recopilaciÓn de soluciones de problemas … · soluciones omÑ – nivel 3 1 recopilaciÓn de...
TRANSCRIPT
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
1
RECOPILACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE
OMÑ
TERCER NIVEL
INSTANCIAS:
INTERCOLEGIAL – ZONAL – REGIONAL – PROVINCIAL -
NACIONAL
ARIADNA ARFINI
OSCAR FABIÁN OVANDO
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
2
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
3
1. El triángulo CDE y el rectángulo ABCE tienen igual altura.
El Área del polígono ABCDE es 72 cm2.
Si AB=9,6 cm.
¿Cuál es la longitud de la altura del triángulo?
SOLUCIÓN
área (ABCDE) = 72cm2
AB = 96cm = b
DF =?
(b . h ) + 1
2 (b . h ) = 72cm2
3
2 (b . h ) =
3
2 . 9,6cm . h = 72cm2
h = 72
9,6 cm = 5cm
h = DF = 5cm
2. Mariano compra un diario todos los días y una revista deportiva todos los domingos; paga por el
total a fin de mes.
En un mes de 30 días en el que hubo cuatro domingos pagó $71.
El diario cuesta $1,50 de lunes a sábado y $2,50 los domingos.
Sobre el precio de venta, el dueño del quiosco tiene una ganancia del 20% por los diarios y del 30%
por las revistas.
¿Cuánto pagan ese mes con las compras de Mariano?
SOLUCIÓN
Lunes a Sábado −→ 26d x $1,5 = $39
Domingos −→ 4d x $ 2,5 = $10
Pago de diarios−→ $39 + $10 = $49
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
4
Pago total - Pago diarios = Pago revistas
Pago total −→ $71
Pago diarios −→ $49
Pago revistas −→ $ 22
ganancia por diarios −→ 20% −→ 1
100. ($49 . 20) = $9,8
ganancia por diarios −→ 20% −→ 1
100. ($22 . 20) = $6,6
ganancia total = ganancia diarios + ganancias revistas = $16,4
3. ¿Cuántos cuadriláteros (polígonos de 4 lados) hay en la figura?
SOLUCIÓN
a −→ (1, 2)
b −→ (4,5)
c −→ (8, 9)
d −→ (11, 12)
(a). (3) , (b) , (6), (7), (c), (10), (d), (a,3,b,6,7,c,10,d) , (a,3,b,6), (7, c, 10, d). (a, 7) , (3, c) , (b, 10) , (6,d),
(a,3,7,c), (b,6,10,d), (a,3), (b, 6), (7,c), (10,d), (1,3), (4,6), (3,5), (7,9), (8, 10), (10, 12), (2,7), (3,8),
(5,10), (6,11), (1,2,3 5), (1,3,5), (1,3,4,5), (1,3,4,5,6), (7,8,9,10), (7,9,8,10,12), (8,9,10), (8,9,10,12),
(8,10,12), (9,8,10,11,12), (8,10,12), (8,10,11,12), (1,3,5,8,10,12), (b,10), (c,3), (a,b,3)
4. Lucía fue a la feria del libro. Pagó $5 de entrada. Compró varios libros y un diccionario. Los libros
costaban $84; al agregar el diccionario, el total superaba los $100. Por compras superiores a $100 se
hace un descuento del 15% y, además, se devuelve el importe de la entrada. Lucía pagó con un
billete de $100 y uno de $20. Le devolvieron $14,50. ¿Cuál era el precio de venta del diccionario?
SOLUCIÓN
entrada −→ $ 5
libros −→ $ 84
libros + diccionario > $100
descuento = 15% + entrada
billetes ($100 + $20) −→ $120
devolvieron −→ $14,50
pagó −→$105,50
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
5
entrada devuelta −→ $5
libros + diccionarios −→ $110,50 (con descuento)
$110,50 > $100 −→ hubo un descuento del 15%, entonces se pagó el 86% del precio real.
85% −→ $ 119,50
100% −→x = $ 100 .110,50
5 = $ 130
libro + diccionario −→ $130
$84 + d = $130 =⇒ d = $130 - $84 =⇒ d = $46
5. Marcela olvidó las cuatro cifras del código de su tarjeta. Recuerda que su código no tiene cifras
repetidas, que las tres primeras cifras están, en algún orden en su número de documento y que la
cuarta cifra no está en su número de documento.
El número de documento de Marcela es 27127887.
¿Cuántos son los posibles números del código de la tarjeta de Marcela?
SOLUCIÓN
DNI = 27127887 −→ 2718
Por casa número posible, la unidad podría ser 0, 3, 4, 5, 6, 9
127812701273 172𝑎
128𝑎 182𝑎 178𝑎
187𝑎
1274 271𝑎127𝑎 1275 721𝑎
1276 821𝑎
217𝑎 271𝑎 281𝑎712𝑎 718𝑎 781𝑎821𝑎 817𝑎 871𝑎
278𝑎 287𝑎782𝑎 728𝑎872𝑎 827𝑎
1279
7. Un fabricante de jabones vende cada paquete a $57,60.
Un paquete contiene una docena de cajas y cada caja contiene 4 jabones. Si un comprador pide más
de 100 paquetes, el fabricante hace un descuento del 5% sobre el total. Ayer recibió un pedido de
6000 jabones.
¿Cuánto deberá pagar el comprador por este pedido?
SOLUCIÓN
1 paq −→ $57,60
1 paq −→ 12 cajas
1 caja −→ 4 jabones
1 paq −→ 12 x 4 jabones = 48 jabones
Si compra 100 paq −→ desc = 5%
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
6
6000 jab = 1500 cajas = 125 paq
Si 1 paq −→ $ 57,60
125 paq −→ $57,60 x 125
125 paq −→ $ 7200
100% −→ $7200
5% −→ $ 7200 .5
100 = $360
Debe pagar $7200 - $360 = $6840
6. El rectángulo ABCD está formado por tres cuadrados de 1m2 de área.
E es punto medio de BC
F es punto medio de AD
¿Cuál es el área de la figura rayada?
SOLUCIÓN
BE = EC
AF = FD
área (ABCD) = 3m2
área ((1)+(2)+(3)+(4)) = AD x DC = (AF + FD) x DC = 2AF x DC = 3m2
área (ABCD) = 4 . 1
4 FD x DC
área (DPC) = 4 . 1
2 CD x PQ
área ((5)+ (6)) = CD x PQ
Área no rayada = 2FD x DC = DC (FD + PQ) = 1m (1,5m + 0,75m) = 2,25m2
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
7
área rayada = 3m2 - 2,25m2 = 0,75m2
8. ABCD es un trapecio isósceles.
BCEF es un cuadrado de 36m2 de área.
Si el área del trapecio es el triple del área de BCEF, ¿cuánto mide el segmento AD?
SOLUCIÓN
BC = CE = EF = FB
área (ADCB) = 3 área ( BCEF)
área (ADCB) = 3 . 36cm2 = 108cm2
área (ADCB) = (AD + CB) . 𝐵𝐹
2 = 108cm2
como BF = BC = 6cm
(AD + 6cm) . 6cm = 2. 108cm2 = 216cm2
(AD + 6cm) = 216
6 cm = 36cm
9. El Sr. Pérez compró un departamento por $54.000. Pagó el 40% al contado y el resto en 80 cuotas
iguales. Por la suma financiada se le hizo un recargo del 75%. ¿Cuántas cuotas tenía pagas el Sr. Pérez
el día en que su deuda era de $11.340?
SOLUCIÓN
precio −→ $54000
contado −→ 40%
resto −→ 40% en 80 cuotas
recargo sobre el 60% −→ 75%
¿Cuántas cuotas tenía pagas?
100% −→ $54000
60 % −→ $54000 . 60
100
60% −→ 32400
recarga del 75% sobre $32400
100% −→ $32400
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
8
75 % −→ $32400 . 75
100
75% −→ $24300
debe pagar $32400 + $24300 = $56700
80 cuotas −→ $56700
1 cuota −→ $56700
80
1 cuota −→ $708,75
deuda = $11340 (es lo que falta pagar) pagado −→ $56700 - $11340 = $45360
$708,75 −→ 1 cuota
$45360 −→ x = 45360
708,75
x = 64
cuotas pagas −→ 64
10. Si se reemplaza cada por un dígito, ¿cuántos números de siete cifras que sean múltiplos de 9
se pueden obtener?
Explica por qué.
SOLUCIÓN
múltiplos de 9
A + B +C = 8
A + B + C = 17
A + B + C = 26
ABC = 8
008 107 224017 116 233026 125 242
341 521350 530404 602
035 134 251044 143 260053 152 305
413 611422 620431 701
062 161 314071 206 323008 215 332
440 710503 800512
ABC = 17
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
9
089 386 593098 395 629178 449 638
746 863755 872764 881
188 458 647197 467 656269 476 665
773 890782 908791 917
278 539 674287 548 683296 557 692
809 926818 935827 944
359 566 719368 575 728377 584 737
836 953845 962854 971
890 908
ABC = 26
899 989 998
11. El rectángulo ABCD tiene 128 cm2 de área.
AB = 2 AD
AE = EB
DC = 4 FC
¿Cuál es el área del cuadrilátero AECF?
SOLUCIÓN
área (ABCD) = 128cm2
AB = 2AD
¿área (AECF)?
AE = EB
DC = 4FC
área (ABCD) = AB x AD = 2 AD x AD = 2 (AD)2 = 128cm2
(AD)2 = 64cm2
AD = BC = 8cm
AB = 2AD = 2 8cm
AB = 16cm
AE = EB = 1
2 AB = 8cm
área(3) = 1
2 (8cm)2 = 32cm2
DC = 4FC
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
10
DC = DF + FC
DC = AB = 16cm
FC = 1
4 DC =
1
4 .16cm = 4cm
AD = 8cm
DC = DF + FC −→ 16cm = DF + 4cm =⇒ DF = 12cm
área(1) = 1
2 (DF x AD) =
1
2 (12cm x 8cm) = 48cm2
área(1) + área(3) = 48cm2 + 32cm2 = 80cm2
área (AECF) = 128cm2 - 80cm2 = 48cm2
12. El Sr. Pérez compró 4 juguetes: un avión, un bote, un coche y una grúa para regalar a sus tres
nietos: Pedro, Tomás y Martín. Desea repartir los 4 juguetes y no quiere que ningún nieto se quede
sin juguetes.
¿De cuántas maneras distintas puede regalarlos?
SOLUCIÓN
𝐴 𝑎𝑣𝑖ó𝑛𝐵 𝑏𝑜𝑡𝑒𝐶 𝑐𝑜𝑐ℎ𝑒
𝑃 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜𝑇 𝑇𝑜𝑚á𝑠𝑀 𝑀𝑎𝑟𝑡í𝑛
𝐺 𝑔𝑟ú𝑎
Queda así
𝐴𝐵𝐶𝐺 𝑃𝑃𝑇𝑀 𝑃𝑃𝑀𝑇𝐴𝐵𝐶𝐺 𝑇𝑇𝑀𝑃 𝑇𝑇𝑃𝑀𝐴𝐵𝐶𝐺 𝑀𝑀𝑃𝑇 𝑀𝑀𝑇𝑃
𝑃𝑇𝑃𝑀𝑇𝑀𝑇𝑃𝑀𝑃𝑀𝑇
𝑃𝑀𝑇𝑃 𝑃𝑇𝑀𝑃 𝑃𝑀𝑃𝑇𝑇𝑃𝑇𝑀 𝑇𝑀𝑃𝑇 𝑇𝑃𝑀𝑇𝑀𝑇𝑀𝑃 𝑀𝑃𝑇𝑀 𝑀𝑇𝑃𝑀
13. Don José, el ferretero, por cada 40 tornillos que compra encuentra 4 defectuosos y los devuelve.
Por cada 100 tornillos que vende regala 5.
Si vendió 1200 tornillos y no le quedó ninguno, ¿cuántos tornillos había comprado Don José?
SOLUCIÓN
40 tornillos −→ {4 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 → 𝑑𝑒𝑣𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒
36 𝑏𝑢𝑒𝑛𝑜𝑠 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎
100t −→ 100%
36t −→ 90%
vende el 90% de lo que compra
100t −→ 5t
36t −→ 1200𝑡 .5
100 = 60t
vende + regala = 1200t + 60t = 1260t −→(90% de la compra)
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
11
90% −→ 1260t
100% −→ x = 1200𝑡 .100
90 = 1400t
compró 1400 t.
14. En la figura BC = 2 AB; el ABE es un triángulo isósceles de 72 cm2 de Área y BCDE es un
rectángulo.
Calcula el Área del cuadrilátero ABDE.
SOLUCIÓN
BC = 2AB
área (ABE) = 72cm −→ isósceles
BCDE rectángulo
AB = BE
área (triángulo) = 1
2 (AB x BE) =
1
2 (AB)2 = 72cm2
(AB)2 = 144cm2 −→ AB = 12cm
BC = 2AB = 2 . 12cm = 24cm
AC = AB + BC = 12cm + 24cm = 36cm
área (ABCDE) = (AC + ED) . 𝐵𝐸
2= (36cm + 24cm) .
12
2𝑐𝑚 = 360 cm2
área (ABCDE) = 360cm2
15. Con los dígitos 0 – 1 – 2 - 8, se arman números de cuatro cifras, repetidas o no, que son divisibles
por 4.
¿Cuántos de estos números se pueden armar?
SOLUCIÓN
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
12
La cantidad total de números es 7 x 4 x 4 x 3 = 336 números distintos.
15. ABCG es un rectángulo de 72 cm de perímetro.
HE es la altura del triángulo DEF.
AB = 3BC , FD = AB y HE = 2BC
¿Cuál es el área de la figura de vértices ABCDEFG?
SOLUCIÓN
per (ABCG) = 72cm
DEF −→ triángulo
HE −→ altura del triángulo DEF
AB = 3BC
FD = AB
HE = 2BC
BC = AG
¿área (ABCDEF)?
AB = 3BC =⇒ per (ABCG) = 2 (BC + 3BC) = 72cm = 2 . 4BC = 8BC
72 cm = 8BC =⇒ BC = 9cm = AG
HE = 2BC = 2 . 9cm = 18cm
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
13
HE = 18cm
FD = AB = 3BC = 3 . 9cm = 27cm =⇒ FD = 27cm
área (rectángulo) = 243cm2
área (triángulo) = AB . BC = 37cm . 9cm = 243cm2
área (figura) = área (triángulo) + área (rectángulo) = 243cm2 + 243cm2 = 486cm2
17. Un local que hace fotocopias cobra, por cada una: $ 0,10 si se piden menos de 100 fotocopias; $
0,07 si se piden entre 100 y 199 fotocopias y $ 0,05 si se piden 200 fotocopias o más.
Esta mañana, entraron 4 clientes que pagaron, en total $ 45.
El primero pidió 65 fotocopias, el segundo pidió el doble que el primero y el tercero pidió el doble
que el segundo.
¿Cuántas fotocopias hizo el cuarto cliente?
SOLUCIÓN
$0,10 si
$0,07 si
$0,07 si
4clientes $45
A 65 fotocopias 65 fotocopias
B 2x65 fotocopias −→ 130 fotocopias
C 2.x130 fotocopias −→ 260 fotocopias
D ? fotocopias
65 x $0,10 + 130 x $0,07 + 260 x $0,05 = $6,5 + $9,10 + $13 = $28,60
Total - A - B - C = $45 - $28,60 = $16,40
Si C sacó 260 fotocopias y gastó $13, entonces D debe haber hecho más de 200 fotocopias.
D gastó $16,40
$0,05 −→ 1 fotocopia
$16,40 −→ x = $16,40
0,05 = 328 fotocopias
18. En la confitería, los sandwiches cuestan $ 54 el ciento.
Un kilo de bombones más un kilo de masas cuesta como 50 sandwiches.
Un kilo de bombones cuesta como un kilo y cuarto de masas.
Susana fue a la confitería con un número entero de pesos.
Después de comprar 75 sandwiches, lo que le quedó le alcanzaba para comprar 1 kilo de bombones
pero no le alcanzaba para comprar 1 kilo y medio de masas.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
14
¿Cuánto dinero llevaba Susana?
Da todas las respuestas posibles.
SOLUCIÓN
100s −→ $54
1kgb + 1kgm −→ $54
2 = $27
Susana compró 75 + 1kgb
100s −→ $54
75s −→ x = $ 54 .100
75 = $72
1 kgb = 5
4 kgm
1kgm + 5
4 kgm =
9
4 kgm −→$27
1kgm −→ $12
3
2 kgm −→ $18
75s−→ $72
75s + 1kgm + 1kgb −→ $99
75s + 5
2 kgm + 1kgb −→ $117
19. En el pentágono ABCDE se trazan las diagonales AD y CE que se cortan perpendicularmente en el
punto O, de modo que:
EO = 9 cm
DO = 12 cm
ABCO es un cuadrado y el triángulo CDE tiene 150 cm2de área.
¿Cuál es el Área del pentágono ABCDE?
SOLUCIÓN
¿área (ABCDE) = ?
EO = 9 cm
DO = 12 cm
ABCD cuadrado
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
15
área (CDE) = 150cm2
área (CDE) = 1
2 [(EO + OC) . DO] =
1
2 [(9cm + OC) . 12cm] = 150cm2
300cm2 = 108cm2 + OC . 120cm =⇒ 192cm2 = OC . 12cm =⇒ OC = 16cm
AB = BC = OA = OC
área (AOC) = 1
2 (EO + AO) =
1
2 (9cm . 16cm) = 72cm2
área (ABCD) = AB . BC = (16cm)2 = 256cm2
área (ABCDE) = 150cm2 + 72cm2 + 256cm2 = 478cm2
20. Pepito tiene 7 alambres de longitud 1cm y 7 alambres de longitud 2cm.
Usando todos o algunos de estos alambres, arma y desarma rectángulos que no son cuadrados.
¿Cuántos rectángulos de distinto tamaño puede armar?
Indica la longitud de sus lados.
SOLUCIÓN
2 (1+2) 2 (3+1) 2 (4+1) 2 (5+1) 2 (6+1) 2 (7+1) 2
(8+1)
2 (3+2) 2 (4+2) 2 (5+2) 2 (6+2) 2 (7+2)
2 (4+3) 2 (5+3) 2 (6+3)
2 (5+4) 2 (6+4)
Se forman 17 casos distintos.
21. La Sra. García guarda las monedas de 25 centavos en un frasco verde y las monedas de 10
centavos en un frasco rojo.
El último día del año, en el frasco verde había $250 y en el frasco rojo $ 40.
Ese día decidió regalarle a Juan 3 de cada 100 monedas de 25 centavos y 5 de cada 100 monedas de
10 centavos.
¿Cuántos pesos le regaló a Juan?
SOLUCIÓN
$0,25 −→ v −→ $ 2,50
$0,10 −→ r −→ $ 40
i) 3 de cada 100 monedas de $0,25
ii) 5 de cada 100 monedas de $0,10
¿Cuánto recibió Juan?
i $0,25 −→ 1mv
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
16
i $0,20 −→ x = 1000mv
ii $0,10 −→ 1mr
ii $40,00 −→ x = 400mr
i 100mv −→ 3mv
i 1000mv −→ x = 30mv
ii 100mr −→ 5mr
ii 400mr −→ x = 20mr
Juan recibió 30 mr + 20 mr
i 1mv −→ $0,25
i 30mv −→ x = $0,25 x 30mv = $7,5
ii 1mr −→ $0,10
ii 20mr −→ x = $0,10 x 20mr = $2,00
30mr + 20mr = $7,50 + $2,00 = $9,50
22. El rectángulo AEFG tiene 180 cm de perímetro.
AB = BC = CD = DE = EF
El área del triángulo BHD es 2
9 del área del triángulo BEF.
Cuál es el Área del triángulo FHG?
SOLUCIÓN
per (AEFG) = 180cm2
AB = CD = BC = DE = EF
área(BHD) = 2
9 área (BEF)
AE = GF = AB + BC + CD + DE = 4AB
AB = EF
per (AEFG) = 2 (4AB + AB) = 2 . 5AB = 10AB
180cm = 10AB =⇒ AB = 18cm
área (BHD) = 1
2 (BD. CH) =
1
2. 2AB . CH
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
17
área (BHD) = 18cm . CH
área (BEF) = 1
2 (3AB . EF) =
1
2 . 3 (AB)2 =
3
2 . (18cm)2 =
= área (BHD) = 18cm . CH = 2
9 . 486 cm2 ⇒ CH =
2
9 .
486
18 cm = 6cm
EF = AB = CH + HT ⇒ HT = AB - CH
HT = 18cm - 6cm = 12cm
área (FHG) = 1
2 (AE . HT) =
1
2 . 4AB . HT =
área (FHG) = 2AB . HT = 2 . 18cm . 12cm = área (FHG) = 432cm2
23. Juan escribe una lista de todos los números de 3 cifras distintas que puede formar con los dígitos
2 - 3 - 4 - 7.
Pablo escribe una lista de todos los números de 2 cifras distintas que puede formar con los dígitos 2 -
3 - 4 - 7.
Aldo elige un par de números: uno de la lista de Juan, uno de la lista de Pablo y los suma.
De cuántas maneras puede elegir Aldo el par de números para que la suma sea múltiplo de 5?
SOLUCIÓN
JUAN
234 247 324243 274 423342 427 432
472 237 347724 273 374742 327 473
372 437723 734742 743
PABLO
23 24 2732 42 72
34 37 4743 73 74
24. Elimino de la lista los números terminados en 4
Las maneras en que Pablo puede elegir son:
A los números que terminan en 2 o en 7 los puedo combinar con los que terminan en 3.
A los números terminados en 2 no los puedo combinar con los terminados en 7
Si hacemos un esquema de árbol, nos queda:
Entre paréntesis marco la cantidad de número que terminan en esa cifra.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
18
Hay 72 casos posibles de combinar esos números.
24. Una hormiguita recorre cada hora una distancia igual a 2
3 de lo recorrido la hora anterior.
Si en tres horas recorrió 76 cm, ¿cuántos cm recorrió durante la primera hora?
SOLUCIÓN
x + 2
3 x +
2
3 .
2
3 x =76cm
𝑥
9 (9 + 6 + 4) = 76cm ⇒
19𝑥
9 = 76cm ⇒ x =
9 .76
19 = 36cm
25. En la figura: ABCD es un trapecio de base mayor de 12 cm, FBCG es un cuadrado de 25 cm2 de
área, E es punto medio de AB y 3CD = 2AB.
¿Cuál es el área del cuadrilátero EFGD?
SOLUCIÓN
AB = 12cm
AE = EB = 6cm
AE + EB = AB
área (FBCG) = 25cm2 =⇒ BC = 5cm
FG = FB = BC = CG = 5cm
3CD = 2AB = 2 . 12cm =⇒CD = 8cm
¿área (EFGD)?
área (triángulo) = 1
2 AE . FG =
1
2 . 6cm . 5cm = 15cm2
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
19
área (cuadrado) = 25cm2
área (trapecio) = 1
2 (AB + DC ) . BC =
1
2 .(12cm + 8cm) . 5cm = 50cm2
área (EFGD) = 50cm2 - 15cm2 - 25cm2 = 10cm2
26. En un tablero formado por 2 filas de 3 casillas cada una, Juan quiere colocar 2 fichas cuadradas y
2 fichas circulares, de modo que en cada casilla no haya más de 1 ficha. ¿De cuántas maneras puede
hacerlo?
SOLUCIÓN
1 2 3
4 5 6
2 fichas cuadradas
2 fichas redondas
V −→vacía
C −→circular
R −→redondas
VV CCRR V RCCV R V RV CRC
V CRV CR V CRRV C V CV CRR
V RCV RC V CRCV R V RV RCC
V RCRV C V CCRV R V CV RRC
V CCRRV V RCRV C V RV CCR
V CRCRV V CCV RR V V CRCR
V CRRCV V RRV CC V V CRRC
V RCRCV V CRV RC V V RCRC
V RCCRV V RCV CR V V RCCR
V CRCRV V CV RCR V V CRCR
Hasta aquí mantuve una casilla vacía y cambió las otras.
En este caso era la primera. Procediendo de manera semejante con las otras columnas obtengo:
(2º y 3”), (2º y 4º), (2º y 5º), (2º y 6º), (3º y 4º), (3º y 5º), (3º y 6º), (4º y 5º), (4º y 6º) y (5º y 6º)
30. En el club el 40% de los socios son varones.
Entre los varones, el 35% son mayores de 25 años.
Hay 224 socios varones mayores de 25 años.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
20
¿Cuántas mujeres son socias del club?
SOLUCIÓN
40% −→ varones club −→ 40%
varones −→ 35% > 25 años
224 varones > 25 años
x mujeres
Para los varones: 100 v −→ 35 mayores x −→ 224 mayores
x = 224 .100
35 v = 640 v
Para el club:
40% −→ 640 socios
100% −→ x = 640 .100
40 s = 1600 socios
1600 socios - 640 varones = 960 mujeres
31. En un rectángulo ABCD se marcaron M punto medio del lado AB y N punto medio del lado BC.
Si MB = 2 BN, el triángulo MBN tiene 36 cm2 de área, cuál es el Área del polígono AMNCD?
SOLUCIÓN
BN = NC
AM = MB = 2BN
área (MBN) = 36cm2
¿área (AMNCD)?
MB = 2BN =⇒ área (MBN) = 1
2 MB . BN =
1
2 . MB .
𝑀𝐵
2 =
1
4 . (MB)2 = 36cm2
(MB)2 = 4 . 36cm2 = 144 cm2 =⇒ MB = 12cm
MB = AM = 12cm =⇒ AB = CD = 24cm
BN = 𝑀𝐵
2 =
12
2 cm = 6cm =⇒ BC = 12cm
área (ABCD) = BC x AB = 12cm x 24cm = 288cm2
área (AMNCD) = área (ABCD) - área ( MBN) = 288cm2 - 36cm2 = 252cm2
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
21
32. Delfina tiene que elegir sus horarios para las clases de natación. Quiere ir dos veces por semana,
nunca dos días seguidos, un día a la mañana y otro a la tarde, una hora cada vez. Hay clases de
natación de lunes a sábado a las 9, a las 10 y a las 11 y por la tarde, de lunes a viernes, a las 17 y a las
18. ¿De cuántas maneras distintas puede Delfina armar sus horarios de la semana?
SOLUCIÓN
(LU, MI), (LU, JU), (LU, VI), (LU, SA)
(MA, JU), (MA, VI), (MA, SA)
(MI, VI), (MI, SA)
(JU, SA)
Hay 10 maneras diferentes de contar los días. Veamos los horarios:
9 17
18
10 17
18
11
17
18
Son 6 horarios distintos.
Hay 6 x 10 = 60 maneras diferentes de contar los horarios
33. La ciudad Oeste tiene 35 000 habitantes.
De cada 100 habitantes, 24 tienen estudios universitarios completos.
De la población que tiene estudios universitarios completos, las dos quintas partes son mujeres.
¿Cuántas mujeres tienen estudios universitarios completos en ciudad Oeste?
SOLUCIÓN
total −→ 3500 habitantes cada 100 habitantes −→ 24 universitarios
35000 habitantes −→ x universitarios
x = 35000 .24
100 universitarios = 8400 universitarios
De los 8400 universitarios −→ 2
5 mujeres
1 −→ 8400
2
5 −→ x =
2
5 . 8400 = 3400 mujeres universitarias
34. El cuadrado ABCD tiene 96 cm de perímetro.
MB = 2AM
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
22
QA = 3 DQ
N y P son puntos medios de los lados.
¿Cuál es el área de AMNPQ?
SOLUCIÓN
ABCD cuadrado
per (ABCD) = 96cm
AB = 96
4 cm = 24cm
AB = 24cm
AB = BC = CD = DA
MB = 2AM
MB + AM = 2AM + AM = 3AM = 24cm =⇒ AM = 8cm
MB = 2AM = 2 . 8cm = 16cm
QA = 3DQ
QA + DQ = 3DQ + DQ = 4DQ = 24cm =⇒ DQ = 6cm
QA = 3DQ = 3 . 6cm = 18cm
Área (AMNPQ) = área (ABCD) - área (MBN) - área (PCN) - área (MBN)
DP = PC = 24cm
CN = NB = 12cm
área (MBN) = 1
2 MB . BN =
1
2 . 16cm . 12cm = 96cm2
área (PDQ) = 1
2 PD . DQ =
1
2 . 24cm . 6cm = 72cm2
área (PCN) = 1
2 PC . CN =
1
2 . 24cm . 12cm = 144cm2
área (ABCD) = (24cm)2 = 576cm2
área (AMNPQ) = 576cm2 - 72cm2- 144cm2 - 96cm2 = 264cm2
35. En el certamen interescolar hay 3 niveles.
En total participaron 1972 chicos.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
23
Cada escuela envía hasta 5 representantes por nivel.
¿Cuál es el menor número de escuelas que puede haber participado en ese interescolar?
Explica por qué.
SOLUCIÓN
3 niveles
total −→ 1972 chicos
hasta 5 representantes por nivel por escuela
1972 chicos en 3 niveles, queda:
657 657 658
657 = 655 chicos + 2 chicos = 131 escuelas + 1 escuela
657 = 655 chicos + 2 chicos = 131 escuelas + 1 escuela
658 = 655 chicos + 3 chicos = 131 escuelas + 1 escuela
El menor número de escuelas que puede haber participado es 132
36. Los 4
7 de los pasajeros de un tren turístico son extranjeros.
Hay 72 pasajeros argentinos.
Los extranjeros ocupan las 3
8 partes de los asientos del tren.
¿Cuántos asientos tiene el tren?
SOLUCIÓN
72 pasajeros argentinos
4
7 de los pasajeros son extranjeros
los extranjeros ocupan las 3
8 partes de los asientos
¿cuántos asientos hay?
7
7 −→ tren
7
7 -
4
7 =
3
7 = 72 pasajeros
el tren tiene 7
3 . 72 pasajeros
El tren tenía 256 asientos
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
24
37. En una pared rectangular de 12 m de ancho se coloca un portón cuadrado, dejando 3 m a la
izquierda y el doble a la derecha. La superficie de pared que queda alrededor del portón es 39 m2.
¿Cuál es la altura de la pared?
SOLUCIÓN
AB = 12m
AM = 3m
NB = 6m
MN = MP = 3m
área ( AMPQNBCD) = 39m2
¿AD =?
área (portón) −→ MN x MP = 9m2
área (pared) −→ 39m2+ 9m2= 48m2
AM + MN + PQ = 3m + 3m + 6m = 12m
área ( ABCD) = AB x BC =⇒ BC = .𝑎𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷)
𝐴𝐵 =
48
12 m = 4m
BC = 4m
38. En el quiosco venden paquetes de caramelos de distintas clases.
Los de fruta cuestan $2 cada uno, los de chocolate $4 y los de miel $3.
Ana quiere comprar de las tres clases y quiere gastar $ 30.
¿Cuántos paquetes de cada clase puede comprar?
Indica todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
caramelos de fruta −→ $2
caramelos de chocolate −→$4
caramelos de miel −→ $3
Total −→ $30
f 1 1c 1 4m 8 3
2 2 32 5 36 4 4
4 4 51 4 26 2 4
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
25
39. En la librería, cada cuaderno cuesta $6 y cada lápiz, $ 2.
Por una promoción, descuentan la sexta parte del total del gasto.
Susana compró 2 docenas de lápices y algunos cuadernos y pagó $ 180.
¿Cuántos cuadernos había comprado?
SOLUCIÓN
cuaderno −→ $6
lápiz −→ $2
Por promoción descuentan 1
6 del total del grado
Compró 2 docenas de lápices y cuadernos con descuento pagó $180
¿Cuantos cuadernos compró?
sin descuento −→ total compra = 1
6 + total pago
5
6 total compra = $180
total compra = 6
5 . $180 = $216
24 lápices + x cuadernos = $216 24 . $2 + x . $6 = $216
x cuadernos = $216 - $48 = $168
1 cuaderno −→ $6
x cuadernos −→ $168
x = 168
6 cuadernos = 28 cuadernos
40. En el rectángulo ABCD de 80 cm2 de área, se marcan:
E punto medio de CD y F tenía B de modo que AF = 3 FB.
Cuál es el área del triángulo FBE?
SOLUCIÓN
Sea G tal que se forme el cuadrado AGED
Área (ABCD) = 80cm2
DE = EC
AF = 3FB
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
26
¿área (FBE)?
(AF + FB) . BC = 80cm2
(3FB + FB) . BC = 80cm2
4FB . BC = 80cm2=⇒ FB . BC = 20cm2
GF = FB ∧ GE = BC =⇒ área (FBE)
área (ECB) - área (ABCD) - área (EGF) = 1
2 EG . GF = 10cm2
área (EFB) = 40cm2 - 20cm2 - 10cm2 = 10cm2
41. Vale escribe un número de tres cifras.
Después intercambia la cifra de las centenas con la cifra de las unidades y escribe este nuevo
número.
Si suma los dos números que escribió obtiene un número de tres cifras iguales.
¿Cuál fue el primer número que escribió Vale?
Da todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
a + c = 2b
a ≤ 7
a ≥ 1
abc abc abc abc abc abc
111 147 246 345 531 741
123 222 321 432 543
135 234 333 444 642
Hay 16 números posibles.
42. En básquet se pueden anotar 3 puntos (triple), 2 puntos (doble) o 1 punto (tiro libre) cada vez
que se encesta en el aro. En un partido, un equipo obtuvo 86 puntos y habían encestado 40 veces. Si
se sabe que obtuvo 12 triples, ¿cuántos dobles y cuántos tiros libres encestaron?
SOLUCIÓN
3, 2, 1 puntos por encestado encestaron
40 veces −→ 86 puntos
12 triples ¿cuántos dobles y triples?
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
27
12 triples −→ 36 puntos
doble + triples −→ (86 - 36) puntos = 50 puntos
encestaron 40 veces
40 tiros - 12 tiros = 28 tiros
s + d = 28
s + 2d = 50
s = 28 - d = 50 - 2d
2d - d = 50 – 28
d = 22 =⇒ s = 6
Hubo 22 dobles y 6 simples
43. El cuadrado ABCD tiene 168 cm de perímetro. En cada vértice se recortó un cuadradito de 7 cm
de lado. ¿Cuál es el Área del rectángulo STPM?
SOLUCIÓN
per (ABCD) = 168cm
AB = BC = CD = DA = 42cm
TP = BC - BT - PC = 42cm - 7cm - 7cm = 28cm
AB = 42cm
área (SMTP) = AB x TP = 42cm . 28cm = 1176cm2
43. Se quieren distribuir 25 caramelos iguales en tres frascos: uno rojo, uno azul y uno verde, de
modo que el frasco azul tenga por lo menos 2 caramelos más que el rojo y el frasco verde tenga más
del doble de los caramelos que tiene el azul. ¿De cuántas maneras se puede hacer? Indica cuáles son.
SOLUCIÓN
A = R + 2
V > 2ª
R + A1 + 32 + 4
+++
V = 25
21 = 2519 = 25
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
28
3 + 54 + 6
++
17 = 2515 = 25
45. Tres amigos van a almorzar todos los días al mismo lugar. Eligen siempre el menú A o el B. El
lunes, dos piden el menú A y uno el menú B, gastan $ 111 en total. El martes, uno pide el menú A y
dos piden el menú B, gasta0n en total $3 menos que el lunes. ¿Cuánto cuesta cada menú?
SOLUCIÓN
A + B = $111
A + 2B = $108 −→ A = $108 - 2B
2 ($108 - 2B) + B = $111
$216 - 4B + B = $111
$105 - 3B = 0 =⇒ $105 = 3B =⇒ B = $35
46. Camila mira, todos los días, tres programas de televisión de una hora de duración cada uno.
El programa A se emite a las 18 horas, a las 20 horas y a las 22 horas.
El programa B se emite a las 18 horas, a las 19 horas y a las 22 horas.
El programa C se emite a las 19 horas, a las 21 horas y a las 22 horas.
Cada día quiere ver los tres programas completos.
¿De cuántas maneras distintas puede elegir los horarios en que mira los tres programas cada día?
Indica en qué horario mira cada programa.
SOLUCIÓN
18𝐴 20 𝐵
22
18 1919 𝐶 2122 22
𝐴18 𝐵19 𝐶21𝐴18 𝐵19 𝐶22𝐴18 𝐵22 𝐶19
𝐴20 𝐵18 𝐶19𝐴20 𝐵18 𝐶21𝐴20 𝐵18 𝐶22
𝐴20 𝐵19 𝐶21𝐴20 𝐵19 𝐶22𝐴20 𝐵22 𝐶19
𝐴20 𝐵22 𝐶21
𝐴22 𝐵18 𝐶19𝐴22 𝐵18 𝐶19𝐴22 𝐵19 𝐶21
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
29
47. Aldo y Bruno tenían cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos semanas de
vacaciones.
Aldo gastó 1
3 la primera semana,
1
2 la segunda y el resto lo ahorró.
Bruno gastó 1/4 la primera semana pero ahorró el doble de lo que ahorró Aldo.
Si Bruno ahorró $156. ¿Cuántos pesos gastó Bruno la segunda semana?
SOLUCIÓN
Como Aldo y Bruno tienen inicialmente la misma cantidad de dinero, expresamos:
A = B
A −→ 1
3 x +
1
2 x + RA
B −→ 1
4 x + S + RB
R A = 1
2 RB = $
156
2 =$78
𝑥
3 +
𝑥
2 + $78 =
𝑥
4+ S + $156
1
12 (4x + 6x -3x) = $78 + S =⇒ 7x = ($78 + S) .12
A) 𝑥
3 +
𝑥
2 =
1
6 (2x + 3x) =
5
6 x −→ ahorró
𝑥
6 = $78 −→ x = $78 . 6 = $468
Reemplazando valores:
B) $468 - $156 −→ gastó $312
semana 1 −→ gastó 1
4 . $468 = $117
semana 2 −→ gastó $312 - $117 = $195
En la semana 2 Bruno gastó $195.
$468 −→ total
$195 −→ x = 195
468 total =
5
12 total
Bruno gastó (1
4 +
5
12) total =
1
12 (3 + 5) total =
8
12 total =
2
3 total
48. Con los dígitos 0-1-2-3-4-5-6 y 7 se forman números cuyas cifras suman 9.
¿Cuántos de esos números que sean menores que 5000 y no tengan cifras repetidas se pueden
formar?
Explica por qué.
SOLUCIÓN
9 90
27 207 270
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
30
36 306 360
54 504 540
72 702 720
63 603 630
45 405 450
135 315 531 513 153 351
162 126 261 216 621 612
324 234 243 342 423 432
1026 1052
1206 1260
1350 1305
1530 1503
1620 1602
1035 1053 3501 3510
2043 2034
2160 2106
2340 2304
2430 2403
2610 2601
3042 3024 2061 2016
3150 3105 3015 3051
3240 3204
3420 3402
4032 4023
4230 4203
4320 4302
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
31
Casos posibles = 2 + 18 + 34 + 8 = 80
49. El área del triángulo ABF es el 10% del área del trapecio isósceles ADEF.
El rectángulo BCEF tiene 144 cm2 de área y CD = CE.
¿Cuál es la longitud de AD?
SOLUCIÓN
área (ABF) = 1
10 área ( ADEF)
área (BCEF) = 144cm2
CD = CE
¿AD?
área (CDE) = 1
2 CD . CE =
1
2 CD . CD =
1
10 .
1
2 CE (AD +BC)
área ADEF) = 1
2 CE . (AD + FE) =
1
2 CE . (AD + BC)
área (ADEF) = 2 . área (CDE) + área (BCEF) = 2 . CD . CE + 144cm2
área (ADEF) = 144cm2 + 2
10 área (ABF) =⇒
8
10 área (ADEF) = 144cm2 =⇒ área (ADEF) =
1440
8 cm2 =
180cm2
área (ABF) = 1
2 (180cm2- 144cm2) = 18cm2
1
2 (AB . BF) = 18cm2 =⇒ AB . BF = 36cm2=⇒ AB = BF = CD = 6cm
BC . BF = 144cm2 =⇒ BC = 144
6 cm = 24cm
AD = AB + BC + CD = 6cm + 24cm + 6cm = 36cm
50. En la escuela hay 360 alumnos.
El 10% de los alumnos usa anteojos.
De los que no usan anteojos, la cuarta parte practica natación.
¿Cuántos alumnos no usan anteojos y no practican natación?
SOLUCIÓN
T = 360 alumnos
10% −→ anteojos
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
32
Del 90%, 1
4 −→ natación
Si 10% −→ a =⇒ 90% −→ no usa a
100% −→ 360 a
90% −→ x = 1
100 (360a. 90) = 324 a
Ahora bien:
Si 1
4 practica natación −→
3
4 no hace nada
100% −→ 324 a
3
4 −→ x -
3
4 . 324 a = 234 a
51. Con los dígitos 9 - 7 - 6 - 5 y 0, ¿cuántos múltiplos de 5 menores que 10000 se pueden armar?
Explica por qué.
SOLUCIÓN
5
50 60 65 70 75 90 95
970 975 960 965 950 905
760 750 790 765 795 705
670 650 690 675 695 605
570 560
590 -
6970 6975 6950 6905 6750 6790 6795 6705
7960 7965 7950 7905 7650 7690 7695 7605
9760 9750 9765 9705 9670 9650 9675 9605
6570 - - - - - - -
9570 7560 9560 6590 7590 - - -
En total hay 59 maneras.
52. Juan escribe una lista de 5000 dígitos.
El primer tramo de la lista es 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 8 9 0 y después repite este tramo desde
el principio al fin.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
33
Cuál es la cifra que ocupa el lugar número 1997?
Cuál es la cifra que ocupa el lugar número 1998?
Explica por qué.
SOLUCIÓN
5000 dígitos
¿cifra del lugar nro. 1997?
¿cifra del lugar nro. 1998?
lista −→ 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 8 9 0
1997
20 = 97 y restan 17
1997 = 99 . 20 + 17
la cifra 17 es 0 −→ 1997
la cifra 18 es 8 −→ 1998
53. Ani y Beti tenían algunos ahorros.
Este mes cada una gastó una parte.
Ani gastó 2
3 de sus ahorros y le quedaron $36.
Beti gastó 3
4 de sus ahorros.
Si el mes pasado tenían entre las dos $280, cuántos pesos le quedaron a Beti?
SOLUCIÓN
A - 3
2 A = $36
B −→ 3
4 B −→ quedó
1
4 B
Si TA + TB = $280
¿B quedó?
A = $36 −→ A = 3 . $36 =⇒ TA = $108
TA + TB = $280 =⇒ TB = $280 - $ 108 = $172
Le quedó a B −→ 1
4 TB =
1
4 . $172 = $43
A Beti le quedaron $43
54. Un rectángulo ABCD tiene 96 cm de per metro y AB = 3 BC.
En cada vértice se recortó, como muestra la figura, un triángulo rectángulo isósceles de 2 cm de
cateto.
¿Cuál es el área de la figura rayada?
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
34
SOLUCIÓN
per (ABCD) = 96cm
AB = 3BC
cateto del triángulo = 2cm
¿área figura sombreada?
per (ABCD) = 2 (AB + BC) = 96cm
per (ABCD) = 2 (3BC + BC) = 96cm
per (ABCD) = 2 . 4BC = 96cm =⇒BC = 96
8 cm = 12cm
BC = 12cm
AB = 3BC = 3 . 12cm = 36cm
área (ABCD) = AB . CD = 36cm . 12cm = 432cm2
Si los catetos del triángulo son AF Y AE queda formado el triángulo AFE
área (triángulo) = 1
2 AF . AE =
1
2 . 2cm . 2cm = 2cm2
área (4 triángulos) = 4 . 2cm2 = 8cm2
área sombreada = área (ABCD) - 4 . área (AFE) = 432cm2 - 8cm2 = 424cm2
55. El lunes se vendieron el 30% de los paquetes de galletitas que había en el depósito.
El martes se vendió la cuarta parte de lo que quedaba.
Aún quedan 945 paquetes.
¿Cuántos paquetes había al comienzo?
SOLUCIÓN
Lunes −→ 30% −→ queda 70%
Martes −→ 1
4 . 70% −→ quedan 945 paquetes de galletitas
Total −→ x
3
4 .
70
100 x = 945 paquetes =⇒ x =
945 .100 .4
3 .70 = 1800 paquetes
56. Con los dígitos 1 - 2 - 3 - 4 y 6 , Juan escribe sólo los números de cuatro cifras distintas en los
cuales el número formado por las dos últimas cifras (decenas y unidades) es divisible por el dígito
que ocupa el lugar de las centenas.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
35
¿Cuántos números distintos puede escribir Juan?
Ejemplo: Juan escribe 6123 porque 23 es divisible por 1.
Juan no escribe 6423 porque 23 no es divisible por 4.
SOLUCIÓN
Las combinaciones con estos números son:
1234 2134 1246 2164 6123 1236 3124 4123 4126 6124 2136 3126
1243 2143 1264 2146 6132 1263 3142 4132 4162 6142 2163 3162
1324 2314 1426 2416 6231 1326 3214 4312 4612 6214 2316 3216
1342 2341 1462 2461 6213 1362 3241 4321 4621 6241 2361 3261
1423 2413 1624 2614 6312 1632 3412 4213 4216 6412 2613 3612
1432 2431 1642 2641 6321 1623 3421 4231 4261 6421 2631 3621
1346 3146 4136 6413 2346 3246 4623 6432
1364 3164 4163 6431 2364 3264 4632 6423
1463 3461 4316 6134 2436 3426 4236 6324
1436 3416 4361 6143 2464 3462 4263 6342
1634 3614 4631 6314 2643 3624 4326 6234
1643 3641 4613 6341 2634 3642 4362 6243
Ahora bien, las que nos pide el problema son:
1234 2134 1246 2164 6123 1236 3124 4123 4126 6124 2136 3126
1324 2143 1264 2146 6132 - 3142 4132 4162 6142 2163 3162
1342 - 1624 2416 6312 - 3214 4312 4612 6214 - 3216
1432 - 1642 - 6321 - 3412 4321 4216 6412 - 3612
1436 3146 4136 6134 2436 3246 4236 6432
- 3164 4163 6143 - 3264 - 6324
- 3416 - - - 3624 - 6342
- - - - - 3642 - 6234
57. En el cuadrado ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en el punto O.
Sobre las prolongaciones de las diagonales se marcan los puntos E, F, G y H de modo que OE = OF =
OG = OH.
El área del triángulo BOC es de 72 cm2 y OB = 3
4 OF.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
36
¿Cuál es el área de la figura de vértices AFBGCHDE?
SOLUCIÓN
OE = OF = O = OH
área (BOC) 72cm2
OB = 3
4 OF
OB = OC = OD
área (BOC) = 1
2 (BO . OC) = 72cm2
BO . OC = 2 . 72cm2 = 144cm2 √
BO = √144 cm = 12cm
OB = OF =⇒ OF = 4
3 OB =
4
3 . 12cm = 16cm
OG = OF = 16cm
área (AFBGCHDE) = 4 área (BOG) = 4
2 (OB . OG) =
4
2 (12cm . 16cm) = 384cm2
58. En una escuela, las dos terceras partes del alumnado son varones y hay 136 alumnas (mujeres).
Un cuarto del alumnado tiene computadora, un sexto de los alumnos con computadora son varones.
¿Cuántas alumnas (mujeres) no tienen computadora?
¿Qué fracción del total del alumnado representan?
SOLUCIÓN
2
3 A −→ V y 138M y A y
1
4 A con C y
1
6 A con C −→V
¿ x M sin C ?
1
3A = 136M =⇒ A = 3 . 136M =⇒ A = 408a
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
37
408a = 136M + 272V
1
4 A =
1
4 . 408a = 102a
C −→ 102a
1
6 C −→ V −→ VC =
1
6 . 102a = 17a
Hay 17 V con C y 85 M con C.
136m −→ Total de mujeres
85m −→ mujeres con C
51m −→ mujeres sin C
408a−→ 1 51a −→ x
x = 51
408 =
1
8
Las mujeres sin computadora son 1
8 del alumnado.
59. El cuadrado ABCD tiene 144 cm2 de área.
BC = 3 PC, CD = 4 DQ y AD = 5 AR.
¿Cuál es el Área del triángulo PQR?
SOLUCIÓN
Área (ABCD) = 144cm2
BC = 3PC
CD = 4DQ
AD = 5AR
AB = 12cm
BC = BP + PC =⇒ 3PC = BP + PC =⇒ 2PC = BP
AB . BC = 144cm2 =⇒ AB = BC = CD = DA = 12cm
BC = 3PC =⇒ 12cm = 3PC =⇒ PC = 4cm
PB = BC - CP = 12cm - 4cm = 8cm
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
38
PB = 8cm
CD = 12cm = DQ + QC
CD = 4DQ =⇒ 12cm = 4DQ =⇒ DQ = 3cm
CD = DQ + QC =⇒ 12cm = 3cm + QC =⇒ QC = 9cm
AD = 5AR = 12cm
AR = 12
5 cm = 2,4cm
DR = AD - AR = 12cm - 2,4cm = 9,6cm =⇒ DR = 9,6cm
área (PCQ) = 1
2 (PC . CQ) =
1
2 4cm . 9cm = 18cm2
área (RDQ) = 1
2 (RD . DQ) =
1
2 . 9,6cm . 3cm = 14,4cm2
área (ABPR) = 1
2 (BP + AR) . AB =
1
2 (8cm + 2,4cm) . 12cm = 62,4cm2
área sombreada = área (ABCD) - área (PCQ) - área (RDQ) - área (ABPR)
área sombreada = 144cm2 - 18cm2 - 14,4cm2 - 62,4cm2 = 49,2cm2
60. Luis tiene un nuevo trabajo.
Debe trabajar: 14 horas por semana, de lunes a viernes, y por día, no menos de 2 horas y siempre un
número entero de horas. ¿De cuántas maneras distintas puede repartir sus horas de trabajo durante
la semana?
SOLUCIÓN
N L M M J V N L M M J V N L M M J V
1 2 2 2 2 6 11 2 5 3 2 2 21 2 5 2 3 2
2 2 2 2 6 2 12 3 5 2 2 2 22 2 3 2 2 5
3 2 2 6 2 2 13 5 3 2 2 2 23 2 5 2 2 3
4 2 6 1 1 2 14 3 2 5 2 2 24 2 2 3 2 5
5 6 2 2 2 2 15 5 2 3 2 2 25 2 2 5 2 3
6 2 2 2 3 5 16 3 2 2 5 2 26 2 2 3 3 4
7 2 2 2 5 3 17 5 2 2 3 2 27 2 3 3 4 2
8 2 2 3 5 2 18 3 2 2 2 5 28 2 3 2 4 3
9 2 2 5 3 2 19 5 2 2 2 3 29 2 3 3 2 4
10 2 3 5 2 2 20 2 3 2 5 2 30 2 3 2 3 4
N L M M J V N L M M J V
31 2 2 2 2 2 41 4 4 2 2 2
32 2 2 4 3 3 42 4 2 4 2 2
33 2 4 2 3 3 43 4 2 2 4 2
34 2 4 3 2 3 44 4 2 2 2 4
35 2 4 3 3 2 45 2 4 4 2 2
36 2 3 3 3 3 46 2 4 2 4 2
37 3 2 3 3 3 47 2 4 2 2 4
38 3 3 2 3 3 48 2 2 4 4 2
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
39
39 3 3 2 2 3 49 2 2 4 2 4
40 3 3 3 3 2 50 2 2 2 4 4
61. N = 369125.
Con los dígitos de N, ¿cuántos números sin cifras repetidas, comprendidos entre 1000 y 9000, que
son múltiplos de 3, se pueden armar?
SOLUCIÓN
1236 1239 1263 1269 1293 1296 - -
1326 1329 1362 1392 1359 1395 1365 1356
1536 1539 1563 1569 1593 1593 - -
1623 1629 1632 1692 1653 1635 - -
1935 1953 1965 1956 1926 1962 1932 1923
2136 2139 2163 2169 2193 2196 - -
2391 2319 2316 2361 - - - -
2613 2631 2691 2619 - - - -
2913 2916 2961 2931 - - - -
3219 3291 3216 3261 - - - -
3591 3519 3526 3561 - - - -
3612 3621 3615 3651 - - - -
3126 3162 3129 3192 3156 3165 3195 3159
3921 3912 3915 3951 - - - -
5136 5139 5163 5169 5196 5193 - -
5791 5719 5716 5761 - - - -
5613 5631 5619 5691 - - - -
5931 5913 5916 5961 - - - -
6123 6129 6132 6192 6153 6135 6156 6159 6165 6195
6213 6231 6291 6219 - - - - - -
6312 6321 6315 6351 - - - - - -
6513 6531 6519 6591 - - - - - -
6912 6915 6921 6951 - - - - - -
En total hay 120 casos posibles.
62. El triángulo ABC es rectángulo en A.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
40
Los puntos P, R, S y T pertenecen a los lados del triángulo ABC.
BP = CT, APRS es un cuadrado de 144 cm2de área.
ABR es un triángulo de 126 cm2de área.
ART es un triángulo de 114cm2 de área.
¿Cuál es el área del triángulo ABC?
SOLUCIÓN
ABC triángulo rectángulo.
APRS cuadrado ∧ área (APRS) = 144cm2
BP = CT
AP = PR = RS = SA = 12cm
área (ART) = 114cm2
área (ABR) = 1
2 (AB . PR) =
1
2 (AB . 12cm) = 126cm2 =⇒ AB =
1
12𝑐𝑚 (2 . 126cm2) = 21cm
área (ART) = 1
2 (AT . SR) =
1
2 (AT . AP) = 114cm2 =⇒ AT =
1
12𝑐𝑚 (2 . 144cm2) = 19cm
AC = AT + TC = 19cm + BP = 19cm + (AB - AP)
AC = 19cm + (21cm - 12cm) = 28cm
área (ABC) = 1
2 AB . AC =
1
2 . 21cm . 28cm = 294cm2
63. En el almacén: 1/2 kg de aceitunas verdes y 3/4 kg de aceitunas negras cuestan $0,50 más que
3/4 kg de aceitunas verdes y 1/2 kg de aceitunas negras.
Si un kilo de aceitunas negras cuesta un 50% más que un kilo de aceitunas verdes, ¿cuánto se paga
por 1/2 kg de aceitunas verdes y 3/4 kg de aceitunas negras?
SOLUCIÓN
(1
2 V +
3
4 N) - (
3
4 V +
º
2 N) = $0,50
1N = 3
2 V
¿1
2 V +
3
4 N?
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
41
(1
2 V +
3
4 .
3
2 V) - (
3
4 V +
1
2 .
3
2 V) = $0,50
(1
2 V +
9
8 V) - (
3
4 V +
3
4 V) = $0,50
1
2 V +
9
8 V -
3
4 V -
3
4 V = $0,50
1
8 (4V + 9 V - 6V - 6V) = $0, 50 =⇒ 1V = $4
1N = 3
2 V =⇒ 1N =
3
2 . $4 = $6
1
2 V +
3
4 N =
1
2 . $4 +
3
4 . $6 = $2 + $
9
2 =
1
2 .($4 + $9) = $6,50
1
2 V +
3
4 N = $6,50
64. El servicio de taxis cobra una suma fija por viaje y cierta cantidad por cada kilómetro recorrido.
Ana pagó $ 5,10 por un viaje de 3 km.
Pedro pagó $ 8,60 por un viaje de 8 km.
¿Cuánto cobra por kilómetro?
¿Cuánto pagará Laura por un viaje de 12 km?
SOLUCIÓN
F −→ suma fija
A −→ $5,10 −→ 3km
P −→ $8,60 −→ 8km
F + 3x = $5,10 =⇒ F = $5,10 - 3x
F + 8x = $8,60 =⇒ F = $8,60 - 8x
$5,10 - 3x = $8,60 - 8x
8x - 3x = $8,60 - $5,10
5x = $3,50 =⇒ x =$ 3,50
5 = $ 0,70
F = $5,10 - 3 . $0,70
F = $5,10 - $2,10 = $3,00
65. El trapecio ADEF se partió en un rectángulo y dos triángulos rectángulos iguales, como muestra la
figura. El triángulo CDE tiene 78 cm2 de área,
CE = 13 cm y AD = 4 EF.
¿Cuál es el área del trapecio ADEF?
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
42
SOLUCIÓN
¿área (ADEF)?
ABF = CDE
área (CDE) = 78cm2
CE = FB = 13cm
AD = 4EF
1
2 CD . CE = 78cm2
CD . CE = 2 . 78cm2 =⇒ CD . 13cm = 2 . 78cm2 =⇒ CD = 2 .78
13cm= 12cm
CD = AB = 12cm
AD = AB + BC + CD = 12cm + BC + 12cm
AD = BC + 24cm
4EF = 4BC = AD
4BC = BC + 24cm =⇒ 3BC = 24cm =⇒ BC = 8cm
AD = 24cm + 8cm = 32cm
EF = BC = 8cm
CE = 13cm
área (ADEF) = 1
2 (AD + EF) . CE =
1
2 ( 32cm + 8cm) . 13cm = 260cm2
66. La combinación para abrir la cerradura de la caja fuerte es un número de seis cifras.
Las cifras están ordenadas de mayor a menor, son todas distintas y ninguna es cero.
¿Cuál puede ser el número de la combinación?
Da todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
654321 765431 765432 876541
754321 865431 865432 976541
854321 965431 965432 -
954321 - - 987432
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
43
- 976543 987543 987431
876543 976542 987542 987321
876542 986543 987541 -
- 986542 - 974321
986543 986541 984321 -
986542 - - -
986541 985432 976592 -
986532 985431 976531 -
986531 - 975432 -
- - 975431 -
En total hay 38 casos posibles.
67. Un comerciante compró un rollo de tela a $36 el metro.
Al lavarla perdió un cuarto de su longitud.
Después de lavada, la vendió a $60 el metro.
Por la venta de todo el rollo ganó $576.
¿Cuántos metros de tela tenía el rollo que compró?
SOLUCIÓN
1m −→ $36
al lavarla −→ quedó 3
4 m
después de lavarla −→ $60 el metro
ganancia del rollo −→ $576
gastó $36 por xm−→la magnitud de x es m
ganará −→ 3
4 x . $60 −→ venta
venta - gasto = 3
4 x . $60 - $36x = 9x
venta - gastóo = 9x = $576 =⇒ x = 576
9 m = 64m
El rollo original tenía 64m.
68. En el trapecio ABCD, la base AD mide 42cm.
La diagonales AC y BD se cortan en el punto O.
El triángulo AOD tiene 294 cm2 de área.
El triángulo BOC tiene 96 cm2 de área y la altura que corresponde al lado BC mide 8cm.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
44
¿Cuál es el área del trapecio ABCD?
SOLUCIÓN
AD = 42cm
BC = 8cm
área (AOD) = 294cm2
área (BOC) = 96cm2
¿área (ABCD)?
Sean P punto medio de AD y Q punto medio de CB.
Las rectas AC y CD se cortan en el punto O
área (AOD) = 1
2 (AD . OP) = 294cm2
OP = 1
42 𝑐𝑚 . (2 . 294cm) = 14cm
área (BOC) = 1
2 (BC . OQ) = 96cm2
OQ = 1
8 𝑐𝑚 . (2 . 96cm) = 24cm
área (ABCD) = 1
2 (AD + BC) . (OP + OQ)
área (ABCD) = 1
2 (42cm + 8cm) . (14cm + 24cm) =
1
2 . 50cm . 38cm = 950cm2
69. El diccionario de Lucía tiene 969 páginas.
En las páginas pares hay 7 dibujos.
En las páginas impares hay 5 dibujos.
En las páginas cuyo número es múltiplo de 3, los dibujos son en colores; en las otras páginas, los
dibujos son en blanco y negro.
¿Cuántos dibujos en colores hay en el diccionario de Lucía?
SOLUCIÓN
969 pág
pág pares −→ 7d
pág impares −→ 5d
pág con número múltiplo de 3 −→ dibujos en colores
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
45
otras −→ dibujos en blanco y negro
pág pares −→ 484 pág −→ 7d
pág impares −→ 485 pág −→ 5d
hay 969
3 pág en colores = 323 pág en colores de las cuales 161 son pares y 162 son impares.
dibujos en colores −→ (161p. 7d) + (162i. 5d) = 1172d + 810d = 1937d
70. Por las casillas I y II del peaje sólo pasan autos, que pagan $ 2 y camiones, que pagan $ 3.
Ayer, por la casilla II pasaron el doble de autos y la mitad de camiones que los que pasaron por la
casilla I.
Ayer, en la casilla I se recaudaron $ 84 y en la casilla II, $ 3 más que en la I.
¿Cuántos autos y cuántos camiones pasaron ayer por la casilla II?
SOLUCIÓN
casillas I y II −→ autos : $2 ∧ camiones: $3
pasan (2A + C ) más por II que por I
I −→ $ 84
II −→ $ 87
A + C = $84
2A + 1
2 C = $87
De aquí: A = $84 - C
2 . ($84 - C) + 1
2 C = $87
$81 = 3
2 C ⇒
2
3 . $81 = $54
A = $84 - C = $84 - $54 = $3á
$2 −→ 1A
$30 −→ x = 1
$2 . $30. 1A = 15A
$3 −→ 1C
$54 −→ y = 1
$2 . $54. 1C = 18C
71. ABCD es un paralelogramo.
DH es perpendicular a AB.
AH = HD HB = 37 cm
El triángulo AHD tiene 338 cm2 de área.
¿Cuál es el área del paralelogramo ABCD?
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
46
SOLUCIÓN
AH = HD
HB = 37cm
área (AHD) = 338cm2
¿área (ABCD)?
(AH . HD) = 338cm2
(AH)2= 2 . 338cm2 = 676cm2 =⇒ AH = √676 cm = 26cm
AB = AH + HB = 26cm + 37cm
AB = CD = 63cm
HD = 26cm
área (ABCD) = AB . HD = 63cm . 26cm = 1638cm2
72. Con los dígitos: 1 – 4 – 0 – 6 – 7 - 9, ¿cuántos números múltiplos de 3, mayores que 1000 y
menores que 2005 se pueden formar?
SOLUCIÓN
18 números sin repeticion:
1047 1407 1647 1740 1974
1074 1470 1674 1704 1947
- 1479 - 1749 -
- 1476 - 1794 -
- 1467 - 1746 -
- 1497 - 1764 -
72 números con repeticion:
1014 1401 1614 1701 1914 1101
1017 1404 1617 1704 1917 1104
1044 1407 1644 1707 1944 1107
1047 1410 1647 1710 1947 1110
1071 1416 1671 1716 1971 1116
1074 1419 1674 1719 1974 1119
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
47
- 1440 - 1740 - 1140
- 1446 - 1746 - 1146
- 1449 - 1749 - 1149
- 1461 - 1761 - 1161
- 1464 - 1764 - 1164
- 1467 - 1767 - 1167
- 1470 - 1770 - 1170
- 1476 - 1776 - 1176
- 1479 - 1779 - 1179
- 1491 - 1791 - 1191
- 1494 - 1794 - 1194
- 1497 - 1797 - 1197
73. En el gimnasio hay 210 personas. La mitad de las mujeres y la tercera parte de los varones hacen
bicicleta.
Si hay 85 bicicletas ocupadas, ¿cuántas mujeres y cuántos varones hay en el gimnasio?
SOLUCIÓN
g −→ 210p ∧ 85b
1
2 m +
1
3 v = 85
m + v = 210
De aquí:
m = 210 - v
1
2 (210 – v) +
1
3 v = 85 ⇒ 105 .
1
2 v +
1
3 v = 85
105 – 85 = (1
2 -
1
3 ) v ⇒ 20 =
1
6 (3 – 2) v
Entonces queda:
m = 90 ∧ v = 120
74. La figura, de 306 cm2 de área, está partida en un cuadrado, un rectángulo y un triángulo.
El área del triángulo DEF es las tres octavas partes del área del cuadrado ABCG.
El área del rectángulo CDFG es el doble del área del triángulo DEF.
Cuánto miden los lados del rectángulo ABDF?
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
48
SOLUCIÓN
área (DEF) = 3
8 área (ABCG)
área ( CDFG) = 2 . área ( DEF)
área ( ABEF) = 306cm2
área ( DEF) = 8
3 área ( DEF) + 2 . área ( DEF) = 306cm2
17
3 área (DEF) = 306cm2 =⇒ área ( DEF) =
1
17 (3 . 306cm2) = 54cm2
área ( ABCG) = 8
3 área ( DEF)
área ( ABCG) = 8
3. 54cm2 = 144cm2 ⇒ AB = √144cm = 12cm
área ( CDFG) = 2 . área ( DEF) = 2 . 54cm2 = 108cm2
CD . CG = 108cm2
CG = AB = 12cm
CD . 12cm = 108cm2 =⇒ CD = 108
12 cm = 9cm
área ( DEF) = 1
2 (FD . DE) = 54cm2
FD = AB
DE = 2
𝐹𝐷 área ( DEF) =
2
12 𝑐𝑚 . 54cm2 = 9cm
BD = BC + CD = 12cm + 9cm = 21cm
(AB , AF) = (12cm , 21cm)
75. Con los dígitos 1 – 2 - 3 – 5 - 6 - 7 se arman números menores que 10000, sin cifras repetidas, que
son múltiplos de 4 y de 3. ¿Cuáles y cuántos son?
SOLUCIÓN
12 132 312 732 612
36 156 372 756 672
72 216 516 - -
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
49
- 276 276 - -
15 casos posibles
1236 1356 1572 1632 1752
- - 1536 - -
2136 2316 - - 2736
- 2376 - - -
10 casos posibles
6132 7236 3516
3156 6732 6372
5172 7632 6312
5712 7536 5376
5136 5736
3216 3672 -
7512 7356 -
7152 3756 -
5316 7512 -
- 3276 -
25 casos posibles
En total hay 48 casos posibles.
76. Flora compró caramelos para que Federico, Tomás e Inés se los repartieran en partes iguales.
Federico sacó su parte y no avisó.
Cuando Tomás fue a buscar sus caramelos, creyendo que esos eran todo los caramelos que había
comprado Flora, tomó su parte y tampoco avisó.
Finalmente Inés se llevó la tercera parte de los que quedaban.
Cuando Inés se fue, quedaron 48. ¿Cuántos caramelos había comprado Flora?
SOLUCIÓN
FL compró 1 entero
Quería repartir así:
F −→ 1
3 ∧ T −→
1
3 ∧ I −→
1
3
1
3 x −→ F
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
50
1
3 .
2
3 x −→ T
1
3 .
2
3 .
2
3 x −→ I
restan 48 caramelos
x - 1
3 x -
2
9 x -
4
27 x = 48c
x . (1- 1
3 -
2
9 -
4
27 ) = 48c ⇒
𝑥
27 . ( 27 - 9 - 6 - 4) = 48c
8
27 x = 48c =⇒ x =
1
8 . (48c . 27) = 162c
Entonces el reparto quedó así:
F −→ 54c
T −→ 36c
I −→ 24c
77. En la figura: ABHG es un cuadrado y BCDH y ACEF son rectángulos.
área de BCDH = 1
3 área de ABHG.
Perímetro de BCDH = 56 cm.
área de FGH = 1
5 área de BCDH.
Perímetro de ABHF = 86,99 cm.
¿Cuál es el área y cuál es el per metro del DEFH?
SOLUCIÓN
per (BCDH) = 56cm
BC + BH = 28cm
Sea AB = BH.
área ( BCDH) = 1
3 área ( ABHG)
BC . BH = 1
3 AB . BH
(28cm - BH ) . BH = 1
3 (BH)2
28cm . BH - (BH)2= 1
3 (BH)2
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
51
4
3 (BH)2 - 28cm . (BH)2= 0
BH . (4
3 BH - 28cm) = 0
4
3 BH = 28cm =⇒ BH =
3
4 . 28cm = 21cm
(BH)2 = BC . BH . 3 =⇒ BC = 1
3 BH = 7cm
FG + FH = 86,99cm - BC - 2BH - BC = 86,99cm - 3. 7cm - 2 . 21cm = 23,99cm
1
2 (FG . GH) =
1
5 área (BCDH)
FG . 3BC = 2
5 BC . BH
FG = 2
5 .
7 𝑐𝑚 .21 𝑐𝑚
3 .7 𝑐𝑚 =
14
5 cm
FH = 23,99cm - 14
5 cm = 21,19cm
DE = FG
DH = BC
EF = 4BC
per (DEFH) = FG + 4BC + FH + BC = FG + 5BC + FH
per (DEFH) = 14
5 cm - 5 . 7cm + 21,19cm = 58,99cm
área (DEFH) = 1
2 (BC + AB + BC) . FG
área (DEFH) = 1
2 (21cm + 2 . 7cm) . cm = 49cm2
78. Pedro está leyendo un libro que tiene entre 300 y 600 páginas.
Si lee 6 páginas por día, el último día le quedarán para leer 3.
Si lee 7 páginas por día, el último día le quedarán para leer 5.
¿Cuántas páginas puede tener el libro que está leyendo Pedro?
Da todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
300 < x < 600
Debemos hallar un x que cumpla las siguientes condiciones:
6n + 3 = x =⇒ x es múltiplo de 3 (impar)
7m + 5 = x
Veamos los números que cumplen la primera condición:
303 309 315 321 327 333 339 345 351 357
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
52
363 369 375 381 387 393 399 405 411 417
423 429 435 441 447 453 459 465 471 477
483 489 495 501 507 513 519 525 531 537
543 549 555 561 567 573 579 585 591 597
De estos números veamos los que cumplen con la segunda condición:
327 369 411 453 495 537 579
79. En la liquidación de temporada se ofrecen paquetes A y B.
Cada paquete A contiene una remera y se ofrece a $ 20.
Cada paquete B contiene dos remeras y se ofrece a $ 35.
Por todos los paquetes se obtuvieron $5600.
En total se vendieron 312 remeras.
¿Cuántos paquetes de cada oferta se vendieron?
SOLUCIÓN
1R −→ $2
2R −→ $35
x + 2y = 312
20x + 35y = $5600
4x + 7y = $1120
Si x = 312 - 2y , reemplazo:
4 ($312 - 2y ) + 7y = $1120
$1248 - 8y + 7y = $1120
$1248 - $1120 = y =⇒ y = 128
80. En el rectángulo ABCD de 84 cm de perímetro, BC = 2 AB.
Sobre AB se dibujan un cuadrado de 100 cm2 de área y un triángulo.
Sobre CD se dibujan un cuadrado de 36 cm2 de área y un triángulo.
¿Cuál es el área de la región sombreada?
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
53
SOLUCIÓN
per (ABCD) = 84cm
DA = DB = 2AB
área (MBNP) = 100cm2
área (SRQD) = 36cm2
CD = AB
¿área sombreada?
per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = AB + 2AB + AB + 2AB = 84cm
per (ABCD) = 6AB = 84cm =⇒ AB = 84
6 cm = 14cm
AB = CD = 14cm
DA = BC = 28cm
AB = AM + MB
BC = BN + NC
DC = DQ + QC
área (MBN) = MB . BN = (MB)2 = 100cm2 =⇒ MB = BN = NP = PM = 10cm
área (AMP) = 1
2 (AM . MP) =
1
2 [ (AB - MB) . MP ] =
1
2 (14cm - 10cm) . 10cm =
1
2 4cm . 10cm = 20cm2
área (SRDQ) = DR . RQ = (DQ)2 = 36cm2=⇒ DQ = RQ = RS = DS = 6cm
DC = DQ + QC =⇒ 14cm = 6cm + QC =⇒ QC = 14cm - 6cm = 8cm
área (QRC) = 1
2 (QC . QR) =
1
2 8cm . 6cm = 24cm2
área sombreada = área (ABCD) - área (RQC) - área (MBNP) - área (AMP) =
= 14cm . 28cm - 36cm2 - 24cm2 - 100cm2 - 20cm2 = 212cm2
81. Cecilia escribió un número de cinco cifras que es múltiplo de 6.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
54
Tres cifras se le borraron, quedaron un 8 en el lugar de las decenas y un 2 como primera cifra.
Entre las cifras que se le borraron recuerda que sólo una era cero.
¿Qué números pudo haber escrito Cecilia? ¿Cuántos son?
SOLUCIÓN
número múltiplo de 6 alguna cifra es 0 tiene que ser par tiene que ser múltiplo de 3
2 − − 8 −
Son los siguientes:
20184 21084 23580 25680 24180
20586 25086 25380 26580 21480
20784 27084 21780 27480 -
- - 27180 24780 -
Son 16 casos posibles.
82. En la figura, ABCF es un cuadrado y CDEF es un rectángulo.
El área de la figura es 216 cm2.
Perímetro de CDEF = 3 AB.
¿Cuál es la longitud de AF?
¿Cuál es el área de CDEF?
SOLUCIÓN
ABCF cuadrado =⇒ AB = BC = CF = AF
área (ABDE) = 216cm2
¿área (CDEF)?
per (CDEF) = 3AB
¿AF?
per (CDEF) = 2 . (CD + DE) = 3AB
2CD = AB
CD = EF
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
55
área (ABDE) = AB . (BC + CD) = 2CD . (BC + CD)
área (ABDE) = área (ABDE) = 2CD . (BC + CD) = 216cm2
área (ABDE) =AB . (AB + 1
2 AB) =
3
2 (AB)2
AB = √2 .216
3 cm = √144 cm = 12cm
per ( figura) = 2AB + 2 (AB + 1
2 AB)
per (figura) = 2AB + 2 . 3
2 AB = 5AB = 5 . 12cm = 60cm
AB = BC = AF = 12cm
área (CDEF) = (CD . DE) = 1
2 AB . AB = 6cm . 12cm = 72cm2
83. Ana, Bibi, Ceci, Edu y Juan tienen entradas para el teatro.
Los asientos están todos en la misma fila y son consecutivos.
¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse si las tres mujeres nunca quieren estar en tres
asientos consecutivos?
SOLUCIÓN
A, B, C, E, J
A, B, C no pueden estar juntos
A B C E J
A B C J E
A C B E J
A C B J E
B C A E J
B C A J E
B A C E J
B A C J E
C B A E J
C B A J E
C A B E J
C A B J E
Pueden estar sentadas de 12 maneras distintas.
84. El abuelo de Edu tiene entre 200 y 300 libros en su biblioteca.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
56
Un quinto son libros en inglés, un séptimo son libros en francés, la cuarta parte son libros en italiano
y el resto son libros en castellano.
¿Cuántos libros tiene el abuelo en su biblioteca?
¿Cuántos en castellano?
SOLUCIÓN
200 < x < 300
1
5 −→ in
1
7 −→ f
1
4 −→ it
1
5 +
1
7 +
1
4 −→
1
140 (28 + 20 + 35) =
83
140
En cast −→ 1 - 83
140 =
57
140
x es múltiplo de 140 / 200 < x < 300
∴ x = 280
1
5 . 280 l = 56l -→ in
1
7 . 280 l = 40l −→ f
1
4 . 280 l = 70l −→ it
57
140 . 280 l = 114 l −→ cast
85. En la figura, de 126 cm de per metro, ABFG y BCDE son rectángulos.
AB = 2 BC; AG = 2 AB y E es punto medio de BF.
Calcula el área de la figura sombreada. (FABDE)
Los puntos son A, B, C, D, E, F, G tomados desde el vértice izquierdo inferior
SOLUCIÓN
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
57
per ( ABCDEFG) = 126cm
ABFG ∧ BCDE −→ rectángulos
AB = 2BC
AG = 2AB
E −→ punto medio de BF
¿área (ABDEF)?
AB + BC + CD + EF + FG + AG = AB + 𝐴𝐵
2 + AB +
𝐴𝐵
2 + AB + AB + 2AB = 126cm
7AB = 126cm =⇒ AB = 126
7 cm = 18cm
área figura = área (ABF) + área (BDE) = 1
2 (AB . BF) +
1
2 (DE . BE)
BF = AG = 2AB
DE = BC = 𝐴𝐵
2
BE = EF = AB
área figura = 1
2 (AB . 2AB) +
1
2 (
𝐴𝐵
2 . AB) = (AB)2+
1
4 (AB)2=
5
4 (AB)2
Si AB = 12cm =⇒ área figura = 5
4 (AB) 2=
5
4 . 144cm2 = 180cm2
86. Un virus atacó la memoria de una computadora.
El primer día borró la mitad de la memoria.
El segundo día borró la mitad de lo que quedaba.
El tercer día borró la mitad de lo que quedaba.
Al final del tercer día quedaron sin borrar 512 unidades de memoria.
¿Cuántas unidades de memoria tenía la computadora antes de ser atacada por el virus?
SOLUCIÓN
día 1 −→ 1
2 T
día 2 −→ 1
2 (
1
2T)
día 3 −→ 1
2 [
1
2 (
1
2T)]
quedan −→ 512 um
¿T?
T - 1
2 T -
1
4 T -
1
8 T = 512
1
8 (8T - 4T - 2T - T) = 512 =) ⇒ T = 512 . 8 = 4096 um
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
58
87. ¿Cuántos números de cuatro cifras, múltiplos de 6, tales que la suma de la cifra de las unidades y
la cifra de las decenas sea 11, se pueden armar?
¿Cuáles son?
nros múltiplos de 6
d + u = 11 um+ c −→ 1 , 4 , 7 , 10 , 13
SOLUCIÓN
1039 1338 1638 1938 2238 2538 3838 3138 3438 3738 4038 4338 4638 4938
1056 1356 1656 1956 2256 2556 2856 3156 3456 3756 4056 4356 4656 4956
1074 1374 1674 1974 2274 2574 2874 3174 3474 3774 4074 4374 4674 4974
1092 1392 1692 1992 2292 2592 2892 3192 3492 3792 4092 4392 4692 4992
5238 5538 5838 6138 6438 6738 7038 7338 7638 7938 8238 8538 8838 9138
5456 5556 5856 6156 6456 6756 7056 7356 7656 7956 8256 8556 8856 8956
5274 5574 5874 6174 6474 6774 7074 7374 7674 7974 8274 8574 8874 9174
5292 5592 5892 6192 6492 6792 7092 7392 7692 7992 8292 8592 8892 9192
9438 9738
9456 9756
9474 9774
9492 9792
Hay 120 casos posibles.
88. De la bolsa de caramelos, Camila se llevó la tercera parte y después Agustina se llevó un cuarto
de lo que quedaba.
En la bolsa quedaron 132 caramelos.
¿Cuántos caramelos había al principio?
SOLUCIÓN
1
3 caramelos −→ C −→ 88 caramelos
1
4 .
2
3 caramelos −→ A −→ 44 caramelos
TOTAL −→ x
RESTO −→ 132 caramelos
1
3 +
1
4 .
2
3 =
1
6 (2 + 1) =
3
6 =
1
2
A + C comieron la mitad de la bolsa, entonces:
x = 2 . 132 caramelos = 264 caramelos
89. En la figura:
ABCD es un rectángulo de 108 cm de perímetro.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
59
BC = 1
2 AB
AQ = BM = MN = NC
DP = PC
¿Cuál es el área del AMNPQ?
SOLUCIÓN
per (ABCD) = 108cm
BC = 1
2 AB
AQ = BM = NM = NC DP = PC
per (ABCD) = 2AB + 2BC = 2AB + AB = 3AB = 108cm =⇒ AB = 108
3 cm = 36cm
AQ = BM = MN = CN = 𝐵𝐶
3 =
𝐴𝐵
6
DQ = BC - BM = 𝐴𝐵
2 -
𝐴𝐵
6 =
1
6 (3AB - AB) =
2
6 AB =
1
3 AB
área sombreada = área (ABCD) - área (DPQ) - área (CNP) - área (ABM)
área sombreada = AB . BC - 1
2 (DP . DQ) -
1
2 (CN . CP) -
1
2 (AB . BM) =
= AB . 𝐴𝐵
2 -
1
2 (
𝐴𝐵
2 .
𝐴𝐵
6 ) -
1
2 (
𝐴𝐵
6 .
𝐴𝐵
2 ) -
1
2 (AB .
𝐴𝐵
6 ) =
1
2 (AB)2 -
1
24 (AB)2 -
1
12 (AB)2 =
1
3 (AB)2=
= (AB)2 ( 1
2 -
1
24 -
1
12 =
1
3) =
1
24 (AB)2 (12 – 2 – 2) =
1
3 (AB)2
Si AB = 36cm ⇒ 1
3 (AB)2 =
1
3 (36cm)2 = 432cm2
90. Vale dibuja un edificio; en la planta baja no tiene ventanas y en los otros 2 pisos tiene 4 ventanas
en cada piso.
Después elige 4 ventanas y las pinta de azul.
¿De cuántas maneras distintas pudo haber elegido Vale las 4 ventanas que pintó de azul?
Muéstralas.
SOLUCIÓN
1 2 3 4
5 6 7 8
Se pueden hacer las siguientes combinaciones:
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
60
1234 1257 1357 1478 2357 2478 3478
1235 1258 1358 1567 2358 2567 3567
1236 1267 1367 1568 2367 2568 3568
1237 1268 1368 1578 2368 2578 3578
1238 1278 1378 1678 2478 2678 3468
1245 1345 1456 2345 2456 3456 4567
1246 1346 1457 2346 2457 3457 4568
1247 1347 1458 2347 2458 3458 4578
1248 1348 1467 2348 2467 3467 4678
1256 1356 1468 2356 2468 3468 5678
Hay 70 posibilidades.
91. Con cubos de madera todos iguales Cristian armó esta torre de 864 cm2 de área total.
Con todos los cubos que Cristian usó se llena una caja de 16 cm de largo y 8 cm de ancho.
Cuál es la altura de esa caja?
SOLUCION
16 cubos =⇒ área total = 864cm2
¿ altura de la caja = ?
7 caras + 16 caras + 16caras + 8caras + 7caras = 54caras = area total
54 caras = 864cm2 =⇒ 1 cara = 864
54 cm2 = 16cm2
∴ cada cara mide 4cm
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
61
16 cubos =⇒ 8 arriba ∧ 8 abajo =⇒ h = 8cm
92. Luis pasa sus vacaciones en Playa Linda y su amigo Matías en Playa Hermosa, distantes entre s 20
km.
Planearon encontrarse una mañana.
Los dos salieron a las 9 hs, Luis caminaba a 5 km/h y Matías a 7 km/h.
¿A qué hora y a qué distancia de Playa Linda se encontraron?
SOLUCION
ti = 9hs
L −→ 5𝑘𝑚
ℎ
M −→ 7𝑘𝑚
ℎ
5t +7t = 20km =⇒ 12t = 20km =⇒ t = 20
12 h = 1h 40min
L −→ 5
3 ℎ . 5
𝑘𝑚
ℎ =
25
3 km
M −→ 5
3 ℎ . 7
𝑘𝑚
ℎ =
35
3 km
ti + tr = tf ⇒ 9hs + 5
3 h = 10h 40 min
Se encontraron a las 10h 40min a 25
3 km de playa linda.
93. En un triángulo equilátero ABC se marcan los puntos medios de los lados:
M en AB,
N en BC
P en AC.
Se trazan todos los segmentos que tienen por extremos los puntos A, B, C, M, N y P.
¿Cuántos triángulos hay en esta figura?
Explica como los contaste.
SOLUCION
1 10 1; 3 7; 8; 10 3; 4; 7; 8; 9; 10
2 11 2; 4 3; 7; 8 1; 3; 5; 6; 7; 8
3 12 5; 7 4; 9; 11 2; 4; 9; 10; 11; 12
4 1; 2 6; 8 1; 3; 7; 8 1; 2; 3; 4; 5; 7
5 3; 4 9; 11 2; 4; 9; 11 6; 8; 9; 10; 11; 12
6 5; 6 10; 12 3; 4; 5; 7 1; 2; 3; 4; 9; 11
7 7; 8 3; 4; 7 6; 8; 9; 11 5; 6; 7; 8; 11; 12
8 9; 10 8; 9; 10 3; 4; 9; 11 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
9 11; 12 3; 4; 9 7; 8; 11; 12
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
62
44 casos.
94. Mezclando jugos de naranja, kiwi y pomelo se preparan los jugos A, B y C que se envasan en
botellones de 5 litros.
Para 5 litros del jugo A se necesitan: 1 litro de jugo de naranja, 2 de jugo de kiwi y 2 de jugo de
pomelo.
Para 5 litros del jugo B se necesitan: 2 litros de jugo de naranja, 1 de jugo de kiwi y 2 de jugo de
pomelo.
Para 5 litros del jugo C se necesitan: 2 litros de jugo de naranja, 2 de jugo de kiwi y 1 de jugo de
pomelo.
Con 80 litros de jugo de naranja, 55 litros de jugo de kiwi y 70 litros de jugo de pomelo, ¿cuántos
botellones de 5 litros de cada clase de jugo se pueden preparar?
SOLUCIÓN
N , K , P −→ A , B , C −→ 5l
5lA −→ 1lN + 2lK + 2lP
5lB −→ 2lN + 1lK + 2lP
5lC −→ 2lN + 2lK + 1lP
80lN , 55lK , 70lP −→ ¿botellones de 5l?
𝐴 + 2𝐵
2𝐴 + 𝐵2𝐴 + 2𝐵
+ 2𝐶 =+ 2𝐶 =+ 𝐶 =
80𝑙55𝑙70𝑙
∆ = |1 2 22 1 22 2 1
| = 5
∆𝐴 = |80 2 255 1 270 2 1
| = 10 ⇒ A = ∆𝐴
∆ =
10
5 = 2
∆𝐵 = |1 80 22 55 22 70 1
| = 135 ⇒ B = ∆𝐵
∆ =
135
5 = 27
∆𝐶 = |1 2 802 1 552 2 70
| = 60 ⇒ C = ∆𝐶
∆ =
60
5 =12
95. Los puntos de la figura están en una cuadrícula.
Cada cuadradito de la cuadrícula tiene 1cm de lado.
Se quiere dibujar un triángulos con vértices en los puntos de la cuadrícula que tenga 1/2 cm2 de área.
¿Cuántas posibilidades distintas hay? Explica por qué.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
63
SOLUCION
1,2 5,6 9,10 13,14
1,3 5,7 9,11 13,15
2,4 6,8 10,12 14,16
3,4 7,8
Así queda:
11,12 15,16
ABD = 1,2 BCE = 5,6 BEG = 9,10 EFH = 13,14
ADE = 1,3 BEF = 5,7 DGH = 9,11 EHI = 13,15
ABE = 2,4 BCF = 6,8 DEH = 10,12 EFI = 14,16
BDE = 3,4 CEF = 7,8 EGH = 11,12 FHI = 15,16
96. En la figura: ACDE es un rectángulo,
ABOF es un cuadrado,
CO = CD,
AC = 51cm,
área de BCO = 270cm2, los lados AB y BC tienen longitudes enteras.
¿Cuál es el perímetro y cuál es el área del cuadrilátero ACOF?
¿Cuál el área del cuadrilátero BCDO?
SOLUCION
AB + BC = 51 cm
AB = BO 1
2 (BO . BC ) = 270cm2
BC = 51cm - AB
B0 (51cm - BO) = 540cn2
- (BO)2 + 51cm . (BO) - 540cm2 = 0
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
64
BO = 51+√512−4.540
−2 = 36
BO = 51− √512−4.540
−2 = 15
CO = √362 + 152 = √1296 + 225 = √1521 = 39
per (ACOF) = AC + CO + OF + FA = 51cm + 39cm + 15cm + 15cm = 120cm
area (ACOF) = 1
2 (AC + FO) . BO =
1
2 (51cm + 15cm) . 15cm = 495cm2
area (BCDO) = 1
2 (CD + BC) . BC =
1
2 (39cm + 15cm) . 36cm = 972cm2
97. El arco CD es una semicircunferencia de 7 cm de diámetro.
El paralelogramo ABCD tiene 84cm2 de área.
Si se traza la recta que pasa por C y es perpendicular a AB, esa recta corta al segmento AB en su
punto medio.
¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?
SOLUCION
CD = 7cm
E ∈ BA
EA = BE
area (ABCD) = AB . CD = 84cm2
area semicirculo CD = 𝜋
4 (CD)2
L = . D ⇒ 1
2 L =
7
2 𝜋 cm
CD = 84
7 cm = 12cm
BC = √(7
2 𝑐𝑚)2 + (12𝑐𝑚)2 = √
49
4 𝑐𝑚2 + 144𝑐𝑚2 = √
625
4𝑐𝑚2 =
25
2 cm
Per fig = 2 . 25
2 cm + 7cm +
7
2 . 𝜋 cm = 25cm + 7 (1 +
𝜋
2) cm
98. En una cuadrícula de 5 filas y 3 columnas se quieren pintar de azul 6 cuadraditos de modo que, en
cada columna haya exactamente 2 pintados y en cada fila haya al menos uno pintado.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
65
¿De cuántas maneras puede hacerse?
SOLUCION
Llamo α a las combinaciones que puedo hacer con los elementos de la columna 1 tomando 2
elementos:
AD AG AJ AM DG
𝛼 →
DJ DM GJ GM JM
De la misma manera trabajo con los elementos de la columna 2 y queda:
BE BH BK BN EH 𝛽 →
EK EN HK HN KN
Con 𝛾 obtengo lo mismo de la columna 3
CF CI CL CO FI 𝛾 →
FL FO IL IO LO
Si los agrupo, queda:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝛼 AD AG AJ AM DG DJ DM GJ GM JM
𝛽 BE BH BK BN EH EK EN HK HN KN
𝛾 CF CI CL CO FI FL FO IL IO LO
No puedo elegir dos columnas y dos filas iguales a la vez.
Ejemplo −→ α1 β1
Si por ejemplo tomamos α1 β2 los podemos combinar con los γ distintos de 1 y 2
A α1 lo combino con β2....,10 (as obtengo 90 casos).
Si procedo de igual manera con todas las variables, obtengo 90 . 3 = 270 combinaciones.
A cada una le corresponde 8 variantes de su grupo opuesto.
En total obtengo 270 . 8 = 2160 combinaciones.
99. Agustín, Bruno, Carlos, Diego, Ezequiel y Federico son coleccionistas de cuadros y dos de ellos son
hermanos.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
66
Un día fueron juntos a una exposición y compraron de la siguiente manera: Agustín compró 1 cuadro,
Bruno compró 2, Carlos 3, Diego 4, Ezequiel 5 y Federico 6.
Los dos hermanos pagaron igual cantidad de dinero por cada uno de los cuadros que compraron.
Los demás del grupo pagaron el doble por cada cuadro de los que pagaron los hermanos.
En total pagaron $100000.
El precio de cada cuadro era un número entero de pesos.
¿Quiénes son hermanos?
Explica por qué.
SOLUCION
A − B − C − D − E − F
A + 2B + 3C + 4D + 5E + 6F
x + y = 21 =⇒ y = 21 - x
xz + y . 2z = 100000
xz + (21 - x) . 2z = 100000
xz - 4xz + 42z = 100000
42z - xz = 100000
(42 - x) . z = 100000
Casos posibles:
Elijo el caso (x , z) = (10 , 3125) porque un hermano tenía 6 cuadros y el otro 4.
O sea los hermanos son D y F.
Cada uno pagó $3125 por cuadro ,
Los otros cuadros valían 2 . $3125 = $6250
100. En el Súper, Esteban compra pescado fresco, lácteos y productos congelados.
Esteban calcula que en productos congelados gasta el doble que en lácteos y que en total debe pagar
$271.
Cuando llega a la caja sólo le cobran $249,15 porque hay un descuento del 5 % en lácteos y un
descuento del 15 % en pescado fresco.
Sin los descuentos, ¿cuánto pagaría por el pescado fresco y cuánto por los lácteos?
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
67
SOLUCION
x −→ pescado fresco
y −→ lácteos
z −→ pescado congelado
total −→ $271
z = 2y
Planteamos los siguientes sistemas de ecuaciones equivalentes:
𝑥 + 𝑦0,85𝑥 + 0,95𝑦
+ 𝑧 =+ 𝑧 =
271
249,15
semejante a:
𝑥 + 𝑦17
20𝑥 +
19
20𝑦
+ 2𝑦 =+ 2𝑦 =
271
249,15
y a:
17𝑥 + 59𝑦𝑥 + 3𝑦
= 4983= 271
Calculando determinantes:
∆ = |17 591 3
| = -8
∆𝑥 = |4983 59271 3
| = -1040 ⇒ x = ∆𝑥
∆ =
−1040
−8 = 130
∆𝑦 = |17 49831 271
| = -376 ⇒ x = ∆𝑦
∆ =
−376
−8 = 47
z = 2y = 2 , 47 = 94
(x , y , z) = (130 , 47 , 94)
101. Juan sumó 99 números impares consecutivos y obtuvo como resultado 12375.
¿Cuál es el mayor de los números que sumó Juan?
Por ejemplo: 5 y 7 son dos impares consecutivos; 37; 39; 41 y 43 son cuatro impares consecutivos.
SOLUCION
total = 12375 −→ 99 impares consecutivos
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
68
nro. central = 12375
99 = 125
nro. mayor = 125 + 2 * 49 = 223
102. Un comerciante compró tres artículos por un total de $ 440 y después los vendió y obtuvo una ganancia
del 30 %.
Uno de los artículos le dio una ganancia del 20 %, otro una ganancia del 25 % y el tercero una ganancia
del 50 %. Lo que pagó por el artículo que le dio menor porcentaje de ganancia es igual a la suma de los
precios de venta de los otros dos artículos.
¿Cuánto pagó el comerciante por cada uno de los tres artículos?
SOLUCION
A + B + C = $440
G = 30 % . $440 = $132
A −→ 20 %
B −→ 25 %
C −→ 50 %
A = 5
4 B +
3
2 C
6
5 A +
5
4 B +
3
2 C = $572
6
5 (
5
4 B +
3
2 C) +
5
4 B +
3
2 C = $572
3
2 B +
9
5 C +
5
4 B +
3
2 C = $572
(3
2 +
5
4 ) B + (
9
5 +
3
2 )C = $572
11
4 B +
33
10 C = 572 ⇒
55𝐵+66𝐶
20 = $572
5B + 6C = $1040
Por otro lado:
A + B + C = $440 5
4 B +
3
2 C +B + C = $440
9
4 B +
5
2 C = $440 ⇒ 9B + 10C = $1760
Si agrupo las dos ecuaciones, me queda:
9𝐵 + 10𝐶5𝐵 + 6𝐶
= $1760= $1040
∆ = |9 105 6
| = 4
∆𝐵 = |1760 101040 6
| = 160 ⇒ B = ∆𝐵
∆ =
160
4 = 40
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
69
∆𝐶 = |9 17605 1040
| = 9360 ⇒ 𝐶 = ∆𝐶
∆ =
9360
4 = 140
A = 5
4 B +
3
2 C =
5
4 . 40 +
3
2 . 140 = 50 + 210 = 260
(A , B , C ) = ($260 , $40 , $140)
103. En la farmacia compro remedios y artículos de perfumería.
Por los remedios hacen el 60 % de descuento.
Por los artículos de perfumería hacen el 20 % de descuento.
Con el descuento pago, en total, $52,60.
Sin el descuento deber a pagar, en total, $105.
¿Cuál es el precio de los remedios sin descuento?
SOLUCION
R −→ 60 % desc.
P −→ 20 % desc.
0,8P + 0,4R = $52,60
𝑃 + 𝑅 = $1054
5 𝑃 +
2
5 𝑅 = $52,60
⌉ ⇒ 4
5 ( $105 - R ) +
2
5 R = $52,60
P = $105 - R
$84 - 4
5 R +
2
5 R = $52,60
$84 - $52,60 = 3
5 R ⇒ R =
5
2 . $31,40 = $78,50
P = $105 - $78,50 = $26,50
104. Usando algunos (o todos) los dígitos de la lista: 4 - 5 - 6 - 7 - 9 una o más veces, hay que armar dos
números de tres cifras de modo que cada número no tenga cifras repetidas y la suma de los dos
números sea múltiplo de 9.
¿Cuántas soluciones se pueden armar?
Explica por qué.
Observación: No importe el orden en que se suman los números.
SOLUCION
A B C D E F G H I J K L
456 457 459 465 467 469 475 476 479 495 496 497
546 547 549 564 567 569 574 576 579 594 596 597
645 647 649 654 657 659 674 675 679 694 695 697
745 746 749 754 756 759 764 765 769 794 795 796
945 946 947 954 956 957 964 965 967 974 975 976
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
70
Agrupo a los múltiplos de 9 (si los sumo de a dos obtengo 1
2 . 12 . 11 casos distintos)
Elijo a los otros múltiplos de 3 y formo dos grupos:
A −→ los que suman 15 −→ 456 465 546 564 645 654
B −→ los que suman 21 −→ 579 597 759 795 957 975
A cada uno del grupo A lo puedo sumar con uno del grupo B y obtengo 62= 36 sumas.
A los demás los reagrupo de acuerdo a la sumatoria de sus dígitos:
16 −→ 457 475 547 574 745 754 −→ 6 casos
17 −→ 467 476 647 674 746 764 −→ 6 casos
19 −→ 469 496 649 694 946 964 −→ 6 casos
20 −→ 479 497 569 596 659 695 −→ 12 casos
749 794 947 956 965 974
22 −→ 679 697 769 796 967 976 −→ 6 casos
A los del grupo 16 los puedo sumar con los del grupo 20 y obtengo 12 . 6 = 72 sumas.
A los del grupo 17 los sumo con los del grupo 19 y obtengo 62 = 36 sumas.
Descarto a los que suman 22
En total puedo obtener:
66 casos + 36 casos + 72 casos + 36 casos = 210 sumas.
105. Cinco chicas y cinco chicos van a un baile.
En el grupo, dos de las chicas (que no son hermanas) van, cada una, con sus dos hermanos varones.
Para el primer baile, que es un tango, ninguna de las chicas puede formar pareja con ninguno de sus
hermanos.
De cuántas maneras se pueden armar las cinco parejas para el primer baile? SOLUCIO
5 chicas −→ (AAC,..., A5)
5 chicos −→ (O1,... , O5)
A1,A2 hermanas de O1,O2
Posibles parejas:
(A1,O2), (A1,O3), (A1,O4), (A1,O5)
(A2,O1), (A2,O3), (A2,O4), (A2,O5)
(A3,O1), (A3,O2), (A3,O3), ( A3, O4), (A3,O5)
(A4,O1), (A4,O2), (A4,O3), ( A4, O4), (A4,O5)
(A5,O1), (A5,O2), (A5,O3), ( A5, O4), (A5,O5)
A1−→ 4 parejas
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
71
A2−→ 4 parejas
A3−→5 parejas
A4−→5 parejas
A5−→5 parejas
En total se forman 23 parejas
106. El triángulo ABC es rectángulo en A.
Con diámetro sobre cada lado se dibuja un semicírculo.
El semicírculo dibujado sobre la hipotenusa tiene área de 1250 𝜋 cm2
El semicírculo dibujado sobre el cateto AC tiene área de 800 𝜋 cm2
¿Cuál es el área del triángulo ABC?
SOLUCION
S = 1
2 𝜋 r2 ⇒ r = √
25
𝜋
2r = BC ⇒ 1
2 BC = √2 . 1250 cm = 50cm ⇒ BC = 100cm
1
2 AC = √2 . 800 cm = 40cm ⇒ AC = 80cm
1
2 AB = √(50𝑐𝑚)2 − (40𝑐𝑚)2 = √2500𝑐𝑚2 − 1600𝑐𝑚2 = √900𝑐𝑚2 = = 30cm ⇒ AB = 60cm
area x = 1
2 𝜋r2 =
1
2 𝜋(30cm)2 = 450𝜋 cm2
area (ABC) = 1
2 (AB . AC) =
1
2 (60cm . 40cm) =1200cm2
107. El año pasado, el número de alumnos del turno mañana era una vez y media el número de
alumnos del turno tarde.
Este año, el total de alumnos aumentó un 20 %, del cual la décima parte corresponde al turno tarde.
¿En qué porcentaje aumentó el número de alumnos del turno mañana?
SOLUCION
TM = 3
2 TT
TE = TM + TT = 3
2 TT + TT =
5
2 TT
TE → 20% → (1 +1
5 ) TE =
6
5 TE
TT → 2% → (1 +1
50 ) TE =
51
50 TT
TM = 6
5 TE -
51
50 TT =
1
50 (60 TE – 51 TT) =
9
50 TE = 18% TE
TM + TT = 100 %
TM = 3
2 TT
3
2 TT + TT =
5
2 TT = 100% ⇒ TT = 40% ⇒ TM = 60%
Con respecto al año anterior:
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
72
60% + (9
10 . 20% ) = 78% - TM
40% + (1
10 . 20% ) = 42% - TT
En referencia al año actual:
120 % : 100 % :: 42 % : x
x = 100 .42
120 % = 35% → TT bajó 5%
120 % : 100 % :: 78 % : x
x = 100 .78
120 % = 65% → TM subió 5%
108. Martín fue a cobrar un cheque al banco.
En el cheque la cantidad de centavos era el triple de la cantidad de pesos.
El cajero se equivocó al pagarle el cheque.
Le pagó en pesos la cantidad que debía darle en centavos y en centavos lo que debía darle en pesos.
Martín tomó el dinero, gastó $ 14,25 y entonces se dio cuenta de que ahora tenía el doble de lo que
el cajero deber a haberle dado por el cheque.
¿De cuánto era el cheque?
SOLUCION
cheque −→ 3x + x cent
3x + 1
100 x - $14,25 = 2x +
6
100 x
3x + x - (2x + x ) = $14,25
3x + 1
100 x = $14,25 =⇒ x = $
1425
95 = $15
109. Utilizando todos o algunos de los dígitos 0 1 3 4 6 7 se quieren armar números que tengan todas
sus cifras distintas, sean múltiplos de 4 y múltiplos de 3.
¿Cuántos de esos números se pueden armar?
Explica cómo los contaste.
SOLUCION
36 60 360
1704 4716 1740 1764 1476
7104 7416 7140 7164 4176
10476 40176 14076 41076
40716 47016 70416 74016
10764 70164 17064 71064
76104 71604 67104 61704 16704 17604
73104 71304 37104 31704 13704 17304
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
73
34716 37416 43716 47316 73416 74316
14736 17436 41736 47136 71436 74136
73140 71340 37140 31740 13740 17340
76140 71640 67140 61740 16740 17640
13764 17364 31764 37164 71364 73164
13476 14376 31476 34176 41376 43176
637140 367140 736140 763140 673140 3766140
437160 347160 734160 743160 473160 374160
617340 167340 716340 761340 671340 176340
417360 147360 714360 741360 471360 174160
713460 731460 371460 173460 317460 137460
317640 137640 713640 731640 371640 173640
316740 136740 613740 631740 361740 163740
314760 134760 413760 431760 341760 143760
713604 173604 731604 137604 317604 371604
716304 176304 761304 167304 617304 671304
367104 376104 637104 673104 763104 736104
136704 163704 316704 361704 613704 631704
437016 417036 137064 134076
473016 471036 173064 143076
374016 147036 317064 314076
347016 174036 371064 341076
734016 714036 713064 413076
743016 741036 731064 431076
470316 740136 730164 410376
740316 470136 370164 140376
370416 170436 170364 430176
730416 710436 710364 340176
340716 410736 310764 130476
430716 140736 130764 310476
407316 407136 307164 103476
704316 704136 703164 301476
307416 107436 701364 304176
703416 701436 107364 401376
304716 104736 301764 104376
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
74
403716 401736 103764 403176
casos posibles = (nros < 1000) + (nros de 4 cifras) + (nros de 5 cifras) + (nros de 6 cifras) + (nros de 6
cifras) + (nros de 6 cifras) = 3 + 10 + 60 + 48 + 24 + 24 + 24 + 24 = 217 nros
En los nros de 6 cifras contamos:
el 0 como u −→ 48 en total
el 0 como d −→ 24 en total
el 0 como c −→24 en total
el 0 como um −→ 24 en total
el 0 como dm −→ 24 en total
110. La sala del teatro tiene 240 asientos.
En la función del domingo todosólos asientos estaban ocupados.
Las entradas cuestan $12 para mayores y $8 para menores, los invitados no pagan.
Por venta de entradas para la función del domingo ingresaron $2640.
¿Cuántos mayores, cuántos menores y cuántos invitados hubo?
Da todas las posibilidades
SOLUCION
t = 240a
ma −→ $12
me −→ $8
i −→ gratis 12𝑥 + 8𝑦
𝑥 + 𝑦3𝑥 + 2𝑦
=
+𝑧 ==
$2640$240$660
𝑧 = 240 − 𝑥 − 𝑦
Los casos posibles son:
x y z
180 60 0
220 0 20
200 30 10
210 15 15
190 45 5
111. Se venden 140 naranjas, una parte ganando el 30 % y el resto perdiendo el 20 %.
Si al nal no se gana ni se pierde, ¿cuántas naranjas se vendieron con ganancia?
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
75
SOLUCION
140 n −→ +30 % −→ x
140 n −→ -20 % −→ y
x + y = 140n 13
10 x +
8
10 y = 140n
x + y = 13
10 x +
8
10 y
3
10 x -
2
10 y = 0 =⇒ 3x - 2y = 0 =⇒ x =
2
3 y
𝑥 + 𝑦3𝑥 − 2𝑦
= 140= 0
∆ = |1 13 −2
| = -5
∆𝑥 = |140 1
0 −2| = -280 ⇒ x =
∆𝑥
∆ =
−280
−5 = 56
∆𝑦 = |1 1403 0
| = -420 ⇒ x = ∆𝑦
∆ =
−420
−5 = 84
(x , y) = (56 , 84)
112. Una línea aérea ofrece la siguiente promoción para jóvenes y ancianos.
El precio del pasaje se reduce a la mitad para los menores de 25 años y a la tercera parte para los
mayores de 65 años.
En el primer vuelo sólo se ocupan las dos terceras partes del avión.
Se venden 280 pasajes; se recaudan $ 153.125.
En el segundo vuelo viajan el doble de ancianos y la misma cantidad de jóvenes y de adultos que en el
primer vuelo; ocupan las tres cuartas partes del avión.
En el tercer vuelo viajan el doble de adultos del primer vuelo y la misma cantidad de jóvenes y de
ancianos que en el primer vuelo; en el avión no quedan asientos vacíos.
¿Cuántos pasajeros de cada clase hubo en el primer vuelo?
¿Cuál es el precio de un pasaje de tarifa normal?
SOLUCION
me −→ 50 % tarifa −→ x
ma −→ 1
3 tarifa −→ y
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
76
ad −→ tarifa normal −→ z
280p −→ 2
3 t
xp −→ t =⇒ x = 3
2 . 280p = 420p
280p recaudaron $153125
𝑥 + 𝑦𝑥 + 2𝑦𝑥 + 𝑦
+ 𝑧 =+ 𝑧 =+ 2𝑧 =
280315420
∆ = |1 1 11 2 11 1 2
| = 1
∆𝑥 = |280 1 1315 2 1420 1 2
| = 105 ⇒ x = ∆𝑥
∆ =
105
1 = 105
∆𝑦 = |1 280 11 315 11 420 2
| = 35 ⇒ y = ∆𝑦
∆ =
35
1 = 35
∆𝑧 = |1 1 2801 2 3151 1 420
| = 140 ⇒ z = ∆𝑧
∆ =
140
1 =140
105 . 𝑡
2 + 35 .
𝑡
3 + 140 t = 35 (
3
2 t +
𝑡
3 + 4t) = $153125
t (3
2 +
1
3 + 4) = $ 4375
𝑡
6 (9 + 2 + 24) =
35
6 t = $4375 ⇒ t =
6
35 . $4375 = $750
tad = $750
tma = $250
tme = $375
113. Dos jarras idénticas se llenan con café y leche.
En la primera jarra hay 3/5 partes de leche, el resto es café.
En la segunda jarra hay 3/4 partes de leche, el resto es café.
De la primera jarra se consume la tercera parte y se completa con la mezcla de la segunda jarra.
¿Cuál es ahora el porcentaje de café en la primera jarra?
SOLUCION
jarra 1 →( 3
5 leche +
2
5 café ) -
1
3
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
77
jarra 2 →( 3
4 leche +
1
4 café )
En la jarra 1 queda:
2
3 .
3
5 leche +
2
3 .
2
5 café =
2
5 leche +
4
15 café
Paso 1
3 de la segunda jarra a la primera y queda:
(2
6 +
3
4 -
1
3 ) leche + (
4
15 +
1
4 -
1
3 ) café =
13
20 leche +
7
20 café
20
20 → 100%
7
20 → x =
100% .7
2020
20
= 35%
Ahora el porcentaje de café de la primera jarra es el 35 %.
114. Un fabricante de agua saborizada produce una de sabor naranja que contiene 5 % de jugo de
naranja.
Una nueva reglamentación exige que toda agua saborizada tenga el 10 % de jugo de fruta.
El fabricante tiene 900 litros de agua sabor naranja ya preparados, ¿cuánto jugo de naranja tiene que
agregarle para cumplir con la nueva reglamentación?
SOLUCION
5 % −→ 900l
100 % −→ 900l
5 % −→ x =⇒ x = 1
100% . (900l . 5 %) = 45l
900 l −→ 45ln −→ 855 la
Con la nueva composición:
900l −→ 90ln −→ 810la
810 la −→ 90 ln
855 la −→ x = 1
85𝑙 (855 la . 90ln) = 95 ln
necesito −→ x = 95 ln
tengo −→ 45 ln
me faltan −→ 50 ln
115. Un automovilista va de A hasta B, distantes 240 km, a velocidad constante.
Al regreso hace la cuarta parte del camino a la misma velocidad que llevaba a la ida y en el resto del
camino, reduce su velocidad a la mitad.
Si en el viaje de regreso tarda 4 horas y 40 minutos, a cuántos kilómetros por hora iba a la ida?
SOLUCION
Si v = cte =⇒ e = v . t =⇒ v = 𝑒
𝑡
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
78
regreso −→ 4hs 40 min
60km −→ v =⇒ 60km = v . t1
180 km → 𝑣
2 ⇒ 180 km =
𝑣
2 . t2
t1 + t2 = 4hs 40 min = 280 min v. t1 = 1
3 (
𝑣
2 . t2) ⇒ 3vt1 =
𝑣
2 t2 ⇒ t2 = 6t1
t1 + 6t1 = 7t1 = 280 min =⇒ t1 = 40 min
60km −→ 40 min
x km −→ 60 min =⇒ x = 1
40 𝑚𝑖𝑛 .60km . 60 min = 90km
v = 90 𝑘𝑚
ℎ
116. Se quieren pintar los 6 triángulos en que está partida la figura utilizando los 3 colores: azul, rojo y
verde de modo que los triángulos que tienen un lado común no sean del mismo color.
Indica de qué maneras puede hacerse. ¿Cuántas son?
SOLUCION
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
R R A A V R A A V V R A V V R R A V
R R A A R R A A V V A A V V R R V V
R V A A V R A R V V R A V A R R A V
R V A A R R A R V V A A V A R R V V
R R A V R R A A V R A A V V R A V V
R R A V A R A A V R V A V V R A R V
R V A V A R A R V R V A V A R A V V
R V A V R R A R V R A A V A R A R V
R R V A V R A A R V R A V V A R A V
R R V A A R A A R V V A V V A R R V
R A V A A R A V R V V A V R A R A V
R A V A V R A V R V R A V R A R R V
R A V V A R A V R R V A V R A A R V
R A V V R R A V R R A A V R A A V V
R R V V A R A A R R V A V V A A R V
R R V V R A A R R A A V V A A V V
117. En la escuela, en séptimo grado hay 7 chicos menos que en sexto.
Este lunes, el 30 % del total de los chicos de quinto, sexto y séptimo, estuvieron con gripe.
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
79
Hubo 33 enfermos en total.
Estuvieron enfermos el 40 % de los chicos de quinto, el 25 % de los chicos de sexto; en séptimo grado
hubo 3 enfermos menos que en sexto.
¿Cuántos chicos hay en cada grado?
SOLUCION
5º −→ 40 %
6º −→ 25 %
5º −→ 6º
- 3a
30 % −→ 33a
100 % −→ x = 33 𝑎 .100
30 = 110a
a + b + c = 110a
Estuvieron enfermos: 2
5 a +
1
4 b + (
1
4 b – 3) = 33
c = b - 7
Queda:
a + 2b = 117
4a + 5b = 360
Resolviendo:
∆ = |1 24 5
| = -3
∆𝑎 = |117 2360 5
| = -135 ⇒ a = ∆𝑎
∆ =
−135
−3 = 45
∆𝑏 = |1 1174 360
| = - 108 ⇒ b = ∆𝑏
∆ =
−108
−3 = 36
c = b - 7 = 36 - 7 = 29
(a , b , c) = (45 , 36 , 29)