artículo - cómo lograr pronósticos de demanda más precisos y exactos

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¿Cómo lograr Pronósticos de Demanda más precisos y exactos?

……parece ser que la respuesta está dada …..Modelos AR.I.MA.

Los Promedios o Medias Móviles, un método seguro para obtener pronósticos Erróneos

Evolución eficaz de Modelos Clásicos (regresión y suavización) a AR.I.MA.

Alberto Mora Gutiérrez, Ph.D. Gestión Logística Industrial UPV España – Universidad EAFIT - [email protected]

1.Resumen: Lo más usual en los países de América del Sur y Centroamérica es utilizar los modelos clásicos (de regresión o suavización) de predicción, para obtener los pronósticos de demanda y en otros casos peores las medias móviles. En general se puede afirmar que en esta región, existe una tendencia preferencial a la utilización exclusiva de Modelos Clásicos para predecir el comportamiento de una demanda o de cualquier variable de la cual se requiera su estado futuro. La no utilización de los Modelos AR.I.MA.s. (Auto Regressive – Integrated – Moving Average), se puede explicar desde varias posibles hipótesis: desconocimiento de la existencia de los mismos, dificultades prácticas en su utilización, la creencia de que son muy profundos o difíciles de usar, la aparente facilidad de los modelos clásicos frente a los AR.I.MA.s, etc.; pero en general es un hecho que su utilización es muy restringida solo a ciertos ámbitos teóricos y/o académicos de algunas Instituciones Universitarias, en contraposición a un muy bajo manejo o ningún uso en las empresas, en el campo financiero o en el comercio. Este artículo es una cordial invitación a su uso y divulgación, dadas las facilidades que existen desarrolladas hoy en día para su utilización, por la seguridad en los resultados que se obtienen con ellos, como al aprovechamiento de una metodología más profunda y analítica para conseguir mejores pronósticos, es decir más exactos y confiables, a la vez que más fáciles en su desarrollo que los Modelos Clásicos.

2.Desarrollo: La situación general muestra las principales características en ambos Modelos, como se describen a continuación y más adelante se muestran los argumentos de porqué se deben usar ambas metodologías para el desarrollo y obtención de pronósticos confiables y más exactos que cuando solo se usan los primeros.

2.1. Características: Los modelos de las series temporales se pueden clasificar en dos grandes grupos: modernos (AR.I.MA.) y clásicos (que son casos particulares y específicos de los primeros). Existen marcadas diferencias entre los Modelos Clásicos y los AR.I.MA.s, entre ellas destacan:


mailto:[email protected]



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Los modelos clásicos tienen un enfoque determinista, en ellos la serie posee una pauta de comportamiento constante, las variaciones que se observan son desviaciones generadas por eventos puntuales que ocurren en su entorno, sin que estas afecten la pauta básica del modelo. Los métodos AR.I.MA: (o desarrollados con la metodología Box-Jenkins) se basan en planteamientos probabilísticos y asumen a las series temporales como manifestaciones de procesos estocásticos con cierta estructura, en la cual esas perturbaciones que el entorno introduce, forman parte de la propia estructura de la serie.

2.1.1. Modelos Clásicos - Casos específicos de los AR.I.MA.s Las metodologías clásicas de series temporales se basan en extrapolar una función, que simula el comportamiento pasado y presente de la serie, hacia el futuro cercano. Sus principales características, son:

Determinísticos: se les puede expresar mediante una función matemática, que se construye con la modelación de los datos históricos y actuales. En los Clásicos primero se desarrolla la ecuación y luego la detección de sus parámetros para obtener los valores futuros.

Pronósticos: básicamente estos se calculan a partir de los datos del pasado y están relacionados con ellos.

Fenómenos exógenos: estos se involucran en la serie, la perturban durante un tiempo y luego se marchan.

Simple vista: se puede predecir su comportamiento futuro con la simple observación humana.

2.1.2. Modelos AR.I.MA – Metodología Box - Jenkins Son de carácter general, esto denota que siempre existe uno de ellos que se adecua a cualquier serie temporal por más especial que esta sea; otro asunto es, si esta modelación de pronto no copia fielmente los valores reales del fenómeno evaluado; pero en todo caso se puede afirmar que siempre existe un modelo AR.I.MA., que es capaz de simular cualquier variable temporal. Desde el punto de vista de los procesos estocásticos, se puede afirmar que una serie temporal es una realización parcial de un proceso estocástico de parámetro de tiempo discreto. Entre sus aspectos más relevantes, aparecen:

Estocásticos: ya que se basan en estos procesos, no se les expresa en forma determinística con ecuaciones, sino con expresiones que involucran operadores. Es importante mencionar que en los AR.I.MA.s primero se realiza el desarrollo para la determinación de sus criterios y parámetros, para luego establecer la ecuación de los valores futuros.

Pronósticos: los modelos modernos pueden lanzar pronósticos que estén en función neta del pasado, pero también pueden predecir hechos totalmente novedosos que muy poca o ninguna relación tengan con los eventos ya descritos del pasado; como también una combinación de los anteriores, pronósticos que por una parte dependan del pasado y por otra parte sean totalmente aleatorios.

Fenómenos exógenos: estos se involucran, alteran la serie y pasan a formar parte de ella. Simple vista: no es factible predecir el comportamiento futuro de la serie con la simple

observación humana, en los modelos modernos.

2.2. Tipos de Modelos: Los Modelos Clásicos son específicos, su utilización solo se debe realizar para los casos especiales que son diseñados, es decir son casos especiales y particulares de los Modelos AR.I.MA.s, ya que estos últimos son generales y universales, a diferencia de los primeros que son particulares y específicos, los segundos son genéricos y universales, amplios en su espectro de uso, aplicables a cualquier situación de demanda o indiferente del comportamiento de la variable a pronosticar, a




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diferencia de varios autores, sobretodo los clásicos de inventarios, todo fenómeno o variable es pronostícale, siempre y cuando se cuente con unos datos históricos ciertos y estructurados.

ModelosModelos AplicaciAplicacióónnSubgrupoSubgrupo

Modernos

Clásicos

Metodología

Box – Jenkins

Modelos AR.I.MA.Auto Regressive Auto Regressive -- IntegratedIntegrated--Moving Average Moving Average

El modelo se caracteriza por un comportamiento

que lo patronea una expresión

Normal Estacional (AR.I.MA.) (AR.I.MA.)

(p,d,q) (P,D,Q)

Modelos de suavizaciónSmoothingSmoothing

Suavización PuraMoving AverageMoving Average

Modelos de Ajuste por Tendencia Trend AnalysisTrend Analysis

o de RegresiónRegresionRegresion

Modelos de descomposiciónSeasonal DecompositionSeasonal Decomposition

Exponential SmoothingExponential Smoothing

Suavización ExponencialExponential SmoothingExponential Smoothing

Brown exponential smoothingBrown exponential smoothing

Tendencia LinealRegresiRegresióón Linearn Linear

Linear TrendLinear Trend

Tendencias no LinealesNonlineal RegresionNonlineal Regresion

Nonlinear TrendNonlinear Trend

Suavización ExponencialExponential SmoothingExponential Smoothing

Holt exponential smoothingHolt exponential smoothing

Holt-Winter Descomposición

Aditivo y MultiplicativoHolt Winter Holt Winter

Exponential smoothingExponential smoothing

Seasonal decompositionSeasonal decomposition

Clásicos

2.3. Ventajas y limitaciones de los Modelos: Los Modelos Clásicos son más difíciles de procesar, su cálculo en ocasiones es al tanteo, por ajuste de ensayo y error, su metodología es dispendiosa y a veces subjetiva en función de un análisis previo sujeto al analista de turno. A diferencia de los AR.I.MA.s donde su metodología de desarrollo es muy exacta y precisa, conduciendo a resultados más precisos. Deben entenderse los Modelos Clásicos de regresión y/o suavización como casos particulares de los AR.I.MA.s, todos los pronósticos de los Clásicos se basan en el pasado, en contraposición de los AR.I.MA.s que también pueden realizar pronósticos a futuro que los condicione el pasado, pero estos últimos tienen una gran ventaja sobre cualquier otro método y es que son capaces de descubrir situaciones futuras que no se basen estrictamente en el pasado o que no estén registradas en los

Los Modelos Clásicos solo sirven para ciertos casos particulares específicos y los AR.I.MA.s para todos los casos.




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anales del pasado de la demanda o fenómeno que se pronostica; o una combinación del pasado y de situaciones de bonanza o debacle que no esté contemplada en la historia de la serie que se trabaja.

Los cálculos y procedimientos de obtención de los Modelos Clásicos, son básicamente numéricos y de gran procesamiento de datos, a la vez que ocasiones son dispendiosos y tediosos; a diferencia de los Modelos AR.I.MA.s cuyo cálculo apoyado en los grandes desarrollos informáticos y de softwares de la actualidad, es meramente visual y de análisis de ilustraciones; lo que facilita inmensamente su uso, aclarando que su procesamiento matemático en el fondo es complejo y complicado, pero que con los avances modernos el pronosticador común no tiene que usar, ni desarrollar, ni calcular; aunque esto hoy en día no es ningún obstáculo para el usuario común ya que sus cálculos son meramente de análisis de gráficas y de dibujos analíticos que ya entregan procesados, los softwares para ello desarrollados ampliamente en la actualidad.- Los Modelos Clásicos no siempre son aplicables, en las ocasiones en que la serie de demanda o

fenómeno a analizar no posee síntomas significativos de tendencia, ruido, aleatoriedad, estacionalidad o ciclicidad, es imposible aplicarles, ya que uso está restringido a estas circunstancias; a diferencia de los AR.I.MA.s que son siempre aplicables a cualquier demanda o serie a analizar. Los métodos de análisis previo en los Modelos Clásicos son siempre de orden subjetivo, lo que puede conducir a errores de selección del Modelo adecuado, en especial los métodos existentes para detección previa de fenómenos estacionales, cíclicos o de repetición en el tiempo (que traen softwares como Statgraphics y otros, o que se

pueden desarrollar con Excel de Microsoft Office) para determinar las condiciones propias y previas de la serie, que permite más adelante en el Modelo Universal de pronósticos, hacer una selección óptima del Modelo que cumpla con la Hipótesis lanzada. En contraposición a los Modelos AR.I.MA.s que son exactos en su desarrollo, en su análisis previo y final, y que se puede afirmar es de las pocas herramientas masivas y utilizables por la comunidad internacional para detectar fenómenos estacionales, cíclicos o de

La gran ventaja de los Modelos AR.I.MA.s es que pueden pronosticar situaciones de bonanza o debacle en el futuro

cercano, que NO esté registrada en el pasado, ni se base en este; hecho que los Clásicos no pueden hacer nunca, pues siempre sus

pronósticos son una fiel extrapolación del pasado.

NivelNivel

Ruido o Ruido o AleatoriedadAleatoriedad

Tendencia lineal Tendencia lineal o noo no

Estacionalidad, ciclicidad o Estacionalidad, ciclicidad o fenfenóónemos repetitivos en el tiemponemos repetitivos en el tiempo

NivelNivel

Ruido o Ruido o AleatoriedadAleatoriedad

Tendencia lineal Tendencia lineal o noo no

Estacionalidad, ciclicidad o Estacionalidad, ciclicidad o fenfenóónemos repetitivos en el tiemponemos repetitivos en el tiempo

Elementos estructurales de cualquier serie de Elementos estructurales de cualquier serie de manda o fenmanda o fenóómeno nummeno numéérico a pronosticarrico a pronosticar

Alberto Mora, [email protected] Mora, [email protected]

Propiedad de la serie

Modelo Clásico posible de usar

Modelos AR.I.MA., posibilidad de uso

Tendencia lineal

Tendencia No Lineal

Siempre

Clásico de Tendencia No Lineal

Estacionalidad

Ruido y Tendencia

Ruido

Clásico de Tendencia Lineal

Clásico Suavización Holt

Clásico Suavización Brown

Clásico Suavización Winter

Ciclicidad Clásico Descomposición Winter

Estacionalidad y/oCiclicidad Descomposición Suavización Winter

Ruido, Estacionalidad y/oCiclicidad Clásico Descomposición Winter

Ruido, Tendencia ,Estacionalidad y/o

Ciclicidad

Clásico Descomposición Suavización Winter

No Ruido, No Tendencia ,

No Estacionalidad y/oNo Ciclicidad

No aplica ninguno de los Modelos Clásicos

Siempre

Siempre

Siempre

Siempre

Siempre

Siempre

Siempre

Siempre

Siempre






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repetición en el tiempo; solo con los AR.I.MA.s se puede encontrar la presencia previa de estas situaciones temporales, que a la observación humana intuitiva es casi imposible detectar.

METODOLOGÍA UNIVERSAL DE PRONÓSTICOS

Paso 1- Análisis previo de la serie de demanda

1.1 Síntesis descriptiva

1.2 Calidad y cantidad de datos

1.3 Cumplimiento de estabilidad del entorno1.4 Análisis previo de la serie completa

1.4.1 Estructura Vertical, determinación de Nivel

1.4.2 Estructura Horizontal, análisis de Ruido o Aleatoriedad1.4.3 Estructura Tendencial, estimación de forma lineal y/o no lineal

1.4.4 Estructura Estacional y/o Cíclica1.5 Valoración de datos irregulares

1.6 Encuentro de fenómenos exógenos

1.7 Determinación del patrón estructural gráfico y numérico

1.8 Resultado del análisis integral previo

Paso 2 – Postulación de los modelos – Construcción de la hipótesis, con relación a los modelos -

Cruce entre análisis y características de modelos clásicos y/o modernos

Paso 3 – Validación de la Hipótesis

3.1 Doble recorte de la serie

3.2 Corrida de todos los modelos con primer recorte

3.3 Selección de los tres mejores modelos acertados con la realidad3.4 Aplicación de los tres mejores clásicos o modernos al segundo recorte

3.5 Selección del mejor modelo

3.6 Cálculo de pronósticos de demanda con el mejor modelo y sus parámetros3.7 Comparación de la realidad y el pronóstico calculado en período anterior

3.8 Estimación del Goodness of Fit o Bondad de Ajuste

3.9 Consenso con ventas, comercialización, inventarios, mercadeo, etc.3.10 Estrategias y acciones de mercadeo, producción, inventarios, etc. en función del

área temática del pronóstico.

Paso 4 – Nuevo cálculo de pronóstico de demanda en próximo período

MMÉÉTODO CIENTTODO CIENTÍÍFICOFICO

Paso 1 Paso 1 –– ObservaciObservacióón y ann y anáálisis de la lisis de la demanda o fendemanda o fenóómenomeno

Paso 2 Paso 2 –– PostulaciPostulacióón n –– Lanzamiento de HipLanzamiento de Hipóótesistesis

Paso 3 Paso 3 –– ValidaciValidacióón real de la Hipn real de la HipóótesistesisConversiConversióón de Hipn de Hipóótesis en tesistesis en tesis

Los Modelos AR.I.MA.s poseen una estructura de realización que se vuelve muy sencilla de aplicar con la ayuda de cualquier software adecuado para ello.

El éxito de los pronósticos radica en utilizar varios softwares en simultáneo; al igual que se puede afirmar que la compra de un software por parte de las empresas no les soluciona la problemática de pronósticos, ni los califica ni habilita para hacer buenos pronósticos. Así como los modelos clásicos tienen su inicio antes de 1950 y de ahí en adelante gozan de un gran desarrollo, específicamente los avances más notables se dan en los modelos Brown en 1950, en los Holt en 1952, en los Winters en 1960 y en los modelos de descomposición se sucede entre 1957 y 1961 (con Shiskin, del Census Bureau de los Estados Unidos de América); con la aparición de computadores más eficaces y mayor cantidad de aplicaciones estadísticas, ocurren varios desarrollos relevantes en todos los métodos existentes hasta ese momento, más sin embargo entre las décadas de 1950 y 1960 se busca la unificación e integración de todos estos avances, lo cual sucede gracias a que es puesta al servicio de la humanidad bajo la metodología de Box y Jenkins una técnica integradora, sus desarrolladores en 1976, involucran

una práctica sistemática para el análisis de cualquier tipo de estructura de series de tiempo de una forma general, de donde se deduce que es un método genérico que sirve para analizar cualquier conjunto temporal de datos, con las estructuras y formas que posea, sea cual fueren.

AnAnáálisis general lisis general de la serie original con AR.I.MA.de la serie original con AR.I.MA.

Lanzamiento de una hipLanzamiento de una hipóótesis tesis que describa el modelo general. que describa el modelo general.

TransformaciTransformacióón y determinacin y determinacióón de d y D.n de d y D.

Describir el modelo tentativo a Describir el modelo tentativo a utilizar en sus parutilizar en sus paráámetros p, q, P y Qmetros p, q, P y Q

Seleccionar y calcular los parSeleccionar y calcular los paráámetros metros p, q, P y Q con d y D ya definidosp, q, P y Q con d y D ya definidos

Realizar pruebas de verificaciRealizar pruebas de verificacióón n propias de Box propias de Box –– Jenkins y exJenkins y exóógenasgenas

TransformaciTransformacióón de la serie (inversin de la serie (inversióón de la n de la funcifuncióón utilizada) y estimacin utilizada) y estimacióón de pronn de pronóósticossticos

AnAnáálisis llisis lóógico de resultadosgico de resultados

No

cum

ple

No

cum

ple

CumpleCumple

Res

ulta

dos

no l

Res

ulta

dos

no l óó

gico

s ni

coh

eren

tes

gico

s ni

coh

eren

tes

Fin del proceso Box Fin del proceso Box –– Jenkins, retorna aJenkins, retorna aproceso MUP de pronproceso MUP de pronóósticos con los clsticos con los cláásicos.sicos.




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Los Modelos AR.I.MA.s se caracterizan por seis dígitos enteros (p,d,q)(P,D,Q)x S, donde p,P,q, y Q van del cero (0) al nueve (9), con d y D de cero (0) a dos (2). Las p y P denotan el componente AR (Auto Regressive) (normal y estacional, respectivamente) del pasado; a la vez que las q y Q de los MA de Medías Móviles (Moving Average) y aleatorios. S es la estacionalidad de la serie a analizar. Las medias móviles o promedios son un medio seguro para obtener pronósticos errados, en ocasiones se utilizan empresarialmente para calcular predicciones, su propia de condición define las medias móviles como una metodología propia del análisis previo, para observar claramente la tendencia y la estacionalidad (o ciclicidad) después de suavizar la serie, los valores de los promedios están en función de la móvil (número de datos que se use para estimarla), de si es centrada, derecha o izquierda y de otros factores, lo que la hace no calificada para estimar pronósticos. En la siguiente tabla se muestra un caso donde cambia la móvil y eso hace que inmediatamente varíe el promedio; lo cual garantiza que siempre que se incorpora un nuevo dato ala serie a analizar, el promedio que se usa como pronóstico es equívoco y errado.

Dato No. Fecha Valor de la serie

Móvil de orden 2

Móvil de orden 3

Móvil de orden 4

Móvil de orden 5

Móvil de orden 6

Móvil de orden 7

Móvil de orden 8

Móvil de orden 9

Móvil de orden 10

Móvil de orden 11

Móvil de orden 12

1 Año 1 - Mes 1 95292 Año 1 - Mes 2 7753 8641.003 Año 1 - Mes 3 2602 5177.50 6628.004 Año 1 - Mes 4 1829 2215.50 4061.33 5428.255 Año 1 - Mes 5 6193 4011.00 3541.33 4594.25 5581.206 Año 1 - Mes 6 8741 7467.00 5587.67 4841.25 5423.60 6107.837 Año 1 - Mes 7 3775 6258.00 6236.33 5134.50 4628.00 5148.83 5774.578 Año 1 - Mes 8 3341 3558.00 5285.67 5512.50 4775.80 4413.50 4890.57 5470.389 Año 1 - Mes 9 2399 2870.00 3171.67 4564.00 4889.80 4379.67 4125.71 4579.13 5129.11

10 Año 1 - Mes 10 4776 3587.50 3505.33 3572.75 4606.40 4870.83 4436.29 4207.00 4601.00 5093.8011 Año 1 - Mes 11 6956 5866.00 4710.33 4368.00 4249.40 4998.00 5168.71 4751.25 4512.44 4836.50 5263.0912 Año 1 - Mes 12 4999 5977.50 5577.00 4782.50 4494.20 4374.33 4998.14 5147.50 4778.78 4561.10 4851.27 5241.08

Media 5241.08 5977.50 5577.00 4782.50 4494.20 4374.33 4998.14 5147.50 4778.78 4561.10 4851.27 5241.08Simple o

12Móvil de orden 2

Móvil de orden 3

Móvil de orden 4

Móvil de orden 5

Móvil de orden 6

Móvil de orden 7

Móvil de orden 8

Móvil de orden 9

Móvil de orden 10

Móvil de orden 11

Móvil de orden 12

Promedios móviles

2.4. Expresiones típicas de los Modelos Clásicos y AR.I.MA.s: En los Modelos Clásicos, se encuentran:

• Modelos de Ajuste por Tendencia Lineal:

• Modelos de Ajuste por Tendencia No Lineal

Los pronósticos obtenidos con medias móviles o promedios son siempre errados y no confiables.

Su expresión se denota como donde la a es el intercepto con el eje y de los valores de la serie pronosticada, b es la pendiente de la misma y εt es la perturbación asociada al instante t, que desaparece en la medida que t

tienda a infinito y se estime bien la serie. .

ttbay ε++= *Su expresión se denota como donde la a es el intercepto con el eje y de los valores de la serie pronosticada, b es la pendiente de la misma y εt es la perturbación asociada al instante t, que desaparece en la medida que t

tienda a infinito y se estime bien la serie. .

ttbay ε++= *

Las hay de muchos tipos, entre ellas resaltan:2t*Ct*BA ++=Cuadrática

)t*BA(elExponencia +=)

tBA(

e+

=SenCurva

2)t*BA( +=Yen cuadrada Raízt*BA

1+

=YenteReciprocan

)tBA(

1

+=teReciprocan Doble

)(*aLogarítmic tLnBA +=

Bt*A=tivaMultiplicatBA +=XenteReciprocan

t*BAXada enRaíz cuadr +=

diversasOtras




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• Modelos de Suavización Exponencial Brown (especiales para series con Ruido)

• Modelos de Suavización Exponencial Holt (especiales para Ruido y Tendencia)

Brown, es un modelo clásico especialmente diseñado para series con alta presencia de estructura horizontal de ruido (o aleatoriedad), sin tendencia ni fenómenos temporales como estacionalidad ni ciclicidad, con ausencia de valores de

estructura vertical de nivel.

Su ecuación se plantea como:

Pronóstico t = Pronóstico t – 1 + αlfa ( Realidad t – 1 - Pronóstico t - 1 )

Donde αlfa es el factor de modelación (o constante de suavizado) de Brown (o modelo clásico de suavización exponencial) y va desde 0.00001 a 0.35, entre más bajo denota la presencia de más estructura horizontal de ruido, se estima mediante la

valoración del MSE - Mean Square Error – Error Cuadrado Medio (que es la suma de las diferencias de los cuadrados, entre lo pronosticado y la realidad de cada valor de t). Existe en varias formas: simple, lineal, cuadrática, doble, etc.

Para calcular el modelo se puede inicializar asumiendo Pronóstico 1 y 2 igual a la Realidad 1Exponential SmoothingExponential Smoothing

Brown exponential smoothingBrown exponential smoothing

Holt o Holt Exponential Smoothing, es un modelo clásico elaborado especialmente para series que tienen estructura horizontal de ruido y estructura tendencial con pendiente diferente a cero ± 0.25 .

Su cálculo se realiza mediante la expresión:

PronPronóósticostico t t = S= S t t + m * b + m * b tt

Donde St es el término referido a la suavización de la estructura horizontal de ruido, bt es el valor referido al tratamiento de la pendiente y m es el número de períodos vista a que se desea pronosticar mediante cálculos escalonados sucesivos.

La estimación de los valores escalonados en cada tiempo t, se realizan con las ecuaciones:

S S tt = Nivel de suavizado = = Nivel de suavizado = ααlfa * Realidad lfa * Realidad tt + ( 1 + ( 1 –– ααlfa ) ( S lfa ) ( S tt –– 11 + b + b t t –– 11 ))

b b t t = Tendencia en el instante = Tendencia en el instante t t = = ßßeta * ( Seta * ( S tt -- S S t t –– 11 ) + ( 1 ) + ( 1 –– ßßeta ) b eta ) b t t –– 11

donde αlfa y ßeta son factores de modelación o constantes de suavizado, correspondientes al componente de suavización St y tendencial bt, respectivamente, ambas trabajan entre 0.00001 y 0.35 y entre más bajas denotan más la presencia de

ruido (o aleatoriedad) y tendencia.

Para calcular el modelo se puede inicializar generando un modelo de tendencia con regresión lineal con los datos históricos de la serie y asumiendo S1 como el término independiente (Intercepto) y b1 como la pendiente (Inclinación) obtenidos.

Exponential SmoothingExponential Smoothing

Holt exponential smoothingHolt exponential smoothing




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• Modelos de Suavización y Descomposición Winter (sirven donde haya fenómenos repetitivos

en el tiempo (estacionalidad y/o ciclicidad) obligatoriamente, la presencia de ruido o tendencia es opcional)

Holt - Winter Exponential Smoothing, es un modelo clásico elaborado especialmente para series que tienen estructuras estacionales y/o cíclicas con fenómenos repetitivos en el tiempo obligatoriamente, y pueden opcionalmente contar con estructura horizontal de ruido y/o estructura tendencial con pendiente diferente a

cero ± 0.25 .

Holt Holt -- Winter Exponential Smoothing AdditiveWinter Exponential Smoothing Additive


Uno Uno -- T T t + Mt + M = S = S tt + M * b + M * b t t con Dos Dos -- PronPronóóstico stico t + Mt + M = E= E t t + T + T t + Mt + M

Donde X t + M es el pronóstico para el período t + M realizado desde t.

El término Tt +M es el pronóstico sin estacionalidad (previsión de la tendencia).

La expresión Et es el Factor Estacional

Las variables: St es el término referido a la suavización de la estructura horizontal de ruido, bt es el valor referido al tratamiento de la pendiente y m es el número de períodos vista a que se desea pronosticar mediante cálculos escalonados sucesivos.

Al sustituir la expresión dos en uno queda:

X X t + Mt + M = Pron= Pronóóstico stico t + Mt + M = ( S= ( S tt + M *b+ M *btt ) + E ) + E tt


SS t t = = ααlfa * ( Z lfa * ( Z tt -- E E t t –– LL ) + ( 1 ) + ( 1 –– ααlfa lfa ) * ( S ) * ( S t t –– 11 -- b b t t –– 11 ))

b b tt = = ßßeta * ( Seta * ( S tt -- S S t t –– 11 ) + ( 1 ) + ( 1 –– ßßeta ) * b eta ) * b t t –– 11

E E tt = Gamma (= Gamma (γγ)* ( Z )* ( Z t t -- S S tt ) + ( 1 ) + ( 1 –– Gamma (Gamma (γγ) ) * E ) ) * E t t -- LL

Fuente Bibliográfica: Yih-Long,1998,273

donde αlfa, ßeta y Gamma (γ) son factores de modelación o constantes de suavizado, correspondientes así: αlfa al componente de suavización St, ßeta al componente tendencial b t yGamma (γ) al factor temporal (cíclico o estacional). En las expresiones enunciadas L es la longitud del ciclo, M es el número de

períodos futuros a pronosticar (Yih-Long,1998,273).

Las constantes αlfa y ßeta trabajan entre 0.00001 y 0.35 y entre más bajas denotan mayor presencia de ruido (o aleatoriedad) y tendencia en forma respectiva; en cambio Gamma (γ) se desempeña entre 0.65 y 0.999999 y entre más alta, denota una mayor existencia del fenómeno temporal repetitivo.

Los valores de Et, St y Bt se inicializan con las siguientes fórmulas y condiciones:

S0 es la media móvil de los primeros L datos reales Z t con t = 1, 2,….., L.

B 0 es igual a cero.

E t = Z t - S 0 , para los primeros L valores con t = 1, 2, 3, …., L.

Los Pronósticos de los X t + M valores se calculan con M = 1, cuando t + M aún son valores reales históricos.

Los verdaderos pronósticos de X t + M cuando t + M es mayor al número de datos históricos se calculan con M =1 el primer pronóstico, M=2 la segunda predicción, M=3 la tercera predicción y así sucesivamente hasta completar los valores solicitados.

Por otro lado al momento de estimar los pronósticos con la ecuación

X X t + Mt + M = Pron= Pronóóstico stico t + Mt + M = ( S = ( S t t + M *b+ M *btt ) + E ) + E tt

siempre los valores de E t se toman como E1 (ya calculado) para el primer pronóstico después de valores históricos reales, E2 para el segundo, E3 para el tercero, ….., y así sucesivamente hasta EL para el pronóstico l, de ahí en adelante se vuelve a tomar E1 para el pronóstico L + 1 , E2 para el pronóstico L + 2

después de históricos reales, E3 para la previsión L + 3, …., y así sucesivamente hasta el pronóstico L + L, luego se vuelve a tomar E1 para la fórmula del cálculo de la previsión 2L + 1 y de ahí en adelante en forma similar volviendo a iniciar cada vez que se completen juegos de L pronósticos posteriores a los

datos históricos.

Holt Holt -- Winter Exponential Smoothing MultiplicativeWinter Exponential Smoothing Multiplicative


Tres Tres -- T T t + Mt + M = S = S t + Mt + M * b * b t t con Cuatro Cuatro -- PronPronóóstico stico t + Mt + M = E t * T = E t * T t + Mt + M

Donde X t +M es el pronóstico para el período t + M realizado desde t.

El término Tt + M es el pronóstico sin estacionalidad (previsión de la tendencia).



Al sustituir la expresión tres en cuatro queda:

X X t + Mt + M = Pron= Pronóóstico stico t + Mt + M = ( S = ( S tt + M *b+ M *btt ) * E ) * E tt


SS tt = = ααlfa * ( Z lfa * ( Z tt / E / E t t –– LL ) + ( 1 ) + ( 1 –– ααlfa ) * ( S lfa ) * ( S t t –– 11 -- b b t t –– 11 ) ) b b t t = = ßßeta * ( S eta * ( S t t -- S S t t –– 11 ) + ( 1 ) + ( 1 –– ßßeta ) * b eta ) * b t t –– 1 1

EE tt = Gamma (= Gamma (γγ)* ( Z )* ( Z t t / S/ S tt ) + ( 1 ) + ( 1 –– Gamma (Gamma (γγ) ) * E ) ) * E t t -- LL

Holt Holt -- Winter Exponential Smoothing MultiplicativeWinter Exponential Smoothing Multiplicative


Tres Tres -- T T t + Mt + M = S = S t + Mt + M * b * b t t con Cuatro Cuatro -- PronPronóóstico stico t + Mt + M = E t * T = E t * T t + Mt + M

Donde X t +M es el pronóstico para el período t + M realizado desde t.

El término Tt + M es el pronóstico sin estacionalidad (previsión de la tendencia).



Al sustituir la expresión tres en cuatro queda:

X X t + Mt + M = Pron= Pronóóstico stico t + Mt + M = ( S = ( S tt + M *b+ M *btt ) * E ) * E tt


SS tt = = ααlfa * ( Z lfa * ( Z tt / E / E t t –– LL ) + ( 1 ) + ( 1 –– ααlfa ) * ( S lfa ) * ( S t t –– 11 -- b b t t –– 11 ) ) b b t t = = ßßeta * ( S eta * ( S t t -- S S t t –– 11 ) + ( 1 ) + ( 1 –– ßßeta ) * b eta ) * b t t –– 1 1

EE tt = Gamma (= Gamma (γγ)* ( Z )* ( Z t t / S/ S tt ) + ( 1 ) + ( 1 –– Gamma (Gamma (γγ) ) * E ) ) * E t t -- LL




Págin

a11

En los Modelos Clásicos se establece la ecuación, se definen y calculan los parámetros y luego se hallan los pronósticos. En los AR.I.MA.s, difiere esto un poco, primero se establecen los parámetros, se desarrollan los cálculos, se pronostica y en paralelo, se concatena con la ecuación de predicciones. Algunas ecuaciones típicas de AR.I.MA. sin constante1, con constante se reemplaza Error t por Valor de la Constante

1 Si se desea usar con constante, simplemente se sustituye el término Errort por Constante k; cuando use Sin Contante siempre Error t vale cero.




Págin

a12

AR. I. MA.

AR I MA AR I MA

0 0 0 0 0 0 Error t = 0

0 0 0 0 0 1 Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1)

0 0 0 0 0 2 Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2)

0 0 0 0 0 3 Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) - Error t - 3 * 12 * Estimación SMA(3)

0 0 0 0 0 4 Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) - Error t - 3 * 12 * Estimación SMA(3) - Error t - 4 * 12 * Estimación SMA(4)

0 0 0 0 1 1 Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) + Realidad t - 1 * 12

0 0 0 0 1 2 Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) + Realidad t - 1 * 12

0 0 0 0 1 3 Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) - Error t - 3 * 12 * Estimación SMA(3) + Realidad t - 1 * 12

0 0 0 1 0 0 Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Error t

0 0 0 1 1 0 Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 2 * 12 + Realidad t - 1 * 12 + Error t

0 0 0 1 1 1 Error t + Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 12 - 1 * 12 - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) + Realidad t - 1 * 12

0 0 0 1 1 2 Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) + Realidad t -1 * 12 + Estimación SAR(1) * Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(1) * Realidad t - 2 * 12

0 0 0 1 1 3 Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) + Realidad t -1 * 12 + Estimación SAR(1) * Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(1) * Realidad t - 2 * 12 - Error t - 3 * 12 * Estimación SMA(3)

0 0 0 2 0 0 Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) + Error t

0 0 0 2 1 0 Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 2 * 12 + Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(2) * Realidad t - 3 * 12 + Error t

0 0 0 2 1 1Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2* 12 * Estimación SAR(2) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 12 - 1 * 12 + Realidad t - 12 - Estimación SAR(2) * Realidad t - 3 * 12 - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) + Error t

0 0 0 2 1 2Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 2 * 12 + Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(2) * Realidad t - 3 * 12 - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) + Error t

0 0 0 2 1 3Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) - Estimación SAR(1) * Realidad t -2 * 12 + Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(2) * Realidad t - 3 * 12 - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) - Error t - 3 * 12 * Estimación SMA(3) + Error t

0 0 0 3 0 0 Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) + Realidad t - 3 * 12 * Estimación SAR(3) + Error t

0 0 0 3 1 0 Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) + Realidad t - 3 * 12 * Estimación SAR(3) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 2 * 12 + Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(2) * Realidad t - 3 * 12 - Estimación SAR(3) * Realidad t - 4 * 12 + Error t

0 0 0 3 1 1Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) + Realidad t - 3 * 12 * Estimación SAR(3) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 12 - 1 * 12 + Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(2) * Realidad t - 3 * 12 - Estimación SAR(3) * Realidad t - 4 * 12 - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) + Error t

0 0 0 3 1 2Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) + Realidad t - 3 * 12 * Estimación SAR(3) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 2 * 12 + Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(2) * Realidad t - 3 * 12 - Estimación SAR(3) * Realidad t - 4 * 12 - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) + Error t

0 0 0 3 1 3Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) + Realidad t - 3 * 12 * Estimación SAR(3) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 2 * 12 + Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(2) * Realidad t - 3 * 12 - Estimación SAR(3) * Realidad t - 4 * 12 - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) - Error t - 2 * 12 * Estimación SMA(2) - Error t - 3 * 12 * Estimación SMA(3) + Error t

0 0 0 4 0 0 Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) + Realidad t - 3 * 12 * Estimación SAR(3) + Realidad t - 4 * 12 * Estimación SAR(4) + Error t

0 0 0 4 1 0Realidad t - 1 * 12 * Estimación SAR(1) + Realidad t - 2 * 12 * Estimación SAR(2) + Realidad t - 3 * 12 * Estimación SAR(3) + Realidad t - 4 * 12 * Estimación SAR(4) - Estimación SAR(1) * Realidad t - 2 * 12 + Realidad t - 1 * 12 - Estimación SAR(2) * Realidad t - 3 * 12 - Estimación SAR(3) * Realidad t - 4 * 12 - Estimación SAR(4) * Realidad t - 5 * 12 + Error t

0 0 1 0 0 0 Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1)

0 0 1 0 1 2 Realidad t - 12 + Error t - Estimación AR(1) * Error t - 1 - Estimación SAR(1) * Error t - 12 + Estimación AR(1) * Estimación SAR(1) * Error t - 1 - 12 - Estimación AR(1) * Estimación SAR(2) * Error t - 1 - 2 * 12 - Estimación SAR(2) * Error t - 2 * 12

0 0 2 0 0 0 Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2)

0 0 3 0 0 0 Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) - Error t - 3 * Estimación MA(3)

0 1 1 0 0 0 Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) + Realidad t - 1

0 1 1 0 1 1 Realidad t - 1 + Realidad t - 12 - Realidad t - 12 -1 + Error t - Estimación MA(1) * Error t - 1 - Estimación SMA(1) * Error t - 12 + Estimación MA(1) * Estimación SMA(1) * Error t - 12 - 1

0 1 2 0 0 0 Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) + Realidad t - 1

0 1 2 0 1 1 Realidad t-1 + Realidad t - 12 - Realidad t - 13 + Error t - Estimación MA(1) * Error t - 1 - Estimación MA(2) * Error t - 2 - Estimación SMA(1) * Error t - 12 + Estimación MA(1) * Estimación SMA(1) * Error t - 13 - Estimación MA(2) * Estimación SMA(1) * Error t - 14

0 1 3 0 0 0 Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) - Error t - 3 * Estimación MA(3) + Realidad t - 1

0 1 4 0 0 0 Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) - Error t - 3 * Estimación MA(3) - Error t - 4 * Estimación MA(4) + Realidad t - 1

0 1 5 0 0 0 Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) - Error t - 3 * Estimación MA(3) - Error t - 4 * Estimación MA(4) - Error t -

5 * Estimación MA(5) + Realidad t - 1

Parte Normal

Parte Estacional

Sin Constante

Ecuación del Pronóstico t =




Págin

a13

0 1 6 0 0 0 Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) - Error t - 3 * Estimación MA(3) - Error t - 4 * Estimación MA(4) - Error t -

5 * Estimación MA(5) - Error t - 6 * Estimación MA(6) + Realidad t - 1

0 1 7 0 0 0Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) - Error t - 3 * Estimación MA(3) - Error t - 4 * Estimación MA(4) - Error t -

5 * Estimación MA(5) - Error t - 6 * Estimación MA(6) - Error t - 7 * Estimación MA(6) + Realidad t - 1

1 0 0 0 0 0 Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Error t

1 1 0 0 0 0 Realidad t - 1 * Estimación AR(1) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 + Error t

1 1 1 0 0 0 Error t + Realidad t - 1 * Estimación AR(1) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 - Error t - 1 * Estimación MA(1) + Realidad t - 1

1 1 1 0 1 1Estimación AR(1) * Realidad t - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(1) * Realidad t - 2 + Realidad t - 12 - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 12 + Realidad t - 1 - 12 + Estimación AR(1) * Realidad t - 12 - 3 + Errot t - Estimación MA(1) * Errot t - 1 - Estimación SMA(1) * Error t - 12 + Estimación MA(1) * Estimación SMA(1) * Error t - 12 - 1

1 1 2 0 0 0Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) + Realidad t -1 + Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - Estimación AR(1) *

Realidad t - 2

1 1 2 0 0 1Error t - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) + Realidad t -1 + Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - Estimación AR(1) * Realidad t - 2 + Error t - Error t - 1 * 12 * Estimación SMA(1) + Estimación MA(1) * Estimación SMA(1) * Error t - 1 - 12 + Estimación MA(2) * Estimación SMA(1) * Error t - 2 - 12

1 1 2 0 1 1Realidad t - 1 + Realidad t - 12 - Realidad t - 13 + Error t + Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - Estimación AR(1) * Realidad t - 2 - Estimación AR(1) * Realidad t - 13 + Estimación AR(1) * Realidad t - 14 - Estimación MA(1) * Error t - 1 - Estimación MA(2) * Error t - 2 - Estimación SMA(1)

* Error t - 12 + Estimación MA(1) * Estimación SMA(1) * Error t - 13 + Estimación MA(2) * Estimación SMA(1) * Error t - 14


Realidad t - 2 - Error t - 3 * Estimación MA(3)


Realidad t - 2 - Error t - 3 * Estimación MA(3) - Error t - 4 * Estimación MA(4)

1 2 0 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + 2 * Realidad t - 1 - 2 * Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 - Realidad t - 2 + Estimación AR(1) * Realidad t - 3 + Error t

2 0 0 0 0 0 Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Error t

2 1 0 0 0 0 Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(2) * Realidad t - 2 - 1 + Error t

2 1 1 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(2) * Realidad t - 2 - 1 - Error t - 1 * Estimación MA(1) + Error t

2 1 2 0 0 0 Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(2) * Realidad t - 2 - 1 - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) + Error t

2 1 3 0 0 0 Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(2) * Realidad t - 2 - 1 - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) - Error t - 3 * Estimación MA(3) + Error t

2 2 0 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Estimación AR(2) * Realidad t - 2 + 2 * Realidad t - 1 - 2 * Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 - 2 * Estimación AR(2) * Realidad t - 3 - Realidad t - 2 + Estimación AR(1) * Realidad t - 3 + Estimación AR(2) * Realidad t - 4 + Error t

3 0 0 0 0 0 Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) + Error t

3 1 0 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(2) * Realidad t - 2 - 1 - Estimación AR(3) * Realidad t - 2 - 2 + Error t

3 1 1 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(2) * Realidad t - 2 - 1 - Estimación AR(3) * Realidad t - 2 - 2 - Error t - 1 * Estimación MA(1) + Error t

3 1 2 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(2) * Realidad t - 2 - 1 - Estimación AR(3) * Realidad t - 2 - 2 - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) + Error t

3 1 3 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(2) * Realidad t - 2 - 1 - Estimación AR(3) * Realidad t - 2 - 2 - Error t - 1 * Estimación MA(1) - Error t - 2 * Estimación MA(2) - Error t - 3 * Estimación MA(3) + Error t

4 0 0 0 0 0 Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) + Realidad t - 4 * Estimación AR(4)

+ Error t

4 1 0 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) + Realidad t - 4 * Estimación AR(4) - Estimación AR(1) * Realidad t - 1 - 1 + Realidad t - 1 - Estimación AR(2) * Realidad t - 2 - 1 - Estimación AR(3) * Realidad t - 2 - 2 - Estimación AR(4) * Realidad t - 2 - 3 + Error t

5 0 0 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) + Realidad t - 4 * Estimación AR(4) + Realidad t - 5 * Estimación AR(5) + Error t

6 0 0 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) + Realidad t - 4 * Estimación AR(4) + Realidad t - 5 * Estimación AR(5) + Realidad t - 6 * Estimación AR(6) + Error t

7 0 0 0 0 0 Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) + Realidad t - 4 * Estimación AR(4) + Realidad t - 5 * Estimación AR(5) + Realidad t - 6 * Estimación AR(6) + Realidad t - 7 * Estimación AR(7) + Error t

8 0 0 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) + Realidad t - 4 * Estimación AR(4) + Realidad t - 5 * Estimación AR(5) + Realidad t - 6 * Estimación AR(6) + Realidad t - 7 * Estimación AR(7) + Realidad t - 8 * Estimación AR(8) + Error t

9 0 0 0 0 0Realidad t - 1 * Estimación AR(1) + Realidad t - 2 * Estimación AR(2) + Realidad t - 3 * Estimación AR(3) + Realidad t - 4 * Estimación AR(4) + Realidad t - 5 * Estimación AR(5) + Realidad t - 6 * Estimación AR(6) + Realidad t - 7 * Estimación AR(7) + Realidad t - 8 * Estimación AR(8) + Realidad t - 9 * Estimación AR(9) + Error t




Págin

a14

Sin Constante

AR I MA AR I MA

0 0 0 0 0 0 ( 1 ) * Z t = ( 1 ) * α t0 0 0 0 0 1 ( 1 ) * Z t = ( 1 - θ12 B12 ) * α t0 0 0 0 0 2 ( 1 ) * Z t = ( 1 - θ12 B12 - θ24 B24) * α t0 0 0 0 0 3 ( 1 ) * Z t = ( 1 - θ12 B12 - θ24 B24 - θ36

B36) * α t

0 0 0 0 0 4 ( 1 ) * Z t = ( 1 - θ12 B12 - θ24 B24 - θ36 B36 - θ48 B48) * α t

0 0 0 0 1 1 ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12 B12 ) * α t0 0 0 0 1 2 ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12 B12 - θ24 B24 ) * α t0 0 0 0 1 3 ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12 B12 - θ24 B24 - θ36

B36 ) * α t0 0 0 1 0 0 ( 1 - Φ12 B12 ) * Z t = 1 * αt

0 0 0 1 1 0 ( 1 - Φ12 B12 ) ( 1 - B12 ) * Z t = 1 * αt

0 0 0 1 1 1 ( 1 - Φ12 B12 ) ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12B12 )* αt

0 0 0 1 1 2 ( 1 - Φ12 B12 ) ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12B12 - θ24B24 )* αt

0 0 0 1 1 3 ( 1 - Φ12 B12 ) ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12B12 - θ24B24 - θ36B36 )* αt

0 0 0 2 0 0 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 ) * Z t = 1 * αt

0 0 0 2 1 0 ( 1 - Φ1 B12 - Φ24 B24 ) ( 1 - B12 ) * Z t = 1 * αt

0 0 0 2 1 1 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 ) ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12B12 )* αt

0 0 0 2 1 2 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 ) ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12B12 - θ24B24 )* αt

0 0 0 2 1 3 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 ) ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12B12 - θ24B24 - θ36B36 )* αt

0 0 0 3 0 0 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 - Φ36 B36 ) * Z t = 1 * αt

0 0 0 3 1 0 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 - Φ36 B36 ) ( 1 - B12 ) * Z t = 1 * αt

0 0 0 3 1 1 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 - Φ36 B36 ) ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12B12 )* αt

0 0 0 3 1 2 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 - Φ36 B36 ) ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12B12 - θ24B24 )* αt

0 0 0 3 1 3 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 - Φ36 B36 ) ( 1 - B12 ) * Z t = ( 1 - θ12B12 - θ24B24 - θ36B36 )* αt

0 0 0 4 0 0 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 - Φ36 B36 - Φ48 B48 ) * Z t = 1 * αt

0 0 0 4 1 0 ( 1 - Φ12 B12 - Φ24 B24 - Φ36 B36 - Φ48 B48 ) ( 1 - B12 ) * Z t = 1 * αt

0 0 1 0 0 0 ( 1 ) * Z t = ( 1 - θ1 B1 ) * α t

0 0 1 0 1 2 ( 1- B12 ) * Zt = ( 1 - θ1B1 ) ( 1 - θ12 B12 - θ24 B24 ) * αt

0 0 2 0 0 0 ( 1 ) * Z t = ( 1 - θ1 B1 - θ2 B2 ) * α t0 0 3 0 0 0 ( 1 ) * Z t = ( 1 - θ1 B1 - θ2 B2 - θ3

B3 ) * α t

0 1 1 0 0 0 ( 1- B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 ) * αt

0 1 1 0 1 1 ( 1- B1 ) ( 1- B12 ) * Zt = ( 1 - θ1B ) ( 1 - θ12 B12 ) * αt

0 1 2 0 0 0 ( 1- B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 ) * αt

0 1 2 0 1 1 ( 1- B1 ) ( 1- B12 ) * Zt = ( 1 - θ1B - θ2B2 ) ( 1 - θ12 B12 ) * αt

0 1 3 0 0 0 ( 1- B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 - θ3B3 ) * αt

0 1 4 0 0 0 ( 1- B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 - θ3B3 - θ4B4 ) * αt

0 1 5 0 0 0 ( 1- B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 - θ3B3 - θ4B4 - θ5B5 ) * αt

Parte Normal

Parte Estacional Expresión Matemática AR.I.MA. con Estimadores θi para los MA y Estimadores Φi para los AR; los

Z t como realidades y los αt como los errores




Págin

a15

0 1 6 0 0 0 ( 1- B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 - θ3B3 - θ4B4 - θ5B5 - θ6B6 ) * αt

0 1 7 0 0 0 ( 1- B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 - θ3B3 - θ4B4 - θ5B5 - θ6B6 - θ7B7) * αt

1 0 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 ) * Z t = 1 * αt

1 1 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 ) ( 1 - B ) * Z t = 1 * αt

1 1 1 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 )* αt

1 1 1 0 1 1 ( 1 - Φ1B1 ) ( 1- B1 ) ( 1- B12 ) * Zt = ( 1 - θ1B ) ( 1 - θ12 B12 ) * αt

1 1 2 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 )* αt

1 1 2 0 0 1 ( 1 - Φ1 B1 ) ( 1- B ) * Zt = ( 1 - θ1B - θ2B2 ) ( 1 - θ12 B12 ) * αt

1 1 2 0 1 1 t ( 1 - Φ1 B1 ) ( 1- B ) ( 1- B12 ) * Zt = ( 1 - θ1B - θ2B2 ) ( 1 - θ12 B12 ) * αt

1 1 3 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 - θ3B3 )* αt

1 1 4 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 - θ3B3 - θ4B4 )* αt

1 2 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 ) ( 1 - B )2 * Z t = αt

2 0 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 ) * Z t = 1 * αt

2 1 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 ) ( 1 - B ) * Z t = 1 * αt

2 1 1 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 )* αt

2 1 2 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B

2 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B

2 )* αt

2 1 3 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 - θ3B3 )* αt

2 2 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 ) ( 1 - B )2 * Z t = αt

3 0 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 ) * Z t = 1 * αt

3 1 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 ) ( 1 - B ) * Z t = 1 * αt

3 1 1 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 )* αt

3 1 2 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 )* αt

3 1 3 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 ) ( 1 - B ) * Z t = ( 1 - θ1B1 - θ2B2 - θ3B3 )* αt

4 0 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B

2 - Φ3 B3 - Φ4 B

4) * Z t = 1 * αt

4 1 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 - Φ4 B4 ) ( 1 - B ) * Z t = 1 * αt

5 0 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 - Φ4 B4 - Φ5

B5 ) * Z t = 1 * αt

6 0 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 - Φ4 B4 - Φ5

B5 - Φ6 B6 ) * Z t = 1 * αt

7 0 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 - Φ4 B4 - Φ5

B5 - Φ6 B6 - Φ7

B7 ) * Z t = 1 * αt

8 0 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 - Φ4 B4 - Φ5

B5 - Φ6 B6 - Φ7

B7 - Φ8 B8 ) * Z t = 1 * αt

9 0 0 0 0 0 ( 1 - Φ1 B1 - Φ2 B2 - Φ3 B3 - Φ4 B4 - Φ5

B5 - Φ6 B6 - Φ7

B7 - Φ8 B8 - Φ9

B9 ) * Z t = 1 * αt

Alberto Mora G. Φ12 = SAR(1) con estacionalidad igual a [email protected] θ12 = SMA(1) con estacionalidad igual a 12 períodos.





Págin

a16

Y así sucesivamente, se unen los criterios y parámetros de las diferentes expresiones, para formar otras más complejas, en la medida en que se requieran, en las tablas sin Constante el valor de Error t es siempre cero (0).

2.5. Conclusiones: Los modelos AR.I.MA.s. son más seguros que los Clásicos dado que entregan Pronósticos más exactos (en comparación a cuando solo se usan Clásicos, lo correcto es usar ambos); siempre que se use ella Metodología Universal de Pronósticos estandarizada, se tiene la obligación de correr todos los Modelos Clásicos y los AR.I.MA.s con varios paquetes informáticos o softwares; los pronósticos hallados solamente con modelos Clásicos, no pueden catalogados exacta ni realmente como pronósticos serios, ni pueden ser validados con el método científico, lo que los pone en tela de juicio sobre su veracidad, utilidad y cumplimiento. Los Modelos AR.I.MA.s son muy sencillos de desarrollar y no necesitan grandes desarrollos matemáticos ni estadísticos, su aplicación es visual y analítica simple, mediante las ilustraciones de softwares tales como Statgraphics y Forecast Pro XE. Los únicos pronósticos válidos que otorgan los mínimos errores posibles (inferiores al 8%) son los que se corren con Modelos Clásicos y AR.I.MA.s a la vez. Los Modelos Clásicos tienen demasiadas restricciones y su sola aplicación (sin los AR.I.MA.s) lo más seguro es que conlleve a errores significativos en los pronósticos de Demanda. En síntesis lo útil, lo práctico y lo seguro para obtener pronósticos confiables es realizar todos los Modelos Clásicos y los AR.I.MA.s, con varios softwares, para obtener buenos pronósticos. Alberto Mora Gutiérrez – [email protected]





artículo - cómo lograr pronósticos de demanda más precisos y exactos

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