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Actividad 2. Derivada de Funciones Trascendentales.
Docente en línea: María Mónica Contreras Oliver
Luis Alberto Velázquez Vázquez
Curso: Cálculo Diferencial BI-BCDI-1502S-B1-002
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios
Fecha de entrega: 20/septiembre/2015
Acapulco, Guerrero
Actividad 2. Derivada de Funciones Trascendentales.
Instrucciones:
1.- Calcula la siguiente derivada
a. .
Usamos la regla de cadena (En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.)
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=d (senu)du
Dado que
u= x+4x2−9
yddusenu=cosu
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( ddx ( x+4x2−9 ))Usamos la regla de división en (derivación de cocientes).
ddx ( x+4x2−9 )ddx ( uv )=
vdudx
−u dvdx
v2
dado estou=x+4→ dudx
=1 y v=x2−9→dvdx
=2 x
ddx ( x+4x2−9 )= x
2−9 (1 )−( x+4 )2x(x2−9)2
=x2−9−2 x ( x+4 )
(x2−9)2
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( x
2−9−2x ( x+4 )(x2−9)2 )
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=
cos( x+4x2−9 )(x2−9−2x ( x+4 ))
(x2−9)2
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=
(x2−9−2 x ( x+4 ))cos ( x+4x2−9 )(x2−9)2
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=
−(x2−8 x+9 )cos ( x+4x2−9 )(x2−9 )2
Calcular los siguientes límites:
a)
.
Si (f) del lim estaría indeterminada 00Demostración
limx→4
12+5 (4 )−6 (4 )2+4³8−6 (4 )−3 (4 )2+4³
=00
Aplicamos la regla del L`hopital
Notación:
Si , en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe
, entonces este límite coincide con.
Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma , donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:
Debemos derivar el numerado y denominador, para encontrar la solución a dada determinación basado en L'Hôpital;
Demostración:
limx→4
f (x)g (x)
=limx→4
5−12 x+3 x2
−6−6 x+3 x2=limx→4
5−12(4)+3(4)2
−6−6 (4 )+3(4 )2= 518
b) Calcular el siguiente limite
b. .
Ya conociendo un poco más la regla de L'Hôpital y evaluando el limite hallamos que es una determinación al igual que el limite anterior por ende aplicamos lo mismo.
Demostración:
limx→1
f (x)g (x)
=limx→1
13−14 x−3 x2+4 x3
−31+6 x +21x2+4 x3=limx→1
13−14(1)−3 (1)2+4(1)3
−31+6(1)+21(1)2+4 (1)3=00
Arroja de nueva cuenta un valor indeterminado como lo mencione anteriormente así procedemos a derivar:
limx→1
13−14 x−3 x2+4 x3
−31+6 x +21x2+4 x3=limx→1
f (x )g (x)
= limx→1
−14−6x+12 x2
6+42x+12 x2
limx→1
−14−6 (1 )+12 (1 )2
6+42 (1 )+12 (1 )2=−215
3.- Dada la función definida sobre el intervalo
hallar el valor que satisface .
f es continua en intervalo [ –2,2 ] y se derivara en (−2,2 )
si f ( x )=x3−4 x→f ( x )=3 x2−4
f (b )=f (2 )=23−4 (2 )=8−8=0f (a )=f (−2 )=−23−4 (−2 )=−8+8=0
derivamos en x=c
f (x )=3x2−4→f (c )=3c2−4b−a=2−(−2 )=2+2=4
Determinamos la ecuación
f (b )−f (a )=f (c ) (b−a )→0=3c2−4 (4 )→0=12c2−16
−12c2=−16→c2=43→c=±√ 43=± 2√3
4.- Dada la función definida en hallar que
satisface la relación .
1) s i f ´ (x )=x2−4 x→f ( x )=2x−42) f (b )=f (5 )=52−4 (5 )=25−20=53) f (a )=f (1 )=12−4 (1 )=1−4=−3
f (b )−f (a )=f ´ (c)(5−1).5−(−3 )=2c−4 (5−1 )8=2c−1616+8=2c
24=2c→ 242
=c→c=12
Referencias bibliográficas:Frank Ayres, jr. (1989). Calculo diferencial e integral, teoría y problemas resueltos.
Schaum mc Graw-Hill. Capítulo 3, 4, 5.http://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ayres.pdf
Luis Leithold (1981). El cálculo con geometría analítica. Harla Harper y Row latinoamericana. Capítulo 3.
Vi tutor. La regla de L'Hôpital.http://www.vitutor.com/fun/6/lopital.html
Vi tutor. Formulas derivadas.http://www.vitutor.com/fun/4/d_f.html
Julio Profesor. (2010). Derivadas. YouTube.https://www.youtube.com/watch?v=-91UZ9S19Oo