FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGA DEPARTAMENTO DE FSICAOmar Danilo Vargas Gutirrez2010246069Kevin Cristofer Rojas Salazar2010246077Tpicos de fsica (Ignacio Alberto Monrroy)

ECCUACION DE LAPLACE

INTRODUCCION:

En este trabajo se desarrollara de manera general la solucin de la ecuacin de Laplace en coordenadas cilndricas, del cual de tendr en cuenta la solucin de la ecuacin diferencial de Bessel, la cual da la solucin propiamente dicha de Laplace.

Adems se dar una aplicacin de la ecuacin de Laplace referente a un tema de la electroesttica y la interpretacin de esta solucin.

Dada la ecuacin:

Se aplica el mtodo de separacin de variables de la siguiente forma:

Multiplicamos por

En donde:

Entonces: Se multiplica por

En donde:

Entonces:

Factorizando r

Multiplicamos por R

Ahora:

Multiplicamos todo por Z

Ahora

Multiplicamos todo por Q

De la ecuacin 1 Reemplazando

De donde tiene que ser igual a cero, as que:

Entonces

Donde

Entonces de la ecuacin 2:

Factorizando

Entonces tiene que ser igual a cero, entonces:

Con la ecuacin 3 se va a hacer un cambio de variable con y se procede de la siguiente forma:

Donde Por lo tanto as que inferimos que

Ahora multiplicamos todo por Obteniendo la ecuacin de BesselToda solucin de esta ecuacin se llama fusin de Bessel. En particula se distinguen tipo de funcin de Bessel: llamada funcin de Bessel de primera especie, llamada funcin de Bessel de segunda especie o funcin de Neumann entre otras Esta funcin tiene un punto singular en x=0. As existe una solucin tipo frobenius de la forma

En nuestro caso particular:

Estas ecuaciones se reemplazan en la ecuacin de Bessel, llegando a esto: Al proceder algebraicamente, llegando a:

As tenemos que Colocando de la anterior expresin y notando que y que , queda De aqu salen dos casos:

Entonces para el caso 1, la ecuacin 4 queda:

De lo anterior se llega a la ecuacin de Frobenius

Si miramos la serie se nota que los denominadores tienen factoriales, estando presente en estos denominadores (m+1), (m+2), (m+3),. los cuales llegaran a ser factoriales, esto es (m+1), (m+2) .(m+3),. Si se multiplica los trminos por m e introduciendo x/2 en vez de x en el factor, se obtiene: Cuya ecuacin 5 quedara:

Ejemplo

Determinar el potencial elctrico en el interior de un cilindro de radio R y longitud L, el cual tiene un potencial V0 en la tapa superior, y cero en el resto de la superficie.

Solucin Las condiciones de frontera en este caso se refieren al potencial en las tapas y en la superficie lateral, dadas por:

(a) En z = 0, el potencial elctrico es:V(r,q,0) = 0 , (ecuacin 1)

(b) En z = L, el potencial elctrico es:V(r,q,L) = V0 , (ecuacin 2)

(c) En r = R, el potencial elctrico es:V(R,q,z) = 0 , (ecuacin 3)

(d) Adems, el potencial elctrico debe de ser finito para cualquier punto en el interior, lo que significa que los trminos de las funciones de Neumann no deben aparecer.

Al aplicar la condicin de frontera de la ecuacin 1 a la parte correspondiente a la variable Z de la solucin tenemos que

B = -A ,

Por lo que la dependencia en esta variable se puede rescribir como:

La condicin para el potencial en la superficie cilndrica, corresponde a una condicin para los valores del argumento, bR, tal que las funciones de Bessel sean nulas, esto es que:

Siendo la m-sima raz de la n-sima funcin de Bessel. El aspecto de la solucin de la Ecuacin de Laplace hasta este punto es:

La aplicacin de la condicin de frontera para z = L (Ecuacin 2), conduce a la expresin:

A partir de la cual se determinan los valores para los coeficientes Cnm y Dnm, de la siguiente manera. Multiplicando por

E integrar, resulta que todos los coeficientes de las funciones sin(nq) son nulos. Entonces, la forma de la solucin, bajo la condicin para z = L, es:

Multiplicando por:

E integrando en r desde 0 hasta R, dada la independencia lineal de las funciones de Bessel, se tiene los valores de los coeficientes:

Para evaluar la integral consideramos la relacin de recurrencia con n = -1

De tal manera que la integral de la ecuacin 7 resulta:

Siendo Igual a

Por lo tanto los coeficientes son:

Siendo el potencial elctrico:

La solucin no depende de la coordenada q, como es de esperarse dada la simetra alrededor del eje Z. La figura 12 muestra la grfica de las lneas equipotenciales, considerando solo los primeros 5 ceros de la funcin de Bessel J 0(r), con L = 2, y R = 1.

Bibliografa:Bibliografa

Rosas, J. E. (2003). Ecuacion de Laplace. Iteso, 13.Spiegel, M. R. (1983). Ecuaciones diferenciales aplicadas. Mexico: Prentice-Hall.