breve introducción a la lógica y los conjuntos 0.5cm Álgebra · l ogica y conjuntos algebra l...

Breve Introduccion a la logica y los conjuntos

Algebra

Araceli Guzman y Guillermo Garro

Facultad de CienciasUNAM

Semestre 2018-1

doyouwantmektalwar.wordpress.com

Logica y conjuntos Algebra

Referencias basicas

1. Armando O. Rojo, Algebra, 1978. Bajar aquı.

2. Alvaro Perez Raposo, Logica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajar aquı

3. Cardenas, Lluis, Raggi, Tomas, Algebra Superior. Bajar aquı.

4. Paul Halmos, Teorıa intuitiva de los conjuntos. Bajar aquı.

Otras referencias

1. M. O’Leary, A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajar aquı.

2. Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, 1981. Bajar aquı.

3. Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos, 2003. Bajar aquı.

Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM

Referencias basicas

1. Armando O. Rojo, Algebra, 1978. Bajar aquı.

2. Alvaro Perez Raposo, Logica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajar aquı

3. Cardenas, Lluis, Raggi, Tomas, Algebra Superior. Bajar aquı.

4. Paul Halmos, Teorıa intuitiva de los conjuntos. Bajar aquı.

Otras referencias

1. M. O’Leary, A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajar aquı.

2. Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, 1981. Bajar aquı.

3. Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos, 2003. Bajar aquı.

Logica y conjuntos

Como sucede con todas las ramas de la matematica, para estudiar algebra se requierede ciertos conocimientos basicos de logica y teorıa de conjuntos.

Logica (proposicional)

Una proposicion es un enunciado del que puede decirse que es verdadero (con valor deverdad V o 1) o falso (con valor de verdad F o 0) pero no ambas cosas. Gereralmentelas proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o mayusculas P , Q, R,...

Los conectivos logicos

Los conectivos logicos son operaciones con las cuales podemos combinar proposicionespara formar otras. Los conectivos mas usuales son los siguientes:

Logica y conjuntos

Conectivos logicos usuales

CONECTIVO NOMBRE OPERACION SIGNIFICADO

¬ Negacion ¬pNo p.

No es cierto que p.

∧ Conjuncion p ∧ q p y q

∨ Disyuncion p ∨ q p o q

Y Disyuncion excluyente p Y q p o q pero no ambas

⇒ p ⇒ q

p implica q.

Si p entonces q.

Implicacion q si p.

(o condicional) p solo si q

p es condicion suficiente para q.

q es condicion necesaria para p.

⇔ p ⇔ q

p si, y solo si, q.

Doble implicacion q es condicion necesaria y suficiente para p.

(o bicondicional) p es condicion necesaria y suficiente para q.

p es equivalente a q.

El condicional: Una cuestion gramatical

La equivalenciap⇒ q ≡ p solo si q

se explica facilmente si entendemos el modo de conjugacion verbalimperfecto del subjuntivo:

Estudiarıa Fısica solo si me quedara en la UNAM.

Por tanto,

Si estoy estudiando Fısica entonces me quede en la UNAM.

Conectivos logicos usuales

CONECTIVO NOMBRE OPERACION SIGNIFICADO

¬ Negacion ¬pNo p.

No es cierto que p.

∧ Conjuncion p ∧ q p y q

∨ Disyuncion p ∨ q p o q

Y Disyuncion excluyente p Y q p o q pero no ambas

⇒ p ⇒ q

p implica q.

Si p entonces q.

Implicacion q si p.

(o condicional) p solo si q

p es condicion suficiente para q.

q es condicion necesaria para p.

⇔ p ⇔ q

p si, y solo si, q.

Doble implicacion q es condicion necesaria y suficiente para p.

(o bicondicional) p es condicion necesaria y suficiente para q.

p es equivalente a q.

El condicional: Una cuestion gramatical

La equivalenciap⇒ q ≡ p solo si q

se explica facilmente si entendemos el modo de conjugacion verbalimperfecto del subjuntivo:

Estudiarıa Fısica solo si me quedara en la UNAM.

Por tanto,

Si estoy estudiando Fısica entonces me quede en la UNAM.

Ejemplo

Consideremos las siguientes proposiciones

p : El viento sopla muy fuerte.

q : Se caen las hojas de los arboles.

Tenemos entonces

Operacion Significado

¬p El viento no sopla muy fuerte.

p ∧ q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los arboles.

p ∨ q El viento sopla o se caen las hojas.

p Y qEl viento sopla pero no se caen las hojas de los arboles, o bien

se caen la hojas de los arboles pero el viento no sopla muy fuerte.

p⇒ qSi el viento sopla muy fuerte, entonces

se caen las hojas de los arboles.

p⇔ qEl viento sopla muy fuerte si, y solo si,

se caen las hojas de los arboles.

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:

Para la negacion (que es un conectivo unario):

p ¬pV F

Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:

p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q

V V F V V

F V V F F

F V V V F

F F F V V

p ¬pV F

V V F V V

F V V F F

F V V V F

F F F V V

p ¬pV F

V F V V

V V F F

V V V F

F F V V

p ¬pV F

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

p ¬pV F

V V V V F

V F F V V

F V F V V

F F F F F

p ¬pV F

V V V V F V

V F F V V F

F V F V V V

F F F F F V

p ¬pV F

V V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

Una equivalencia esperada

Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

V V V V V

F V F F V

F V V F F

V V V V V

Observamos que la proposicion compuesta

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.

Leyes Logicas

Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad essiempre V independientemente de los valores de verdad de susproposiciones componentes, es llamada Tautologıa o Ley Logica.

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

V V V V V

F V F F V

F V V F F

V V V V V

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Leyes Logicas

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

V V V V

V F F V

V V F F

V V V V

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Leyes Logicas

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Leyes Logicas

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Leyes Logicas

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Leyes Logicas

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V F V V F F

F F V V V V V

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Leyes Logicas

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V F V V F F

F F V V V V V

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Leyes Logicas

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V F V V F F

F F V V V V V

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Leyes Logicas

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Tenemos:

p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V F V V F F

F F V V V V V

(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

Leyes Logicas

Negacion del bicondicional

Es tautologıa:(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)

p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)

F V F V

V V V F

F V F V

Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.

Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)

p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)

F V F V

V V V F

F V F V

p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)

V V F V F V

V F V V V F

F V V V V F

F F F V F V

p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)

V V F V F V

V F V V V F

F V V V V F

F F F V F V

Transitividad de ⇒

Es tautologıa:[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)

p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)

V V V V V

V F F V F

F F V V V

F F V V F

V V V V V

V F F V V

V V V V V

Transitividad de ⇔

Se sigue que

[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)

es tambien tautologica.

p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)

V V V V V

V F F V F

F F V V V

F F V V F

V V V V V

V F F V V

V V V V V

Se sigue que

[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)

p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)

V V V V

V V F V

F F V F

V F V F

F V V V

V F F F

F V V F

F V V V

V V V V

F V F V

F F V V

V V V V

F F F V

V V V V

Se sigue que

[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)

p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)

V V V V

V V F V

V F V F

V F F F

F V V V

F V F V

F F V V

F F F V

Se sigue que

[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)

p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)

V V V V

V V F V

V F V F

V F F F

F V V V

F V F V

F F V V

F F F V

Se sigue que

[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)

p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)

V V V V V V

V V F V F F

V F V F F V

V F F F F V

F V V V V V

F V F V F F

F F V V V V

F F F V V V

Se sigue que

[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)

p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)

V V V V V V V V

V V F V F F V F

V F V F F V V V

V F F F F V V F

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Se sigue que

[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)

p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)

V V V V V V V V

V V F V F F V F

V F V F F V V V

V F F F F V V F

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Se sigue que

[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)

Las Leyes de De Morgan

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)

son equivalencias logicas.

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V

F F F V V F

F V V F V V

V F V F V V

V V V F V V

La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)

p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V

F F F V V F

F V V F V V

V F V F V V

V V V F V V

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)

p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F

F V V F

V F F V

V F V V

F V V F

V F V V

F F V V

V F V V

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)

p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F

V F F V

F V V F

F F V V

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)

p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V

V F F V V F

F V V F V F

F F V V V F

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)

p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V

V F F V V F

F V V F V F

F F V V V F

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)

p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V V F

V F F V V F V V

F V V F V F V V

F F V V V F V V

Las proposiciones

¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)

p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V V F

V F F V V F V V

F V V F V F V V

F F V V V F V V

Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.

O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

De este modo, si queremos probar que

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)

es tautologica, procedemos como sigue:

Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).

Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones

¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),

son tautologicas.

Ası (por transitividad),¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)

es tautologica.

La segunda Ley de De Morgan dice que la negacion de una disyuncion esla conjuncion de las negaciones.

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),

son tautologicas.

es tautologica.

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),

son tautologicas.

es tautologica.

¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).

¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),

son tautologicas.

es tautologica.

Equivalencias de ⇒

Son tautologıas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V

F V V V F

V F V F V

F V V V F

V V V V F

De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).

Son tautologıas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V

F V V V F

V F V F V

F V V V F

V V V V F

Son tautologıas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F

V V V F

F V F V

V V V F

Son tautologıas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V

V F V F

F V F V

F F V V

Son tautologıas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V

V F V F

F V F V

F F V V

Son tautologıas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V

V F V F

F V F V

F F V V

Son tautologıas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V V V F

V F V F V F V

F V F V V V F

F F V V V V F

Son tautologıas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)

(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)

p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V V V F

V F V F V F V

F V F V V V F

F F V V V V F

Para la equivalencia (2):(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)

podemos tambien usar una tabla.

O tambien podemos proceder como sigue:

Segun las leyes de De Morgan e involucion, las dobles implicaciones siguientes sontautologicas:

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∨ ¬¬q)⇔ (¬p ∨ q).

Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).

De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probardisyuncion ¬p ∨ q.

(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∨ ¬¬q)⇔ (¬p ∨ q).

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )

V V V V V

V V V V F

V V F V V

V F F F F

F F V V V

F F V V F

F F F V V

F F F F F

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )

V V V V V

V V V V V V V

V V V V F

V V V V V F F

V V F V V

V F F V V V V

V F F F F

V F F F V F F

F F V V V

F F V F F F V

F F V V F

F F V F F F F

F F F V V

F F F F F F V

F F F F F

F F F F F F F

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )

V V V V V V V V V V V V V

V V V V F V V V V V V F F

V V F V V V V F F V V V V

V F F F F V V F F F V F F

F F V V V V F F V F F F V

F F V V F V F F V F F F F

F F F V V V F F F F F F V

F F F F F V F F F F F F F

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

Para (2) tambien se puede hacer una tabla, pero eso es demasıado tedioso. Podemos lle-gar a ella justificando mediante las reglas ya probadas, que los siguientes bicondicionalesson tautologicos:

p ∨ (q ∧ r)⇔ ¬¬p ∨ (¬¬q ∧ ¬¬r) – involucion

⇔ ¬¬p ∨ ¬(¬q ∨ ¬r) – De Morgan (2)

⇔ ¬(¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)) – De Morgan (1)

⇔ ¬((¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r)) – ley distributiva (1)

⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ r)) – De Morgan (2)

⇔ ¬¬(p ∨ q) ∧ ¬¬(p ∨ r) – De Morgan (2)

⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) – involucion

Por transitividad,(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

es tautologıa, como querıamos ver.

Leyes distributivas

Son tautologıas:

(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)

(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)

Para (2) tambien se puede hacer una tabla, pero eso es demasıado tedioso. Podemos lle-gar a ella justificando mediante las reglas ya probadas, que los siguientes bicondicionalesson tautologicos:

p ∨ (q ∧ r)⇔ ¬¬p ∨ (¬¬q ∧ ¬¬r) – involucion

⇔ ¬¬p ∨ ¬(¬q ∨ ¬r) – De Morgan (2)

⇔ ¬(¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)) – De Morgan (1)

⇔ ¬((¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r)) – ley distributiva (1)

⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ r)) – De Morgan (2)

⇔ ¬¬(p ∨ q) ∧ ¬¬(p ∨ r) – De Morgan (2)

⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) – involucion

Por transitividad,(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

es tautologıa, como querıamos ver.

Otras utilısimas leyes logicas

p⇒ p

p ⇒ p

p⇔ p

p ⇔ p

(p⇔ q)⇒ (p⇒ q)

p q (p⇔ q) ⇒ (p⇒ q)

V V V V V

V F F V F

F V F V V

F F V V V

Conmutatividad: (p ∨ q)⇔ (q ∨ p)

p q (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F V F

Conmutatividad: (p ∧ q)⇔ (q ∧ p)

p q (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F F V F

Asociatividad: (p∨(q∨r))⇔ ((p∨q)∨r)

La tabla es un buen ejercicio.

Asociatividad: (p∧(q∧r))⇔ ((p∧q)∧r)

La tabla es un buen ejercicio.

Convenios

Escribimos p ∧ q ∧ r en lugar de (p ∧ q) ∧ r. E igualmente, p ∨ q ∨ r por (p ∨ q) ∨ r.

Las expresionesp1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn y p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn

se definen recursivamente

p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn = p1 ∧ (p2 ∧ (· · · ∧ (pn−1 ∧ pn) · · · ))p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn = p1 ∨ (p2 ∨ (· · · ∨ (pn−1 ∨ pn) · · · ))

Adicion: p⇒ (p ∨ q)

p ⇒ (p ∨ q)

V V V V V

V V V V F

F V F V V

F V F F F

Simplificacion: (p ∧ q)⇒ p

(p ∧ q) ⇒ p)

V V V V V

V F F V V

F F V V F

F F F V F

Consecuencia: (p ∧ q)⇒ (p ∨ q)

Demostracion.

(p ∧ q)⇒ p⇒ (p ∨ q).

Idempotencia: (p ∨ p)⇔ p

(p ∨ p) ⇔ p

V V V V V

F F F V F

Consecuencia: (p ∨ q)⇔ (p ∨ p ∨ q)

Idempotencia: (p ∧ p)⇔ p

(p ∧ p) ⇒ p

V V V V V

F F F V F

Consecuencia: (p ∧ q)⇔ (p ∧ p ∧ q)

Ley del reemplazo

Supongamos que T(p, q) es una formula (una proposicion compuesta) en donde inter-

vienen dos proposiciones p y q. Supongamos ademas que P y P son dos proposicionesequivalentes. Entonces

T(P, q)⇔ T(P , q)

Idempotencia: (p ∨ p)⇔ p

(p ∨ p) ⇔ p

V V V V V

F F F V F

Consecuencia: (p ∨ q)⇔ (p ∨ p ∨ q)

Idempotencia: (p ∧ p)⇔ p

(p ∧ p) ⇒ p

V V V V V

F F F V F

Consecuencia: (p ∧ q)⇔ (p ∧ p ∧ q)

Ley del reemplazo

Supongamos que T(p, q) es una formula (una proposicion compuesta) en donde inter-

vienen dos proposiciones p y q. Supongamos ademas que P y P son dos proposicionesequivalentes. Entonces

T(P, q)⇔ T(P , q)

Conjuntos

La palabra conjunto se usa como sinonimo de familia o coleccion de objetos. Usamoslas letras mayusculas A, B, C, X, Y , etc, para denotar conjuntos.

Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, y escribimos a ∈ Apara denotar que el objeto a es un elemento (un miembro) del conjunto A, lo que leemoscomo “a pertenece a A”.

Si a no es elemento del conjunto A, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a nopertenece a A”. Observamos entonces que

a /∈ A⇔ ¬(a ∈ A).

Ejemplo

1) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A, pero 5 /∈ A.

2) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A pero {2} /∈ A.

3) Si A = {R}, entonces R ∈ A, pero 2 /∈ A.

Conjuntos

La palabra conjunto se usa como sinonimo de familia o coleccion de objetos. Usamoslas letras mayusculas A, B, C, X, Y , etc, para denotar conjuntos.

Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, y escribimos a ∈ Apara denotar que el objeto a es un elemento (un miembro) del conjunto A, lo que leemoscomo “a pertenece a A”.

Si a no es elemento del conjunto A, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a nopertenece a A”. Observamos entonces que

a /∈ A⇔ ¬(a ∈ A).

Ejemplo

1) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A, pero 5 /∈ A.

2) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A pero {2} /∈ A.

3) Si A = {R}, entonces R ∈ A, pero 2 /∈ A.

Un conjunto A puede estar integrado por aquellos objetos x que satisfacen unapropiedad P (x). En tal caso escribimos

A = {x : P (x)},

lo que leemos como “A es igual al conjunto de todas las x tales que P (x) esverdadero”.

Ejemplo

1) Sobre la recta real R, el intervalo unitario cerrado es el conjunto

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

2) Sobre el plano R2, la circunferencia unitaria es el conjunto

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

Note que solo estamos tomando el cırculo, no la “bola” completa.

3) Sobre el espacio R3, la esfera unitaria es el conjunto

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Note que solo estamos considerando la “cascara”, o sea, la superficie, mas no el solido.

A = {x : P (x)},

Ejemplo

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

A = {x : P (x)},

Ejemplo

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

A = {x : P (x)},

Ejemplo

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

A = {x : P (x)},

Ejemplo

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

A = {x : P (x)},

Ejemplo

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Contencion

Si A y B son conjuntos, definimos la relacion de contencion con la sentencia:

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)

(El sımbolo ∀ es un cuantificador logico, se lee “para todo”. Se llama cuatificadoruniversal).

Y tambienA 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)

(El sımbolo ∃ es un cuantificador logico, se lee “existe”. Se llama cuantificador exis-tencial)

Convenios notacionales

Tambien podemos escribir

A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)

A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).

Observacion: En general, si P (x) es una propiedad:

¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)

¬∃xP (x)⇔ ∀x¬P (x) (a veces escribimos @xP (x))

Propiedades de la contencion:

Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.

Transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A ⇔ a ∈ A essiempre V.

Transitiva: Si A, B y C son conjuntos, y A ⊂ B y B ⊂ C,entonces

a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.

Contencion

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)

A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)

A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).

¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)

a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.

Contencion

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)

A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)

A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).

¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)

a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.

Contencion

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)

A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)

A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).

¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)

a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.

Contencion

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)

A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)

A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).

¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)

a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.

El axioma de extension

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.

En sımbolos:∀A∀B (A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A) .

Otra forma del mismo axioma:

Un conjunto esta determinado por su extension.

Propiedades de la igualdad

Reflexiva A = A, para todo conjunto A.

Simetrica A = B ⇔ B = A.

Transitiva A = B ∧B = C ⇒ A = C.

Reflexiva: A ⊂ A es siempre V para todo conjunto A. (Consecuenciade que a ∈ A⇒ a ∈ A es siempre V).

Simetrica: Para cualesquieera conjuntos A yB,

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ B = A

Transitiva: Si A = B y B = C, entonces A ⊂ B ⊂ C y C ⊂ B ⊂ A,y consecuentemente A ⊂ C y C ⊂ A, esto es, A = C.

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ B = A

Principio de permutacion para cuantificadores iterados

Supongamos que p(x, y) es una propiedad que se refiere a los elementos x de un conjuntoA y los elementos y de un conjunto B, donde A y B no son necesariamente distintos.Entonces

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)

EjemploLa proposiciones

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizacion

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

es valida para cualesquiera numeros reales x y y.

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).

Ejemplo

Consideremos el conjunto R\{0} (de todos los numeros reales menos el cero). Seala propiedad en dos variables

p(x, y) : xy = 1.

Entonces es claro que la afirmacion

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

La proposicion(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera

Demostracion.Si x es un numero real y x 6= 0, entonces

(Esto es, y = 1x

Teorema

La proposicion(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Demostracion.Supongamos que es verdadera, esto es, que para algun numero real y 6= 0, se cumpleque xy = 1, para todo numero real x 6= 0; en particular,

y2 = yy = 1.

De donde y = 1 o bien y = −1. Si sucede lo primero, se sigue que para todonumero real x 6= 0,

x = x1 = xy = 1.

En particular,0 = 1.

Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo numero real x 6= 0,

−x = x(−1) = xy = 1.

Ambos casos son absurdos.

Otras equivalencias concuantificadores

∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q

∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).

Ejemplo

p(x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q

∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).

Ejemplo

p(x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q

∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).

Ejemplo

p(x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q

∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).

Ejemplo

p(x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q

∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).

Ejemplo

p(x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q

∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).

Ejemplo

p(x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q

∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.

El Axioma del Conjunto Vacıo

Generalmente, aceptamos como axioma (o como consecuencia directa de otros axiomas)que existe un conjunto “que no tiene elementos”, que llamamos (apropiadamente)conjunto vacıo, y denotamos como ∅.

El conjunto vacıo cumple entonces que, para todo x (cualquier cosa que sea x), x /∈ ∅.

Aunque este conjunto puede parecer extrano, podemos caracterizarlo simplemente como

∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.

Teorema

El conjunto vacıo esta contenido en cualquier otro conjunto. Esto es, si A es unconjunto, entonces ∅ ⊂ A.

Demostracion.

Si A es un conjunto tal que ∅ 6⊂ A, entonces debera existir un x tal que x ∈ ∅ y x /∈ A,pero esto es en sı contradictorio con la propiedad que define al conjunto vacıo (que notiene elementos).

∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.

Teorema

Demostracion.

∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.

Teorema

Demostracion.

Corolario

El conjunto vacıo es unico.

Demostracion.

Si ∅′ es otro conjunto con la propiedad de que para todo x, x /∈ ∅′, entonces cumpletambien con la propiedad expuesta en el teorema anterior, es decir, estara contenido encualquier otro conjunto, en particular

∅′ ⊂ ∅,

y dado que tambien se cumple∅ ⊂ ∅′,

se sigue∅ = ∅′.

Ejemplo

∅ ∈ {∅} ∈ {{∅}} ∈ · · · .

Corolario

El conjunto vacıo es unico.

Demostracion.

Si ∅′ es otro conjunto con la propiedad de que para todo x, x /∈ ∅′, entonces cumpletambien con la propiedad expuesta en el teorema anterior, es decir, estara contenido encualquier otro conjunto, en particular

∅′ ⊂ ∅,

y dado que tambien se cumple∅ ⊂ ∅′,

se sigue∅ = ∅′.

Ejemplo

∅ ∈ {∅} ∈ {{∅}} ∈ · · · .

Algebra de Conjuntos

Las operaciones basicas entre conjuntos son las siguientes:

La union de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

La interseccion de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto

A\B = {x : x ∈ A y x /∈ B}.

Observacion:

x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B

x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B

x ∈ A\B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B

Algebra de Conjuntos

Las operaciones basicas entre conjuntos son las siguientes:

La union de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

La interseccion de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto

A\B = {x : x ∈ A y x /∈ B}.

Observacion:

x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B

x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B

x ∈ A\B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B

Diferencia simetrica

Podemos definir otra operacion tıpica entre conjuntos:

La diferencia simetrica de los conjuntos A y B es el conjunto

A4B = {x : x ∈ A y x /∈ B, o x ∈ B y x /∈ A}

Es inmediato queA4B = (A\B) ∪ (B\A).

Observacion:

x ∈ A4B ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A)

Diferencia simetrica

Podemos definir otra operacion tıpica entre conjuntos:

La diferencia simetrica de los conjuntos A y B es el conjunto

A4B = {x : x ∈ A y x /∈ B, o x ∈ B y x /∈ A}

Es inmediato queA4B = (A\B) ∪ (B\A).

Observacion:

x ∈ A4B ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A)

El complemento

Algunas veces se considera un conjunto “universal”, digamos U , como un conjuntotal que todos los demas conjuntos que nos interesan estan contenidos en este, aunquegeneralmente no se menciona de forma explıcita. En tal caso, si A es un subconjuntode U , definimos el complemento de A como el conjunto

Ac = U\A.

Se cumple entonces que para cualesquiera conjuntos A y B (contenidos en U),

A ∩Bc = A\B.

Observacion:

Si conocemos el “universo” U , sin ser explıtico, entoncespodemos escribir simplemente

a ∈ Ac ⇔ x /∈ A

El complemento

Algunas veces se considera un conjunto “universal”, digamos U , como un conjuntotal que todos los demas conjuntos que nos interesan estan contenidos en este, aunquegeneralmente no se menciona de forma explıcita. En tal caso, si A es un subconjuntode U , definimos el complemento de A como el conjunto

Ac = U\A.

Se cumple entonces que para cualesquiera conjuntos A y B (contenidos en U),

A ∩Bc = A\B.

Observacion:

Si conocemos el “universo” U , sin ser explıtico, entoncespodemos escribir simplemente

a ∈ Ac ⇔ x /∈ A

Ejemplo

Sea U el conjunto de los numeros dıgitos, i.e. U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, y seanA = {1, 2, 3, 5, 6, 9} y B = {0, 2, 4, 6, 8} subconjuntos de U . Entonces

A ∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = U

A ∩B = {2, 6}A\B = {1, 3, 5, 9}B\A = {0, 4, 8}A4B = {0, 1, 3, 4, 5, 8, 9}

Ac = {0, 4, 7, 8}Bc = {1, 3, 5, 7, 9}

Algunas propiedades son casi inmediatas

Teorema : Idempotencia

Para todo conjunto A,A ∪A = A = A ∩A.

Demostracion.

x ∈ A ∪A⇔ x ∈ A ∨ x ∈ A – definicion de ∪

⇔ x ∈ A – idempotencia: p ∨ p⇔ p

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A – idempotencia: p ∧ p⇔ p

⇔ x ∈ A ∩A – definicion de ∩.

Teorema

Para todo conjunto A,A\A = ∅.

Demostracion.

La proposicion x ∈ A\A es falsa. En efecto, por la definicion de \,

x ∈ A\A⇔ (x ∈ A) ∧ (x /∈ A),

y (x /∈ A) ⇔ ¬(x ∈ A). Por lo tanto @x(x ∈ A\A) es verdadera. Pero el unicoconjunto que no tiene elementos es el vacıo, en consecuencia, A\A = ∅.

Teorema : Conmutatividad de ∩ y ∪

Sean A y B conjuntos. Entonces

A ∪B = B ∪A y A ∩B = B ∩A.

Demostracion.

x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B – definicion de ∪

⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A – conmutatividad: p ∨ q ⇔ q ∨ p

⇔ x ∈ B ∪A – definicion de ∪.

Teorema

A ∩B ⊂ A ⊂ A ∪B.

Demostracion.

x ∈ A ∩B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B – definicion de ∩

⇒ x ∈ A – simplificacion: p ∧ q ⇒ p

⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B – adicion: p⇒ p ∨ q

⇒ x ∈ A ∪B – definicion de ∪.

Teorema : Asociatividad de ∩ y ∪

Sean A, B y C conjuntos. Entonces

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) – definicion de ∪

⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪

⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C – asoc.: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

⇔ (x ∈ A ∪B) ∨ x ∈ C – definicion de ∪

⇔ x ∈ (A ∪B) ∪ C – definicion de ∪.

Convenio

Definimos recursivamente

A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = A1 ∪ (A2 ∪ (· · · (An−1 ∪An) · · · ))A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An = A1 ∩ (A2 ∩ (· · · (An−1 ∩An) · · · ))

Convenio

Otra notacion

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

Uniones e intersecciones numerables

Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

Con mas precision: Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

Convenio

Otra notacion

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

Convenio

Otra notacion

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

Convenio

Otra notacion

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

Convenio

Otra notacion

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

Teorema

Para todo conjunto A,

A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅

Demostracion.

Ya sabemos que ∅ ⊂ A ∪ ∅. Ahora,

x ∈ A ∪ ∅ ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ ∅⇒ x ∈ A,

puesto que x ∈ ∅ es imposible (absurdo), ası A ∪ ∅ ⊂ A. Esto prueba que A ∪ ∅ = A.

Por otra parte,∅ ⊂ A ∩ ∅ ⊂ ∅.

De donde A ∩ ∅ = ∅.

Las propiedades que mas se usan

Teorema : Leyes distributivas

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

Demostracion.

x ∈ A ∪ (B ∩ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ∩ C – definicion de ∪

⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) – definicion de ∩

⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) – dist.: p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

⇔ x ∈ A ∪B ∧ x ∈ A ∪ C – definicion de ∪

⇔ x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) – definicion de ∩.

Un par de propiedades muy importantes

Teorema : Leyes de De Morgan

A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).

Demostracion.

x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p

⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)

⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.

Mas de cerca:

x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de ¬

⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪

⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.

Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:

Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces

(A ∪B)c = Ac ∩Bc

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Algunas propiedades casi inmediatas

Corolario

A\B = A\(A ∩B).

Demostracion.

A\(A ∩B) = (A\A) ∪ (A\B) – De Morgan

= ∅ ∪ (A\B) – A\A = ∅

= A\B – ∅ es neutro para ∪.

Teorema

(A ∪B)\C = (A\C) ∪ (B\C).

Demostracion.

x ∈ (A ∪B)\C ⇔ x ∈ A ∪B ∧ x /∈ C – definicion de \

⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x /∈ C – definicion de ∪

⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ C) – dist.: (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

⇔ x ∈ A\C ∨ x ∈ B\C – definicion de \

⇔ x ∈ (A\C) ∪ (B\C) – definicion de ∪.

Teorema : La diferencia se distribuye sobre la union por la derecha

(A ∪B)\C = (A\C) ∪ (B\C).

Otra demostracion.

(A ∪B)\C = (A ∪B) ∩ Cc– ∀A(A\B = A ∩ B

= (A ∩ Cc) ∪ (B ∩ Cc) – dist.

= (A\C) ∪ (B\C) – ∀A(A\B = A ∩ Bc).

Corolario

A\B = (A ∪B)\B.

Demostracion.

(A ∪B)\B = (A\B) ∪ (B\B) – \ se distribuye sobre ∪ por la derecha

= (A\B) ∪ ∅ – B\B = ∅

= A\B – ∅ es neutro para ∪.

Corolario

A4B = (A ∪B)\(A ∩B).

Demostracion.

A4B = (A\B) ∪ (B\A) – definicion de 4

=[A\(A ∩B)

]∪[B\(A ∩B)

]– A\B = A\(A ∩ B) y B\A = B\(A ∩ B)

= (A ∪B)\(A ∩B) – \ se distribuye sobre ∪ por la derecha.

Teorema

(A ∩B)\C = A ∩ (B\C) = (A\C) ∩ (B\C).

Demostracion.

Para la primera igualdad:

x ∈ (A ∩B)\C ⇔ x ∈ A ∩B ∧ x /∈ C – definicion de \

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ∩

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B\C – definicion de \ (y asoc.)

⇔ x ∈ A ∩ (B\C) – definicion de ∩.

Teorema

(A ∩B)\C = A ∩ (B\C) = (A\C) ∩ (B\C).

Demostracion.

Para la segunda igualdad:

x ∈ (A ∩B)\C ⇔ x ∈ A ∩B ∧ x /∈ C – definicion de \

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ∩

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ C ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p

⇔ x ∈ A\C ∧ x ∈ B\C – definicion de \ (y asoc.)

⇔ x ∈ (A\C) ∩ (B\C) – definicion de ∩.

Un ultimo hecho importante

Teorema

A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C).

Demostracion con dibujitos.

Un ultimo hecho importante

Teorema

A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C).

Demostracion.

A ∩ (B4C) = A ∩[(B\C) ∪ (C\B)

]– definicion de 4

=[A ∩ (B\C)

]∪[A ∩ (C\B)

]– ∩ se distribuye sobre ∪

=[(A ∩B)\C

]∪[(A ∩ C)\B

]– Teorema anterior

=[(A ∩B)\(A ∩B ∩ C)

]∪[(A ∩ C)\(A ∩B ∩ C)

]– ∀A,B(A\B = A\(A ∩ B))

=[(A ∩B) ∪ (A ∩ C)

]\(A ∩B ∩ C) – \ se distribuye sobre ∪ por la der.

=[(A ∩B) ∪ (A ∩ C)

]\[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)

]– (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C

= (A ∩B)4(A ∩ C) – definicion de 4.

Algunas frases bonitas de Paul Halmos

Los matematicos estan de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algode teorıa de conjuntos; el desacuerdo comienza al tratar que tanto es algo.

Es un hecho en matematicas que un teorema es menos profundo cuando masgeneralmente se aplica.

La tarea del estudiante al aprender teorıa de conjuntos es la de empaparse engeneralidades poco familiares, pero esencialmente superficiales, hasta que seacostumbre tanto a ellas que pueda usarlas casi sin esfuerzo consciente.

En otras palabras, la teorıa general de los conjuntos en realidad es una materialbastante trivial, pero, si usted quiere ser un matematico, necesita algo de estateorıa, y aquı esta; leala, absorbala y olvıdela.

breve introducción a la lógica y los conjuntos 0.5cm Álgebra · l ogica y conjuntos algebra l...

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