ayudantía 8 - redes iii (asignación)

7/23/2019 Ayudantía 8 - Redes III (Asignación)

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Asignación y Vendedor Viajero Ayudantía 8 - 2.2015

Claudia Chacón Ossa



REPASO: ASIGNACIÓN



Planteamiento

• Objetivo

Encontrar una solución óptima que asignerecursos (generalmente humanos) a undeterminado número de tareas.

• Condiciones

Existe un costo asociado cij a la asignación decualquier recurso a cualquier tarea.

Para minimizar el costo solo es necesario asignarun recurso a cada tarea.

• Variable de Decisión

xij 1 si el recurso i es asignado a la ta

• Función Objetivo

• Restricciones

(Tareas)

(Recursos)

(Nat. Variable)



Método húngaro

Consideraciones

El método húngaro resuelve problemas de minimización de costos. Por equiere maximizar beneficios se debe multiplicar la matriz de beneficiosresolver como si fuese problema de minimización.

Si el número de filas es diferente al número de columnas se debe agregahasta tener una matriz cuadrada cuya fila o columna de costos debe teniguales con el fin de no crear preferencias.

Si se puede realizar más de una asignación (por ejemplo un trabajador pued2 tareas) se debe repetir la fila del trabajador. Solo es posible una asignación



Método HúngaroQuiz 1.2012 Valpo




• Paso 1.1: Realizar la matriz de costos de tamaño (m x m) y buscar el menor valor de cada

Se agrega un dummy con un costo mayor a todos los demás de tal manera de evitar que sea sel

Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Dummy

Empresa 1 25 22 18 M

Empresa 2 20 20 19 MEmpresa 3 28 26 24 M

Empresa 4 27 24 22 M




• Paso 1.2: Construir una nueva matriz restando a cada costo el costo menor de esa fila. Detmenor valor de cada columna.


Empresa 1 7 4 0 M-18

Empresa 2 1 1 0 M-19Empresa 3 4 2 0 M-24

Empresa 4 5 2 0 M-22

Mínimo 1 1 0 M-24




• Paso 1.3: Construir una nueva matriz restando a cada costo el costo menor de esa columna


Empresa 1 6 3 0 6

Empresa 2 0 0 0 5Empresa 3 3 1 0 0

Empresa 4 4 1 0 2




• Paso 2: Trace el número mínimo de líneas (horizontales o verticales) que son necesarias patodos los ceros de la matriz reducida.

Si m es igual a la cantidad de líneas requeridas se ha encontrado el óptimo.

Si m es diferente a la cantidad de líneas requeridas, continuar el algoritmo.


Empresa 1 6 3 0 6


Empresa 4 4 1 0 2

m = Canti




• Paso 3.1: Determinar el menor valor k de la matriz reducida que NO esta tarjado.

• Paso 3.2: Restar a los valores NO tachados el costo k y sumar a los valores DOBLEMENTcosto k.


Empresa 1 6 3 0 6

Empresa 2 0 0 0 5





• Paso 4: Luego de obtenida la nueva matriz, realizar el algoritmo desde el paso 2.


Empresa 1 5 2 0 5


Empresa 4 3 0 0 1

m = 4 y Cantidad de líneas = 4 . Se ha llegado al óptimo




• Respuesta: Las asignaciones posibles son los valores que tienen costo 0 en las celdas. Siempre colos que tienen un 0 en las filas, ya que, será su única asignación posible. Ir descartando el resto de

La empresa 1 realiza el proyecto 3 La empresa 4 realiza el proyecto 2 La empresa 2 debe realizar

Por ende la empresa 3 no realiza ningún proyecto.


Empresa 1 5 2 0 5


Empresa 4 3 0 0 1



REPASO: VENDEDOR VIAJERO



Planteamiento

Objetivo : Determinar como se debe recorrer la totalidad de un conjunto de puntos, sin pasarel mismo lugar, volviendo al punto desde donde se partió, minimizando el camino total recorri

• Variable de Decisión

• Función Objetivo

• Restricciones

• Llegar a una ciu• Partir desde ca• Evitar que se

el fin de recorr• Naturaleza de l



Buscando la solución óptima

• Resolver el problema como un problema de asignación, es decir, aplicar ehúngaro. Este algoritmo no evita que se formen subtours por lo tantsiendo una relajación del problema. Al igual que en programación linedebemos aplicar el método Branch and Bound para buscar una solución ó

•

Si no es factible ir de un punto a otro se utiliza la letra M, como si fuesemuy grande. En el caso de la diagonal es para evitar asignar una ciudad a sí



Método Húngaro - Branch and Bounc2 – 2.2013 - Stgo.




Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5

Ciudad 1 M 4 8 10 7

Ciudad 2 4 M 7 7 10Ciudad 3 8 7 M 4 6

Ciudad 4 10 7 4 M 2

Ciudad 5 7 10 6 2 M

• Realizar la matriz de costos y buscar el menor valor de cada fila.




Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad

Ciudad 1 M 0 4 6 3

Ciudad 2 0 M 3 3 6Ciudad 3 4 3 M 0 2

Ciudad 4 8 5 2 M 0

Ciudad 5 5 8 4 0 M

• Construir una nueva matriz restando a cada costo el costo menor de esa fila. Determinar el menor vacolumna.

Mínimo 0 0 2 0 0





Ciudad 1 M 0 2 6 3

Ciudad 2 0 M 1 3 6Ciudad 3 4 3 M 0 2

Ciudad 4 8 5 0 M 0

Ciudad 5 5 8 2 0 M

• Construir una nueva matriz restando a cada costo el costo menor de esa columna.





Ciudad 1 M 0 2 6 3

Ciudad 2 0 M 1 3 6Ciudad 3 4 3 M 0 2

Ciudad 4 8 5 0 M 0

Ciudad 5 5 8 2 0 M

• Trazar el número mínimo de líneas que son necesarias para cubrir todos los ceros de la matriz reduci

• Determinar el menor valor k de la matriz reducida que NO esta tarjado.





Ciudad 1 M 0 1 6 2

Ciudad 2 0 M 0 3 5Ciudad 3 4 3 M 0 1

Ciudad 4 9 6 0 M 0

Ciudad 5 5 8 1 0 M

• Restar a los valores no tachados el costo k y sumar a los valores doblemente tachados el cost

• Repetir hasta encontrar el óptimo





Ciudad 1 M 0 0 6 1

Ciudad 2 0 M 0 4 5

Ciudad 3 3 3 M 0 0Ciudad 4 9 7 0 M 0

Ciudad 5 4 8 0 0 M

• Se ha encontrado la relajación del problema





Ciudad 1 M 0 0 6 1

Ciudad 2 0 M 0 4 5

Ciudad 3 3 3 M 0 0Ciudad 4 9 7 0 M 0

Ciudad 5 4 8 0 0 M

Buscando los Tours:

4 44 2 6

• Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 1• Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 3 Aplicar método Bra

• Z = 20




Z = 201 → 2 → 1

3 → 4 → 5 → 3

Paso1: Romper el subtour de menor longitud

Subproblema 1: Se impone 1 ≠ 2. Por ende el costo de ir de la ciudad 1 a la ciudad 2 es M.Subproblema 2: Se impone 2 ≠ 1. Por ende el costo de ir de la ciudad 2 a la ciudad 1 es M.

2 → 11 → 2

Subproblema 1 Subproblema 2




Paso2: Resolver Subproblemas mediante el método húngaro.

Subproblema 1: Menor de las filas es 0 por ende queda igual. Se busca el menor de las colum.


Ciudad 1 M M 0 6 1

Ciudad 2 0 M 0 4 5

Ciudad 3 3 3 M 0 0

Ciudad 4 9 7 0 M 0

Ciudad 5 4 8 0 0 M

Mínimo 0 3 0 0 0




• Trazar líneas y buscar una solución.


Ciudad 1 M M 0 6 1

Ciudad 2 0 M 0 4 5

Ciudad 3 3 0 M 0 0

Ciudad 4 9 4 0 M 0

Ciudad 5 4 5 0 0 M

• Ciudad 1 Ciudad 3 Ciudad 2 Ciudad 1• Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 4

8 7 422 Z = 23




Paso2: Resolver Subproblemas mediante el método húngaro.



Ciudad 1 M 0 0 6 1

Ciudad 2 M M 0 4 5

Ciudad 3 3 3 M 0 0

Ciudad 4 9 7 0 M 0

Ciudad 5 4 8 0 0 M

Mínimo 3 0 0 0 0




• Trazar líneas y buscar una solución.


Ciudad 1 M 0 0 6 1

Ciudad 2 M M 0 4 5

Ciudad 3 0 3 M 0 0

Ciudad 4 6 7 0 M 0

Ciudad 5 1 8 0 0 M

• Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 1• Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 4

4 7 822 Z = 23




Z = 201 → 2 → 1

3 → 4 → 5 → 3

Paso3: Seguir la ramificación hasta que se encuentre soluciones factibles.

2 → 11 → 2

Z = 231 → 2 → 3 → 1

4 → 5 → 4

Z = 231 → 3 → 2 →1

4 → 5 → 4

Subproblema 3 Subproblema 4 Subproblema 5 Subproblema 6

4 → 5 5 → 4 4 → 5 5 → 4






Ciudad 1 M M 0 6 1

Ciudad 2 0 M 0 4 5

Ciudad 3 3 3 M 0 0Ciudad 4 9 7 0 M M

Ciudad 5 4 8 0 0 M

Mínimo 0 3 0 0 0




Subproblema 3: Se resta el menor valor en las columnas y se busca una solución..


Ciudad 1 M M 0 6 1

Ciudad 2 0 M 0 4 5

Ciudad 3 3 0 M 0 0

Ciudad 4 9 4 0 M M

Ciudad 5 4 5 0 0 M




Subproblema 3: Se ha encontrado una solución.


Ciudad 1 M M 0 6 0

Ciudad 2 0 M 0 4 4

Ciudad 3 4 0 M 1 0

Ciudad 4 9 3 0 M M

Ciudad 5 4 4 0 0 M

• Ciudad 1 Ciudad 5 Ciudad 4 Ciudad 3 Ciudad 2 Ciudad 17 2 4 7 4






Ciudad 1 M M 0 6 1

Ciudad 2 0 M 0 4 5

Ciudad 3 3 3 M 0 0Ciudad 4 9 7 0 M 0

Ciudad 5 4 8 0 M M

Mínimo 0 3 0 0 0




Subproblema 4: Se resta el menor valor en las columnas y se busca una solución..


Ciudad 1 M M 0 6 1

Ciudad 2 0 M 0 4 5Ciudad 3 3 0 M 0 0

Ciudad 4 9 4 0 M 0

Ciudad 5 4 5 0 M M




Subproblema 4: Se debe volver a iterar.


Ciudad 1 M M 0 2 1

Ciudad 2 0 M 0 0 5Ciudad 3 7 0 M 0 4

Ciudad 4 9 0 0 M 0

Ciudad 5 4 1 0 M M




Subproblema 4: Se ha encontrado una solución.


Ciudad 1 M M 0 1 0

Ciudad 2 0 M 1 0 5

Ciudad 3 7 0 M 0 4

Ciudad 4 9 0 1 M 0

Ciudad 5 3 0 0 M M






Ciudad 1 M 0 0 6 1

Ciudad 2 M M 0 4 5

Ciudad 3 0 3 M 0 0

Ciudad 4 6 7 0 M M

Ciudad 5 1 8 0 0 M

Subproblema 5: Menor de las filas es 0 por ende queda igual. Se busca el menor de las columes 0 así que queda igual.

.





Ciudad 1 M 0 4 6 1

Ciudad 2 M M 0 0 1

Ciudad 3 0 3 M 0 0

Ciudad 4 2 3 0 M M

Ciudad 5 1 8 4 0 M

Subproblema 5: Seguir iterando…

.





Ciudad 1 M 0 5 7 1

Ciudad 2 M M 0 0 1

Ciudad 3 0 3 M 1 0Ciudad 4 1 2 0 M M

Ciudad 5 0 7 4 0 M

Subproblema 5: Seguir iterando…. Solución!!!

.






Ciudad 1 M 0 0 6 1

Ciudad 2 M M 0 4 5

Ciudad 3 0 3 M 0 0

Ciudad 4 6 7 0 M 0

Ciudad 5 1 8 0 M M

Subproblema 6: Menor de las filas es 0 por ende queda igual. Se busca el menor de las columes 0 así que queda igual.

.





Ciudad 1 M 0 1 6 1

Ciudad 2 M M 0 3 4

Ciudad 3 0 3 M 0 0Ciudad 4 6 7 1 M 0

Ciudad 5 0 7 0 M M

Subproblema 6: Iterar hasta encontrar solución….





Z = 201 → 2 → 1

3 → 4 → 5 → 3 2 → 11 → 2

Z = 231 → 2 → 3 → 1

4 → 5 → 4

Z = 231 → 3 → 2 →1

4 → 5 → 4

Z= 241 → 5 → 4 →3 → 2 →1

Z = 281 → 3 → 4 →5 → 2 →1

4 → 5 5 → 4

Z1 → 2 →

Z = 281 → 2 → 4→3→5→1

4 → 5 5 → 4



EJERCICIOS



C2 - 2011



C2 - 2011

• Como es una matriz de utilidades para transformarla en una matriz dse debe multiplicar por -1

Chicago Los Ángeles New York Boston Detroit

Alemania -8 -2 -8 -3 -2

Argentina -3 -9 -2 -1 -1Brasil -7 -9 -7 -7 -3

EEUU -5 -3 -4 -5 -1

Italia -1 -1 -4 -4 -9



C2 - 2011

• Se resta el mínimo por fila y se busca el mínimo por columna


Alemania 0 6 0 5 6

Argentina 6 0 7 8 8

Brasil 2 0 2 2 6EEUU 0 2 1 0 4

Italia 8 8 5 5 0

Mínimo 0 0 0 0 0



C2 - 2011

• Trazar la mínima cantidad de líneas que cubran todos los ceros


Alemania 0 6 0 5 6

Argentina 6 0 7 8 8

Brasil 2 0 2 2 6EEUU 0 2 1 0 4

Italia 8 8 5 5 0



C2 - 2011

• Se ha llegado a una solución, ya que la cantidad de líneas es igual a la de filas o columnas de la matriz


Alemania 0 8 0 5 8

Argentina 4 0 5 6 8Brasil 0 0 0 0 6

EEUU 0 4 1 0 6

Italia 6 8 3 3 0



C2 - 2011

• Se realizan las asignaciones posibles

• Existen 3 posibles soluciones dentro de las cuales argentina siempre juega en Los Ángesiempre juega en Detroit

Chicago Los Ángeles New York Boston Detroi

Alemania 0 8 0 5 8

Argentina 4 0 5 6 8

Brasil 0 0 0 0 6EEUU 0 4 1 0 6

Italia 6 8 3 3 0



C2 - 2011

• Soluciones posibles:

Todas las soluciones permiten que argentina juegue en Los Ángeles. Si se desea que Brasil jueguLos Ángeles las ganancias van a disminuir.



CR - 2013



CR 2013

• Las empresas constructoras son las filas y los edificios las columnas. Como cada emprealizar 2 edificios como máximo se deben duplicar sus filas. Al realizar la acción anteridesbalanceado el problema por lo tanto se agrega un edificio Dummy con costo M. Losmultiplicados por un factor de 100.000

Duna III Pelicano Casino Casino II Frankfurt Dummy

Empresa 1 500 280 580 500 620 M

Empresa 2 590 455 540 450 725 MEmpresa 3 560 428 648 560 572 M

Empresa 1 500 280 580 500 620 M

Empresa 2 590 455 540 450 725 M

Empresa 3 560 428 648 560 572 M



CR 2013

• Los valores están multiplicados por un factor de 100.000


Empresa 1 220 0 300 220 340 M-280

Empresa 2 140 5 90 0 275 M-450

Empresa 3 132 0 220 132 144 M-428Empresa 1 220 0 300 220 340 M-280

Empresa 2 140 5 90 0 275 M-450

Empresa 3 132 0 220 132 144 M-428

Mínimo 132 0 90 0 144 M-450



CR 2013



Empresa 1 88 0 210 220 196 170

Empresa 2 8 5 0 0 131 0

Empresa 3 0 0 130 132 0 22

Empresa 1 88 0 210 220 196 170

Empresa 2 8 5 0 0 131 0

Empresa 3 0 0 130 132 0 22



CR 2013



Empresa 1 88 0 188 198 196 148

Empresa 2 30 27 0 0 153 0

Empresa 3 0 0 108 110 0 0

Empresa 1 88 0 188 198 196 170

Empresa 2 30 27 0 0 153 0

Empresa 3 0 0 108 110 0 0



CR 2013



Empresa 1 0 0 100 110 108 60

Empresa 2 30 115 0 0 153 0

Empresa 3 0 88 108 110 0 0

Empresa 1 0 0 100 110 108 82

Empresa 2 30 115 0 0 153 0

Empresa 3 0 88 108 110 0 0



CR 2013

Los valores están multiplicados por un factor de 100.000

La solución final es:

• La empresa 1 “Sansanos” realiza el edificio Duna III y Pelicano con un costo de: 500 + 455

• La empresa 2 “Torres Gemelas” realiza el edificio Casino y Casino II con un costo de: 540 +

• La empresa 3 “Mario Brothers LTDA” realiza el edificio Frankfurt con un costo de: 572

Por ende en total se deben invertir: 2517 * 100.000 = 251.700.000 Millones de Dólares.



Asignación y Vendedor Viajero Ayudantía 8 - 2.2015

Claudia Chacón Ossa

ayudantía 8 - redes iii (asignación)

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