Control Analógico

Trabajo colaborativo

Etapa 1

Análisis de la dinámica del sistema

Ingeniería electrónica

Director:

Fabián Bolívar Marín

299005A_220

Por:

Sergio Zapata Espinosa

Código71718620

21/03/2015

CEAD

Medellín

Introducción

Con el presente trabajo pretendemos adquirir conocimientos de los modelamiento matemáticos como son los de primer y segundo orden, al igual aclarar conceptos desconocidos y adquirir la habilidad de resolver problemas reales implementando una formulación matemática determinada utilizando el software matlab para la parte de generación de graficas. Se realizara un comparativo entre el sistema de transferencia empleado por la empresa y el sistema de realimentación modelado matemáticamente por el grupo de la UNAD.

Fase 1:

Análisis, lluvia de ideas y listado de conceptos. Cada estudiante deberá leer e identificar claramente lo que se quiere lograr en la respectiva etapa del problema. Luego el grupo realizará una lluvia de ideas, de tal forma que se planteen algunas hipótesis sobre cómo solucionar las situaciones planteadas en la etapa, basándose en conocimientos previos y el sentido común. Basados en esta discusión, los integrantes del grupo deberán elaborar un listado de conceptos, términos y/o aspectos que conocen y un listado de aquello que se desconoce de las situaciones planteadas en la etapa

Análisis

Para el problema planteado por la empresa respecto de la alteración de la velocidad de los motores en cuestión, se me ocurre que se debe implementar un circuito comparador el cual se encarga de tomar una muestra de la señal de salida y referenciarla con la señal de entrada y así llevar a cavo una comparación de ambas señales, si estas son iguales o desiguales y usando la diferencia como medio de control para poder corregir la variación antes de ser aplicada al dispositivo(motor)con el fin de que no se refleja dicha variación en el funcionamiento normal del componente conllevando a una mejor estabilidad del circuito, ya qué las variaciones pueden ser generadas por corrientes de fuga o parasitas generadas por los mismos circuitos adyacentes o por factores externos a estos.

Lluvias de Ideas

Con la implementación de un diagrama en bloques, y la investigación de cada uno de nosotros, propongo que nos repartamos los temas a investigar ya que son bastantes y así dar cumplimiento al trabajo colaborativo fase 1

Temas para investigar:

Criterio de Routh-Hurwitzz

Función de transferencia

Señal escalón unitario

Lugar geométrico de las raíces

Ganancia

Constante de tiempo

Tiempo de subida

Tiempo de asentamiento o establecimiento

Sobre impulso

Atenuación

Frecuencia natural no amortiguada

Factor de amortiguamiento relativo

Frecuencia natural amortiguada

Amortiguamiento real

Amortiguamiento crítico

Tiempo pico

Si el sistema es su amortiguado

Críticamente amortiguado o sobre amortiguado

Elaborar gráficas con la respuesta escalón

La respuesta a una rampa o impulso.

Representar el sistema en espacio de estados

Analizar controlabilidad y observabilidad del sistema

Fase 2:

Propuesta metodológica y obtención de información. En esta fase el grupo deberá definir la metodología para la investigación de acuerdo a lo alcanzado en la fase anterior. Una vez se tenga clara la metodología, el grupo deberá definir y expresar de manera concreta lo que quiere resolver, producir o demostrar en la respectiva etapa del problema. Luego el grupo procederá a localizar, organizar, analizar e interpretar la información de diversas fuentes.

Propuesta Metodológica

La propuesta metodológica para el desarrollo del trabajo correspondiente se basa en una participación activa de cada uno de los integrantes del grupo, los cuales ya hemos realizado algún tipo de aporte, esto en vista de que nos encontramos adportas del cierre de la actividad de la etapa 1;la idea sería que de los temas relacionados en la fase 1, como desconocidos para nosotros realicemos una lista total de los mismos y de una manera equitativa distribuirlos en los miembros activos del grupo, para luego socializar dicha información adquirida en el proceso de investigación a cada uno de nosotros y que estén enfocados en los puntos vitales solicitados en la guía, para el cálculo y desarrollo de la solución, basándonos en el diagrama de bloques inicialmente planteado y cumpliendo con el cronograma propuesto de una manera bien disciplinada.

Todo lo anterior con el único objetivo de resolver el problema planteado por la empresa y sustentar el sistema estabilizador de la velocidad para los motores de los reproductores de cd ,dvd y blue ray siendo demostrado dicho circuito estabilizador con un modelamiento matemático para el mismo.

Temas para investigar

Para Juan Carlos Alvares Orrego:

1. Criterio de Routh-Hurwitzz2. Controlabilidad3. Observabilidad4. Subamortiguado5. sobreamortiguado6. Críticamente amortiguado7. Lugar geométrico de las raíces

Para Sergio Esneider Misas:

1. Función de transferencia2. Señal escalón unitario3. Ganancia4. Constante de tiempo5. Tiempo de subida

6. Tiempo de asentamiento o establecimiento7. Sobre impulso

Para Sergio Zapata Espinosa:

1. Atenuación2. Frecuencia natural no amortiguada3. Factor de amortiguamiento relativo4. Frecuencia natural amortiguada5. Amortiguamiento real6. Amortiguamiento crítico7. Tiempo pico8. Si el sistema es subamortiguado

Al finalizar la investigación las opciones que están adicionales están son:

1. Elaborar gráficas con la respuesta escalón

2. La respuesta a una rampa o impulso.

3. Representar el sistema en espacio de estados

Fase 3:

Diseño y ejecución del plan de acción. En esta fase el grupo define y ejecuta el plan de acción para dar solución a la respectiva etapa del problema, a partir de la información obtenida en la fase anterior y de los contenidos temáticos del curso. Al finalizar esta fase, cada estudiante, de manera individual y a manera de diario, deberá registrar los avances logrados en su proceso de aprendizaje; para ello dispone de la herramienta E-portafolio ubicada en el entorno de evaluación y seguimiento del curso.

Temas investigados

8. Criterio de Routh-Hurwitzz

Criterio de estabilidad absoluta, plantea su solución en la determinación del número de raíces del polinomio que se encuentran en el semiplano derecho del plano S.

Para su análisis se escribe el denominador de la forma

Si existe algún coeficiente negativo o cero en presencia de algún coeficiente positivo, entonces existe una o más raíces imaginarias puras, lo cual implica que el sistema es inestable.

9. Controlabilidad: Es la capacidad de poder dirigir un sistema de su estado inicial a un sistema en estado arbitrario en un periodo finito.

Para la controlabilidad completa el sistema la matriz de controlabilidad estará dada por:

10.Observabilidad: Determina el estado de un sistema dinámico a partir de sus observaciones de vectores de salida y control.Esta dada por la siguiente matriz:

11.Subamortiguado: oscilador amortiguado está subamortiguado, alcanzará el cero más rápidamente que en el caso de amortiguación crítica, pero oscila alrededor de ese cero. Se obtiene cuando las soluciones son complejas

para que se produzca

La función respuesta obtenida es:

12.Sobreamortiguado: Es cuando el coeficiente de amortiguación es mayor que la frecuencia de resonancia sin amortiguar. La respuesta obtenida es

cuando

La salida con el tiempo es:

13.Críticamente amortiguado: Es cuando un sistema no tiene oscilaciones y se aproxima gradualmente a su posición de equilibrio. Solo hay una

solución real Su ecuación es:

14. Lugar geométrico de las raíces: Conocido también como Lugar de Evans, se define como el conjunto de puntos del plano s en los que se verifica si un punto que pertenece al lugar geométrico de las raíces es un posible polo del sistema en lazo cerrado.

15. Criterio de Routh-Hurwitzz

Criterio de estabilidad absoluta, plantea su solución en la determinación del número de raíces del polinomio que se encuentran en el semiplano derecho del plano S.

Para su análisis se escribe el denominador de la forma

Si existe algún coeficiente negativo o cero en presencia de algún coeficiente positivo, entonces existe una o más raíces imaginarias puras, lo cual implica que el sistema es inestable.

16. Controlabilidad:Es la capacidad de poder dirigir un sistema de su estado inicial a un sistema en estado arbitrario en un periodo finito.

Para la controlabilidad completa el sistema la matriz de controlabilidad estará dada por:

17. Observabilidad:Determina el estado de un sistema dinámico a partir de sus observaciones de vectores de salida y control.Esta dada por la siguiente matriz:

18. Subamortiguado: oscilador amortiguado está subamortiguado, alcanzará el cero más rápidamente que en el caso de amortiguación crítica, pero oscila alrededor de ese cero. Se obtiene cuando las soluciones son complejas para que se produzca

La función respuesta obtenida es:

19. Sobreamortiguado: Es cuando el coeficiente de amortiguación es mayor que la

frecuencia de resonancia sin amortiguar. La respuesta obtenida es cuando

La salida con el tiempo es:

20. Críticamente amortiguado: Es cuando un sistema no tiene oscilaciones y se

aproxima gradualmente a su posición de equilibrio. Solo hay una solución real Su ecuación es:

21. Lugar geométrico de las raíces: Conocido también como Lugar de Evans, se define como el conjunto de puntos del plano s en los que se verifica si un punto que pertenece al lugar geométrico de las raíces es un posible polo del sistema en lazo cerrado.

8. Función de transferencia

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema modelado con una señal de entrada o excitación que también es modelada. En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.

La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.

El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.

Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por ladeconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la pseudoinversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de un vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.

9. Señal escalón unitario

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda encendida indefinidamente.

Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el valor H(0), que es convencional. La mayoría de autores lo definen como H(0) = 1, otros H(0) = 0. Algunos que lo definen como H(0) = 1/2, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

10. Ganancia

La ganancia es lo referido a señales eléctricas, es una magnitud que expresa la relación entre la amplitud de una señal de salida respecto a la señal de entrada. Por lo tanto, la ganancia es una magnitud adimensional, que se mide en unidades como belio (símbolo: B) o submúltiplos de éste como el decibelio (símbolo: dB).

Por ejemplo, si la potencia de salida de un amplificador es 40 W (vatios) y la de entrada era de 20 W, la ganancia sería de 10 log (40 W / 20 W) ≈ 3,0103 dB.

Cuando la ganancia es negativa (menor que 0), hablamos de atenuación. Así, en el ejemplo anterior pero al revés: 40 W de entrada, frente 20 W de salida, el resultado sería de -3,0103 dB. No hablaríamos de una ganancia de -3 dB, sino de una atenuación de 3 dB.

Aunque la ganancia, como se ha dicho, es adimensional, sin embargo se refiere a cierta magnitud, con lo que tenemos:1

Ganancia de potencia, definida como   y expresada en

decibelios es 

Ganancia en tensión, de forma similar a la anterior:   y

expresada en decibelios es 

Ganancia en corriente, de forma similar a la anterior:   y

expresada en decibelios es 

Estas ganancias se relacionan entre ellas a través de las impedancias de entrada y salida del circuito, pero se tiene una idea de sus magnitudes mediante las relaciones siguientes:

 y, si las impedancias son iguales, 

Además existen ganancias "especiales" para determinados componentes:

Ganancia de antena. Es la relación entre la potencia entregada por la antena y la potencia que entregaría una antena isotrópica.

Ganancia de conversión. En el caso de mezcladores, determina la potencia de salida, a la frecuencia 2, dividida por la potencia de entrada, a frecuencia 1.

Ganancia de transducción. Es la relación entre la potencia de una magnitud de entrada, por ejemplo: presión, y la potencia eléctrica entregada.

11. Constante de tiempo

En el diagrama, cuando el interruptor se cierra, el terminal negativo de la batería rechaza los electrones negativos y los empuja hacia la placa superior del condensador C. Asimismo, el terminal positivo atrae a distancia los electrones negativos a la placa inferior. Si se quita la batería ahora, el condensador C se mantiene cargado al mismo voltaje de batería. Esto puede ser peligroso, ya que los condensadores pueden

permanecer cargados a altos voltajes, durante un largo tiempo.

En el diagrama, se ha colocado una resistencia R en serie con el condensador C. Cuando el interruptor se cierra, el condensador C se carga de la batería, como se ha descrito antes. La carga de corriente pasa por la R. Ya que la resistencia R limita la cantidad de corriente que puede fluir (ley de Ohm), para cargar C hasta el voltaje de batería, lleva un tiempo. A más grandes valores de C y R,

más largo tiempo se necesita para cargar el condensador C. Compárelo con el llenado de un cubo de agua con una manguera. A un cubo (C) más grande y cuanto más de pie está sobre la manguera (R), vemos que esto significa más tiempo para llenar el cubo.

Si el condensador C es descargado, conectando una resistencia a través de él, entonces la d.d.p (diferencia de potencial) en el condensador después de RC segundos, será del 63 %. La constante tiempo, a menudo es usada donde se requiere un retardo de tiempo.

Repasemos, un condensador requiere una cierta cantidad de tiempo para cargarse al valor del voltaje aplicado (E). Dicho tiempo depende de la capacidad (C) y de la resistencia total (R) en el circuito de carga. El tiempo necesario para que la carga alcance el63,2 % de su valor final (Ce) se llama constante de tiempo capacitiva y está dada por:

Constante de Tiempo capacitiva (CT) = R * C

El valor de C en Faradios, multiplicado por el valor de R en ohmios, nos dará elconstante tiempo (RC), mesurado en segundos. Si C = 2 Faradios y R = 10 ohmios, entonces RC = 20 segundos. Esto significa que C empleará 20 segundos para cargar hasta el 63 % del voltaje de batería. Si esto es una batería de 100 voltios, entonces después de 20 segundos, el voltaje del condensador será 63 voltios. Si dibujamos un gráfico del aumento de voltaje del condensador frente al tiempo, entonces conseguiremos una curva que no es lineal (no es una línea directa), la curva es exponencial. Esto es que, aumenta rápidamente al principio y luego reduce la velocidad, pero esto sigue lentamente muy lentamente.

12. Tiempo de subida

En electrónica, al describir una función escalón de tensión o de corriente, tiempo de subida es el tiempo que tarda una señal para cambiar de un bajo valor especificado en un valor alto especificado. Típicamente, en electrónica analógica, estos valores son 10% y 90% de la altura de paso: en aplicaciones de la teoría de control, de acuerdo con Levine, tiempo de subida se define como "el tiempo requerido para la respuesta a levantarse de x% a Y% de su valor final ", con 0% -100% tiempo de subida común para los sistemas subamortiguado de segundo orden, 5% -95% de amortiguamiento crítico y 10% -90% para sobreamortiguada. La señal de salida de un sistema se caracteriza también por el tiempo de caída: ambos parámetros dependen de tiempos de subida y caída de la señal de entrada y en las características del sistema.

El tiempo de subida es un parámetro analógico de importancia fundamental en la electrónica de alta velocidad, ya que es una medida de la capacidad de un circuito para responder a las señales de entrada rápidas. Se han hecho muchos esfuerzos en los últimos años para reducir los tiempos de subida de los generadores, circuitos analógicos y digitales, equipos de medición y de transmisión de datos, se centró en la investigación de los dispositivos electrónicos más rápidos y en las técnicas de reducción de los parámetros de circuitos callejeros. Para aplicaciones fuera del ámbito de la electrónica de alta velocidad, tiempos de subida largos son a veces deseable: ejemplos son el oscurecimiento de la luz, donde un aumento de más resultados en tiempo, entre otras cosas, en una mayor vida útil de la bombilla, o señales digitales aptos para el control de los analógicos, en un tiempo de subida más larga significa feedthrough capacitiva inferior, y por lo tanto un menor ruido de acoplamiento.

Ejemplos sencillos de cálculo de tiempo de subida

es el tiempo de subida del sistema analizado, medido en segundos.

es la baja frecuencia de corte del sistema analizado, medido en hercios.

es alta la frecuencia de corte del sistema analizado, medido en hercios.

es la respuesta de impulso del sistema analizado en el dominio del tiempo.

es la respuesta de frecuencia del sistema analizado en el dominio de la frecuencia.

El ancho de banda se define como y desde el punto de corte de baja frecuencia suele ser de varias décadas menor que el punto de corte de alta frecuencia.

Todos los sistemas analizados aquí tienen una respuesta de frecuencia que se extiende a 0.

Todos los sistemas analizados se cree que las redes eléctricas y todas las señales se cree como de los voltajes en aras de la simplicidad: la entrada es una función de paso de voltios.

13. Tiempo de asentamiento o establecimiento

El análisis de la respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide en:Respuesta transitoria.Respuesta en estado estable.Respuesta en el tiempoRespuesta transitoria: Es la respuesta que representa un sistema de control desde su estado inicial hasta su estado final.Respuesta en estado estable: Es la forma en que se comporta la variable controlada cuando el tiempo tiende a infinito.EstableElementoEntrada de Acción de final deReferencia control Planta VariablecontroladaSistema de mediciónPara analizar la respuesta de un sistema de control se utilizan como entradas al sistema de señales de prueba simples como las siguientes:• Función impulso.• Función escalón.• Función rampa.• Función aceleración.• Función senoidal.• Función impulso unitario (t)[r(t)] = R(s) = [ (t)] =10 t < 0" t = 0r(t) =0 t > 0Función escalón de magnitud k [kU (t)]r(t) [r(t)] = R(s) = [kU (t)] =k/skt0 t < 0r(t) =k t " 0c) Función rampa con pendiente m (mt)r(t) [r(t)] = R(s) = [mt] =m/s²0 t < 0tr(t) = mt t " 0d) Función aceleración ct² con pendiente cr(t) [r(t)] = R(s) = [ct²] =2c/s³t0 t < 0r(t) =ct² t " 0e)Función senoidal A sen wtr(t) [r(t)] = R(s) = [A sen wt] =Aw/s² + w²

wt0 t < 0r(t) =A sen wt t " 0

14. Sobre impulso

El sobre impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es unamagnitud vectorial.  El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

9. Atenuación

La energía de una señal decae con la distancia . La atenuacion es la perdida de la potencia de una señal. por ello para que la señal llegue con la suficiente energia es necesario el uso de amplificadores o repetidores.  La atenuacion se incrementa con la frecuencia, con la temperatura y con el tiempo.

La atenuación, esta expresada en decibelios por la siguiente fórmula :

α=10∗logP1P2

10. Frecuencia natural no amortiguada

Su fórmula es:

Fn=12π √ km

donde Fn = la frecuencia natural

k = la constante del resorte , o rigidez

m = la masa

De eso se puede ver que si la rigidez aumenta, la frecuencia natural también aumentará, y si la masa aumenta, la frecuencia natural disminuye. Si el sistema tiene absorción, lo que tienen todos los sistemas fìsicos, su frecuencia natural es un poco más baja y depende de la cantidad de absorción.

Un gran número de sistemas resorte-masa-amortiguación que forman un sistema mecánico se llaman "grados de libertad", y la energia de vibración que se pone en la máquina, se distribuirá entre los grados de libertad en cantidades que dependerán de sus frecuencias naturales y de la amortiguación, asi como de la frecuencia de la fuente de energia.

Por esta razón, la vibración no se va a distribuir de manera uniforme en la máquina. Por ejemplo, en una máquina activada por un motor eléctrico una fuente mayor de energia de vibración es el desbalanceo residual del rotor del motor. Esto resultará en una vibración medible en los rodamientos del motor. Pero si la máquina tiene un grado de libertad con una frecuencia natural cerca de las RPM del rotor, su nivel de vibraciones puede ser muy alto, aunque puede estar ubicado a una gran distancia del motor. Es importante tener este hecho en mente, cuando se hace la evaluación de la vibración de una máquina. --la ubicación del nivel de vibración máximo no puede estar cerca de la fuente de energia de vibración. La energia de vibración frecuentemente se mueve por largas distancias por tuberias, y puede ser destructiva, cuando encuentra una estructura remota con una frecuencia natural cerca de la de su fuente

Donde se distiguen tres casos

cuando 0<¿1 , es paraunsistemasubamortiguadocuando=1 , es paraunsistemacriticamente amortiguado

cuando>1 , esunsistema sobreamortiguado

cuando<0 , esun sistemainestable

11. Factor de amortiguamiento relativo

Es el cociente entre el amortiguamiento real (B ¿ y el amortiguamiento critico(Bc¿ Dado por la siguiente fórmula:

¿ BBc

= B2√JK

12. Frecuencia natural amortiguada

Si una estructura mecánica resonante está puesta en movimiento,y después se deja, seguirá oscilando a una frecuencia particular,conocida como la frecuencia natural,o la frecuencia natural amortiguada.Esta estará un poco más baja en frecuencia que la frecuencia de resonancia,que es la frecuencia que tomaría si no hubiera amortiguación.La frecuencia de resonancia también se llama la frecuencia natural no amortiguada.

Para la explicación de este tema nos basamos por la formula de la función de transferencia la cual es:

C(s)R(s)

=W n

2

(s+wn+ j wd )(s+wn− j wd)

En donde wd=wn√1−❑2 La frecuencia wdse denomina frecuencia natural

amortiguada para una entrada escalón unitario C(s) de escribe como

C (s )=W n

2

(s2+2wn s+W n2 ) s

wn=Frecuencianatural noamortiguada

¿ Factor de amortiguamiento

Fase 4:

Presentación de resultados. En esta fase, cuando el grupo ya ha resuelto el problema, se hará una presentación o reporte de los resultados obtenidos, y se incluirán recomendaciones, dificultades, inferencias y demás que se crea conveniente en relación con la solución de las situaciones planteadas en la respectiva etapa. Un integrante del grupo será el responsable de enviar el informe con los resultados obtenidos a través del medio que solicite el docente

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA:

Una empresa multinacional reconocida dedicada a la fabricación de reproductores DVD y Blu-Ray montó un punto de fábrica en Colombia, cumpliendo con los estándares de calidad necesarios en la producción de dichos electrodomésticos. Sin embargo, desde hace un tiempo se han venido presentando problemas en el funcionamiento de los motores de corriente continua (DC) usados para implementar el mecanismo que hace girar los discos ópticos en los reproductores, ya que giran a velocidades diferentes a las establecidas por la empresa para el correcto funcionamiento de los reproductores o cambian constantemente de velocidad.

Para corregir este problema, la empresa ha decidido incorporar módulos controladores en las tarjetas principales de los reproductores. Por tal razón, ha decidido contratar a un grupo de estudiantes de Ingeniería Electrónica de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia para que diseñe un prototipo de controlador que permita mantener el motor DC girando a una velocidad constante para que la lectura del disco óptico sea óptima. Se debe garantizar igualmente un funcionamiento aceptable del controlador ante perturbaciones que se puedan presentar por fallas eléctricas o señales parásitas en el sistema.

La empresa solicita al grupo de estudiantes que se entregue la función de transferencia del controlador, con las respectivas simulaciones que demuestren que dicho controlador cumple con los parámetros del diseño propuesto, además del proceso de diseño detallado descriptiva y matemáticamente.

Según especificaciones técnicas de los motores, su función de transferencia es

G (s )= 25

s2+4 s+25

Nota: El color amarillo son los datos del sistema original y los de color verde del sistema solución

1. Identificar el orden del sistema.

El orden del sistema es de segundo orden, ya que son aquellos que responden a una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

C ( s )=W n

2

s2+2wn s+W n2←Formaestandar del sistemade segundoOrden

W n2

(s−s1 ) ( s−s2 )= 25s2+16+20.99

2. Determinar la estabilidad absoluta del sistema usando el criterio de Routh-Hurwitzz

Sistema Utilizado por la empresa Sistema Propuesto por Nosotros

s2 1 4 s2 1 16

s1 4 25 s1 16 20.99

s0 -2.25 0 s0 14.68 0

No se presenta ningún cambio

Se presenta un cambio de signo por lo tanto el sistema es inestable

3. Analizar con base en la función de transferencia y una señal de prueba escalón unitario:

La función de transferencia del sistema es:

G (s )= 25

s2+4 s+25

Utilizamos la siguiente igualdad:

25s2+4 s+25

=W n

2

s2+2wn s+W n2=

W n2

( s−s1 ) (s−s2)=¿

¿ 25(1−4−4.5825 i )(1−4+4.5825)

= 25

(1+4 ¿¿¿2+4.58252)= 25

s2+16+20.99

la dinámica del sistema

La dinámica está definida básicamente por las raíces del denominador y se describe

en términos de los parámetros de y wn

W n2=25….wn=√25……σ=5

2wn=4…= 4

2√25=0.4…wd=wn√1−❑2=5√1−0.42=4.58

¿0.4 esunsistema subamortiguadode la empresa

wd=4.58

2wn=16…= 162√25

=1.6…wd=wn√1−❑2=5√1−1.62=6.244

¿1.6esun sistemasobreamortiguado propuesto por el grupo

wd=6.244-

Donde se distinguen tres casos

cuando 0<¿1 , es paraunsistemasubamortiguadocuando=1 , es paraunsistemacriticamente amortiguado

cuando>1 , esunsistema sobreamortiguado

cuando<0 , esun sistemainestable

A partir de estos datos se obtienen los parámetros de respuesta transitoria

β=tan−1 wdσ

=4.585

=0.916 β=tan−1 wdσ

=6.2445

=1.2488

Identificar ganancia

β=0.916 rad β=1.2488 rad

t r=π−βwd

=π−0.9164.58

=0.4859 t r=π−βwd

=π−1.24886.244

=0.303

tiempo de subida tiempo de subida

t r=0.4859 seg t r=0.303 seg

t p=πwd

=0.6859 t p=πwd

=0.5031

tiempo pico tiempo pico

t p=0.6859 seg t p=0.5031 seg

Sobre oscilación Sobre oscilación

M p=e−(σ / ¿wd) π¿=0.0323 M p=e

−(σ / ¿wd) π=0.080 ¿

M p=0.0323% M p=0.080%

t s=4σ=45=0.8 t s=

4σ=45=0.8

tiempo de asentamiento o establecimiento

t s=0.8 seg t s=0.8 seg

constante de tiempo

sobreimpulso

atenuación

frecuencia natural no amortiguada

factor de amortiguamiento relativo

frecuencia natural amortiguada

amortiguamiento real

amortiguamiento crítico

si el sistema es subamortiguado

críticamente amortiguado

sobreamortiguado

4. Construir, interpretar y analizar el lugar geométrico de las raíces del sistema

Lugar de las raíces

5. Representar el sistema en espacio de estados

6. Analizar controlabilidad y observabilidad del sistema

Relaciono las siguientes graficas realizadas en matlab

Sistema utilizado por la empresa sistema solución

Respuesta en entrada escalón unitario

Respuesta impulso

Diagrama en bloques del sistema

E(s)

B(s)

Reducción del diagrama en bloques

R(s) C(s)

R(s) G(s)C(s)

H(s)

G(s)

1+G(s)H(s)

Conclusiones

Con el presente trabajo aprendimos a realizar un modelamiento para la función de transferencia a un problema real buscando la mejor opción y más estable que garantice un excelente comportamiento del sistema ante señales perturbadoras, al igual conocimos terminología y algunas formulas matemáticas necesarias para el desarrollo de la actividad, se presentaron dificultades por interpretaciones erróneas de la guía y por la poca participación de los demás compañeros en el sentido de dar una solución matemática al problema

Cirbergrafias