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ASIGNATURA : DINAMIZACIÓN

SOCIO-CULTURAL

POSTGRADO: CALIDAD DE VIDA Y SUS COMPONENTES

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

MATEMÁTICAS: NÚMEROS Y EVOLUCIÓN DEL MUNDO

ALUMNOS

Colom Herrero. Mª del Carmen Gómez Llopis. Jose V. Gómez Safont. Pilar Illana Alvaro. Mª Rosa

Llamazares Sánchez. Mª del C. Vicent Salvador. Pedro Massó Chabrera. Mª Isabel

PROFESORA Dª PILAR ESCUDER MOLLON Curso 2010-2011

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MATEMÁTICAS: NUMEROS Y EVOLUCION DEL MUNDO

Índice:

Origen e historia de los números incluido el cero 3

Números y evolución del mundo. 25

Letras que son números 39

El numero áureo en arquitectura 64

Algunas curiosidades matemáticas 90

Matemáticas en nuestro mundo cotidiano. 100

Sistema binario –Ordenador-. 108

Para qué sirven las matemáticas. 114

Números y algunas constantes físicas 119

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ORIGEN E HISTORIA DE LOS NUMEROS.

Muchos piensan que las matemáticas constituyen un mundo extraño, abstracto, lejano, patrimonio de unos pocos genios. Un mundo alejado de la realidad social de cada época cuyo desarrollo es independiente del devenir general de la historia. Nada más lejos de la realidad. Haremos un viaje por el espacio y por el tiempo, conociendo a algunos genios que nos han permitido como el hombre ha aprendido a conocer y a dominar el Universo que nos rodea, y gracias en parte a las matemáticas, al fin y al cabo es lo que significa la palabra matemáticas.

Imaginen una cueva. En la pared, apenas iluminada, una pintura rupestre cuenta la hazaña de un cazador: un bisonte herido, de colores difuminados pero visibles aun, y a su lado, profundamente marcados en la piedra, aunque embotados, cuatro trazos casi idénticos. Para ahorrar su fuerza de trabajo, el hombre primitivo ya se dio cuenta de que le era más fácil representar su historia con un solo bisonte acompañado por “cuatro” trazos que con “cuatro bisontes”. Pasar de cuatro-bisontes a cuatro, requirió milenios. Trabajo de conceptualización que permitió pasar del “numero de (bisontes)” al “numero a secas”.

La escritura numérica apareció antes que la escritura normal y el lenguaje hablado para cada número. Hacia el 40.000 a.C. se produjo el nacimiento de la cultura de los números, es decir, la mente humana llegó a ese punto en que abstrajo la idea numérica.

En la prehistoria, las tribus más primitivas, apena si sabían distinguir entre uno y muchos. Más adelante es cuando empiezan a utilizar un lenguaje corporal (dedos, manos, etc.).

La fuente histórica documental más antigua que se conserva y que registra un cálculo aritmético es un hueso talla de lobo, encontrado en Moravia (en la antigua Checoeslovaquia). Se le calcula sobre unos 30.000 años. Tiene talladas 57 muescas.

Hueso de Ishango

Este hueso lleva unas marcas idénticas en un lado y en el otro, lo que indica que ya se contaba.

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Por otro lado, nos encontramos, actualmente, la tribu Sibiller de Nueva Guinea con un desarrollo muy primitivo, tal vez similar al que se pudo haber desarrollado hace treinta mil años. Usan los dedos de la mano para enumerar los cinco primeros números, y usan otras partes del cuerpo para contar los siguientes números.

Esto se contrapone, el hueso y la tribu, a la afirmación común de que el sistema numérico más primitivo y natural debió haber estado asociado con el uso de los diez dedos de ambas manos.

Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. Esta inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darles sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.

Filolao dijo: “El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada”.

Euclides decía “Un numero es una multiplicidad compuesta de unidades”.

Pitágoras en el siglo V a.C. decía “los números gobiernan el mundo”. Esto podría ser una declaración de su ideario místico-religioso. Pero hoy es una verdad reconocida por todos: la matemática no solo es válida para las ciencias, sino para muchos campos no científicos, porque los números guardan una relación del valor de las cosas.

La representación simbólica de los números naturales se presupone que surgió antes del nacimiento de las palabras para “representarlos”, seguramente porque es más fácil contar muescas en un palo que establecer una frase para identificar un número concreto.

La facultad de contar esta implícita en la aparición del número.

El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en común con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen. La cualidad se denomina número.

Los números están tan arraigados en el subconsciente colectivo, se nos presentan de una manera tan natural, que parece que el ser humano naciese con ellos grabados en la mente. Son los números que nos sirven para contar, los números naturales. Su presencia en la vida cotidiana es tal, que pasan desapercibidos.

Los números, que no existen como tal en el mundo físico, sino que es una construcción subjetiva de nuestro cerebro, aparecen con su elegante representación a la menor ocasión, insinuándonos una infinidad de operaciones, de combinaciones e interpretaciones.

¿Cómo es posible que los comprendamos? ¿Qué mecanismos cerebrales permiten que una simple raya (el 1), un circulo (el 0) o una especie de churro (el 8) cobre un sentido en nuestra mente y nos lleguen a evocar tantas cosas?.

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Según muchos neurólogos y psicólogos parece que nuestro cerebro está equipado desde el nacimiento con un exclusivo sentido matemático. Para el ser humano percibir los números es una cualidad innata tan natural como el canto en ciertas aves.

Vivimos rodeados de números. Números y cifras por todas partes. Son nuestros compañeros inseparables. No es exagerado, creo, decir que la historia de la humanidad tiene entre sus cimientos básicos a los números y los sistemas de numeración en que los organizamos para calcular.

Contar y calcular son hoy actividades tan familiares y obvias que fácilmente nos parece que forman parte de un patrimonio en cierto modo hereditario de la especie humana. Y sin embargo, el sistema de numeración escrita que usamos a diario es una obra maestra, sin duda el instrumento de cuenta y cálculo más perfecto que pueda imaginar. Un gran invento sin ninguna duda, de la talla del manejo del fuego o la invención de la rueda, el carro o la máquina de vapor.

Hicieron falta muchos milenios de pruebas, tanteos, descubrimientos y titubeos para que el ser humano lo alcanzara… y varios siglos para que la revolucionaria novedad fuera definitivamente aceptada por el mundo occidental.

Pero imagínense que un día descubrimos que no existen los números, nuestro despertador no nos marca la hora, intentamos llamar por teléfono para informarnos de la hora y para nuestra sorpresa tampoco podemos utilizarlo, funciona con números, del ascensor también han desparecido, abrimos el buzón y encontramos una carta del banco, no tenemos ningún número y no nos enteramos si debemos o nos deben, las matriculas de los coches no se pueden leer, la bolsa cierra por falta de cotizaciones, las tiendas cerradas. En el trabajo nos llevamos la primera alegría, el reloj de fichar esta en blanco, por cierto, si esto sigue así, que cobraremos este mes. Continúen imaginando que pasa en la estación de tren o en los aeropuertos, el caos es total, todo el planeta está paralizado. Todo no, unas cuantas tribus del Amazonas, de Australia o África, continúan con su vida normal.

Nos despertamos y nos damos cuenta que nuestras vidas giran alrededor de los números.

Nuestros sentidos y nuestra percepción están preparados para distinguir entre 1, 2, 3 , 4 e incluso 5 objetos. A partir de esta cantidad, nuestro subconsciente nos sugiere la idea de pluralidad.

En la práctica, cuando queremos discernir una cantidad, recurrimos a procedimientos como la memoria o la comparación, al agrupamiento mental o más frecuentemente a la facultad abstracta de contar.

La invención de los números en la más remota antigüedad tiene su fundamento en bases empíricas debidas a preocupaciones fundamentalmente prácticas, como contar las cabezas de ganado, o las piezas cobradas en una cacería, o los supervivientes en una batalla.

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La aventura del número consistió en romper la dependencia entre la cantidad y aquello de lo que es cantidad.

El número juega en dos terrenos: lo parecido y lo diferente. Las cosas que quieren enumerarse son parecidas en tanto que son; son diferentes en tanto que no son lo mismo. Si no fueran diferentes, solos habría un objeto en el mundo.

¿Cuando se empieza a contar?.

No se sabe con exactitud cuando los humanos comenzaron a contar, es decir, a medir lo múltiple de un modo cuantitativo. De hecho, ni tan siquiera sabemos con seguridad si los números cardinales ( uno, dos, tres..) precedieron a los ordinales como 1º, 2º, 3º…

Un pastor probablemente contaba sus ovejas cuando las sacaba a pastar metiendo en su zurrón una piedra por cada oveja. Al encerrarlas volvía a hacer lo mismo y tenían que coincidir la cantidad de animales con las piedras.

Debió ser así, comparando cantidades como el hombre comenzó a construir el concepto de número.

Los números son el alfabeto universal del lenguaje de las matemáticas.

En la mayoría de los sistemas de numeración antiguos, el valor de una cifra era siempre igual, estuviera donde estuviera; así el I (uno romano), siempre valía uno en cualquier posición. Los hindúes son los que cambiaron el valor a la cifra pudiendo representar unidades, decenas, centenas, etc. Gracias a ello se pudo contar grandes cantidades.

Los romanos también contaban con el sistema de las piedrecillas (piedra en latín es calculus, de donde viene la palabra cálculo). Por eso calcular era contar con piedras, hoy, números.

Llega un momento en la vida en que los hombres necesitan dejar plasmado, por un tiempo al menos, lo que hablan y contabilizan.

Nace así la pictografía, es decir, el representar por medio de objetos lo que se deseaba expresar ayudado del dibujo o la pintura. Es la primera forma de comunicación no hablada.

A la comunicación gestual y oral, siguió la escritura y antes del surgimiento del cálculo numérico, existió la necesidad de enumerar y contabilizar.

Al principio fueron gestuales y no habladas, dos dedos, indican 2 de algo, la mano, 5, muescas en el colt indicaban muertos (esto fue más adelante).

Este conteo gestual hace pensar que los hombres se sirvieron primero de los dedos (de una mano, de las dos, de los pies). Hoy, los papúas de Nueva Guinea cuentan el “1” (con el meñique derecho) al “22” (el meñique izquierdo), pasando por las articulaciones de la muñeca, codo, hombro, orejas, ojos, nariz, boca, etc.

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Hace unos 6ooo años a.C. los fenicios, sumerios y babilonios, registraban sus hechos y acontecimientos por medio de figuras dibujadas en arcilla húmeda. Se llamo cuneiforme, o en forma de cuña.

Los egipcios emplearon una escritura ideográfica que perfeccionada con el tiempo, recibió el nombre de jeroglífica y que además evolucionó en una escritura cursiva con sus dos variedades, la hierática y la demótica.

Lo mismo son los símbolos de la escritura japonesa y china, la escritura maya y azteca.

De los sumerios proviene el sistema sexagesimal que aun lo aplicamos cuando medimos el tiempo en 60 segundos, 60 minutos, 12 horas y los ángulos o el circulo en 360 grados.

Estos, contaban con la mano derecha extendida y con el dedo pulgar señalaban las tres falanges de los cuatro dedos restantes, comenzando con el meñique. Así, lo máximo que contaban era 12, pero si por cada grupo de 12 se levantaba un dedo de la mano izquierda, el método permitía contar hasta 60, la base del sistema sexagesimal.

El sistema de numeración posicional es mucho más efectivo que los anteriores. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas… o en general la potencia de la base correspondiente.

Solo tres culturas además de la India lograron desarrollar un sistema de este tipo, babilonios, chinos y mayas, en distintas épocas, llegaron al mismo principio.

Actualmente empleamos un sistema decimal que se deriva del que el ser humano necesitó hacer una representación simbólica del conteo con su propio cuerpo y para ello se valió básicamente de los diez dedos de las manos, y aunque este no fue el único sistema, si fue el más difundido.

Esquema resumen

Egipcios Sistema de 10.

Sumerios

y

Babilonios

Sistema de 10 y 60, y

fueron quienes

comenzaron a medir

el tiempo, como

actualmente lo

conocemos -60

minutos, 60

segundos-, y la

partición del círculo

en 360º.

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A grandes rasgos diremos que, con el desarrollo de las comunicaciones entre los pueblos, se hacía imperioso un sistema de comunicación más sencillo, y hacia 1800 a.C., se hicieron los primeros ensayos de escritura acrofónica con el uso de pictogramas e ideogramas.

En un orden cronológico hablaremos de:

Sumerios: La primera escritura conocida apareció antes de cuarto milenio a.C. en el país de Sumer, situado en la baja Mesopotamia, entre las cuencas inferiores de los ríos Tigris y Éufrates.

El sistema se basaba en el principio aditivo. Los nueve primeros números naturales se representan repitiendo el signo de la unidad tanta veces como sea preciso; los números 20, 30, 40 y 50, repitiendo el de las decenas; los números 120, 180, etc. repitiendo el signo de la sesentena, y así sucesivamente.

Este sistema de base 60 ha sobrevivido hasta nuestros días en el modo en que representamos el tiempo en horas, minutos y segundos, o en los grados del circulo (y la subdivisión de los grados en minutos y segundos).

Es así, que alrededor de 1600 a.C. nace el alfabeto semítico. Del cual, años después surge el alfabeto griego.

Los semitas: lo forman pueblos diferentes como los acadios, los asirios, los babilonios y otros más.

Estos pueblos asimilan el sistema sexagesimal de los sumerios y a través de varias etapas conviven con el sistema decimal y finalmente solo queda el decimal.

Parece que es en la época babilónica cuando aparece el cero que significa la ausencia de unidades sexagesimales de cierto rango. El símbolo tenía la significación de vacío, pero todavía no estaba pensado en el sentido de “nada”

Con la invención de la escritura, se tuvo que dar el paso siguiente, que fue el de escribir los números. Al principio ya hemos dicho que eran todo signos iguales (un

Mayas,

Aztecas y

Celtas

Sistema de 20 porque

contaban los dedos

de las manos y los

pies.

Romanos

Inicialmente tenían

un sistema de 5, es

decir que sólo se

contaba con una

mano. Luego pasaron

al sistema de 10

gracias a la influencia

que tuvo Egipto en la

cultura romana.

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numero largo era difícil de contar) y tuvo que empezarse a separar en grupos, preferentemente de a diez. Luego se invento un símbolo para los 10 grupos de 10, o sea, cien, y asi sucesivamente.

Hacia 1400 a.C. se escribió en diferentes lenguas, como los sumerios, Acadia e Hitita entre otras, utilizando 30 signos que con el tiempo se quedan en 22.

La evolución de estos alfabetos desde el arameo que dio lugar al sirio o el Asvéstico en Persia, el alfabeto Brahami en India, del que se desvió hacia el Tíbet, Indochina e Indonesia, o el Nabateo que con el tiempo se transformo en Cúfico, forman la base de los alfabetos árabes actuales.

Sin embargo, ninguno de estos alfabetos que han llegado hasta la actualidad, poseían vocales.

Fueron los griegos quienes tomaron la escritura de los fenicios y con la utilización de signos guturales representaron a las vocales. Su sistema de numeración se denomino ático y era de carácter aditivo en base diez.

Hacia el año 800 a.C. los griegos separaron las vocales de las consonantes y las escribieron por separado.

Mientras, el desarrollo del simbolismo de los números también tenía su despliegue.

Egipcios: Hacia el año 3000 a.C., casi al mismo tiempo que en Mesopotamia, en Egipto los escribas, inventaron un sistema de representación aditiva en la que cada unidad se representaba en forma de una U invertida. Para las centenas, un símbolo parecido al 9 y para millares y mas, un jeroglífico especifico. Su sistema, decimal y aditivo, no posicional.

Este sistema de base 10 probablemente estaba relacionado con los números de dedos que tenemos en las manos. Esta base no presenta ningún tipo de superioridad sobre, pongamos, la base 13. Hasta podríamos argumentar teóricamente que el hecho de que el numero 13 sea un numero primo le da ventajas sobre el 10, ya que la mayoría de las fracciones serian irreductibles en un sistema semejante. Por ejemplo, 36/100 en base 10 es igual que 18/50 ó 9/25, mientras que en una base prima 13 estas representaciones múltiples no existirían.

Los griegos toman de los egipcios su sistema, y lo adaptan a sus símbolos hacia el año 600 a.C.

Se distingue una numeración ática y otra jónica.

a) En la numeración ática los griegos aprendieron de los egipcios y de los

fenicios. Este sistema era aditivo en base diez.. Para representar del uno al

cuatro empleaban trazos verticales repetitivos, y después letras , para el 5=

penta; 10= deka= delta,; 100= H = hekaton, 100 = K = Khiloi.

b) A este sistema le sustituyo el jónico o alfabético que empleaba las 27 letras

minúsculas del alfabeto griego y algunos otros símbolos.

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También emplearon las fracciones.

Los romanos: Las cifras romanas nacieron mucho antes que la civilización romana. Provenían de los etruscos, y en general, de pueblos itálicos. Y estas, a su vez, tenían su origen en las griegas.

Este sistema no permitía a sus usuarios realizar cálculos.

Los chinos: También tuvo su propio sistema de numeración hacia el año 1500 a.C. Era un sistema hibrido que combinaba el principio aditivo en el multiplicativo en base 10, y se debía tener en cuenta el orden de la escritura, ya fuera vertical (abajo hacia arriba), u horizontal (de izquierda a derecha). Conocían las fracciones y los números negativos.

Los Hindúes: El sistema de símbolos que actualmente conocemos, fue desarrollado por los hindúes. Comenzaron en el s. III a.C. con nueve cifras.

Se cree que el sistema posicional y el concepto de cero aparecieron en el s. V d.C. Es el astrónomo indio Aryabhata el que inventa una notación numérica que precisa de un conocimiento perfecto del cero y del principio de posicionamiento en base decimal. Esta notación le permite realizar fácilmente raíces cuadradas y cúbicas.

Los árabes: El sistema arábigo fue inventados por los hindúes. Llego a occidente reemplazando a los números romanos, que dominaron por muchos siglos. Aunque el primer manuscrito europeo que utilizo los numerales árabes data del año 976 d.C.

Los Mayas: Su sistema tiene alguna semejanza con el romano aunque en algunos aspectos es superior. Conocieron el cero y su sistema de numeración era de base 20 pero posicional, utilizaban el cinco como base auxiliar.

Pero hay una teoría muy antigua que puede ser verdad o no, pero que me gusta y quiero pensar que sea cierta ya que es atractiva, se trata de que son los ángulos de los números los que le dan el nombre.

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Los sistemas numéricos en la antigüedad:

Con caracteres cuneiformes

Babilonios

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Numeración jeroglífica egipcia

Numeración egipcia (A) Jeroglífica (B) Hierática

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Civilización griega Ática

Numeración griega jónica

Civilización romana

Numeración hindú

China

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Árabe

Maya

Azteca

Sistema de numeración decimal indo-arábigo

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Resumen: Sistemas numéricos de las antiguas civilizaciones y su evolución histórica

Explicamos un poco los números romanos ya que aunque este sistema de numeración ha caído en desuso, actualmente aun se emplea para fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (para numerar los siglos, los Papas, los reyes y reinas, etc.)

Consta de 4 símbolos principales I X C M que se corresponden con la unidad, decena, centena y millar, y tres símbolos secundarios, V, L, y D que se corresponden con 5, 50 y 500. Este sistema de numeración no era posicional como el que usamos ahora, sino que se basaba en la adición y sustracción.

Las reglas básicas de numeración son las siguientes:

Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.

La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.

En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.

La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse.

Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.

Asimismo, para representar guarismos del orden de la decena de millar, se añada la siguiente regla final:

El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.

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Como acertijo les diré que la mitad de XII es siete -XII pero la mitad de -X es V.

Otra curiosidad de la antigua Roma era que a través de la mímica, con la mano izquierda cerrada y enseñando el índice y meñique, se representaba el numero 4, y hecho con la mano derecha significaba 400. De esta manera, si alguien te hace los “cuernos” con las dos manos te está queriendo decir ERROR 404 muy frecuente en informática.

Volviendo al origen de los números, a alguien se le ocurrió que todas las cantidades se pueden construir con repeticiones de algo, es decir, el 200 equivale a 2 veces 100, el 20 a dos veces diez, y el dos, a un par de unos. Se creó así un método en el que el primer símbolo representará el número de unos (unidad), el siguiente por la izquierda el número de dieces (decenas), el siguiente el número de cientos (centenas)….etc.

Con esta solución se resuelve el problema de los números grandes, ya que basta con ir añadiendo cifras a la izquierda para aumentar la cantidad hasta el infinito.

Pero seguía habiendo una limitación, había que buscar un símbolo que dejase claro que en ciertas posiciones no hay nada. La representación numérica de la nada es uno de los avances más importante de la civilización humana. Había nacido el cero. Vamos a hablar un poco de él:

ORIGEN DEL CERO.

El cero nació como símbolo y creció como número. A pesar de su indiscutible eficacia matemática, hubieron de pasar casi 2.500 años antes de su total implantación. Y es que, nada más nacer, rebasó el ámbito matemático para tornarse en conflicto filosófico y en anatema religioso.

Sus primeras evidencias de uso se remontan a los sumerios en Mesopotamia hace unos 5000 años. El símbolo que se utilizaba era una cuña, que significa “la ausencia de algo”.

Lo inventaron los hindúes por el año 500. El primer registro conocido de este nuevo numero data del Siglo IX, aunque es probable que llevara siglos utilizándose. Este extraño nuevo número está grabado en el muro de un pequeño templo en Gwalior en el centro de la India.

A este símbolo le denominaron sunya que quiere decir “vacio”. Este símbolo de la nada fue recogido por los árabes hacia el s. VII, cuya traducción es sifr y que traducido al latín algunos siglos más tarde dio zefiro. Esta palabra dio origen a las palabras castellanas cero y cifra.

Parece que el concepto de cero surgió de dos civilizaciones de forma independiente. En Mesoamérica (Olmecas y Mayas, tras los cuales ese conocimiento fue olvidado) y, de forma independiente, en Mesopotamia. Posteriormente fueron los árabes los que lo introdujeron en España.

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Los Mayas vivieron en lo que hoy es el Sur de México, Guatemala, el norte de Belice y parte de Honduras y Salvador, y sobre el año 665 sabemos que usaron un sistema numérico de valor por posición de base 20 con un símbolo para el cero.

Uno, cero, infinito, es el tríptico sobre el que descansa por completo el imperio de los números.

El número cero apareció en el siglo V en la India. En cambio, el no fue matemáticamente definido hasta fines del siglo XIX.

El cero es único, el infinito múltiple. En matemáticas solo hay un modo de ser nulo y una “infinidad” de posibilidades de ser infinito.

Georg Cantor, creador de los infinitos comento:” no veo que podría retenernos en esta actividad creadora de nuevos números”.

Hace 20.000 años ya se tiene la evidencia del numero uno y que servía para contar. Uno no era más que una raya en un hueso.

Sin el 1 no hay número; la universalidad en la numericidad reside en él.

Todo empezó por la existencia: una cosa existe si es y solo si es una. “Es unidad eso por lo que cada una de las cosas existentes es llamado una”.

Para la antigua Grecia el uno no era un número, sino aquello gracias a lo que el número existe.

El cero para convertirse en el número que conocemos hoy, necesita cruzar tres etapas: signo para marcar, cifra y, por fin, numero.

Como signo para marcar es el cero operador. Es signo y no cifra. Si se le coloca a continuación de un número, lo multiplica (por diez si el cálculo se hace en base 10).

Como cifra: En los dispositivos representados en columnas que se apoyan en el principio de posición, un numero es representado por una de las nueve cifra colocadas en las distintas columnas, para significar la cantidad de unidades, decenas, centenas, etc, que entran en la composición del numero. En el caso de que una potencia de la base no intervenga, la columna correspondiente permanece vacía.

El cero número, el número es nulo. Las cifras del uno al nueve son también números, ¿Por qué no el cero?. El numero nulo será definido como el resultado de restar un entero cualquiera de si mismo: la diferencia de lo mismo a lo mismo: 0= n-n

La utilización del símbolo cero para indicar la ausencia de determinadas cantidades, constituye uno de los descubrimientos más extraordinarios de la Aritmética. Sin embargo, no deja de ser sorprendente que en Europa no se introdujera hasta el siglo XIII o que una cultura tan avanzada como la griega, a la que consideramos cuna de nuestra civilización, no llegara ni siquiera a rozarlo como concepto. Y es que el número

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cero nació con dos caras, como las máscaras que simbolizan el teatro, una sonriente que miraba hacia la aritmética práctica, y otra de expresión sombría de la que recelaban los filósofos.

Al fin y al cabo, durante mucho tiempo la iglesia católica consideró al cero como “el número infiel”, llegando a prohibir su utilización, lo que obligó a los calculistas a hacer su trabajo al amparo del secreto. La relación entre los términos “cifra” (cero) y “secreto” prevalece actualmente: se habla de un mensaje cifrado para hacer referencia a un mensaje secreto.

Para los inventores del calendario cristiano, este número era simplemente inconcebible. No existió el año cero; más aun, la “nada” que hoy asociamos a este guarismo no entraba en los esquemas de su concepción del mundo. También ignoraron el cero los grandes filósofos y geómetras griegos, como los romanos con su complicadísimo sistema de numeración, y sus sucesores, bizantinos y barbaros.

En cualquier caso, sus orígenes están íntimamente relacionados con los sistemas de numeración posicionales y no se puede comprender la naturaleza de su descubrimiento sin entender primero los mecanismos que rigen dichos sistemas.

El cero dejo de ocupar una posición vacía para convertirse en un número con derecho propio.

La Grecia clásica, que tanto influyó en Roma y luego en el cristianismo, estaba obsesionada con la proporción. Aristóteles había dicho que el cosmos no era infinito. La teología católica, que se desarrolló a partir de la filosofía de Aristóteles, "no podía aceptar el cero, que estaba asociado a la idea del vacío, la nada, el infinito. Estas eran nociones heréticas para el cristianismo", dice Seife. Por eso fue rechazado durante buena parte de la Edad Media, hasta que penetró a través de los mercaderes italianos de Génova y Venecia, que comerciaban con el Islam.

El símbolo cambió como notación posicional (para lo que el cero era crucial), desde el Imperio Babilónico a la India, a través de los griegos (que los usaron de forma ocasional) y los romanos (que no lo utilizaron en absoluto). Son los comerciantes árabes los que lo llevan desde la India hacia el Oeste.

El cero es una de las representaciones numéricas que mas tardaron en aparecer en la historia de la humanidad, probablemente porque los números tenían relación con los objetos que representaban. El uso del cero suponía pues, una representación de algo que no hay, es decir, la ausencia o carencia de algo.

El cero es un número entero que sigue a -1 y precede a 1. Se puede representar como cualquier numero mas su opuesto (o, equivalentemente, menos el mismo): X + (-X) = 0.

El cero es el único número real por el cual no se puede dividir. Ej 6/0 = error.

El cero se asocia con la posición de “apagado” en lógica positiva y es uno de los dos dígitos del sistema binario.

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Con el cambio del milenio que todos hemos vivido, asistimos a un debate un tanto estéril, acerca del momento exacto de la entrada del Siglo XXI: ¿se produciría a las 12 de la noche del 31 de Diciembre de 1999 o del 2000?. Las dudas, cuya respuesta canónica es indiscutible (el 2001 es el primer año del tercer milenio) surgen por no comprender el concepto del cero.

Mucha gente de todo el mundo celebró el nuevo milenio el 1 de Enero de 2000. Por supuesto celebraron el paso de solo 1999 años, dado que el calendario no tiene ningún año cero especificado. Es un tanto sorprendente que la mayoría de la gente sea incapaz de comprender porque el 3º milenio y el siglo XXI comenzaron el 1 de Enero del 2001.

El cero es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay cifra significativa. Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor, colocado a la izquierda no lo modifica.

Lo primero que hay que decir sobre el cero es que hay dos usos, ambos extremadamente importantes, pero algo distintos. Un uso es como indicador de lugar vacío en nuestro sistema numérico de valor por posición. Así pues, en un número como 2106, el cero es usado para que las posiciones del 2 y del 1 sean correctas. Claramente 216 significa algo bastante distinto. El segundo uso del cero es como un número en sí mismo, en la forma que lo usamos como 0. Hay también otros aspectos distintos del cero en estos dos usos, a saber, el concepto, la notación y el nombre. (Nuestro nombre “cero” deriva del árabe sifr el cual también nos da la palabra 'cifra'.)

Se podría pensar que una vez que aparece un sistema numérico de valor por posición entonces el 0 como indicador de posición vacía es una idea necesaria, aunque los babilonios tuvieron un sistema numérico de valor por posición sin esta característica durante 1000 años. Además no hay ninguna evidencia de que los babilonios sintiesen que había algún problema con la ambigüedad que existía.

Vemos que el primer uso del cero para denotar un espacio vacío no es en realidad un uso del cero como número después de todo, sino meramente el uso de algún tipo de signo de puntuación para que los números tengan una interpretación correcta.

Son los astrónomos griegos lo que hacen el primer uso del símbolo que hoy reconocemos para el cero.

Fibonacci fue el primero en escribir sobre los números arábigos en Occidente. En el Norte de África es donde aprendió la numeración árabe y la notación posicional (el cero).

Fibonnacci en Liber Abaci describe los nueve símbolos indios junto con el signo 0 para los europeos alrededor del año 1200 pero no fue usado ampliamente hasta bastante tiempo después. Es significativo que Fibonacci no fue lo bastante audaz como para tratar el 0 de la misma forma que al resto de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dado que habla de la “marca” cero mientras que al resto de símbolos los llama números.

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El cero se representa en matemáticas con el símbolo «0». Desde el siglo XX, y especialmente con el desarrollo de la informática es frecuente que el 0 aparezca barrado, es decir, con una raya que lo cruza para evitar confundirlo con la letra «o»; por contrapartida, cuando la letra «o» se escribe en un texto matemático es pertinente acentuarla: «ó», para evitar confundirla con el signo del número 0. En el conjunto de los enteros el 0 es un número par. Tradicionalmente está considerado uno de los cinco números más importantes de las matemáticas, junto con los números 1, π, i, e

Haciendo una recapitulación y repitiendo algún concepto comienzo con una cita de G.C. Lichtenberg (S XVIII)

El hombre empezó por el principio: “toda magnitud es igual a sí misma” y acabo midiendo el Sol y las estrellas.

El invento de las nueve cifras en la India, allá por el S. V ó VI son la base de nuestra numeración actual, el lenguaje más universal que existe en la actualidad. La aceptación universal de este sistema se debe al hecho de que con solo diez símbolos (idénticos en todas las lenguas) podemos expresar cualquier número por grande que sea. Su mayor ventaja es su carácter posicional. Una misma cifra representa distintos valores según el lugar que ocupa.

Desde la India hasta que llega a Europa pasan unos mil años. A principios del S. IX, el matemático Al-Khuarizmi publica su famosa aritmética. Es el primer texto que enseña estos números y su manera de utilizarlos.

AL principio del S. XI, estos números, ya indoarábigos, son empleados por mercaderes, comerciantes, etc.

Es el año 1202 cuando entran en la Europa medieval.

Como historia les cuento el fenómeno de la numerología: En muchos hoteles italianos no existe la habitación XVII, se pasa de la 16 a la 18 porque si en los números romanos transponemos una letra, la VI se transforma de XVII a VIXI (vixi) que traducido quiere decir viví en pasado es decir, estoy muerto,

Retrocediendo en el tiempo, el cuarto milenio a.C. en Mesopotamia, en el país de los Sumerios, ya tenían su numeración, no con base 10 sino con 60.

Ya que arcilla poseían muchísima, se dedican a expresar con un punzón las piezas numéricas y el objeto de la transacción en unas tablillas donde queda representado. Esto da a opinar que el invento de las cifras es anterior a la escritura.

Estudiando estas tablillas se llega a la conclusión de que en el año 200 a.C. se descubre el sistema posicional que permite escribir cualquier número con solo dos símbolos:

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Base 60

T = unidad

< = 10 T

O sea, por ejemplo 24 se escribiría:

<TT

24 =

<TT

< T T

20 = ; 4 =

< T T

El papiro egipcio es menos resistente que las tablillas babilónicas al paso del tiempo, pero alguno ha llegado a nosotros.

¿Durara nuestra numeración el paso de los siglos?. Hoy las computadoras emplean la base 2 y son sus numero el 0 y el 1.

Matemáticas quiere decir aquello que se puede aprender.

“Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen numero, pues no es posible que sin numero nada puede ser conocido ni concebido”. Filolao.

De la importancia de los matemáticos da fe el que en la Luna hay más de 300 cráteres que llevan algún nombres famosos de ellos.

Resumiendo CRONOLOGICAMENTE:

30000 a.C.: Presencia de muescas numéricas.

8000 a.C.: Aparición de los calculi en Mesopotamia y en otros lugares de Oriente medio.

3300 a.C.: primeras cifras en Sumer y Elam. Primera numeración escrita.

2700 a.C.: Cifras sumerias cuneiformes.

2000 a.C.: Surgen los primeros sistemas de numeración de base 60 en las civilizaciones sumerias y babilonias. Aparición de la base decimal.

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1800 a.C.: Numeración babilonia culta. Primera numeración de posición.

1300 a.C.: Aparición de las cifras chinas.

Siglo VI a.C.: Descubrimiento de los valores irracionales. Pitágoras. Funda la escuela de los pitagóricos.

Siglo IV a.C.: Primera crisis del concepto de infinito. Aristóteles.

Siglo III a.C.: Arquímedes domina el panorama de los números al extender la numeración griega hasta la notación de números muy grandes.

Siglo III a.C.: Aparición del primer cero de la historia en la numeración culta babilonia.

Siglo II a.C.: Numeración de posición china sin cero. Aparición de las nueve cifras brahaminas que se convertirán en las cifras indias.

Primeros siglos después de Cristo: Los números negativos.

Siglos IV/V: Se extiende el cero y la numeración decimal de origen indio, que constituye la base actual de nuestros números y por tanto del algebra y de las matemáticas modernas.

Año 628 : el matemático indio Brahmagupta habla por primera vez del infinito como inverso del cero.

Siglos V/IX: Numeración de posición maya con un cero.

Fines siglo VIII: llegada del cálculo indio a Bagdad.

Inicio siglo IX: Al-Khwarizmi sobre el cálculo indio.

Siglos XII/XIII : Presencia del cero de la numeración india en Occidente.

Siglos XII/XV: Época en la que las cifras “árabes” se estabilizan gráficamente en Europa occidental para dar origen a la forma definitiva que tienen en la actualidad.

Año 1202: Fibonacci es el primero en escribir sobre los números arábigos en Occidente. Aparece la famosa sucesión de Fibonacci.

Año 1500: Hombres como Galileo y Copérnico conducen a grandes avances matemáticos.

Año 1545: G. Cardano fue el que demostró que las deudas y fenómenos similares se podían tratar con números negativos.

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Alta Edad Media: Se habla del número millón y la palabra (que viene del latín y significa “gran millar”), que son mil millares.

Año 1604: Snelius crea la notación con comas que se utiliza en el resto de los países.

Año 1614: John Napie, llamado Neper, invento los logaritmos (del griego logos, razón, y arithmos, numero).

Año 1638: Se formula por primera vez el agregado infinito. Galileo.

Año 1664-1666: Newton descubre los cálculos diferencial e integral.

Año 1667: Invento del cálculo infinitesimal. Newton. Leibniz.

Año 1685: John Walis fue el que consiguió dar sentido a los números imaginarios.

Año 1744: Leonard Euler descubrió los números trascendentales.

Año 1825: Descubrimiento de los números algebraicos.

Año 1840: Francia es el primer país en adquirir el sistema métrico decimal de manera obligatoria, y con ello, los decimales.

Año 1845: William R. Hamilton comenzó a trabajar con números hipercomplejos o como el los llamo, cuaternios.

Año 1883: Invención de lo transfinito. Cantor.

BIBLIOGRAFIA:

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http://astroseti.org/articulo/3472/historia-del-cero

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http://autorneto.com/referencia/matematica/historia-de-los-numeros/

http://www.educared.net/concurso/61/numeros.htm

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NUMEROS Y EVOLUCION DEL MUNDO.

¿Cuándo comenzó la humanidad a pensar en términos de números?. La tradición pretende que la ciencia matemática empezó en Grecia, hacia el siglo V a.C. pero los documentos históricos que se han ido descubriendo nos permiten suponer la existencia de las cuentas numéricas muy anteriores al nacimiento de las grandes civilizaciones antiguas.

Los números –podemos decir- son una abstracción humana, como los conceptos de suma, resta o potencia. Pero la ida y vuelta con el mundo real es permanente e ineludible. Si las impresionantes e intrincadas formulas físicas se corresponden con los fenómenos del mundo tangible, basta con comprobar que si a dos manzanas les agregamos otras dos, nos quedan efectivamente, cuatro manzanas.

Antiguamente los egipcios ya estudiaban las crecidas del Nilo que les obligaba a trazar las lindes del los campos año tras año. El faraón tenía que reponer a los campesinos las tierras que les correspondían y su medida era una cuerda con nudos. Las cuerdas eran unidades de medida y tenían que verificar que cada campo tenía un determinado número de cuerdas por cada lado. Pero a veces faltaba o sobraba cuerda y lo solventaron con la invención de un nuevo número, el “fraccionario”, que es la razón de los números naturales.

La palabra geometría indica medida de la tierra.

Con el nacimiento de la agricultura y ganadería tienen que aprender cuando sembrar o aparear el ganado o con la navegación necesitan saber cuándo se producen las mareas y corrientes marinas por poner algún ejemplo.

El largo camino pasa al mundo griego donde nacen verdaderamente las matemáticas (hablamos del siglo VI a.C.). Tales y Pitágoras son los que dan el gran salto.

A ellos les debemos el uso del teorema que significa demostración, lo que se ve. La palabra matemáticas se debe a Pitágoras. Con ellos, las matemáticas dejan de ser algo exclusivamente práctico para convertirse en una actividad intelectual. Comienza la lucha para explicar la naturaleza bajo la luz de la razón.

Los babilonios 1000 años antes de que naciera Pitágoras ya parece que nombraron algo de ese teorema. Este teorema es el que más demostraciones presenta. E. Loomis, a principios del s. XX ya tenía más de 360 demostraciones. La más antigua es la de los chinos 1000 años a.C.

Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas:

La música

La aritmética o ciencia de los números (su lema: todo es número).

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La geometría.

La astronomía.

Para los Pitagóricos los números son entes abstractos, como ideas de la mente, con existencia propia al margen de los objetos que representan. Cuando hablan de números se refieren a los números enteros y a las fracciones, es decir, números que se podían expresar como razón de dos segmentos que contenían un número de veces una misma unidad, de ahí el nombre de racional.

Estos números abstractos constituyan el principio y la explicación última de todo el Universo. Para ellos el orden y el caos es la lucha por explicar la naturaleza bajo la luz de la razón:

1. Singularidad, orden. 2. Diversidad. 3. Armonía. 4. Justicia. 5. Matrimonio. 6. Creación.

El orden explicado a través de los números es:

Para ellos el numero 10 era sagrado, el tetractis. 10= 1+ 2 +3 +4.

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Tenían el punto la línea, el plano y el espacio.

Pitágoras descubrió la simetría entre la armonía musical y la armonía de los números.

Si pulsamos una cuerda tirante obtenemos una nota. Cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, obtenemos una octava, si pulsamos un tercio obtenemos la quinta y si pulsamos un cuarto obtenemos la cuarta de la quinta anterior.

Euclides: nos meten los Pitagóricos en el número perfecto, por ej. el 6 ya que la suma de todos sus divisores salvo el mismo es 6 (1+2+3=6).

Este mismo es el que proporciona un método para encontrar números perfectos:

Si (1+2+4+8…+2ⁿ) es primo

Es decir, si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que la suma total resulte un número primo, el total multiplicado por el ultimo número será un numero perfecto:

(1+2+4+8+…+2ⁿ) ·2ⁿ = es perfecto

Platón afirmó que Dios, el creador del Universo, utiliza siempre procedimientos geométricos.

Siglos más tarde, Kepler, cautivado por los estudios de Platón, seguiría defendiendo uno de los errores más hermosos de la historia de la ciencia, que las orbitas de los Planetas estarían diseñadas de tal forma que las esferas que las contuviesen encajarían exactamente en el interior de los sólidos metidos unos dentro de otros. Él mismo, años más tarde hizo saltar por los aires esta revelación al descubrir que las orbitas planetarias son en realidad elipses.

Más tarde, es Galileo el que lo demuestra de forma contundente:

“La filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante los ojos; quiero decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto”. Galileo Galilei

Los fenómenos naturales no son producto de la ira de los dioses sino que están sujetos a leyes físicas.

Cosmos y caos es igual a orden y desorden.

Los intentos de la ciencia se basan en el estudio del funcionamiento de la naturaleza, y las matemáticas van a ser unas herramientas imprescindibles.

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Contar y medir son, junto al uso de la palabra las cosas más inteligentes de los humanos.

Hablando de números vamos a nombrar los tipos de números que existen:

Numero: expresión de una cantidad con relación a su unidad.

Un número es cada uno de los entes abstractos que forman una serie ordenada y que indican la cantidad de elementos de un conjunto.

Numero en matemáticas, es un símbolo para designar cantidades o entidades que se comportan como tales.

Y a su vez matemáticas significa el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, como así también de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

Los números son la base de la ciencia matemática.

-Números naturales: son aquellos que se utilizan para contar (1,2,3 ..). Se representan por letra N. Son infinitos. Son cardinales para contar y ordinales para ordenar los elementos de un conjunto.

-Números enteros: son el conjunto de números formados por los naturales, mas los naturales con signo negativo, mas el cero. Se representan con la letra Z.

-Números racionales: Son aquellos que pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros. Se representan con la letra Q. El conjunto formado por los números racionales es el grupo de fracciones de Z. Todos sus elementos se forman como a/b siendo a y b números enteros.

- Números irracionales. Es un número que no se puede escribir en fracción (el decimal sigue para siempre sin repetirse). Se incluyen los radicales, es decir, aquellos números que no tienen raíz exacta como raíz de 2 = 1.414, raíz de 3 = 1.71 . Forman también parte los números π y el e.

-Números reales: es la unión de todos los anteriores conjuntos numéricos, o sea, los números racionales e irracionales. Pueden ser positivos o negativos ó cero. Incluye los algebraicos y los trascendentes. Se representan por la letra R.

-Números imaginarios: Es un número que cuando se eleva al cuadrado dan un resultado negativo:

i² negativo.

En los siglos XVI y XVII los matemático europeos imaginaron la √ y le dieron el nombre de numero i.

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Los números imaginarios han ayudado a entender las ondas de radio y a construir puente y aeroplanos. Son incluso la clave de la física cuántica, la ciencia del mundo subatómico. Proporcionan un mapa para ver como son en realidad las cosas.

Al principio del s. XIX no tenían mapa, no tenían imagen de cómo conectaban los numero imaginarios con los reales, ¿Dónde está el nuevo numero?, en la línea de

números no hay sitio para la √ , los números positivos van hacia un lado y los negativos hacia el otro.

El gran paso fue crear una nueva dirección para los números, perpendicular a la línea

de los números y ahí se encuentra la √ .

Gauss no fue el primero pero si el que mejor explico su funcionamiento

Los números reales al multiplicarlos por si mismo (elevarlos al cuadrado) siempre dan un resultado positivo o cero.

Pero si imaginamos un número (al que llamamos i de imaginario) que cumpliera esto:

i x i = - 1 ; de donde i = √

Un ej. ¿Cuál es la raíz cuadrada de -9?:

√ = √ = √ x √ = 3 x √ = 3i.

-Números complejos: aquel que está formado por una parte real y otra imaginaria: ej. 2+ 3i, 1+i, π + πi.

Se necesita un “mundo en el que existan las raíces cuadradas de números negativos. Ese será el mundo de los números complejos. Así llamaremos i a la raíz de -1 y por ej. la raíz de -3 seria raíz de 3 por i.

Cualquiera de ambos puede ser cero, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos. Se les designa con la letra C.

-Números algebraicos: cualquier número que es solución de una ecuación polinomial con coeficientes racionales.

Incluye todos los números racionales, y algunos irracionales.

-Números primos: un numero natural, entero positivo, distinto de 0 y 1, es primo si es divisible solamente por la unidad y por si mismo para dar una solución exacta: ej. 1, 2, 3, 5, 7, 11, etc. De entrada, un número par no puede serlo.

-Números gemelos: son los números primos cuya diferencia es dos (por ejemplo 5 es primo y 7 es primo, su diferencia es 2).

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-Mas números en la actualidad: perfecto, par, impar, hiperreales, cuaternios o hipercomplejos, infinitos, transfinitos, fundamentales, trascendentes.

Los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Los enteros son un subconjunto de los racionales.

Los racionales son un subconjunto de los reales.

Los números reales y los imaginarios se combinan para formar los números complejos.

La evolución del concepto de número es la siguiente:

Naturales o entero

positivos enteros

Entero negativos fraccionarios racionales

(1) (2) reales

Irracionales complejos

(3) imaginarios (5)

(4)

Con los números naturales no siempre es posible la sustracción, y por ello aparecen los números negativos (1); con los enteros no es siempre posible la división exacta, y por ello se introducen los números fraccionarios (2); en el campo de los racionales no es posible la radicación de los números racionales positivos, y aparecen los irracionales (3). Tampoco con los números reales es posible la radicación (la raíz cuadrada de los números negativos por ejemplo) y se introducen los números imaginarios (4); obteniéndose así los números complejos (5), en los que pueden verificarse todas estas operaciones.

Cardano fue el que demostró, en 1545, que las deudas y los fenómenos similares se podían tratar con números negativos. Hasta entonces los matemáticos habían creído que todos los números tenían que ser mayores que cero.

El numero millón y la palabra, (que viene del latín y significa “gran millar”), que son mil millares, data de la alta Edad Media. Los billones y trillones vinieron mas tarde.

Hemos hablado de los números TRASCENDENTES y vamos a detenernos en ellos un poco.

Trascendente en términos matemáticos significa no algebraico.

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Son los que jamás constituirán una solución a cualquier ecuación algebraica que pueda escribirse.

No son números enteros (ni 2, ni 3, ni 16…), ni son racionales (ni 2/3, ni 4/5…). Entonces son irracionales, es decir, son números que no se pueden expresar como fracción de dos números enteros. Algunos números racionales tienen una parte decimal que es infinita, habrá una secuencia que será periódica. En cambio, los números irracionales tienen partes decimales infinitas y no periódicas, de secuencia impredecible.

Esto ocurre también con los radicales ( raíz de 2, de 3..) pero los números trascendentes no pueden ser descritos como la raíz de una fracción, lo que implica que no son solución de una ecuación algebraica, o sea, son no algebraicos.

Así tenemos que todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes y que los trascendentes son no algebraicos.

Los más conocidos son el e y el π, y son números que aparecen continuamente de manera natural al modelizar fenómenos naturales. Por ejemplo en la desintegración nuclear, en el movimiento oscilatorio, en algunas conchas de moluscos en espiral logarítmica, y en muchos más ejemplos.

π es el más antiguo de los dos. Sus primeros cálculos se remontan a la Biblia. Su origen es claramente geométrico ya que surgió de la medida de una figura: la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es protagonista absoluto de la construcción con regla y compas, de la famosa cuadratura del círculo.

e : Fue John Napie, Napier , Neper o Neperius el que inventó los logaritmos, del griego logos, razón, y arithmos, número, y la base en que se apoyan los llamados logaritmos neperianos o naturales. Un logaritmo es un número que indica la potencia a la que hay que elevar otro dado para que resulte un tercero también conocido. Fue en 1614, y Napier nunca lo menciono como numero e.

En 1661, Huygens establece una primera relación entre los logaritmos y el área de una parábola rectangular, encontrando que el valor de la misma entre 1 y e era precisamente igual a uno. Sin embargo, por esas fechas se trataba de un simple número sin identidad bien definida.

Fue Bernoulli en 1668 que abordo el problema del interés compuesto y trato de encontrar cual podría ser el límite de:

(1+ 1/n)ⁿ

al tender n a infinito, proporcionando así una primera definición de e en la que interviene el concepto de limite:

(

)

= e

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Leibniz vuelve a referirse a él en 1690 y le llama b.

Fue Euler quien le dio por fin identidad matemática y a él se debe que se le designara con esta letra (o bien de Euler, o bien de “exponencial”).

A estos dos números famosos hay que añadirles el cero y el fi Φ y aun hay otro más, el i, el representante de los números imaginarios.

Euler relaciono e, i y π en una ecuación llamada la identidad de Euler: e + 1= 0 ó escrito de otra manera:

= -1

Hay un número que actualmente debe entrar en esta lista de memorables o famosos, pero sobre todo debe entrar en la de los que enviamos al espacio para declarar nuestro nivel de conocimiento científico, ya que tiene la categoría de una constante matemática natural, como lo puedan ser e o π. Es el NÚMERO DEL CAOS. Se trata del número:

4.669201609102990….

Llamado constante de Feigenbaum . Es interpretado como un factor de escala en la formación de fractales cuando estos se forman mediante dinámicas caóticas. No es exactamente así, pero si imaginamos una planta con estructura fractal, de manera que cada una de sus ramificaciones se repita la forma global de la planta, el factor de escala que nos permitiría pasar de una a otra seria precisamente ese número.

Las matemáticas que por su simplicidad y complejidad más han revolucionado el pensamiento y han transformado el mundo son:

1. Teorema de Pitágoras. Parece que su teorema es muy anterior (ya

los babilonios, 1000 años antes de su nacimiento lo emplearon). Es

el teorema que más demostraciones presenta. La más antigua es la

de los chinos hacia el año 1000 a.C. Este teorema establece la

relación en un triangulo rectángulo que la longitud de la hipotenusa

es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos.

2. Equivalencia entre masa y energía. De acuerdo a la teoría de la

relatividad, Einstein afirmo que la cantidad de energía es igual a la

masa, aunque este en reposo, por la velocidad de la luz al cuadrado.

Esta teoría permitió establecer la equivalencia entre masa y energía

y una nueva definición del espacio-tiempo. Permitió relegar el

tiempo absoluto de Newton e introducir conceptos como la

invariancia en la velocidad de la luz, la dilatación del tiempo, la

contracción de la longitud.

E = m · c²

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3 Numero áureo: Φ = 1.61803398… razón entre a+b/a.

4 Π. Es uno de los números más importantes de las matemáticas, con numerosas aplicaciones en física, química, ingeniería, etc. Es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

5 Identidad de Euler: . Relaciona cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distinta ramas:

Π es el número más importante de la geometría e es el número más importante del análisis matemático i (imaginario) es el más importante del algebra. 0 y 1 son las bases de la aritmética por ser elementos neutros respectivamente de la adición y multiplicación.

6 Cálculo infinitesimal: Incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas. Concretamente el cálculo infinitesimal es el estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio.

7 El numero e: (logaritmo): es un numero que indica la potencia a la que hay que elevar otro dado para que resulte un tercero también conocido. El numero e = 2.71828183……….

Hemos nombrado los fractales y vamos a explicar de qué se trata:

FRACTALES

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Coloquialmente hablando es un objeto matemático cuya estructura básica se repite con distintas escalas.

Los fractales son formas geométricas que se caracterizan por repetir un determinado patrón, con ligeras y constantes variaciones.

Cuando los fractales son vistos a través de una lente de aumento, es posible percibir la similitud entre sus diferentes partes, en sus diferentes escalas.

La ciencia de los fractales presenta estructuras geométricas de gran complejidad y belleza ligadas a las formas de la naturaleza, al desarrollo de la vida y al Universo.

Cada universo fractal, generado a partir de una única ecuación matemática, se reproduce con semejanza en todo… y … sin explicación conocida, también se inician diferencias en cada escala, creándose nuevas formas.

Vivimos en un mundo en que la ciencia nos revela nuevos misterios día a día, y para cada descubrimiento se observan nuevos e inesperados horizontes, generando también más interrogantes.

Los fractales dieron origen a un nuevo ramo de las matemáticas, muchas veces designado como Geometría de la Naturaleza.

Este nuevo tipo de geometría se aplica en la Astronomía, la Meteorología, la Economía con el comportamiento de los precios en la bolsa. Están presentes en la medicina, con el crecimiento de las células….y el Cine, entre otros campos.

El termino fractal procede del latín fractus que se puede traducir como fragmentado, roto. Están presentes en los fundamentos de lo que se conoce como sistemas caóticos.

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La teoría del caos surge cuando los científicos comienzan a preguntarse por el posible orden de las cosas que a primera vista resultan desordenadas, como puede ser el sistema circulatorio humano, o la línea costera de un país, o las dendritas de una neurona, o las nubes.

El desorden aparente en los sistemas caóticos se debe a que ante unas condiciones iniciales similares, una pequeña diferencia o perturbación inicial da origen a comportamientos completamente distintos. De ahí que se les llame también sistemas dinámicos no lineales.

Una de las expresiones más bellas de esta dinámica no lineal son los fractales, aparentemente formas matemáticas complejas que pueden construirse de manera muy simple.

Hoy podemos observar la belleza de las imágenes y su relación… la creciente complejidad de las matemáticas… el caos… (la ciencia cuenta hoy con una Teoría del Caos).

La geometría fractal describe de manera más eficaz que la euclidiana las formas de la naturaleza. La forma de una coliflor, ¿son esferas y cilindros?. El curso de un rio ¿es una recta?, ¿un rectángulo?, ¿una espiral?. A esto responde las figuras fractales.

Las imágenes abstractas de los fractales tienen el carácter de omnipresencia, debido a que cada fragmento posee las características del todo, infinitamente multiplicas. Es decir, cada partícula posee dentro de si la totalidad del universo.

La geometría fractal representa un extraordinario intento para describir las formas y los objetos del mundo real. Cuando miramos a nuestro alrededor, nos damos cuenta de que pueden describirse muy pocas formas, como por ejemplo las líneas rectas, los círculos, los cubos y las esferas, con las simples figuras de la geometría euclidiana.

Dentro de esta geometría euclidiana, todos los objetos tienen dimensiones que pueden expresarse como números enteros. Los puntos tienen cero dimensiones, las líneas rectas son unidimensionales, las figuras planas como los triángulos y pentágonos son bidimensionales, y los objetos como las esferas y los sólidos platónicos son tridimensionales. Y por otro lado, las curvas fractales, como el trazado de un relámpago, serpentean de un modo tan violento que podría decirse que están entre una y dos dimensiones.

Para muchos fractales en la naturaleza, la principal característica es la ramificación desde los arboles hasta la aparición de cristales. Un segmento se divide en dos ramas que a su vez se dividen de un modo similar y el proceso continua sin límites.

Los fractales se pueden construir no solo a partir de líneas sino también a partir de figuras planas como triángulos y cuadrados.

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Se ha hablado de la Proporción Aurea y siempre aparece por sorpresa en la yuxtaposición de lo simple y lo complejo, en la intersección de la geometría euclidiana y la geometría fractal.

Resumiendo:

Propiedades de los fractales:

Autosimilitud. A diferentes escalas, una figura fractal conserva la misma apariencia, siempre existe una clara similitud entre partes muy distantes de una misma figura fractal.

Infinito detalle: Al ampliar un fractal, más detalle revela este, sin que tenga un límite.

¿Cómo se construyen los fractales?:

Son generados en ordenadores con formulas o algoritmos y con un conjunto muy reducido de datos.

Su algoritmia es definida por una característica clave: la iteración.

Existen programas para ordenador que permiten experimentar y descubrir nuevos fractales.

Además de ser bellos, los fractales generados por ordenador se utilizan para la representación y el análisis de una gran variedad de procesos complejos a lo largo de diversos campos, como pueden ser la Física, las Matemáticas, Biología, Química, Geología, etc.

CONCLUSIONES:

Las matemáticas son una disciplina que asusta a los profanos, tienen fama de difíciles, y lo que es peor, de no servir para nada. No es fácil hacer entender a un estudiante que las matemáticas “son una forma de vida”, es decir, una manera de entender el mundo.

Los estudiantes universitarios que no planean ser matemáticos se enfrentan a asignaturas como Cálculo, Algebra lineal, Estadística, Ecuaciones diferenciales, ya que estos temas les capacitaran para resolver problemas concretos en otros campos: ciencias, ingenierías, medicina y algunas ciencias sociales.

Hablamos hoy en día de las subespecialidades de las matemáticas que nombran los fractales, supersimetria, teoría de nudos y ondículas, que están muy lejos del algebra de la escuela secundaria que recuerdan la mayoría de las personas. Aun los logros más recientes en matemáticas tienen aplicaciones prácticas en : biología, ciencias ambientales, medicina, y retos tan de la vida real como el mejorar el flujo del tráfico, jugar con los mercados financieros, y garantizar la privacidad de los mensajes en el ciberespacio.

A lo largo de los siglos, los esfuerzos de los matemáticos han ayudado a dotar de mayor profundidad nuestra propia comprensión de la naturaleza: que la tierra es

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redonda, que la misma fuerza que hace caer una manzana es también la responsable del movimiento de los cuerpos celestes, que el espacio es finito y no eterno, que tiempo y espacio están entrelazados y envueltos por materia y energía, que el futuro solo puede determinarse a través de la probabilidad.

La matemática es más que una herramienta y un lenguaje para la ciencia. También es principio y fin en si misma, y, como tal, ha influenciado nuestra visión del mundo a lo largo del tiempo.

Son necesarias para medir el tiempo y para entender nuestra posición en el Universo, para cartografiar la tierra y navegar por los mares.

Sin la edad de oro de las matemáticas, desde Descartes a Reimann, no habría cálculo, física cuántica, relatividad, ni ninguna de las tecnologías que usamos en la actualidad, pero lo más importante es que sus matemáticas eliminaron las telas de araña y nos han permitido ver el mundo como es en realidad, un mundo más extraño de lo que nos habíamos imaginado.

Hay matemáticas en el arte (numero áureo), arquitectura (en los adelantos ligados a los cálculos de estructuras y en las formas modulares); en los medios de comunicación (encuestas, estadísticas); en la creación de mundos virtuales para juegos informáticos o películas de ciencia ficción, por medio de fractales; en los juegos (tanto de azar como en los juegos de sociedad); en la literatura, etc.

Desde los primeros intentos del hombre a las tecnologías más avanzadas de la actualidad, las matemáticas han sido el eje sobre el que ha girado la vida humana.

Las matemáticas son el lenguaje del Universo y no solo de las estrellas y los giros de las galaxias, son también el lenguaje de la vida. Es el idioma que nos permite saber cómo está hecho todo, el largo de un puente, y la altura de un rascacielos. Con las matemáticas pusimos al primer hombre en el espacio y por ellas sabemos que hay agujeros negros, y el tiempo en que sube la marea, y el tiempo en que muere una estrella. Los números son el arte de desentrañar los misterios. Incluso, hay quien puede, gracias a los números, predecir el futuro, lo que vendrá en el mañana y después de este. No hay errores en los cálculos, no hay palabras confusas. Solo hay que sumar 2 + 2 y en adelante comienza el infinito. ¿Tienen los números un límite, algún final?. El que encuentre el último número, el cálculo final con el que se cierran las matemáticas, habrá descubierto que dicho número será el misterio del Universo, del espacio, y de la vida.

“Tenemos la suerte de vivir en una época en que todavía estamos descubriendo. Porque, como con América, uno solo descubre una vez. Nuestra era es la del descubrimiento de las leyes fundamentales de la naturaleza”.

Richard Feynmann, 1964

BIBLIOGRAFIA:

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LETRAS QUE SON NUMEROS

NUMERO Φ (PHI)

Llamado numero de oro o también divina proporción por Luca Pacioli, Leonardo da Vinci le llamo sección aurea y Kepler, sección divina.

La denominación de Φ viene de Fidias, nombre del arquitecto griego que construyó el Partenón.

Es un número que si le sumamos 1 o si lo elevamos al cuadrado, resulta la misma cifra.

A diferencia de e y π, no es un numero trascendental (en la denominación matemática) porque resulta como solución de una ecuación polinómica, la ecuación de segundo

grado x²-x-1 = 0 que es 1+√ /2 que da como resultado el numero de oro.

Durante mucho tiempo los artistas y diseñadores se han preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de dividir un objeto. También se han preguntado cuál es la relación entre las medidas de las partes que constituyen un objeto para que este sea bello.

Un objeto lo podemos dividir por la mitad, o que una parte sea doble que la otra, o 3/4… en fin, podemos hacer cualquier partición o división de un objeto.

Ya Platón observo una forma de particionar un segmento en forma armónica y agradable a la vista que llamó “La sección”.

Euclides, cerca del año 300 a.C. encontró geométricamente la forma de dividir en dos partes un segmento de forma armónica, o agradable a la vista, lo llamo sección Aurea.

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En su libro “Los elementos” escribió:

“Para que un segmento sea particionado en Sección Aurea, la razón entre el segmento y la parte mayor debe ser igual a la razón entre la parte mayor y menor”.

El valor encontrado se llama Φ (phi). También numero de oro y equivale a 1.618033….

Si nos fijamos en todo lo que nos rodea, este número áureo está presente en todas partes.

Uno de los objetos matemáticos con mayor frecuencia en cualquier disciplina: arquitectura, música, naturaleza… es la llamada “razón aurea” ó “divina proporción”.

Hay números que aparecen en los lugares más insospechados. Esta cualidad no es exclusiva del número de oro.

Hay otro numero con vocación de estrella, el numero e. Lo primero que se preguntará alguien no versado en matemáticas es que se le reconozca como una letra, aunque no es el único caso, también está la letra π.

Fecher en 1876 presenta a algunos centenares de personas diez rectángulos diferente para que eligieran el más satisfactorio a la vista, y salió por goleada aquel cuya razón entre los dos lados era 34/21 = 1.619… muy idéntico a Φ.

Galileo decía: “El Universo es un libro escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellos solo se conseguiría vagar por un oscuro laberinto”. (Galileo Galilei).

En lenguaje matemático Φ es:

/ = 1+√ 2 = Φ

Imaginemos un segmento de una longitud dada 1 y queremos dividirla en dos partes iguales de la forma más bella y armónica posible. Por ej. sean a y b esos dos segmentos, tal que a+b = 1.

Expresado de otra manera: Si tomamos un determinado segmento, lo podemos dividir en dos segmentos (uno mayor y otro menor) de forma tal que la proporción entre el pequeño y el grande sea igual a la proporción entre el grande y el total. Esta manera de dividir un segmento se llama proporción aurea.

El mayor grado de armonía se alcanza cuando la relación entre la longitud total y el segmento mayor es igual a la relación entre el segmento mayor y el menor.

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Matemáticamente se expresa como :

a+b/a = a/b y desarrollando a² = ab + b² ; a²- ab- b² = 0

Resolviendo esta ecuación de segundo grado llegamos a :

Φ = a/b = 1+√ /2 = 1.618033989……

Pero volviendo a la definición inicial. El número de oro es simplemente la razón entre dos segmentos, pero es algo más que un cociente de longitudes, en su valor matemático lleva asociado un concepto estético, el canon de la belleza, de la proporción perfecta.

Al dibujar un rectángulo que resulte agradable a la vista aparece también esa relación. Es el rectángulo de oro.

¿Cómo lo dibujamos?.

Partiendo de un cuadrado de lado 2 y lo dividimos por la mitad. Con un compas y pinchando en O, trazo el arco que termina en C

En el triangulo, aplicando el teorema de Pitágoras sale que OD = √ = OC ; AC = 1+ √

AC/AB = 1+√ /2

Este número ya hemos comentado que se encuentra en diversidad de situaciones:

ARTE: Recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporción con la estética griega pero sigue manteniendo un cierto atractivo como modelo de belleza.

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Hay diferentes estudios sobre el cuerpo humano en los que se diferencia el hombre de la mujer. En la mujer la cabeza es más larga en relación al cuerpo que en el hombre, además sus formas están vinculadas a cilindros y globos, por el contrario, en el hombre son líneas y cubos.

En los cuerpos y rostros de actrices,

actores y cantantes famosos

6908,14,96

163

... piesaombligodist

estatura 6666,1

12

20

...

.arg

ojosamentondist

caraol

625,14

5,6

...

...

narizabocadist

bocaamentondist

FORMA NATURAL: en el cuerpo humano, los ventrículos del corazón recuperan su posición de partida en el punto del ciclo rítmico cardiaco equivalente a la sección aurea.

GEOMETRIA: presente en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en

los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la √ .

NATURALEZA:

- La relación entre abejas macho y hembra en un panal. - La disposición de los pétalos de las flores (el papel del numero áureo en la

botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig). - La distribución de las hojas en un tallo. - La relación entre las nervaduras de las hojas de los arboles. - La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco. - La relación entre las espirales de una piña. - La espiral del caracol. - El número de pétalos de las margaritas silvestres, normalmente, es de

trece, veintiún o treinta y cuatro pétalos, todos números Fibonacci. Actuamos aquí con el famoso deshoje de me quiere o no me quiere. El

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número de pétalos refleja simplemente el número de espirales de una familia.

RELIGION:

- Las medidas de la cruz en la cual Cristo fue crucificado, en la parte mas alta media 3.23 m aproximadamente y el más corto unos 2 m. El cociente da 1.615, muy próximo a Φ.

- El Santo sudario, donde se reflejan las marcas en el cráneo provocadas por la corona de espinas, se presentan en forma de espiral logarítmica y por tanto siguen la sucesión de Fibonacci. Se cree que el sudario fue falsificado por Da Vinci.

EN EL SER HUMANO: El hombre de Vitrubio:

- La relación entre la altura y la altura de su ombligo. - La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo

a los dedos. - Entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. - Entre el primer metacarpiano y la primera falange, o entre la primera y la

segunda, o entre la segunda y la tercera. Su división siempre es Φ. - Entre diámetro de la boca y el de la nariz. - Entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar. - Entre tráquea y bronquios, o el de la aorta con sus iliacas primitivas. - En los rostros y cuerpos de actrices, cantantes, actores famosos

encontramos eso que ya hemos dicho: La razón entre la estatura y distancia ombligo-pies es aproximadamente Φ; entre largo de la cara y la distancia mentón-boca y la distancia boca-nariz también, lo mismo que entre el largo de la cara y la distancia mentón-ojos. Todo se aproxima a Φ.

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Sir Theodore Cook (s.XIX) describió una escala simple de divisiones áureas aplicables a la figura humana, que encaja sorprendentemente bien en la obra de algunos pintores.

En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento se han

buscado relaciones áureas.

Sir Theodore Cook (s XIX)

describió una escala simple de

divisiones áureas aplicable a

la figura humana, que encaja

sorprendentemente bien en

las obras de algunos pintores,

como Boticelli.

El Nacimiento de Venus

-Boticelli-

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El valor de Φ puede determinarse solo a partir de 1 como raíz continua:

Φ = √ √ √

O como fracción infinita:

El numero Φ está muy ligado al pentágono regular, tanto el convexo como el estrellado. El pentágono regular era el distintivo de los Pitagóricos. Estos se sentían fascinados por la propiedades de los números e hicieron importantes descubrimientos en música, al comprobar cómo al hacer vibrar una cuerda y su longitud fuera proporcional a ciertos números enteros, entonces se producían unos sonidos melódicos, es decir, existían ciertas longitudes expresadas en forma de números asociados a la armonía de los sonidos y, por tanto, al deleite del espíritu.

Cuando hablamos de número áureo en la música nos referimos a una aproximación racional adecuada a las circunstancias. Generalmente se utilizan cocientes de la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados. Un violín por ej. puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano bien entrenado distingue hasta 300 sonidos por octava.

La octava atemperada está basada en √

. Este número irracional tiene infinitas cifras decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. El error que se pueda cometer así no es superior al doceavo tono, y el oído no lo nota.

El sistema pitagórico de afinación lo comenzó Pitágoras cuando al tensar una cuerda musical, al vibrar producía un sonido que tomó como fundamental: el tono. Dividió la cuerda en 12 partes iguales, numerando los puntos de división del 1 al 12.

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A continuación la hizo sonar en el número 6, y observo que de este modo se producía la octava. Así mismo comprobó que pisando en el 9 se obtenía la cuarta, y haciendo en el 8 se lograba la quinta. En resumen, en las relaciones 6/12 = 1/2, 8/12 = 2/3 y 9/12=3/4 se reflejaban la octava, la quinta y la cuarta respectivamente.

Por tanto, los números 1, 2, 3 y 4 (la tetraktis), que dispuestos en forma de pila configuran el triangulo equilátero y cuya suma es el número diez, para ellos místico, definían igualmente con sus proporciones relativas los sonidos más armónicos.

El fundamento de la escala Pitagórica es entender el concepto de intervalo de quinta, cuarta y tercera.

Zeysing notó la presencia de los números 3, 5, 8, y 13 de la sucesión de Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acorde perfectos.

EN EL TRIANGULO DE PASCAL

Se forma el número uno por los dos laterales y los demás números se hallan sumando los dos números que tienen justo encima. Sumando los números según las diagonales obtenemos la sucesión de Fibonacci.

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TORRE EIFFEL

Los ejes de los cuatro pilares de la torre forman un cuadrado de 100 m. que sería el lado pequeño de un rectángulo áureo. Poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de la torre:

100 x Φ x 2 = 323.61 m. que es la altura.

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Pirámide de Keops

Desde el antiguo Egipto se utiliza el numero Phi en la arquitectura. Por ejemplo en la pirámide de Keops. Si la distancia AC es igual a 1, AB mide la raíz cuadrada de phi y BC mide phi.

La pirámide de Keops mide 230 metros de lado, la base de la pirámide es cuadrada.

AC = 230/2 = 115

√Φ ≈ 1.272

AB = √Φ --> √Φ x 115 ≈ 146,28 que son los metros de altura de la pirámide de Keops.

BC = Φ x 115 ≈ 186,07 metros desde el centro de un lado de la base hasta el pico de la pirámide.

Herodoto afirma que la pirámide fue construida para que el área de cada una de sus caras fuera igual a su altura.

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Mona Lisa

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Desde el siglo XVII hasta nuestros días, un sinfín de fenómenos naturales se han explicado gracias a las matemáticas. Newton, que nació el año en que murió Galileo (1642), no solo le dio la razón a éste sino que demostró, basándose en las matemáticas, las leyes que regían el movimiento de todos los astros del sistema solar. No es ninguna casualidad que un tripulante del Apolo XI, cuando la nave estaba abandonando la órbita terrestre, comunicase al mundo “ahora es Newton quien nos conduce”.

Desde entonces, no solo en la física sino en la práctica totalidad de las ciencias, en la biología, economía, química, medicina, las matemáticas se han demostrado como un mecanismo imprescindible para comprender y explicar el Universo que nos rodea. Pero no solo eso sino también para hacerlo más confortable.

Desde el simple hecho de encender una luz, llamar por teléfono, calentar una comida en el microondas o hacer una foto en la superficie de Júpiter a unos cientos de kilómetros, todo ellos sería impensable sin el soporte que las matemáticas le han dado a los físicos, químicos, ingenieros, etc.

Ya hemos dicho que las matemáticas están en los lugares más insospechados, las plantas crecen siguiendo pautas matemáticas, lo mismo que los animales se desarrollan e incluso se mueven siguiendo estas pautas, que las cenefas que tenemos en nuestros cuartos de baño se construyen a través de movimientos geométricos, que cada vez que arrancamos el coche el cuentaquilómetros empieza calcular partiendo del numero π, y hasta el azar, eso que parece tan impredecible es menos si lo miramos con ojos matemáticos.

Una vez aclarado que no hay que temer tanto a las matemáticas comenzaremos a explicar de manera sencilla diversas cuestiones.

Empezamos fijándonos en un billete, tiene la forma de un rectángulo. El rectángulo es una de las formas geométricas que más aparecen en nuestro entorno, una billetera, una tarjeta de crédito, una calculadora, deportes como el tenis, futbol etc.

De entre todos los rectángulos hay algunos que son verdaderamente armoniosos.

Entramos en el rectángulo de oro.

La división entre el lado largo y el corto nos da el numero Φ = 1.618033…

Un segmento que mida x + 1 , aplicando la proporción aurea tendremos:

1+x/x = x/1 ; x² = x+1 ; x²-x-1 = 0 ; X = 1 + √ /2 = 1.618033…

Si hacemos el inverso, determinar la razón que existe entre el lado menor y el mayor (al que se llama phi en minúscula), nos encontramos con el inverso multiplicativo del número de oro (su hermano pequeño).

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Sorprendentemente, lo único que diferencia a ambos números es la parte entera: Phi (mayúsculas) es 1.618… y phi (minúsculas) es 0.618…, el resto de decimales son los mismos. Phi es el UNICO número real que cumple esta característica.

Φ forma parte de un conjunto de números especiales llamados números metálicos. Alguno de ellos es:

- Numero de plata: 1 + √

- Numero de bronce: 3+√ 2

Dentro del tema del número de oro hemos de hablar de otro genio de las matemáticas. Nos estamos refiriendo a Fibonacci.

FIBONACCI: Llamado Leonardo Pisano nació y murió en Pisa, entre 1175 y 1240. Era hijo de Bonaccio, de ahí su nombre.

Su fama se debe a que descubrió una sucesión que lleva su nombre.

De una manera anecdótica se le relaciona con un ejemplo de la cría de conejos:

Supongamos una pareja de conejos, los cuales pueden tener descendencia una vez al mes a partir del segundo mes de vida, suponemos así mismo que los conejos no mueren y que cada hembra produce una nueva pareja (conejo y coneja) cada mes. La pregunta es, ¿Cuántas parejas de conejos existen en la granja al cabo de n meses?.

El número de parejas coincide con los términos de la sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2 ,3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ……

Cada uno es la suma con el anterior.

Esta sucesión de Fibonacci seguía una fórmula sencilla:

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Fn = Fn-1+ Fn-2 o sea:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 34, etc., donde cada elemento restante es la suma de los dos anteriores.

Lo más interesante de esta fórmula es que aparece en gran cantidad en los elementos de la naturaleza como veremos más adelante.

Las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

- Cada termino, a partir del 3º, se obtiene si sumamos los dos precedentes ( an + an+1 = an+2)

- Si tomamos tres términos seguidos cualesquiera, el producto de los extremos es igual al cuadrado central mas 1 ó menos 1 ( x =

±1)

- La suma desde los primeros n términos hasta = -1 - Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar, sale el

sexto termino. Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar, sale el octavo termino: a₁ +a₃ + ..+ =

- Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par y añades 1, sale el séptimo término. Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par y añade 1, sale el noveno término: a₂ + a₄ +…+ = -1.

- Dos términos consecutivos elevados al cuadrado y sumados dan el término de la suma de los términos que ocupan.

- Si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del 5º y 6º termino.

- Si hacemos lo mismo con los 6 primeros términos, sale el producto del 6º y 7º.

- Los cocientes (razones) entre dos términos consecutivos, se aproximan mas

y mas al número áureo. / tiende a 1+√ 2

- Si n es divisible por m entonces es divisible por . - El cuadrado de cada término se diferencia en una unidad del producto de

los dos contiguos, el anterior y el siguiente. - En los girasoles, las semillas se distribuyen en forma de espirales

logarítmicas, unas en sentido horario y otras en sentido anti-horario, si contamos el numero de espirales que hay en un sentido y las que hay en otro, aparecen términos de Fibonacci consecutivos. Igual sucede en la piña de los pinos.

- En el estudio de las trayectorias de rayos luminosos que inciden oblicuamente sobre dos laminas de vidrio planas y en contacto.

- Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí.

Hemos comentado que aparece en múltiples elementos de la naturaleza como por ejemplo en los fractales (objeto semigeometrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas, como en una nube, un copo de nieve. Hablamos de ello en otro apartado).

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En la novela “El código da Vinci” aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de esta sucesión que funcionan como una pista dejada por el Conservador del museo del Louvre.

Siempre que en la naturaleza nos encontremos con un fenómeno que comparta una rotación y una dilatación o contracción, aparece una espiral de Fibonacci.

Las galaxias son concentraciones de estrellas unidas por fuerzas gravitatorias que las obligan a girar sobre su centro, pero como la velocidad es mayor en el centro que en los bordes, se producen las magnificas espirales.

La espiral de Durero existe una manera práctica de dibujarla mediante la construcción rectangular en las espirales de cuadrados; se trata de dibujar el cuadrante de un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada.

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Las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de Fibonacci.

Si nos fijamos en el teclado de un piano: Unas teclas forman una octava, las contamos y en total son trece teclas (cinco teclas negras y ocho blancas) (2 – 3 = 5, 8 y 13 total). Esto es Fibonacci.

RESUMEN

La razón aurea es considerada la proporción más bella y armoniosa desde un punto de vista estético. Por este motivo aparece en incontables lugares de la historia del arte, como en capiteles corintios, en las fachadas del Partenón de la Acrópolis de Atenas, en la Catedral de Notre Dame de Paris, en numerosos templos góticos y catedrales góticas, en palacios renacentistas, en otras civilizaciones como el arte sacro de Egipto, y en la arquitectura moderna como el Palacio de Cristal, sede de la ONU en N.Y.

También ha sido utilizada en diferentes figuras ornamentales, como la espiral de Durero y la Cruz de Peralta, y presente en multitud de objetos cotidianos (casetes, paquetes de tabaco, tarjetas de crédito, DNI).

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EL NUMERO e

Hay números que aparecen en los lugares más insospechados. Esta cualidad no es exclusiva del número de oro.

Hay otro numero también, con vocación de estrella, el numero e.

El numero e es tan importante como π pero mucho menos conocido a nivel popular.

El número e y sus propiedades tiene una importancia vital en los más variados campos de la ciencia: físico-químicas, biológicas, económicas, agronómicas, geográficas, médicas y sociales. Lo encontraremos por doquier en ecuaciones que no tienen ninguna relación entre sí, no solo lógica sino tampoco matemática. Es decir, el numero e simplemente aparece allí de casualidad (o mejor dicho, porque las cosas son así) sin que esto se relacione con las demás formulas que lo definen. En otras palabras, no se puede encontrar una vinculación matemática entre todas las fórmulas verificadas por este número.

El numero e es la base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo. Como e es un número trascendental, y por tanto es irracional, su valor no puede ser dado exactamente como un número finito o con decimales periódicos.

Es la base para las funciones exponenciales.

Su importancia radica en que es la base natural de los logaritmos, de hecho, la función exponencial de base e es la única función cuya derivada es ella misma.

Definición: e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1: ln e = 1 lo que significa que

∫

= 1

e es un numero real poco llamativo. Tiene infinidad de cifras decimales que no se repiten de forma periódica (no siguen ninguna pauta). Su popularidad reside en su versatilidad y tenacidad que le permite aparecer en situaciones muy dispares.

Su origen hay que remontarse a tiempos lejanos. Su más remoto antepasado conocido es un número tan familiar como el dos, pero eso sí, vestido con ropajes exóticos (1+1/1)¹= 2. El siguiente antepasado tiene todos los rasgos de la familia (1+1/2)²=2.25, el hijo de este nos marca (1+1/3)== 2.37037…, siguiendo el estirpe de la familia, el siguiente (1+1/4)>= 2.44140… En todas estas expresiones hay que resaltar que el denominador de la fracción coincide con el exponente de la potencia. Si avanzamos en las expresiones veríamos que se parecen de forma notable, (1+1/100);::= 2.70481…. Después de más de un millón de expresiones estamos muy cerca del número e:

(1+1/100000000);:::::::: = 2.71828183….

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Si continuamos indefinidamente el límite de la sucesión

e = (

)

= 2.71828183…

sería un numero de infinitas cifras correspondientes al número e.

El conocimiento de este número se debe a que las potencias marítimas de s XVI, España e Inglaterra, ofrecieron dinero a la persona que descubriese un mecanismo que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y la astronomía. Lo que se descubrió, por John Neper en 1594 fueron los llamados logaritmos naturales cuya base es el número e que hoy encontramos en todas las calculadoras científicas. Lo bautizo como número e un gran matemático llamado Leonard Euler (suizo, en el siglo XVII). Este llego a calcular hasta 23 decimales utilizando series como la siguiente:

e= 1+1+1/2+1/3·2+1/4·3·2+1/5·4·3·2+1/6·5·4·3.2+1/7·6·5·4·3·2

Explicado de otra manera:

El valor de e es igual a 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ... (etc)

Los primeros términos suman: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2,71805555

El numero e en los bancos

En el interés compuesto, el monto que genera un capital C colocado a una tasa i durante n periodos, depende de la frecuencia de los periodos de capitalización (si la capitalización es anual, el monto final será menor que si la capitalización es mensual). Si lo trasladamos a periodos diarios o a minutos o segundos, el monto resultaría aun mayor. ¿Pero qué pasa si el interés se capitaliza continuamente a medida que se va generando?.

Si en cada infinitésimo de tiempo pasáramos a capital los infinitésimos intereses generados tendríamos sin duda el mejor rendimiento posible a esa tasa. A esto se le llama interés continuo y se calcula con esta fórmula:

M = C ·

el monto final es igual al capital inicial multiplicado por e elevado a la n·i (cantidad de periodos por tasa de interés).

Todo el mundo dispone de una cuenta de ahorro de 1000 € al 10% de interés. Al cabo del año tendrá un capital de 1100 € que es calculado con esta fórmula:

C = 1000 (1+0.1/1)¹= 1100

¿Sería más interesante que nos dieran el mismo 10% pero pagado cada 6 meses?.

Al cabo de un año el capital seria:

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C= 1000 (1+0.1/2)²= 1100

Si el interés fuera mensual el capital al año seria:

C = 1000 (1+0.1/12)¹² = 1104.71

Y si fueran diarios al final de año seria:

C =1000 (1+0.1/365)=@? = 1105.16

Y si el interés fuese continuo, segundo a segundo, vendría dictado por el famoso número e:

C= 1000 x e:·; = 1105.17

Este sería el crecimiento continuo, como en la naturaleza. Ningún árbol o planta crece a saltos.

Lo explicamos de otra manera:

Si invertimos 1 € será: (1+0.1/n)ⁿ Si invertimos A € será: A·(1+0.1/n)

Si el pago es cada: 1 € nos dará: Año (1+0.1/1); = 1.1 €

Semestre (1+0.1/2)< = 1.1025 € Mes (1+0.1/12);< = 1.1047 € Dia (1+0.1/365)=@? = 1.1051

Si el crecimiento es continuo:

(1+0.1/n)ⁿ cuando n es e:·;

Si un cultivo de bacterias crece a un ritmo tal que 1000 bacterias en una hora se transforman en 1221 (1000 e:·<= 1221) su factor de crecimiento es aproximadamente de 0.2.

Según esto, y sin que nada las frene, en un día se transforman en : 1000 e:·<x<>= 121.510 y en una semana en casi un trillón: 1000 e:·<x<>xA= 3.9x10;A

La evolución se representa por una grafica exponencial o función exponencial:

P =

Cada unidad del eje y representa 1000 bacterias. Esto iría en aumento hasta que no tengan más alimento para reproducirse o no quepan en el frasco. Hay pues un límite superior.

Cuando existe ese límite o una frontera, el modelo de crecimiento es el modelo logístico que viene representado por la formula:

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100

P = -------------- 1 + 99

El numero e en arqueología A mediados del siglo XX se descubre el carbono-14 (C-14), un isotopo radiactivo del carbono que desparece lentamente (tiene una vida media de 5568 años, es decir, una cantidad dada de C-14 tarda 1558 años en reducirse a la mitad). Este C-14 reacciona con el oxigeno en las capas altas de la atmosfera dando dióxido de carbono radiactivo, el cual entra en la superficie de la Tierra, en la que se desarrolla la vida. Mientras un ser esta vivo, va reponiendo el C-14 que pierde, pero cuando ese ser se muera, solo se producirá en el una perdida continua y lenta de C14. Cuando los químicos llegan a medir la cantidad de C14 contenida en un ser no vivo, y conociendo la velocidad de desintegración del C14, se busca una fórmula que involucrara la cantidad inicial (CI) de radiactividad, la cantidad actual (CA) y el tiempo (t).

CA = CI/ También esta otra:

M = M₀. M = cantidad de C 14 en una muestra de un fósil. M₀ = Cantidad de C 14 cuando estaba vivo. K= constante de desintegración del C14 = 1.216x 10⁻>/año , esto significa que de cada 12.160 gr de C 14 , en un año se desintegraría un solo gramo. O esta otra: Q = Q₀ · El numero e juega a los dados Las probabilidades de lanzar un dado sacando exactamente 247 veces un numero par al lanzar el dado 500 veces viene dado por el numero e asociado al número π. La probabilidad seria:

1/2√ π (1/e:·:<?+ 1/e:·:>:) = 0.3438… Es decir, menos de un 35%. El número e en las encuestas: El concepto estadístico de distribución normal que rige el comportamiento de la población suficientemente grande viene dado por una formula en la que no podía faltar el numero e. Siguen una curva llamada de Gauss. La formula más sencilla es:

F (x) = 1/√ x El número e en los cables de luz: Todos los tendidos eléctricos tienen algo en común y no es porque sirvan para transportar electricidad, todos tienen la misma forma que se llama catenaria y colgado de todas ellas esta como siempre el numero e. La ecuación general de esta curva es:

Y = a/2 ( + ) la mayor o menor curvatura depende del valor que tome a.

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Es la misma curva que se observa en los segmentos de una tela de araña. “Examinemos una mañana de niebla la red que se ha construido durante la noche. Los hilos pegajosos están cargados de gotitas y combándose bajo su carga se han convertido en múltiples catenarias, en multitud de guirnaldas dispuestas en orden exquisito. Si el sol atraviesa la niebla, el conjunto se ilumina con fuegos iridiscentes u se convierte en un racimo de diamantes. El numero e ha alcanzado su gloria. “ Jean Henri Fabre.

El número e en la naturaleza:

La tasa de natalidad y mortalidad de cualquier especia animal o vegetal en condiciones naturales de equilibrio suelen permanecer estables. Las poblaciones tienden a crecer de acuerdo con un modelo que incluye el número e en su formulación:

N

N= población inicial ; r= coeficiente de crecimiento; t= número de años.

Con las poblaciones sucede algo parecido, ya dijo Malthus que el crecimiento de la población, si no hay causas externas que lo impida, se produce de una manera continua, como en el ejemplo de la banca.

El desarrollo de la población se ajusta a esta fórmula:

P

P = población inicial; r = factor de crecimiento; t= unidades de tiempo.

En los rayos X: La intensidad final de un rayo X después de atravesar un cuerpo (I) se calcula multiplicando su intensidad inicial I₀ por e elevado a la m por x (coeficiente de absorción por grosor del cuerpo):

I = I₀ ·

Investigación de asesinatos: ¿Cuándo murió una persona?

El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura corporal en una persona viva en los 36.5:. Pero al morir deja de producirse el calor y el cuerpo se enfría. Así los detectives calculan por medio de la siguiente fórmula:

T = T aire + ( T cuerpo – T aire)/ e·k·t

Donde T es la temperatura, k es una constante numérica, t es tiempo en horas desde la media noche y e.. ya lo sabemos.

La formula más importante del mundo:

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También conocida como la identidad de Euler:

+ 1 = 0

Euler se topo con una increíble relación entre e y π.

Esta relación apareció sin ser buscada como aplicación para un caso particular de su formula sobre la función exponencial en los números complejos. Al descubrirla, Euler creyó que podría ser un error porque esta relación encontrada entre ambos números está dada por una expresión que incluye a los números básico “0” y “1”, a las tres operaciones positivas elementales (suma, producto y potencia) y el número imaginario i (la raíz de -1).

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EL NUMERO π.

Las ideas de los matemáticos, como la de los pintores o de los poetas, deben ser bellas. La belleza es el primer requisito, no hay lugar en el mundo para unas matemáticas feas. G.H.Hardy.

Si hay un número que permanece unido a cada uno de nosotros desde la infancia es el misterioso tres catorce dieciséis que aprendimos a escribir de niños en nuestra primera fórmula auténtica: la que calculaba la longitud de la rueda de una bicicleta.

El area del circulo es πr², el de la elipse π·ab, el del cilindro 2πr(r+h), el de la esfera 4πr² y el volumen de la esfera como (4/3) πr³.

“La longitud de la circunferencia es 2πr”.

Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el entorno y su radio, pero es en el s. XVII cuando esta correlación se convierte en un digito, π.

En esencia π es la razón que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Si dividimos la longitud de la circunferencia por su diámetro nos da siempre π.

La letra π proviene de la palabra griega periferia. Es el inglés William Jones en 1706 el que utiliza por primera vez la letra griega π como símbolo para este número.

Pero no es tan fácil medir esa circunferencia y mas con una precisión total, así que solo obtendremos valores aproximados de π.

En el antiguo Egipto afirmaban que el área de un circulo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del circulo disminuido en 1/9, de donde se obtiene que π = 256/81.

En Mesopotamia utilizaron la aproximación π = 3+1/8, incluso en la Biblia aparece una aproximación de este número aunque un poco más pobre π = 3.

Para hablar de π tenemos que retroceder en el tiempo hasta el s. III a.C. y viajar al sur de Italia, Siracusa, allí nos encontramos con Arquímedes, el de “todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del liquido desalojado” o teorema de Arquímedes. También descubrió las leyes de la palanca: dadme un punto de apoyo y moveré el mundo; o el tornillo sin fin.

Arquímedes acotó el valor de π entre 3+ 10/71 y 3+ 1/7. Un siglo más tarde Ptolomeo lo aproxima a través de la fracción 377/120.

Arquímedes de Siracusa (287 a.C.) marca un antes y un después tanto en la búsqueda de una aproximación del valor de π como en la comprensión del significado de esta constante. Hacia el 215 a.C. escribió ‘Sobre la medida del círculo’, en la que utilizando la reducción al absurdo y el método de exhaución de Eudoxo llega a calcular ¡sin calculadora! una aproximación de un círculo por un polígono de nada menos que 96

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lados, y concluye que π está entre 6.336/2.017 y 29.376/9.347, es decir, entre 3’1412989 y 3’1428265, la mejor aproximación de su tiempo y una de las mejores de toda la historia.

Un siglo más tarde Ptolomeo lo aproxima a través de la fracción 377/120.

Euclides también nos habla del área del circulo si lo dividimos por el cuadrado del radio nos da un numero que un siglo más tarde Arquímedes demostró que era π. Desde entonces conocemos la formula: Área del circulo = π r²

Aunque Arquímedes lo decía de otra forma: el área del circulo es igual al área de un triangulo rectángulo, uno de cuyos catetos es el radio y el otro la longitud de la circunferencia.

Área del circulo = área del triangulo

Área del circulo = l·r/2

Área del circulo = 2πr · r/2 = 2πr</2 = πr<

También dieron cifras aproximadas los chinos, los hindúes en 1400 obtienen una aproximación exacta de 11 dígitos.

Lambert en 1971 demuestra que π es irracional y en 1974 Legendre prueba que π< también es irracional. En 1882 Lindeman demuestra que π es trascendente, lo cual supone (entre otras cosas) que la cuadratura del círculo es imposible.

¿Qué importancia tiene el numero π ?.

Por de pronto siempre acompaña a cualquier esfera o cuerpo redondo.

Para calcular cosas tan dispares como la masa de la Luna o la distancia de Castellón a Nueva York, necesitamos a π. Pero no solo en esto, El Voyager sin la ayuda de π jamás hubiera llegado a Júpiter y Neptuno. En efecto, en el cálculo de las orbitas planetarias también está presente el numero π.

Con solo 4 decimales basta hoy, con la suficiente precisión el obtener resultados prácticos. Con los 11 primeros decimales de π podemos calcular la circunferencia de la tierra con un error menor de 1 cm. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al Sol, y que con los primeros 40 decimales podríamos calcular el diámetro del Universo con un error inferior al diámetro de un átomo de hidrogeno.

Una relación que no tiene nada que ver con los círculos es que si los grandes ríos, Amazonas, Misisipi y los grandes ríos siberianos todos ellos de gran longitud y pendiente suave, el promedio de su longitud con meandros y su longitud en línea recta nos da 3.14, sospechosamente el numero π.

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Las probabilidades de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es: 6/π<.

También el matemático ingles Stirling descubrió que sirve para aproximarnos a los factoriales (El factorial de un numero es el producto de todos los enteros desde 1 hasta ese número).

n! = 1·2·3·4… n

cuando x es muy grande puede obtenerse de forma aproximada con :

n! = · · raíz (2·π·n)

El siempre inteligentísimo y brillante Mr. Spock, de la serie futurista ‘Star Trek’, consiguió salvar a la tripulación de la maldad de una diabólica computadora. Spock le ordenó que calculara el valor de π y como π es irracional la computadora se quedó presa de un proceso sin fin. Mientras ella calculaba... ellos escapaban.

Existen diversas maneras de aproximarse al número π :

FRANçOISE VIÈTE (1540-1603) La fórmula de Viète, aun siendo algo más difícil de calcular que sus compañeras, tiene el mérito de haber sido descubierta antes de las primeras ideas del análisis matemático de Wallis o de Leibniz

JOHN WALLIS (1616-1703) La fórmula de Wallis es muy fácil de calcular. Se multiplican los números pares consecutivos y se divide por los impares, repetidos dos veces.

GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716) La fórmula de Leibniz es sencilla: basta con sumar y restar alternativamente fracciones con los impares en el denominador. Luego se multiplica por cuatro.

π = 4 (1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+….)

Hoy sus decimales están por los cincuenta mil millones de cifras.

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El número áureo Su determinación geométrica

Una relación áurea es aquella que cumple la condición siguiente

. a = a+b b a

De aquí se plantea una ecuación de segundo grado. Resolviéndola tendremos que:

a = c = 1.61803398875...... = ф b a

Tenemos dos formas de dibujar el número áureo:

1º.- Dado un segmento dividirlo en dos partes que guarden entre sí la proporción áurea.

2º Dada la partición mayor encontrar la partición menor y el total.

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Potencias de ф

Veamos otra manera de determinar un segmento de longitud ф =1.61803398875...

a partir de un segmento unidad.

Nota: Hemos determinado un segmento de longitud ф y lo hemos hecho a partir de la unidad. Ahora bien, el número ф no es solamente un número: Es sobre todo una proporción. Esto quiere decir que si en lugar de la unidad tenemos cualquier otro número, por ejemplo el 22, bastará multiplicar por ф para obtener un número que esté en proporción áurea con 22

22 x 1.61803398875.. = 35. 5967458...

Puesto que si dividimos ambos números tendremos ф Y a partir de esta construcción podemos hallar las distintas potencias de ф. Tendremos potencias positivas y potencias negativas (Las potencias negativas son en realidad raíces: raíz cuadrada, raíz cúbica, etc.)

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Potencias positivas

Potencias negativas

Construcción de la espiral

Vamos a ver cómo se construye la espiral, base de numerosos elementos naturales

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A construir el rectángulo áureo nos encontramos con un cuadrado y un rectángulo áureo que, a su vez, ayudándonos de las diagonales, descompondremos en otros cuadrados y otros rectángulos áureos. Solo nos bastará trazar los arcos de circunferencia.

Descomposición del pentágono en otras figuras:

Triángulo Áureo

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Triángulos, pentágonos y estrella de 5 puntas.

Si dibujamos un pentágono regular y unimos sus vértices obtendremos una estrella de cinco puntas o pentagrama. Esta figura (haciendo caso omiso de la circunferencia, que solo nos ha servido para la construcción del pentágono) está formada por una serie de triángulos que generan, a su vez, otro pentágono. Si estudiamos los triángulos que se generan, vemos que entre sus lados se establece la relación áurea. Basta con dividir sus longitudes para observar que su valor es ф Existe otra característica común: En todos ellos los ángulos menores valen 36º y todos ellos son isósceles. A estos triángulos se les llama Áureos.

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Otras relaciones interesantes

Ademas del número áureo existen otra serie basadas en números irracionales como son √1 , √2, √3 , √4 , √5 , ….. con propiedades interesantes.

√1 = 1 Cuadrado básico 1/√1 = 1 Cuadrado básico

√2 = 1,1412... Formato DIN 1/√2 = 0,7071

√3 = 1,7320... 1/√3 = 0,57736

√4 = 2 Doble cuadrado 1/√4 = 0,5 Doble cuadrado

√5 = 2,2360 1/√5 = 0.4472

Podemos determinar geométricamente la serie √n así como su inversa 1/√n

√n

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1/√n

El número Áureo en Arquitectura

En la antigüedad el número de oro fue a la vez símbolo cosmológico, fórmula mágica y clave de diversas construcciones geométricas utilizadas, sobre todo, en Arquitectura. Se encuentra su trazo también en ciertos elementos de la Pirámide de Keops, en el Erecteión y sobre todo en el Partenón, tanto por las proporciones del conjunto como por los detalles estructurales. Algunos artistas han extendido esta experiencia a sus obras buscando unas proporciones agradables.

El Partenón

Un Ejemplo de rectángulo áureo lo encontramos en el Partenón.

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Fue construido por Fidias entre los años 447 y 432 A.C.

En la figura siguiente se puede comprobar que AB/CD= ф Igualmente ocurre con AC/AD y CD/CA cuyos cocientes dan ф

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El templo de Ceres

Otro ejemplo lo tenemos en el Templo de Ceres

El templo de Ceres en Paestum (460 a. C.) tiene su fachada siguiendo un sistema de triángulos áureos al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico.

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Tumba rupestre de Mira

La Tumba rupestre de Mira, en Asia Menor, basa la composición de su fachada en un Pentágono regular en el que el cociente de sus diagonales y el lado de dicho pentágono es el número aurero.

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Ejemplos de relaciones Áureas en Arquitectura.

Torres de Serranos

No solamente en la arquitectura clásica, encontramos relaciones áureas. Un ejemplo muy cercano son Las torres de Serranos en Valencia.

Es una de las cuatro puertas con que contaba el recinto amurallado de Valencia. Se construyó como elemento de defensa por Pedro Balaguer entre los años 1395 y 1398. Se compone de dos torres octogonales divididas en pisos por bóvedas de crucerías , el último volado sobre ménsulas.

Para la determinación de las relaciones áureas se ha utilizado la construcción geométrica de las figuras 2 y 3.

La cornisa de las torres, así como la galería superior cortan en altura las caras de las torres en rectángulos áureos. En la parte central se ha utilizado el mismo método adaptando el cuadrado a los distintos elementos arquitectónicos. En este caso la relación áurea se encuentran sólo en altura.

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Versalles - Pequeño Trianón

El Pequeño Trianón se encuentra situado en el sur-este del recinto palaciego de Versalles. Fue creado en el siglo XVIII; Luis XV lo hizo construir, en principio, como zoológico y jardín con una escuela botánica y un invernadero. Más tarde Luis XVI lo regaló a María Antonieta El arquitecto encargado de los planos fue Ange-Jacque Gabriel.

El castillo fue construido por orden de Madame de Pompadour y se terminó en 1768 después de su muerte. Seguidamente fue ocupado por Madame de Barry

Cuatro columnas centrales forman un cuadrado perfecto y a ambos lados se extienden dos cuerpos, que junto con las columnas forman dos rectángulos áureos según la construcción gráfica de la figura 2.

Le Corbusier – El Modulor

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Le Corbusier utiliza conscientemente el número ф en muchos de sus proyectos. En laa “Unidad de habitación” en Nantes-Rezé reproduce en la fachada anterior, grabado en cemento, su Modulor. (Años 1952 – 1957)

Le Corbusier lo defino como: “Una gama de dimensiones armónicas de escala humana, aplicable universalmente a la arquitectura y a la mecánica”.

Está basado en la estatura del hombre con el brazo levantado (226 cm) y proporciona una serie de relaciones. Por ejemplo: 226 = 113 + 70 + 43. Estas tres medidas están en relación áurea y son características del cuerpo humano. Según él: el hombre sentado corresponde a 43 cm, apoyado a una mesa 70 cm, en una barandilla 113 cm y su altura media corresponde a 113 + 70 = 183 cm.

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Vamos a realizar un estudio detallado de la construcción de dicho Modulor.

Partiendo de un rectángulo de lados ф3 y la unidad, trazamos una diagonal desde el vértice superior izquierdo al inferior derecho. A continuación, en zigzag, vamos trazando rectas a 45º tal como vemos en la figura siguiente.

Solo nos falta sacar la descomposición de los diversos rectángulos áureos. Estos rectángulos son utilizados por Le Corbusier para generar cada uno de sus elementos arquitectónicos tal como podemos ver en las fachadas de dicha Unidad de Habitación

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Ejemplos de relaciones Áureas en Pintura.

Paolo Veronese

Venus y Adonis

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Paolo Veronese se llamaba, en realidad Paolo Caliari. Nació en Verona (Italia) en 1528 y murió el 9 de abril de 1588. El cuadro está fechado en 1580.

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Nos encontramos claramente con una composición incluida en una circunferencia, con el pentágono regular y la estrella de 5 puntas o pentagrama.

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Diego de Silva y Velázquez

Los Borrachos o El triunfo de Baco

Velázquez nació en Sevilla en 1599 y murió en Madrid en 1660. El cuadro de los borrachos está fechado en 1629

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En este cuadro aparecen las de relaciones √2 √3 √4 √5 y √6 tal como se vé en la figura 11. . Existe, además, una confluencia de figuras (podríamos llamarlas falsa perspectiva) hacía el vértice superior del cuadrado. Esta composición hacia este vértice es una constante que se repite en muchas pinturas, especialmente del renacimiento Italiano. El lienza tiene, prácticamente un formato tipo DIN. Vemos que el conjunto más compacto de figuras se encuentra dentro del cuadrado

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Dalí – Leda atómica

Dalí nace en Figueras, Gerona, en 1904. Era hijo de un notario de esa localidad. Estudió en la Escuela de Bellas Artes de San Fernando en Madrid. Posee una gran preparación académica siendo un extraordinario dibujante. Se incorporó al movimiento surealista y es uno de sus mejores representantes.

Estuvo en la Residencia de estudiante con García Lorca, Buñuel y otros grandes artistas del momento.

El cuadro de Leda atómica fue pintado en 1949

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Dalí utiliza el número áureo en la composición de este cuadro. Encuadra la figura de Leda (Gala) en un pentágono regular. La figura de Leda se encuentra inserta en el

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triángulo áureo ACD mientras el cisne, junto a la parte central de la mujer se encuentra en el triángulo áureo EBC. La parte central de Leda, no solo se encuentra en el centro geométrico del cuadro, sino que también se encuentra dentro del pentágono delimitado por las diagonales y cuyo lado superior coincide con el horizonte

Ejemplos de relaciones Áureas en Escultura.

Praxiteles - Hermes de Olimpia

La obra se sitúa en el año 360 a. C. . Se la atribuye a Praxiteles que vivió entre los años 390 a 330 a. C.

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Para la determinación de las relaciones Áureas se ha utilizado la construcción geométrica de las figuras 6 y 7. Se ha utilizado un rectángulo de base h/2 y altura h siendo h la altura del cuerpo humano.

Según esta construcción encontramos las siguientes relaciones Áureas.

AF = CF CF = CE AC = BC BD = BC CE = DE CF AC CE EF BC AB BC CD DE CD

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La Divina Proporción .- Las formas geométricas - Carmen Bonell. Enciclopedia Larousse. Las Matematicas, la Arquitectura y el Arte – Adaptado de apuntes de Vicente viana Martinez. Paseando por la Historia (Internet)

C E C Junta de Andalucia – El Numero de Oro.

Tesoros Artisticos de España – Cayetano Enriquez.

Paseos Fotograficos (internet)

Le Corbusier – Carlo Cresti.

CopArte (internet)

Museo del Prado (internet)

La Armonía en la Naturaleza (internet)

“creha” Colectivo para la Renovacion de los Estudios de Historia del Arte. (internet)

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ALGUNAS CURIOSIDADES MATEMATICAS.

LOS FINES DE LA MATEMÁTICA.

La esencia de las matemáticas esta en los razonamientos, no en los números.

La matemática tiene un fin triple. Primero, proporcionar un instrumento para el estudio de la naturaleza. Pero esto no es todo. Tiene también un fin filosófico y un fin estético. Los buenos conocedores de la matemática encuentran en ella placeres comparables a los que proporcionan la pintura y la música. Admiran la delicada armonía de los números y de las formas. Se maravillan cuando un nuevo descubrimiento abre una nueva perspectiva. ¿Y no es estético este placer, aunque los sentidos no participen en él? (Poincaré)

La humanidad y la naturaleza en números.

1 gramo de veneno de una Cobra puede matar a 150 personas.

1 sola pila puede contaminar 175.000 litros de agua.

1 vuelta al mundo puede dar la unión de venas, arterias y vasos del cuerpo humano.

2.000.000.000 de personas pueden morir con una bomba de plutonio del tamaño de un pomelo.

9.460.800.000.000 de kilómetros mide aproximadamente un año luz.

5.975.000.000.000.000.000.000.000 kilos pesa nuestro planeta.

En las actividades que realizan los seres humanos a diario con los números interviene nuestro cerebro que, según neurólogos y psicólogos, está equipado desde el nacimiento con un exclusivo sentido matemático y permite que podamos comprenderlos y cobren sentido en nuestra mente y nos evoquen tantas cosas, razón por la cual el hombre no ha podido escapar a la tentación de reflejar en guarismos su existencia y la conformación de su cuerpo estudiando las áreas que son activadas en la ejecución de determinadas acciones donde intervienen los números.

Como ejemplos:

-Una persona que pulse una tecla de ordenador 75.000 veces, hará un esfuerzo equivalente a levantar 50 toneladas.

-Al leer un libro de 300 páginas al mes, los ojos recorrerán una distancia de 12 Km de texto al año.

-Una persona de 70 años realizara más de 99 millones de inspiraciones y expiraciones y su corazón habrá latido aproximadamente unos 2800 millones de veces.

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-Una persona normal ingiere en alimento unas 1250 veces su peso.

Una persona de 40 kg. Tiene aproximadamente unos 3 litros de sangre, o sea, 3000 mm³, y en cada mm³ hay 5 millones de hematíes, esto quiere decir que en el total hay 15.000.000.000 de glóbulos rojos, que si se disponen en fila, darían varias veces la vuelta a la tierra.

-La cantidad de sangre que pasa por el corazón durante toda la vida, está calculada entre 150 y 200 toneladas.

Teorema de Thales (divertimento matemático)

Johann Sebastian Mastropiero dedicó su "Divertimento matemático opus 48", el Teorema de Thales, a la condesa Shortshot, con quien viviera un apasionado romance varias veces, En una carta en la que le dice: "Condesa, nuestro amor se rige por el Teorema de Thales: cuando estamos horizontales y paralelos, las transversales de la pasión nos atraviesan y nuestros segmentos correspondientes resultan maravillosamente proporcionales".

Número secreto.

Pida a un amigo que escriba un número de dos cifras en secreto, que lo multiplique por 10 y del resultado reste un múltiplo de 9 inferior o igual a 81. Pídale el resultado. Si es de tres cifras, tome las dos primeras y sume la última; si son dos, súmelas entre sí, el resultado que de es el número secreto.

Como demostrar cualquier cosa:

Bertrand Russell estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa, todo. Un filósofo escéptico le preguntó: -¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa? Russell contestó afirmativamente y dio la divertida "prueba" que sigue:

- Si suponemos que 2 + 2 = 5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2 = 3.

Invirtiendo los términos, tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado, nos da 2 = 1.

De modo, que como el Papa y yo somos dos personas, y 2 = 1, entonces el Papa y yo somos uno.

Luego, yo soy el Papa.

…

Cuando en una ocasión le preguntaron a San Agustín qué hacía Dios antes de crear el mundo, contestó: "Estaba creando un infierno para las personas que hacen preguntas como esa".

92

…

Van Humholtz : Saca cuidadosamente una pulga del frasco, la pone ante el frasco vacío, da un paso atrás y dice "salta", tras lo cual la pulga salta al frasco.

Metódicamente, saca otra pulga, la pone en la mesa, dice "salta" y la pulga salta al frasco que estaba vacío al principio.

Cuando ha terminado de cambiarlas de frasco de este modo, saca una del frasco que ahora está lleno, le quita cuidadosamente las patas de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco.

Ordena "salta", pero la pulga no se mueve.

Saca otra pulga del frasco, le quita cuidadosamente las patas de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco.

Vuelve a ordenar "salta", pero la pulga no se mueve.

Van Humholtz continúa metódicamente el mismo procedimiento con las pulgas restantes y obtiene los mismos resultados.

Entusiasmado, Van Dumholtz anota en su cuaderno: "Cuando se le quitan las patas traseras a una pulga, deja de oír."

…

El año o más bien el número 2011 es un número primo que acaba en 11 y que sumando once primos consecutivos nos da el 2011:

2011 = 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211

También: Interviniendo todos los números:

2011 = 7: + 1C + 2B+ 3@ + 4?

Ordenadores:

La primera vez que un avión automatizado despegó, los pasajeros estaban algo preocupados.

En esto la voz arrulladora y tranquilizante del ordenador se oyó por los altavoces: "Señoras y caballeros tienen ustedes el privilegio de estar volando en el primer avión totalmente automático.

Nada de pilotos con sus fallos humanos, están siendo conducidos por ordenadores infalibles.

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Atenderemos todas sus necesidades. No tienen que preocuparse de nada... preocuparse de nada... preocuparse de nada... preocuparse de nada..."

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Muchos de los intentos de evaluar Pi en la antigüedad utilizaban el método de calcular el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos a circunferencias.

Ferdinand Lindemann(1852-1939) demostró que π es un número trascendental. Esto significa entre otras cosas que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello todavía se sigue intentando.

Pues bien; toda esta introducción viene a propósito de la existencia de mensajes en el interior de pi. Que yo sepa, la popularización de esta idea viene de la novela CONTACT, de Carl Sagan, pasada al cine con relativo éxito con la cara amable de Jodie Foster. Actualmente existe gente buscando mensajes extraterrestres en el interior de pi, o incluso mensajes de Dios. Lo curioso es que estos mensajes realmente existen dentro de pi.

Se me ocurre una forma muy sencilla de verlo. Hace poco vi en la red un archivo con el primer millón de cifras de pi. Busqué en su interior mi número de teléfono (sin prefijo) usando Edición/buscar con el Word de Microsoft, y ¡allí estaba!

Cómo se juega al Sudoku?

Este juego se compone de una cuadrícula de 9x9 casillas, que está dividida en cajas o regiones de 3x3 casillas. Partiendo de algunos números ya dispuestos en algunas de las casillas, hay que rellenar las casillas vacías con dígitos del 1 al 9. No se debe repetir ningún dígito en una misma fila, columna o región. Un sudoku está bien planteado si la solución es única.

Resumiendo: hay que rellenar la cuadrícula de modo que: cada fila, cada columna y cada región contenga los números del 1 al 9.

En realidad el Sudoku es un problema elemental de Permutación, y consiste en escribir una secuencia de números naturales del 1 al 9 en otro orden:

Expresado matemáticamente es 9! (Factorial de 9)= 9x8x7x6x5x4x3x2x1 que equivale a 362880 posibles configuraciones.

Pero como el Sudoku es un cuadrado mágico latino es lo mismo que multiplicar 9! X 9! que nos da la friolera de 131.681.894.400 soluciones totales...

Las matemáticas son una ciencia exacta: siempre sabes que las vas a suspender. Autor: Anónimo

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1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111=12345678987654321

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El mayor número de tres cifras no es el 999, es el 9 elevado a 9 y a su vez elevado a 9.

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El cuadrado de un número es igual a la suma de tantos números impares consecutivos (a partir de la unidad) como unidades tiene aquel número.

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El 7 es número sagrado por ser suma de 3 que es divino y 4 que simboliza el mundo material. Así resulta que 7 son las puertas del infierno, 7 los días de la semana. 7 los sabios de Grecia, 7 las maravillas del mundo, 7 los colores del arco iris, etc. (De broma, los 7 niños de Écija ó 7 novias para 7 hermanos).

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√ = 11 ; √ = 111 ; √ = 1111 ; √ = 11111

….

Sean A = 1 y B = 1, por lo que tenemos A = B Multipliquemos ambos miembros de la igualdad por A, y tenemos

= AB Ahora restemos a los dos miembros la misma expresión (B2), y obtenemos

– = AB – En el primer miembro, diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia, y en el segundo miembro sacamos el factor común, por lo que la expresión queda

(A + B)·(A – B) = B·(A – B) Y simplificamos (dividiendo) los dos miembros de la igualdad por (A – B), resultando

A + B = B Y sustituyendo por los valores iniciales, la demostración quedará:

1 + 1 = 1 ¿¿¿¿????

Solución al ejercicio matemático: En el campo de los números reales no se puede dividir por “cero”, y (A – B) vale cero. Es como 7.0 = 5.0 si dividimos por cero ambos miembros, queda 7 = 5

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Baraja: Basta mezclar las cartas 7 veces para que su distribución sea aleatoria dentro de una baraja de 52 naipes. Más de 7 veces es innecesario y menos de 7 es insuficiente.

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Un profesor de física presento un presupuesto millonario para la realización de un experimento, a lo que el decano le respondió: “Otro experimento…¿es que no pueden apañarse con papel, lápiz y una papelera, como los matemáticos?... o como los filósofos que solo necesitan papel y lápiz.

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Los relojes: Casi todos, en los anuncios, marcan la 10:10 ó las 10:08. Se debe, tras un estudio sobre los efectos psicológicos y estéticos a:

- Las manecillas pueden identificarse como una sonrisa.

- La posición de las agujas no tapa ni el logo del fabricante ni el calendario.

- La gente se suele levantar hacia las 10 los domingos.

- Si dibujamos un rectángulo dentro de la esfera con el límite marcado por el

minutero, este sería aproximadamente un rectángulo áureo.

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El origen de los símbolos matemáticos

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- El matemático alemán Michael Stifel (1485 -1567) en su obra Arithmetica Integra popularizó los símbolos “+” y “-” desplazando a los signos “p” (plus) y “m” (minus). Según el matemático español Rey Pastor (1888-1962), los signos “+” y “-” fueron utilizados por primera vez por el científico alemán Widmann (1460-1498).

- Robert Recode (1510-1558), matemático y médico inglés, fue el creador del símbolo “=“. Para él no había dos cosas más iguales que dos líneas rectas paralelas.

- El símbolo que conocemos como “raíz de” apareció por primera vez en un libro alemán de álgebra de 1525. Antes, para designar la raíz de un número se escribía literalmente “raíz de …”. Para abreviar se usó simplemente la letra “r“, pero cuando los números eran grandes se alargaba el trazo horizontal de la misma dando origen al símbolo que utilizamos hoy en día.

- El matemático François Viète (1540 – 1603) fue el primero en utilizar letras para designar las incógnitas y constantes.

- A Tomas Harriot (1560 – 1621) le debemos los signos actuales de “>” y “<“, y el “.” como símbolo de multiplicación.

- Los símbolos de multiplicación “x” y división “:” fueron introducidos por el matemático William Oughtred (1574-1660) en el año 1657.

- El símbolo de la integral fue propuesto por Gottfried Leibniz (1646-1716) y lo extrajo de la palabra latina “summa” tomando su inicial. A Leibniz le debemos muchos más signos notacionales como “dx” y además fue quien popularizó el “.” como signo de multiplicación.

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Numero perfecto es aquel que sea igual a la suma de sus divisores menores que el:

6 : sus divisores son 1, 2, 3 y su suma es igual a 6.

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28: se divide por 1, 2, 4, 7, 14 y su suma es 28.

496 : 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 y su suma es igual a 248.

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El cero lo introdujo Brahmagupta en Europa, nacido en el año 598 de nuestra era.

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El famoso papiro de Rhind que data del siglo XX a.C. contiene la primera solución aproximada conocida de la cuadratura del círculo.

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Dados: la suma de dos caras opuestas es 7. Si lanzas un dado, cualquier valor que salga tiene la misma probabilidad. Sin embargo, al lanzar dos dados, el resultado más probable de la suma es que sea siete y los menos probables son aquellos cuya suma sea 2 u 11.

….

Sessa, el inventor del ajedrez, pidió al príncipe de la India que le entregara un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así sucesivamente hasta la casilla numero 64. Rápidamente el príncipe acepto sin saber que aquello suponía más de 18 trillones de granos, que es la cosecha que se recogería al sembrar 65 veces toda la tierra.

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La multiplicación era considerada muy difícil y, hasta el s. XVI, solo se enseñaba en las Universidades.

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…

El primero en utilizar la coma para separar la parte decimal de la fraccionaria fue el astrónomo italiano G. Magini. J. Napier con sus logaritmos, en 1617 recomendó el uso del punto; el caos siguió durante todo el siglo XVIII aunque al final solo quedaron en competencia el punto y la coma. Esto se resolvió cuando Leibniz en 1698 propuso usar el punto como signo de multiplicación (en lugar del signo x, que se confunde con X la incógnita).

Los números decimales se impusieron en casi todos los países, al adoptarse el sistema métrico decimal en el siglo XVIII.

Dicen que el número π en chino, significa guerra: pues representa a dos mujeres debajo del mismo techo.

Como final: Estamos en un año con unos por todos lados. Es un año con cuatro fechas raras: 1.1.11 , 11.1.11 : 1.11.11 ; 11.11.11 . Si tomas los dos últimos dígitos del año en que naciste y le sumas la edad que vas a cumplir este año, hago la apuesta de que resulta 111.

Cuadro de historia de los símbolos matemáticos.

Símbolos Año Autor

1228 Fibonacci

3 · 4 1464 Regiomontano

3 + 4

4 - 3

1489

Widmann

2 + 3 = 5 1557 Recorde

30º 1571 Reinhold

decimales 1585 Stevin

2,17 1617 Naiper

log 27 1624 Kepler

1629 Girard

3 < 4

4 > 3

1631

Harriot

25 1637 Descartes

1675 Leibniz

f(x) 1734 Euler

99

1736 Euler

e 1739 Euler

sen, cos 1753 Euler

1755 Euler

i 1777 Euler

Ángulos 1816 Crelle

BIBLIOGRAFIA:

Manuel Bernabe Flores. Curiosidades matemáticas. Alianza Editorial S.A. 1996

Internet:

http://misteriosaldescubierto.wordpress.com/2009/03/27/curiosidades-matematicas/

http://www.pixfans.com/curiosidades-matematicas-y-numericas/

http://asusta2.com.ar/2009/11/10/teoria-de-cuerdas-existen-multiples-dimensiones/

http://www.laedadeoro.org/2009/11/matematicas-y-otros-misterios_22.html

http://www.igooh.com/notas/algunos-juegos-en-el-mundo-de-los-numeros/

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http://www.elhuevodechocolate.com/mates/mates3.htm

http://www.gestiopolis.com/economia/numeros-y-la-relacion-con-el-hombre.htm

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http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com/post/2006/04/19/curiosidades-matematicas-

http://www.microcaos.net/curiosidades/curiosidades-matematicas/

http://www.acertijos.net/curiosidades_con_numeros.php

http://www.portalnuevaera.com/2008/11/maravillas-de-la-matematicalos-cuatro-cuatros/

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LAS MATEMATICAS EN NUESTRO MUNDO COTIDIANO

El mundo, tal como lo conocemos, existe porque existen las formas. Y nosotros, los seres humanos, también hemos aprendido a ver el mundo a través de sus formas y a reconocerlas en estos “amasijos” de moléculas.

La capacidad del ser humano de mirar más allá e intentar descubrir formas en la naturaleza o en las cosas que ve, ha sido muy provechosa para la ciencia y la matemática. Los primeros geómetras, probablemente de Egipto, Sumeria y Babilonia, observaron la realidad que los rodeaba, desarrollando conocimiento que les permitiera realizar efectivamente sus tareas, tal vez muy relacionadas con la arquitectura, de dar forma a construcciones humanas.

Círculos, triángulos, cuadrados y espirales, y su familia de tres dimensiones, han sido desde entonces formas presentes no sólo en la teoría matemática, sino también en la naturaleza y en las construcciones humanas.

Las matemáticas son sin duda uno de los patrimonios más preciados de la humanidad. Las maravillas tecnológicas y el avance vertiginosos de las mismas se deben, en gran parte, al avance y a la investigación que se desarrolla en matemáticas a lo largo de todo el mundo. También otras ciencias, como es lógico.

Hoy en día es impensable un mundo sin telecomunicaciones, vuelos de aviones, navegación, tecnología, GPS, etc.

Una aplicación de un hecho matemático queda como una herramienta segura, práctica, y no dudamos de su confiabilidad. Es una práctica que se transforma en algo cotidiano. Por ejemplo, el Teorema de Pitágoras.

En la actualidad estamos rodeados de artefactos, que nos hacen nuestras actividades cotidianas en el hogar, el trabajo, la escuela o nuestro entorno social cada vez más cómodas, rápidas, seguras y/o eficientes. Pero, alguna vez nos preguntamos por qué funcionan tan bien, rápido, confiable, seguro, etc.? Casi todos responderíamos: por los grandes avances tecnológicos, pero excepcionalmente escucharíamos: es por los enormes avances matemáticos.

Veamos con detalle algunos ejemplos, concentrándonos en la parte matemática de los mismos. Evitaremos tecnicismos y resaltaremos el papel de las matemáticas.

Medicina:

En medicina es cada vez más común realizar estudios que involucran algún tipo de imagen y cada día mejoran las técnicas para plasmar imágenes, por ejemplo de lo que hoy se conoce como tomografía. En este proceso, se requieren algoritmos eficientes, rápidos y confiables que analicen los datos que genera el aparato y nos produzca una imagen de la cual podamos interpretar salud o enfermedad. Métodos similares se

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emplean en los programas que analizan un estado preoperatorio y predicen un resultado al someter al paciente a una cirugía, estos programas son cada vez más comunes en cirugías estéticas donde el paciente puede “ver” los posibles resultados de una intervención quirúrgica de esta naturaleza. Hay actualmente algunas intervenciones que son realizadas por robots.

Telecomunicaciones:

En telecomunicaciones es imperativo transmitir datos entre dos lugares de manera eficiente, rápida y de forma segura. Esto requiere el diseño de algoritmos que cumplan estos tres requisitos invariablemente, por ejemplo, de nada nos sirve enviar un mensaje muy veloz pero que llegue incompleto o dañado. Esto lo apreciamos seguramente cada vez que usamos nuestra tarjeta de debito en un cajero; queremos nuestro dinero rápido, sin fallas y sin que nadie más pueda acceder a nuestros datos. Estas características se repiten casi en todas las transmisiones electrónicas. Se requiere pues, una considerable labor de las matemáticas.

Ordenadores e Internet

Los ordenadores y los medios de comunicación e información han creado una magnífica mancuerna alrededor de Internet. En él podemos realizar una gran cantidad de acciones: comprar, vender, comunicar, trabajar, hacer transacciones, buscar información sobre cualquier tema, leer noticias, libros, revistas, documentos (privados/públicos). La lista parece infinita. Un gran responsable es el avance de la tecnología, pero otro lo es también la gran cantidad de herramientas matemáticas que se desarrollan paralelamente, no sería aventurado decir que sin las matemáticas adecuadas aún estaríamos en la edad de piedra.

Otra instancia, son los teléfonos móviles, parecen una plaga, suenan en el concierto, el salón de clases, el metro, el parque, durante la consulta, le suena al doctor, al paciente y al asistente; también al ama de casa, al estudiante y al trabajador. Estos pequeños aparatos que lo mismo envían/reciben llamadas convencionales, como mensajes de texto, fotos, música o cualquier programa que se pueda poner en el lenguaje cibernético, han pasado a ser un icono de modernidad. Nuevamente tenemos a las matemáticas que continuamente se adecuan, modernizan y desarrollan para que la tecnología siga con su despliegue de eficiencia.

Modelos matemáticos:

En muchas aplicaciones nos interesa predecir el comportamiento de un fenómeno en el futuro (o quizá como fue en el pasado). Para esto se formula un modelo matemático que cambia con el tiempo y se estudia su comportamiento en el tiempo deseado. Lo anterior nos produce una predicción del fenómeno; posteriormente nos preguntamos si la respuesta es razonable, deseable, probable, etc.

Un ejemplo de lo anterior lo podemos apreciar en la ingeniería en lo que hoy se conoce como frenos ABS (sistema anti-bloqueo de frenos): una pequeña computadora va tomando continuamente datos de presión del frenado y estabilidad del auto y cuando detecta una variación anormal, el modelo de la computadora dispara

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mecanismos que permiten que los datos de presión y estabilidad del auto busquen su forma estable, al hacer esto regresan a un estado normal y seguimos nuestro camino sin tener que preocuparnos. Este es un ejemplo donde las matemáticas se usan para mantener estabilidad en un sistema (el automóvil), herramientas similares se emplean en el diseño de aviones, trenes y autobuses.

Conclusión

Sin las matemáticas no podríamos entender el mundo. Gran parte de nuestras decisiones diarias son fruto de cálculo y distintas variables y opciones. Y muchos de los objetos que nos rodean en la vida cotidiana llevan las matemáticas dentro. El secreto es aprender a disfrutarlas. En todas las familias.

Imagínense una noticia que recorre la ciudad, se han inventado unas píldoras del conocimiento (historia, literatura…). Todos los estudiantes corren hacia las farmacias y preguntan si no existe una para las matemáticas. El encargado, al cabo de un rato, se presenta con algo parecido a un melón. ¿Tan grande?, dice el estudiante. “Bueno” – le contesta el farmacéutico-, “ya sabe que las matemáticas siempre son difíciles de tragar”.

Un lingüista y académico – Francisco Rico - hace unos años dijo: “Las asignaturas básicas deberían ser las lenguas y la literatura, que es lo que enseña a conocer el mundo. De las asignaturas técnicas, las matemáticas no hacen falta: cualquier ordenador o calculadora te lo da hecho”. La polémica está servida.

Pero resulta que las matemáticas no son exclusivamente cálculo. Y buena parte del mundo que nos rodea se explica únicamente a través de esta ciencia.

Galileo ya decía que las leyes del mundo están escritas en el lenguaje de las matemáticas.

Raul Ibañez nos decía: “las matemáticas nos enseñan el análisis crítico y nos ayudan a comprender la realidad que nos rodea”. H.G.Wells pronosticó: “El pensamiento estadístico será un día tan necesario para el ciudadano eficiente como la capacidad de leer y escribir”.

Por muy paradójico que parezca, a menudo actuamos siguiendo criterios matemáticos, sin que seamos conscientes de ello, y animados cada vez por el mismo objetivo: conseguir el resultado más eficiente en cualquier circunstancia. Por ejemplo:

¿Qué hacemos en un día cualquiera?. Si vivimos en un dúplex, al levantarnos tenemos que bajar unas escaleras que no representan ningún esfuerzo ya que las matemáticas permiten el cálculo de altura y profundidad hecho con un modelo especifico (podrían ser más estrechas o altas, de manera que pudieran crearnos una dificultad).

Salimos a la calle y nos metemos en un super, pronto nos damos cuenta que todos los productos llevan un código de barras. Si comprobamos la forma de los envases, vemos que los más habituales son cilindros y octaedros (son las dos formas que permiten apilar productos con el mínimo hueco).

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Cogemos la bici con cambio de marcha y aprovechamos según haya repechón o no, el uso de combinar el plato con los piños. Estamos aprovechando al máximo el sistema de transmisión en cadena y sus distintos desarrollos.

Atravesamos un parque y puede que el numero de oro (1.6180…) este ahí, estatuas, caracolas, nervadura de las hojas de algunos árboles, grosor de las ramas…

Tomamos un café con unos amigos y de pronto entra una rubia espectacular (y las matemáticas indirectamente) con unas líneas de la cara perfectamente simétricas. Este equilibrio de las percepciones contribuye a una evaluación estética positiva. Si además la rubia viene acompañada por amigas no tan atractivas, la primera reacción será el competir con los amigos por la rubia. Sin embargo, es mejor que cada uno se fije en las amigas. ¿Por qué?. Es la estrategia óptima: todos salen ganando, renunciado a su objetivo inicial. Es el llamado equilibrio de Nash, una teoría matemática que demuestra que al evitar, por así decirlo la autodestrucción mutua, se logra la máxima satisfacción para todos.

Los números están prácticamente detrás de gestos cotidianos. El hablar por teléfono, la marcación se efectúa por códigos binarios, la transformación de voz en series numéricas, algoritmos. Reproducir en un ordenador órganos del cuerpo humano para saber cómo responderán en el quirófano.

Los famosos trajes de baño de los J.O. de Pekín, el casco del barco del último ganador de la Copa América de vela.

Pero también existe una relación con otras disciplinas como el arte, la música o la literatura y más.

Matemáticas en el séptimo arte

Películas con estructura matemática o directores que manejan conceptos matemáticos o figuras geométricas, como Hitchcock con las espirales en las que recurría en “Vértigo”. Otro ejemplo, y hay muchos, como en “Contact” donde la comunicación con los extraterrestres se establece a través de los numero primos.

En el arte

Múltiples ejemplos. Dalí pinta “La ultima cena” de Jesucristo con sus Apóstoles y coloca la escena en el interior de un dodecaedro (símbolo platónico del Universo) y en el que se pueden inscribir los otros cuatro poliedros regulares que según los Pitagóricos corresponden a los 4 elementos (aire, agua, tierra y fuego). Doce son las caras pentagonales del dodecaedro y doce fueron los Apóstoles. Las proporciones que rigen esta composición se basan en el número de oro.

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En el deporte

Investigadores españoles han desarrollado un nuevo modelo matemático que permite predecir lesiones (futbol, atletismo, baloncesto) mediante el uso de ecuaciones de regresión logística.

Destacan que hay tres factores generales que pueden provocar el desarrollo de una lesión y son : técnicas incorrectas en el entrenamiento, equipamiento inadecuado o deteriorado, y anormalidades biomecánicas y antropométricas. Sobre esto último es lo que más estudian obteniendo un algoritmo llamado “Índice de lesiones de Fernandez” con la siguiente fórmula:

1/1+e - (0.757_AQI-0.647_DGM2)

AQI = ángulo Q del miembro inferior izquierdo.

DGM2 = el cuadrado de la diferencia entre el grosor de los muslos.

Los autores insisten en que hay que seguir investigando.

En la música

También es cuestión de números. Hay estudios que demuestran que se han detectado formulas detrás del “Arte de la fuga” de Bach. Y no solo la música clásica, recientemente Jason Brown ha conseguido, utilizando modelos de cálculo muy complejos, descubrir cuál era la nota inicial de la canción “Hard day´s night” de los

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Beatles, conocida como el acorde imposible: la solución del misterio es una fa , tocado con un piano en lugar de una guitarra.

Algunas citas famosas:

Aristóteles: “La música es la ciencia de toda proporción y toda relación como tal”, pues lo que aprecia el oído humano al escuchar dos sonidos a la vez no es la diferencia de sus frecuencias, sino factores de proporcionalidad entre las mismas. La división de la escala en notas musicales no es aritmética, es proporcional, y así se basan los distintos sistemas de afinación.

Leibniz: “La música es un ejercicio de aritmética secreta”.

Goethe: “La geometría es una música inmóvil”.

Carpentier: “La música es un arte terriblemente euclidiano”.

Puig Adam en 1960: “tal vez sea la música la matemática del sentido y la matemática la música de la razón”.

Novelas matemáticas

Como en “La sorpresa de los números”.

En la poesía

El Número Pi (Poema de Wislawa Szymborska. Premio Nobel de Literatura 1996)

Digno de admiración es el número Pi tres coma catorce, Todas sus siguientes cifras también son iniciales, quince noventa y dos porque nunca termina. No se deja abarcar sesenta y cinco treinta y cinco con la mirada, ochenta y nueve con los cálculos setenta y nueve con la imaginación y ni siquiera treinta y dos treinta y ocho con una broma o sea comparación cuarenta y seis con nada veintiséis cuarenta y tres en el mundo. La serpiente más larga de la tierra después de muchos metros se acaba. Lo mismo hacen aunque un poco después las serpientes de las fábulas. La comparsa de cifras que forma el número Pi no se detiene en el borde de una hoja, es capaz de continuar por la mesa, el aire, la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta el cielo, a través de toda esa hinchazón e inconmensurabilidad celestiales. Oh, qué corto, francamente rabicorto es el cometa. ¡En cualquier espacio se curva el débil rayo de una estrella! Y aquí dos treinta y uno cincuenta y tres diecinueve

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mi número de teléfono el número de tus zapatos el año mil novecientos setenta y tres piso sexto el número de habitantes sesenta y cinco céntimos centímetros de cadera dos dedos charada y mensaje cifrado, en la cual ruiseñor que vas a Francia y se ruega mantener la calma y también pasarán la tierra y el cielo, pero no el número Pi, de eso ni hablar, seguirá sin cesar con un cinco en bastante buen estado, y un ocho, pero nunca uno cualquiera, y un siete, que nunca será el último, y metiéndole prisa, eso sí, metiéndole prisa a la perezosa eternidad para que continúe.

En publicidad

El anuncio del Audi A 5 se promociona comparando su belleza, armonía y equilibrio de mecánica estética con la regla aurea.

En la sociedad

Por ejemplo en el debate entre Zapatero y Rajoy en las elecciones del 2008:

Rajoy: El paro ha aumentado en 300.000 personas.

Zapatero: El paro está en la cifra más baja de toda la historia de la democracia. Yo lo encontré en el 11.5% y ahora está en el 8.5 %.

Comentario: La contradicción es solo aparente. Cada cual usa las cifras que mejor apoyan su posición. Rajoy habla de números absolutos y Zapatero lo hace de números relativos. Cualquier escolar sabe que el 8.5 % de un numero puede ser mayor que el 11.5% de otro; siempre que el primer número sea lo suficientemente grande. La población activa en España ha crecido lo suficiente para que se produzca esa situación.

Matemáticas y noticias:

Zapatero en 2009 aseguro que “todas las autonomías quedaran por encima de la media” (refiriéndose a su financiación) y calculo que causó no poca sorpresa, pues todos los promedios surgen de cifras mayores y menores.

Aznar dejó para la teoría de los números el nuevo concepto de “cero patatero”.

Georg Bush aseveró que “un numero bajo de votantes es una indicación de que menos personas están yendo a votar, ´pero “aclaró” que “la gran mayoría de nuestras importaciones vienen de fuera del país”.

Hay errores clásicos como traducir el “billion” norteamericano por un billón, y no por mil millones o un millardo que es lo correcto.

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Uno de los errores más trascendentes en la historia de la humanidad es el que hizo creer a Cristóbal Colon que llegaría a las Indias navegando “135 grados de circunferencia” hacia el Oeste, y acabo desembarcando en América.

Matemáticas en la revolución francesa:

En 1791, la Asamblea Nacional francesa define lo que con los años se convertirá en la medida indiscutible, el metro, una unidad basada en una medida de carácter universal, la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre.

En 1779 se promulga la ley que establece el nuevo sistema de medidas, el sistema métrico decimal.

En España se adapta con medio siglo de retraso mediante la ley de pesas y medidas de Isabel II.

BIBLIOGRAFIA:

http:/www.europapress.es/aragon/noticia-innova-profesor-demostrara-calatayud-matemáticas-estan-presentes-cualquier-faceta-vida-humana-20081022102826.htlm

http://ar.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070420203314AAH8cso vida cotidiana

http://www.edufuturo.com/educacion.php?c=1206

www.oei.es/cienciayuniversidad/spip.php?article29

http://www.lavanguardia.es/lv24h/20090103/53610480322.html

http://matematicasymundoreal.blogspot.com/

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http://www.sectormatematica.cl/aventuras/aventuras_06.html

http://www.scielo.org.ar/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1850-37482005000400015

http://autorneto.com/referencia/educacion/las-matematicas-en-la-vida-diaria/

http://www.extremaduraaldia.com/reportajes/influyen-decisivamente-los-numeros-en-nuestra-vida/103375.html

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SISTEMA BINARIO – ORDENADOR-

En un ordenador, la célula de memoria mas elemental puede solo almacenar una variable con dos valores, el llamado “binary digit” de cuya contracción sale la palabra bit con representación numérica de “0” y “1”, o lógica como “falsa” o “verdadera” o simplemente “si” y “no”. Esto, se realiza electrónicamente con una corriente baja o alta, o un voltaje – ó +, o una magnetización débil o fuerte, que significan respectivamente el “0” ó “falso” y “1” o verdadero

Si el circuito eléctrico, con el interruptor, lo abrimos o cerramos tendremos dos situaciones, dos estados diferentes en ese circuito. Necesitamos dos símbolos para representarlos. Podemos convenir en que si el circuito está abierto (no pasa corriente), le corresponde “0”, mientras que si el circuito está cerrado (y deja pasar corriente), le corresponde un “1”. De esta manera, abriendo y cerrando el circuito haremos una secuencia de ceros y unos con los que podremos representar cualquier número, siempre que este escrito en base 2.

Lo mismo, asignando un número para cada letra o símbolo. Esta es la manera elemental en que un ordenador puede recibir o proporcionar información.

El ordenador constituye un dispositivo electrónico digital. La palabra “digital” está relacionada con el término “digito”, que a su vez significa “dedo”.

Con los ceros y unos los ordenadores realizan todas las operaciones para lo que han sido concebidos. Por eso se llaman “dispositivos digitales”.

Para formar cada carácter alfanumérico, es decir, una letra, número o digito, los ingenieros informáticos optaron por combinar 8 bits o cadenas de ceros y unos para formar un “octeto” al que denominaron “byte”.

El informático para escribir los programas, aplicaciones o “software” que el ordenador usa para trabajar, este programador utiliza un lenguaje de programación llamado “de alto nivel”, que le permite escribir líneas de texto codificadas. Esto que escribe el programador solo lo entiende el, no el ordenador.

Para que el ordenador lo pueda entender lo escrito en “alto nivel”, hace falta otro programa denominado “compilador” que lo traduce y convierte en código maquina “de bajo nivel”. Este código compuesto solamente de unos y ceros es lo que entiende el ordenador.

Son los ingenieros informáticos los que se dan cuenta que el sistema numérico decimal era muy complejo y para buscar un lenguaje de bajo nivel o “código maquina” crearon este sistema binario de “0” y “1”, solamente dos dígitos y no los diez que se necesitan en el sistema decimal.

Un numero binario es un numero de base 2, es decir, solo cuenta con dos dígitos.

El bit que ya lo hemos nombrado, (abreviado con la letra b minúscula), significa digito binario que viene de la expresión inglesa Binary digIT es el nombre que recibe en informática cada digito “1” ó “0”. Es la unidad de información más pequeña que puede manipular una maquina digital.

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Por tanto el bit se puede establecer como uno de dos estados, tanto con 1 como 0. Con dos bits se pueden obtener cuatro condiciones diferentes (2x2):

00 , 01 , 10 , 11

Con 3 bits se pueden obtener 8 condiciones diferentes (2x2x2):

000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , 110 , 111

Con un grupo de n bits, es posible representar 2ⁿ valores.

El valor del bit depende de su posición, empezando desde la derecha. Como las decenas, centenas y millares en un numero decimal, el valor de un bit se incrementa de por 2 a medida que se va desde la derecha hacia la izquierda.

El byte (abreviado con la mayúscula B) u octeto, es una unidad de información compuesta por 8 bits. Se puede utilizar para almacenar, entre otras cosas, un carácter, como por ejemplo una letra o un número.

Agrupar números en grupos de 8 facilita la lectura.

Por lo general, una unidad de 16 bits se denomina palabra, el bit 0 es el de mas bajo orden y el bit 15 el de mas alto orden.

Una unidad de información de 32 bits se denomina palabra doble. Un grupo de mayor número de bits simplemente se nombra por su número de bits, ejemplo, palabra de 64 bits, palabra de 128 bits, etc.

Para un byte, el menor número posible es cero (representado por 8 ceros: 00000000), y el mayor es 255 (representado por 8 unos: 11111111), que permite la creación de 256 valores diferentes.

Para que el ordenador pueda reconocer los caracteres alfanuméricos que escribimos cuando trabajamos con textos, se creó el Código ASCII (American Standard Code for Infromation Interchange) que utiliza los números del 0 al 255. Cada uno de los números del Código ASCII compuestos por 8 dígitos o bits, representan una función, letra, número o signo y como tal es entendido por el ordenador.

En el Código ASCII los valores binarios entre 0 y 31 corresponden a instrucciones, entre 32 y 127 corresponden al alfabeto alfanumérico y entre 128 y255 a caracteres de otros idiomas y signos menos convencionales.

La Capacidad de almacenamiento de los dispositivos que se emplean para almacenar programas se ha hecho tan grande que se utilizan los siguientes múltiplos del byte:

Kilobyte (kB) = 1024 bytes.

Megabyte (MB) = 1.048.573 bytes

Gigabyte (GB) = 1.073.741.824 bytes

Terabyte (TB) = 1.099.511.627.776.

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La comisión electrotécnica Internacional (IEC) para facilitar mejor la asimilación de estas cifras las redondeo en múltiplos de 1000. Así:

Un kB = 1000 bytes

Un MB = 1000 kB = 1.000.000 bytes.

Un GB = 1000 MMB = 1.000.000.000 bytes

Un TB = 1000 GB = 1.000.000.000.000 bytes

Existe una relación especial entre el sistema binario y el hexadecimal:

Hay 16 dígitos hexadecimales, y ya sabemos que cuatro cifras binarias dan 16 valores posibles. Bien, la relación exacta entre ellos es:

Binario 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 Hexadec. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

Binario 1100 1101 1110 1111 Hexadec. C D E F

Así cuando la gente usa ordenadores (que prefieren los números binarios), es mucho más fácil usar un solo digito hexadecimal en lugar de 4 dígitos binarios. Por ejemplo, el numero binario .“ 100110110100” es “9B4” en hexadecimal (mucho más fácil de escribir).

¿Cómo pasar de un número binario a decimal y al revés?:

Binario a decimal:

Basta con desarrollar el numero, teniendo en cuenta el valor de cada digito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente, el 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda ( “0”, “1”, “2”, “3”, hasta llegar al “7”).

Por ejemplo:

1011101₂ = (1x2A)+(0x2@)+(1x2?)+(1x2>)+(1x2=)+(1x2<)+(0x2;)+(1x2:) = (128)+(0)+(32)+(16)+

(8)+(4)+(0)+(1) = 189

Explicado de otra manera:

Consiste en reescribir el número binario en posición vertical de tal forma que la parte de la derecha quede en la zona superior y la parte izquierda quede en la zona inferior. Se repetirá el siguiente proceso para cada uno de los dígitos comenzados por el inferior. Se coloca en orden descendente la potencia de dos desde el cero hasta n, donde el mismo el tamaño del numero binario. Ejemplo : 10001 es igual a:

1x2> + 0x2= + 0x2< + 0x2; + 1x2: = 17.

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La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal.

Para representar números grandes harán falta mucho más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitan más de 8 dígitos, porque 2B = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el numero más grande que puede representarse con 8 dígitos.

Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2ⁿnumeros. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2ⁿ-1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 2> = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 2>-1 = 15.

Método practico:

2: = 1 2¹ = 2 2² = 4 2³ = 8 2> = 16 2? = 32 2@ = 64 2A = 128

Entonces, utilizando estos valores decimales 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…. etc arrojados por las potencias de base 2 y exponente ascendente, podemos ubicar el valor de un número decimal en sistema binario.

Decimal a binario:

Como norma diremos que todos los decimales impares expresados en binario terminan en uno y todos los decimales pares expresados en binario, terminan en 0.

Para convertir números enteros de decimal a binario, la forma más simple es dividir el decimal y los cocientes obtenidos por 2, hasta que una de las divisiones se haga 0. La unión de todos los restos obtenidos escritos en orden inverso, nos proporciona el número inicial expresado en el sistema binario.

Ejemplo: el número 120 en binario será:

120/2 = 60 y resto 0.

60/2 = 30 y resto 0

30/2 = 15 y resto 0

15/2 = 7 y resto 1

7/2 = 3 y resto 1

3/2 = 1 y resto 1

1/2 = 0 y resto 1.

Si lo escribimos a la inversa es : 1111000.:

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1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 | | | | | | → 0·2: =0·1 = 0 | | | | | |--- → 0·2¹ = 0·2 = 0 | | | | |-- --- → 0·2² = 0·4 = 0 | | | | --- --- → 1·2³ = 1·8 = 8 | | | --- --- --- → 1·2> = 1·16 = 16 | |--- --- --- --- --- → 1·2? = 1·32 = 32 |--- --- --- --- --- --- → 1·2@ = 1·64 =64

Sumados dan 120

Se puede explicar de otra manera:

Ejemplo el número 666:

Antes hemos hablado de los exponentes de 2 en orden correlativo:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

El 512 cabe en el 666 1

El 512 + 256 no cabe 0

El 512 + 128 = 640 0 si cabe 1

El 640 + 64 no cabe 0

El 640 + 32 no cabe 0

El 640 + 16 = 656 si cabe 1

El 656 + 8 = 664 si cabe 1

El 664 + 4 no cabe 0

El 664 + 2 = 666 si cabe 1

El 666 + 1 no cabe 0

Entonces el binario es 1010011010 = 666.

Otro ejemplo: el binario de 9:

8 4 2 1 1 0 0 1

En esta tabla tratamos de ubicar dos valores que sumados nos den 9, esos números son el 8 y el 1. Bajo estos dos valores ponemos el 1 y a los demás números que están entre el 8 y el 1 (4 y 2) les ponemos cero, o sea: 1001 = 9 decimal.

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Bibliografia:

http://www.slideshare.net/imarti1/el-ordenador-y-sus-componentes

http://www.cienciapopular.com/n/Ciencia/Los_Numeros/Los_Numeros.php

http://www.monografias.com/trabajos14/sistemanumeracion/sistemanumeracion.shtml

http://techtastico.com/post/el-sistema-binario/

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/orden/mate5g.htm

http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/numeracion.html

http://html.rincondelvago.com/sistemas-numericos_decimal-y-binario.html

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PARA QUE SIRVEN LAS MATEMATICAS.

Es una realidad que un gran número de personas encuentran a las matemáticas difíciles, abstractas y aburridas. Todos hemos escuchado frases como “yo soy de letras”, “las matemáticas no son lo mío”, no entiendo de números”, “con las cuatro reglas me vale”, etc.

Sin embargo, las matemáticas son una parte fundamental de nuestra sociedad y de la vida diaria. Han estado presentes en la historia de la humanidad, y forman parte del núcleo central de su cultura y de sus ideas

Realmente hay quien opina que no es que sean inútiles ni nada por el estilo, opinan que es la forma de entender muchas de las cosas que pasan por el mundo, está claro que la física funciona en términos matemático, sin las matemáticas no se habría logrado nunca el nivel de desarrollo tecnológico que hoy tenemos, que la Astronomía y todas las demás ciencias no se habrían desarrollado de la impresionante manera que hoy y aun mañana lo harán pero que esto no va con todos, y que para pagar en el “super”, o saber cuánto combustible gasta un coche, insisto, hay opiniones que con sumar, restar, multiplicar y dividir basta (esto sin hablar de las calculadoras).

Pero y coincido con quien opina que “la matemática esta en todo”.

Empleamos las matemáticas de manera continua sin darnos cuenta. Cuando medimos el tiempo, el espacio, el peso o el dinero. También cuando nos orientamos en la

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ciudad, calculo de precios o representamos cálculos numéricos en la cabeza (o usando los dedos).

Sirven para infinidad de cosas de las cuales apenas nos damos cuentas. Solo los enunciados de un artículo podemos comentar:

Observar el tiempo ¿Paraguas?.

No hablo español. Traducción por ordenador.

Teléfono, marcar, llamar, hablar.

Protección del uso. Tarjetas de crédito. Mensajes encriptados.

Beneficios (y perdidas). Bolsa.

Obras. Rascacielos.

Estadísticas. Desarrollo y prevalencia del cáncer.

Revivir el pasado. Reconstrucción de vasijas, huesos.

Conservación del medio ambiente.

Música y literatura.

Podemos resumir que sirven:

- El tener una noción de fracciones, divisores, múltiplos, áreas y volúmenes

permite, por ejemplo calcular a ojo cuanto espacio ocupa un terreno,

cuánto tiempo puede faltar para llegar a un sitio, cuan alto puede ser un

edificio.

- Gracias a la casi constante aplicación de la lógica en todo lo que se refiere a

la matemática, podemos aprender las mejores metodologías para encarar

los problemas y buscar soluciones coherentes.

- Evitamos caer en errores típicos causados por el sentido común.

- Para pensar en base a la lógica y los conjuntos.

- Para comprender al mundo físicamente: dos objetos se aceleran a la misma

velocidad al caer sin importar cual pesa más.

- Para buscar la mejor solución entre varias posibilidades. Esto se relaciona

con las probabilidades.

Sin educación matemática no hay mejoramiento en la productividad y sin esta no hay crecimiento económico, ni ascenso en la calidad de vida de los ciudadanos.

El analfabetismo matemático tiene unas simpáticas parientes llamadas ineficiencia e incompetencia. No existe proceso productivo que pueda comprenderse y mejorarse, sin hacer uso de las matemáticas.

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Nacemos con una mínima estructura aritmética basada en los números enteros con sus propiedades intuitivas de asociatividad, elemento cero y elemento opuesto; de este modo, desde muy pequeños nos familiarizamos con el concepto abstracto de grupo. Con ingenio y creatividad llegamos a interpretar las leyes de la naturaleza.

Podríamos hablar de múltiples campos como la termodinámica de procesos irreversibles, la geometría fractal, el caos determinista y la teoría de los sistemas complejos entre otros, que han permitido el desarrollo de investigaciones que personalmente me han atraído más que otras ramas. Me refiero a la geometría fractal en relación con lo humano. Se han encontrado estructuras fractales en las redes nerviosas, conductos pulmonares, en la conducción de impulso eléctricos cardiacos, tracto digestivo del intestino delgado, secreción hormonal, redes de vasos sanguíneos, conductos biliares, tejido conjuntivo, musculatura lisa, arterias y venas coronarias, recuento de células sanguíneas, etc. Podemos destacar el sistema cardiaco como ejemplo de las investigaciones sobre la fractalidad y el caos en el sistema humano.

La matemática es orden en el caos, y ya habitaba este mundo antes de la llegada del ser humano. La constante de gravitación universal G y el numero π, estaban allí, no se construyeron socialmente, fueron descubiertas.

Sin matemáticas no hay ciencia, sin ciencia el mundo es incontrolable.

Esquemáticamente podríamos expresarlo:

Áreas relacionadas:

Además de las matemáticas en si.

Informática, Arquitectura de computadoras, Electrónica y computación.

Física teórica, Astrofísica.

Econometría.

Telecomunicaciones.

Lógica, etc.

Especialidades:

Licenciatura de matemáticas.

Matemáticas puras.

Matemática aplicada.

Estadística.

No especialista

Salidas profesionales:

50 % Enseñanza (secundaria, universidad)

40 % Empresas (Telecos, consultorías, banca, informática)

10 % Investigación (doctorado, universidad, CSIC)

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Otras carreras donde se estudia matemáticas:

En casi todas.

¿Para que sirven?:

Para nada.

Para jugar.

Para hacer música.

Algebra:

o Para diseñar objetos atractivos (Partenón, cajetilla de tabaco, etc ).

o Para hacer comunicaciones seguras (internet, código barras).

Geometría:

o Calcular curvas útiles (el AVE, orbitas de satélites)

o Entender el Universo (exploración del espacio, relatividad).

Análisis matemáticos:

o Para entender procesos deterministas:

Muerte del Sol.

Evolución de las especies.

o Para entender la inestabilidad y el caos.

Predicción del tiempo.

Efectos especiales en el cine.

Métodos numéricos:

o Para hacer modelos matemáticos.

o Para optimizar soluciones (diseño de aviones)

Estadísticas: encuestas, evolución de una epidemia, asesoramiento en toma de

decisiones o en distribución de recursos, evolución de la bolsa, contaminación.

Y EN UN MONTON DE COSAS MÁS.

BIBLIOGRAFIA:

http://wvw.nacion.com/ln_ee/2008/septiembre/29/opinion1718309.html

http://angeleslsatorre.blogspot.com/2009/04/y-para-que-sirven-las-matematicas.html

RESUMEN SOBRE NUMEROS

Después de ver los números y su relación con el mundo, y asumimos que la matemática no es un puro invento del hombre, sino que está implícita en la naturaleza, y luego vemos su perfección, y complejidad, nos damos cuenta de que la misma no podría existir porque si, Esto

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se intensifica al ver como este complejo conjunto de reglas domina la materia en todos sus niveles –desde las partículas subatómicas hasta las constelaciones- y hace posible nada menos que la existencia humana con toda su grandeza.

No podemos descartar posibilidades complejas como ser nuestro Universo parte de un todo de dimensiones superiores, o encontrarnos dentro de una suerte de programa de realidad virtual manipulado por seres de una civilización avanzada.

Si que podemos afirmar que el Universo que conocemos no pudo crearse así mismo por obra de la casualidad.

Podemos afirmar, sin miedo a mezclar la razón con cuestiones de fe, que algún tipo de entidad ajena a lo que conocemos tiene que estar involucrada en la dinámica del universo, en su creación u ordenamiento. Lo cual no es poco decir a la luz de la tendencia materialista dominante entre los círculos científicos y filosóficos de la actualidad.

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NUMEROS Y ALGUNAS CONSTANTES FISICAS

Los números son una invención humana, el hombre es un producto de la naturaleza. Indudablemente debe haber relación entre los números y la naturaleza.

¿pero cómo y porque se inventan los números?, ¿acaso nos sugiere la naturaleza en sus manifestaciones?, ¿es una necesidad entre los hombres para comunicarse de una forma precisa?¿son producto de estas y otras cuestiones?.

Son preguntas sin una precisa respuesta, pero si vamos a tratar de ver la utilidad de ellos y su relación con la naturaleza.

El hombre usa los números en las siguientes utilidades:

1. Ordenar 2. Contar 3. Medir, dimensionar 4. Valorar.

No es difícil notar que estas utilidades están sugeridas por la naturaleza, ya que en ella se observa el orden y la cantidad, también vemos distancias superficies y tiempo. En cuanto a valores también están en ella pues, parece que unas cosas son más valiosas que otras, pero en esta utilidad se necesita conocimiento y criterio. Por tanto es mucho más relativa y subjetiva que las anteriores, producto exclusivo del hombre.

Aunque esta última utilidad es exclusiva del hombre, no significa que en la naturaleza no existan valores y a ellos vamos a dedicar alguna reflexión.

LAS CONSTANTES DE LA FISICA

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Constante de la gravitación

La gravitación, cuya ley formuló Newton, depende de un valor que se representa G=6.62x10-11 y que se calculo bastante después por un ingenioso procedimiento, la balanza de torsión.

F=G MM`/R2

G=6,62.10-11

Como observamos el valor de G es un número pequeño, lo cual hace la fuerza entre masas normales muy pequeña a distancias normales. La fuerza es significativa entre masas grandes y estas deben estar a considerable distancia para no colapsar, como es fácil de entender el

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hombre descubrió esa ley mirando el cielo. No fue producto de ninguna casualidad. Lo que quiero remarcar es que el valor pequeño de la constante impone un gran espacio. Como observamos en la diapositiva del sistema planetario. Podemos notar como los planetas próximos al sol son de menor tamaño, y los exteriores son de gran tamaño. También vemos en la siguiente diapositiva produce un campo gravitatorio , que se puede representar como una deformación del entorno y un cambio en la geometría, pasando de Euclidea a Gaussiana.

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Constante eléctrica, ley de Coulomb.

Una ley totalmente similar es la ley de la interacción eléctrica, con algunos matices. Que la interacción puede ser atractiva o repulsiva, lo que indica dos tipos de elementos activos, positivo y negativo, la interacción gravitatoria solo es atractiva.

La constante eléctrica es enormemente más grande que la gravitatoria.

Por lo cual es una interacción fuerte e impone espacios pequeños, a pesar de la gran intensidad de esta fuerza el hombre la descubrió después de la gravitatoria, lo que se explica porque la materia tiene compensadas las cargas positivas y negativas. Hablamos de carga estática y carga dinámica a esta la llamamos corriente eléctrica y tiene una característica diferente pues crea un campo magnético

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K=9x10-9

La constante Magnética

La constante magnética determina los campos magnéticos, los cuales se producen por la acción de cargas en movimiento. Naturalmente una carga en movimiento es lo que llamamos una corriente la magnitud activa en este caso es qxv Por lo tanto la interacción se ejerce entre corrientes eléctricas, si la velocidad es uniforme el campo es uniforme, si el movimiento es acelerado el campo es variable.

En cualquier caso el valor de la constante es:

K´=10x7

Grande, con lo cual su acción producirá espacios pequeños, en cualquier caso la interacción eléctrica y la magnética son producto de la misma característica de la materia, las cargas están unidas y son indisolubles. Es fácil pensar que una

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produce la otra y a la inversa, no vamos a entrar en esta cuestión a fondo, pero si veremos que la interacción se llama Electromagnética porque las dos características son indisolubles.

Las cargas en movimiento oscilante, que es el más sencillo de los movimientos acelerados, inducen el campo electromagnético, que al viajar en el espacio propaga las ondas electromagnéticas.

En estas circunstancias, el campo eléctrico induce un campo magnético y viceversa, de direcciones ortogonales y en la dirección ortogonal a los dos se propaga la onda.

Estas ondas tienen naturalmente relación, la característica de una onda en un medio es su velocidad de propagación que depende del medio, la onda transmite energía y cantidad de movimiento, la energía que se propaga lleva asociado el campo variable tanto eléctrico como magnético, por tanto también las constantes de que dependen esos campos. No es raro pues que la velocidad de esas ondas en el vacío o en cualquier medio sea otra constante, que depende de las constantes dadas:

c= √ .

Como vemos, estos campos y estas ondas aparecen como producto

del movimiento variado de cargas, la carga es una característica de la

materia que solo se manifiesta por exceso o defecto de una partícula a la

que llamamos electrón.

La carga de este es otra constante física q=1,9.10-19

C.

Cualquier cantidad de carga es un múltiplo de esta unidad fundamental.

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Las ondas electromagnéticas llenan todo el universo y todos los tamaños, forman una especie de plasma mediante el cual nos encontramos todos conectados. El espectro electromagnético nos da información de los mundos exteriores de nuestro mundo, del mundo molecular, del mundo atómico, del mundo nuclear y del mundo subnuclear, nos señala la existencia de por ejemplo estrellas de neutrones, agujeros negros, etc, como la de partículas como leptones, hadrones, quarks, muones, piones y unos cuantos miles más que constituyen los nucleones, este es el terreno de la física fundamental donde hay mucho por descubrir.

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Relacionado con esto nos es preciso hablar de otras dos constantes:

La constante de Plank

Los problemas de la interacción de las ondas con la materia, como el efecto fotoeléctrico, el espectro atómico, la radiación de cuerpo negro, etc pusieron en cuestión lo continuidad de la materia y la teoría ondulatoria, ya que la energía transportada por dichas ondas, aparece en forma discreta.

Como vemos el pequeño valor de la constante de Plank, nos hace parecer que es continua.

Agujero negro

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E=h.µ p=m.c λ=c.T=c/μ

Constante de Plank

• Constante de Plank

• Principio de incertidumbre

También como consecuencia de la observación en el espectro del corrimiento hacia el rojo de la luz procedente de las galaxias mayor cuanto más lejos se encuentran, un fenómeno conocido de las ondas como efecto Doppler, cuando un emisor se aleja las ondas que llegan al observador aumentan de longitud, se deduce que los diversos cuerpos que forman el espacio, se encuentran alejándose unos de otros.

Aquí se introduce una nueva constante algo más dudosa su constancia, que se llama constante de Hubble que fue el que estudio el

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fenómeno en las primerias del siglo XX y una ley que llamamos ley de Hubble muy simple que se expresa diciendo que el alejamiento es proporcional a la distancia entre los distintos objetos, normalmente galaxias.

V=H.d

El aumento de velocidad produce un movimiento acelerado, por tanto a mayor distancia mayor velocidad, aquí se nos presentan tres posibilidades, la aceleración es positiva con lo cual tenemos un universo desbocado, la aceleración es cero, con lo cual la expansión es uniforme o la aceleración es negativa con lo cual la velocidad cambiara de signo y el universo se contraerá. En cualquier caso esto es tan fantástico como cualquier otra interpretación, porque hay muchas cosas que no se conocen en el universo, pero no cabe duda de que queda muy bonito.

En conclusión, los números determinan los valores de las constantes y las constantes determinan lo formo de los distintos campos y espacios.

• Constante de Hubble y expansion del

universo

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El espacio Universal misterioso e insondable

El espacio galáctico algo mejor conocido, pero con muchas incógnitas aun.

El espacio planetario, más sencillo y mejor explicado

El planeta Tierra que casi conocemos pero aun encierra muchas incógnitas.

El espacio sobre el que nos movemos, rocas, plantas, seres vivos y seres de vida dudosa, pero es sobre el que más sabemos.

El espacio molecular del que se conoce casi todo aunque aun la razón por la que se forman unas moléculas y no otras es un secreto.

El espacio atómico sobre todo la corteza del átomo donde se producen los fenómenos electromagnéticos y es quizá el mejor conocido de todos.

El espacio nuclear del que tenemos referencia por las manifestaciones radiactivas.

El espacio de los nucleones, el cual pretende estudiar la física de la alta energía

Y el espacio que se difumina convirtiéndose en vibraciones energéticas donde no llegamos ni parece posible llegar.

Pero no me cabe la menor duda de que todos están unidos por la existencia de las constantes Físicas.

¿Donde encaja el Hombre en esta historieta? Recordemos que todo empieza con los números invención humana ¿acaso legado divino?

Fin (de una alucinación)