cuerpo de profesores de enseñanza secundaria · tomo 1, barcelona (españa), editorial reverté....

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Física y Química

Cinemática. Elementos para la descripción del movimiento.

Movimientos de especial interés.

Métodos para el estudio experimental del movimiento

4

Queda expresamente prohibida la difusión o transmisión de los materiales puestos a disposición del opositor/a

www.eponline.es Física y Química. Tema 4

1

TEMA 4

CINEMÁTICA. ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIÓN DEL

MOVIMIENTO. MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERÉS.

MÉTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MOVI-

MIENTO

Índice

0. Introducción ................................................................................................................................... 3

1. Cinemática ..................................................................................................................................... 3

2. Elementos para la descripción del movimiento ................................................................................. 4

2.1. Sistemas de referencia....................................................................................................... 4

2.2. Vector de posición de un móvil ......................................................................................... 5

2.3. Vector velocidad .............................................................................................................. 6

2.4. Vector aceleración ............................................................................................................ 8

2.5. Componentes intrínsecas de la aceleración ......................................................................... 9

2.6. Concepto de radio de curvatura ...................................................................................... 12

3. Movimientos de especial interés .................................................................................................... 12

3.1. Movimiento uniforme..................................................................................................... 12

3.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado .............................................................. 13

3.3. Movimiento circular uniforme ........................................................................................ 15

3.4. Movimiento circular uniformemente acelerado ................................................................ 15

3.5. Movimiento armónico simple .......................................................................................... 16

3.6. Composición de movimientos rectilíneos ......................................................................... 17

4. Métodos para el estudio experimental de los movimientos .............................................................. 23

4.1. Métodos tradicionales de laboratorio de mecánica ............................................................ 24

4.3. Utilización de puertas fotoeléctricas ................................................................................ 25


2

4.4. Aplicaciones para móvil (apps) ....................................................................................... 26

4.5. Simulaciones informáticas interactivas para física y química. ............................................ 27

5. Conclusión ................................................................................................................................... 28

Bibliografía

• Tipler, P. y Mosca, G., (2003), Física para la Ciencia y Tecnología, volumen 1A: Mecánica

(5º edición), Barcelona (España), Editorial Reverté.

• Tovar J. y Hernández J., (2012), Fundamentos de Física: Mecánica (3º edición revisada y

aumentada)., Jaén (España), editorial Universidad de Jaén, colección Ingeniería y

Tecnología, serie Techné.

• Serway A. y Jewett J. Jr., (2008), Física para ciencias e ingeniería, México, Editorial

Cengage Learning Latinoamérica.

• Alonso, M. y Finn, E. J., (1970), Física Vol. 1 Mecánica, México, Addison-Wesley

Iberoamericana.

• Ortega Girón, M. R., (1989), Lecciones de Física, Mecánica 1, Córdoba (España),

Departamento de Física Aplicada, Universidad de Córdoba.

• Eisberg, R. M. y Lerner L. S., (1981), Física: Fundamentos y Aplicaciones, Madrid (Es-

paña), McGraw-Hill.

• Guerra, M., Correa, J., Núñez, I. y Scaron, J. M., (1984), Física. Elementos Fundamenta-

les. Mecánica y Termodinámica Clásica. Tomo 1, Barcelona (España), Editorial Reverté.


3

0. Introducción

En el presente tema vamos a estudiar la parte de la física que describe el movimiento de

un cuerpo. Para ello, debemos comenzar introduciendo las magnitudes físicas necesarias,

como posición, velocidad y aceleración, definidas como vectores, lo cual significa que

tienen tanto magnitud como dirección y sentido. Desarrollaremos ecuaciones sencillas

para la descripción de distintos tipos de movimientos, y posteriormente estudiaremos su

aplicación en casos concretos, como el tiro parabólico o movimiento de proyectiles. Por

último, veremos diferentes métodos para el estudio experimental del movimiento, desde

los métodos tradicionales hasta métodos más actuales.

1. Cinemática

La mecánica es la parte de la física que estudia las relaciones entre fuerza, materia y

movimiento, y se divide en cinemática y dinámica. La cinemática describe el movimiento

de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, que son las fuerzas, mien-

tras que la dinámica incluye las fuerzas.

El movimiento es el fenómeno físico más familiar, y el más frecuente y general de la Na-

turaleza. Todos los fenómenos básicos que estudia la Física están originados en su natura-

leza íntima por movimientos de determinadas entidades, así por ejemplo:

- La electricidad constituye el movimiento de cargas en conductores.

- El Magnetismo está originado por el movimiento de cargas.

- El Calor tiene su origen en el movimiento molecular.

- La Luz, como toda onda electromagnética, tiene su origen en el movimiento vibra-

torio de partículas cargadas.

- El Sonido, como toda onda mecánica, se origina por el movimiento oscilatorio de

partículas en un medio material.

El estudio del movimiento tanto desde el punto de vista cinemático como del dinámico,

constituye la base fundamental de la Mecánica y por consiguiente de toda la Física.


4

2. Elementos para la descripción del movimiento

2.1. Sistemas de referencia

Para un estudio correcto del movimiento hemos de elegir en primer lugar un sistema de

referencia (generalmente establecido por un sistema de coordenadas) al cual referir la

posición de un punto material mediante unas coordenadas numéricas. El punto estará en

reposo cuando las coordenadas respecto al sistema de referencia no varíen con el tiempo, y

estará en movimiento cuando al menos una coordenada varíe con el tiempo.

Generalizando la definición a un cuerpo formado por muchos puntos materiales,

diremos que está en movimiento cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus

puntos varía con el tiempo. En esta definición de movimiento quedan englobados todos

los tipos de movimiento que un cuerpo pueda tener: traslación, rotación, vibración, de-

formación, etc.

Consideraremos en cinemática el movimiento del cuerpo más sencillo, el punto

material o partícula material cuyas dimensiones pueden despreciarse al estudiar el

movimiento. La aplicación del concepto del Punto Material a los sistemas reales de la

naturaleza depende de las condiciones específicas del problema; así por ejemplo, los

planetas pueden considerarse puntos materiales cuando se estudian sus movimientos

alrededor del Sol referido a un sistema de referencia fijo en éste, pero no pueden

considerarse puntos materiales si se estudian los movimientos de rotación alrededor de

sus propios ejes.

El movimiento es un concepto relativo pues debe referirse a un sistema particular de

referencia elegido arbitrariamente y considerado fijo. Las observaciones hechas en la

Tierra están referidas a un sistema referencial situado en ella y por ende, en movimiento

con la propia Tierra. Los astrónomos prefieren referir el movimiento estelar a un sistema

de “estrellas fijas” aunque el sistema adolece del mismo defecto pues estos puntos con-

siderados fijos, aunque poco, varían sus posiciones con el tiempo.

El sistema de referencia fijo absoluto no existe, por imposibilidad de fijar dicho sistema

en el espacio, ya que implicaría a su vez otra referencia fija por si misma de manera

absoluta.

Normalmente debe elegirse el sistema de referencia que permita que las observaciones,

medidas y análisis de los datos del sistema físico estudiado, sean lo más sencillos posible.

El movimiento tiene el mismo carácter, tanto si está referido a un hipotético sistema fijo

absoluto como si está referido a unos sistemas animados con movimiento uniforme (v=cte)


5

respecto de los primeros. Por ello, para referir un movimiento, bastará considerar como

sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslación uniforme,

que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos.

El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales, o sea, con movimiento de

traslación no uniforme (con aceleración) o con movimiento de rotación, es un tema de

considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con

el movimiento de gran alcance como el de satélites artificiales, cohetes intercontinentales,

cápsulas espaciales, masas de aire, corrientes marinas, etc. Pero no se tratará en este tema.

2.2. Vector de posición de un móvil

La posición de un punto móvil en el espacio queda fijada por el vector de posición, r

trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posición del móvil P. Las componentes

del vector r

(x, y, z) serán las coordenadas del punto móvil en ese instante. El móvil, en su

movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P.

El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres

coordenadas del vector como funciones del tiempo:

)(txx = )(tyy = )(tzz =

llamadas ecuaciones paramétricas del movimiento. En cada instante t, los valores de x, y, z

corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el móvil en dicho instante.

Físicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en

tres movimientos rectilíneos sobre los tres ejes coordenados.

De las ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), z = z(t) se deduce la ecuación de la

trayectoria del punto móvil con sólo eliminar entre ellas la variable independiente t.

El vector de posición vendrá dado por la expresión vectorial:

ktzjtyitxtrr

)·()·()·()( ++==

expresión que determina r

para cualquier instante t y se puede escribir de modo genérico

como: )(trr

= que es la ecuación vectorial del movimiento.


6

La distancia recorrida por el móvil es la suma de todas las longitudes recorridas en los

sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t). Esta

distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella, el problema

cinemático consiste en determinar el camino recorrido en función del tiempo, es decir:

s = s(t)

Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemáticos. El primero de

ellos y más general, partiendo del vector de posición )(trr

= del que se derivarán todas las

ecuaciones vectoriales del movimiento, válidas cualquiera que sea la trayectoria e

independiente del sistema de referencia. Un segundo aspecto, más limitado, determina

únicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresión s=s(t), de la que

se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria, para lo cual es

necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria: s=0 para referir a él las

distancias recorridas y demás variables cinemáticas.

2.3. Vector velocidad

Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posición del móvil en cada

instante, que vendrá dada por el vector de posición y la variación de esta posición con el

tiempo, que vendrá dada por el vector velocidad.

Si un móvil se encuentra en un instante dado en la posición P (dada por el vector de

posición r

) y un intervalo t después se encuentra en Q (dada por el vector de posición r

+ r

) el móvil ha sufrido un desplazamiento vectorial r

y ha recorrido un intervalo de

trayectoria s y son, por definición, diferentes y no coincidentes. Sólo en el caso límite de

que el intervalo de tiempo sea infinitesimal, ambos conceptos serán coincidentes en el

gráfico y el módulo de r

coincidirá con s.

Se define el vector velocidad media mv

como el

cociente:

t

rvm

=

que es un vector de dirección y sentido idéntico al vector

desplazamiento r

, pues el escalar t será siempre

positivo. La dirección del vector desplazamiento y por ello

la del vector velocidad media, es la dirección de la cuerda

del arco PQ.


7

Análogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al

cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado:

t

svm

=

Ambas velocidades medias, una vectorial y otra escalar, no son generalmente, de igual

módulo pues sr

, como puede apreciarse en la Fig.2.

Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequeños que tiendan a cero,

el vector velocidad quedará referido a un intervalo infinitamente pequeño, y se llamará

vector velocidad instantánea o simplemente vector velocidad:

dt

rd

t

rlimvt

=

=

→ 0 (a)

Análogamente se definirá la velocidad instantánea sobre la trayectoria como:

dt

ds

t

slimvt

=

=

→ 0 (b)

Ambas expresiones están relacionadas entre sí como demostraremos a continuación. Si

consideramos el vector velocidad instantánea:

t

slim

s

rlim

s

s

t

rlimv

tst

=

=

→→→ 000..

El 1er límite es un vector de módulo 1 ya que r

y s tienden a ser iguales cuando

s→0, pues el arco (s) y la cuerda ( r

) se confunden cuando se hacen infinitamente

pequeños y tiene dirección tangente a la trayectoria. La dirección de r

(inicialmente

secante a la curva) tiende hacia una dirección tangente cuando s se hace infinitamente

pequeño. Por tanto, el primer límite representa un vector unitario tangente a la trayectoria

en el punto:

t

su

ds

rd

s

rlim

==

→ 0 (vector unitario tangente) pues 1=

→ PQ

PQlim

QP

El 2º límite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria, calculada

en un intervalo reducido que tiende a cero:

vt

slimt

=

→ 0 (velocidad instantánea sobre la trayectoria)

Finalmente resultará: tuvv

·= (c)

el vector velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por

módulo la velocidad instantánea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos


8

simplemente celeridad. (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto

de su módulo por un vector unitario en la dirección del vector).

Teniendo en cuenta la expresión de:

ktzjtyitxr

)·()·()·( ++=

el vector velocidad también puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-

vada del vector de posición:

kdt

tdzj

dt

tdyi

dt

tdx

dt

rdv

)()()(++==

y la celeridad, o módulo de la velocidad, será:

2/1222

+

+

==

dt

dz

dt

dy

dt

dxvv

que será una función del tiempo, como lo son las componentes dx/dt, dy/dt y dz/dt.

2.4. Vector aceleración

El movimiento de un punto material, en su forma más general, tiene en cada punto de

la trayectoria un vector de posición y un vector velocidad diferentes, lo que significa una

variación de la velocidad tanto en módulo como en dirección y sentido.

En el instante t la velocidad del punto móvil

situado en P es v

y después de transcurrido un

intervalo de tiempo t, es decir en el instante t+t,

la velocidad del móvil, situado en Q es v

+ v

.

Definimos el vector aceleración media al cociente

entre la variación del vector velocidad y el

intervalo de tiempo transcurrido. Es un vector que

tiene la misma dirección y sentido que v

:

t

vam

=

Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, que tienda a cero,

podemos definir el vector aceleración instantánea o simplemente el vector aceleración

como el valor en el límite, de la relación V/t cuando t tiende a cero, es decir:

2

2

0 dt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

vlimat

=

==

=

→


9

El vector aceleración tendrá por componentes:

kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdk

dt

dvj

dt

dvi

dt

dva z

yx

2

2

2

2

2

2

++=++=

y su módulo será:

2

2

22

2

22

2

2

+

+

==

dt

zd

dt

yd

dt

xdaa

2.5. Componentes intrínsecas de la aceleración

De la propia definición del vector aceleración a

se deduce que, en general, no es ni

tangente a la trayectoria (pues implicaría una dirección constante en V

) ni perpendicular a

ella (pues implicaría un módulo constante en V

), y por ello puede ser descompuesto en

dos componentes, una tangente y otra perpendicular a la trayectoria, que se llamarán

componentes intrínsecas de la aceleración. Dichas componentes están situadas en un

sistema de coordenadas intrínseco al móvil, con ejes tangente y normal a la trayectoria e

independiente de cualquier sistema de referencia.

Aplicando la definición de a

a la expresión del vector velocidad, resultará:

( )dt

udvu

dt

dvuv

dt

d

dt

vda ttt

··· +=== (d)

como vemos, a

tiene dos componentes vectoriales, una de ellas es tangente a la

trayectoria, de módulo dv/dt, que llamaremos aceleración tangencial.

El último término de la expresión (d): dut/dt se transforma en:

vds

ud

dt

ds

ds

ud

dt

ud ttt ..

== (V=celeridad o módulo de la velocidad) (e)

y el factor dsud t /

es un vector que representa la deri-

vada del vector unitario tangente (de módulo cons-

tante) con respecto al arco. Se demuestra así: como tu

es un vector unitario, su derivada dsud t /

respecto a

un escalar es perpendicular a tu

. Estos vectores están

en el llamado plano osculador, determinado por dos

tangentes consecutivas a un punto, y el vector dsud t /

tiene la dirección de la normal principal, (perpendi-

cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)

FIG.4

ut ut

ut utut

s

r

+

rr

r

+

C

QR

C

S

P

O

s=r.


10

y su sentido es el de la concavidad, por consiguiente:

ntt u

ds

ud

ds

ud

·= (f)

Calculemos ahora el módulo de dsud t /

. Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig. 4,

y sean tu

y tu

+ tu

los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q,

respectivamente. (Por Q se traza el equipolente a tu

. En el plano osculador se trazan las

perpendiculares a la curva en P y Q. Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el

arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede

escribir ∆s=r·∆ϕ).

En el triángulo QRS, que es isósceles por ser tt uuu

+= se cumple:

2·sen2

2·sen·2

=

= tt uu

pues 1=tu

dividiendo por ∆s resultará:

ssss

u t

=

=

=

·

2

2sen

·2·sen2

2·sen2

y pasando al límite para ∆s→0, resultará:

slim

s

ulim

s

t

s

=

→→

00

pues 1

2

2sen

0=

→

lim

y por ello: ds

d

ds

ud t = y considerando que ∆s=r·∆ϕ → ds=r·dϕ

resultando: rds

ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura.

Por tanto, sustituyendo en (f): nt u

rds

ud

·1

= y luego sustituyendo en (e):

nt u

r

v

dt

ud ·= y ésta finalmente en (c) resulta: nt u

r

vu

dt

dva

2+=

lo que demuestra que el vector aceleración a

no tiene ni dirección

normal ni dirección tangente a la trayectoria pues presenta dos

componentes en estas direcciones. Únicamente se puede asegurar

que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la

concavidad de la trayectoria. Las componentes son: FIG 5


11

Aceleración tangencial: tt u

dt

dva

= y su módulo

dt

dv

Aceleración normal (centrípeta): nn ur

va

·

2

= y su módulo r

v2

La aceleración tangencial ta

puede ser positiva si está dirigida en la dirección de v

y

negativa si está dirigida en sentido contrario a v

, y la aceleración normal na

es siempre

positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva. El módulo de la aceleración en función

de sus componentes será:

222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt

y el ángulo que forma la aceleración con la tangente a la trayectoria vendrá dado por:

t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==

Las componentes intrínsecas de la aceleración son de gran importancia en cinemática

pues nos da, cada una de ellas, un aspecto de la variación de la velocidad con el tiempo. La

aceleración tangencial nos da la variación del módulo de la velocidad con el tiempo y la

aceleración normal nos da la variación de la dirección de la velocidad con el tiempo. La

clasificación de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de

ellas se deducen sus ecuaciones.

El cálculo de las componentes intrínsecas también se puede realizar mediante el si-

guiente mecanismo vectorial:

Aceleración tangencial. De la derivada del vector de posición se obtiene el vector

velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleración, y a partir de

ambas se realiza su producto escalar:

v

vaayavvava tt

•

===• .cos..

y la dirección del vector unitario tangente será: v

vu

= luego: ( )

2v

vvauaa ttt

•

==

Aceleración normal. A partir de los mismos vectores a

y v

, realizamos su producto

vectorial:

navvava .sen.. ==

y v

vaan

=


12

y la dirección del vector unitario normal será: )(

)(

vav

vavun

=

como puede demostrarse fácilmente en la figura 3.

2.6. Concepto de radio de curvatura

Si tomamos tres puntos muy próximos sobre

una curva, P, P' y P", de las circunferencias tan-

gentes a la curva en P, la que tiene en dicho punto

un contacto tal que P' y P" pertenezcan a ella

cuando éstos tienden a confundirse con P, la

llamamos circunferencia o círculo osculador. E1

radio de este círculo lo llamamos radio de

curvatura y al centro, centro de curvatura. El

círculo osculador pertenece al plano determi-

nado por dos tangentes sucesivas a la curva, en P

y P', por ejemplo cuando ambos puntos tienden a

confundirse uno sobre otro. A este plano se le

denomina plano osculador.

FIG.6

3. Movimientos de especial interés

3.1. Movimiento uniforme

El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intrínsecas de la acele-

ración son ambas nulas, es decir: 0=na

y 0=ta

De la primera se deduce:

2van = y por ser v 0 → =

y el movimiento es de radio de curvatura infinito, o sea, movimiento rectilíneo.

De la segunda se deduce: dt

dvat = = 0 o sea: v = cte

y el movimiento tiene módulo de velocidad constante, es decir, es uniforme.

De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v

es constante en módulo,

dirección y sentido ( ctev =

) y como está definido por:


13

dt

rdv

= luego dtvrd .

=

que integrando: = dtvrd .

→ 00 rtvr

+=

donde 0r

es la constante de integración (vectorial) y

representa el vector de posición inicial, para el instante

inicial, t = 0. (Fig.7). FIG 7

Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C

del movimiento, todoslos vectores implicados en la ecuación, 0r

, r

y 0v

tendrán la misma

dirección y se podrá escribir: tvss o+= 0 , donde 0s , s y 0v serán los módulos de los

vectores correspondientes.

3.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intrínsecas de la aceleración

toman los valores: an = 0 y at = cte ≠ 0

De la primera se deduce como en el caso anterior, que el radio es infinito: r = y por

consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectilínea.

De la segunda se obtiene: dv/dt=at (constante) siendo ésta además la aceleración total

(por ser la única) pues:

ttnt aaaaa ==+=222

y como la aceleración tangencial tiene dirección tangente a la trayectoria igual que la

velocidad, se podrá escribir:

aadtvd t

==/ o bien: dtavd .

= e integrando: = dtavd .

resulta:

0. vtav

+=

siendo 0v

la constante de integración que corresponde con la velocidad inicial o velocidad

para t = 0.

Si sustituimos esta expresión en la ecuación de definición de v

resulta:

tavdt

rdv .0

+== o bien: dttadtvrd ...0

+=

e integrando: += dttadtvrd ...0

→ 200 .

2

1. tatvrr

++=


14

donde 0r

es la constante de integración que representa el vector de posición en el instante

inicial t = 0.

Si elegimos como origen de coordenadas un

punto situado en la propia trayectoria recta C del

movimiento, resultarán r

, 0r

, 0v

, a

, vectores

todos ellos de la misma dirección y podrán

escribirse las ecuaciones anteriores sólo con sus

módulos, es decir: FIG 8

2

00 .2

1. tatvss ++= y tavv .0 +=

Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuación de la

velocidad en función del espacio y la aceleración v=f(s,a):

despejando t de la segunda ecuación: a

vvt o

−=

y sustituyendo en la ecuación del espacio resulta:

...2

.2.

2

1 02

0

22

00

0

2

00

00 =−+

+−

+=

−+

−+=

a

vvvv

a

vvvs

a

vva

a

vvvss

a

vvs

a

vvvvvvvs

22

.22.2...

2

0

2

0

0

2

0

22

00

0

−+=

−++−+=

de donde: a

vvss

2

2

0

2

0

−=− resultando )(2 0

2

0

2 ssavv −+=

En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esté fuera de la trayectoria,

la expresión vectorial anterior:

2

002

1tatvrr

++= puede ponerse: 2002

1tatvrr

+=−

resultando que los vectores 0rr

− , 0v

y a

tienen todos la misma dirección como puede

apreciarse en la figura 8, y pueden escribirse por sus módulos llamando 0rrs

−=

resultando: 20

2

1attvs +=

Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado), la aceleración será

negativa y si el movimiento se debe a la acción gravitatoria en recorridos cortos muy

próximos a la superficie de la Tierra, la aceleración se puede considerar constante e igual a

a = g = 9’8 m/s2 = 980 cm/s2 y se denomina movimiento de caída libre.


15

3.3. Movimiento circular uniforme

Para este movimiento las componentes intrínsecas de la aceleración toman los si-

guientes valores: an = cte ≠ 0 y at= 0

De la segunda condición at=dv/dt=0 se deduce que v=cte y como la primera condición

implica: an=v2/=cte, de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de

radio . La aceleración total del movimiento será:

nnt aaaa

=+=

y la velocidad será constante en módulo pero no en dirección. En consecuencia, la

ecuación que nos dará el espacio recorrido por el móvil a lo largo de su trayectoria circular

es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectilíneo, midiendo los

espacios sobre la circunferencia: tvss .0 +=

En este tipo de movimiento interesa conocer el ángulo girado por el radio-vector que

une el centro con el móvil. Recordando que: Arco(m)=Radio(m).Angulo(rad)

resulta: S = ·ϕ y derivando respecto al tiempo, resultará:

dt

d

dt

ds ·= es decir

dt

dv

.=

Esta última derivada representa la variación del ángulo girado por el vector de posición

en la unidad de tiempo, a lo que se le llama velocidad angular y se representa por :

=d/dt, resultando: v=. ( → rad/s)

Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de

la circunferencia (plano de r

y v

) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos

(regla de Maxwell) y de módulo proporcional a su valor, por ello puede escribirse:

=v

expresión que también puede escribirse así:

=−= AOv

es decir, la velocidad tangencial v

es el momento del

vector velocidad angular

con respecto al punto A.

3.4. Movimiento circular uniformemente acelerado

En él, las componentes intrínsecas de la aceleración toman los siguientes valores:

an=v2/ cte t2 y at=dv/dt=cte


16

tendrá como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendrá

descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado:

2

002

1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0

2

0

2 ssavv t −+=

Como la velocidad no es constante, tampoco lo será la velocidad angular relacionada

con aquella mediante el radio : v=. y por ello derivando con respecto al tiempo,

resultará:

( )

..dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a = ·

donde =d/dt es la aceleración angular o variación de la velocidad angular con respecto

al tiempo. Se mide en rad/s2 en el sistema Internacional (S.I.).

Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en función de las magnitudes angula-res a

partir de: = d/dt y = d/dt e integrando:

= 0 + t 2 = 02 + 2

3.5. Movimiento armónico simple

Llamamos movimiento periódico a cualquier movimiento que se repite a intervalos

iguales de tiempo. Por ejemplo, el movimiento de una masa sujeta a un muelle, el movi-

miento de un péndulo, las vibraciones de los átomos de una molécula, etc. Cuando una

partícula que realiza un movimiento periódico se mueve alternativamente en un sentido y

otro sobre una misma trayectoria, recibe el nombre de movimiento oscilatorio.

El movimiento oscilatorio más importante es el movimiento armónico simple (M.A.S.),

por ser el más fácil de describir matemáticamente, y constituye un modelo exacto o

aproximado para muchos sistemas físicos.

Decimos que una partícula que se mueve a lo largo del eje X realiza un M.A.S. centrado

en el origen O de dicho sistema coordenado, cuando su desplazamiento X con respecto al

origen viene expresado en función del tiempo en la forma:

( ) += tAx sen.

donde A, y son constantes propias del movimiento armónico.

La distancia X que separa la partícula del origen O recibe el nombre de elongación. El

valor absoluto de la elongación máxima A se denomina amplitud. La cantidad t+


17

(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase

inicial para t=0.

Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2, la partícula completa una oscilación,

luego el periodo es T=2/. La frecuencia del movimiento es el número de oscilaciones

que se completan en la unidad de tiempo [=1/T (ciclos/s=herzios (Hz))].

La constante es la frecuencia angular o pulsación (=2=s-1).

La velocidad de la partícula que realiza un Movimiento Armónico Simple viene dada

por la derivada de la elongación respecto del tiempo:

( )

++=+==

2sen..cos..

tAtA

dt

dxv

La aceleración de la partícula se determina haciendo la derivada de la velocidad

respecto del tiempo:

( ) XtAdt

dva .sen.. 22 −=+−==

Considerando a=F/m la fuerza que deberá actuar sobre una partícula para que realice un

Movimiento Armónico Simple debe ser también proporcional a la elongación de la

partícula y de signo contrario a ésta:

F = m·a = -m·2x = -k.x

donde k = m·2 llamada constante armónica.

3.6. Composición de movimientos rectilíneos

Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultáneos independientes, realiza

un movimiento compuesto que resulta de la combinación de aquellos. La composición de

dos o más movimientos se realiza calculando el vector de posición del movimiento

resultante como suma de los vectores de posición de los movimientos componentes.

Esto se apoya en el “Principio de Galileo” o de independencia de los movimientos: “Si

un punto está dotado, por dos causas diferentes, de dos movimientos simultáneos, su cambio de

posición es independiente de que los dos movimientos actúen sucesiva o simultáneamente”.

De lo anterior se deduce que el vector de posición r

es la suma de los vectores de

posición de los movimientos individuales:

...4321 ++++= rrrrr

y derivando: ...4321 ++++= vvvvv


18

es decir, la velocidad de un movimiento compuesto es, en todo momento, la suma

vectorial de las velocidades de los movimientos componentes.

3.6.1. Descripción de casos elementales

A) Un nadador que avanza en la dirección y sentido de la corriente (dos movimientos

rectilíneos y uniformes en la misma dirección y sentido):

v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)·t

B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectilíneos y

uniformes de la misma dirección y de sentidos contrarios):

v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)·t (v1>v2)

C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos

rec-tilíneos y uniformes de direcciones perpendiculares):

2

2

2

121

2

2

2

1 º90·cos2 vvvsivvvvv +==++=

el espacio recorrido será:

tvvssss ·22212221 +=→+=

y el ángulo de dirección resultante:

1

2

1

2tgs

s

v

v==

D) Dos movimientos rectilíneos uniformemente acelerados en la misma dirección:

++=

++=

2

202022

2

101011

2

1·

2

1·

tatvss

tatvss sumando:

2

21201020121 )(2

1).()( taatvvsssss o +++++=+=

taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==

E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma

dirección, dados por:


19

:·

2

1·

·

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212

1).()( attvvsssss ++++=+=

adt

dvaatvv

dt

dsv ==++== )( 0201

la aceleración es la misma del movimiento acelerado.

3.6.2. Movimiento parabólico de caída

Cuando se lanza una bomba desde un avión que se mueve con una velocidad constante

vx, dicha bomba describe un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad vx (la del

avión), y un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior,

con velocidad variable vy=gt. En el instante inicial, t=0, lógicamente vy=0 y el móvil sólo

posee vx=cte. En cualquier instante de su trayectoria, las velocidades componentes son:

22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

−=

=

El ángulo de v con la horizontal será:

x

y

v

varctg=

El vector velocidad es:

jgtivv x

−=

e integrando y teniendo en cuenta que para

t=0 el móvil está en el origen 00 =r

resulta:

jgtitvr x

.2

1. 2−=

por lo tanto, los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendrán

dados por las ecuaciones paramétricas del movimiento:

2

2

1gty

tvx x

=

=

Eliminando el tiempo en ambas expresiones, se obtiene la ecuación y=f(x) de la

trayectoria:


20

)(.2

··2

1 222

2

parábolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=

3.6.3. Movimiento de proyectiles

A continuación vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cañón

con un ángulo de inclinación con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida.

Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY serán:

v0x=v0·cos v0y =v0·sen

El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante:

vx = v0x = cte

y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleración –g y la velocidad para

cualquier instante t será:

vy =v0y–g·t (v0y = velocidad inicial vertical)

y por ello las componentes del vector velocidad serán:

vx=v0·cos y vy=v0·sen −g.t

y el vector velocidad se escribirá:

( ) ( ) jtgvivv

.sen.cos. 00 −+=

Integrando, considerando que para t=0 es 00 == rr

, resultará el vector de posición del

movimiento parabólico del proyectil:

( ) jtgtvitvr

−+= 200 ..

2

1sen..cos..

de donde, los desplazamientos horizontal y vertical vendrán dados por las ecuaciones:

−=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21

que son las ecuaciones paramétricas del vector de posición, jyixr

+=

La altura máxima se alcanzará en el instante t1 en el que la componente vertical de la

velocidad se hace nula vy=0 o sea:

v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1

sen== y sustituyendo en y resulta:

g

v

g

v

g

vg

g

vvyh

22022

0

2

22

00

0

sen.

2

1sensen

2

1sen

sen−=

−

==

o sea: g

vh

2

sen. 220 =

El desplazamiento horizontal o alcance se producirá en el instante t2 en que el móvil

vuelve a su altura inicial, es decir, cuando y=0 lo que dará como resultado una ecuación de

segundo grado:

2

2202

1sen gttv =

con dos soluciones: t2 = 0 y g

vt

sen2 02 =

La primera solución corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0, y la

segunda solución corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-

zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura máxima, o

sea: t2=2·t1.

La expresión del alcance A se obtendrá sustituyendo en la ecuación x=v0tcos el valor de

t2, resultando:

g

v

g

vvxa

cossen2·cos

sen2 2000 =

== →

g

va

2sen20=

El alcance horizontal será máximo cuando la función sinusoidal de A sea máxima, es

decir, cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚, o sea, cuando =45˚. Por otra parte,

como los ángulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos ángulos

2 suplementarios, que den el mismo alcance, los cuales se obtendrán a partir de dos

ángulos complementarios. Por ejemplo, para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance,

en el primer caso se tendría un tiro rasante y en el segundo se tendría un tiro por

elevación.

La velocidad total del proyectil en un instante dado vendrá dada por:


22

=−+=+= 2022

0

22 )·sen(cos tgvvvvv yx ...)2.(2)cos(2

0

222

0 =−−+ tgsentvgsenv

gyv 2... 20 −=

y el ángulo que forma con la horizontal será: x

y

v

v=tg

Sólo nos resta determinar la ecuación de la trayectoria descrita por el proyectil, es decir,

la ecuación y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones paramétricas:

resultasegundalaendosustituyeny

cos

2

1

cos

02

0

0

v

xt

gttsenvy

tvx=→

−=

=

( ) 222

0

22

0

2

0

0 ·cos2

·tgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

−=

−

=

ecuación de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son:

−=

220 cos2v

ga b=tg y c=0

por consiguiente la ecuación de la trayectoria corresponde a una parábola con la conca-

vidad hacia abajo por ser a negativo, y que pasa por el origen por ser c=0.

3.6.4. Composición de movimientos armónicos simples

El caso más sencillo es la composición de movimientos armónicos simples de la misma

dirección y de la misma frecuencia.

Sean las ecuaciones de dichos movimientos, las siguientes:

+=

+=

)·sen(

)·sen(

222

111

tAs

tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales.

como los desplazamientos tienen lugar en la misma dirección, por suma de las anteriores

ecuaciones, resulta:

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss

Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas que nos dan el seno de una suma de

ángulos y reordenando términos, resulta:

( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= (#)

Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma dirección y la misma

frecuencia que las componentes, su ecuación será del tipo:


23

( ) += tAs sen. que desarrollando: sen.coscos.sen. tAtSs +=

e igualando a la anterior (#), las dos ecuaciones que resultan son:

2211 coscoscos. AAA += (##)

2211 sensensen. AAA +=

Dividiendo ambas ecuaciones, tendremos:

2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=

que nos da la fase inicial del movimiento armónico resultante.

Por otra parte, si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones (##) y las sumamos

miembro a miembro, obtenemos:

)·sensen·cos(cos2 2121212

2

2

1

2 +++= AAAAA

es decir: )·cos(··2 21212

2

2

1

2 −++= AAAAA

que nos da el valor de la amplitud del movimiento armónico resultante.

Casos Particulares

a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un múltiplo par de , es decir:

1-2 = 2k, resulta entonces:

cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2

b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un múltiplo impar de , es de-

cir: 1-2 = (2k+1) resulta entonces:

cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2

4. Métodos para el estudio experimental de los movimientos

Todos los métodos están basados en la determinación de la velocidad de un móvil en

puntos singulares de su movimiento, con objeto de determinar la aceleración.

Mediante múltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y

se trasladan a gráficos diversos, mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones

de los movimientos. Aunque existen múltiples métodos de estudiar el movimiento,

podemos reagruparlos en tres bloques:


24

4.1. Métodos tradicionales de laboratorio de mecánica

En el primer grupo podemos incluir los métodos más utilizados en el laboratorio, y

tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo, entre los que se

destacan los experimentos de caída de los cuerpos a través de planos inclinados, en las que

se pueden utilizar varias configuraciones según el nivel al que se imparta.

La más simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede

rodar un cuerpo esférico. En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la

misma distancia unas de otras (Fig. 14). Dejando rodar la bola desde el mismo sitio, se

toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas. Para ello, las

mediciones las realizan varios alumnos simultáneamente. Realizando una representación

gráfica de espacio respecto a tiempo, se puede comprobar la relación cuadrática entre

ambas variables, propia de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

En el esquema de laboratorio representado en la Fig.15 se presenta otra configuración

para niveles más avanzados, como por ejemplo 1º de Bachillerato.

Consiste en un plano inclinado con un

ángulo con la horizontal. En esta confi-

guración se necesita determinar la veloci-

dad en el punto final del plano v (punto 2).

Con ella y las magnitudes geométricas del

plano (longitud del plano, ángulo de incli-

nación), puede determinarse la aceleración

mediante la expresión cinemática:

asvv 2202 =−

FIG. 14

FIG. 15


25

donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto

1).

Mediante el ángulo de inclinación del plano , se puede relacionar la aceleración del

movimiento con la aceleración de la gravedad, resultando:

a = g·sen

y aumentando o disminuyendo la longitud del plano y/o la inclinación del plano, pueden

obtenerse distintos valores de la aceleración y a partir de ellos, obtener el valor de la ace-

leración de la gravedad.

El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano

inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias: horizontal (x) y vertical (y) de

caída del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caída

parabólica:

x = v·t·cos

y = v·t·sen + g·t

se determinan tanto v como t (tiempo en la caída parabólica).

El experimento, una vez montado y realizado, permite medir las magnitudes lineales s,

x e y, y a partir de ellas, se medirán v y t, y de ellas se medirá a.

Núm. de ensayo s x y v t s

v

s

vva

22

22

0

2

=−

=

1

2

Deben trasladarse los datos numéricos a gráficas adecuadas y hacerse un estudio de los

errores cometidos.

4.3. Utilización de puertas fotoeléctricas

Las puertas electrónicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de

datos de manera muy rápida y precisa, pudiendo ser exportados a una hoja de cálculo

para su tratamiento.

Dichos equipos están al alcance de los centros de enseñanza secundaria. Se precisa:

- Puertas fotoelectricas.

- Materiales específicos (carritos, bolas o carriles, entre otros)

- Un ordenador personal


26

- Una hoja de cálculo.

Las puertas fotoeléctricas son aparatos en forma de U invertida, en las que mediante un

rayo de luz y una célula fotoeléctrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las

franquee. El aparato mide con gran precisión los intervalos de tiempo entre las puertas.

Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera

puerta hasta que atraviesa la segunda.

Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de señales y conectarse a un

ordenador, pudiendo exportar los datos a una hoja de cálculo en la cual pueden ser

procesados dichos, utilizando ecuaciones, tabulándolos o representándolos gráficamente.

Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y sólo dependen de la

imaginación del experimentador.

Por ejemplo, en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a

tener lugar el movimiento de estudio. Tal y como están dispuestas las puertas, permite

obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho más precisa que con un cronómetro.

FIG.16

Otro montaje se puede observar en la figura 17, para el estudio de un movimiento

circular. En este caso, una varilla se hace girar a velocidad

constante gracias a un motor. Se coloca una puerta de tal

manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar

una vuelta completa (el periodo). La medición se realizará a

diferentes distancias del centro de giro para comprobar que

el periodo no varía. Con este periodo pueden determinar

magnitudes como la velocidad lineal, angular o aceleración

normal.

4.4. Aplicaciones para móvil (apps)

Desde la aparición de los smartphones o teléfonos inteligentes existen numerosas

aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los móviles en

FIG. 17


27

aparatos de medición y toma de datos muy sofisticados. Algunas de estas aplicaciones son

Physics Tools o Lab4Physics.

Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del móvil para utilizarlos como

acelerómetros, magnetómetros, medidores de ángulo, sonómetros o barómetros, entre

otros. Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy

rápidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de

cálculo.

Este método cuentan con la ventaja de que la gran mayoría de los alumnos cuentan con

móviles, que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente.

La configuración más sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el móvil a

un carrito, el cual se podrá hacer deslizar a

través de un plano inclinado o un plano

horizontal (figura 18), y medir la aceleración

con el acelerómetro. Dichos datos pueden ser

constrastados con el valor teórico esperado.

4.5. Simulaciones informáticas interactivas para física y química.

Las simulaciones informáticas interactivas son programas informáticos que simulan

procesos en base a leyes de la naturaleza. Estas simulaciones pueden utilizarse on line o

descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre, no requerir

equipos especialmente potentes y son fáciles e intuitivas de manejar. Su uso permite

involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego, en

donde aprenden explorando y descubriendo. Se trataría de prácticas a realizar en el aula

de informática.

Existen numerosas instituciones y programadores partículres

que ponen a disposición de todos los usuarios dichos programas.

Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en

internet, las posibilidades son múltiples. Algunas de estas

páginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja, Phet

Universidad de Colorado, Educaplus o labovirtual.blogspot.com.

La manera más eficiente de plantear este tipo de prácticas es

realizar un cuestionario, bien en papel, bien digital con aplicaciones como google

formularios, en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para

rellenar resultados.

FIG. 18

FIG. 19


28

5. Conclusión

En definitiva, hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos.

Hemos visto todo el tratamiento matemático necesario para su análisis, así como los

diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar. Esta parte de la mecánica,

llamada cinemética, tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caída

libre de un cuerpo, movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera,

movimiento de giro de un disco de vinilo,…

* * *

cuerpo de profesores de enseñanza secundaria · tomo 1, barcelona (españa), editorial reverté....

Documents