Ayudantia 8

Carlos Riveros

Juan Mrquez

Problema 1. ( Esta en archivo 2015-TAV) Sea

f(x, y) =

{x3yxy3x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)0 (x, y) = (0, 0)

a) Calcule fx(x, y), fy(x, y) para (x, y) 6= (0, 0).b) Calcule fx(0, 0), fy(0, 0).c) Verique fxy(0, 0) = 1, fyx(0, 0) = 1. (Este podriamos dejarlo de ejercicio).

Problema 2. ( Esta en archivo PautaPrueba1) Sea

f(x, y) =

{x4+x3+xy2+y4

x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)0 (x, y) = (0, 0)

a) Pruebe que f es continua en (0, 0). (De ejercicio pa que ellos repasen en la casa)b) Calcule la derivada direccional de f en el punto (0, 0) en la direccion del vector unitario (u, v).c) Calcule fx(x, y). Ejercicio para ellos.d) Demuestre que f es diferenciable en (0, 0). (Este es importante).

Problema 3. ( Esta en archivo 2015-TAV) Encuentre las direcciones en las cuales la deerivada direccional de

f(x, y) = yexy en el punto (0, 2) tiene valor 1.

Problema 4.( Esta en archivo 2015-TAV) a) Considere w = x2+f(y, z) donde x = ts ; y = s t; z = t2. Calculewt ,

2wst en terminos de fx, fy.

b) Determine el punto sobre el plano de ecuacion x+4y+4z = 39 que se encuentra mas cercano al punto (2, 0, 1).

Problema 5.( Esta en archivo 2014-2) Considere la supercie S en R3 dada por z = (x 2)2 + (y + 1)2 3a) Determine la ecuacion del plano tangente a S en el punto (4, 0, 2).b) Determine los puntos P sobre S de modo que el plano tangente a S en P tenga a n = (1, 0, 1) como su vectornormal o demuestre que tales puntos no existen.

Problema 6. (Pagina 68 Mazon. Ejercicio 3.10) Determine los valores a, b, c para que la derivada direccionalde la funcion f(x, y) = axy2 + byz + cz2x3 tenga en (1, 2,1) un valor maximo de 64 en la direccion del eje z.

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