areas
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1
AREAS La noción de área está asociada a la extensión o superficie de una figura. El área es un número que nos dice que tan extensa es una región y la expresamos en kilómetros cuadrados (Km2); metros cuadrados (m2); centímetros cuadrados (cm2); etc. AREA DE UN TRIANGULO El área de un triangulo es igual al producto de un lado por su altura correspondiente, sobre 2. El lado que se escoge se llama base.
Área del 2
AB CHABC
Área del 2
AB CHABC
Área del2
QR PAPQR
El área de un triangulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos. AREA DE UN RECTANGULO: El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura. El área de un cuadrado es igual al lado al cuadrado. AREA DE UN PARALELOGRAMO Es igual a la base por la altura.
2
AREA DE UN TRAPECIO: Es igual a la semisuma de las bases por la altura.
2
)( hDCABAREA
AREA DE UN CÍRCULO
AREA = R2 SECTOR CIRCULAR
El área del sector circular es: 0
02
360
R
AREA DE UN POLIGONO REGULAR
2
perimetro apotemaArea
3
TEOREMA Una mediana de un triangulo lo divide en dos triángulos de igual área.
HIPÓTESIS: AM es una mediana
TESIS: Área de ABM Área de AMC
1. Se traza ;AH BC B H M C 1. Construcción
2. Área 2
BM AHABM
2. área de un triangulo.
3. Área 2
MC AHAMC
3. Área de un triangulo
4. BM MC 4. De hipótesis. M es punto medio por definición de mediana de un triangulo.
5. 2
BM AHAMC
5. Sustitución de 4 en 3.
6. Área ABM = Área AMC 6. De 2 y 5. Propiedad transitiva
TEOREMA Las medianas de un triangulo lo dividen en 6 triángulos de igual área. (Demostrarlo)
EJERCICIOS 1. Demostrar que las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo congruente son entre
ellas como los productos de los lados que comprenden el ángulo.
HIPOTESIS: y CH FG son
alturas
A D
TESIS: DFDE
ACAB
DEF
ABC
4
1.2
2.2
3.
4.
5.
AB CHABC
DE FGDEF
ABC AB CH
DEF DE FG
A D
AHC DGF
DFDE
ACAB
DF
AC
DE
AB
DEF
ABC
FG
CH
DE
AB
DEF
ABC
FG
CH
DF
AC
DE
AB
.8
.7
.6
NOTA: Colocar al frente las razones 2. Se tiene un cuadrado ABCD de lado a. Se prolonga la diagonal AC de A hacia C y se
toma en la prolongación un punto E, tal que CE = a. Encontrar el área del triangulo BCE, en términos de a
Se traza la diagonal BD que corta a AC en P. AC BD (Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares) PC = PB = x.
En el triangulo rectángulo PCB se tiene: 2
2
222
2222222 aa
xa
xaxaxx
Área del triangulo BCE = Área del triangulo BPE menos el área del triangulo BPC
2
2
2)
2
2(
2
aa
a
PBPEBPE
5
Se siguen las operaciones y se llega a: 4
2 22 aaBPE
El área de BPC es 4
2a porque es la cuarta parte del área del cuadrado
BPE – BPC = 4
2 2a
3. Desde los vértices del cuadrado ABCD y con radio igual al lado, se describen arcos. Calcular el área de la región rayada en función del lado del cuadrado que es a
Respuesta:
2 2 3 3 9
3
aArea
El área de la figura es igual al área del cuadrado menos el área de los sectores circulares BEA y CED y menos el área del triangulo equilátero AED. AD = AE = ED = a
4. En el cuadrado ABCD se inscribe una circunferencia y desde los vértices del cuadrado se describen arcos con radios iguales a la mitad del lado del cuadrado. Calcular el valor del área de región rayada en función del lado del cuadrado que es a
Respuesta: )2(2
2a
5.
6
6. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
P es un punto cualquiera de la diagonal AC TESIS: Area del DPC = Area del
Area del DPA = Area del
PBC
APB
7.
RESPUESTA: 2
)( 2ba
8.
Respuesta: )13(4
2a
9.
6FC ; AD AB BC . F es el centro de la semicircunferencia
y C es un punto de tangencia. Hallar el área de la región rayada.
Respuesta: 6(16 - 3 )
7
10.
Respuesta: 9
4312
11. ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. Hallar el área de la parte rayada
)2(8:RESPUESTA
12. Calcular el área del triangulo equilátero inscrito en la circunferencia, si el radio de la circunferencia es 3.
RESPUESTA:4
327
13.
3
)334(4:RESPUESTA
14. ABCD es un cuadrado de lado 12 cm. Por cada vértice se trazan arcos de 4 cm. de radio. Hallar el área de la región rayada.
RESPUESTA: 96 - 16
8
15.
RESPUESTA: 3
368
16. El radio de la circunferencia es R. Hallar el área de la región rayada en función de R
RESPUESTA: R2 (4 - )
17. El triangulo ABC es equilátero de lado a. Encontrar el área de la región rayada en función de a. M, N, P son puntos medios de los lados del triangulo.
RESPUESTA: 2(2 3 )
8
a
18.
El triangulo ABC es equilátero de lado a. P es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados. Hallar el área de la región rayada en función de a.
RESPUESTA: 6
3322a
19.
9
20.
21.
Las circunferencias son tangentes en B. O y P son los
centros. OA = 1.4 m. 60m EOD . La
circunferencia pequeña esta inscrita en el EOD . Hallar el área de la circunferencia pequeña.
22.
AB AD
O es el centro de la circunferencia de radio R Si el área de la región rayada es 16 4 , hallar el radio R de la
circunferencia.
10
23. ABCD es un cuadrado de lado a . m (BAE) = 30°;
m (FBC) = 30°. Hallar el área del triangulo BPE.
Respuesta:
23
24
a
24. Se da un triangulo rectángulo ABC donde la hipotenusa 2BC a . El ángulo C mide 30°. Se traza la mediana AM. Por los puntos A y B se trazan paralelas a BC y a AM, que se
cortan en N. Calcular el área del cuadrilátero AMBN. Respuesta:
23
2
a
25. ABCD es un rectángulo. 24 .; 12 .AB cm BC cm E es el punto medio de CD .
a. Calcular el área del rectángulo ABCD b. Calcular el área del triangulo BCE
c. Se toma un punto F sobre AB de tal manera que el área del triangulo FEB sea los
13
24 del área del cuadrilátero ABED. Si AF x . Calcular el valor de x . Respuesta:
4,50 cm.
26. Sobre el segmento 3AB a , se toma un punto M tal que 2AM a . Sobre AM se construye un triangulo equilátero AMC, sobre MB se construye un triangulo equilátero MBD, se traza CD. Se traza CH perpendicular a AB. Calcular el área del polígono ABCD.
Respuesta:
27 3
4
a
27.
El área del circulo de centro O es 60 cm2. AB y CD son diámetros perpendiculares. AO y OB son diámetros de las circunferencias pequeñas. OE es bisectriz. Calcular el área de la región rayada.
28. Dado un triangulo cualquiera MQR, se trazan las medianas RS y MT, que se cortan en P. Demostrar que el área del triangulo PMS es igual al área del triangulo PRT.
11
29. En el triangulo ABC rectángulo en A,
30 y ABm C a . Sobre cada lado se
construyen exteriormente los cuadrados ABDE, ACHF y BCIJ. Hallar el área del polígono DEFHIJ.
RESPUESTA: 28 2 3 a
30. Se trazan tres circunferencias de igual radio de tal manera que cada una pasa por el centro de las otras dos. Hallar en función del radio R, el área de la región circular común.
RESPUESTA:
23
2
R
31. En el triangulo ABC, CE es una altura. Si AE a , 60 ; 45m A m B .Hallar el
área del triangulo en función de a. Respuesta:
2 3 3
2
a
32. En un triangulo rectángulo de lados 6, 8, 10 centímetros, se inscribe una circunferencia.
Hallar el área del círculo. Respuesta: 4 cm2. 33.
ABCD es un trapecio isósceles y en el se inscribe una circunferencia. Si las bases del trapecio miden respectivamente 2 y 6 cm y si ( ) 60ºm A . Hallar el área de la región rayada.
RESPUESTA: 8 3 3
34.
Las circunferencias son concéntricas y la cuerda AB de la circunferencia mayor es tangente a la circunferencia menor. Si la cuerda mide 8 cm. Hallar el área del anillo determinado por las dos circunferencias. RESPUESTA: 16
12
35. AB es un diámetro de una circunferencia de radio 6 centímetros y centro K. Este diámetro se prolonga hasta C, una longitud igual al radio. Por C se traza una
perpendicular a ABC . La cuerda AD prolongada corta la perpendicular anterior en P. Si
( ) 30ºm CAP . 1) Hallar el área interior a la semicircunferencia y exterior al triangulo. 2)
Hallar el área exterior a la semicircunferencia e interior al triangulo. RESPUESTAS: 1)
3(4 3 3) cm2 2) 46,59 cm2. Ayuda: trazar el radio OD
36. Encontrar el área del triangulo rectángulo CDB
Triángulos ACB y CDB rectángulos
8 3
( ) 30º
CA
m A
37. Hallar el área de la región rayada. C es el centro de la circunferencia de radio 12 cm. T es un punto de tangencia.
38. Hallar el área del triangulo DOC de la siguiente figura. ABCD es un trapecio isósceles
BD AD AC = BD = 20 AB = 25
13
39. ABC es un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 2. Hallar el área de la región rayada.
Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.
SOLUCION DE ALGUNOS EJERCICIOS: SOLUCION DEL EJERCICIO # 24
AM a (La mediana sobre
la hipotenusa mide la mitad de esta.
AB a . El cateto opuesto a
un ángulo de 30 grados mide la mitad de la hipotenusa.
BM a Definición de
mediana
AMBes equilátero.
;AM NB BM NA De
hipótesis.
AMBN es un paralelogramo ;AM NB AN MB
AM NB AN MB a y se tiene que AMB ANB (L – L – L)
Área AMBN = 2 área AMB. Hallamos el área del triangulo equilátero AMB y la multiplicamos por dos.
14
SOLUCION DEL EJERCICIO # 32
; ;CE CD x AD AF y BF BE z
¿Porque? AFOD es un paralelogramo (¿Por qué?) y = OF = radio
10
8
6
x z
y z
x y
Se resuelve el sistema y se llega a que 2y radio y por lo tanto el área del
círculo es 4
En un cuadrado ABCD se da: D – C – F y A – E – D tales que BE es perpendicular a BF. Si EBF = 200 cm2 y ABCD = 256cm2, hallar el valor de CF.
Lado del cuadrado: 256 16
200 4002
BE BFBE BF (1)
1 3 , por tener el mismo complemento el
2 , por lo tanto BCF BAE por ser
triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente.
161
16
BF BC BFBF BE
BE BA BE y
reemplazando en 1 tenemos que: 2
2 2 2 2 2
400 20
el BCF: 400 256 144 12 .
BF BF
En x BF BC x x x cm
En un trapecio isósceles ABCD con AD = CB = 3 cm, las diagonales que miden 4 cm, son perpendiculares a los lados no paralelos. Hallar el área de trapecio ABCD. CH = DK = h
HB = KA = x
Por Pitágoras se halla que 5 .AB cm
En el triangulo rectángulo CHB, se tiene:
2 29 (1)h x
En el triangulo rectángulo CHA, se tiene:
15
2 2 2 2
2 2
2 2
16 (5 ) 16 (25 10 )
16 25 10
9 10 (2)
h x h x x
h x x
h x x
Igualamos (1) y (2): 2 29 9 10 18 10 1,8x x x x x
Reemplazamos en (1): 2 2 29 (1,8) 9 3.24 2.4h h h
CHB DKA¿Por qué? y por lo tanto HB = KA = 1,8
2 5 2(1,8) 1,4
1,4
KH AB HB
KH DC
Área del trapecio 2( ) 1927,68
2 25
AB DC CHcm
Otra forma de hacerlo:
Área del trapecio = Área CHB + Área KHCD + Área DKA
Área CHB = Área DKA 21,8 2,42,16
2cm
Área KHCD 21,4 2.4 3.36cm
Área del trapecio 22,16 3,36 2,16 7,68cm
El triangulo ABC es isósceles con ;AB AC BN yCM son medianas
y se cortan en O. Demostrar que las áreas del cuadrilátero ANOM y del triangulo COB son equivalentes. (Dos figuras tienen áreas equivalentes cuando sus áreas son iguales)
1. Área del triangulo CMB = Área del triangulo CMA
1. En un triangulo una mediana determina dos triángulos de igual área.
2. Área del triangulo COB + Área triangulo BOM = Área ANOM + Área triangulo CON
2. De 1. Suma de áreas.
3. BN CM 3. En un triangulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
16
4.
2 1;
3 3
2 1;
3 3
CO CM OM CM
BO BN ON BN
4. Teorema de las medianas en un triangulo.
5. OM ON 5. De 3 y 4. Por medir lo mismo.
6. OC OB 6. De 3 y 4. Por medir lo mismo.
7. CN BM 7. De hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes
8. CON BOM 8. De 5, 6, 7. L – L – L
9. Área triangulo CON = Área triangulo BOM 9. De 8. 10. Área del triangulo COB = Área ANOM 10. De 9 y 2. Ley cancelativa
Demostrar que el área de un triangulo es igual al producto de su semiperimetro por el radio de la circunferencia inscrita
HIPOTESIS: r es el radio de la circunferencia inscrita
TESIS: p=perimetro2
p rA
Unimos el centro O de la circunferencia inscrita con los vértices del triangulo. El triangulo ABC queda dividido en los triángulos AOC, AOB, COB. Recordar que un radio es perpendicular a la tangente en su punto de tangencia.
Continúe con la demostración.