aritmetica sem 1 pamer

1 ARITMÉTICA TEMA 1SAN MARCOS REPASO 2014 – I

RAZONES Y PROPORCIONES -MAGNITUDES PROPORCIONALES

SNI3A1

1. MAGNITUDEs todo aquello que puede ser medido; ejemplo: elárea de un terreno, la edad de una persona, etc.

2. MAGNITUDES PROPORCIONALESDos magnitudes serán proporcionales si son depen-dientes entre sí, es decir, si una de ellas varía, la otratambién varía.

3. CLASES DE MAGNITUDES

A) Magnitudes Directamente Proporcionales(DP)También denominadas simplemente proporciona-les. Las magnitudes «A» y «B» son directamenteproporcionales (D.P.), cuando el cociente entre susvalores correspondientes es una constante.Es decir:

AAD.P.B k (constante)B

↔ =

o también

A BK=

Se denota: A a BSi una magnitud se duplica, triplica, cuadruplica,etc. la otra magnitud lo realiza en la misma rela-ción.Ejemplo:Sean las magnitudes «costo» del kg. de arroz y«cantidad» de arroz.

Magnitudes

Costo

Kgs. arroz

Valores correspondientes

2

1

4

2

6

3

10

5

...

...

Del cuadro, observamos que si dividimos el costoentre el número de kgs de arroz se obtiene unacantidad constante.

Gráficamente:

A Costo (S/.)10

6

4

2

1 2 3 4 5 B(kg. de arroz)

Esta gráfica nos indica que a medida que «B» (Nº deKgs de arroz) aumenta; también «A» costo aumen-ta, o si «B» disminuye también «A» disminuye.

B) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIO-NALES (I. P.)Dos magnitudes «A» y «B» son inversamente pro-porcionales cuando el producto entre sus valorescorrespondientes es una constante.Es decir:

A IP B A.B k (constante)↔ =

o también:

kAB

=

Se denota: 1A Bα

Esto significa que al duplicarse «A», «B» se reducea su mitad, si «A» se cuadruplica «B» si reduce a lacuarta parte, etc.

Ejemplo:Un móvil al recorrer un tramo con una velocidad de20 km/h se demoró 8 horas, si duplica su veloci-dad, entonces se demorará: Como duplica su

ARITMÉTICATEMA 1

DESARROLLO DEL TEMA

RAZONES Y PROPORCIONES - MAGNITUDES PROPORCIONALES

2ARITMÉTICATEMA 1 SAN MARCOS REPASO 2014 – I

velocidad se demorará menos tiempo en recorrerel mismo tramo específicamente la mitad del tiem-

po; es decir 82 horas = 4 horas.

Observamos:

Magnitudes

Velocidad

Tiempo

Valores correspondientes

20

8

40

4

80

2

...

...

Del cuadro, observamos que si multiplicamos lavelocidad por el tiempo se obtienen siempre, paraeste cuadro, 160 una cantidad constante.

Gráficamente:

A (velocidad)

80

60

40

20

2 4 6 8B

(tiempo)

4. PROPIEDADES

A) Si A D.P. B A KB.C

⇒ =A D.P. C

B) Si A D.P. B

A I.P. CA.C KB.D

⇒ =

D.P. D

RAZÓNEs la comparación entre dos cantidades, la misma que seestablece a través de dos operaciones matemáticas lo cualdetermina las dos clases de razones.

a) RAZÓN ARITMÉTICAEs la comparación de dos cantidades mediante unadiferencia. Sean a y b los números, con a mayorque b, tenemos:

a b r– =

Donde:a: Antecedenteb: Consecuenter : Valor de la razón

b) RAZÓN GEOMÉTRICAEs la comparación de dos cantidades mediante ladivisión de dichas cantidades. Sean a y b losnúmeros, entonces:

a kb

=

Donde:a: Antecedenteb: Consecuentek : Valor de la razón

RECUERDA:a partir de aquí en adelante al término razón y noespecificar de que clase es, hablaremos de la razóngeométrica.

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTES (SRGE)

Es un conjunto de razones todas iguales entre sí que poseenel mismo valor el cual se convierte en el valor de toda laserie.

a c m........ kb d n

= = = =

Se cumple.

a c ...... m kb d ...... n

+ + + =+ + +

númeroderazonesa c ...... m kb d ....... n× × ×× × ×

=

a) SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVA-LENTES CONTINUAS

a b c kb c d

= = =

Luego:c = dkb = dk2

a = dk3

PROPORCIÓNEs el resultado de tener dos razones de igual valor. Puedenser:

a) PROPORCIÓN ARITMÉTICA

* DISCRETA:Cuando los términos medios son diferentes entresi, al último término se le llama cuarta diferencial.a – b = c – da y d : extremosb y c : mediosd : cuarta diferencial



* CONTINUA:Cuando los términos medios son iguales y a cadauno de ellos se les llama media diferencial o mediaaritmética y al último término se le llama terceradiferencial.a – b = b – ca y c : extremosc : tercera diferencialb : media diferencial ó aritmética

Se observa a cb ; c b a2

< <+=

b) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

* DISCRETA:Es cuando los términos medios son diferentesentre sí, al último término se le llama cuartaproporcional.

a cb d

=

a y d : extremos

b y c : medios

d : cuarta proporcional

* CONTINUA:

Cuando los términos medios son iguales y a cadauno de ellos se les llama media proporcional omedia geométrica y al último término se le llamatercia o tercera proporcional.

a bb c

=

a y c : extremos

c : tercera proporcional

b : media proporcional

se observa: b a.c=

Problema 1Una obra la pueden hacer 28 hombresen cierto tiempo. ¿Cuántos obreros senecesitarán aumentar para hacer 1/4de la obra en un tiempo 2/7 del ante-rior, trabajando la mitad de las horasdiarias?A) 24 B) 23 C) 21D) 22 E) 18

Nivel Intermedio

Resolución:

# Obreros Obra #días.h / d28 4 7.2

28 x 1 2.1+

# OBREROS D.P OBRA# OBREROS I.P #DIAS.h/d

( )

OBREROS TIEMPO KOBRA

28 x 2 128 7 24 1

49 28 xx 21

×

×× ×

=

+=

= +=

Respuesta: C) 21

Problema 2Si dos personas tienen 40 y 30 años.¿Dentro de cuántos años la relaciónde sus edades será de 6 a 5?A) 10 B) 15 C) 20D) 22 E) 30

NIVEL FÁCIL

UNMSM 2006-II

Resolución:Sea X el número de años

40 x 30 x6 5

x 20

+ +=

=

Respuesta: C) 20

Problema 3Antes que empiece una asamblea ha-bía 690 personas y por cada 8 varoneshabía 15 damas. Iniciada la asambleallegaron 30 damas. Hallar la nueva re-lación de los varones con respecto alas damas.A) 24/25 B) 1/2 C) 1/3D) 8/45 E) 7/16

NIVEL INTERMEDIO

UNMSM 2008-II

Resolución:

Sea:

H: cantidad de hombres

M: cantidad de mujeres

H M8 15H M H M8 15 8 15H 240M 450

=

+ = =+==

Si llegan 30 mujeres

M = 450 + 30 = 480

H = 240

Entonces la nueva relación será:

H 240 1M 480 2

= =

Respuesta: B) 1/2

PROBLEMAS RESUELTOS


4ARITMÉTICATEMA 1 SAN MARCOS REPASO 2014 – I

NIVEL I

1. Si a, b y c ∈ Z+;

a 1 b 2 c 3a 1 b 2 c 3

– – –= =+ + + y

c2 – b2 = 125, hallar a.A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

2. La relación geométrica entre dosnúmeros cuya suma es 65, se in-vierte si se añade 17 al menor yse quita 17 al mayor. ¿Cuál es elmenor de dichos números?A) 24 B) 26 C) 32D) 36 E) 18

3. Una rueda A de 90 dientes en-grana con otra rueda B de 18dientes. Fija al eje de B se en-cuentra otra rueda C de 114 dien-tes que engrana con otra ruedaD de 19 dientes. ¿Cuántas vuel-tas habrá dado D cuando A hayadado 245 vueltas?A) 7350 B) 7375 C) 7400D) 7425 E) 7450

4. Un burro sujeto a un árbol pormedio de una cuerda de 3m delongitud, se demora dos días encomer toda la hierba que está asu alcance. ¿Cuánto tiempo sedemorará si la cuerda tuviera 9m?A) 6 B) 12 C) 15D) 21 E) 18

5. Si: 2DE k.

C= ¿en qué fracción

aumenta C si E disminuye a sus3/4 partes y D aumenta en sucuarta parte?A) 13/12 B) 1/12 C) 1/13D) 12/13 E) 3/4

6. En un corral, se observa que porcada 2 gallinas hay 3 patos y porcada 5 gansos hay 2 patos. Si seaumentaran 33 gallinas la canti-dad de éstas sería igual a la canti-dad de gansos, calcular cuántospatos hay en el corral.A) 15 B) 13 C) 12D) 16 E) 18

7. Si: a b cb c d

= = , además: a – c =

12; b – d = 6,

calcular: 2 2

2a b 2abEb 2cb bd

+ –=– +

A) 1 B) 2 C) 4D) 8 E) 16

8. Para pintar una esfera de 40 cmde diámetro se gastó 64 soles.¿Cuánto se gastará para pintar unaesfera de 50 cm de diámetro?A) S/.80 B) S/.160C) S/.100 D) S/.74E) S/.90

9. Si 24 obreros pueden fabricar 100carpetas en t días, 5 días despuésde haber iniciado el trabajo, 6 deellos se enferman y reducen sueficiencia a la mitad, de ese modoel trabajo se entrega con 6 díasde retraso. Halle el valor de t.A) 41 B) 43 C) 45D) 47 E) 42

NIVEL II

10. Las edades de Verónica y Elmerson como 5 es a 7, respectiva-mente. Hace cuatro años la sumade sus edades era 28 años. Sidentro de «a» años sus edadesserán como «a» es a «a+1». ¿Cuálserá la edad de Verónica dentrode «3a» años?A) 15 B) 19 C) 24D) 25 E) 27

11. Jaimito pintó la cara de un cuboen 40 minutos, si ahora está pin-tando otro cubo cuya arista es eltriple del anterior.¿ A qué hora terminará si empezóa las 10:40 a.m.?A) 4:40 p.m. B) 12:40 p.m.C) 2:40 p.m. D) 6:10 p.m.E) 8:20 p.m.

12. Suponiendo que el costo de losterrenos es D.P a su área e I.P ala distancia que lo separa de Lima.Un terreno de forma cuadrada a28 km al sur de Lima está

valorizada en S/.60 000). ¿Quéprecio tendrá un terreno de for-ma cuadrada cuyo perímetro eslos 3/4 del anterior y está ubica-do a 7 km de Lima?A) S/. 270 000B) S/. 135 000C) S/. 45 000D) S/. 90 000E) S/. 180 000

13. En una joyería, se sabe que el pre-cio de cualquier diamante es pro-porcional al cuadrado de su peso;un diamante que cuesta 2500dólares se rompe en dos partes,de las cuales el peso de una deellas es 2/3 de la otra. Si las dospartes son vendidas, entoncespodemos afirmar que:A) Se perdió 1300 dólaresB) Se ganó 1200 dólaresC) Se perdió 1200 dólaresD) Se ganó 3800 dólaresE) No se ganó ni se perdió

14. Trescientos pantalones de doblecostura pueden ser remallados por24 varones o 32 mujeres en 20días trabajando 9h/d, ¿cuántasmujeres deben reforzar a 21 va-rones que van a remallar 200 pan-talones de triple costura en 18días trabajando 8 horas diarias?A) 12 B) 15 C) 13D) 20 E) 18

15. Para las magnitudes M y N se tie-ne que en el intervalo ]0; a] pre-senta proporcionalidad inversa yen [a; u] proporcionalidad direc-ta. Si P = (2; 7), determinar elpunto Q, (Ver figura).

N

7

b

O

P R

Q

M2 a 10 u

PROBLEMAS DE CLASE



A)7 52;

5

B)7 52 5;

5

C)55;5

D) ( )2 5; 7

E)15;7

16. Las llantas delanteras de un trac-tor tienen 180 cm de longitud decircunferencia y las llantas trase-ras 300 cm. Calcule la distanciaque necesita recorrer el tractorpara que la rueda delantera de360 vueltas más que la trasera.A) 1860 m B) 1620 mC) 1500 m D) 1280 mE) 1320 m

17. Al pintar las caras de dos cubosiguales, me sobraron 60 tarros depintura y al pintar otros tres cu-bos iguales de volúmenes 19/8más que los anteriores, me sobra-ron 3 tarros. ¿Cuántos tarros mesobrarán o faltarán al pintar uncubo de cada tipo?

A) Sobrarán 45B) Faltarán 45C) Sobraran 35D) Faltarán 35E) Faltarán 15

18. Diez obreros pueden hacer unaobra en 12 días, trabajando 6h/dluego de iniciado el trabajo sequiere terminar en solo 8 días dis-minuyendo 1/6 de la obra y au-mentando a 8h/d el trabajo.¿Cuántos días trabajaron 8h/d?A) 2 B) 4 C) 3D) 6 E) 5

19. En un barco pesquero se observaque la cantidad de peces atrapa-dos por hora, es D.P al tiempotranscurrido hasta la hora 6 detrabajo, a partir de allí en adelan-te es I.P al tiempo total transcu-rrido hasta la hora 10 de trabajo,de donde a partir de allí regresó asu normalidad. Si hasta la hora 3de trabajo se extrajo 2100 peces.Calcule la cantidad de peces quese extrajo en la hora 15.

A) 3760

B) 3780

C) 3770

D) 3790

E) 3800

20. Edgard y Leticia asisten a una fies-ta donde solo ingresan docentes,a la salida de la fiesta Edgard ledice a Leticia, observé, que elnúmero de colegas varones ymujeres están en la relación de 5a 3 respectivamente y Leticia lecomenta a Edgard que ella obser-vó que la relación entre el núme-ro de colegas varones y mujereses de 13 a 7 respectivamente.Halle la suma de las cifras de lacantidad de docentes que asistie-ron a la fiesta.

A) 9

B) 5

C) 11

D) 8

E) 7

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