ayudantiano4_2014

IIS400 Sistemas Estocásticos

Aldo Vergara C.

Mayo 2014

Aldo Vergara C. () Cadenas de Markov Mayo 2014 1 / 7

Probabilidades de Transición

Una cadena de Markov X0, X1, . . . tiene la matriz de probabilidadesde transición

P =

24 0.6 0.3 0.10.3 0.3 0.40.4 0.1 0.5

35Si sabemos que el proceso comienza en el estado X0 = 1, determinePr[X0 = 1, X1 = 0, X2 = 2].

Una cadena de Markov X0, X1, . . . tiene la matriz de probabilidadesde transición

P =

24 0.3 0.2 0.50.5 0.1 0.40.5 0.2 0.3

35y la distribución inicial p0 = 0.5 y p1 = 0.5.Determine las probabilidades Pr[X0 = 1, X1 = 1, X2 = 0] yPr[X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0].


Modelamiento

Una urna contiene seis etiquetas, de las cuales tres son rojas y tresverdes. Se seleccionan dos etiquetas de la urna. Si una etiqueta esroja y la otra es verde, entonces las etiquetas seleccionadas sedescartan y se agregan a la urna dos etiquetas azules. De otro modo,las etiquetas seleccionadas son regresadas a la urna. Este proceso serepite hasta que la urna contenga solo etiquetas azules. Si Xnrepresenta el número de etiquetas rojas en la urna en la n-ésimaextracción, con X0 = 3. Encontrar la matriz de transición.

El programa de entrenamiento para los supervisores de producción de cierta compañíacontiene dos fases. La Fase I, que incluye 3 semanas de trabajo en el aula, va seguida de la FaseII consistente en 3 semanas de aprendizaje bajo la dirección de los supervisores ya trabajando.De la experiencia, la cía. espera que 60% de aquellos que inician el entrenamiento en el aulalogren pasar a la fase de aprendizaje, con el restante 40% que abandona completamente elprograma de entrenamiento. De aquellos que pasan a la fase de aprendizaje, 70% se gradúancomo supervisores, 10% deberán repetir la segunda fase y 20% quedan completamente fueradel programa. Construya en diagrama de estado de transicion.¿Cuántos supervisores puedeesperar la cia. de su programa de entrenamiento, si hay 45 personas en la fase de aula y 21personas en la fase de apredizaje? ¿Qué ocurre si hay 66 personas en la fase deentrenamiento?

s


Modelamiento

Una urna contiene seis etiquetas, de las cuales tres son rojas y tresverdes. Se seleccionan dos etiquetas de la urna. Si una etiqueta esroja y la otra es verde, entonces las etiquetas seleccionadas sedescartan y se agregan a la urna dos etiquetas azules. De otro modo,las etiquetas seleccionadas son regresadas a la urna. Este proceso serepite hasta que la urna contenga solo etiquetas azules. Si Xnrepresenta el número de etiquetas rojas en la urna en la n-ésimaextracción, con X0 = 3. Encontrar la matriz de transición.

El programa de entrenamiento para los supervisores de producción de cierta compañíacontiene dos fases. La Fase I, que incluye 3 semanas de trabajo en el aula, va seguida de la FaseII consistente en 3 semanas de aprendizaje bajo la dirección de los supervisores ya trabajando.De la experiencia, la cía. espera que 60% de aquellos que inician el entrenamiento en el aulalogren pasar a la fase de aprendizaje, con el restante 40% que abandona completamente elprograma de entrenamiento. De aquellos que pasan a la fase de aprendizaje, 70% se gradúancomo supervisores, 10% deberán repetir la segunda fase y 20% quedan completamente fueradel programa. Construya en diagrama de estado de transicion.¿Cuántos supervisores puedeesperar la cia. de su programa de entrenamiento, si hay 45 personas en la fase de aula y 21personas en la fase de apredizaje? ¿Qué ocurre si hay 66 personas en la fase deentrenamiento?

sAldo Vergara C. () Cadenas de Markov Mayo 2014 3 / 7

Modelamiento

Una costurera trabaja exclusivamente en una fase del proceso de producción de un diseñoespecial de prendas de vestir. Esta fase requiere exactamente media hora para terminar unaprenda. Cada 30 minutos llega un mensajero a la mesa de la costurera para recoger todasaquellas prendas que estén terminadas y para entregar las nuevas prendas que deben sercosidas. El número de nuevas prendas que lleva el mensajero es inseguro: 30% del tiempo, elmensajero llega sin prendas para ser cosidas;50% de las veces el mensajero sólo trae unaprenda para dejar; 20% de las veces, el mensajero trae dos prendas para la costurera. Sinembargo, el mensajero tiene instrucciones de nunca dejar más de tres prendas juntas noterminadas a la costurera. (Las prendas no terminadas que no puedan dejarse a la costurera,se llevan a otra costurera para ser procesadas.) Determine el porcentaje de tiempo que lacosturera permanece ociosa, considerando que cualquier cantidad de prendas no terminadasque estén en la mesa de la costurera al final de un turno de trabajo, permanecen ahí para serprocesadas durante el siguiente día de trabajo.


Modelamiento

Se lanzan tres monedas equilibradas, y sea X1 el número de caras queaparecen. Aquellas monedas en que apareció una cara en el primerlanzamiento (que corresponde a X1), se recogen y se vuelven a lanzar,y ahora sea X2 el número de sellos que apareció, incluidas las quequedaron en el suelo producto del primer lanzamiento. Volvemos alanzar todas las monedas que muestran sello, y sea X3 el número decaras resultante, incluidas las que quedaron del lanzamiento anterior.De esta manera se continúa el proceso. El modelo, contar la caras ylas caras lanzadas, contar los sellos y los sellos lanzados, contar lascaras y las caras lanzadas, etc., y X0 = 3. Entonces fXng es unacadena de Markov. ¿Cuál es la matriz de transición?.


Modelamiento

Tres bolitas blancas y tres bolitas negras se distribuyen al azar en dosurnas, de modo que cada urna contiene inicialmente 3 bolitas.Posteriormente se procede a repetir inde�nidamente el experimentoconsistente en elegir al azar una bolita de cada urna e intercambiarlas.Sea Xn el número de bolitas blancas en la primera urna después derepetir n veces el experimento.

1 Explique por qué fXng es una cadena de Markov.2 Encuentre la matriz de transición P y clasi�que sus estados.3 Calcule la fracción de tiempo que la cadena permanece en cada estado.4 Repita (a) � (c) si inicialmente hay b bolitas de cada color.


Modelamiento


1 Explique por qué fXng es una cadena de Markov.

2 Encuentre la matriz de transición P y clasi�que sus estados.3 Calcule la fracción de tiempo que la cadena permanece en cada estado.4 Repita (a) � (c) si inicialmente hay b bolitas de cada color.


Modelamiento


1 Explique por qué fXng es una cadena de Markov.2 Encuentre la matriz de transición P y clasi�que sus estados.

3 Calcule la fracción de tiempo que la cadena permanece en cada estado.4 Repita (a) � (c) si inicialmente hay b bolitas de cada color.


Modelamiento


1 Explique por qué fXng es una cadena de Markov.2 Encuentre la matriz de transición P y clasi�que sus estados.3 Calcule la fracción de tiempo que la cadena permanece en cada estado.

4 Repita (a) � (c) si inicialmente hay b bolitas de cada color.


Modelamiento


1 Explique por qué fXng es una cadena de Markov.2 Encuentre la matriz de transición P y clasi�que sus estados.3 Calcule la fracción de tiempo que la cadena permanece en cada estado.4 Repita (a) � (c) si inicialmente hay b bolitas de cada color.


Fin

FIN


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