CARRERA DE MEDICINA

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES y

CIENCIAS DE LA SALUD

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA

SAN JUAN BOSCO

Autores: Cátedra de Biofísica

www.biofisicafcn.wordpress.com

Guía de ejercicios

BIOFISICA 2018

1

PROGRAMA ANALITICO

Unidad 1: Introducción a la biomecánica

Cinemática: Descripción de los movimientos. Posición y tiempo. Tablas, gráficos y ecuaciones

horarias. Conceptos de velocidad y aceleración. Movimiento rectilíneos sencillos: uniforme y

uniformemente variado. Aceleración de la gravedad. Gráficos de posición, velocidad y

aceleración en función del tiempo. Generalización de los conceptos de velocidad y aceleración a

diversas tasas de crecimiento.

Dinámica: Noción de fuerza. Representación vectorial de las fuerzas. Diagrama de cuerpo libre.

Fuerza resultante. Leyes de Newton: principio de inercia, de masa, y de interacción. Peso y

masa. Unidades: Newton y kilogramo fuerza.

Trabajo y Energía: Trabajo de una fuerza: definición y unidades. Trabajo de un conjunto de

fuerzas. Cálculo del trabajo a partir de gráficos. Energía cinética, potencial y mecánica. Fuerzas

no conservativas. Teorema de conservación de la Energía mecánica. Potencia media e

instantánea.

Aplicaciones: Efectos de la aceleración y desaceleración, roce (articulaciones), palancas

(traumatología) centro de gravedad (equilibrio del cuerpo humano).

Unidad 2: Bases físicas de fenómenos bioeléctricos

Electrostática: Carga eléctrica. Conservación de la carga. Conductores y aisladores. Campo

Eléctrico. Potencial eléctrico

Electrodinámica: Intensidad de corriente eléctrica. Régimen estacionario: corriente continua.

Capacitores. Ley de Ohm: resistencia eléctrica. Resistividad. Fuerza electromotriz. Potencia

eléctrica. Asociación de resistencias en serie y en paralelo. Circuitos simples.

Unidad 3: Soluciones. Distribución de Iones a través de las membranas y actividad eléctrica.

Definición. Tipos de soluciones. Las soluciones acuosas. Concentración. Densidad y gravedad

específica. Propiedades coligativas de las soluciones. Iones en el sistema biológico. Concepto

de ión y electrolito. Energía de ionización, Disociación electrolítica, Radio de hidratación,

conductividad iónica. Consecuencias eléctricas. Na+

, K+

, Ca++

, Cl-

. Las soluciones iónicas.

Unidad 4: Bases Físicas de la Circulación y Respiración

Hidrostática. Fuerza y presión. Principio de Pascal. Teorema fundamental de la hidrostática.

Presión hidrostática. Unidades.

Hidrodinámica. Fluidos ideales. Caudal. Regímenes: estacionario, laminar. Ecuación de

continuidad y teorema de Bernoulli. Condiciones de validez y aplicaciones.

Viscosidad. Resistencia hidrodinámica. Ley de Poiseuille. Resistencias hidrodinámicas en serie y

en paralelo. Potencia.

Gases. Temperatura absoluta. Concepto de gas ideal. Ecuación de estado. Mezcla de gases:

presiones parciales y ley de Dalton. Equilibrio líquido-vapor: presión de vapor. Difusión de

gases a través de líquidos y tejidos corpóreos. Composición de gases en sangre

Difusión y Ósmosis. Gradientes químicos. Difusión. Flujo y densidad de flujo. Ley de Fick.

Permeabilidad. Membrana semipermeable. Ósmosis. Presión osmótica. Ley de Van´t Hoff.

Ósmosis inversa. Diálisis

Unidad 5. Propiedades Eléctricas de las Membranas Celulares

Potencial de membrana: Potenciales de difusión. Equilibrio de Donan. Permeabilidad iónica y

potencial de membrana

Potencial de acción y conducción del impulso eléctrico: Relación corriente-voltaje. Propagación

pasiva de los cambios de potencial. Potencial de acción. Conducción del potencial de acción.

Electromiografía. Electrofisiología general.

2

Unidad 6. Espectro Electromagnético

El espectro electromagnético y su importancia biológica. Ondas mecánicas y ondas

electromagnéticas. Resonancia Magnética Nuclear.

Unidad 7. Biofísica Sensorial

Biofísica de la visión. Óptica geométrica. Medio y camino óptico Sistema óptico. Leyes

fundamentales. Reflexión de la luz. Espejos. Refracción de la luz. Índice de refracción. Lentes.

Formación de imágenes. Sistema óptico del ojo. Ametropías y su corrección.

Sonido y Biofísica de la audición. Naturaleza del sonido. Intensidad. Escala decibélica.

Propagación del sonido- Velocidad. Impedancia acústica. Efecto Doppler, y aplicación.

Clasificación del sonido y sus efectos biológicos. Transmisión del sonido al oído. Infrasonidos y

efectos contaminantes. Sonido audible, ultrasonidos y aplicaciones biomédicas. Ecografía.

Unidad 8. Radiobiología

Radioactividad: Estructura del núcleo. Estabilidad nuclear. Núcleos radiactivos. Ley de la

desintegración radiactiva. Aplicación de los isótopos radiactivos en medicina.

Interacción de las radiaciones corpusculares con la materia: Clasificación de las radiaciones

ionizantes corpusculares. Procesos de colisión y frenado. Transferencia de energía en el medio

irradiado.

Obtención y modulación de rayos X: Principio de funcionamiento de un tubo de rayos X.

Espectro de un tubo de rayos X. Modulación del haz de rayos X.

Unidad 9. Bioestadística (en estrecha coordinación con la asignatura Matemáticas)

Bioestadística y su necesidad. El proceso estadístico en la investigación experimental. Tablas

de datos estadísticos. Representaciones gráficas. Aplicación sobre problemas biofísicos

específicos.

BIBLIOGRAFIA

Textos con ejemplos de aplicación a la Biología y a las Ciencias de la Salud

Kane J.W. y Sternheim M.M., Física, Reverté. (1989)

Cromer A., Física para las ciencias de la vida, Reverté. (1998)

Cussó F., López C., Villar Raúl, Física de los procesos biológicos, Ariel (2004)

Frumento A.S. Biofísica. Mosby/Doyma Libros (1995)

Textos que abarcan los contenidos con poca ejemplificación a la biología y a las

ciencias de la salud

Wilson J.D., Bufa, A.J., Física, Pearson Prentice Hall. (2003)

Máximo A., Alvarenga B., Física General, Oxford. (2000)

Blackwood O., Kelly W. y Bell R., Física general, Continental. (1979)

Johnson R., Kuby P. Estadística Elemental. Thomson Editores. (2004)

Textos de nivel secundario para la comprensión conceptual de algunos temas a nivel

elemental.

Rela A. y Sztrajman J., Física I y Física II, Aique.

Aristegui R., Baredes, C. y otros, Física I y Física II, Santillana.

Maiztegui A. y Boido G., Física (2 tomos), Kapelusz

Hewitt P.A., Física conceptual, Addison-Wesley.

Textos de nivel más avanzado para la comprensión de temas físicos.

Resnick P. y Halliday D., Física (2 tomos), C.E.C.S.A.

Tipler P..A., Física (2 tomos), Reverté.

Gettys E., Keller F. y Skove M., Física Clásica y Moderna, McGraw-Hill.

3

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Para obtener el CONCEPTO de Biofísica es requisito aprobar DOS exámenes parciales con una

nota equivalente a 5 (CINCO). Cada examen parcial tendrá un recuperatorio, que se rendirá a

la semana siguiente del parcial. En caso de no aprobar uno de los parciales en la primera o

segunda instancia, el mismo se podrá rendir en la instancia de “recuperatorio final”, al término

del dictado de la materia. Cabe aclarar que esta opción de “recuperatorio final” podrá usarse

solo para uno de los dos exámenes parciales. Quienes obtengan el CONCEPTO deberán rendir

el EXAMEN FINAL de BIOFISICA en alguna de la fechas de exámenes del calendario académico

de la Facultad.

Régimen de promoción

Quienes aprueben los dos exámenes parciales en la primera instancia con una nota igual o

superior a 7 (SIETE) serán eximidos del Examen final. La nota final de la aprobación de la

materia será igual al promedio de las notas obtenidas en los dos parciales.

4

5

CRONOGRAMA TEORIA

Fecha Clase Contenidos

LUNES 5-MAR 1 Presentación. Diagnóstico - Biomecánica: Cinemática

Jueves 8-mar 2 Biomecánica: Cinemática - Aplicaciones y análisis gráficos

lunes 12-mar 3 Biomecánica - Dinámica

Jueves 15-mar 4 Biomecánica - Dinámica - Trabajo y Energía

LUNES 19-mar 5 Biomecánica: Trabajo y Energía - Aplicaciones - Análisis Gráficos

Jueves 22-mar 6 Biomecánica - Fundamentos físicos de la Mecánica muscular

LUNES 26-mar 7 Bases Físicas de la Circulación y de la Respiración - Fluidos: Hidrostática

Jueves 29-mar FERIADO FERIADO

LUNES 2-abril FERIADO FERIADO

Jueves 05-abril 9 Bases Físicas de la Circulación y de la Respiración: Hidrodinámica-fluidos

ideales

LUNES 9-abr 10 Bases Físicas de la Circulación y de la Respiración: Hidrodinámica - Fluidos

Reales

Jueves 12-abr 11 General Bases Físicas de la Circulación y de la Respiración: Gases y

Fenómenos de Transporte: Soluciones

LUNES 16-abr 12 REPASO (para el primer parcial – martes 17 de abril)

Jueves 19-abr 13 Bases Físicas de la Circulación y de la Respiración: Fenómenos de

Transporte: Soluciones, Difusión, Osmosis, Osmosis Inversa, Diálisis

LUNES 23-abr 16 REPASO (para el recuperatorio del 1 parcial – martes 24 de abril)

Jueves 26-abr 17 Bases Físicas de los Fenómenos Eléctricos

LUNES 30-abril FERIADO FERIADO

Jueves 03-may 18 Bases Físicas de los Fenómenos Eléctricos

Viernes 7-may 19 Electrofisiología

Jueves 10-may 20 Electrofisiología

LUNES 14-may 21 Óptica geométrica - Biofísica de la Visión

Jueves 17-may 22 Biofísica de la Audición

LUNES 21-may 23 Radiaciones electromagnéticas y corpusculares.

Jueves 24-may 24 Radioactividad - Aplicación de isótopos radioactivos en medicina. Rayos X

LUNES 28-may 25 La física nuclear y el diagnóstico por imágenes

Jueves 31-

mayo 26 Repaso General

LUNES 04-jun 27 Repaso general

Jueves 07-jun 28 2DO PARCIAL (en el horario de la practica)

LUNES 11-jun 29 Repaso General

Jueves 14-jun 30 2do RECUPERATORIO (en el horario de la practica)

LUNES 18-jun 31 Repaso General

Jueves 21-jun 32 RECUPERATORIO FINAL (en el horario de la practica)

6

7

CRONOGRAMA PRACTICAS

FECHA CLASES GUIAS DE EJERCICIOS

MARTES 6-mar 1 Biomecánica: Cinemática

jueves 8-mar 2 Biomecánica: Cinemática

martes 13-mar 3 Biomecánica: Dinámica

Jueves 15-mar 4 Biomecánica: Dinámica

martes 20-mar 5 Biomecánica: Trabajo y Energía

Jueves 22-mar 6 Biomecánica: Trabajo y Energía

martes 27-mar 7 Repaso Biomecánica

Jueves 29-mar FERIADO FERIADO

martes 03-abril 8 Hidrostática

jueves 05-abril 9 Hidrostática

Martes 10-abril 10 Hidrodinámica

jueves 12-abr 11 Repaso hidrostática/hidrodinámica

Martes 17-abr 12 PRIMER PARCIAL

Jueves 19-abr 13 Repaso

Martes 24-abr

RECUPERATORIO PRIMER PARCIAL

Jueves 26-abr 14 Gases

martes 01-

mayo 15 Fenómenos de Transporte: Soluciones, Difusión, Osmosis

Jueves 03-may 16 Fenómenos de Transporte: Soluciones, Difusión, Osmosis

martes 9-may 17 Electrostática

Jueves 10-may 18 Electrostática

martes 16-may 19 Electrodinámica

Jueves 17-may 20 Electrodinámica

martes 22-may 21 Repaso Electrostática/electrodinámica

Jueves 24-may 22 Ondas mecánicas: Sonido

martes 29-may 23 Ondas mecánicas: Sonido

Jueves 31-

mayo 24 Repaso General

martes 05-jun 25 Repaso General

Jueves 07-jun 26 2do PARCIAL

martes 13-jun 27 Resolución de parcial y Repaso

Jueves 14-jun 28 Recuperatorio 2do parcial

Martes 19-jun 29 Resolución de parcial y Repaso

Jueves 21-jun 30 Recuperatorio final

8

CINEMATICA

OBJETIVOS ESPECIFICOS: Adquirir manejo en:

* Interpretación de enunciados.

* Construcción y manejo de las ecuaciones que gobiernan distintos movimientos sencillos de la física: MRU, MRUV, Tiro Vertical y Caída Libre

* Uso de sistemas de referencias * Manejo y transformación de unidades * Construcción e interpretación de gráficos

Ejemplos de resolución de ejercicios con explicaciones teóricas

Ejercicio 1:

Para cada uno de los gráficos A y B, que representan el movimiento rectilíneo de una partícula:

a-Describir el movimiento en cada tramo (indicado con los números 1, 2 y 3)

b-Calcular la aceleración en cada tramo.

c-Escribir las ecuaciones horarias X(t), V(t), a(t) para cada tramo.

d-Construir el gráfico posición vs tiempo o velocidad vs tiempo, según corresponda.

e-Construir el gráfico aceleración vs tiempo.

f-Calcular, utilizando el gráfico que corresponda, el desplazamiento en cada tramo.

Para la situación B se sabe que en t=0s la partícula se encuentra en la posición X=50 m

Con la resolución de este ejercicio tratamos de abarcar varios conceptos de cinemática, que

incluyen esencialmente la extracción e interpretación de información desde distintos gráficos

así como la construcción de los mismos. Resolvemos con mucho detalle dado que el análisis de

la información contenida en gráficos o la construcción de gráficos son temas que abordaremos

permanentemente a lo largo de toda la materia

Primero tengamos bien en claro qué nos piden en cada ítem:

Aquí debemos ver primero de qué clase de movimiento se trata: se analiza si la velocidad es

positiva o negativa, si hay aceleración y si esta es positiva o negativa, si la partícula se mueve

a velocidad constante o si está acelerando o frenando es decir, en definitiva, describir

justificando con toda la información posible si el movimiento es MRU o MRUV o si el móvil se

encuentra detenido.

Aquí hay que recordar y tener bien claro que para los gráficos X vs t las rectas representan

MRU o V=0 y que los arcos de parábolas representan MRUV. En este último caso, para el

sistema de ejes indicado en A, si la concavidad es negativa o “hacia abajo”, a0 (a es

negativa) mientras que si la concavidad es positiva o “hacia arriba”, a0 (a es positiva). Si

1

2

3

X (m)

t (s)

1000

40 90 200

X 2

0

1

2 3

V (m/s)

t (s)

-20

40 100

20

20 B

0

A

9

la partícula se encuentra en una posición representada “por debajo” del eje del tiempo

tendrá una posición negativa, mientras que si la posición está representada “por encima”

del eje del tiempo tendrá una posición positiva.

En el caso de los gráficos V vs t, como en nuestro curso responden a MRUV, NUNCA puede

haber arcos de parábolas o ningún tipo de línea curva. Para el sistema de ejes indicado en

B, si para determinado tiempo la partícula tiene una velocidad representada “por debajo”

del eje temporal tendrá una velocidad negativa mientras que si está representada “por

encima” del eje del tiempo tendrá una velocidad positiva. Recordar que la pendiente de la

recta tangente al gráfico en un punto representa la aceleración de la partícula. De este

modo, y considerando el sistema de ejes indicado en B, si la pendiente de la recta es

positiva a0 (a es positiva).mientras que si la pendiente de la recta es negativa entonces

a0 (a es negativa).

De acuerdo a la expresión para el cálculo de la aceleración a=V/t es decir a=(Vf-Vi)/(tf-ti)

necesitamos conocer la velocidad inicial y final de cada tramo, la cual se puede extraer

directamente desde el gráfico o bien determinarla con un cálculo sencillo a partir de los datos

que se indican. Recordar que la pendiente de la recta tangente en un punto en el gráfico X vs t

representa la velocidad, por lo que si la pendiente es CERO la velocidad es CERO. Por ejemplo

en el siguiente gráfico, para t=0s y para t=9s la velocidad es CERO, pues las pendientes de las

rectas tangentes que podríamos trazar para esos tiempos es CERO

En las ecuaciones horarias o ecuaciones X(t), V(t) y a(t) deben reemplazarse los valores de ti,

Xi, Vi y aceleración

Aquí no hay mucho para decir, en el caso A ya está dada la información X vs t por lo que hay

que construir el grafico V vs t y a la inversa en el caso B, claro está, a partir de toda la

información que analizamos en el ítem a)

Igualmente que en c) no hay mucho para decir, solo hay que construir el gráfico respetando el

análisis y los cálculos de aceleración realizados en el ítem a)

Aquí hay que recordar que el área bajo la curva en un gráfico posición-tiempo (X vs t o Y vs t)

representa el desplazamiento (X o Y)

Resolvamos A

Item a)

Tramo 1: No podemos dudar de que se trata de un MRU, pues es una recta (en realidad un

segmento de recta) en un gráfico X vs t. A la posición a t =0 se encuentra en la posición X=0,

mientras que a t=40s se encuentra en la posición X=1000m. Entonces, aplicando la ecuación

(solo válida para MRU!!!!) V=X/t, con X =Xf-Xi =1000m-0m=1000m y t =tf-ti =40s-0s=

40s obtenemos V=25 m/s. Es decir se trata de un MRU con una velocidad constante

(redundante) de 25 m/s.

X (m)

t (s)

?

100

5 14 9 0

10

Tramo 2: Por lo explicado anteriormente y observando la forma del arco de parábola, sin lugar

a dudas se trata de un MRUV con aceleración negativa. Obviamente tenemos un movimiento

continuo y por lo tanto la velocidad final de un tramo es exactamente igual a la velocidad

inicial del tramo siguiente, en consecuencia sin tener que realizar ningún tipo de cálculo

sabemos que la velocidad inicial de este MRUV es V=25 m/s. Además, si analizamos la

pendiente de la curva en t=100s, por lo explicado anteriormente no podemos dudar que en

ese instante V=0. (Esto también lo podemos ver si tenemos en cuenta que a partir de t=100s

la partícula está siempre en la misma posición (X2), la cual no tiene un valor numérico en el

grafico pero se puede calcular a partir de los datos (ver más adelante).

Entonces aquí podemos calcular la aceleración: a=V/t, a=(0m/s-25m/s)/(90s-40s), con lo

cual a=-0,5 m/s2 (notar el signo MENOS!!!!)

Tramo 3: No hay mucho para decir. La pendiente del gráfico (como vimos antes la pendiente

de la curva en un gráfico posición-tiempo indica la velocidad) es 0 en todo el intervalo (90s,

200s), por lo tanto V=0 en todo el tramo.

En definitiva, este gráfico podría responder, por ejemplo, al movimiento rectilíneo de una

partícula, móvil auto, etc, que en el intervalo (0s, 40s) tiene una velocidad constante de 25

m/s y en el instante t=40s comienza a disminuir su velocidad (o frena, o desacelera) hasta que

se detiene en el instante t=90s y permanece con V=0 hasta t=200s. No podemos decir más

nada luego de t=200s. (No podemos dudar aquí que a=0 en este tramo)

Item b)

Se trata solo de resumir lo calculado en el ítem a)

Tramo 1: a=0 m/s2 Tramo 2: a=-0,5 m/s2 Tramo 3: a=0 m/s2

Item c)

Para construir las ecuaciones horarias se necesita conocer SIEMPRE el tiempo inicial, la

posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. Como tenemos 3 tramos debemos conocer

estas cantidades (ti, Xi, Vi y a)

Tramo 1: ti=0s Xi=0m Vi (constante) =25 m/s a=0 m/s2 y es MRU

X(t)=0m+25m/s (t-0s)

V(t)=25m/s

a(t)=0 m/s2

Tramo 2: ti=40s Xi=1000m Vi=25m/s a=-0,5 m/s2 y es MRUV

X(t)=1000m+25m/s (t-40s)+1/2 (-0,5 m/s2) (t-40s)2

V(t)=25m/s-0,5 m/s2 (t-40s)

a(t)=-0,5 m/s2

Tramo 3: Aquí nos falta calcular la posición inicial de este tramo, pero sabemos que debe

coincidir con la posición final del tramo anterior (tramo 2), por lo que utilizamos la ecuación de

posición del tramo 2 y reemplazamos en ella t=90s

X(t=90s)=1000m+25m/s (90s-40s)+1/2 (-0,5 m/s2) (90s-40s)2 =1625 m

(Ahora sabemos entonces que en el gráfico X2=1625m)

Ahora si tenemos todos los datos necesarios: ti=90s Xi=1625m Vi=0m/s a=0 m/s2

11

X(t)=1625m+0m/s (t-90s)+1/2 (0 m/s2) (t-90s)2

V(t)=25m/s+0 m/s2 (t-90s)

a(t)=0m/s2

Obviamente podemos simplificar estas ecuaciones obteniendo:

X(t)=1625m

V(t)=25m/s

a(t)=0m/s2

Item d) Se trata de transcribir toda la información de la velocidad, es decir V(t=0s),

V(t=40s), V(t=90s) y V(t=200s) en un sistema de ejes V vs t:

Item e) Similarmente al ítem anterior ahora se trata de transcribir toda la información de la

aceleración, es decir a(t=0s), a(t=40s), a(t=90s) y a(t=200s) en un sistema de ejes

a vs t:

Item f): Como vimos anteriormente, necesitamos calcular áreas en el grafico V vs t [o V(t)].

Entonces debemos determinar las áreas sombreadas en la figura siguiente (un

rectángulo para el tramo 1 y un triángulo para el tramo 2):

Área del rectángulo: base x altura = 40s x 25 m/s = 1000 m

Área del triángulo: (base x altura)/2= [(90s-40s)x25m/s]/2 = [50s x 25m/s]/2 = 625 m

(OBSERVAR que los resultados tienen unidades de desplazamiento!!!)

Entonces: Desplazamiento del Tramo 1: X1= 1000 m

Desplazamiento del Tramo 2: X2 = 625 m

Desplazamiento del Tramo 3: X3 = 0 m

1

2

3

V (m/s)

t (s)

25

40 90 200 0

1

2

3

a (m/s2)

t (s)

-0,5

40 90

200 0

1

2

3

V (m/s)

t (s)

25

40 90 200 0

12

Desplazamiento Total: X =: X1 + X2 + X3 = 1625 m

Resolvamos B

Ahora la información de la situación (del movimiento de la partícula) se brinda a través de un

gráfico V vs t [o V(t)]. No debemos olvidar el dato adicional que nos dan: para t=0s

corresponde X=50m [X(0s)=50m]

Item a)

Hay mucha información que se ve claramente en el gráfico: Entre t=0s y t=40s se trata de

MRUV, pues hay cambios en la velocidad, mientras que entre t=40s y t=100s la velocidad es

siempre V=20m/s, por lo que se trata de MRU. Se indican 3 tramos pero verdaderamente son

2 movimientos puesto que los tramos 1 y 2 son en realidad dos partes de un movimiento con

una misma aceleración, aunque hay un cambio en el sentido de la velocidad en t=20s de

negativa a positiva (como cuando lanzamos una moneda verticalmente hacia arriba, en la

altura máxima la velocidad es cero, pero un instante antes la velocidad tiene un signo y un

instante después tiene el signo opuesto). Es decir en el intervalo (0s, 40s) la aceleración es la

misma (pues la pendiente del segmento de recta, que en este caso representa la aceleración,

es la misma. Entonces:

Tramos 1 y 2: MRUV con aceleración positiva (la pendiente de la recta es positiva en el

intervalo (0s, 40s). Insistamos en que la aceleración es la misma para los dos

tramos. La podemos calcular fácilmente: a=V/t, entonces a=[20m/s-(-

20m/s)]/(40s-0s)=1m/s (CUIDADO con las operaciones matemáticas!!!)

Tramo 3: MRU con velocidad constante positiva [V=20m/s en el intervalo (40s, 100s)]

Este gráfico podría representar, por ejemplo, el movimiento de una partícula (o un móvil,

objeto, etc) que se desplaza con movimiento rectilíneo en sentido oeste-este frenando hasta

que se detiene en t=20s [V(20s)=0m/s] para luego avanzar en sentido contrario (este-oeste)

hasta alcanzar una velocidad de 20m/s en t=40s, la cual mantiene hasta t=100s

Item b)

Nuevamente, se trata solo de resumir lo calculado en el ítem a)

Tramos 1 y 2: a=1 m/s2 Tramo 3: a=0 m/s2

Item c)

Como se indicó para el gráfico A, se necesita conocer el tiempo inicial, la posición inicial, la

velocidad inicial y la aceleración (ti, Xi, Vi y a). Se debe tener mucho cuidado con los signos de

cuando se reemplazan estos valores en las ecuaciones

Tramos 1 y 2: ti=0s Xi=50m Vi =-20 m/s a=1 m/s2 y es MRUV

X(t)=50m-20m/s (t-0s)+1/2 (1 m/s2) (t-0s)2

V(t)=-20m/s+1 m/s2 (t-0s)

a(t)=1 m/s2

Tramo 3: ti=40s Xi=? Vi=20m/s a=0 m/s2 y es MRU

13

Evidentemente nos falta calcular Xi para este tramo, pero recordemos una vez más que la

posición inicial de un tramo debe ser exactamente la misma que la posición final del tramo

inmediatamente anterior. Usemos entonces la ecuación de posición del tramo anterior para

t=40s, que es el instante en el que se “unen” los dos tramos

X(40s)=50m-20m/s (40s-0s)+1/2 (1 m/s2) (40-0s)2 =50 m

PREGUNTA PARA PENSAR: Analizando este último resultado: ¿Cómo puede ser que este en

la misma posición inicial que estaba al inicio del tramo 1?

Volvamos a la resolución del problema

X(t)=50m+20m/s (t-40s)

V(t)=20m/s

a(t)=0 m/s2

Item d) Ahora corresponde reunir toda la información de las posiciones en un gráfico X vs t [o

posición-tiempo o X(t)]. Nos falta determinar la posición para t=100s, la cual obtenemos con

la correspondiente ecuación: X(100s)=50m+20m/s(100s-40s)=1250m

Item e) Similarmente al ítem anterior ahora se trata de transcribir toda la información de la

aceleración, es decir a(t=0s), a(t=40s) y a(t=100s) en un sistema de ejes a vs t:

Item f): Necesitamos calcular nuevamente áreas en el gráfico V vs t [o V(t)]. Entonces

debemos determinar las áreas sombreadas en la figura siguiente (dos triángulos para

el tramo 1 y 2 y un rectángulo para el tramo 3):

1 2

3

X (m)

t (s) 50

20 40 100

1250

0

1 2

3

a (m/s2)

t (s)

0 40 100

1

20

14

Área del triângulo 1: (base x altura)/2= [(20s-0s) x (-20m/s)]/2 = -20 m OBSERVAR el

signo!!!

Área del triângulo 2: (base x altura)/2= [(40s-20s) x (20m/s)]/2 = 20 m

Área del retângulo: base x altura = (100s-40s) x 20 m/s = 1200 m

Ejercicios para resolver 1-Mientras un ómnibus realiza su recorrido, uno de los pasajeros toma nota regularmente cada

media hora del kilometraje que puede leer en los mojones a la vera del camino y los registra

en la siguiente tabla:

t (h) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

x (km) 40 30 20 10 0 20 40

a) Despliegue los valores de la tabla en un gráfico posición-tiempo.

b) Suponiendo que en cada tramo analizado la velocidad es constante: ¿Cuál es la

velocidad del ómnibus en

b1) la primera hora de recorrido?

b2) la segunda hora de recorrido?

b3) la última hora?

c) Construya un gráfico velocidad-tiempo considerando los tramos del punto b)

d) Si la velocidad media del ómnibus es cero en algún intervalo de tiempo ¿qué puede

decir respecto al desplazamiento del ómnibus en ese tiempo?

2) Tomando el origen de coordenadas en la ruta 3 a la altura del Liceo Militar (LM) y

considerando que la distancia LM-Caleta Olivia (CO) es de 70 km y que la distancia CO-Astra

(AS) es de 90 km, escribir las ecuaciones horarias para cada una de las siguientes situaciones:

a) Un auto que pasa por el LM a las 13 h se dirige hacia AS a una velocidad constante de

100 km/h.

b) Un camión pasa por CO hacia LM a las 16 h a una velocidad constante de 30 m/s.

c) Una camioneta parte de AS hacia CO a las 15 h con una aceleración de 2 m/s2.

3) La velocidad de sedimentación de los eritrocitos en una mujer adulta puede ser de 5 mm

cada 15 minutos.

a) Determinar su velocidad en mm/s y en cm/h.

b) Graficar la velocidad y la posición en función del tiempo.

4) El movimiento de un móvil puede representarse con el siguiente gráfico en un cierto período

de su recorrido. Desconsiderando el tiempo que emplea el móvil para cambiar su velocidad:

1

2 3

V (m/s)

t (s)

-20

40 100

20

20

0

LM CO AS

15

a) Escribir claramente la ecuación horaria (X vs. t) del móvil para cada tramo.

b) ¿Cuál es la posición del móvil para t=45 min?.

c) ¿Cuál es la posición del móvil para t=75 min?.

d) Graficar velocidad en función del tiempo (V vs. t).

5) El movimiento de una partícula puede representarse con el siguiente gráfico en un cierto

período de su recorrido:

a) Describir el movimiento de la partícula en cada uno de los tramos, indicando además

expresamente cuando es MRU y cuando MRUV.

b) Sabiendo que la velocidad inicial (en t=0s) es V=0 m/s, calcular la aceleracion y

velocidad inicial y final de cada uno de los tramos.

c) Calcular la posicion para t =9 s

d) Construir los gráficos de velocidad en función del tiempo y de aceleración en función del

tiempo.

6) Se lanza una pelota (A) verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial (Vi) de 30 m/s.

Simultáneamente se deja caer otra pelota (B) desde una altura de 30m. Dos segundos más

tarde se lanza una pelota (C) verticalmente hacia arriba con Vi= 10 km/h

a) Utilizando un único sistema de referencias escribir las ecuaciones horarias (posición vs t

y velocidad vs t) para las tres pelotas.

b) Utilizando un único sistema de referencias determinar posición y velocidad de cada

pelota para t=2s.

7) Escribir las ecuaciones horarias (Y vs t, V vs t y a vs t) para las siguientes situaciones:

a) Un objeto A se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 10 m/s

desde una altura de 30 metros sobre el nivel del piso.

b) Un objeto B se lanza hacia arriba con una velocidad de 2 m/s a desde una altura de 30

m dos segundos después de que se lanzó el objeto A.

c) Un globo aerostático que desciende verticalmente pasa por la altura Y = 500 m a una

velocidad constante de 5 m/s.

d) Un objeto E que asciende verticalmente a una velocidad constante de 3 m/s pasa por

la altura Y=15 m cinco segundos después de partir desde el suelo.

e) Un paracaidista F se suelta desde un helicóptero que se encuentra a 500 m de altura

descendiendo verticalmente a una velocidad de 3 m/s.

8) El movimiento de una partícula que es lanzada verticalmente hacia arriba desde el nivel del

suelo puede representarse con el siguiente gráfico en un cierto período de su recorrido:

X (Km)

t (min)

75

120

30

30 90 60

60

X (m)

t (s)

?

100

5 14 9

16

a) Calcular la velocidad inicial.

b) Calcular la altura máxima

c) ¿Cuál es la posición de la partícula para t=25 s?.

d) ¿Qué tiempo le corresponde a la posición Y=20 m?

e) ¿A qué tiempo volverá a llegar al suelo?

9) Un objeto A se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de

50 m/s. Dos segundos después un objeto B se suelta desde una altura de 60 m.

a) Calcular la altura máxima que alcanza el objeto A.

b) Determinar la posición y velocidad de cada objeto a los 3s.

c) Trazar los gráficos Y vs. t, V vs. t , a vs. t para ambos objetos.

10) El gráfico siguiente representa la velocidad que adquiere un objeto, en función del tiempo,

al moverse en un camino rectilíneo. Considerando que el objeto a t=0s está en el origen:

a) ¿Cuál es la aceleración del móvil?

b) ¿Cuál es la velocidad al cabo de 4 segundos? c) ¿Volverá a pasar por el origen?

11) El gráfico de la figura muestra la pérdida (o en todo caso la modificación) de la capacidad

de regulación de una enzima alostérica por la presencia de dos reguladores diferentes (un

inhibidor y un activador), según se indica. Concretamente, Y simboliza la velocidad de la

reacción, mientras S la concentración de sustrato (sin tomar en cuenta las unidades).

Analizando el gráfico, indicar

a) ¿Qué curva presenta, para alguna concentración de sustrato, la mayor aceleración?

b) ¿Para alguna concentración la velocidad es, aproximadamente, constante?

c) ¿Qué porciones de las curvas pueden asociarse con aceleraciones constantes?

d) Si ahora Y representase la variable “posición” y la variable S “tiempo”, ¿con qué

movimientos puede asociarse cada una de las curvas?¿Qué diferencias entre tales

movimientos podrían inferirse del gráfico?

e) Considerando d), esbozar los gráficos velocidad-tiempo y aceleración-tiempo

correspondientes a cada una de las curvas

Y (m)

t (s)

?

40

V (m/s)

t (s)

0

-6

2

-2

17

12) El gráfico de la figura representa la evolución de la estatura de niños y niñas desde el

nacimiento a los 19 años. Luego de analizar el grafico:

a) ¿En qué intervalos el crecimiento en estatura presenta aceleración y en cual se

mantiene a velocidad aproximadamente constante?. Determinar la velocidad para esta

última situación.

b) ¿En algún intervalo el crecimiento es nulo? ¿Cuál es la velocidad de crecimiento en

estatura en ese caso?

c) Determinar la mayor velocidad de crecimiento para niños y para niñas.

d) En algún intervalo la velocidad de crecimiento de las niñas es mayor que la de los

niños?

e) Determinar, aproximadamente, la desaceleración del crecimiento en altura para cada

caso, en la etapa final de la evolución de esta variable.

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Esta

tura (

cm

)

Edad (años)

Niñas

Niños

18

Ejercicios de Opción Múltiple

13) Un cuerpo cae libremente, partiendo del reposo, y emplea 3 segundos en recorrer la mitad

de su camino. Entonces la distancia total recorrida es:

A) 15 m B) 30 m C) 45 m D) 60 m E) 90 m F) 180 m

14) El gráfico representa la aceleración en función del tiempo para un móvil que parte del

reposo. El desplazamiento en los primeros 6 segundos del recorrido es:

A) 4 m B) 8 m C) 16 m D) 20 m E) 28 m F) 36 m

15) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la única correcta?

a) Un objeto que se deja caer libremente del reposo desciende 30 m durante los

primeros 3 segundos de vuelo

b) Si un objeto realiza un movimiento vertical su aceleración se anula cuando alcanza

su altura máxima

c) Si un objeto realiza un movimiento vertical su aceleración cambia de sentido cuando

alcanza la altura máxima

d) Si un objeto sube verticalmente con velocidad constante su aceleración es mayor que

la de la gravedad

e) Si un objeto desciende verticalmente con velocidad constante su aceleración es cero

f) Si un objeto asciende verticalmente hacia arriba aumentando su velocidad en 2 m/s

cada segundo entonces su aceleración es 8 m/s2

16) En los siguientes gráficos se muestra la posición (x) en función del tiempo para diferentes

objetos. ¿En qué casos se puede afirmar que el objeto tiene siempre una velocidad en el

sentido positivo del eje x?

A) Solo (f) B) (a) y (b) C) (c) y (f) D) (b) y (d) E) (a) y (d) F) (c) y (d)

a (m/s2)

6 0

1

2

t (s)

a c

d e f

b x (m)

x (m)

x (m)

x (m) x (m)

t (s)

t (s) t (s) t (s)

t (s) t (s)

2

x (m)

19

17) El gráfico representa la velocidad en función del tiempo de un objeto que se desplaza en

movimiento rectilíneo que (solo una opción es correcta):

A) Frena uniformemente hasta detener su marcha y luego acelera

B) Tiene primero velocidad negativa y luego velocidad positiva

C) El módulo de la aceleración cambia en t = 2 s, siendo mayor en el segundo tramo

D) Viaja siempre en la misma dirección y sentido

E) Se desplaza más en el primer tramo porque tiene mayor aceleración

F) Ninguna de las anteriores es correcta

18) El gráfico siguiente describe el movimiento de una partícula en un cierto periodo de su

recorrido, donde se pueden distinguir claramente 3 “tramos”. Solo una de las siguientes

afirmaciones es correcta:

A) La posición para t =100 s es X=1500 m.

B) El tramo 2 presenta un movimiento acelerado.

C) El tramo 3 tiene velocidad constante.

D) La aceleración del tramo 2 es a=0,41 m/s2.

E) No se puede saber cuándo se detendrá la partícula.

F) La posición para t=100 s es X=140.

V (m/s)

(m/s2)

6 0

1

2

t (s)

3

1

2

3

X (m)

t (s)

1000

40 100 200

?

20

DINÁMICA

OBJETIVOS ESPECIFICOS: Adquirir manejo en:

* Interpretación de enunciados. * Manejo fluido de las leyes de Newton

* Uso de sistemas de referencias * Manejo y transformación de unidades * Construcción e interpretación de gráficos

Ejemplos de ejercicios resueltos con explicaciones teóricas

Ejercicio 1:

El sistema de la figura, donde la fuerza F = 10 kgf forma un ángulo de 53º con la vertical, M1 =

10 kg y M2 = 20 kg, se desplaza sobre una mesa horizontal. Sabiendo que el coeficiente de

rozamiento entre la mesa y M2 y entre los cuerpos es 0,2 ¿Cuál sería el valor de la fuerza de

rozamiento entre la mesa y M2?

Resolución:

La primera ley de Newton establece que todo cuerpo permanece en su estado de reposo

(velocidad nula) o movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante) a no ser que sea

obligado a cambiar su estado por alguna fuerza que actúe sobre él.

A partir de la primera ley se puede definir lo que es un sistema de referencia inercial. Este

queda definido como un sistema de referencia a partir de un punto arbitrario del cual se

desprenden unos ejes cartesianos (poniendo los ejes donde más convenga), que pueden

desplazarse con movimiento rectilíneo uniforme o permanecer en reposo.

En ausencia de fuerzas el movimiento de un cuerpo es uniforme y rectilíneo. La acción de una

fuerza debe generar una aceleración (positiva o negativa), cambiando así la trayectoria que

este tendría si fuese libre. La segunda ley de Newton establece que, siendo la fuerza total

sobre un cuerpo, es decir la suma vectorial de todas las fuerzas que actuaron sobre este,

entonces el cuerpo adquiere una aceleración cuya relación con la fuerza es la siguiente:

La tercera ley de Newton puede enunciarse como “la fuerza ejercida por un cuerpo sobre otro

es siempre igual y de sentido contrario a la ejercida por el segundo sobre el primero”. Esta ley

es comúnmente conocida como “principio de acción y reacción”.

Para resolver un ejercicio de dinámica, primero se plantea el diagrama de fuerzas

considerando a cada bloque por separado en un sistema de referencia inercial:

Para el cuerpo M1:

M2

M1

α=53°

F

21

Aplicando las leyes de Newton, confeccionamos la sumatoria de fuerzas para cada eje

cartesiano:

∑

Ecuación 1

∑

∑

Ecuación 2

Para el cuerpo M2:

Donde FR1 es la fuerza de rozamiento entre M1 y M2 y FR2 es la fuerza de rozamiento entre M2 y

el piso. Debemos descomponer F, obteniendo en este caso Fx=F.sen ; Fy=F.cos

Aplicando las leyes de Newton, confeccionamos la sumatoria de fuerzas sobre M2 para cada eje

cartesiano:

∑

∑

Ecuación 3

∑

∑

Ecuación 4

y

x

FC1

FR1

P1=m

1.g

y

x

FC2

FR2

FC1

=m1.g

P2=m

2.g

F

α=53°

FR1

22

PREGUNTA: ¿Por qué reemplazamos FC1 por m1g?

Nuestra incógnita es la fuerza de rozamiento entre la masa 2 y la mesa, es decir FC2. La fuerza

de rozamiento dinámica entre dos cuerpos depende de la naturaleza de la superficie de

contacto (de que materiales están formados y si es más o menos rugosa) y de la magnitud de

la fuerza de contacto. Se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

Ecuación 5

Donde μ es el coeficiente de rozamiento dinámico y Fc es la fuerza de contacto.

Para calcular la fuerza de rozamiento entre el cuerpo 2 y la mesa, necesitamos hacer uso

solamente de las ecuaciones 4 y 5:

Despejamos FC2 de la ecuación 4, pasando de un lado de la igualdad al otro tal que lo que

estaba sumando pasa restando y lo que estaba restando pasa sumando:

Luego reemplazamos la expresión anterior en la ecuación 5:

Ahora solo nos queda reemplazar los valores en las mismas unidades, teniendo en cuenta que

1kgf equivale a 10 N, por lo tanto 10kgf serán 100N:

⁄ ⁄

Ejercicios para resolver

1) Sobre un cuerpo de 25 kg actúan a la vez dos fuerzas de 30 N y 50 N.

a) Calcula la aceleración de dicho cuerpo y la distancia que recorre en 10 segundos si las

fuerzas actúan en sentido contrario.

b) Calcula la aceleración de dicho cuerpo y la distancia que recorre en 10 segundos si las

fuerzas actúan en el mismo sentido.

2) Responder Verdadero o Falso justificando adecuadamente la respuesta. Cuando la

sumatoria de fuerzas sobre un cuerpo es igual a cero:

a) El cuerpo se acelera ( )

b) El cuerpo se mueve con velocidad constante ( )

c) El cuerpo no se mueve ( )

3) Un paracaidista junto con su paracaídas tienen una masa de 130 kg. Si la fuerza de

rozamiento con el aire es de 1100 N:

a) Hacer el diagrama de cuerpo libre correspondiente para el paracaidista

23

b) ¿Cuál es la aceleración?

c) ¿Cuál debería ser el valor de la fuerza de rozamiento con el aire para que el

paracaidista descienda con velocidad constante?

4) En el dispositivo de la figura F = 50 N, m1 = 20 kg, m2 = 15 kg y d = 0,4 (entre m1 y la

mesa). Se desprecian la masa de la cuerda y la influencia de la polea. Luego de realizar

prolijamente los diagramas de cuerpo libre indicando los pares de interacción y teniendo

en cuenta que al dejarlo en libertad el sistema adquiere movimiento acelerado, calcular:

a) La aceleración del sistema

b) La tensión de la cuerda

c) Suponiendo que la mesa es suficientemente larga ¿Qué distancia recorre m1 luego de

3 segundos?.

5) a) Dibujar los diagramas de cuerpo libre para todos los cuerpos que se muestran en la

figura, indicando los pares de interacción. Solo existe rozamiento entre el cuerpo 1 y la

superficie de apoyo. Tener en cuenta que m1=2.m2<m3

b) Determinar la aceleración del sistema y la tensión en cada una de las cuerdas teniendo

en cuenta que m1 = 2 kg, m3 = 4kg y el coeficiente de rozamiento es 0,2

6) A una caja que está inicialmente en reposo en el punto A, se la empuja con una fuerza

constante, desde A hasta B y luego se la suelta. Sólo hay rozamiento en las zonas

sombreadas (zonas CD y EF). Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas:

a) Se detendrá en el punto B.

b) Se detendrá en el punto C.

c) Se detendrá en el punto G.

m 1

m 2

m 1

m 2 m 3

F

A B C D E F G Fuerza F que actúa

de A hasta B

24

d) Es posible que se detenga en alguno de los tramos CD y EF.

e) Es posible que se detenga en alguno de los tramos DE y FG.

f) Si logra pasar el punto F se puede afirmar que no se detendrá nunca.

7) Se necesita reemplazar el cable de acero de un ascensor en un edificio. El peso del ascensor

es de 500 kgf y la carga máxima que se permite transportar es de 3000 N. Los movimientos

que realiza el ascensor son:

a) Arranca con una aceleración de 1 m/s2

b) Sube con velocidad constante de 2 m/s

c) Baja con velocidad constante de 2 m/s

d) Frena con una aceleración de 1 m/s2

Tres empresas presentan sus ofertas para realizar el reemplazo:

A: Provee un cable que resiste una fuerza máxima de 12000 N a un costo de $24.000

B: Provee un cable que resiste una fuerza máxima de 8000 N a un costo de $10.000

C: Provee un cable que resiste una fuerza máxima de 10000 N a un costo de $15.000

e) Justificando la respuesta con los cálculos necesarios indicar cuál es la oferta más

conveniente.

8) El conductor de un vehículo de masa M = 1000 kg que se desplaza por una ruta recta a una

velocidad de 10 m/s aplica los frenos al ver el semáforo en rojo y se detiene en 25 m.

a) Dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el vehículo, indicando sus pares de interacción

b) Calcular el valor de la fuerza que actúa en el frenado.

9) Se aplica una fuerza de 50 kgf formando un ángulo de 37 con la horizontal (hacia arriba)

sobre un bloque de 1000 N que se encuentra en una superficie horizontal. Determinar el valor

de la fuerza de rozamiento si el bloque se desplaza a una velocidad constante de 1 m/s.

10) Un pasajero de 60 kg se desplaza en ascensor. El módulo de la fuerza que el piso ejerce

sobre sus pies está representado en el siguiente gráfico.

Despreciando rozamientos y sabiendo que el ascensor parte del reposo:

a) Determinar la aceleración en los intervalos (0 s - 2 s) y (2 s – 4 s).

b) Calcular la distancia total recorrida (entre 0 s y 4 s).

F (N)

4 0 3 2

t (s)

1

660

600

25

11) El sistema de la figura se mueve en el sentido de las agujas del reloj. Realizar los

diagramas de cuerpo libre y escribir las ecuaciones de Newton. (Hay rozamiento entre el

cuerpo 2 y la superficie de apoyo y entre el cuerpo 1 y el cuerpo 2).

Ejercicios de opción múltiple

12) Un ascensor de 600 kg sube aumentando su velocidad a razón de 2m/s en cada segundo.

La fuerza que ejerce el cable que lo eleva es:

A)600 N B)1200 N C)4800 N D)6000 N E)7200 N F)0 N

13) Un bloque de 10 kg se mueve sobre una superficie horizontal con una velocidad constante

de 10m/s. Sobre el cuerpo actúa una fuerza F de 80 N que forma un ángulo de 37 con la

horizontal y en la dirección de movimiento. Bajo estas condiciones el valor de la fuerza de

rozamiento es:

A)80 N B)72 N C)48 N D)16 N E)64 N F)32 N

14) Un objeto de 20 kilos se pesa en una balanza que se encuentra en el piso de un ascensor.

La balanza indica un peso de 150 N. ¿Cuál de las opciones siguientes podría servir como

explicación?

A) El ascensor está bajando con velocidad constante.

B) El ascensor está en caída libre

C) El ascensor está subiendo cada vez más despacio

D) El ascensor está subiendo con velocidad constante

E) El ascensor está bajando cada vez más despacio

F) El ascensor está subiendo cada vez más rápido

15) Dos bloques iguales unidos por una soga inextensible son elevados a velocidad constante

por un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal aplicando una fuerza F de 300 N

como se indica en la figura. Si se desprecia todo tipo de rozamiento se puede asegurar que

el peso de cada bloque es:

A)10 kgf B)15 kgf C)20 kgf D)30 kgf E)60 kgf F)Ninguno de los anteriores

1

2

3

F

26

16) El gráfico representa la fuerza resultante aplicada a un móvil que parte del reposo. En tal

caso se cumple que:

A) Entre A y B la velocidad disminuye

B) La velocidad es máxima en la posición A

C) En la posición B la velocidad es cero

D) En la posición A la aceleración es máxima

E) En la posición A el móvil cambia el sentido de movimiento

F) Desde 0 hasta B la aceleración es constan

F (N)

B 0 A

X (m)

27

TRABAJO Y ENERGIA

OBJETIVOS ESPECIFICOS: Adquirir manejo en:

* Interpretación de enunciados.

* Distinguir distintas formas de energía, comprender sus transformaciones, distinguir entre conservación y gasto (o utilización/consumo) de energía.

* Uso de sistemas de referencias

* Manejo y transformación de unidades * Construcción e interpretación de gráficos

Ejemplos de ejercicios resueltos con explicaciones teóricas

Ejercicio 1:

Se tienen dos cuerpos A y B tales que la masa de A es el triple de la masa de B. Si ambos

parten del reposo y en determinado instante la velocidad de A es la tercera parte de la

velocidad de B y si el trabajo de las fuerzas no conservativas es cero, entonces podemos

afirmar que:

a) EcB= 1/3 EcA 3Ltotal A = Ltotal B

b) EcB= 9 EcA 9Ltotal A = Ltotal B

c) EcA= 9 EcB Ltotal A = Ltotal B

d) EcA= 1/3 EcB 9Ltotal A = Ltotal B

e) EcB= 9 EcA Ltotal A = Ltotal B

f) EcA= 1/3 EcB 3Ltotal A = Ltotal B

Datos

mA=3mB VoA=0=VoB (parten del reposo) LFNC =0

VxA=1/3 VxB es la manera correcta de escribir la relación entre velocidades para

determinado instante (llamémoslo x)) que se indica en el enunciado

Apreciaciones

ECIN = ½ m V2 ECIN = LTOT =LFC + LFNC

Resolución

Como ambos cuerpos están en reposo en el instante inicial ECIN A = ECIN B =0

Comparemos las energías cinéticas de ambos cuerpos al tiempo x y vayamos incorporando los

datos que se dan

La energía cinética para el cuerpo A al tiempo x, sustituyendo el dato mA=3mB, será:

ECIN A = ½ mA VA2 = ½ (3mB) VA

2

Sustituyendo ahora el dato VA=1/3 VB para el tiempo x:

ECIN A = ½ mA VA2 = ½ 3mB VA

2 = ½ 3mB (1/3 VB)2

28

Simplificando,

ECIN A = 3 mB VB2 = 1 . 1 mB VB

2

2 . 9 2 3

Teniendo en cuenta que para el cuerpo B: ECIN B = ½ mB VB2

ECIN A = 3 mB VB2 = 1 . 1 mB VB

2 = 1/3 (ECIN B)

2 . 9 3 2

Como ECIN A = 1/3 ECIN B las opciones a), b), c) y e) se descartan.

Comparemos ahora el trabajo total sobre cada cuerpo, que es la segunda parte del problema:

Sabemos que para cada cuerpo se cumple que:

LTOT = ECIN = ECIN x - ECIN 0 = ½ m Vx2 - ½ m Vo2

Como parten del reposo, el trabajo sobre cada cuerpo va a ser directamente igual a la energía

cinética en el instante x. Además sabemos, de acuerdo a lo que calculamos antes: ECIN A =

1/3 ECIN B,

Reemplazando: LTOT A = 1/3 LTOT B => 3 LTOT A = LTOT B Respuesta correcta: f)

Ejercicios para resolver

1) Un objeto de 2 kg se desplaza a lo largo de un riel como el de la figura, donde el rozamiento

puede despreciarse en todo el recorrido.

a) Sabiendo que la velocidad al pasar por el punto A es de 4 m/s,¿ logrará llegar al punto

C? En caso afirmativo, ¿Cuál será su velocidad en ese punto?.

b)¿Llegará al punto D?. En caso afirmativo, ¿con que velocidad? En caso negativo, ¿Cuál

será la máxima altura que alcanza?.

c)Puede describir el movimiento del objeto.

d)¿Cuál debería ser el trabajo de la fuerza de rozamiento entre A y B para que el objeto

llegue al punto C y se detenga allí? (equilibrio inestable).

2) Dos remolcadores arrastran un barco de 1. 105 toneladas hacia mar abierto, tirando cada

uno con una fuerza constante F de 1. 105 kgf, como se indica en la figura. Si la fuerza de

rozamiento es 2/3 de la fuerza total de arrastre producida por los remolcadores, calcular:

a) El trabajo de la fuerza de rozamiento y el de la fuerza resultante en 1 km.

b) La energía cinética del barco

3 m

A B

V C

D

0,5m

29

3) Calcular, por consideraciones energéticas, la energía cinética con la que debe ser lanzado

un cuerpo de 1kg verticalmente hacia arriba para que alcance una altura de 10 m, si se

desprecia el rozamiento con el aire.

4) Un camión que lleva un cuerpo de 500 N en su caja, desciende por un plano inclinado con

velocidad constante de 2 m/s. Entonces para el cuerpo (Justificar todas las opciones, tanto las

verdaderas como las falsas)

A) El trabajo de las fuerzas no conservativas es cero.

B) Su energía potencial y su energía mecánica disminuyen.

C) Su energía potencial disminuye y la mecánica no varía.

D) El trabajo de la fuerza resultante es positivo.

E) La energía mecánica es constante.

F) La energía potencial es constante.

5) Un trineo se desliza 200 m por una colina que forma un ángulo de 30 con la horizontal.

Parte del reposo y llega a la base de la colina con una velocidad de 5 m/s. ¿Qué fracción de su

energía mecánica ha perdido por acción de las fuerzas no conservativas?

6) Un bloque cuya masa es de 100 kg desciende con velocidad constante desde una altura de

1 m a lo largo de un plano inclinado que forma 20º con la horizontal. Hay rozamiento entre el

bloque y el plano y se aplica una fuerza F, paralela al plano inclinado y en el sentido contrario

al movimiento.

a) ¿Se puede determinar el trabajo de las fuerzas no conservativas o faltan datos?. En

cualquier caso, justificar adecuadamente la respuesta

b) Determinar el trabajo de la fuerza peso. ¿o faltan datos?

7) Un bote de 1000 kg es soltado al agua con velocidad constante de 1 m/s, deslizándolo por

una rampa que forma un ángulo de 15° con la horizontal. Graficar la energía cinética, la

energía potencial y la energía mecánica en función de la altura

8) Se ejerce una fuerza horizontal F sobre un cuerpo de 10 Kg en reposo, apoyado en una

superficie horizontal con rozamiento despreciable. Si el cuerpo se desplaza 20 m en 5 s

a) Determinar el valor de la fuerza F

b) Graficar el trabajo de la fuerza F en función de la distancia

9) Calcular la potencia involucrada en los siguientes procesos (expresar los resultados en W y

en HP – Recordar: 1HP=746W):

a) Levantar un objeto de 100 kg con velocidad constante de 1 m/s

b) Levantar 1 m un objeto de 10 kg en 10 segundos

c) Generar 1kWh de energía eléctrica en 1 h

10) Un objeto de 10 kg que está en reposo a una altura de 10 m, se deja caer por una rampa

curva que finaliza con un resorte (de constante elástica K = 20.000 N/m) en el final de un

tramo recto horizontal. Si se pueden despreciar todas las fuerzas de rozamiento:

a) Determinar la longitud que se comprime el resorte

b) Que velocidad tiene el objeto cuando su altura es de 4 m

c) Describir el movimiento del bloque

d) ¿Cuántas veces chocara al resorte si el trabajo de la fuerza de rozamiento fuera de

100 J?

F

37°

37°

F

30

11) Supongamos que una persona con una actividad física moderada consume 2000

kilocalorías por día (kcal/día), Determinar cuánto tiempo podría estar encendida una

lámpara de bajo consumo (5W) con una energía equivalente al consumo calórico de la

persona.

Ejercicios de Opción Múltiple

12) Un cuerpo cae libremente partiendo del reposo a 10 m de altura y llega al piso con una

energía cinética de 1000J. Cuando se encuentra a 2 m de altura su energía cinética es:

A) 400 J B)200 J C)600 J D)800 J E)1000 J F)0 J

13) Un carrito de 10 kg se desplaza por un camino horizontal entre dos puntos, A y B,

distanciados 5 m. Parte del reposo, arrastrado por una soga que ejerce una fuerza en

dirección horizontal de 60 N. La fuerza de rozamiento entre el carrito y el plano es de 30

N. Entonces, en el tramo AB:

A) El trabajo de la fuerza que hace la soga sobre el carrito es de 450 J.

B) El trabajo de la fuerza normal sobre el carrito es de 200 J.

C) La energía mecánica del carrito se mantiene constante.

D) La energía mecánica del carrito aumenta 150 J.

E) La energía cinética del carrito se mantiene constante.

F) La fuerza normal sobre el carrito es de 130 N.

14) Un cuerpo desciende por un plano inclinado con velocidad constante. Entonces se cumple

que:

A) Solo actúan el peso y la reacción normal del plano.

B) El trabajo realizado por la fuerza peso es negativo.

C) El trabajo realizado por la fuerza peso es igual a la variación de energía cinética.

D) La energía mecánica del cuerpo se mantiene constante.

E) La energía mecánica del cuerpo disminuye a medida que baja.

F) La fuerza peso no realiza trabajo.

15) Una soga tira de un objeto desde A hasta B (distancia AB = 5 m) formando un ángulo de

37º con la horizontal. La tensión que ejerce la soga es de 100 N y la fuerza de rozamiento

entre el carrito y el suelo es de 30 N. Entonces:

A) El trabajo que realiza la soga es de 500 J. B) El trabajo que realiza la fuerza normal es de 200 J.

C) El carrito conserva su energía mecánica.

D) El carrito aumenta su energía mecánica en 250 J.

E) El carrito conserva su energía cinética.

F) El valor de la fuerza normal es de 100 N.

16) Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la energía cinética en función del tiempo

para una partícula que es arrojada verticalmente hacia arriba. (Se desprecia la fuerza de

rozamiento con el aire).

A C

D E F

B

31

17) El gráfico representa la componente en la dirección de movimiento de la fuerza resultante

que actúa sobre un cuerpo de 10 Kg que esta inicialmente en reposo. La velocidad que

alcanzará el cuerpo luego de recorrer los 4 m será de:

A)6 m/s B)6,93 m/s C)9,8 m/s D)12 m/s E)30 m/s F)45 m/s

F (N)

4 0 3 2

X (m)

1

60

32

HIDROSTÁTICA

Ejemplos de resolución de ejercicios con explicaciones teóricas

Ejercicio 1:

Un tubo en U vertical, abierto en sus dos extremos, se llena parcialmente con mercurio. Luego

se colocan en la rama derecha 20 cm de etilenglicol y en la rama izquierda 22,2 cm de agua.

En esas condiciones la altura de la columna de mercurio es la misma en ambas ramas (ver

figura). Se puede afirmar que:

a) La presión en A es mayor que la presión en B porque la altura de la columna en la rama 1

es mayor que en la rama 2

X b) La densidad del etilenglicol dividida la densidad del agua es igual a 1,11

c) La presión en C es igual a la presión en D porque se encuentran a la misma altura

d) La densidad del agua es mayor que la densidad de la glicerina porque la altura de la

columna es mayor.

e) La densidad del etilenglicol es menor que la densidad del agua

f) Como la columna de agua es mayor que la del etilenglicol las columnas de mercurio

deberían estar a distinta altura.

Resolución:

Rama 1: h columna de agua: 22,2cm

Rama 2: h columna etilenglicol: 20cm

Las columnas de etilenglicol y agua se encuentran sobre una cierta cantidad de mercurio, cuya

altura alcanzada es idéntica en ambas ramas, por lo que la presión en los puntos A y B es la

misma. Respuesta A falsa

La superficie que queda al aire en ambos fluidos también es la misma, la presión atmosférica,

por lo tanto sabemos que la diferencia de presión en ambas columnas (agua y etilenglicol) es

la misma: ΔP1 = ΔP2

Como sabemos la presión hidrostática se relaciona con la altura y el peso específico del líquido

de la siguiente manera:

δ1 Δh1 = δ 2 Δh2 o 1 g Δh1 = 2 g Δh2 pues δ= g

En este caso solo disponemos de las alturas de los líquidos en ambas columnas

AGUA g 22,2cm = ETILENGLICOL g 20cm

22,2cm/20cm= ETILENGLICOL/AGUA

1,11= ETILENGLICOL/AGUA la respuesta B es correcta

Veamos ahora que ocurre con las otras opciones

Opción c) Para determinar la presión en un punto de un fluido, NO hay que evaluar la altura

desde el fondo del recipiente, lo que interesa es la profundidad a la cual se encuentra (medida

33

obviamente desde la superficie) y la densidad del líquido (o líquidos, pues puede haber más de

uno) que se encuentran por encima del punto (o posición) que estoy evaluando. De este modo

no es correcto decir que la presión en C y D es la misma porque se encuentran a la misma

altura. La respuesta c es Falsa

Opción d) En el problema claramente la columna de agua de 22,2 cm de altura está

“equilibrando” la columna de etilenglicol de 20 cm de altura. Si para equilibrar una columna de

cierta altura de un líquido “A” necesito una columna de mayor altura de otro liquido “B”

necesariamente el líquido B debe tener menor densidad que el líquido A para que pueda

cumplirse A ghA=B ghB

Por lo tanto la opción d es Falsa

Opción e) Si se comprendió la resolución que condujo a obtener ETILENGLICOL/AGUA =1,11 entonces

simplemente ETILENGLICOL = 1,11 AGUA por lo que la opción e es también Falsa

Opción f) Esta afirmación sería correcta si las columnas de etilenglicol y de agua estuvieran

en “desequilibrio” en cuyo caso A ghA ≠ B ghB lo cual debería ser “compensado” con una

diferencia en las columnas de mercurio. La opción f es también Falsa.

Ejercicios para resolver

1) Considerando una persona de 110 kg cuyas suelas de los zapatos poseen 200 cm2 cada una

y otra persona de 55 kg cuyas suelas de los zapatos poseen 100 cm2 cada una: ¿Qué

persona, cuando se encuentra de pie, ejerce más presión sobre el suelo? Expresar el

resultado en kgf/cm2, en mmHg, en hPa, en PSI (libras fuerza por pulgada cuadrada) y en

atmósferas.

2) ¿Cuál es el peso específico de un líquido si una columna de 25 cm del mismo equilibra a una

de 20 cm de agua?

3) ¿A qué altura con respecto al brazo debe colocarse una bolsa de suero (de 500 ml y

densidad=1 kg/l para que el líquido entre a la vena? (En caso de ser necesario considerar

que la presión sanguínea en la vena es 1 cmHg)

4) a-Determinar la presión hidrostática en el fondo de un acuario marino circular (densidad del

agua 1,025 g/cm3) de 5 m de radio y 300 cm de columna de agua.

b-Determinar la fuerza que ejerce el agua sobre el fondo.

5) El reglamento de buceo deportivo avalado por la Prefectura Naval Argentina, establece que

la categoría cadete puede sumergirse hasta 10 m mientras que la categoría 3 estrellas

hasta 40 m.

a) ¿Cuál es la presión hidrostática sobre un buzo categoría cadete que bucea en un lago

(densidad del agua: 1000 kg/m3),

b) ¿Cuál es la presión hidrostática de un buzo 3 estrellas que bucea en el mar muerto

(densidad del agua 1,24 g/cm3).

c) ¿Cuántas atmósferas de presión soporta un buzo profesional sumergido a 100 m en

agua dulce?.

6) Un tubo en U abierto en sus dos extremos contiene mercurio (densidad del mercurio: 13,6

g/cm3). Si se vierte agua por una de sus ramas hasta que la columna determinada por la

misma alcanza una altura de 20 cm, determinar la diferencia de altura entre los líquidos.

7) Se desea realizar la experiencia de Torricelli utilizando agua en vez de mercurio. ¿Cuál

debería ser, como mínimo, la longitud del tubo o manguera a utilizar? (densidad del

mercurio: 13,6 g/cm3; densidad del agua: 1000 kg/m3)

34

8) Calcular la fuerza obtenida en el émbolo mayor de una prensa hidráulica si en el émbolo

menor se ejercen 200 N y los émbolos circulares tienen cuádruple radio uno del otro. ¿Si el

émbolo menor desciende 10 cm, cuánto se desplaza el émbolo mayor?

Problemas de opción múltiple

9) En un recipiente lleno con cierto líquido se mide la presión absoluta a una profundidad de 50

cm respecto a la superficie en contacto con el aire. En estas condiciones se lee un valor de 800

mmHg. Entonces, la densidad del líquido es aproximadamente:

a) 0,8 g/cm3 b) 1 g/cm3 c) 1,07 g/cm3 d) 2 g/cm3 e) 13,6 g/cm3 f) 79 g/cm3

10) En un tubo en U como el de la figura (con ambos extremos abiertos) hay dos líquidos no

miscibles en equilibrio. La relación entre las densidades (B/A) es:

a) (h2-h3)/(h1-h2) b) (h2-h3)/(h1-h3) c) (h1-h3)/(h1-h2)

d) (h1-h2)/(h2-h3) e) (h1-h3)/(h2-h3) f) (h1-h2)/(h1-h3)

11) Dos líquidos (X e Y) se encuentran formando capas de diferente espesor en un recipiente

abierto por su parte superior y sometido a la presión atmosférica normal, de acuerdo a la

distribución que se indica en la figura. La densidad del líquido en la capa superior es el

74% de la correspondiente a la capa inferior. La presión absoluta en el fondo del recipiente

es de 1,25 atm y en la interfase entre las capas X e Y es de 1,10 atm. Sabiendo que el

espesor de la capa X es de 10 cm, el espesor de la capa Y es, aproximadamente:

a) 9 cm b) 2,35 cm c) 10 cm d) 12,35 cm e) 7,40 cm f) ninguno de los anteriores

h1

h3 h2

A

B

X

Y

35

HIDRODINAMICA – Fluidos Ideales y Reales

Ejemplos de resolución de ejercicios con explicaciones teóricas

Ejercicio 1

Un caño de 4 cm2 de sección por el que circula un líquido que puede considerarse ideal, se

divide en otros dos caños de menor sección, tal como se observa en la figura. Considerando

que no hay diferencia de altura entre los caños se puede afirmar que en B hay:

a) Igual velocidad y menor presión que en A.

b) Mayor velocidad y menor presión que en A.

c) Mayor velocidad y mayor presión que en A.

x d) Igual velocidad e igual presión que en A. e) Menor velocidad y mayor presión que en A.

f) Menor velocidad y menor presión que en A.

El volumen de líquido por unidad de tiempo que pasa por el caño es el caudal “Q” (V/t).

Como el líquido al moverse dentro del caño recorre una cierta distancia “d”, el volumen que

circula puede expresarse como la superficie transversal del caño “S” por la distancia (V=S.d),

luego:

Q = S x d velocidad

Δt

y como d / t es velocidad “v” el caudal se puede calcular como: Q= S x V

Por otro lado, el caudal que entra es igual al caudal que sale, el caudal siempre es continuo:

Qe=Qs e:entrada s:salida

Se x Ve = Ss x Vs “Ecuación de continuidad”

Por lo tanto en este problema:

QA = QB + QC

SA x VA = SB x VB + SC x VC

4 cm x VA = 2 cm x VB + 2 cm x VC

4 cm x VA = 2 cm x ( VB + VC )

4 VA = 2 ( VB + VC ) Como QB = QC

2 cm x VB = 2 cm x VC

Entonces 4 VA = 2 ( VB + VB) VB = VC

4 VA = 2 ( 2 x VB)

4 VA = 4 VB

VA = VB

36

El líquido al considerarse ideal no tiene viscosidad y puede aplicarse la ecuación de

conservación de la energía, tanto para tubos horizontales, verticales o inclinados: “Ecuación

de Bernoulli”

Para tubos horizontales: Pe + 1 δ . ve 2 = Ps + 1 δ . vs

2

2 2

Para que se siga cumpliendo la igualdad si la velocidad a la salida aumenta, la presión

en la salida va a disminuir. En este problema como la velocidad en el tubo A es igual

que en el tubo B, las Presiones en A y en B son iguales:

PA = PB

Respuesta: d

Ejercicio 2:

En un ensayo quirúrgico de laboratorio una arteria por la que circula un caudal Q bajo una

diferencia de presión conocida se corta en tres secciones idénticas que son conectadas en

paralelo entre sí. Considerando a la arteria como un tubo no deformable, si a la nueva

configuración se la somete a la misma diferencia de presión entre sus extremos que la arteria

original, el nuevo caudal será:

a) Q

b) Q/9

X c) 9Q

d) 3Q

e) 6Q

f) Q/3

Condición inicial: tramo 1 tramo 2 tramo 3

Sistema de tres tramos de arterias dispuestos en serie.

Caudal inicial = Q

Diferencia de presión entre A-B = P

A A B

37

Condición final:

Sistema de tres tramos de arterias dispuestos en paralelo.

Diferencia de presión entre A y B = P

Caudal de la nueva configuración = ? (Lo llamaremos Q2)

Resolución:

El caudal sanguíneo que circula por una arteria se relaciona con la diferencia de presión entre

dos puntos cualesquiera mediante la ecuación: P = Q . R

En la condición inicial, los tres tramos de arteria se disponen en serie, la resistencia al flujo en

cada tramo es R, por lo que la resistencia total será: RT = R + R + R = 3R

En la condición final, los tres tramos se disponen en paralelo, la resistencia al flujo en cada

tramo también es R, por lo que la resistencia total será:

1/RT = 1/R + 1/R + 1/R con lo cual RT = R/3

Entonces podemos decir que: P = Q . 3R (condición inicial)

P = Q2 . R/3 (condición final)

Igualando P, pues es una condición del problema, quedará:

Q . 3R = Q2 . R/3

Q . 3R 3/R = Q2 luego 9 Q = Q2

Ejercicios para resolver

1) Para aplicar una inyección una enfermera utiliza una jeringa de 10 ml que tiene un émbolo

de 1,5 cm de diámetro y una aguja hipodérmica 25G (0,5 mm de diámetro). Suponiendo

que la inyección es aplicada en una vena cuya presión sanguínea es de 10 mmHg. ¿Cómo

cambia el resultado si se aplica la inyección con una aguja 21G (0,8 mm de diámetro)?

2) Por el tramo inicial de una tubería horizontal circula nafta Premium (densidad de la nafta a

15 °C: = 0,75 g/cm3 y viscosidad despreciable) a una velocidad de 1,5 m/s. El tramo final

de la tubería tiene un diámetro que es la mitad del diámetro del tramo inicial. Determinar la

diferencia de presión entre el tramo inicial de la cañería y el tramo final.

3) Por una arteria de 0,8 cm de diámetro circulan 1,2 litros de sangre por minuto (En caso

necesario considerar la densidad de la sangre 1,06 g/cm3). ¿A qué velocidad circula la

sangre?. Si se mantiene el caudal, ¿cuál es la velocidad de la sangre en otra sección de la

arteria con diámetro de 0,4 cm?

tramo 2

tramo 1

tramo 3

A B

38

4) Por una cañería horizontal de 10 cm de diámetro circula una mezcla con petróleo (de

densidad 850 kg/m3) a una velocidad de 2 m/s, con viscosidad despreciable. En cierto punto

la cañería se angosta pasando a tener una sección circular de 50 cm2.

a) ¿Cuál es la velocidad de la mezcla en el tramo de menor sección?

b) ¿Cuál es la diferencia de presión entre las secciones de la cañería?

5) Se aplica un vasodilatador de modo que un vaso sanguíneo de 5 mm de diámetro varia su

sección en un 50%. Si se mantiene la diferencia de presión entre sus extremos, ¿varia el

caudal? En caso afirmativo determinar en qué porcentaje.

6) Considerar la circulación de la sangre por una arteriola de 0,2 mm de diámetro a una

velocidad media de 5 cm/s. (viscosidad de la sangre a 37 °C= 2,084 10-3 Pa s)

a) Calcular la variación de presión debida a la viscosidad de la sangre, en 1 cm de la

arteriola.

b) Si por alguna razón el diámetro de la arteriola aumenta al doble, determinar la

variación del caudal suponiendo que la diferencia de presión no se modifica.

7) Se desea reemplazar dos caños cilíndricos de longitud L conectados en serie, de secciones 2

cm2 y 3cm2 por un único caño cilíndrico de longitud 2L. ¿Qué sección deberá tener?

8) La aorta de un hombre adulto medio tiene un diámetro de 2,5 cm.

a) ¿Cuánto vale la resistencia al flujo en un tramo de 10 cm de dicha arteria si el caudal

es de 80 cm3/s?.

b) ¿y la caída de presión en ese segmento? (viscosidad de la sangre a 37 °C= 2,084 10-3

Pa s).

9) Por un tubo horizontal de 2 cm de radio y 1 m de longitud circula un fluido con una

velocidad de 0,5 m/s. Determinar la diferencia de presión entre sus extremos para los

siguientes casos:

a) La viscosidad del fluido puede despreciarse

b) El fluido es agua a 0 °C (viscosidad=1,792 x 10-3 Pa s)

c) El fluido es agua a 20 C (viscosidad=1cp)

d) El fluido es agua a 37 °C (=6,92 x 10-4 Pa s)

e) El fluido es sangre a 20 °C (=0,695 x 10-3 Pa s)

f) Grafique la viscosidad en función de la temperatura para el agua. Que puede concluir?.

10) Cuando se establece una diferencia de presión de 0,5 atm entre los extremos de un tubo

recto de sección circular fluye agua a 30 litros por minuto. ¿Cuál sería el caudal si se

reemplazara el tubo por otro de longitud y diámetro dobles que el anterior, sin modificar la

presión?

11) En una persona adulta en reposo el caudal sanguíneo suele ser de 5 litros por minuto, con

una presión de aproximadamente 100mmHg en la arteria aorta y de 5 mmHg para la vena

cava.

a) ¿Cuál es la resistencia hidrodinámica total del sistema circulatorio (RPT: resistencia

periférica total).

b) ¿Cuál es la potencia media desarrollada por el corazón?.

c) Si durante el ejercicio el caudal aumenta el 200% y la presión media en la aorta un

40%, manteniéndose prácticamente inalterada en la vena, ¿Cómo se modifican las

respuestas anteriores?.

12) Encontrar la resistencia equivalente que presentan tres caños que poseen la misma

resistencia hidrodinámica R cuando se los conecta:

a) dos en serie y luego en paralelo con el tercero.

b) dos en paralelo y luego en serie con el tercero.

13) Tres caños de igual resistencia hidrodinámica R se conectan como se indica en la figura.

Determinar:

a) La resistencia total.

39

b) La relación entre los caudales entre cada uno de ellos y el caudal total.

c) La relación entre las diferencias de presión en cada uno de ellos y la diferencia de

presión total.

14) La aorta se ramifica en arterias que se van haciendo cada vez más finas hasta convertirse

en arteriolas que finalmente conducen la sangre hasta los capilares. Sabiendo que el caudal

sanguíneo es, para una persona en reposo, de 5 l/min y los radios disminuyen desde 10 mm

para la aorta hasta 0,008 mm para los capilares y la sección total de los capilares es de

aproximadamente 2000 cm2. Determinar:

a) el número de capilares y el caudal de cada uno de

b) la velocidad de la sangre en la aorta y en cada uno de los capilares

Ejercicios de opción múltiple

15) Un fluido ideal circula por una tubería como la que se muestra en el esquema, en la que el

tubo 1 tiene una sección igual a la mitad de la sección del tubo 2. ¿Cuál de las siguientes

respuestas es correcta en relación con las presiones del fluido y las energías cinéticas de

iguales masas en uno y otro lado del tubo?

a) P1<P2 y Ec1=4Ec2 b) P1<P2 y Ec1=2Ec2 c) P1=P2 y Ec1=Ec2

d) P1>P2 y 4Ec1=Ec2 e) P1>P2 y 2Ec1=Ec2 f) P1>P2 y 16Ec1=Ec2

16) Dos caños de igual longitud apoyados en una misma superficie horizontal están conectados

como indica la figura. La sección del tubo 1 es de 6 mm2, la del 2 es de 2 mm2 y la del 3

es de 3 mm2. Por el conjunto circula un líquido no viscoso y la presión en A es la misma

que en B. Si por el tubo 2 circula un caudal de 10 ml/s. ¿Cuánto vale el caudal por el tubo

1?

a) 10 ml/s b) 15 ml/s c) 17 ml/s d) 20 ml/s e) 25 ml/s f) 3 ml/s

17) Marcar la única opción correcta

a) Si un vaso arterial presenta dos regiones de diferente diámetro, la presión es menor

en la zona de mayor diámetro

b) De acuerdo a la Ley de Poiseuille, si el radio de una vena se duplica la resistencia cae

a la mitad

c) La presión arterial en un individuo de pie es mayor a nivel de la arteria del pie que a

nivel de la arteria del brazo porque aumenta la presión hidrostática

d) La presión arterial en un individuo de pie es mayor a nivel de la arteria del brazo que

a nivel de la arteria del pie porque aumenta la presión hidrostática

e) La Ley de Poiseuille es solo válida para fluidos en los que se puede despreciar la

viscosidad

f) La viscosidad de la sangre aumenta al aumentar la temperatura.

R1 R2

R3

1 2

1

3 x B

2 x A

40

18) Un líquido de viscosidad 1,5 cp circula con flujo laminar por una cañería horizontal. Se

desea duplicar el caudal sin que se modifique la diferencia de presiones entre sus

extremos para lo cual se reemplaza la cañería por otra de diámetro diferente. El nuevo

diámetro deberá ser, aproximadamente:

a) El doble del diámetro original

b) La mitad del diámetro original

c) 50% del diámetro original

d) Del mismo diámetro que el original

e) 30% del diámetro original

f) 20% del diámetro original

19) En un tramo horizontal de arteria donde la sangre, considerada fluido viscoso, fluye con

una velocidad de 0,12 m/s se ha formado una placa arterioesclerótica que reduce el área

transversal a ¼ del valor normal. Si el caudal se mantiene constante la velocidad de la

sangre y la diferencia de presión entre los extremos del tramo que se ha estrechado

comparada con un tramo de igual longitud sin estrechar serán:

a) 0,6 m/s; 4P

b) 0,24 m/s; 8P

c) 0,3 m/s; 16P

d) 0,48 m/s; 16P

e) 0,16 m/s; 48P

f) 0,24 m/s; 4P

20) La resistencia hidrodinámica de un conducto cilíndrico nuevo es R. Con el uso, el depósito

de sedimentos en sus paredes internas hizo que su resistencia valiera 3R. Si se desea

conectar un nuevo conducto en paralelo con este de modo tal que el conjunto vuelva a

tener una resistencia equivalente igual a R, la resistencia hidrodinámica del conducto

agregado será:

a)2/3R b)3/4R c)4/3R d)3/2R e)3R f)4R

21) El movimiento de la sangre en el sistema circulatorio:

a) Ocurre desde los puntos de mayor presión a los puntos de menor presión

b) Es siempre laminar

c) Se produce sin pérdida de energía

d) Es el de un fluido ideal

e) Respeta el balance energético total

f) Es siempre turbulento

41

GASES IDEALES

Ejemplos de resolución de ejercicios con explicaciones teóricas

Ejercicio 1:

Un tubo de 30 ml y lleno con una mezcla gaseosa compuesta por vapor de agua y nitrógeno

está en contacto común recipiente con agua a 27 C. La presión dentro del tubo es de 1 Kg cm-

2. La presión del vapor de agua a 27 C es de 27 mm Hg. Cuantos moles de nitrógeno hay

contenidos en el tubo?.

Resolución:

Los gases al igual que los líquidos pueden fluir, por lo tanto también son FLUIDOS. No tienen

forma ni volumen propio. Ocupan todo el espacio del recipiente que los contiene y se los puede

comprimir fácilmente debido a que las particulas se mueven al azar y están en el máximo

estado de desorden.

Para resolver el problema tenemos que recordar que en una mezcla de gases, y de acuerdo a

la LEY DE DALTON, la presión parcial de cada gas es igual a la presión que ejercería dicho gas

si estuviera solo en el recipiente que lo contiene. Basados en esto podemos aplicar la

ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES, que relaciona las siguientes variables de estado: la

presión (P en atm), la temperatura (T en Kelvin) y el volumen (V en litros):

PV=nRT

“n” es el número de moles del gas en el sistema y R es la constante universal de los gases

(0,082 atm L/ K mol). Se considera que todos los gases son iguales, es decir que no importa si

tenemos 1 mol de O2, o 1 mol de N2 o 1 mol de vapor de agua. Todos van a ejercer la misma

presión en el recipiente si están a la misma temperatura.

Para poder calcular “n” tenemos primero que saber cuánto vale P para el nitrógeno. Como la

presión total es la suma de las presiones parciales y conocemos el valor de la presión total

(Pt= 1 atm o 1 Kg cm-2) y de la presión del vapor de agua (Pva) solo nos queda despejar PN de

la siguiente ecuación:

Pt = Pva + PN Pva = 27 mm Hg = 0.035 atm porque 1 atm es igual a 760 mm Hg

1 atm = 0.035 atm + PN

PN = 1 atm – 0,035 atm = 0,964 atm

Teniendo esta información podemos resolver la ecuación PV = nRT y despejar “n” que es la

pregunta del problema. Sin embargo antes debemos ver si los datos que tengo están en las

unidades correspondientes. Por ejemplo el volumen debería ser expresado en litros:

V= 30 ml = 0.03 l

La temperatura debe estar expresada en Kelvin: T = T(oC) + 273

T=27 oC + 273 = 300 K

Ahora podemos despejar n de la ecuación general de gases:

42

n = PV = 0,964 atm * 0,03 l

RT 0,082 atm l * 300 K

K mol

Podemos simplificar unidades

n = PV = 0,964 atm * 0,03 l Lo único que nos queda sin tachar son unidades de “mol”

RT 0,082 atm l * 300 K

K mol

n = 0,00117 moles o 1,17 * 10-3 moles de nitrógeno contenidos en el tubo.

Ejercicios para resolver

1) Si se introducen 25 cm3 de un gas que se encuentra en CNPT en un recipiente de 100 cm3 y

el proceso se realiza a temperatura constante, determinar la presión del gas en las nuevas

condiciones.

2) Un gas ocupa un volumen de 20 litros a 40 °C y a una presión P. Determinar el volumen

que ocuparía si se duplicaran la temperatura y la presión.

3) Se tiene un gas ideal en un recipiente cerrado de 0,5 litros a 5 atm y 30 °C. Si se coloca el

gas en otro recipiente del doble de capacidad y se eleva la temperatura al doble (en °C),

determinar la presión del gas.

4) 6m3 de nitrógeno gaseoso (N2) a presión atmosférica y a 25ºC, se introducen en un cilindro para alta presión. Una vez lleno el cilindro, la presión en su interior alcanza los 150kgf/cm2, a la misma temperatura. Suponiendo que en esas condiciones el nitrógeno se comporta como un gas ideal:

a) ¿cuántos moles de nitrógeno contiene el recipiente? b) ¿cuál es la masa de nitrógeno contenido en el cilindro? c) Si la presión del cilindro a la cual se abre la válvula de seguridad es de 200 atm, ¿cuál es la máxima

temperatura a la que se puede someter el cilindro cuando está lleno? [En caso de ser necesario, utilizar el valor de la aceleración gravitatoria a=9,807 m/s

2 ]

5) En una sala de emergencias una persona respira aire enriquecido en oxígeno (45% oxígeno,

55% nitrógeno). La mezcla se encuentra en un cilindro para alta presión, de 20 litros a 25

°C y 150 kgf/cm2.

a) ¿cuál es la presión parcial del oxígeno?

b) Durante cuánto tiempo podría respirar la persona si consume 7 litros de aire por minuto?

6) Nitrox es el nombre que se da a distintas mezclas gaseosas respirables para buceo técnico y

recreativo. Particularmente, Nitrox I contiene 32% de oxígeno y 68% de nitrógeno.

Determinar la presión parcial de cada uno de los gases que inhala un buzo a una

profundidad de 30m por debajo de la superficie de un lago.

7) Una persona es víctima de toxicidad por oxígeno cuando la presión parcial de oxígeno

alcanza aproximadamente 0,8 kgf/cm2. Si un buceador respira aire con igual composición

que el aire atmosférico, ¿a qué profundidad sería víctima de toxicidad por oxígeno?

43

FENOMENOS DE TRANSPORTE (DIFUSION-OSMOSIS)

Ejemplos de resolución de ejercicios con explicaciones teóricas

Ejercicio 1:

Dos recipientes contienen soluciones de glucosa (PM 180 g) con concentraciones diferentes,

siendo la de (A) 18,8 g/l y la de (B) 0,009 moles/l y están en contacto mediante un tubo cuya

longitud (X) se desconoce. Sabiendo que se transportan 6.10-7 moles de glucosa por segundo y

por metro cuadrado y que el coeficiente de difusión de la glucosa en agua es 3.10-6 cm2/s,

¿cuál será la longitud del tubo que separa los dos recipientes?

A B

X

Se está frente a un caso de DIFUSIÓN porque NO hay una barrera (membrana

semipermeable) que impida el paso de las moléculas de glucosa (soluto) desde un recipiente al

otro. Como los dos recipientes tienen una solución de glucosa con diferente concentración, el

movimiento de las moléculas de glucosa será “EN CONTRA DEL GRADIENTE DE

CONCENTRACIÓN”. Esto significa que se moverán desde el recipiente donde las moléculas

están más concentradas al recipiente donde están menos concentradas. Se dice que es EN

CONTRA del gradiente de concentración porque el gradiente es un VECTOR que siempre

apunta hacia donde crece algo, es decir de menor a mayor.

El gradiente es la diferencia de concentración (C) por unidad de longitud (X de acuerdo a la

figura). La diferencia de concentración se expresa como número de moles por unidad de

volumen (por ejemplo moles/cm3) y la longitud del tubo de este ejercicio (o espesor de una

membrana permeable en otro caso) se puede expresar en cm (u otra unidad de longitud), de

modo que las unidades del gradiente de concentración serán:

C=moles/cm3 = moles

X cm cm4

La ecuación que indica el flujo de moléculas desde un lugar donde están más concentradas a

otro donde están menos concentradas es aquella que surge de la LEY de FICK:

D * CB - CA DENSIDAD DE FLUJO

X

Las unidades en cada miembro: moles = cm2 moles

cm2 s1 s cm4

Esta ecuación dice que el flujo de solutos que atraviesa una membrana PERMEABLE a las

moléculas de soluto (en nuestro caso el tubo) es proporcional al gradiente de concentración y

de sentido contrario. La letra “D”, es la CONSTANTE DE DIFUSIÓN o constante de Fick, que es

diferente para cada molécula, diferente también del solvente en que esas moléculas estén

44

disueltas y dependiente de la temperatura. Estas constantes se pueden encontrar

generalmente tabuladas.

En la ecuación de Fick, se observa que precediendo a D hay un signo menos. Esto es porque el

gradiente de concentración también es negativo (inicialmente supusimos que CA era mayor a

CB). De este modo ambos signos negativos se cancelan y la densidad de flujo es positiva. Pero

para resolver los problemas y evitar confusión de signos, podemos eliminar el signo negativo

que se antepone a D y cambiar el orden de las concentraciones (CA-CB).

D * CA-CB

X

Teniendo esto bien claro, entonces ahora se puede resolver el ejercicio.

Solo para el recipiente B se conoce el valor de la concentración de glucosa, que es 0.009 moles

litro-1 (que es igual a 0.000009 moles cm-3; pues 1 litro equivale a 1000 cm3). Para el

recipiente A se indica que hay 18.8 g litro-1, lo cual tiene que ser transformado a moles litro-1.

Para ello el enunciado brinda el peso molecular (PM) de la glucosa.

Se conoce que un mol de glucosa pesa 180 g, de modo tal que se puede calcular cuántos

moles son 18.8 g.

180 g______________1 mol

18.8 g_____________x=0.104 moles

Estos 0.104 moles están en un litro de solución (o en 1000 cm3). Para que las concentraciones

de ambos recipientes estén expresadas en las mismas unidades, se debe transformar esta

concentración a moles cm-3, lo que es igual a 0.000104 moles cm-3.

CA = 0.000009 moles cm-3

CB = 0.000104 moles cm-3

Observando estas concentraciones se sabe que el movimiento de las moléculas de glucosa será

desde el recipiente B (más concentrado) al recipiente A (menos concentrado).

A B

X

El ejercicio brinda la constante de difusión (D) que es 3. 10-6 cm2 /s y dice que la densidad de

flujo es 6. 10-7 moles de glucosa por segundo y por metro cuadrado (mol s-1 m-2). Como se ha

expresado las concentraciones por cm3 y D también tiene unidades de cm2, conviene expresar

la densidad de flujo también por cm2.

De este modo nos queda que la densidad de flujo es 6 . 10-11 (dividimos por 10000 dado que 1

m2 son 10000 cm2)

6 . 10-11 (mol s-1 cm-2)=3. 10-6 (cm2 s-1) . (0.000104–0.000009) (mol cm-3)

X

La incógnita del ejercicio es X, es decir la longitud del tubo que separa las dos soluciones con

diferente concentración. Para obtener X se despeja o aisla, es decir que X quede sola en uno

de los miembros de la ecuación. Para ello se pasa a X al numerador del lado izquierdo de la

45

ecuación y a la densidad de flujo (es decir a 6 . 10-11 (mol s-1 cm-2) dividiendo al miembro

derecho:

X = 3. 10-6 (cm2 s-1) . (0.000104 –0.000009) mol cm-3

6 . 10-11 (mol s-1 cm-2)

Antes de resolver se puede simplificar las unidades en el miembro derecho:

X = 3. 10-6 (cm2 s-1) . (0.000104 –0.000009) mol cm-3

6 . 10-11 (mol s-1 cm-2)

X = 0.0000000003 cm = 5 cm (Longitud del tubo)

6 . 10-11

ACLARACION:

DENSIDAD DE FLUJO: D * (CA-CB) unidades: por ejemplo mol cm-2 s-1

X

FLUJO DIFUSIVO: D * (CA-CB) * A unidades: por ejemplo mol s-1; g/s

X

Donde A es el área efectiva por donde difunde la sustancia.

Ejercicio 2:

Veinte litros de una solución de glucosa con molaridad M1 están separados por una membrana

semipermeable de otros 20 litros de la misma solución pero de molaridad M2. Ambas

soluciones se encuentran a 27º C. Si a cada solución se le agrega 1 litro de agua ¿Cuál debe

ser la nueva temperatura del sistema para mantener la misma diferencia de presión osmótica?

Resolución:

La osmosis se produce cuando dos soluciones del mismo disolvente y con distintas

concentraciones están separadas por una membrana semipermeable (permite el paso de

disolvente pero no de soluto). El disolvente tiende a difundirse en sentido del gradiente de

concentraciones. ¿Qué significa esto último?: que el disolvente “va a querer ir” del lugar donde

tiene menos solutos al lugar donde hay más solutos, para igualar las concentraciones. El soluto

no puede compensar concentraciones (moverse de un compartimento a otro) porque la

membrana “no le permite el paso”. En estas condiciones aparece una diferencia de presión

entre ambas soluciones, denominada presión osmótica (Π).

En este caso, como la glucosa al disolverse no se disocia en partes más pequeñas (como

podría ser el ClNa, que se disocia en Cl- y en Na+) se puede aplicar directamente la ley de

Van`t Hoff para determinar la presión osmótica:

Donde ΔM es el incremento de la molaridad en el lado más concentrado de la membrana; R es

la constante universal de los gases; y T es la temperatura absoluta del sistema (en Kelvin).

46

Entonces, se plantea la situación:

Estado inicial Estado final

V1i = 20L V2i = 20 L

Ti = 27º C = 300K

V1f = 21L V2f = 21 L

Tf = ?

( )

Como la presión osmótica permanece constante, se puede expresar mediante la siguiente

igualdad:

( )

La molaridad (M) se define como la cantidad de soluto, expresada en moles (n), por unidad de

volumen (V), expresada en litros:

Como la molaridad depende del volumen de la solución, al agregar 1L de agua esta se

modifica. Sin embargo, el número de moles permanecerá constante (la cantidad de glucosa es

siempre la misma, solo que más diluida), entonces podemos plantear que:

( )

(

) (

)

Como: y y

Se puede escribir de la siguiente manera

(

) (

)

Aplicando común denominador, reescribimos:

(

) (

)

Como la diferencia del número de moles y la constante universal de los gases a cada lado de la

igualdad es la misma, se puede cancelar de la ecuación:

M1i

M2i

M1f M

2f

Se agrega 1L

de agua

47

(

) (

)

Reemplazando el valor de la temperatura inicial, expresado en la escala absoluta (Kelvin), nos

queda:

Se reordena la ecuación anterior, los 21L se pasan al otro lado de la igualdad multiplicando.

Nos queda de la siguiente manera:

Resolviendo el cálculo obtenemos la temperatura final del sistema, que era nuestra incógnita:

Ejercicios para resolver 1) Los glóbulos rojos se encuentran en equilibrio osmótico con el plasma sanguíneo que posee

una concentración salina (ClNa) de 9 g/l:

a-Calcule la osmolaridad del plasma. (PM ClNa=58,5 g/mol).

b-Que ocurrirá si se suministra por vía endovenosa una disolución de NaCl de

concentración:

b1) 18 g/l.

b2) 4g/l

c) ¿Cómo se clasificarían estas disoluciones en relación con el plasma?

2) Un paciente se realizó un análisis clínico y los resultados indicaron que la concentración de

bilirrubina total (pigmento biliar) en el plasma era de 52 µmol /l. El paciente solo conoce que la

concentración normal tiene que estar en el rango de 0,3 a 1,5 mg/100 ml. Determine si la

concentración medida en el paciente está dentro de los rangos normales, sabiendo que el peso

molecular de la bilirrubina es 588 g/mol

3) La terapia de rehidratación puede incluir una solución acuosa con las siguientes

concentraciones: 3,50 g ClNa/l, 2,50 g NaHCO3/l, 1,50 g ClK/l y 20,0 g glucosa/l. Calcule la

osmolaridad de la solución resultante (PM: 58,5 g/mol; 84 g/mol; 74,55 g/mol y 180,16

g/mol, respectivamente).

4) El suero fisiológico tiene una presión osmótica de 7,7 atm a 37 °C, igual a la de la sangre.

¿Se podrá inyectar a una persona un suero glucosado preparado añadiendo 20 g de

glucosa (C6H1206) a agua destilada hasta tener un volumen de 200 ml?

5) Dos soluciones de glucosa de 25 g/l y 7 g/l están separadas por una membrana permeable

a las moléculas de glucosa cuyo espesor es 0,35 mm. Se sabe que la membrana tiene un área

de 10 cm2 y un área total de poros de 0,5 cm2, que el coeficiente de difusión de la glucosa en

agua es de 3x 10-6 cm2 /s y que no hay flujo de agua a través de la membrana. Determinar:

a- El flujo de glucosa suponiendo que las concentraciones a ambos lados de la membrana

son constantes.

b- La cantidad de moles de glucosa que atraviesan la membrana por hora

48

6) En el plasma sanguíneo hay albúminas de masa molecular 75000 g/mol con una

concentración de 4,5g por cada 100 mL de plasma. ¿Cuál es la presión osmótica a 37°C?

7) La concentración de hemoglobina en el interior de un glóbulo rojo, es de 0,01 osmol/L.

Determina la presión osmótica que se establece cuando sumergimos un glóbulo rojo en agua

destilada a 20 °C.

8) Estime el tiempo medio que se requiere para que una molécula de insulina difunda una

distancia igual a 10m (diámetro medio de una celula), sabiendo que el coeficiente de difusión

de la insulina es de 8,2x 10-11 m2 s-1 a 20 °C.

9) Si la presión osmótica del plasma es de 28 mmHg, ¿qué potencia neta consumen los

riñones para filtrar 180 litros diarios del mismo por ósmosis inversa?

10) Sabiendo que el radio medio de los capilares es de aproximadamente 5 m, el largo de

0,1 mm y el espesor de las paredes de 0,2 m. Cuál será la máxima velocidad a la que puede

circular el plasma sanguíneo por los capilares que están en contacto con los alvéolos para que

el transporte de O2 se realice por difusión? [Coeficiente de difusión 10-5 cm2/s].

11) Un recipiente con una disolución acuosa de masa molecular 200 g/mol está separado por

una membrana semipermeable de otro con agua pura. Si la temperatura es de 20°C y la

diferencia de niveles de los recipientes es de 1 cm, ¿Cuál es la concentración de la disolución?

12) Un recipiente posee dos compartimentos iguales separados por una membrana

semipermeable. En uno de ellos se coloca una disolución preparada a partir de 50 mg de

sacarosa (C12H22O11) en agua hasta tener 0,5 litros de solución; y en el otro, una disolución

que se ha preparado disolviendo 50 mg de glucosa (C6H12O6) en agua hasta tener 0,5 litros de

solución.

a- Cuál es la presión osmótica inicial en cada compartimento, suponiendo una

temperatura de 20°C?.

b- Cuando alcanza el equilibrio, cual es la diferencia de altura entre ambos líquidos?

13) Determinar el trabajo necesario para desalinizar 18g de agua de mar cuya osmolalidad es

de 1,08 osmol/L a 20°C. Suponer que la densidad del agua de mar es 1 g/cm3?

14) Estimar el tiempo requerido por las moléculas de un neurotransmisor para que se

difundan a través de una sinapsis (separación entre dos células nerviosas) de 50 nm, si su

coeficiente de difusión a la temperatura del cuerpo humano es 5x 10‐10 m2 s‐1.

49

ELECTROSTATICA

Ejemplos de resolución de ejercicios con explicaciones teóricas

1) Un aislador cargado y un metal sin carga:

a) Siempre se repelan electrostáticamente entre sí.

b) Se repelen solo si el signo de la carga del conductor es negativa.

c) No ejercen fuerzas electrostáticas entre sí.

d) Pueden atraerse o repelerse dependiendo de la forma geométrica del aislador y el

conductor.

e) Se atraen solo si el signo de la carga del aislador es positiva.

f) Siempre se atraen electrostáticamente entre sí.

SOLUCION:

Los metales son conductores de electricidad. La electricidad se origina dentro de los átomos.

El átomo está formado por un núcleo que con+tiene protones con cargas “+” y neutrones que

no tienen carga eléctrica neta, rodeado por uno o más electrones cargados negativamente. Los

átomos neutros (sin carga neta) poseen igual número de electrones y de protones. Si el

átomo pierde uno o más de sus electrones, su carga neta será positiva y se llama catión (ión

positivo); en cambio si gana electrones, su carga neta será negativa y se llama anión (ión

negativo).

En los materiales sólidos conductores, los núcleos tienden a permanecer en posiciones

fijas, y los electrones del ultimo nivel de energía tienden a moverse con gran facilidad dentro

del material (electrones libre o electrones de conducción), mientras que en un material

aislador los electrones están ligados al núcleo y no pueden moverse libremente dentro del no

conductor, pero si se mueven dentro de sus átomos y moléculas.

Cuando un aislador cargado positivamente se acerca a un conductor neutro

(metal):

Los electrones libres en el metal son atraídos por el aislador y se mueven con rapidez

hacia éste. Si los dos hacen contacto, algunos electrones del conductor se trasladan al aislador

perdiendo electrones y por lo tanto el metal adquiere carga positiva.

+++++++- - - - - +++ - - -

Aislador Metal (conductor)

“+” neutro

50

Este proceso se llama carga por contacto y los dos objetos terminan con el mismo

signo de carga.

++++++ ++++++

Aislador “+” Metal “+”

Si el aislador no hace contacto con el metal, los electrones libres de la barra metálica no

abandonan la barra, migran dentro del metal hacia la carga positiva externa del aislador

dejando una carga positiva en el extremo opuesto de la barra.

Atracción

++++ - - - - ++++

Aislador “+” Metal neutro pero con separación de cargas

Este proceso se llama inducción: carga de un objeto sin contacto directo. Se dice que

se ha inducido una carga en los dos extremos de la barra metálica, por lo tanto se han

separado las cargas, aunque la carga neta es cero. Sin embargo, si el metal se rompe en dos

piezas, se podrían tener dos objetos cargados, uno positivamente y el otro negativamente.

Las cargas eléctricas ejercen fuerzas de atracción o de repulsión sobre otras cargas

eléctricas, en este caso las cargas positivas del aislador y las negativas del metal se atraen,

por lo tanto, el aislador y metal se atraen electrostáticamente entre sí (respuesta f)

Cuando un aislador cargado negativamente se acerca a un conductor neutro

(metal):

Los electrones libres en el metal son repelidos y migran hacia el extremo opuesto.

- - - - - - - - ++++ - - -

Aislador “–“ Metal neutro

Atracción

- - - - - ++++ - - - -

Aislador “–“ Metal neutro

También el aislador y el metal se atraen electrostáticamente entre sí

(respuesta f).

a) Falso, porque siempre se atraen.

b) Falso, porque no se repelen y además porque el material conductor tiene cargas

positivas y negativas, no solo negativas.

c) Falso, si ejercen fuerzas electrostáticas entre sí, debido a la migración de cargas

negativas del conductor (explicado en respuesta f).

d) Falso, porque no se repelen, y es independiente a la forma geométrica del aislador y

conductor, la atracción electrostática depende de las cargas.

e) Falso, porque si el aislador está cargado negativamente también se atraen (explicado

en respuesta f).

51

Nota:

La separación de cargas también se puede realizar en los materiales no conductores. Si un

objeto con carga positiva se acerca a un no conductor neutro, casi ningún electrón puede

moverse libremente dentro del no conductor, pero los electrones se pueden mover ligeramente

dentro de sus propios átomos y moléculas (representados por óvalos):

Los electrones cargados negativamente atraídos hacia la carga positiva externa tienden a

moverse en su dirección dentro de sus moléculas. Como las cargas negativas en el no

conductor están más cerca de la carga positiva externa, el no conductor como un todo es

atraído a la carga positiva.

Atracción

++++++ - + - + - + - +

++ ++++

- + - + - +

Aislador “+” No conductor neutro

2) Dos cargas eléctricas positivas de valores 2 μC y 6 μC, distan 4 μm entre si. ¿A qué

distancia (en μm) de la carga menor habría que colocar otra carga de valor -3 μC, para

neutralizar la fuerza eléctrica sobre la carga menor?

a) 1,05 b) 2,31 c) 5,66 d) 3,54 e) 4,24 f) 2,83

La interacción entre cuerpos cargados fue estudiada en el siglo XVIII por Charles Augustin de

Coulomb (1736-1808). La ley de Coulomb expresa el valor de las fuerzas ejercidas entre sí por

dos cargas puntuales.

Sean dos cargas puntuales, q1 y q2, separadas una cierta distancia r. Las fuerzas que las

cargas ejercen entre sí son proporcionales al producto de las cargas e inversamente

proporcionales a la distancia entre ellas, estando dirigidas según la línea que une ambas

cargas. Si las dos cargas tienen el mismo signo la fuerza es repulsiva, y si tienen signos

distintos la fuerza es atractiva. La fuerza (F12) que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 puede

expresarse de la forma:

En el SI de unidades, la unidad de carga es el culombio (C) y la constante K, determinada

experimentalmente, es muy aproximadamente:

⁄

SOLUCION

En primera instancia tenemos dos cargas positivas, una de 2 μC y otra de 6 μC, que

llamaremos q1 y q2 respectivamente. Como son dos cargas positivas la fuerza eléctrica será

repulsiva. Denominamos entonces a F12 la fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q2, y F21

la fuerza que la carga q2 ejerce sobre q1.

52

Luego el ejercicio nos pide que agreguemos una carga negativa q3 de -3 μC. Entonces, al

interactuar una carga negativa con una positiva, la fuerza eléctrica será atractiva, por lo tanto

para que se anule la fuerza F12, la carga q3 debe colocarse entre q1 y q2.

Porque no colocarla antes de q1 o después de q2?? Como se puede apreciar intuitivamente, al

colocar la carga q3 antes de la carga q1, la fuerza atractiva F12 se suma con la fuerza repulsiva

F13 ya que tienen la misma dirección y sentido. Caso similar sucede detrás de q2, donde la

fuerza atractiva F32 se suma a la fuerza repulsiva F21. De esta manera no queda otra opción

que colocar a q3 entre las cargas positivas q1 y q2.

Para que se neutralice la fuerza eléctrica que la carga q3 (-3 μC) ejerce sobre la carga q1 (2

μC), podemos plantear que la suma de F12 y F13 es igual a cero:

Entonces si igualamos las fuerzas nos quedaría:

Reemplazando la definición de fuerza eléctrica en la ecuación anterior, nos quedaría:

Como hay variables que son iguales a cada lado de la igualdad, se pueden cancelar, entonces

la expresión anterior se replantea de la siguiente manera:

Reordenado la ecuación anterior de manera que quede en función de la incógnita r13:

√

Ahora reemplazamos con los valores dados para obtener el resultado:

53

√

Por lo tanto la respuesta correcta es la F

3) Dos cargas eléctricas positivas de 2C y 6C distan 4m entre sí. ¿A qué distancia (en m)

de la carga menor habría que colocar otra carga de -3C para neutralizar la fuerza eléctrica

sobre la carga menor?

a) 1,0 b) 8 c) 6 d) 2,8 e) 3,2 f)

1,8

SOLUCION: Este es un ejercicio realmente sencillo. Simplemente, luego de analizar los signos

de las cargas para concluir que la carga de -3C debe ubicarse entre las dos cargas positivas,

hay que igualar las fuerzas de Coulomb. (Es importante trabajar ordenadamente)

Fq1 q3 = Fq2 q3 Luego K.(2C.6C)/(4m)2 = K.(2C.3C)/(X)2 X2 = 16 m2

Entonces la opción correcta es D

4) Dos esferas conductoras inicialmente descargadas se unen mediante un alambre conductor

como se indica en la figura. De acuerdo a la secuencia de inducción que se muestra, la carga final de las esferas A y B es, respectivamente:

a) + 0 b) + + c) + - d) - - e) 0 0 f) - +

Condición Inicial Condición Final

SOLUCIÓN: Las esferas A y B se encuentran inicialmente descargadas. Al acercar la barra con

carga negativa a la esfera A, se producirá repulsión eléctrica sobre los electrones libres de esta

esfera, por lo cual estos electrones migran a través del alambre a la esfera B, quedando la

esfera A cargada positivamente (electrones migraron a la esfera B) y la esfera B con carga

negativa (recibió los electrones que salieron de A). Al cerrar el interruptor de la conexión a

tierra, la esfera B se descarga (pierde su carga), los electrones migran a tierra. La esfera A

mantiene su carga positiva, esta carga no puede migrar ya que la constituyen los núcleos

positivos de los átomos. Al retirar la barra cargada negativamente, la esfera A con su carga

positiva unida a la esfera B conectada a tierra, atrae los electrones libres de la Tierra hasta que

se saturan los iones positivos que constituían la carga positiva de la esfera A. Observar que la

-

- -

- -

A B

-

- -

-

-

A B

A B

Barra con carga negativa

Conexión a Tierra

54

condición final la constituyen dos conductores unidos mediante un alambre también conductor

y conectados a tierra, en consecuencia la carga neta de cada una de ellas debe ser cero!!!

5) Considerar tres esferas conductoras idénticas A, B, C. La esfera A tiene una carga de 5q, la

esfera B tiene una carga de -q y la esfera C no tiene carga neta. Se pone en contacto a las

esferas A y B y luego se las separa. Luego la esfera C es colocada brevemente en contacto

con la esfera A y se las separa. Finalmente se coloca en contacto la esfera B con la C luego

de lo cual se las separa. La carga final de la esfera C es:

a) 0 b) q c) - q d) – 2 q e) 2 q f) 1,5 q

SOLUCIÓN: Si las esferas son idénticas, la carga eléctrica que adquirirán al ser puestas en

contacto será la misma en cada una de ellas. Como la carga eléctrica se conserva, la carga

total antes del contacto debe ser la misma que la carga después del contacto, por lo tanto, las

esferas se repartirán en partes iguales la carga eléctrica total. Antes del contacto la carga de A

es +5q B, mientras que la de B es -q: Carga total = + 4q. Después del contacto la carga de

cada esfera es = + 2q (Al ponerse en contacto y luego separarse las esferas A y B, estas

adquieren cada una carga de + 2q). Luego se realiza lo mismo entre las esferas A y C. Como la

esfera C no tiene carga neta, al ponerse en contacto con la esfera A compartirán por igual su

carga, es decir, al separarse las esferas cada una adquiere una carga de + q. Luego la esfera C

se toca con la esfera B. La carga total de las dos esferas es de + 3q, por lo tanto, al separarse

estas dos esferas, adquirirán cada una de ellas 1,5 q. En consecuencia la esfera C adquiere

finalmente una carga de 1,5 q.

IMPORTANTE: tener en cuenta que q no representa UNA carga (protón - electrón u anión -

catión, sino que es una cierta cantidad de carga. De lo contrario nunca podríamos tener una

carga y media en la esfera C!!!!

PREGUNTA: ¿Y cuál podría ser la carga final de la esfera C si q representase en cada caso

exactamente UNA carga?

6) El sistema de capacitores que muestra la figura está inicialmente descargado. Se cierra la

llave para cargarlos y cuando se alcanza el equilibrio la carga sobre C1 es 450 mC. Luego se

abre la llave y se introduce en C2 un material dieléctrico de constante 1,5. Entonces el voltaje

de la pila ANTES DE DESCONECTARLO y la carga en C2 y C3 en el ESTADO FINAL son:

a) 30 V; 300 mC; 150 mC

b) 22,5 V; 337,5 mC; 112,5 mC

c) 10,8 V; 450 mC; 450 mC

d) 30 V; 450 mC; 450 mC

e) 30 V; 450 mC; 450 mC

X f) 30 V; 337,5 mC; 112,5 mC

Un capacitor eléctrico es un elemento cuya función es la de almacenar o acumular cargas

eléctricas de igual modulo pero de polaridad opuesta en sus dos electrodos o conductores.

Entre ambos conductores hay una diferencia de potencial (V o V). Esta diferencia de potencial

es proporcional a la carga almacenada (Q). La capacitancia (C) de un capacitor es definida

como la relación entre la carga del capacitor y la diferencia de potencial:

C= Q

V

Tiene unidades de Coulomb /Volt, lo que es igual a un Faraday o Faradio.

55

Por definición la capacitancia es una magnitud POSITIVA. Un capacitor puede almacenar tanta

carga como queramos siempre y cuando se aumente la diferencia de potencial. Pero cuando la

diferencia de potencial es demasiada grande el campo eléctrico entre los conductores se vuelve

muy elevado y el dieléctrico comienza a conducir y el capacitor se rompe.

El estudio de lo capacitores es útil en Medicina no solo porque están presenten en el

instrumental y equipamiento utilizado sino porque los nervios y membranas celulares se

comportan como capacitores.

La capacitancia de un sistema depende de la geometría de los conductores, su tamaño y del

tipo de material. La capacitancia de un capacitor compuesto por dos placas paralelas es

proporcional al área (A) de una de las placas e inversamente proporcional a la distancia (d)

que separa ambas placas:

C = d

es la permitividad eléctrica o constante dieléctrica del material.

Esto nos dice que si tenemos un capacitor con una constante

dieléctrica grande mayor será su capacitancia. Cuanto mayor sea la

distancia entre las placas menor será la capacidad de almacenar

carga.

La permitividad del material puede ser determinada como:

r

donde es la permitividad del material en el vacío y r es la

permitividad relativa del material. La permitividad relativa para el

vacío es 1, para el aire a la presión y temperatura normales

prácticamente también vale 1, para el aceite y muchos materiales

plásticos varía entre 3 y 5. Para las membranas celulares lipídicas esta constante puede valer

80.

La permitividad del material en el vacío (está relacionada con la constante k de la Ley de

Coulomb, de modo que puede determinarse como:

= 1 = 9 * 10-12 C2/Nm2

4 k

Los capacitores pueden estar conectados en

PARALELO.

En este caso la diferencia de potencial (V) es la

misma para todos los capacitores (V =V1

+ V2) y las carga total es la suma de las

cargas de cada capacitor (Q=Q1+Q2). Esto nos permite plantear que la Cequivalente (Ceq) es: Ceq= C1+C2+……….

56

También pueden estar conectados en SERIE

En este caso las tensiones o V se

suman (V = V1 + V2) y la carga

(Q) de todos los capacitores es la misma (Q = Q1 = Q2). Entonces la capacitancia equivalente

será:

1 = 1 + 1 que es igual a Ceq = C1 C2

Ceq C1 C2 C1+C2

SOLUCION

El sistema de la figura consta de un capacitor conectado en serie con dos capacitores en

paralelo. Al inicio el sistema esta descargado, es decir que la V = V = 0. Al momento que se

cierra la llave y estando conectado a una pila se desarrolla una carga Q1 de 450 mC. Como el

capacitor C1 está conectado en serie con el paralelo entonces podemos deducir que:

Qsistema = Q1 = Q2+Q3 = 450 mC (las cargas en el párelo se suman)

Para poder determinar el voltaje de la pila antes de abrir la llave necesitamos saber la

capacitancia del sistema. Como tenemos los valores de las tres capacitancias podemos

determinar la Ceq del sistema:

1 = 1 ____ + 1 _________ =_4___ = Ceq = 15 mF = Csistema

Ceq 20 mF 20mF +40 mF 60 mF

Entonces teniendo Q y Ceq podemos calcular Vbateria

Vbateria = Qsistema = 450 mC = 30 V = Vbateria

Csistema 15 mF

Con este resultado ya podemos descartar dos de las opciones que nos da el problema (b y c).

Ahora vamos a determinar las cargas Q2 y Q3 en el estado final. Para ello vamos a necesitar

determinar V en C1 y en C2. Sabemos que en el paralelo V es igual en ambos capacitores (V2 =

V3). Ahora V1 será:

V1 = 450mC = V1 = 22,5 V entonces ahora podemos deducir V2 y V3

20 mF

Vbateria = V1 + Vparalelo = 30 V = 22,5 V - Vparalelo entonces,

Vparalelo =30V -22.5V = 7,5 V = V2 = V3

Cuando se abre la llave para colocar un dieléctrico a C2 se mantiene la carga en el sistema.

Mientras que la carga en C1 y en el paralelo sigue siendo 450 mC lo que varía es la distribución

de la carga en el paralelo, es decir entre C2 y C3. Como agregamos un dieléctrico la

capacitancia de C2 AUMENTA y por lo tanto la capacitancia total del sistema va a aumentar.

Para calcular Csistema bajo las nuevas condiciones tenemos que determinar C2nueva.

57

C2 nueva = C2 * 1.5 (1.5 es el factor en que aumento C2 por agregarle el dieléctrico con

de 1.5).

C2 nueva = 60 mF

Entonces:

1 = 1 ____ + 1 _________ = Ceq = 16 mF = Csistema

Ceq 20 mF 20mF +60 mF

Ceq = 16 mF

Si Qsistema se mantiene constante y Csistema aumenta, entonces tiene que disminuir V:

Vnuevo = 450 mC = 28,12 V =Vnuevo

16mF

Con este valor podemos calcular V para el nuevo paralelo:

Vparalelo nuevo= 28.12 V -22 V = 5,625 V = V2 = V3

Con toda esta información podemos contestar la segunda parte del problema:

Q2 = 60 mF * 5.625 V = 337,2 mC = Q2 nueva

Q3nueva = 20 mF* 5.625 = 112,5 mC = Q3nueva

En conclusión la opción correcta es la F

7) Dos capacitores iguales de placas paralelas están conectados cada uno a una batería de 12

V. Una vez cargados, uno de ellos (el 2) se desconecta mientras que el otro (el 1) no, y se

separan las placas de ambos hasta duplicar la distancia original entre placas. Entonces, con

respecto a sus valores anteriores:

a) las cargas y las tensiones de ambos capacitores aumentan

b) las cargas y las tensiones de ambos capacitores disminuyen

c) las cargas de ambos capacitores no cambian

d) las tensiones de ambos capacitores no cambian

e) cambian la carga del capacitor 1 y la tensión del 2

f) cambian la carga del capacitor 2 y la tensión del 1

SOLUCION:

Analicemos el capacitor 1: Como el capacitor se mantiene siempre conectado a la fuente (la

batería de 12V), independientemente de que se separen o no las placas, la tensión (o voltaje o

diferencia de potencial entre las placas) se mantendrá constante. Por otra parte, al separar las

placas del capacitor, disminuye su capacidad (esto lo vemos porque C=A/d y al aumentar d,

con A y fijos, disminuye C). Por otra parte sabemos que V=Q/C y si V es constante y C

disminuye, entonces necesariamente debe disminuir Q.

Ahora analicemos el capacitor 2: El análisis de la separación de las placas es exactamente el

mismo que para el capacitor uno, es decir, al aumentar la distancia entre placas disminuye la

capacidad. Pero además en este caso una vez que se carga el capacitor con la fuente, al

desconectarlo de esta nos garantizamos que mantendremos la carga (es decir Q se mantiene

constante). Por lo tanto teniendo en cuenta nuevamente queV=Q/C y que Q es fija y que C

disminuye, entonces V aumenta

Opción correcta: E

PREGUNTA: ¿Y qué ocurre con el campo eléctrico en cada caso?

58

8) Tres capacitores están conectados en serie con una batería de 12 V. ¿Cuál de las siguientes

opciones podría corresponder a las cargas y tensiones eléctricas en esos capacitores una

vez alcanzado el equilibrio?

a) 5 C; 3V 5C; 6V 5C; 12V

b) 5 C; 6V 5C; 6V 5C; 6V

c) 3 C; 3V 4C; 6V 5C; 12V

d) 3 C; 12V 4C; 12V 5C; 12V

e) 5 C; 12V 5C; 12V 5C; 12V

f) 5 C; 3V 5C; 4V 5C; 5V

SOLUCION: Si los capacitores están conectados en serie, entonces las cargas deben ser

iguales, es decir Q1=Q2=Q3

Por otra parte la diferencia de potencial de la batería (12V) debe ser igual a la suma de las

diferencias de potencial (o tensión) en cada uno de los capacitores.

Luego la única opción compatible con estos dos conceptos básicos es F

Ejercicios para resolver

1) Calcule la fuerza en el vacío, aire y agua entre dos cargas de 2 C y -3 C separadas por 20

cm. vacioo = 9 * 109 N m

2 C

-2 raire ragua = 78

2) Si una carga q de +2 C ubicada en X=0 está separada de una carga q1 de +1 C por 3 cm

y de otra carga q2 también de 1 C, ubicada en X=-5 cm, ¿cuál es la fuerza neta sobre la carga

q si las fuerzas que le ejercen q1 y q2 tienen la misma dirección y diferente sentido.

3) Suponiendo que las cargas están el vacío, calcular:

a) el campo eléctrico de una carga puntual de 2 . 10-6 C en un punto ubicado a una

distancia de 35 cm

b) el campo eléctrico en un punto ubicado en el punto central del segmento que une dos

cargas (de 2,5. 10-6 C y -5 . 10-6 C ) separadas por 20 cm.

4) Si dos cargas q1 de 6 C y q2 de 3 C están separadas por 5 cm, ¿dónde colocaría una

carga de 1,5 C para que la fuerza neta sobre q2 sea nula?

5) Determinar la diferencia de potencial eléctrico y la variación de energía potencial eléctrica

cuando una carga de -5 C se mueve 10 cm en la dirección y sentido de un campo eléctrico

uniforme de 1 N/C.

6) Las placas de un capacitor tienen una superficie de 1 m2 y entre ellas hay un dieléctrico

cuya constante dieléctrica relativa (permitividad eléctrica relativa) es r =5. Si la carga es de

10 C, determinar la intensidad del campo eléctrico.

7) Dos placas planas paralelas y horizontales se encuentran separadas por 3 cm. Para poder

mantener en equilibrio una gota de un fluido denso cargado se requiere de un campo eléctrico

de 5,2 . 104 V/m. Determinar la diferencia de potencial que existe entre las placas

8) Cual será la carga trasladada en un campo eléctrico entre dos puntos con una diferencia de

potencial de 1200 V si se ha efectuado un trabajo de 4.8 J?

9) Una membrana celular puede ser considerada como un capacitor. ¿Cuál será la magnitud

del campo eléctrico a través de una membrana celular si el grosor de la misma es de 1,1.10-8

m y existe una diferencia de potencial de -70mV a través de la membrana?.

59

10) Las membranas celulares exhiben en su lado interno (en contacto con el citoplasma) un

exceso de iones negativos y en el lado externo un exceso de iones positivos. Estos iones se

disponen en delgadas capas de modo que dan origen a una diferencia de potencial entre el

interior y exterior de las membranas celulares. Si se tiene una membrana de 1.10-3 m de

espesor, con una permitividad eléctrica relativa de 8 y si la diferencia de potencial a ambos

lados de la membrana es de 70 mV entonces:

a) ¿cuál es la capacidad por unidad de área?

b) ¿cuál es la intensidad del campo eléctrico en el interior de la membrana?

c) ¿cuál es el trabajo requerido para transportar un ion K+ y un ion Cl- desde el interior de la

célula al espacio extracelular por acción de la bomba Na-K?

11) Durante las tormentas eléctricas, la diferencia de potencial entre la Tierra y la nube de

tormenta puede ser de 35000000 V. Estas nubes se encuentran aproximadamente a 1500 m

sobre la Tierra, pueden tener un área de 110 Km2 y pueden ser consideradas como un enorme

capacitor. Calcular: a) la capacitancia del sistema Tierra-nube, b) la carga almacenada en el

capacitor y c) la energía almacenada en el capacitor.

12) Se tiene una célula nerviosa (neurona) cuyo axón tiene 10 cm de largo y un radio de 10

µm. Si el grosor típico de la membrana es de 10-8 m y la permitividad relativa para el fluido

celular es 3, cual es la capacitancia del axón si se considera al mismo como un cilindro?

13) a) ¿Cuánta energía es requerida para transmitir un potencial de acción a lo largo del axón

del ejercicio 12 donde la energía para transmitir un pulso eléctrico es equivalente a la

energía almacenada por la capacitancia del axón completamente cargado?.

b) ¿Qué potencia mínima es requerida por las neuronas para trasmitir 100 pulsos por

segundo? Tener en cuenta que la diferencia de potencial en la membrana es de 0,1 V.

14) Un desfibrilador tiene un potencial elevado, sin embargo no produce serias quemaduras

sobre la piel, porque la piel conduce bien la electricidad a altos voltajes como la de los

desfibriladores. ¿Cuál es la potencia de un desfibrilador que disipa 400 J de energía en 10 ms?

15) ¿Qué carga es almacenada en un capacitor a 180 F cuando se aplican 120 V sobre él?

16) Dos capacitores de 1 mF y de 2 mF se encuentran conectados en paralelo y este paralelo

se encuentra conectado a su vez en serie con otro capacitor de 6 mF.

a) ¿Cuál es la capacitancia equivalente de esta configuración?.

b) ¿cuál es el valor de la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre sus

placas si se aplica a toda la configuración una diferencia de potencial de 6 V?.

17) Un capacitor plano de aire de 20 F se encuentra conectado a una fuente de 12 V. Se le

introduce un dieléctrico de constante relativa r=4 sin desconectarlo de la fuente.

a) ¿Cuál es la carga que da o que recibe la batería durante el proceso de introducción del

capacitor entre las placas?.

b) ¿qué variación de energía tiene el capacitor después de la introducción del dieléctrico?

Ejercicios de opción múltiple

1) Dos capacitores iguales se encuentran conectados en serie. Cada capacitor adquiere una

carga Q. La energía almacenada por el conjunto es:

a) Q.V b) 1/4 Q.V c) 4Q.V d) 1/2 Q.V e) 2Q.V f) 1/8 Q.V

2) Un capacitor de placas paralelas se carga con una batería hasta alcanzar una diferencia de

potencial V. Luego se desconecta la batería y se incrementa la separación entre las placas.

Bajo estas nuevas condiciones la diferencia de potencial V y la energía almacenada en el

capacitor cumplen que:

60

a) V aumenta y U disminuye b) V y U aumentan c) V disminuye y U aumenta

d) V no cambia y U aumenta e) V disminuye y U no cambia f) V aumenta y U no cambia

3) Dos cargas eléctricas están fijas y separadas por una distancia de 10 cm. ¿En qué región

hay un punto en el que el campo eléctrico producido por las cargas es nulo?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 f) 6

4) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Los vectores campo eléctrico y fuerza eléctrica tienen el mismo módulo, dirección y sentido

b) Las líneas de campo generadas en todo punto del espacio por un dipolo eléctrico son rectas

c) La capacitancia de un capacitor plano de placas paralelas solo depende del área de las

placas

d) Si un electrón está sometido únicamente a una interacción eléctrica, esta se desplaza a lo

largo de una línea de campo a velocidad constante

e) La capacitancia de una capacitor depende exclusivamente del material del dieléctrico

f) Entre las placas de un capacitor plano paralelo, el campo eléctrico es uniforme (si se

desprecia el efecto borde).

5) Se carga un capacitor que se encuentra vacío con una fuente de modo tal que entre sus

placas se establece un campo eléctrico de módulo 10 V/m y acumula 40 mJ de energía. Sin

desconectarlo de la fuente se incrementa al doble la distancia de separación entre las placas y

se introduce un dieléctrico de constante relativa 4. En estas condiciones los nuevos valores

para el campo eléctrico y la energía acumulada son, respectivamente y en las mismas

unidades:

a) 20; 20 b) 10; 20 c) 20; 80 d) 5; 80 e) 5; 20 f) 20; 10

6) Dos capacitores iguales de placas paralelas están conectados cada uno a una batería de 12

V. Una vez cargados, uno de ellos (el 2) se desconecta mientras que el otro (el 1) no, y se

separan las placas de ambos hasta duplicar la distancia original entre placas. Entonces, con respecto a sus valores anteriores:

a) las cargas y las tensiones de ambos capacitores aumentan

b) las cargas y las tensiones de ambos capacitores disminuyen

c) las cargas de ambos capacitores no cambian

d) las tensiones de ambos capacitores no cambian

e) cambian la carga del capacitor 1 y la tensión del 2

f) cambian la carga del capacitor 2 y la tensión del 1

61

7) Los cuatro capacitores de la figura son idénticos y se encuentran inicialmente descargados.

Si qi es la carga de cada capacitor (es decir q1 la carga del C1, q2 la del C2, etc), y V la

diferencia de potencial entre sus bornes, al alcanzar el equilibrio luego de conectarlos a la

batería se cumple que:

a) q2=q1 y V2=V1/2

b) q1=3q2 y V4= 2V3

c) q2=q4 y V2=V4

d) q1=q4 y V1=V4

e) q4=q2+q1 y V2=V3

f) q4=q2+q3 y V1=V4

C1

C2

C4

C3 V

62

ELECTRODINAMICA

Ejemplos de resolución de ejercicios con explicaciones teóricas

Ejercicio 1

1) En el circuito de la figura la corriente en la resistencia 1 es I1 y la diferencia de potencial

entre los extremos de esa resistencia es V1. Se conecta ahora la resistencia R3 en paralelo

con la resistencia 1, tal como se indica en la figura 2. Teniendo en cuenta que las 3

resistencias tienen diferentes valores, en el nuevo circuito:

a) I2 aumenta I1 I2 b) I2 aumenta I1 = I2 c) I2 aumenta I1 I2

d) I2 disminuye I1 I2 e) I2 disminuye I1 = I2 f) I2 disminuye I1 I2

SOLUCION:

Al agregar la resistencia R3 en paralelo con R1, disminuye la resistencia equivalente (o

resistencia total) del circuito. En consecuencia aumenta la corriente que circula por el circuito

(V=iR, y si V es constante y disminuye R, necesariamente debe aumentar i). La corriente i

es la que circula por R2 de modo que la nueva corriente que circula por R2 (I2) aumenta. Si

observamos cómo está conectada la fuente, la corriente pasa por R2 y luego, antes de llegar a

R1 se divide (parte pasa por R1 y parte por R3), de ese modo la corriente I2 es mayor que la

corriente I1

Opción correcta: C

2) En el circuito de la figura la corriente I es de 5 mA. Entonces se puede afirmar que:

X a) I1 + I2 es la corriente total del circuito y la mayor potencia se disipa en R4 b) La corriente total que circula por el paralelo es menor que la que circula por R3 y las

resistencias que más potencia disipan son R1 e R2

c) La resistencia total del circuito es 2,1 Ω y la mayor caída de tensión se produce en el

paralelo. d) La diferencia de potencial en R1 es mayor que en R2.

e) I1 e I2 son menores que I3 y la potencia disipada por todas las resistencias es la misma.

f) Si se elimina la resistencia de 1.5 k Ω, la corriente aumenta

En este caso se tiene un circuito eléctrico formado por una pila que es la que envía los

electrones y dos resistencias en paralelo (R1 y R2) las cuales están en serie con R3 y R4 y por

donde circula una corriente I.

63

Analizaremos primero todo el circuito. Debemos tener en cuenta que todas las cargas

eléctricas que salen por un lado entran por otro, lo cual significa que no hay pérdida de cargas

eléctricas a través del circuito. Esto es equivalente al caudal que pasa por una cañería, donde

el caudal de entrada es igual al caudal de salida. Aquí ocurre exactamente lo mismo. La

corriente I es la corriente total del circuito la cual cuando entra al paralelo se divide en dos: I1

e I2, y luego cuando sale del paralelo sigue siendo I o I1+I2. Además I es igual a I3 = I4

Vamos a analizar ahora que sucede con las resistencias. Las resistencias. R1 y R2 están en

paralelo. Para que haya resistencias en paralelo en un circuito siempre tenemos que tener una

ramificación. Cómo calculamos la resistencia total o equivalente del paralelo (Re) cuando se

tienen dos resistencias?

1 = 1 + 1 lo que igual a decir Re = R1 * R2

Re R1 R2 R1+R2

(La resistencia equivalente de un paralelo es siempre menor que la menor de las

resistencias)

Ahora analizamos la resistencia total del circuito, lo cual será igual a la suma de todas las

resistencias en serie, es decir la Re del paralelo más R3 mas R4.

Rtotal = Re + R3 +R4

Veamos qué pasa con el voltaje. A medida que la corriente circula va perdiendo voltaje, al

igual que el agua que circula por una cañería va perdiendo presión. En los extremos de una

resistencia siempre hay una diferencia de tensión o una caída de potencial (V). A la salida de la

pila el voltaje es máximo y a medida que la corriente va circulando y pasando por las

resistencias el voltaje va disminuyendo o va cayendo la tensión o hay una caída de potencial.

Cómo relacionamos V, R e I? A través de la Ley de Ohm la cual dice que la corriente que circula

por un material es proporcional al voltaje e inversamente proporcional a la resistencia. Es decir

que cuanto mayor es el voltaje mayor es la corriente que circula, y cuanto mayor es la

resistencia menos corriente circula.

I = V (en fluidos decíamos que Q =P)

R R

Bien, que sucede cuando las cargas o electrones circulan en un circuito y rozan el material

conductor (por ejemplo un cable)? Hay una liberación de energía o una disipación de energía

provocada por el rozamiento. Esta es la razón por la cual el filamento de una lamparita se

pone incandescente, por la disipación de energía en forma de calor. Esta energía disipada es la

potencia gastada o potencia disipada por las resistencias, la cual puede ser calculada como:

Potencia = V.I que es lo mismo que V * I2 que es lo mismo que V2

R

Entonces ahora podemos analizar cada una de las opciones del problema:

A) I1 + I2 es la corriente total del circuito y la mayor potencia se disipa en R4

La intensidad de corriente del circuito es I y vale 5 mA. Cuando esta corriente entra al paralelo

se divide en dos: I1 e I2, lo que quiere decir que:

I=I1+I2 y es igual a la corriente total del circuito.

Que pasa con la potencia?

64

Para calcular la potencia de R4 debemos calcular la caída de tensión en R4:

V4 = 1000 Ω * 0.005 A = 5V entonces ahora calculamos la potencia disipada por R4

R4 = 5V * 0.005 Ω =0.025W

Ahora calculemos la caída de tensión en R3 para luego calcular la potencia disipada por R3 y

poder compararla con la potencia disipada en R4:

V3= 0.005 A * 500 Ω = 2.5 V entonces la potencia que disipa R3 será:

Potencia (R3) = 2.5 V * 0.005 A =0.0125 W

Ahora calculemos la caída de tensión en el paralelo que será la misma a los lados de R1 como

de R2. Para ello necesitamos calcular la resistencia equivalente

Re = 1500 Ω * 1000 Ω = 600 Ω

1500 Ω + 1000 Ω

Calculamos la caída de tensión en el paralelo como:

V1,2 = 0.005A * 600 Ω = 3V y ahora podemos determinar la tensión disipada por las

resistencias en paralelo:

Potencia (Re) = 3 V * 0.005 A = 0.015 W

No es necesario calcular la potencia disipada por R1 y R2, dado que ya sabemos que será

menor que la potencia disipada por el paralelo como la caída de tensión seguirá siendo 3V pero

la intensidad de la corriente que pasa por cada resistencia es menor a 0.005A.

Con estos tres datos de potencia podemos determinar que la potencia disipada por R4 es la

mayor.

Potencia (R4) > Potencia (Re) > Potencia (R3)

Es decir que la opción 1 es la correcta

De cualquier modo vamos a explicar por qué las otras opciones no son válidas

B) La corriente total que circula por el paralelo es menor que la que circula por R3 y las

resistencias que más potencia disipan son R1 e R2

La explicación surge de lo desarrollado más arriba

I total = I = I3 = I4 por lo tanto la primera parte de la opción es incorrecta

Potencia disipada por R1 y R2 < Potenciae < potenciaR4 por lo tanto también es

incorrecta.

C) La resistencia total del circuito es 2,1 Ω y la mayor caída de tensión se produce en el

paralelo.

La resistencia total del circuito es:

Rtotal = Re + R3+ R4

Rtotal = 600 Ω +500 Ω + 1000 Ω = 2100 Ω que es diferente a 2.1 Ω

La mayor caída de tensión se produce en R4 (se calculó más arriba)

5 V (R4) > 3 V (paralelo) > 2.5 V (R3)

D) La diferencia de potencial en R1 es mayor que en R2.

La diferencia de potencial en R1 es igual a la de R2

E) I1 e I2 son menores que I3 y la potencia disipada por todas las resistencias es la

misma.

Si I1 e I2 son menores que I3 porque I3=Itotal = I1 +I2

65

Ya vimos que la potencia disipada era diferente en cada resistencia

Potencia (R4) > Potencia (Re) > Potencia (R3) o 0.025 W >0.015 W> 0.0125 W

E) Si se elimina la resistencia de 1.5 k Ω, la corriente aumenta

Falso, si se elimina la resistencia R1 la corriente total sigue siendo 5mA y ahora queda

un circuito formado solo por resistencias en series a través de las cuales pasa la misma

intensidad de corriente (5mA).

Ejercicios para resolver 1) En el circuito de la figura se encuentran conectados un voltímetro y un amperímetro, tal

como se indica. Se considera que los instrumentos son ideales y se desprecia la resistencia

interna de la batería. El amperímetro indica 0,4 A.

a) Determinar la indicación del voltímetro

b) Determinar R

c) Calcular la potencia desarrollada en la fuente y en cada resistencia

d) Si se produce un cortocircuito entre A y B, determinar las lecturas de los instrumentos

2) Un calefactor eléctrico conectado a 220 V transfiere 300 W al ambiente. Suponiendo que el

calefactor funciona también a 110 V, cual es la potencia que disiparía cuando se lo conecta a

esta tensión?

3) Se desea agregar una resistencia variable (R1) al circuito de la Figura 1 de modo que

permita graduar el brillo de L2 sin modificar el de L1?. ¿Cuál de los circuitos es el que lo

permite. Qué sucede en los otros casos?.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura 4 Figura 5

40 ohm..

.. R

..

36 V

..

..

..

B

30 ohm

..

..

Amperimetro

..

..

Voltimetro

..

15 ohm

..

..

A

L1

V1..

L1

R1L2

L1

L2

V1..V1..

L2

R1

R1

V1..

L1 L2

V2..

L1

V1.. L2

66

4) Un circuito tiene cuatro Resistencias de valor R.

a) ¿Cómo están conectadas si la Req del circuito tiene un valor de R?

b) ¿Cómo habría que conectar las resistencias para minimizar la Req?

5) En una vivienda familiar se utilizan los siguientes artefactos eléctricos, de los que se indica

la potencia y el tiempo que estan encendidos por día:

Lámparas por un total de 600 W encendidas durante 10 h/día, una heladera de 300 W

encendida las 2 hs, un freezer de 300 W encendida las 24 hss, un lavarropas de 300 W

encendido 2 h/dia, una plancha de 1800 W encendida 0,5 h/dia, un microondas de 1800 W

encendido 1 h/dia y electrodomésticos varios por 900 W funcionando 1 h/dia. ¿Cuál es la

energía eléctrica consumida en un mes? (considerar 30 días)

6) Un científico extranjero que se encuentra en Argentina quiere conectar un sistema eléctrico

resistivo, de 550 W a la red eléctrica local (220V). Considerando que en el país de origen el

sistema funciona correctamente con la red de 110V, ¿qué puede hacer el investigador para que

el sistema funcione correctamente en Argentina si dispone de resistencias de 2 y 20 ?

a) conectar dos resistencias de 2 en paralelo entre si y en serie con el sistema

b) el sistema funcionara correctamente sin necesidad de conectar ninguna resistencia

c) conectar resistencias en serie de modo de sumar 110 y luego en serie con el

sistema

d) conectar resistencias en serie por valor de 22 y en serie con el sistema

e) conectar una resistencia de 2 y otra de 20 en paralelo y luego en serie con el

sistema

f) conectar resistencias en serie por valor de 22 y en paralelo con el sistema

7) Al circuito de la figura 1 se le agrega una resistencia similar a la de las lámparas, que se

encuentran encendidas, como indica la figura 2. Indicar cuál de las siguientes es la opción

correcta?.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

a) Disminuye el brillo de L1 y el de L2.

b) Aumenta el brillo de L1 y disminuye el de L2.

c) Aumenta el brillo de L2 y disminuye el de L1.

d) El brillo de L1 no cambia y disminuye el de L2.

e) El brillo de L1 no cambia y aumenta el de L2.

f) No cambia el brillo de L1 ni el de L2.

8) En el problema anterior, partiendo del estado de la figura 2, se agrega L3 (encendida), tal

como se indica en la figura 3. En tal caso, ¿cuál de las opciones de la lista del problema

anterior es la correcta?

9) Dos resistencias de valor R están conectadas en serie con una fuente de tensión. De este

modo la fuente entrega una potencia de 20 W. Si ahora se conectan las resistencias en

paralelo, la nueva potencia disipada es:

V2

..

V1..R1

L2

L1L3

V1..

L1

L2

V2

..

V1..

L2

L1

V2

..

R1

67

a) 80W b) 40W c) 20W d)10W e)5W f)1W

10) Las resistencias de la figura son idénticas. Inicialmente el interruptor está abierto y luego

cerrado. ¿Cuál es la indicación del voltímetro con la llave cerrada respecto de la condición

inicial?

a) Aumenta 50% b) Disminuye 33% c) Aumenta 33% d) Disminuye 50% e) Disminuye

67% f) no varía

R

..

..

Voltimeter

..

R

.. R

..

V

..

68

ONDAS

Ejemplos de resolución de ejercicios con explicaciones teóricas

Ejercicio 1

Un tren bala se desplaza con una velocidad v en las proximidades de una estación. En ese

momento el maquinista acciona el silbato, que lo escucha con una frecuencia de 600 Hz. Si un

observador parado en el andén de la estación oye el mismo silbato con una frecuencia de 580

Hz, suponiendo la velocidad del sonido en el aire igual a 340 m/s, ¿el tren se acerca o se

aleja?, ¿a qué velocidad? a) se acerca con v=340 m/s b) se acerca con v=11,72 m/s

c) se aleja con v=340 m/s d) se aleja con v=11,3 m/s

e) se acerca a v =11,3 m/s Xf) se aleja con v= 11,72 m/s

El sonido es una onda mecánica que necesita un medio para propagarse, por lo tanto el sonido

no se propaga en el vacío. El medio de propagación más común es el aire. La velocidad de

propagación depende no solo del medio, sino también de la temperatura y presión. Para una

temperatura de 20°C, y a presión normal la velocidad de propagación del sonido en el aire es

de 344 m/s. Cuanto más denso es el medio más rápida es la propagación. Mientras en el agua

es 1493 m/s (a 25 oC), en aluminio la velocidad es 5100 m/s.

El efecto Doppler consiste en una variación de la frecuencia y la longitud de onda recibidas

respecto de la frecuencia y la longitud de onda emitidas, que es causada por el movimiento

relativo entre el foco emisor de las ondas y el receptor. En el siguiente grafico se observa una

fuente emisora (el auto) ubicada a la misma distancia de dos observadores separados. En este

instante los dos observadores reciben la misma frecuencia de sonido (f) que se puede expresar

como (considerando que solo la fuente/emisor se mueve y que el observador/receptor esta

quieto):

fobs = ffuente * vs fobs: frecuencia del observador/receptor; ffuente: frecuencia de la

vs±v fuente/emisor;

vs: velocidad del sonido. V: velocidad de la fuente/emisor

El signo menos se usa cuando la fuente está alcanzando al observador

(acercándose) y el signo + cuando se aleja. .

Para recordar, la frecuencia es el número de repeticiones (o ciclos) por unidad de tiempo. Su

unidad es el HERTZ (Hz) 1Hz = 1 ciclo por segundo. El rango de frecuencia audible por el ser

humano es de 20 Hz a 20000Hz.

Cuando la fuente emisora se acerca el observador de la derecha recibe un sonido de una

frecuencia mayor (más aguda), mientras que el observador que se encuentra a la izquierda

recibe un sonido de una frecuencia menor (más grave). En realidad no importa quien se

mueva, lo importante es que la fuente y el observador se acerquen o alejen. Si conocemos la

frecuencia recibida por el observador y la emitida por la fuente podemos determinar la

velocidad de acercamiento o alejamiento despejando de la ecuación anterior v:

69

v = vs- (ffuente * vs )

fobs

SOLUCION:

En el ejercicio la fuente o emisor es el tren y el receptor u observador es la persona parada en

el andén. Conocemos la frecuencia del observador que es 580 Hz y la de la fuente que es 600

Hz. Con esta información ya podemos dilucidar que el tren se está alejando porque el

observador recibe una onda de menor frecuencia y más grave. Esto nos permite

descartar como opciones correctas a las opciones a, b y c. Ahora calculemos la velocidad con la

cual el tren se aleja. Considera vs= 340 m/s. Para ello planteamos la ecuación del efecto

Doppler:

fobs = ffuente * vs entonces v = ffuente * vs – v

vs+v fobs

v= 600Hz*340 m/s) -340 m/s = 11.72 m/s

580 Hz

En conclusión el tren se está alejando a una velocidad de 11.72 m/s. Opción F

Ejercicio 2

Una fuente sonora emite un sonido de cierta intensidad (I1). Simultáneamente otra fuente

sonora emite un sonido de la misma intensidad; entonces el nivel de intensidad del sonido

resultante (β) es:

a) β = β1 + 2 dB b) β = β1 + 3 dB c) β = β1

d) β = β1 + 1/2 dB e) β = β1 + 1/4 dB f) β = β1 + 4 dB

Cuando un cuerpo vibra produce el desplazamiento de las moléculas de aire próximas a él, que

a su vez chocan con las moléculas vecinas y estas con las suyas. Esto provoca cambios en la

densidad y presión del aire, que se propagan como una onda longitudinal que constituye una

onda acústica.

El sonido corresponde a una onda de presión armónica, cuya amplitud está dada por la

siguiente relación:

70

Donde ρ es la densidad del aire, v es la velocidad de propagación y Δx0 la amplitud máxima del

desplazamiento de las moléculas de aire.

La amplitud de una onda es el grado de movimiento de las moléculas de aire en la onda.

Cuanto mayor es la amplitud de la onda, más intensamente golpean las moléculas el tímpano

y más fuerte es el sonido percibido. La amplitud de una onda de sonido puede expresarse en

unidades absolutas midiendo la distancia de desplazamiento de las moléculas del aire, o la

diferencia de presiones entre la compresión y el enrarecimiento, o la energía transportada.

La intensidad de una onda acústica está relacionada con la presión máxima p0, con la densidad

del medio ρ y con la velocidad de propagación v:

El sonido corresponde a una percepción que depende de la interpretación que hace el cerebro,

de las ondas acústicas. Por esta razón se utiliza el término “sensación sonora” para describir la

sensación psicológica del nivel de intensidad de sonido (β). Este último, β, es proporcional al

incremento relativo de la intensidad del sonido (I), por lo tanto se puede deducir que:

Donde I0 es una intensidad de referencia, que de manera práctica se emplea el valor del límite

inferior de la audición humana (umbral auditivo I0 = 1.10-12 W/m2).

A partir de la ecuación anterior, podemos deducir que cuando la intensidad del sonido I

coincide con el umbral auditivo I0, el nivel de intensidad de sonido β será igual a cero. De esta

manera se fija el límite inferior o cero de la escala de sonido. El empleo de esta escala

logarítmica es muy útil, debido a que el oído humano es capaz de responder a ondas acústicas

con un amplio rango de valores de intensidad, que pueden variar en 12 órdenes de magnitud.

Por ello se establecen las unidades del nivel de intensidad de sonido β como decibelios (dB).

SOLUCION:

Si una fuente sonora emite un sonido de intensidad I1 y simultáneamente otra fuente emite un

sonido de la misma intensidad, entonces la intensidad resultante será la suma de ambas

intensidades:

Luego reemplazamos la deducción anterior en la ecuación de nivel de intensidad del sonido,

entonces nos queda:

Por propiedades de logaritmos, podemos decir que el logaritmo de un producto es la suma de

los logaritmos de los factores:

71

Aplicando esta propiedad a nuestro ejercicio, tenemos que:

(

)

Resolviendo el segundo término de la ecuación:

Definimos a β1 como el nivel de intensidad de sonido de una sola fuente:

Por lo tanto, podemos decir que el nivel de intensidad de sonido resultante será:

La respuesta correcta es la opción B

Ejercicios para resolver

1-En una cuerda (C1) sujeta a una tensión T se generan ondas armónicas de frecuencia f=

3Hz. En otra cuerda (C2) idéntica y sujeta a la misma tensión que C1 se genera una onda con

frecuencia 2Hz. Las ondas tienen amplitudes iguales. La figura que ilustra las formas de las

cuerdas en un instante dado es:

a) A

b) B

c) C

d) D

2) Cuando se aplica un pulso al extremo de una cuerda tensa que se encuentra en reposo se

genera una onda cuya velocidad es 2,5 m en 0,01 s. Luego, y bajo las mismas condiciones

iniciales, se hacer oscilar ese mismo extremo de la cuerda en forma armónica con una

frecuencia de 250.

72

a) ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas?

b) ¿Cuál es la longitud de la onda armónica?

3- Una antena de radar emite ondas electromagnéticas de longitud de onda 0,03 m, durante

0,5 s. Sabiendo que las ondas electromagnéticas se propagan con velocidad de 300.000.000

m/s,

a) ¿Cuál es la frecuencia de la onda?

b) ¿A qué distancia de la antena se halla el frente de onda en el instante en que cesa la

emisión?

4) Una antena emite una onda electromagnética que se propaga en el vacío con una frecuencia

de 50 kHz.

a) Calcule su longitud de onda

b) Calcule la frecuencia de una onda sonora de la misma longitud de onda que se

propaga en el aire.

5) La frecuencia de los sonidos audibles está comprendida entre los 20 y 20000 ciclos por

segundo. Cuál es el intervalo de longitud de onda de estos sonidos si se propagan a 344 m/s

en el aire?.

6) Una fuente de sonar (envía un pulso de sonido que rebota en los objetos) utilizada para

detección subacuática emite pulsos de 0,1 s de duración cada T segundos. ¿Cuánto debe valer

T, como mínimo, para que el eco sea recibido antes de la emisión del pulso siguiente, al

reflejarse en objetos a una distancia de a) 50 m, b) 1 km? (velocidad del sonido en agua =

1.500 m/s).

7) En un estudio del cerebro, los ecos en la pared derecha del cráneo, en la línea media del

cerebro y en la pared izquierda del cráneo se observan tras tiempos de 0,1 10-4, 1,26 10-4 y

2,4 10-4 segundos, respectivamente. Si la velocidad del sonido en el tejido cerebral es 1.540

m/s:

a) ¿Cuánto se halla desplazada la línea media?

b) ¿Qué hemisferio del cerebro es mayor?

8) La intensidad acústica a nivel del suelo de la explosión de un proyectil antiaéreo a 1000 m

de altura es 10-3 W/m2.

a) ¿Cuál es la potencia acústica total liberada?.

b) ¿Cuál es la energía acústica total liberada durante la explosión si ésta dura 0,1 s?.

9) La intensidad sonora de una gran orquesta es la misma que la de 216 trompetas. ¿Cuál es

la razón de la amplitud de presión producida por una orquesta a la producida por una sola

trompeta?

10) El oído humano puede acomodarse a un amplio intervalo de intensidades de ondas

sonoras: desde 10-12 W/m2 aproximadamente (que normalmente se toma como el umbral de

audición) hasta 1 W/m2 (que produce una sensación dolorosa en la mayoría de las personas).

Cuál es la amplitud de presión en el aire del sonido en el umbral de sensación de dolor?.

Considerar la densidad del aire = 1,05 kg/m3; v= 344 m/s.

11) a) Calcular la fuerza que soporta la membrana del tímpano para una presión de 28 Pa

(sensación de dolor) (suponer que la membrana del tímpano tiene 0,5 cm de radio, la densidad

del aire es 1,05 kg/m3 y v = 344 m/s

73

b) Obtener la presión y la fuerza producida por el movimiento de las hojas de un árbol

como consecuencia de una brisa (30 dB referidos a 10-12 W/m²).

c) Hallar el cociente entre las fuerzas calculadas.

12) Si hay dos sonidos y uno de los cuales es 10 dB más intenso que el otro, cual es la razón

de las intensidades de ambos sonidos?

13) ¿Cuál es la intensidad de un sonido que es 5 dB más alto que un sonido de

intensidad sonora igual a 10-9 W/m²?

14) Un automóvil se mueve por una ruta con una velocidad constante de 108 km/h y toca la

bocina, que emite un tono puro a una frecuencia de 600 Hz. Un vendedor, sentado al borde de

la ruta lo observa acercarse, pasar por delante y alejarse. Calcular las frecuencias que percibe

el vendedor:

a) al acercarse,

b) al pasar delante y

c) al alejarse el automóvil (velocidad de propagación del sonido en el aire 344 m/s).

15) Un murciélago emite chillidos de corta duración a una frecuencia de 80000Hz. Si vuela

hacia un obstáculo con una velocidad de 20m/s, ¿cuál es la frecuencia de la onda reflejada que

capta el murciélago?

16) Un tren pasa frente a una estación con velocidad 40 m/s. El silbato del tren tiene

frecuencia 320 Hz.

a) Determinar el cambio de frecuencia que siente una persona parada en la estación

cuando pasa el tren

b) Determinar la longitud de onda detectada por una persona en la estación cuando el

tren se acerca.

Ejercicios de opción múltiple

1) La máxima amplitud de presión de una onda sonora tolerable por el oído humano es

aproximadamente 28 Pa. A que intensidad del sonido le corresponde dicha amplitud si la onda

se propaga en el aire a temperatura ambiente (densidad del aire: 1,05 kg/m3 y velocidad de

propagación del sonido en aire a 20 °C 344 m/s)?:

a) 1,09 W/m2; b) 10,9 W/m2; c) 11,9 W/m2; d) 28 W/m2; e) 1,19 W/m2; f) 2,8 W/m2

2) Una emisora de radio FM opera a 100 Mhz. La longitud de onda de la emisión

electromagnética de esta FM es:

a) 3 1018 m b) 3 m c) 3 1016 m d) 33 m e) 0,33 m f) 333 m

3) Una persona acaba de llegar a la estación de trenes y escucha el silbato de la locomotora

del tren al que debe subirse para llegar a destino. La frecuencia del silbato que la persona

escucha es de 770 Hz, mientras que el maquinista del tren lo escucha con una frecuencia de

820 Hz. Esta información me indica que:

a) la persona perdió el tren porque se está alejando de la estación a una velocidad de 79

km/h.

b) la persona perdió el tren porque se está alejando de la estación a una velocidad de 36

km/h.

74

c) la persona perdió el tren y este se está alejando de la estación a una velocidad de 75

km/h.

d) la persona alcanza a tomar el tren porque se está acercando a una velocidad de 36

km/h.

e) la persona alcanza a tomar el tren porque se está acercando a una velocidad 79 km/h.

e) la persona alcanza a tomar el tren porque se está acercando a una velocidad 75 km/h.

4) El nivel de intensidad del sonido a 10 metros de una fuente sonora es de 60 dB. Si la fuente

emite uniformemente en todas las direcciones en el aire, entonces el nivel de intensidad a 100

metros de la fuente es:

a) 60 dB b) 70 dB c) 40 dB d) 100 dB e) 50 dB f) 6 dB

5) Dos automóviles accionan simultáneamente sus bocinas en el instante en que una persona

cruza la avenida. El nivel de intensidad sonora de cada bocina, en el lugar donde se encuentra

la persona es de 100 dB. El nivel de intensidad sonora registrado por la persona es de:

a) 130 dB b) 173 dB c) 150 dB d) 100 dB e) 200 dB f) 103 dB

6) Cual de los siguientes enunciados es falso:

a) El sonido se propaga a menor velocidad en el aire que en el agua.

b) Para el sonido en el aire, a mayor amplitud corresponde mayor intensidad.

c) Para el sonido en el aire, a mayor frecuencia corresponde menor longitud de onda.

d) Las ondas mecánicas no se propagan en el vacío.

e) Una onda es transversal cuando se propaga en forma perpendicular al plano de la

vibración.

f) El sonido es una onda mecánica transversal.

7) Una persona que está escuchando la radio decide aumentar la potencia de emisión del

sonido en un 15%. ¿Cuál es el aumento del nivel auditivo con el que va a escucharla?

a) 0,2 dB b) 0,6 dB c) 1,5 dB d) 2dB e) 3dB f) 15dB

8) El nivel de intensidad sonora que resulta de escuchar dos sonidos diferentes de 80 dB y de

86 dB en forma simultánea es:

a) 90 dB b) 6 dB c) 87 dB d) 86 dB e) 83 dB f) 166 dB

75

Resultados de los ejercicios

Cinemática No se dan las respuestas de los ejercicios donde se tienen que plantear las ecuaciones horarias

o realizar gráficos.

1) b1)-20 Km/h; b2) -20 Km/h; b3) 40 km/h

2) De elaboración propia

3) a) V= 5,55.10-3 mm/s V= 2 cm/h

4) b) 52,5 Km

c) 30 Km

5) b) Tramo 0-5 a= 8 m/s2; Vi = 0 m/s; Vf = 40 m/s

Tramo 5-9 a= -10 m/s2; Vi = 40 m/s; Vf = 0 m/s

Tramo 9-14 a= 0 m/s2; Vi = 0 m/s; Vf = 0 m/s

c) xt=9s = 180 m

6) b) y1(t=2) =40 m; V(t=2) = 10 m/s

y2(t=2) =10 m; V(t=2) = -20 m/s

y3(t=2) =0 m; V(t=2) = 2,77 m/s ( o 10 km/h)

8) a) Vi = 400 m/s

b) y max = 8000m

c) yt=25 s = 6875 m

d) t= 0,05s o 79,95 s

e) t= 80 s

9) a) y= 125 m

b) y1 = 105 m; Vf= 20 m/s

y2 = 55 m; Vf = -10 m/s

10) a) a= 2 m/s2

b) Vt=4 = 2 m/s

c) Si en t = 6s

11. a) La mayor aceleración esta al inicio de la curva con activadores. Pero, si tomamos una

concentración determinada, por ejemplo 2, la curva sin efectores (curva del medio) presenta

la mayor aceleración por presentar para esa concentración la mayor pendiente.

b) A concentraciones mayores de 8 la velocidad es aproximadamente constante para las

curvas con activador y sin efectores.

c) Las porciones de las curvas sin efectores (aproximadamente entre S= 2 y 3) y la curva

con inhibidor lineales para una concentración entre 3 y 6 aproximadamente.

d) Curva con activadores: es un movimiento desacelerado (aceleración negativa) y que

llega con aceleración cero en el último tramo.

Curva sin efectores: es un movimiento acelerado (aceleración positiva) en el primer tramo

hasta aproximadamente S=2; en el segundo tramo (entre S=2 y S=3) presentaría velocidad

constante; en el tercer tramo (a partir de S=3) estaría desacelerado (disminuiría su velocidad

(aceleración negativa) hasta detenerse).

Curva con inhibidores: es un movimiento acelerado en el primer tramo hasta S=3 (aunque con

una aceleración menor que la curva sin efectores); en el segundo tramo (S03 y S=6)

presentaría velocidad constante y en el último tramo estaría desacelerado (aceleración

negativa).

12) La mayor velocidad de crecimiento se presenta al inicio del crecimiento (durante los 6

primeros meses) tanto para niños y niñas, para luego comenzar a desacelerar hasta

aproximadamente 1,5 años, momento en el cual ambos adquieren velocidades decrecimiento

en estatura aproximadamente constante (aunque visiblemente menor que en los primeros

meses), para finalmente desacelerar hasta detener el crecimiento. La velocidad en el periodo

con crecimiento aproximadamente constante es de 6,3 cm/año tanto para los niños como las

niñas.

76

b- El crecimiento es nulo a partir de los 15 en las mujeres y después de los 16,5 para los

varones (aproximadamente),a partir de los cuales la velocidad es cero.

c- La mayor velocidad de crecimiento se presenta en los primeros 6 meses a una velocidad

media de 3 cm/mes en ambos.

d- Si, a partir de los 12 años (aproximadamente) la velocidad de crecimiento es mayor a las

niñas que en los niños.

e- La aceleración es -5,25 cm/año2 (niñas) y -1,75 (niños)

Ejercicios de opción múltiple

13. Opción correcta E)

14. Opción correcta E)

15. Opción correcta E)

16. Opciones correctas A y B

17. Opción correcta D)

18. Opción correcta B)

DINAMICA 1) a) a=0.8m/s2 X=40m

b) a= 3.2 m/s2 X=160 m

2) Ejercicio de elaboración propia

3) a- Ejercicio de elaboración propia

b- a=1,54 m/s2

c- Fr= 1300N

4) a- a=0,57m/s2

b- T=141,43 N

c- X=2,56m

5) a- Ejercicio de elaboración propia

b- a=3,71m/s2

T31=25,16N

T12=13,71N

6) Ejercicio de elaboración propia

7) Ejercicio de elaboración propia

8) F=2000N

9) Fr= 399,32N

10) a) a0-2= 1m/s2 a2-4 = 0 1m/s2

b) X=6m

11) Ejercicio de elaboración propia

Ejercicios de opción múltiple

12) E

13) E

14) C

15) D

16) D

ENERGIA Y TRABAJO 1) a) Vf = 2,45 m/s b) h = 0,8 m c) De elaboración personal d) LFNC = - 6 J

2) a) LFNC = 5,32.108 J ; LFroz = 1,06.109 J b) Ecin = 5,32.108 J

3) Ecin = 100 J

4) a) Falso b) Verdadero c) Falso d) Falso e) Falso f) Falso

5) XEmec/FNC = 0.987

6) a) LFNC = 1000 J b) LFp = 1000 J

7) De elaboración personal

77

8) a) F = 16 N b) De elaboración personal

9) a) P = 1000 W; 1,34 HP b) P = 10 W; 0,01 HP c) P = 1000 W; 1,34 HP

10) a) Δx = 0,32 m b) Vf = 10,9 m/s c) De elaboración personal d) 5 choques al resorte

11) t = 19,35 días

Ejercicios de opción múltiple

12) D

13) D

14) E

15) D

16) D

17) A

HIDROSTATICA 1) P1=P2= 0,275 kgf/cm2

= 206,28 mmHg

= 275 hPa

= 4 PSI

= 0,27 atm

2) δa= 8000 N/m3

3) h= 13,3 cm

4) P= 307,50 hPa

F= 2,42 x 10 6 N

5) P cadete= 1000 hPa

P 3 estrellas= 4960 hPa

P(abs) prof.= 10,87 atm

6) h= 1,47cm

7) h= 10,34 m

8) F= 3200 N

h= 0,62cm

Opción múltiple

9) opción C

10) opción E

11) opción A

HIDRODINAMICA

1) ejercicio de elaboración personal.

2) Pf-Pi= -126,56 hPa

3) vi= 0,40m/s

vf= 1,60m/s.

4) v2=3,14m/s.

Pf-Pi= -24,94 hPa

5) aumenta un 125% (Q2=2,25Q1)

6) a) ΔP= 833,6 Pa

b) ΔQ= 2,35 x 10-8 m3/s

7) 2,5cm2

8) R= 0,0217 Pa.s/cm3

ΔP=1,74 Pa

9) a) ΔP=0

b) ΔP=17,92 Pa

c) ΔP=10Pa

d) ΔP=6,92 Pa

78

e) ΔP=6,95 Pa

f) De elaboración propia.

10) Q= 240 l/min

11) a) R= 1,52 x 10 8 Pa.s/m3

b) pot= 1,05 watt

c) R= 7.197 x 10 7 Pa.s/m3 Pot=4.5 watt

12) a) RT=2/3R

b) RT= 3/2R

13) a) RT= 3/2R

b) Qt=Q1= Q2 +Q3 Q2=Q3= ½ Q1

c) ΔP1= RQ ΔP2 y 3= 1/2RQ ΔPT=3/2QR

14) a- n° cap≈1 x10 9

Q cap=8,37x10 -14 m3/s

b- v aorta= 0,26m/s v cap=0,0004m/s

Ejercicios de opción múltiple

15) opción A

16) opción E= 25ml/s

17) opción C

18) opción F

19) opción D 0,48m/s ΔP=16

20) opción D

21) opción A

GASES 1) P=0,25 atm

2) V= 11,28 L

3) P= 2,73 atm

4) a) n=245,5 moles

b) m=6,87 kg

c) T=138 °C

5) a) PpO2= 65,3 atm

b) t= 6,9 hs

6) PpO2= 1,27 atm y PpN2= 2,69 atm

7) h= 28m

FENOMENOS DE TRANSPORTE 1) a- 308 mOsm

b- De elaboración personal

2) 3,06 mg/100 ml

3) 0,33 osmol/l

4) el suero glucosado tiene una presión osmótica de 14,1 atm por lo que el agua saldrá del

interior de las células.

5) 7,71x 10-7 g/s; 1,54x 10-5 moles

6) 0,015 atm

7) 0,24 atm

8) 0,61 s

9) 0,0078 W

79

10) 0,74 cm/s

11) 8,2 g/m3

12) a) 0,0133 atm (glucosa) y 0,0070 atm (sacarosa)

b) 6,4 cm

13) 47,3 J

14) 2,5.10-6 s

ELECTROSTATICA

1) 1,35 N; 1,349 N; 0,017 N

2) 20 N; 7,2 N; 12,8 N

3) 1,47.105 N/C; 6,75.106 N/C

4) alineada con q1 y q2 a 2,5 cm de esta y del lado opuesto a q1.

5) 0.1 Volt; -5.10-7 J

6) 2,26 . 1011 N/C

7) 1560 V

8) 4 mC

9) 6,4 . 106 V/m

10) 7,1 mF; 7.107 V/m: -0.07 eV (-1,12x 10-20 J); 0.07 eV (1,12x 10-20 J).

11) 6,5 10-7 F; 23 C; 4 108 J

12) 1,7 10-8 F

13) 8,5 10-11 J; 8,5 10-9 W

14) 4 104 W

15) 21,6 mC

16) a)CT=2mF b) q1 = 4mC; q2 = 8mC; q3 = 12 mC; V1 = 4V V2 = 4V V3 = 2V

17) 720 C; 4320 J

Ejercicios de opción múltiple

1) d; 2) b; 3) a; 4)f; 5)d; 6) e; 7) e

ELECTRODINAMICA

1) a) 24V;

b) 45

c) Pfuente = 21,6W P40WPRW P15W P30W

d) Voltímetro= 28,8 V; Amperímetro= 0,24 A

2) 74,8 W

3) Figura 2

4) a) Dos resistencias en paralelo conectadas en serie con otras dos resistencias en paralelo.

Otra opción es: dos resistencias en serie conectadas en paralelo con otras dos resistencias

en serie.

b) Todas las resistencias en paralelo

5) Energía consumida en 30 días: 738 kWh

6) d

7) b

8) c

9) a

10) c

ONDAS-SONIDO

1) D

2) a) V2 = V2 = 250 m/s; b) = 1 m

3) a) 1.1010 Hz b) 1,5.108 m

4) a) 6000 m b) 0,057 Hz

5) 17,2m y 0,0172m

80

6) a- T=0,0675 s b-1,43s (1,33 s + 0,1 s de la emisión)

7) desviac: 0,075cm DERECHO 8,93 cm (mayor)

8) a) 12560 W b) 1256 J

9) 14,7

10) Presión = 26,9 Pa

11) a) F=2,2.10-3 N b) P=8,5 .10-4 Pa y 6,7 .10-8 N c)relac 33.000

12) 10

13) 3,16 10-9 W/m2

14) a) 656 Hz

b) En el instante en que el auto pasa frente al vendedor hay una discontinuidad en la

frecuencia percibida. Salta casi instantáneamente desde 656 hasta 552 Hz.

c) 552 Hz

15) fo=90526 Hz (considerando vaire=344 m/s)

16) a)75 Hz b)0,84m (considerando vaire=344 m/s)

Ejercicios de opción múltiple

1) A

2) B

3) A (considerando vaire=344 m/s)

4) C (40dB)

5) F (103 dB)

6) F

7) B (0,6 dB)

8) C (87 dB)