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SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 2

RECOPILACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE

OMÑ

SEGUNDO NIVEL

INSTANCIAS:

INTERCOLEGIAL – ZONAL – REGIONAL – PROVINCIAL -

NACIONAL

ARIADNA ARFINI

OSCAR FABIÁN OVANDO


1


2

1. En el campo ABCDE de la figura AB=2.BC y el triángulo CDE es equilátero.

Para alambrar el campo se necesitan 108 m de alambre.

¿Cuánto se necesita para alambrar la parcela triangular solamente?

SOLUCIÓN

AB = 2BC

4CDE equilátero

perimetro total = 108m

¿per (4)?

per. total = AB + BC + CD + DE + EA = 108m

CD = DE = AB

Si AB = x

per. total = x + x + x + x + x = 4x = 108m =⇒ x = o1084 m = 27m

per (4) = 3x = 3 . 27m = 81m

2. Laura compro 2,50 m de tela a $9,60 el metro.

De ese pedazo de tela, de 70 cm de ancho, corto cuadrados de 30 cm de lado para confeccionar pañuelitos.

En ese mismo negocio se vendían trozos cuadrados de 30 cm de lado a $21,60 la docena.

¿Cuánto ahorró Laura al hacer ella misma los cortes?

SOLUCIÓN

16 pañuelos −→ $9,60 (tela)

1 pañuelo −→ 1

16 . $9,60 = $0,60

12 pañuelos −→ $21,60 (tela) (boutique)

1 pañuelo −→ 1

12 . $21,60 = $1,80

Laura ahorró $1,20 por cada pañuelo, o sea $1,20 . 16 = $19,20


3

12 pañuelos −→ $21,60 (tela) (boutique)

16 pañuelos −→ x = 16

12 . $21,60 = $28,80

Ella gastó −→ $9,60

ahorró −→ $28,80 - $9,60 =19,20

3. ¿Cuántos rectángulos con algún vértice en A hay en la figura?

SOLUCIÓN

(3), (8,9), (7,6,5), (8,9,10,11,12), (8,9,17,18,23,24), (7,6,15,16), (8,9,10,11,12,13), (8, 9, 10,11), (8, 9, 17,18),

(8,9,17,18,23,24,25,26), 7,6), (7,6,5,16,15,14), (8,17,23), (1,3), (7,16), (8, 9,10), (8, 17, 23,25), (34), (1, 2, 3,4),

(8,17).

Hay 22 rectángulos.

4. Una heladera se vende a $660.

Si se paga al contado rebajan la décima parte del precio.

Si se compra a crédito el precio total resulta $114 más que el precio de contado.

Comprándola a crédito se pagan $90 al momento de la compra., $210 al momento de la entrega y el resto en 4

cuotas iguales.

¿Cuánto hay que pagar por cada cuota?

SOLUCIÓN

precio de venta −→ $660

precio contado (10% de desc.) −→$660 - $66 = $594

precio crédito

$90 al momento

$210 al momento de entrega 4 cuotas de $x

compra crédito = precio contado + $114 = $594 + $114 = $708

4 cuotas = $708 - $90 - $210 = $408

1 cuota $ 408

4 = $102


4

5. ¿Cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices en los puntos de la figura?

SOLUCIÓN

AFO EFO EOD DOC COB

BOA ABC ABD ABE ABF

ACD ACE ACF ADE ADF

AEF BCD BCE BCF BDE

BDF BEF CDE CDF CEF

DEF

Se pueden formar 26 triángulos.

6. Los triángulos ABC, FDC y GEC son isósceles. AB = 3AC

El perímetro de ABC es 84cm.

D es punto medio de BC

E es punto medio de DC

F es punto medio de AC

G es punto medio de FC

¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?

SOLUCIÓN


5

per (ABC) = 84cm

AB = BC = 3AC

AB + BC + AC = 3AC + 3AC + AC = 7AC = 84cm =⇒ AC = 84

7 cm = 12cm

per (fig. rayada) = FG + GE + ED + DF

per (fig. rayada) = 3cm + 9cm + 9cm + 18cm = 39cm

7. A un triángulo equilátero de 75cm de perímetro se le sacan 3 triangulitos, también equiláteros, de 5cm de

lado, como en la figura.

¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?

SOLUCIÓN

4 equilátero

per (4) = 75cm = 3 . lado =⇒ lado = 75

5 cm = 25cm

per (fig) = 3 . 5cm + 3 (25cm - 2 . 5cm) = 15cm + 3 . 15cm = 60cm

8. La cooperadora compró manuales y libros.

Pagó, en total, $624.

Por los 15 libros, que son todos de igual precio, pagó $240.

Por cada manual pagó el doble de lo que pagó por cada libro.

¿Cuántos manuales compró?

SOLUCIÓN

pt −→ pago total

pl −→ pago libro


6

pm −→ pago manual

m −→ manuales

l −→ libros

pt −→ $624

15 l −→ $240

1l −→ $ 240

15 = $ 16

1m = 2 l =⇒ 1m = 2 . $16 = $32

pt −→ $624

pl −→ $240

pm −→ pt - pl = $624 - $240 = $384

1m −→ $32

xm −→ $384 =⇒ x = $384

$32 =12 m

9. Un tren empieza su recorrido en la estación A y lo termina en la estación F.

Entre la estación A y la estación F están las estaciones B, C, D y E.

Se quiere ir de la estación A a la F parando en una o más de las estaciones intermedias.

¿De cuántas maneras distintas se puede organizar el viaje en tren?

Enumérelas.

SOLUCIÓN

ABF ACF ADF AEF ABCF

ABDF ABEF ACDF ACEF ADEF

ABCDF ABCEF ACDEF ABDEF ABCDEF

Hay 15 maneras distintas.

10. Dani recibe cada mes dinero para sus gastos.

Durante la primera semana, gastó la mitad del dinero que recibió.

Durante la segunda semana, gastó la quinta parte del dinero que recibió.

A Dani le quedan todavía $24.

¿Cuánto dinero recibió Dani este mes para sus gastos?

SOLUCIÓN

gasto total −→ x

semana 1 −→ 1

2 x


7

semana 2 −→ 1

5 x

semana 1 + semana 2 −→ 1

2 x +

1

5 x =

5+2

10 x = −→

7

10 x

quedan −→ $24 −→ x - 7

10 x =

3

10 x ⇒ x =

10

3 . $24 = $80

Recibió $80

11. Un terreno se descompone en una parcela rectangular y dos parcelas triangulares iguales.

Se sabe que AE = DE = 100m, para cercar sólo una de las parcelas triangulares se necesitan 341,50m de alambre

y si se quisiera cercar sólo la parcela rectangular se necesitar a el doble de alambre.

¿Cuántos metros de alambre se necesitarán para cercar todo el terreno?

SOLUCIÓN

AE + DE + AD = 341, 50m

DE + EF + CF + CD = 2 . 341,50m = 683m

¿per (ADCB) = AD + CD + CB + BF + EF + AE = ?

CB = AD = 341,50m - 2 . 100m = 141,50m

BF = AE = 100m

EF = CD = 683m - 2 . 100m = 241,50m

per (total) = 141,50m + 241,50m + 141,50m + 100m + 241,50m + 100m

per (total) = 966m

12. En una caja hay ocho fichas.

Las fichas llevan los números 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 20 - 30.

Se sacan tres chas de la caja y, de los números que se pueden formar al ordenarlas, se escribe el mayor.

Ejemplo: Si se sacan 30 - 9 - 5, se escribe 9530 (9 - 5 - 30)

¿Cuáles son los números mayores que 6510 que se pueden escribir?

SOLUCIÓN

6520 61030 7920 72010 8920 82010 9620 9206 10530 10830 20630

6530 62030 7930 72030 8930 82030 9630 9207 10205 10920 20710

6710 7510 7105 8510 8105 8305 9710 9208 10206 10930 20730

6720 7520 7106 8520 8106 8306 9720 92010 10207 10305 20810


8

6730 7530 7108 8530 8107 8307 9730 92030 10208 10306 20830

6810 7610 7109 8610 8109 8309 9105 9305 10209 10307 20910

6820 7620 71020 8620 81020 83010 9106 9306 102030 10308 20930

6830 7630 71030 8630 81030 83020 9107 9307 10620 10309 201030

6910 7810 7205 8710 8205 9510 9108 9308 10530 103020 30310

6920 7820 7206 8720 8206 9520 91020 93010 10720 20510 30520

6930 7830 7208 8730 8207 9530 91030 93020 10730 20530 30610

61020 7910 7209 8910 8209 9610 9205 10520 10820 20610 30620

30105 30109 30107 30910 30209 30205 30810 30207 30710 30208 30720

30106 301020 30108 30920 302010 30206 30820

13. Si escribes todos los múltiplos de 5 entre 91 y 609, ¿cuántas veces escribes el 5?

SOLUCIÓN

95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 245 255

265 275 285 295 305 315 325 335 345 355 365 375 385 395 405 415 425

435 445 455 465 475 485 495 505 515 525 535 545 555 565 575 585 595

605 250 350 450 550 500 510 520 530 540 560 570 580 590 150 − −

como unidad −→ 1

10 ( 605 – 95) + 1 = 52 veces

como decena −→ 2 . 5 = 10 veces

como centena −→ 2 . 10 = 20 veces

total 52 veces + 10 veces + 20 veces = 82 veces

14. El avión salió de Mendoza.

Entre los pasajeros había 30 mujeres y algunos varones.

Cuando hizo escala en Córdoba subieron 26 varones y 26 mujeres y no bajó nadie.

Al despegar nuevamente el número de mujeres era los 2/5 del número total de pasajeros.

¿Cuántos varones había entre los pasajeros del avión antes de la escala en Córdoba?

SOLUCIÓN

había −→ 30m

subieron −→ 30m ∧ 26v en ese momento −→ m = 2

5 p tp = 30m + 26m + 26v + xv = 56m + 26v + xv

56m = 2

5 p ⇒ p =

5

2 . 56 = 140

x = 140p - 56m = 58v

15. Con cuatro piezas triangulares iguales se armó la figura F.

Cada pieza triangular ABC tienen 24cm de perímetro, AC = 8cm 3 AC = 4 AB

¿Cuál es el perímetro de la figura F?


9

SOLUCIÓN

AC = 8cm

3AC = 3 . 8cm = 24cm

3AC = 4AB =⇒ 4AB = 24cm =⇒ AB = 6cm

AB = 6cm AC = 8cm

Por teorema de Pitágoras:

BC = √(𝐴𝐵)2 + (𝐴𝐶)2 = √36𝑐𝑚2 + 64𝑐𝑚2 = 10 cm

per (fig) = 4 . (10cm + 2cm) = 40cm + 8cm = 48cm

16. La cooperadora de la escuela organiza una fiesta para el 25 de mayo.

El dueño del salón cobra $ 1560 de alquiler y, además, por cada persona, $ 5 por la comida.

Si cada persona que va a la esta paga $ 13, ¿cuántas personas tienen que ir para cubrir todos los gastos?

SOLUCIÓN

$1560 −→ alquiller

$5 −→comida por cada persona

$13 −→ entrada

$13 = $5 para comida + $8 para alquiler

cant. de personas −→ $1560

$8 = 195 personas

17. El rectángulo ABCH tiene 96 m de perímetro.

El perímetro del cuadrado DEFG es 3/4 del perímetro de ABCH.

AB = 2 AH y HG = 3 DC.


10

¿Cuál es la longitud de HG?

SOLUCIÓN

per (ABCH) = 9cm

per (DEFG) = 3

4 per (ABCH) =

3

4 96cm = 72m

AB =2AH

HG = 3CD

¿HG?

GD = 1

4 . 72m = 18m

2 . (AB + AH) = 96m

2 . (2AH +AH) = 96m ⇒ AH = 96

6 m = 16m

AB = 2AH =⇒ AB = 2 . 16m = 32m

HG + GD + DC = AB =⇒ HG + DC = AB - GD

3DC +DC = 32m- 18m

4DC = 14m =⇒ DC = 14

4 m =

7

2 m

HG = 3CD = 3 7

2. m =

21

2 m

18. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?


11

SOLUCIÓN

(1) (2) (3) (4)

(14) (15) (16) (1,5)

(3,7) (4,8) (1,2) (2,3)

(2,3,4) (1,2,3) (1,5,9) (2,6,10)

(4,8,12) (13,14) (14,15) (15,16)

(14,15,16) (13,14,15,16) (1,5,9,2,6,10) (2,6,10,3,6,11)

(1,5,2,6) (2,3,6,7) (3,4,7,8) (1,2,3,4)

(3,7,11,15) (1,2,3,4,5,6,7,8) (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) (1,2,5,6,9,10,13,14)

(2,3,4,6,7,8) (1,2,3,5,6,7) (2,3,4,6,7,8,10,11,12) (1,2,3,5,6,7,9,10,11)

(13) (3,4) (13,14,15) (2,6,10,14)

(2,6) (3,7,11) (3,7,11,4,8,12) (3,4,7,8,11,12,15,16)

19. En el cine de la esquina, que tiene 160 localidades, hay una función por día.

De lunes a miércoles la entrada cuesta $ 4 y de jueves a domingo, $7.

La semana pasada se vendieron: el lunes, la cuarta parte del total de entradas; el martes, la mitad del total de

entradas; el miércoles, el jueves, el viernes y el sábado, todas las entradas.

La recaudación de la semana fue de $ 5460.

¿Cuántas entradas se vendieron el domingo?

SOLUCIÓN

TOTAL −→ 160 localidades

LU, MA, MI −→ $4

JU, VI, SA, DO −→ $7

LU −→ 1

4TOTAL =

1

4 . 160 localidades = 40 localidades

MA −→ 1

2TOTAL =

1

2 . 160 localidades = 80 localidades


12

MI, JU, VI, SA −→ 4 . 160 localidades = 640 localidades

Recaudación total −→ $5460

40 loc . $4 + 80 loc . $4 + 160 loc . $4 + (160 loc + 160 loc + 160 loc) . $7 + x . $7 = $5460

$1120 + (480 loc . $7) + x . $7 = $5460

$1120 + $3360 + x . $7 = $5460 =⇒ 7x = $5460 - $3360 - $1120

$7x = $980 =⇒ x = 980

7 = 140 entradas

20. Miguel tiene varias piezas rectangulares de madera, todas iguales entre sí.

Con 4 de esas piezas forma esta figura, de 68 cm de perímetro.

Con 3 de esas piezas forma esta otra figura, de 52 cm de perímetro.

¿Cuánto mide cada uno de los lados de una pieza rectangular?

SOLUCIÓN

Llamamos a al lado largo y b al lado corto.

per (fi g. 1) = 68cm

per (fig. 2) = 52cm

6a + 4b = 68cm

4a + 4b = 52cm

¿a? , ¿b?

4b = 68cm - 6a =⇒b = 1

4 (68cm - 6a)

4a + (68cm - 6a) = 52cm =⇒ 68cm - 52cm = 6a - 4a

16cm = 2a =⇒ a = 16

2 cm = 8cm

Reemplazando en:

4b = 68cm - 6a =⇒b = 1

4 (68cm - 6a) queda:

b = 1

4 (68cm - 6 . 8cm) =

1

4 . 20cm = 5cm

(a, b) = (8cm, 5cm)

21. Las hermanos López son 5: Ani, Ceci, Dani, Diego, y José.

Dani y Diego son mellizos entre sí.


13

Los 5 hermanos quieren sacarse una foto, todos sentados en la, pero los mellizos Dani y Diego quieren estar

uno al lado del otro.

¿De cuántas maneras pueden sentarse para sacarse la foto?

SOLUCIÓN

A C DA DI J A DA DI C J

A J DA DI C A DA DI J C

C A DA DI J C DA DI A J

J A DA DI C J DA DI A C

C J DA DI A C DA DI J A

J C DA DI A J DA DI C A

DA DI A C J A C J DA DI

DA DI A J C A J C DA DI

DA DI C A J C A J DA DI

DA DI J A C J A C DA DI

DA DI C J A C J A DA DI

DA DI J C A J C A DA DI

A C DI DA J A DI DA C J

A J DI DA C A DI DA J C

C A DI DA J C D DA A J

J A DI DA C J DI D A C

C J DI DA A C DI DA J A

J C DI DA A J DI DA C A

DI DA A C J A C J DI DA

DI DA A J C A J C DI DA

DI DA C A J C A J DI DA

DI DA J A C J A C DI DA

DI DA C J A C J A DI DA

DI DA J C A J C A DI DA

22. Andrés compró un sillón que le entregaron dos semanas después.

El día que lo compró, Andrés pagó $ 130 que era la tercera parte del precio.

A la semana siguiente, Andrés pagó la cuarta parte de lo que le faltaba.

El día que se lo entregaron, pagó lo que le faltaba más $12 por gastos de envío.

¿Cuánto pagó Andrés el día de la entrega?

SOLUCIÓN

Si 1

3 −→ $ 130 ⇒ 1 = 3 . $ 130 = $390

pago 1 −→ $130


14

pago 2 −→ 1

4 (

2

3 . $ 390 ) = $65

entrega −→ pagó el resto + $12 de envío

entrega −→ $390 - $130 - $65 + $12 = $207

23. Este tablero tiene 2 filas y 4 columnas.

Se quieren poner 6 fichas iguales, una en cada casilla, de modo que ninguna columna quede vacía.

¿De cuántas maneras puede hacerse?

SOLUCIÓN

Lista de las casillas vacías:

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8)

(2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (3,4)

(3,5) (3,6) (3,7) (3,8) (4,5) (4,6) (4,7)

(4,8) (5,6) (5,7) (5,8) (6,7) (6,8) (7,8)

Hay 28 combinaciones.

24. ADFG es un cuadrado.

ABIH y CDEJ son rectángulos.

AB = BC = CD = EF = GH

El rectángulo HEFG tiene 56 cm de perímetro.

¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada?

SOLUCIÓN

ADFG −→ cuadrado

ABIH ∧ CDEJ −→ rectángulo


15

AB = BC = CD + EF = GH

per(EFGH) = 56cm

¿per (BCJEFGHI)?

a = FG

1

3 a = EF

2 . 1

3 a = 56cm ⇒

8

3 a = 56cm =⇒ a = 21cm

per (BCJEFGHI) = 4 . a = 4 . 21cm = 84cm

25. Juan tiene una lata vacia.

Si la llena completamente con arena, todo pesa 870 gramos.

Si sólo llena con arena las tres cuartas partes, todo pesa 735 gramos.

¿Cuánto pesa la lata vacía?

SOLUCIÓN

arena + lata −→ 870g =⇒ l = 870g – a

3

4 arena + lata = 735g =⇒ l = 735g -

3

4 arena

¿lata?

870g - a = 735g - 3

4 arena

870g - 735g = (1 - 3

4 ) arena

135g = 1

4 a ⇒ a = 4 . 135g = 540g

l = 870g - 540g = 330g

26. El polígono ABCDE, de 65 cm de perímetro, tiene todos sus lados iguales.

Sobre la diagonal AC se marca el punto M de modo que MC = BC y AM = MB.

El triángulo BCM tiene 34 cm de perímetro.

¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?

SOLUCIÓN


16

per (ABCDE) = 65cm

AB = BC = CD = DE = AE = 65

5 cm = 13cm MC = MB = AM

per (BCM) = 34cm

BM = 34cm - 13cm - 13cm= 8cm

AM = MB = 8cm

per (ABC) = 8cm + 13cm + 13cm + 13cm = 47cm

27. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

SOLUCIÓN

(1) (2) (3) (4) (5)

(8) (9) (10) (11) (12)

(15) 816) (17) (18) (3,4)

(7,8,11) (7,8,12) (1,3,4) (2,5,6) (12,15,16)

(9,10) (14, 17,18) (9, 10,14) (9, 10,13) (13, 17,18)

(12,13,15,16,17) (7,8,9,10,12,13) (5,9,12,13,15,16,17) (4,8,12,13,16,17,18) (3,7)

(4,8) (7) (14) (11, 15,16) (5,6)

(1,2,3,4,5,6) (6,10) (5,9) (6) (2,5,6,9,10,13)

(13) (7,8) (1, 3, 4, 7, 8,12)

En total hay 43 casos.

28. A Gabi le gusta usar prendas de color negro.

De este color tiene: un saco, un chaleco, un pantalón y una remera.

Cada día se quiere poner una o más de estas prendas.

¿Durante cuántos días puede usarlas de manera diferente?

SOLUCIÓN

S, CH, P, R


17

1 o más prendas

Los primeros 4 días usa una prenda sola.

DIA5 −→ (P,S) DIA10 −→ (R,CH)

DIA6 −→ (P,CH) DIA11 −→ (S,P,CH)

DIA7 −→ (P,R) DIA12 −→ (S,P,R)

DIA8 −→ (S,CH) DIA13 −→ (S,R,CH)

DIA9 −→ (S,R) DIA14 −→ (P,R,CH)

El día 15 usa las cuatro prendas (S, P, R, CH)

29. Raquel tiene que tomar un remedio que viene en cajas de dos clases: de 16 comprimidos, que cuestan $33

cada una y de 20 comprimidos, que cuestan $40 cada una.

Debe tomar 2 comprimidos por día durante 6 semanas.

Quiere comprar todas cajas de la misma clase.

¿Cuáles y cuántas cajas debe comprar para gastar lo menos posible?

SOLUCIÓN

16 c −→ $33 20 c −→ $40

2c −→ 6 semanas

6 . 7 días = 42 días −→ 84c

84

16 > 5 ⇒ necesita 6 cajas

debe pagar −→ 5 . $40 = $200

30. Susana pensó tres números, los sumó y obtuvo 100.

Uno de los números es múltiplo de 11 y los otros dos son múltiplos de 8.

¿Cuáles pueden ser los tres números que pensó Susana?

Da todas las respuestas posibles.

SOLUCIÓN

A + B + C = 100

A es múltiplo de 11

B y C son múltiplos de 8

𝐴112233445588

𝐵 + 𝐶𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

78𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

56𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

12

A debe ser 44 y B + C debe ser 56

𝐵8

1624324048

𝐶48403224168

Los números son:


18

𝐴444444444444

𝐵8

1624324048

𝐶48403224168

31. En el cine, en la función del domingo, las entradas cuestan $ 7 para menores y $12 para mayores.

Cada mayor compró, además de su entrada, entradas para 2 menores.

Este domingo por la venta de entradas se obtuvieron $1638.

¿Cuántas entradas se vendieron en total?

SOLUCIÓN me −→ $7 ma −→ $12

Recaudación −→ $1638

x entradas −→ 1 ma + 2 me

adulto −→ma + 2 me −→ $12 + 2 . $7 = $26

1 a −→$26

xa −→ $1638 =⇒x = 1638

26 = 63 a

Hubo 63 adultos y 126 menores.

32. Un rectángulo ABCD tiene igual perímetro que un cuadrado de 29 cm de lado.

El lado AB mide 12 cm más que el lado BC.

Cuánto mide cada lado del rectángulo ABCD?

SOLUCIÓN

ABCD rectángulo

per (ABCD) = 4 . 29cm = 116cm

AB = BC + 12cm ¿AB? ¿BC?

2 . (AB + BC) = 4 . 29cm =⇒ (AB + BC) = 2 . 29cm = 58cm

2BC = = 58cm - 12cm = 46cm =⇒ BC = 23cm

AB = BC + 12cm = 23cm + 12cm = 35cm

(AB , BC) = (35cm , 23cm)

33. En el pentágono ABCDE se trazaron todas las diagonales desde el vértice A y todas las diagonales desde el

vértice B.

Identifica todos los triángulos que quedaron dibujados.

¿Cuántos son?


19

SOLUCIÓN

Tengamos en cuenta que:

AC ∩ BD = H AC ∩ BE = G

AD ∩ BE = F

ABC ACD ADE ABE

BDE BCD ABG AFG

AEF DEF BGH BCH

CDH BCG ABH ABF

AEG ADH BDF

34. Estela compró tres remeras, un pantalón y una campera.

Por la campera pagó $ 138.

El pantalón costaba la tercera parte de lo que costaba la campera.

Cada remera costaba la mitad de lo que costaba el pantalón.

Si pagó con tres billetes de $100, ¿cuánto le dieron de vuelto?

SOLUCIÓN

compró −→ 3r + 1 p + 1c

pagó −→ $300 vuelto −→ ?

c = $138

p = 𝑐

3 = $

138

3 = $46

r −→ 𝑝

2 = $

46

2 = $ 23

3r + 1 p + 1c = 3 . $23 + $46 + $138 = $253

vuelto = $300 - 253 = $47

35. Susana confeccionó mantelitos rectangulares y servilletas cuadradas.

Ambas piezas tienen igual perímetro y los mantelitos tienen el doble de largo que de ancho.

Para bordear 6 mantelitos y 6 servilletas usa 1296 cm de cinta.

¿Cuáles son las medidas de los mantelitos?, ¿y de las servilletas?


20

SOLUCIÓN

per (m) = per (s)

2a = l

6m + 6s = 1296cm

6 (2 (a + l)) + 6 . 4s = 1296cm

(2 (a + l)) = 4 s

6 . 4 s + 6 . 4 s = 48 s = 1296cm =⇒ s = 1296

48 cm = 27cm

a + l = 2s

2a = l

a + 2a = 2 . 27cm

3a = 54cm =⇒ a = 18cm ∧ l = 36cm

36. Cuántos triángulos ves en la figura?

Explica cómo los contaste.

SOLUCIÓN

ABC, AOJ,JOI, IOH,HOC,CGO,FOG, BOF, BOE,DOE, ADO, AOI, AOH, ACO, AGC, AEO, ABO, ABG, AEH, ADC, ABI,

BOD, BOG, BOC, BIC, CDF, CIO, OCJ, FJC

En total son 29 triángulos

37. Para llenar el Álbum se necesitan 320 figuritas.

Ayer Camila tenía completa la cuarta parte.

Hoy le regalaron 24 paquetes de 6 figuritas cada uno.

Después de abrir todos los paquetes, encontró sólo 37 figuritas repetidas.

¿Cuántas figuritas le faltan todavía para completar el álbum?

SOLUCIÓN

ta −→ 320 fig


21

tenía −→ 320

4 fig = 80 fig

24 p . 6 fig = 144 fig

repetidas −→ 37 fig

tenía −→ 80 fig

compró −→ 144 fig repetidas −→ 37 fig

tiene ahora −→ tenía + compró - repetidas

tiene ahora −→30 fig + 144 fig - 37 fig = 187 fig

ta −→ 320 fig

tiene −→ 187 fig

faltan −→ ta - tiene = 320 fig - 187 fig = 133 fig

38. En la figura, ABCE es un rectángulo de 80 cm de perímetro.

CE = 4 BC, CD = DE.

El triángulo CDE tiene 86 cm de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la figura ABCDE?

SOLUCIÓN

per (ABCE) = 80cm

CE = 4BC

CD = DE

per (CDE) = 86cm

2 (CE + CB ) = 2 (4BC + BC ) = 10BC = 80cm =⇒ BC = 8

10 cm = 8cm

CE = 4BC = 4 . 8cm = 32cm

per (CDE) = CD + DE + CE = 2CD + 32cm =⇒ CD = 1

2 (86cm - 32cm) =

1

2 . 54cm = 27cm per (ABCDE) = AB + BC + CD

+ DE + EA = 32cm + 8cm + 27cm + 27cm + 8cm

per (ABCDE) = 102cm

39. En el bar de la escuela, ofrecen bebidas y golosinas.

Las bebidas son: té, café, mate cocido y chocolate, que se pueden tomar con azúcar o sin azúcar.


22

Las golosinas son: alfajores, bombones y chupetines.

Vale quiere elegir una bebida y una golosina.

¿De cuántas maneras puede hacerlo?

Indica cuáles son.

SOLUCIÓN

40. La asociación de vecinos vende bonos contribución.

Hay bonos de $20 y de $ 8.

La cantidad de bonos de $ 8 que se vendió es el triple de la cantidad de bonos de $ 20 que se vendió.

En total se recaudaron $ 1100.

¿Cuántos bonos de cada clase se vendieron?

SOLUCIÓN

$20 x + $8 y = $1100

y = 3x

$20 x + $8 . 3x = $1100

$20x + $24x = $1100

$44x= $1100 =⇒ x = 1100

44 = 25 bonos

y = 3x = 3 . 25 bonos = 75 bonos

(x, y) = (25 b, 75 b)

41. La figura se armó con piezas cuadradas y rectangulares colocadas en forma alternada, comenzando por una

pieza rectangular de lados de 2 cm y 1 cm.

Cada pieza se puede armar con 2 piezas iguales a las que tiene a su izquierda.

¿Cuál es el perímetro de la figura?


23

SOLUCIÓN

2. (1cm + 2cm) + 2 . 2cm + 2 . (1cm + 2cm) + 2 . 2 . 2cm + 4 . (1cm + 2cm)+ (2 . 2cm) + (2 . 2. 2cm) =

3. 2cm + 4cm + 2 . 3cm + 8cm + 4 . 3cm + 4cm + 8cm + 24cm =

6cm + 4cm + 6cm + 8cm + 12cm + 4cm + 8cm + 24cm = 72cm

42. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?


SOLUCIÓN

(1) (2) (3) (4)

(1,5) (9,5) (2,6) (3,7)

(3,7,11) (4,8,12) (6,10) (7,11)

(2,3,4) (1,2,3,4) (1,2,5,6) (3,4,7,8)

(6,7,8,10,11,12) (2,3,4,6,7,8,10,11,12) (5,6,7,9,10,11) (5,6,7,8,9,10,11,12)

(6) (7) (9) (12)

(4,8) (8,12) (1,5,9) (2,6,10)

(1,2) (2,3) (3,4) (1,2,3)

((1,5,9,2,6,10) (3,4,7,8,11,12) (2,3,6,7,10,11) (1,2,3,5,6,7,9,10,11)

(5,6,9,10) (7,8,11,12) (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

43. Del dinero disponible para la competencia, la tercera parte se usó para gastos de organización; el resto se

repartió entre los 3 primeros premios.

El primero recibió $ 800; el segundo recibió la mitad de lo que había recibido el primero y el tercero, la mitad

de lo que había recibido el segundo.

¿Cuánto dinero había disponible para la competencia?

SOLUCIÓN

dinero disponible −→ x gastos −→ 𝑥

3

premios −→ 2𝑥

3

premio 1 −→ $800


24

premio 2 −→ $ 1

2 800 = $400

premio 3 −→ $ 1

2 400 = $200 total premios −→ $1400

2𝑥

3 = $1400 ⇒ x =

3

2 . $1400 = $ 2100

dinero disponible −→ $2100

gastos −→ 𝑥

3 =

1

3 . $ 2100 = $ 700

Olimp´ıada Maten ática Ñandú´˜

44. En un campamento participan, en total, 240 chicos de Argentina, Brasil, Chile y Perú.

El número de chicos del Perú es el 50% del número de chicos de Chile y 1

3 del de Argentina.

El número de chicos de Argentina es el 75% del número de chicos de Brasil.

¿Cuantos participantes de cada país hay en el campamento?

SOLUCION

t = 240

c = a + b + ch + p

a =3

4 b 3p =

3

4 b

p =1

2 ch =⇒ ch = 2p

p = 1

3 a ⇒ a = 3p

b = 4p ⇒ p = 1

4 b

a + b + ch + p = 3p + 4p + 2p + p = 10p = 240 c

10p = 240c =⇒ p = 24c

ch = 2,24c =⇒ ch = 48c

a = 3,24c =⇒ a = 72c

b = 4,24c =⇒ b = 96c

45. El triángulo ABC es rectángulo en B y tiene 50 cm2de área.

D es el punto medio de BC y AB = 12,5 cm.

Los arcos BC y CD son semicircunferencias.

¿Cuál es el área de la zona rayada?


25

SOLUCION

área (ABC) = 50cm2

CD = DB

AB = 12.5cm

área (ABC) = 1

2 AB . CD =

1

2 . 12,5 .

CD = 50cm2

CD = 2 .á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶)

𝐴𝐵 =

2 .50

12,5 cm= DB = 8cm

área sector circular (BC) =

área sector circular (CD) =

área sector circular (BC) - área sector circular (CD) = 100,48cm2 - 25,12cm2 = 75,36cm2

46. Sobre una circunferencia se marcan 33 puntos que la dividen en 33 partes iguales.

Se numeran consecutivamente y en el sentido de las agujas del reloj con 0, 1, 2, 3, 4,..., 32.

Se pintan con rojo algunos de esos puntos de manera que no queden dos pares de puntos rojos a la misma

distancia.

¿Cuál es el mayor número de puntos que pueden pintarse de rojo?

Explica por qué y representa gráficamente.

SOLUCION

0, 3, 7, 12, 18, 25,... 32 (el 32 es congruente con el 0), 33

Entre uno y otro punto hay 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos respectivamente.

El punto 33 repite el 0

Quedan las siguientes distancias:

0 4 8 13 19 26 1

1 5 9 14 20 27 2


26

2 6 10 15 21 28 3

3 7 11 16 22 29 4

4 8 12 17 23 30 5

5 9 13 18 24 31 6

6 10 14 19 25 32 7

7 11 15 20 26 0 8

8 12 16 21 27 1 9

9 13 17 22 28 2 10

10 14 18 23 29 3 11

11 15 19 24 30 4 12

12 16 20 25 31 5 13

13 17 21 26 32 6 14

14 18 22 27 0 7 15

15 19 23 28 1 8 16

16 20 24 29 2 9 17

17 21 25 30 3 10 18

18 22 26 31 4 11 19

19 23 27 32 5 12 20

20 24 28 0 6 13 21

21 25 29 1 7 14 22

22 26 30 2 8 15 23

23 27 31 3 9 16 24

24 28 32 4 10 17 25

25 29 0 5 11 18 26

26 30 1 6 12 19 27

27 31 2 7 13 20 28

28 32 3 8 14 21 29

29 0 4 9 15 22 30

30 1 5 10 16 23 31

31 2 6 11 17 24 32

47. Todas las latas que había en el depósito se distribuyeron en 143 cajas.

Todas las cajas tenían igual número de latas.


27

Como resultaba imposible cargar todas las cajas en la camioneta, se vaciaron 11 cajas y se repartió su

contenido entre las otras cajas.

Ahora, cada una de las cajas que quedan tiene 2 latas más.

¿Cuántas latas hay en total?

SOLUCION

total −→ 143c vacías −→ 11c quedan −→ 132c

1c −→ agregan 2l

132c −→ agregan 2l . 132 = 264l

11c −→ 264l

1c −→ 264

11 l = 24 latas

48. Las figuras A y B están formadas por cuadrados de 1cm de lado.

Con ellas, sin superponerlas, se arman nuevas figuras de manera que, donde se tocan las figuras A y B tienen

lados enteros en común.

¿Se puede armar una figura de 16cm de perímetro?

Explica por qué.

SOLUCION

A −→ 12 lados

B −→ 10 lados

Si encastro las dos figuras no puedo obtener una figura de 16cm de longitud porque al unirlas se relacionan

algunas cantidades de lados distintas de 3.

49. En la cuadricula de la figura se quieren pintar de rojo 4 cuadraditos de modo que un cuadradito rojo no

tenga a su alrededor ningún otro rojo.

¿De cuantas maneras distintas se puede hacer?

SOLUCION


28

Hay 21 casos posibles.

50. De lunes a sábado, Bianchi, García y López se turnan para llevar y traer a los chicos del club.

Bianchi y García hacen viajes de ida. García y López hacen viajes de vuelta.

Cada 6 días, cada uno debe hacer un total de 4 viajes y García no puede hacer dos viajes el mismo día.

¿De cuantas maneras distintas se pueden turnar?

SOLUCION

LU MA MI JU V I SA −→ TM

LU MA MI JU V I SA −→ TT

B, G −→ mañana

G, L −→ tarde

B B G

G L L

1 2 3

1, 2 y 3 son las columnas.

Si analizamos la mitad de la semana nos queda el esquema:

1 2 3

3 2 1

2 1 3

3 1 2

2 3 1

1 3 2

Cada línea se puede combinar con cualquier otra (inclusive con si misma) para completar la semana.

Este esquema se puede repetir 6 semanas, o sea de 36 maneras.

51. En cierto país, el 1 de enero de 1995, un producto A valía $50 y un producto B valía $400.


29

Después, cada año, cada producto aumentó un mismo porcentaje sobre el precio del año anterior.

Para el producto A el porcentaje de aumento de cada año fue del 300%.

Los dos productos valían lo mismo el 1 de enero de 1998.

¿Cuál fue el porcentaje de aumento de cada año para el producto B?

SOLUCION

Si aumenta un 300%, significa que su valor se multiplica por 3.

A = $50

B = $400

1995 −→ A = $50

1996 −→ A = $50 + 3 . $50 = $200

1997 −→ A = $200 + 3 . $200 = $800

1998 −→ A = $800 + 3 . $800 = $3200 = B

En 1998, A aumentó $3200

$50 = 64 veces con respecto a 1995.

Como son 3 años de diferencia calculo √643

= 4, o sea que de un año a otro aumentaba 4 veces, como está

demostrado para el producto A.

Para el producto B, su precio aumentó $3200

$400 = 8 veces.

Si √83

= 2 esto indica que su precio de un año al siguiente será el doble:

1995 −→ B = $400

1996 −→ B = $400 + 1 . $400 = $800

1997 −→ B = $800 + 1 . $800 = $1600

1998 −→ B = $1600 + 1 . $1600 = $3200

52. área ABCD = 48 cm2

área EFGH = 72 cm2

área IJKL = 90 cm2

área MBNH = 10 cm2

área OBPL = 15 cm2

área EQKR = 49 cm2

área MBPR = 6 cm2

¿Cuál es el área de la figura rayada?


30

SOLUCION

área (MBNH) = área (MBPR) + área (HNPR)

área (HNPR) = área (MBNH) - área (MBPR)

HN . NP = MB . BN - MB . BP = 4cm2 = 10cm2 - 6cm2

área (MBPKQE) = área (EQKR) - área (MBPR) = EQ . QK - MB . BP

43cm2 = 49cm2 - 6cm2

área (FGNPKQ) = área (EFGH) - área (HNPR) - área (EQKR) = EF . FG - HN . NP - EQ . QK

19cm2 = 72cm2 - 4cm2- 49cm2

área (LOMR) = área (OBPL) - área (MBPR) = OB . BP - MB . BP

9cm2 = 15cm2 - 6cm2 área (EMOIJQ) = área (IJKL) - área (HNPR) - área (LOMR) =

32cm2 = 90cm2 - 49cm2- 9cm2

área (ADCNHRLO) = área (ABCD) - área (EQKR) - área (MBNH) =

29cm2 = 48cm2 - 9cm2 - 10cm2

HR = RP = 2cm

RM = 3cm

AB . BC = 48cm2 =⇒ AO = 1cm ∧ NC = 6cm

área (EQKR) = 49cm2 =⇒ ER = EQ = 7cm

área (EFGH) = 72cm2


31

Entonces:

EF = EQ + QF = 8cm

EH = EM + MR + RH = 9cm

área (total) = área (ABCD) + área (FGNPKQ) + área (MBPKQE) + área (EMOIJQ)

área (AOIJQFGNCD) = 48cm2 + 19cm2 + 43cm2+ 32cm2 =142cm2

53. En la escuela, 5º, 6º y 7º se pueden cursar en el turno mañana o en el turno tarde.

El total de alumnos de 5º, 6º y 7º es 734; en el turno tarde hay 10 alumnos más que en el turno mañana.

El total de alumnos de 5º es 247; en el 5º turno tarde hay 7 alumnos más que en el 5º turno mañana.

En 6º hay, en total, 1 alumno más que en 7º.

En 6º del turno mañana hay 5 alumnos más que en 5º del turno mañana.

¿Cuántos alumnos hay en 7º del turno tarde?

SOLUCION

5º−→ x

6º−→ y

7º −→ z

xm + xt + ym + yt + zm + zt = 734a

tm = tt - 10a

xm = xt - 7a

xm + xt = 247a

Si reemplazo xm me queda que:

xt -7a + xt = 247a ⇒ xt = 247𝑎−7𝑎

2 = 127a

xm = 120a

ym + yt + zm + zt = 734a - 247a = 487a

ym = 120a + 5a = 125a

xm + ym + zm = xt + yt + zt - 10a

120a + 125a = 127a + 118a

ym + yt = 243a

ym + yt = zm + zt +1 = 244a

ym + yt + zm + zt = 487a


32

yt = 243a - ym ⇒ yt = 243a - 125a = 118a

zm + zt = 244a

zm + 245a = zt + 235a

489a - 235a = 2 . zt

254𝑎

2 = zt ⇒ zt =⇒ zt = 127a

Los cursos quedan así:

𝑥 𝑦𝑡𝑚 120 125𝑡𝑡 127 118

𝑧 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙117 362127 372

54. El triángulo ABC es isósceles con AC = BC y <ACB = 4

3 <CBA (<ACB indica el ángulo ACB)

AB es un arco de circunferencia de centro C y radio CA.

La parte sombreada de la figura tiene aproximadamente 22,61cm2 de área.

Los triángulos ECA y BCD son isósceles, rectángulos e iguales entre sí.

a. ¿Cuál es el área de toda la figura?

b. ¿Cuál es el perímetro de la parte sombreada?

SOLUCION

AC = BC ∧ <ACB = 4

3 <CBA

área sombrada = 22,61cm2

ABC isósceles

ECA ∧ BCD isósceles rectángulos e iguales

(𝜋

360) (AC)2.𝛼 = 22,61 cm2

(𝜋

360) (AC)2.𝛼 = 𝜋 . 7 cm2


33

<ACB = 4

3 <CBA

𝛽 = 4

3 𝛼

2𝛼 + 𝛽 = 180º

2𝛼 + 4

3 𝛼 = 180º ⇒

10

3 𝛼 = 180º ⇒ 𝛼 = 54º

𝛽 = 4

3 𝛼 =

4

3 . 54º = 72º

(AC)2 = 7,2 .360

72 cm2 = 36 cm2 ⇒ AC = 6cm

arco circular = 2𝜋𝛽 .𝐴𝐶

72 =

2𝜋 .72º .6𝑐𝑚

360º =

12

5. 𝜋 cm

perímetro sombreado = AC + BC + arco AB = 6cm + 6cm + 12

11 𝜋 = 12cm +

12

11 𝜋 = = 12cm - (1 +

𝜋

5)

área (ACE) = área (BCD)

área AC = 𝐴𝐶 .𝐶𝐸

2 =

1

2 62 cm2 = 18cm2

área total = 2 . área (ACE) + área sombreada =2 . 18cm2 + 22,61cm2 = 58,61cm2

55. Los padres de Javier quieren comprar un departamento que cuesta $ 120000 pero no disponen de todo el

dinero.

Pagarán una parte al contado y el resto en dos partes iguales: la primera mitad, con el 20% de recargo, en 30

cuotas iguales y la otra mitad, con el 5% de recargo, en 15 cuotas iguales.

Por cada una de las 15 últimas cuotas deberán pagar $ 2184.

¿Qué porcentaje del valor del departamento pagaron al contado?

¿Cuánto deberán pagar por cada una de las primeras 30 cuotas?

SOLUCION

B) 1 cuota −→$2184

15 cuotas −→$2184 . 15 = $32760

100% .5%

100% = 1,05 (aumento)

valor inicial . 1,05 = valor final B

valor inicial total cuotas = 𝑣𝑓

1,05

valor final = valor cuota . 15

$2184 . 15 = $32760

valor inicial total cuotas = $32760

1,05= $ 31200

A) valor inicial . aumento = valor final A

$31200 . 1,2 = $34440

30 cuotas −→ $34440


34

1 cuota −→ $34440

30 = $1148

valor contado = valor total - valor inicial A - valor inicial B = $120000 - $33440 - $31200 = $54360

$120000 −→ 100%

$54360 −→x = 45,3%

56. Los comerciantes Álvarez y Bianco tienen cada uno la mismo cantidad de´ kilos de harina en bolsas de 50 kg.

Álvarez vende las bolsas enteras, cada una a $ 36.

Bianco fracciona la harina en bolsitas de medio kilo y al embolsarla pierde el 4% del total; si vende cada bolsita

a $0,40 obtiene $192 por la venta de todas.

Con respecto a lo obtenido por Bianco, ¿qué tanto por ciento menos obtiene Álvarez?

SOLUCION

1 bolsa −→ 50kg

A −→ c / bolsa −→$36

B −→c / bolsa −→ 1

2 kg , pierde 4% , c / bolsa −→$0,40

B) 1 b de 50kg −→ 100 bolsitas de 1

2 kg

pierde 4% −→ 100b - 4b = 96b

1b −→$0,40

xb −→$192 =⇒ x = 480b por cada bolsa grande.

A) 50kg −→ $36

1kg −→ $ 36

50 = $ 0,72

B) 100b −→ $0,40 c/u −→$40

pierde 4% −→ $40 .4%

100% = $ 1,60

1 bolsa grande −→$38,40

x bolsa grandes −→$192

x = $192

$38,40 = 5 bolsas grandes

A) 5 bolsas grandes −→$36 . 5 = $180

B) 5 bolsas grandes −→$38,40 . 5 = $192

$192 −→100%

$180 −→ x =$180 .100%

$192 = 93,75%

57. En una plaza hay un cantero rectangular corno muestra la figura.


35

Los arcos son semicircunferencias.

Todos los arcos grandes son iguales entre si y todos los arcos pequeños son iguales entre sí.

En la zona rayado se pondrán flores y en la zona blanca, césped.

El área que ocuparan las flores es de 269,2550 m2.

Se quiere bordear el perímetro de la zona ocupada con flores con un cerco.

¿Cuantos metros de cerco se necesitan?

SOLUCION

área sombreada = 269,2550m2

A3 = A2 - A1

área sombreada = 3A1+ 2A2 + A3 = 3A1+ 2A2 + A2 - A1 = 2A1 + 3A2

circunferencia = 𝜋 . D = 2 . 𝜋 . r

A1 = 𝜋

2 . (r1)2

r1 = 1

2 r2 ⇒ r2 = 2r1

área sombreada = 2 . (𝜋

2 . (r1)2 ) + 3 (𝜋

2 . (2r1)2) = 7 . 𝜋 . (r1)2

7 . 𝜋 . (r1)2 = 269,2550 cm2 ⇒ 𝜋 . (r1)2 = 1

7 . 269,2550 cm2 = 38,4650cm2

(r1)2 = 38,4650

3,14 cm2 = 12,25 cm2

r1 = √12,25 cm = 3,5cm

r2 = 7cm

D = r2 = 2

r1 = 7cm

per zona = 2 𝜋 r1+ 2r1+ 2 𝜋 r2+ 2 𝜋 r1+ 2 𝜋 r1+ 2Πr2+ 2r1+ 2 𝜋 r1+ 2 𝜋 r2

r1 = 1

2 r2 ⇒ r2 = 2r1


36

per zona = 2Πr1+ 2r1+ 4 𝜋 r1+ 2 𝜋 r1+ 2 𝜋 r1+ 4 𝜋 r1+ 2r1+ 2 𝜋 r1+ 4 𝜋 r1 = 2r1(10 𝜋 + 2) = 233,8cm

58. Un tenista entrena en las canchas de su club.

Cada semana, entrena 2 días mañana y tarde y 4 días solo por la tarde.

Nunca entrena mañana y tarde dos días consecutivos de la semana.

Puede utilizar las canchas para entrenar de lunes a domingo.

¿De cuantas maneras distintas puede planificar su entrenamiento durante una semana?

SOLUCION

2 entrenamientos M y T

4 entrenamientos solo T

M y T nunca días consecutivos

Si analizamos las prácticas de las tardes el esquema semanal nos queda así:

DO LU MA MI JU V

I

SA

S1 X X X X X X

S2 X X X X X X

S3 X X X X X X

S4 X X X X X X

S5 X X X X X X

S6 X X X X X X

S7 X X X X X X

Ahora analizamos que pasa con las prácticas de la mañana en cada semana.

Semana 1 −→ 10 posibilidades

LU −→ MI - JU - VI - SA

MA −→ JU - VI - SA

MI −→ VI - SA

JU −→SA


MA −→ JU - VI -SA

MI −→ VI - SA

JU −→SA

DO −→ MA - MI - JU - VI


37


LU −→ MI - JU - VI - SA

MI −→VI - SA

JU −→SA

DO −→ MI - JU - VI


LU −→ MI - VI - SA

MA −→VI - SA

MI −→VI - SA

DO −→ MA - JU - VI



MA −→VI - SA

MI −→VI - SA

DO −→ MA - MI - VI



MA −→VI - SA

MI −→VI - SA

DO −→MA - MI - VI


LU −→ MI - JU - VI

MA −→JU - VI

MI −→VI

DO −→ MA - MI - JU - VI

59. ¿Cuantos triángulos hay en la figura?



38

SOLUCION

1 2; 3; 4 12 7; 13 2; 7; 8; 13; 14

2 1; 2; 3; 4 13 5; 7; 13 9; 10; 15

3 5; 6 14 11; 12 3; 9; 15

4 6; 1 15 11; 16 3; 4; 9; 10; 15

5 5; 6; 1 16 11; 12; 16 3; 9; 11

6 4; 10 1; 2 6; 8; 14 3; 9; 11; 15; 16

7 10; 12 2; 3 2; 8; 14 2; 3; 8; 9; 7; 11

10 4; 10; 12 3; 4 1; 2; 6; 8; 14 10; 9; 6; 8; 14; 15

11 5; 7 1; 2; 3 2; 7; 8

Hay 44 posibilidades.

60. Todos los meses Víctor compra cajas de cartón para guardar las remeras que fabrica.

En julio, por 30 cajas pagó $ 54.

En agosto, el precio de las cajas aumentó y por 36 cajas pagó $ 81.

En setiembre, el precio de las cajas volvió a aumentar, pero este mes, el porcentaje de aumento fue 5 menos que

en agosto; Víctor pagó $ 108 por las cajas que compró.

¿Cuántas cajas compró Víctor en setiembre?

SOLUCION

julio −→ 30 cajas −→$54

agosto −→ 36 cajas −→$81

setiembre −→ x% - 5% −→ pagó $108 −→ ?cajas


39

julio

30c −→$54

1c −→ $ 54

30 = $ 1,80

agosto

36c −→$81

1c −→ $ 81

30 = $ 1,80

aumento = agosto - julio = $2,25 - $1,80 = $0,45

$1,80 −→ 100%

$ 0,45 −→ x = $0,45 .100%

$1,80 = 25%

En setiembre aumentó 5% menos que en agosto.

setiembre −→ 25% - 5% = 20%

setiembre

100% −→$2,25

20% −→ x = $2,25 .20%

100% = $ 0.45

precio actual = precio agosto + aumento = $2,25 + $0,45 = $2,70

61. En el rectángulo ABCD, AB = 2BC.

Sobre cada lado del rectángulo se dibujó un cuarto de círculo.

La figura que resulta tiene 154,2 cm de perímetro.

Con ese rectángulo y esos cuartos de círculo se armó esta otra figura.

¿Cuál es el perímetro y cuál es el área de la nueva figura?

SOLUCION


40

AB = 2BC

r1 = AB

r2 = BC

per (X) = 154,2cm j

circunf (AB) = 2 . 1

4 . 𝜋 . D1 = 2 .

1

4. 𝜋 . 2r1 = . r1

circunf (BC) = 2 . 1

4 . 𝜋 . D2 = 2 .

1

4. 𝜋 . 2r2 = . r2

𝜋 . AB + . BC + 2 . AB + 2 . BC =BC . (𝜋 + 2) + AB . (𝜋

+ 2) =

= (AB + BC) . (𝜋 + 2) = 154,2cm

Si AB = 2BC

3 . BC . (𝜋 + 2) = 154,2cm =⇒ BC =

154,2 𝑐𝑚

3 .(𝜋+2) =

51,4 𝑐𝑚

(𝜋+2) = 10cm

AB = 2BC =⇒ AB = 2 . 10cm = 20cm

per (Y) = 1

2. circunf (AB) +

1

2 . circunf (BC) + AB =

= 1

2 . 𝜋 . 40cm +

1

2 . 𝜋 . 20cm + 20cm =

= 𝜋 . 20cm + . 10cm + 20cm = 104,20cm

per (Y) = 104,20cm

área (Y) = 𝜋

2 . (AB)2 +

𝜋

2 . (BC)2 + AB . BC =

= 𝜋

2 . (20cm)2 + . (10cm)2 + 20cm . 10cm =

= 𝜋 . (200cm2 + 50cm2 ) + 200cm2= 985cm2

área (Y) = 985cm2

62. El domingo, en el supermercado, si se paga con tarjeta hacen el 15% de descuento.

El domingo pasado Juan fue al supermercado; pagó las dos quintas partes de su compra con tarjeta y el resto

en efectivo.

En total pagó $ 98,70.

¿Cuánto debería pagar por esa misma compra si pagara todo en efectivo?

SOLUCION

domingo −→ tarjeta −→ descuento 15%

2

5 tarjeta −→ resto efectivo

total −→$98,70


41

x compra en efectivo

t + e = $98,70

100% {60% 𝑒𝑓𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜

40% 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 15%

15% (40%) = 40% - 6% = 34%

94% −→$98,75

100% −→ x = $98,75 .100%

94% = $ 105

63. ¿Cuantos cuadriláteros hay en la figura?


SOLUCION

(1); (2); (3); (4); (5); (17); (18); (19); (20); (21); (22); (1, 2,3); (2, 3,4); (1, 2, 3,4); (6,7); (7,8); (9,10); (10,11); (1,

2, 3, 4,5); (3, 4,5); (2, 3, 4,5); (6, 7,8); (6, 7, 8,9); (7, 8,9); (7, 8, 9,10); (6, 7, 8, 9,10); (8,9); (13, 14,15); (7, 8, 9,

10,11); ( 6,7,8,9,10,11,12,13,14,15);(14,15); (8, 9, 10,11); (11,12); (12,13); (6, 7, 8, 9, 10,11); (9, 10,11); (8, 9,

10, 11,12); (9, 10, 11,12); (6, 7, 8, 9, 10, 11,12); (13,14); (7, 8, 9, 10, 11,12); (10, 11,12); (1,2); (2,3); (3,4); (4,5);

(9, 10, 11, 12, 13, 14,15); (11, 12, 13, 14,15); (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,15); (12, 13, 14,15); (10, 11, 12, 13,

14,15); (8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,15); (8, 9, 10, 11, 12,13); (19,20); (6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16); (10, 11, 12,

13, 14, 15,16); (12, 13, 14, 15,16); (15,16); (19, 20,21); (8,9,10,11,12,13,14,15,16 ); (13, 14, 15,16); (14, 15,16);

(9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,16); (11, 12, 13, 14, 15,16); (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,16); (17,18);(17,

18,19);(18,19);(18, 19,20); (17, 18, 19,20); (18, 19, 20,21);(17, 18, 19, 20,21); (20,21); (17, 18, 19, 20, 21,22);

(20, 21,22); (19, 20, 21,22); (18, 19, 20, 21,22);(21,22); (7, 8, 9, 10, 11, 12,13); (9, 10, 11, 12,13); (10, 11, 12,13);

(11, 12,13); (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13); (8, 9, 10, 11, 12, 13,14); (10, 11, 12, 13,14);(6,7,8,9,10,11,12,13,14); (11,

12, 13,14); (9, 10, 11, 12, 13,14); (12, 13,14); (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14);

Hay 90 cuadriláteros.

64. En la figura la circunferencia de centro O corta a AC en D y a BC en E


42

AC = BC

CO es perpendicular a AB DO es perpendicular a AC EO es perpendicular a BC

BC = 25 cm, ACE

AD = 9 cm.

el triángulo CDO tiene 96 cm2 de área.

¿Cuál es el área de la parte no sombreada de la figura?

SOLUCION

área (CDO) = 1

2 OD . DC = 96cm2

AC = AD + CD =⇒ CD = AC - AD =⇒ 25cm - 9cm = 16cm

OD = 96 .2

16 cm = 12cm = r

área sombrada = 𝜋

2 . r2 = 226,08cm2

(CO)2 = (OD)2+ (CD)2 = (12cm)2+ (16cm)2 = 400cm2 ⇒ CO = √400 cm = 20cm

(OB)2 = (CB)2 - (CO)2 = (25cm)2- (20cm)2 = 625cm2 - 400cm2= 225 cm2 ⇒ OB = √225 cm = 15cm

AO = OB 15cm AB = 2 . OB = 2 . 15cm = 30cm

área (ABC) = 1

2 AB . OC =

1

2 .30cm . 20cm = 300cm2

área no sombrada = área (ABC) - área sombrada = 1

2 AB . OC -

𝜋

2 . (OD)2 = 300cm2 - 226,08cm2 = 3,92cm2

65. Ale quiere guardar sus figuritas en cajas, de manera que en cada caja haya igual número de figuritas.

Tiene menos de 1000 figuritas.

Tiene que usar 7 cajas porque con menos cajas siempre le sobran tantas figuritas como el número de cajas que

quiere usar disminuido en una unidad.

Por ejemplo, si usa 3 cajas le sobran 2 figuritas.

¿Cuántas figuritas puede tener Ale?

Da todas las posibilidades.

SOLUCION


43

debe usar 7 cajas

nro de figuritas < 1000

usa 3 cajas −→ le sobran 2 figuritas




Buscamos múltiplos de 7 que no sean pares, ni múltiplos de 3, ni múltiplos de 5.

Pensamos en 7. 7 = 49 y hacemos una serie de números que agregan 7 . 10 al anterior:

49 , 119 , 189 , 259 , 329 , 399 , 469 , 539 , 609 , 679 , 749 , 819 , 889 , 959

Eliminando 189, 399, 609, 819 por ser múltiplos de 3, nos queda:

49, 119, 259, 329, 469, 539, 679, 749, 889, 959

Eliminando 49, 329, 469, 749, 889 porque no cumplen con la condición inicial, queda:

119, 259, 539, 679, 959

Eliminamos 259 y 679 porque no cumple la condición de las 6 cajas y quedan las tres posibilidades:

119, 539, 959.

66. Por la compra e instalación de un equipo de aire acondicionado, Gabriela pagó $2502,90 en total.

El gasto de instalación es del 8% del costo del equipo y solo puede pagarse al contado.

El equipo puede pagarse al contado o en 6 cuotas iguales y sin recargo.

Si se paga al contado, sobre el precio del equipo hacen un 5% de descuento.

Gabriela pagó al contado.

Si hubiera pagado el equipo en cuotas, ¿cuánto debería haber pagado por cada cuota?

SOLUCION

pago en efectivo −→$2502,90

compra + instalación (8%)

pago = compra + instalación

$2502,90 = x . 108

100

x = $2502,90

1,08 = $2317,50

100% −→$2317,50

105% −→ x = $2317,50 . 105

100 = $2433,375 = precio equipo

total −→$2433,375


44

cuota −→ 1

6 . $ 2433,375 = $ 405, 5625

67. ABCD es un rectángulo.

EFGH es un cuadrado.

Todos los arcos son semicircunferencias.

BA = 3

2 BC

BM = BC

MN = NB

PM es paralela a AD, y QN es paralela a BC.

El perímetro de la zona blanca es 165,6cm.

¿Cuál es el área de la zona blanca?

SOLUCION

NM = NB = BC

PM // AD ∧ QN // BC

per (zona blanca) = 165,6cm

¿área (zona blanca)?

área (ABCD) = AB . BC = 3

2 . (BC)2

AB = AM + MN + NB

AM = NB = 1

2 BC

per (zona blanca) = 4𝜋+𝐵𝐶

4 + 2 . (

4𝜋+𝐻𝐸

4 ) +

4𝜋+𝑀𝐴

4 + 2AM + 2NB = 165,6cm

per (zona blanca) = 2𝐵𝐶

2 +

2𝐵𝐶

2 + 𝜋. BC + 2𝜋. HE + 𝜋. MN = 165,6cm

Reemplazando:

per (zona blanca) = 2 . BC + 2𝜋. BC = 2.BC . (𝜋+ 1) = 165,6cm

BC = 165,6𝑐𝑚

2.(1+ 𝜋) =

165,6𝑐𝑚

8,28 = 20cm

MN = 𝐵𝐶

2 = 10cm


45

HE = 𝐵𝐶

4 = 5cm

área sombreada = 2𝜋 (𝐵𝐶

2)2 +2𝜋 (

𝑀𝑁

2)2 +2𝜋 (

𝐻𝐸

2)2 +(HE)2 = = 𝜋 (10cm)2 + 𝜋 ( 5cm)2 + 2𝜋 (

5

2cm)2 + (5cm)2 =

= 100 𝜋cm2 + 250 𝜋cm2+ 25

2 𝜋cm2+ 25cm2 =

= 25𝜋(4 +3

2 ) cm2 + 25cm2= 25 (

11

2𝜋+ 1) = 25 . 18,27cm2 = 456,75cm2

área (ABCD) = AB . BC = 30cm . 20cm = 600cm2

área zona blanca = área(ABCD) - área sombreada = 600cm2 - 456,75cm2 = 143,25cm2

68. El Sr. Mendieta compró un auto a crédito.

Pagó el 20% del precio de lista al contado y el saldo en 36 cuotas iguales.

Sobre el saldo le aplicaron un interés del 5%; por cada cuota pagó $ 682,50.

¿Cuánto pagó al contado el Sr. Mendieta?

SOLUCION

vc = $682,50

pagó 20% de contado + 6 cuotas con interés del 5%

1c −→$682,50

36c −→$682,50 . 36 = $24570 −→ total cuotas

105% −→$24570

$100 −→ x = $24570 . 199

105= $23400

80% −→$23400

20% −→ x = $23400 . 20%

80% = $5850

69. En la figura: ABCD es un trapecio rectángulo.

El arco CD es una semicircunferencia de 18,84 cm de longitud.

El área del triángulo ACD es de 78 cm2.

CD = 2

3 AB

¿Cuál es el área de toda la figura?


46

SOLUCION

long semicircunferencia = 18,84 cm

área (ACD) = 78cm2

CD = 2

3 AB

r = 𝐶𝐷

2

long semicircunferencia = 𝜋

2 .d = 𝜋. r ⇒ r =

18,84𝑐𝑚

3,14 = 6cm

Entonces : CD = 12cm ∧ AB = 18cm

área (ACD) = 1

2 . AC . CD =⇒ BC =

2 .78

12 cm= 13cm

área semicircunferencia = 𝜋 . (𝐶𝐷

2)2 = 3,14 . (

12𝑐𝑚

2) = 113,04 cm2

área (ABCD) = 1

2 . (AB + CD) . BC =

1

2 . (18cm + 12cm) . 13cm = 195cm2

área figura = área (ABCD) + área semicircunf. = 195cm2 + 113,04cm2 = 308,04cm2

70. Al final del dio, el empleado del banco contó los pesos que quedaban en la caja y anotó el número en un

papel que se le perdió.

Recuerda que el número era de la forma 2 0 0 - 5, mayor que 2 700000 y múltiplo de 15.

¿Cuáles son los números que puede haber anotado el empleado en el papel?


SOLUCION

En la primera casilla puedo ubicar el 7, 8, 9.

Si coloco el 7, las otras dos casillas deben sumar 1, 4, 7, 10, 13 o 16 para satisfacer la consigna.

701 710 740 731 722 713

770 761 752 743 734 725

707 791 782 773 764 755

737 728 719 794 785 776

758 749 797 788 779 704

716 746 767

Son 33 posibilidades.

Si coloco el 8, las otras dos casillas deben sumar 0, 3, 6, 9, 12, 15 o 18 para satisfacer la consigna.

800 830 821 812 860 851

833 824 815 806 890 881

863 854 845 836 827 818

893 884 875 866 857 848

896 887 878 869 899 842

872 809 839


Si coloco el 9, las otras dos casillas deben sumar 2, 5, 8, 11, 14 o 17 para satisfacer la consigna.

920 911 902 950 941 932


47

914 905 980 971 962 953

935 926 917 908 992 983

965 954 947 938 929 995

977 968 959 998 989 923

944 974 986


71. José compró una bicicleta, pagó la quinta parte de su valor al contado y el resto en 8 cuotas iguales.

Cada mes paga la cuota correspondiente y, además, el 2% de interés sobre lo que le queda por pagar.

El mes que pagó la tercera cuota, José pagó en total, $ 35.20.

¿Cuál es el precio de la bicicleta que compró José?

SOLUCION

bici −→ 1

5 contado + resto en 8 cuotas

cuota + interés del 2% sobre el resto r −→ resto de cuotas faltantes cuota 3 −→$35,20

𝑥

8 +

2

100 .

𝑥

8 .r =

𝑥

8 +

1

50 .

𝑥

8 . 5 = $35,20

x . (1

8 +

1

80 ) = x (

1

8 +

1

50 .

5

8 ) = x (

10+1

80) =

11

80 x = $ 35,20

11

80 x = $ 35,20 ⇒ x =

80

11 . $35,20 = $256

72. En la figura

ABCF y DEGH son rectángulos, CDH y FEG son triángulos iguales

BC = HD y GH = 2 HC.

El perímetro de CDH es 30 cm.

El perímetro de GCDE es 50 cm.

El perímetro de CDEF es 56 cm.

¿Cuál es el perímetro de ABCDEF?

¿Cuál es el área de ABCDEF?

SOLUCION


48

per (CDH) = HC + CD + DH = 30cm

per (GCDE) = GC + CD + DE + GE = 50cm

per (CDEF) = CD + DE + EF + FC = 56cm

Si analizamos, vemos que:

GE = DH

FC = 4HC

DE = GH = 2HC = GC

EF = CD

Nos queda un sistema de ecuaciones equivalente:

HC + CD + DH = 36cm

5HC + CD + DH = 50cm

6HC + 2DC = 56cm

Reemplazando, queda:

5HC + CD + 30cm - HC - CD = 50cm

4HC = 20cm =⇒ HC = 20

4 cm = 5cm

GH = 2HC = 2 . 5cm = 10cm = DE

CD = 1

2 (56cm - 6HC) =

1

2 (56cm - 6 . 5cm) = 13cm

DH = 30cm - HC - CD = 30cm - 5cm - 13cm = 12cm = BC

AB = 2HC + 2HC = 4HC = 4 . 5cm = 20cm = FC

área (ABCDEF) = área (ABCF) + área (CDEF) = AB . BC + 1

2 (FC + DE) . DH =

20cm . 12cm + 1

2 (20cm + 10cm) . 12cm = 240cm2 +

1

2 (30cm . 12cm) = 420cm2

per (ABCDEF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2 (BC + CD) + AB + DE = 2 . (12cm + 13cm) + 20cm + 10cm per

(ABCDEF) = 80cm

73. Un tren va de Buenos Aires a Mar del Plata.

Hace varias paradas y en cada una bajan 2 y suben 5 personas.

El boleto es único y vale $ 39.

Cuando llega a Mar del Plata hay 124 pasajeros y la recaudación del viaje es de $ 5694.

¿Cuantos pasajeros subieron en Buenos Aires?

SOLUCION

x = cantidad de pasajeros que partieron de Buenos Aires

y = cantidad de veces que paró el tren


49

boleto = $39

recaudación = $5694

$39 −→ 1 pasajero

$5694 −→ x pasajeros = 5694

39 = 146 pasajeros

{𝑥 + 5𝑦 = 146𝑥 + 3𝑦 = 124

x = 146 - 5y = 146 - 55 = 91

x = 124 - 3y = 124 - 33 = 91

146 − 5y = 124 −3y

146 – 124 = 5y − 3y

22 = 2y =⇒ 11 = y

En Buenos Aires partieron 91 pasajeros y hubo 11 paradas.

74. La figura está partida en 4 partes: I, II, III y IV.

CD = 2 BC

II y III forman un rectángulo de 420 cm2 de área.

I y II forman un rectángulo de 240 cm2 de área.

I es un cuadrado.

II y IV forman un cuadrado.

AB = 2 EF

¿Cuál es el área del cuadrado formado por II y IV?

SOLUCION


50

(BC)2 + BC . CE = 240cm2

CD . CE + BC . CE = 2BC . CE + BC . CE

3BC . CE = 420cm2 =⇒ BC . CE = 140cm2

(BC)2 = 240cm2 - BC . CE = 240cm2 - 140cm2

(BC)2 = 100cm2 =⇒ BC = 10cm

BC . CE = 140cm2 =⇒ CE = 140

10 cm =

14cm

2BC = CD =⇒ CD = 2 . 10cm = 20cm

AB = 2EF

AB + BC = CE + EF =⇒ 2EF + BC = CE + EF EF = CE - BC =⇒ EF = 14cm - 10cm = 4cm

área (II y IV) = (AB + BC)2 = (8cm + 10cm)2 = 324cm2

75. En este tablero, con 3 filas y 4 columnas, se quieren colocar 3 fichas redondas y una cuadrada de modo que:

haya una ficha en cada columna y no haya dos fichas de igual forma en una misma fila.

¿De cuantas maneras puede hacerse?

SOLUCION

3 fichas redondas

1 ficha cuadrada

Tomo una ficha redonda y quiero colocarla en la primera columna. Ahí veo que puedo colocarla en cualquier fila:

tengo tres posibilidades. Si por ejemplo, la coloco en la fila superior me queda un rectángulo de 2 filas y 3

columnas (6 posibilidades) para colocar la segunda. Si supongo que la coloco en la posición (2, 2) me quedan 2

casilleros posibles para colocar la tercera.

En total tengo: 3. 6 . 2 = 36 maneras de colocar las fichas redondas.

Como la ficha redonda la puedo colocar en cualquier casillero restante tengo 9 maneras de colocar dicha ficha.

O sea que existen 36 . 9 = 324 maneras distintas.

76. En el quiosco hay paquetes de caramelos de tres gustos: miel, leche y fruta.

Se venden a $5 los de miel, $6 los de leche y $4 los de fruta.

Si se venden todos los paquetes se obtienen $462.

En total hay 96 paquetes.


51

Si hubiera el doble de paquetes de leche, el doble de paquetes de fruta y la misma cantidad de paquetes de

miel, habría en total 162 paquetes. ¿Cuantos paquetes de caramelos de cada gusto hay en el quiosco?

SOLUCION

m −→$5

l −→$6

f −→$4

{

5𝑚 + 6𝑙 + 4𝑓 = $462

𝑚 + 𝑙 + 𝑓 = $96

𝑚 + 2𝑙 + 2𝑓 = $162

∆ = det (5 6 41 1 11 2 2

) = -2

∆𝑚 = det (462 6 496 1 1

162 2 2) = -60 ⇒ m =

∆𝑚

∆ = 30

∆𝑙= det (5 462 41 96 11 162 2

) = -48 ⇒ m = ∆𝑙

∆ = 24

∆𝑓 = det (5 6 4621 1 961 2 162

) = -84 ⇒ m = ∆𝑓

∆ = 42

77. Daniel tenía unos pesos ahorrados.

El lunes sacó $ 20 y después agregó una cantidad igual a la mitad de lo que le quedaba.

El martes también sacó $ 20 y después agregó una cantidad igual a la mitad de lo que le quedaba.

El miércoles contó cuánto dinero tenía ahorrado y resultó ser el doble de lo que tenía al principio.

¿Cuánto dinero tenía inicialmente?

SOLUCION

x = $ahorrados

l −→ x - $20 + 1

2 x

m −→ l - $20 + 1

2 (l - $20) = 2x

(x - $20 + 1

2 x) – $ 20 +

1

2 (x - $20 +

𝑥

2 - $20) = 2x

(x + 𝑥

2 )- $40 +

1

2 (

1

2 (2x + x) ) - $20 = 2x

x + 𝑥

2 +

3𝑥

2 – 2x = $60

1

4 (4x + 2x + 3x -8x) = $60

x = $240


52

78. Con los dígitos 1 – 2 – 3 – 4, Dany arma una clave numérica de 6 cifras.

Utiliza dos de esos dígitos dos veces y los otros dos dígitos una sola vez.

El número que arma termina en 4 y es múltiplo de 4.

¿Cuántas y cuáles son las claves que puede armar Dany?

SOLUCION

caso 1

112324 121324 131224 141324 211324 231124 241324

113224 123124 131424 142324 213124 231324 243124

113324 123324 132124 143124 213324 231424

113424 123424 132324 143224 213424 233124

114324 124324 132424 143324 214324 234124

133224

133424

134124

134224

134324

311224 321124 331124 341124 411324 421324 431124

311324 321324 331224 341224 412324 423124 431224

311424 321424 331424 341324 413124 431324

312324 323124 332124 342124 413224 432124

312424 324424 334124 343124 433124

313224

313424

314124

314224

314324

caso 2

112344 332144 223144

113244 331244 221344

121344 323144 232144

123144 321344 231244

131244 313244 212344

132144 312344 213244

231144 213344 312244

321144 123344 132244

211344 233144 322144

311244 133244 122344

213144 231344 321244


53

312144 132344 123344

79. De un grupo de personas, son mujeres.

Si hubiese el doble de mujeres y el mismo número de varones, habría 45 mujeres más que varones.

¿Cuantos varones hay en el grupo?

SOLUCION

Total −→ 4

9 m +

5

9 v

m = v + 45

8

9 t - 45 =

5

9 t

3

9 t = 45p =⇒ t =

1

3 (45p . 9) = 135p

m −→ 4

9 . 135p = 60p

v −→ 5

9 . 135p = 75p

80. Queremos escribir 165 como suma de varios números enteros consecutivos.

Por ejemplo: 82 y 83 son números enteros consecutivos y 165 = 82 + 83.

¿Hay otras maneras?


SOLUCION

165: 3 = 55

165 = 54 + 55 + 56

165: 5 = 33

165 = 31 + 32 + 33 + 34 + 35

165: 11 = 15

165 = 10 + 11+ 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20

165: 15 = 11

165 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18

81. En febrero, Aníbal recibió un 17% de aumento sobre el sueldo de enero; en marzo al sueldo de febrero se le

agregó además el 6% del sueldo de enero.

En febrero, Aníbal cobró $2106 de sueldo.

¿Cuánto cobró Aníbal en enero?

Del sueldo de marzo, Aníbal gastó la sexta parte.

¿Cuantos pesos le quedaron del sueldo de marzo?

SOLUCION


54

e + 17% = f −→$2106

f + 6% = m

m - 1

6 m = y

f = e + 1

100 (17 . e) = $2106

e = 1

117 ($2106 . 100%) = $1800

m = $2106 + 1

100 . $2106 . 6% = $2106 + $126,36 = $2232,36

y =5

6 m =

5

6 . $2232,36 = $1860,30

82. En la figura:

BCEF es un rectángulo, BC= CE, los triángulos ABF y CDE son iguales, el perímetro de ABF es 60 cm, el

perímetro de ADEF es 144 cm, el área de ABF es 120 cm2.

¿Cuál es el área de ADEF?

¿Cuál es el perímetro de ACEF?

SOLUCION

BC = FE = 3

2 CE ABF = CDE

per (ABF) = 60cm

per (ADEF) = 144cm

área (ABF) = 120cm2

¿área (ADEF) = ?

¿per (ACEF) =?

BF = CE

AB = CD

FA = DE

per (ADEF) = AD + DE + FE + FA = 144cm

per (ABF) = AB + BF + FA = 60cm


55

AB + 3

2 BF cm + FA cm = 72cm

AB . BF = 240cm2 =⇒ AB = 240

𝐵𝐹 cm

240

𝐵𝐹 cm +

3

2 BF cm + FA cm = 72cm

240

𝐵𝐹 cm + BF + FA= 60cm

FA = 72cm - 240

𝐵𝐹 cm -

3

2 BF = 60cm -

240

𝐵𝐹 cm - BF

72cm - 60cm = 3

2 BF - BF

12cm = 1

2 BF =⇒ BF = 24cm

AB = 240

𝐵𝐹 cm =

240

24 cm = 10cm

FA = √(𝐴𝐵)2 + (𝐵𝐹)2 = √(10𝑐𝑚)2 + (24𝑐𝑚)2 =

FA = √100𝑐𝑚2 + 576𝑐𝑚2= √676𝑐𝑚2 = 26cm

área (ADEF) = 1

2. (AD + FE) . BF

AD = 2AB + BF = 2 . 10cm + 24cm = 44cm

área (ADEF) = 1

2 (44cm +

3

2. 24cm) . 24cm

área (ADEF) = 1

2. (44cm + 36cm) . 24cm = 960cm2

per (ACEF) = AB + BC + CE + EF + FA

per (ACEF) = AB + 2BC + CE + FA

per (ACEF) = 10cm + 2 . 36cm + 24cm + 26cm = 132cm

83. Un comerciante compró 28 cajones de frutas.

Cada cajón contiene 8 kg.

Pagó $2 por cada kg y $21,40 por el traslado de todos los cajones.

Por la venta del total obtuvo una ganancia de $90,60.

¿A qué precio vendió el kilo de fruta?

SOLUCIÓN

28 cajones −→ 8kg −→ $2

traslado −→ $21,40

ganancia −→ $ 90,60 $

¿x el kg de fruta?

28 cajones −→ x = 28 𝑐𝑎𝑗𝑜𝑛𝑒𝑠 .8𝑘𝑔

1𝑐𝑎𝑗ó𝑛 = 224kg

1kg −→ $2


56

224kg −→ x = 224𝑘𝑔 .$2

1𝑘𝑔 = $448

costo −→ $448

traslado −→ $21,40

ganancia −→ $90,60

costo + traslado + ganancia = $560

224kg −→ $560

1kg −→ $560 .1𝑘𝑔

224𝑘𝑔 = $2,50

84. El rectángulo AEFG tiene 72 cm de perímetro y el ABCD tiene 48 cm de perímetro.

AB = 15cm y BE = 2.DG .

¿Cuál es la longitud de AG?

SOLUCIÓN

AEFG = 72cm

ABCD = 48cm

AB = 15cm

BE = 2DG

BC = AD AG?

2 ( AB + BC) = 48cm

2 (AB + BE + AD + DG) = 72cm

AB + AD = 48

2 cm = 24cm =⇒ DA = 24cm - AB = 32cm - 15cm = 9cm

2 (24cm + BE + DG) = 72cm

2 (24cm + 2DG + DG) = 2 (24cm + 2DG) = 72cm

48cm + 6DG = 72cm =⇒ 6DG = 72cm - 48cm = 24cm

DG = 24

6 cm = 4cm

85. Ubicar los números 1-2-3-4-5-6-7-8-9 en los casilleros de esta cuadrícula de modo que: el 9 ocupe el centro,

los números de la primera la sean todos impares y la suma de los números de cada la y de cada columna sea la

misma.


57

SOLUCIÓN

Si colocamos las letras por fila de la siguiente manera, podemos completar el cuadrado de 9 espacios:

a, b, c d, 9, e f, g, h

En la primera fila pueden estar los números 1, 3, 5, 7

a + b+ c = d + e + 9 = f + g + ha + d + f = b + g + 9 = c + e + h

Queda:

a + c = d + f

d + e = b + g

c + e = f + h

Supongo a = 7

b + c = d + f = 8

c + e = f + g = a

Cómo:

c + e = 7 =⇒ c = 7 - e

b + c = 8 =⇒ e = 8 - b

La cuadrícula queda:

7, 5, 3

2, 9, 4

6, 1, 8

86. Para hacerse socio del Club de Natación se debe pagar $50.

Cada vez que utilizan la pileta del Club, los socios pagan $2,50 y los no socios pagan $7,50.

Por lo menos ¿cuántas veces hay que utilizar la pileta para que resulte más barato ser socio?

SOLUCIÓN

cuota −→ $50

uso pileta −→ $2,50 (socios) −→us


58

uso pileta −→ $7,50 ( no socios) −→uns cuota + us. $2,50 + uns . $7,50

$50 = $7,50 . x - $2,50 . x

$50 = $5 . x =⇒ x = $50

$5 = 10 veces

87. Con los dígitos: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 y 0 , ¿cuántos números de cuatro cifras que son múltiplos de 5 y tienen todas

las cifras distintas se pueden armar?

Explica por qué.

SOLUCIÓN

2105 1205 1305 1405 3215

3105 3205 2305 2405 4215

4105 4205 4305 3405

2415 2015 1320 1325 1420

3415 3015 1235 1240 1430

4015 1240 1345 1435

1245 1350 1450

1250 1320

2135 2150 2310 2410 2510

2035 2140 2340 2430 2530

2045 2130 2345 2435 2540

2145 2350 2450

3025 3120 3210 3410 3510

3045 3125 3240 3420 3520

3140 3245 3425 3540

3145 3250 3450

3150

4025 4120 4210 4310 4510

4035 4125 4230 4320 4520

4130 4235 4325 4530


59

4135 4250 4350

4150

5120 5210 5310 5410

5130 5230 5320 5420

5140 5240 5340 5430

88. ACE es un triángulo equilátero. B, D y F son puntos medios de los lados del triángulo ACE. G, H e I son

puntos medios de los lados del triángulo BDF. J, K y L son puntos medios de los lados del triángulo GFI.

¿Qué fracción del cuadrilátero ABDE representa la zona rayada?

SOLUCIÓN

Área (BDF) = 1

4 Área (ACE)

Área (GHI) = 1

4 Área (BDF) =

1

4 .

1

4 Área (BDF) =

1

16 Ærea (BDF)

Área (JKL) = 1

4 Área (FGI) =

1

4 Área (GHI) =

1

64 Área (BDF)

Área sombreada = ( 1

4 .

1

4 +

1

4 .

1

16) Área (ACE) = (

1

16 +

1

64) Área (ACE)

Área sombreada = ( 4+1

64 ) Área (ACE) =

5

64 Área (ACE)

89.Tengo piezas de cartón de forma rectangular.

Si coloco 3 de estas piezas una al lado de la otra sin superponerlas, como en la gura, obtengo un cuadrado de

24 cm de perímetro.

Si ahora coloco las 3 piezas sin superponerlas, pero de otra manera, obtengo un rectángulo que no es un

cuadrado.

Dibuja este rectángulo e indica su perímetro.


60

SOLUCIÓN

l + 3a = 12cm ∨ a = 1

3 l

l + l = 12cm =⇒ l = 6cm ∧ a = 2cm

per (rectángulo) = 2 . ( 3l + a) = 2 . (3 . 6cm + 2cm) = 40cm

90. En la biblioteca, un tercio de los libros son de Matemática.

Hay 30 libros de Lengua.

Hay 24 libros de Ciencias Sociales.

Hay tantos libros de Ciencias Naturales como de Lengua.

¿Cuántos libros hay en total en la biblioteca?

SOLUCIÓN

1

3 l −→ matemática

30 l −→ lengua

l = n

24 l de sociales

sociales −→ 24 l

lengua −→ 30 l

naturales −→ 30 l

Total - 1

3 matemática = ls + ll + ln = 24 l + 30 l + 30 l = 84 l

2

3 l = 84 l

1

3 l =

84

2 l = 42 l −→ matemática

Total = 84 l + 42 l = 126 l

91. Matías tiene 3 cajas: una roja, una verde y otra azul; y 4 medallas: una de oro, una de plata, una de bronce y

una de cobre. Quiere guardar todas las medallas en las cajas de modo que ninguna caja quede vacía.

¿De cuántas maneras distintas puede hacerlo?

Enuméralas.


61

SOLUCIÓN

Sea la siguiente relación: caja ←→ medalla

(roja, verde, azul) ←→ (oro, plata, bronce, cobre)

(r, v, a) ←→ (o, p, b, a)

Se pueden ordenar de las siguientes maneras:

R V A - R V A - R V A - R V A

o p b - c - p o b - c - b o p - c - c p b - o

o p - b c - p o - b c - b o - p c - c p - b o

o p - c b - p o - c b - b o - c p - c p - o b

o b - c p - p b - c o - b p - c o - c b - o p

o c b - p - p c b - o - b c p - o - c o b - p

o b c - p - p b o - c - b p o - c - c b o - p

Existen 34 posibilidades.

92. En la primera fila del teatro hay 5 asientos.

Para la función de esta noche Juan compró las 5 entradas de la primera la para él y sus amigos: Ana, Dani, Edu

y Mar.

Si Ana y Mar se sientan una al lado de la otra, ¿de cuántas maneras distintas podrán sentarse los 5 chicos?

SOLUCIÓN

A M D E J - D A M E J

A M D J E - D A M J E

A M E D J - E A M D J

A M E J D - E A M J D

A M J D E - J A M D E

A M J E D - J A M E D

D E A M J - D E J A M

D J A M E - D J E A M

E D A M J - E D J A M

E J A M D - E J D A M


62

J D A M E - J D E A M

J E A M D - J E D A M

M A D E J - D M A E J

M A D J E - D M A J E

M A E D J - E M A D J

M A E J D - E M A J D

M A J D E - J M A D E

M A J E D - J M A E D

D E M A J - D E J M A

D J M A E - D J E M A

E D M A J - E D J M A

E J M A D - E J D M A

J D M A E - J D E M A

J E M A D - J E D M A

93. El Sr. López es dueño de las tres cuartas partes de una empresa.

Cuando se repartieron las ganancias de 1999, el Sr. López recibió como adelanto $13.600 que representaban el

30% de sus ganancias.

Cuánto dinero ganó la empresa en 1999?

SOLUCIÓN

López −→ 3

4 partes

30% −→ $12600

1% −→ $12000

30

75% −→ $ 12000 .75

100 = $ 31500

75% −→ $31500

100% −→ $ 31500 .100

75 = 42000

94. El trapecio rectángulo ABCD tiene 192cm2 de Área.

AB = BC y BC = 2 AD.

¿Cuál es el Área del triángulo ABC?


63

SOLUCIÓN

Área (ABCD) = 192cm2

AB = BC = 2AD (𝐵+𝑏)ℎ

2 =

(𝐵𝐶+𝐴𝐷).𝐴𝐵

2 = 192 cm2

(2𝐴𝐷+𝐴𝐷).2𝐴𝐷

2 =

3𝐴𝐷 . 2𝐴𝐷

2 = 3 (AD)2 = 192cm2

(AD)2 = 192

3 cm2 = 64cm2 ⇒ AD = 8cm

AB = BC = 2AD = 2 . 8cm = 16cm

Área (ABC) = 𝐴𝐵 .𝐵𝐶

2 =

16𝑐𝑚 .16𝑐𝑚

2 = 128cm2

95. Amalia, Bruno y Carla organizaron una rifa para juntar dinero para el viaje de egresados.

Entre los tres vendieron 94 rifas y juntaron $ 235.

Carla vendió 20 rifas más que Bruno.

Bruno vendió 10 rifas más que Amalia.

¿Cuánto dinero recaudó Bruno?

SOLUCIÓN

A + B + C = 94 rifas (*)

C = B + 20 rifas

B = A + 10 rifas

recaudación −→ $235

1 rifa −→ $ 235

94 = $2,50

C = B + 30 rifas = A + 10 rifas + 30 rifas = A + 40 rifas

Reemplazando en (*) queda:

A + A + 10 rifas + A + 30 rifas = 94 rifas

3A = 94 rifas - 40 rifas = 54 rifas

A = 54

3 rifas = 18 rifas

A −→ 18 rifas


64

B −→ 18 rifas + 10 rifas = 28 rifas −→ recaudación de B = 28 . $2,50 = $70

C −→ 28 rifas + 20 rifas = 48 rifas

96. BCDE es un rectángulo de 48 cm2de Área.

ABFG es un cuadrado. AB = BC

El Área del cuadrado es 1/3 del Área del rectángulo.

¿Cuál es el perímetro de la figura ACDEFG?

SOLUCIÓN

Área (ABGF) = 1

3 Área (BCDE)

AB = BC

Área (BCDE) = 48cm2

área (ABGF) = 48

3 cm2 = 16cm2 ⇒ AB = BC = 4cm

4cm . CD = 48cm2=⇒ CD = 48

4 cm = 12cm

per (ABCDEFG) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA =

= per (ABCDEFG) = 4cm + 4cm +12cm + 4cm + 8cm + 4cm +4cm = 40cm

97. Agustín, Bruno y Carlos reciben en herencia un campo y un departamento que deben repartir del siguiente

modo: Agustín recibe la mitad; Bruno, un tercio y Carlos, la sexta parte.

Entre los tres deciden que: Agustín se queda con el campo y le da a Carlos $5640, Bruno se queda con el

departamento y le da a Carlos $ 69360.

¿Cuál es el valor del campo?

¿Cuál es el valor del departamento?

SOLUCIÓN


65

A −→ 1

2 −→ CAMPO

B −→ 1

3 −→ DEPARTAMENTO

C −→ 1

2 −→ $5640 + $69360 = $7500

1

6 −→ $75000

1 −→ $75000 . 6 = $450000

A −→ 1

2 HERENCIA −→ CAMPO = $225000

B −→ 1

3 HERENCIA −→ DEPARTAMENTO = $150000

98. Tres cuadrados con lados de longitudes: 10 cm, 8 cm y 6 cm respectivamente, se colocan uno al lado del

otro como muestra el dibujo.

¿Cuál es el área de toda la figura?

¿Cuál es el área de la parte sombreada?

SOLUCIÓN

área total (figura) = 102cm2+ 82cm2+ 62cm2

área T (figura) = 100cm2 + 64cm2 + 36cm2 = 200cm2

área S = 10𝑐𝑚 (10𝑐𝑚+8𝑐𝑚+6𝑐𝑚)

2 - (10cm - 6cm). 6cm - (10cm - 8cm) . 8cm

área S = 120cm2 - 24cm2 - 16cm2 = 80cm2

99. ¿Cuántos trapecios hay en la figura?


66

SOLUCIÓN

Podemos hacer las siguientes combinaciones:

(2 , 3 , 4) , (7 , 9 , 10 , 11 , 12, 13 , 14 , 15) , (8 , 9 , 10 ,11 , 12 , 13 , 14 , 16) , (19 , 20 , 21) , (4 , 14 , 15 , 16 , 17 ,

21), (2 , 7), (4 , 15), (8 , 19) , (16 , 21), (10 , 12 , 20), (12 , 13 , 20), (2 , 3), (3 , 4) , (19 , 20) , (20 , 21) , (12, 13 , 14 ,

15 , 16 , 17) , (8 , 9 , 10 , 11 , 13 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17) , (6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 13) , (4 , 15) , (6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ,

13 , 14 , 16) , (14 , 15 , 16 , 17 , 21), (14 , 15 , 16 , 17 , 21), (12, 13 , 20) , (10 , 12 , 20), (3 , 11 , 13) , (3 , 10 , 11),

(2, 6 , 7 , 8 , 9 , 19), (2 , 6 , 7 , 8 , 9), (6 , 7 , 8 , 9 , 19), (4 , 5 , 15 , 17) , (14 , 16 , 21 , 22), (4 , 5 , 14 , 15 , 16 , 17 ,

21) , (4 , 14 , 15 , 16 , 17 , 21 , 22) , (1 , 2 , 3 , 4), (2 , 3 , 4 , 5) , (18 , 19 , 20 , 21) , ( 19 , 20 , 21 , 22) , (1 , 3 , 6 , 7) ,

(8 , 9 , 18 , 19)

100. Luis tenía el doble de dinero que Miguel.

Cuando Luis le dio a Miguel $ 42, los dos se quedaron con la misma cantidad.

¿Cuánto dinero ten a Luis inicialmente?

SOLUCIÓN

L = 2M

L - $42 = M + $42

2M - $42 = M + $42 =⇒ M = $84 =⇒ L = $168

101. La mamá de Javier tiene: 2 billetes de $ 50, 5 billetes de $ 20, 10 billetes de $10 y 20 billetes de $ 5.

Le quiere dar a Javier $ 100 en billetes.

¿De cuántas maneras le puede dar los $ 100?


SOLUCIÓN

2 −→ $50

5 −→ $20

10 −→ $10

20 −→ $5

Inicialmente le puede dar las primeras 4 veces todos los billetes de cada clase por separado.

Posteriormente se pueden hacer las siguientes combinaciones:

$50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

$20 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 2

$10 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 1


67

$5 10 8 6 4 2 0 6 2 4 2 0 0

$50 0 0 0 0 0 0 0 0 0

$20 0 0 0 0 0 0 0 0 0

$10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

$5 18 16 14 12 10 8 6 4 2

$50 0 0 0 0 0 0 0 0 0

$20 1 1 1 1 1 1 1 1 1

$10 0 1 2 3 4 5 6 7 8

$5 16 14 12 10 8 6 4 3 0

$50 0 0 0 0 0 0 0

$20 2 2 2 2 2 2 2

$10 0 1 2 3 4 5 6

$5 12 10 8 6 4 2 0

$50 0 0 0 0 0 $50 0 0 0

$20 3 3 3 3 3 $20 4 4 4

$10 0 1 2 3 4 $10 0 1 2

$5 8 6 4 2 0 $5 4 2 0

4 −→ casos solos

12 −→ con billete de $50

33 −→ sin billete de $50

49 −→ casos posibles

102. En una bolsa hay caramelos de leche y de fruta.

Hay 36 caramelos de leche que son los dos quintos del total.

Sin cambiar la cantidad de caramelos de leche, se agregaron caramelos de fruta.

Si ahora los caramelos de leche representan 1

6 del total, ¿cuántos caramelos de fruta se agregaron?

SOLUCIÓN

L = 2

5 T ⇒ T =

36 .5

2 c = 90 c

F = 90c - 36C = 54c


68

Ahora:

L = 1

6 T ⇒ T =

36 c . 6 = 216c

216c - 36c = 180c

Se agregaron 180f - 54f = 126 cF

103. En la figura: ABCD es un cuadrado de 12cm de lado.

El cuadrado ORCS tiene 25cm2 de área.

¿Cuál es el área de la parte sombreada?

SOLUCIÓN

AB = BC = 12cm

área (ORCS) = 25cm2

área sombreada = a1+ a2

a1= (CD - CS) . (AD - TA)

a1= (12cm - 5cm) . (12cm - 7cm) = 7cm . 5cm = 35cm2

a2 = 1

2 RT . AT =

1

2 . 12cm . 7cm = 42cm2

a1 + a2 = 35cm2 + 42cm2 = 77cm2

104. Tengo 10 fichas iguales y pintura roja, azul y blanca.

Quiero pintar todas las fichas de modo que haya alguna ficha de cada uno de los 3 colores.

¿De cuántas maneras puedo hacerlo?


SOLUCIÓN

R 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6

B 8 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1


69

R 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8

A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 2 1 1

B 5 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 1 2 1

8 posibilidades −→ 1R 7 posibilidades −→ 3R 6

posibilidades −→ 3R 5 posibilidades −→ 4R 4

posibilidades −→ 5R 3 posibilidades −→ 6R

2 posibilidades −→ 7R

1 posibilidad −→ 8R

En total, hay 36 casos posibles.

105. En una escuela, de primero a séptimo grados hay un total de 414 alumnos.

Los alumnos de quinto, sexto y séptimo, juntos, representan un tercio del total.

Si en quinto hubiera 3 alumnos más, en sexto hubiera 7 alumnos más y en séptimo hubiera 2 alumnos más, habr

a igual número de alumnos en quinto, sexto y séptimo.

¿Cuántos alumnos hay en quinto grado, cuántos en sexto y cuántos en séptimo?

SOLUCIÓN

de 1º a 7º −→ 414 alumnos

5º −→ x

6º −→ y

7º −→ z

x + y + z = 1

3 total =

1

3 . 414 a = 138 a

x + 3 = y + 7 = z + 2

x + 3 = y + 7 =⇒ y = x - 4

x + 3 = z + 2 =⇒ z = x + 1

x + y + z = 138 a

x + x - 4 + x + 1 = 138a

3 . x = 141 a =⇒ x = 141

3 𝑎 ⇒ x = 47 a

Entonces:

5º −→ 47 a

6º −→ 47 a - 4 a = 43 a

7º −→ 47 a + 1 a = 48 a

106. Un terreno de forma cuadrada se cercó colocando un poste en cada esquina y varios postes en los lados,

siempre a igual distancia entre sí.


70

En total se utilizaron 24 postes. El área del terreno es de 144 m2.

¿Cuál es la distancia entre dos postes consecutivos de un mismo lado?

SOLUCIÓN

área cuadrado = 144m2

lado = √144 m = 12m

En 4 lados debo colocar 24 postes - 4 postes de las esquinas = 20 postes

Es decir, 5 postes por cada lado

Cada lado queda conformado de la siguiente manera

esquina - A - B - C - D - E - esquina −→ 6 espacios

Si de esquina a esquina hay 12m =⇒ hay 12

6 m de distancia entre cada poste =⇒ cada poste se distancia 2m del

siguiente.

107. Con los dígitos 1 – 4 – 0 – 6 – 7 - 9, ¿cuántos números pares menores que 2005 se pueden formar?

SOLUCIÓN

números −→ 1, 4, 0, 6, 7, 9

pares < 10 −→ 0, 4, 6 −→ 3 números

pares entre 11 y 99 −→ 13 números



total −→ 3 + 13 + 52 + 30 = 98 casos

pares entre 10 y 99

10 , 14 , 16 , 40 , 46 , 60 , 64 , 0 , 4 , 76 , 90 , 94 , 96

pares entre 100 y 999

centena decena unidad

1 0 0

4 1 1

6 4 4

7 6 6


71

9 7 7

- 9 9

104 - 106 - 140 - 146 - 160 - 164 - 170 - 14 - 16 - 190 - 194 - 196 - 406 - 410 416 - 460 - 470 - 476 - 490 - 496 -

604 - 610 - 614 - 640 - 670 - 674 - 690 - 694 -

704 - 706 - 710 - 714 - 716 - 740 - 746 - 760 - 764 - 790 - 794 - 796 - 904 - 906 910 - 914 - 916 - 940 - 946 - 960 -

964 - 970 - 974 – 976

unidad de mil centena decena unidad

1 0 0 0

1 1 1

4 4 4

6 6 6

7 7 7

9 9 9

1406 - 1460 - 1470 - 1476 - 1490 - 1496 - 1604 - 1640 - 1670 - 1674 - 1690 - 1694 - 1704 - 1706 - 1740 - 1746 -

1760 - 1764 - 1790 - 1794 - 1796 - 1904 - 1906 1940 - 1946 - 1960 - 1964 - 1970 - 1974 - 1976

108. En el gimnasio hay 148 personas. Todas las mujeres y la tercera parte de los varones hacen bicicleta.

Si hay 98 bicicletas ocupadas, ¿cuántas mujeres y cuántos varones hay en el gimnasio?

SOLUCIÓN

TOTAL −→ 148 p

M + V = 148

M + 1

3 V = 98

De aquí:

M = 148 - V = 98 - 1

3 V

148 - V = 98 - 1

3 V

148 - 98 = V - 1

3 V ⇒

2

3 V = 50 ⇒ V =

50 .3

2 = 75

V = 75

M = 148 - V =⇒ M = 148 -75 = 73

M = 73

(M, V) = (73, 75)


72

109. En la figura, BCDJ y FGHI son cuadrados iguales.

El área del cuadrado sombreado es un noveno del área del FGHI.

El cuadrado sombreado tiene 49 cm2 de área.

Cuál es el área del cuadrado ACEG?

SOLUCIÓN

área (BCDJ) = área (FGHI)

área (cuadrado sombreado) = área (cs ) = 1

9 área (FGHI ) = 49cm2

¿área (ACEG)?

área (FGHI) = 9 . 49cm2= 441cm2 =⇒ GH = FI = GF = HI = 21cm

AB = HI - 7cm =⇒ AB = 21cm - 7cm = 14cm

EF = DJ - 7cm =⇒ EF = 21cm - 7cm = 14cm

AH = BJ - 7cm =⇒ AH = 21cm - 7cm = 14cm

DE = FI - 7cm =⇒ DE = 21cm - 7cm = 14cm

De estas igualdades sale que:

AG = EG = CE = AC

AC = AB + BC = 14cm + 21cm = 35cm

área (ACEG) = (35cm)2= 1225cm2

110. Con los dígitos 1 – 2 – 3 – 4 – 5 - 6 - 7 se arman números menores que 10000, sin cifras repetidas, que son

múltiplos de 5 y de 3.

¿Cuáles y cuántos son?

SOLUCIÓN

Entre 1 y 99 hay 3 nros:

15, 45, 75


135 , 165 , 315 , 345 , 375 , 435 , 465 , 615 , 645 , 675 , 735 , 765



73

1245 , 1275 , 1365 , 1425 , 1635 , 1725 , 2145 , 2175 , 3165 , 3615 , 4125 , 4215 , 4275 , 4365 , 4635 , 4725 , 6135,

6315 , 6345 , 6375 , 6435 , 6735 , 7365 , 7635

En total hay 3 + 12 + 24 = 39 nros.

111. Hay 120 bolitas repartidas en tres frascos: uno rojo, uno verde y uno azul.

En el frasco verde hay el doble de bolitas que en el rojo.

Paso 6 bolitas del frasco rojo al azul y 7 bolitas del verde al azul; ahora hay la misma cantidad de bolitas en el

frasco verde que en el azul.

¿Cuántas bolitas había inicialmente en cada uno de los frascos?

SOLUCIÓN

V = 2R

R + V + A = 120 =⇒ R + 2R + A = 120

2R + A = 120 (*)

R - 6 + V - 7 + A + 13 = 120

Renombro:

V - 7 = x

A + 13 = y

Si x = y =⇒ V - 7 = A + 13 =⇒ V = A + 20

entonces:

R - 6 + A + 20 - 7 + A + 13 = 120

R + 2A = 100 (**)

De (*) y (**) sale que:

{3𝑅 + 𝐴 = 120𝑅 + 2𝐴 = 100

∴ A = 120 - 3R

R + 2 (120 -3R) = 100

R + 240 - 6R = 100

240 - 100 = 6R - R =⇒ 140 = 5R =⇒ R = 140

5 = 28

A = 120 - 3R = 120 - 3 . 28 = 120 - 84 = 36

V = A + 20 = 36 + 20 = 56

(A, R, V) = (36, 28, 56)

112. En la figura, ABFG y BCDE son rectángulos.

CD = 27 cm; EF = 3 BE;


74

El perímetro de ABFG es 402 cm.

El área de ABFG es el triple del área de BCDE.

¿Cuál es el perímetro de BCDE?

SOLUCIÓN

CD = 27cm EF = 3BE

per (ABFG) = 402cm

área (ABFG) = 3 . área (BCDE)

¿per (BCDE)?

EF = 3BE ∧ BE = CD = 27cm =⇒ EF = 3 . 27cm = 81cm

per (ABFG) = 402cm =⇒ 2 . (AB + BF) = 402cm

BF = BE + EF = BE + 3BE = 4BE = 4 . 27cm = 108cm

AB = 402𝑐𝑚−2 .108𝑐𝑚

2 =

402𝑐𝑚−216𝑐𝑚

2 = 93cm

área (ABFG) = AB . AG = 93cm . 108cm = 10044cm2

área (BCDE) = 1

3 área (ABFG) =

1

3 . 10044cm2= 3348cm2

ED . CD = 3348cm2

ED = 3348

27 cm = 124cm

per (BCDE) = BC + CD + DE + BE

per (BCDE) = 2 (BC + CD) = 2 . (124cm + 27cm) = 2 . 151cm = 302cm

113. Sobre la mesa, hay 5 lápices de colores: uno celeste, uno blanco, uno marrón, uno fucsia y uno gris y 4

lapiceras: una azul, una negra, una roja y una verde.

Quiero elegir 3 lápices y 2 lapiceras para guardarlos en la cartuchera.

¿De cuántas formas puedo hacerlo? Explica por qué.

SOLUCIÓN

lápices −→ (C, B, M, F, G) −→ elijo 3

lapiceras −→ (A, N, R, V) −→ elijo 2

Debo combinar los lápices de a 3 y las lapiceras de a 2 y después recombinar cada grupo entre sí.


75

En este caso no importa el orden en que elijo cada elemento.

Las combinaciones de lápices son:

C B M 1

C B F 2

C B G 3

C F M 4

C F G 5

C G M 6

B M F 7

B M G 8

M F G 9

B F G 10

Las combinaciones de lapiceras son:

A N 1

A R 2

A V 3

N R 4

N V 5

R V 6

A cada combinación de lápices o lapiceras le asigno un número guía y los combino entre cada grupo. Así queda:

(1 , 1), (1 , 2), (1 , 3), (1 , 4), (1 , 5 , (1 , 6), (2 , 1), (2 , 2), (2 , 3), (2 , 4), (2 , 5), (2 , 6), (3 , 1), (3 , 2) , (3 , 3) , (3 , 4) ,

(3 , 5), (3 , 6) (4 , 1), (4 , 2), (4 , 3), (4 , 4), (4 , 5), (4 , 6), (5 , 1 , (5 , 2), (5 , 3), (5 , 4), (5 , 5), (5 , 6), (6 , 1), (6 , 2) ,

(6 , 3), (6 , 4), (6 , 5), (6 , 6), (7 , 1), (7 , 2), (7 , 3), (7 , 4), (7 , 5) , (7 , 6) (8 , 1) , (8 , 2) , (4 , 5) , (4 , 6) (5 , 1), (5 , 2),

(5, 3), (5, 4), (5, 5), (5 , 6), (6 , 1) , (6 , 2) , (6 , 3), (6 , 4) , (6, 5) , (6, 6) ,(7 , 1) , (7 , 2), (7, 3) , (7 , 4) , (7 , 5) , (7 , 6),

(8 , 1) , (8 , 2)

En total hay 60 combinaciones posibles

114. Las barritas de cereal se venden en cajas de 6 unidades o en paquetes de 3 unidades.

Para darle una barrita a cada uno de los 39 chicos del grado se gastarían $ 42,90 si se compraran sólo paquetes

o $ 37,50 si se comprara un paquete y el resto de las barritas en cajas.


76

¿Cuál es el precio de cada paquete?

¿Cuál es el precio de cada caja?

SOLUCIÓN

cajas −→ 6u

paquetes −→ 3u

39 chicos −→ $42,90

caja −→ $x

paquete −→ $y

13p −→ $42,90

1p −→ $ 42,90

13 = $3,30

1p + 6c −→ $37,50

$3,30 + 6c = $37,50

6c = $37,50 - $3,30 = $34,20

C = $ 34,20

6 = $5,70

(c, p) = ($5,70, $3,30)

115. La figura, de 50 cm de perímetro está formada por un rectángulo y dos triángulos isósceles iguales donde

AB = BC; AB = 5 cm.

El área del rectángulo es 120 cm2.

¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?

SOLUCIÓN

per (ABCDEF) = 50cm

AB = BC = 5cm

área (ACDF) = 120cm2

¿per (ABC)?

AB + BC + CD + DE + EF + AF = 50cm

5cm + 5cm + CD + 5cm + 5cm + AF = 50cm

Si AF = CD =⇒ 2AF = 50cm - 20cm = 30cm

AF = 30

2 cm = 15cm


77

área (ACDF) = 120cm2

AF . AC = 120cm2

AC = 120

15 cm = 8cm

per (ABC) = AB + BC + AC = 5cm + 5cm + 8cm = 18cm

116. Siempre moviéndonos en el sentido de las flechas, ¿de cuántas maneras podemos ir desde A hasta P?

SOLUCIÓN

Como todo es un camino largo, tratamos de dividirlo en dos tramos: os colocamos en el punto H y vemos que

hasta allí todos llegan en dos caminos, (el GH y el CH). Entonces divido las distintas rutas y las denomino:

(1) AFG (A) HIP

(2) AFGC (B) HDIEP

(3) ABGC (C) HDEP

(4) ABC (D) HIEP

(5) ABFGC (E) DIEP

- - (F) DIP

- - (G) HDIP

- - (H) DEP

Se nota que el grupo (1) se puede combinar solamente con el camino que empieza en H, o sea:

(1, A), (1, B), (1, C), (1, D), (1, G) =⇒ 5 posibilidades

Los grupos (2), (3), (4) y (5) se relacionan con todos:

(2 , A), (2 , B) , (2 , C), (2 , D) , (2 , E) , (2 , F) , (2 , G) , (2 , H), (3 , A) , (3 , B) , (3 , C) , (3 , D) , (3 , E), (3 , F) ,

(3 , G) , (3 , H) (4 , A) , (4 , B) , (4 , C) , (4 , D) , (4 , E) , (4 , F) , (4 , G) , (4 , H) (5 , A) , (5 , B) , (5 , C) , (5 , D)

, (5 , E) , (5 , F) , (5 , G) , (5 , H)


En total hay 37 formas distintas de hacer el recorrido.

117. Pablo y Martín coleccionan figuritas.


78

Pablo regaló algunas y se quedó con las dos terceras partes de lo que tenía; ahora tiene 20 figuritas menos que

antes.

Martín, con sus ahorros, compró figuritas hasta tener 5 veces la cantidad de figuritas que teína; ahora tiene 120

figuritas más que antes.

¿Cuántas figuritas tenía al principio Pablo?

¿Cuántas figuritas ten a al principio Martín?

SOLUCIÓN

P −→ x – 20 = 2

3 x ⇒ x -

2

3 x = 20 ⇒ x = 60

M −→ y −→5y −→ y + 120 =⇒ 5y = y + 120 =⇒ y = 30

118. En la figura, de 208 cm de perímetro, BCEF es un rectángulo, ABF y CDE son triángulos; ABF, de 84 cm de

perímetro, es equilátero. CDE, de 100 cm de perímetro, es isósceles con DE = DC.

Cuál es el perímetro del rectángulo BCEF? Cuál es el Área del rectángulo BCEF?

SOLUCIÓN

per (ABCDEF) = 208cm

per (ABF) = 84cm −→ equilátero

per (CDE) = 100cm

DE = CD

¿per (BCEF)?

¿área (BCEF)?

AB = AF = BF =⇒ AB = 84

3 cm = 28cm

CE = BF = 28cm

DE + CD + CE = 100cm

2DE + 28cm = 100cm

2DE = 72cm =⇒ DE = 72

2 cm = 36cm

AB + BC + CD + DE + EF + FA = 208cm

28cm + BC + 36cm + 36cm + EF + 28cm = 208cm


79

Si BC = EF =⇒ 2BC = 208cm - 2 . 28cm - 2 . 36cm

BC = 208 𝑐𝑚−128𝑐𝑚

2 = 40cm

per (BCEF) = 2 (EF + FB) = 2 (40cm + 28cm) = 136cm

área (BCEF) = (EF . FB) = 40cm . 28cm = 1120cm2

119. Se tienen 30 cartones numerados del 1 al 30, de un lado son rojos y del otro lado, negros.

Cada cartón tiene el mismo número de los dos lados.

Están sobre la mesa, con el lado azul a la vista, ordenados de menor a mayor.

Aldo da vuelta uno sí y uno no: da vuelta el primero, el tercero,.....

Después Bruno da vuelta uno sí y dos no: da vuelta el primero, el cuarto,.....

Cuando Bruno termina, ¿cuántos cartones quedaron con el lado negro a la vista?

¿Cuáles son?

SOLUCIÓN

INICIO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

ALDO

1R 2N 3R 4N 5R 6N 7R 8N 9R 10N

11R 12N 13R 14N 15R 16N 17R 18N 19R 20N

21R 22N 23R 24N 25R 26N 27R 28N 29R 30N

BRUNO

1N 2N 3R 4R 5R 6N 7N 8 9R 10R

11R 12N 13N 14N 15R 16R 17R 18N 19N 20N

21R 22R 23R 24N 25N 26N 27R 28R 29R 30N

120. Carla rompió su collar.

La mitad de las perlas cayeron al piso, encontró la cuarta parte en su bolsillo, una sexta parte quedó en el hilo y

Carla sabe que se perdieron 9.

¿Cuántas perlas tenía el collar?

SOLUCIÓN


80

1

2 −→ PISO

1

4 −→ BOLSILLO

1

6 −→ HILO

PERDIDAS −→ 9

1

2 +

1

4 +

1

6 =

6+3+2

12 =

11

12

1

12 = 9 PERLAS =⇒ TOTAL = 12 . 9 PERLAS = 108 PERLAS

121. En la heladería hay una oferta:

Si compra 2 helados iguales, por el segundo paga la mitad .

Bibi y Ana aprovechan la oferta.

Bibi compra 2 vasitos y 6 cucuruchos; paga en total $ 75.

Ana compra 2 vasitos y 2 cucuruchos; paga en total $ 33.

¿Cuál es el precio de un cucurucho?

¿Cuál es el precio de un vasito?

SOLUCIÓN

2H −→ PAGA 1

B −→ 2V + 6C = $75

A −→ 2V + 2C = $33

3

2 V + 3 .

3

2 C = $75

3

2 V +

3

2 C = $33

3V + 9C = $150

3V + 3C = $66

Es equivalente a:

V + 3C = $50

V + C = $33

De aquí

V = $22 - C

$22 - C + 3C = $50

2C = $28

Entonces:


81

C = $14 ∧ V = $8

122. El polígono ABCDE tiene 120 cm de perímetro.

AB = 3 BC y ED = DC.

El perímetro del rectángulo ABCE es igual al perímetro del triángulo ECD.

Cuánto miden los lados del triángulo ECD?

SOLUCIÓN

per (ABCDE) = 120cm

AB = 3BC ED = CD

per (ABCE) = per (ECD) AB + BC + CD + DE + EA = 120cm

Reemplazando:

3BC + BC + CD + CD + BC = 120cm

5BC + 2CD = 120cm (*)

2(AB + BC) = (CD + DE) + CE

Reemplazando:

2 (3BC + BC) = 2CD + 3BC 8BC - 3BC = 2CD =⇒ 5BC = 2CD

Si vuelvo a (*), queda:

4CD = 120cm =⇒ CD = 30cm

5BC = 2CD =⇒ BC = 2

5 CD =⇒ BC =

2 .30

5 cm = 12cm

AB = 3BC = 3 . 12cm = 36cm

∴ (CD , DE , CE) = (30cm , 30cm , 36cm)

123. Dibuja un cuadrado ABCD.


82

Marca un punto P en el lado BC y un punto Q en el lado CD, de modo que los triángulos APB y AQD tengan

áreas distintas y, además, el área del cuadrilátero APCQ sea el triple de la suma de las áreas del triángulo APB y

del triángulo AQD.

Explica cómo elegiste los puntos y por qué las áreas de las tres figuras cumplen las condiciones pedidas.

SOLUCIÓN:

area (APCQ) = 3 (área (AQD) + área (APB)

area (AQD) = 1

2 AD . DQ

area (APB) = 1

2 AB . PB

area (APCQ) = (AD . AB) – ( 1

2 AD . DQ +

1

2 AB . PB)

Sea AD = AB y DQ = 𝐴𝐵

𝑥 , BP =

𝐴𝐵

𝑦

area (APCQ) = (AB)2 – (𝐴𝐵

2 .

𝐴𝐵

𝑥 +

𝐴𝐵 .𝐴𝐵

2𝑦 )

Sea (AB)2 = 1

Entonces

1 – (1

2𝑥 +

1

2𝑦 ) = 3 . (

1

2𝑥 +

1

2𝑦 )

1

2𝑥𝑦 (2xy – y – x) =

1

2𝑥𝑦 (3y + 3x)

2xy = 4y + 4x ⇒ xy = 2x + 2y

Hago una tabla de verdad:

𝑥 𝑦

0 01 < 02 𝑖

siendo i incompatible

3 64 4

510

3

6 3

Descarto los casos x = 0 , 1, 2, 5


83

Analizo si los casos restantes son verdadros:

Veamos el par (3, 6)

1 – (1

2𝑥 +

1

2𝑦 ) = 3 . (

1

2𝑥 +

1

2𝑦 ) ⇒ 1 – (

1

6 +

1

12 ) = 3 . (

1

6 +

1

12 ) ⇒ 1 -

2+1

12 = 3.

1

4 ⇒

3

4 =

3

4 vale

Veamos el par (4,4)

1 – (1

8 +

1

8 ) = 3 . (

1

8 +

1

8 ) ⇒ 1 -

2

8 = 3.

2

4 ⇒

6

8 =

6

8 vale

Con el par (3,6) se procede de manera semejante que con el par (3,6) ⇒ vale

De esta manera quedan 3 casos posibles:

𝐷𝑄 𝑃𝐵𝐴𝐵

3

𝐴𝐵

6

𝐴𝐵

4

𝐴𝐵

4𝐴𝐵

6

𝐴𝐵

3

124. A es el punto de la figura.

Se dibujan 7 segmentos con un extremo en A.

Se eligen algunos extremos libres de los segmentos dibujados (distintos de A;

A no es un extremo libre) y se dibujan 7 segmentos con un extremo en cada uno de los puntos elegidos. (ver

ejemplo en la figura). Se continúa este proceso.

Es posible, después de varios pasos, tener:

a. ¿55 extremos libres?

b. ¿1997 extremos libres?

Explica por qué.

SOLUCIÓN:


84

a) 35 extremos libres

En A tengo 5 extremos libres

En 4 ramas tengo 24 extremos libres

Me faltan 26 extremos

Aquí tomo dos caminos B y C

Si sigo por separado no lo podría conseguir porque me quedan 6 extremos libres por cada rama y 26 no es

múltiplo de 6.

b) 1997 extremos libres

En este caso me faltan 1997 – 29 = 1968 extremos

En este caso es posible, pues 1968 es múltiplo de 6.

125. Ismael dibuja rectángulos como el ABCD, que tienen todos la siguiente propiedad: si se los divide en

cuatro partes por rectas paralelas a los lados, las longitudes de AF, FB, BG y GC son números enteros de cm, el

área del rectángulo EIHD es 6 cm2, el área del rectángulo FBGI es 15 cm2.

¿Cuál es el rectángulo de mayor área que puede dibujar Ismael?

Dibújalo y da las longitudes de sus lados.

SOLUCIÓN:

AF , FB, BG, GC →

EI . DC = 6cm2

FB . GB = 15cm2

Puede haber 4 casos:

EI DE FB GB DA . AB

A 2 3 3 5 8 . 5

B 2 3 5 3 6 . 7

C 3 2 3 5 7 . 6

D 3 2 5 3 5 . 8

Caso A = 40 cm2


85

Caso B = 42cm2→Caso C = 42cm2

Caso D = 40cm2

126. Pedro y Juan están armando cada uno un sendero en el jardín.

El sendero de Pedro y el sendero de Juan tienen la misma longitud.

Pedro tarda 4 horas en armar su sendero.

Juan tarda 5 horas en armar el suyo.

A las 8 h 30 min, cada uno empieza a armar su sendero.

Cuando suena la sirena, a Juan le queda por hacer el doble de lo que le queda a Pedro.

¿A qué hora sonó la sirena?

SOLUCIÓN:

P → 4 h

J → 5 h

Empieza 8.30h → x tiempo

J = 2P

J → 5−𝑥

5 p →

4−𝑥

4

5−𝑥

5 =

8−2𝑥

4 ⇒ 4 (5 – x) = 5 (8 – 2x) ⇒ 20 – 4x = 40 – 10x ⇒ 6x = 20 ⇒ x =

20

6 =

10

3 = 3h 20 min

El trabajo comenzó a 8.30hs y terminó después de 3.20hs, es decir 11.50hs

127.Un número de 4 cifras es equilibrado si uno de sus dígitos es el promedio de los otros tres.

Por ejemplo: 1654 es equilibrado porque 4 es el promedio de 1, 5 y 6.

2222 es equilibrado porque 2 es el promedio de 2, 2 y 2.

¿Cuántos números equilibrados mayores que 1000 y menores que 1999 hay?

¿Cuáles son?

SOLUCIÓN:

1 es promedio de

1003 , 1012, 1021, 1030, 1102, 1120, 1201, 1210, 1300

2 es promedio de

1025, 1052, 1124, 1142, 1205, 1250, 1214, 1241, 1223, 1322, 1232, 1430, 1502, 1520, 1241

3 es promedio de

1038, 1083, 1830, 1803, 1308, 1380, 1371, 1317, 1137, 1173, 1731, 1713, 1362, 1326, 1236, 1263, 1623, 1632,

1353, 1335, 1553

4 es promedio de


86

1456, 1465, 1546, 1564, 1654, 1645, 1474, 1447, 1744

5 es promedio de

1595, 1559, 1955, 1586, 1568, 1685, 1658, 1865, 1856, 1577, 1775, 1757

6 es promedio de

1698, 1689, 1968, 1986, 1869, 1896

En total tengo:

Caso 1 9

Caso 2 15

Caso 3 24

Caso 4 21

Caso 5 12

Caso 6 6

Casos posibles 87

128. En un rectángulo ABCD de 196 cm2 de área, con AB = 4 BC, se traza una paralela a AB y dos paralelas a BC

que lo dividen en 6 rectángulos de lados de medidas enteras.

Se pintan de rojo 3 de estos 6 rectángulos: el que tiene un vértice en A, el que tiene un vértice en B y el que

está sobre el lado CD pero no tiene ningún vértice común con el rectángulo ABCD.

Se quiere que el área de la parte del rectángulo ABCD que quedó pintada de rojo sea igual al área de la parte

no pintada.

Si se cambian las distancias entre las paralelas y los lados conservando las condiciones: lados de medidas

enteras y área de la parte pintada igual al área de la parte no pintada, ¿de cuántas maneras distintas puede

partirse el rectángulo ABCD en 6 rectángulos?

¿Qué medidas tienen los lados de los rectángulos pintados de rojo?


SOLUCIÓN:

área (ABCD) = 196cm2

área (R1 + R2 + R3) = 1

2 area (ABCD)

AB . BC = 196cm2

4 (BC)2 = 196cm2 ⇒ BC = 49 cm2 ⇒ BC = 7cm ⇒ AB = 28cm

área (R1 + R2 + R3) = 1

2 196 cm2 = 98cm2

AH + HD = 7cm

AV + VP + PB = 28cm


87

(AV + PB) AH + VP . HD = 98cm2

(28 cm – VP) AH + VP. AH + 7VP – VP. AH = 98cm2

Sean

AH → x

VP → y

Queda:

28x – 2xy + 7y = 98cm2

Desarrollo una tabla de verdad

𝑥 𝑦1 142 14

3 144 <5 <

x = 1 → 5y = 70 → y = 70

x = 2 → 3y = 42 → y = 14

x = 3 → y = 14

AH = 1 ⇒ HD = 6 ⇒ R3 = 14cm . 6cm = 84cm2

Area (R1 + R2) = 14cm2

Significa:

AV VP PB → R1 R2

(O,1) (1, 15) (15,28) → 1cm2 13cm2

(O,2) (2,16) (16,28) → 2cm2 12cm2

(O,3) (3,17) (17,28) → 3cm2 11cm2

(O,4) (4,18) (18,28) → 4cm2 10cm2

(O,5) (5,19) (19,28) → 5cm2 9cm2

(O,6) (6,20) (20,28) → 6cm2 8cm2

(O,7) (7,219 (21,28) → 7cm2 7cm2

(O,8) (8.22) (22,28) → 8cm2 6cm2

(O,9) (9.23) (23,28) → 9cm2 5cm2

(O,10) (10,24) (24,28) → 10cm2 4cm2

(O,11) (11.25) (25,28) → 11cm2 3cm2

(O,12) (12,26) (26,28) → 12cm2 2cm2


88

(O,13) (13.27) (27,28) → 13cm2 1cm2

AH = 2 ⇒ HD = 5 ⇒ R3 = 14cm . 5cm = 70cm2

Area (R1 + R2) = 28cm2

Significa:

AV VP PB → R1 R2

(O,1) (1, 15) (15,28) → 2cm2 26cm2

(O,2) (2,16) (16,28) → 4cm2 24cm2

(O,3) (3,17) (17,28) → 6cm2 22cm2

(O,4) (4,18) (18,28) → 8cm2 20cm2

(O,5) (5,19) (19,28) → 10cm2 18cm2

(O,6) (6,20) (20,28) → 12cm2 16cm2

(O,7) (7,219 (21,28) → 14cm2 14cm2

(O,8) (8.22) (22,28) → 16cm2 12cm2

(O,9) (9.23) (23,28) → 18cm2 10cm2

(O,10) (10,24) (24,28) → 20cm2 8cm2

(O,11) (11.25) (25,28) → 22cm2 6cm2

(O,12) (12,26) (26,28) → 24cm2 4cm2

(O,13) (13.27) (27,28) → 26cm2 2cm2

AH = 3 ⇒ HD = 4 ⇒ R3 = 14cm . 4cm = 56cm2

Area (R1 + R2) = 42cm2

Significa:

AV VP PB → R1 R2

(O,1) (1, 15) (15,28) → 3cm2 39cm2

(O,2) (2,16) (16,28) → 6cm2 36cm2

(O,3) (3,17) (17,28) → 9cm2 33cm2

(O,4) (4,18) (18,28) → 12cm2 30cm2

(O,5) (5,19) (19,28) → 15cm2 27cm2

(O,6) (6,20) (20,28) → 18cm2 24cm2

(O,7) (7,219 (21,28) → 21cm2 21cm2


89

(O,8) (8.22) (22,28) → 24cm2 18cm2

(O,9) (9.23) (23,28) → 27cm2 15cm2

(O,10) (10,24) (24,28) → 30cm2 12cm2

(O,11) (11.25) (25,28) → 33cm2 9cm2

(O,12) (12,26) (26,28) → 36cm2 6cm2

(O,13) (13.27) (27,28) → 39cm2 3cm2

129. Un tren parte de Azul con 134 pasajeros entre hombres, mujeres y niños.

Para en varias estaciones; cada vez que para, bajan 2 hombres y 1 mujer y suben 4 niños.

Al llegar al final del recorrido hay, en total, 143 pasajeros: el número de niños es una vez y medio el número de

hombres, el número de mujeres es la mitad del número de niños.

¿Cuántos hombres, mujeres y niños había en el tren cuando partió de Azul?

SOLUCIÓN:

h + m + n = 134

al final

n = 3

2 h y m =

1

2 n

h + m + n = 134

2

3 n +

1

2 n + n = 143

Si bajan 3 y suben 4 → aumenta 1

Si aumentó 9 → hubo 9 paradas,

o sea bajaron 2h . 9 = 18h , 1m .9 = 9m y subieron 4n . 9 = 36n

2

3 n + 18 +

1

2 n + 9 + n – 36 = 134

13

6 n = 143 ⇒ n =

6

13 .143 = 66

h = 2

3 n =

2

3 . 66 = 44

m = 66

2 = 33

Cuando partió había :

h = 44 + 18 = 62

m = 33 + 9 = 42

n = 66 – 36 = 30

130. En la pantalla de la computadora se ve una marca A y un disco que puede girar sobre su centro, como en

la figura.


90

El disco es blanco y el punto del borde que coincide con la marca A es de color rojo.

Cada vez que se aprieto la tecla E, el disco gira 15’ en el sentido de las agujas del reloj y, cuando se detiene,

cambia el color del punto del borde del disco que coincide con la marca A, de la siguiente manera: si es blanco,

cambia a rojo; si es rojo, cambio a azul; si es azul, cambia a rojo.

Después de apretar la tecla E 2000 veces, ¿cuántos puntos rojos y cuántos puntos azules hay en el borde del

disco?

¿Cuál es el menor número de veces que hay que apretar la tecla E para que haya más puntos azules que rojos?

SOLUCIÓN:

El disco gira 15 min

blanco → rojo → azul → rojo

Para una vuelta completa habrá que apretar:

360 .60 𝑚𝑖𝑛

15 𝑚𝑖𝑛 =

21600

15 = 1440 veces

En ese punto hay 1440 luces rojas.

Cuando llegamos a apretar E 2000 veces, nos faltan 560 veces o sea que habrá 560 luces azules y 1440 – 560 =

880 luces rojas.

Para que haya más puntos azules que rojos habrá que apretar 1440 + 1440

2 +1 = 2161 veces.

131. Inés dibuja todo los rectángulos de 264 cm2 de área y lados de longitudes enteras (en cm) que puede

partir en un cuadrado y cuatro rectángulos, todos de lados de longitudes enteras, como en la figura.

El cuadrado está ubicado en el centro, el rectángulo I es igual al rectángulo III y el rectángulo II es igual al

rectángulo IV.

¿Cuáles son los rectángulos que dibujó Inés?

En cada uno de esos rectángulos, ¿cuál es el área de cada uno de los cuadrados ubicados en el centro?

SOLUCIÓN:


91

area (ABCD) = 26cm2

AB = CD y AD = BC

area I = area III

area II = area IV

area (AEHF) = area (IKCL) ⇒ AE . EH = IK . KC

area (FGLD) = area (EBJK) ⇒ FG.GL = EB. BK

AE = IK → x

GL = BK → y

DL = EB → z

KC = EH → t

(x + z) (y +t) = 264cm2

(x – z) = (y – t)

2 xt + 2 yz + (x – z)2 = 264cm2

Si 264 = 2 . 12 .11 = 2.3.4.11 = 2.2.6.11

Entonces el rectángulo ABCD puede tener distintas dimensiones

i) 24.11

ii) 12.22

iii) 8.33

iv) 6 . 44

v) 4. 66

Casoo i)

Supongo AB = 24cm y BC= 11cm

(x+z) (y+3) = 264cm2

Hago una tabla de verdad en la cual debo encontrar valores que satisfagan las tres igualdades

(x + z) (y +t) = 264cm2

(x – z) = (y – t)

2 xt + 2 yz + (x – z)2 = 264cm2

x z y t

1 23 10 1

2 22 9 2

3 21 8 3

4 20 7 4


92

5 19 6 5

6 18

7 17

8 16

9 15

10 14

11 13

12 12

En este punto x y z intercambian sus valores

Si tomo en cuenta la segunda igualdad

(x – z) = (y – t)

Según la tabla, x- z tiene diferencia par

Según la tabla, y- t tiene diferencia impar

Por este motivo este caso es incompatible.

Igual inconveniente habrá en el caso iii)

Nos queda investigar los casos ii), iv) y v)

Caso ii)

(22cm . 12cm)

Hago una tabla de verdad.

Busco los valores posibles y encuentro:

x z y t

21 1

20 2

19 3

18 4

17 5

16 6 11 1

15 7 10 2

14 8 9 3

13 9 8 4


93

12 10 7 5

Si tomo en cuenta la tercera ecuación:

2 xt + 2 yz + (x – z)2 = 264cm2

A) 32 + 132 + 100

B) 60 + 140 + 64

C) 84 + 144 + 36

D) 104 + 144 +16

E) 120 + 140 + 4

Caso iv)

(44cm . 6cm)

Hago una tabla de verdad.

Busco los valores posibles y encuentro:

x z y t

43 1

42 2

41 3

40 4

39 5

38 6

37 7

36 8

35 9

34 10

33 11

32 12

31 13

30 14

29 15

28 16

27 17

26 18

25 19


94

24 20 5 1

23 21 4 2

Verifico según la ecuación anterior

F) 48 + 200 + 16

G) 92 + 168 + 4

Caso v)

(66cm . 4cm)

Aquí hay un solo caso posible.

Haciendo una tabla similar a las anteriores se encontrará

x z y t

34 32 3 1

Entonces

H) 68+ 192 + 4

Resumiendo:

CASO x y z t x.t y.z (x-z)-(y-t)

A 16 11 6 1 16 66 100

B 15 10 7 2 30 70 64

C 14 9 8 3 42 72 36

D 13 8 9 4 52 72 16

E 12 7 10 5 60 70 4

F 24 5 20 1 24 100 16

G 23 4 21 2 46 84 4

H 34 3 32 1 34 96 4

132. El Sr. Dulce elabora caramelos de 3 gustos: chocolate, miel y limón.

Los de chocolate los vende en bolsas de 100g a $2 cada bolsa.

Los de miel los vende en bolsas de 1/4 kg a $ 4 cada bolsa.

Los de limón los vende en bolsas de 1/2 kg a $6 cada bolsa.

El mes pasado vendió en total 244 kg de caramelos, por $ 3600.


95

Por la venta de los caramelos de chocolate obtuvo el 25% de lo que obtuvo por la venta de todos los caramelos

de miel y limón.

¿Cuántos kilos de caramelos de cada gusto vendió el Sr. Dulce el mes pasado?

SOLUCIÓN:

𝑐ℎ 100𝑔 $2

𝑚 250𝑔 $4

𝑙 500𝑔 $6

1𝑘𝑔 $20

1𝑘𝑔 $16

1𝑘𝑔 $12

ch + m + l = 244kg → $3600

20ch = 1

4 (16m + 12l)

20ch + 16m + 12l = $3600 (i)

20ch = 4m + 3l

20m + 15l =$3600

4m + 3l = $720 (ii)

Si sumamos (i) e (ii) tenemos

20ch + 16m + 12l = $3600

4m + 3l = $720

Tengo en cuenta que

20ch = 4m + 3l

Y reemplazo, queda:

(16m + 12l) + (2m + 3l) + (4m+ 3l) = $3600 + $720 + $720

24m 18l = $4320 (iii)

ch + m + l = 244

1

20 (4m + 3l) = 244 – m – l

4m + 3 = 48880 – 20m +20l

24m + 23l = 48880

Restando (iii), nos queda:

5l = 4880 – 4320 = 560 ⇒ l = 560

5 kg = 112kg

4m + 3l = 720

m = 1

4 (720 – 3 . 112) = 26kg

ch = 244kg – 112kg – 96kg = 36kg

25% venta ch = venta m +venta l

ch + m + l = $3600


96

1

4 ch =

1

4 (m + l) ⇒

5

4 (m + l) = $3600

m + l = 4

5 .$3600 = $2880

ch = 1

4 . $2880 = $720

133. ABDE es un rectángulo. AB = 2 BD.

Los triángulos BCD y AEF son iguales. AF es un arco de circunferencia de centro E y radio EA.

BC es un arco de circunferencia de centro D y radio DB.

En el triángulo BCD, el ángulo BCD es el doble del ángulo CDB.

El perímetro de la figura es 87,08 cm.

El área de la zona sombreada es 5,84 cm2

¿Cuál es el área de la zona no sombreada?

SOLUCIÓN:

AB = 2BD

ABC = AEF

AF = área de la circunferencia de centro E y radio EA

BC = área de la circunferencia de centro D y radio DB

per (ABCDEF) = 81,07m

área zona sombreada = 5.84cm2

área zona no sombreada = ¿

per (ABCDEF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA

AB = DE = 2BD

CD = EF

BC = FA

𝛽 = BCD

𝛾 = CDB

𝛼 = CBD


97

β = 2 γ = α ⇒ β = α

α + β + γ = 180º

2𝛾 + 2𝛾 + 𝛾 = 180º ⇒ 5 𝛾 = 180º ⇒ 𝛾 = 180º

5= 36º

α = β = 180º−36º

2 = 72º

γ arco central = 36º

arco AF = arco BC representa 1

10 de un decágono, ya que el ángulo central es de 36º, esto significa que la cuerda

BC sería uno de los lados del decágono.

BD → radio del decágono

per (ABCDEF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 87,08 cm

2DB + BC + DB + 2DB + DB + BC = 6DB + 2BC = 87,08 cm

long arco = 2.𝜋.𝐵𝐶.72º

360º =

2.𝜋.𝐵𝐶

5

sector circular = .𝜋 .36º

360º . (BC)2 = 2,92cm2

(BC)2 = 29,20

𝜋 cm2 = 9,29 cm2 ⇒ BC = 3,05cm

DB = 1

6 (87,08cm – 2 . 3,05cm) = 13,5cm

Area no sombreada = AB . DB + 2 . (𝐵𝐶 .𝐷𝐵

2 ) = 2 (DB)2 + DB . BC =

= 2 . (13,50cm)2 + 13,50cm . 3,05cm = 364,5cm2 + 41,175cm2 = 405, 675cm2

134. Coloca los números: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11- 12 - 13 - 14 - 15 uno en cada casilla de la

cuadrícula de modo que las sumas de los números de cada una de las 5 columnas sean iguales entre si y las

sumas de los números de cada una de las 3 las sean iguales entre sí.

F1

F2

F3

C1 C2 C3 C4 C5

SOLUCIÓN:

1,2, …, 15 → rectángulos

SC1 = SC2 = SC3 = SC4 = SC5

SF1 = SF2 = SF3

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120


98

∑ = 120

3 = 40

𝐹

∑ = 120

5 = 24

𝐶

1. ubico el 8 en el casillero central (punto medio)

2. ubico el 1 y el 15 a cada lado

3. completo la columna central con 2 y 14

4. completo la fila central con 7 y 9

5. con los números restantes completo los casilleros convenientemente.

𝑎 𝑏 27 1 8𝑒 𝑓 14

𝑐 𝑑

15 9𝑔 ℎ

Si analizo por fila:

a +b + c + d = 40 – 2 = 38

e + f + g + h = 40 -14 = 26

a + e = 17 y c + g = 9

b + f = 23 y d + h = 15

Quedan disponibles:

3, 4, 5, 6, 10,11, 12, 13

a + e = 17 ⇒ (11,6), (12, 5), (13, 4)

c + g = 9 ⇒ (5,4), (6,3)

b + f = 23 ⇒ (10.13), (11,12)

d + h = 15 ⇒ (11,4), (12,3), (10,5)

Los números mayores los debo colocar en aquellas filas o columnas con bajos valores ya asentados.

Supongo:

a = 11 ⇒ e = 7

b = 10 ⇒ f = 13

d = 12 ⇒ h = 3

Con esto quedan determinados c = 5 y g = 4

Este esquema se puede modificar,, intercambiando convenientemente filas y columnas.

Así por ejemplo, pueden quedar:


99

13 14 410 2 51 8 15

6 3

11 127 9

Cada fila y cada columna mantienen sus elementos, aunque a veces las filas se pueden modificar:

12 6 49 11 53 7 15

10 81 14

13 2

o

7 13 12

11 1 96 10 3

8 4

14 52 15

0

3 13 714 1 118 10 6

3 159 5

12 4

o

15 3 24 12 85 9 14

10 613 71 11

Estos son sólo algunos ejemplos.

135. Un librero compró al comienzo del mes, 60 ejemplares de cada uno de los tres tomos de un libro de

cuentos por $ 2640.

La semana pasada compró 40 ejemplares del tomo 1 y 40 del tomo 2 con un 20% de descuento por $ 864.

Esta semana compró 45 ejemplares del tomo 2 y 45 del tomo 3 con un 10% de descuento por $ 1296.

¿Cuál es el precio de cada tomo sin el descuento?

SOLUCIÓN:

80% → $864

100% → x = $86400

80 = $1080

90% → $1296

100% → x = $19600

90 = $1440

Planteo las siguientes ecuaciones:

𝑇1 + 𝑇240 𝑇1 + 40 𝑇2

45 𝑇2

+

+

𝑇3 = $2640= $1080

45 𝑇3 = $1440

Simplificando las ecuaciones por su factor común, queda:

𝑇1 + 𝑇2𝑇1 + 𝑇2

𝑇2

+

+

𝑇3 = $44= $27

𝑇3 = $32


100

Aplicando la regla de Cramer:

∆ = |1 1 11 1 00 1 1

| = (1 + 1) – 1 = 1

∆𝑇1 = |44 1 127 1 032 1 1

| = (44 + 27) – (32+27) = 12 ⇒ T1 = $12

∆𝑇2 = |1 44 11 27 00 32 1

| = (27 + 32) – 44 = 15 ⇒ T2 = $15

∆𝑇3 = |1 1 441 1 270 1 32

| = (32 + 44) – (27 + 32) = 17 ⇒ T3 = $17

136. Esteban tiene 4 bolitas rojas, 4 bolitas azules y 4 cajas: una de madera, una de vidrio, una de cartón y una

de lata.

Quiere guardar todas las bolitas de modo que ninguna caja quede vacía.

Si en una caja pone más de una bolita, no quiere que sean todas del mismo color.

¿De cuántas maneras puede guardar las bolitas en las cajas?

SOLUCIÓN:

4 bolita rojas

4 bolitas azules

4 cajas → (m, v, c, l)

Puede tener 3 situaciones:

A) 2 cajas con 3 bolitas c/u y 2 cajas con 1 bolita c/u

B) 2 cajas con 2 bolitas c/u, 1 cajas con 3 bolitas y 1 caja con 1 bolita

C) 4 cajas con 2 bolitas c/u

D) 1 caja con 4 bolitas, 1 caja con 2 bolitas y 2 cajas con 1 bolita c/u

E) 1 caja con 5 bolitas, las restantes con 1 bolita c/u

En el caso de que una caja tenga 3 bolitas se puede ver:

a) 1 roja y 2 azules

b) 1 azul y 2 rojas

Caso a: Si hay 1 sola, puede ser roja o azul.

De acuerdo a la cantidad


101

M 3 1 3 3 1 1

V 3 1 1 1 3 3

C 1 3 1 3 1 3

L 1 3 3 1 3 1

S1 S2 S3 S4 S5 S6

Hay 6 distintas situaciones

De acuerdo al color:

Supongamos la situación S1

M V C L

(1R, 2A) (1R, 2A) 1R 2A

(1A, 2R) (1A, 2R) 1A 1A

Por cada situación hay 2 variables (en este caso hay 12 posibilidades)

Caso b:

En el caso que la caja tenga 2 bolitas c/u debe ser distinta de la otra

De acuerdo a la cantidad

M 2 2 3 1 2 2 2 2 1 3 1 3

V 2 2 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2

C 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2

L 1 3 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12

Aquí también por cada situación hay 2 variables o sea, hay 24 posibilidades.

Caso c: 2 bolitas c/u

Todas las cajas tienen 1 bolita roja y 1 azul

Caso d: 1 caja con 4 bolitas, 1 caja con 2 bolitas y 2 cajas con 1 bolita c/u

De acuerdo a la cantidad:

M 4 2 4 4 1 1 1 1 2 1 1 2

V 2 4 1 1 4 4 1 2 1 1 2 1

C 1 1 2 1 2 1 4 4 4 2 1 1


102

L 1 1 1 2 1 2 2 1 1 4 4 4

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12

De acuerdo al color:

Las cajas que tienen 4 bolitas pueden ser:

R 3 2 1

A 1 2 3

S1 S2 S3

Supongamos S1

M → (3𝑅 1𝐴2𝑅 2𝐴1𝑅 3𝐴

V → 1𝑅 1𝐴 C → (1𝑅1𝐴

L → (1𝐴1𝑅

M → 3𝑅 1𝐴 V → 1𝑅 1𝐴 C → 1A L → 1A

M → 2𝑅 2𝐴 V → 1𝑅 1𝐴 C → (1𝑅1𝐴

L → (1𝐴1𝑅

M → 1𝑅 3𝐴 V → 1𝑅 1𝐴 C → 1R L → 1R

Por cada situación tenemos 4 maneras

En el caso d hay 48 variables

Caso e: 1 caja con 5 bolitas, las restantes con 1 bolita c/u

Las 5 bolitas pueden ser:

S = (

(4𝑅, 1𝐴)

3𝑅, 2𝐴)(2𝑅, 3𝐴)

1𝑅, 4𝐴)

De acuerdo a la cantidad habrá 4 maneras, todo depende de quién tiene las 5 bolitas.

M 5 1 1 1

V 1 5 1 1

C 1 1 5 1

L 1 1 1 5

S1 S2 S3 S4

Supongamos la situación 1, si analizamos los colores veremos que las 5 bolitas pueden ser:


103

5 = (

𝑆1 → (4,1)

𝑆2 → (3,2)𝑆3 → (2,3)

𝑆4 → (1,4)

S1 → (4R, 1A) ⇒ V, C, L (todas A)

S2 → (3R, 2A) ⇒ (

(𝑅, 𝐴, 𝐴)(𝐴. 𝑅, 𝐴)

(𝐴, 𝐴, 𝑅)

S3 → (2R , 3A) ⇒ (

(𝐴, 𝑅, 𝑅)(𝑅, 𝐴 , 𝑅)

(𝑅, 𝑅, 𝐴)

S4 → (1R, 4A) ⇒ V, C, L (todas R)

Habrá 4 . 8 = 32 maneras posibles.

En total las posibilidades son la suma de las correspondientes a los casos:

caso a + caso b + caso c + caso d + caso e = 12 + 24 + 1 + 48 + 32 = 117 maneras distintas.

137. En el edificio de José hay 2 departamentos en la planta baja, 2 en el primer piso y 4 en el segundo piso.

José tiene que repartir unos volantes.

No puede dejar más de 1 volante por departamento.

Quiere dejar 1 volante en la planta baja, 2 volantes en el primer piso y 3 volantes en el segundo piso.

Tiene 2 volantes de la carnicería y los restantes son del supermercado.

¿De cuántas maneras puede repartir José los volantes?

SOLUCIÓN:

A B C D 2º piso → 3volantes

E F 1º piso → 2 volantes

G H PB → 1 volante

De acuerdo a la cantidad:

PB = (𝐺 → (1, 0)𝐻 → (0,1)

1ºP = (𝐸 → 1𝐹 → 1

2ºP = (

𝐴 → (1, 1, 1, 0)

𝐵 → (1, 1, 0, 1)𝐶 → (1, 0, 1, 1)

𝐷 → (0, 1, 1, 1)

Queda la siguiente tabla:


104

A B C D E F G H

1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 1 1 0

1 1 0 1 1 1 0 1

1 0 1 1 1 1 1 0

1 0 1 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 0 1

Hay 8 maneras posibles.

De acuerdo al negocio:

En PB hay 2 departamentos → recibe 1

Pueden ser 4 maneras distintas:

G H

S -

C -

- S

- C

1º piso → recibe 2

Pueden ser 4 maneras distintas:

E F

C C

C S

S C

S S

2º piso → de acuerdo a los casos (1, 2, 3, 4)

CASO 1 CASO 2 CASO 3 CASO 4

A B C D A B C D A B C D A B C D


105

D1 C C S 0 C C 0 S C 0 C S 0 C C S

D2 S C C 0 S C 0 C S 0 C C 0 S C C

D3 C S C 0 C S 0 C C 0 S C 0 C S C

D4 S S C 0 S S 0 C S 0 S C 0 S S C

D5 C S S 0 C S 0 S C 0 S S 0 C S S

D6 S C S 0 S C 0 S S 0 C S 0 S C S

D7 S S S 0 S S 0 S S 0 S S 0 S S S

En cada distribución tengo 2C y 4S

De acuerdo al gráfico de cantidades por piso, supongo D1

A B C D E F G H

1 1 1 0 1 1 1 0

De los 6 que reciben, 2 son de C

C(6,2) = 6!

4! .2! =

6 .5

2 = 15 maneras

Existen 15 maneras para cada distribución. En total habrá 15 . 8 = 120 maneras distintas.

Pero si analizamos el total del edificio, habrá:

PB → 4 maneras

1ºP → 4 maneras

2ºP → 28 maneras

A B C D E F G H

CASO 1 D1 C C S 0 S S S 0

C C S 0 S S 0 S

D2 S C C 0 S S S 0

S C C 0 S S 0 S

D3 C S C 0 S S S 0

C S C 0 S S 0 S

D4 S S C 0 C S S 0

S S C 0 S C S 0

S S C 0 S S C 0

S S C 0 S S 0 C


106

S S C 0 S C 0 S

S S C 0 C S 0 S

D5 C S S 0 S S C 0

C S S 0 S S 0 0

C S S 0 S C S 0

C S S 0 S C 0 S

C S S 0 C S S 0

C S S 0 C S 0 S

D6 S C S 0 S S C 0

S C S 0 S S 0 C

S C S 0 S C S O

S C S 0 C S 0 S

S C S 0 S C 0 S

S C S 0 C S S 0

D7 S S S 0 S C C 0

S S S 0 S C 0 C

S S S 0 C S C O

S S S 0 C S 0 C

S S S 0 C C S 0

S S S 0 C C 0 S

Este esquema se repite para los otros casos (2, 3, 4)

Hay 32 . 4 = 128 maneras distintas

La diferencia de cálculo con la deducida antes del gráfico corresponde a que según el enunciado los

departamentos E y F siempre reciben, G y H (solamente 1) y entre los del 2ºP hay algunos que no recién alguna

vez.

138. Un arquitecto compra los cerámicos que necesita para una obra a dos proveedores distintos, A y B.

A cada uno le compra artículos de primera y de segunda selección.

El proveedor A le cobra $40 el m2 de primera y el 10% menos el m2 de segunda.

El proveedor B le cobra $30 el m2 de primera y el 20% menos el m2 de segunda.

El arquitecto compra igual cantidad de m2 de primera que de segunda.

Un tercio de lo que le compra al proveedor B es de segunda.


107

Por su compra paga $ 31000.

Si le comprara, al proveedor A, de cada clase, la misma cantidad que le compró y, al proveedor B, de cada clase,

el doble de lo que le compró, gastar a $ 39400. ¿Cuántos m2 de cada clase compró a cada proveedor?

SOLUCIÓN:

Las unidades se dan en m2

A = {1º 40 𝑥2º 36 𝑦

B = {1º 30 𝑧2º 24 𝑡

x + y + z + t

40x + 36y + 30z + 24t = 31000

40x + 36y + 60z + 48t = 39400

t = 𝑧+𝑡

3 ⇒ 3t = z + t ⇒ z = 2t

40x + 36y + 60z + 24t = 31000

40x + 36y + 120t + 48t = 39400

40x + 36y = 31000 – 84t – 39400 -1688t

x + z = y + t

x +200 = y + 100

x –y = -100

84t = 8400 ⇒ t = 100 ∧ z = 200

40x + 36y = 22600

10x +9y = 5650

x – y = -100

Queda el sistema:

10x + 9y = 5650

x – y = -100

∆ = |10 91 −1

| = -19

∆𝑥 = |5650 9−100 −1

| = -4750 ⇒ x = ∆𝑥

∆ =

−4750

−19 = 250

∆𝑦 = |10 56501 −100

| = -6650 ⇒ x = ∆𝑦

∆ =

−6650

−19 = 350

139. La superficie de vidrio de una ventana está formada por una pieza rectangular y una semicircular, como

muestra la figura.


108

Esta superficie está bordeada por un marco de 2 cm de ancho.

La parte vidriada tiene altura igual al doble de la base.

El área de la parte vidriada es de 3028 cm2.

¿Cuál es la longitud del borde exterior?

SOLUCIÓN:

área vidriada = 3028cm2

h = 2ª

área vidriada = a . h + 𝜋

2 .

1

4 . a2 = a . 2a +

𝜋

8 .a2 = 2a2 +

𝜋

8 .a2 =3028cm2

h + 𝑎

2 = 2a ⇒ h = 2a -

𝑎

2 =

3

2 a

3

2 a2 +

𝜋

8 . a2 = 3028cm2 ⇒ 12a2 + 𝜋a2 = 24224cm2 ⇒ a2 =

24224

15,14 cm2 = 1600 cm2 ⇒ a 40cm

h = 3

2 a =

3

2 . 40cm = 60cm

per marco = a + 4cm + 2h + 4cm + 𝜋

2 (a + 4cm) = a + 8cm + 3a + 3,14 .

(𝑎 + 4)

2

Si a = 40cm ⇒ per marco = 4. 40cm + 𝜋

2 (a + 4cm) + 8cm = 168cm + 22. 𝜋 cm = 237,08cm.

140. Hay un total de 240 recipientes de igual capacidad, de tres colores distintos.

Si los rojos están llenos, los azules están llenos hasta la mitad, y los verdes están llenos hasta la tercera parte,

en total hay 12600 litros de agua almacenados.

Si los rojos y los azules están llenos y los verdes están llenos hasta la tercera parte, habrá 15300 litros

almacenados.

Si los rojos y los verdes están llenos y los azules están llenos hasta la mitad, habrá 18900 litros almacenados.

¿Cuántos litros contiene un recipiente lleno?

¿Cuántos recipientes de cada color hay?

SOLUCIÓN:

R + A + V = 240

R + 1

2 A +

1

3 V = 12600

R + A + 1

3 V = 15300


109

R + 1

2 A + V = 18900

Considero las 3 últimas ecuaciones, si las desarrollo debo llegar a verificar la primera.

∆ = ||

11

2

1

3

1 11

3

11

21

|| =

1

3

∆𝑅 = ||

126001

2

1

3

15300 11

3

189001

21

|| = 2250 ⇒ R =

∆𝑅

∆ = 6750

∆ 𝐴 = |

1 126001

3

1 153001

3

1 18900 1

| = 1800 ⇒ A = ∆𝐴

∆ = 5400

∆𝑉 = |

11

212600

1 1 15300

11

218900

| = 9450 ⇒ V = ∆𝑉

∆ = 9450

(R, A, V) = (6750, 5400, 9450)

Si quiero saber cual es la capacidad de cada uno:

𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑣𝑎𝑠𝑒𝑠 =

𝑅+𝐴+𝑉

240 =

6750+5400+9450

240 =

21600

240 = 90 litros

Cantidad de envases:

R = 6750

90 = 75

A = 5400

90 = 60

V = 9450

90 = 105

141. Superponiendo rectángulos iguales de cartulina, Clara arma una figura como la que se muestra.

Los lados de los rectángulos superpuestos se cortan en sus puntos medios.


110

La figura que Clara arma con 10 de estos rectángulos tiene 248 cm2 de área.

¿Podrá armar, con este procedimiento, una figura de 2006 cm2 de área?

Si es posible, indica cuántos rectángulos debe utilizar.

Si no es posible, explica por qué.

SOLUCIÓN:

10 rectángulos → área → 248 cm2

En la figura de 10 rectángulos hay 5 rectángulos completos (los pares), 3

4 partes del primero y la mitad de cada

uno de los restantes.

En símbolos:

5 (x.y) + 3

4 (x . y) +

1

2 . 4 (x.y) = 248cm2

Si x = 2y, queda:

5. 2y . y + 3

4 . 2y . y + +

1

2 . 4 .2y.y = 248cm2

10 y2 + 3

2 y2 + 4 y2 = 248cm2

20 y2 + 3y2 + 8y2 = 496cm2

31y2 = 496cm2

y2 = 16cm2

y = 4cm

x = 2y = 2 . 4cm = 8cm

Si hacemos la tabla de verdad que usó Clara, se ve:

Cantidad de rectángulos área

1 32

2 56

3 80

4 104

5 128

6 152

7 176

8 200

9 224

10 248


111

Si a la cantidad de rectángulos la llamo z la fórmula que utilizó es:

z = á𝑟𝑒𝑎−8

24 cm2

En el caso de que área = 2006 cm2:

z = 2006−8

24 cm2 =

333

4 cm2

Es imposible realizar el armado con esa área pues 20006 no es múltiplo de 8.

142. En Navidad, Aldo, Bruno, Carlos y Daniel recibieron cada uno un número distinto de regalos.

Además, se repartieron caramelos de manera que, cada chico, recibió 10 caramelos por cada uno de los regalos

que recibieron los otros chicos y tuvo que devolver 20 caramelos por cada regalo que él recibió.

En total se repartieron 390 caramelos.

Al final, a Aldo no le quedaron caramelos, a Bruno le quedaron 120 caramelos y a Carlos le quedaron el doble

de caramelos que a Daniel.

¿Cuántos regalos se repartieron en total y cuántos regalos recibió cada uno de los chicos?

SOLUCIÓN:

A = 0

B = 120

C = 2D

C + D = 270

3D = 270 ⇒ D = 90 ∧ C = 180

+ 10 caramelos → regalo ajeno

-20 caramelos → cada regalo propio

-20A + 10B + 10C + 10D = O

10A - 20B + 10C + 10D = 120

10A + 10B - 20C + 10D = 180

10A + 10B + 10C - 20D = 90

Dividiendo por 10, queda:

-2A + B + C + D = 0 ⇒ A = 1

2 (B + C + D), entonces:

A – 2B + C + D = 12

A + B – 2C + D = 18

A + B + C – 2D = 9

Reemplazando:

1

2 (B + C + D) – 2B + C + D = 12


112

1

2 (B + C + D) +B -2C + D = 18

1

2 (B + C + D) +B + C - 2D = 9

Sumando:

-3

2 B +

3

2 C +

3

2 D = 12

3

2 B -

3

2 C +

3

2 D = 18

3

2 B +

3

2 C -

3

2 D = 9

Multiplicando por 2

3

-B + C + D = 8

B – C + D = 12

B + C – D = 6

Aplicando regla de Cramer:

∆ = |−1 1 11 −1 11 1 −1

| = 4

∆𝐵 = |8 1 1

12 −1 16 1 −1

| = 36 ⇒ B = ∆𝐵

∆ = 9

∆𝐶 = |−1 8 11 12 11 6 −1

| = 28 ⇒ C = ∆𝐶

∆ = 7

∆𝐷 = |−1 1 81 −1 121 1 6

| = 40 ⇒ D = ∆𝐷

∆ = 10

A = 1

2 (B + C + D) = 13

En total se repartieron 9 + 7 +10 + 13 = 39 regalos.

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