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ApuntesdelcursodeProcesosEstocásticos

CursodictadoenlaUNEFA-NúcleoSanTome

DepartamentodeIngenieríadeSistemas

Revisión:25/enero/2008

Autor:Prof.JoséLoretoRomeroPalma



i

PrefacioEl presente material surgió originalmente para ser utilizado como texto principal de

consultaparaelcursodeProcesosEstocásticosdelacarreradeIngenieríadeSistemas

quedictoenlaUNEFA.AúncuandoexisteabundantebibliografíaymaterialdisponibleenInternetsobreestetema,consideroqueexistensobradasrazonespara justificarla

elaboracióndeestosapuntes. En primer lugar, los librosque versan sobre el tema

están pensados para un público matemáticamente más maduro, generalmente para

estudiantes a nivel de postgrado. Sin mencionar que, por ser estos libros muy

especializados, sondemasiadoescasosen las librerías venezolanas. Por otro lado,

navegara travésdelInternetenbúsquedade bibliografíaenlíneapuederesultaruna

tareahercúleaparaelestudiantedepregradocuyaprimeraexposiciónaltemaesésta.

En fin, la bibliografía existente es muy dispersa, escasa y no adecuada a las

necesidades delestudiantede ingenieríadesistemas,porlo cual consideroqueeste

textovieneallenarunvacío.

El aporteoriginal en el presente tratamiento del tema es el énfasis en la simulación

estocástica.Incorporarelaspectodelaverificaciónempíricadelmétodocientíficoenla

exposicióndeuntemadelamatemática,queesunaciencianetamenteteórica,puede

parecerundisparate.Noobstante,sepiensaqueesteenfoquepuederendirmuchos

dividendos,sobretodoinstruccionales.Conlosabundantesejemplosdesimulaciónen

códigoRsepretendefamiliarizaralestudianteconunlenguajedeprogramacióndelibre

distribución que está adquiriendo cada vez más relevancia en el mundo de la

investigaciónestocástica.Porotrolado,conlaexposicióndelalumnadoaherramientas

desoftwarelibresepretendehacerunmodestoaportehacíaellogrodelasoberanía

tecnológicanacional.

Eltextoestaorganizadoenseiscapítulos.Enelprimercapítulosedaunrepasodela

teoríadelasprobabilidadesysepretendeexplicardeunavezquésonlassimulaciones

estocásticasyparaquésirven.Elsegundocapituloesquizáselmásabstractodetodo

eltexto.Comienzaconladefinicióndeloqueesunprocesoestocásticoypreparatodo

elandamiajeconceptualparacaracterizarsustiposypropiedades.Eneltercercapitulo

seabordaelestudiodelascaminatasaleatoriasyelproblemadelaruinadeljugador.

EnelcuartoyquintocapitulosetratanlosprocesosdePoisson,tantoelhomogéneo

comootrasvariantesqueseobtienenapartirdeéstemodificandounpocolosaxiomas



ii

que lodefinen. Por último, enelsexto capítulo,setratan lascadenasdeMarkovde

parámetrodiscreto.

El nivel de conocimientos previo requerido por parte del alumno equivale al de un

estudiante que haya cursado alguna asignatura de probabilidad elemental y los

respectivoscursosdematemáticasdelciclobásicodeingeniería,queabarcantemasde

cálculodiferencial,integral,seriesyecuacionesdiferenciales.Compensarlasfallasen

el proceso de aprendizaje de la teoría de las probabilidades e introducir unamayor

rigurosidaddeestostemasafindeprepararalalumnoparaelrestodelcontenidoes

justamenteelobjetivodelprimercapítulo.Esteprimercapítuloestaintencionalmente

redactado en un lenguajemás formal – es una suerte de “bautismo por fuego” para

templar a mis alumnos en su proceso de formación como futuros profesionales. En

compensación incluyo como apéndice una sección con tips sobre demostracionesmatemáticas(lascualessurgenenbuenapartedelosproblemaspropuestos)y sobre

unamisceláneadeotrostemasmatemáticostalescomolasantesmencionadasseries.

DichasecciónestalibrementeinspiradaenlaobradePolyatitulada“ComoResolverlo”

yconellasepretendemotivaralalumnoparadejardeserunmerocalculistaquesolo

sabeaplicarlasfórmulasquelesondadasyconvertirseenunanalistadesistemasque

entiende cabalmente los conceptos matemáticos y que sabe cuando y cuales

herramientasaplicarpararesolverproblemasdelavidareal.Mirecomendacióngeneral

alestudianteesestudiardetenidamentelosproblemasresueltosylaimplementacióndelassimulacioneseneltextoparaposteriormenterealizarlosproblemaspropuestos.

Desdeunaperspectivamásamplia,elcontenidodeeste textoestaenmarcadodentro

de un componente importante en el pensum de la ingeniería de sistemas y de las

ciencias de la computación. Me refiero al conglomerado de materias tales como

investigación de operaciones, matemáticas discretas, probabilidades y estadística,

métodos numéricos y simulación y modelos matemáticos. A mi juicio, dicho

componenteesmedular para la formación integral deunanalista desistemas, quién

debeapuntarmásalládeserunsimpletecnócrataoperariodeTICs(Tecnologíasde

InformaciónyComunicación).Másbien–yestoesalgoquelecuestatrabajoentender

alaspersonasnoiniciadaseneltema–elanalistadesistemasdebeestarencapacidad

deanalizar cualquiersistema, sea éste una empresa, unared de tráficovehicular, la

economíanacionalolasociedad.Conlasmateriasdeestecomponentesepretende

dotaralestudiantedeherramientasparaelanálisismatemáticodelossistemas,cuyofin



iii

ulterioreseldeapoyarlatomaracionaldedecisionesypermitirmedireldesempeñodel

decisor enaras de lograrprogresivamenteunmayorbienestar colectivo. Enunpaís

como Venezuela, es verdaderamente acuciante capacitar profesionales con estas

destrezas;nuestrodesarrollocomonacióndependedeello.

Quieroenestaslíneasagradeceralosprofesoresyautoresquedemaneradirectao

indirecta contribuyeron en mi propia formación. En particular, extiendo mis

agradecimientos a Luis A. Azocar Bates, quien fue mi profesor en la Universidad

NacionalAbierta, asícomo tambiénamiscolegas y compañerosdocentes,ElaineJ.

PérezBracho,JoséT.GomezBarretoyRafaelA.RofriguezToledo,quienesademás

han contribuidoconimportantes sugerencias en la redaccióndeestematerial. Debo

incluir palabrasdereconocimientoy deagradecimientoa misalumnos de laUNEFA,

quieneshancontribuidotambiénconsugerenciasyaquienesestelibroestádedicado. Aspiroinculcarenellosunapasiónporlostemasdelainvestigacióndeoperacionesyel

modelamiento matemático para que sean ellos mismos los que sigan investigando,

formándoseysiempreestandoalavanguardiaenestaEradelaInformación.Quesu

nivel de conocimientos rebase muchas veces el mío propio, que éstos sirvan al

bienestardenuestra nacióny que ésta reconozca la importanciadelsaberque ellos

portansonmisdeseos.



iv

Tabla de contenido

Prefacio.............................................................................................................................. i

Capitulo1-Preeliminaressobreteoríadeprobabilidadesysimulaciones.. ......................1 1.1 Experimentoaleatorio.Espaciomuestral.Eventoselementales.Probabilidad ............................................... 1

1.2 Variablealeatoria.Distribucióndeprobabilidad.Tiposdevariablesaleatorias.Densidaddeprobabilidad. ... 3

1.3. Valoresesperados:esperanzayvarianza. ...................................................................................................... 6

1.4. Funcióncaracterísticayfuncióngeneratriz.Propiedadesytablas. ................................................................ 7

Tabla1.1.Leyesdeprobabilidaddiscretasmásfrecuentesysuscaracterísticas..................................................... 10

Tabla1.2.Leyesdeprobabilidadcontinuasmásfrecuentesysuscaracterísticas.................................................... 12

1.5. Variables aleatorias bidimensionales y n-dimensionales. Función de distribución conjunta. Función de

densidadconjunta...................................................................................................................................................... 14

1.6. Variablesaleatorias independientesysucaracterización. Covarianza. Distribuciónde lasumadedoso

másvariablesaleatoriasindependientes.Convolución............................................................................................. 17

Ejemploparalassecciones1.5y1.6......................................................................................................................... 21 1.7. IntroducciónalasimulaciónestocásticamedianteellenguajeR. ................................................................. 25

ProblemasPropuestos ................................................................................................32

Capitulo 2- Introducción a los procesos estocásticos. Terminología y nociones

preeliminares ..................................................................................................................35

2.1. Definiciónyejemplosdeprocesosestocásticos. ........................................................................................... 35

2.2. Probabilidadyesperanzacondicional.Definicionesypropiedades. ............................................................ 38

2.3. Caracterizacióndelosprocesosaleatorios:valormedioynúcleodecovarianza. ........................................ 43

2.4. Incrementosindependientesyestacionarios.Procesosestacionarios......................................................... 45

2.5. Algunostiposde procesosaleatorios:caminataaleatoria,martingalas,procesosde Markov,procesosde

Poisson,procesosdeWiener .................................................................................................................................... 48

ProblemasResueltos ..................................................................................................51


Capitulo 3- Procesos estocásticos basados en el proceso de Bernoulli y caminatas

aleatorias ........................................................................................................................57

3.1 ElprocesodeBernoulli .................................................................................................................................. 57

3.2 Lacantidaddeéxitos.CaminatasaleatoriasbasadasenprocesosdeBernoulli. ........................................ 58

3.3. La cantidad de ensayos hasta r éxitos: más sobre las caminatas aleatorias basadas en procesos de

Bernoulli..................................................................................................................................................................... 60

3.5. Laruinadeljugador........................................................................................................................................ 63

3.6. Duraciónpromediodeljuegoyotrasconsideracionessobreelproblemadelaruinadeljugador ................ 70

ProblemasResueltos ..................................................................................................76


Capitulo4-ElprocesodePoissonhomogéneo ..............................................................82

4.1 ElprocesodePoissoncomocasolímitedelacaminataaleatoriabinomial. ................................................. 82

Tabla4.1.Calculodelasprobabilidadesderecibirkllamadasen3minutosmedianteaproximacionessucesivaspor

mediodelmodeloBinomial........................................................................................................................................ 83



v

4.2. DerivaciónaxiomáticadelprocesodePoisson.............................................................................................. 87

4.3. ProcesosdePoissonespaciales.................................................................................................................... 93

4.4. Distribucióndeltiempointer-eventos. ............................................................................................................ 98

4.5. LadistribuciónuniformedelostiemposdeocurrenciadesucesosenunprocesodePoisson................... 102

ProblemasResueltos ................................................................................................109

ProblemasPropuestos ..............................................................................................113



vi



1

Capitulo 1- Preeliminares sobre teoría deprobabilidades y simulaciones

1.1 Experimento aleatorio. Espacio muestral. Eventos elementales.Probabilidad

Elobjetivofundamentaldelateoríadelaprobabilidadesladescripciónmatemáticade

experimentosaleatorios,quesonprocesoscuyosresultadosnosepuedenpredecircon

exactitud. Lasdificultades enmanejar matemáticamentealgo que es por naturaleza

impredeciblesesuperansiabordamoslaidentificacióndetodoslosresultadosposibles

que puedearrojar unexperimento aleatorio. Conesto habremos definido elespacio

muestral.Elespaciomuestralesunconjunto,enelsentidomatemáticodelapalabra,y

suselementosconstituyentessonlosresultadosposiblesdelexperimentoaleatorio,que

también se conocen como eventos elementales. Usualmente se denota el espacio

muestral mediante la letra griega omega mayúscula (Ω) y los eventos elementales

mediante laomegaminúsculaconalgúnsubíndice(ωisiΩesunconjuntonumerable)

paradistinguirlosentresí.Paramantenerlaconsistenciaenlanotación,seaclaraque

poreventoelementalseentiendecadaresultadoposibledelexperimentoaleatorio(los

elementos constituyentes deΩ) o los subconjuntos unitarios deΩ formados por los

elementos de Ω correspondientes. Es de notar que la colección de eventos

elementales,bajolaacepcióndesubconjuntosunitarios,formanunaparticióndeΩ:su

unióneselconjuntoΩysonmutuamentedisjuntosdosados.

Loseventoselementalessepuedencomponermedianteunionesparaformar eventos,

que son subconjuntos del espacio muestral. La colección de eventos del espacio

muestral es un álgebra de conjuntos, porque es cerrada bajo uniones finitas y

complementos.Entérminosmássencillos,siAyBsondoseventos, B A ∪ y A son

eventostambién. B A ∪ eseleventoqueseverificacuandoseverificaeleventoAoel

evento B y A es el evento que se verifica cuando no se verifica A. Como

( )B AB A ∪=∩ , el álgebra de eventos es cerrada bajo las intersecciones finitas

también. Denotaremos por ℑ la clase de todos los eventos, o álgebra del espacio

muestral.



2

Porrazonesquevanmásalládelalcanceteóricodeesterecuento,esprecisoexigiruna

condición adicional sobre ℑ: Si { } ℑ⊂n A es una sucesión numerable de eventos,

entoncessuunióninfinitatambiénesunevento–

ℑ∈

∞

= n n A1∪ .

Un álgebra que satisface esta condición más fuerte se denomina σ-álgebra. Por

ejemplo, { }Ω∅, y ( )Ω℘ (se lee “partes de omega”, que es la clase de todos los

subconjuntos posibles de Ω) son σ-álgebras. En resumen, se ha asociado a un

experimentoaleatoriounconjuntoderesultadosposiblesyunaestructuramatemática

paradefinirtodosloseventosposibles.

Amododeejemplo,sielexperimentoaleatorioconsisteenescogeralazarunapersona

yobservarsudíadecumpleaños,paradefinirelespaciomuestraldebemosidentificar

cadadíadelañodeunaformaconveniente.Sepodríaasociarel1alprimerodeenero,

el2alsegundodeeneroyasísucesivamente.Descartandoelcasodelaspersonas

nacidasel29defebrero,elespaciomuestralestadefinidoporelconjuntodenúmeros

naturalesdel1al365y { }36521 ,,, …=Ω .Podemosobservarqueelespaciomuestrales

un conjunto numerable y finito. Siestamos interesados en el evento “la personaes

nacida en el mes de enero”, este evento se podría definir como { }3121 ,,, …=E .

Análogamente,siestamosinteresadosenelevento“lapersonaesdesignoacuarioen

elzodiaco”(21deeneroal19defebrero),estesedefiniríapor { }502221 ,,, …=A .

Las bases matemáticas de la teoría de probabilidades moderna se deben a

elaboraciones sobre la teoríade lamedida, que primordialmentese ocupa decómo

asignarcantidadesnuméricasacadaconjuntodeunaσ-álgebra.Ennuestrocasoesto

es muy oportuno porque nos preocupa asociar probabilidades a eventos, y las

probabilidadessonvaloresnuméricosquecuantificanelgradodecertidumbresobrela

ocurrencia de algún evento en la realización de un experimento aleatorio. En el

lenguaje de la teoríade la medida, la probabilidad es unamedida, o función que le

asignaacadaconjuntodeunaσ-álgebraunvalorrealpositivoonulo:



3

Definición (AxiomasdeKolmogorov):Sea(Ω,ℑ)unespaciomuestralconsurespectiva

σ-álgebra de eventos. Una función P: ℑ→[0,1] es una medida de probabilidad si

satisfacelascondicionessiguientes:

a. P(Ω)=1

b. Si { } ℑ⊂n A es una sucesión de conjuntos disjuntos dos a dos, entonces

( )∑∞

=

∞

==⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

11 n

n n n

AP AP ∪

Estaeslapropiedaddeσ-aditividad.

Enestecasosediceque(Ω,ℑ,P)esunespaciodeprobabilidad.

1.2 Variable aleatoria. Distribución de probabilidad. Tipos de variablesaleatorias. Densidad de probabilidad.

El concepto de variable aleatoria es substancial y de mucha utilidad en el estudio

matemáticode los fenómenosaleatoriosporque esunmecanismopara “traducir” los

objetosdelespaciomuestral,quenonecesariamenteseidentificandeformanumérica,

aelementosdealgúnconjuntonumérico.Estofacilitaenormementelacuantificaciónen

el estudio de la aleatoriedad, y conlleva eventualmente a establecer características

importantes que resumen numéricamente el comportamiento del fenómeno aleatorio,

comolaesperanzaylavarianza.

Definición (VariableAleatoria): Sea (Ω,ℑ,P) un espacio de probabilidad. Lavariable

aleatoria X(ω) es una función X: Ω→ R que asigna a cada elemento del espacio

muestral unvalor real. Adicionalmente, lavariable aleatoriaesuna funciónmedible,

porquedeberverificarque ( ){ } ℑ∈<α ω ω X .

Aúncuandoestacaracterísticadelasvariablesaleatoriascomofuncionesmediblesno

semencionaen lostextoselementalesdeprobabilidadescon los que probablemente

estudiasteestamateria,seincluyeenladefiniciónanteriorporqueesjustamenteesta



4

característicalaqueposibilitaelcálculodeprobabilidadesasociadasaintervalosreales,

la definición de funciones de distribución de probabilidad y consecuentemente, la

funcióndedensidaddeprobabilidad.

Lavariablealeatoriatraduceeventosenelespaciomuestralaintervalososubconjuntos

numéricos con la finalidaddecalcular laprobabilidadasociada a estos subconjuntos

numéricos.Esdecir,conviertelamedidadeprobabilidaddeeventosadistribucionesde

probabilidadenconjuntosnuméricos,definiendoasílallamada función de distribución

de probabilidad:

Definición (Función de Distribución de Probabilidad): Sea (Ω,ℑ,P) un espacio de

probabilidadyX(ω)unavariablealeatoriadefinidasobreesteespacio.LafuncióndedistribuciónF(x)deunavariablealeatoriasedefinecomosigue:

( ) { } ( ){ }x X P x X P x F ≤=≤= ω ω

Habiendohechoestadefinición,seesclareceelcomentarioanteriorsobrelapropiedad

de lavariable aleatoria como funciónmedible- si ( ){ } ℑ∉<α ω ω X , dicho evento no

tendríaprobabilidadasociadaypor lotantoseindefiniría la funcióndedistribuciónde

probabilidad, porquesolo tienen probabilidad aquellos eventos definidos enℑ. Entre

algunas propiedades de la función de distribución de probabilidad, que también se

denominaavecesfunciónacumuladadeprobabilidad,semencionan:

i. Fesunafuncióncrecientequetomavaloresen[0,1].

ii. F(-∞)=0yF(∞)=1.

Según la naturaleza del conjunto de valores que toma X, se tienen dos tipos de

variables aleatorias. Las variables aleatorias discretas se caracterizan por ser el

conjuntodevaloresdeXfinitooporlomenosnumerable.SielconjuntodevaloresdeX

esinfinitoeinnumerable,Xesunavariable aleatoria continua.Estadistinciónesmuy

importanteporquedetermina la formaenque definimos lasprobabilidadespuntuales:

para una variable aleatoria discreta, P{X=x} esun valor positivo si x estadentro del

rango de valores donde el evento ( ){ }x X =ω ω asume probabilidad positiva. En

cambio, si X es una variable continua, P{X=x} es invariablemente igual a cero para



5

cualquiervalorxporquesiXtomavaloresenunconjuntoinfinito,ningunaprobabilidad

puntualpuedeserdistintadecero.

CuandoX es una variable aleatoria, podemos definir su función de probabilidad del

modousual:

( ) { } ( ){ }x X P x X P x p ==== ω ω

Lafuncióndeprobabilidaddeunavariablediscretaesmayoroigualaceroparatodoxy

verificaquelasumadelasprobabilidadespuntualesatravésdelconjuntoimagendeX

esigualauno:

( ) ( ) 10 =≥∈∀ ∑∞

−∞=x

x p y x p R x

A veces, p(x) se denota por px, para enfatizar la naturaleza discreta de la variable

aleatoria(siptieneunsubíndice,losvaloresposiblesdeXsonnumerables).SiXes

unavariablecontinua,notienesentidohablardeprobabilidadespuntualesporquetodas

sonigualesacero.Sedefineentonceslafunción de densidad de probabilidadf,quese

correspondealaderivadaRadon-Nikodymdelafuncióndedistribución.Unavariable

aleatoriaque tieneasociadauna tal funciónde densidadsedenominaabsolutamente

continua,ydichafuncióndedensidadf(x)verificalosiguiente:

( ) ( ) ∫ ∞−

=≥x

dt t f x F y x todo para x f )(0

Esdenotarqueenelcasocontinuo,f(x)norepresentaunaprobabilidadpuntual,pues

yahemosestablecidoquelasprobabilidadespuntualessonnecesariamenteigualesa

cero;encambiof(x)puedeasumirvalorespositivos.

Una vez establecidas las definiciones básicas de variable aleatoria, distribución de

probabilidad,funcióndeprobabilidadyfuncióndedensidaddeprobabilidad,espreciso

mencionarqueenlateoríadelaprobabilidadseestudiandiversasdistribucionesoleyes

deprobabilidadquepretendenmodelarunaampliagamadefenómenosaleatorios.El

estudiante que haya cursado cualquier curso elemental de probabilidades conoce

algunasdeestasleyesdeprobabilidadysuscaracterísticasmás importantes. Enlas

tablas1.1y1.2sedescribenlasleyesdeprobabilidadmásusuales.



6

1.3. Valores esperados: esperanza y varianza.

Doscaracterísticasimportantesdeunavariablealeatoriasonsutendenciacentralysu

dispersión media con respecto a la tendencia central. Ambas están dadas por laesperanzay lavarianza respectivamente. Laesperanza matemática de unavariable

aleatoria, tambiénconocidacomomomentodeordenunoovalormedio,sedefinedel

siguientemodo:

[ ] ∫ ∞

∞−

= )(x xdF X E

Paraelcasodelavariableabsolutamentecontinuasetienequesuesperanzaes:

[ ] ( )

∫

∞

∞−

⋅= dx x f x X E

endondelos límitesde integraciónsedefinenconvenientementesegúnelespaciode

valores donde f(x) es positiva. La esperanzamatemática de una variable aleatoria

discretaconfuncióndeprobabilidadp(x)sedefinecomo:

[ ] ( )∑∞

=

⋅=0k

x p x X E

endonde,unavezmás,loslímitesdeintegraciónsedefinendeformaconveniente.El

valor esperado de una variable aleatoria, su media poblacional, frecuentemente se

designa mediante la letra μ del alfabeto griego. A continuación se enuncian sin

demostraciónalgunaspropiedadesimportantesdelaesperanza:

• SiXesunavariablealeatoriadegenerada(queasumeunvalorconstanteCcon

probabilidaduno),entoncesE[X]=C.

• SeaCunaconstanteyXunavariablealeatoria,entoncesE[CX]=C ⋅E[X].

• SeaXunavariablealeatoriayseaY=h(X)otravariablealeatoriaqueesfunción

deX.entonces,elvaloresperadodeYes:

[ ] ( )[ ] ( )∫ ∞

∞−

== x dF x h X h E Y E )(

observandoqueloslímitesdeintegraciónseredefinendeacuerdoaloslímites

deintegraciónparalavariableXyenatenciónalafunciónh.SilavariableXes

discreta,Ytambiénloesysuesperanzasedefinemedianteunasumatoria.



7

Lavarianza,que indicaelgradodedispersióndeunavariablealeatoriarespectoasu

media,tambiénesunvaloresperado.Dehecho,la varianzadeunavariablealeatoria

Xeselvalor esperadode la diferencia cuadráticadeX respectoasumedia yen su

cálculointervienelafórmulaanterior:

[ ] ( )[ ] ( ) ( )x dF X X E X V

2

2

∫ ∞

∞−

−=−= μ μ

Algunasdesuspropiedadesnotablesson:

• ParatodavariablealeatoriaX,V[X]≥0

• SiCesunaconstante, [ ] [ ]X V C CX V 2= .

• SiAesunaconstante, [ ] [ ]X V AX V =+ .

• [ ] [ ]X E X E X V 22 −= . Esta última formula es particularmente útil para el

cálculodelavarianza.

Finalmente,comoúltimanotaenesteaparte,semencionala cota de Tchebyschev,que

involucra la esperanza y la varianza deuna variable y esde utilidad para acotar de

formamuyaproximadaciertasprobabilidadescuandonosetieneningúnconocimiento

sobrelaleydeprobabilidaddeunavariablealeatoria.Esteresultadosedaensusdos

formassindemostración:

[ ] [ ]2ε

ε μ X V

X P ≤≥− y,recíprocamente, [ ] [ ]2

1ε

ε μ X V

X P −><−

1.4. Función característica y función generatriz. Propiedades y tablas.

ElinterésenlaEstadísticadelafuncióngeneratrizdeunavariablediscretaylafunción

característicadeunavariablediscretaocontinuaradicaenelcálculodelosmomentosy

enelcálculodelasdistribucionesmuestrales,siendoestasparticularmenteútilespara

el cálculo de la suma de n variables aleatorias independientes e idénticamente

distribuidas. Otrocasodondesondeutilidadescuandose tieneunacomposiciónde

variablesaleatoriasdedistintasdistribuciones-ahíentoncessepuedededucirlaleyde



8

probabilidaddelavariablecompuestaatravésdelanálisisdesufuncióncaracterísticao

generadora.

La función característica de una variable aleatoria X tiene una definición bastante

sencilla:eslaesperanzadee iuX,endondeuesunavariablereal.Setiene,pues:

( ) [ ] ( )∫ ∞

∞−

== x dF e e E u iux iuX X ϕ

Como ux sen i ux e iuX ⋅+= cos , esta función es integrable para cada u y

consecuentemente,ϕ(u)poseeunaparterealyunaparteimaginaria.ϕX(u)tambiénes

conocidacomolatransformadadeFourierdeF(x). SilavariableX esabsolutamente

continua,entonces

( ) ∫ ∞

∞−= dx x f e u iux

X )(ϕ ,conloslímitesdeintegracióndefinidosdondef(x)seapositiva.

SiXesunavariablealeatoriadiscreta,setienepordefiniciónque ( ) ∑= )(x p e u iux X ϕ ,

con los límites de la sumatoria definidos en aquellos puntos donde la función de

probabilidadp(x)seapositiva.

Lasfuncionescaracterísticasdealgunasvariablesaleatoriasdiscretasycontinuasmás

comunes se dan en las tablas 1.1 y 1.2. Es importante recalcar que la función

característicadependedelparámetrou,porlotanto,cuandosehabledesuderivadade

orden k subsecuentemente, se refiere a la diferenciación con respecto a u. Por los

momentos se indican algunas propiedades de la función característica que son de

utilidad, aclarando que en lo sucesivo omitimos el subíndiceX enϕX(u) para ganar

claridadtipográfica.

SeaXunavariablealeatoriaconfuncióncaracterísticaϕ(u),entonces:

( ) 10 =ϕ

( ) 1≤t ϕ

[ ]( ) ( )

k

k k

i X E

0ϕ =

Estaúltimapropiedadesparticularmenteútil,podemoscalcularelmomentodeordenk

deuna variableXderivandok vecessu función característica,evaluándola encero y



9

dividiendoentreik.Generalmente,enestetipodecálculossurgenindeterminacionesde

tipo0/0quesepuedenresolvermedianteelrespectivolímiteylaregladeL’Hospital.

Otra propiedad interesante de la función característica es que existe una

correspondencia unívoca entre ésta y la ley de probabilidad de la variable aleatoria

subyacente.Existenvariasfórmulasde“inversión”quesirvenatalesefectos,comoel

teoremadeLevy.Dichasformulasseestablecenenloquesiguesindemostración 1:

SeanF(x)yϕ(u)lafuncióndedistribuciónylafuncióncaracterísticadeunavariable

aleatoriaXrespectivamente.Six 1yx2sondospuntosdecontinuidaddeF(x)setiene:

( ) ( ) ∫ −

−−

∞→

−=−

T

T

iux iux

T

du u iu

e e x F x F )(lim ϕ

π

21

2

112

Comoconsecuenciadeesteteorema,setienenlossiguientesresultados:

SiXesdiscreta,entonces ( ) ∫ −

−

∞→

=T

T

iux

T X du u e

T x p )(lim ϕ

2

1.

Enelcasocontinuo,lafuncióndedensidaddeXesdadapor ( ) ∫ ∞

∞−

−= du u e x f iux X )(ϕ

π 2

1.

Porúltimoesimportantenotar,aúnadelantándosealaexposicióndelaindependencia

estocásticay laconvolucióndevariablesaleatorias,que lafuncióncaracterísticasirve

para obtener la distribución de una suma de variables independientes. Esto sedesprendedelhechodequeelvaloresperadodeunproductodevariablesaleatorias

independientes es igual al producto de los valores esperados de las variables

respectivas,peroestepuntosetrataráenmayordetalleposteriormente.

EnelcasoenquelavariablealeatoriaXseadiscretaytomevalorespositivos,sepuede

definirsufuncióngeneratrizdelsiguientemodo:

( ) [ ] ( )∑∞

=

==

o k

k X u k p u E u g

Siempre y cuando u este dentro del radio de convergencia de dicha serie infinita.

Algunaspropiedadesnotablesdelafuncióngeneratrizsonlassiguientes:

1RIOS,pp.96-97



10

i. ( )( ) ( )

…,,,,!

2100

== k para k

g k p

k

ii. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) …… ,,, 21111 ==+−− k para g k X X X E k .

Laexpresión ( ) ( )[ ]11 +−− k X X X E … se conoce comomomento factorial de

orden kparalavariableX.

Como lafuncióncaracterística lafuncióngeneratrizdeterminaunívocamente la leyde

probabilidad de una variable aleatoria y también sirve a efectos de determinar la

distribución de la suma de variables aleatorias independientes. Las funciones

generatricesdediversasvariablesaleatoriasdiscretassedanenlatabla1.1.

Tabla 1.1. Leyes de probabilidad discretas más frecuentes y sus características

Bernoulli –Enun ensayodeBernoulli seobservaun éxitoconprobabilidad pounfracasoconprobabilidadq=1-p.

10 ≤≤ p

Función de probabilidad:

( ) { }10

1

01

,∈⎩⎨

⎧

=

=−

= x para x p

x p

x p X

Valores esperados:

[ ] [ ] pq X V p X E ==

Función generadora y función característica:

( ) ( ) iu X pe q u pz q z g +=+= ϕ

Binomial- Es la suma de n variables aleatorias de Bernoulli independientes eidénticamentedistribuidasconparámetrop.Representatambiénelnúmerodeéxitosennensayosindependientes.

+∈−=≤≤ N n p q p ,, 110


( ){ }

{ }⎪⎩

⎪⎨

⎧

∉

∈⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

−

n x

n x q p x

n

x p x n x

X

,,

,,

…

…

00

0

Valores esperados:

[ ] [ ] npq X V np X E ==


( ) ( ) ( ) ( )n iu X

n pe q u pz q z g +=+= ϕ



11

Geométrica- La variable aleatoria geométrica es el número de ensayos de tipo

Bernoulliqueserequierenhastaobservarelprimeréxito.

p q p −=≤≤ 110 ,


( )⎩⎨⎧

∉

∈=

+

+−

N x

N x pq x p

x

X 0

1

Valores esperados:

[ ] [ ]2

1

p

q X V

p X E ==


( ) ( )iu

iu

X qe

pe u

qz

pz z g

−=

−=

11ϕ

Binomial Negativa-Lavariablealeatoriabinomialnegativarepresentaelnúmerodeensayoshastaobservarlar-ésimaocurrenciadeunéxito(resunnúmerofijo).


( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

=−

r x

r x q p r

x

x p r x r

X

0

1

1

Valores esperados:

[ ] [ ]2p

rq X V

p

r X E ==


( ) ( )

r

iu

iu

X

r

qe

pe

u qz

pz

z g ⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−=⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−= 11 ϕ

Poisson-LavariablealeatoriaPoissonrepresentaelnúmerodeeventosqueocurrenen un instante de tiempo de amplitud fija cuando la tasa media de eventos en ese

intervalodetiempoesλ


( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥∈=

−

00

0

x

N x x

e x p

x

X !

λ λ

Valores esperados:

[ ] [ ] λ λ == X V X E


( ) ( ) ( ) ( )11 −− ==iu e

X z e u e z g λ λ

ϕ



12

Tabla 1.2. Leyes de probabilidad continuas más frecuentes y sus características

Uniforme – Es la variable aleatoria continua uniformemente distribuida sobre unintervalo (a,b). La probabilidad de que la variable aleatoria uniforme se encuentre

dentro de algún subintervalo de (a,b) es proporcional a la amplitud de dichosubintervalo.

Función de densidad:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧<<

−=contrario caso en

b x a a b x f X

0

1

Valores esperados:

[ ] [ ] ( )122

2a b

X V b a

X E −

=+

=

Función característica:

( ) ( )a b iu

e e

u

iua iub

X −

−

=ϕ

Normal- El número de éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli obedeceaproximadamenteuna leyNormalamedidaquen tiendea infinito. Segúnel teoremacentraldellímite,todasumanvariablesindependienteseidénticamentedistribuidasesnormalcuandon tiendea infinito. La leynormalmodela adecuadamenteunaampliagamadefenómenosaleatoriosporquegeneralmente,lasdesviacionesdeunavariableconrespectoaunpuntocentralsedebenalasumadeunacantidadindefinidamentegrandedeperturbacionesaleatoriasidénticamentedistribuidaseindependientesentresí.

0>∈ σ μ σ R ,


( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

2

2

1

2

1

σ

μ

π σ

x x f X exp

Valores esperados:

[ ] [ ] 2σ μ == X V X E


( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= 22

2

1σ μ ϕ u iu u X exp



13

Exponencial- Lavariablealeatoriaexponencial juegaunpapelanálogo enelcasocontinuo a la geométrica y representa el tiempo que transcurre hasta que falla uncomponente.Comolageométrica,lavariablealeatoriaexponencialtienelapropiedaddenoposeermemoria:elhaberesperadounacantidaddetiempodeterminadosinque

haya ocurrido la falla o el suceso en cuestión no condiciona el tiempo adicional deesperaenel futuro.Elúnicoparámetrodeestadistribuciónλestarelacionadoconlatasa media de eventos por unidad de tiempo y tiene la restricción de ser un valorpositivo.


( )⎩⎨⎧ >

=−

contrario caso en

x e x f

x

X 0

0λ λ

Valores esperados:

[ ] [ ]2

11

λ λ == X V X E


( )

1

1

−

⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= λ ϕ

iu u X

Gamma-Lavariablealeatoriagammarepresentaeltiempodeesperahastalar-ésimaocurrenciadeunfallooeventocuandoloseventosocurrenindependientementeentresí

con una tasa promedio de λ por unidad de tiempo, con los tiempos inter-eventosdistribuidos exponencialmente con el mismo parámetro. Un caso especifico de lagammaesladistribucióndeErlang,querepresentalasumadervariablesaleatoriasindependientes distribuidas exponencialmente (en este caso, r es un número enteropositivo). Ladistribución ji-cuadrado, laWeibully laexponencial tambiénsepuedendefinir comocasosparticularesde lagamma. Lasrestriccionessobrelosparámetros

son 0>r ,λ


( ) ( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧>

Γ=−−

contrario caso en

x e x r x f

x r

X

0

01 λ

λ λ

Valores esperados:

[ ] [ ]2λ λ

r X V

r X E ==


( )r

X

iu u

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=λ

ϕ 1

Nota:LafunciónΓ(r)eslafuncióngamma,quesedefineacontinuación:

( ) ∫ ∞

−− >=Γ0

10r du e u r u r ,

Estafuncióntienelassiguientespropiedades:

i. ( ) ( ) 01 >Γ=+Γ n n n n ,

ii. ( ) !n n =+Γ 1 sinesunenteropositivo



14

1.5. Variables aleatorias bidimensionales y n-dimensionales. Función dedistribución conjunta. Función de densidad conjunta.

Sucedemuycomúnmentequeestamosinteresadoseninvestigarlasrelacionesquehay

entre dos omás características de los individuosde unapoblación- estodapie a la

definicióndelasvariablesaleatoriasbidimensionalesy,deformamásgeneral,alasn-

dimensionales.Esteconceptopretendedarrespuestasapreguntastalescomo:¿Cuál

relación existe entre la estatura y el peso corporal de cada persona? ¿Existe algún

vínculoentreelgradodedesarrollotecnológicoyelporcentajedelapoblaciónqueson

científicosenunpaís?Esimportanterecalcarquelasvariablesaleatoriasconjuntasse

refieren a dos o más características que se observan simultáneamente en cada

individuodeunapoblación;están,pues,asociadasalmismoespaciomuestral(verFig.

1.1).Asíporejemplo,siestamosinteresadosencompararlasdestrezasmatemáticas

deestudiantesdeunoyotroliceoapartirdelasnotasdematemáticadeunamuestra

de veinte alumnosde cada liceo, no se puede instituir en base a esto una variable

aleatoriabidimensionalporquelos alumnosno provienende lamismapoblación (dos

liceos)nitampocounpardenotasserefierenalmismoindividuo.

Definición (Variablealeatoriabidimensionalyn-dimensional):Sea(Ω,ℑ,P)unespacio

deprobabilidadyX=X(ω)eY=X(ω)dosvariablesaleatoriasdefinidassobreesemismo

espacio probabilizado. Elpar (X,Y)constituyeuna variablealeatoriabidimensional,a

veces denominada vector aleatorio. Análogamente, siX1=X1(ω), …,Xn=Xn(ω) son n

variablesaleatoriasdefinidassobreelmismoespacio,entonces ( )n X X ,, 1

esuna

variablealeatorian-dimensional(vectoraleatorion-dimensional).

Fig. 1.1–Lasvariablesaleatoriasconjuntasestánasociadasalmismoespaciomuestral.



15

Como en el caso unidimesional, las variables aleatorias multidimensionales (n-

dimensionales)sondiscretasocontinuasyposeenfuncióndedistribuciónyfunciónde

probabilidado función dedensidaddeprobabilidadsegúnseaelcaso. Losvectores

aleatoriossondiscretos si el producto cartesiano n X X ××1

es un conjunto finito o

numerable;encasocontrario,elvectoraleatorioescontinuo.Sinmáspreámbulos,se

especificanseguidamentelasparticularidadessalientesdelosvectoresaleatorios:

Función de probabilidad conjunta en caso discreto: Al vector aleatorio discreto

( )n X X ,, 1

se asocia una función de probabilidad ( )n x x p ,,…1

que representa la

respectiva probabilidad ( ) ( ){ }n n x X x X P == ω ω ω ,, …11

definida en el espacio

probabilizadoyquecumplelassiguientescondiciones:

i. ( ) 01 ≥n x x p ,,… paratodo ( )n x x ,, 1

ii. ( ) 1

1 2

1=∑ ∑

∞

−∞=

∞

−∞=x x n x x p ,,…

Lasegundacondiciónestablecequelamasadeprobabilidadtotalsumadaatravésde

la región de valores donde ( ) 01

>n x x p ,,… es igual a uno. Como en el caso

unidimensional, esta condiciónesdehecho laquecaracteriza a cualquier funciónde

probabilidadodedensidad.

Función de densidad de probabilidad conjunta (caso continuo) : Al vector aleatorio

continuo ( )n X X ,, 1

seasociaunafuncióndedensidaddeprobabilidad ( )n x x f ,,…1

que,asumiendovalorespositivosenalgunaregiónRdelespacion-dimensional,cumple

lassiguientescondiciones:

i. ( ) 01

≥n x x f ,,… paratodo ( )n x x ,, 1

ii. ( ) 111

=∫ ∫ n n

R

dx dx x x f …… ,,

Función de distribución de probabilidad conjunta: Un vector aleatorio ( )n X X ,, 1

basadoenunespaciodeprobabilidad(Ω,ℑ,P)tieneunafuncióndedistribuciónconjunta

definidadelsiguientemodo:

( ) ( ) ( ){ }n n n X X x X x X P x x F n

≤≤= ω ω ω ,,,,,, …… 1111



16

Calculándoseesta expresiónmediantesumatoriaso integralesmúltiplessegúnseael

vector aleatorio discreto o continuo respectivamente. Las expresiones para los

momentos de los vectores aleatorios se obtienen de forma análoga al caso

unidimensional.Cabedestacarporúltimolaexpresiónparalafuncióncaracterísticade

unvectoraleatorio:

Función característica conjunta: Sea ( )n X X ,, 1

unvector aleatorio basado en un

espaciodeprobabilidad(Ω,ℑ,P).Sufuncióncaracterísticaconjuntaestadadapor:

( ) ( )[ ]

( ) ( )n n n n

R

n n n X X

dx dx x x f x u x u i

X u X u i E u u n

……

…

1111

1111

,,exp

exp,,,,

++

=++=

∫ ∫

ϕ

Hadeentenderselaúltimaintegraldeestaexpresióncomounasumatoriaenelcasoen

que ( )n X X ,, 1 seaunvectoraleatoriodiscreto.

Como último punto en este aparte, cabe observar que cada una de las variables

aleatorias i X que conforman el vector aleatorio ( )n X X ,, 1

está asociada a un

mismoespacioprobabilizado,porlo cual cadaunadeestasvariables tienesupropia

funcióndeprobabilidad(dedensidaddeprobabilidad,siescontinua).Enelcontextode

lasvariablesaleatoriasmultidimensionales,lafuncióndeprobabilidad(odedensidad)

de cada variable aleatoria por separado se conoce como función de probabilidad

(densidad) marginal y se obtiene a partir de la función de probabilidad conjunta

sumando(ointegrando)atravésdelasvariablesaleatoriasrestantes.

Asípor ejemplo, si tenemosel vectoraleatorio ( )Y X , consufuncióndeprobabilidad

conjunta ( )y x p , (o función de densidad ( )y x f , si ( )Y X , es continua), podemos

obtenerlafuncióndeprobabilidadmarginaldelsiguientemodo:

( ) ( )∑∈=Y Rango y

X y x p x p , (o ( ) ( )dy y x f x f Y Rango

X

∫ = , si ( )Y X , escontinua)

Enelcasodevariablesaleatoriasdemásdedosdimensiones,tendremossumatoriaso

integralesmúltiples,afindesumaratravésdelasvariablesaleatoriasrestantes.



17

1.6. Variables aleatorias independientes y su caracterización. Covarianza.Distribución de la suma de dos o más variables aleatorias independientes.Convolución.

Elanálisisde lasrelacionesentre las variablesaleatoriasdeunmodeloprobabilístico

tienemuchoqueverconel concepto de la independenciaentre variables aleatorias.

Intuitivamente,decimosquedosvariablesaleatoriassonindependientessielresultado

observado de una variable no afecta la ocurrencia del valor observado en la otra

variable.Otramaneraintuitivadeabordarlaideaesconsiderandoquesidosvariables

aleatorias son independientes, la distribución de probabilidades de una de ellas

permaneceigualatravésdetodoslosposiblesvaloresqueasumalaotravariable,lo

cualguardarelacióndirecta conla posibilidad defactorizarla función deprobabilidad

conjuntacomoelproductodelasrespectivasfuncionesdeprobabilidadmarginales.

Amododeilustrar,seconsideraelsiguienteejemplo:enunapoblación,seobservala

razaogrupoétnicodecadapersonaconjuntamenteconsuniveldeinteligenciamedida

a través del coeficiente intelectual. Si el nivel de inteligencia de un individuo es

independientedesugruporacialuorigenétnico,seobservaráquelasproporcionesde

individuos inteligentes,normales y subnormalespermanecerán iguales sin importar el

grupo racial o étnico considerado. Valga este ejemplo para señalar otro aspecto

importantesobrelasrelacionesdedependenciaentrevariablesaleatorias:laestadística

se limita a discernir si ciertos niveles de una variable van acompañados por ciertos

niveles deotra variable- lastécnicasestadísticas clásicasnopermitendiscernirsobre

las relaciones de causalidad de unas variables sobre otras. En nuestro ejemplo, si

encontrásemosqueelorigenracialnoesindependientedelniveldeinteligenciadeun

individuo,noporestopudiésemosconcluirqueciertasrazasson“másinteligentes”que

otrasodichodeotromodo,queelorigenracialdeunindividuoexplicasubajooalto

coeficiente intelectual. Más bien, en este caso, el investigador deberíaevaluarsi el

instrumentodemedicióndela inteligenciaestáonodiseñadode formasesgadapara

favoreceralosindividuosdeciertarazaporsobrelosindividuosdeotrasrazas.Entodocaso, si la dependencia estocástica esequivalentea lacausalidad, eso esalgo que

deberespondersefueradelámbitoprobabilístico.

Otroerrorcomúnencuantoalconceptoprobabilísticodeindependencia,porlomenos

en base a la experiencia docente del autor, es aquel de señalar dos eventos



18

mutuamenteexcluyentescomoaquellosquesonindependientesentresí.Dehecho,se

dajustamentelocontrario:sidoseventossonmutuamenteexclusivos,laocurrenciade

unodeterminalanoocurrenciadelotro,porlocualjamáspuedenconsiderarseeventos

independientes. Es importante aclarar todos estos puntos en torno a la noción de

independenciaestocásticaporqueunaspectoimportanteenelanálisisdelosprocesos

estocásticos es determinar si el estado del proceso en un instante de tiempo es

independiente de su estado en otro instante. Como se verá, la suposición de la

independenciaentrelosestadosdelsistemaendistintosinstantesdetiemposimplifica

bastanteelanálisisdelprocesoestocástico.

Seguidamentesedanalgunascaracterizacionesde laindependencia delas variables

aleatoriasconjuntamentedistribuidas:

i. Caracterización de la independencia en términos de sus funciones de

probabilidad

Un conjunto de variables aleatorias conjuntamente distribuidas se dice ser

independientesiysolosisufuncióndeprobabilidadconjuntasepuedefactorizar

comoelproductodelasfuncionesdeprobabilidaddecadavariable:

( ) ( ) ( )n X X n x p x p x x p n

⋅⋅= …11 1

,,

Sielvectoraleatorioescontinuo,se intercambia“funcióndeprobabilidad” por

“funcióndedensidad”enestacaracterización.

ii. Caracterización de la independencia en términos de sus funciones de

distribución

Paratodan-pladevalores ( )n x x ,, 1

,setieneque

( ) ( ) ( )n X X n X X x F x F x x F n n

⋅⋅= …… 11 11,,,,

iii. Caracterización de la independencia en términos de la esperanza matemática

Paratodan-pladefunciones ( )n g g ,, 1

dondeexistanlosrespectivosvalores

esperadosenlasiguienteecuación:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]n n n n X g E X g E X g X g E ⋅⋅=⋅⋅ ……1111



19

Enpalabras: laesperanzadel producto devariablesaleatorias conjuntamente

distribuidasesigualalproductodelosvaloresesperadosdecadavariable.De

estacaracterizacióndeindependenciasededucequelavarianzadelasumade

variables aleatorias conjuntamente distribuidas e independienteses igual a la

sumadelasrespectivasvarianzas: [ ] [ ] [ ]n n X V X V X X V ++=++ …… 11

iv. Caracterización de la independencia en términos de su función característica

La función característica de un vector aleatorio conjuntamente distribuido es

igual al producto se las funciones características de cada variable aleatoria

respectivacuandoestassonindependientes.Dichacaracterizaciónseinfierede

lapropiedadanteriorparaelvaloresperadodelproductodevariablesaleatorias

independientes.

( ) ( ) ( )n X X n X X u u u u n n

ϕ ϕ ϕ ⋅⋅= …… 11 11,,,,

Estacaracterizacióndeindependenciaesmuyútil.Permiteporejemploconcluir

que la suma de n variables exponenciales idénticamente distribuidas e

independientesesunavariablealeatoriagamma

Según las distintas caracterizaciones de independencia vistas, se tiene que dos

variablesaleatorias,osonindependientesonoloson.Perosihemosdeestablecerun

grado o la magnitud de la dependencia entre dos variables, una medida sería la

covarianza,cuyadefiniciónes:

[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ]Y E X E Y X E Y E Y X E X E Y X ⋅−⋅=−−=,cov

EsdenotarquesidosvariablesaleatoriasXeYsonindependientes,lasesperanzasen

laexpresióndelextremoderechodeestasigualdadessecancela-consecuentemente,si

dos variables aleatorias son independientes, su covarianza es cero, aunque no

podemosestablecerdemodogenerallaimplicacióncontraria.Lacovarianzapuedeser

negativa o positiva, sin embargo, a fin de acotar la covarianza y establecer

comparaciones entre los grados de dependencia de dos o más pares de variables

aleatoriassedefineapartirdelacovarianzaelcoeficientedecorrelación:



20

[ ][ ]

[ ] [ ]Y V X V

Y X Y X

⋅=

,cov, ρ

elcualsepuededemostrarqueestáacotadoentre-1y1 2.Enrealidad,elcoeficientede

correlaciónmideelgradodelinealidadenla relacióndedosvariables.Siρes-1,se

tienequeentreXeYexisteuna relación linealdecrecienteperfecta:una variable se

puedeexpresarcomofunciónafíndelaotraysiunavariablecrece,laotradecrece.En

cambioρ=1representaunarelaciónlinealcrecienteperfecta:unavariablealeatoriaes

funciónafíndelaotrayambasdecrecenocrecensimultáneamente. Siρescero,no

existeninguna relación de linealidadentre unay otra variable, pero comoyasedijo

anteriormente, esto no implica necesariamente que las variables en cuestión sean

independientes.Dichoseadepaso,existenotrasmedidasdecorrelaciónuntantomás

robustas que no toman la linealidad en cuenta, como por ejemplo el coeficiente de

correlaciónderangodeSpearmanyelcoeficientedecorrelaciónderangoτdeKendall

entreotros3.

Elconceptodeindependenciaentredosvariablesysuscaracterizacionesentérminos

de la esperanza matemática de su producto tienen como consecuencia un método

sencilloparaobtenerladistribucióndeprobabilidaddelasumadedosomásvariables

aleatorias. SepuededemostrarquesiXeYsondosvariablesaleatoriascontinuase

independientesentoncessufuncióndedensidadestádadapor:

( ) ( ) ( )dx x y f x f y f Y X Y X −⋅= ∫ ∞

∞−+

Para el caso continuo, la función de probabilidad de X+Y para dos variables

independienteses:

( ) ( ) ( )∑ −⋅=+x

Y X Y X x y p x p y p

Integralescomoladearribasedenominanbajoelnombredeconvolución.Enalgunos

textosdematemáticaslaconvolucióndedosfuncionesfygseescribef ∗g,demodo

que ( ) Y X Y X f f y f ∗=+ .Elcálculodetalesintegrales(osumatoriasenelcasodiscreto)

puede resultar algo tedioso- esdeeste puntodedonde las funciones características

2VerlademostracióndelTeorema7.11enMEYER,p.145

3Verelcapitulo9deSPIEGEL.



21

derivansuimportancia.Yaquelaesperanzadelproductodedosvariablesaleatorias

independientesesigualproductodesusrespectivasesperanzas,setieneque:

( ) iuY iuX iuY iuX Y X iu e E e E e e E e E ⋅=⋅=+

y en consecuencia ( ) ( ) ( )u u u Y X Y X ϕ ϕ ϕ ⋅=+ . En base a esta fórmula, se puede

determinarladistribucióndelasumadevariablesaleatoriasindependientesobservando

lafuncióncaracterísticadelasuma.Conesteresultado,seexplicafácilmenteporquéla

suma de variables exponenciales independientes de idéntico parámetro tiene una

distribucióngamma,porejemplo.Estaformulaserádeutilidadenelanálisisdeciertos

procesosestocásticos.

Ejemplo para las secciones 1.5 y 1.6

A fin de consolidar tu aprendizaje de los conceptos expuestos en las secciones

anterioressobrevariablesmultidimensionaleseindependencia,consideraelproblemaa

continuación:

Selanzandosdadosyenatenciónalresultado,sedefinenlasdosvariablesaleatorias

siguientes-

X –representalasumadelasdoscarasresultantesenellanzamientodelosdados.

Y –esunavariablealeatoriadicotómicaqueasumeelvalorde1silacaradelprimer

dadoesdivisibleentre2o3,y0sinoloes.

Determina la función de probabilidad conjunta de la variable aleatoria bidimensional

(X ,Y)asícomolafuncionesdeprobabilidadmarginalesdeX ydeY .Adicionalmente,

indicasilasdosvariablesaleatoriasencuestiónsonmutuamenteindependientes.

Solución:

Primero,debemosidentificar elespaciomuestralsubyacentealexperimento aleatorio

asociadoallanzamientodelosdosdados.Dichoespaciomuestralsepuededefinir(o

modelar,siprefieres)medianteelsiguienteconjuntodeparesordenados:



22

( ){ }61212121

≤≤∈=Ω d d d d d d ,,,, N

Enpalabras,Ωeselconjuntodetodoslosparesordenadosdenúmerostalquecada

númerorepresentaunadelasposiblesseiscarasdeldadorespectivo.Dichoconjunto

tiene36elementosy asumiendoquelosdadossonjustosyqueellanzamientodeun

dadonocondicionaellanzamientodelotro,cadaunodeestos36eventoselementales

delespaciomuestraltieneunaprobabilidadasociadade 361 .Traducciónalcastellano:

losposiblesresultadosdelanzardosdadossonequiprobables.

ApartirdeesteconjuntoΩdefinimoslasdosvariablesaleatoriascomoenelenunciado

delproblema.Estasvariablespuedenconsiderarsecomocaracterísticasnuméricasqueestaránasociadasacadaeventoelementaloindividuodelapoblación.Enconjunto,se

esquematizatodoestoenunatabla:

i i ω ( )i X ω ( )i Y ω i i ω ( )i X ω ( )i Y ω i i ω ( )i X ω ( )i Y ω

1 (1,1) 2 0 13 (3,1) 4 1 25 (5,1) 6 0

2 (1,2) 3 0 14 (3,2) 5 1 26 (5,2) 7 0

3 (1,3) 4 0 15 (3,3) 6 1 27 (5,3) 8 0

4 (1,4) 5 0 16 (3,4) 7 1 28 (5,4) 9 0

5 (1,5) 6 0 17 (3,5) 8 1 29 (5,5) 10 0

6 (1,6) 7 0 18 (3,6) 9 1 30 (5,6) 11 0

7 (2,1) 3 1 19 (4,1) 5 1 31 (6,1) 7 1

8 (2,2) 4 1 20 (4,2) 6 1 32 (6,2) 8 1

9 (2,3) 5 1 21 (4,3) 7 1 33 (6,3) 9 1

10 (2,4) 6 1 22 (4,4) 8 1 34 (6,4) 10 1

11 (2,5) 7 1 23 (4,5) 9 1 35 (6,5) 11 1

12 (2,6) 8 1 24 (4,6) 10 1 36 (6,6) 12 1

Observamosquelav.a.X asumevaloresentre2y12(11posiblesvalores),mientras

queYasumedosposiblesvalores-0y1. Paraobtener lasprobabilidadesconjuntas,

construimosunatablade11columnas(cadacolumnarepresentaunposiblevalorde X )

y 2 filas (losdos posibles valores deY ). En cada celda, se indica laprobabilidad



23

respectivaconqueocurreelvalor(x,y).Estasprobabilidadesseobtienenapartirdela

tablaanterior.Porejemplo,elpar ( ) ( )18,, =Y X ocurre4vecesen36casos.Porlo

tanto suprobabilidad es igual a 364 y este valor es el que colocamos en la celda

respectiva.Paravariablesaleatoriasbidimensionalesdiscretas,dichatablaseconoce

comotabla de contingencia:

X

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1/36 1/36 1/36 1/36 2/36 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0Y

1 0 1/36 2/36 3/36 3/36 4/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1/36

A esta tabla de contingencia podemos agregarle las respectivas funciones de

probabilidadmarginales(queson ( )x f X y ( )y f Y )totalizandolasprobabilidadesdelas

celdasydelascolumnas:

X Totales

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ( )y f Y

0 1/36 1/361 /361 /36 2/36 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 12/36Y

1 0 1/362 /363 /36 3/36 4/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1/36 24/36

( )x f X 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

Con las funciones de probabilidad marginales deX e Y podemos verificar si estas

variables son independientes. Recordemos que una de las definiciones o

caracterizacionesde independencia requiere que la funciónde probabilidad conjunta

seafactorizableporlasrespectivasfuncionesdeprobabilidadmarginales,esdecir,que

secumpla ( ) ( ) ( )y p x p y x p Y X ⋅=, paratodox,y.

Sitomamos,porejemplo,x=3ey=0,tenemos

( ) ( )36

103 == ,, p y x p ,pero ( ) ( )

54

1

36

2

36

12=⋅=⋅ y p x p Y X yclaramentesetieneque



24

( ) ( ) ( )y p x p y x p Y X ⋅≠, yporlotantoXeYnosonindependientes.

Han podido considerarse otras instancias de x e y, pero básteseque no se cumpla

( ) ( ) ( )y p x p y x p Y X ⋅=, paraunainstanciaparaqueelparX ,Y noseaindependiente.

Esteresultadotieneunalecturaintuitiva:paraquelasuma X sea2,esnecesarioqueD 1

noseadivisibleentre2o3.Porotrolado,paraqueX sea12,esnecesarioqueD 1 sea

divisibleentre2y3,porquetantoD 1 comoD 2 sonnecesariamenteigualesa6.Porlo

tanto,vemosqueladivisibilidaddeD 1 por2o3condicionalasumaX ;dehecho,se

observa que para distintos valores de X las proporciones de las probabilidades

conjuntasparaloscasosY =0oY =1sondistintas.Todoestoconfirmaque X eY son

mutuamentedependientes,aunqueelgradodedependencianoestotal.

Otra cosa que seguramente habrásnotado es la razón por la cual las funciones de

probabilidad individuales de X y de Y se denominan funciones de probabilidad

marginales:siendototalesdecolumnasydefilas,seespecificanenlosmárgenesdela

tabladecontingencia.



25

1.7. Introducción a la simulación estocástica mediante el lenguaje R.

Elusode lateoríadelaprobabilidadparadeduciralgunaspropiedadesdeunmodelo

aleatorioentrañaciertadificultad-sepresentacasosendondeelanálisisteóricodeun

matemáticoexperimentadosobrealgunasituaciónqueinvolucraelazareserrado.Siademás nuestra formación teórica sobre las probabilidades es deficiente

(lamentablemente este es el caso más común), entonces esto dificulta aún más el

abordaje de ciertos problemas. Pero teniendo una computadora, contamos con un

instrumento epistemológico que nos permite obtener conocimiento sobre el modelo

aleatorio de forma experimental- este es el objetivo fundamental de la denominada

simulación.

Lasimulación,comolaprogramaciónmisma,esunarte.Noexisteunprocedimiento

mecánico para hacer simulaciones. Lo que se requiere del analista es determinar

detalladamente lasreglasy lasecuenciadeaccionesque rigenelcomportamientode

loscomponentes delsistemaa simular. Sedebenestablecerbien las relacionesde

dependencia entre los componentes y deslindar aquellos comportamientos de

componentesquesonindependientesdelosdemáscomportamientos.Estasecuencia

deaccionesycomportamientosconformaunciclo,análogoaunapartidadeunjuego.

Como en las simulaciones se pretende determinar las probabilidades o los valores

esperados,sedebenrealizarmuchas iteraciones deestos ciclospara vercual essu

comportamiento“a lalarga”.Esenestepuntodondeestribaelpoderdelcomputador

como instrumento epistemológico- el computador realiza esta miríada de cálculos

rápidamente, obteniendo la probabilidad o el valor esperado deseado a través de la

fuerzadecomputobruto.

Existendiversoslenguajesopaquetesparalainvestigaciónestocástica.Entreestos,se

escogió el lenguaje R como el principal para desarrollar los ejemplos y trabajos

prácticos de este curso. El lenguaje R es un sistema para el análisis estadístico y

gráfico, a la vez un entorno de programación y aplicación basado en el lenguaje S

desarrolladoporlosLaboratoriosAT&TBell4.UnodelosatractivosprincipalesdeRes

que se distribuye libremente5 bajo los términos de la GNU General Public License.

4PARADIS,p.35LosbinariosparalainstalacióndeR,conladocumentacióncorrespondientesepuedendescargaratravésdehttp://cran.r-project.org/



26

Aunadoaesto,existenmuchosprogramasenSdisponiblesatravésdelInternetquese

pueden ejecutar directamente bajo R6. El lenguaje R, siendo un lenguaje de

programación orientado a objetos, incorpora sentencias básicas de bucles y

condicionamiento junto con herramientas sofisticadas de alto nivel para el análisis

estadístico,locualledaunaenormeflexibilidad.Portodasestasrazones,ellenguajeR

tiene cada vez más preponderancia en el mundo académico y en la investigación

estocástica.

Amodode ilustrarloqueesunasimulación, secomienzaconunejemploextraídode

un concurso en un programa de televisión británico que consiste en lo siguiente: el

concursanteseencuentraantetrespuertasentrelascualesdebeescogeruna.Detrás

deunadelaspuertasseencuentrauncarroydetrásdecadaunadelasotrasdosun

apestosoanimal(unacabra).Eltratoeselsiguiente,elanimador(quesabedondeseencuentraelcarro)abreunapuertaobviamentediferentealaqueeljugadorescogióya

la que contiene el carro, revelando una flamante cabra. Luego se le pregunta al

concursantesideseaabrirotrapuertaomantienesuelección.¿Queesmásventajoso

paraelconcursante?¿Cuáleslaprobabilidaddeganarsieljugadorcambiadepuerta?

Muchas personas, inclusive matemáticos, concluyen erróneamente que no es

particularmente más ventajoso cambiar de puerta razonando que una vez que el

animadorabreunadelaspuertasquenocontieneelcarro,lasprobabilidadesdeganaro perder son iguales (1/2) si se cambia de puerta o no. Sin embargo, un análisis

cuidadosodelasprobabilidadesdemuestraquelaprobabilidaddeganarcambiandode

puertaesde2/3.Sedejacomotareaverificarestodeformateórica.Enloquesigue

nos interesa más bien simular la situación. Para esto debemos especificar lomás

detalladamenteposiblelasecuenciadepasosencadajuego:

6Consultarenhttp://stat.cmu.edu/S/



27

El Juego de Monty Hall

• Primero, se esconde el carrodetrás de una de las trespuertas(alazar).

• El jugador selecciona una delas tres puertas (escoge alazar)

• Elanimador(MontyHall),sabiendodondeestáelcarro,escogeunapuertaquenosealaqueoptóelconcursantenilaquecontieneelcarroylaabre,revelandoquehayunacabradetrásdeesapuerta.Siquedaunasolapuertaelegibleconesascondiciones,Montylaescoge.Delocontrario,sihaydospuertaselegibles,Montyescogecualquieradelasdosalazar.

• Como en lasimulación queremosdeterminar laprobabilidad deganar sielconcursantecambia depuerta,hacemosqueeljugadoropteuna segundavez por lapuertaque noseleccionólaprimeravezniporlapuertaqueacabadeabrirMonty.

• Si lasegundapuerta que escogióelconcursantees iguala lapuerta detrás de lacualestabaelcarroelconcursantegana.

EstecicloserepiteunnúmeroNarbitrariamenteelevadodevecesafindedeterminarla

proporcióndevecesqueelconcursantegana.Segúnlaleydelosgrandesnúmeros,si

el número de iteraciones es lo bastante elevado, esta proporción se acercará a la

probabilidad verdadera de 2/3. A continuación se indica el código en R para esta

simulaciónjuntoconelresultadoarrojadoporlamisma,queesde0.6688,locualcomo

sepodráapreciar,seacercabastantea2/3.

#simulación del concurso de Monty Hall

#problema descrito en el aparte 1.7. de los apuntes del curso

#"Procesos Estocásticos", dictado en la UNEFA San Tomé

#Autor: Prof. José L. Romero P. fecha: 10/8/2007

#------------------------------------------------------cnt<-0

puertas=c(1,2,3)

N=10000

for (i in 1:N) {

puerta.premio=sample(puertas,size=1,replace=TRUE)

primera.puerta.jugador=sample(puertas,size=1,replace=TRUE)

otras.puertas=setdiff(puertas,union(puerta.premio,primera.puerta.jugador))

ifelse((length(otras.puertas)==1),monty.abre.puerta<-otras.puertas,monty.abre.puerta<-sample(otras.puertas,size=1,replace=TRUE))

segunda.puerta.jugador=setdiff(puertas,union(primera.puerta.jugador,

monty.abre.puerta))

if (segunda.puerta.jugador==puerta.premio) cnt<-cnt+1

}

cat("La probabilidad de ganar en N=",as.character(N)," ensayos del juego es ",

cnt/N,".\n")

La probabilidad de ganar en N=10000 ensayos del juego es 0.6688.



28

Otroejemplodecómodeterminarprobabilidadesmediantesimulacionessedesarrollaa

partirdelsiguienteproblema:

El Encuentro

Dos hombres de negocios deciden

encontrarseenalgúnlugarentrelas10

y11am,cadaunoacordandonoesperar

másde10minutosporelotro.¿Cuáles

laprobabilidaddequeseencuentrensi

cadaunollegaindependientementedelotroyencualquierinstante

aleatorioenellapsodeesahora?

Paracomenzar,denotemosporXeYelinstantedetiempodentrodeunahoraalacual

llega cada empresario respectivamente. Según la última parte del enunciado que

establece que “cada uno llega independientemente del otro y en cualquier instante

aleatorio enel lapso deesa hora”,sedesprendeque tantoX comoY son variables

aleatorias continuas independientes y uniformemente distribuidas entre 0 y 60 (se

trabajaráelproblemaenbaseallapsode60minutos).Paraquelosempresariosse

encuentren,ladiferenciaenvalorabsolutodelostiemposdellegadadeunoyotrodebe

ser menor o igual a 10 minutos. Es decir, se quiere calcular { }10≤−Y X P .

Claramente,estadiferenciaenvalorabsolutovariaentre0y60minutos,peroaúnnose

hadeterminadoladistribucióndeprobabilidadde Y X − .

Sesuponequeenestenivel,debeshaberpodidorealizarelanálisisdelproblemahasta

esepunto,aunquequizásnosepascomoprocederapartirdeahí-esprecisamenteen

ayudara dilucidareste tipo desituacionesen que radicala valíadeunasimulación.

Para el problema en cuestión, esta va a consistir básicamente en generar una

distribuciónempíricadeunnúmerosuficientementegrandedevalores Y X − basados

en números aleatorios uniformemente distribuidos según lo expuesto en el análisis

previo.Sinmáspreámbulos,sedaelcódigodelasimulaciónenRacontinuación:



29

#Problema: dos personas deciden encontrarse entre las 10 y 11am, acordando

#que quien llegue primero no esperará más de 10 minutos por el otro. Si ambas

#personas llegan al azar independientemente de la otra, determinar la

#probabilidad de que se encuentren. (Problema en el aparte 1.7 del texto)

#Solución por simulación:

#(Autor: Prof. José L. Romero P. - 18/08/2007)

N=1000000

#¿cual es la distribución de |X-Y| si X e Y son Unif(0,60) e independientes?

x<-abs(runif(n=N,min=0,max=60)-runif(n=N,min=0,max=60))

obhist=hist(x,br=60,right=FALSE,plot=FALSE)

pdf(file="encuentro.pdf")

plot(obhist,freq=FALSE,

main="Histograma de frecuencia",ylab="denisdad de probabilidad empírica")

abline(a=(60/1800),b=-1/1800,col="red")

legend(x=25,y=0.033,legend="Función de densidad teorica",fill="red")

#¿cual es la probabilidad requerida?

plot.new()

x<-as.integer(x<=10)

probabilidad<-mean(x)

text(0,1,"Cálculo mediante simulación de los valores requeridos",

adj=c(0,0),cex=1.1)

text(0,0.9,paste("Probabilidad de que las dos personas se encuentren: ",

probabilidad),adj=c(0,0),cex=0.8)

lines(c(0,1),c(0.98,0.98))

Dichasimulacióngenerólasiguientesalida-elhistograma…



30

ylaprobabilidadteórica:

¿Cómolohizoyquesignificalalínearojaenelhistograma?Enprimerlugar,segenero

unamuestradeN=1000000devalores Y X − aleatorios.Seguidamente,segraficóel

histograma de frecuencias con los métodos “hist” y “plot” de R. Esto generó un

histograma como el de lapágina anterior, sin la línea rojaaún. Obsérvese que los

rectángulos son levemente irregulares, pero sus alturas decrecen en forma

sorprendentemente regular y lineal. La línea roja,como función dedensidad teórica,

pareceajustarsebien,porlomenosintuitivamente,aloobservado.Enestepuntonos

damoscuentaquelafuncióndedensidadde Y X − debeserunsegmentoderecta

decrecienteentre 0 y 60 como la línea roja en el grafico. Unanálisismás profundo

revelalosiguiente:

Lafuncióndedensidaddeprobabilidadde Y X − estadadapor

( )1800

60

60

12

60

0

2

d dt d f

d

Y X

−=⋅= ∫

−

− ,dondedasumevaloresentre0y60.

La motivación de dicha fórmula viene de notar que el evento correspondiente a “la

diferencia Y X − esexactamenteigualad”severificapara [ ] d X Y d X +=−∈ ,,600

(suponiendo X mayor o igual a Y), la integral viene a representar la masa de

probabilidad total para cadaunode estoscasos. El factor de 2a la izquierdade la

integral sedebeaque Y X ≥ o X Y ≥ . Dicha función evidencia seruna funciónde

densidadlegítimapuessuintegralatravésdelosvaloresposiblesdedesigualauno:

( ) 10

60

3600301800

60260

0

60

0

=−=−

= ∫ ∫ −z z

dz z

dz z f Y X

Observando el código R de la simulación, se evidencia que el segmento lineal rojo

trazadosobreelhistogramadefrecuenciasempíricassecorrespondealafunciónlineal

( )d f Y X − ,apartirdelacualsepuedecalcularfácilmentelaprobabilidaddeseada:



31

{ } ( ) 5530036

11

36

1

3

1

0

10

36003010

210

0

,==−=−==≤− ∫ −z z

dz z f Y X P Y X

Como se puede ver, el resultado de la simulación (0,305779) se corresponde con

bastanteexactitudalresultadoteórico.

Eneste cursoseharáunuso intensivodesimulaciones como estas paraapoyar los

resultados sobre los procesos estocásticos deducidos teóricamente. La discusión

detallada sobre la sintaxis del lenguaje R o las técnicas de simulación per se son

marginales a los objetivos principales de curso- por esto incluyo un breve apéndice

sobre lenguaje R y la documentación disponible como anexo de este material. Lo

importanteesquesigascondetenimientolaexposicióndecadaunodelosejemplosde

implementacióndesimulacionesytratesdecompaginarestoconeldesarrolloteóricode

cadaproblema. Así mismo, te invito a dilucidar cualquier otro aspecto teóricode la

teoríade laprobabilidady de losprocesos estocásticos por timismo implementando

simulaciones.



32

Problemas Propuestos

1) Define,entuspropiaspalabras,lossiguientesconceptos:a) Espaciomuestral

b) Evento

c) Variablealeatoria

d) Funcióndedistribucióndeprobabilidad

e) Funcióndeprobabilidad

f) Funcióndedensidad

2) Define el espacio muestral asociado al siguiente experimentoaleatorio:Un lote

contiene10artículos,3deloscualessondefectuosos.Seextraeunartículoala

vez de este lote, sin reemplazo, hasta haber obtenido todos los artículos

defectuososyseobservalacantidaddeartículosquequedanenellote.

3) UnjugadoritalianoexpresósusorpresaaGalileoporobservarquealjugarcon

tresdados,lasuma10aparececonmásfrecuenciaquela9.Segúneljugadorlos

casosfavorablesal9yal10seríanrespectivamente:

Casos favorables a 9: Casos favorables a 10:

1 2 6 1 3 6

1 3 5 1 4 5

1 4 4 2 2 6

2 2 5 2 3 5

2 3 4 2 4 4

3 3 3 3 3 4

PeroGalileo, ensu libroConsiderazionesopra ilgiuocodei dadi , vio queestas

combinacionesnosepuedenconsiderarigualmenteprobables.Explicaporquéy

calcula las correspondientes probabilidades. ¿Como dilucidarías el problema

medianteunasimulación?



33

4) Define“independenciaentreeventos”y“eventosmutuamenteexcluyentes”.¿Cuál

esladiferenciaentreestosdosconceptos?

5) En una líneade producción deuna fábricaen China seproduce cierto tipo de

artículoydeestaproducción,el10%delosartículossalendefectuosos.Debidoa

lanaturalezadelprocesodefabricación,estaprobabilidadesconstanteparacada

artículo individual en la línea de producción. Un inspector de calidad visita la

fabricaytomaunamuestraaleatoriade4 artículos. ¿Cuáleslaprobabilidadde

queencuentreunoomásartículosdefectuosos?

6) EnlarepublicaBolivarianadeVenezuelaseproducenenpromedio200casosde

corrupciónadministrativasemanalmente,segúnunprocesodePoisson.Deestos

casosdecorrupción,soloel1%concluyeencárcelparalosculpables.¿Cuáleslaprobabilidad de que en la próxima semana se produzcan 2 o más delitos de

corrupciónpunibles?

7) SeaTeltiempodevidaenhorasdeuncomponentedistribuidoexponencialmente

contiempodevidapromediode5horas.Calculalassiguientesprobabilidades:

a) [ ]3>T P

b) [ ]5=T P

c) [ ]64 <≤ T P

8) Dosbolas idénticas sedistribuyenen tres urnasnumeradas. Este experimento

aleatoriotiene6resultadosposiblescuyasprobabilidadessedanrespectivamente

(cadaelementoenlosvectoresderesultadosrepresentanlacantidaddebolasen

laurnacorrespondiente):

Resultado Probabilidad Resultado Probabilidad

(2,0,0) 1/9 (0,1,1) 2/9

(1,1,0) 2/9 (0,2,0) 1/9

(1,0,1) 2/9 (0,0,2) 1/9

Elabora unprogramaenRque calculede formaaproximada laprobabilidadde

observar el resultado (2,0,0). Dicho programa debe simular el experimento



34

aleatoriodescritounnumeroNsuficientementegrandedevecesy estimardicha

probabilidadmediantelaproporcióndevecesqueseobtieneelresultado (2,0,0)

conrespectoalnúmerototaldeensayosN.

9) Seefectúauncuriosodueloconpistolasentretrespersonas,cadaunoconuna

determinadaprobabilidaddeacertareltirosegúnseindicaacontinuación:

participanteA:0,3 participanteB:1 participanteC:0,5

Enesteduelo,comienzaelparticipanteA,luegoletocaelturnoaByporultimoa

C.Comienzalarondanuevamenteenelmismoordenhastaquequedeunsolo

hombreenpié,eliminandosucesivamenteaaquellosquerecibanuntiro.

El participante A debe escoger entre dos estrategias al comienzo del duelo:

dispararaBodispararalaire.Sidisparaalaire,noeliminaanadie.TocándoleelturnoaB,esteeliminaaCycuandoletoqueelturnoaAnuevamente,estetiene

unaprobabilidadde0,3deeliminaraByasíganarelduelo.Siledisparaprimero

a B, podría eliminarlo e intercambiar disparos indefinidamente con C hasta

eliminarlo. ¿Cuál es la probabilidad de que A gane el duelo si emplea esta

segundaestrategia?¿Esmenoromayorquelaprobabilidaddeganardisparando

alairelaprimeravez?Determinaestaprobabilidadanalíticamenteymedianteuna

simulaciónenR.



35

Capitulo 2- Introducción a los procesos estocásticos.Terminología y nociones preeliminares

2.1. Definición y ejemplos de procesos estocásticos.

Los procesos estocásticos son básicamente fenómenos cuyo comportamiento se

desarrollaeneltiempoyserigeporlasleyesdelasprobabilidades7.Ejemplosdetales

fenómenos son: el movimiento browniano de una partícula, el crecimiento de una

población tal como una colonia bacterial, el tamaño de una cola en una estación

cliente/servidor,larecepcióndeunaseñalenpresenciaderuidooperturbaciones,los

preciosdeunbienenun lapsodetiempo, lasfluctuacionesdefortunaenun juegode

azar,etc.Existencaracterizacionesdeprocesosestocásticoscuyavariablenoesel

tiempo,sinolaubicaciónespacial.Ejemplosdeestosprocesosestocásticosespaciales

son la distribución geográfica de especies de plantas o animales y es estudio de

epidemias,dondeelcontagiodeunaenfermedadenunsitiodependedesuproximidad

conotros sitios infectados. El interésprincipalde este cursoesmás biensobre los

procesosestocásticostemporalesynosobrelosespaciales.

Otro concepto relacionado es el de series cronológicas- estas se refieren a las

observaciones,o realizacionesenel tiempode unprocesoestocástico implícitoyson

objetodeestudioparaloseconomistasprincipalmente.Habiendohecholasuposición

queunaseriecronológica(correspondientealospreciosdeunaacciónenlabolsade

valores,porejemplo)esunarealizacióndeunprocesoestocástico,losinvestigadores

tratandeinferirestadísticamenteapartirdelasobservaciones,lasleyesquegobiernan

elprocesoafindepredecirciclosovaloresfuturos.

Para efectos matemáticos, un proceso estocástico es una sucesión de variables

aleatorias, cada una de las cualesdescribe el estado del sistema en un instante de

tiempodado.Estadefiniciónesadecuadaporqueabarcalossiguientesaspectos:1)el 7 Lapalabra “estocástico”esdeorigen griego,provienede “stokhos”, quesignificaobjetivo, o

blancoeneljuegodedardos.“Stokhastikos”,comoadjetivo,aludeaapuntarbien,aquiénes

hábilparaconjeturar.Eladjetivo“estocástico”fueincorporadoallexicomatemáticoen1953-no

está del todo claro como adquirió la acepción pertinente a “aleatorio” usada hoy en día

(REBOLLEDO,5)



36

estadodelsistemaenuntiempodeterminadoesvariable,ysuvariabilidadsedebea

mecanismosaleatorios, 2) lavariable aleatoriadel estadodelsistema esunafunción

que depende del tiempo y en consecuencia, su distribución está determinada por el

instantedetiempoqueseconsidere,3)siseconsideranlosestadosdeunsistemaen

distintos instantes de tiempo conjuntamente, se puede conceptuar un proceso

estocásticocomounvectoraleatorion-dimensional.Resumiendo:

Definición(Procesoestocástico)–Unproceso estocásticoesunasucesiónoconjuntode

variables aleatorias ( ){ }T t t X ∈, definidas sobre un espacio de probabilidad común

(Ω,ℑ,P).

Enestadefinición,t eselparámetrode tiempo,elcuáltomavaloresenunconjuntoT

denominado conjunto índice. Según seaT un conjunto numerable o no, el proceso

estocásticoserá deparámetro discreto o continuo, respectivamente. Usualmente, el

valor ínfimo de T es 0, pues se analizarán los procesos estocásticos a partir de un

instantedetiempo0.Losprocesosestocásticosdeparámetrodiscretosedenotanpor

{ }…,,,, 210=i X i . Lasvariablesaleatorias ( )t X tomanvalores enunespaciomedible

llamadoespacio de estados(state-space eningles).Sisetieneunprocesoestocástico

ysefijaalgún Ω∈ω ,lafunción ( )ω t X t → sellamatrayectoriadelprocesoestocástico

X.Paraaclararunpocoestosconceptos,considéreseelsiguienteejemplo:secuentael

númerodepersonasqueentranaunbancoentrelas9y10am.Definimoselconjunto

índicecomoelconjuntodetodoslosposiblesinstantesdetiempoentrelas9y10am-el

procesoestocásticoesporlotantodeparámetrocontinuo.Considerandoqueestamos

interesadosenlacantidaddepersonasquehanentradoencierto instantedetiempo,

definiríamos elespacio deestados como elconjunto de todos losvalores enteros no

negativos. Por último,si consideramosunarealizacióndelprocesoestocástico antes

descritoparaundíaespecifico,digamosel29deagostodeesteaño, tendríamosuna

trayectoriadelproceso.

Dadounconjunto finito de n índices en T { }n t t ,,…1

, ( ) ( )( )n t X t X ,,…1

es un vector

aleatorio n-dimensional que genera la función de distribución enn R dada a

continuación:



37

( ) ( ) ( ){ }n n n t t x t X x t X P x x F n

≤≤= ,,,,,, ……… 1111

Tales funciones dedistribución se conocen como las funciones dedistribución finito-

dimensionales del proceso estocástico y generalmente, un proceso estocástico se

determinaconociendotodassusfuncionesdedistribuciónfinitodimensionales,aunque

esto no es siempre cierto, como se evidencia en el siguiente contraejemplo- Sea

[ ]10,=Ω y P la distribución uniforme en [0,1], de modo que el experimento básico

consisteenescogerunnúmeroalazaren[0,1].Sobreesteespaciodeprobabilidades

sedefinendosprocesos:

a. ( ){ }],[, 10∈t t X definidopor ( ) 0=ω ,t X paratodot,ω.

b. ( ){ }],[, 10∈t t Y definidopor ( )

⎩

⎨⎧

=

≠=

ω

ω ω

t si

t si t X

1

0,

Y(t)sepuedeconsiderarcomounprocesoquedaunsaltodiscontinuoenuninstantede

tiempoaleatoriomarcandolaocurrenciadealgúneventoeneseinstante,talcomopor

ejemplounaexplosión.SepuedeverintuitivamentequeambosprocesosXeYtienen

las mismas funciones de distribución finito dimensionales y sin embargo, no son el

mismoproceso.

Enlapráctica,esmuydifícil,sinoimposible,obtenerlasfuncionesfinito-dimensionales

paratodoconjuntodeíndices { }n t t ,,…1 ytodon ,porlocualsedefinenlasfuncionesde

distribucióndeprimerysegundoorden.La función de distribución de primer ordense

correspondealadistribucióndelavariablealeatoriaenuntiempodeterminado:

( ) ( ){ }0000

x t X P x F t ≤=

Siestamosinteresadosenrelacionarelcomportamientodeunprocesoestocásticoen

dosinstantesdetiempoutilizamosla función de distribución de segundo orden:

( ) ( ) ( ){ }22112121

x t X x t X P x x F t t ≤≤= ,,,



38

2.2. Probabilidad y esperanza condicional. Definiciones y propiedades.

Las nociones de probabilidad y esperanza condicional juegan un papel importante

dentro del estudio de los procesos estocásticos. Seguramente el lector esta

familiarizado con las nociones de probabilidad condicional relativas a eventos y dealgunosresultadosconsecuentescomoelteoremadelaprobabilidadtotalyelteorema

deBayes-estasnocionesgeneralmenteseexponenenlasprimeraspartesdecualquier

curso elemental de probabilidades. Repasando, la probabilidad condicionalde que

ocurrauneventoAconociendolaocurrenciadeuneventoBes:

( ) ( )( )B P

B AP B AP

∩= ,lacualtienesentidosilaprobabilidaddeBesno-nula.

EstanociónsepuedeextenderalcondicionamientodeunavariableYporotravariable

XsiXeYsondiscretas.

( ) ( )( )

( )( )m X

n m Y X

m

m n m n

x p

y x p

x X P

x X y Y P x X y Y P

,,==

=====

∩, [2.1]

donde Y X p , eslafuncióndeprobabilidadconjuntadelparaleatorio ( )Y X , .Lavariable

aleatoriadiscretaquetiene talfuncióndeprobabilidadsedenotapor m x X Y = .Se

recalca que m x X Y = es una variable aleatoria que asume valores n y con lasprobabilidadescondicionalesindicadasarriba.Además,si XeY son independientes,

m x X Y = eY tienenlamismadistribución.Siendo m x X Y = unavariablealeatoria,

tienesuesperanzamatemáticaasociada,quees:

[ ] ( )∑ ==⋅==y sobre

m m x X y Y P y x X Y E ,queestádefinidapara ( )m X x p nonulo.

A medida que m x varia a través del espacio de probabilidad inducido por X , la

esperanzaanteriorasumelosvalorescorrespondientesporlocualsepuedeconsiderar

laestacomounafuncióndependientedelasinstanciasparticularesdeX:

( ) [ ] ( )∑ ==⋅===y sobre

X y Y P y X Y E f α α α [2.2]



39

La expresión 2.2 se lee “esperanzacondicional deY dado queX valeα”. Como α

representalosposiblesvaloresquetomalavariablealeatoriaX,setieneque ( )X f es

una variable aleatoria también. ( )X f , mejor denotada por [ ]X Y E , es de hecho la

esperanza condicional de la variable aleatoria Y condicionada por X.Seenfatizaque[ ]X Y E esunavariablealeatoria, locual lepuedeparecer aprimeravistaextrañoal

lector si está acostumbrado a considerar el valor esperado como una característica

numéricadeladistribución.Noobstante,paraqueestadefiniciónnosseadeutilidaden

elestudiodelosprocesosestocásticos,debemosdegeneralizarlaaúnmás:

Definición (Esperanza condicional de Y dadas n X X ,, …1

): Sean n X X ,, …1

variablesaleatoriasquetomanvaloresenunconjuntoEyseaYotravariablealeatoria.

LaesperanzacondicionaldeYdadalasucesión n X X ,, …1

es:

[ ] ( )n n X X f X X Y E ,,,, ……11

= ,

dondef estadefinidaparacualquiervector n α α ,, …1

,con E i ∈α por

( ) [ ] ( )∑ ===⋅====y sobre

n n n n n X X y Y P y X X Y E f α α α α α α ,,,,,, ………11111

Esta definición de esperanza condicional se puede extender al caso de

condicionamiento por variables aleatorias continuas si consideramos la función de

densidaddeprobabilidadcondicionalenvezdelafuncióndeprobabilidaddadaenla

ecuación2.1.Enefecto

( )( )

( )n X X

n Y X X

n X X Y x x f

y x x f x x y f

n

n

n ,,

,,,,,

,

,,,

, …

……

…

…

…1

1

1

1

1

1= [2.3]

La consecuente redefinición de la esperanza condicional para el caso de las

n X X ,, …1

continuasesdadaapartirde:

( ) [ ] ( )dy y f y X X Y E g y sobre

n n n n ∫ ⋅==== α α α α α α ,.,,,,, ………1111

[2.4]



40

La esperanza condicional comparte muchas de las propiedades de la esperanza

matemáticaquesetrataenloscursoselementalesdeprobabilidad,talescomo:

Propiedad 1:

[ ] [ ] [ ]m n n m m n n X X Y E c X X Y E c X X Y c Y c E ,,,,,, …………… 1111111 ++=++

Propiedad 2: SiYpuedeescribirsecomofunciónde n X X ,, …

1,esdecir ( )n X X f Y ,, …

1= ,

entonces [ ] Y X X Y E n =,, …1

Propiedad 3: Como [ ]n X X Y E ,, …

1 es una variable aleatoria, esta tiene esperanza y es

[ ][ ] [ ]Y E X X Y E E n =,, …1

Propiedad 4: Para 1≥m n , setiene [ ][ ] [ ]n n m n X X Y E X X X X Y E E ,,,,,, ………

111=+

Propiedad 5: Sean n X X ,, …

1y m Y Y ,, …

1dosconjuntosdevariablesaleatoriastalesquesi

seconocelosvaloresdeunosepuededeterminarlosvaloresdelotro,entonces,

paracualquierYsetiene [ ] [ ]m n Y Y Y E X X Y E ,,,, ……11

= .

Propiedad 6:

SiXeYsonindependientes,entonces [ ] [ ]X E Y X E = y [ ] [ ]Y E X Y E = ,casi

siempre.

Los conceptos de probabilidad y esperanza condicional son imprescindibles para

caracterizarlosdiversostiposdeprocesosaleatorios-esatravésdelasprobabilidades

y la esperanza condicional que se definen las relaciones de dependencia (o de

independencia) entre los estados de un proceso aleatorio en distintos instantes de

tiempo.Además,laesperanzacondicionalylasprobabilidadescondicionalespermiten

abordarproblemascomoelqueseenunciaacontinuación:



41

El Ladrón de Bagdad

El Ladrón de Bagdad se encuentra en un calabozo con

trespuertas.Unadelaspuertasconduceauntúnelque

luego de un día de camino regresa al mismo punto de

partida.Otradelaspuertasconduceauntúnelsimilaral

anterior cuya travesía toma tres días. La tercera puerta

conducea la libertad. Asumiendoque elLadrón escoge

cualquieradelastrespuertasconigualprobabilidadyque

cadavezqueescogeunapuertaselehaolvidadoquehay

detrás de cada puerta, encuentre la cantidad de días en promedio que el Ladrón

pasaráencerradoenelcalabozodesdeelmomentoenqueprimeroescogeentrelas

trespuertashastaquehayaescogidolapuertaquelollevaalalibertad.

CadavezqueelLadróndeBagdadescogeunadelastrespuertasconstituyeunensayo

de Bernoulli con 1/3 probabilidad deéxito, entendiendo por éxitoabrir la puertaque

conduce a la libertad. Unprimer abordaje del problemanosmotiva a considerar el

númerodeensayosNquerealizaelladrónantesdeconseguirsulibertad,locualsería

unavariablealeatoriageométricamentedistribuida.PeroaclarandoqueNrepresentael

númerodeensayosfallidosantesdeescoger lapuertahacia lalibertad,por locualsu

funcióndeprobabilidadysuvaloresperadosonlosquesedanacontinuación:

( ) …,,, 210== n para pq n p n N

[ ]

( ) 3

2

3

12

1

1

1

1

2

0

1

1 1

1

0

====−

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∂

∂⋅===== ∑∑ ∑∑

∞

=

−∞

=

∞

=

−∞

=

q p que ya p

q

q pq

q q pq nq pq nq pq nq p npq N E

n

n

n n

n n

n

n

,,

La variablegeométricadifiere un poco de la indicadaen la tabla 1.1 porque en este

contexto, la variable aleatoria de interés es el número de ensayos fallidos antes de

conseguirelprimeréxito.Encambioenlatabla1.1,seplantealavariablegeométrica

como el número total de ensayos efectuados hasta conseguir el primer éxito. En

aquellos ensayos fallidos, el ladrón escoge una puerta que adiciona 1 día de



42

permanencia enelcalabozouotra puertaque adiciona 3días depermanencia enel

calabozo.Porlotantolavariabledeinteréses

N N X X S ++= …1

Donde N es la variable aleatoria geométricamente distribuida que se mencionó

anteriormente y los i X son cada uno variables aleatorias independientes de tipo

Bernoullicon

{ } { }2

131 ==== i i X P X P

Entérminosdeesperanzascondicionales,estamosinteresadosenencontrar

[ ][ ] [ ][ ]N X X E E N S E E N N ++= …1

Habida cuenta que [ ]N S E N es una variable aleatoria, que los i X son variables

aleatoriasindependientesconigualesperanzayqueasuvezsonindependientesdeN ,

setieneque:

[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] 4222

13

2

11

1=⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅⋅=⋅=++=p

q X E N E N X X E E N S E E i N N …

Lacantidadesperadadedíasque elLadrón deBagdadpermanecerá enelcalabozo

antesdesalir libreesdecuatrodías. Veamossi lasimulaciónconfirma el resultado

halladoanalíticamente:

#Simulación del problema del Ladrón de Bagdad

#Problema discutido en el aparte 2.2 del texto

#Autor: José L. Romero P. Fecha: 23/08/2007

N <- 100000

#el siguiente código genera un vector de tamaño N

#de la cantidad de días que el ladrón pasa en la cueva

#por simulaciónx <- NULL

for (i in 1:N) {

total.dias <- 0

dia.i <- sample(c(0,1,3),1,replace=TRUE)

while (dia.i!=0) {

total.dias <- total.dias+dia.i

dia.i <- sample(c(0,1,3),1,replace=TRUE)

}

x<-c(x,total.dias)

}



43

#el siguiente código es equivalente al anterior, observando que

#la cantidad de ensayos de puertas es una variable aleatoria

#geométrica con probabilidad de exito igual a 1/3. La cantidad

#de diás que se adicionan en cada ensayo no exitoso en 1 o 3, con

#igual probabilidad para ambos valores.

x <- NULL

for (i in 1:N) {

x<-c(x,sum(sample(c(1,3),rgeom(1,p=1/3),replace=TRUE)))}

cat("Cantidad esperada de días en el calabozo: ",mean(x))

Cantidad esperada de días en el calabozo: 4.012

2.3. Caracterización de los procesos aleatorios: valor medio y núcleo decovarianza.

Para caracterizar completamente un proceso estocástico se requiere conocer sus

funcionesdedistribuciónfinito-dimensionales.Sinembargo,existencaracterísticasde

losprocesosaleatoriosque resumen,por lomenosparcialmente,sucomportamiento.

Enelcasode lavariablealeatoriaqueestudiamosenloscursosdeprobabilidades,la

esperanza y la varianza juegan este papel. De forma análoga, para los procesos

estocásticossetienelafuncióndevalormedioyelnúcleodecovarianza.

Definición (Función de valor medio): Sea ( ){ }T t t X ∈, un proceso estocástico. Su

funcióndevalormediosedenotapor ( )t m X ysedefinepor:

( ) ( )[ ] ( )( )dx x xf t X E t m t X X ∫ Ω

==

donde ( )( )x f t X eslafuncióndedensidaddeprimerordendelproceso.Esdenotarque

( )t m X esunafuncióndeterminista,dependientealosumodelinstantedetiempot.

Definición (Núcleo de covarianza): Sea ( ){ }T t t X ∈, un proceso estocástico con

segundo momento finito. Su núcleo de covarianza, denotado por ( )t s K , , se define

como:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]t m t X s m s X E t X s X Cov t s K X X −−== ,,



44

Muchosprocesossurgencomofuncióndeunnúmerofinitodevariablesaleatorias.Por

ejemplo, supóngaseque ( )t X representa laposición deuna partículaenmovimiento

rectilíneo no acelerado con velocidad constante. ( )t X se define en función de una

posicióninicial0

X yunavelocidadV delasiguienteforma

( ) t V X t X ⋅+=0

Si0

X y V son variables aleatorias, ( )t X esen efecto un procesoestocástico.Su

funcióndevalormedioysunúcleodecovarianzasecalculanacontinuación:

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]V E t X E t V X E t X E t m X ⋅+=⋅+==00

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ][ ]( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )[ ][ ] ( ) [ ] [ ]V V st V X Cov t s X V

V E V st V E V X E X t s X E X E

V tE X E tV X V sE X E sV X E

t m t X s m s X E t X s X Cov t s K X X

⋅+++=

−+−−⋅++−=

−−+−−+=

−−==

,

,,

00

2

00

2

00

0000

Observamosqueparacalcularlafuncióndevalormedioyelnúcleodecovarianzanose

requiereconocer la leydeprobabilidad conjunta de0

X yV –basta con conocerlos

valoresesperados,lasvarianzasylacovarianzade0

X yV .Medianteesteejemplo

tomadodelafísicaseaclaranaúnmáslasideasexpuestashastaahora.Latrayectoria

delprocesoaleatorioseríaeldesplazamientodeunapartícula ω determinada(sugráfica

demovimiento). Tanto la trayectoria como la funciónde valor medio y elnúcleo de

covarianzasoncaracterísticasdeterministas delproceso estocástico enelsentido en

quesolodependendelosinstantesdetiempoconsiderados.



45

2.4. Incrementos independientes y estacionarios. Procesos estacionarios

Frecuentemente, es más natural describir un proceso estocástico a través de una

caracterizacióndecómoesteevolucionaeneltiempo,pueslosincrementos,ocambios

de estado de un proceso generalmente poseen propiedades más sencillas que lasvariablesmismasdelasecuenciaaleatoria.Primerodebemosdefinirquéentendemos

por“incremento”:

Definición (Incremento): Dado un proceso aleatorio ( ){ }T t t X ∈, , un incremento

representalaevoluciónocambiodeestadodeunprocesoenunlapsodetiempo,lo

cualseexpresamatemáticamentepor

( ) ( )t X t t X −Δ+ para T t t ∈Δ,

Paraunprocesodeparámetrodiscreto, incremento serefiereacomocambiaelproceso

enunpasodetiempo( 1=Δt ),siendom-incremento elcambiodelprocesoenmpasos

detiempo.

Consideremosunprocesoestocástico ( ){ }T t t X ∈, detiempocontinuoyunacolección

deparámetros enT linealmente ordenados, n t t ,,…1

, quesatisface n t t << …1

.Se

diceque ( )t X esunprocesoconincrementos independientessilasvariablesaleatorias

( ) ( ) ,, …12 t X t X − ( ) ( )1−− n n t X t X sonindependientes.

Algunosautoresdefinenlosincrementosindependientesconcondicionesmásfuertes:

Sielconjuntodeparámetrostemporalestieneunmínimo0

t ,tambiéndebemossuponer

la independencia de ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1010 −−− n n t X t X t X t X t X ,,, … en un proceso con

incrementos independientes. Usualmente se define 00

=t porqueel instante cuando

comenzamos a observar el proceso aleatorio es el instante cero. Incluso por

convención,seasumeque ( ) 00 =t X ,yaqueenelinstanteceronohasucedidonada

(elestadoinicialdeunprocesoaleatorioenel instanteceroesceroy losincrementos

sucesivos determinan cuán lejos se desvía el proceso aleatorio con respecto a ese

cero).



46

Definiendolosincrementoscomounasucesióndevariablesaleatoriasindependientes

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1100

≥−== − i para t X t X t Y t X t Y i i i , , se hace evidente (por lo menos

intuitivamente)quesiconocemoslasdistribucionesde ( ) ( ) ( )n t Y t Y t Y ,,, …10

podemos

determinar ladistribución conjunta de ( ) ( ) ( )n t X t X t X ,,, …10 . Estosepuede verificar

mediante la función característica conjunta y la propiedad de independencia de los

incrementos.Porunaparte,segúnestoúltimo:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )n t Y t Y n t Y t Y u u u u n n

ϕ ϕ ϕ ⋅⋅= …… 00 00,,,, [2.5]

Porotraparte,setiene[2.6]:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )n n n t X t X

n n n n n

n n n

n t Y t Y

u u u u u

t X u t X u u t X u u t X u u i E

t X t X u t X t X u t X u i E

u u

n

n

,,,

exp

exp

,,

,,

,,

−−

=+−++−+−

=−++−+

=

−

−−−

−

110

111121010

101100

0

0

0

…

…

ϕ

ϕ

Mediante la siguiente transformación de losparámetrosde la función característica :

n n n n n u z u u z u u z =−=−= −− ,,,11100

…

oequivalentemente

n n n n z u z z z u z z z u =+++=++= ,,, ………211100

Podemoscombinarlasecuaciones2.5y2.6enunasola:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )n t X t X n t X t X n t X

n t X t X

z z z z z z

z z

n n

n

1010

0

110

0

−−− ⋅⋅++⋅++

=

ϕ ϕ ϕ

ϕ

………

… ,,,, [2.7]

Esto implicaque enefecto, la leydeprobabilidadconjunta de la secuencia aleatoria

( ){ }T t t X ∈, se determina a partir de las leyes de probabilidad de los incrementos

respectivos.

Otroconceptodeimportanciaparalaclasificacióndelosprocesosestocásticoseselde

incrementosestacionariosyeldelaestacionariedad.Básicamente,laestacionariedad

de un fenómenoaleatorio serefiere a queel mecanismoque lo produce permanece

invarianteeneltiempo.Unprocesoesdeincrementos estacionariossiladistribución

deprobabilidaddelosincrementos ( ) ( )11

t X h t X −+ y ( ) ( )22

t X h t X −+ esigualpara



47

valorespositivoscualesquieradet 1 ,t 2 yh .Deestadefiniciónsepuedecolegirquela

distribucióndelosincrementosestacionariossolodependedelaamplituddelintervalo

detiempoh.Laideadeestacionariedadsepuedeextenderalasecuenciadevariables

aleatoriasqueconformanelprocesoestocásticoensí.Sea T unconjuntodeíndicesde

linealmenteordenados tal que lasumadedosmiembroscualesquieradeT también

perteneceaT yconsideremosunprocesoestocástico ( ){ }T t t X ∈, definidosobreese

conjuntodeíndicestemporales.Sediceque ( ){ }T t t X ∈, esunproceso estrictamente

estacionario de orden nsiladistribuciónconjuntadeunpardevectoresaleatoriosde

dimensiónnarbitraria ( ) ( ) ( )( )n t X t X t X ,,, …21

y ( ) ( ) ( )( )h t X h t X h t X n +++ ,,, …21

esla

misma para todo n t t t ,,, …21

y h en T . Un proceso estocástico es estrictamente

estacionario si es estrictamente estacionario deorden n para todoentero positivo n.

Esta condición plantea que un proceso estrictamente estacionario está en equilibrio

probabilísticoyque losinstantesparticularesenloscualesseobservanelprocesono

tienenrelevancia.Enparticular,ladistribucióndeX(t) eslamismaparatodot.

Unproceso ( ){ }T t t X ∈, esdébilmente estacionariooestacionarioenelsentidoamplio

sitienemomentosfinitosdesegundoorden,si ( ) m t m X = esconstanteparatodotysi

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ]2

m h t X t X E

h t X E t X E h t X t X E h t X t X Cov

−+

=+−+=+,

Dependesolodehparatodot.

Todo proceso estrictamente estacionario es también débilmenteestacionario pero lo

contrarionoescierto.



48

2.5. Algunos tipos de procesos aleatorios: caminata aleatoria, martingalas,procesos de Markov, procesos de Poisson, procesos de Wiener

Con esta terminología, se está en condiciones de definir algunos tipos de procesos

estocásticos.Elprimertipodeprocesoquevamosadefiniresel ruido blanco:

Un proceso estocástico de parámetro discreto constituido por una secuencia de

variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas Z 0,Z 1, … , Z n , … se

conoce como ruido blanco. Si adicionalmente [ ] 0=i Z E , el proceso estocástico se

denominaruidoblancoconmediacero.Elprocesoesruidoblancosimétricosiademás,

ladistribucióndelosZ i ,essimétrica,comoporejemplolauniforme,lanormalolat-

Student.

SienbaseaunprocesoderuidoblancoZ 0,Z 1,…,Z n ,…definimoselsiguienteproceso:

∑=

+=n

i i n Z S S

1

0

con alguna condición inicial00

s S = o si S 0 tiene alguna distribución especifica, el

proceso correspondiente { }…,,,, 210=t S t es una caminata aleatoria. Los Z i se

denominanlospasosoincrementosdelacaminataaleatoria;paraque{ }…,,,, 210=t S t

seaefectivamenteunacaminataaleatoria,{ }…,,, 21=t Z t debeserunprocesoderuido

blanco.Estetipodeprocesossediscutiráconmásdetalleenelpróximocapitulo.

Unprocesodeparámetrodiscreto{ }…,,,, 210=t X t esunamartingalasisatisfacelas

siguientesdospropiedades:

i. [ ] ∞<n X E

ii. [ ] n n n X X X X X E =+ ,,, …101

Laprimeradeestascondicionesesmásbienparafacilitarunpocolasmatemáticasen

elmanejodelasmartingalasylasegundasiresumeenesencialoqueeslamartingala-

estableceque el valoresperadodel próximo estado futurodel proceso dado toda su

historiapasadaessimplementeelestadoactualdelproceso.Enelcontextodeljuego

deapuestas,elprocesodemartingalasedenominaaveces“juegojusto”,yaquesirve

para modelar la riqueza de un jugador en el tiempo cuando la ganancia o perdida

esperadaencadaturnoescero.Enrealidad,eltérmino“martingala”provienedelun



49

nombre francés que aludía a una estrategia de juego consistente en duplicar las

apuestashastaganarconseguridad 8.

Un proceso de Markov ( ){ }T t t X ∈, es aquel cuyos estado futuro solo depende del

estadopresenteynodel pasado. LosprocesosdeMarkovverifican lapropiedad de

Markov,queestableceque

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }n n n n n n a t X At X P a t X a t X At X P =∈===∈ ++ 1001,, … .

EnlosprocesosdeMarkov,elestadoactualdelprocesoincorporatodalainformación

quenecesitamosparaestimarelestadofuturoylaprobabilidaddeuncomportamiento

futuro no se altera si incorporamos información sobre el pasado del proceso. Un

procesodeMarkovconespaciodeestadofinitoonumerablesedenominacadenade

Markov,queseestudiaráposteriormenteenestecurso.

Antes de definir el proceso de Poisson, es preciso definir lo que es un proceso de

conteo(ocountingprocess en inglés),delcualelprocesodePoissonesunainstancia

particular.Unprocesodeconteo ( ){ }T t t N ∈, esaquelcuyoespaciodeestadosesel

conjunto denúmerosnaturalesy conél sepretendemodelar la cantidaddeeventos

discretosquehanocurridoenuntiempot.Seenuncia,pues,lasiguientedefinición:

Definición(ProcesodePoissonhomogéneo):Unprocesodeconteo ( ){ }0≥t t N , esun

procesodePoissoncontasamediaconstante(ointensidad) λsicumplelascondicionesacontinuación:

i. ( ){ }0≥t t N , tieneincrementosestacionarioseindependientes.

ii. Para dos instantes de tiempo s y t tales que t s < , la cuenta de eventos

( ) ( )s N t N − acaecidosenelintervalodetiempo ( )t s , esdistribuidasegúnlaley

dePoissonconmedia ( )s t −λ .Asaber:

( ) ( ){ } ( ) ( )( )

!k

s t e k s N t N P

k s t −

==− −− λ λ

ExistenconjuntosalternativosdesuposicionesqueconllevanalprocesodePoisson.No

obstante, las condiciones que dan origen a un procesode Poisson se verifican con

8QUIDEL,p.440



50

muchafrecuencia-deahílaenormeimportanciadelosprocesosdePoisson.Ejemplos

de procesos de Poisson son: fallas de componentes eléctricos, decaimiento de

partículasradioactivas,llamadasrecibidasenunacentraltelefónica,etc.

Porúltimo,mencionamoselprocesodeWiener,nombradoenhonoraN.Wiener,quien

fue entre los primeros en considerar matemáticamente el fenómeno del movimiento

Browniano. El movimiento Browniano consiste en lo siguiente: una partícula que

inicialmenteseencuentraendeterminadaposición(pordefiniciónseasume ( ) 00 =X )

essometidaainnumerablesycontinuosimpactosensuentorno,graciasalocualestá

enconstanteyperpetuomovimiento.Eldesplazamientodelapartículaenunintervalo

de tiempo ( )t s , , elcual esamplio comparado con el tiempomedio entre impactos,

puede ser considerado como la suma deun número indeterminadamente grande de

pequeños desplazamientos, por lo cual parece razonable suponer, en virtud del

TeoremaCentraldelLímite,que ( ) ( )s X t X − esnormalmentedistribuido.Másaún,es

razonablesuponerque losdesplazamientosendosintervalosdetiempode lamisma

longitudsonidénticamentedistribuidos,yaquesesuponequeelentornodelapartícula

esta en equilibrio. El hecho de que el desplazamiento de la partícula se deba a

impactosmuyfrecuenteseirregularessetraducematemáticamenteestableciendoque

losdesplazamientosenlapsosdetiemponocoincidentessonindependientesentresí,

ya que el número y la magnitud de los impactos en cada intervalo de tiempo es

independiente del otro intervalo. En consecuencia, los incrementos del proceso de

MovimientoBrownianoson independientes yestacionarios. Resumiendo, tenemos la

siguientedefiniciónparaelprocesodeWiener:

Definición (proceso de Wiener): Un proceso estocástico de parámetro continuo

( ){ }0≥t t X , esunprocesodeWienersi:

i. ( ){ }0≥t t X , tieneincrementosestacionarioseindependientes.

ii. Paracadat>0, ( )t X esnormalmentedistribuido.

iii. Paracadat>0, ( )[ ] 0=t X E .

iv. ( ) 00 =X



51

Problemas Resueltos

1) DemostrarquesiX eY sonvariablesaleatoriasdiscretaseindependientestales

que ( )pm,Binomial~X e ( )pn,Binomial~Y ,entonces

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

++=+

mnn ,sm,ntricaHipergeomé~sY X X

Solución:

La suma X+Y de dos variables aleatorias binomiales e independientes es una

variablealeatoriabinomial:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n m iu n iu m iu Y X Y X pe q pe q pe q u u u

++ +=++=⋅= ϕ ϕ ϕ

Específicamente, ( )pn,mBinomial~ ++Y X . Por lo tanto, la probabilidad

condicional { }s=+= Y X x X P es:

{ } { }{ }

{ }{ }

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

=+−==

==+

=+===+=

−+

+−−−

s

n m

x s

m

x

n

q p s

n m

q p x s

m q p

x

n

s Y X P

x s Y x X P

s Y X P

s Y X x X P Y X x X P

s m n s

x s m x s x n x

,,s

para s x ,,, …10= y n m s += ,,, …10 .Seevidenciaentoncesque

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+=+mn

n ,sm,ntricaHipergeomé~sY X X

2) Sea ( ){ }0≥t t X , unprocesoaleatorioconincrementosindependientesyfunción

devalormedio ( ) ( )[ ]t X E t m X = finita.Si11

0 +<<<< n n t t t … ,demuestrarque

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )n X n X n n n t m t m t X t X t X t X E −+= ++ 111,,…

Solución:

Paraesteproblemaseutilizaránlasseispropiedadesdelaesperanzacondicional

(versección2.2)ylaindependenciadelosincrementos.



52

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−+

=−+

=

+

+

+

n n n n n

n n n n

n n

t X t X t X t X E t X t X t X E

t X t X t X t X t X E

t X t X t X E

,,,,

,,

,,

……

…

…

111

11

11

(propiedad1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−+ + n n n n t X t X t X t X E t X ,,…11 (propiedad2)

( ) ( ) ( )[ ] =−+ + n n n t X t X E t X 1

(porindependenciadelosincrementosyporlaspropiedades5y6)

( ) ( ) ( )n X n X n t m t m t X −+ +1

3) Sea { }…,,, 21=n X n una sucesión de variables aleatorias independientes con

valormedio [ ] 0=n X E paratodon.Sedefinelasucesión { }…,,, 21=n S n como

∑=

=n

i i n X S

1

Demuestraque{ }…,,, 21=n S n esunamartingala.

Solución:

Sepretendedemostrarque [ ] n n n n a a S s S a S S E ====+ ,,, …22111

.Teniendo

en cuenta la independencia de la sucesión { }…,,, 21=n X n y que

11 ++ += n n n X S S ,sepuedeescribir:

[ ][ ][ ] [ ]====+===

====+

====

+

+

+

n n n n n n

n n n n

n n n

a S s S a S X E a S s S a S S E

a S s S a S X S E

a S s S a S S E

,,,,,,

,,,

,,,

……

…

…

221112211

22111

22111

(porlapropiedad1delaesperanzacondicional)

[ ] =+ +1n n X E a

(lasucesiónS nesdeterminadaporlasucesión X nyporlaindependenciadelos

X n,sepuedeaplicarlapropiedad6)

n n a a =+ 0

(yaque [ ] 0=n X E paratodon)



53


1) SupóngasequepedidosdecantidadesvariablesN deartículosarribandiariamente

aunalmacénsegúnlasiguientedistribucióndeprobabilidades:

n: 10 11 12 13 14 15

P(N=n): 0.05 0.15 0.30 0.30 0.15 0.05

La probabilidad de que un artículo en particular sea defectuoso es de 0.10,

independientementedelapresenciadedefectosenlosotrosartículos.Calculael

valoresperadodeartículosXqueserecibenenundía.

2) Demuestra que si X e Y son variables aleatorias discretas e independientes

distribuidas según la leydePoissonconparámetros1λ y

2λ respectivamente,

entonces

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=+

21

1

λ λ

λ ,~ s Binomial s Y X X

3) Demuestra que si ( )λ Poisson X ~ y si ( )p x Binomial x X Y ,~= , entonces

( )p Poisson Y λ ~ .

4) Demuestraquesi ( )p Geométrica X ~ ,entonces

{ } { }n X P m X n m X P ==>+=

Estoconfirmaríalapropiedadde“faltadememoria”deladistribucióngeométrica:

lainformaciónquenohuboéxitosenmpruebas(X>m)esolvidadasiserealizan

máspruebas(X=m+n).

5) Considéreseelprocesoaleatorio ( ) B At t X += dondeA esunavariablealeatoria

quetomalosvalores3y4conprobabilidades 41 y 43 ,respectivamenteyB es

unavariablealeatoriaconfuncióndeprobabilidad { } { } 2121 ==== B P B P .Ay

Bsonvariablesaleatoriasindependientes.Obténlafuncióndevalormedioyel

núcleodecovarianzadelprocesoaleatorio.



54

6) Sea ( ) B At t X += un proceso aleatorio para el cual A y B son variables

aleatorias independientes, de esperanza cero y2222

B A B E AE σ σ == , . ¿Es

( ){ }t X unprocesoestacionario?

7) Considera el proceso ( ) t Bsen t At X ω ω += cos donde [ ]10,∈ω , A y B son

variablesaleatoriasnocorrelacionadas,deesperanza0yvarianza1.Demuestra

queesteprocesoesdébilmenteestacionario.

8) Demuestraque losincrementosdeunacaminataaleatoriason independientesy

estacionarios.

9) Sea 00

=S y n n X X S ++= 1

, donde …,,21

X X son variables aleatorias

independientes con esperanza 0 y varianza2σ (caminata aleatoria simétrica).

Calculalafuncióndevalormedioyelnúcleodecovarianzasdelproceso { }n S .

10) Sea { }N n Z n ∈, un proceso de ruido blanco con ( )21,Normal~ == σ μ n Z .

Encuentralassiguientesprobabilidades:

a) { }5>i

Z P

b) { }53 <<− i Z P

c) { }1=i Z P

11) Demuestra que el valor esperado de un incremento en una martingala es

necesariamenteigualacero.

12) (LacadenadeEhrenfest)Motivadoporproblemasrelacionadosconlamecánica

estadísticaT.Ehrenfestdescribióunexperimentocon2urnas,dentrodelascuales

estándistribuidasN moléculas.Encadapasodelexperimento,seescogealazar

unamolécula,estaesremovidadelaurnaenlacualseencuentrayescolocada

enlaotraurna.Así,siseescogeunamoléculadelaurna A, estaesremovidadeA

y colocada en B y viceversa. El estado del proceso está determinado por el



55

número de moléculas presentes en la urna A a cada paso del experimento.

Justificaqueelprocesoestocástico { }N n X n ∈, definidopor

X n = cantidad de moléculaspresentesenlaurnaA alinstanten, n ∈ N,

esunacadenadeMarkov.Darsuespaciodeestados.

13) Sea { }N n X n ∈, unproceso estocástico deparámetrodiscreto talque 10

=X ,

10 << p y [ ] t X t t t p X X X P =+=+ 1

1, [ ] t X

t t t p X X X P −==+ 11

.

Demuestraque{ }N n X n ∈, esunacadenadeMarkovperonounamartingala.

14) Demuestra que un proceso de ruido blanco con parámetro discreto no tiene

incrementosindependientes.

15) Determina las condiciones bajo las cuales un proceso de ruido blanco es una

martingala.

16) Determina las condiciones bajo las cuales una caminata aleatoria es una

martingala.

17) Lamartingala,comoestrategiadeapuestas,consisteendoblarlaapuestasiuno

pierde y retirarsedel juego cuando se gana. El jugador sigue esta estrategia:

apuestainicialmente1unidad,luego2,luego4yasícontinuadoblandosuapuesta

hastaquegane.Supóngasequeencadajugadatieneigualprobabilidaddeganar

operder.

a) Modelalagananciadeun jugadorqueempleeestaestrategiaplanteandoun

procesoestocásticoydefiniendosuespaciodeestados.

b) Demuestraqueeljugadorsiemprese retiradeljuegoconunagananciade1

unidadasufavorconprobabilidad1(ie.casisiempre)

c) Explica por que no se permite esta estrategia de apuestas en los casinos

modernos (i.e. el croupier se niega a recibir apuestas de aquellos que

aparentementepracticanestaestrategia)

18) EscribeunprogramaenRquesimuleyrepresenteunatrayectoriadeunproceso

demovimientoBrownianoendosdimensiones.



56

19) Consideraelprocesonodeterminista: ( ) 0101011

,, =−⋅= −− x x x r x n n n .Mediante

unprogramaenR,investigaelcomportamientoalalargadedichoproceso(para

valores den grandes)utilizandovalores para r de2,7 3 y 3,5 respectivamente.

Indicatushallazgosyanalizalasimplicacionesdelosmismos.(Esteejemplode

sistemacaóticosedebeaRobertMayensuestudiodecrecimientopoblacional)



57

Capitulo 3- Procesos estocásticos basados en elproceso de Bernoulli y caminatas aleatorias

3.1 El proceso de Bernoulli

ElprocesodeBernoulliesunprocesoestocásticodeparámetrodiscretocuyaestructura

es muy sencilla: en cada paso, se observa la ocurrencia o no ocurrencia de un

determinado evento cuya probabilidad se mantiene constante y el en cual cada

observación es independientede todas las observacionesanteriores. Elprocesode

Bernoulli es en efecto un proceso estocástico de tipo ruido blanco. Ejemplos de

procesosdeBernoullison:

a. Uninspectordecalidadverificasilosproductosdeunalíneadeensamblajeson

defectuososobservandounasecuenciadeproductos.Sieli-ésimoproductoes

defectuoso, registra 1=i X , de lo contrario anota 0=i X . Si los defectos se

deben a causas aleatorias de modo que la presencia de defectos en un

productoesindependientedelapresenciadedefectosenlosotrosproductos,y

si además, la proporción p deartículosdefectuosos se mantiene constante a

travésdetodaslasobservaciones, { }1≥i X i , esunprocesodeBernoulli.

b. Semontaunaalcabalapolicialenundeterminadopuntoyseparanatodoslos

conductoresqueporella transitanparaverificarsiportanarmas,conducenun

vehículo robado o presentan alguna otra irregularidad. Bajo condiciones

similares a las del ejemplo anterior, si la probabilidad de que un conductor

presente alguna irregularidad es constante e independiente entre los

conductoresquevantransitandoporlaalcabala,lasituacióndescritasepuede

modelaradecuadamentemedianteunprocesodeBernoulli.

Entodosestoscasos,lasvariablesconstituyentesdelprocesodeBernoullirepresentan

experimentosaleatorioscondosposiblesresultados-éxitoofracaso.Enunprocesode

Bernoulli, las variables aleatorias constituyentes son idénticamente distribuidas e

independientes entre sí. Este modelo estocástico básico da pié a otros tipos de

procesosestocásticosquesedescribiránacontinuación.



58

3.2 La cantidad de éxitos. Caminatas aleatorias basadas en procesos deBernoulli.

SienunprocesodeBernoulli { }1≥i X i , ,observamoslacantidaddeéxitosocurridosen

eln-ésimoensayoy losn-1ensayosanteriores,se defineunnuevoprocesoaleatorio

que es una caminata aleatoria, pues lo que sucede en cada observación se puede

modelarmediantelasecuenciaaleatoria { }1≥i S i , definidacomo:

∑=

=n

i i n X S

1

[3.1]

Fig. 3.1

En el capitulo anterior se sugirió que la caminata aleatoria es un proceso con

incrementos independientes y estacionarios (ver problema propuesto N° 7 de ese

capitulo). Este hecho tiene algunas implicaciones importantesqueseríaconveniente

resaltar:



59

[3.2] A partir de un instante n dado , lacantidadde éxitos quese registrenen los

próximosm ensayosdeunprocesodeBernoulli( n m n S S −+ )esindependiente

delacantidaddeéxitosregistradosenlosn-1 ensayosanteriores.

[3.3] Másaún,porser los incrementosestacionarios, laprobabilidaddeque en las

próximasm observacionessetengas éxitossolodependedem yesigualala

probabilidaddeque,observandodesdeelprincipio losm ensayos,setenga s

éxitos.Matemáticamente: { } { }s S P S S S s S S P m n n m n ===−+ ,,, …21

.

Podemoscalcularelvaloresperadoylavarianzade n S sinhaberdeterminadoaúnsu

distribucióndeprobabilidad,puesvaliéndonosdeladefiniciónde n S comounasumade

n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según la Ley de

Bernoulli:

[ ] [ ] ∑∑∑===

===⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

n

i

n

i i

n

i i n np p X E X E S E

111

[ ] [ ] q np pq X V X V S V n

i

n

i i

n

i i n ∑∑∑

===

===⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

111

El siguiente tema en nuestra ocupada agenda es determinar las respectivas

probabilidades { }s S P m = , es decir, la distribución de probabilidad de los { }1≥i S i , .

Existendiversasmanerasdededuciresto-lavíamásdirectaparanosotrosesrecurrira

nuestroextensoconocimientosobrelasfuncionescaracterísticas.Enefecto,comolos

{ }1≥i S i , sonesencialmentesumasdevariablesaleatoriasdetipoBernoullicon igual

parámetropymutuamenteindependientes,setieneque:

( ) ( ) ( ) ( )n iu n X X X X S pe q u u u

i n n +=== +++ ϕ ϕ ϕ …21

Esta función característicasecorrespondea lafunción característicade unaBinomial

conn ensayos.Conestodemostramoselsiguienteteorema:



60

Teorema 3.1: Si { }1≥i S i , es una caminata aleatoria basada en experimentos de

Bernoulli,ladistribucióndecada n S esbinomialysetieneque

{ } s n s n q p

s

n s S P −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ == ,para n s ≤≤0

Enlapráctica,lafórmuladelteorema3.1,enconjunciónconlasobservacioneshechas

enla3.2y3.3sondemuchautilidadparaelcálculodeprobabilidadesreferentesalos

estadosdeunacaminataaleatoriabasadaenelprocesodeBernoulli.Llegadosaeste

puntotesugieroquereviseslosproblemasresueltoscorrespondientes.

3.3. La cantidad de ensayos hasta r éxitos: más sobre las caminatas aleatoriasbasadas en procesos de Bernoulli.

Si en una sucesión { }1≥i X i , de variables aleatorias independientese idénticamente

distribuidas según la ley de Bernoulli (un proceso de Bernoulli) nos referimos a la

cantidad de ensayos hasta ocurrir r éxitos (r es fijo), tenemos otro procesoaleatorio

basado en un proceso de Bernoulli en el cual la secuencia de variables aleatorias

representa los instantes o ensayos en los cuales ocurren los éxitos sucesivos.

Intentemos esquematizar esto matemáticamente. Si por ejemplo tenemos una

trayectoriadeunprocesodeBernoullicomoesta: …,,,,, 1010054321

===== x x x x x ,

la trayectoria del proceso que estamos definiendo sería …,, 5321

== t t , porque el

primeréxitoocurreal tercerensayo y el segundo éxitoocurrealquinto ensayo. De

formageneral,si { }1≥i T i , eselprocesoqueestamosdefiniendo,entonces,enfunción

delasecuenciaaleatoria { }1≥k X k , , ( )ω i T seráigualalíndicekdeaquellasecuencia

dondeocurreeli-ésimoéxito.

¿Quépodemosdecirsobreelcomportamientodeestasecuenciaaleatoria?Enprimer

lugar,debeserunasecuenciaestrictamentecreciente,porquesieli-ésimoéxitoocurre

en el ensayo i T , el siguiente éxito necesariamente ocurre después y se tiene que

i i T T >+1paracualquieri.Demodointuitivo,constatamosquelosincrementosdeeste

proceso son independientes y estacionarios (esto se puede demostrar). El



61

razonamientodeelloesagrandesrasgoselsiguiente:elmecanismosubyacenteque

produce la secuencia 1≥ j T j , es el proceso de Bernoulli { }1≥i X i , , que es una

sucesión de variables independientes cuyo parámetro p es invariante en el tiempo.

Además,sielincremento ,n T T i i =−+1conn>0,esporquedespuésdel i T -ésimoéxito

ocurren n-1 fracasos sucesivos, luego de los cuales ocurre el1+i T -ésimo éxito. La

probabilidaddeelloes p q n 1− .Enotraspalabras,losincrementossedistribuyensegún

laleydeprobabilidadgeométrica.Tratemosdeesquematizarloenunciadohastaahora:

Teorema 3.2:Si 1≥ j T j , representaunprocesoestocásticoquecaracterizaelnúmero

de ensayos de Bernoulli hasta el j-ésimo éxito, entonces { }==−+ k k k T T n T T P ,,…11

{ } p q n T T P n k k

1

1

−+ ==−

Este teorema establece que los incrementos son estacionarios, ya que la anterior

probabilidadnodependedek.. Además, por lodichosobre la independenciade los

incrementossepuedeparafrasearenelsiguienteteorema,quesedasindemostración:

Teorema 3.3:Sea 1≥ j T j , unprocesoestocásticocomoenelteorema3.2,entonces,

para +∈ N k y k n ≥ ,setieneque

{ } { }⎩⎨⎧

<

≥==== −−++

n T si

n T si

p q T n T P T T T n T P

k

k T n k k k k k 11211

0,,, …

Estoademásdemuestraqueelprocesoestocástico 1≥ j T j , gozadelapropiedadde

Markov.Antesdeproceder,aclaremosdeunavezqueasumimosque 00

=T porque

conel0-ésimoéxitoocurreenel0-ésimoensayoconprobabilidaduno.Ahorasurgela

pregunta: ¿Cómo se distribuyen los 1≥ j T j , ? Si has leído atentamente esta

exposición,muyprobablementeyalohayasadivinado:



62

Teorema 3.4:Sea 1≥ j T j , unprocesoestocásticocomoenelteorema3.2,entonces,

setieneque { } k n k k q p

k

n n T P −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−==

1

1para …,, 1+= k k n

Este último teorema establece que cada k T en la secuencia aleatoria 1≥ j T j , se

distribuyesegúnlaleybinomialnegativa.Existenvariasformasdedemostraresto-la

másexpeditaparanosotrosestomarencuentaqueesteprocesoesdespuésde todo

una caminata aleatoria; cada variable k T es una sumatoria de k incrementos

independienteseidénticamentedistribuidos,esdecir:

( ) ( ) ( )01211

T T T T T T T k k k k k

−++−+−=−−−

…

Comodamosporhechoquelosincrementossedistribuyen todossegúnlamisma ley

geométrica,entonceslafuncióncaracterísticade k T es:

( )k

iu

iu

T qe

pe u

k ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

1ϕ

la cual corresponde a la función característicade la binomial negativa y por lo tanto

(véasetabla1.1delcapítulo1):

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

=−

k n

k n q p k

n

n p k n k

T k

0

1

1



63

3.5. La ruina del jugador

Consideremos un juego donde en cada apuesta, un jugador gana un BF con

probabilidadpypierdeunBFconprobabilidad1-p.Claramente,lafortunadeljugador

luegode n apuestas se puedemodelar mediante una caminata aleatoria { }N n F n ∈, ,

donde

∑=

=n

i i n X F

0

es la suma de n+1 variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas,

teniéndose que X X =0

es la fortuna inicial del jugador (antes deapostar) y los i X

sucesivossonlosincrementosenBFluegolarespectivaapuesta,cuyadistribuciónde

probabilidadvienedadapor:

{ } p X P i == 1 y { } q p X P i =−=−= 11

Supóngaseademásque el jugador,partiendodeuncapital inicialX, juegacontraun

adversario que dispone de un capital Y (el adversario puede ser la “casa” u otro

jugador),demodoqueencadapartida,sieljugadorgana1BF,eladversariopierdela

misma cantidad y vice-versa . Paracolocar las cosasmásen perspectiva, entre el

jugadorylacasa,siemprehayuncapitaltotalde Y X T += BF,porserlasumatoriade

lagananciadelosparticipantesigualacero(entérminosdelaTeoríadeJuegos,se

trata de un juegodesuma cero9

). Asumamos queeste juegode sumacero termina

cuando alguno de los participantes se arruina, lo cual ocurre cuando la fortuna del

jugadoralcanzalosT BF,encuyocasosearruinólacasa,olafortunadeljugadorllega

a0 BF,en cuyo caso se arruinóél. Losestados0yT de lafortuna del jugador se

denominanbarreras absorbentes,porqueunavezquelatrayectoriatocaalgunodeesos

estados,jamássaledeellos.

Unapreguntainteresanteentornoaestejuegoeslasiguiente:partiendodeuncapital

inicialdeX BF,¿cualeslaprobabilidaddequeeljugadorsearruine?Paraabordarestapregunta,comencemosporlasiguientedefinición:

9Losjuegosenlosquelosinteresesdelosjugadoressondiametralmenteopuestossellamande

sumacero.Eltérmino“sumacero”sederivadelosjuegosdesalóntalescomoelpoker enel

quelariquezanisecreanisedestruye.Asípues,unjugadorganadinerosiempreaexpensas

delosotrosjugadores(DAVIS,p.28)



64

Sea X R la probabilidad deruina del jugador partiendo de un capital inicialX siendo

11 −≤≤ T X .Además,sedefine 10

=R y 0=T R .

X R esloquesequierehallaryestablecemoslasiguienterelación:

11 −+ += x x X qR pR R [3.4]

Dicha relaciónsemotivaenelsiguienterazonamiento:si la fortunadel jugadoresX,

luegodeunturno,habráganado1BFconprobabilidadp(encuyocasosufortunaserá

de 1+X )ohabráperdido1BFconprobabilidadq(encuyocasocontinuaeljuegocon

1−X BF). Siloanteriornoeslosuficientementeclaroaún,definamos X R comouna

probabilidadcondicionalyprocedamossimbólicamente:

{ }( )X F ruina P R n X == y{ }11

=+n X , { }11

−=+n X soneventosdisjuntosymutuamente

complementarios(sonunaparticióndeΩ ).Luego:

{ }( ) == X F ruina P n ∩

{ } { } { }( )( ) =−=== ++ 1111 n n n X X X F ruina P ∪∩∩

{ } { }( ) { } { }( ) =−==+== ++ 1111 n n n n X X F ruina P X X F ruina P ∩∩∩∩ [3.5]

Por otro lado, utilizandoen3.2 lapropiedadde las probabilidadescondicionales que

estableceque( ) ( ) ( )B P B AP B AP =∩

{ }( ) { } === X F P X F ruina P n n

{ } { }( ) { } { }( )

{ } { }( ) { } { }( ) =−==−==

+====

++

++

11

11

11

11

n n n n

n n n n

X X F P X X F ruina P

X X F P X X F ruina P

∩∩

∩∩

{ } { }( ) { } { }

{ } { }( ) { } { } =−==−==

+====

++

++

11

11

11

11

n n n n

n n n n

X P X F P X X F ruina P

X P X F P X X F ruina P

∩

∩ [3.6]

Laúltimaigualdaden3.6sedebealaindependenciaentre1+n X y n F .Aunadoaeso,

{ } { } { }11 11 +==== ++ X F X X F n n n ∩ y { } { } { }11 11 −==−== ++ X F X X F n n n ∩ . Por lo

tanto,factorizandolasrespectivasexpresionesen3.6por { }X F P n = yrecordandoque

{ } p X P n ==+ 11

y { } q X P n =−=+ 11

,concluimosque:

{ }( ) { }( ) { }( )

1

11

1

11

−

++

++=

→−=⋅++=⋅==

X X X

n n n

qR pR R

X F ruina P q X F ruina P p X F ruina P



65

Con lo anterior sedemuestra la validezde la ecuación 3.4. Ecuacionescomo esta

denominan ecuaciones en diferencias, sobre lascualesesoportuno haceruna breve

digresión. Las ecuaciones en diferencias se refieren a ecuaciones que involucran

secuencias, o funciones definidas para valores enteros. Si una secuencia n a está

definidaexplícitamenteenfuncióndesuargumentoentero n ,determinarsuvalorenn

es un asunto trivial. Sin embargo, a veces las secuencias se definen de forma

recursiva, relacionando n a contérminosanteriorescomo1−n a en lamismaecuación.

Porejemplo,laecuación3.7:

β α +⋅= −1n n a a [3.7]

esunaecuación endiferencias linealde primerordeny generaliza lasdenominadas

progresionesaritméticas/geométricasqueelestudianteseguramentevioenbachillerato.

Observaademáselparecidodeestaterminologíaconlaterminologíadelasecuaciones

diferenciales,que también se clasificansegún su orden y según la linealidad. Si te

interesaprofundizarmássobreestetemapuedesconsultarlabibliografíaanexa 10.Por

lodemásterecomiendoresolverlosproblemaspropuestoscorrespondientesalfinalde

estecapitulo referentesa la soluciónde la ecuación 3.7, queesel resultadoquese

utilizaráseguidamente.

Retomandoelproblemadelaruinadeljugador,sepuedeexpresarlaecuación3.4dela

probabilidad de ruina, que es una ecuación en diferencias lineal de segundo orden,

como una ecuación en diferencias lineal de primer orden. Teniendo en cuenta que

1=+ q p ,tenemos

( )11 −+ −=− X X X X R R

p

q R R [3.8]

Apartirdelaecuación3.8ymediantelaformuladesucesión1−⋅= n n a r a halladaenel

problemapropuestoN°5,esfácilcomprobarque

( )01

1

1R R

p

q R R

X

X X −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =−

−

− [3.9]

Con respecto a este resultado, se observan dos inconvenientes: 1) todavía se

desconoce 1

R y2)Podríamosresolverlaecuaciónendiferenciasresultante,peroel

10VerNEUMAN



66

términoalladoderechode3.9dependede X (noesunaconstanteβ).Parasolventar

estasituaciónutilizamoslapropiedadtelescópicadelasseries:

( )∑∑=

−

=− −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−=−

T

X

X T

X X X T R R

p

q R R R R

1

01

1

1

10

Elpanoramatiendeaaclararseporque0

R y T R sonconocidos: 10

=R y 0=T R .Porlo

tanto:

( )∑−

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−=−

1

0

0101

T

X

X

T p

q R R R R [3.10]

Si 21== q p ,entoncesde3.7sededuceque ( )T

R R 1

01−=− [3.11a]

Si q p ≠ setieneque ( )( )

( ) 1

101

−

−=−

T p q

p q R R [3.11b]

Laúltimaigualdadsededucedelaserie∑=

n

i

i x 0

(verproblemapropuestoN°7).

Paracalcularendefinitivaelvalordelaprobabilidadderuina,volvemosaemplearla

propiedadtelescópicadelassumas,peroestavezconmirasahallar X R :

( )∑∑ =

−

=− −⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−=−

X

i

i X

i i i X R R p

q R R R R

1

01

1

1

10 →

( ) ( )i X

i

X

i

i

X p

q R R R R

p

q R R ∑∑

−

==

−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

1

0

01

1

01

1

01

Nuevamente,si 21== q p ,setiene:

T

X T

T

X R X

−=−= 1 [3.12a]

Si q p ≠ ,entoncesesfácilverificarque:

( )

( )

( ) ( )

( ) 11

11

−

−=

−

−+=

T

X T

T

X

X p q

p q p q

p q

p q R [3.12b]



67

La deducción de las ecuaciones 3.12a y 3.12b quizás parezca un tanto tortuosa.

Nuevamente,aunquelasimulaciónnoseaunsucedáneodeltodoequivalenteadeducir

este tipo de resultados analíticamente, nos ayuda a confirmar la validez del los

resultados anteriores. Planteamos en lenguaje R un programa para simular la

probabilidadderuinadeun jugador conuncapital inicialentre0 y 10,paradistintas

probabilidadesp deganarencadaturnotomandovaloresentre0,1;0,2;…;0,9:

#simulador de caminata aleatoria- problema de la ruina de un jugador

#Autor: Prof. José L. Romero P. fecha:29/7/2007

#------------------------------------------------------

#Ruina: función que arroja 1 si el resultado de una caminata aleatoria

#es ruina, 0 en caso contrario.

# argumentos: a=capital inicial del jugador,

# c=capital total

# p=probabilidad de ganar 1 en cada turno

Ruina = function (a,c,p) {j=a #asigna capital inicial

while ((j!=0)&(j!=c)) j=j+sample(c(-1,1),1,replace=TRUE,c(1-p,p))

if (j==0) 1 else 0

}

#Probabilidad_ruina : función que arroja la probabilidad de ruina para:

# a=capital inicial del jugador

# c=capital total

# p=probabilidad de ganar 1 en cada turno

Probabilidad_ruina = function (a,c,p) {

cnt=0

for (i in 1:1000) cnt=cnt+Ruina(a,c,p)

cnt/1000

}#Vector_empírico: función que arroja un vector correspondiente a las

#probabilidades de ruina para cada capital inicial entre 0 y c

Vector_empírico = function (c,p) {

x=NULL

for (i in 0:c) x=c(x,Probabilidad_ruina(i,c,p))

x

}

#Vector_teórico: función que arroja un vector correspondiente a las

#probabilidades (teoricas) de ruina para cada capital entre 0 y c

Vector_teórico = function (c,p) {

x=NULL

if (p==0.5) {

for (i in 0:c) x=c(x,(c-i)/c)}

else {

r=(1-p)/p

for (i in 0:c) x=c(x,(r^i-r^c)/(1-r^c))

}

x

}

#A continuación se generan los gráficos para distintos valores de p,

#exportandolos a un archivo .pdf llamado "Ruinadeljugador"



68

pdf(file="Ruinadeljugador.pdf")

for (prob in seq(0.1,0.9,by=0.1)) {

plot(x=c(0:10,0:10),y=c(Vector_teórico(10,prob),Vector_empírico(10,prob)),

xlab="capital inicial",ylab="probabilidad de ruina",

main="Comparación entre probabilidades empiricas y teóricas",

sub=paste("p=",as.character(prob)),type="p",

col=c(rep("red",times=11),rep("blue",times=11)))if (prob<=0.5) {xleyenda=2; yleyenda=0.3} else {xleyenda=6; yleyenda=0.5}

legend(x=xleyenda,y=yleyenda,fill=c("red","blue"),

legend=c("teórica","empírica"))

}

Semuestranacontinuaciónalgunosgráficosquecomparanlasprobabilidadesderuina

halladasmediantesimulaciónymediantelasformulas3.12ay3.12b:



69

Laprimeragráficacorrespondea lasprobabilidadesderuinaparadistintosnivelesde

capitalinicial(entre0y10)conunaprobabilidad p deganarencadaturnoiguala0,6.

Enestecaso,lafórmuladelaprobabilidadderuinaqueaplicaesla3.12b.Lasegunda

gráficaessimilarperoconunvalorp iguala0,5.Lafórmulaqueaplicaesenestecaso

la3.12a.



70

3.6. Duración promedio del juego y otras consideraciones sobre el problemade la ruina del jugador

Puedenhacerseotraspreguntasentornoaljuegodescritoenlasecciónanterior.Una

deellases:¿Cuántosturnosdura,enpromedio,eljuego?Recordemosqueeljuego

terminacuandoalgunodelosjugadoressearruina(eljugadorolacasa).Sielcapital

total es finito,supondremosqueel juegosiempre terminaráenuna cantidad finitade

partidas,aúncuandoesposibleconcebir,porejemplo,unatrayectoriadeljuegodonde

laspartidasresulten+1,-1,+1,-1,adinfinitum .Lafinituddeladuracióndeljuegonoes

algoquesepretendedemostrarformalmenteaquí-elautorsoloselimitaaseñalarla

evidenciaempírica:elprogramadelasimulaciónenRanterior,endondesesimulan

series de1000 partidas para cada nivel de capital inicialdel jugador, eventualmente

termina.Quizásamododeapología,téngaseencuentaademásqueelobjetivobásico

quenostrazamosenestecursoesquepuedascomplementarlaverificaciónformalcon

laverificaciónempírica,ovalertedelainvestigaciónempíricaparainferirhechosqueno

estásencapacidaddedemostrarformalmente.

Volviendoalapreguntaqueplanteamosenestasección:¿cuálesladuraciónpromedio

del juego?, debemosespecificar aún más: ¿cuál es la duración promedio del juego,

partiendodeuncapitalinicialX ?Si,comoenlasecciónanterior,eljugadortieneun

capital inicialdeXysuoponenteuncapitalinicialdeY,yentrelosdosuncapitaltotal

Y X T += quenosealtera,sabemosqueeljuegoterminacuandoelcapitaldeljugador

sea0oT . Podemosahoraresponderparcialmentelapregunta:laduracióndel juego

partiendodeuncapitalinicialde0odeTesigualacero.Partiendodecualquiersuma

de dinero distinta entre 0 y T, el juego puede durar una cantidad aleatoria e

indeterminadadepartidas.Denotemospor x T duracióndeljuegopartiendodeuncapital

Xyaclaremosdesdeyaque x T noesunprocesoestocástico-esunavariablealeatoria

que resume un aspecto del juego, visto éste como una trayectoria de un proceso

estocástico.Estamosinteresadosendeterminarelpromediodeladuracióndeljuego,

esdecir,nosinteresahallar:

[ ]x x T E D = [3.13]

A tal fin, vamos a proceder como lo hicimos en la sección anterior, partiendo de la

siguienteecuaciónendiferencias:



71

111

++= −+ x x x qD pD D para T x <<0 ,con 00

== T D D [3.14]

Las condiciones de extremos en la expresión 3.14 son simplemente la formulación

matemáticadelodichoanteriormentesobreunjuegoendondeeljugadorcomienzacon

uncapitalde0oT.Nosinteresamásbienentenderenquesebasalaecuación3.14en

sí.Laclavedeesteasuntoesescindireljuegoendosetapas:1)lavariable1

X que

pudiendovaler+1o -1representael resultadoparael jugadordelprimerturnoy2)el

restodeljuego.Partiendodeuncapitalinicialx,sienelprimerturnoeljugadorgana1,

el resto del juegocontinuacomosisepartierade un capitalinicialdex+1. Si porel

contrarioeljugadorpierde1enelprimerturno,debecontinuarconuncapitaldex-1.En

amboscasos,comohatranscurridoun turnoseadicionaenunolacuentade turnosy

porlotantolasesperanzascondicionalesde x T dadoelresultado1

X delprimerturno

son:

[ ] 1111

+=+= +x x D X T E [3.15]

[ ] 1111

+=−= −x x D X T E

Lasecuacionesen3.15seutilizanahoraeneldesarrollodelaecuación3.13:

[ ] { }==⋅== ∑b x x x b T P b T E D

{ } { }( ) =+==++==⋅∑b

x x X b T P X b T P b 1111

∩∩

{ } { }( ) =+==++==⋅∑b

x x X b T P X b T P b 1111

∩∩

{ } { }( ) =−==⋅++==⋅⋅∑b

x x X b T P q X b T P p b 1111

{ } { }=−==⋅++==⋅∑ ∑b b

x x X b T P b q X b T P b p 1111

[ ] [ ]=−=⋅++=⋅ 11 11 X T E q X T E p x x

( ) ( )=+++⋅ −+ 1111 x x D q D p

111

+⋅+⋅ −+ x x D q D p

[3.16]: Justificación

delaecuación3.14



72

Habiendo fundamentado la ecuación 3.14, procederemos a resolverla de la misma

formaquelohicimosconlaprobabilidadderuinaenlasecciónanterior,transformándola

primeroaunaformamásamena:

( )p

D D p q D D x x x x

111

−−=− −+ . [3.17]

Esta forma se parece mucho a la ecuación 3.8, salvo por el sumando dec, lo cual

conlleva a abordarla mediante una ecuación en diferencias finitas como la 3.7 (ver

problemapropuestoN°6).Desdeelprincipioseñalamosquedebenconsiderarsedos

casos: q p = y q p ≠ .Entoncessetiene:

Para q p ≠ :

( )( )

( )( )

( )q p

p q D D

p

q

p q p

p q D D

p

q D D

x x x x

x x −−

−−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

−−

−−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−+

1

1

101011

. [3.18a]

Para q p = :

( ) ( ) x D D p

x D D D D x x 2

01011−−=−−=−+ . [3.18b]

Vamosaabordarprimeroelcasoenque q p ≠ ,quepareceserelmássencillo.Como

enelproblemadelaruinadeljugador,noconocemos01

D D − .Unavezmás,aplicando

lapropiedadtelescópicadelasseries:

( )( )

q p

p q D D

p

q D D D D

k T

k

k T

k k k T −

−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−=−= ∑∑

−

=

−

=+

10

1

0

01

1

0

10→

( )p q

p q

q p D D

p

q

q p D D

q p

T T T

k

k

−−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−=

− ∑−

= 1

11101

1

0

01→

( )( ) q p p q p

T D D

T −−

−=−

1

101

Teniendo01

D D − ,sedesarrolla x D porseriestelescópicassegúnlafórmula3.18a:



73

( )( )

=−

−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−=−= ∑∑

−

=

−

=+

q p

p q D D

p

q D D D D D

k x

k

k x

k k k x x

11

0

01

1

0

10

( )( )

( )=

−−

−−

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

−

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

+−+−

−∑

−

=q p

x

p q

p q

p q p

T

p

q

q p D D

q p

x x

T

x

k

k

1

1

1

11

0

01

( )

( ) ( )( ) q p

x

p q q p

p q T T

x

−−

−−

−

1

1 [3.19a]

La ecuación 3.19a permite calcular la duración promedio del juego partiendodeun

capital x y en el caso q p ≠ . A riesgo de parecer repetitivos, vamos a calcular

seguidamenteladuraciónpromediodeljuegoenelcaso q p = .Primeroobtenemosla

fórmulapara01

D D − :

( ) ( ) ( )12001

1

0

01

1

0

10−−−=−−=−=−= ∑∑

−

=

−

=+ T T D D T k D D D D D D

T

k

T

k k k T →

101

−=− T D D

Yenchufandoestaexpresiónenlafórmula3.18bdesarrolladaenseriestelescópicas:

( ) ( ) =−−=−−=−=−= ∑∑∑−

=

−

=

−

=

+

1

0

1

0

01

1

0

10212

x

k

x

k

x

k

k k x x k T k D D D D D D D

( ) ( ) ( )x T x x x T x −=−−− 11 [3.19b]

Si te interesa ver una forma alternativa de deducir las formulas para la duración

promedio del juego o la probabilidad de ruina del jugador puedes consultar las

secciones14y15dellibrode“ProcesosEstocásticos”delaUNA.Tambiénesposible

deducir estas fórmulas mediante los métodos de resolución de ecuaciones en

diferenciasdesegundoorden.Enlotangentealasfórmulas3.19ay3.19b,sedejaal

lectorcomoejerciciolaverificaciónempíricamedianteunasimulaciónenlenguajeR(ver

problemapropuestoN°13).



74

En estas notas dejamos por fuera otros aspectos interesantes sobre las caminatas

aleatorias unidimensionales. Tampoco mencionamos siquiera a las caminatas

aleatoriasdedosomasdimensiones.Algunasfuentesbibliográficas(verporejemplo

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk ) definen a las caminatas aleatorias de un

modo más especificoque la definición que nosotros hemos empleado a lo largo del

presente texto. Para estosautores, una caminata aleatoria esuna trayectoria en el

espacioparalacual:

• Hayunpuntodepartida.

• Lospasossondelongitudconstante.

• Ladirecciónenquese tomacadapasoesaleatoria:ningunadirecciónesmás

probablequelasotras.

A fin de exponer algunos resultados cuyas demostraciones no se incluirán en el

presente texto, incluimos unos ejemplos gráficos de caminatas aleatorias

bidimensionales:

Fig. 3.2–Ejemplosdecaminatasaleatoriasbidimensionales

Fig. 3.2a -Caminataaleatoria endosdimensionesconincrementosdelongitudunitaria.

Fig. 3.2b - Caminata aleatoria en dosdimensionesconincrementosinfinitesimales.

Lafig.3.2b,querepresentalatrayectoriadeunacaminataaleatoriabidimensionalcon

incrementosinfinitesimales,esenrealidadlatrayectoriadeunprocesodemovimiento

browniano. Conunpoquitode imaginación,podemosimaginarnosqueelmovimiento

brownianoentresdimensionesmodelaadecuadamenteelcomportamientodelhumoen

unambientesincorrientesdeaire,oeldeunatintavertidaenunvasodeagua.

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk



75

Fig. 3.3 –Trescaminatasaleatoriastridimensionales.

Enelcontexto deeste tipo decaminatas aleatoriasdonde las direcciones enquese

tomanlospasossonequiprobables,existenvariosresultados 11:

[3.20] Sinohaybarrerasabsorbentes,laprobabilidadderetornaralpuntodeorigenen

unacaminataaleatoriadeunaodosdimensionesesuno.Encambio,entres

dimensiones, la probabilidad de un retorno eventual al punto de partida es

estrictamentemenorqueuno-esdehechoaproximadamenteiguala0,65 12.

[3.21] El valor esperado de la distancia máxima al punto de partida, luego de una

caminatadenpasos,esasintóticamenteiguala π n 2 .Matemáticamente,si

k n k

n S M ≤≤

=1

max ,entonces [ ] π n M E n n

2=∞→

lim

11 El lector interesado puede consultar el Capítulo 12 sobre caminatas aleatorias en el libro

“IntroductiontoProbability”deGrinsteadySnell.

12GRINSTEAD,pp.475-478.



76

Problemas Resueltos

Sección 3.1 y 3.2

Para las preguntas 1 a 4, asuma que { }1≥i S i , se refiere a una caminata aleatoria

basadaenunprocesodeBernoulliconprobabilidaddeéxitoencadaensayoigualap .

Calcularlosiguiente:

1) { }237

=− S S P

Solución:

Envirtuddelocomentadoenel[3.2]ysegúnelteorema3.1,setiene:

{ } { } 2222

4376

2

422 q p q p S P S S P =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ====−

2) { }7421153

=== S S S P ,,

Solución:

{ } { }3227425113531153

=−=−===== S S S S S P S S S P ,,,,

Losincrementosenlaprobabilidadanteriorsontodosindependientesentresí,de

modoquelaexpresiónanterioresiguala:

{ } { } { }

{ } { } { } 473322623

511353

453

6

2

2

2

3322

322

q p q p p q p S P S P S P

S S P S S P S P

=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ⋅⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ⋅⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ==⋅=⋅=

==−⋅=−⋅=

Seentiendequelasprobabilidadesen { } { } { }322623

=⋅=⋅= S P S P S P serefierena

variables i S consideradasporseparadoeindependientesunasdeotras,esdecir,

3S ,

2S y

5S noserefierenalamismatrayectoriadelacaminataaleatoria.

3) { }342653

=== S S S P ,,

Solución:

Deigualformaqueenelproblemaanterior:

{ } { } { } { }122342123653

−=⋅=⋅===== S P S P S P S S S P ,,

Perolaprobabilidad { }11

−=S P enlaexpresiónanterioresigualacero,porquelos

incrementosenunacaminataaleatoriabasadaenunprocesodeBernoullisiempre

sonpositivos.Porlotanto,laprobabilidad { }342653

=== S S S P ,, esigualacero.



77

4) [ ]53

S S E

Solución:

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]35333353353

S S S E S S E S S S S E S S E −+=−+⋅=

Peroporlaindependenciadelosincrementos,laexpresiónanterioresequivalente

a:

[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) 22

3533

2

335333

1532333 p pq p p p pq

S S E S E S E S V S S S E S S E

+=⋅++

=−⋅++=−+

Sección 3.3

Paralaspreguntas5y6,asumamosque 1≥ j T j , caracterizaalostiemposhastalos

respectivosj-ésimoséxitos,dondecadaensayosebasaenunprocesodeBernoulliconprobabilidaddeéxitoigualap .Calcularlosiguiente:

5) { }6332

== T T P ,

Solución:

{ } { } { } { }

3313232

23223232

212

13

333363

q p p q q p

T T P T P T T T P T T P

=⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

==−⋅===−====

−−

,,

Téngamosencuentaque 2T esbinomialnegativay 23 T T − esgeométricamente

distribuida.

6) [ ]3216

T T T T E ,,

Solución:

En lo sucesivo téngase en cuenta las propiedades 1 a 6 de la esperanza

condicionalqueaparecenenlasección2.2:

[ ] [ ]==363216

T T E T T T T E ,, (propiedaddeMarkovde 1≥ j T j , )

[ ] [ ] [ ]=+−=+−333363336

T T E T T T E T T T T E (propiedad1delaesperanzacondicional)

[ ] =+−336

T T T E (Teorema3.2ypropiedad2)

3

3T

p + (

36T T − esbinom.negativaconr=3)



78

Enelúltimopasosehapodidoprocederde [ ] [ ] [ ]3636

T E T E T T E −=− ycalcularlas

esperanzasdelasrespectivasbinomialesnegativas.



79


1) Unafábricaproducerecipientescuyacapacidadseverificaalfinalizarelproceso

de producción, y se consideran defectuosos aquellos cuya capacidad está por

debajodelos0,975lt.oporencimade1,025lt.Pruebasestadísticassugierenque

lacapacidaddeunrecipienteproducidotienedistribuciónnormalconmedia1lt.Y

varianza0,01.DefineelprocesoaleatoriodeBernoulliquemodeleestasituación.

¿Cuálessuposicionesdebenhacersesobreelprocesodefabricaciónparaqueel

modelodeBernoulliseaadecuado?

2) Sea { }1≥i S i , elnúmerodeéxitosenunprocesodeBernoulliconprobabilidadde

éxitop.Calcula [ ].n m n S S E +

3) Sea { }1≥i S i , elnúmerodeéxitosenunprocesodeBernoulliconprobabilidadde

éxitop.Calcula { }7487

== S S P ,

4) Calcula { }854632

=== T T T P ,,

5) Calcula { }123 87 == T T P ,

6) Encuentra una solución para la siguiente ecuación general en diferencias de

primerorden:1−⋅= n n a r a .Asumequeseconoceelvalorinicialdelasecuencia

0a .

7) Demuestraquela soluciónpara lasiguienteecuacióngeneral endiferencias de

primerordendadaen3.4( β α +⋅= −1n n a a ),es:

β n a a n +=0

si 1=

α

α β α

−−

+=1

10

n n

n a a si 1≠α



80

8) Utilizalapropiedadtelescópicadelasseriesparademostrarque

∑=

+

−−

=n

i

n i

x

x x

0

1

1

1si 1≠x

9) Desde donde está situado, un borracho está a solo un paso de caer a un

precipicio.Elborrachocaminadeformaaleatoria:tomaunpasohaciaelprecipicio

conprobabilidadde 31 unpasoalejándosedelprecipicioconprobabilidadde 32 .

¿Conquéprobabilidadseescapaelborrachodecaeralprecipicio?

10) Un ludopatavarado en Margarita tiene solo20 BF y necesita conseguir 20 BF

adicionalesparatomarelferryderegresoacasa,perosientepenadellamarasu

esposaparaqueleenvíemásdinero.Decidejugaralaruleta(delacualnoes

muyaficionado)yconsideradosestrategias:apostarlos20BFanúmerosnegros

todosde unavezoapostar 1BF aun númeronegrocadavezhasta quehaya

completado o perdido los 20 BF que tenía. Compara los méritos de ambas

estrategias.(Nota:unaruletatiene38númerosdeloscuales18sonnegros,en

cadaturnoderuletaseganaloqueseapuestaconprobabilidad 3818=p ose

pierdeconprobabilidad 3820=q )

11) Enel contexto delproblemaanterior, supóngaseadicionalmentequeel jugador

decideapostar1BFalavez,ycadaturnoenlaruleta tomaaproximadamente2

minutos.¿Cuántotiempoduraráenpromedioeljugadorhastaterminareljuego?

¿Creesqueeljugador puedaemprender el viaje en ferrya sucasa esamisma

tardesicomienzaajugaralmediodía?

12) Justifica detalladamente y haciendo referencia a las definiciones y propiedades

sobrelasprobabilidadesyesperanzascondicionales,cadaunodelospasosenla

justificacióndelaecuación3.14dadoseneldesarrollo3.16deltexto.

13) En el problema del jugador, si q p = , ¿Cuál es el nivel de capital inicial x que

maximizaladuraciónpromediodeljuego?



81

14) VerificamedianteunasimulaciónenRlasformulas3.19ay3.19breferentesala

duraciónpromediodeljuego.Paraelcasoenque q p ≠ ,asumaque 31=p .En

amboscasosasumauncapitaltotal 10=T .

15) Unhombreseembriagaperdidamenteensucasayledadebeberasumascota,

uncanario,quese emborrachatambién. Elhombresueltaelcanario, que sale

volandodesujaulasegúnunmovimientoBrownianoentresdimensiones,traslo

cualsaledesucasatambién,demodoquesudeambularporlaciudadesuna

caminata aleatoria en dos dimensiones. ¿Cuál es la probabilidad de que el

hombreborrachoeventualmenteregreseasucasa?¿Cuáles laprobabilidadde

queelcanariosepierdayjamásregreseasujaula?

16) Verificamediante una simulación en lenguaje R la fórmula 3.21 referente a la

máxima distancia alcanzada desde el origen en una caminata aleatoria

unidimensional.



82

Capitulo 4- El proceso de Poisson homogéneo

4.1 El proceso de Poisson como caso límite de la caminata aleatoria binomial.

Enelcapituloanteriorestudiamoslaevoluciónaleatoriadeprocesoscuyoscambiosde

estado ocurren en instantes de tiempo discretos, que se suponen regularmente

espaciados pero cuya ubicación temporal no esta del todo determinada, o no es

relevante.Hablábamosentoncesdeensayos(procesosdeBernoulli)opasos(enlas

caminatasaleatorias);aunquenoespecificábamoslosinstantesdetiempoprecisosen

los cuales ocurría cada ensayo o paso porque sencillamente no era relevante. Sin

embargo,enmuchosfenómenosrealesnopodemosconsiderarqueloseventosdeun

proceso ocurren o no en instantes discretizados de tiempo. En estos casos, los

procesosdeBernoullinosonmodelosadecuados.

Consideremos por ejemplo una central telefónica en la cual se han recibido 270

llamadasenunperiododetreshoras(180minutos).Consecuentemente,serecibenen

promedio1,5llamadasporminutoybasándonosenestaevidencia,deseamoscalcular

laprobabilidadderecibir0,1,2omásllamadasenlospróximos3minutos.Podríamos

dividir el lapso de 3 minutos en 9 subintervalos de 20 segundos cada uno y si

suponemos que las probabilidades de que ocurran llamadas en cada subintervalo

permanecen constantes, esto nosconducea aproximar las probabilidades buscadas

mediante ladistribución binomial. Nuestraaproximaciónconsiste enconsiderar cada

unodelosnuevesubintervaloscomoensayosdeBernoullien loscualesobservamos

una llamada telefónica (éxito) o ninguna (fracaso), con probabilidad de éxito

( ) ( ) 50602051 ,, =⋅=p .Perounpocodereflexiónnoshaceconcluirquecuandomucho,

estemodeloes unaaproximaciónbastante inexactade lasituación,porque estamos

ignorandolaposibilidaddequeocurrandosomásllamadasencadasubintervalode20

segundosyelusodelmodelodeBernoullisuponeunadicotomíaencadaensayo:o

ocurreunallamadaonoocurreninguna.

Noobstante,paraminimizarlaprobabilidaddequeocurradosomásllamadasencada

subintervalo de tiempo, podríamos subdividir el lapso de 3 minutos en una mayor

cantidaddesubintervalosmáscortos.Podemostambiénobservarsilasprobabilidades

calculadas tienden hacia algún valor amedida que tenemosunamayor cantidadde



83

intervalos:hicimoselejerciciodecalcularlasprobabilidadesderecibirkllamadasenun

lapso de 3 minutos manteniendo el número promedio de llamadas ( [ ] 51,== np X E )

constante. En la tabla de abajo, se muestra en las celdas respectivas dichas

probabilidadesaproximadasmedianteladistribucióndeBernoulli:

Tabla 4.1. Calculo de las probabilidades de recibir k llamadas en 3 minutosmediante aproximaciones sucesivas por medio del modelo Binomial

Variablealeatoria:X=númerodellamadasrecibidasenunlapsode3minutos.

Leydeprobabilidadbinomial: ( ) ( ) k n k p p k

n k X P

−−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ == 1

n= 9 n= 72 n= 576 n= 4608 n= 36864

k p= 0,5 p= 0,0625 p= 0,0078125 p= 0,0009766 p= 0,000122

0 0,001953125000 0,009592502052 0,010914422300 0,011084598051 0,011105945532

1 0,017578125000 0,046044009851 0,049501631849 0,049929450459 0,049982856317

2 0,070312500000 0,108970823313 0,112060780760 0,112426675593 0,112472105506

3 0,164062500000 0,169510169598 0,168826478100 0,168731595889 0,168719600910

4 0,246093750000 0,194936695038 0,190428291242 0,189884897133 0,189817275337

5 0,246093750000 0,176742603501 0,171535405654 0,170914968993 0,170837865192

6 0,164062500000 0,131575049273 0,128538998200 0,128172304053 0,128126660829

7 0,070312500000 0,082704316686 0,082415330680 0,082369633187 0,082363787168

8 0,017578125000 0,044798171538 0,046155829879 0,046307756878 0,046326487969

9 0,001953125000 0,021237651692 0,022936580377 0,023136274752 0,023161044515

10 0,000000000000 0,008919813711 0,010240189822 0,010401146391 0,010421197602

11 0,000000000000 0,003351687576 0,004148852856 0,004249930784 0,004262581064

≥12 0,000000000000 0,001616506172 0,002297208282 0,002390767836 0,002402592061

Enlatablasuperior,losvaloresdenydepsemultiplicanysedividenrespectivamente

porunfactorde8enformasucesiva,demodoquentiendeainfinitoyptiendeacero,

pero np permanece constante. Observamos que las probabilidades respectivas se

“estabilizan”alrededordeciertosvalores-novarianmuchomásamedidaqueseguimos

aumentandoelnúmeron deensayos.Estonosmotivaaformularlasiguientepregunta:

¿Cuáleslaleydeprobabilidadhacialacualtiendelabinomialamedidaque ∞→n y

0→p demodoque np permanececonstante,digamos λ =np ?

Enloscálculossiguientessedeterminalarespuestaexactaaestapregunta.



84

Considerandopueslafuncióndeprobabilidadbinomial:

( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

k n k

factores k

k n k k n k

p p k

k n n n n

p p k n k

n p p

k

n k X P

−

−−

−+−−−

=−−

=−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ==

1

121

11

!

!!

!

[4.1]

Defínase np =λ ,demodoquen

p λ

= yn

p λ

−=− 11 .

Sustituyendo en la ecuación 4.1 todos los términos que involucren p por sus

expresionesequivalentesenλ obtenemos:

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

⋅⋅⋅+−−−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

−⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ +−−−

==

−

−

−

−

n

k

n n n n k

n

k

n n n k

n n n

k n n n n

n k

n n k

k n n n n

k X P

k n k

k n k

factores k

k n k

k n k

11

21

11111

11

21

1111

1211

1121

λ λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

!

!

!

!

[4.2]

Ahora tomando el limite de la expresión 4.2 cuando ∞→n y 0→p de modo que

λ =np permanececonstante,obtenemoslosiguiente:

( )

λ λ

λ λ λ

−

−

→∞→

→∞→

=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −==

e k

n

k

n n n n k k X P

k

k n k

p n

p n

!

!limlim1

12

11

1111

00

[4.3]

Ya que, según lo recordado en nuestra clase de sexto grado de primaria cuando

estudiamoslimites:

λ λ −

∞→

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ − e

n

n

n

1lim , 01 =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−

∞→

k

n n

λ lim y 11 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

∞→ n

c

n lim



85

Deestaformademostramoselsiguienteteorema:

Teorema 4.1- (Ley de las probabilidades Pequeñas) Sea X una variable aleatoria

discretadistribuidasegúnlaleybinomialconparámetros n yp respectivos.Si ∞→n y

0→p de forma que np permanece constante y λ →np , entonces, bajo estas

condiciones:

( )!lim k

e k X P k

p n

λ λ −

→∞→

==

0

Esteresultadoesmuyimportanteporvariasrazones.Unarazónesquenospermite

calcularaproximadamentelasprobabilidadesasociadasaladistribuciónbinomialpara

un número n muy grande de ensayos y una probabilidad p de éxito casi nula. El

estudiante que haya intentando calcular probabilidades binomiales que involucran

númeroscombinatorioselevadísimosquemultiplicanpotenciasdepquetiendenacero

sabráapreciarlavalíadeestaaproximación. Esporestoqueelresultadoanteriorse

conoce como la Ley de las Probabilidades Pequeñas. De la misma forma que el

Teorema de DeMoivre-Laplace (una variante de la Ley de los Grandes Números)

aproximamedianteladistribuciónnormallasprobabilidadesbinomialescuando ∞→n

y p no tiende a cero o a uno, laLey de las Probabilidades Pequeñas aproxima las

probabilidadesbinomialesbajolascondicionesyacitadasmedianteunadistribuciónde

probabilidad que el estudiante seguramente ha identificado ya: la distribución de

Poisson. Como regla práctica, se puede confiar en esta aproximación si 100≥n ,

010,≤p y 20≤np 13.

ComoseindicaenlaTabla1.1,lavariablealeatoriaPoissonrepresentaelnúmerode

eventosqueocurrenenuninstantedetiempodeamplitudfijacuandolatasapromedio

deeventoseneseintervalodetiempoesλ.Sufuncióndeprobabilidades:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥∈=

−

00

0

x

x e x x p

x

X

Nλ λ

!

13DEVORE,p.131.



86

Selesugierealestudiantedemostrarqueenefecto,ladistribucióndePoissonesuna

distribución de probabilidad válida (Problema Propuesto N° 1). De hecho, esto se

realizaexpresando λ e comounaseriedeTaylor.

Históricamente, la ley de probabilidad de Poisson está asociada al estudio de la

cantidad de eventos de cierto tipo que ocurren entre una población muy numerosa

cuando la frecuencia del fenómeno es muy rara, como por ejemplo, la cantidad de

personasenunaciudadde10millonesdehabitantesquepadecendeunaenfermedad

muy rara que afecta en promedio a uno entre cada millón de individuos en una

población. Siméon-Denis Poisson (1781-1840) formuló en 1837 la distribución

homónima en conexión con largas series de observaciones de eventos que ocurren

raramente.Porejemplo,unadetalesseriesdadaseraladistribucióndefrecuenciasdel

númerodebajasanualesencadacuerpodelacaballeríadelejercitoPrusianodebidasa

patadasdecaballos 14.Ladistribucióndefrecuenciasdeelnúmerodebajasanualesde

estaseriefuelasiguiente:

Muertes 0 1 2 3 4omás

Frecuencia 109 65 22 3 1

Sisuponemosquelasprobabilidadesdekmuertesaccidentalesporpatadasdecaballo

semantienenconstantesenel tiempoyatravésdetodos loscuerposdelacaballeríadelejercitoPrusiano,estosdatosnospermitiríancalcularlasfrecuenciasrelativas(que

seasemejanadichasprobabilidades),dividiendolasfrecuenciasabsolutasrespectivas

entreelnúmerototaldeobservaciones,osea n =200.Sienbaseaestasprobabilidades

calculamos el número promedio de muertes anuales en cada cuerpo de caballería,

obtenemos una estimación del parámetro λ, que resulta ser igual a 0,61. Con el

parámetroλ,calculamoslasprobabilidadesrespectivassegúnlaleydedistribuciónde

Poisson y conestas probabilidades, calculamos las frecuencias absolutasquecabría

esperarsesegúnestemodeloteórico.Todoestoseresumeenlasiguientetabla:

14RIETZ,p.39



87

Muertes 0 1 2 3 4omás

Observacionesdefrecuenciasabsolutas(evidenciaempírica)

Frecuencias

absolutas 109 65 22 3 1Frecuencias

relativas 0,545 0,325 0,110 0,015 0,005Promediode

muertes 6100050401503110023250154500 ,,,,,,ˆ =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=λ

ObservacionesesperadassegúnelmodelodePoisson

Probabilidadesesperadas 0,543 0,331 0,101 0,021 0,004

Frecuenciasabsolutasesperadas 108,6 66,2 20,2 4,2 0,6

Comosepuedeobservar,laleydeprobabilidaddePoissonmodeladeformabastante

fielelfenómenoestudiado.

4.2. Derivación axiomática del proceso de Poisson.

Llegados a este punto, podemos entender que la ley de distribución dePoisson se

adecuaaunaampliagamadefenómenosaleatoriosdelavidarealporqueesuncaso

límitedelmodeloBinomial,quetambiénseasomaenmuchassituaciones.Dehecho,la

distribución dePoisson, junto con lanormaly labinomial, son las tres distribuciones

principales de la teoría de las probabilidades, debido a su universalidad y grandes

ramificacionesportodoelcorpusteórico15.Sinduda,ladistribucióndePoissonmerece

unanálisisprofundoporsuspropiosmeritos.Surgendospreguntas:¿Cómosabemossi

se reúnen las condiciones para aplicar el modelo de Poisson a un determinado

fenómeno real? ¿Como relacionamos la distribución de Poisson y los procesos

estocásticos?

Intentamosdarunarespuestaalaprimerapreguntahaciendoalgunasconsideraciones

sobreladistribuciónbinomial,apartirdelacualladistribucióndePoissonsurgecomo

caso límite. En efecto, para que la binomial sirva de modelo adecuado de un

15FELLER,p.156



88

determinadofenómeno,debemosverificarquelasprobabilidadp deéxitosemantenga

constante a través de todos los ensayos y que los ensayos se realizan de forma

independienteentresí.SiconsideramosqueladistribucióndePoissonesuncasolímite

delabinomial,entoncessevislumbraunarespuestaalasegundapregunta.

Enefecto,supóngasequeestamos interesados encontar la cantidad de eventos de

cierto tipo que han sucedido hasta un instante de tiempo t . Para tal fenómeno,

hacemoslassiguientessuposiciones:

1) Laocurrenciaadicionaldeeventosapartirdeeseinstanteesindependientedela

cantidad de eventos acaecidos hasta entonces (los ensayos de Bernoulli son

independientesentresí). Másprecisamente,paraintervalosdetiempodisjuntos

(nosuperpuestos),lascantidadesdeeventosqueocurrenencadaintervaloson

independientesentresí.EstoesunamaneradedecirqueelprocesodePoissonesunprocesoconincrementosindependientes.

2) Severificaquelatasapromediodeeventos,expresadacomouncocientedela

cantidad de eventos en promedio que suceden en un lapso de tiempo fijo, es

constante(laprobabilidaddeéxito p encadaensayodeBernoulliesconstante).

Por lo tanto, dos intervalos de tiempo de igual amplitud tendrán la misma

distribucióndeprobabilidades,encuantoalacantidaddeeventosquesucedeen

cadaintervalo,sinimportarcuandistanteseneltiemposeanesosintervalosuno

del otro. Según la terminología del capitulo 2, el proceso de Poisson es unprocesoconincrementosestacionarios.

3) Segúnlasdeduccionesqueculminanenlafórmula4.3,vemosquesubdividiendo

el número de ensayos del modelo binomial en lapsos temporales de amplitud

infinitesimalmentepequeña,demodoquelaprobabilidaddeocurrenciadedoso

máseventosencada lapso temporal sea casi nula ymanteniendo constante el

promedio de eventos que suceden a lo largo del lapso temporal total, la

distribucióndeprobabilidaddeeventosquesucedenenunintervalodetiempoes

ladistribucióndePoisson.

LaLeydelasProbabilidadesPequeñasesunaposiblevíaparadefinirelprocesode

Poisson.Acontinuaciónvamosatomarotravíamásrigurosa-planteamosunconjunto

de axiomas o condiciones que debe cumplir el proceso y verificamos que

necesariamente, esto conduce a la distribución de Poisson. Antes definimos la

terminologíamediantelacualdenotaremosformalmenteelprocesodePoisson:



89

ElprocesoaleatoriodePoissonesunacoleccióndevariablesaleatoriasindexadaspor

un parámetro temporal continuo: ( ){ }0≥t t Z . Para cada instante t, ( )t Z denota la

cantidaddeeventosdeciertotipoqueseproducenenellapsodetiempo[ )t ,0 ,porlo

cual ( )t Z esunprocesodeconteoyrepresentaunacantidadentera.

Planteamosa continuación los postuladosque debe satisfacerunproceso deconteo

( ){ }0≥t t Z para definirse como un proceso de Poisson. Como se verá, estos

postuladosnosondeltododistintosalastressuposicionesqueacabamosdehacer.

Axioma 1: Para intervalos de tiempo disjuntos (no superpuestos), las

cantidades de eventos que ocurren en cada intervalo son independientes

entre sí- El proceso de Poisson es un proceso con incrementos

independientes.

Axioma 2: Defínase ( ) ( )x Z t x Z −Δ+ como la cantidad de eventos que

ocurren en un intervalo de tiempo [ )t x x Δ+, y ( ) ( )y Z t y Z −Δ+ como la

cantidad de eventos que ocurren en otro intervalo de tiempo [ )t y y Δ+, ,

siendo ambos intervalos de tiempo de la misma amplitud. Entonces,

( ) ( )x Z t x Z −Δ+ y ( ) ( )y Z t y Z −Δ+ tendrán la misma distribución de

probabilidades- El proceso de Poisson es un proceso con incrementos

estacionarios.

Axioma 3:Considéreseunasubdivisióndeunintervalodetiempodelongitud

unitaria en N subintervalos, cada uno de longitud N t 1=Δ . Para N

suficientementegrande, lasprobabilidadesdeque seproduzcancerooun

eventoencualquieradeesossubintervalossonrespectivamente:( ) ( ){ } ( ) ( )t o t t P t Z t t Z P Δ+Δ−=Δ==Δ−Δ+ λ 10

0 [4.4a]

( ) ( ){ } ( ) ( )t o t t P t Z t t Z P Δ+Δ=Δ==Δ−Δ+ λ 1

1 [4.4b]

donde ( )t o Δ esunacantidaddeunordendemagnitudmuchomáspequeña

que t Δ demodoque( )

00

=ΔΔ

→Δ t

t o

t lim .



90

Obsérvesequelasprobabilidades ( )t P Δ0

y ( )t P Δ1

soncomplementarias,de

modoquelaprobabilidadqueseproduzcandosomáseventosenunlapso

detiempo infinitesimalmentecortoesdespreciable. Enloanterior,λesun

parámetroconstantequerepresentalacantidadpromediodeeventosquese

producenenunintervalodetiempodelongitudunitaria:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )( )

( )( ) λ λ

λ

=Δ+ΔΔ

=Δ+Δ⋅=Δ⋅=Δ⋅=

t o t t

t o t N t Z E N t Z N E Z E

1

1

Elparámetroλtambiénseconocecomo intensidad de flujo.

Axioma 4: Se impone la siguiente condición inicial: ( ){ } ( ) 10000

=== P Z P .

Estoequivaleadecirque ( ) ( ) 00021

=== ¨P P .

Apartirdeestoscuatroaxiomas,pretendemosdeducirlafuncióndeprobabilidaddelas

variables aleatorias ( ){ }0≥t t Z , a saber: ( ){ } ( )t P n t Z P n == . Comencemos

considerando ( )t t P Δ+0

- laprobabilidad de queocurran ceroeventos en el lapso de

tiempo [ )t t Δ+,0 . Para quesuceda tal cosa,debe acontecer quese produzcan cero

eventosen[ )t ,0 yceroeventosen [ )t t t Δ+, .Envirtuddelaxioma1,estossucesosson

independientes,pues

[ )t ,0 y

[ )t t t Δ+, nosonintervalosdetiemposuperpuestos.Por

otrolado,envirtuddelAxioma2,laprobabilidaddequeseproduzcanceroeventosen

el intervalo de tiempo [ )t t t Δ+, es igual a la probabilidad de que seproduzcan cero

eventos en el intervalo de tiempo [ )t Δ,0 , pues el proceso es de incrementos

estacionarios.Ensuma,tenemoslosiguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )t o t t P t P t P t t P Δ+Δ−⋅=Δ⋅=Δ+ λ 10000

Ø

( ) ( ) ( ) ( )( )t o t t P t P t t P Δ+Δ−=−Δ+ λ 000

yqueporlotanto,tomandoladerivadade ( )t P 0

:

( )( ) ( )

( )( )

( )t P t

t o t t P

t

t P t t P t P

t t 00

0

00

00

⋅−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ

Δ+Δ−=

Δ

−Δ+=

→Δ→Δλ

λ limlim' Ø

( )( )

λ −=t P

t P

0

0'



91

Integrando esta ecuación diferencial sencilla y tomando en cuenta el Axioma 4 que

estableceunacondicióninicial- ( ){ } ( ) 10000

=== P Z P ,deducimosfinalmenteque:

( ) t e t P λ −=0

[4.5]

Ahoraprocederemosacalcular ( )t P n para1

≥n .Demaneraanálogaalrazonamiento

reciénexpuesto,calculamosprimero ( )t t P n Δ+ ,tomandoencuentaqueparaproducirse

neventosenelintervalodetiempo[ )t t Δ+,0 ,debeocurriralgunodeestosdossucesos,

quesonmutuamenteexcluyentes:1)queseproduzcann-1eventosenelintervalo[ )t ,0

y1eventoenelintervalo[ )t t t Δ+, ,o2)seproducenneventosen[ )t ,0 yningúnevento

en [ )t t t Δ+, .Demodoque:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )t o t t P t o t t P t P t P t P t P t t P n n n n n Δ+Δ−⋅+Δ+Δ⋅=Δ⋅+Δ⋅=Δ+ −− λ λ 11011

Y de modo similar a como hicimos los cálculos precedentes, podemos encontrar la

derivadade ( )t P n :

( ) ( ) ( )( )t P t P t P n n n −= −1λ ' Ø ( ) ( ) ( )t P t P t P n n n 1−=+ λ λ ' [4.6]

Laecuación4.6esunaecuacióndiferencial linealdeordenunono-homogénea. Una

fórmulapararesolvertalesecuacionesdiferencialeseslasiguiente 16:

Sustituyendolostérminoscorrespondientesen la formula anterior, recordandoqueen

estecasolavariableindependienteest(nox)yteniendoencuentaelAxioma4que

establecelascondicionesiniciales ( ) ( ) 00021

=== ¨P P ,procedemosaresolverla4.6:

16ORELLANA,M.,TORRES,E.,GONZALEZ,J.,MIRANDA,G.,pp.84-86

La solución a la ecuación diferencial no homogénea

( ) ( )x q y x p y =+' vienedadapor

( ) ( ) ( )[ ]dx e x q C e y dx x p dx x p ∫ ∫ ∫ − +=

DondeCesunaconstantequedependedelvalordeyenun

puntodado(condicióninicial).



92

( ) ( ) dt e t P e t P t n

t n ∫ ⋅⋅⋅= −

− λ λ λ 1

[4.7]

Conociendo ( )t P 0

podemoshallaralgunosdelos ( )t P n para 1≥n :

( ) ( ) t t t t e t dt e e e t P λ λ λ λ λ λ −−− =⋅⋅= ∫ 1

( )( ) t t t t e

t dt e te e t P λ λ λ λ λ

λ λ −−− =⋅⋅= ∫ 2

2

2

( )( ) ( ) t t t t e

t dt e e

t e t P λ λ λ λ λ λ

λ −−− =⋅⋅= ∫ 62

32

3

....

Nodebecostarnosmuchotrabajodeducirqueengeneral, ( )( )

!n

t e t P

n t

n

λ λ ⋅= − .

Claroestá,estosepuededemostrarporelmétododeinducción,locualsedejacomo

ejerciciopropuestoparaelestudiante(problemapropuestoN°15).Recuerdequesise

quieredemostrarciertapremisa n A paratodo 0≥n ,elmétododeinducciónconsisteen

demostrarque0

A esciertoyque1+⇒ n n AA .

Enresumen,hemosvistoenestaprimerapartedelpresentecapitulolascondicioneso

premisas bajo lascualesseproduce unprocesoestocástico dePoissonhomogéneo.

Lapalabrahomogéneoserefiereaquelaintensidaddeflujo λesunaconstanteenel

tiempo, esto queda establecido por el Axioma 2 referente a los incrementosestacionarios.

Estamosencondicionesdevolveraplantear ladefinicióndeunprocesodePoisson

homogéneo,conlaesperanzadequeelestudiantetengaahoraunamayorcomprensión

delasunto:



93

Definición(ProcesodePoissonhomogéneo):Unprocesodeconteo ( ){ }0≥t t N , esun

procesodePoissonhomogéneocontasamediaconstante(ointensidad) λsicumplelas

condicionesacontinuación:

i. ( ){ }0≥t t N , tieneincrementosestacionarioseindependientes.

ii. Para dos instantes de tiempo s y t tales que t s < , la cuenta de eventos

( ) ( )s N t N − acaecidosenelintervalodetiempo( )t s , esdistribuidasegúnlaleyde

Poissonconmedia ( )s t −λ .Asaber:

( ) ( ){ } ( ) ( )( )!k

s t e k s N t N P

k s t −

==− −− λ λ

Esta vez, esperamosque elestudianteentienda cualesson lascondiciones quedan

origenatalesprocesos,porquéelnúmerodeeventosqueseproducenenunintervalo

detiempoesdistribuidosegúnPoisson,ylasrazonesporlascualesesteprocesosurge

conmuchafrecuenciaenelestudiodeciertosfenómenosaleatorios.

4.3. Procesos de Poisson espaciales.

Las condiciones o postulados axiomáticos que dan origen al proceso de Poisson se

pueden extrapolar a la definición deotro tipode proceso dePoisson sise cambia la

dimensión temporal por la dimensión espacial. De estemodo, cuandohablamos de

lapsos de tiempo en los axiomas 1 a 4, ahora hablaremos de distancias, áreas o

volúmenesenelcasoenqueelprocesosedesarrollaenuna,dosotresdimensiones

espacialesrespectivamente.LoseventosdetipoPoisson,envezdeestardistribuidossobre la recta temporal (porque se suceden en el tiempo), se conceptúan más bien

comopuntos distribuidos sobre una superficie o un volumen. Amodo de ejemplo,

imagínatequeestamosviendocoloniasdebacteriasatravésdelmicroscopio:



94

Fig. 4.1 – Colonias de bacterias vistas a través de un microscopio.

Lospuntososcurosrepresentanbacterias. ElplatodePetri hasidosubdivididoenpequeñoscuadrantescuyacuentadebacteriasseindicanmediantelosnúmerosencadacuadrante.

Enbasealoobservadoenlafigura4.1,podemoscontarcuantoscuadrantescontienen

determinadonúmero debacterias, locual nos da lasfrecuencias absolutasempíricas

(hay 34=n observaciones). Acto seguido calculamos el promedio (estimado) de

bacterias por cada cuadrante, lo cual nos permite calcular las frecuencias relativas

teóricas (ajustadasalmodelo dePoisson) y deahí, multiplicandodichas frecuencias

relativas teóricaspor elnúmerototal deobservaciones,determinamoslas frecuencias

absolutasteóricasquecabriaesperarsesielfenómenoencuestiónfueserealmenteun

procesodePoisson.Todolodichoseresumeenlasiguientetabla:



95

Tabla 4.1– AjustedelasobservacionesdelaFig.4.1aunprocesodePoissonespacial

k

Frecuenciaabsoluta

(empírica)

Frecuencia relativa teórica(obtenida mediantepromedio estimado)

Frecuencia absolutateórica (redondeando

decimales)

0 3 0,11682726 41 9 0,250835 9

2 10 0,26927876 9

3 6 0,19271911 7

4 4 0,10344482 4

5 2 0,06689505 2

Promedio

estimado

( )14712

34

2544631029130,ˆ ≈

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=λ

Siasumimosquelasfrecuenciasabsolutasempíricassonlobastanteaproximadasalas

frecuencias absolutas teóricas, entonces elmodelodePoissonpareceser adecuado

paradescribirelfenómenodelascoloniasdebacteriasobservadasenelplatodePetri.

Laverificacióndelabondaddeajusteserealizamatemáticamentemediantetécnicasde

inferencia estadística que verás en cursos posteriores. Por ahora dejemos la

verificación de bondad de ajuste a un lado y abordemos las implicaciones que se

desprendendeserestefenómenounprocesodePoisson.

Porejemplo,elaxioma4estableceríaqueenunáreaovolumennulohaycerobacterias

concertezatotal.Estotienebastantesentido-lasbacteriasnecesitanciertacantidad

mínimade espaciopara desarrollarse yenun espacio deárea nula no puedehaber

bacterias. Los axiomas 1 y 2 establecerían que en áreas no superpuestasde igual

tamaño, las cantidades de bacterias en cada área son variables independientes e

idénticamentedistribuidas.Estoquieredecirquelacantidaddebacteriasobservadas

enunaesquinadelplatoPetriesindependientedelacantidaddebacteriasobservadas

enotra esquina. Másaún, tienen lamisma distribución probabilística, lo cual quiere

decir que lascondiciones requeridas para eldesarrollode lasactividadesbacterialesson iguales en toda el área del plato Petri. Por ejemplo, colocar un sustrato más

nutritivoparalasbacteriasenalgunaesquinadelplatoPetriharíaquelasbacteriasse

concentrasenenesesector-seestaríaviolandolacondicióndeestacionariedaddelas

superficiesnosuperpuestasdeigualtamañoyelfenómenoyanoseríaunprocesode

Poissonhomogéneo.Dichodeotromodo,losaxiomas1y2parecenindicarquelos



96

eventos en un proceso de Poisson se distribuyen uniformemente en el tiempo (o el

espacioenestecaso),peroestoesunacuestiónqueabordaremosposteriormente.Por

último,elaxioma3plantealaexistenciadeunparámetro λquerepresentalacantidad

promediodeeventosqueseproducenenunintervalodetiempodelongitudunitariay

quepermanececonstanteeneltiempo.EnelcasodeunprocesodePoissonespacial

homogéneocomoelqueestamostratando,λvienearepresentarlacantidadpromedio

debacteriasporcuadrante(deáreaunitaria)observadosenelplatodePetri.

OtraconsideraciónimportanteenelestudiodelosprocesosdePoissonespacialesesla

distanciaentreunpuntoysuvecinomáscercano.Sedaacontinuaciónunteoremaque

especificaladistribucióndeladistancia:

Teorema 4.2-(Distribuciónde ladistanciaalvecinomáscercanoenladistribuciónde

partículas según un proceso de Poisson espacial17) Sea D la distancia entre una

partículaysuvecinomáscercanoenunadistribucióndepartículasenelplanosegúnun

proceso de Poissonespacialcon tasa promedio de l partículas por unidad de área,

entonceslafuncióndedensidaddeDes:

( )2

2y

D e y y f λπ λπ −⋅= [4.8a]

Enelcasoenquelaspartículassedistribuyenenelespaciotridimensionalconunatasa

promediodelpartículasporunidaddevolumen,entonceslafuncióndedensidaddeD

es:

( )3

3

4

24

y

D e y y f λπ

λπ −

⋅= [4.8b]

Demostración: (caso bidimensional) Primero, obsérvese que { }y D P > denota la

probabilidaddequeuncirculoderadio y yárea 2y π contengaceropartículasporlo

tanto

{ } ( ){ } 2

02 y e y N P y D P πλ π −===>

17PARZEN,pp.32-33



97

Ahora bien, el evento { }y D > es complementario al evento { }y D ≤ , de donde

podemosobtenerlaexpresiónparalafuncióndedistribucióndeprobabilidaddeD:

( ) { } { }2

11y

D e y D P y D P y F πλ −−=>−=≤=

Ysiderivamosconrespectoayobtenemoslafuncióndedensidad:

( ) ( )2

2y

D D e y y F y f πλ λπ −⋅== '

La función de densidad de D para el proceso de Poisson tridimensional se obtiene

medianteunprocedimientosimilar.

Observando la forma funcional 4.8a (el caso tridimensional es parecido) nos damos

cuenta que D sigue una distribución de Weibull18, cuya función de densidad se

caracterizapordosparámetrosay b:

( )

α

β α

α β

α β α

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

− ⋅=

x

e x x f 1,; para 0≥x ,cuyaesperanzayvarianzason:

[ ] ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ⋅=α

β 1

1D E y [ ]⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ⋅=2

2 11

21

α α β D V

Ges,comosabemos,laarchiconocidafuncióngammacuyadefiniciónypropiedadesse

danenlaTabla1.2.Todoencajaalaperfecciónsi 2=α yπλ

β 1

= .

18DEVORE,p.176



98

Fig. 4.2. Anotación de observaciones

4.4. Distribución del tiempo inter-eventos.

UnaformaalternativadeestudiarunprocesodePoissonesmediantelaobservaciónde

lostiemposque transcurren entreeventossucesivos,encontraposiciónaobservar la

cantidad de eventos que se producen en un lapso de tiempo de longitud fija, como

hemos venido haciendo hasta ahora. Para

ilustrar esto, supóngase que estamos

interesadosenestudiarelprocesoasociadoala

llegada decarrosauna intersección dondehay

semáforo. Consideremos que se produce un

eventocuandouncarropasaporelárearayada

de alguna de las cuatro intersecciones que

estamosestudiando.

Hasta ahora hemos estudiado el procesoen atención al número de eventosque se

producenenunlapsodetiempodelongitudfija,locualennuestroejemplosetraducea

queelanalistarecopilapacientementelasestadísticasdecuantoscarrospasanporla

intersecciónadeterminadashorasdeldía(digamos,de9a10a.m.)todoslosdías(Fig.

4.2).

Enlafiguraalaizquierda,wrepresentaeldía

en los cuales se toman lasobservaciones y

Nw representa el número de carros que

pasaron por la intersección desde las 9 a

10am en cada fecha correspondiente.

Cuando ha terminado de recopilar las

observaciones, el analista comienza a

resumirlainformaciónafindeverificarsise

trata efectivamente de un proceso de

Poisson. Primero calcula el número

promedio de carros que pasan por la

intersección(λ ̂),locualrealizasumandolos

Nw y dividiendo entre el número de días

observados.



99

De forma semejante a como se ha planteado en los ejemplos anteriores, nuestro

valerosoanalistaajustalasobservacionesaunmodelodePoissonyverificalabondad

deajustedeestemodeloconrespectoalasobservaciones.Ahorabien,supóngaseque

envezdetomarlasobservacionesdeestemodoinstalamosundispositivoelectrónico

en la intersecciónque registreel tiempo(en segundos)que transcurreentre llegadas

sucesivas de carros a la intersección (Fig. 4.3). A partir de un instante 0,

comenzaríamosacronometrareltiempointer-llegadadeloscarros.Naturalmente,esto

generaríaunatrayectoriadelsiguienteprocesoestocástico:

+∈Nn T n

Fig. 4.3. Observación de los tiempos entre llegadas de carros en una intersección.

La secuencia aleatoria +∈Nn T n es de parámetro discreto, porque n denota el

tiempotranscurridoentre lallegadadelnésimovehiculoy eln-1ésimovehiculo.Sin

embargo, cada una de estas variables debe tener una distribución continua.

Supongamos pues que+∈Nn T n es una secuencia de variables mutuamente

independientes e idénticamente distribuidas según una distribución exponencial con



100

parámetrol (verproblemapropuestoN°18). Lafuncióndedensidaddeprobabilidad

paracada n T esentonces:

( ) 0>= − t e t f t

T n

,, λ λ λ

Si estamos interesados en conocer la probabilidad de esperar t segundos omenos

hastaquepaseelpróximocarroenlaintersección,dichaprobabilidadpodrácalcularse

mediantelafuncióndedistribucióndeprobabilidadacumuladadelaexponencial:

( ) 01 >−=≤ − t e t T P t n ,, λ λ

Recordemosademásquesilos n T sonexponencialmentedistribuidos,cabríaesperar

en promedio λ 1 segundos (o cualquier otra unidad de tiempo conveniente) entre

llegadassucesivasdecarrosporque [ ] λ 1=n T E .Obsérvesequemientrasmayoresl

menores,enpromedio,ellapsodetiempotranscurridoentredosllegadassucesivasde

carros.Porestarazón,lesconocidacomola intensidad o frecuencia del tráfico(ver

sección4.2enladescripcióndelaxioma3).Enbasea+∈Nn T n podemosdefinir

unacaminataaleatoria+∈Nn S n delsiguientemodo:

∑=

=n

i i n T S

1

Cada n S representaeltiempodeesperaquetranscurrehastalallegadadelnésimo

vehiculo.¿Sepuedededucirdealgúnmodoladistribucióndeprobabilidaddelos n S ?

Teniendo en cuenta que n S es una suma de n variables independientes e

idénticamentedistribuidas,sepuedededucirmedianteelusodelafuncióncaracterística

oeldesarrollodelasconvolucionesque n S esunavariabledistribuidasegúnlaleyde

Erlang(vertabla1.2,distribuciónGamma).Porlotanto,sufuncióndedensidades:

( )( )

( ) 01

1 >−

= −−t e t

n t f t n

S n ,,

!λ λ

λ λ



101

Lapreguntacrucial es:SiN(t) esunproceso deconteoque representa lacuentade

vehículosquehanpasadoporla intersecciónhastael instantedetiempo t,¿Cómose

distribuye N(t) si los tiempos inter-arribos son independientes e idénticamente

distribuidossegúnlaleyexponencial?

Veamos: ( ){ }n t N = representaelsucesoqueseproducecuandopasanexactamenten

vehículos por la intersección en el transcurso de [ ]t ,0 segundos. Este suceso es

equivalentealsiguiente:“Eltiempohastaquepasaelnésimovehiculoesmenorquety

el siguiente vehiculo (el n+1 ésimo) llega después de t”. Entonces tenemos una

equivalenciaentrelossiguientesdossucesos(quesedebedemostrarenelproblema

propuestoN°19:

( ){ } { } { }t S t S n t N n n ≤−≤≡= +1 [4.8]

Porserambossucesosequivalentes,susprobabilidadessonigualesysetieneque:

( ){ } { } { }( )

( ) ( ) dx e x n

dx e x n

t S P t S P n t N P t

x n t

x n n n ∫ ∫ −−−

+ −−

=≤−≤==00

1

11

λ λ λ

λ λ

λ

!!

Integrandoporparteslaexpresiónenelextremoderechotenemos:

( ){ } ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

!!!! n

t e dx e x

n n

t e dx e x

n n t N P

n t

t x n

n t

t x n λ

λ λ λ

λ λ λ λ λ λ −−−−−− =

−−+

−==

∫ ∫ 0

1

0

1

11

quesecorrespondealafuncióndeprobabilidaddePoisson.

Acabamos de establecer que cuando los tiempos de espera inter-eventos son

exponencialmentedistribuidosconelmismoparámetrolambda(lamismaintensidadde

tráfico),elprocesoresultanteesunprocesodePoisson.Sepuededemostrartambién,

aunquenoseharáenestaexposición,quelostiemposinter-eventosdeunprocesode

Poisson homogéneo son exponencialmente distribuidos con el mismo parámetro

lambda.EstacaracterizacióndelprocesodePoissontieneunaconsecuenciadecapital

importancia práctica para nosotros: para simular un proceso de Poisson, debemos

generar una secuencia de números aleatorios exponencialmente distribuidos. La suma

acumulada de dicha secuencia representará entonces los tiempos exactos en que

suceden los eventos de tipo Poisson.



102

4.5. La distribución uniforme de los tiempos de ocurrencia de sucesos en unproceso de Poisson.

EnlascaracterizacionesdelprocesodePoissonhomogéneoquehemosplanteado,se

hainsinuadoquelosaxiomas1y2referentesalaindependenciayestacionariedadde

los incrementos causan una distribución uniforme y completamente aleatoria de los

sucesosenladimensióntemporal(oespacial,si sequiere).Dehecho,elprocesode

Poisson homogéneo se conoce como el proceso completamente aleatorio ya que

distribuyelossucesossobreel intervalotemporal infinito [ )∞,0 delamismaformaen

quesedistribuyenpuntossobreunintervalofinitobajoladistribuciónuniforme.Vamosa

ilustrar mediante un ejemplo lo que se pretende establecer. Supóngase que en un

horizonte de 0 a 30 unidades de tiempo observamos un procesodePoisson y que

además,enesa“ventanadetiempo”ocurrieronexactamente31sucesosdeciertotipo,

talcomosemuestraenlagráficaacontinuación(Fig.4.4).Adicionalmente,elsuceso

N°32ocurriódespuésdelinstantedetiempot=30.

Fig. 4.4. Una realización de un proceso de Poisson observada en el horizonte de tiempode 0 a 30.

El resultadoque sepretendeestablecer eselsiguiente:si distribuimos31puntosde

formaaleatoriaysegúnladistribuciónuniformesobreelintervalotemporalde0a30,el

resultadoquevamosaobservaresmuysimilaraldelaFig.4.4:

Fig. 4.5. Distribución de 31 puntos sobre el intervalo [0,30] según la distribuciónuniforme.



103

EsinstructivoojearelcódigoenRquegeneraestasgráficas:

#Los eventos en un proceso de Poisson se aglomeran

#y además, el proceso de poisson distribuye los puntos en un

#horizonte de tiempo como la distribución uniforme.

#Autor: Prof. José L. Romero P. fecha: 31/7/2007

#------------------------------------------------------

#Se simula un proceso de Poisson desde 0 a tmax unidades de tiempo

tiempos.de.llegada=NULL

tiempo=0

alfa=1; tmax=30*alfa

while (tiempo<tmax) {

tiempo=tiempo+rexp(alfa)

tiempos.de.llegada=c(tiempos.de.llegada,tiempo)

}

tiempos.de.llegada=tiempos.de.llegada[1:length(tiempos.de.llegada)-1]

l=length(tiempos.de.llegada)

#Se distribuyen la misma cantidad de eventos uniformememnte en el

#intervalo 0 a tmax

distribución.uniforme=runif(n=l,min=0,max=tmax)

#Se genera la gráfica y se exporta a un pdf

pdf(file="Proceso_poisson.pdf")

plot(x=c(tiempos.de.llegada,distribución.uniforme),y=c(rep(5,times=l),

rep(4,times=l)),main=c("Aglutinamiento de eventos en un proceso",

" Poisson y comparación con la distribución uniforme"),

xlab="Tiempos de llegada",ylab="",yaxt="n",col=c(rep("red",times=l),

rep("blue",times=l)))

legend(x=12,y=4.5,fill=c("red","blue"),legend=c("Poisson","Uniforme"))

En este programa estamos incorporando la lecciónmás importante aprendida en el

aparteanterior:siquieressimularlostiemposdeloseventosenunprocesodePoisson,obtenlos recordando que el tiempo entre eventos sucesivos se distribuye

exponencialmente.Enefecto,estoesloqueserealizaenlaprimerapartedelcódigo,

dondesegeneranlos“tiemposdellegada”dentrodeunaventanatemporalentre0y

tmax.

Viendolasdosgráficas,podrásnotarlosiguiente:

1) Ladistribucióndelospuntosenunagráficayenotranosonidénticas,peroson

muy similares. Esto sedebea que el mecanismo aleatorio que las genera es

idénticoenunayenotra,resultadoquepretendemosdemostrarmatemáticamente

enloquesigue.



104

2) Hayciertatendenciaenambasfigurasaque lospuntosseaglomerenunosmuy

cercanosaotros.Dehecho,hayalgunospuntosquecasicoinciden(sonaquellos

círculosmás“oscuros”de lonormal). En la realización del procesodePoisson

estotieneunaexplicaciónmuysencilla:ladistancia(tiempo)quemediaentredos

sucesosconsecutivos esdistribuida exponencialmente,como sedemostró en la

secciónanterior.Ladistribuciónexponencialesmuysesgadahacialaizquierda,

de modo que es más frecuente tener distancias entre puntos muy cortas. Lo

mismo ocurrirá con ladistribución uniforme, puescomosevaademostrar,se

tratadelmismofenómenoaleatorio.

Previoalademostración,vamosaintroducirunaideaquequizásnoteseafamiliar:el

concepto de lo que es un estadístico de orden. Supongamos que tenemos una

secuenciadekvariablesaleatoriasidénticamentedistribuidaseindependientesentresí.

En el ámbito de la inferencia estadística, tal secuencia se conoce como muestra

aleatoria,porquesesuponequelasvariablessecorrespondenaobservacioneshechas

aunapoblación. Para hacer inferencias apartir deunamuestra, componemos los

valoresdelamismaparacalcularloqueseconocecomo estadístico,quenoesmás

que una función (multivariada) de la muestra. Los estadísticos de orden son

simplementeunordenamientodemenoramayordeloselementosdelamuestra.Así,

paraunasecuenciade kvariablesaleatorias k U U U ,,, …21

, losestadísticosdeorden

( ) ( ) ( )k U U U ,,, …21 seobtienenordenando lasecuenciaoriginal segúnsumagnitud,de

modo que siempre secumple que: ( ) ( ) ( )k U U U ≤≤≤ …21

. En particular, estaremos

interesadosenconocercualeslafuncióndedensidadconjuntadelosestadísticosde

orden basados en una muestra aleatoria tomada de una población uniformemente

distribuidaenelintervalo [ ]T ,0 :

( )k k U U U

T

k t t t f

k

!,,,

)()()( ,,, =…… 2121 cuando T t t t k ≤≤≤≤≤ …

210 [4.9]

El términok T 1 al lado derecho de la ecuación proviene del hecho de ser los

k U U U ,,, …21

uniformementedistribuidos enel intervalo [ ]T ,0 y de sermutuamente

independientes (la función dedensidad conjunta es laproductoria de las respectivas

funciones de densidad). El termino !k proviene de observar que hay !k posibles



105

ordenamientos (o permutaciones, si se quiere) de los elementos de la secuencia

k U U U ,,, …21

ytodosgeneranlamismasecuencia ( ) ( ) ( )k U U U ,,, …21

.

Porotrolado,supongamosque ( ) k T N = ,loqueequivaleadecirquehastaelinstante

detiempoT,hanocurridoexactamenteksucesosdetipoPoisson.Másprecisamente,

dado que ( ) k T N = , la probabilidad (condicional) de que en cada uno de los

subintervalos [ ] [ ]k k k t t t t t t Δ+Δ+ ,,,, …111

del intervalo [ ]T ,0 ocurra exactamente un

sucesoyfueradeestossubintervalosnoocurraningúnsucesoes:

( )

( ) k

k

k T

t t T t k

t

T

k t t

k

T e

e e t e t k k !

!

⋅Δ⋅⋅Δ=

⋅

⋅Δ⋅⋅Δ

−

Δ−−Δ−−Δ−Δ− ………

1111

λ

λ λ

λ

λ λ λ

[4.10]

Esta probabilidad se puede expresar en función de los instantes

T S S S k <<<< …21

enqueseproducenlosksucesos,demodoque:

( )( )k

k

k k k k

T

k

t t

k T N t t S t t t S t P !,,=

Δ⋅⋅Δ

=Δ+≤≤Δ+≤≤

…

…

1

1111 [4.11]

Lanotación “delta-t”en lossubintervalos

[ ] [ ]k k k t t t t t t Δ+Δ+ ,,,, …

111

seutilizóconel

propósitoexpresodequeintuyasquelaexpresiónalaizquierdade4.11esunafunción

dedensidadconjunta(condicional)sihacemostenderlos i t Δ acero(recordemosquela

funcióndedensidadesladerivadadelafuncióndedistribucióndeprobabilidad).Con

todoesto,tenemosendefinitivaque:

( )( )k k S S S

T

k k T N t t t f

k

!,,,,,, ==…… 2121

cuando T t t t k ≤≤≤≤≤ …21

0 [4.12]

Y esto es exactamente igual a laexpresión en 4.9. Comoquien no quiere lacosa,hemosdemostradoelsiguienteteorema:



106

Teorema 4.3- Sea ( ){ }0≥t t N , un proceso de Poisson homogéneo con parámetro

lambda. Bajo la condición ( ) k T N = , los tiempos en que ocurren los k sucesos de

Poisson k S S S <<< …21

son variablesaleatorias con la misma distribuciónque los

estadísticos de orden correspondientes a k variables aleatorias independientes

k U U U ,,, …21

distribuidasuniformementeenelintervalo [ ]T ,0

Con esta información, vamos a echar unsegundo vistazoal problemadel encuentro

visto en la sección 1.7. Recordemos que el problema era determinar con cual

probabilidad se encuentran dos personas si el tiempo de llegada de cada uno es

uniformementedistribuidoenellapsodeunahoraeindependientedelotroyademásel

quellegaprimeronoesperamasde10minutos(1/6dehora)porelotro.Noesque

hayamosabordadoelproblemamalenaquellaoportunidad,peroahora,medianteunasimulacióneinterpretandoelteorema4.3,loharemosdenuevo.

Simulando los tiemposdeocurrenciadeeventosenunproceso dePoisson conuna

tasa lambdaarbitraria (en la simulación realizamos corridas condistintos valores de

lambda),consideramossololoscasosenloscualeselsegundosucesohayasucedido

antesdelahorayeltercerodespuésdelahora.Estoredundaenquesecumplela

hipótesisdel teorema, a saber, quehansucedidodos eventosde tipoPoisson enel

lapsodeunahora,o ( )21

=N .Elteorema4.3nosaseguraquebajoestacondición,los

tiemposdeocurrenciadelosdossucesos 1021

<<< S S sedistribuyenigualquelos

estadísticos de orden correspondientes a dos variables aleatorias independientes y

uniformemente distribuidas entre 0 y 1. La tesisdel teorema es la quenos permite

calcularlaprobabilidadrequerida:tansolotenemosquecalcularlaproporcióndecasos

delasimulación(quecumplenlahipótesis)dondeeltiempodeocurrenciadelsegundo

eventodistaenmenosde10minutos(1/6dehora)deltiempodelprimerevento.

Cabe preguntarse si el valor del parámetro del proceso de Poisson no afecta el

resultado. El siguiente código simuló N=10000 corridas en las cuales ocurrían

exactamente dos sucesos de Poisson en una hora para cada { }108642 ,,,,∈λ .

Sorprendentemente, las probabilidades no varían según el valor de lambda y en

conjunto,nodifierenmuchodel valor teóricocalculadoen lasección 1.7(queerade

55300, ).



107

> N=10000

> for (lambda in seq(from=2,to=10,by=2)) {

+ cnt=0

+ muestra=NULL

+ while (cnt<N) {

+ x=cumsum(rexp(lambda,n=3))

+ if ((x[2]<1)&(x[3]>1)) {

+ muestra=c(muestra,x[2]-x[1])

+ cnt=cnt+1

+ }

+ }

+ cat("lambda=",lambda,"probabilidad=",

+ mean(as.integer(muestra<1/6)),"\n")

+ }

lambda= 2 probabilidad= 0.3078





>

Paradarlemássustento empírico alasunto, seobtuvounhistogramade frecuencias

contrastandolasdensidadesempíricasconlafuncióndedensidadteórica(lalínearoja).

DichográficoseincluyeenlaFig.4.6:llamalaatenciónlasimilitudentreesteyeldela

sección1.7.

Por supuesto, elabordajeque se le hizoa este problemaen lasección1.7 esmás

natural ymásdirecto queelquehicimosahora. Pero conestose pretendía trabase

mayor conocimiento intuitivo sobre lo que establece el teorema 4.3 y sobre las

condicionesnecesariasparasuvalidez.Sevuelvearecalcarqueelvalorparticulardel

parámetrolambdanoestaentreestascondicionesnecesarias.



108

Fig. 4.5- Densidades empírica y teórica para el problema del encuentro en la sección

1.7.

Lasimplicacionesdelteorema4.3sepuedenenlazarcontodoloquehemosvistohasta

ahora del proceso de Poisson homogéneo, en particular, las consideraciones que

hicimos para los procesos de Poisson espaciales. De hecho, las condiciones de

estacionariedad e independenciade los incrementos, quecaracterizan al proceso de

Poissonhomogéneoimplicanqueen cualquierpuntodeunadeterminadaáreaexiste

igual probabilidad de ocurrir un suceso que en otro lugar. En la terminología del

teorema 4.3diríamos que elproceso dePoisson espacial distribuyepuntossobreun

áreaovolumenuniformemente.Porotrolado,vistalarelaciónentrelauniformeyla

exponencialquesedaenelprocesodePoisson,cuandosedistribuyenpuntosenel

espacio de forma completamente aleatoria y uniforme, ocurre cierto aglutinamiento.

¿Quizás por esoes que lasestrellasyotroscuerposcelestes formanconglomerados

comogalaxiasyconstelaciones?



109

Problemas Resueltos

1) Ciertaenfermedadnocontagiosaafectaenpromedioaunapersonadecadamil

en lapoblación. ¿Cuál esla probabilidad dequeocurran almenos doscasos,

ningúncasoyexactamenteuncasoenunpueblode3000habitantes?

Solución:

Como laenfermedadesnocontagiosa, supresencia encualquierhabitantedel

pueblo es independiente del resto de las personas. Por lo tanto un modelo

razonabledelasituaciónessuponerquesetratade3000ensayosdeBernoulli

con probabilidad de éxitode 0,001. Usamos en este caso la aproximación de

Poissonconparámetro 3== np λ ,dedondeobtenemos:

{ } 0498003 ,==== −− e e X P λ

{ } 14940313 ,==⋅== −− e e X P λ

λ

{ } { } { }( ) 800801012 ,==+=−== X P X P X P

2) Sea ( ){ }0≥t t N , un proceso de Poisson homogéneo con parámetro 8=λ .

Calcular ( ) ( ) ( ){ }325419231552 === .,.,. N N N P .

Solución:

El evento cuya probabilidad deseamos calcular se puede escribir como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }132354452231552 =−=−= ..,..,. N N N N N P ysabemosqueunadelas

característicasdelprocesodePoissonesladeposeerincrementosestacionarios

eindependientes,dedondelaprobabilidadquedeseamoscalculares:

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( )

6

13415

3170528

10342

13417

410652013314701552

−

++−

⋅=

⋅⋅ ⋅⋅⋅==⋅=⋅=

.

!!!..... ...e N P N P N P



110

3) Los clientes llegan a la sucursal de un banco de acuerdo con un proceso de

Poissonhomogéneodeintensidad λ .Sesabequeenelintervalo[ ]T ,0 hallegado

exactamenteuncliente.DeterminacuálesladistribucióndelavariablealeatoriaX

querepresentaelinstanteenelquellegaelcliente,condicionadaalainformación

delaquedisponemos.

Solución:

Para determinar completamente la distribución de la variable aleatoriaX , basta

condeterminarelvalordelparámetrolambda,puessesabeque ( ){ }0≥t t X , es

unprocesodePoissonhomogéneo.Unaformadeabordarelproblemaseríaasí:

λ representalacantidaddeeventos,enpromedio,queocurrenenunaunidaddetiempo.Enbasealaevidencia,ocurrióuneventoenT unidadesdetiempo.Porlo

tanto,paraestimarλ enbaseaestainformaciónpodríamosutilizarunareglade

tres:

1esaT comoλ esa1,dedonde T 1=λ .

Este planteamiento podría no parecer lo bastante “científico”, por lo cuál

hablaremosbrevementedeunprocedimientodelainferenciaestadísticallamado

estimación puntual por el método de la máxima verosimilitud.Básicamente,dicho

métodoconsisteendeterminarelestimador(valor)delparámetrocomoaquelque

maximiza la verosimilitud, o probabilidad, de observar determinado valor de la

muestra. En nuestro caso, la probabilidad de observar 1 suceso en todo el

intervalo [ ]T ,0 es:

( ){ } 11

T

e T X P

T λ λ

⋅==

−

Encontrarelvalordeλ quemaximizaestaprobabilidadesequivalenteaencontrar

elvalordeλ quemaximizaellogaritmoneperianodedichaprobabilidad,porqueel

logaritmoesunafunciónmonótonacreciente.Porlotanto,tenemosque:



111

( ){ } ( )λ

λ λ λ

λ

λ λ

λ 1

11 +−=++−

∂∂

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

∂∂

==∂∂ − T T T

T e T X P T lnlnlnln

e igualando dicha derivada a cero (para hallar el punto crítico), se tiene que

T 1=λ ,comohabíamosconcluidoantes.

4) ConsiderelaconfeccióndeGalletas“LaAbuela”,enlaqueelnúmerodepasasen

cadagalletadeavenaesunavariablealeatoriadetipoPoissonconunpromedio

de1,5pasasporgalleta.

a) ¿Cuáleslaprobabilidaddetenerunaomáspasasenunagalletadeavena

seleccionadaalazar?

b) Envistadequelosclienteshanprotestado,laAbuelahadadoinstruccionesa

sus empleadosquedesechen lasgalletas de avena sin pasas. ¿Cuales la

esperanzamatemáticay lavarianzadelnúmero depasaspor galleta en las

galletasrestantes?

Solución:

Sea X el número de pasas de una galleta escogida al azar, donde

{ }!

,,

k e k X P

k 5151−== .

Por lo tanto, { } 22310051 ,, === −e X P y en consecuencia,

{ } { } 77690011 ,==−=≥ X P X P , lo cual responde a la primera parte de la

pregunta.

Esta probabilidad de 0,7769 será considerada como la probabilidad total en la

distribucióndepasasenlasgalletasremanentes,quecontendráncomomínimo1

pasa. Por lo tanto, la distribución de probabilidad (truncada) de lacantidad de

pasasenlasgalletasconporlomenosunapasaserá:

{ }⎪⎩

⎪⎨⎧ ≥⋅== −

contrario caso

k para k

e k X P

k

0

177690

5151

!,,'

,

Deahí,laesperanzadeX’es

[ ] 9308151

77690

51

77690

51

0

51

1

51 ,!

,

,

,

!,

,' ,, ==⋅

⋅= ∑∑

∞

=

−∞

=

−

k

k

k

k

k e k

k e X E



112

Yparacalcularlavarianza:

[ ] ( )[ ] ( ) ( )

( ) 77690

5151

77690

51

2

51

77690

51

177690

511

77690

511

2

0

2

51

2

22

51

2

51

1

512

,

,

!

,

,

,

!

,

,

,

!,

,

!,

,''''

,,

,,

==−

=

−⋅⋅

=−⋅⋅

=−=−

∑∑

∑∑∞

=

−∞

=

−−

∞

=

−∞

=

−

k

k

k

k

k

k

k

k

k e

k e

k k k

e k k k

e X X E X X E

Dedonde [ ] 826949308177690

512

2 ,,,

,' =+=X E yfinalmente:

[ ] [ ] 098919308182694222 ,,,''' =−=−= X E X E X V



113


1) Demuestra quelasiguiente función esuna función deprobabilidad y deducela

esperanzamatemáticaylavarianzadelavariablealeatoriacorrespondiente:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥∈=

−

00

0

x

x e x x p

x

X

Nλ λ

!

2) Sea ( )λ ;x p la función de probabilidad de Poisson con parámetro lambda.

Demuestralasiguientefórmuladerecursión:

( ) ( )λ λ

λ ;; x p x

x p 1

1+

=+

3) Elnúmerodepartículasemitidasdeunafuenteradioactivaduranteunperiodode

tiempoesunavariablealeatoriacondistribucióndePoissony laprobabilidadde

que no haya emisiones es de 31 . calcula la probabilidad de tener 2 o más

emisioneseneselapsodetiempo.

4) Considéreseeltorneodefútbolamericanoqueseefectúaentrelos28equiposque

constituyen la Liga Nacional de Fútbol (NFL) donde nos interesa el número de

anotaciones(touchdowns )decadaequipoporjuego.Enbasealasiguientetabla,

quemuestralaestadísticadefrecuenciasdelnúmerodeanotacionesporequipo

por juego,ajustael númerodeanotaciones aunavariable aleatoria distribuida

segúnPoisson.Enbaseaesteajuste,¿considerasqueladistribucióndePoisson

esunmodelomatemáticoadecuadoparaestefenómeno?

Número de anotacionesporequipoyjuego

Númerodevecesobservada(frecuenciaabsoluta)

0 351 99

2 1043 1104 625 256 10

7omás 3

Totales 448



114

5) Supóngasequeenunrecipientequecontiene10.000partículas,laprobabilidadde

queseescapeunaesde0,0004ycadaescapeocurredeformaindependiente.

¿Cuáleslaprobabilidaddequeeneserecipienteocurran5omásescapes?

6) Supóngase que una operadora de tele-mercadeo recibe una llamada con

probabilidad0,01yningunallamadaconprobabilidad0,99enunsegundo.Utiliza

laaproximacióndePoissonparacalcularlaprobabilidaddeque laoperadorano

reciballamadassiseausentadurante5minutosparatomarseuncaféycompárala

conlaprobabilidadbinomialcorrespondiente.

7) Enunartículopublicadoenunarevistamédicaespecializadasereportaquepara

un paciente diabético, insulina-dependiente de edad entre 30 y 40 años, la

probabilidadanualdecontraerretinopatíadiabética(ceguera)esde0,0067.Enungrupode1000pacientesconestascondiciones,¿Cuáleslaprobabilidaddeque

seden4omáscasosdecegueracausadapordiabeteselpróximoaño?

8) En un hospital, se lehicieron pruebas a 3741 recién nacidosde los cuales 30

resultaronHIV-positivos.Enunamuestraaleatoriade500pacientestomadosde

estapoblación,¿cuáleslaprobabilidaddequeexactamente10deellosresulten

HIV-positivos?Justificaeluso dela distribuciónhipergeométricaparaencontrardichaprobabilidadyaproximaestaprobabilidadmediantelafuncióndePoisson.

9) Supóngasequeel1,5%de lasfamiliasenCaracastienen un ingreso anualpor

encimadelos30.000,00Bs.F.Calculalaprobabilidaddequealseleccionaruna

muestra aleatoria de 60 familias caraqueñas, a lo sumo 2 tienen ingresos

superioresalos30.000,00Bs.F.

10) Al transmitirnúmerosbinariosden dígitosmedianteuncomponenteelectrónico,

se introducen errores en la transmisión de cada bit de forma independiente y

aleatoria con una probabilidad constante 00020.=p . Si se transmiten 1000

númerosbinariosde64bitscadaunopormicrosegundo,determina:



115

a) ¿Cuáleslaprobabilidaddetransmitirunnúmerode64bitsconcero,unoo

máserrores?

b) ¿Cuál es la probabilidad deque se transmitan exactamente diez números

incorrectamenteeneltranscursodeunmicrosegundo?

11) Enunamanufacturadebotellasdevidriopuedenencontrarsepartículasextrañas

enelvidriofundido.Siunadetalespartículasseencuentraenelvidriodeuna

botella,dichabotellaesdefectuosaydebeserdescartada.Suponemosqueestas

partículas se encuentran distribuidas en el vidrio fundido de forma uniforme y

aleatoria,yqueenpromedio,setienen30partículasporcada100kg.devidrio

fundido yque serequiere 1 kg. de vidrio fundido para fabricar cada unade las

botellas.Determinaqueporcentajedelasbotellasdebenserdescartadas.(Ayuda:

larespuestanoes30%)

12) En un consultorio médico llegan en promedio 15 pacientes diarios según un

proceso de Poisson. ¿Cuántos pacientes deben ser admitidos diariamente a

consultasilagerenciadeseaestarseguraconun85%deconfianzadenodejarde

atenderpacientesenundía?

13) ConsideraunprocesodePoissonhomogéneo ( ){ }0>t t N .Demuestraquepara

t s < , ( ) ( ) n t N s N = es una variable aleatoria Binomial con n ensayos y

probabilidaddeéxito t s .

14) ConsidéreseunprocesodePoissonhomogéneo ( ){ }0>t t N contasal.Calcule

sunúcleodecovarianza ( )t s s K +, con 0>t s , .

15) Demuestra por el método de inducción completa que ( )( )

!n

t e t P

n t

n

λ λ ⋅= − ,

partiendodelaecuación4.7dadaenestecapitulo.

16) Como ejemplo de una distribución aleatoria de puntos en el espacio, se da a

continuaciónunatablabasadaenestadísticasreferentesalacantidaddeimpactos

debombasvolantesalemanastipoV-2sobreLondresdurantelasegundaguerra



116

mundial. El área total expuesta a bombardeo se subdividió en 576 áreas

pequeñasde 241 km cadauna,registrandoelnúmerodeáreas k N enquehay

exactamentek impactos.

k 0 1 2 3 4 5omás Total

k N 229 211 93 35 7 1 576

a) ¿Cuántos impactos de bombas volantes se registraron en total, según la

estadísticaanterior?

b) Determinaelpromediodeimpactosporáreade 241 km .

c) Determinaelajustedeimpactosporáreade 241 km aunadistribuciónde

PoissonyverificaqueelmodelodePoissonseajustabastantebienaestefenómeno.

d) Según lascondiciones que dan origenalprocesodePoisson, interpretay

deduce las implicacionesde queel fenómenodescritosea un proceso de

Poisson.

17) En el bosque de Nunca Jamás, los árboles se distribuyen según un proceso

Poisson espacial homogéneo en dos dimensiones a razón de 50 árboles por

hectárea.¿Cuálesladistanciapromedioentreunárbolyelárbolmáscercano?

18) Sea +∈Nn T n una secuencia de variables mutuamente independientes e

idénticamente distribuidas según una distribución exponencial con parámetro l.

¿Qué tipo de proceso estocástico es +∈Nn T n ? ¿Es estrictamente

estacionario?¿Esdébilmenteestacionario?Razonaturespuesta.

19) Supóngase que los tiempos entre eventos de un proceso (que llamaremos

incrementos) son mutuamente independientes e idénticamente distribuidos y

defínaseunacaminataaleatoria +∈Nn S n delmodousualcomolasumaden

incrementospositivosindependientes.Sea ( ){ }n t N = elsucesosiguiente:“Hasta

el momento t, han ocurrido exactamente n eventos”. Utiliza el álgebra de



117

conjuntos y losaxiomasbásicos de la probabilidad para demostrar la siguiente

equivalencia: ( ){ } { } { }t S P t S P n t N P n n ≤−≤== +1.

20) Considérese un proceso de Poisson homogéneo ( ){ }0>t t N con tasa l y la

secuencia aleatoria +∈Nn S n son los tiempos de ocurrencia de eventos

asociados a este proceso de Poisson. Calcula ( ){ }103

=≤ t N x S P , con

t x ≤≤0 .

21) RealizaunasimulaciónporcomputadoradeunprocesodePoissonconintensidad

promediode2sucesosporunidaddetiempo.Utilizandodichasimulaciónestima:

a) [ ] 242

=,N P ,donde [ ]42,N representalacantidaddesucesosocurridosenel

intervalo [ ]42, .

b) { }533

≤≤ S P ,donde3

S eselinstanteenqueocurreeltercersuceso.

22) Unvendedordeperrocalientesobservaqueaúncuandosusclientesasiduosno

lleganenintervalosdetiemporegulares,noobstantearribansegúnunprocesode

Poissonconunatasadellegadapromediodeunclienteporminuto.Undíaledice

aun amigo que le hagaguardiaen su carrito de perro calientesmientrasel se

ausentapor5minutos.Asuregreso,elamigoledicequeenloscincominutos

llegaron4clientes.“Descríbemelosporalgunacaracterísticaúnicaacadaunoyte

diré el momento en el cual llegaron”, le respondió el perrero. Calcula la

probabilidad de que el perrero pueda identificar correctamente los tiempos de

llegada de cada clientesipara cada cliente indica un intervalo de dosminutos

dentrodelcualseaseguraqueeseclientellegó.

apuntes_procesos_estocásticos

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