SISTEMA DE REFERENCIA

z

y

x

Sistema de referencia

Sistema coordenado de referencia

O

z

y

x

(x, y, z)Posición

POSICION

P1

P2

Punto de aplicación

𝜃

Recta soporte

Sentido

��

Dirección

Vector

VECTOR

: Magnitud del vector

VECTOR UNITARIO

��=��𝐴

P1

P2

Punto de aplicación

𝜃

Recta soporte

Sentido

��

Dirección

Vector

��

ˆAA

eA

ˆAA A e

VECTOR POSICION

O

z

y

x

(x, y, z)Posición

Vector P

osición

𝑟

x

y

z

O

A(5, 3, 9) m B(6, 10, 10) m

𝑟1𝑟2

∆𝑟

VECTOR DESPLAZAMIENTO

Posición en t2 = 25 s Posición en t1 = 16 s

Desplazamiento desde t1 a t2

m

x

N1 N2

ff W

SUMA VECTORIAL

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de cosenos

• La dirección mediante la ley de senos

Considere dos vectores A y B como se muestra

2 22 cosR A B A B

( )

AR B

sen sen sen

A un anclaje están aplicadas dos vectores como se muestra en la figura. Determinar el modulo de la resultante R de los vectores y el ángulo que forma con ele eje x la recta soporte de dicha resultante

Determinar el modulo de la resultante R y el ángulo que forman la recta soporte de la resultante y el eje x en las figuras

Determinar el modulo de las resultante R y el ángulo que forman la recta de acción de la resultante y el eje x en las figuras

RESTA VECTORIAL

Considere dos vectores A y B como se muestra

El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .La magnitud del vector diferencia D es

2 22 22 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B

La dirección mediante la ley de senos

( )

AD B

sen sen sen

(Ley de cosenos)

VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios

ˆˆ ˆ, ,i j kCada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.

ˆˆ ˆi j k

|��|=1

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de el vector original. La descomposición pude ser en un plano o en el espacio.

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

ˆ ˆ

ˆ ˆcos

ˆ ˆ(cos )

ˆ

ˆ ˆˆ (cos )

x y

x y

A

A

A A A

A A i A j

A A i Asen j

A A i sen j

A Ae

e i sen j

2 2x yA A A

y

x

A

Atg

Se aplica una fuerza F a un punto de un cuerpo tal como se indica en la figura. (a) Determinar las componentes escalares x e y de la fuerza, (b) Determinar las componentes escalares x’ e y’ de la fuerza, (c) Expresar la fuerza F en forma vectorial cartesiana para los ejes x, y y x’, y’

Determinar las componentes x e y para cada una de las fuerzas representadas en las figuras

2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO

a a b bA A A

Determinar las magnitudes de las componentes y del vector de 900 N representada en la figura

Se aplican dos fuerzas a un anclaje en la forma que se indica en la figura. La resultante R de las dos fuerzas tiene por modulo 1000N y su recta soporte esta dirigida según el eje x. Si la fuerza F1 tiene por modulo 250 N, determinar, (a) el modulo de la fuerza F2, (b) el ángulo ue forma la recta soporte de la fuerza F2 con el eje x

Usando los Teoremas del seno y del coseno, junto con esquemas de los triángulos de vectores, para resolver los problemas siguientes. Determinar las magnitudes de las componentes y de los vectores que se muestra en las figuras.

Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes

3. EN EL ESPACIO

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

22 2 2x y zA A A A

cos∝=𝐴𝑧

𝐴

cos 𝛽=𝐴𝑥

𝐴

cos𝛾=𝐴𝑦

𝐴cos∝2+cos𝛽2+cos𝛾 2=1

Se aplica una fuerza F a un punto de un cuerpo, tal como se indica en la figura. (a) Determinar las componentes escalares x, y, z de la fuerza, (b) Expresar la fuerza en forma vectorial cartesiana

Se aplica una fuerza a un punto de una cuerpo en la forma indicada en la figura. Determinar. (a) Los ángulos , (b) Las componentes escalares x, y, z de la fuerza,(c) Las componentes rectangulares de la fuerza según la recta OA

Determinar el modulo R de la resultante de las tres fuerzas representadas en la figura y los ángulos que forma la recta soporte de la resultante con los semiejes positivos de coordenadas x, y, z

E2.8E2.9

Determinar el modulo R de la resultante de las tres fuerzas representadas en la figura y los ángulos que forma su recta soporte con los ejes de coordenadas x, y, z

PRODUCTO ESCALAR

Geométricamente el producto escalar representa una distancia

�� . ��=𝐴𝐵cos𝜃

EJEMPLOEl barco 0 mide las posiciones del barco A y del avión B y obtiene las coordenadas que se muestran. ¿Que valor tiene el ángulo entre las líneas de vista OA y OB?

En el transbordador espacial , los astronautas usan radar para determinar las magnitudes y los cosenos directores de los vectores de posición de dos satélites A y B. El vector rA del transbordador al satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenos directores . El vector rB del transbordador al satélite B tiene una magnitud de 4 km y cosenos directores 0.375. ¿Cuál es la magnitud del ángulo entre los vectores rA y rB?

En el instante mostrado , el vector de empuje del aeroplano es N y su vector de velocidad es m/s. La cantidad , donde es la componente vectorial de paralela a , es la potencia que en este instante transfiere el motor al avión . Determine el valor de P (potencia)

VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL

�� 𝑟𝑜𝑦 ����=( �� ∙ ��) ��= ( 𝐴cos𝜃 ) ��

En la siguiente figura se muestra un vector que forma un ángulo con una dirección arbitraria especificada por el vector unitario . Se define como vector proyección de en la dirección al vector cuya magnitud es la componente escalar de A en dicha dirección, , y que esta orientado en la dirección de .

EJEMPLOSuponga que usted jala el cable OA que se muestra en la figura ejerciendo una fuerza F de 50 N en 0. ¿ Cuales son las componentes vectoriales de F paralela y normal al cable OB?

�� 𝑝=( ��𝑂𝐵 ∙ �� ) ��𝑂𝐵

��=�� 𝑝+ ��𝑛

PRODUCTO VECTORIAL

Geométricamente representa el área de un paralelogramo

𝐶= �� 𝑥 ��

|�� 𝑥 ��|=𝐴𝐵sin 𝜃

El producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )

x y z y z z y x z z x x y y z

x y z

i j k

AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B

B B B

�� 𝑥 ��=𝐴𝐵sin 𝜃 ��

REGLA DE LA MANO DERECHATome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.

EJEMPLOLos dos segmentos de la barra en forma de L que se muestra en la figura son paralelos a los ejes x y z. La cuerda AB ejerce una fuerza de magnitud F = 500 lb sobre la barra en A. Determine el producto cruz , donde es el vector de posición del punto C al punto B

La barra AB tiene 6 m de largo y es perpendicular a las barras AC y AD. Use el producto cruz para determinar las coordenadas xB, yB, zB del punto B

Use el producto cruz para determinar la longitud de la línea recta mas corta del punto B a la línea recta que pasa a través de los puntos O y A.

( ) ( )Area AxB A Bsen A h

La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B.

=h

AREA DE UN PARALELOGRAMO

APLICACIONES DE LOS VECTORES

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA

𝑊=�� ∙ ��

POTENCIA

𝑃= �� ∙ ��

��

EJEMPLO Un tractor tira una carreta conteniendo rollos de tela con una fuerza de 5 KN que forma un ángulo de 36.9° con la horizontal. La carreta y la rollos de tella pesa 14.7 kN y el tractor se mueve con una rapidez de 3 m/s. Si la carreta se ha desplazado hasta 60 m y el coeficiente de rozamiento entre el piso y la carreta es 0.2. Determine:(a) El trabajo realizado sobre la carreta.(b) La potencia que se transmite a la carreta.

MOMENTO ANGULAR

��=𝑟 𝑥��

��=𝑟 𝑥 ��

EJEMPLOUn disco de masa m unido a una cuerda se desliza sobre una mesa horizontal lisa bajo la acción de una fuerza transversal constante F. La cuerda se jala a través de un aguajero en O en la mesa a velocidad constante vo. En t = 0, r = ro y la velocidad transversal del disco es cero. Hallar el momento angular del disco

����

MOMENTO DE UNA FUERZA

𝑀𝑜=𝑟𝐹 sin 𝜃=𝐹𝑑

��𝑜=��𝑃 𝑥 ��= �� 𝑥 ��

/

/

ˆ ˆ ˆ ˆ. .BL B A B

A B A B

M eM e e r xF e

r r r

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA.

��