Apuntes de Algebra

Departamento de MatematicasUniversidad de Castilla - La Mancha

E. I. I. Albacete

Septiembre de 2011

ii

Indice general

1. Numeros Complejos 1

1.1. El cuerpo de los Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Conjugado de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Modulo de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Representacion geometrica de los numeros complejos: Modulo y argumento . . . 4

1.3. Formas trigonometrica y polar de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Operaciones en forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Potencia y raız n-sima de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

iv Indice general

Tema 1

Numeros Complejos

1.1. El cuerpo de los Numeros Complejos

El conjunto R de los numeros reales tiene la dificultad de que hay ecuaciones que no tienensolucion, como por ejemplo ocurre con x2 +1 = 0. Serıa deseable, por consiguiente, encontrar unconjunto K que tuviera las mismas operaciones y estructura algebraica que R, que contuviera aeste como subconjunto y en el que cualquier ecuacion polinomica con coeficientes en K tuvieraal menos una raız en K.

Dicho conjunto se determina a partir del cuerpo R anadiendo un elemento i tal que i2 = −1.Se definen en el la suma y el producto, y dichas operaciones tienen las mismas propiedades queen R. Es

C = {x+ yi : x, y ∈ R}

Este conjunto, C, se llama cuerpo de los Numeros Complejos.

Los elementos de C, expresados como z = x + yi con x, y ∈ R, se dice que estan dados enforma binomica.

Siz = x+ yi, z′ = x′ + y′i

son dos numeros complejos cualesquiera, se definen las operaciones

z + z′ = (x+ x′) + (y + y′)i,z · z′ = (xx′ − yy′) + (xy′ + x′y)i.

La suma es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro 0 = 0 + 0i y cada elementoz = x+ yi tiene su opuesto −z = −x− yi.

El producto es conmutativo, asociativo, tiene elemento neutro 1 = 1 + 0i y cada elementoz 6= 0 tiene inverso, z−1. Es tambien distributivo respecto de la suma.

Conviene recordar que, si z = x+ yi,

z−1 = (x+ yi)−1 =x

x2 + y2− y

x2 + y2i.

2 Numeros Complejos

Definicion 1.1. Dado un numero complejo expresado en forma binomica, z = x+ yi,

el numero real x se llama parte real de z y se representa por Re(z).

el numero real y se llama parte imaginaria de z y se representa por Im(z).

Por tanto,

Re(z) = x, Im(z) = y.

Ejemplo 1.1. Dados los complejos

z1 = 3 + 2i, z2 = 5− 4i, z3 = 7i, z4 = −8,

se tiene que

Re(z1) = 3; Re(z2) = 5; Re(z3) = 0; Re(z4) = −8;

Im(z1) = 2; Im(z2) = −4; Im(z3) = 7; Im(z4) = 0.

El conjunto C no esta ordenado

Si bien se puede ampliar el conjunto de los numeros reales hasta obtener otro conjunto mayorque lo contiene, conservando en dicho proceso las operaciones y sus propiedades, no es posiblemantener el orden que esta definido en R.

En efecto, si tenemos en cuenta que en el conjunto de los reales se verifica que si x ∈ Rentonces x2 > 0, no podemos escribir ni i > 0 (pues en ese caso i · i = i2 > 0, lo que nos lleva alabsurdo de que −1 > 0), ni i < 0, pues de nuevo llegamos a la conclusion absurda de que debeser −i > 0 y por tanto (−i)2 = i2 = −1 > 0.

Es, pues, imposible mantener el orden de R en C.

1.1.1. Conjugado de un complejo

Definicion 1.2 (Conjugado). Sea z = x+ yi ∈ C un complejo cualquiera.

Se llama conjugado de z y se designa por z al numero complejo

z = x− yi.

Ejemplo 1.2. Para los complejos del ejemplo anterior,

z1 = 3 + 2i, z2 = 5− 4i, z3 = 7i, z4 = −8.

los conjugados son, respectivamente,

z1 = 3− 2i, z2 = 5 + 4i, z3 = −7i = −z3, z4 = −8 = z4.

Propiedades del conjugado

Se verifican las siguientes propiedades, siendo z, z′ ∈ C:

z = z.

1.1 El cuerpo de los Numeros Complejos 3

z + z′ = z + z′.

z · z′ = z · z′.( zz′

)=

z

z′, siendo z′ 6= 0.

Re(z) =z + z

2, Im(z) =

z − z2i

.

z es un numero real si, y solo si, z = z.

1.1.2. Modulo de un complejo

Definicion 1.3 (Modulo). Dado un numero complejo z = x + yi, se llama modulo de z y serepresenta por

|z|

al numero real

|z| = +√z · z = +

√x2 + y2

Si z es un numero real, su modulo como numero complejo coincide con su valor absoluto.

Ejemplo 1.3. Los modulos de los complejos

z1 = 3− 4i, z2 = 3i, z3 = −2.

son, respectivamente,

|z1| = +√

32 + (−4)2 = 5, |z2| = +√

32 = 3, |z3| = +√

(−2)2 = 2.

Propiedades del modulo

Se verifican las siguientes propiedades, donde z, z′ ∈ C son complejos cualesquiera:

|z| = 0 si, y solo si, z = 0.

|z| = |z|.

|Re(z)| ≤ |z| ; |Im(z)| ≤ |z|.

|z · z′| = |z| · |z′|.

|z + z′| ≤ |z|+ |z′|.∣∣|z| − |z′|∣∣ ≤ |z − z′|.Ejemplo 1.4. Dados los complejos z = −3 + 4i y z′ = 1− 3i, comprobemos que se verifican laspropiedades anteriores para ellos.

4 Numeros Complejos

Solucion: En efecto, se tiene que

|z| = | − 3 + 4i| =√

(−3)2 + 42 =√

25 = 5 = |z|,|z′| = |1− 3i| =

√12 + (−3)2 =

√10 = |z′|.

|Re(z)| = 3 < 5 = |z|; |Im(z)| = 4 < 5 = |z|.

|z · z′| = |(−3 + 4i)(1− 3i)| = |9 + 13i| =√

250 = 5√

10,

y tambien

|z| · |z′| =√

(−3)2 + 42 ·√

12 + (−3)2 = 5√

10.

|z + z′| = | − 2 + i| =√

5 < 5 +√

10 = |z|+ |z′|.

|z − z′| = | − 4 + 7i| =√

65

y se verifica que∣∣|z| − |z′|∣∣ = 5−√

10 <√

65 = |z − z′|.

1.2. Representacion geometrica de los numeros complejos: Moduloy argumento

Los numeros complejos, definidos como pares de numeros reales, pueden representarse en elplano R× R.

Cada numero complejo z = x + yi se identifica con el par de numeros reales (x, y) y serepresenta como un punto del plano R × R y viceversa, cada punto del plano R × R es larepresentacion de un numero complejo.

Al punto del plano que representa a un complejo determinado se le llama afijo de dichocomplejo.

Sus coordenadas son la parte real del complejo (primera componente) y la parte imaginaria(segunda componente).

Por tanto, puede escribirse que

C = {(x, y) : x, y ∈ R}

Ejemplo 1.5. El numero complejo z = 3 + 2i se representa en el plano por el par (3, 2). Elpunto (3, 2) es por tanto el afijo de este numero complejo.

Figura 1.1: Representacion del complejo z = (3, 2).

1.3 Formas trigonometrica y polar de un numero complejo 5

Definicion 1.4 (Argumento). Sea z un numero complejo no nulo y P = (x, y) su afijo. Dado el

vector−−→OP , se llama argumento de z y se representa en general por arg(z) o por la letra griega

θ, al angulo

θ ∈ [0, 2π)

que forma este vector con el semieje horizontal positivo OX.

En determinadas circunstancias es conveniente considerar el argumento en el intervalo (−π, π].

En la figura siguiente se observa como al representar el afijo de z = x+ yi (suponemos, porcomodidad pero sin perdida de generalidad, que x > 0, y > 0) se forma un triangulo rectangulo

de catetos x e y, siendo θ un angulo agudo y siendo |−−→OP | = |z| =

√x2 + y2 la hipotenusa.

Se verifica entonces que

tg(θ) =y

x, sen(θ) =

y√x2 + y2

, cos(θ) =x√

x2 + y2.

Figura 1.2: Argumento de un complejo.

Propiedades del argumento

Si z, z′ ∈ C son complejos cualesquiera se verifican las propiedades:

arg(z) = 0 si, y solo si, z ∈ R+.

arg(z) = π si, y solo si, z ∈ R−.

arg(z) = − arg(z).

arg(z · z′) = arg(z) + arg(z′).

arg(z−1) = − arg(z).

1.3. Formas trigonometrica y polar de un numero complejo

Si z = x + yi es un numero complejo en forma binomica, su modulo r y su argumento θ secalculan mediante las formulas

θ = arc tg(yx

), r = |z| =

√x2 + y2.

6 Numeros Complejos

Recıprocamente, si de un complejo z conocemos su modulo r y su argumento θ, entoncesz = x+ yi, siendo

x = r cos(θ), y = r sen(θ).

Eso nos la posibilidad de expresar un complejo cualquiera z ∈ C de una de las siguientesformas:

Cartesiana: z = (x, y).

Binomica: z = x+ yi.

Polar: z = rθ = (r, θ).

Trigonometrica: z = r(cos(θ) + i sen(θ)).

Ejemplos 1.6.

1. Dado el complejo z = 4 − 4i en forma binomica, su modulo r y su argumento θ valen,respectivamente,

r =√

42 + (−4)2 =√

32 = 4√

2 θ = arc tg(−1) = −45◦ = 315◦ =7π

4rad.

El complejo z puede escribirse entonces

en forma cartesiana, z = (4,−4).

en forma binomica, z = 4− 4i.

en forma trigonometrica, z = 4√

2(cos(7π4 ) + i sen(7π4 )

).

en forma polar, z = 4√

2 7π/4 =(4√

2, 7π4).

2. Para el complejo w = (6, π/3) dado en forma polar, se verifica que

x = r cos(θ) = 6 cos(π/3) = 61

2= 3, y = r sen(θ) = 6 sen(π/3) = 6

√3

2= 3√

3.

Entonces podemos escribir z

en forma cartesiana, z = (3, 3√

3).

en forma binomica, z = 3 + 3√

3 i.

en forma trigonometrica, z = 6(cos(π3 ) + i sen(π3 )

).

en forma polar, z = 6π/3 = (6, π/3).

1.3.1. Operaciones en forma polar

Ademas de las operaciones en forma binomica, la forma polar es especialmente util para elproducto, cociente y potenciacion de complejos, pues dados z = (r, θ) y z′ = (r′, θ′), se verificanlas igualdades

z · z′ = (r, θ) · (r′, θ′) = (r · r′, θ + θ′)

zn = (r, θ)n = (rn, nθ)

A veces es util pasar los complejos a forma polar y operar, volviendo a pasar luego el resultadoa forma binomica.

1.4 Potencia y raız n-sima de un numero complejo 7

Ejemplo 1.7. Dados los complejos z = −2 + 2√

3i, z′ = 3 + 3√

3i, se tiene que

z · z′ = (−2 + 2√

3i)(3 + 3√

3i)

= −6− 6√

3i+ 6√

3i+ 6√

32i2 = −6− 18 = −24.

Si expresamos los numeros en forma polar, entonces z = 42π/3, z′ = 6π/3 y

z · z′ = 42π/3 · 6π/3 = 242π/3+π/3 = 24π = −24.

1.4. Potencia y raız n-sima de un numero complejo

Como caso particular de la multiplicacion de dos o mas complejos, puede observarse que,para cualquier entero n ≥ 1,

(r, θ)n = (rn, nθ)

o bien, en forma trigonometrica

[r(cos(θ) + i sen(θ))]n = rn(cos(nθ) + i sen(nθ)).

Sin dificultad se comprueba que dichas igualdades se verifican tambien para exponentesenteros no necesariamente positivos, de modo que son validas para n ∈ Z.

Es importante notar que dados dos complejos en forma polar, z = rθ y z′ = r′θ′ , estos soniguales si, y solo si, los modulos coinciden y los argumentos, o bien coinciden o bien se diferencianen un multiplo entero de 2π, es decir

z′ = z ⇔{r′ = rθ′ = θ + 2kπ, k ∈ Z

Ejemplo 1.8. Dado el complejo z = 3 + 3√

3i, para hallar z3 escribimos z en forma polar,z = 6π/3; entonces,

(3 + 3√

3i)3 = (6π/3)3 = (63)3π/3 = 216π = −216.

De manera similar podemos hallar z−1.

z−1 = (3 + 3√

3i)−1 = (6π/3)−1 = (1/6)−π/3

=1

6

(cos(−π

3

)+ i sen

(−π

3

))=

1

6

(1

2− i√

3

2

)=

1

12−√

3

12i.

Raıces de un complejo

Sea z = r(cos(θ) + i sen(θ)) un numero complejo no nulo y sea n ∈ N, n > 0.

Tratamos de hallar z′ = n√z, es decir, otro numero z′ = r′(cos(θ′)+i sen(θ′)) tal que (z′)n = z.

Para que suceda esto se tiene que verificarse la igualdad

(r′)n(cos(nθ′) + i sen(nθ′)) = r(cos(θ) + i sen(θ)).

8 Numeros Complejos

Por tanto, debe ser

(r′)n = r

nθ′ = θ + 2kπ, con k ∈ Z

}⇔

r′ = n√r

θ′ =θ

n+

2kπ

n, con k ∈ Z.

Cabe ahora preguntarse cuantos valores de θ′ distintos se pueden obtener.

Obtendremos n numeros complejos distintos z′ si, y solo si, damos a k n valores enterosconsecutivos. Es usual dar los valores 0, 1, 2, . . . , n− 1.

Por tanto, las n raıces z1, z2, . . . , zn del numero complejo z = r(cos(θ) + i sen(θ)) tienentodas ellas modulo |zk| = n

√r y su argumento es θk = θ

n + 2kπn , con k ∈ Z, 0 ≤ k ≤ n − 1, de

modo que la expresion general de las raıces n-esimas de z es

zk = n√r

[cos

(θ

n+

2kπ

n

)+ i sen

(θ

n+

2kπ

n

)],

con k ∈ Z, 0 ≤ k ≤ n− 1.

En consecuencia:

Todas las raıces n-esimas del numero complejo z = (r, θ) estan situadas en una circunfer-encia de centro el origen de coordenadas y radio n

√r.

Dos raıces consecutivas se diferencian en un angulo de medida 2πn radianes.

Si unimos los afijos de las n raıces obtendremos un polıgono regular de n lados, centradoen el origen.

Ejemplo 1.9. Hallemos las raıces cuartas de z = −16.

Solucion: Dado que z = −16 + 0i = 16π, las cuatro raıces cuartas de z son, en formatrigonometrica,

zk =4√

16

[cos

(π

4+

2kπ

4

)+ i sen

(π

4+

2kπ

4

)]con k = 0, 1, 2, 3. Todas ellas tienen modulo 4

√16 = 2, y sus argumentos son, respectivamente,

θ1 =π

4, θ2 =

π

4+

2π

4=

3π

4, θ3 =

π

4+

4π

4=

5π

4, θ4 =

π

4+

6π

4=

7π

4.

Por tanto, las raıces buscadas son:

z1 = 2(cos(θ1) + i sen(θ1)) = 2

(√2

2+ i

√2

2

)=√

2 +√

2 i

y, de forma similar,

z2 = −√

2 +√

2 i, z3 = −√

2−√

2 i, z4 =√

2−√

2 i.

1.5 Ejercicios 9

Acabamos el tema mencionando un teorema especialmente importante, pues es el que hamotivado la ampliacion de R a C.

Teorema 1.1 (fundamental del Algebra). Todo polinomio

P (z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anz

n

de grado n ≥ 1 (tal que an 6= 0) y con coeficientes complejos, ai ∈ C, tiene al menos una raız.

Esto significa que existe al menos un complejo z0 ∈ C tal que P (z0) = 0, lo que nos dice quetoda ecuacion del tipo P (z) = 0, donde P (z) es un polinomio de grado n ≥ 1, tiene exactamenten raıces complejas, algunas de las cuales, o todas, pueden ser identicas.

1.5. Ejercicios

1. Efectuar las siguientes operaciones:

a) (1− 2i)·(3 + 4i)

b)2− i4− i

c) (1 +√

2 i)3

d) (3− 5i)4

e) (−2 + 2i)2·(

4− i−2 + i

+1− i1 + 3i

)f )

(1 + i

1− i

)10

g) i35

h) i134

i) i1567

j ) i+ i2 + i3 + i4 + i5

k)92∑n=1

in

l)135∑n=0

in

m)62∑

n=21in

2. Comprobar que si el numero complejo z tiene modulo igual a 1 y es z 6= 1, entonces elcomplejo

1 + z

1− zes imaginario puro.

3. Hallar los complejos z cuya tercera potencia sea real y tal que su componente imaginariasea menor que su componente real en una unidad.

4. Hallar los lugares geometricos que describen, en cada caso, los afijos de los numeros com-plejos que cumplen las siguientes condiciones:

a) z = |z|b) z = z

c)z

z= z

d) |z| < 1

e) z + z = 1

f ) z − z = i

g) |z − 1| = |z + 1|h) |z − i| = |z + i|

i) z + z = |z|2

j ) z−1 = z

k) |z|2 = Im(z)

l) |z − 2| > |z − 3|

10 Numeros Complejos

5. Determinar dos numeros complejos z1 y z2 que verifiquen simultaneamente:

a) La suma de sus cuadrados es 3.

b) El cociente z1/z2 es un numero imaginario puro.

c) El modulo de dicho cociente es 2.

6. Sean z1 y z2 los complejos z1 = 1 + i, z2 = 1 − i. Determinar y representar graficamentelos afijos de los complejos z, tales que verifican en cada caso:

a) |z − z1| = 5.

b) |z − z2| > 4.

c) Los complejos z tales que formen con z1 y z2 un triangulo rectangulo con angulo rectoen z1.

d)

{Re(z) ≥ Re(z1)

|z1 − 2z| ≤ ksiendo k ∈ R+ − {0}.

7. Demostrar que ∀z1, z2 ∈ C se verifica

|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)

8. Representar de todas las formas conocidas los complejos cuyas formas cartesianas son

a)

(1

2,−√

3

2

)b) (0, 5) c) (−2, 0) d)

(−1

2,−√

3

2

)

9. Calcular las raıces

a) 4√

1 + i b) 5√−32 c)

4√i d)

3√

8

10. Determinar los complejos z tales que z4 − z = 0.

11. Resolver la ecuacion z2 − (5− 14i)z − 2(12 + 5i) = 0.

12. Dada la ecuacion z2 + (4 − 8z)i = 19, cuyas raıces son z1 y z2, resolver e interpretargeometricamente la nueva ecuacion ∣∣∣∣z − z1z − z2

∣∣∣∣ = 1.

13. a) Sea z1 un numero complejo imaginario puro y sean z2 y z3 otros dos complejos cuyosafijos estan en el primer cuadrante. Hallar z1, z2 y z3 de modo que sus afijos, juntocon el de z4 = 1 + i, formen un cuadrado de area 5 unidades cuadradas.

1.5 Ejercicios 11

b) Resolver la inecuacion ∣∣∣∣z − z4z

∣∣∣∣ < 1

e interpretar geometricamente la solucion.

14. En el cuerpo C de los numeros complejos,

a) Hallar el area del polıgono cuyos vertices son los afijos de las soluciones de 3√i.

b) Resolver la ecuacionz3 − iz2 − z = 0.

Hallar el area del triangulo cuyos vertices son los afijos de las soluciones de dichaecuacion. ¿Existe alguna relacion con el area calculada en el apartado a)?

c) Obtener los afijos del triangulo del apartado b) girado 120◦ con centro en el origen.

d) Resolver e interpretar geometricamente la inecuacion∣∣∣∣z − iz + i

∣∣∣∣ > ∣∣∣∑ zj

∣∣∣donde zj son las soluciones de 3

√i.

15. Sean z1 = −1 + i y α ∈ C.

a) Sabiendo que z1 es raız de la ecuacion

z2 + (−1 + 2i)z + α = 0

hallar la otra raız z2 y el numero complejo α.

b) Hallar los complejos ω tales que z1, z2 y ω sean los vertices de un triangulo equilatero.¿Cuantas soluciones hay?

c) Hallar el area de cada uno de los triangulos anteriores. Calcular la suma de dichasareas.