bektoreakbektoreak c ugutz garitaonaindia antsoategi ingeniaritza mekanikoa saila gasteizko i.i.t....

BEKTOREAK

c©Ugutz Garitaonaindia AntsoategiIngeniaritza Mekanikoa SailaGasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E.Euskal Herriko Unibertsitatea

2000/2001 ikasturtea

Índice

1. MAGNITUDE ESKALARRA 3

2. MAGNITUDE BEKTORIALA 3

3. BEKTORE FINKO EDO LOTUA 3

4. BEKTORE ASKEAK 4

5. BEKTORE LABAINKORRAK 4

6. ESKALAR BATEN ETA BEKTORE BATEN ARTEKO BIDERKAKETA 5

7. BEKTORE BATUKETA 5

8. BEKTORE KENKETA 6

9. BEKTORE-ESPAZIOAREN KONTZEPTUA 7

10. BEKTORE BATEN PROIEKZIOA ARDATZ BATEAN 8

11. BEKTORE BATEN PROIEKZIOA PLANO BATEAN 9

12. BI BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA ESKALARRA 9

13. BI BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA BEKTORIALA 12

14. HIRU BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA MISTOA 14

15. BIDERKAKETA BEKTORIAL BIKOITZA 15

1

ÍNDICE 2

16. BI BIDERKAKETA BEKTORIALEN BIDERKAKETA ESKALARRA (Lagrangenerlazioa) 17

17. BIDERKAKETA BEKTORIAL BATEN NORMA 17

18. OINARRI ORTONORMALA 18

19. ERREFERENTZIAKO ELKARREKIKO HIRUKOTEA 19

20. BEKTORE BATEN ESPRESIOA HAMILTONEN ANOTAZIOAN 20

21. BEKTOREEN ARTEKO ERAGIKETEN ESPRESIO ANALITIKOA, HAMIL-TONEN ANOTAZIOAN 21

22. BEKTORE BATEN DERIBATUA ESKALAR BATEKIKO 24

23. BEKTORE LABAINKORREZ OSATURIKO SISTEMEN AZTERKETA 2723.1. BEKTORE BATEN MOMENTU ZENTRALA . . . . . . . . . . . . . . . 2823.2. BEKTORE BATEN MOMENTU AXIALA . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023.3. BEKTORE LABAINKORREN SISTEMA BATEN ERRESULTANTEA . . 3223.4. BEKTORE-PAREA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3323.5. MOMENTU MINIMOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3323.6. BEKTORE LABAINKORREN SISTEMA BATEKO INBARIANTEAK . . 3523.7. ARDATZ ZENTRALA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3523.8. BEKTORE LABAINKORREZ OSATURIKO SISTEMEN SAILKAPENA 3923.9. BEKTORE SISTEMA PLANOKIDEAK, ELKARTOPAKORRAK ETA PAR-

ALELOAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4023.9.1. BEKTORE SISTEMA PLANOKIDEAK . . . . . . . . . . . . . . 4023.9.2. BEKTORE SISTEMA ELKARTOPAKORRAK . . . . . . . . . . 4123.9.3. BEKTORE SISTEMA PARALELOAK . . . . . . . . . . . . . . . 4123.9.4. BEKTORE LABAINKORREN SISTEMEN BATUKETA . . . . . 44

3 BEKTORE FINKO EDO LOTUA 3

1. MAGNITUDE ESKALARRA

Zenbaki batez osaturik dagoen magnitudea da, mota edo unitate jakin bateko neurri batda.

Eskalarren adibideak: luzera, masa, denbora, tenperatura, lana, energia, edozein zenbakierreal eta abar.

2. MAGNITUDE BEKTORIALA

Kasu honetan, magnitude eskalarra ezagutzeaz gain, norabidea eta norantza ere jakinbehar da.

Magnitude bektorialen adibideak: abiadura, azelerazioa, indarra, momentua,. . .

3. BEKTORE FINKO EDO LOTUA

Har dezagun espazio tridimentsional eta euklideoa, hau da, fenomeno fisikoak gauzatzendiren espazioa. Honela, espazio honetako puntuen multzoari “E” deituko diogu.

Jarraian, ExE biderkadura cartesiarraren multzoa sortuko dugu, hau espazioko puntuenbikoteekin osatuta dago. (ExE)* multzo berria, ExE multzoan elementu diagonalak kenduzlortzen den multzoa da, hau da:

(ExE)* = {(ExE)− (x, x)} ; ∀x ∈ E

Ikusi dezakegun bezala, multzo honetako elementu bakoitza segmentu orientatu bat da,non

−→AB 6=

−→BA den.

Bektore finkoen multzoa definitzen dugu: (ExE)* multzoa gehi bektore hutsa ~0, hau da:

{(ExE)*,~0 }

Honela, bektore finko bat definitzen duten elementuak hauek dira:

Modulua−−→|AB|: AB lerroari lotuta dagoen balio erreal eta positiboa da. Honek, A eta

B puntuak lotzen dituen segmentuaren luzera definitzen du.

Norabidea: AB segmentua kokatua dagoen lerro zuzenaren norabidea da.

Norantza: A eta B puntu bikotearen ordenak definitzen du.

Aplikazio puntua: Puntu bikotearen lehenengoa da, hau da, bektorea aplikatuta dagoenpuntua.

5 BEKTORE LABAINKORRAK 4

4. BEKTORE ASKEAK

Bektore finkoen multzoen barnean, ekipolentziako “L” erlazio bat definitzen dugu: bibektore finko ekipolenteak dira, modulu, norabide eta norantza bera dutenean.

Erraz baieztatu daiteke erlazio hau, baliokidetasun erlazio bat dela, eta honek ezaugarrierreflexiboa, simetrikoa eta trantsitiboa dituela.

Honela, bektore finkoen multzoa baliokidetasun mota batean zatitua edo sailkatua ger-atzen da, mota bakoitzean beraien artean ekipolenteak diren bektoreak egongo direlarik. Mo-ta guztien multzo hau (mota bakoitza elementu bakarrarekin errepresentatu daiteke), bektoreaskeen multzoa da.

Multzo hau honela espresatu daiteke:

{(ExE)*/L,~0 }

Bektore aske bat definitzeko behar diren osagaiak:

Modulua.

Norabidea.

Norantza.

Bektore aske baten adibide garbi bat “indar-parea” izan daiteke, hau espazioko edozeinpuntutan aurkitu daitekeelarik.

5. BEKTORE LABAINKORRAK

Bektore finkoen multzoaren barnean, “D” erlazio berri bat definituko dugu. Erlazio hauhonela enutziatu dezakegu: bi bektore finko beraien artean erlazionatuta daude, lerrokatutaegoteaz gain, modulu zein norantza berdina dutenean.

Erraza da baieztatzea, “D” erlazio berri hau baliokidetasunezkoa dela baita ere.Orain, bektore finkoen multzoan erlazio berri hau aplikatuz mota desberdinetan sailkatu

edo zatitu daiteke. Honela, sailkatutako multzoak bektoren labainkorren multzoa osatzen du,eta hau honela adierazi daiteke:

{(ExE)*/D,~0 }

Bektore labainkor bat definitzeko behar diren osagaiak:

Modulua.

Aplikazio lerroa.

Norantza.

7 BEKTORE BATUKETA 5

6. ESKALAR BATEN ETA BEKTORE BATEN ARTEKOBIDERKAKETA

Eragiketa hau edozein bektoretan aplikatu daiteke: finkoetan, askeetan edo labainkorre-tan.

Hau da, ~a bektoreari λ eskalarra egokitu behar zaio, (~a bektorea finkoa, askea edolabainkorra bada, bere biderkaketa λ eskalarrarekin mota bereko bektorea izango da), etahonela adieraziko da λ~a. Bere balioa kalkulatzeko:

1. |λ · ~a| = |λ| · |~a| Non: |λ| : λ-ren balio absolutua |~a| : ~a bektorearen modulua.

2. λ~a bektorearen norantza, ~a bektoreak duenaren berdina izango da λ > 0 denean, etaaurkako norantza izango du λ < 0 kasuan.

7. BEKTORE BATUKETA

Eragiketa hau hurrengo bektoreentzat definitzen da:

Bektore askeak.

Bektore labainkorrak, baldin eta akzio lerroak puntu batean mozten badira.

Bektore finkoak, aplikazio puntuak berberak izaten badira.

Honela, batuketa egiteko paralelogramoaren legea aplikatzen da (1. irudia):

b�

a�

s�

Figura 1: Bi bektoreen arteko batuketa

~s = ~a +~b

Bi bektore baino gehiago batu behar direnean, binaka batu daitezke eta ondoren hauenerresultanteak prozedura berdinarekin, edo bestela, bektoreen poligonoaren prozedura erabi-liz (2. irudia):

~s = ~a +~b + ~c

Bektoreen multzoan, hauen batuketa trukakorra dela esan dezakegu, hurrengo ezaugarri-ak betetzen dituelako:

8 BEKTORE KENKETA 6

b�

a&

s&

c&

Figura 2: Bi bektore baino gehiagoren arteko batuketa

1. Barne konposaketako lege bat da.

2. Trukakorra.

3. Elkarkorra.

4. Elementu neutroa existitzen da, ~0.

5. Elementu simetrikoak existitzen dira.

OHARRAK:

1. ExE multzoan elementu diagonalak kendu ditugu (ExE)* multzoa osatzeko,eta ondoren ~0 bektorea gehitu dugu. Hau egitea, kontraesan bat dela pentsadaiteke, baina kontuan izan behar dugu, bektoreen arteko batuketa eragike-tak elementu neutroaren beharra duela.

2. ~a bektorearen elementu simetrikoa ~a′ bektorea baldin bada, hurrengo balditzabeteko da:

~a + ~a′ = ~0

Honela, ~a′ bektorea~a bektorearekiko aurkakoa da, eta ezaugarri hauek ditu:

~a bektorearen modulu berdina.

~a bektorearen norabide berdina.

~a bektorearen aurkako norantza.

Bektore honi −~a deitzen zaio.

8. BEKTORE KENKETA

~a eta~b bektoreen arteko kenketa, ~a bektorea eta~b bektorearen aurkakoaren arteko batuke-ta da:

~a−~b = ~a + (−~b)

Eragiketa hau ez da trukakorra.

9 BEKTORE-ESPAZIOAREN KONTZEPTUA 7

9. BEKTORE-ESPAZIOAREN KONTZEPTUA

Multzo jakin batek bektore-espazioaren egitura duela esaten da, honetan bi eragiketa edokonposizio lege definituta, bata barnekoa: batuketa, eta bestea kanpokoa: multzo honetakoelementuek eskalarren gorputz batekin (K) duten biderkaketa, eragiketa hauek hurrengo eza-ugarriak dituztenean:

Lehenengo eragiketa.

1. Trukakorra: ~a +~b = ~b + ~a

2. Elkarkorra: ~a + (~b + ~c) = (~a +~b) + ~c

3. Elementu neutroaren existentzia: ~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a

4. Elementu simetrikoaren existentzia: ~a + (−~a) = (−~a) + ~a = ~0 ; ∀~a ∈ V

Bigarren eragiketa.

1. Banakorra eskalarren batuketarekiko: (λ + µ) ~a = λ ~a + µ ~a

2. Banakorra bektoreen batuketarekiko: λ(~a +~b) = λ ~a + λ~b

3. Elkarkorra eskalarrekiko: λ (µ ~a) = λ µ ~a

4. Elementu neutroaren existentzia: 1 · ~a = ~a

Beraz, definitu dugun bektore askeen multzoak, batuketa eta biderkaketa eskalarrekikoBEKTORE-ESPAZIO egitura du.

Bektore-espazioen barnean, gogoratu ditzagun hurrengo definizioak:

Konbinazio lineala: ~V bektorea, ~a1, ~a2, . . . , ~an bektoreen konbinazio lineala dela esaten

da, baldin eta λ1, λ2, . . . , λn existitzen badira, ~V = λ1 ~a1+λ2 ~a2+· · ·+λn ~an betetzen delarik.

Sistema sortzailea: ~a1, ~a2, . . . , ~an bektore familia bat, bektore-espazio baten sistema sortza-ilea dela esaten da, konjuntu horretako edozein bektore, ~a1, ~a2, . . . , ~an bektoreen konbinaziolinealarekin osatu badaiteke.

Independentzia lineala: ~a1, ~a2, . . . , ~an bektoreak linealki independenteak dira, ~0 bek-torea lortzeko, honen konbinazio bakarra, sistema sortzaileari biderkatzen dioten eskalarguztiak zero izaten bada.

λ1 ~a1 + λ2 ~a2 + · · ·+ λn ~an = ~0 ⇐⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0

Bektore-espazio baten oinarria: Bektore-espazio baten oinarria osatzen duten bektoreekhurrengo baldintzak bete behar dituzte:

Sistema sortzailea izan behar dute.

10 BEKTORE BATEN PROIEKZIOA ARDATZ BATEAN 8

Linealki independenteak izan behar dute.

Bektore baten osagaiak: Bektore baten osagaiak oinarri batekiko, λ1, λ2, . . . , λn dira:

~V = λ1 ~a1 + λ2 ~a2 + · · ·+ λn ~an

Non ~a1, ~a2, . . . , ~an bektore-espazioaren oinarria den. Honela, bektore baten koordenatu-ak oinarri jakin batean, bakarrak dira.

Frogapena:

~a1, ~a2, . . . , ~an bektoreekin osatutako oinarria aukeratuz:

~V = λ1 ~a1 + λ2 ~a2 + · · ·+ λn ~an = λ′1~a1 + λ

′2~a2 + · · ·+ λ

′n ~an

(λ1 − λ′1)~a1 + (λ2 − λ

′2)~a2 + · · ·+ (λn − λ

′n) ~an = ~0

Kontuan izanda ~a1, ~a2, . . . , ~an oinarria dela, bektore hauek linealki independen-teak izan behar dute:

λ1 − λ′1

= 0 ; λ1 = λ′1

λ2 − λ′2

= 0 ; λ2 = λ′2

......

λn − λ′n = 0 ; λn = λ

′n

10. BEKTORE BATEN PROIEKZIOA ARDATZ BATEAN

Lerro zuzen bat, dimentsio bakarreko espazioa da. Lerro zuzen hau ardatz bihurtzeko,bektore batekin osatutako oinarriarekin orientatzen dugu.

Bektore baten proiekzioa ardatz batean “magnitude eskalar” bat da, eta honen balioa,proiekzioaren luzera da. Zeinua positiboa izango du (+) ardatza eta bektorearen norantzaberdinak direnean, eta negatiboa (−) aurkako norantza dutenean (3. irudia).

Fx = AB1 = ab = |~F | · cos α

Qx = P1E = −pe = −| ~Q| · cos ϕ = | ~Q| · cos α1

Beraz, bektore baten proiekzioa ardatz batean, bektorearen modulua, eta ardatzaren no-rantzak bektorearen norantzarekin osatzen duen angeluaren kosinuaren arteko biderkaketabezala definitu daiteke.

Proiekx ~F = Fx = |~F | · cos α

12 BI BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA ESKALARRA 9

x

A

B P

E

a b p e

B1 P1

α ϕ

α1F�

Q�

Figura 3: Bektoreen proiekzioa ardatz batean

11. BEKTORE BATEN PROIEKZIOA PLANO BATEAN

Bektore baten proiekzioa plano batean, plano horretan dagoen “beste bektore” bat da.

Aurreko kasuan ez bezala, kasu honetan bektorearen proiekzioa magnitude bektorial batda.

Bektorearen proiekzioa edozein norabidetan egin daiteke, baina planoarekiko norabideortogonalean egiten bada, hurrengo berdintza hau betetzen da (4. irudia):

π

θ

Proiekπ a�

a�

Figura 4: Bektore baten proiekzioa plano batean

|Proiekπ~a| = |~a| · cos θ

12. BI BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA ESKALAR-RA

Bi bektoreren arteko biderkaketa eskalarra, “eskalar” bat da. Honen balioa, bektoreenmoduluen eta hauek osatzen duten angeluaren kosinuaren arteko biderkaketa eginez kalku-


latzen da.

~U · ~V = |~U | · |~V | · cos α

|~V | · cos α = Proiek~U~V denez; eta |~U | · cos α = Proiek~V ~U ; bi bektoreen arteko

biderkaketa eskalarra honela ere definitu daiteke (5. irudia):

~U · ~V = |~U | · Proiek~U~V = |~V | · Proiek~V

~U

V�

�

UProiek

U�

�

VProiek

U�

V�

α

Figura 5: Bi bektoreren arteko biderkaketa eskalarra

Bi bektoreren arteko biderkaketa eskalarra trukakorra da.

~U · ~V = ~V · ~U

Frogapena:

~U · ~V = |~U | · |~V | · cos α

~V · ~U = |~V | · |~U | · cos(2π − α) = |~V | · |~U | · cos α

Ondorioz: ~U · ~V = ~V · ~U

Bi bektoreren arteko biderkaketa eskalarra banakorra da bektoreen arteko batuketarekiko.

~U · (~V + ~W ) = ~U · ~V + ~U · ~W

Frogapena:

~U · (~V + ~W ) = |~U | · Proiek~U(~V + ~W )


V�

�

UProiek

)(ProiekU WV��

� +

U�

V�

W�

W�

�

UProiek

Figura 6: Bi bektoreen baturaren proiekzioa ardatz batean

Honela, Proiek~U(~V + ~W ) = Proiek~U ~V +Proiek~U ~W dela kontuan izanda(6. irudia):

|~U | · Proiek~U(~V + ~W ) = |~U | · (Proiek~U

~V + Proiek~U~W ) =

= |~U | · Proiek~U~V + |~U | · Proiek~U

~W = ~U · ~V + ~U · ~W

Bektoreen arteko biderkaketa eskalarra ez da elkarkorra.

(~U · ~V )︸︷︷︸

eskalarra

· ~W 6= ~U · (~V · ~W )︸︷︷︸

eskalarra

Ikus daitekeen bezela, desberdintzaren ezkerraldean, ~W bektorearen norabidea duenbektore bat sortzen da, eta eskuinaldean aldiz, ~U bektorearen norabidea duen bestebektore bat.

Bektore baten norma.

Bektore bat ~U , bere buruaz eskalarki biderkatzen bada, lortutako emaitza bektore ho-nen norma da.

nor ~U = ~U · ~U = |~U | · |~U | · cos 0 = |~U |2

Beraz, esan daiteke: |~U | =√

|~U |2 =√

nor ~U

Hau definitu ondoren, bi bektoreren biderkaketa eskalarra honela espresatu daiteke:

~U · ~V =√

nor ~U ·√

nor ~V · cos α

13 BI BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA BEKTORIALA 12

Biderkaketa eskalarra zero da bi kasu hauetan:

• Bi bektore hauetako bat zero denean.• Bi bektoreak ortogonalak direnean.

13. BI BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA BEK-TORIALA

Definizioa:

Bi bektoreren arteko biderkaketa bektoriala beste bektore bat da, eta honen modulua,aurreko bi bektoreen moduluen biderkaketa eta osatzen duten angeluaren sinuaren artekobiderkaketa da. Bere norabidea, bi bektoreak osatzen duten planoarekiko elkarzut da eta no-rantza, bi bektoreen ordenaren araberakoa. Honela, lehenengo bektoretik bigarren bektorera,torlojo ariztatu batek izango zuen higidurak zehazten du norantza (7. irudia).

U�

V�

VU��

∧

α

Figura 7: Bi bektoreren arteko biderkaketa bektoriala

|~U ∧ ~V | = |~U | · |~V | · sin α

~U ∧ ~V biderkaketa bektorialaren modulua, ~U eta ~V bektoreek osatzen duten paralelo-gramoaren azaleraren berdina da (8. irudia).

U�

V�

αh

“ A” Azalera

Figura 8: Biderkaketa bektorialaren modulua

|~U ∧ ~V | = |~U | · |~V | · sin α︸︷︷︸

h

= “A” Azalera

13 BI BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA BEKTORIALA 13

Biderkaketa bektorialaren ezaugarriak:

Biderkaketa bektoriala ez da trukakorra.

~U ∧ ~V 6= ~V ∧ ~U

Biderkaketa hauen emaitza modulu eta norabide berdina duten bektoreak dira, bainaaurkako norantzarekin.

Biderkaketa bektoriala banakorra da bektoreen batuketarekiko.

~U ∧ (~V + ~W ) = ~U ∧ ~V + ~U ∧ ~W

Ezaugarri hau, biderkaketa bektorialaren espresio analitikoa ikusten dugunean fro-gatuko dugu (Ikusi 21. ataleko 23. orrialdean, ezaugarri honen frogapena).

Biderkaketa bektoriala ez da elkarkorra.

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W 6= ~U ∧ (~V ∧ ~W )

Desberdintzaren ezkerrean biderkaketa bektorialak ~U eta ~V bektoreek osatzen dutenplanoan kokatua dagoen bektore bat ematen du. Eskuinaldean dagoenak, aldiz, ~V eta~W bektoreek osatzen duten planoan dagoen bektore bat.

Desberdintzaren bi aldeetan dauden biderkaketa bektorialak , ~V bektorearen nora-bidea dute soilik komunean, honela desberdintzaren bi aldeetako emaitzak berdinakizango dira, ~U eta ~W bektoreak ~V bektorearekiko elkarzutak direnean.

Honen frogapena, biderkaketa bektorial bikoitza ikusterakoan emango dugu.

Bektore baten biderkaketa bektoriala bere buruarekiko, bektore hutsa da.

|~U ∧ ~U | = |~U | · |~U | · sin 0 = 0 =⇒ ~U ∧ ~U = ~0

Biderkaketa bektoriala zero izango da hurrengo bi kasuetan:

• Bektore bat zero denean.

• Bi bektoreak paraleloak direnean.

14 HIRU BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA MISTOA 14

Biderkaketa bektorialarekin egiten diren eragiketetan ezin da sinplifikaziorik egin:

~a ∧~b = ~a ∧ ~c izanda, ezin daiteke ondorioztatu ~b = ~c dela.

Frogapena:

~a ∧~b = ~a ∧ ~c =⇒

~a ∧~b− ~a ∧ ~c = ~0 ; propietate banakorra aplikatuz:

~a ∧ (~b− ~c) = ~0 ; baina honek ez du esan nahi:

(~b− ~c) = ~0 denik, edo beste modu batera esanda, (~b = ~c) dela.

Izan daiteke, ~a zero izatea, edo ~a eta (~b− ~c) bektoreak paraleloak izatea.

14. HIRU BEKTOREREN ARTEKO BIDERKAKETA MIS-TOA

Honela definitzen da hiru bektoreren arteko (~U, ~V eta ~W ) biderkaketa mistoa; lehenen-go bien arteko biderkaketa bektoriala, emaitza bektore bat, eta azken honen biderkaketa es-kalarra hirugarren bektorearekin, azken emaitza eskalar bat delarik.

(~U ∧ ~V ) · ~W = (~U · ~V · ~W )

Hiru bektoreren arteko biderkaketa mistoaren emaitza, suposatuz bektore hauek par-alelepipedo baten ertzak osatzen dutela, paralelepipedoaren bolumenaren berdina da (9. iru-dia).

U�

V�

QVU��

=∧

α

ϕh

S

W�

Figura 9: Hiru bektoreen arteko biderkaketa mistoa

(~U ·~V · ~W ) = (~U∧~V )· ~W = ~Q· ~W = ||~U | · |~V | · sin α|︸︷︷︸

S

· | ~W | · cos ϕ︸︷︷︸

h

= Paralelepipedoaren

15 BIDERKAKETA BEKTORIAL BIKOITZA 15

bolumena.

Biderkaketa mistoaren ezaugarriak:

Biderkaketa mistoaren zeinua, ϕ angeluaren araberakoa da, edo beste era batera esan-da, biderkaketa mistoaren emaitza positiboa izango da, ~U eta ~V bektoreek osatzenduten planoa erreferentzi bezala hartuta, ~W bektorea eta ~U ∧ ~V bektorea erdiespazioberdinean daudenean.Azkenik, beste definizio hau ere eman daiteke: ~U, ~V eta ~W bektoreen hirukotea es-kuinetara orientatzen bada, biderkaketa mistoak zeinu positiboa izango du, eta alder-antziz.

Aurreko ezaugarriaren arabera, biderkaketa mistoa zirkularki trukakorra da, hau da:

(~U · ~V · ~W ) = (~V · ~W · ~U) = ( ~W · ~U · ~V ) 6= (~V · ~U · ~W ) = ( ~W · ~V · ~U) = (~U · ~W · ~V )

Biderkaketa mistoa zero da:

• Bektore bat zero denean.

• Bi bektore paraleloak direnean.

• Hiru bektoreak plano berean daudenean.

Baldintza hauek erraz ulertu daitezke, biderkaketa mistoa eta paralelepipedoaren bol-umenaren artean dagoen erlazioa kontuan izaten bada.

15. BIDERKAKETA BEKTORIAL BIKOITZA

Hiru bektoreen arteko biderkaketa bektoriala egiteko, lehenengo bi bektoreen artekobiderkaketa bektoriala egin behar da, eta lortutako emaitza bektorialki biderkatu behar dahirugarren bektorearekin, hau da:

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W

Parentesiaren kokapenak berebiziko garrantzia du, kokapen desberdinek emaitza desber-dinak ematen dituztelako.

Biderkaketa bektorialaren emaitzak, ~U eta ~V bektoreek osatzen duten planoan kokatu-ta dagoen bektore bat ematen du, hau da, parentesi artean dauden bektoreek osatzen dutenplanoan (10. irudia).

15 BIDERKAKETA BEKTORIAL BIKOITZA 16

U�

V�

VU��

∧W�

1W�

2W�

WVU��

∧∧ )(

π

Figura 10: Biderkaketa bektorial bikoitza

Frogapena:

~U eta ~V bektoreek osatzen duten planoari π deituko diogu. Orduan, ~U ∧ ~Vbiderkaketa bektorialaren emaitza π planoarekiko ortogonala den bektore bat da.

Jarraian ~W bektorea deskonposatu egingo dugu; π planoan dagoen osagai batean~W1, eta plano honekiko elkarzut den beste osagai batean ~W2. Ondorioz, biderkake-ta bektorial bikoitza honela espresatu ahal izango da: (~U ∧ ~V ) ∧ ( ~W1 + ~W2) ,kontuan izanda biderkaketa bektoriala banakorra dela batuketarekiko;

(~U ∧ ~V ) ∧ ( ~W1 + ~W2) = (~U ∧ ~V ) ∧ ~W1 + (~U ∧ ~V ) ∧ ~W2.

Bigarren batugaia (~U ∧ ~V ) ∧ ~W2 zero da, (~U ∧ ~V ) eta ~W2 bektoreek norabideberdina dutelako, ondorioz:

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W = (~U ∧ ~V ) ∧ ~W1

Honela, (~U ∧ ~V )∧ ~W1 biderkaketa bektorial bikoitzaren erantzuna, (~U ∧ ~V ) eta~W1 bektoreekiko elkarzut den beste bektore bat da, edo beste era batera esan-da, (~U ∧ ~V ) eta ~W1 bektoreek osatzen duten planoarekiko elkarzut den bektorebat. Ondorioz, π planoan egon behar da, hots, ~U eta ~V bektoreek osatzen dutenplanoan. Arrazoi honengatik, biderkaketa bektorial honen emaitza, ~U eta ~V bek-toreen konbinazio lineal bat bezala adierazi daiteke.

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W1 = λ~U + µ~V , non λ eta µ bi eskalar diren. Hemen frogatuko ezden kalkulu baten bidez, λ eta µ eskalarren balioak kalkulatu daitezke ~U, ~V eta~W bektoreen funtzioan:

λ = −~V · ~W eta µ = ~U · ~W

17 BIDERKAKETA BEKTORIAL BATEN NORMA 17

Beraz, hau da biderkaketa bektorial bikoitzaren espresio orokorra:

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W = (~U · ~W ) · ~V − (~V · ~W ) · ~U

16. BI BIDERKAKETA BEKTORIALEN BIDERKAKE-TA ESKALARRA (Lagrangen erlazioa)

Bi biderkaketa bektorialen biderkaketa eskalarretik abiatuta (~u ∧ ~v) · (~r ∧ ~s), soilikbiderkaketa eskalarrak izango dituen erlazioa erdietsi behar da. Transformazio honi, La-grangen transformazioa deitzen zaio.

Hau egiteko, lehenengo (~r ∧ ~s) bektoreari ~w deituko diogu, beraz:

(~u ∧ ~v) · (~r ∧ ~s) = (~u ∧ ~v) · ~w eta hau, biderkaketa misto bat da.

Biderkaketa mistoa zirkularki trukakorra denez, (~u ∧ ~v) · ~w = (~u · ~v · ~w) = (~w · ~u · ~v)

Honela; (~w · ~u · ~v) = (~w ∧ ~u) · ~v =(

(~r ∧ ~s) ∧ ~u)

· ~v, jarraian hiru bektoreen artekobiderkaketa bektorial hau garatuz, hurrengo emaitza lortzen dugu:

(

(~r ∧~s)∧ ~u)

·~v =(

(~r · ~u) ·~s− (~s · ~u) · ~r)

·~v, eta biderkaketa eskalarra banakorra denezbektoreen batuketarekiko:

(~u∧~v) ·(~r∧~s) = (~r ·~u) ·(~s ·~v)−(~s ·~u) ·(~r ·~v). Azkenik, biderkaketa eskalarra trukakorradenez ordenatu egingo dugu espresio hau:

(~u ∧ ~v) · (~r ∧ ~s) = (~u · ~r) · (~v · ~s)− (~u · ~s) · (~v · ~r)

Espresio honi Lagrangen erlazioa deitzen zaio.

17. BIDERKAKETA BEKTORIAL BATEN NORMA

Biderkaketa bektorial baten norma kalkulatzeko, Lagrangen espresioan oinarrituko gara.Honela, espresio honetan ~r = ~u eta ~s = ~v eginez:

(~u ∧ ~v) · (~u ∧ ~v) = (~u · ~u) · (~v · ~v)− (~u · ~v) · (~v · ~u), hau da:

nor (~u ∧ ~v) = nor ~u · nor ~v − (~v · ~u)2

Beraz, biderkaketa bektorial baten norma, bektore bakoitzaren normaren biderkaketa kenbi bektoreen biderkaketa eskalarraren karratua da.

18 OINARRI ORTONORMALA 18

18. OINARRI ORTONORMALA

Espazio bektorial batek izan ditzaken oinarri guztietatik, ortonormala dena aukeratu be-har da. Gogoratu behar da; oinarri batek sistema sortzailea izan behar duela eta oinarria os-atzen duten bektoreek beraien artean linealki independenteak direla. Bestalde, ortonormalaizateko bi baldintza hauek bete behar ditu:

1. Elementu guztien norma bat izan behar da.

2. Bi elementu edozeinen arteko biderkaketa eskalarrak, elementu neutroa eman behardu.

Fenomeno fisikoak gauzatzen diren espazio euklideoarentzat, oinarri ortonormal hauHamiltonen anotazioaren arabera~i ,~j eta ~k bektoreek osatzen dute. Ezaugarri hauek betetzendituzten bektoreei bertsoreak deitzen zaie (11. irudia).

j�

k�

i�

Figura 11: Oinarri ortonormala

Hiru bertsore hauek oinarri ortonormal bat osatzen dute, hurrengo baldintzak betetzendituztelako:

Sistema sortzailea dira (edozein bektore espresatu daiteke hauen konbinazio linealbezala).

Linealki independenteak dira (planokideak ez direlako).

Ortonormalak dira.

Frogapena:

nor~i = nor ~j = nor ~k = |1|2 = 1, eta:

~i ·~j = ~j ·~i =~i · ~k = ~k ·~i = ~j · ~k = ~k ·~j = 0 (~i , ~j eta ~k bektoreak beraienartean ortogonalak direlako).

Nahiz eta erabilera handirik ez izan, ~i, ~j eta −~k bektoreekin osatutako oinarri ortonor-mala ere existitzen da. Oinarri honi ezkerretara orientatutako oinarri ortonormala deitzenzaio (12. irudia).

19 ERREFERENTZIAKO ELKARREKIKO HIRUKOTEA 19

j�

k�

−

i�

Figura 12: Ezkerretara orientatutako oinarri ortonormala

19. ERREFERENTZIAKO ELKARREKIKO HIRUKOTEA

Bektoreen bi hirukote {~a,~b,~c} eta {~a′, ~b′, ~c′} elkarrekikoak direla esango dugu, hurrengobi baldintzak betetzen direnean:

~a · ~a′ = ~b · ~b′ = ~c · ~c′ = 1

~a · ~b′ = ~a · ~c′ = ~b · ~a′ = ~b · ~c′ = ~c · ~b′ = ~c · ~a′ = 0

Bektoreen hirukote bat izanda {~a,~b,~c}, hirukote honen hiru bektore elkarrekikoak kalku-latzeko, hurrengo espresioak aplikatu behar dira:

~a′ =~b ∧ ~c

(~a ·~b · ~c); ~b′ =

~c ∧ ~a

(~a ·~b · ~c); ~c′ =

~a ∧~b

(~a ·~b · ~c)

Honela, ~a · ~a′ egiterakoan, bi biderkaketa misto berdinen arteko zatiketa geratzen zaigu,beraz emaitza bat izango da. Bestalde, ~a · ~b′ biderkaketa egiterakoan, izendatzailean bektorebat errepikatua duen biderkaketa mistoa geratzen da, ondorioz honen emaitza zero izangodelarik.

Elkarrekikotasuna betetzen duten erreferentziako bi hirukoteek, ikuspuntu geometrikotikbegiratuta, bi triedro gehigarri osatzen dute, hau da, bi triedro osatzen dute, non baten ertzakbestearen aldeekiko elkarzutak diren.

Hirukote elkarrekikoen ezaugarriak aprobetxatu daitezke, eragiketak modu sinplifikatu-an egiteko.

Bedi, ~u eta ~v bektoreak, bakoitza besteak duen erreferentzia elkarrekiko batean espresat-ua:

~u = u1 · ~a + u2 ·~b + u3 · ~c

~v = v1 · ~a′ + v2 · ~b′ + v3 · ~c′

Bi bektore hauen arteko biderkaketa eskalarra:

~u · ~v = (u1 · ~a + u2 ·~b + u3 · ~c) · (v1 · ~a′ + v2 · ~b′ + v3 · ~c′) eta honen emaitza:

20 BEKTORE BATEN ESPRESIOA HAMILTONEN ANOTAZIOAN 20

~u · ~v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3, da.

~a · ~a′ = ~b · ~b′ = ~c · ~c′ = 1, eta:

~a · ~b′ = ~a · ~c′ = ~b · ~a′ = ~b · ~c′ = ~c · ~b′ = ~c · ~a′ = 0 delako.

GARRANTZITSUA

Eragiketa honetako zailtasun handiena, bektore bakoitza beraien artean elkarrekikoakdiren oinarrietan espresatua egon behar dela da. Arrazoi honengatik {~i,~j,~k} oinarri Hamil-toniarra, bere buruarekiko elkarrekikoa izateagatik da hain garrantzitsua eta erabilia.

20. BEKTORE BATEN ESPRESIOA HAMILTONEN AN-OTAZIOAN

Edozein bektore ~v, oinarri bat osatzen duten bektoreen konbinazio lineal bat bezala espre-satu daiteke. Honela, {~i,~j,~k} oinarri ortonormala aukeratuz gero, bektore hau honela espre-satu daiteke:

~v = v1 ·~i + v2 · ~j + v3 · ~k; kasu honetan v1, v2 eta v3 eskalarrak, ~v bektoreak oinarriortonormalean dituen osagaiak dira (13. irudia).

j�

k�

α

β

γ

iV�

1

jV�

2

kV�

3

V�

i�

Figura 13: Bektore baten espresioa Hamiltonen anotazioan

Bektore honen ezaugarriak:

Modulua; |~v| =√

v21 + v22 + v

23

21 BEKTOREEN ARTEKO ERAGIKETEN ESPRESIO ANALITIKOA,HAMILTONEN ANOTAZIOAN 21

Bektorearen kosinu zuzentzaileak (bektorearen aplikazio lerroaren norabidea definitzendute):

cos α =v1|~v|

; cos β =v2|~v|

; cos γ =v3|~v|

|~v| = 1 den kasuan; cos α = v1 , cos β = v2 eta cos γ = v3.

Beraz, ~v = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k

Espresio hau, bektore unitario, bertsore, baten espresioa da norabide jakin batean, berekosinu zuzentzaileekin adierazita.

21. BEKTOREEN ARTEKO ERAGIKETEN ESPRESIOANALITIKOA, HAMILTONEN ANOTAZIOAN

Bektoreen batuketa

Bi bektore hauek izanda; ~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k eta ~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k, bienarteko batura den ~w bektorea:

~w = ~u + ~v = w1 ·~i + w2 ·~j + w3 · ~k = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k + v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k =(u1 + v1) ·~i + (u2 + v2) ·~j + (u3 + v3) · ~k, eta hemendik:

~w bektorearen osagaiak, ~u eta ~v bektoreen osagaien batura dira:

w1 = u1 + v1w2 = u2 + v2w3 = u3 + v3

Eskalar bat eta bektore baten arteko biderkaketa

Bedi, λ eskalarra eta ~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k bektorea.

Hauen arteko biderkaketa: ~v = λ ·~u = v1 ·~i+v2 ·~j +v3 ·~k = λ · (u1 ·~i+u2 ·~j +u3 ·~k) =λ · u1 ·~i + λ · u2 ·~j + λ · u3 · ~k

~v bektorearen osagaiak, λ eta ~u bektorearen osagaien arteko biderkaketa dira:

v1 = λ · u1v2 = λ · u2v3 = λ · u3

Bi bektoreren arteko biderkaketa eskalarra


Bi bektore izanda; ~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 ·~k eta ~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 ·~k, hauen artekobiderkaketa eskalarra, kontuan izanda bektoreen arteko biderkaketa eskalarra banakorra delabatuketarekiko:

~u · ~v = (u1 ·~i + u2 · ~j + u3 · ~k) · (v1 ·~i + v2 · ~j + v3 · ~k) = u1 · v1 ·~i ·~i + u1 · v2 ·~i ·~j+u1 ·v3 ·~i ·~k+u2 ·v1 ·~j ·~i+u2 ·v2 ·~j ·~j +u2 ·v3 ·~j ·~k+u3 ·v1 ·~k ·~i+u3 ·v2 ·~k ·~j+u3 ·v3 ·~k ·~k

Emaitza hau anotazio matriziala erabiliz adierazten badugu:

~u · ~v =(

u1 u2 u3)

~i ·~i ~i ·~j ~i · ~k~j ·~i ~j ·~j ~j · ~k~k ·~i ~k ·~j ~k · ~k

v1v2v3

Kontuan izanda {~i,~j,~k} oinarriak ezaugarri ortonormalak dituela, aurreko espresioko3x3 matrizea honela geratzen da:

1 0 00 1 00 0 1

Ondorioz, bi bektoreen arteko biderkaketa eskalarra honela espresatu daiteke:

~u · ~v =(

u1 u2 u3)

1 0 00 1 00 0 1

v1v2v3

= u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3

Espresio hau, oinarri elkarrekikoetan espresatutako bektoreen arteko biderkaketa eskalar-rean lortu genuen erantzun berdina da, baina kasu honetan abantaila bat izan dugu; bi bek-toreak oinarri berdinean espresatuta daudela.

Bi bektoreren arteko biderkaketa bektoriala

Bedi, ~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k eta ~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k bektoreak, egin dezagunbi bektore hauen arteko biderkaketa bektoriala, kontuan izanda bektoreen arteko biderkaketabektoriala banakorra dela bektoreen batuketarekiko:

~u∧~v = (u1·~i+u2·~j+u3·~k)∧(v1 ·~i+v2·~j+v3·~k) = u1·v1·(~i∧~i)+u1·v2·(~i∧~j)+u1·v3·(~i∧~k)+u2 ·v1 ·(~j∧~i)+u2·v2 ·(~j∧~j)+u2 ·v3 ·(~j∧~k)+u3 ·v1 ·(~k∧~i)+u3 ·v2 ·(~k∧~j)+u3·v3 ·(~k∧~k)

Emaiza hau anotazio matriziala erabiliz espresatzen badugu:

~u ∧ ~v =(

u1 u2 u3)

~i ∧~i ~i ∧~j ~i ∧ ~k~j ∧~i ~j ∧~j ~j ∧ ~k~k ∧~i ~k ∧~j ~k ∧ ~k

v1v2v3


Oinarri ortonormalen ezaugarriak aplikatuz, aurreko espresioan dagoen 3x3 matrizeahonela geratzen da:

~0 ~k −~j

−~k ~0 ~i~j −~i ~0

Eta espresio hau garatuz, bi bektoreen arteko biderkaketa bektorialak forma hau hartzendu:

~u ∧ ~v =

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣

Hemen lortutako espresio honekin, biderkaketa bektorialak batuketarekiko duen ezau-garri banakorra baieztatu dezakegu.

Biderkaketa bektoriala banakorra da bektoreen batuketarekiko

Frogapen hau determinanteek duten ezaugarrietan oinarrituz egingo dugu:

~u ∧ (~v ∧ ~w) = ~u ∧ ~v + ~u ∧ ~w

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ku1 u2 u3

(v1 + w1) (v2 + w2) (v3 + w3)

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ku1 u2 u3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣

Biderkaketa mistoa

Bedi, ~u, ~v eta ~w bektoreak:

~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k

~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k

~w = w1 ·~i + w2 ·~j + w3 · ~k

(~u · ~v · ~w) = (~u ∧ ~v) · ~w biderkaketa mistoa eginez gero, 27 batugai dituen espresio batematen du. Hauek modu sinplifikatuan idatzi ditzakegu hurrengo anotazioa erabiliz:

(~u · ~v · ~w) =

∣∣∣∣∣∣∣

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣

· (~i ·~j · ~k)

Espresio honetan (~i ·~j · ~k) biderkaketa mistoaren emaitza bat denez:

22 BEKTORE BATEN DERIBATUA ESKALAR BATEKIKO 24

(~u · ~v · ~w) =

∣∣∣∣∣∣∣

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣

Honela, biderkaketa mistoaren emaitza, eskalarrekin osatutako determinante hau ebazter-akoan lortuko dugu. Argi ikusi daitekeenez, emaitza hau eskalar bat izango da.

Bektore baten proiekzioa ardatz batean

Ardatz bat, orientazioa duen lerro zuzen bat da. Orientazio hau, ~u bektore unitario batekindefinitu daiteke.

Beraz, ~u = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k bektore unitarioa definituko dugu, bektore honekdituen koefizienteak, lerro zuzenaren kosinu zuzentzaileak direlarik.

Bedi ~v proiektatu behar den bektorea: ~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k

Gogoratu dezagun Proiek~u~v = ~v · ~u dela, beraz:

Proiek~u~v = v1 · cos α + v2 · cos β + v3 · cos γ

Bektore baten proiekzioa plano batean

Bedi π planoa, plano honekiko elkarzut den ~u bektore unitarioarekin definitzen dena.

~a bektorearen proiekzioak π planoan duen modulua (|~a|·sinα) da. Honek ~u∧~a biderkake-ta bektorialean pentsa arazten digu, |~u∧~a| = |~u| · |~a| · sin α delako. Baina ~u∧~a bektorea lor-tu nahi den proiekzioarekiko π/2 radianetako angelua desbideratuta dago. Hau zuzentzeko,~u∧~a bektorea ~u bektorearekin bektorialki biderkatuko dugu, π/2 radianetako desbideraketazuzendu eta izaera bektoriala mantentzeko (14. irudia).

Laburtuz; Proiekπ~a = (~u ∧ ~a) ∧ ~u

Biderkaketa bektorial bikoitzean lortu genuen emaitza aplikatuz eta espresio hau garatuz:

Proiekπ~a = (~u ∧ ~a) ∧ ~u = (~u · ~u) · ~a− (~a · ~u) · ~u = ~a− (|~a| cos α ) · ~u

22. BEKTORE BATEN DERIBATUA ESKALAR BATEKIKO

Bedi, u eskalarraren funtzioan espresatuta dagoen ~v bektorea; ~v = ~v(u)


u�

au��

∧

a�

απ

aProiekuau��

π=∧∧ )(

Figura 14: Bektore baten proiekzioa plano batean

Honela definitzen da ~v bektorearen deribatua u eskalarrarekiko; ~v(u +4u) − ~v(u) eta4u arteko zatiketaren limitea, hau existitzen bada, 4(u) zerora hurbiltzen denean.

d~v

du= ĺım

4u→0

~v(u +4u)− ~v(u)

4u

Interpretazio geometrikoa

Bedi ~v1, ~v(u) bektoreak “u” eskalarrarentzat hartzen duen balioa, ~v1 = ~v(u).

Era berean, ~v2 bektorea definituko dugu, ~v(u) bektoreak “u + 4u” eskalarrarentzathartzen duen balioa bezala, ~v2 = ~v(u +4u).

d~vdu deribatuaren balioa,

~v2 − ~v14u zatikiak limitean hartzen duen balioa izango da, hau da,

~v2 − ~v1 norabidea duen bektore bat izango da (15. irudia).

)(1 uvv��

=

)(2 uuvv ∆+=��

12 vv��

−

Figura 15: Bektore baten deribatuaren interpretazio geometrikoa

Kontuan izan behar da, nahiz eta ~v(u) bektorearen modulua konstante mantendu, nora-

bide aldaketa izaten bada, beti existituko dela d~vdu .


Bektore baten deribatuaren espresio analitikoa

Bedi u eskalarraren funtzioan dagoen hurrengo bektorea: ~v = x ·~i + y ·~j + z · ~k

Honek esan nahi du, orokorrean bektore honen osagaiak u eskalarraren funtzioan egongodirela:

x = x(u) ; y = y(u) ; z = z(u)

Ondorioz ~v bektorea honela espresatu ahal izango dugu:

~v(u) = x(u) ·~i + y(u) ·~j + z(u) · ~k

Bektore honen deribatua u eskalarrarekiko:

d~v

du= ĺım

4u→0

~v(u +4u)− ~v(u)

4u=

= ĺım4u→0

x(u +4u) ·~i + y(u +4u) ·~j + z(u +4u) · ~k − [x(u) ·~i + y(u) ·~j + z(u) · ~k]

4u=

= ĺım4u→0

[

x(u +4u)− x(u)

4u

]

·~i+ ĺım4u→0

[

y(u +4u)− y(u)

4u

]

·~j+ ĺım4u→0

[

z(u +4u)− z(u)

4u

]

·~k =

=dx

du·~i +

dy

du·~j +

dz

du· ~k

Lortu dugun emaitza hau honela enuntziatu daiteke: bektore baten deribatua eskalarbatekiko, beste bektore bat da, non honen osagaiak, hasierako bektoreak dituen osagai bakoitzarenderibatuak diren eskalar horrekiko.

ABIADURA ETA AZELERAZIOA BEKTOREEN INGURUKO AZALPEN ZINE-MATIKOAKKasu hauek aztertuko ditugu:

1. ~v bektoreak, modulua eta norabidea konstanteak dituen kasua.

Azelerazioa honela definituko dugu: ~a = d~vdt

, hau da, abiadura bektorearen deribatuadenborarekiko. Kasu honetan abiadura konstantea denez d~v

dt= ~0 izango da, beraz, azel-

erazioa zero da. Ondorioz, higidura zuzen eta uniforme baten kasuan aurkitzen gara.

23 BEKTORE LABAINKORREZ OSATURIKO SISTEMEN AZTERKETA 27

2. ~v bektoreak, modulua aldakorra baina norabidea konstantea duen kasua.

~a = d~vdt =d(v · ~τ)

dt , non ~τ ibilbidearen norabidea duen bektore unitarioa den, etagogoratu behar da norabide hau konstantea dela kasu honetan.

~a = d~vdt

=d(v · ~τ)

dt= dv

dt· ~τ + v · d~τ

dtd~τdt zero da, ibilbidearen norabidea konstantea delako, ondorioz:

~a = dvdt · ~τ = ~aτ azelerazio honi tangentziala deituko diogu, eta bere norabidea,ibilbideak duena izango da.

Kasu honetan, higidura zuzen eta aldakor baten aurrean gaude, eta azelerazioa positi-boa edo negatiboa izango da dv

dteskalarrak hartuko duen zeinuaren arabera.

3. ~v bektoreak, modulua konstantea eta norabidea aldakorra duen kasua.

Azelerazioaren espresio orokorra: ~a = d~vdt =d(v · ~τ)

dt =dvdt · ~τ + v ·

d~τdt da.

Orain, lehengo batugaia zero izango da abiadura bektorearen modulua konstantea de-lako, ondorioz honen deribatua denborarekiko zero da.

Hau da, ~a = v · d~τdt = ~aη.

Azelerazio normala, ibilbidearen kurbadura erradioa ρ, eta ibilbidearekiko norabidenormala duen bektore unitarioarekiko ~η ere espresatu daiteke; ~an = v

2

ρ· ~η. Honen

frogapena zinematika aztertzen den gaian egiten da.

Kasu honetan, azelerazio tangentziala zero duen higidura lerromakur baten aurreangaude.

4. ~v bektoreak, modulua eta norabidea aldakorrak dituen kasua.

Azelerazioaren espresio orokorretik abiatuta, ibilbidearekiko osagai tangentzial eta

normalean deskonposatuko dugu:~a = d~vdt =d(v · ~τ )

dt =dvdt ·~τ +v ·

d~τdt =

dvdt ·~τ +

v2ρ ·~η.

Kasu honetan bi batugaietatik bat ere ez da anulatzen, abiadura bektoreak moduluazein norabidea aldakorrak dituelako.

Ondorioz, azelerazio normal eta tangentziala dituen higidura lerromakur baten aurre-an gaude.

~a = ~an + ~aτ =v2ρ · ~η +

dvdt · ~τ

23. BEKTORE LABAINKORREZ OSATURIKO SISTE-MEN AZTERKETA

Kapitulu honetan indar estatikoen azterketa egingo da. Indar mota hau bektore labainko-rrekin errepresentatzen da.


Solido deformaezin bat, indar sistema baten eraginpean orekan mantentzen bada, eta in-dar hauek beraien akzio lerroan desplazatzen baditugu norabidea eta norantza mantenduz,solido deformaezinak zuen oreka ez dela aldatzen ikusi dezakegu. Nahiz eta kasu batzuetan,oreka egonkorra izatetik oreka ezegonkorra izatera pasatu daitekeen.

23.1. BEKTORE BATEN MOMENTU ZENTRALA

Bedi AA′ akzio lerroan eragin eta A puntuan aplikatuta dagoen ~a bektore labainkorra.Honela, ~a bektoreak 0 puntuarekiko egiten duen momentua

−→0A ∧ ~a biderkaketa bektoriala

bezala definitzen dugu.

~M =−→0A ∧ ~a biderkaketa bektorialean,

−→0A bektoreari ~r deitu diezaiokegu; A puntuaren

kokapen bektorea 0 jatorriarekiko. Honela, momentuaren espresioa:

~M = ~r ∧ ~a

Jarraian, ~M bektorearen inguruan hainbat ezaugarri aipatuko ditugu:

1. Momentuaren balioa ez dago bektore labainkorraren akzio lerroan aukeratutako pun-tuaren menpe (16. irudia).

a�

A′

A

0

a�

r�

r� ′

Figura 16: Bektore baten momentu zentrala

Hau frogatzeko, aukeratu dezagun ~a bektorearentzat honen akzio lerroan dagoen besteaplikazio puntu bat A′.

~a bektorearentzat aplikazio puntua A puntua aukeratuta: ~M = ~r ∧ ~a

Bestalde, ~a bektorearentzat A′ puntua aukeratuz aplikazio puntu bezala:

~M ′ = ~r′ ∧ ~a = (~r +−−→AA′) ∧ ~a = ~r ∧ ~a +

−−→AA′ ∧ ~a︸︷︷︸

= ~r ∧ ~a = ~M

Aurreko espresioko batugai hau:−−→AA′ ∧ ~a = ~0 da, bi bektore lerrokideen arteko

biderkaketa bektoriala delako.


2. ~a bektoreak 0 puntuarekiko sortzen duen momentua zero izateko, bektorearen akziolerroa 0 puntutik pasa behar da.

Hau da, ~r ∧ ~a = ~0 izateko, ~r eta ~a bektoreek lerrokideak izan behar dute.

3. ~a bektoreak 0 eta 0′ puntuekiko momentu berdina izateko puntu hauek bete behar dutenbaldintzak (17. irudia).

A

0

a�

r� r

�

′

0′

Figura 17: Bektore baten momentu zentrala puntu desberdinekiko

~M0 = ~r ∧ ~a =−→0A ∧ ~a

~M0′ = ~r′ ∧ ~a =−→0′A ∧ ~a

17. iruditik ikusi dezakegu−→0′A =

−→0′0 +

−→0A dela, emaitza hau aurreko espresioan

ordezkatzen badugu:

~M0′ = (−→0′0 +

−→0A) ∧ ~a =

−→0′0 ∧ ~a +

−→0A ∧ ~a =

−→0′0 ∧ ~a + ~M0

Espresio hau ikusi ondoren, zera enuntziatu dezakegu: ~a bektoreak espazioko edozeinpunturekiko (0′) sortzen duen momentua, hurrengo bi batugaiekin kalkulatu daite-keela; lehenengoa, ~a bektoreak espazioko puntu jakin batekiko (0) sortzen duen mo-mentua, eta bigarrena, 0 puntuan ~a bektorearen bektore ekipolente batek 0′ puntu-arekiko sortzen duen momentua.

Lortu nahi duguna ~M0 = ~M0′ izatea baldin bada, aurreko espresioan erreparatuz,−→0′0 ∧ ~a = ~0 izan behar dela ondorioztatzen dugu. Honek esan nahi du

−→0′0 eta ~a bek-

toreak paraleloak izan behar dutela.

Ondorioz, bi puntu desberdinetatik (0 eta 0′) bektore batek egiten duen momentuaberdina izateko bete behar den baldintza, 0 eta 0′ puntuek elkatuz sortzen den lerroa,eta ~a bektorearen akzio lerroa paraleloak izatea da.

4. Momentu zentralaren espresio analitikoa

Bedi A(x, y, z) koodenatuak dituen puntuan aplikatuta dagoen ~a = a1~i + a2 ~j + a3 ~kbektorea.

Hurrengo espresioak, ~a bektoreak (x0, y0, z0) koodenatuak dituen puntuarekiko egitenduen momentua ematen digu.

~M0 = ~r ∧ ~a =

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kx− x0 y − y0 z − z0

a1 a2 a3

∣∣∣∣∣∣∣

= [a3 · (y − y0)− a2 · (z − z0)] ·~i+


[a1 · (z−z0)−a3 · (x−x0)] ·~j +[a2 · (x−x0)−a1 · (y−y0)] ·~k = Mx~i+My ~j +Mz ~k.

Emaitza honetako, Mx, My eta Mz osagaiak, ~M bektoreak X, Y eta Z ardatzetan duenproiekzioak dira.

23.2. BEKTORE BATEN MOMENTU AXIALA

Momentu honi, bektore baten momentua ardatz batekiko ere deitzen zaio.

Bedi, ~u bektore unitarioak orientatzen duen MN lerro zuzena (ikusi dugun bezala, ori-entazioa duen lerro zuzena, ardatza da), eta A aplikazio puntua duen ~a bektorea. Honela,~a bektorearen momentu axiala ~u bektore unitarioak orientatzen duen ardatzarekiko honeladefinitu dezakegu: ~a bektoreak ardatzekoa den edozein (0) punturekiko egiten duen momen-tu zentralaren proiekzioa, ~u bektore unitarioak definitzen duen ardatzaren norabidean (18.irudia).

uM �′

uM �

M

N

0

r�

a�

u�0M

�

A

0′

0′M�

Figura 18: Bektore baten momentu axiala

Ondorioz, bektore baten momentu axiala eskalar bat izango da. Definizioa aplikatuz:

M~u = Proiek~u ~M0 = ~M0 · ~u = (~r ∧ ~a) · ~u = (~r · ~a · ~u)

Hau da, bektore baten momentua ardatz batekiko, ~r, ~a eta ~u bektoreen arteko biderkaketamistoa da.

Emandako definizioak zentzua izan dezan, momentu axialaren balioa, ardatzean auker-atutako edozein puntutarako balio behar du, hots, 0 puntuak independentea izan behar du.

Hau frogatzeko, ardatzean beste puntu bat 0′ aukeratuko dugu (18. irudia), eta ~a bektore-aren momentu axiala MN ardatzarekiko kalkulatuz, lehen lortutako erantzun bera irtengozaigu:

M ′~u = (−→0′A · ~a · ~u) = (

−→0′A ∧ ~a) · ~u

−→0′A =

−→0′0 +

−→0A dela kontuan izanda:


M ′~u = [(−→0′0 +

−→0A) ∧ ~a] · ~u = (

−→0′0 ∧ ~a) · ~u + (

−→0A ∧ ~a) · ~u = (

−→0′0 · ~a · ~u) + (

−→0A · ~a · ~u)

Ikusten dugun bezela, lehenengo batugaia bi bektore lerrokideak (−→0′0 eta ~u) dituen biderkake-

ta mistoa da, ondorioz batugai hau anulatu egingo da;

M ′~u = (−→0A ∧ ~a) · ~u = M~u

Beraz, frogatuta geratzen da bektore baten momentu axiala ardatz batekiko, independen-tea dela ardatzean aukeratutako puntuarekiko.

Bektore baten momentu axialak dituen ezaugarriak

1. Bektore baten momentu axiala anulatzeko baldintzak.

Bektore baten momentu axiala zero izaten bada: (~r · ~a · ~u) = 0.

Hau ~r, ~a eta ~u bektoreak planokideak direnean gauzatuko da. Baldintza hau emateko,~a bektorearen akzio lerroak, ~u bektore unitarioak definitzen duen ardatza puntu bateanmoztu behar du.

Beste aukera bat, ~a eta ~u bektoreak paraleloak izatea da.

2. Bektore baten momentu axiala bi ardatz paraleloekiko.

Bedi bektore unitario berdinarekin definitutako bi ardatz paralelo, eta ~a bektorea.

Ardatz hauetan 0 eta 0′ puntuak aukeratzen ditugu, ~a bektorearen ~r eta ~r′ kokapen bek-toreak definitzeko hurrenez hurren (19. irudia).

0

r�

a�

u�

A0′

u�

r ′�

Figura 19: Bektore baten momentu axiala bi ardatz paraleloekiko

Jarraian, ~a bektoreak bi ardatz hauekiko sortzen duen momentu axialen artean ematenden erlazioa kalkulatuko dugu. Honetarako, ~a bektoreak lehenengo ardatzarekiko egit-en duen momentu axialari M~u deituko diogu, eta bigarren ardatzarekiko egiten duenariM ′~u.

M~u = (−→0A · ~a · ~u) = (~r · ~a · ~u)


19. iruditik, ~r =−→00′ +

−→0′A dela ikusi daiteke, beraz:

M~u = (−→00′ · ~a · ~u) + (

−→0′A · ~a · ~u)

Ondorioz: M~u = (−→00′ · ~a · ~u) + M ′~u

Erantzun honetatik ikusi daiteke, M~u = M ′~u izateko, (−→00′ · ~a · ~u) = 0 izan behar dela,

hau da; ~a bektorea,−→00′ eta ~u bektoreek osatzen duten planoarekiko paraleloa izatea,

hots, bi ardatzek osatzen duten planoarekiko paraleloa izatea.

3. Bektore baten momentu axialaren espresio analitikoa.

Bedi (a1, a2, a3) osagaiak dituen ~a bektorea. Demagun bektore honen aplikazio puntuaA(xA, yA, zA) dela.

Jarraian, ~u = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k kosinu zuzentzaileekin definitutako bektoreunitarioak markatzen duen ardatzean, 0(x0, y0, z0) osagaiak dituen puntu bat auker-atzen dugu.

Honela, ~a bektoreak, ~u bektore unitarioak definitzen duen ardatzarekiko egiten duenmomentu axiala M~u hurrengo espresio analitikoarekin kalkulatzen da:

M~u = (−→0A · ~a · ~u) =

∣∣∣∣∣∣∣

xA − x0 yA − y0 zA − z0a1 a2 a3

cos α cos β cos γ

∣∣∣∣∣∣∣

23.3. BEKTORE LABAINKORREN SISTEMA BATEN ERRESUL-TANTEA

Sistema osatzen duten bektoreak ~a1, ~a2, . . . ~an izaten badira, bektoreen erresultantea hauenbatura izango da:

~R =i=n∑

i=1

~ai

Erresultantea kalkulatzeko, sistema osatzen duten “n” bektoreak askeak direla suposatukodugu, ondorioz, erresultantea ere bektore askea izango da. ~R bektoreak bakarrik ez du errep-resentatzen sistema osoa, bektore hau sistemaren ezaugarri bat da. Sistema guztiz definitzeko,beharrezkoa da sistema osoaren momentua ezagutzea “P ” puntu jakin batekiko. Momentuhau, ~ai bektore bakoitzak “P ” puntuarekiko egiten duten momentuen batura da. Honela,bektoreen erresultantea eta bektore bakoitzak puntu finko batekiko egiten duen momentu-aren baturarekin, sistema guztiz definitua geratuko da.

Bektore labainkorren sistema hau, solido zurrun batean aplikatuta dauden indarren sis-tema bat dela suposatzen badugu, kasu zehatz honetan, indarren sistema solido zurrunekopuntu batean: indarren erresultantea ~R (bektore askea) eta momentu erresultante ~M0 (bek-tore finko edo lotua) batekin ordezkatu daiteke.


23.4. BEKTORE-PAREA

Bedi bi bektore labainkorrez osaturiko sistema. Bektore hauen akzio lerroak paraleloakdira, modulu berdina dute baina aurkako norantza (20. irudia).

0

aa��

−=′

A

A′

a�

Figura 20: Bektore-parea

Sistema honen ezaugarriak hurrengoak dira:

~R = ~a + ~a′ = ~a + (−~a) = ~0

~M0 =−→0A∧~a +

−→0A′ ∧ ~a′ =

−→0A∧~a +

−→0A′ ∧ (−~a) =

−→0A∧~a−

−→0A′ ∧~a = (

−→0A−

−→0A′)∧~a

~M0 =−−→AA′ ∧ ~a

Emaitza honetan ikusten dugu, bektoreen sistema honek sortzen duen momentua ez delaaukeratzen den puntuaren araberakoa. Sistema batean ezaugarri hau ematen denean, bektore-parea dela esaten da.

23.5. MOMENTU MINIMOA

Orain arte ikusitakoaren arabera, bektore labainkorrekin osatutako sistema bat, “P ” pun-tu batean; ~R erresultante bat eta ~MP momentuen erresultante batekin ordezkatu daiteke.Honela, ~R erresultantea, sistema hau osatzen duten bektore labainkorrak askeak direla su-posatuz, “P ” puntura trasladatu eta bektore guzti hauen batura da. Ondorioz ~R erresultan-tea ere bektore aske bat izango da. Bestalde, ~MP momentuen erresultatea, sistema osatzenduten bektore labainkor bakoitzaren momentua kalkulatuko da “P ” puntuarekiko, ondorenmomentu guzti hauen batuketa egiteko, ondorioz ~MP momentu erresultantea “P ” puntuarilotuta dagoen bektore finkoa izango da.

23.1. 3. ataleko 29. orrialdean frogatu dugu, bektore baten momentu zentrala puntu des-berdinekiko, hurrengo espresioarekin erlazionatu daitekeela:


~M0 =−→00′ ∧ ~a + ~M0′

Bektore labainkorrekin osatutako sistema ~a1,~a2, . . . ,~ai, . . . ,~an dela suposatzen badugu,aurreko espresioa sistema osoari aplikatzen badiogu:

~M01 = ~00′ ∧ ~a1 + ~M0′

1

~M02 = ~00′ ∧ ~a2 + ~M0′

2

......

......

...~M0i = ~00

′ ∧ ~ai + ~M0′i

......

......

...~M0n = ~00

′ ∧ ~an + ~M0′n

Gogoratuz, momentu erresultantea, bektore bakoitzak puntu finko batekiko egiten duenmomentu guztien batura dela:

~M0 = ~M01 + ~M02 + · · ·+ ~M0i + · · ·+~M0n

Eragiketak eginez, hurrengo emaitza lortzen dugu:

~M0 =−→00′ ∧ ~R + ~M0′

Berdinketaren bi aldeak ~R bektorearekin eskalarki biderkatzen baditugu:

~M0 · ~R = (−→00′ ∧ ~R) · ~R + ~M0′ · ~R

Berdinketaren eskuinean dagoen lehenengo batugaia, bi bektore lerrokide ( ~R eta ~R)dituen biderkaketa mistoa da, honek esan nahi du bere emaitza zero izango dela. Ondori-oz:

~M0 · ~R = ~M0′ · ~R

Gogoratu behar da espresio honetan ezin dela ~R bektorea sinplifikatu.

Biderkaketa eskalarraren definizioa aplikatuz, aurreko ekuazioa honela espresatu deza-kegu:

|~R| · Proiek~R~M0 = |~R| · Proiek~R

~M0′ , eta oraingo ekuazio honetan | ~R| sinplifikatu egindaiteke:

Proiek~R~M0 = Proiek~R

~M0′

Espresio honetatik zera ondorioztatu dezakegu: sistemaren edozein puntutan kalkulatu-tako momentu zentralaren proiekzioa erresultantearen norabidean konstante mantentzen dela.Proiekzioaren balio honi “m” deitzen zaio eta gogoratu behar da bektore baten proiekzioa


0 0′ 0′′

R�

0′M�

0 ′′M�

0M�

α′′α′αm

R�

R�

Figura 21: Momentu minimoa

ardatz batean, eskalar bat dela.

21. irudian ikusi dezakegu puntu desberdinekiko 0, 0′ eta 0′′ kalkulatutako momentuekbalio desberdinak ematen dutela: ~M0, ~M0′ eta ~M0′′ hurrenez hurren. Baina momentu hauenproiekzioa erresultantearen norabidean konstante mantentzen da.

Proiekzioen balioa “m”; positiboa, negatiboa edo zero izan daiteke α angelua π/2 radianbaino txikiagoa, handiagoa edo berdina izaten bada.

Sistema baten momentu minimoa honela definitzen dugu: momentu zentralaren deskon-posizioa ~R bektorearen norabidean, edo beste era batera esanda, “m” eskalarrari bektoreizaera emanda.

~Mmin = m ·~R

|~R|

23.6. BEKTORE LABAINKORREN SISTEMA BATEKO INBARIANTEAK

Orain arte ikusitakoaren arabera, zera ondorioztatzen dugu: bektore labainkorren sistemabateko inbarianteak, hots, espazioan aukeratutako puntuarekiko parametro independienteak,hurrengo hauek direla:

Erresultantea ~R.

Sistemaren momentu zentrala puntu batekiko eta erresultantearen arteko biderkaketaeskalarra: ~M0 · ~R = ~M0′ · ~R.

Puntu batean kalkulatutako momentuen erresultantearen proiekzioa ~R bektorearen nor-abidean: Proiek ~R ~M0 = Proiek~R ~M0′ , edo beste era batera esanda, momentu minimoa.

23.7. ARDATZ ZENTRALA

Bedi bektore sistema baten erresultantea ~R eta sistemaren momentua 0 puntuarekiko ~M0.


Honela errepresentatutako sisteman, 0 puntutik ~R bektorearekiko elkarzut den π planoadefinitzen dugu. Jarraian 0 puntuan aplikatuta dagoen ~M0 bektorea bi osagaietan deskon-posatzen dugu; lehena ~M1, ~R bektorearekin lerrokidea dena, eta bigarrena ~M2, π planoankokatua dagoena, eta ondorioz ~M1 osagaiarekiko elkarzut (22. irudia).

2M�

0

A0M

�

1M�

R�

π

α

Figura 22: Ardatz zentrala

Ardatz zentrala, momentu erresultantea eta bektoreen erresultantea lerrokideak diren lekugeometrikoa da. Leku geometriko hau ezagutzeko lehenik, π planoan dagoen A puntu bataurkitu nahi dugu. Puntu honek bete behar duen ezaugarria, puntu horretan hartutako mo-mentuen erresultantea eta bektoreen erresultantea lerrokideak izan behar direla da.

Hau egiteko, jadanik ezaguna den hurrengo espresioa aplikatuko dugu:

~MA =−→A0 ∧ ~R + ~M0

Lortu nahi duguna, ~MA eta ~R lerrokideak izatea denez, aurreko espresioan baldintza horiinposatuko dugu, hau da: ~MA ∧ ~R = ~0.

Baldintza hau inposatzeko ekuazioaren bi aldeak bektorialki biderkatuko ditugu ~R bek-toreagatik.

~MA ∧ ~R = (−→A0 ∧ ~R) ∧ ~R

︸︷︷︸+ ~M0 ∧ ~R = ~0

Biderkaketa bektorial bikoitza

Honela, biderkaketa bektorial bikoitza garatuz, honetarako 15. atalaren barnean, 17. or-rialdean ondorioztatutako espresio orokorra aplikatuko dugu :

(−→A0 · ~R) · ~R− (~R · ~R) ·

−→A0 + ~M0 ∧ ~R = ~0

(−→A0 · ~R) · ~R− nor ~R ·

−→A0 + ~M0 ∧ ~R = ~0

Espresio honetako lehenengo batugaia zero da,−→A0 eta ~R bektoreak beraien artean elka-

rzutak direlako:


A ∈ π0 ∈ π

}

=⇒−→A0 ∈ π =⇒

−→A0 · ~R = 0

Ondorioz: nor ~R ·−→A0 = ~M0 ∧ ~R, edo nor ~R ·

−→0A = ~R ∧ ~M0

Ekuazio honetan oinarrituz, A puntua finkatuko duen kokapen bektorea kalkulatu deza-kegu:

−→0A =

~R ∧ ~M0

nor ~R

Bestalde, kokapen bektore honek izango duen modulua:

|−→0A| =

|~R| · | ~M0| · sin α

|~R|2=| ~M2|

|~R|

Honela, π planoan dagoen A puntuaren kokapena kalkulatu dugu. Puntu honek betetzenduen ezaugarria, bektore sistemaren erresultantea eta momentu erresultantea puntu horretanlerrokideak direla da.

Jarraian π planotik kanpora, ezaugarri hau betetzen duten punturik existitzen diren azter-tu behar dugu. Honetarako, π planotik kanpo dagoen A′ puntua aukeratuko dugu, ondorenpuntu horretan ~R eta ~MA′ bektoreak lerrokideak izateko baldintza inposatuko dugularik.

Lehenengo sistemaren momentua kalkulatuko dugu A′ puntuarekiko, A punturako kalku-latua dugun momentuan oinarrituta:

~MA′ =−−→A′A ∧ ~R + ~MA

Puntu horretan sistemaren erresultantea eta momentu erresultantea lerrokideak izatekobete behar den baldintza:

~MA′ ∧ ~R = ~0, beraz, berdinketaren bi aldeak bektorialki biderkatuko ditugu ~R bektorea-gatik:

~MA′ ∧ ~R = (−−→A′A ∧ ~R) ∧ ~R + ~MA ∧ ~R = ~0

Lehen ikusi dugunez, A puntuan sistemaren erresultantea eta momentuen erresultantealerrokideak dira, ondorioz: ~MA ∧ ~R = ~0

Honek esan nahi du:

(−−→A′A ∧ ~R) ∧ ~R = ~0 ; (

−−→A′A · ~R) · ~R− (~R · ~R) ·

−−→A′A = ~0


(−−→A′A · ~R) · ~R − nor ~R ·

−−→A′A = ~0 (*)

−−→A′A · ~R 6= 0 da, biderkateta eskalar hau anulatzeko,

−−→A′A eta ~R bektoreak beraien artean

elkartzutak izan beharko zirelako, eta hau hasieran emandako hipotesien kontrakoa da, hauda, A′ puntua ez dagoenez π planoan,

−−→A′A bektorea ezin daiteke izan ~R bektorearekiko elka-

rzut.

Bestalde nor ~R ere ez da zero, honek esan nahi du (*) espresioan ~R eta−−→A′A linealki

dependenteak direla, edo beste modu batera esanda (*) espresioa anulatzeko ~R eta−−→A′A bek-

toreak lerrokideak izan behar dira.

Honekin ondorioztatu dezakegu A′ puntu guztiak π planoarekiko elkarzut den lerro zuzenbatean daudela, eta lerro zuzen honek π planoarekin duen intersekzio puntua A dela.

Lerro zuzen honi, sistemaren erresultantea eta momentu erresultantea lerrokideak direnlerroari, bektore labainkorren sistemaren ardatz zentrala deitzen zaio.

Erabiliko dugun erreferentzia sistema ~i, ~j eta ~k bektore unitarioekin osatutakoa izatenbada, eta ardatz zentrala lerro zuzen bat dela ondorioztatu dugula gogoratuz, honen ekuazioamodu jarraian honela espresatu dezakegu:

x− xAxR

=y − yA

yR=

z − zAzR

Ekuazio honetan eragiten duten parametroen esan nahia hurrengo hau da:

A(xA, yA, zA) ardatz zentralekoa den puntu baten osagaiak.

(xR, yR, zR) ardatz zentralaren norabidea definitze duten osagaiak. Gogoratu behar daardatz zentralak eta bektore sistemaren erresultanteak norabide bera dutenez, (xR, yR, zR)osagaiak, erresultanteak dituen (Rx, Ry, Rz) osagiak, edo hauekiko proportzionalak,izan daitezkeela.

(x, y, z) ardatz zentralaren aldagaiak.

Momentu minimoaren espresioa gogoratuz; ~Mmin = m ·~R

|~R|, hau da, espazioko puntu

batean sistemak sortzen duen momentuaren proiekzioa ~R erresultantearen norabidean ~M1.Proiekzio hau espazioan aukeratutako punutarekiko independentea da, bere balioa konstantemantentzen delarik. Bestalde, momentuaren ~M2 osagaia aukeratutako puntua edozein izandaere, ~R eta

−→0A bektoreekiko elkartzuta da, bere modulua espazioan aukeratutako puntua eta

ardatz zentralaren artean dagoen distantziarekiko zuzenki proportzionala delarik.

Ondorioz, sistema baten momentuek sortzen duten multzoak sistemaren ardatz zentralarekikosimetria zilindriko bat duela esan dezakegu, 23. irudian ikusten den bezala:

23. irudian erreparatuz, hurrengo puntu hauek ondorioztatu ditzakegu:


1M�

1M�

1MMmin��

=

A

0′1

0′

0′′

0

0′2

R�

π

0M�

0M ′�

0M ′′�

1M�

2M�

2M ′�

2M ′′�

10′M�

20 ′M�

1M�

1M�

Figura 23: Ardatz zentralaren ezaugarriak

1. ~R eta ~M bektoreek osatzen duten α angelua handitu egiten da, aukeratutako puntua ar-datz zentraletik geroz eta urrutiago dagoen heinean. Honela, tan α aukeratutako puntuaeta ardatz zentralaren artean dagoen distantziarekiko proportzionala da, ondorioz | ~M |proportzionalki hazten da distantzia honekiko.

2. ~M -rekiko bektore ekipolenteak, ardatz zentralarekiko paraleloa den lerro zuzen bateanaurkitzen dira. Adibidez: ~M0′

1eta ~M0′

2.

3. | ~M | berdina duten puntuek zilindro bat osatzen dute ardatz zentralaren inguruan. Adibidez:| ~M0′|, | ~M0′

1| eta | ~M0′

2|.

23.8. BEKTORE LABAINKORREZ OSATURIKO SISTEMEN SAILKA-PENA

Sailkapen hau egiteko, ~R eta “m” parametroek hartzen duten balioetan oinarrituko gara:

1. ~R 6= ~0 eta m 6= 0.

Kasu orokorra da hau. Ezaugarri hauek dituen sistemak, erresultante bat ~R eta mo-mentuen erresultante bat ~M izango du, gainera, bi bektore hauek beraien artean ez


dira elkarzutak izango. Kasu honen barnean, erreferentziatzat hartzen dugun puntuaardatz zentraleko puntua izaten bada, ~R eta ~M bektoreak lerrokideak izango dira, eta~M = ~Mmin izango da.

2. ~R 6= ~0 eta m = 0.

Kasu honetan espazioan aukeratutako edozein puntutan, ~R eta ~M bektoreak elkarzutakizango dira. Momentu minimoa zero denez, bektore labainkorren sistema hau ardatzzentraleko puntuetan ~R erresultantearekin soilik ordezkatuko da.

3. ~R = ~0 eta m 6= 0.

~R = ~0 denez ardatz zentrala infinituan kokatua dagoela esan daiteke, edo ez dela ex-istitzen. Momentuak balio bera du espazioko puntu guztietan, ondorioz, sistema haubektore-pare baten baliokidea da.

4. ~R = ~0 eta m = 0.

Sistema hau bektore nuluaren baliokidea da. Sistema material batean ezer ere ez ap-likatzearen baliokidea da.

23.9. BEKTORE SISTEMA PLANOKIDEAK, ELKARTOPAKORRAKETA PARALELOAK

23.9.1. BEKTORE SISTEMA PLANOKIDEAK

Bedi π planoan dauden ~a1, ~a2, . . . , ~an bektoreez osaturiko sistema.

Hauen erresultantea ~R =i=n∑

i=1

~ai, da, eta sistema osatzen duten bektore guztiak π planoan

daudenez: ~R ∈ π.

Bektore sistema honek, π planoan dagoen 0 puntuarekiko egiten duen momentua:

~M0 =i=n∑

i=1

(−→0Ai ∧ ~ai), momentu hau ~R bektorearekiko elkarzut izango da.

Ondorioz; ~R · ~M0 = 0 eta m = 0 izango dira.

Honela, ~R 6= ~0 denean bektore labainkorren sailkapeneko 2. kasuan aurkituko ginateke.Honek esan nahi du, bektore planokideen sistema bat, π planoan dagoen erresultante baten-gatik ordezkatu daitekeela. Ardatz zentrala ere π planoan egongo da, eta ardatz honetakoedozein puntutan hartutako momentua zero izango da.


23.9.2. BEKTORE SISTEMA ELKARTOPAKORRAK

Bedi ~a1, ~a2, . . . , ~an bektore sistema elkartopakorra eta orokorrean planokideak ez dire-nak. Bektore guztiak A puntutik pasatzen dira, eta ondorioz hauen erresultantea ere A pun-tutik pasako da.

Bektore bakoitzak A puntuarekiko egiten duen momentua zero izango denez, sistemaosoak A puntuarekiko egiten duen momentua zero da. Honek esan nahi du, ardatz zentralaA puntutik pasako dela, puntu honetan momentu minimoa ematen delako.

Kasu honetan ere, bektore labainkorren sailkapeneko 2. kasuan aurkitzen gara. Sistemahau ardatz zentraleko puntuetan ~R erresultantearekin soilik ordezkatu daiteke.

23.9.3. BEKTORE SISTEMA PARALELOAK

Sistema mota hau, bektore sistema elkartopakorren kasu berezi bat da. Oraingo kasuanbektoreek infinituan dagoen puntu batean elkartzen direla esan daiteke, eta ondorioz bektoreguztiek norabide berdina dute. Norabide hau hurrengo bektore unitarioarekin definitzen da:

~u = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k

Sistema hau osatzen duten bektore guztiek ~ai = ai ~u forma izango dute, eta ondoriozerresultantea:

~R =i=n∑

i=1

~ai =i=n∑

i=1

(ai ~u) = (i=n∑

i=1

ai) ~u

0 puntu batekiko momentua kalkulatzen badugu:

~M0 =i=n∑

i=1

~ri ∧ ~ai =i=n∑

i=1

~ri ∧ ai ~u =i=n∑

i=1

ai ~ri ∧ ~u = (i=n∑

i=1

ai ~ri) ∧ ~u

Eta ~M0 · ~R biderkaketa:

~M0 · ~R =[

(i=n∑

i=1

ai ~ri) ∧ ~u]

· (i=n∑

i=1

ai) ~u =[

(i=n∑

i=1

ai ~ri) · ~u · (i=n∑

i=1

ai) ~u]

= 0

~M0·~R biderkaketa zero irten zaigu, azken emaitzan dugun hiru bektoreren arteko biderkake-ta mistoan, bi bektore kolinealak direlako.

Beraz, ~M0 · ~R = 0 =⇒ m = 0, kasu honetan ere, bektore labainkorren sailkapeneko 2.kasuan aurkitzen gara.

BEKTOREEN SISTEMA PLANOKIDEAK, ELKARTOPAKORRAK ETA PAR-ALELOAK VARIGNONEN TEOREMA BETETZEN DUTE:


Bektore sistema baten erresultantea ardatz zentralean aplikatutako bektore labainkorradela suposatuz, bektore honek espazioan aukeratutako edozein punturekiko egiten duen mo-mentua eta bektore sistemaren momentu erresultantea aukeratutako puntu horrekiko berdi-nak dira (24. irudia).

Ardatz Zentrala

0

0M�

0��

=AMA

R�

Figura 24: Varignonen teorema azaltzeko irudia

~M0 =−→0A ∧ ~R + ~MA =⇒ ~MA = ~0 denez, ~M0 =

−→0A ∧ ~R

ARDATZ ZENTRALAREN KALKULUA, BEKTORE LABAINKOR ETA PAR-ALELOEN SISTEMATAN

Bedi ~a1, ~a2, . . . , ~ai, . . . , ~an bektore sistema paraleloa, hauen norabide komuna hurrengobektore unitarioak definitzen duelarik: ~u = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k (25. irudia).

u�

1a�

2a�

ia�

)( iiii zyxP

0 )( zyx

π

1r�

ir�

2r�

Figura 25: Ardatz zentralaren kalkulua, bektore labainkor eta paraleloen sistematan

Espazioko edozein puntu (0) aukeratuta, sistema osoak puntu honekiko egiten duen mo-mentua kalkulatuko dugu. Hau egiteko, aukeratu dugun 0 puntutik, bektoreen norabidearekiko


elkarzut den π planoa irudikatuko dugu. Honela, bektore bakoitzaren akzio lerroak pun-tu batean moztuko du plano hau. Puntu hauek 0 puntuarekin elkartzen baditugu, hurrengokokapen bektoreak sortzen dira: ~r1, ~r2, . . . , ~ri, . . . , ~rn

Orokorrean, ~ai bektorearen aplikazio puntua (xi, yi, zi) koordenatuekin errepresentatzenbadugu, eta (x, y, z) koordenatuekin kalkulatu behar dugun ardatz zentraleko puntu batenkoordenatuak: ~ri = (xi − x)~i + (yi − y) ~j + (zi − z) ~k.

Ardatz zentralaren ekuazioa kalkulatzeko, bektore labainkor eta paraleloekin osatutakosistema bat dela kontuan izanda, ardatz zentraleko edozein puntutan hartutako momentu er-resultantea zero denez, π planoan ardatz zentralekoa den puntua kalkulatuko dugu.

~M = (i=n∑

i=1

ai ~ri) ∧ ~u = ~0

Ekuazio hau garatzen badugu:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ki=n∑

i=1

ai (xi − x)i=n∑

i=1

ai (yi − y)i=n∑

i=1

ai (zi − z)

cos α cos β cos γ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= ~0 =⇒

=⇒

i=n∑

i=1

ai (yi − y) · cos γ −i=n∑

i=1

ai (zi − z) · cos β = 0

i=n∑

i=1

ai (zi − z) · cos α−i=n∑

i=1

ai (xi − x) · cos γ = 0

i=n∑

i=1

ai (xi − x) · cos β −i=n∑

i=1

ai (yi − y) · cos α = 0

Espresio hauek; (cos γ · cos β), (cos α · cos γ) eta (cos β · cos α) terminoengatik zatitzenbaditugu:

i=n∑

i=1

ai (yi − y)

cos β=

i=n∑

i=1

ai (zi − z)

cos γ

i=n∑

i=1

ai (zi − z)

cos γ=

i=n∑

i=1

ai (xi − x)

cos α

i=n∑

i=1

ai (xi − x)

cos α=

i=n∑

i=1

ai (yi − y)

cos β


Berdinketa hauetatik zera ondorioztatzen dugu:

i=n∑

i=1

ai (xi − x)

cos α=

i=n∑

i=1

ai (yi − y)

cos β=

i=n∑

i=1

ai (zi − z)

cos γ

Espresio hau garatuz:

i=n∑

i=1

ai xi − xi=n∑

i=1

ai

cos α=

i=n∑

i=1

ai yi − yi=n∑

i=1

ai

cos β=

i=n∑

i=1

ai zi − zi=n∑

i=1

ai

cos γ

Termino guztiak(

−i=n∑

i=1

ai)

batukariagatik zatitzen baditugu:

x−

i=n∑

i=1

ai xi

i=n∑

i=1

ai

cos α=

y −

i=n∑

i=1

ai yi

i=n∑

i=1

ai

cos β=

z −

i=n∑

i=1

ai zi

i=n∑

i=1

ai

cos γ

Honela, ardatz zentralaren ekuazioak ~u bektorearen norabidea duela baieztatzen dugu,eta gainera hurrengo koordenatuak dituen puntutik pasatzen dela:

i=n∑

i=1

ai xi

i=n∑

i=1

ai

,

i=n∑

i=1

ai yi

i=n∑

i=1

ai

,

i=n∑

i=1

ai zi

i=n∑

i=1

ai

23.9.4. BEKTORE LABAINKORREN SISTEMEN BATUKETA

Bedi {~R1, ~M10} eta {~R2, ~M20} bektore erresultante eta momentuen erresultantearekindefinitutako bi sistema.

Bi sistema hauen batura, hurrengo erresultante eta momentuen erresultantearekin adier-azi daiteke:

~R = ~R1 + ~R2

~M0 = ~M10 + ~M20

Baina m1 + m2 6= m izango da, ~R1 eta ~R2 bektoreak lerrokideak izan ezik ( ~R1 eta ~R2bektoreak lerrokideak direnean m1 + m2 = m dela baieztatu dezakegu).

bektoreakbektoreak c ugutz garitaonaindia antsoategi ingeniaritza mekanikoa saila gasteizko i.i.t....

Documents