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Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de Fısica
Electricidad y MagnetismoProfesor: Edgardo StockmeyerAyudante: Rafael Fuentes [email protected] Fısica Itinerante :) www.fisicaitinerante.cl
Ayudantıa 16Efecto Hall y Ley de Biot-Savart
17 de Octubre, 2013
1. Problemas
1.1. Problema 1: Efecto Hall
En 1879, Edwin Hall descubrio que cuando se ejerce un campo magnetico transversal sobre una placa conductora osemi conductora, se produce una diferencia de potencial perpendicular al flujo de la corriente.
Figura 1: Esquema del problema.
(a) Si las cargas en movimiento son positivas, ¿en que direccion seran desviadas por el campo magnetico?. Ladesviacion de las cargas da como resultado una acumulacion de carga en la superficie superior e inferior de laplaca, que a su vez produce un campo electrico que contrarrestra el campo magnetico magnetica.
(b) Encuentre la diferencia de potencial resultante entre la superficie inferior y superior de la placa, en terminosde B, v (la velocidad de las cargas), y las dimensiones de la placa.
1.2. Problema 2: The Magnetic Field of a Steady Current
Determine el campo magnetico en el punto P para cada una de las configuraciones que se muestran en la figura.
Figura 2: Esquema del problema.
1
2. Soluciones
2.1. Problema 1
Cuando partıculas cargadas fluyen por el material, experimentan una fuerza magnetica dada por:
~Fm = q~v × ~B (1)
(a) Si las partıculas que se mueven poseen carga positiva, por la regla de la mano derecha se desviaran hacia lasuperficie inferior de la placa, quedando esta cargada positivamente. (Situacion de la figura en la izquierda, si sonnegativas, tenemos la situacion de la derecha).
Figura 3: Acumulacion de carga en la superficie.
(b) En equilibrio ‖~Fm‖ = ‖~Fm‖.
Del esquema, podemos ver que el campo magnetico es de la forma ~B = Bz z, y la velocidad de deriva (promedio)de las partıculas ~vd = vdx. Por otro lado, la polaridad de la superficie superior e inferior, genera un campo electrico~E = Ey y, ası:
~Fm = q~vd × ~B = qvdx×Bz z = qvdBz (−y) (2)
~Fe = qEy y (3)
En equilibrio entonces:
qEy = qvdBz =⇒ Ey = vdBz (4)
Por otro lado, la diferencia de potencial es claramente VH = Eyw, y en funcion de las variables que nos piden en elenunciado:
VH = vdBzw (5)
Recordemos que la densidad de corriente se puede escribir como J = ρvd, donde ρ es la densidad de carga. Luego, laintensidad corriente la escribimos como:
Ix = JxA = ρvd (wd) =ρVHd
Bz=⇒ VH = Ix
Bzρd
(6)
donde definimos la Resistencia de Hall como RH =Bzρd
Finalmente, notemos que este efecto nos permite medir la densidad y signo de las cargas moviles:
ρ = IxBzVHd
(7)
2
2.2. Problema 2
(a) Vamos a considerar la configuracion espacial del problema de manera que el centro (~P ) del loop coincida con elorigen del sistema de coordenadas. Distinguimos 4 segmentos:
(i) x ∈ [b, a], y = 0
(ii) ρ = a, θ ∈ [0, π/2]
(iii) x = 0, y ∈ [a, b]
(iv) ρ = b, θ ∈ [π/2, 0]
Para calcular el campo magnetico en el punto ~P = ~0, utilizaremos la ley de Biot-Savart sobre cada segmento, y luegosumaremos la contribucion de cada segmento usando el principio de superposicion.
Para (i), ~r′ = xx, d~′ = dxx con x ∈ [b, a], luego la integral nos queda de la siguiente forma
~Bi(~0) =µ0I
4π
∫ a
b
dxx× (~0− xx)
x3=µ0I
4π
∫ a
b
dxx×−xxx3
(8)
Como x× x = ~0, el campo magnetico producido por el segmento (i) en el punto ~P es nulo.
Del mismo modo, para (ii) ~r′ = aρ, d~′ = adθθ con θ ∈ [0, π/2], luego la integral nos queda de la siguiente forma
~Bii(~0) =µ0I
4π
∫ π/2
0
adθθ × (~0− aρ)
a3=µ0I
4π
∫ π/2
0
adθθ ×−aρa3
(9)
Como θ × ρ = −z, la integral nos queda
~Bii(~0) =µ0I
4π
∫ π/2
0
dθ
az (10)
Luego, el campo magnetico producido por el segmento (ii) en el punto ~P viene dado por
~Bii(~0) =µ0I
8az (11)
Para (iii), ~r′ = yy, d~′ = dyy con x ∈ [a, b], luego la integral nos queda de la siguiente forma
~Biii(~0) =µ0I
4π
∫ b
a
dyy × (~0− yy)
y3=µ0I
4π
∫ b
a
dyy ×−yyy3
(12)
Como y × y = ~0, el campo magnetico producido por el segmento (iii) en el punto ~P es nulo.
Finalmente para (iv) ~r′ = bρ, d~′ = bdθθ con θ ∈ [pi/2, 0], luego la integral nos queda de la siguiente forma
~Biv(~0) =µ0I
4π
∫ 0
π/2
bdθθ × (~0− bρ)
b3=µ0I
4π
∫ 0
π/2
bdθθ ×−bρb3
(13)
Como θ × ρ = −z, la integral nos queda
~Biv(~0) =µ0I
4π
∫ 0
π/2
dθ
bz (14)
Luego, el campo magnetico producido por el segmento (iv) en el punto ~P viene dado por
~Biv(~0) = −µ0I
8bz (15)
Ahora que calculamos el campo magnetico producido por cada segmento, el campo magnetico total viene dado por
~B(~P ) =µ0I
8az − µ0I
8bz =
µ0I
8
(1
a− 1
b
)z (16)
(b) Vamos a considerar la configuracion espacial del problema de manera que el centro (~P ) del loop coincida con elorigen del sistema de coordenadas. Distinguimos 3 segmentos:
3
(i) x ∈ [∞, 0], y = −R(ii) ρ = R, θ ∈ [3π/2, π/2]
(iii) x ∈ [0,∞], y = R
Para calcular el campo magnetico en el punto ~P = ~0, utilizaremos la ley de Biot-Savart sobre cada segmento, y luegosumaremos la contribucion de cada segmento usando el principio de superposicion.
Para (i), ~r′ = xx−Ry, d~′ = dxx con x ∈ [∞, 0], luego la integral nos queda de la siguiente forma
~Bi(~0) =µ0I
4π
∫ 0
∞
dxx× (~0− (xx−Ry))
(x2 +R2)3/2=µ0I
4π
∫ 0
∞
dxx× (−xx+Ry)
(x2 +R2)3/2(17)
Como x× x = ~0, y x× y = z, la integral nos queda
~Bi(~0) =µ0IR
4π
∫ 0
∞
dx
(x2 +R2)3/2z (18)
y usando el hint, tenemos que ∫ 0
∞
dx
(x2 +R2)3/2=
1
R2
(0− lım
x→∞
x√x2 +R2
)= − 1
R2(19)
Ası, el campo magnetico producido por el segmento (i) en el punto ~P viene dado por
~Bi(~0) = −µ0IR
4π
1
R2z = − µ0I
4πRz (20)
Para (ii) ~r′ = Rρ, d~′ = Rdθθ con θ ∈ [3π/2, π/2], luego la integral nos queda de la siguiente forma
~Bii(~0) =µ0I
4π
∫ π/2
3π/2
Rdθθ × (~0−Rρ)
R3=µ0I
4π
∫ π/2
3π/2
Rdθθ ×−RρR3
(21)
Como θ × ρ = −z, la integral nos queda
~Bii(~0) =µ0I
4π
∫ π/2
3π/2
dθ
Rz (22)
Luego, el campo magnetico producido por el segmento (ii) en el punto ~P viene dado por
~Bii(~0) = −µ0I
4Rz (23)
Para (iii), ~r′ = xx+Ry, d~′ = dxx con x ∈ [0,∞], luego la integral nos queda de la siguiente forma
~Biii(~0) =µ0I
4π
∫ ∞
0
dxx× (~0− (xx+Ry))
(x2 +R2)3/2=µ0I
4π
∫ ∞
0
dxx× (−xx−Ry)
(x2 +R2)3/2(24)
Como x× x = ~0, y x× y = z, la integral nos queda
~Biii(~0) = −µ0IR
4π
∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)3/2z (25)
y usando el hint, tenemos que ∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)3/2=
1
R2
(lımx→∞
x√x2 +R2
)=
1
R2(26)
Ası, el campo magnetico producido por el segmento (iii) en el punto ~P viene dado por
~Bi(~0) = −µ0IR
4π
1
R2z = − µ0I
4πRz (27)
Ahora que calculamos el campo magnetico producido por cada segmento, el campo magnetico total viene dado por
~B(~P ) = − µ0I
4πRz − µ0I
4Rz − µ0I
4πRz = −µ0I
4R
(1 +
2
π
)z (28)
4