijada V de dimensión n− 2.Ejemplo 2.5.11. Dualización del triángulo.

Triángulo en P2 Triángulo en(P2)∗

q1

q2q3

r1

r2

r3

(r1)∗

(r2)∗

(r3)∗

(q1)∗

(q2)∗

(q3)∗

Ejemplo 2.5.12.

Cuadrilátero en P2 Cuadrilátero en(P2)∗

q4

q1

q2

q3

f

g

hr1

q5

q6

j

k

l

r1r4

r3r2

f

g

h

i

j

k

2.6. LOS TEOREMAS DE DESARGUES Y PAPPUS 35

Definición 2.5.13. Sea R = {p0, . . . , pn; p} una referencia de Pn, sea B = {u0, . . . , un}una base adaptada y sea B∗ = {u∗0, . . . , u∗n} su base dual. Entonces, llamamos referenciadual de R a

R∗ ={p′0 = [u∗0], . . . , p′n = [u∗n]; p′ = [u∗0 + · · ·+ u∗n]

}Observación 2.5.14. R∗ no depende de la base B escogida.

Ejemplo 2.5.15. En coordenadas, sea p ∈ Pn y sea pR = (a0, . . . , an), entonces p∗ es unhiperplano de (Pn)∗ y, en referencia R∗ se tiene

p∗ ≡ a0x′0 + · · ·+ anx

′n = 0

Y si H ⊆ Pn en referencia R

Pn ⊇ H ≡ b0x0 + · · ·+ bnxn = 0

entonces (H∗)R∗ = (b0, . . . , bn)

Observación 2.5.16. En general, si tenemos R una referencia de Pn y una refenciade (Pn)∗, R∗ = {p0

′, . . . , pn′; p′}. Entonces (pi′)∗ es un hiperplano tal que pi /∈ (pi′)∗ ypj ∈ (pi′)∗ ∀i 6= j.

2.6. Los teoremas de Desargues y PappusTeorema 2.6.1. Teorema de Desargues.Sean ABC, A′B′C ′ dos triángulos en P2 (sin vértices ni lados en común). Entonces,

AA′ ∩BB′ ∩ CC ′ 6= ∅ ⇐⇒

AB ∩ A′B′ = Z

AC ∩ A′C ′ = Y

BC ∩B′C ′ = X

están alineados.

OA

B

C

A′

C′B′

Y

Z

X

r

Demostración. =⇒ AnalíticaR = {A,B,C;O}, es un sistema de referencia porque todos los puntos son linealmenteindependientes.

• A,B,C linealmente independientes (ABC triangulo)


• A,B,O linealmente independientes (si no, AB = A′B′)

• B,C,O linealmente independientes (si no, BC = B′C ′)

• C,A,O linealmente independientes (si no, AC = A′C ′)

Tenemos que

• A′ ∈ AO : x1 − x2 = 0 i A 6= A′ =⇒ A′ = (a : 1 : 1)

• B′ ∈ BO : x0 − x2 = 0 i B 6= B′ =⇒ B′ = (1 : b : 1)

• C ′ ∈ CO : x0 − x1 = 0 i C 6= C ′ =⇒ C ′ = (1 : 1 : c)

Z :

AB : x2 = 0

A′B′ : 0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 1 x0

1 b x1

1 1 x2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x0(1− b)− x1(a− 1) = x0(1− b) + x1(1− a) = 0 =⇒

=⇒ Z = (a− 1 : 1− b : 0).

Análogamente, X = (0 : b− 1 : 1− c), Y = (a− 1 : 0 : 1− c). Vemos que Z −X = Z =⇒X, Y, Z no son linealmente independientes ⇐⇒ X, Y, Z están alineados.

=⇒ Sintéticaπ plano en P3︷︸︸︷P2 = P(E) ⊂ P(E) = P3,E = E× kSea r una recta en P3, r * π, tal que r ∩ π = O. Sean p, p′ ∈ r, p 6= p′, p, p′ 6= O. r y AA′son coplanarias =⇒ pA∩p′A′ = A0 (intersección de rectas en un plano). Análogamente,pB ∩ p′B′ = B0

pC ∩ p′C ′ = C0.

Por construcción,

pA0 ∩ π = A, pB0 ∩ π = B, pC0 ∩ π = C

p′A0 ∩ π = A′, p′B0 ∩ π = B′, p′C0 ∩ π = C ′

A0, B0, C0 son linealmente independientes (forman un triángulo). Si estuvieran alineados,T = A0 ∨B0 ∨ C0 =⇒ A,B,C ∈ π ∩ (p ∨ t) estarían alineados.Finalmente,

Z = AB ∩ A′B′ = π ∩(

(A0 ∨B0 ∨ p) ∩(A0 ∨B0 ∨ p′

)) intersección de=

planos distintosπ ∩ (A0 ∨B0)

Análogamente, Y = π ∩ (A0 ∨ C0) y X = π ∩ (B0 ∨ C0). Entonces, X, Y, Z ∈ π ∩(A0 ∨B0 ∨ C0) (que es una recta porque es la intersección de dos planos distintos).

⇐= DualidadHipotésis: X, Y, Z están alineados.

Consideramos el espacio proyectivo dual y dualizamos las hipótesis:

2.6. LOS TEOREMAS DE DESARGUES Y PAPPUS 37

r∗(AB)∗

(AC)∗ (BC)∗

(A′B′)∗

(B′C′)∗

(A′C′)∗(B)∗

(C)∗

(A)∗(B′)∗

(C′)∗

(A′)∗

(BB′)∗

(AA′)∗

(CC′)∗

Z∗

Y ∗

X∗

O∗

Queremos ver que, en efecto, (AA′)∗ , (BB′)∗ , (CC ′)∗ están alineados. Por la primeraimplicación, ∃s ⊂ (P2)∗ recta tal que:

s =[[

(AB)∗ ∨ (AC)∗]∩[(A′B′

)∗ ∨ (A′C ′)∗]] ∨ [. . . ] ∨ [. . . ]

=[(AB ∩ AC)∗ ∩

(A′B′ ∩ A′C ′

)∗] ∨ [. . . ] ∨ [. . . ]

=(A∗ ∩ (A′)∗

)∨(B∗ ∩ (B′)∗

)∨(C∗ ∩ (C ′)∗

)= (AA′)∗ ∨ (BB′)∗ ∨ (CC ′)∗

s = (AA′ ∩BB′ ∩ CC ′)∗ =⇒ AA′ ∩BB′ ∩ CC ′ = s∗ (un punto) �

Observación 2.6.2. El teorema de Desargues es su propio dual: ( =⇒ ) ⇐⇒ (⇐= ).

Observación 2.6.3. Definición axiomática de P2

• X → puntos

• Y → rectas

Hay una relación de pertenencia entre puntos y rectas (los puntos pertenecen a rectas).Axiomas:

• ∀p1, p2,∃!r tal que p1, p2 ∈ r

• ∀r1, r2,∃!p tal que p ∈ r1, r2

• ∃4 puntos no alineados

Teorema 2.6.4. Teorema de Pappus.Sean r, s ⊆ P2

k rectas diferentes (r 6= s), sean A,B,C ∈ r tal que A 6= B, B 6= C yC 6= A y sean también A′, B′, C ′ ∈ s tal que A′ 6= B′, B′ 6= C ′ y C ′ 6= A′. Entoncesx0 ≡ AB′ ∩ A′B, x1 ≡ AC ′ ∩ A′C y x2 ≡ BC ′ ∩B′C están alineados.

Demostración.


O

A

B

C

A′B′

C′

x2x1x0

Tomamos la referencia R = {A,B,A′;B′}. EntoncesA = (1, 0, 0) A′ = (0, 0, 1)B = (0, 1, 0) B′ = (1, 1, 1)C = (1, a, 0) C ′ = (1, 1, b)

con a, b 6= 0. Calculamos ahora x0, x1 y x2 y vemos que∣∣∣∣∣∣∣∣x0x1x2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

�

2.7. Coordenadas absolutas. Razón dobleDefinición 2.7.1. Sea R = {p0, p1; p} un sistema de referencia de P1

k y sea q ∈ P1k

con qR = (x0, x1) las coordenadas de q en la referencia R. Definimos las coordenadasabsolutas de q como

α = x0

x1∈ k ∪ {∞}

Observación 2.7.2. A diferencia de las coordenadas normales, NO está definido salvoconstantes.Observación 2.7.3. Al trabajar con coordenadas absolutas, trabajaremos con aritméticanormal de 0/∞.Observación 2.7.4.

(p0)R = (1, 0) α0 =∞(p1)R = (0, 1) α1 = 0(p2)R = (1, 1) α2 = 1

Definición 2.7.5. Sean q1, q2, q3, q4 ∈ P1k con al menos 3 de ellos diferentes. Sea R un

sistema de referencia y sean (qi)R = (xi : yi) ∀i = 1, 2, 3, 4. Definimos la razón doble deq1, q2, q3, q4 como

(q1, q2, q3, q4) =

∣∣∣∣∣x3 y3x1 y1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x3 y3x2 y2

∣∣∣∣∣:

∣∣∣∣∣x4 y4x1 y1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x4 y4x2 y2

∣∣∣∣∣∈ k ∪ {∞}

2.7. COORDENADAS ABSOLUTAS. RAZÓN DOBLE 39

Observación 2.7.6. La razón doble no depende del sistema de referencia ni del represen-tante de cada punto. De hecho, sean R y R dos sistemas de referencia y qi = (xi, yi)R =(xi, yi)R, por lo tanto (

xiyi

)= S

(xiyi

)y se tiene que ∣∣∣∣∣x3 y3

x1 y1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x3 y3x2 y2

∣∣∣∣∣:

∣∣∣∣∣x4 y4x1 y1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x4 y4x2 y2

∣∣∣∣∣=��detS

∣∣∣∣∣x3 y3x1 y1

∣∣∣∣∣��detS

∣∣∣∣∣x3 y3x2 y2

∣∣∣∣∣:��detS

∣∣∣∣∣x4 y4x1 y1

∣∣∣∣∣��detS

∣∣∣∣∣x4 y4x2 y2

∣∣∣∣∣Observación 2.7.7. La razón doble es cociente de razones simples

Observación 2.7.8. En coordenadas absolutas, si

q1 α1 (α1 : 1)q2 α2 (α2 : 1)q3 α3 (α3 : 1)q4 α4 (α4 : 1)

teniendo en cuenta que (∞, 1) = (1, 0). emtonces,

(q1, q2, q3, q4) =

∣∣∣∣∣α3 1α1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣α3 1α2 1

∣∣∣∣∣:

∣∣∣∣∣α4 1α1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣α4 1α2 1

∣∣∣∣∣= α3 − α1

α3 − α2: α4 − α1

α4 − α2

Observación 2.7.9. Sean q1, q2, q3, q4 ∈ P1k tal que {q1, q2, q3} son diferentes dos a dos.

Tomamos R = {q1, q2; q3} como nuestro sistema de referencia y sean (x, y)R = q4 lascoordenadas de q4 en el sistema de referencia R, entonces

(q1, q2, q3, q4) =

∣∣∣∣∣1 11 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 10 1

∣∣∣∣∣:

∣∣∣∣∣x y1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x y0 1

∣∣∣∣∣= −1

1: −yx

= x

y

es decir, la coordenada absoluta de q4 en la referencia R = {q1, q2; q3}.

Observación 2.7.10. Sea V ⊆ Pn una variedad de dimensión n− 2, por lo tanto V ∗ esuna recta de (Pn)∗ y si V ⊆ H1, H2, H3, H4 ⊆ Pn, la razón doble de H1, H2, H3, H4 quedadefinida considerando los hiperplanos como puntos del espacio dual, es decir,

(H1, H2, H3, H4) = (H∗1 , H∗2 , H∗3 , H∗4 )

Ejemplo 2.7.11. Consideramos V ⊆ P4

V :x0 = 0x1 = 0


Podemos identificar V ∗ ={H∗ ∈

(P4)∗

hiperplano |V ⊆ H}. Tomamos ahora

H1 → x0 = 0 ↔ (1, 0, 0, 0)H2 → x1 = 0 ↔ (0, 1, 0, 0)H3 → 2x0 + x1 = 0 ↔ (2, 1, 0, 0)H4 → 3x0 + 2x1 = 0 ↔ (3, 2, 0, 0)

Para calcular la razón doble, aplicamos la observación 2.7.9, y tomamos el sistema dereferencia R = {H1, H2;H3} y B =

{(2, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)

}una base adaptada. Entonces

se tiene que (H4)R =(

32 , 2

)= (3, 4). Por lo tanto,

(H1, H2, H3, H4) = 34

Proposición 2.7.12. Sean q1, q2, q3, q4 ∈ Pn y sea ρ = (q1, q2, q3, q4). Si permutamos loscuatro puntos, (con 4! = 24 posiblidades), obtendremos uno de los sisguientes valorespara la razón doble

Ap ={ρ,ρ

1 , 1− ρ,1

1− ρ,ρ

ρ− 1 ,ρ− 1ρ

}

Definición 2.7.13. Sean V, r ⊆ Pn dos variedades suplementarias con dim r = 1 ( =⇒dim V = n− 2). Entonces, definimos la proyección desde V como

Φ: r → V ∗

p 7→ V ∨ p

De nuevo identificando los hiperplanos de Pn con puntos de (Pn)∗. Asimismo, definimosla sección con r como

Ψ: V ∗ → r

H 7→ H ∩ rObservación 2.7.14. p /∈ V =⇒ V ∨ p es un hiperplano que contiene a V .

Observación 2.7.15. Ψ está bien definido y r ∩H es un punto. En efecto, si r ∩H noes un punto, r ⊆ H, pero si nos miramos ahora H ∼= Pn−1, entonces V es un hiperplanode H, =⇒ r ∩ V 6= ∅, lo cual es una contradicción ya que hemos supuesto que V y rson suplementarias.

Observación 2.7.16. Φ(Ψ(H)) = H y Ψ(Φ(p)) = p, esd decir, Φ y Ψ son inversasmutuas.

Teorema 2.7.17. Teorema de la invariancia de razón doble.Sean V, r ⊆ Pn dos variades suplementarias con dim r = 1 ( =⇒ dim V = n− 2) y seanΦ y Ψ la proyección desde V y la sección con r respectivamente. Entonces,

i) ∀p1, p2, p3, p4 ∈ r con p1, p2, p3 distintos dos a dos

(p1, p2, p3, p4) =(Φ(p1),Φ(p2),Φ(p3),Φ(p4)

)ii) ∀H1, H2, H3, H4 ∈ V ∗ (identificando hiperplanos con elementos del dual) conH1, H2, H3

distintos dos a dos. Entonces

(H1, H2, H3, H4) =(Ψ(H1),Ψ(H2),Ψ(H3),Ψ(H4)

)

2.8. CUATERNAS ARMÓNICAS 41

Demostración. Primero vemos que i) ⇐⇒ ii) porque Ψ−1 = Φ. Pasamos ahora ademostrar i). Sea ρ = (p1, p2, p3, p4), entonces podemos elegir u1, u2 ∈ E tal que p1 =[u1], p2 = [u2] y p3 = [u1 + u2]. Por lo tanto p4 = [ρu1 + u2], de la misma forma,ρ = (H1, H2, H3, H4) y podemos escoger w1, w2 ∈ E∗ tal que H1 = [w1], H2 = [w2] yH3 = [w1 +w2]. Lo que implica que H4 = [ρw1 +w2]. Ahora trabajamos con que pi ∈ Hi.Entonces

p1 ∈ H1 =⇒ w1(u1) = 0p2 ∈ H2 =⇒ w2(u2) = 0p3 ∈ H3 =⇒ (w1 + w2)(u1 + u2) = 0 =⇒ ��

��: 0w1(u1) + w1(u2) + w2(u1) +��:

0w2(u2) = 0

p4 ∈ H4 =⇒ (ρw1 + w2)(ρu1 + u2) = 0 =⇒ ��: 0

ρw1(u1) + ρw1(u2) + ρw2(u1) +��:0

w2(u2) = 0

trabajando ahora con la cuarta ecuación

ρw1(u2) + ρw2(u1) = w1(u2)(ρ− ρ) = 0 (1)=⇒ ρ = ρ

La cancelación en (1) ocurre ya que w1(u2) 6= 0. Y w1(u2) 6= 0 ya que, si lo fuera,

w1(u2) = 0 =⇒ p2 ∈ H1 =⇒ {p1, p2} ⊆ r ∩H1 =⇒ r ⊆ H1 =⇒ r ∩ V 6= ∅

pero como sabemos r ∩ V = ∅ ya que son variedades suplementarias. �

2.8. Cuaternas armónicasObservación 2.8.1. Sean p1, p2, p3, p4 ∈ Pn diferentes dos a dos. y sea

Ap ={ρ,

1ρ, 1− ρ, 1

1− ρ,ρ

ρ− 1 ,ρ− 1ρ

}

Entonces, los valores de Ap son diferentes, salvo el caso en que

Ap ={−1, 1

2 , 2}

con k = R

Definición 2.8.2. Sean p1, p2, p3, p4 ∈ Pn diferentes dos a dos. Entonces {p1, p2, p3, p4}forman una cuaterna armónica si y solo si

(p1, p2, p3, p4) = −1

Proposición 2.8.3. Sean p1, p2, p3, p4 ∈ Pn diferentes dos a dos. Entonces, son eqivalentes

i) ρ = (p1, p2, p3, p4) = −1

ii) (p1, p2, p3, p4) = (p2, p1, p3, p4)

iii) (p1, p2, p3, p4) = (p1, p2, p4, p3)

iv) (p1, p2, p3, p4) = (p3, p4, p1, p2)

Demostración. La demostración se hará en clase de problemas �


Teorema 2.8.4. Teorema de la cuaterna armónica en el cuadrilátero.Sean A,B,C,D, p1, p2 ∈ P2 los vértices de un cuadrilátero, sea p1p2 = r ⊆ P2, AC = s ⊆P2, s ∩ BD = O ∈ P2, s ∩ r = p3 ∈ P2 y DB ∩ r = p4 ∈ P2. Entonces, {p1, p2, p3, p4} sonuna cuaterna armónica. Dicho de otra forma, en un cuadrilátero, la intersección de unadiagonal con las otras dos y los vértices de la diagonal forman una cuaterna armónica.

A

B

C

DO

p1

p2

p3

p4

Demostración. Podemos poner poner coordemadas y operar y nos saldrá el resultado.Aunque aquí detallamos una demostración sintética. Para esta demostración nos valdre-mos de las proyecciones y secciones definidas anteriormente, por ello, recordamos que sih ⊆ P2 es una recta, una variedad complementaria de h es un punto. Ahora definimosΦB la proyección desde B, ΦD la proyección desde D y Ψs y Ψr la sección con r y con srespectivamente. entonces

rΨs◦ΦB→ s

Ψr◦ΦD→ rp1 7→ C 7→ p2p2 7→ A 7→ p1p3 7→ p3 7→ p3p4 7→ O 7→ p4

Por el teorema 2.7.17, tenemos que, si f = Ψr ◦ ΦD ◦Ψs ◦ ΦB,

(p1, p2, p3, p4) =(f(p1), f(p2), f(p3), f(p4)

)= (p2, p1, p3, p4)

Y por la proposición 2.8.3, tenemos que {p1, p2, p3, p4} es una cuaterna armónica. �

2.9. Relación entre el espacio proyectivo y el afínObservación 2.9.1. Sea F un k-e.v. de dimn. Llamamos espacio afín de dimensión n aAn = (A, F, δ) donde δ es una aplicación de la forma

δ : A× A→ Fp, q 7→ δ(p, q) = q − p = −→pq

que cumple

i)δp : A→ F

q 7→ δ(p, q)es biyectiva ∀p ∈ A.

ii)δ(p, q) + δ(q, r) = δ(p, r) ∀p, q, r ∈ A.

2.9. RELACIÓN ENTRE EL ESPACIO PROYECTIVO Y EL AFÍN 43

2.9.1. Completación proyectiva del espacio afín An

Definición 2.9.2. Sea F un k-e.v. de dimn asociado a An un espacio afín. Consideramosel espacio vectorial E = k × F, de manera que todo v ∈ E se puede escribir comov = (α, ~ω), con α ∈ k, ~ω ∈ F. Entonces decimos que

i) e0 =(1,~0

).

ii) Si u ∈ F, u = (0, u) ∈ E.

Observación 2.9.3. En el espacio vectorial E construido en la definición anterior, po-demos considerar 2 s.e.v., la recta [e0] ⊆ E y el hiperplano {0} × F ⊆ E. Con la notacióndefinida anteriormente, tenemos E = [e0]⊕ F.

Definición 2.9.4. Con las mismas hipótesis y con el mismo espacio E que en la últimadefinición,

i) Pn = P(E) = An es la completación proyectiva de An.

ii) An∞ = π(F) son los puntos del infinito de An.

Definición 2.9.5. Fijado p0 ∈ An, definimos

ϕ : An → Pn = P(E)p 7→ ϕ(p) := [e0 +−→p0p]

Observación 2.9.6. La idea detrás de esta función es asociar a todo punto en el afínuna dirección en un espacio vectorial, situando el plano afín como un hiperplano en unespacio vectorial de una dimensión más sin contener el origen, y asignando a un puntoafín la dirección que representa el vector entre el origen y el punto (considerados en elespacio vectorial).

Proposición 2.9.7.

i) ϕ es inyectiva.

ii) Imϕ = Pn \ An∞

Demostración.

i) Supongamos ϕ(p1) = ϕ(p2). Entonces

[e0 +−−→p0p1] = [e0 +−−→p0p2] =⇒ ∃λ 6= 0 t.q. e0 +−−→p0p1 = λe0 + λ−−→p0p2

Como E = [e0]⊕ F

e0 = λe0 =⇒ λ = 1 =⇒ −−→p0p1 = λ−−→p0p2 = −−→p0p2 =⇒ p1 = p2.

Es decir, ϕ es inyectiva.

ii) Veamos que Imϕ ⊆ Pn \ An∞. Sea q ∈ Imϕ. Entonces

q = ϕ(p) = [e0 +−→p0p], E = [e0]⊕ F =⇒ e0 +−→p0p 6∈ F =⇒ ϕ(p) 6∈ π(F) = An∞

Como q ∈ Pn por construcción, q ∈ Pn \ An∞.

La inclusión restante por demostrar se deja como ejercicio para el lector.�


Veamos ahora como se comporta la completación proyectiva de un espaci afín al usarcoordenadas.

Definición 2.9.8. Sea R = {p;u1, . . . , un} un sistema de referencia en An. Llamaremosel proyectivizado de R a

R ={ϕ(p), [u1], . . . , [un];

[e0 +−→p0p+ u1 + · · ·+ un

]}que es un sistema de referencia en Pn.

Proposición 2.9.9.

(An, R) ↪→(An, R

)qR = (x1, . . . , xn) 7→ ϕ(q)R = (1 : x1 : x2 : · · · : xn)

Demostración.

qR = (x1, . . . , xn) =⇒ q = p+ x1u1 + · · ·+ xnun =⇒=⇒ ϕ(q) = [e0 +−→p0q] = [e0 +−→p0p+ x1u1 + · · ·+ xnun] =⇒

=⇒ ϕ(q)R = (1 : x1 : x2 : · · · : xn)

�


i) Para q ∈ Pn, si x0 6= 0, q = (x0 : · · · : xn) = (1 : x1x0

: · · · : xnx0

) = ϕ(x1x0, . . . , xn

x0

)∈ An.

ii) Para q ∈ Pn, q ∈ An∞ ⇐⇒ x0 = 0.

2.9.2. Variedades lineales afines y proyectivasEn lo que concierne a este apartado, diremos que V ⊆ An es una variedad lineal afín

V = p+G, G ⊆ F s.e.v de F, siendo F el espacio vectorial asociado a An.

Definición 2.9.11.

i) V∞ = π(G) ⊆ Pn = An

ii) Llamamos a V = ϕ(V ) ∪ V∞ variedad lineal proyectiva completada de V .

Proposición 2.9.12. V = π([e0 +−→p0p]⊕G

)= ϕ(p) ∨ V∞. En particular, V es una

variedad lineal proyectiva.

Demostración. Veamos primero que V ⊆ ϕ(p) ∨ V∞. Por definición, V = ϕ(V ) ∪ V∞.Separaremos la prueba en dos casos.

i) Si q ∈ ϕ(V ), q = ϕ(q0) = [e0 + −−→p0q0] = [e0 + −→p0p + u], donde u ∈ G. Por lo tanto,q ∈ π

([e0 +−→p0p]⊕G

).

ii) Si q ∈ V∞ = π (G) ⊆ π([e0 +−→p0p]⊕G

).

La prueba de la segunda inclusión resta como ejercicio para el lector. �


Observación 2.9.13. Sean V1 = p1 + G1 y V2 = p2 + G2 dos variedades lineales en elespacio afín. Decimos que V1 y V2 son paralelas si

V1 ‖ V2 ⇐⇒ G1 ⊆ G2 o G2 ⊆ G1 ⇐⇒ (V1)∞ ⊆ (V2)∞ o (V2)∞ ⊆ (V1)∞.

Es decir, dos variedades son paralelas si los puntos del infinito de una están contenidosdentro de los de la otra.

Proposición 2.9.14. Si tenemos V ⊆ An una variedad lineal afín expresada en unsistema de referencia R mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

A

x1...xn

+

b1...bn

=

0...0

podemos expresar la variedad completada V en el proyectivizado deR (R) con el siguientesistema:

b1A...

bn

x0...xn

=

0...0

Demostración. Sea q ∈ V = ϕ(V ) ∪ V∞. Consideramos qR =

x0...xn

Separamos la prueba

en dos casos.

i) Si x0 = 0, q = (0 : x1 : · · · : xn), con lo que

u = (x1, . . . , xn) ∈ G s.e.v director de V ⇐⇒ Au = 0 ⇐⇒(b A

)

0x1...xn

= 0.

ii) Si x0 6= 0, q =(1 : x1

x0: · · · : xn

x0

), con lo que q ∈ ϕ(V ), es decir, ∃q0 =

(x1x0

: · · · : xnx0

)∈

V t.q. q = ϕ(q0). Entonces,b1...bn

+

A

x1x0...xnx0

=

0...0

⇐⇒b1...bn

x0 +

Ax1...xn

=

0...0

⇐⇒

⇐⇒(b A

)x0...xn

=

0...0

�


Ejemplo 2.9.15. Consideremos la recta V ⊆ A3 definida por V :x1 + x2 + x3 = 1x1 − x2 + 2x3 = 2

Queremos encontrar la recta V ⊆ A3. Podemos expresar las condiciones anteriores como

(1 1 11 −1 2

)x1x2x3

+(−1−2

)=(

00

).

Y, aplicando la proposición anterior, obtenemos las siguientes ecuaciones que nos descri-ben V : (

−1 1 1 1−2 1 −1 2

)x0x1x2x3

=(

00

).

Ejemplo 2.9.16. Consideremos la variedad lineal afín V ⊆ A3 definida por

−5 + x1 + 2x2 + 4x3 = 0.

Esta variedad da lugar a la siguiente variedad completada

V : − 5x0 + x1 + 2x2 + 4x3 = 0

2.9.3. Espacios afines dentro de un espacio proyectivoProposición 2.9.17. Sea H ⊆ Pn un hiperplano. Pn \H tiene estructura de espacio afínAn y cumple Pn = An y H = An∞.

Demostración. Sea F el subespacio vectorial tal que H = P(F). Sabemos que dimF = ny E = [w0] ⊕ F. Consideramos ahora el espacio afín determinado por la tripleta An =(F,F, δ). Hacemos notar que los vectores de F juegan el papel tanto de puntos comode vectores en este espacio, y δ es la aplicación natural inducida por la resta entre dosvectores. Si tomamos e0 = w0 en la completación proyectiva del afín que se acaba dedefinir se puede comprobar, y se dejará como ejercicio para el lector, que Pn = An, y queH = An

∞, y por eso podemos decir que Pn \H = An. �

Ejemplo 2.9.18. Consideremos el plano proyectivo P2, y los hiperplanos H1 : x0 = 0,H1 : x1 = 0 y H2 : x2 = 0. Entonces los puntos en el afín nos determinan puntos en elproyectivo de la siguiente manera:

i) (x1, x2) ∈ P2 \H0 = A2 −→ (1 : x1 : x2) ∈ P2

ii) (a, b) ∈ P2 \H1 = A2 −→ (a : 1 : b) ∈ P2

iii) (c, d) ∈ P2 \H2 = A2 −→ (c : d : 1) ∈ P2

2.9.4. Relación entre la razón simple y la razón dobleDefinición 2.9.19. Sean p1, p2, p3 puntos alineados en un espacio afín A. Entonces lla-mamos razón simple de estos puntos a

(p1, p2, p3) = λ ⇐⇒ −−→p1p3 = λ−−→p2p3


Proposición 2.9.20. Sean p1, p2, p3 ∈ A tres puntos contenidos en una recta L. Entonces,los puntos p1, p2, p3 y p∞ el punto en el infinito de L cumplen

(p1, p2, p3) = (p1, p2, p3, p∞)

Demostración. Cojamos la referencia R = {p3; p2 − p3} en L, que induce a la referenciaR = {p3, p∞; p2} en su variedad completada. Tenemos entonces que

(p1)R = λ −→ (p1)R = (1, λ)(p2)R = 1 −→ (p2)R = (1, 1)(p3)R = 0 −→ (p3)R = (1, 0)

Podemos entonces calcular la razón doble a partir de su fórmula:

(p1, p2, p3, p∞) =

∣∣∣∣∣1 01 λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 01 1

∣∣∣∣∣:

∣∣∣∣∣0 11 λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 11 1

∣∣∣∣∣= λ = (p1, p2, p3)

�

Proposición 2.9.21. Sean p1, p2, p3, p4 ∈ L ⊆ A puntos alineados. Entonces

(p1, p2, p3, p4) = (p1, p2, p3)(p1, p2, p4)

Demostración. Consideramos R = {p0;u} referencia en L y la referencia proyectivizadaen su variedad completada R. Si p1, p2, p3, p4 tienen coordenadas a1, a2, a3, a4 correspon-dientemente, entonces pi tiene coordenadas (1, ai). Consecuentemente,

(p1, p2, p3) = (a1 − a3)(a2 − a3) , (p1, p2, p4) = (a1 − a4)

(a2 − a4) =⇒

=⇒ (p1, p2, p3, p4) =

∣∣∣∣∣1 a31 a1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a41 a1

∣∣∣∣∣:

∣∣∣∣∣1 a31 a2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a41 a2

∣∣∣∣∣= (a1 − a3)(a2 − a4)

(a2 − a3)(a1 − a4)

�

Tema 3

Proyectividades

3.1. Definiciones y propiedades básicasDefinición 3.1.1.

1. Sean P = P(E),P = P(E)espacios proyectivos de dimensión n. Sea ϕ : E→ E una

aplicación lineal biyectiva. Una proyectividad, definida por ϕ, es una aplicación

f := [ϕ] : P→ Pp = [v] 7→ f(p) = [ϕ(v)]

Diremos que ϕ es un representante de f .

2. Si P = P, llamaremos homografías a las proyectividades.Observación 3.1.2. ϕ no inyectiva =⇒ [ϕ] no es una aplicación de P(E) en P(E).Observación 3.1.3. [ϕ] = [ψ] ⇐⇒ ∃λ 6= 0 tal que ψ = λϕ.Demostración. ⇐=∃λ 6= 0 tal que ψ = λϕ, sea p = [v], [ψ](p) = [ψ(v)] = [λϕ(v)] = [ϕ(v)] = [ϕ](p),∀p =⇒[ψ] = [ϕ].

=⇒Sean u, v ∈ E linealmente independientes, y sean p = [u], q = [v]. Entonces, como[ϕ(u)] = [ψ(u)] y [ϕ(v)] = [ψ(v)],

∃λ1 6= 0 tal que ψ(u) = λ1ϕ(u)∃λ2 6= 0 tal que ψ(v) = λ2ϕ(v).

Por otro lado,

[ψ(u+ v)] = [ϕ(u+ v)] =⇒ ∃λ3 6= 0 tal que ψ(u) + ψ(v) = ψ(u+ v) = λ3ϕ(u+ v) =λ3ϕ(u) + λ3ϕ(v) =⇒ (λ1 − λ3)ϕ(u) + (λ2 − λ3)ϕ(v) = 0

Ahora bien, ϕ(u) y ϕ(v) son linealmente independientes puesto que u y v lo son y ϕpreserva la independencia lineal por ser biyectiva. Con lo cual podemos afirmar queλ1 = λ2 = λ3 =: λ 6= 0. Entonces,

ψ(u) = λϕ(u),∀u ∈ E =⇒ ∃λ 6= 0 tal que ψ = λϕ.

�

49

50 TEMA 3. PROYECTIVIDADES

Proposición 3.1.4.

1. Operaciones

• IdP = [IdE] es una proyectividad.• f, g proyectividades =⇒ g ◦ f proyectividad y [ψ] ◦ [ϕ] = [ψ ◦ ϕ].• f = [ϕ] proyectividad =⇒ f−1 proyectividad y [ϕ]−1 = [ϕ−1].

2. Relación con variedades linealesSea f = [ϕ] : P→ P,

• V = π(F ) variedad lineal de P de dimensión d =⇒ f(V ) = π(ϕ(F )) es unavariedad lineal de P de dimensión d.

• V1 ⊆ V2 ⇐⇒ f(V1) ⊆ f(V2).• f(V1 ∨ V2) = f(V1) ∨ f(V2).• f(V1 ∩ V2) = f(V1) ∩ f(V2).• En particular, p0, . . . , pd linealmente independientes ⇐⇒ f(p0), . . . , f(pd)

linealmente independientes.

Demostración. Inmediata a partir de las propiedades de ϕ (biyectiva). �

Corolario 3.1.5. Toda proyectividad es una colineación (mantiene la alineación de pun-tos).

Corolario 3.1.6. Toda proyectividad mantiene las razones dobles.

Demostración. ρ = (p1, p2, p3, p4) =⇒ ∃u, v ∈ E tales que p1 = [u], p2 = [v], p3 =[u + v], p4 = [ρu + v] =⇒ f(p1) = [ϕ(u)], f(p2) = [ϕ(v)], f(p3) = [ϕ(u) + ϕ(v)], f(p4) =[ρϕ(u) + ϕ(v)] =⇒ ρ = (f(p1), f(p2), f(p3), f(p4)). �

Definición 3.1.7. Sean P(E) y P(E)espacios proyectivos, sea f : P → P una proyecti-

vidad y sean B y B bases de E y E asociadas a R y a R respectivamente. Definimos lamatriz de una f como MR,R(f) := MB,B(ϕ).

Observación 3.1.8. MR,R(f) está definida salvo multiplicar por λ 6= 0 (por la indeter-minación de B y B).

Observación 3.1.9. Si pR = (x0 : · · · : xn), f(p)R = (y0 : · · · : yn), entonces,y0...yn

= MR,R

x0...xn

Proposición 3.1.10. Propiedades.

1. MR,R(Id) = Id.

2. Si

P f→ P g→ PR1 R2 R3

Entonces, MR1,R3(g ◦ f) = MR2,R3(g)×MR1,R2(f)

3.2. CARACTERIZACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS PROYECTIVIDADES 51

3. f : PR → PR proyectividad, entonces MR,R(f−1) = (MR,R(f))−1.

Demostración. Trivial a partir de las propiedades de las matrices de aplicaciones linealesbiyectivas. �

Proposición 3.1.11. f : P→ P proyectividad.

• SiR = {p0, . . . , pn; p} es un sistema de referencia en P =⇒ f(R) := {f(p0), . . . , f(pn); f(p)}es un sistema de referencia en P y MR,f(R)(f) = Id.

• g : P→ P proyectividad, R un sistema de referencia en P,

f = g ⇐⇒ f(R) = g(R)

• P,P espacios proyectivos de dimensión n, R,R sistemas de referencia. Entonces∃!f : P→ P proyectividad tal que R = f(R).

Demostración. Inmediata si P↔ E, f ↔ ϕ,R ↔ B. �

3.2. Caracterización geométrica de las proyectivida-des

Definición 3.2.1. h : P→ P (no necesariamente dim P = dim P)

1. h es colineación ⇐⇒ ∀p1, p2, p3 ∈ P diferentes dos a dos y alineados, h(p1), h(p2), h(p3) ∈P son diferentes dos a dos y están alineados.

2. h conserva las razones dobles ⇐⇒ h es colineación y ∀p1, p2, p3, p4 ∈ P alineados,al menos tres diferentes, (h(p1), h(p2), h(p3), h(p4)) = (p1, p2, p3, p4).

Observación 3.2.2. h colineación =⇒ h inyectiva.

Proposición 3.2.3. f proyectividad =⇒f colineación (1)f conserva razones dobles (2)

Demostración. f : P→ P, f = [ϕ],

(1) f biyectiva =⇒ f(p) 6= f(q),∀p 6= q.f proyectividad =⇒ f(V ) es una variedad lineal de misma dimensión.L = p1 ∨ p2 ∨ p3

p1, p2, p3 alineados

=⇒ f(L) = f(p1) ∨ f(p2) ∨ f(p3) es una recta.

(2) Supongamos p1, p2, p3, p4, al menos 3 diferentes y alineados, ρ = (p1, p2, p3, p4),R = {p1, p2; p3} sistema de referencia en L = p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 =⇒ la coordenadaabsoluta de p4 en R es ρ =⇒ ∃u1, u2 ∈ E tales que p1 = [u1], p2 = [u2], p3 =[u1 + u2], p4 = [ρu1 + u2].Entonces, f(p1) = [ϕ(u1)], f(p2) = [ϕ(u2)], f(p3) = [ϕ(u1 + u2)], f(p4) = [ϕ(ρu1 +u2)] = [ρϕ(u1) + ϕ(u2)] están alineados, al menos 3 son diferentes y

ρ = (f(p1), f(p2), f(p3), f(p4)).


�

Teorema 3.2.4. Sea f : P→ P una aplicación entre dos espacios proyectivos de dimen-sión 1. Supongamos que:

1. f es inyectiva

2. f mantinene las razones dobles

Entonces f es una proyectividad.

Demostración. SeaR = {p1, p2, p} una referencia en P. Por ser f inyectiva, f(p1), f(p2), f(p)son distintos entre si, con lo cual forman una referencia R = f(R) en P.

Por las propiedades de las proyectividades existe una única g : P → P proyectividadtal que g(R) = R. Veremos que f = g. Sea q ∈ P, sea ρ = (p1, p2, p, q). Entonces, pormantener f razones dobles y por ser g proyectividad,

(f(p1), f(p2), f(p), f(q)) = ρ = (g(p1), g(p2), g(p), g(q)) =⇒=⇒ f(q) y g(q) tienen la misma coordenada absoluta en la referencia R

=⇒ f(q) = g(q) ∀q ∈ P =⇒ f = g

�

Observación 3.2.5.

1. f proyectividad =⇒ f biyectiva

2. Fijada una referencia R, mediante su coordenada absoluta existe una biyecciónP1k ↔ k ∪ {∞}. En particular, (p1, p2, p3, q) = (p1, p2, p3, q) =⇒ q = q.

Corolario 3.2.6. Las funciones proyección y sección son proyectividades.

Demostración. Sea r ∈ Pn una recta y V ∈ Pn una variedad suplementaria a ésta (dedimensión n− 2).

Φ: P1 ∼= r → V ∗ ∼= P1

p 7→ V ∨ p = Hp

Ψ: P1 ∼= V ∗ → r ∼= P1

H 7→ H ∩ rΦ,Ψ son inyectivas (de hecho biyectivas, Φ−1 = Ψ)Φ,Ψ mantienen razones dobles (visto en 2.7.17)

=⇒ Φ,Ψ proyectividades.

�

Observación 3.2.7. Las composiciones de funciones proyección y sección también sonproyectividades.

Proposición 3.2.8. Sea f : Pn → Pm t. q. :

• f es colineación

• f mantiene las razones dobles

Entonces V = f (Pn) es una variedad lineal de Pm de dim n y f : Pn → V = f (Pn) esuna proyectividad.


Demostración. f : Pn → Pm. Sea R = {p0, . . . , pn; p} un sistema de referencia de Pn,W := f (p0) ∨ · · · ∨ f (pn) variedad lineal de Pm de dim ≤ n.Inducción sobre n (fijamos m):

• n = 1, f : P1 → Pm

f colineación =⇒ V = f(P1)⊆ L recta

f inyectiva

=⇒ f : P1 → L ∼= P1

f mantiene las razones dobles

3.2.4=⇒ f es una

proyectividad (en particular V = f(P1)

= L).

• n > 1, supongamos el resultado cierto para n − 1 (hipótesis de inducción). Probe-moslo para n.Definimos Hi := p0∨· · ·∨ pi∨· · ·∨pn, i = 0, . . . , n (hiperplano sin pi). Demostremosque p 6∈ Hi =⇒ f (p) /∈ f (Hi):f : Pn → Pm

f|Hi : Pn−1 ∼= Hi ⊆ Pn → Pm

=⇒ gi = f|Hi : Hi → Pm es una proyectividad

=⇒ gi : Hi → f (Hi) = Vi es biyectiva. Supongamos f (p) ∈ f (Hi) = Vi,

∃qi ∈ Hi t. q. f (qi) = f (p) f colineación=⇒

f inyectivap = qi ∈ Hi. Contradicción.

Por tanto queda demostrado. Una consecuencia es que la imagen de R por f sonpuntos en posición general en Pm. Sea T := f (p0) ∨ · · · ∨ f (pn) ∨ f (p). EntoncesR = f (R) es un sistema de referencia en T .Entonces ∃!g : Pn → T , g (R) = R, g proyectividad. Veremos que f = g. Demomento sabemos que:

(1)f (pi) = g (pi)f (p) = g (p)

(2) f|Hi = gi = g|Hi (porque mandan un sistema de referencia al mismo sitio y sonproyectividades)

Hemos de ver que ∀p ∈ Pn, f (p) = g (p):

– Si p = p o p ∈ ⋃ni=0Hi ya lo sabemos por (1) y (2).– Si p 6= p y p /∈ ⋃ni=0Hi

Sean L := p ∨ p y sean qn := L ∩ Hn, q0 := L ∩ H0. Como f es una colineación,f (L) es una recta, f (L) = f (p) ∨ f (p). Entonces:(f (q0) , f (q1) , f (p) , f (p)

) f mantiene=

razón doble(q0, q1, p, p)

g proyec.=(g (q0) , g (q1) , g (p) , g (p)

)=

(1)+(2)=(f (p0) , f (p1) , f (p) , g (p)

)=⇒ f (p) = g (p) .

�

Teorema 3.2.9. Sea f : Pn → Pn t. q. :

• f es colineación


• f mantiene las razones dobles

Entonces f es una proyectividad.

Demostración. Es un caso particular (n = m) la proposición 3.2.8. �

Definición 3.2.10. Sean V1, V2 ⊆ Pn variedades proyectivas de dimesión d. Sea W unavariedad suplementaria de V1 y V2. La perspectividad de centro W de V1 a V2 es:

f : V1 → V2

p 7→ f (p) = (W ∨ p) ∩ V2

Observación 3.2.11. Esta bien definido:

dim((W ∨ p) ∩ V2

)=

n−d−1+1︷︸︸︷dim (W ∨ p) +

d︷︸︸︷dim V2−

n︷︸︸︷dim

((W ∨ p) ∨ V2

)= n− d− 1 + 1 + d− n = 0.

Por lo tanto W ∨ p ∩ V2 es un punto(f (p)

).

Observación 3.2.12. En d = 1, f perspectividad = proyección y sección.

Corolario 3.2.13. (del teorema 3.2.9). Toda perspectividad es una proyectividad.

Demostración.

(1) En primer lugar, veamos que L ⊆ V1 recta =⇒ f (L) ⊆ V2 recta. f (L) =(W ∨ L) ∩ V2,

dim f (L) = dim((W ∨ L) ∩ V2

)=

n−d+1︷︸︸︷dim (W ∨ L) +

d︷︸︸︷dim V2−

n (W∨V2=Pn)︷︸︸︷dim (W ∨ L ∨ V2)

= n− d+ 1 + d− n = 1.

Por lo tanto, f (L) es una recta.

(2) Veamos ahora que f es inyectiva. Sean p1, p2 ∈ V1, p1 6= p2, t. q. f (p1) = f (p2) ysean

• L1 := f (p1) ∨ p1,• L2 := f (p2) ∨ p2,• q1 = L1 ∩W ,• q2 = L2 ∩W .

Si p1 6= p2 =⇒ q1 6= q2. Sean r = p1 ∨ p2, s = q1 ∨ q2, π = L1 ∨ L2 (es un planoporque L1 ∩ L2 = f (p1) = f (p2)).

{p1, p2} ⊆ r ∩ π =⇒ r ⊆ π

{q1, q2} ⊆ s ∩ π =⇒ s ⊆ π

=⇒ ∅ 6= r ∩ sr⊂V1⊆

s⊂WV1 ∩W supl.= ∅. Contradicción.


(3) Ahora veamos que f mantiene las razones dobles. Sea W = W ∨ L. Observamosque f (L) ⊆ W y que dim W = n− d− 1 + 1 + 1 = n− d+ 1.En W

(W ∼= Pn−d+1

)tenemos que f|L =

(sección con f (L)

)◦(proyección desde W ).Como la razón doble se conserva por proyección y sección,

(p1, p2, p3, p4) =(f (p1) , f (p2) , f (p3) , f (p4)

)=⇒ f conserva razones dobles.

Los puntos (1) y (2) implican que f es una colineación. Los puntos (1), (2) y (3) implican(por el teorema 3.2.9) que f es una proyectividad �

Teorema 3.2.14. Teorema fundamental de la geometría proyectiva.

f : Pn → Pn colineación, n ≥ 2 =⇒ f = [ϕ], ϕ : E→ E, ϕ aplicación semilineal.En particular, si k = R, f colineación =⇒ f proyectividad.

Ejemplo 3.2.15.

ϕ : C2 → C2

v = (z1, z2) 7→ ϕ (v) = (z1, z2)

ϕ (λv) = λϕ (v) no es lineal. Sea

f = [ϕ] : P1C → P1

C,

f no es una proyectividad, pero f es una colineación.

Definición 3.2.16. Sea k un cuerpo. Un automorfismo de k es:

σ : k→ k biyectiva

tal que:

• σ (0) = 0

• σ (1) = 1

• σ (a1 + a2) = σ (a1) + σ (a2)

• σ (a1 × a2) = σ (a1)× σ (a2)

Ejemplo 3.2.17. Sea

σ : C→ Cz 7→ σ (z) = z,

σ es un automorfismo.

Ejercicio 3.2.18. σ : R→ R automorfismo =⇒ σ = Id.

Definición 3.2.19. Sea E un k espacio vectorial, ϕ : E→ E es semilineal si y solo si

(1) ∀u1, u2, ϕ (v1 + u2) = ϕ (u1) + ϕ (u2)

(2) ∃σ : k→ k automorfismo t.q. ϕ (λu) = σ (λ)ϕ (u) ,∀λ ∈ k.

Observación 3.2.20. En R, ϕ semilineal =⇒ ϕ lineal.


3.3. El teorema de PonceletTeorema 3.3.1. Teorema de Poncelet.Sean V1, V2 variedades proyectivas de dim d en Pn. Toda proyectividad f : V1 → V2 escomposición de perspectividades.

Demostraremos el teorema tan solo para d = 1. Empezamos demostrando el siguientelema.

Lema 3.3.2. Sean r1, r2 ⊆ P2, f : r1 → r2 proyectividad.

f perspectividad ⇐⇒ f(O) = O,

donde O = r1 ∩ r2.

Demostración. Veamos primero la implicación directa. SeaW = q el centro de f . Entonces

f : r1 → r2

p 7→ pq ∩ r2

Entonces f(O) = Oq ∩ r2 = O.Veamos ahora la implicación recíproca. Sean A1, A2 ∈ r1\{O}, tales que A1 6= A2. Sean

B1 = f(A1), B2 = f(A2). Entonces R = {A1, A2, O} ,R′ = {B1, B2, O} son referenciasen r1 y r2 respectivamente. La segunda es una referencia ya que B1, B2 6= O porquef(O) = O y f es inyectiva por ser proyectividad, y por el mismo motivo B1 6= B2.

Sea q = A1B1 ∩ A2B2, que no es vacío pues en el plano dos rectas se cortan. Seag : r1 → r2 perspectividad de centro W = {q}. Por construcción:

g(O) = O = f(O)g(A1) = B1 = f(A1)g(A2) = B2 = f(A2)

=⇒ g (R) = f (R) =⇒ g = f,

por ser g y f proyectividades. �

Teorema 3.3.3. Sean r1, r2 ∈ P2 rectas diferentes. Sea f : r1 → r2 proyectividad. Enton-ces f es composición de 1 o 2 perspectividades.

Demostración. Sea O = r1 ∩ r2. Consideraremos dos casos.

1. Suponemos f(O) = O. Por 3.3.2, f es perspectividad.

2. Suponemos f(O) 6= O. Sean A1, A2, A3 ∈ r1 (diferentes dos a dos, Ai 6= O). Enconsecuencia, R = {A1, A2;A3} forma una referencia en r1. Sea Bi = f(Ai). Po-demos asegurar que Bi 6= O si tomamos Ai adecuadas. Sea s 3 B1 (s 63 Bj, Ai), yq ∈ A1B1, q 6∈ r1, r2. Postulamos que podemos encontrar dos perspectividades g1, g2que cumplan

r1g1−→ s

g2−→ r2

A1 7−→ B1 = C1 7−→ B1

A2 7−→ C2 7−→ B2

A3 7−→ C3 7−→ B3.

3.3. EL TEOREMA DE PONCELET 57

g1 es una perspectividad desde q, concretamente g1 = ψ(s) ◦ ϕ(q). Para ver queexiste una perspectividad g2 adecuada, consideramos la proyectividad que envía lareferencia de s {C1, C2;C3} a la referencia de r2 {B1, B2;B3}. Dado que f(C1) =B1 = C1, y C1 = s ∩ r2, podemos aplicar el primer para ver que esta proyectividades también una perspectividad.Finalmente, (g2 ◦ g1)(Ai) = Bi = f(Ai) =⇒ f = g2 ◦ g1, por ser ambas proyectivi-dades.

�

Antes de proceder con el siguiente teorema, demostraremos el siguiente lema queresultará de utilidad.

Lema 3.3.4. Sean l1, l2 ⊆ P3 rectas disjuntas. Sea p 6∈ l1, l2. Entonces ∃! s recta tal quep ∈ s, s ∩ l1 6= ∅, s ∩ l2 6= ∅. Además, s = (l1 ∨ p) ∩ (l2 ∨ p).

Demostración. Veamos primero que s = (l1∨p)∩ (l2∨p) es una recta. Por ser l1, l2 rectasdisjuntas, tenemos que dim(l1 ∨ l2) = dim l1 + dim l2 − dim(l1 ∩ l2) = 1 + 1 − (−1) = 3.Sabiendo esto, se cumple dim((l1 ∨ p) ∩ (l2 ∨ p)) = dim(l1 ∨ p) + dim(l2 ∨ p)− dim((l1 ∨p) ∨ (l2 ∨ p)) = 2 + 2− 3 = 1. Veamos ahora que s cumple las propiedades necesarias:

• p ∈ (p ∨ l1), p ∈ (p ∨ l2) =⇒ p ∈ s

• l1, s ⊆ (p ∨ l1), con lo que l1 y s están en un mismo plano y se intersecan necesa-riamente.

• Análogamente, s ∩ l2 6= ∅.

Supongamos ahora una recta r que cumple estas mismas propiedades. Como p 6∈ l1,los puntos p, (r∩ l1) son distintos y p∨ (r∩ l1) = r. Tenemos que p, (r∩ l1) ∈ (p∨ l1) =⇒r = p ∨ (r ∩ l1) ⊆ (p ∨ l1). Análogamente, r ⊆ (p ∨ l2), con lo que r ⊆ s y por ser ambasrectas r = s.

�

Teorema 3.3.5. Sean r1, r2 ⊆ Pn (n ≥ 3) rectas disjuntas. Sea f : r1 → r2 proyectividad,entonces f es una perspectividad.

Demostración. Consideraremos dos casos.

1. Supongamos n = 3. Consideramos A1, A2, A3 ∈ r1 diferentes dos a dos, de maneraque forman una referencia. Consideramos B1 = f(A1), B2 = f(A2), B3 = f(A3),que forman una referencia en r2. Sean li = Ai ∨Bi.Veamos que l1 ∩ l2 = ∅, y análogamente para las demás parejas de índices. Paraello, operamos por reducción al absurdo:

l1 ∩ l2 6= ∅ =⇒ l1 ∨ l2 = π =⇒A1, A2 ∈ π =⇒ r1 = A1 ∨ A2 ⊆ π

B1, B2 ∈ π =⇒ r2 = B2 ∨B3 ⊆ π

De lo que r1 ∩ r2 6= ∅, una contradicción.


Cojamos p ∈ A1B1, p 6∈ r1, r2. Consideramos la recta s dada por 3.3.4 que cumplep ∈ s, s ∩ l2 6= ∅, s ∩ l3 6= ∅. Veamos que s ∩ r1 = ∅. Si suponemos lo contrario,

s ∩ r1 6= ∅ =⇒ s ∨ r1 = π =⇒

A1, p ∈ πA2, s ∩ l2 ∈ πA3, s ∩ l3 ∈ π

Como s 6= r1, o bien A2 6= s ∩ l2, o bien A3 6= s ∩ l3. Supongamos, sin pérdida degeneralidad, que A3 6= s ∩ l3. En ese caso, B1 ∈ A1 ∨ p ⊆ π y B3 ∈ A3 ∨ s ∩ l3 ⊆ π.Si B1, B3 ∈ π, entonces r2 ∈ π. Si r1, r2 ⊆ π, r1 ∩ r2 6= ∅, una contradicción.Podemos ver análogamente que s ∩ r2 = ∅. Por lo tanto, podemos considerarla perspectividad g : r1 → r2 desde s. En esta, g(A1) = (A1 ∨ s) ∩ r2 3 B1.Como sabemos que la perspectividad está bien definida, g(A1) = B1. Análogamente,g(A2) = B2, g(A3) = B3. Por ser f y g proyectivadades y cumplir g(Ai) = Bi =f(Ai), formando Ai y Bi referencias en sus respectivas rectas, f = g.

2. Supongamos n ≥ 4. Sea V = r1 ∨ r2, con dim V = 3 por Grassman (r1 ∩ r2 = ∅).Aplicamos el caso 1 en la variedad V , con lo que obtenemos s ⊆ V tal que f esperspectividad desde s en V . Veamos que también es una perspectividad en Pn. SeaW0 una variedad suplementaria a V . Sea W = W0 ∨ s. Consideramos h : r1 → r2 laperspectividad de centro W . Esta cumple h = f .

�

Observación 3.3.6. Si r1 6= r2 pero r1 ∩ r2 6= ∅, entonces r1 ∨ r2 = V ⊆ Pn, donde Vtiene dimensión 2 por Grassman y por lo tanto se puede aplicar 3.3.3.

3.4. Clasificación y estudio de homografías

3.4.1. Clasificación de homografíasDefinición 3.4.1. Sean f, g : P → P homografías (f = [ϕ], g = [ψ], ϕ, ψ : E → Eendomorfismos). Decimos que f ∼ g si y solo si (son equivalentes):(i) ∃h homografía t. q. g = h−1fh

(ii) ∃η : E→ E endomorfismo, ∃λ ∈ k, λ 6= 0 t. q. ψ = λη−1ϕη

(iii) ∃S ∈Mm+1,n+1 (k) ,∃λ ∈ k, λ 6= 0 t. q. B = λS−1AS, donde

• A = MR (f) = MR,R (f)• B = MR (g) = MR,R (g)

(iv) ∃R1,R2 t. q. MR1 (f) = MR2 (g)Observación 3.4.2. B = λS−1AS = S−1 (λA)S ⇐⇒ B y λA son equivalentes comomatrices de endomorfismos ⇐⇒

QA(t) descompone⇐⇒

totalmente

{vaps B} = λ

µi︷︸︸︷{vaps A}

∀i, dim(Nuc (B − λµiI)k

)= dim

(Nuc (A− µiI)k

),∀k

Es la misma estructura que en las cajas de Jordan.

3.4. CLASIFICACIÓN Y ESTUDIO DE HOMOGRAFÍAS 59

Ejemplo 3.4.3.

• f → A = MR (f)→ QA (t) = (t− 2)2 (t− 4) (t− 6)3

• g → B = MR (g)→ QB (t) = (t− 1)2 (t− 2) (t− 3)3

JA =

2 01 2

46 01 6

6

; JB =

1 01 1

23 01 3

3

3.4.2. Homografía dual y variedades f-invariantesDefinición 3.4.4. En P = P (E), sea f = [ϕ] : P → P una homografía, la homografíadual de f es

f ∗ := [ϕ∗] : P∗ → P∗.

Observación 3.4.5. P,R referencia → (P∗,R∗)

1. f : P → P, A = MR (f) mueve puntos de P. f ∗ : P∗ → P∗, At = MR∗ (f ∗) muevepuntos de P∗ (hiperplanos de P).

2. JA = JAt , ya que

• QA (t) = det (A− t Id) = det((A− t Id)t

)= det

(At − t Id

)= QAt (t) =⇒

vaps de A = vaps de At

• dim(Nuc (A− λi Id)k

)= dim

(Nuc

(At − λi Id

)k)Definición 3.4.6. Sea f = [ϕ] : P→ P homografía,

1. p ∈ P es un punto fijo de f ⇐⇒ f (p) = p.

2. Sea V ⊆ P una variedad lineal, V es una variedad lineal de puntos fijos ⇐⇒ ∀p ∈V, f (p) = p.

3. Sea V ⊆ P una variedad lineal, V es una variedad fija de f (o es f -invariante)⇐⇒ f (V ) ⊆ V

f biyectiva⇐⇒ f (V ) = V .

Observación 3.4.7.

1. p = [v] es un punto fijo de f ⇐⇒ f (p) = [ϕ (v)] = [v] = p ⇐⇒ ∃λ 6=0 t. q. ϕ (v) = λv ⇐⇒ v es vep de ϕ.

2. V = [F ] variedad de puntos fijos ⇐⇒ ∀v ∈ F, v es vep de ϕ ⇐⇒ ∃λ 6=0 t. q. ∀v ∈ F, ϕ (v) = λv ⇐⇒ ∃λ 6= 0 t. q. F ⊆ Nuc (f − λ Id).

3. V = [F ] es f -invariante ⇐⇒ F es ϕ-invariante.


Ejemplo 3.4.8. Queremos encontrar las variedades f -invariantes (o los subespacios ϕ-invariantes).Sea f : P4 → P4 y sea R = {p0, p1, p2, p3, p4; p} y sea

A = M (f ;R) =

2 01 2

33 01 3

Tenemos que:

• Puntos fijos: p1, p2 ∨ p4 (recta de puntos fijos).

• Rectas invariantes: p2 ∨ p4, p0 ∨ p1, p3 ∨ p4.

• Planos invariantes: p0 ∨ p1 ∨ p2, p2 ∨ p3 ∨ p4, p1 ∨ p3 ∨ p4, p0 ∨ p1 ∨ p4.

Veamos ahora los hiperplanos fijos: f (H) = H ⇐⇒ f ∗ (H∗) = H∗

H : a0x0 + · · ·+ anxn = 0 ⇐⇒ H∗ = (a0 : · · · : an)t

At = MR∗ (f ∗) =

2 10 2

33 10 3

; R∗ = {p∗0, p∗1, p∗2, p∗3, p∗4; p}B∗ = {ω0, . . . , ω4}, ωi = v∗i

Encontramos los veps de At:ω0λ1 = 2→ ω0 = (2 : 0 : · · · : 0)t,ω2

ω3

λ2 = 3 =⇒ [ω2, ω3] veps de vap 3, a (0 : 1 : 0 : 0 : 0)t + b (0 : 0 : 1 : 0 : 0)t =

(0 : a : b : 0 : 0)t.Por lo tanto,

• Hiperplanos invariantes:

– H0 : x0 = 0– Ha,b : ax1 + bx2 = 0,∀a, b ∈ R

Proposición 3.4.9. Sea f : P→ P homografía,

(1) p = [v] es un punto fijo de f ⇐⇒ v vep de f , es decir, de A,

(2) H es un hiperplano f -invariante ⇐⇒ H∗ vep de f ∗, es decir, de At,

(3) Hay una biyección entre puntos fijos e hiperplanos f -invariantes,

(4) V1, V2 f -invariantes =⇒ V1 ∩ V2, V1 ∨ V2 son f -invariantes,

(5) V es f -invariante ⇐⇒ V ∗ es f ∗-invariante,


(6) Si Qϕ (t) descompone totalmente, V f -invariante =⇒ ∃p ∈ P punto fijo, ∃H ⊆ Phiperplano f -invariante t. q. p ∈ V ⊆ H.

Demostración.

(1) Visto.

(2) Por dualidad de (1) y (5).

(3)QA (t) = QA ∈ (t)JA = JAt

=⇒ dim(Nuc (A− λ Id)

)= dim

(Nuc

(At − λ Id

)).

(4) F1, F2 son ϕ-invariantes =⇒ F1 ∩ F2, F1 + F2 son ϕ-invariantes.

(5) Veamos cada implicación por separado=⇒V ∗ = {H ⊆ P|V ⊆ H}. Sea H0 ∈ V ∗ =⇒ V ⊆ H0 =⇒ f (V ) ⊆ f (H0) =⇒f ∗ (H∗0 ) = f (H0) ∈ V ∗ =⇒ V ∗ es f ∗-invariante.

⇐=Dual de la otra impliecación: (f ∗)∗ = f, (V ∗)∗ = V .

(6) ∃p ∈ P punto fijo t. q. p ∈ V, V = [F ] ⊆ P = P (E) , f = [ϕ]. V f -invariante⇐⇒ F ϕ-invariante.F ⊆ E ϕ-invariante =⇒ Qϕ|F (t) divide a Qϕ (t). En este caso,

Qϕ (t) = (−1)n (t− λ1)δ1 . . . (t− λr)δr =⇒Qϕ|F (t) = (−1)d (t− λ1)µ1 . . . (t− λr)µr , 0 ≤ µi ≤ δi.

Por tanto ∃λi vap de ϕ|F y por tanto ∃ωi ∈ F, ϕ (ωi) = λiωi =⇒ f (p) =p(p = [ωi] ∈ V

).

Veamos que ∃H ⊆ P hiperplano f -invariante t.q. V ⊆ H,

V ⊆ H ⇐⇒f -inv. por (5)︷︸︸︷

V ∗ ⊇f -inv. por (2)︷︸︸︷

H∗

�

3.4.3. Algunas familias de homografías3.4.3.1. Involuciones

Definición 3.4.10. Sea f : P→ P una homografía,

f es una involución ⇐⇒ f 6= Id, f 2 = Id


f = [ϕ] es involución ⇐⇒ϕ 6= Id∃λ t. q. ϕ2 = λ Id (λ 6= 0)

Observación 3.4.12. Sea k = R,mϕ (t) |(t2 − λ

)


• Caso 1: λ < 0→ no podemos deducir nada más

• Caso 2: λ = a2 > 0→ mϕ (t) =

(t− a)→ ϕ− a Id = 0 =⇒ ϕ = a Id→ No(t+ a)→ ϕ+ a Id = 0 =⇒ ϕ = −a Id→ No(t2 − a2

)= (t− a) (t+ a)

Conclusión: ϕ diagonaliza. Por tanto, ∃B t.q.:

MB (ϕ) =

a. . .

a−a

. . .−a

, MR (f) Matriz de ϕ

=salvo const.

1. . .

1−1

. . .−1

R = {q0 = [v0], . . . , qr = [vr], qr+1 = [vr+1], . . . , qn = [vn]; q}.Sean V = q0∨. . . qr,W = qr+1∨· · ·∨qn variedades de puntos fijos, V yW suplementarias.Sea q ∈ P.

• q ∈ V o q ∈ W =⇒ f (q) = q.

• q /∈ V,W . Como V,W son suplementarias, ∃!L recta t.q. q ∈ L,L ∩ V = {q0}, L ∩W = {q1}. Como q0 ∈ V, q1 ∈ W =⇒ q0, q1 puntos fijos =⇒ l = qo ∨ q1 esf -invariante.q ∈ L =⇒ f (q) ∈ L,(

q0, q1, q, f (q))

=(f (q0) , f (q1) , f (q) , q

)=(q0, q1, f (q) , q

)=⇒

=⇒ (q0, q1, q, f (q)

)= −1.

Ejemplo 3.4.13. Sea f : P3 → P3

A = M (f ;R) =

0 −11 2

−1−1

, R = {p0, p1, p2, p3; p}B = {v0, v1, v2, v3}

QA = (t+ 1)2 (t− 1)2, λ1 = −1, δ1 = 2 (multiplicidad algebraica), λ2 = 1, δ2 = 2. Veps:[(0 : 0 : 1 : 0)t , (0 : 0 : 0 : 1)t

],[(1 : −1 : 0 : 0)t

].

• Puntos fijos: p2 ∨ p3 (recta), q = (1 : −1 : 0 : 0).

• Planos fijos:Rα =

{[ω0], [ω1], [ω2], [ω3]; [ω]

}, ωi = vαi .

At =

0 1−1 2

−1−1

, λ1 = −1 [ω2, ω3] ={ω ∈ Eα|ω = (0 : 0 : A : B)t

}λ2 = 1

[(1 : 1 : 0 : 0)t

]

H1 : x0 + x1 = 0HA,B : Ax2 +Bx3 = 0Por tanto, vemos que hay una biyección entre puntos e hiperplanos fijos.


• Rectas fijas:L = p2 ∨ p3 (de puntos fijos).Usaremos que v1, v2 fijas =⇒ v1∨v2 fijas: Lα,β =

[(1 : −1 : 0 : 0)t

]∨[(0 : 0 : α : β)t

].

Usaremos que v1, v2 fijas =⇒ v1 ∩ v2 fijas:

HA=1,B=0 ∩HA=0,B=1 ={x2 = 0x3 = 0

}= p0 ∨ p1

H ∩HA,B ={

x0 + x1 = 0Ax2 +Bx3 = 0

}=⇒

[(1 : −1 : 0 : 0)t

]∨[(0 : 0 : B : −A)t

]= LB,−A.

Observación 3.4.14. Método para encontrar todas las rectas f -invariantes. (Tambiénvariedades invariantes de dim n− 2)

• Opción 1 (sistemática): L f -invariante =⇒ ∃p, π, un punto y un hiperplano,respectivamente, f -invariantes t. q. p ∈ L ⊆ π. Nos dice que todas las varie-dades invariantes de dim n − 2 viven dentro de hiperplanos fijos. Por tanto, ∀πf−invariante, consideramos f|π y, como L son hiperplanos dentro de π, encontra-mos L f -invariantes como los veps de

(f|π)∗.

• Opción 2: En todo hiperplano f -invariante π, tiene que haber el mismo número depuntos fijos que de variedades de dim n− 2 f -invariantes (hay una biyección entrepuntos e hiperplanos fijos de π).

Ejemplo 3.4.15.

π = H : x0 + x1 = 0 ≡[(1 : −1 : 0 : 0)t

]∨[(0 : 0 : 1 : 0)t

]∨[(0 : 0 : 0 : 1)t

]

C = M(f|H

)= M

(ϕ|F

)=

1 0 00 −1 00 0 −1

L ⊆ π f -invariante ⇐⇒ su ecuación en π es un vep de Ct (hiperplano en π).

Inductivamente podríamos encontrar variedades de dim < n − 2 considerándolas dentrode variedades fijas de dim 1. Además, siendo así hiperplanos que serán fijos ⇐⇒ sonveps de la aplicación dual de la restricción.Ejemplo 3.4.16. Involuciones.

1. P1

A = M (f ;R) =(

3 17 −3

),λ1 = 4 v1 = (1 : 1)λ2 = −4 v2 = (1 : −7) =⇒

∃RA = M (f ;R) =(

4 00 −4

)∼(

1 00 −1

)A2 = 16 Id =⇒ f 2 = Id.

2. A = M (f ;R) =(

0 −11 0

),

A2 =(−1 00 −1

)= − Id =⇒ f 2 = Id =⇒ f involución

A no diagonaliza, QA (t) = t2 + 1.


Observación 3.4.17. Si k = C, f 2 = Id =⇒ f siempre diagonaliza:

a. . .

a−a

. . .−a

.

Es un caso diagonalizable de k = R.

3.4.3.2. Homologías

Definición 3.4.18. Sea f : P→ P una homografía (f 6= Id)

• f es una homología ⇐⇒ f tiene un hiperplano de puntos fijos.

• f es una homología general ⇐⇒ f es una homología y tiene, además, otro puntofijo.

• f es una homología especial ⇐⇒ f es una homología y no es una homologíageneral.

Proposición 3.4.19. Sea f : P → P una homología. Entonces, ∃R referencia tal queA = M (f ;R).

• f es una homología general ⇐⇒ A =

1

. . .1

a

, a 6= 1.

• f es una homología especial ⇐⇒ A =

1 01 1

. . .1

.

Demostración. f = [ϕ]. P = P (E); dimP = n, dimE = n+ 1.

Qϕ (t) = (−1)n+1 (t− λ)n︸︷︷︸hay un hiperplanode puntos fijos

(t− µ) , λ 6= 0, gr(Qϕ (t)

)= n+ 1.


• Si µ 6= λ: λ → ma = n

dim Nuc(ϕ−λ Id)≥n︷︸︸︷mg ≥ n =⇒ mg = n

µ → ma = 1 mg = 1

Teorema de

=⇒diagonalización

=⇒ ϕ diagonaliza =⇒ ∃B t. q. A = M (ϕ;B) =

λ

. . .λ

µ

=

=

1

. . .1

a

, a 6= 1 (otro punto fijo) =⇒ f es una homología general.

• Si µ = λ, Qϕ (t) = (−1)n+1 (t− λ)n+1. Entonces, n+ 1 ≥ dim (ϕ− λ Id) ≥ n.

– dim (ϕ− λ Id) = n+ 1

ϕ diagonaliza =⇒ ∃B t. q. A = λ Id =⇒ f = Id→ contradicción.

– dim (ϕ− λ Id) = n

∃B t. q. M (ϕ,B) =

λ 01 λ

λ. . .

λ

=⇒

=⇒ ∃R t. q. M (ϕ,R) =

1 01 1

1. . .

1

=⇒

no hay más puntos fijos =⇒ f es una homología especial

�

3.4.4. Homografías de P1R

Posibles formas de Jordan:

(1) f = Id, A =(

1 00 1

)A diagonaliza y tiene un solo valor propio. Todos los puntos son fijos.

(2) A =(

1 00 a

), a 6= 1

A diagonaliza y tiene dos valores propios distintos. Hay dos puntos fijos, f es unahomología general. Para a = −1, f es una involución.


(3) A =(

1 01 1

)A no diagonaliza y tiene un solo valor propio. Hay un punto fijo, f es una homologíaespecial.

(4) A =(a bc d

)QA (t) = t2 − (trA) t+ detA =⇒ ∆ = (trA)2 − 4 detA < 0. A no tiene forma deJordan. No hay ningún punto fijo.

Observación 3.4.20. Las homografías en P2R pueden clasificarse en siete categorías.

3.5. Relación entre afinidades y proyectividades

f : An → An = Pn

R 7→ R(x1, . . . , xn) 7→ (1 : x1 : . . . : xn)(x1

x0, . . . ,

xnx0

)←[ (x0 : . . . : xn)

f : An → An afinidad (biyectiva)

f (x1, . . . , xn) =

a1...an

+ A

x1...xn

=

=

1 0 . . . 0a1... Aan

︸︷︷︸

A

1x1...xn

3.5.1. Las afinidades definen proyectividades

f biyectiva↔ detA 6= 0↔ detA 6= 0↔ A invertible

Definición 3.5.1. Llamaremos proyectividad asociada a f a una f t. q. :

f : An = Pn 7→ An = Pn

MR(f)

= A =

1 0a1... Aan

Proposición 3.5.2.

1. A∞ es f -invariante

3.5. RELACIÓN ENTRE AFINIDADES Y PROYECTIVIDADES 67

2. An = Pn \ An∞ es f -invariante y f |An = f

3. MR∞(f |A∞

)= A

Demostración.

1. An∞: x0 = 0→ f -invariante porque (1, 0, . . . , 0) es vector propio de At

2. Sea p ∈ An ⊆ Pn, p = (1 : b1 : . . . : bn). Entonces:

f (p) = A

1b1...bn

=

1 0a1... Aan

1b1...bn

= f (b1, . . . , bn) ∈ An

3. Como que en An∞, x0 = 0, y mientras que R = {p0, p1, . . . , pn; p}, tenemos que para

R∞ = {p1, . . . , pn, p∞} hay una coordenada menos debido a que se elimina x0, ypor lo tanto:

A = MR(f)

=

1 0a1... Aan

=⇒ MR∞

(f |A∞

)= A

�

3.5.2. Las proyectividades definen afinidadesSea g : Pn → Pn una proyectividad, sea A = MR (g) y supongamos H un hiperplano

g-invariante.

An = Pn \H → Pn = An

R 7→ R = {/∈H︷︸︸︷p0 ,

∈H︷︸︸︷p1, . . . , pn; p}︸︷︷︸

H: x0=0

A =

λ 0 . . . 0a1... Aan

1/λ∼λ 6=0

1 0 . . . 0a1... Aan

Definición 3.5.3. Llamaremos gaf : An → An a la afinidad inducida por g en An = Pn\Hy tenemos que:

MR (gaf) =

1 0 . . . 0a1... Aan

Ejemplo 3.5.4.

1. Consideramos la proyectividad g : P2R → P2

R y una referencia R t. q. :

MR (g) =

11 1

1


que tiene como valores y vectores propios:

λ1 = 1 =⇒ v1 = (1, 0, 0) =⇒ H1: x0 = 0λ2 = 1 =⇒ v2 = (0, 0, 1) =⇒ H2: x2 = 0

Por lo tanto tenemos dos posibles casos para el hiperplano:

(a) H1: x0 = 0Si restringimos todo a P2 \H1, como MR (gaf) = MR (g), tenemos que:

gaf (x, y) =(

10

)+(

1 00 1

)(xy

)

que es una translación en A2 = P2 \H1.(b) H2: x2 = 0

Si R = {p0, p1, p2; p}, definimos R = {p2, p0, p1; p} y por lo tanto en estareferencia tenemos:

MR =

111 1

y H3: x0 = 0

Y por lo tanto tenemos queMR (g) = MR (gaf), lo que nos dice que en P2 \H3,

gaf (x, y) =(

00

)+(

1 01 1

)(xy

)

que es una homología especial.

2. Sea g : P3 → P3 una proyectividad t. q.

MR (g) =

1−1

−1−1

es una Homografía con un punto fijo O = (1 : 0 : 0 : 0) y un hiperplano de puntosfijos H = p1∨p2∨p3 (en concreto es una Homología general). Por lo tanto tenemosdos posibles casos para el hiperplano:

(a) H: x0 = 0Equivalentemente al ejemplo 1 tenemos que:

gaf (x, y, z) =

−1−1

−1

xyz

que es una Homotecia de razón µ = −1.

3.5. RELACIÓN ENTRE AFINIDADES Y PROYECTIVIDADES 69

(b) H: x1 = 0Si R = {p0, p1, p2, p3; p}, definimos R = {p1, p0, p2, p3; p} y por lo tanto en estareferencia tenemos:

MR =

−1

1−1

−1

=

1−1

11

= MR(g|A3=P3\H

)y H: x0 = 0

y por lo tanto, en P3 \H,

gaf (x, y, z) =

−11

1

que es una simetría especular.

Tema 4

Cónicas y cuádricas

4.1. Definiciones y propiedades básicasDefinición 4.1.1.

1. Una cuádrica Q de Pnk = P (E) es la clase de equivalencia de una forma cuadráticaq : E→ k, q ∼ q′ ⇐⇒ ∃λ 6= 0 t. q. q′ = λq. Notación: Q = [q].

2. Si n = 2, las llamamos cónicas.

3. p = [u] ∈ Pn, p ∈ Q ⇐⇒ q (u) = 0 (p es un punto de Q).

4. También notaremos por Q, el conjunto de todos los puntos de Q:

Q ={p = [u] | q (u) = 0

}Ejemplo 4.1.2.

1. En P2R, sea Q : x2

0 + x21 − x2

2 una cónica.

• p =[(1, 0, 1)t

]∈ Q : verifica x2

0 + x21 − x2

2 = 0.

• p′ =[(0, 1, 1)t

]∈ Q.

• p′′ =[(

1, 1,√

2)t] ∈ Q.

2. En P2R, sea Q : x2

0 + x21 + x2

2 =⇒ puntos = ∅.

• Q1 : x20 + 2x2

1 = 0 =⇒ p = (0 : 0 : 1) punto único.• Q1 : 3x2

0 + 5x21 = 0 =⇒ p = (0 : 0 : 1) punto único.

Observación 4.1.3. Sean Q, q : E → k (cark 6= 2) asociada a ϕ : E × E → k, Q = [q],entonces q ↔ ϕ de la siguiente forma:

q (u)→ ϕ (u, v) = 12[q (u+ v)− q (u)− q (v)

]q (u) = ϕ (u, u)← ϕ (u, v)

71

72 TEMA 4. CÓNICAS Y CUÁDRICAS

Definición 4.1.4. Pn = P (E), sea q : E→ k asociada a ϕ : E× E→ k, Q = [q]. Sean Runa referencia de Pn, B una base de E adaptada a R.

MR (Q) := MB (q) por def.= MB (ϕ)

MR (Q) está definida salvo multiplicar por una constante.

Ejemplo 4.1.5. En P2R, sean R (de P2), B (de R3). Sea Q : x2

0 + x21 + 2x2

2 − 2x0x1 +4x0x2 + 6x1x2 = 0.

MR (Q) = MB (q) = A =

1 −1 2−1 1 32 3 2

,

p ∈ Q ⇐⇒(x0 x1 x2

) 1 −1 2−1 1 32 3 2

x0x1x2

= 0.

Observación 4.1.6. Si A = MR (Q) , pR = (x0 : · · · : xn) = x, entonces tenemos quep ∈ Q ⇐⇒ xtAx = 0.

Ejemplo 4.1.7. Sean Q = [q],R, A = MR (Q). Sea R′ otro sistema de referencia enPn y sea SR,R′ la matriz de cambio de sistema de referencia de R a R′. Entonces A′ =MR′ (Q) = StAS.

Definición 4.1.8. Sea Q = [q] ⊆ Pn una cuádrica y sea V = [F ] ⊆ Pn una variedadlineal. Definimos su intersección como

Q|V :=[q|F].

Si q|F 6= 0, entonces Q|V es una cuádrica en V .

Ejemplo 4.1.9. En P3R, sea q = x2

0 + x22 + x2

2 − x23 + 2x0x1 − 2x1x2 = 0 y sea V =

[F ] : x0 + x1 = 0 (un plano). Tenemos que F =[(1,−1, 0, 0)t , (0, 0, 1, 0)t , (0, 0, 0, 1)t

].

A = MB (q) =

1 1 0 01 1 −1 00 −1 1 00 0 0 −1

=⇒

=⇒ MB

(q|F)

=

1 −1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 1 0 01 1 −1 00 −1 1 00 0 0 −1

1 0 0−1 0 00 1 00 0 1

=

=

0 1 01 1 00 0 −1

.La matriz MB

(q|F)es, como se puede observar, la matriz de una cuádrica en V .

Proposición 4.1.10. Sea Q = [q] ⊆ Pn una cuádrica y sea V = [F ] ⊆ Pn una variedadlineal. Se satisface que

4.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES BÁSICAS 73

(1) q|F = 0 ⇐⇒ V ⊆ Q.

(2) q|F 6= 0 =⇒ Q|V = Q ∩ V .

Demostración.

(1) q|F = 0 ⇐⇒ ∀v ∈ F, q (v) = 0 ⇐⇒ ∀p = [v] ∈ V, p ∈ Q.

(2) Sea p = [v]. Entonces,

p ∈ Q|V ⇐⇒{q (v) = 0v ∈ F

}⇐⇒

{p ∈ Qp ∈ V

}⇐⇒ p ∈ Q ∩ V.

�

Proposición 4.1.11. Sea Q = [q] y sea f : Pn → Pn una homografía.

(1) f (Q) es una cuádrica.

(2) Sea R una referencia en Pn y sean A = MR (Q) , P = MR (f). Entonces,

MR(f (Q)

)=(P−1

)tA(P−1

).

Demostración.

(1) Sea p ∈ f (Q) y sea y = pR = (y0, . . . , yn)t. Por ser f una homografía, es biyectivay(f−1 (p)

)R

= P−1y.

p ∈ f (Q) ⇐⇒ f−1 (p) ∈ Q ⇐⇒(P−1y

)tA(P−1y

)= 0 ⇐⇒

⇐⇒ yt((P−1

)tAP−1

)y = 0,

y como que((P−1

)tAP−1

)es una matriz simétrica, f (Q) es una cuádrica.

(2) yt((P−1

)tAP−1

)y = 0 ⇐⇒ p ∈ f (Q) ⇐⇒ ytMR

(f (Q)

)y = 0, de lo que

concluimos que MR(f (Q)

)=(P−1

)tA(P−1

).

�

Definición 4.1.12. Sea Q = [q] ⊆ Pn, sea p = [v] ∈ Q y sea ϕ la forma bilineal simétricaasociada a q. Entonces,

(1) Decimos que p es un punto singular de Q ⇐⇒ ϕ (v, ·) = 0.

(2) Decimos que p es un punto liso de Q si no es un punto singular.

(3) Decimos que Q es no degenerada ⇐⇒ Q no tiene puntos singulares.

Observación 4.1.13. Sea A = MR (Q), sea p ∈ Q y sea pR = (a0, . . . , an)t.

(1) p ∈ Q es un punto singular ⇐⇒ (x0, . . . , xn)A (a0, . . . , an)t = 0, ∀ (x0, . . . , xn) ⇐⇒(a0, . . . , an) ∈ NucA.

(2) Q es no degenerada ⇐⇒ rg (A) = n+ 1 ⇐⇒ detA 6= 0.


4.2. Tangencia y polaridadEjemplo 4.2.1.

1. Cuádricas de P1

(a) P1R

Sea q : ax20 + cx2

1 + 2bx0x1 = 0 una cuádrica. Tenemos:

Q ⇐⇒ qR⇐⇒ A =

(a bc d

)

Y por lo tanto podemos considerar dos casos:i. a = 0 Tenemos entonces que:

0 = cx21 + 2bx0x1 = x1 (cx1 + 2bx0)

Lo que nos da dos casos:

x1 = 0 =⇒ p1 = (1, 0) y p2 cualquierao bien

p2 = (−c, 2b) y p1 cualquiera

Notemos que si a = 0 y b = 0 tenemos que p1 = p2.ii. a 6= 0 =⇒ (1, 0) no es solución =⇒ a

(x0x1

)2+ 2b

(x0x1

)+ c = 0, y si

definimos x = x0x1

tenemos ax2 + 2bx+ c = 0 =⇒ x = −2b±√−4 detA

2a

Y por lo tanto, si detA = 0, q es un punto doble en P1R, si detA > no hay

ningun punto que pertenezca a la cuádrica y si detA < 0 q son dos puntosdistintos.

(b) P1C. Usando el mismo analisis que antes llegamos a que si detA = 0, la cuádrica

es un punto doble y si detA 6= 0 la cuádrica son dos puntos distintos.

2. P2R

Q

L

L′

L′′

Observación 4.2.2. Sea Q ⊆ Pn una cuádrica y L ⊆ Pn una recta y F un subespaciovectorial de dimensión 2 t. q. [F ] = L. Podemos estudiar las posiciones relativas de lacuádrica y la recta:

4.2. TANGENCIA Y POLARIDAD 75

• Q|L =[q|F ≡ 0

]⇐⇒ L ⊆ Q (ver ejemplo 4.2.3)

• L 6⊆ Q =⇒ Q|L es una cuádrica de L =⇒ L ∩ Q = ∅, L ∩ Q ≡ 1 punto doble,L ∩Q ≡ 2 puntos distintos.

Ejemplo 4.2.3. Sea Q ⊆ P3 t. q. Q : x20 + x2

1 − x22 − x2

3 = 0, sean p1 = (0 : 1 : 1 : 0) yp2 = (1 : 0 : 0 : 1) puntos del proyectivo y L = p1 ∨ p2 una recta. Entonces tenemos que:

Q|L =(

0 1 1 01 0 0 1

)1

1−1

−1

1 00 10 11 0

= ∅

Definición 4.2.4. Sean L una recta y Q una cuádrica:

(1) Si L ⊆ Q diremos que L es una generatriz de Q.

(2) Si L ∩Q ≡ 2 puntos diremos que L es secante a Q.

(3) Si L ∩Q ≡ 1 punto (doble) o L ⊆ Q diremos que L es tangente a Q.

Proposición 4.2.5. Sean φ una forma bilineal y q y Q una cuádrica t. q. [φ] = [q] =Q ⊆ P2. Entonces tenemos los siguientes resultados para cuádricas:

(1) Sea L = p1 ∨ p2 t. q. p1 = [v1] y p2 = [v2]. Entonces:

• L es generatriz de Q ⇐⇒ φ (v1, v1) = φ (v2, v2) = φ (v1, v2) = 0.• L es tangente a Q ⇐⇒ φ (v1, v1)φ (v2, v2)− φ (v1, v2)2 = 0.

(2) Si p ∈ Q y p singular, entonces toda recta L t. q. p ∈ L es tangente a Q.

(3) si p ∈ Q y p liso, entonces {p′ ⊆ Pn|L = p ∨ p′ es tangente a Q} es el hiperplanoTp (Q) (el hiperplano tangente a Q en p) y tiene de ecuación

(a0, . . . , an)A

x0...xn

= 0

Donde pR = (a0 : · · · : an), p′R = (x0 : · · · : xn) y A = MR (Q).

Demostración.

(1) Sea F un subespacio vectorial t. q. L = [F ] = [v1, v2]. Entonces

MR(Q|L

)= MR

(q|F)

=(φ (v1, v1) φ (v1, v2)φ (v2, v1) φ (v2, v2)

)= B

Y por lo tanto:

• L generatriz por definición⇐⇒ q|F ≡ 0 ⇐⇒ φ (v1, v1) = φ (v1, v2) = φ (v2, v2) = 0.


• L es tangente a Q ⇐⇒{

L generatriz ⇐⇒ B = 0L ∩Q ≡ 1 punto doble ⇐⇒ detB = 0

}⇐⇒

φ (v1, v1)φ (v2, v2)− φ (v1, v2)2 = 0

(2) Recordemos que p = [v] singular ⇐⇒ φ (v, ů) = 0. Ahora sea L = p∨ p′. Entoncestenemos:

B = MR(Q|F

)=��: 0φ (v1, v1) ��

��: 0φ (v1, v2)

��

�: 0φ (v2, v1) φ (v2, v2)

=⇒ detB = 0 (1)=⇒ L es tangente a Q

(3) Recordemos que p = [v] es punto liso de q ⇐⇒ φ (v, v) = q (v) = 0. Sea L =p ∨ p′ = [v] ∨ [v′] y sea :

B = MR(q|F)

=(φ (v, v) φ (v, v′)φ (v′, v) φ (v′, v′)

)

Entonces tenemos que L es tangente a Q ⇐⇒ detB = 0 ⇐⇒ φ (v, v)φ (v′, v′)−φ (v, v′)2 ⇐⇒ φ (v, v′) = 0. Pero además, como

φ(v, v′

)= 0 =⇒ (a0, . . . , an)A

x0...xn

= 0

Y por lo tanto, como (a0, . . . , an)A 6= 0 porque A es simétrica y A

a0...an

6= 0 (ya

que p no es singular), el conjunto de puntos p′ t. q. L es tangente a Q cumplen laecuación anterior y son un hiperplano.

�

Ejemplo 4.2.6.

1. Sea Q ⊆ P3 una cuádrica t. q. Q : x20 + x2

1 − x22 − x2

3 = 0, A la matriz asociada yp = (1 : 0 : 0 : 1) un punto de Q. Como p 6∈ Nuc (A), p es un punto liso y por lotanto, aplicando el apartado 3 de la proposición anterior temeos que Tp (Q) tienecomo ecuación:

(1, 0, 0, 1)A

x0x1x2x3

= 0 =⇒ (1, 0, 0,−1)

x0x1x2x3

= 0 =⇒ x0 − x3 = 0

2. Sea Q : −x20 + x2

1 + x22 + x2

3 = 0 y p = (1 : 0 : 0 : 1) ∈ Q, igual que en el ejemploanterior tenemos que p es liso, y siguiendo el prodecimiento del ejemplo anteriorllegamos a que Tp (Q) tiene como ecuación −x0 + x3 = 0.

4.2. TANGENCIA Y POLARIDAD 77

4.2.1. PolaridadDefinición 4.2.7. Sea Q = [q] = [φ] una cuádrica y sea A = MR (Q) su matriz. Entoncesdiremos que Q es no degenerada ⇐⇒ detA 6= 0. Es decir, las cuádricas no degeneradasson aquellas que no tienen puntos singulares.

Definición 4.2.8. Sea Q una cuádrica no degenerada t. q. Q = [q] = [φ] y A = MR (Q).Sean p1 = [v1] y p2 = [v2] dos puntos ∈ Pn. Entonces diremos que p1 y p2 son polaresrespecto a Q ⇐⇒ φ (v1, v2) = 0 y lo notaremos con p1

Q∼ p2.

Proposición 4.2.9. Sea Q ⊆ Pn una cuádrica y p1, p2 ∈ Pn dos puntos. Entonces:

(1) p1Q∼ p1 ⇐⇒ p ∈ Q.

(2) Si p1, p2 ∈ Q, entonces p1Q∼ p2 ⇐⇒ L = p1 ∨ p2 ⊆ Q.

(3) Si p1 ∈ Q, p2 6∈ Q, entonces p1Q∼ p2 ⇐⇒ L = p1 ∨ p2 ⊆ Tp1 (Q).

(4) Si p1, p2 6∈ Q, L = p1 ∨ p2 y L ∩Q 6= ∅, entonces p1Q∼ p2 ⇐⇒ L es secante a Q y

(p1, p2, p3, p4) = −1, donde p3, p4 son los puntos de L ∩Q.

(5) Fijado p = [v], entonces{p′ ∈ Pn|p′ Q∼ p

}= Hp (Q) es un hiperplano (hiperplano

polar a p) de ecuación vA

x0...xn

= 0.

Demostración. Sea B una matriz t. q. B = MR (Q ∩ L) =(φ (v1, v1) φ (v1, v2)φ (v2, v1) φ (v2, v2)

). En-

tonces:

(1) Por definición, p1Q∼ p1 ⇐⇒ φ (v, v) = 0 ⇐⇒ q (v) = 0 ⇐⇒ p ∈ Q.

(2) Por definición, p1Q∼ p2 ⇐⇒ φ (v1, v2) = φ (v2, v1) = 0, y como p1, p2 ∈ Q =⇒

φ (v1, v1) = φ (v2, v2) = 0, entonces φ (v1, v2) = φ (v2, v1) = 0 ⇐⇒ B = ∅ ⇐⇒L ⊆ Q.

(3) Por definición, p1Q∼ p2 ⇐⇒ φ (v1, v2) = φ (v2, v1) = 0, y como p1 ∈ Q =⇒

φ (v1, v1) = 0, entonces φ (v1, v2) = φ (v2, v1) = 0 ⇐⇒ B =(

0 00 c

)con c 6= 0

porque p2 6∈ Q y por lo tanto detB 6= 0 lo que nos dice que B =(

0 00 c

)⇐⇒ L ⊆

Tp1 (Q).

(4) Por definición, equivalentemente a el prodecimiento de los apartados anteriores

llegamos a que B =(a 00 b

)con a, b 6= 0. Cojamos una referencia R t. q. p1 =

(1 : 0) y p2(0 : 1) y consideremos la ecuación dada por L ∩Q:

(α, β)(a 00 b

)(αβ

)= 0 =⇒ α2a+ β2b = 0


que como p1 6∈ Q =⇒ β 6= 0 y por lo tanto si z = αβtenemos:

a

(α

β

)2

+ b = 0 =⇒ az2 + b = 0 =⇒ z = ±√−ba

que tiene dos soluciones porque tenemos como hipótesis que L ∩ Q 6= ∅ y por lotanto L es secante a Q. Además tenemos que p3 =

(√−ba

: 1)y p4 =

(−√−ba

: 1).

Finalmente es fácil comprobar que (p1, p2, p3, p4) = −1.

(5) Por definición, p Q∼ p′ ⇐⇒ φ (v, v′) = 0 ⇐⇒ vA

x0...xn

= 0 y como vA 6= 0,

Hp (Q) es un hiperplano.

�


(1) Si p ∈ Q entonces Hp (Q) = Tp (Q).

(2) Como p1Q∼ p2 ⇐⇒ p2

Q∼ p1, tenemos que p1 ∈ Hp2 (Q) ⇐⇒ p2 ∈ Hp1 (Q).

Ejemplo 4.2.11. En P2:

p

Hp = Tp

p1p2

p

Hp2 (Q) = Tp2 (Q)

Hp1 (Q) = Tp1 (Q)

p

A1

A2

l = HA1 (Q)

l′ = HA2 (Q)

Hp (Q)

4.3. CUÁDRICAS PROYECTIVAS Y AFINES 79

4.2.2. Cuádrica dualDefinición 4.2.12. Sea Q ⊆ Pn una cuádrica, A = MR (Q) su matriz asociada y sea

FQ(= F ) : Pn → (Pn)∗a0...an

7→ A

a0...an

una proyectividad t. q. si p ∈ Pn, F (p) =

(Hp (Q)

)∗. Entonces definimos Q∗ := F (Q) la

cuádrica dual de Q.

Proposición 4.2.13. Sea Q ∈ Pn una cuádrica, A = MR (Q) su matriz asociada yQ∗ = F (Q) su cuádrica dual. Entonces MR∗ (Q∗) = A−1

Demostración. Sea pR∗ = (b0 : · · · : bn) ∈ (Pn)∗ t. q. p ∈ Q∗ = F (Q) F biyectiva⇐⇒ A−1

b0...bn

=

F−1 (p) ∈ Q. Entonces por definición tenemos queA−1

b0...bn

T

A

A−1

b0...bn

= 0 ⇐⇒ (b0, . . . , bn)

(A−1

)Tb0...bn

= 0 ⇐⇒

⇐⇒ (b0, . . . , bn)A−1

b0...bn

= 0

�

4.3. Cuádricas proyectivas y afines

An ↔ An = Pn

(x0, . . . , xn) 7→ (1 : x1 : · · · : xn)(x1

x0, . . . ,

xnx0

)←[ (x0 : · · · : xn) , x0 6= 0.

Observación 4.3.1. Q proyectiva =⇒ Q0 afín: MR (Q) = A.

Q0 = Q ∩ An ={p ∈ An | p ∈ Q}→ Ecuaciones: (1, x1, . . . , xn)A

1x1...xn

= 0.


Ejemplo 4.3.2. A2 → P2

Q0 = Q ∩ A2

x0 = 1 ,

Q : x20 + x2

1 + x22 + 4x0x1 + 6x0x2 + 8x1x2 = 0

A =

1 2 32 1 43 4 1

1 + x20 + x2

1 + x22 + 4x0x1 + 6x0x2 + 8x1x2 = 0 =⇒ A =

1 2 32 1 43 4 1

Definición 4.3.3. Dada una cuádrica afín Q que cumple

A = MR (Q) =

c b1 . . . bnb1... A∞bn

Llamamos completación proyectiva de Q a la cuádrica proyectiva Q que cumple A =MR(Q).

Observación 4.3.4. Dada una cuádrica afín Q, su completación proyectiva Q es tal queQ ∩ An = Q.

Ejemplo 4.3.5. Q ⊆ A2

Q : 1 + 2x+ 4y + x2 +−5y2 + 4xy = 0 1 1 21 1 22 2 −5

Q : MR (Q) = A, x2

0 + x21 − 5x2

2 + 2x0x1 + 4x0x2 + 4x1x2 = 0.

Observación 4.3.6. Q ⊆ An,

A = MR (Q) =

c b1 . . . bnb1... A∞bn

x0=0=⇒ Q ∩ An

∞ : A∞

Ejemplo 4.3.7. P2, Q : x20 + x2

1 − x22 = 0.

1. Sea L1 : x0 = 0, Q ∩(A2 = P2 \ L1

)= C1, tenemos que

x0 = 1 =⇒ 1 + x21 − x2

2 = 0 =⇒ C1 hipérbola,Q ∩ L1 : x2

1 − x22 = 0

(x1 − x2) (x1 + x2) = 0, p1 = (0, 1, 1)t , p2 = (0,−1, 1)t .

4.3. CUÁDRICAS PROYECTIVAS Y AFINES 81

2. Sea L2 : x2 = 0, Q ∩(A2 = P2 \ L2

)= C2, tenemos que

x0 = 1 =⇒ x20 + x2

1 − 1 = 0 =⇒ C2 elipse,∅ = Q ∩ L1 : x2

0 − x21 = 0

(x1 − x2) (x1 + x2) = 0, p1 = (0, 1, 1)t , p2 = (0,−1, 1)t .

3. p1 = (0, 1, 1) , Hp1Q = Tp1Q :(0 1 1

)1 0 00 1 00 0 −1

x0x1x2

= 0→ x1 − x2 = 0.

Sea L3 = Tp1Q : x1 − x2 = 0, Q ∩(A2 = P2 \ L3

)= C3,

x0 = x0

x1 = x1 − x2

x2 = x1 + x2

=⇒

x0x1x2

=

S−1︷︸︸︷1 0 00 1 −10 1 1

x0x1x2

Q en R : 0 = x2

0 + x21 − x2

2 = x20 + (x1 − x2) (x1 + x2) =⇒ 0 = x2

0 + x1x2x1=1=⇒ 0 =

x20 + x2L3 en R : x1 = 0

Definición 4.3.8. Sea Q una cuádrica afín y Q su completación proyectiva(An = Pn

).

Sea p = [v] ∈ An, p es un centro de Q ⇐⇒ ϕ (v, ω) = 0, ∀[ω] ∈ An∞. Si Q no esdegenerada,

p es un centro de Q ⇐⇒ Hp

(Q)

= An∞

Observación 4.3.9. Cálculo del centro para Q no degenerada (detA 6= 0).An → Pn = An

Q 7→ Q

A = MR (Q) = MR(Q)

=

c b1 . . . bnb1... A∞bn

Supongamos que queremos encontrar un centro de Q, p = (1, a1, . . . , an) ∈ An. Sabemosque An

∞ = Hp(Q). Por lo tanto, tiene que cumplir

(1 a1 . . . an

)A

0x1...xn

= 0 ∀

0x1...xn

∈ An∞.

Esto se satisface si y solo si, para α 6= 0,(1 a1 . . . an

)A =

(α 0 . . . 0

)⇐⇒

⇐⇒(1 a1 . . . an

)

c b1 . . . bnb1... A∞bn

=(α 0 . . . 0

)


Que, finalmente, podemos desarrollar para obtener la siguiente condición para calcularlos centros de una cuádrica:

b1...bn

+ A∞

a1...an

=

0...0

Observación 4.3.10. Q no tiene centro ⇐⇒ An

∞ es tangente a Q

Observación 4.3.11. p ∈ An es un centro de Q ⇐⇒ p es un centro de simetría (esdecir, ∀L 3 p (recta), si L ∩Q 6= ∅, entonces, L ∩Q = {p1, p2} y p = 1

2 (p1 + p2)).

Demostración. Sea p′ el punto de corte entre la recta L completada y el hiperplano delinfinito.

• pQ∼ p′

• p /∈ Q, de lo contrario An∞ = Hp

(Q)

= Tp(Q), cosa que contradice el hecho de que

p es del afín.

• p′ /∈ Q, de lo contrario, como p 6∈ Q pero p Q∼ p′, 4.2.9 nos dice que L tiene un únicopunto de corte con Q, es decir, L ∩Q = ∅.

Por tanto, como hemos visto en 4.2.9L ∩Q = {p1, p2}(p1, p2, p, p

′) = −1 = (p1, p2, p)⇐⇒ p = 1

2 (p1 + p2) .

�

Definición 4.3.12. Sea Q una cuádrica con centro p ∈ An. Una asíntota de Q es unarecta L 3 p t.q. L es tangente a Q en un punto de An

∞.

Ejemplo 4.3.13. A2 → Q : 2xy + 4x + 4y + 2 = 0, A =

2 2 22 0 12 1 0

, detA 6= 0 (no

degenerada).

P2 → Q : 2x1x2 + 4x1x0 + 4x2x0 + 2x20 = 0, A =

2 2 22 0 12 1 0

,Q ∩ r∞r∞ : x0 = 0

=⇒ x1x2 = 0 =⇒p1 = (0, 0, 1)p2 = (0, 1, 0)

Asíntotas:

• r1 = Tp1

(Q)

(0 0 1

)2 2 22 0 12 1 0

x0x1x2

= 0 =⇒ 2x0 + x1 = 0 afín=⇒x0=1

r1 : 2 + x = 0

4.4. CLASIFICACIÓN PROYECTIVA DE CUÁDRICAS 83

• r2 = Tp2

(Q)

(0 1 0

)2 2 22 0 12 1 0

x0x1x2

= 0 =⇒ 2x0 + x2 = 0 afín=⇒x0=1

r2 : 2 + y = 0

4.4. Clasificación proyectiva de cuádricasDefinición 4.4.1. Pn = P (E). Sean Q1 = [q1], Q2 = [q2], q1, q2 : E → k (formas cuadrá-ticas).

Q1 ∼ Q2 ⇐⇒ ∃λ 6= 0 t. q. q1 ∼ λq2 (como formas cuadráticas)

Observación 4.4.2. Son equivalentes:

• Q1 ∼ Q2

• ∃λ 6= 0,∃S (detS 6= 0) t. q. A1 = λStA2S

• ∃f : Pn → Pn homografía t.q. f (Q1) = Q2

• ∃R t. q. MR (Q2) = MR (Q1)

Observación 4.4.3. Con el método convergencia-pivote:

(A Id

)∼ · · · ∼

λ1. . .

. . .λr St

0. . .

0

• Si k = C: λ1 = · · · = λr = 1→

∣∣∣{λi 6= 0}∣∣∣ = r = rg (A).

• Si k = R: λi =1−1

→∣∣∣{λi 6= 0}

∣∣∣ = i+ + i− = rg (A)

Proposición 4.4.4. PnC, Q1, Q2,

Q1 ∼ Q2 ⇐⇒ rg (Q1) = rg (Q2) , donde rg (Q) = rg(MR|Q

).

Demostración.q1 ∼ q2 ⇐⇒ rg (q1) = rg (q2)

�

Observación 4.4.5. Cuando trabajamos sobre R, podemos tener dos formas bilinealesque no son equivalentes y cuyas cuádricas sí lo son. Por ejemplo, las formas

q1 =

11−1

, q2 =

−1−1

1


no cumplen q1 ∼ q2 (en particular, porque i+1 6= i+2) pero sin embargo Q1 = [q1], Q2 =[q2] sí cumplen Q1 ∼ Q2, pues ∃λ = −1 t.q. q1 ∼ q2.

Lo importante para clasificar Q es la pareja {i+, i−}.

Definición 4.4.6. Definimos, para una cuádrica Q, los valores r = i+ + i− y m =mın{i+, i−}.

Proposición 4.4.7. Sean Q1, Q2 ⊆ P2R cuádricas.

Q1 ∼ Q2 ⇐⇒ r1 = r2, m1 = m2

Hacemos notar que r = rg(Q).

Ejemplo 4.4.8.

i) Clasificación en P2C.

r Ecuación reducida Aspecto o nombre3 x2

0 + x21 + x2

2 = 0 Cónica no degenerada2 x2

0 + x21 = (x0 + ix1)(x0 − ix1) = 0 Par de rectas

1 x20 = 0 Recta doble

ii) Clasificación en P2R.

r m Ecuación reducida Aspecto o nombre3 0 x2

0 + x21 + x2

2 = 0 Cónica no degenerada (imaginaria)3 1 x2

0 + x21 − x2

2 = 0 Cónica no degenerada (real)2 0 x2

0 + x21 = 0 Par de rectas que se cortan en un punto real

2 1 x20 − x2

1 = 0 Par de rectas reales1 0 x2

0 = 0 Recta doble

iii) Clasificación en P3R.

r m Ecuación reducida Aspecto o nombre4 0 x2

0 + x21 + x2

2 + x23 = 0 Cuádrica no degenerada imaginaria

4 1 x20 + x2

1 + x22 − x2

3 = 0 Cuádrica no degenerada real, no reglada4 2 x2

0 + x21 − x2

2 − x23 = 0 Cuádrica no degenerada real, reglada

3 0 x20 + x2

1 + x22 = 0 Cono de base cónica no degenerada imaginaria

3 1 x20 + x2

1 − x22 = 0 Cono de base cónica no degenerada real

2 0 x20 + x2

1 = 0 Dos planos imaginarios con intersección real2 1 x2

0 − x21 = 0 Dos planos reales

1 0 x20 = 0 Plano doble

Índice alfabético

afinidad inducida por una proyectividad,67

asíntota de una cuádrica, 82automorfismo, 55

base dual, 7adaptada, 29

centro de una cuádrica, 81colineación, 51completación proyectiva

de un espacio afín, 43de una cuádrica, 80

coordenadas absolutas, 38cuádrica, 71

dual, 79no degenerada, 77

cuaterna armónica, 41

endomorfismosemilineal, 55

espaciodual, 7proyectivo, 22dual, 33

formabilineal simétrica, 1afínmente equivalente, 6definida negativa, 2definida positiva, 2no definida, 2

cuadrática, 1equivalente, 83

generatriz de una cuádrica, 75

haz de hiperplanos, 34hiperplano

en posición general, 34linealmente independiente, 34

homografíadual, 59equivalente, 58

homología, 64especial, 64general, 64

intersección de una cuádrica y una varie-dad lineal, 72

join, 26

matrizde una forma bilineal simétrica, 2de una proyectividad, 50

perspectividad, 54producto

exterior, 20exterior de orden 1, 17tensorial, 9

proyección, 40proyectividad, 49

asociada a una afinidad, 66proyectivizado de un sistema de referen-

cia, 44punto

de un espacio proyectivo, 22del infinito de un espacio afín, 43en posición general, 28fijo de una homografía, 59linealmente independiente, 28liso, 73polar respecto a una cuádrica, 77singular, 73

razóndoble, 38simple, 46

referencia dual de una base, 35

85

86 ÍNDICE ALFABÉTICO

secante a una cuádrica, 75sección, 40simetrizado de un tensor, 15sistema de referencia proyectivo, 29

tangente a una cuádrica, 75tensor, 8

antisimétrico, 13de tipo (p, q), 8

simétrico, 13

variedad linealde puntos fijos de una homografía, 59dual, 33fija de una homografía, 59proyectiva, 25completada, 44

suplementaria, 27

Álgebra multilineal y geometría proyectiva apuntsfme...varro del curso de Álgebra multilineal y...

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