Universidad Austral de Chile

Facultad de Ciencias de la Ingeniería Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería

PAUTA CONTROL I – BAIN037 – Cálculo I para Ingeniería

02 – 09 – 2010 Pregunta 1(1.5 ptos)

Sea [ ] [ ]( )f x x x x= + − , x∈ℝ .Donde [ ] :• →ℝ ℤ es la función parte entera definida por:

[ ] ( )x máx n n x= ∈ ≤ℤ

Muestre que f no es diferenciable en 1. Solución Para que f no sea diferenciable 1 basta con mostrar que las derivadas laterales si existen no son iguales, es decir

' '(1) (1)f f− +≠

Luego se tiene que la derivada lateral izquierda es

[ ] [ ]

( )

'

0 0 0 0

'

0 0 0

1 (1 ) 1 1(1 ) (1) 0 1 0 1 1 1(1) lim lim lim lim

1 1 1 1 1 1(1) lim lim lim

21 1 1 11 1

h h h h

h h h

h h hf h f h hf

h h h h

h h hf

h h hh h

− − − −

− − −

−→ → → →

−→ → →

+ + + − + −+ − + + − − + −= = = =

+ − + += ⋅ = = =+ + + +⋅ + +

Por otro lado la derivada lateral derecha corresponde a

[ ] [ ]'

0 0 0 0

'

0 0

1 (1 ) 1 1(1 ) (1) 1 1 1 1(1) lim lim lim lim

1(1) lim lim

h h h h

h h

h h hf h f h hf

h h h h

hf Noexiste

h h h

+ + + +

− +

+→ → → →

+→ →

+ + + − + −+ − + + − −= = = =

= = →⋅

1f no diferenciable en∴ Pregunta 2 (2.0 ptos)

En la relación ( )2 2xarctan ln x y

yπ

= − +

, se define implícitamente y como función de x . Mostrar que

´x y

yx y

+=−

.

Solución

( )2 2xarctan ln x y

yπ

= − +

Derivando implícitamente se tiene:

( )2 2 2 2

1 ´ 1 12 2 ´

21

y xyx yy

y x yx

y

−⋅ = − ⋅ + + +

2y⇔

2 2 2

´y xy

x y y

−⋅+

1

2

= −

2 2

12

x y⋅ ⋅

+( )

2 2

´

1

x yy simplificando

x y

+

⇔+

( ) 2 2

1´y xy

x y⋅ − = −

+( ) 2 2

1´ 0

´ ´

´ ´

(́ )

´

x yy cancelando ya quex y

y xy x yy

x y xy yy

y x y x y

x yy siempre que x y

x y

⋅ + ≠+

⇔ − = − −⇔ + = −⇔ − = +

+⇔ = ≠−

Pregunta 3 (2.5 ptos) Sea C la curva definida por las ecuaciones paramétricas

( )( )

[ [ { }3

30, , 0

x a coscon a

y a sen

θθ π

θ

= ⋅ ∈ ∈ −= ⋅

ℝ .

Determine la ecuación de la recta tangente a C que es paralela a la recta de ecuación 1x y+ = . Solución La derivada de la curva C está dada por

3dy

dy addxdxd

θ

θ

−= =2( ) ( )

3

cos sen

a

θ θ⋅ ⋅2

( )cot( )

( )( ) ( )

cos

sensen cos

θ θθθ θ

= − = −⋅ ⋅

Además la pendiente de la recta tangente C debe ser paralela a la recta de ecuación 1x y+ = entonces

se tiene que 1m= − es decir 1dy

dx= − , luego

[ [

1

( ) 1

( ) 1 0,

4

dy

dxcot

cot para algún

θθ θ π

πθ

= −

− = −= ∈

∴ =

Finalmente para encontrar la ecuación de la recta tangente a C en 4

πθ = , se tiene que el punto

correspondiente es

3 3

2 2, ,

4 4 2 2x y a a

π π =

3 3

2 21 tan 1

2 2y a x a es la ecuación de la recta gente C paralela ala recta x y

∴ − = − ⋅ − + =