Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de ChileMA2001-4 Calculo en Varias VariablesProfesor: Juan DavilaAuxiliar: Roberto Villaflor

Auxiliar 1

26 de Marzo del 2012

P1. Encuentre (sin demostracion) el interior, adherencia, frontera y derivado de los siguientesconjuntos:

A1 = (x, y) ∈ R2|x ∈ Q, y > x2A2 = (x, y) ∈ R2|0 < x < 1, y = sin(1/x)

P2. a) Si A ⊂ Rn es un abierto, pruebe que Int(Fr(A)) = φ.

b) Pruebe que si B ⊂ Rn es numerable o finito, entonces Int(B) = φ.

c) Muestre un X ⊂ Rn con fontera abierta.

d)esafıo) Muestre que si X ⊂ Rn tiene frontera abierta, entonces Fr(X) = Rn.

P3. Sea f : Rn → R una funcion continua.

a) Pruebe que x ∈ Rn|f(x) = 0 es cerrado.

b) Pruebe que x ∈ Rn|f(x) > 0 es abierto.

P4. a) Sea xnn∈N ⊂ Rn una sucesion tal que

∀n ∈ N : ||xn+1 − xn|| > 1.

Pruebe que xnn∈N no posee subsucesiones de Cauchy.

b) Sea A ⊂ Rn. Pruebe que A es cerrado y acotado, si y solo si, toda sucesion ann∈N ⊂ Aposee una subsucesion convergente

ank→ a

con a ∈ A. (Sugerencia: Para la implicancia hacia la derecha utilice Bolzano-Weierstrass.Para la implicacion izquierda utilice la parte anterior para probar que A es acotado).

P5. Pruebe que si A ⊂ Rn es no numerable, entonces Der(A) 6= φ. (Sugerencia: Pienselo un minuto...ahora proceda por contradiccion; ¿que cardinal poseen los conjuntos B(0, n) ∩ A, con n ∈ N?).

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de ChileMA2001-4 Calculo en Varias VariablesProfesor: Juan DavilaAuxiliar: Roberto Villaflor

Auxiliar 2

2 de Abril del 2012

P1. Estudie la existencia de los siguientes lımites:

i) lım(x,y)→(0,0)

sen(2x)− 2x+ y

x3 + y

ii) lım(x,y)→(0,0)

2xy

(x2 − y2

x2 + y2

)iii) lım

(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4

iv) lım(x,y,z)→(0,0,0)

x2yz√x12 + y6 + z4

P2. Sea f : Rn → R una funcion; f se dice coersiva, si:

lım||x||→∞

f(x) = +∞

a) Pruebe que si f es coersiva y continua, entonces f alcanza su mınimo.

b) Pruebe que la funcion f(x, y, z) = senh2(x) + |y|3 + z2 alcanza su mınimo en algun punto deR3.

c) Considere f : B(0, 1) ⊂ R2 → R tal que f(x, y) =1− xy

1− x2 − y2. Pruebe que f alcanza su

mınimo en B(0, 1). (Sugerencia: Considere la funcion f ψ, con ψ : R2 → B(0, 1) definidapor ψ(x) = x/(1 + ||x||)).

P3. Sea A ⊂ Rn abierto, tal que Ac tambien es abierto. Suponga que A y Ac son no vacıos, y quex0 ∈ A, x1 ∈ Ac. Considere g : [0, 1]→ R definida por:

g(t) =

1 si (1− t)x0 + tx1 ∈ A−1 si (1− t)x0 + tx1 ∈ Ac

a) Pruebe que g es continua.

b) Observe que la parte anterior contradice el Teorema del Valor Intermedio, y concluya queA = φ ∨ A = Rn.

c) Finalmente concluya que si X ⊂ Rn tiene frontera abierta y no vacıa, entonces Fr(X) = Rn.

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de ChileMA2001-4 Calculo en Varias VariablesProfesor: Juan DavilaAuxiliar: Roberto Villaflor

Auxiliar 3

9 de Abril del 2012

P1. Hallar el diferencial de las siguientes funciones:

i) f : Ω ⊂ R→ R, Ω abierto y f derivable en todo a ∈ Ω.

ii) f1 : (−2π, 2π) ⊂ R→ R2, f1(t) = (cos(t), sen(t));f2 : R→ R2, f2(t) = (t3, t2);f3 : R→ R3, f3(t) = (cos(t), sen(t), t);f : R→ Rn, con cada componenete fi derivable en todo t ∈ R, para todo 1 ≤ i ≤ n.

iii) g1 : R2 → R, g1(x, y) = x+ y;g2 : (−1, 1)× (−1, 1)→ R, g2(x, y) = xy;g3 : R3 → R, g3(x, y, z) = x2 + y2 + z2.

iv) σ : (−2π, 2π)× R→ R3, σ(θ, ρ) = (cos θ, sen θ, ρ)

P2. Encuentre la funcion dferencial de:

a) T : Rn → Rm lineal.

b) F : Rn → R, F (x) = xtAx con A ∈M(n× n).

c) πi : Rn → R, πi(x) = xi; y de || · ||2 : Rn → R.

P3. Sea f : Rm → Rm diferenciable, con f(0) = 0. Si la transformacion lineal Df(0) no tiene al 1 comovalor propio, entonces existe B(0, r) con r > 0 tal que f(x) 6= x ∀x ∈ B(0, r) \ 0.

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de ChileMA2001-4 Calculo en Varias VariablesProfesor: Juan DavilaAuxiliar: Roberto Villaflor

Auxiliar 4

16 de Abril del 2012

P1. Considere la funcion:

f(x, y) =xy

x2 + y2sin

(x2y

x2 + y2

), para (x, y) 6= (0, 0),

y f(0, 0) = 0.

i) Pruebe que f es continua en todo R2.

ii) Pruebe que para cualquier vector unitario e, existen las derivadas direccionales f ′((0, 0); e).

iii) Calcule las derivadas parciales de f en (0, 0).

iv) Determine si f es diferenciable en (0, 0).

P2. Considerando la identificacion de Rn2conM(n×n), dada por tomar el vector A ∈ Rn2

y dividirloen n columnas para formar una matriz de n× n:

a) Pruebe que si Ai : R → M(n × n) son funciones diferenciales en todo punto de R parai = 1, 2; entonces la funcion:

P (t) = A1(t) · A2(t)

es diferenciable en todo R y calcule su derivada.

b) Pruebe que la funcion f :M(n×n)→ R dada por f(A) = det(A) es diferenciable y determinesus derivadas parciales.

c) Pruebe que el conjunto GLn(R) de las matrices invertibles de n× n es abierto enM(n× n).

d) Pruebe que la funcion F : GLn(R) → M(n × n) dada por F (A) = A−1 posee derivadasparciales en todo GLn(R) y que son continuas. Concluya que F es diferenciable y exprese sudiferencial.

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de ChileMA2001-4 Calculo en Varias VariablesProfesor: Juan DavilaAuxiliar: Roberto Villaflor

Auxiliar 6

30 de Abril del 2012

Teorema de la Funcion Inversa: Sea f : Ω ⊂ Rn → Rn, una funcion de clase C1(Ω) con Ωabierto y x0 ∈ Ω. Si f ′(x0) es invertible; entonces existe U ⊂ Ω abierto con x0 ∈ U , tal queV = f(U) es abierto y f : U → V es biyectiva C1(U). Mas aun, f−1 : V → U es de clase C1(V ) y

(f−1)′(y) = [f ′(f−1(y))]−1, ∀y ∈ V

Definicion: Una funcion f : Ω → Λ, con Ω,Λ ⊂ Rn abiertos, se dice difeomorfismo si esdiferenciable, biyectiva, con inversa diferenciable. Cuando la funcion ademas es Ck(Ω) y su inversaes Ck(Λ), se dice un difeomorfismo Ck.

P1. Sea f : R2 → R2 dada por:

f(x, y) =

(x +

y

2− y3, y − y2

2− x +

x3

6

).

Pruebe que f admite inversa local de clase C1(R2) en torno al punto (0, 0). Calcule ademas laderivada de f−1 en (0, 0).

P2. Sea g : R2 → R2 dada por g(u, v) = (u2+uv2+10v, u+v3). Pruebe que, restringida a una vecindaddel punto (1, 1), g posee inversa diferenciable. Calcule, la derivada de esta inversa en g(1, 1) y uselapara calcular un valor aproximado de una solucion al sistema:

u2 + uv2 + 10v = 11,8

u + v3 = 2,2

P3. Sea f : Rn2 → Rn2definida por f(X) = Xk con k ∈ N fijo. Calcule f ′(I) y pruebe que es invertible.

Concluya que toda matriz lo suficientemente proxima a la identidad posee raız k-esima.

P4. Sean f, g, h : R→ R funciones de clase C1(R). Defina F : R2 → R2 por F (x, y) = (f(x)h(y), g(y)).Suponga que f y g son difeomorfismos de R a R. Pruebe que F es difeomorfismo si y solo si0 /∈ h(R).

P5. Sean g : [0,∞) → R continua, con g(t) > 0 ∀t ≥ 0 y U = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < y. Definaf : U → R2 por

f(x, y) =

(∫ x+y

0

g(t)dt,

∫ y−x

0

g(t)dt

).

Muestre que f es un difeomorfismo sobre un abierto de R2.

Universidad de ChileFacultad de Ciencias Fısicas y MatematicasDepartamento de Ingenierıa Matematica7 de mayo de 2012

Auxiliar #7: Calculo en Varias VariablesProfesor: Juan Davila

Auxiliar: Roberto Villaflor.

Teorema: (Regla de la cadena) Sea f : Ω → Λ, g : Λ → Rk, Ω ⊂ Rn, Λ ⊂ Rm abiertos. Six0 ∈ Ω, f es diferenciables en x0, y g es diferenciable en f(x0), entonces g f es diferenciable enx0 y

(g f)′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0)

i.e. ∀i ∈ 1, 2, ..., k, ∀j ∈ 1, 2, ..., n :

∂(g f)i∂xj

(x0) =

m∑l=1

∂gi∂xl

(f(x0))∂fl∂xj

(x0)

Definicion: Sea f : Ω ⊂ Rn → Rm, f se dice de clase Ck(Ω) si ∀x ∈ Ω existen sus derivadasparciales hasta orden k y son continuas.

Teorema: (Funcion Implıcita) Sean Ω ⊂ Rn, Λ ⊂ Rm abiertos y f : Ω × Λ → Rm una funcionde clase Ck(Ω×Λ). Si (x0, y0) ∈ Ω×Λ, f(x0, y0) = 0 y fy(x0, y0) es invertible. Entonces existe unabierto U ⊂ Ω con x0 ∈ U y una funcion φ : U → Λ de clase Ck(U) tal que

f(x, φ(x)) = 0, ∀x ∈ U .

P1. La ecuacion de Dietereci del etado de un gas es:

p(V − b)ea/RTV = RT

donde a, b y R son constantes. Suponiendo que es posible definir V como una funcion diferenciablede T y p, calcule el gradiente de V . Suponiendo que a = b = 0, calcule la ecuacion del plano tangenteal grafo de V en el punto (T0, p0) = (1/R, 1).

P2. Sea n ∈ N∗ y sea y0 ∈ R una raız simple del polinomio con coeficientes reales

P (y) = a0 + a1y + ...+ anyn.

Sea x = (x0, ..., xn) ∈ Rn+1. pruebe que en una vecindad de (0, y0), la ecuacion

F (x, y) = (a0 + x0) + (a1 + x1)y + ...+ (an + xn)yn = 0

admite una unica solucion y = g(x) de clase C1 tal que:

∇g(0) = − 1

P ′(y0)(1, y0, ..., y

n0 ).

P3. Sea u : R2 → R una funcion de clase C2. Su Laplaciano se define como

(∆u)(x, y) =∂2u

∂y2(x, y) +

∂2u

∂x2(x, y).

Considere la funcion u(x, y) expresada en coordenadas polares, esto es la funcion

v(r, θ) := u(r cos θ, r sin θ).

1

(a) Demuestre que

(∆u)(r cos θ, r sin θ) =

(∂2v

∂r2+

1

r

∂v

∂r+

1

r2∂2v

∂θ2

)(r, θ).

(b) Considere la ecuacion en derivadas parciales

∆u(x, y) = x(x2 + y2)3/2 en R2.

Encuentre una solucion u(x, y), que en terminos de v separe variables, esto es que tenga laforma v(r, θ) = a(r)b(θ).

P4. (a) Sean f : R2 → R de clase C1, con∂f

∂y6= 0 en todo R, y φ : I → R tal que f(x, φ(x)) = 0

∀x ∈ I. Pruebe que φ es de clase C1.

(b) Sea f : U → R continua en el abierto U ⊂ R2, tal que (x2 + y4)f(x, y) + f(x, y)3 = 1 paracualquier (x, y) ∈ U . Pruebe que f es C∞.

(c) Sea f : U → R continua en el abierto U ⊂ Rm. Si la funcion g : U → R, dada por la expresion

g(x) =

∫ f(x)

o

(t2 + 1)dt fuera de clase Cr, entonces f tambien es Cr.

P5. Sean f : Rn → R y g : Rn → R dos funciones de clase C2. Sea x0 ∈ Rn un punto tal que ∇f(x0) = 0y f ′′(x0) es invertible. Demuestre que para todo a ∈ R suficientemente pequeno, la funcion

fa(x) := f(x) + ag(x)

posee al menos un punto crıtico.

P6. Sean M(x, y), N(x, y) funciones de clase C1(R2) tales que

(1)∂M

∂y(x, y) =

∂N

∂x(x, y) ∀(x, y) ∈ R2.

(a) Se le pide demostrar el lema de Poincare: Existe un potencial para el campo vectorial (M,N),esto es, una funcion escalar f(x, y) de clase C1(R2) tal que

∇f =

(M

N

).

Indicacion: Considere

f(x, y) =

∫ x

0

M(t, y)dt+

∫ y

0

N(0, s)ds,

aceptando que derivacion en y e integral en x pueden intercambiarse en la expresion anterior.

(b) Suponga que las funciones M y N satisfacen (1). Considere la ecuacion diferencial exactapara una funcion y = y(x),

(2) N(x, y)dy

dx+M(x, y) = 0.

Pruebe que si N(x0, y0) 6= 0 entonces existe un intrvalo I que contiene a x0, y una soluciony = y(x) de (2) en I, con y(x0) = y0.

2

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de ChileMA2001-4 Calculo en Varias VariablesProfesor: Juan DavilaAuxiliar: Roberto Villaflor

Auxiliar 9

28 de Mayo del 2012

Teorema de Taylor: Sea f : Ω ⊂ Rn → R, Ω abierto. Suponga f de clase Cm(Ω), con m ≥ 1.Sean x0 ∈ Ω, h ∈ Rn tal que x0 + th ∈ Ω para todo t ∈ [0, 1]. Entonces vale la Formula de Taylorde orden m− 1:

f(x0 + h) =m−1∑k=0

Tk(h) +Rm(h)

donde T0(h) = f(x0) y para k ≥ 1,

Tk(h) =1

k!

n∑i1=1

· · ·n∑

ik=1

∂kf

∂xi1∂xi2 · · · ∂xik(x0)hi1 · · · hik

y

Rm(h) =1

m!

n∑i1=1

· · ·n∑

im=1

∂mf

∂xi1∂xi2 · · · ∂xim(x0 + ξh)hi1 · · · him

con ξ = ξ(h) ∈ (0, 1).

Obs: Es importante destacar que:

T1(h) = ∇f(x0)th, T2(h) =

1

2htf ′′(x0)h.

Definicion: Sea f : Ω ⊂ Rm → R, con Ω abierto y f diferenciable. Un punto x0 ∈ Ω se dice puntocrıtico de f , si y solo si, ∇f(x0) = 0.

Teorema: Sea f : Ω ⊂ Rm → R, con Ω abierto, y f diferenciable. Si x0 ∈ Ω es un punto deextremo local de f , entonces x0 es un punto crıtico de f .

Teorema: Sea f : Ω ⊂ Rm → R, con Ω abierto, y f de clase C2. Sea x0 ∈ Ω un punto crıtico def , entonces:

1.- Si f ′′(x0) es definida positiva, entonces x0 es mınimo local estricto de f .

2.- Si f ′′(x0) es definida negativa, entonces x0 es maximo local estricto de f .

3.- Si f ′′(x0) es indefinida, entonces x0 no es extremo local f y se denomina punto silla.

4.- Si x0 es mınimo local de f , entonces f ′′(x0) es semidefinida positiva.

5.- Si x0 es maximo local de f , entonces f ′′(x0) es semidefinida negativa.

Teorema: Sea A ∈M(n× n) simetrica. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) A es definida positiva, i.e., ∀x 6= 0 : xtAx > 0.

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de Chile

(b) Los valores propios de A son positivos.

(c) Sea

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann

A(1) = (a11), A(2) =

(a11 a12a21 a22

), · · · , A(n) = A:

entonces

det(A(1)) = a11 > 0, det(A(2)) > 0, · · · , det(A(n)) = det(A) > 0.

P1. (a) Encuentre la expansion de Taylor de orden 2 de

f(x, y) = x log(1 + y) + sin(x+ y)

en torno de (0, 0).Pruebe que para x2 + y2 ≤ 1/4 se tiene

|f(x, y)− P2(x, y)| ≤ 3

2(|x|+ |y|)3

donde P2 es la expansion de orden 2 encontrada anteriormente.

(b) Sea f(x, y) = xyex2+2y2 . Encuentre (explıcitamente) un polinomio en dos variables, T (x, y),

con la propiedad que

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y)− T (x, y)

x4 + y4= 0.

P2. (a) Hallar todos los puntos crıticos de la funcion

f(x, y) = sin(x) + y2 + 2y cos(x) + 1,

y utilizando el criterio de la segunda derivada clasifıquelos si es posible.

(b) Sea f : R2 → R una funcion de clase C2 en todo su dominio, y sea (x0, y0) un punto extremolocal de f . Supongamos que f es armonica, es decir,

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0.

Entonces, pruebe que todas las derivadas parciales segundas de f se anulan en (x0, y0).

P3. (a) Encuentre los puntos crıticos de

f(x, y) = xye−x2−y2

y determine si son maximos locales, mınimos locales o puntos silla.

(b) Para la funcion anterior, pruebe que

lım||(x,y)||→∞

f(x, y) = 0

y deduzca que f alcanza su valor maximo y mınimo. Calcule estos valores.