APUNTES DE TOPOGRAFIA Y GEODESIA

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EL GEOIDE Y ELIPSOIDEI.- ANTECEDENTES HISTORICOS Desde tiempos inmemoriales, el hombre se ha interesado por conocer algo ms del entorno de su vida cotidiana; en un comienzo se limit a las inmediaciones de su hogar, extendindose despus a los mercados o lugares de intercambio, y finalmente con el desarrollo de los medios de transporte, el hombre se vio obligado a conocer y representar cartogrficamente regiones, pases, continentes y finalmente todo el globo terrqueo. Los antiguos griegos, en su especulacin y teorizacin sobre la forme de la tierra, fueron los primeros en interesarse y elaborar algunas teoras sobre el tamao y forma de la tierra. Una de las primeras concepciones de la forma de la tierra se atribuye a Homero, quien proclam que la tierra se asemejaba a un disco plano. La idea de una tierra de forma esfrica fue originalmente postulada por Pitgoras y cien aos despus apoyada por Aristteles. Otros eruditos sugirieron formas rectangulares, planas, cilndricas u otras parecidas. Durante la era griega, el concepto ms predominante sobre la tierra era la forma esfrica; de acuerdo a esta concepcin, se realizaron varios esfuerzos para definir sus dimensiones. Platn determin que la circunferencia de la tierra era de 40.000 millas, en cambio Arqumides la estim en 30.000 millas. Eratstenes, filsofo y matemtico griego que vivi en el siglo III AC, fue el primero en hacer mediciones y determinar el tamao de un crculo mximo. Eratstenes haba observado que en un da de solsticio de verano, el sol a medioda iluminaba el fondo de un pozo en el poblado de Siene en Egipto. Al mismo tiempo not que el sol a medioda en Alejandra no se encontraba en el cenit, sino que proyectaba una sombra con la vertical igual a 1/50 parte de un crculo ( 712' ). A estas observaciones, Eratstenes aplic ciertos hechos conocidos: 1.- En el da del solsticio e verano, el sol a medioda se encuentra directamente sobre la lnea del trpico de Cncer, y supuso que Siene estaba sobre esta lnea. 2.- La distancia entre Siene y Alejandra la determin en 500 millas ( se dice que la midi con el paso de un camello ). 3.- Finalmente supuso que Alejandra y Siene se encontraban en un mismo meridiano. De acuerdo a lo anterior Eratstenes determin que el crculo mximo de la tierra era de 25.000 millas (50 * 500). Es notable la precisin del resultado, ya que el valor aceptado actualmente para la circunferencia de la tierra en el Ecuador es de 24.901 millas y resulta ms notable an, si se considera que todas las suposiciones y conclusiones en su mayor parte eran incorrectas. En la figura se muestra la metodologa que utiliz Eratstenes en las mediciones y calculo de un circulo mximo.

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Otro griego que tambin efectu mediciones de la tierra fue Posidonio, quien observ que la estrella Canopus rasaba el horizonte en Rodas. En Alejandra midi la elevacin de la misma estrella, determinando un ngulo igual a 1/48 del crculo. Supuso una distancia de 500 millas entre Rodas y Alejandra, calculando as la circunferencia de la tierra en 24.000 millas (48 * 500).

Las contribuciones del siglo XVII a la geodesia y conocimiento de la forma de la tierra, fueron el telescopio, las tablas de logaritmos y el mtodo de triangulacin. En este siglo el francs Picard llev a cabo la medicin de un arco de meridiano con una metodologa muy similar a la que se usa actualmente en la geodesia tradicional. Midi una lnea base con auxilio de reglas de3

madera y utiliz un telescopio en la medicin de los ngulos, el clculo de la triangulacin lo efectu mediante logaritmos. Posteriormente, Cassini continu con la medicin del arco de Picard, lo extendi hacia el norte hasta Dunquerque y al sur hasta la frontera espaola. Cassini dividi el arco en dos partes, una de Pars al norte y otra de Pars al sur. El resultado del clculo fue inesperado, el grado de latitud del sector norte era mas pequeo que el del sur. Esto significaba que la tierra tena forma de huevo. Hubo una intensa controversia entre los cientficos franceses e ingleses de la poca. Estos ltimos sostenan que la tierra era achatada en los polos, tal como lo haban demostrado tericamente Newton y Huygens. Los franceses defendan sus propias mediciones, sosteniendo que la tierra tena la forma de un huevo.

Para dirimir esta controversia, en 1735 la Academia de Ciencias Francesa envi una expedicin geodsica para medir un grado de meridiano en Per, cerca del Ecuador, y otra expedicin a Laponia para realizar mediciones similares cerca del crculo rtico. Los resultados probaron concluyentemente que la forma de la tierra era achatada en los polos, tal como Newton lo haba sostenido.

II.- SUPERFICIES DE NIVEL La expresin Figura de la Tierra puede tener diversas interpretaciones. La superficie ms aparente y real para nosotros en la cual nos desenvolvemos diariamente, es la superficie topogrfica de la tierra, con sus montaas, valles, mares y otros accidentes geogrficos. Existen tres superficies de nivel que se utilizan en geodesia y en la representacin cartogrfica. Estas son la superficie topogrfica, la superficie potencial o geoide y la superficie elipsoidal o elipsoide.

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2.1.- SUPERFICIE TOPOGRAFICA La superficie topogrfica se puede definir como la superficie fsica de la tierra, tal como la vemos con todo su relieve, alturas, depresiones y profundidades marinas. Sobre esta superficie real se efectan las mediciones geodsicas y topogrficas. Debido a que es una superficie totalmente irregular no tiene una expresin matemtica definida. La superficie topogrfica es representada en los mapas, cartas y planos mediante las alturas y profundidades con respecto al nivel del mar.

2.2.- EL GEOIDE La superficie de nivel conocida como geoide, es aquella superficie en la cual el nivel medio de las aguas de los ocanos se extiende a travs de las reas continentales, eliminando todo el relieve topogrfico, ajustndose al efecto combinado de la fuerza de atraccin y fuerza centrfuga de la rotacin terrestre. La distribucin y densidad desigual de la masa de la tierra, da como resultado un geoide de forma irregular. La definicin ms acadmica del geoide es: una superficie equipotencial de la tierra, que coincide con el nivel medio del mar abierto y tranquilo y a cuya superficie la direccin de la gravedad es siempre perpendicular. Como superficie de nivel, el geoide sirve para obtener una orientacin natural del lquido del nivel de las burbujas de los instrumentos topogrficos, establece la referencia horizontal en un punto especfico (N.M.M.). La lnea de la plomada, o sea la perpendicular a la superficie de nivel, establece la direccin vertical, vale decir el cenit astronmico para ese punto. El geoide, por ser una superficie perpendicular a la direccin de la gravedad, representa a las fuerzas gravitacionales de la tierra. De acuerdo a lo anterior, el geoide es una superficie irregular y no es posible definirla por medio de algoritmos matemticos, el geoide es, por lo tanto, una superficie fsica definida por un valor gravimtrico a nivel medio del mar. Los detalles de las irregularidades del geoide se describen mediante las alturas geoidales, que resultan ser las separaciones existentes entre el punto del geoide especfico y el elipsoide de referencia escogido.5

Al analizar las ondulaciones geoidales (N), stas resultan muy pequeas en comparacin con las dimensiones de la tierra, pero al no tomar en cuenta N y debido a las variaciones irregulares en el campo gravitacional, se producirn errores en la determinacin de la trayectoria geodsica o geogrfica, obteniendo direcciones referenciales incorrectas, lo que implica que se produzcan errores en la determinacin de las alturas de los vrtices e indirectamente en las distancias y posiciones geogrficas. 2.3.- EL ELIPSOIDE Esta superficie de nivel es la nica que puede ser definida matemticamente, y por lo tanto puede ser utilizada en los clculos geodsicos y posicionamiento geogrfico. El elipsoide se puede definir como el cuerpo geomtrico que se genera al hacer rotar una elipse sobre su eje menor o eje polar. El elipsoide est definido por un semieje menor ( b ) que coincide con el eje de rotacin de la tierra, un semieje mayor ( a ) que se encuentra ubicado en el plano ecuatorial y por la relacin de compresin o achatamiento ( f ). N

b Ecuador a

S a = semi-eje mayor b = semi-eje menor f = achatamiento a-b f= a Como el elipsoide es una superficie regular y el geoide no lo es, est claro que las dos superficies no coincidirn. El ngulo formado entre la lnea de la plomada, que es la normal al geoide y la normal al elipsoide, se define como la desviacin de la vertical. Ambas superficies se intersectan cada vez que N cambia de signo, formando el ngulo entre las perpendiculares al elipsoide y geoide, definido anteriormente como la desviacin de la vertical. En la figura se ilustra ste ngulo.

Elipsoide desviacin de la vertical Geoide

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Los elipsoides mas utilizados en nuestra cartografa y sistemas de posicionamiento, son los siguientes : Elipsoide Internacional o de Hayford a = 6.378.388,000 m b = 6.356.911,946 m f = 1/297 Elipsoide SAD 69 o Australiano a = 6.378.160,000 m b = 6.356.774,719 m f = 1/298,25 Elipsoide WGS 84 a = 6.378.137,000 m b = 6.356.752,3142 m f = 1/298,257223563 Como se puede apreciar, la diferencia de tamao entre los elipsoides indicados anteriormente, no es apreciable en comparacin a su dimensin total, pero estas diferencias de algunos metros es critica y significativa en la exactitud y precisin del calculo de coordenadas y alturas.

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DATUMLa posicin geogrfica de varios puntos geodsicos situados sobre la superficie de la Tierra, se determina con relacin a un punto de referencia o vrtice de partida con coordenadas geogrficas conocidas que forman un sistema geodsico o datum. La relacin entre las posiciones geodsicas permanece cierta mientras stas se calculen partiendo de las mismas cantidades iniciales, esto es, en tanto que se apoyen en el mismo datum geodsico. Consecuentemente, las posiciones geodsicas de un mismo punto deducidas de datums diferentes no son directamente comparables en los resultados de sus coordenadas geogrficas, las diferencias de coordenadas se deben al origen de dos sistemas de coordenadas con elipsoides y valores geogrficos diferentes. Un datum se define como un sistema de coordenadas en cuyo punto de origen se han determinado las coordenadas geogrficas y altura de partida, adoptando un elipsoide para el clculo de la densificacin de los puntos que se generaran de ste sistema. De acuerdo a su origen los datums se clasifican en topocentricos y geocntricos. Los primeros tienen como origen un punto o monolito ubicado en la superficie terrestre, es un punto materializado que puede ser referenciado fsicamente a travs de instrumental geodsico. El datum geocntrico tiene su origen en el centro de masas de la tierra, a diferencia del topocentrico, estos datums estn definidos en sistemas tridimensionales. En geodesia hay que considerar dos tipos de datums: un datum horizontal, que forma la base de los clculos para el control horizontal de los levantamientos, en los que se ha tomado en consideracin la curvatura de la Tierra, y un datum vertical para todo lo que se refiere a las elevaciones. Actualmente con el advenimiento de los datums globales o mundiales, los sistemas de coordenadas son cartesianos en tres dimensiones. Un datum geodsico horizontal consta de un punto de partida y de un elipsoide sobre el que se realizan los clculos. En total consta de cinco elementos o condiciones de partida; estos son: la latitud y la longitud de un punto inicial u origen, el azimut de una lnea que nos da la direccin con la cual se realiza el clculo, ms el radio ecuatorial y el achatamiento necesario para definir el elipsoide de referencia. Un cambio en cualquiera de las cinco cantidades iniciales har cambiar el datum y consecuentemente cambiarn tambin las coordenadas de todos los puntos basados en el datum. El datum vertical, al que se refieren las elevaciones de los puntos, es generalmente la superficie medida sobre el nivel medio del mar, aunque esta puede ser cualquier superficie de nivel arbitraria definida por una altura supuesta para alguna marca altimtrica. ORIENTACION POR UN PUNTO ASTRONOMICO Y UN AZIMUT En la definicin de un datum topocentrico, una vez seleccionado el elipsoide de referencia, es necesario obtener las otras tres cantidades iniciales o parmetros, para establecer un datum geodsico o sistema. El mtodo ms simple es el de seleccionar una estacin de triangulacin de primer orden situada aproximadamente en el centro de la zona de levantamiento y observar las coordenadas astronmicas de la estacin del control. Adoptando las coordenadas astronmicas y8

azimut sobre el elipsoide de referencia, estarn dados los elementos de partida necesarios para calcular las posiciones geodsicas de todas las estaciones de la triangulacin.

En este mtodo se supone que la normal al elipsoide coincide con la lnea de plomada en dicho punto como se indica en la figura. Esto significa que las componentes de la desviacin de la vertical y la separacin entre el elipsoide y geoide son consideradas iguales a cero. En este tipo de orientacin, las posiciones calculadas sern correctas slo unas con respecto a otras y toda la red estar desviada con relacin al eje de la tierra. Esto no es importante para el uso local de las posiciones, pero puede introducir grandes errores sistemticos cuando se extienden las reas de los levantamientos. En la figura anterior podremos observar que un datum orientado por un solo punto astronmico puede producir grandes separaciones sistemticas del geoide. El elipsoide no estar centrado en relacin con la Tierra. La inconveniencia de dicha orientacin es que las posiciones derivadas de datums diferentes no son directamente comparables en ningn clculo geodsico. EL METODO DE ORIENTACION ASTRONOMICO - GEODESICO Magnitudes Astro-Geodsicas Cuando se comparan la latitud y la longitud geodsicas de un punto con la latitud y longitud astronmicas correspondientes de ese punto, se encontrarn discrepancias entre los dos grupos de valores. Como se explic anteriormente, las posiciones astronmicas se refieren al geoide y dependen de la vertical local verdadera o lnea de plomada; Las coordenadas geodsicas calculadas sobre el elipsoide de referencia se basan en la normal geomtrica al mismo.9

Ya hemos visto que la lnea de plomada y la normal al elipsoide se interceptan formando un ngulo que se conoce como la desviacin de la vertical. Este ngulo se forma por dos componentes, una norte-sur y otra este-oeste. La componente norte-sur es igual a la diferencia entre la latitud geodsica y la latitud astronmica. La componente este-oeste puede encontrarse de dos maneras. Es proporcional a la diferencia entre la longitud astronmica. Es tambin proporcional a la diferencia entre el acimut geodsico y la longitud astronmica. Es tambin proporcional a la diferencia entre el azimut geodsico y el azimut astronmico. Consecuentemente, la diferencia entre las longitudes correspondientes ser proporcional a la diferencia entre los azimutes. Esta importante relacin puede expresarse en una ecuacin matemtica conveniente, conocida como ecuacin Laplace. Las estaciones de triangulacin en donde se haya observado la latitud, la longitud y el azimut astronmico se llaman puntos Laplace. La ecuacin de Laplace es una frmula muy importante por que da la relacin entre las diferencias de azimut y de longitud sin necesidad del conocimiento de la desviacin de la vertical. En redes de levantamientos geodsicos, esta relacin fundamental se utiliza para controlar el azimut geodsico del levantamiento. Las desviaciones astro-geodsicas de la vertical, slo tienen significado relativo. Primero, las desviaciones de la vertical se calculan con respecto a un elipsoide de referencia especfico. Si se cambia el elipsoide, las desviaciones de la vertical cambiarn tambin. Segundo, es necesario suponer una orientacin especfica del elipsoide de referencia con respecto al geoide antes de calcular las desviaciones astro-geodsicas. Esta orientacin se fija mediante los valores iniciales del datum origen con el que se calcularon las coordenadas geodsicas. Cualquier cambio de estas magnitudes iniciales har cambiar la desviacin de la vertical en cada punto. Consecuentemente, las desviaciones astro-geodsicas de la vertical dependen de un datum geodsico especfico.

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Si hay un cierto nmero de estaciones Laplace en una red geodsica, ser posible establecer el perfil del geoide con respecto al elipsoide de referencia escogido. Con estos perfiles puede determinarse si el elipsoide de referencia adoptado representa apropiadamente la curvatura de la tierra en la zona que se ha levantado. ORIENTACIN ASTRO - GEODSICA Las desviaciones de la vertical en un cierto nmero de estaciones Laplace pueden utilizarse tambin para obtener el segundo tipo de datum de orientacin. En este tipo de orientacin se hace una correccin al punto de origen que har que la suma de los cuadrados de las desviaciones astro-geodsicas en los puntos Laplace sea mnima. Luego, en vez de tener una desviacin cero en el origen, como en el caso de la orientacin de un slo punto, tendremos una desviacin de la vertical en el punto de origen. A travs de un proceso parecido, podr encontrarse la separacin del geoide en el punto de origen. Este procedimiento re-orienta al elipsoide y proporciona as un mejor promedio de ajuste del elipsoide al geoide en la zona de posiciones Laplace usadas.

El mtodo geodsico-astronmico tiene la desventaja de que las desviaciones de la vertical permanecen todava relativas y que nos son comparables con los tipos de desviaciones similares derivadas de otro ajuste. De all que el uso de valores geodsicos producidos por este mtodo, queda todava limitado a zonas relativamente pequeas. EL METODO GRAVIMETRICO DE ORIENTACION Si las desviaciones relativas de la vertical en el punto inicial y en las estaciones Laplace de una red de triangulacin, pudieran ser reemplazadas por las componentes de las desviaciones absolutas, las contradicciones con levantamientos adyacentes similarmente corregidos seran eliminada y se coordinaran las posiciones de levantamientos desconectados.

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Afortunadamente, las desviaciones absolutas de la vertical as como la ondulacin absoluta del geoide, pueden ser determinadas por el mtodo gravimtrico. Para obtener la orientacin gravimtrica absoluta para una red de triangulacin, el procedimiento conveniente es el siguiente: 1. - Calcular la altura gravimtrica absoluta del geoide y la desviacin de la vertical en el punto inicial del sistema geodsico. Este procedimiento se esboz ya en captulos anteriores. Con objeto de obtener un resultado ms aceptable, las mismas cantidades absolutas debern calcularse para varias estaciones Laplace, en las cercanas del punto inicial. 2. - El promedio de las diferencias entre las componentes de las desviaciones gravimtricas absoluta y astronmica relativa, dar la correccin que debe aplicarse a la desviacin relativa de la vertical en el punto inicial como se indica en figura.

3. - Debido a esta correccin hecha en el punto inicial, la desviacin relativa de las componentes de la vertical en las otras estaciones Laplace, recibirn pequeas correcciones. La relacin entre las correcciones hechas en el punto inicial y las hechas en otras estaciones Laplace, se calcula por medio de una frmula matemtica. 4. - Finalmente, el reajuste de las estaciones de triangulacin de la red, manteniendo fijas las estaciones Laplace corregidas, proporcionar entonces las posiciones correctas de la red. Para lograr dicho ajuste gravimtrico se hace necesario conocer el campo de gravedad general de la Tierra, puesto que la integracin de la frmula de Stokes debe extenderse a toda la Tierra. Es necesario hacer un estudio detallado del campo de gravedad en la zona donde se encuentran los puntos cuya desviacin gravimtrica se va a calcular. El significado de un datum orientado gravimtricamente est de acuerdo con la naturaleza de las coordenadas obtenidas ver figura precedente. Si las observaciones astronmicas y la triangulacin son correctas, las posiciones deducidas por este mtodo sern posiciones absolutas12

con respecto al elipsoide escogido. La posicin absoluta est dada por la direccin de la normal al elipsoide cuyo eje coincide con el eje de rotacin de la Tierra. El elipsoide utilizado debe ajustarse bien al geoide en toda su extensin alrededor de la Tierra.

Debido a que el elipsoide orientado gravimtricamente est centrado con la Tierra y alineado con el eje de rotacin de la misma, varios datums ajustados gravimtricamente estarn todos centrados con la Tierra. Este mtodo de orientacin ser especialmente significativo cuando se discuta la unificacin de varios datums geodsicos en un solo sistema de amplitud mundial. CLASIFICACIN Los datum de acuerdo a su extensin se pueden clasificar en locales o nacionales, regionales o continentales y globales o mundiales. Los primeros datums o sistemas de coordenadas utilizados fueron los locales, cada pas tena uno o ms datum locales que servan como orgenes de las triangulaciones. Su extensin era limitada, no extendindose a ms de un pas. Se generaron muchos problemas en la determinacin de coordenadas geogrficas a los Hitos fronterizos y en las vinculaciones o uniones de redes de triangulaciones geodsicas, que tenan diferentes orgenes o datums. La necesidad de unificar los sistemas de coordenadas qued en evidencia durante la segunda guerra mundial, en los bombardeos nocturnos se cometan errores debido a la utilizacin de sistemas de coordenadas diferentes a los usados en las cartas. As nacieron los datums regionales o continentales, que agrupan a un conjunto de pases ubicado en una zona geogrfica comn. Los principales datums regionales son:

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DATUM NORTEAMERICANO DE 1927 Es el datum que utilizan Canad, EE.UU., Mxico y Centroamrica. El punto origen est en Meades Ranch, Kansas. Utiliza el elipsoide de Clarke de 1866. Recientemente se ha cambiado por el nuevo datum Norteamericano con origen geocntrico, el NAD-83.

DATUM EUROPEO Este datum abarca toda Europa occidental, parte de Europa oriental y frica del Norte. El punto de partida se encuentra en Potsdam, Alemania y utiliza el elipsoide Internacional.

DATUM PROVISORIO SUD AMERICANO DE 1956 (PSAD-56). Este datum fue el primer sistema de coordenadas que unific las redes de triangulacin sudamericanas. El origen del PSAD-56 se encuentra ubicado en La Canoa, Venezuela, el elipsoide que utiliza este datum es el Internacional o de Hayford. El datum PSAD-56 tiene grandes defectos, los que fueron observados con el tiempo a medida que se iba avanzando en las vinculaciones de las redes hacia el Sur del Continente. Los principales problemas fueron: Ubicacin perifrica del punto origen, La Canoa se encuentra ubicada en el extremo norte del continente. Esta ubicacin no es buena para un punto datum, lo ideal es que se ubique en el centro del rea en que se aplicara. Levantamiento gravimtrico insuficiente en el rea del punto origen, siendo por lo tanto dbil la determinacin de la desviacin de la vertical. Esto se tradujo en una excesiva separacin entre el elipsoide y geoide en su avance hacia el Sur del Continente. En el sur de Chile, rea de Puerto Montt, la separacin de geoide y elipsoide lleg alrededor de 500 metros. Elipsoide inadecuado para el continente sudamericano, el elipsoide Internacional no se ajusta bien al geoide sudamericano.

DATUM SUD AMERICANO DE 1969 (SAD-69) Debido a lo inapropiado del datum PSAD-56 para la zona central y sur del continente, fue necesario buscar un nuevo punto datum que corrigiera los problemas del datum provisorio. El PSAD-56 sirvi para conocer mejor el geoide del continente sudamericano y as poder adoptar un nuevo y mejor datum. En la XI Reunin de Consulta de Cartografa del I.P.G.H., celebrada en Guatemala el ao 1965, se acord buscar un nuevo punto Datum Sudamericano. En la XII Reunin de Consulta de Cartografa en Washington D.C.de 1969, se acept el informe y Datum Sudamericano de 1969, como origen comn para el Continente Sudamericano. El punto origen del SAD-69 se encuentra ubicado en Chua, Brasil y sus especificaciones son las siguientes:14

ELIPSOIDE :

Sudamericano 1969 o Australiano Semi-eje mayor a = 6.378.160 mts. Achatamiento f = 1 / 298,25 Geodsica 19 45 41,652 S 48 06 04,0639 W

Astronmica LATITUD : 19 45 41,34 S + / 0,05 LONGITUD : 48 06 07,80 W + / 0,08 Azimut a Uberada (medido desde el Sur) 271 30 05,42 + / 0,21 Altura Geoidal N = 0 metro

271 30 04,05

DATUM GLOBAL A fines de la dcada del cincuenta, con el desarrollo de la investigacin espacial, fue necesario crear un sistema de coordenadas mundial, en esta forma nacieron los Datum Globales o mundiales, World Geodetic System (WGS). A la fecha se han utilizado tres sistemas globales, que se conocen por las siguientes siglas WGS-66, WGS-72 y WGS-84 actualmente en uso con el Sistema de Posicionamiento Global (GPS). El origen de los sistemas globales es geocntrico, vale decir las coordenadas de partida estn en el centro de masas de la tierra. Los datum globales utilizan coordenadas geocntricas en 3D. Los parmetros que definen el datum global actualmente en uso WGS-84, son los siguientes: ELIPSOIDE : World Geodetic System 1984 Semi-eje mayor a = 6.378.137 mts. Semi-eje menor b = 6.356.752,3142 mts. Achatamiento f = 1 / 298,257223563 Centro de masas de la tierra. Paralelo a la direccin del Polo Terrestre Convencional (CTP), definido por el Bureau Internacional de la Hora (BIH) en 1984. Interseccin del plano del meridiano de referencia WGS-84 definido por el BIH en 1984 con el plano ecuatorial. Medido en el plano ecuatorial, 90 al Este del eje X.

ORIGEN EJE Z EJE X EJE Y

: : : :

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RIGIDEZ DE LA FIGURAEn la metodologa de la triangulacin geodsica, uno de los factores que inciden directamente el la precisin del calculo de los lados y coordenadas de sus vrtices es la geometra de los tringulos o rigidez de la figura. La rigidez de la figura se puede definir como la comparacin en precisin del clculo de los lados en una triangulacin, vale decir el tamao de los ngulos y lados, en relacin al nmero de condiciones que debe satisfacer la figura.DC

Frmula : R =D

[ A2+AB+B2]coeficiente de forma

coeficiente de ajuste

D : Nmero de direcciones observadas en la figura. C : Nmero de condiciones que debe satisfacer la figura. A y B : Diferencias logartmicas del seno, expresadas en unidades del 6 lugar decimal para un segundo en los ngulos A y B del tringulo. Los trminos D C / D [ A2+AB+B2] dependen de la figura escogida y es independiente de la precisin obtenida en la medicin de los ngulos. COMPUTACION : El clculo de la rigidez de la figura se realiza por la frmula antes indicada : 1. CALCULO DE D : El factor D es el nmero de nuevas direcciones observadas en una figura, excepto aquella sobre el lado conocido. El lado conocido de una figura, es el lado computado en la figura precedente y es comn a ambas figuras. Para una figura en la cual todas las estaciones son ocupadas y todas las direcciones observadas, D se determina por el nmero total de lneas de la figura, multiplicando por 2 (cada lado ser observado en ambas direcciones). Para un tringulo tenemos : 3 lados por 2 = 6 menos 2 (lado conocido), da como resultado D = 4. En un cuadriltero tradicional con 2 diagonales, hay 6 lados, menos uno que es el lado conocido, sera 5 por 2 = 10

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FACTOR C (condiciones): Para cada figura de triangulacin existen ciertas condiciones geomtricas que deben ser satisfechas. En toda figura geodsica son dos las condiciones que se deben cumplir: Ca : condicin de ngulos. Cs : condicin de lados. El nmero de condiciones para una figura depende del nmero de estaciones (ocupadas y sin ocupar) y el nmero de lneas observadas (en una o ambas direcciones), incluyendo el lado conocido en la lnea calculada. Condicin de Angulos (Ca) : El nmero de condicin de ngulos en una figura puede ser determinada por la siguiente frmula: Ca = n s+1 n : Nmero de lneas observadas en ambas direcciones. s : Nmero de estaciones ocupadas. La condicin de ngulos se define como el nmero de tringulos de una figura que deben sumar 180. Angulos Internos = ( N - 2 ) 180 Condicin de lados (Cs) : En un tringulo no hay condicin de lados, en el cuadriltero tradicional existe sta condicin, ya que un lado ser comn para dos o tres tringulos. La condicin de lados se refiere al mnimo de lados en comn necesarios para el clculo de los otros lados. El nmero de condiciones de lados se calcula por la frmula :17

Cs = n 2s + 3 n = Nmero total de lados. s = Nmero total de estaciones. NUMERO TOTAL DE CONDICIONES : El nmero de condiciones en una figura geomtrica se determina por la suma de las condiciones de ngulos y lados C = Ca + Cs = (n s+ 1) + (n 2s + 3) EJEMPLO DE CALCULO: TRIANGULO A

lado conocido a D = 3 lados 1 = 2 * 2 = 4

b

c Ca = n s+1 Ca = 3 3 + 1 Ca = 1 Cs = no hay Cs = 3 6 + 3 = 0 C = Ca + Cs = 1 DC = D 4 41 = 0,75

C

a

D

CUADRILATERO A B D = 6 lados 1= 5 2 D = 10 Ca = n s+ 1 Ca = 6 4 + 1 =3 Cs = n 2s + 3 Cs = 6 8 + 3 Cs = 1 C = Ca + Cs C=3+1=4

D

lado conocido

C

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DC = D 3. TERCER TERMINO [ A2 + AB + B2]

10 4 = 0,60 10

La ley de los senos para un tringulo plano es la siguiente :

a = sen A

b = sen B

c sen C

Con esta bsica ley trigonomtrica se calculan los lados desconocidos b y c, a partir de : a : lado conocido. AB y C : ngulos observados. se tiene que : a sen B b= sen A y c= sen A a sen C

Lo ms importante en el clculo de los lados, es el efecto que produce un error angular, ya que la base de comparacin es la diferencia en el 6 decimal del logaritmo base 10 del seno para una diferencia de 1 segundo en el ngulo usado. Generalmente se recomienda no formar tringulos con ngulos menores de 30 grados o mayores de 150 grados. Ejemplo : si un observador comete un error de 10 seg. en la lectura de un ngulo de 15 a una distancia de 30 Km. esto se traduce en un desplazamiento de 1,405 mts. Sin embargo este mismo error de 10 seg. cometido en un ngulo de 60 a igual distancia, genera un error de 0,727 mts. Como se ve, el tamao de los ngulos va a afectar directamente el calculo de los lados, reflejndose en la Rigidez de la figura.

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EJEMPLO DE CALCULO

EH lado conocido Existen 4 caminos para calcular el lado FG a partir del lado conocido EH. 1. 2. 3. 4. CAMINO 1 EH a FH a FG EH a EG a FG EH a EF a FG EF a GH a FG DC D 0,6 ANGULOS EFH = 55 FEH = 94 FGH = 80 GHF = 65 EGH = 50 EGH = 96 EFG = 90 FEG = 60 EFH = 55 FHE = 31 EGF = 30 FEG = 60 EGH = 50 GEH = 34 GHF = 35 FHG = 65 A2+AB+B2 2,17 1,47 3,46 1,48 19,62 19,21 18,38 12,96 31,34 18,8 38,83 23,3 4,94 3,0 [ A2+AB+B2] 3,64 R 2,2

2

0,6

3

0,6

4

0,6

Clculo de D : 6 lneas 1 = 5 2 =10 C = (6 4 + 1) + (6 8 + 3) = 4 DC = D 10 10 4 = 0,60

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Lgt sin 55 Lgt sin 55 00 01 Lgt sin 55 - LGT sin 55 00 01 Lgt sin 94 Lgt sin 94 00 01 Lgt sin 94 - LGT sin 94 00 01

= 0,08663548058 = 0,08663400628 = 1,4743 = 0,001059210146 = 0,001059357383 = +1,4724

A2 + AB + B2 = 1,47432 + 1,474 * + 1,4724 + 1,47242 = 2,17 [ A2 + AB + B2] = 2,17 + 1,47 = 3,64DC

R=D

[ A2 + AB + B2] = 0,6 * 3,64 = 2,2

RIGIDEZ DE LA FIGURA R1 = 2,2 R2 = 3,0 R3 = 18,8 R4 = 23,3 Para la triangulacin se consideran los dos R ms pequeos R1 y R2, los cuales no deben exceder las especificaciones. Los R3 y R4 no se consideran.

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TEORA GENERAL DE ERRORES1.- INTRODUCCIN La teora de los errores se origin frente a la necesidad de contrarrestar las inevitables discrepancias en las mediciones reiterativas, como una forma de obtener valores ms exactos. El primero en preocuparse de la investigacin de los errores fue el matemtico alemn Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855), quin a la edad de 17 aos, cre la teora de errores en el ao 1794. Las mediciones topogrficas y geodsicas, no tienen un carcter exacto o absoluto, los valores medidos siempre estarn afectados por algn factor que incidir en los errores, aunque las mediciones se realicen por el mismo personal y en condiciones similares. Por esta razn se han creado los mtodos de compensacin y ajuste, que tratan de distribuir en la mejor forma los errores entre los valores observados y obtener as un valor lo ms exacto posible. Existen varios factores que impiden determinar mediciones exactas, como la limitante en precisin del instrumental, estado de conservacin y calibracin de los instrumentos, mtodos y sistemas utilizados en las mediciones, condiciones atmosfricas y ambientales, preparacin y experiencia de los operadores, etc. A continuacin daremos algunas definiciones sobre los trminos ms utilizados en la teora de errores. 1.1.- Equivocaciones Las equivocaciones son el resultado de un descuido o confusin personal en las mediciones. Las equivocaciones no se consideran errores, por lo tanto no se pueden compensar y las mediciones deben ser repetidas nuevamente. 1.2.- Errores El error se puede definir como la diferencia entre la comparacin de un set de mediciones redundante y el valor verdadero para esa cantidad. Debido a que el valor verdadero de una medicin no es posible determinarlo en forma absoluta, los errores tambin sern indeterminados y por lo tanto sern cantidades estrictamente tericas. 1.3.- Precisin La precisin se define como el grado de refinamiento utilizado en las operaciones y mtodos de una medicin. 1.4.- Exactitud Se entiende por exactitud el grado de conformidad entre la comparacin del resultado de una medicin con un valor estndar. 1.5.- Valor verdadero

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Es el valor tericamente correcto o exacto de una cantidad medida. 1.6.- Valor ms probable Es el valor verdadero con la ms alta probabilidad de una medicin de acuerdo a las observaciones realizadas. Este valor se obtiene de la media aritmtica de varias observaciones para una medicin. 1.7.- Residual Residuo es la diferencia entre cualquier cantidad medida y el valor ms probable para esa medicin. 2.- CLASIFICACIN DE LOS ERRORES Durante la medicin de cualquier cantidad fsica, ciertos factores tales como limitaciones humanas, imperfecciones o inestabilidad instrumental y condiciones ambientales, afectarn la exactitud de las mediciones, de hecho todas las mediciones estn afectadas en un mayor o menor grado de errores. Los errores se pueden clasificar en: 2.1 Errores sistemticos Es el error que se produce en las mediciones siguiendo alguna ley fsica o que puede expresarse como una funcin matemtica. los errores sistemticos actan solo en un sentido y tienen un signo positivo o negativo. Si se determinan las condiciones causantes del error, se puede calcular una correccin y as eliminar el error sistemtico. Estos errores se deben generalmente a falta de calibracin o error de fabricacin del instrumental, los errores sistemticos tambin son originados por las condiciones atmosfricas en el momento de las mediciones. Los errores sistemticos pueden ser eliminados cuando se determinan sus orgenes y valores de correccin, ya sea verificando y calibrando los equipos, utilizando mtodos de mediciones consecuentes con los requerimientos de precisin, midiendo las variables atmosfricas en las observaciones, etc. 2.2.- Errores accidentales o fortuitos Una vez detectados y eliminados gran parte de los errores sistemticos en las mediciones, subsisten an errores de pequea magnitud llamados errores accidentales que son las imprecisiones inevitables que afectan a las mediciones. Estos errores son provocados por la imperfeccin de nuestros sentidos, por la irregularidad de la atmsfera y del terreno a medir y tambin por las pequeas imperfecciones inevitables en la construccin de instrumentos. Los errores accidentales actan de un modo irregular y aleatorio en las mediciones, dando como resultado errores con valores de signo positivo y negativo. Estos errores no siguen las leyes fsicas como los sistemticos y por lo tanto deben tratarse conforme a las leyes matemticas de las probabilidades. Los errores accidentales son los nicos errores que se pueden compensar. Como ejemplo tenemos el error en el centrado del teodolito o seal sobre el punto, error en el centrado de la burbuja tubular del instrumento, errores en las graduaciones de los limbos, tensin irregular en las mediciones con huincha, cambios de temperatura entre los extremos de una lnea, falta de horizontalidad en las medidas de distancias, etc.

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3.- PROBABILIDAD El valor ms probable se determina de una serie de mediciones redundantes, el error probable se obtendr a partir del error medio. La teora de la probabilidad esta relacionada con los errores accidentales de acuerdo a las siguientes suposiciones: a) Los errores accidentales pequeos ocurren con ms frecuencia que los grandes. b) Los errores accidentales pueden actuar con signo positivo o negativo. c) Generalmente la ocurrencia de errores accidentales de gran magnitud es escasa. 3.1.- Media Aritmtica Al observar una cantidad varias veces ( l1 , l2 , l3 ,......, ln ), la media aritmtica se obtendr de la siguiente manera : l1 + l2 + l3 +......+ ln x= n 3.2.- Error Medio Aritmtico A partir del valor medio se determinan las desviaciones de cada valor observado (V). Con el valor absoluto de las desviaciones se calcula el error medio aritmtico de la siguiente manera:[V]

l= n

t = n Ejemplo : se ha efectuado una medicin angular de tercer orden geodsico y se han obtenido los siguientes valores : V 21 46 24 3.25 20 0.75 21 0.25 18 2.75 Suma 83 7.00

La media aritmtica es 83 : 4 = 20.75[V]

7 = = 4 1.75

t = n 3.3.- Error Medio Cuadrtico

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La expresin anterior del error medio no hace resaltar lo suficiente la influencia de los errores grandes. Para ello se determina el error medio cuadrtico, el que se calcula a partir de la suma de los cuadrados de cada uno de los errores. La suma del cuadrado de los errores se hace mnima, a este tipo de compensacin se le llama el mtodo de los mnimos cuadrados. La media aritmtica es considerada como el valor ms probable o terico. Al restar el valor terico a cada valor observado, se obtendr la correccin V, con la cual es necesario corregir el valor observado para obtener el valor terico. V1 = x - l1 V2 = x - l2 V3 = x - l3 Vn = x - ln La suma de todas las correcciones (V) es igual a cero. El error medio cuadrtico m o desviacin estndar se calcula a partir de las correcciones V : [ V2 ] m= n-1 n-1 corresponde al nmero excedente de observaciones, por lo tanto solamente se pueden determinar los errores a partir de las observaciones excedentes, una medicin no permite juzgar la precisin obtenida. De acuerdo al mismo ejemplo anterior tenemos : V - 3.25 + 0.75 - 0.25 + 2.75 0.00 V2 10.56 0.56 0.06 7.56 18.74

21 46 24 20 21 18 Suma 83

La media aritmtica es 83 : 4 = 20.75 18.74 3 4.- PESO DE LAS OBSERVACIONES El peso de una observacin es el valor (peso) relativo de la observacin que podr ser comparada con otras mediciones para efecto de compensacin o ajuste. Cuando las mediciones se han realizado con altas precisiones, el error estndar es pequeo, lo cual implica una buena observacin y por lo tanto un peso alto. Al contrario si una observacin tiene una baja precisin, sta25

El error medio cuadrtico es

m =

= 2.499

ser indicada por un error estndar grande, lo que implica una observacin deficiente, la que tendr un peso pequeo. Es obvio que los pesos son inversamente proporcionales al error estndar, por esta razn la magnitud de la correccin tambin tendr una relacin inversa con el peso. 4.1.- Factores Los factores que influyen en la precisin de las mediciones y posteriormente en la determinacin de los pesos para el ajuste, son los siguientes: Mtodos de medicin Tipo de terreno Instrumental utilizado Experiencia del observador Condiciones de tiempo atmosfrico 4.2.- Distribucin de los pesos El peso puede ser asignado a los valores observados por uno de los siguientes mtodos de acuerdo al tipo de mediciones : a) Directamente proporcional En cualquier medicin simple de ngulos horizontales, distancias o alturas, el peso puede ser asignado directamente proporcional al nmero de mediciones. El valor ms probable en una medicin simple, es la suma de los valores medidos multiplicado por su peso individual, dividido por la suma de los pesos. M1*p1 + M2*p2 + ... Mn * pn VMP = p1 + p2 + ... pn Por ejemplo el valor de un ngulo fue determinado en dos oportunidades, la primera vez se midi con 4 reiteraciones, cuyo valor fue 47 24 30, en la segunda oportunidad se midi con 6 reiteraciones y el resultado fue 47 24 25. Para obtener el ngulo final de acuerdo al mtodo directamente proporcional, el peso del primer ngulo es 4 y el del segundo es 6. ( 47 24 30 * 4 ) + ( 47 24 25 * 6 ) ngulo final = 4+6 b) Inversamente proporcional El ajuste de valores medidos de una serie de cantidades relacionadas entre s, la correccin ser inversamente proporcional a los pesos correspondientes. Suma de los pesos p = 1 / p1 + 1 / p2 + ... 1 / pn = 47 24 26.4

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Error Correccin del ngulo 1 = p Se han medido los tres ngulos internos de un tringulo, el ngulo A con 16 reiteraciones, el B con 12 reiteraciones y el C con 8. La suma de los ngulos dio como error -15. El peso de cada ngulo se asignar conforme al nmero de reiteraciones, A = 16, B = 12, C = 8. El ajuste se har en forma inversamente proporcional y la suma de los pesos ser la siguiente : p = 1 / 16 + 1 / 12 + 1/ 8 = 0.27083 A = 15 / 0.27083 * 1 / 16 = + 3.5 B = 15 / 0.27083 * 1 / 12 = + 4.6 C = 15 / 0.27083 * 1 / 8 = + 6.9 Al sumar stas correcciones a los ngulos observados A, B y C respectivamente, se obtendr el valor ms probable para cada ngulo del tringulo. Cuando las mediciones de una poligonal o un tringulo han sido medidas con el mismo nmero de reiteraciones y con el mismo tipo de instrumental, el peso se definir de acuerdo a la desviacin estndar : Peso = n / m2 Donde n es el nmero de reiteraciones y m2 es la desviacin estndar del ngulo. El ajuste o correccin se efectuar inversamente proporcional al peso. Suma de los pesos p = 1 / p1 + 1 / p2 + ... 1 / pn Error Correccin del ngulo 1 = p De acuerdo al ejemplo anterior los pesos son los siguientes : pA = 0.048 pB = 0.105 pC = 0.304 p = 1/A+1/B+1/C p = 1 / 0.048 + 1 / 0.105 + 1 / 0.304 = 33.64 Error A = p27

* 1 / p1

* 1 / p1

* 1 / pA

A = 15/ 33.64 * 1 / 0.048 = + 9.3 Error B = p B = 15/ 33.64 * 1 / 0.105 = + 4.2 Error C = p C = 15/ 33.64 * 1 / 0.304 = + 1.5 La suma de las correcciones para cada ngulo debe ser igual al valor del error de cierre pero con signo contrario. Comprobacin : A + B + C = Error + 9.3 + 4.2 + 1.5 = + 15 * 1 / pC * 1 / pB

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MEDICION DE ANGULOSEn la medicin de los ngulos horizontales se pueden utilizar los siguientes mtodos: a) Medicin Simple b) Repeticin c) Reiteracin a) MEDICION SIMPLE: Consiste en la medicin de un ngulo horizontal en las dos posiciones del anteojo. b) REPETICION : Este mtodo es aplicable a instrumentos repetidores, como el Wild T-16, el mtodo consiste en medir varias veces un ngulo arrastrando el valor, que se va acumulando repetidas veces. Llamaremos a la primera lectura y bn la ltima, el clculo de un ngulo por el mtodo de repeticin ser: n = bn a = bn a n Ejemplo : EST. E PTO. VISADO A B B B B N MED. 0 1 PD PI

000002 1800004 312040

6

1861833

61843

media ltima lectura (B) media lectura (A) Promedio 6

= 186 18 38 (promedio PD y PI) = 000 00 03 (promedio PD y PI) 186 18 35 (reducido al origen cero)

= 31 03 05,8 (186 18 35/ 6) c) REITERACION : Los mtodos de repeticin y especialmente el de reiteracin, fueron creados para minimizar los errores o imperfecciones en la graduacin de los crculos horizontales. El mtodo de reiteracin es aplicable a teodolitos reiteradores (Wild T-2 y Wild T-3), consiste en realizar mediciones angulares en diferentes sectores del crculo horizontal y en ambas posiciones del anteojo.29

Procedimiento : 1. PD= visar sucesivamente los vrtices de izquierda a derecha y registrar las respectivas lecturas. 2. PI= visar nuevamente los mismos puntos esta vez de derecha a izquierda. 3. Conservar el anteojo del Teodolito apuntando en PI al primer vrtice y cambiar el valor de lectura para la segunda reiteracin. 4. PI iniciar la segunda reiteracin como se indic en el punto 1. La primera reiteracin se inicia con el anteojo en PD, la 2 en PI, la 3 ser en PD, la 4 en PI y as sucesivamente. Los orgenes angulares para las diferentes reiteraciones se calcula por la siguiente frmula: 180 + n n d

Siendo n el N de reiteraciones y d el valor angular de la menor divisin del limbo. Ejemplo : 4 reiteraciones con teodolito Wild T-2 180 + 4 4 10 = 45 02 30

Esto significa que el crculo se deber dividir en sectores de 450230 aproximadamente. Los orgenes que se utilizan para 4 y 8 reiteraciones con teodolito Wild T2 son los siguientes : 4 reiteraciones PD PI PD PI PD PI PD PI PD PI PD PI 000 01 10 225 03 25 090 06 35 315 08 50 000 00 10 202 01 25 045 03 35 247 04 50 090 05 10 292 06 25 135 08 35 337 09 50

8 reiteraciones

30

PUNTO I 7 3 1 5 11 7 3 1 5 11 7 3 1 5 11 7 3 1 5 11

POSICION DEL ANTEOJO PD PI 000 00 06 21 46 29 63 17 21 100 24 01 142 10 53 45 00 08 66 46 26 108 17 28 145 24 00 187 10 55 90 00 07 111 46 33 153 17 24 190 24 03 232 10 48 135 00 10 156 46 38 198 17 29 235 24 11 277 10 51 180 00 09 201 46 33 243 17 26 280 24 05 322 10 48

MEDIA 000 0007,5 21 4631,0 63 1723,5 100 2403,0 142 1050,5

MEDIA REDUCIDA 000 00 00,0 21 46 13,5 63 17 16,0 100 23 55,5 142 10 43

II

225 00 13 45 00 10,5 000 00 00 246 46 35 66 46 30,5 21 46 20 288 17 23 108 17 25,5 63 17 15,0 325 24 00 145 24 00 100 23 49,5 7 10 46 187 10 50,5 142 10 40 270 00 10 90 00 08,5 000 00 00 291 46 28 111 46 30,5 21 46 22 333 17 26 153 17 25 63 17 16,5 10 23 58 190 24 00,5 100 23 52,0 52 10 51 232 10 49,5 142 10 41 315 00 22 135 00 16 000 00 00 336 46 34 156 46 36 21 46 20 18 17 36 198 17 32,5 63 17 16,5 55 24 07 235 24 09 100 23 53 97 10 54 277 10 52,5 142 10 36,5

III

IV

VERTICE 7 VERTICE 6 VERTICE 3

31

N 1 2 3 4

DIRECCIONES + 21 46 23,5 20 22 20 1,38

V

2,13 0,63

VV 4,52 1,89 0,39 1,89 8,69

1,38

85,5 VALOR MEDIO 21 46' 21,38'' [vv] m = n12

8,69 = 3 = 2,90

[vv] m= n1 n p= m 1/p = 0,72 CHAUVENET K=1,534 Km =2,6 mayor residuo 2,13 VALOR FINAL VERTICE 7 VERTICE 6 VERTICE 3 N DIRECCIONES + 100 23 55,5 49,5 52 53 3 0,5 0,5 V 3 VV 9,00 9,00 0,25 0,25 18,50 = 21 46 21,42

= 1,70

= 1,38

210 VALOR MEDIO 100 23' 52,5''32

[vv] m = n12

= 6,17

[vv] m= n1 n p= m 1/p = 1,54 CHAUVENET K = 1,534 Km = 3,8 mayor residuo VALOR FINAL =3 = 100 23 52,52

= 2,48

= 0,65

RECHAZO DE OBSERVACIONES DUDOSAS En la prctica, se cometen errores que exceden lo indicado en clculos tericos o simplemente son errores mayores que desvirtuaran el valor adoptado. Para ello se debe adoptar un criterio, adems de las precauciones vistas en la teora de errores. Mediante este criterio se debern rechazar aquellas mediciones que sobrepasen los lmites normales de una medicin. Existen 2 criterios para el rechazo de observaciones dudosas : 1. Rechazar cualquier observacin cuyo residuo (v), que es la diferencia entre el valor medio y el valor observado, sea superior a ciertos lmites. Las especificaciones para los lmites de rechazo en Poligonales es la siguiente : 2 y 3 = 5 1er orden = 4 Esto significa que si un valor observado, en el caso de un tercer orden, sobrepasa los 5, debe ser rechazado y su medicin se debe hacer de nuevo. 2. El segundo criterio usado, es el de Chauvenet. Este criterio est basado en un estudio realizado por el matemtico y astrnomo Chauvenet, el cual logr desarrollar una tabla de Probabilidades de los errores.

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Este criterio consiste en multiplicar un coeficiente K (obtenido de la Tabla de Probabilidades) por la desviacin standard de una serie de reiteracin. K*m m= n1 Si en una observacin el mayor residuo (v) de la serie sobrepasa el producto Km, sta observacin deber ser rechazada. TABLA DE K N DE OBS. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 K 1,150 1,383 1,534 1,645 1,732 1,803 1,863 1,915 1,960 2,000 2,037 2,070 2,100 2,128 [vv]

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EXCESO ESFERICOAl medir ngulos sobre una superficie esfrica (geoide), los lados no son rectos, en el caso de un tringulo, todos los ngulos son esfricos. La suma de los ngulos interiores de un tringulo ser: A + B + C = 180 +

TEOREMA DE LEGENDRE Demostr que los lados de los tringulos geodsicos (de suficiente magnitud que arroje un valor sensible de exceso esfrico) comparado con el radio de curvatura, son muy pequeos y se pueden resolver como tringulo plano, disminuyendo a cada tringulo 1/3 del exceso esfrico. Frmula : = a1b1 sen C (1e2sen2)2 2a2(1e2)sen1 = a1b1 sen C (1e2sen2)3/2 (1e2sen2)1/2 1/sen1 2 a a (1e2) a1b1 sen C 2 a N= (1e2sen2) a (1e2) R= (1e2 sen2) 3/235

206264,81 a/ (1e2sen2) a (1e2) / (1e2 sen2) 3/2

=

206264,806 = a1 b1 senC 2RN

P = N de seg. de arco en un radian M = R= falta A = 22 49 27,1 C = 49 00 55,2 B = 108 09 31,4 A + B + C = 179 59 53,7 = 14.610,723 35.788,881 sen49 00 55,2 = 394730509,6 206264,81 / 2RN a = 6378388 e2 = 0,00672267 R = 6359962,66 N = 6386584,12 206264,81 = 2,539 10-9 2RN = 1 Suma de los ngulos del tringulo esfrico = 1800001 ANG. OBS. A=22 49 27,1 B=108 09 31,4 C=49 00 55,2 179 59 53,7 Error de cierre = 7,3 CORRECCION +2,5 +2,4 +2,4 7,3 SEGUNDOS CORREGIDOS 29,6 33,8 57,6 121,0 EXCESO ANGULO ESFERICO PLANO 0,4 22 49 29,2 0,3 108 09 33,5 0,3 49 00 57,3 1,0 180 00 00

media = 38 08 53

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DISTANCIA GEODESICALas distancias medidas directamente con instrumentos electromagnticos, deben ser corregidas para obtener as las distancias geodsicas. Dichas correcciones son las siguientes: Correccin por Refraccin atmosfrica. Correccin por Arco. Correccin por Inclinacin. Reduccin al Nivel Medio del Mar. a) CORRECCION POR REFRACCION ATMOSFERICA. Esta correccin se debe a que el instrumento est calibrado para medir la distancia en determinadas condiciones de temperatura, presin y humedad. Generalmente estas condiciones son diferentes en el momento de realizar las mediciones, por sta razn se debe corregir las distancias por refraccin atmosfrica. Esta correccin implica calcular primeramente el Indice de refraccin en el momento de la medicin: 4730 N= 459,688 + t 8540 E= 459,688 + t e = e 0,000367 P (t t) (1+ t 32 / 1571) P = presin baromtrica en pulgadas e = presin de saturacin de vapor en pulgadas t = temperatura seca en 0F t = temperatura hmeda en 0F Indice de Refraccin : n = 1+ (N 10-6) La correccin de la distancia por refraccin ser : Dt = Dt (n0 / n) e (P + E)

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n0= ndice de refraccin normal (ndice de refraccin de la calibracin del instrumento). b) CORRECCION POR ARCO. Esta correccin tiene relacin con la curvatura terrestre. Es significativa sobre los 8 Kms. Esta correccin se debe a que las mediciones se realizan rectilneas sobre una superficie.

Dt3 Ca = 24 R2 Da = Dt + Ca R = Radio medio de la tierra = 6371229,3 (internacional) Esta correccin es siempre positiva. c) CORRECCION POR INCLINACION. Los vrtices no estn siempre a la misma altura. A partir de las cotas o alturas de los vrtices se corrigen por la frmula: (h2 h1 )2 Ci = 2 Da Esta correccin es negativa.

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REDUCCION AL NIVEL MEDIO DEL MAR. Esta correccin se debe a que las mediciones no se efectan sobre el geoide, generalmente sobre alturas mayores, para lo cual es necesario llevar las mediciones al nivel del geoide.

Esta correccin es negativa. Cn = 7,848 (h1 + h2) Dh 10-8 D = Dh Cm Cn = (H1 + H2)/2Dh RM EJEMPLO : Dt p t t H1 H2 e n0 = 37.505,700 mts. = 30,25 pulg. = 37,76 0F = 37,22 0F = 7,77 mts. = 62,87 mts. = 0,222 = 1,000320

a) CORRECCION POR REFRACCION : e = e0,000367 P(tt) (1+ t32 / 1571) e = 0,0222(0,00036730,25)(0,54)(1+[ 5,22 / 1571] ) e = 0,215985 8540 E= 459,688 + t39

e

8540 E= 497,448 E = 3,708 4730 N= 459,688 + t 4730 N= 497,448 N = 322,89 n = 1 + (322,9 10-6) n = 1,0003229 Dt = Dt (n0 / n) Dt = 37505,7 (1,000320 / 1,0003229) Dt = 37.505,7 0,999.997 Dt = 37505,592 b) CORRECCION POR ARCO : Dt3 Ca = 24 R2 (37.505,592)3 Ca = 24(6371.229,3)2 5,2758 10 13 Ca = 24 * 4,0593 1013 (33,958) (P+E) 0,215985

Ca = 0,054 Da = Dt + Ca Da = 37505,592 + 0,054 Da = 37505,64640

c) CORRECCION POR INCLINACION. (H2H1)2 Ci = 2Da (62,877,77)2 Ci = 2 37505,646 3036,01 Ci = 75011,29 Ci = 0,040 mt. Dh= Da Ci Dh = 37505,646 0,040 Dh = 37505,606

d) REDUCCION AL NIVEL MEDIO DEL MAR : Cn = 7,848 (H1 + H2)Dh 10-8 Cn = 7,848 (7,77 + 62,87) 37505,606 10-8 Cn = 0,208 D = Dh Cn=37505,606 0,208 D = 37505,398

41

NIVELACION TRIGONOMETRICAEn la determinacin de las diferencias de alturas y cotas, entre los vrtices de apoyo, uno de los mtodos utilizados es la Nivelacin Trigonomtrica, este mtodo consiste en la medicin de ngulos verticales (en ambas posiciones del anteojo) entre dos vrtices. Por medio de la distancia se determina la diferencia de alturas. Existen 2 mtodos de Nivelacin Trigonomtrica: Por Recprocas. Por No Recprocas. a) NIVELACION TRIGONOMETRICAS POR RECIPROCAS. Consiste en la medicin de ngulos verticales al mismo tiempo desde dos estaciones recprocamente. Se consideran recprocas aquellas mediciones que se efectan dentro de 1 hora. La ventaja de este mtodo es la eliminacin de los errores de refraccin y curvatura. REFRACCION

Sin refraccin V=

2 ( R) ( R)

con refraccin = R = R

= 2 ( R ) ( + R) V= 2 V= 242

CURVATURA

Sin curvatura V = 2 ( + C) ( + C) con curvatura V = 2 = RC = RC +CC V= 2 = 2

Al trabajar con este mtodo es necesario hacer la reduccin de los ngulos verticales a la cota (como si los ngulos hubiesen sido medidos directamente de cota a cota).

43

t0 R= DI sen 1 Z = Z + R

Calculada la reduccin, sta es sumada algebraicamente al ngulo observado. La frmula para el clculo de diferencias de alturas por Recprocas es la siguiente: h2 h1 = DI sen (V2 V1) ABC Donde : V1 y V2 son los ngulos verticales reducidos. DI = es la distancia inclinada. ABC = factores de correccin. A = es el factor de correccin de la elevacin de la estacin ? h1 A=1+ Rn donde R = radio medio de la Tierra. B = es el factor de correccin para la diferencia de altura. Di B=1+ 2R C = es el factor de correccin para la distancia entre vrtices : DI 2 C= 1+ 12 R 2 b) NIVELACION TRIGONOMETRICA POR NO RECIPROCAS : En ocasiones no es posible observar ngulos verticales por observaciones recprocas, por lo cual el clculo de diferencias de alturas se obtendr por el mtodo de no recprocas, utilizando la siguiente frmula : h2 h1 = DI sen [ ( 90 V1) + k] (ABC) donde : k es la correccin por refraccin y curvatura. (0,5 m) DI k = sen1 sen ( V2 V1 )

44

( 0,5 m ) =

(V1 + V2 180) sen1 ( Indice de refraccin ) 2 DI a (1 e2)

= (1 e2 sen2)3/2 ABC = factores de correccin : Latitud e : Excentricidad a : Semi eje mayor EJEMPLO DE CALCULO : a) POR RECPROCAS : V1 = BARROW V2 = LORT. V1 = 894043,2 V2 = 902852,2 DI = 21 699,696 h1 = 66,99 mts. R1 = t 1 02 DI sen1 1,46 1,24 R1 = R2 = 21699,696 sen 1 t 2 01 DI sen 1,41 1,33 R2 = 21699,696 sen1 V1 = 894043,2 2,1 = 894041,11 V2 = 902852,2 0,8 = 902851,44 V2 V1 = 4810,3 2405,15 = 0,76 = 2,09 t1 = 1,46 t2 = 1,41 02 =1,24 01 =1,33

(V2 V1) =

45

DI sen (V2 V1) = 152,033 mt. h1 A=1+ R 66,99 A=1+ 6371229,315 DI B=1+ 12R2 sen (V2 V1) = 1,000011

152,033 B=1+ 2 6371229,315 DI2 C=1+ 12R2 (21699,696)2 C=1+ 12 (6371229,315)2

= 1,000012

= 1,000001

ABC = 1,000024 h2 h1 = DI sen (V2 V1) ABC h2 h1 = 152,04 mts. h1 = 66,99 mts. h1 = 219,03 mts. b) POR NO RECIPROCAS : media = 5540 Elipsoide Internacional a (1 e2) = ( 1 e2 sen2 )3/2 6378388 (1 0,00672267) = ( 1 0,00672267 sen2 5540) 3/2 6335508,2 = 0,9931316446

= 6379323,7 sen1 = 30,9278 (0,5 m) = [(V1 + V2) 180] sen 1 2DI [(894041,1 + 902851,4) 180] 6379323,7 sen1 (0,5 m) = 2 21699,696 572,5 30,9278 (0,5 m) = 43399,392 (0,5 m) = 0,40798 (0,5 m) DI k= sen 1 0,40798 21699,696 k= 30,9278 k = 286,25 = 446,2 CALCULO DE V1 a V2 : h2 h1 = DI sen [(90 V1) + k ] (ABC) = 21699,696 (sen (90 894041,1) + 446,2)(ABC) = 21699,696 sen (02405,1)ABC = 152,031 CALCULO DE V2 a V1 : h2 h1 = DI sen [(90 V2) + k] (ABC) = 21699,696 sen (90 902851,4) + 446,2)(ABC) = 21699,696 sen ( 02405,2)ABC = 152,042 h2 h1 medio = 152,04 (0,5 m ) promedio zona sur = 0,4188

47

COMPENSACION DE FIGURAS1. CIERRE ANGULAR DE UN TRIANGULO : a) Tringulo plano, con ngulos de igual peso : Tenemos los ngulos de , y de un tringulo plano, donde se debe cumplir : + + = 1800000 pero existe un error de cierre W W = + + 180 Si llamamos V1, V2 y V3 las correcciones angulares de , y tendremos la ecuacin particular de condicin : V1 + V2 + V3 + W = 0 Ecuacin correlativas : V1 = k V2 = k V3 = k Ecuacin Normal : 3k + W = 0 W k= 3 Valores de V1 V2 V3 W V1 = 3 W V2 = 3 W V3 = 3

48

( + V1) + ( + V2) + ( + V3) = 180 EJEMPLO : = 402725 = 685627 = 703626 + + = 1800018 V1 + V2 +V3 +18 = 0 V1 = k V2 = k V3 = k 3k + 18 = 0 k V1 V2 V3 = 6 = 6 = 6 = 6

Valores Compensador : = + V1 = 402719 = + V2 = 685621 = + V3 = 703620 + + = 1800000 Conclusin : En observaciones de igual precisin, el error de cierre de un tringulo debe ser distribuido en partes iguales. b) En ngulos de pesos diferentes : Tenemos un tringulo esfrico con los siguientes ngulos A = 61 07 52,00 B = 76 50 54,00 C = 42 01 12,15 179 59 58,15 Ecuacin Terica : A + B + C + = 180 00 02,11 P1 = 3 P2 = 2 P3 = 2 1/P1 = 1/3 1/P2 = 1/2 1/P3 = 1/2

49

W = A + B + C (180 + ) W = 179 59 58,15 180 00 02,11 W = 3, 96 Ecuacin Particular de Condicin : V1 + V2 + V3 3,96 = 0 Ecuacin Correlativas: k V1 = P1 k V2 = P2 k V3 = P3 Ecuacin Normal : k + 3 2 k + 2 k 3,96 = 0 = 2 = 2 k V3 = k 1/P3 = k 1/2 = 3 k V2 = k 1/P2 = k 1/2 k V1 = k 1/P1 = k 1/3

k 1/3 + k + k 3,96 = 0 4 k 3,96 = 0 3 1,333 k 3,96 = 0 396 k= 1,333 k = + 2,97 Valores de V1, V2 y V3 : k V1 = 3 = 350

+2,97 = + 0,99 V1 = k 1/3 = 2,97 1/3

k V2 = 2 k V3 = 2 = =

+2,97 = + 1,485 2 +2,97 = + 1,485 2 V3 = k 1/2 = 2,97 1/2 V2 = k 1/2 = 2,97 1/2

Conclusin : En los casos de observaciones angulares de pesos diferentes, el error de cierre angular, debe ser distribuido en partes proporcionales al valor inverso de los pesos. W Vn = 1/p = 3,96 (1/P) n

W

(1/p)1 = 0,333 (1/p)2 = 0,5 (1/p)3 = 0,5 V1 = 3,96 0,333 1,333

V1 = + 0,99 V2 = 3,96 0,5 1,333

V2 = + 1,485 2. COMPENSACION DE UN CUADRILATERO : B A1 8 2 3

B A 2 D 1

7 6 4 5

C C B A 3 4 D51

D

C

En el cuadriltero ABCD se han medido los ocho ngulos internos. En este cuadriltero se deben cumplir las siguientes condiciones : a) La suma de todos los ngulos del cuadriltero deben ser igual a 360 + E ; donde E es el exceso esfrico del cuadriltero. b) La suma de los ngulos de cada tringulo del cuadriltero deben sumar 180 + n . c) La suma de los ngulos opuestos por la interseccin de las diagonales, deben ser iguales : 1+2=5+6 3+4=7+8 d) Los ngulos deben tener un valor tal que, el clculo de cualquier lado del cuadriltero de un solo resultado, cualquiera haya sido el camino. Para calcular CD a partir de AB conocido, se deber llegar a un mismo valor, ya sea calculado por los tringulos ABC y BCD como por los tringulos ABD y ADC. En resumen la figura debe tener una Rigidez adecuada. ECUACION DE ANGULOS : E es el exceso esfrico del cuadriltero 1 , 2 , 3 y 4 son los excesos esfricos de los tringulos ABC, ADC, DAB y DBC respectivamente : E = 1 + 2 = 3 + 4 Tenemos : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 (360 + E) = 0 1 + 2 + 3 + 4 (180 + 1) = 0 3 + 4 + 5 + 6 (180 + 4) = 0 5 + 6 + 7 + 8 (180 + 2) = 0 Manteniendo la 1 ecuacin y restando la 3 de la 2 y la 4 de la 3, formaremos la ecuacin de condicin de ngulos : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 (360 + E) = 0 1 + 2 + 4 (5 + 6 + 1) = 0 3 + 4 + 2 (7 + 8 + 4) = 0 Estas 3 ecuaciones atienden las condiciones geomtricas del cuadriltero que son la suma de los ngulos del cuadriltero igual a 360 + E e igualdad de ngulos opuestos al vrtice de las diagonales. En la prctica el resultado de estas ecuaciones es diferente a cero, existen diferencias o errores de cierre angular.52

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 (360 + E) = W 1 + 2 + 4 (5 + 6 + 1) = W 3 + 4 + 2 (7 + 8 + 4) = W Si los ngulos tienen un mismo peso, el error de cierre W deben ser distribuidos equitativamente entre los 8 ngulos. Ahora si los ngulos tienen pesos diferentes, el error de cierre se dividir en partes proporcionales al valor inverso de los pesos. W V1 = [1/P] W V2 = [1/P] W V3 = [1/P] W V4 = [1/P] (1/p)4 V8 = (1/p)3 V7 = (1/p)2 V6 = (1/p)1 V5 = W [1/P] W [1/P] W [1/P] W [1/P] (1/p)8 (1/p)7 (1/p)6 (1/p)5

Una vez realizada la compensacin de la 1 ecuacin de condicin (cuadriltero). Se trabaja con los ngulos compensados en las otras 2 ecuaciones, las cuales darn un cierre diferente a W y W. [ (1 + V1) + (2 + V2) + 4 ] [ (5 + V5) + (6 + V6) + 1 ] = W1 [ (3 + V3) + (4 + V4) + 2 ] [ (7 + V7) + (8 + V8) + 4] = W2 Estas expresiones se pueden escribir en la siguiente forma : [ (1 + V1) + (2 + V2) + 4 (5 + V5) (6 + V6) 1 ] W1 = 0 [ (3 + V3) + (4 + V4) + 2 (7 + V7) (8 + V8) 4] W2 = 0 Las correcciones V en las ecuaciones han sido tomadas con valor absoluto. En los clculos, stos pueden ser positivos o negativos. Como las observaciones ya fueron homogeneizadas en la compensacin de la 1 ecuacin (cuadriltero), los nuevos errores de cierre W1 y W2 sern divididos por 4 en cada ecuacin :

53

(1 + V1)

W1 4

+ (2 + V2)

W1 4

+ 4 (5 + V5)

W1 4

(6 + V6)

W1 4

1 = 0

(3 + V3)

W2 4

+ (4 + V4)

W2 4

+ 2 (7 + V7)

W2 4

(8 + V8)

W2 4

4 = 0

Estas ecuaciones se pueden expresar en la siguiente forma : [(1+ V1) W1 4 [(3+ V3) W2 4 ] + [(4+ V4) ] + [(2+ V2) W1 4 W2 4 ] +2 [(7+ V7) + ] +4 [(5+ V5) + W1 4 W2 4 ] + [(8+ V8) + ] + [(6+ V6) + W1 4 W2 4 ] +4 = 0 ] +1 = 0

Confrontando los resultados de los ngulos de estas dos ecuaciones de condicin con la primera ecuacin, tenemos : W1 W1 1 = [(1+ V1) ] 5 = [(5+ V5) + ] 4 4 2 = [(2+ V2) W1 4 3 = [(3+ V3) W2 4 4 = [(4+ V4) W2 4 ] 8 = [(8+ V8) + ] 7 = [(7+ V7) + ] 6 = [(6+ V6) + W1 4 W2 4 W2 4 ] ] ]

Al reemplazar estos valores en la primera ecuacin tendremos : [(1+ V1) W1 4 + [(5+ V5) + (360 + E) = 0 W1 4 ] + [(2+ V2) W1 4 ] + [(6+ V6) + W1 4 ] + [(3+ V3) W2 4 ] + [(7+ V7) + W2 4 ] + [(4+ V4) W2 4 ] + [(8+ V8) + W2 4 ] ]

54

Las nuevas correcciones entran 2 veces con signo y dos veces con signo +, por lo tanto se anulan en la suma de los 8 ngulos, de esta manera no afecta la compensacin realizada en la 1 ecuacin. EJEMPLO :1 2 1=0,42 2=2

8 7 6 5

3 4

3=0,68 4=1,74

1 2 3 4 5 6 7 8

ANGULOS MEDIDOS 18 24 39,57 29 53 49,61 119 03 56,90 12 37 30,72 26 27 26,13 21 51 04,79 17 29 56,93 114 11 31,06

1/P 1 1 2 1 3 1 2 2

E = 1 + 2 = 2,42 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 359 59 55,71 SUMA TEORICA + E = 360 00 02,42 ERROR DE CIERRE = 6,71

PRIMER AJUSTE DE ANGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8

ANGULOS 1/P MEDIDOS 18 24 39,57 1 29 23 49,61 1 119 03 56,90 2 12 37 30,72 1 26 27 30,72 3 21 51 4,79 1 17 29 56,93 2 114 11 31,06 2 359 59 55,71 13

1/P W [1/P] +0,52 +0,52 +1,03 +0,52 +1,54 +0,52 +1,03 +1,03

ANGULOS AJUSTADOS 18 24 40,09 29 53 50,13 119 03 57,93 12 37 31,24 26 27 27,67 21 51 5,31 17 29 57,96 114 11 32,0955

2 ECUACION DE CORRECCION

1 2 5 6 4 1 W1 =

+18 24 40,09 +29 53 50,13 26 27 27,67 21 51 5,31 +1,74 0,42

2 correc. +0,36 +0,36 +0,36 +0,36

2 Ajuste angular 18 24 40,45 29 53 50,49 26 27 27,31 21 51 04,95

2 correc. = 1/4 W1 = + 0,36 1,44

3 ECUACION DE CORRECCION

3 4 2 7 8 4

+119 03 57,93 +12 27 31,24 +2,00 17 29 57,96 114 11 32,09 1,74 W2 = 0,62

2correc. +0,15 +0,16 +0,15 +0,16 3 correc. = 1/4 W2 = + 0,155

2 Ajuste angular 119 03 58,08 12 37 31,40 17 29 57,81 114 11 31,93

COMPROBACION DEL AJUSTE ANGULAR CUADRILATERO 18 24 40,45 29 53 50,49 119 03 58,08 12 37 31,40 26 27 27,31 21 51 04,95 17 29 57,81 114 11 31,93 360 00 02,42 TRIANGULO N1 18 24 40,45 29 53 50,49 119 03 58,08 12 37 31,40 180 00 00,4256

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4

5 6 7 8

TRIANGULO N2 26 27 27,31 21 51 04,95 17 29 57,81 114 11 31,93 180 00 02,00

TRIANGULO N3 7 17 29 57,81 8 114 11 31,93 1 18 24 40,45 2 29 53 50,49 180 00 00,68

3 4 5 6

TRIANGULO N4 119 03 58,08 12 37 31,40 26 27 27,31 21 51 04,95 180 00 01,74

ECUACION DE LADOS

BC = AB

sen1 sen4

CD = BC AD = CD

sen3 sen6 sen5 sen8

AB = AD El producto de esta expresin ser : sen1 sen3 sen5 sen7 =1 sen2 sen4 sen6 sen8 expresado en logaritmos :

sen7 sen2

lg sen1 + lg sen3 + lg sen5 + lg sen7 (lg sen2 + lg sen4 + lg sen6 + lg sen8) = 0 = W3 El problema consistir en distribuir el error W3 lg sen (1 + V1) + lg sen (3 + V3) + lg sen (5 + V5) + lg sen (7 + V7) [ lg sen (2 + V2) + lg sen (4 + V4) + lg sen (6 + V6) + lg sen (8 + V8) ] = 0 V = son las correcciones que se realizaran a los ngulos para el cumplimiento de la ecuacin anterior. Para realizar la correccin angular, es necesario obtener la variacin del logaritmo del seno para un segundo, tomando como unidad el 7 lugar decimal.

57

Sea d la diferencia del logaritmo del seno para 1 tendremos : V1d1 V2d2 + V3d3 V4d4 + V5d5 V6d6 + V7d7 V8d8 = W3 Las correcciones V1, V2, V3 etc. de esta manera relacionadas con W3 satisfacen evidentemente la ecuacin de lados pero para tener un carcter definitivo, no debern perturbar las ecuaciones de ngulos y ajustadas. Estas correcciones (de lados) deben ser tales que resulte : V1 + V2 + V3 + V4 = 0 V3 + V4 + V5 + V6 = 0 V5 + V6 + V7 + V8 = 0 El conjunto de estas tres ecuaciones complementadas con la ecuacin de lados, crear una nueva condicin del problema. Para que estas ltimas ecuaciones, sean satisfechas es necesario que las correcciones V1, V2 , V3 .... se constituyan en parcialidades simtricas, que al ser sumadas se anulen. Si consideramos que las correcciones estn compuestas por las siguientes parcialidades : X0 , X1 , X2 , X3 , X4 tendremos : V1 = X0+ X1 V2 = X0 X1 V3 = X0 +X2 V4 = X0 X2 V1+V2+V3+V4 = 0 V5 = X0 + X3 V6 = X0 X3 V7 = X0 + X4 V8 = X0 X4 V5+V6+V7+V8 = 0

Llevando estos valores a la ecuacin de lados, se transformar en una ecuacin que satisfacer todas las condiciones : d1 (X0 + X1) d2 (X0 X1) d3 (X0 X2) + d4 (X0 + X2) + d5 (X0 + X3) d6 (X0 X3) d7 (X0 X4) + d8 (X0 + X4) = W3 Despejando los trminos X0 , X1 , X2 , X3 y X4 nos queda : [ (d1 + d4 + d5 + d8) (d2 + d3 + d6 + d7)] X0 + [ (d1 + d2) X1 + (d3 + d4) X2 + (d5 + d6) X3 + (d7 + d8) X4 ] = W3 Para simplificar la frmula : C0 = (d1 + d4 + d5 + d8) (d2 + d3 + d6 + d7) C1 = (d1 + d2)58

C2 = (d3 + d4) C3 = (d5 + d6) C4 = (d7 + d8) tendremos : C0X0 + C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 = W3 ( ecuacin A )

Establecida esta ecuacin, se determinarn los valores de las nuevas incgnitas X0 , X1 , X2 , X3 , y X4 por medio de un sistema de ecuaciones correlativas : X0 = 1 / 4 C0 k X1 = C1 k X2 = C2 k X3 = C3 k X4 = C4 k

( ecuacin B )

reemplazando los valores de la ecuacin B en la ecuacin A tendremos : C0 1 / 4 C0k + C1C1k + C2C2k + C3C3k + C4C4k = W3 C02 / 4 k + C21k + C22k + C23k + C24k = W3 (C02 / 4 + C2n ) k = W3 W3 k= C0 / 4 + C2 2 n

( ecuacin C )

Despejado k en las ecuaciones correlativas (B) tendremos : X0 k=1

/ 4 C0 X1

k= C1 X2 k= C2 X3 k= C359

X4 k= C4 Al reemplazar k en la ecuacin C, tenemos : X0 = C0 C1 X1 = C2 X2 = C3 X3 = C4 X4 = C20 + C2n W3

EJEMPLO DE CALCULO

1 2 3 4 5 6 7 8

ANG.COMP. POR EC.ANG. 18 24 40,45 29 03 50,49 119 03 58,08 12 37 31,40 26 27 27,31 21 51 04,95 17 29 57,81 114 11 31,93

LOGARITMOS + 9,499460410

9,697619658

9,941541015 9,339601814 9,648882027 9,570776631 9,478127179 +8,56801063 W3 = 660,64 W3 = 661 9,960078591 8,5680767 = W3

d1 = +63,3 d2 = +36,6 d3 = 11,7 d4 = +94,0

d5 = +42,3 d6 = +52,5 d7 = +66,8 d8 = 9,5

C0 = d1 + d4 + d5 + d8 (d2 + d3 + d6 + d7) C0 = 63,3 + 94,0 + 42,3 9,5 (36,6 11,7 + 52,5 + 66,8)60

C0 = 45,9

C02 = 2107

C20 = 527 9980 6773 8987 3283 29023 (C21 ) (C22 ) (C23 ) (C24 ) (C2n )

C1 = d1 + d2 = 63,3 + 36,6 = 99,9 C2 = d3 + d4 = 11,7 + 94,0 = 82,3 C3 = d5 + d6 = 42,3 + 52,5 = 94,8 C4 = d7 + d8 = 66,8 9,5 = 57,3 C02 + C2n = 29550

X0 = C0 X0 = 1,4

X1 = C1 X1 = 99,9 661 11,5

X2 = C2 X2 = 82,3

X3 = C3 X3

X4 = C4 X4 = = 57,6

W3 C20 + C2n +661 29550

94,5

X0 = 29550 661 99,9 X1 = 29550 661 82,3 X2 = 29550 661 94,5 X3 = 29550 661 57,6 X4 = 29550

= 0,257

= 2,235

= 1,841

= 2,121

= 1,282

V1 = X0+X1 V1 = +2,490

= 0,257 + 2,235 = 2,4961

V2 = X0 X1 V2 = 1,976 V3 = X0 + X1 V3 = +1,586 V4 = X0 X1 V4 = 2,100 V5 = X0 + X3 V5 = +2,376 V6 = X0 X3 V6 = 1,862 V7 = X0 +X4 V7 = +1,024 V8 = X0 X4 V8 = 1,538

= 0,257 2,233 = 1,98 = 0,257 + 1,840 = +1,59 = 0,257 1,840 = 2,10 = 0,257 +2,119 = +2,38 = 0,257 2,119 = 1,86 = 0,257 + 1,281 = +1,02 = 0,257 1,281 = 1,54

La suma de las correcciones por las diferentes logaritmo para el sen 1 impar menos las par debe ser igual al error W3. V1d1 V3d3 V5d5 V7d7 = 2,49 63,3 = 1,59 11,7 = 2,38 42,3 = 1,02 66,8 = = = = 157,62 18,60 100,67 68,14 307,83 72,47 197,40 97,65 +14,63 352,89

V2d2 V4d4 V6d6 V8d8

= = = =

1,98 36,6 2,10 94,0 1,86 52,5 1,54 9,5

= = = =

vdi vdp = 307,94 ( 352,89 ) = 660,83 = 661

62

1.2.3.4.5.6.7.8.-

18 24 29 53 119 03 12 37 26 27 21 51 17 29 114 11

40,45 50,49 58,08 31,40 27,31 04,95 57,81 31,93

V CORREC. +2,49 42,94 48,51 1,98 +1,59 59,67 29,30 2,10 +2,38 29,69 03,09 1,86 +1,02 58,83 30,39 1,54

COMPROBACION 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 360 1 + 2 + 3 + 4 = 180 5 + 6 + 7 + 8 = 180 1 + 2 + 7 + 8 = 180 3 + 4 + 5 + 6 = 180 00 00 00 00 00 02,42 00,42 02,00 00,67 01,75

3. COMPENSACION DE UN POLIGONO CON EST. CENTRAL :

ECUACIONES DE CONDICIN :a) La ecuacin del cierre en torno del horizonte en la estacin central : ( 3 + 6 + 9 + 12 ) 360 = 0 b) Las ecuaciones angulares separadas de cada tringulo : 1 + 2 + 3 (180 + 1) = 0 4 + 5 + 6 (180 + 2) = 0 7 + 8 + 9 (180 + 3) = 0 10 + 11 + 12 (180 + 4) = 063

c) La ecuacin de lados, considerando la estacin central : OD = OA OC = OD sen5 OA sen2 sen4 OB OD OD sen1 OA = sen11 OC OC OB OB OA = 1 sen10

OB = OC

sen7 sen8

sen1 sen2

sen4 sen7 sen10 = 1 sen5 sen8 sen11

expresado en logaritmos tendremos : lg sen1 + lg sen4 + lg sen7 + lg sen 10 (lg sen2 + lg sen5 + lg sen8 + lg sen11) = 0 COMPUTACION DE TRIANGULOS : El clculo final para completar los datos en la triangulacin, luego del ajuste angular y de lados, ser el calculado de los lados desconocidos. Los ngulos esfricos compensados se convierten en planos, restndole 1/3 del exceso esfrico a cada ngulo. Finalmente aplicando el teorema del seno, se calculan los lados desconocidos.. b C a c B longitudes desconocidas a computarse.

64

POSICION GEOGRAFICAPara determinar la posicin geogrfica de un vrtice es necesario conocer las coordenadas de uno de los vrtices, el azimut y la distancia geodsica hacia el vrtice desconocido. Normalmente en triangulacin se emplean dos vrtices conocidos para determinar el 3 punto del tringulo. Luego de transformar los ngulos esfricos compensados a ngulos planos, se determinan los acimutes a la estacin desconocida. Debido a la convergencia de meridianos, el azimut del extremo de una lnea no tiene exactamente 180 de diferencia con el del otro extremo. Esta diferencia es conocida como convergencia de meridianos y depende de la diferencia de longitudes entre los extremos de la lnea. AVANCE HACIA EL ESTE

AVANCE HACIA EL WESTE

65

FORMULAS = s cos B + s2 sen2 C + ()2 D h s2 sen2 E s2 k E + 3/2 s2 cos2 k E + s2 cos2 sec2 A2 k sen2 1 s sen = N cos sen 1 = sen ( + ) sec () + ( ) 3 F (convergencia) h = s cos B k = s2 sen2 C = s cos B + s2 sen2 C h s2 sen2 E 1 A= N sen 1 1 B= R sen 1 tg C= 2 RN sen 1 3 e2 sen cos sen 1 D= 2 (1 e2 sen2 ) 3/2 1+3tg2 E= 6 N21 F= sen m cos2 m sen2 1

12 a = semi - eje mayor e2 = 2f f2 f = achatamiento

66

= + = + = + + 180

NOTAPARA COMPUTACIONES EN HEMISFERIO SUR 1) En el clculo de la latitud el signo del cos se invierte. 2) En el clculo de la longitud el signo del sen se invierte. 3) se aplica de acuerdo a las siguientes reglas : a) En el Hemisferio Norte : < 180 es ( ) > 180 es ( + ) b) En el Hemisferio Sur : < 180 es (+ ) > 180 es ( ) EJEMPLO DE CALCULO = 31 26 40,903 = 81 18 12,354 = 173 48 25,8 S = 17589,920 m. Elipsoide Internacional. s cos B = 567,7705 s2 sen2 = 3.600.554,411 a N= (1 e2 sen2 ) a (1 e2) R= (1 e sen ) /22 2 3

= 6.384.230,782

= 6.352.934,67

1 B= R sen 1 tg C= 2 RN sen 167

= 0,032 467 642

= 1,554856 109

D = 2,181843 108 E = 8,675924 1015 F = 7,43727 1013 = 567,7831 = 927,783 = 31 17 13,120 N = 6384178,18 s sen = N cos sen 1 = +1 11,739 = +81 19 24,093 = 37,34 = 37,34 2-1 = 353 49 03,14 CALCULO INVERSO A partir de las coordenadas geogrficas de 2 vrtices, se pide calcular la distancia geodsica y el azimut geodsico. s sen ( + 2 s cos ( + 2 s sen ( + 2 = tg ( + s cos ( + 268

1897,5127 = 26,4503 = 71,7387

cos m )= Am cos / 2

)= Bm

) ) 2 )

s sen ( + 2 S= sen ( + 2 s cos ( + 2 S= cos ( + 2 = sen (+) sec () + () 3 F 2 sen + sen = 1 + cos + F () 3 ) ) ) )

21 = ( +

) / 2

EJEMPLO DE CALCULO S sen ( + 2 S cos ( + 2 m Nm Rm Am Bm )= Bm )= Am + 567,783 cos / 2 = 17487,441 71,7387 cosm = 1.895,9308

= = = = = = =

31 21 57,01 6.384204,46 6.352856,09 3,23086154102 3,24680432102 71,7387 567,78369

s sen ( + / 2 ) S= sen ( + / 2 ) s cos ( + / 2 ) S= cos ( + / 2 ) 21 = ( + 2 ) 2 = 353 49 03,12 = 17589,916m. = 17589,916m.

70

OBSERVACIONES EXCENTRICASEn algunas ocasiones no es posible instalarse con el instrumental sobre el centro del vrtice, obligando hacer estacin en un punto excntrico al vrtice. Posteriormente estas observaciones se corregirn para llevar las mediciones, como si hubiesen sido tomadas desde el centro del vrtice en que se efectu la estacin excntrica.

d = sen c

s sen d sen

sen C = s d sen C= s sen1

Los datos que se deben medir en la estacin excntrica son los siguientes : d s c = = = = distancia entre estacin verdadera y excntrica. ngulo con origen en estacin verdadera a estacin distante. distancia entre estacin verdadera y estacin distante. ngulo de reduccin excntrica.

Generalmente la distancia S no se mide desde A a B, debido a la imposibilidad de instalarse en A con el teodolito, tampoco fue posible hacerlo con el instrumento para medir distancia, as es que se puede medir en terreno es de A a B, vale decir el lado S.

71

EJEMPLO DE CALCULO

72

= 234 52 23 S = 19.529,905 mts. d = 4,522 mts.

S=

19.529,9052 + 4,5222 ( 4,522 19.529,905 ) 2 cos 234 52 23

S = 19.527,303

4,522 sen 234 52 23 C= 19527,303 sen 1 C = 39,07 = C = 234 51 43,9

73

TRILATERACIONEn algunas ocasiones cuando se est realizando control geodsico secundario y no es posible medir los ngulos directamente, ya sea por causas atmosfricas o por inestabilidad del terreno. La solucin a estos problemas es la Trilateracin, esta tcnica consiste en medir los lados en lugar de los ngulos de un tringulo.

b2 + c 2 a 2 cos A = 2bc a2 + c2 b2 cos B = 2ac a2 + c2 b2 cos C = 2ab La trilateracin es menos precisa que la triangulacin. Por esta razn su empleo es limitado, debe usarse solo cuanto no sea posible medir ngulos. EJEMPLO CALCULO a = 8.087,736 b = 9.477,703 c = 9.535,964 A = 50 20 46,7 B = 64 27 11,9 C = 65 12 01,4

74

POLIGONALESLa poligonal se puede definir como la medicin de una serie de distancias y direcciones de lados entre puntos situados sobre la superficie de la tierra. De acuerdo a su forma se pueden dividir en : A. Poligonales Abiertas: Son brazos radiales que no enlazan con ningn vrtice, estas poligonales no se compensan ya que no es posible determinar el error de cierre. B. Poligonales cerradas: Estas poligonales se dividen en dos categoras. 1) Poligonales Cerradas sobre si mismas: Este tipo de poligonales forman un circuito ( polgono de n lados) cierran en el mismo vrtice de partida. 2) Poligonales de Enlace: Estas poligonales se inician en un vrtice con coordenadas conocidas y cierran o finalizan en un segundo vrtice conocido. Las Poligonales cerradas permiten ajustar los errores de cierre angular y lineal. De acuerdo al mtodo empleado en la medicin de los lados de una poligonal, stas se pueden clasificar en : a) Poligonales Electrnicas. Son aquellas que utilizan para la medicin de sus lados, equipos electrnicos. Estas son de orden superior o precisas, ya que pueden medir lados extensos con precisiones milimtricas. b) Poligonales a Huincha. En la medicin de sus lados emplean huinchas de acero o hilo invar. Tambin son precisas pero sus lados son poco extensos, adems su operacin es muy lenta. c) Poligonales Taquimtricas. Los lados se miden por medio de miras parlante, stas son poligonales topogrficas y su mejor precisin es 10 cm. CIERRE ANGULAR Las poligonales cerradas deben cumplir una condicin de ngulos. La poligonal cerrada sobre s mismo, polgono cerrado de N lados, la condicin de ngulos es la siguiente : = (180 ) 360 (ngulos internos ) = (180 ) + 360 (ngulos externos ) = ngulos de poligonal. N = nmero de vrtices de la poligonal. En el caso de las poligonales de enlace, el cierre angular se verifica con los azimut de partida y de llegada. El azimut que se va traspasando desde el inicio, debe ser igual al azimut fijo de llegada o final.75

Azimut Final Traspasado Azimut Final Fijo = 0 La distribucin del error de cierre angular se efecta inversamente proporcional a los pesos de los ngulos. W Cn = [1/p ] (1/p)n

CALCULO DE POLIGONAL Una vez distribuido el error de cierre angular se procede a calcular el azimut de cada lado. El clculo del traspaso de azimut se inicia con el azimut conocido o de partida, de acuerdo a la siguiente frmula:

Una vez calculado el azimut de todos los lados, se procede a calcular las diferencias de coordenadas entre vrtices. N = D cos E = D sen CIERRE LINEAL Una vez calculadas las coordenadas parciales AN y AE, se determinar el error lineal de la poligonal. ( + ) + ( ) = WN ( + E) + ( E) = WE76

El error de cierre lineal es igual :

= WN2 + WE2Tanto los errores de cierre angular como los de cierre lineal, se comparan con los de las especificaciones, si estos errores son menores que los indicados por las especificaciones, la poligonal se puede compensar, de lo contrario, si el error sobrepasa la tolerancia, se deben repetir las mediciones de ngulos o distancias que hayan quedado fuera de tolerancia.

La compensacin lineal se realiza en forma proporcional a los lados. ( Corr. ) n = WN D WE D Dn

( Corr. E ) n =

Dn

La correccin lineal se realiza de la siguiente manera : n = n + ( Corr. ) n E n = E n + ( Corr. E ) n Una vez efectuada la compensacin Lineal se calculan las coordenadas finales, sumando algebraicamente las coordenadas parciales ajustados a las coordenadas del punto de partida. Nn = Nn1 + n Corr. En = En1 + n Corr. EJEMPLO DE CALCULO : Se ha medido una poligonal cerrada de 6 lados. Los ngulos de poligonal son internos, el vrtice de partida con coordenadas conocidas es L y el azimut de partida conocido es el lado L-H.

77

L H = 212 01 56,8 NL = 4.525.720,75 EL = 642.325,17 AJUSTE ANGULAR Ang. Observados 108 09 31,4 180 40 54,5 90 39 09,9 104 26 14,7 170 5157,0 65 11 58,8 719 59 46,3 1/p 0,25 0,75 0,85 1,15 1,50 0,50 5,0 Corr. +0,7 +2,1 +2,3 +3,1 +4,1 +1,4 + 13,7 Ang. Corregidos 108 09 32,1 180 40 56,6 90 39 12,2 104 26 17,8 170 52 01,1 65 12 00,2 720 00 00,0

L H V N R B

Error de cierre angular = (180 N) 360 = (180 6 ) 360 W = 719 59 46,3 720 W = 13,7 Correccin Angular. W Corr. L = [ 1/p ] W Corr. H = [ 1/p ] ( 1/p )H = 5 ( 1/p )L = 5 +13,7 0,75 = +2,1 +13,7 0,25 = +70,7

78

W Corr. V = [ 1/p ] W Corr. N = [ 1/p ] W Corr. R = [ 1/p ] W Corr. B = [ 1/p ] TRASPASO DE AZIMUT ( 1/p )B = ( 1/p )R = ( 1/p )N = ( 1/p )V =

+13,7 0,85 = +2, 3 5 +13,7 1,15 = +3,1 5 +13,7 1,50 = +4,1 5 +13,7 0,50 = +1,4 5

V = L + H + 180 = 212 01 56,8 + 180 40 56,6 + 180 V = 212 42 53,4 VN = HV + V + 180 = 212 42 53,4 + 90 39 12,2 + 180 VN = 123 22 05,6 NR = VN + N + 180 = 123 22 05,6 + 104 26 17,8 + 180 NR = 47 48 23,4 RB = NR + R + 180 = 47 48 23,4 + 170 52 01,1 + 180 RB = 38 40 24,5 BL = RB + B + 180 = 38 40 24,5 + 65 12 00,2 + 180 L = 283 52 24,7 LH = BL + L + 180 = 283 52 24,7 + 108 09 32,1 + 1 80 LH = 212 01 56,8

LH HV VN NR

= = = =

Azimut 212 0156,8 212 42 53,4 123 22 05,6 47 48 23,4

Distancia 487,048 642,824 635,034 662,55779

RB BL LH

= = =

38 40 24,5 283 52 24,7 212 01 56,8

808,754 948,751 487,048 4184,968 =s sen +0,03 347,39 347,42 530,35 +0,03 530,38 490,88 +0,04 490,92 505,38 +0,04 505,42 +0,05 921,02 921,07 +0,02 258,31 258,33 0,21 mts.

HV VN NR RB BL LH

=s cos 540,85 0,14 540,99 349,28 0,13 349,41 445,00 444,86 0,14 631,41 631,24 0,17 227,49 227,29 0,20 412,89 0,10 412,99 +0,88 mts.

= +0,882 + 0,212Cn =

= 0,90 mts. 0,88 = 4184,968 CE = 4184,968 642.325,17 642.066,86 641.719,47 642.249,85 642.740,77 643.246,19 642.325,17 0,21 =

L H V N R B L

4525.720,75 4525.307,76 4524.766,77 4524.417,36 4524.862,22 4525.493,46 4525.720,75

80

CALCULO DE COORDENADAS GEOGRAFICAS , , SG m N N R R a b e2 X a1 = = = = = = = = = = = = = = = latitud de la estacin conocida. longitud de la estacin conocida. azimut de la lnea de unin (desde el sur). incgnitas. distancia geodsica. dif. de en segundos. dif. de en segundos. latitud media. normal para la latitud . normal para la latitud . radio de curvatura para . radio de curvatura para . semidimetro ecuatorial. semidimetro polar. cuadrado de la excentricidad.

= SG sen = SG cos = ( X / 10.000)2 tg 108 2 N ()

V1 1

=

= V1 a1 a ( 1 e2) sen 1

Dif. por SEG. (1) = ( 1 e2 sen2 ) 3/2 1 1 A = 1 Dif. por SEG. (1) = + 1 1 = N () sen 1 H = A sec 1

81

b = ( Y / 10.000) 2 p2 = R (1) N (1) f = 1 / 3p2 1015 x x = 1 + (1/2 f b) 107

1 = Hx ARC. SEN. CORR. = 1 [0,39174 ( / 100 sen 1) 2 107] = H x arc. sen corr. x = x + 2 NUEVA LONGITUD

a2 = ( x1 / 10.000) 2 Y = Y ( 1 + ( f 2) 107)a

tg 1 V2 = 2 N (1) 2 = Y V2 a2 m = 1 + 2

108

a ( 1 e2 ) sen 1 DIF. POR SEG. 2 = ( 1 e2 sen2 m) 3/2

2 =

2 DIF. POR SEG. 2

= + 2

NUEVA LATITUD

82

CALCULO DE AZIMUT GEODESICO

= ( ) 3.600 = ( ) 3.600 ( ) m = 2 arc. sen. corr. = 1 + [( 0,39174 ( / 100 sen ) 2 ) + 107 ] H x1 = arc. sen corr. a N() = ( 1 e2 sen 2 )1/2 1 A = N () sen 1 H = A sec Hx X = H a ( 1 e2 ) sen 1 Y1 = ( 1 e2 sen 2 m ) 3/2 tg 1 V = 2 N ( ) a = x12 / 10.000 2 = ( x1 / 10.000 ) 2 y = Va Y = Y1 + y 108

83

a ( 1 e2 ) R ( ) = ( 1 e2 sen 2) 3/2 p2 = R ( ) N ( ) 1 f = 3p2 Y Y= 1 + ( fa) 107 1015

b = ( Y / 10.000 ) 2X = x [ 1 + ( fb ) 107

]

SG = x2 + y2 x sen = SG Y cos = SG x Tg = Y =

( distancia geodsica )

sen cos

CONVERGENCIA DE MERIDIANOS sen + sen = 1 + cos F = 1/12 sen cos2 sen2 1 = ( ) 3.600 = + F ()3

84

DETERMINACION DE ERROR y = error en R sen 1 error en N sen 1 x= sec ERROR LINEAL = x2 + y2

Dif. por seg. de = R sen 1 N sen 1 Dif. por seg. de = sec

85

CORRECCION DE DISTANCIAS POR REFRACCIONn p e t t D T = = = = = = = ndice de refraccin de la lnea presin (mb) presin de saturacin de vapor de HzO ( mb ) temperatura bulbo seno C temperatura bulbo hmedo C distancia terreno 273,16 + t C

e = ( 1,362162039 103 ) + ( 21,40834537 T ) ( 1,033073978 101 T2 ) + (5,079892333 105 T3 ) + ( 5,464670163 107 T4 ) + (1,436965361109 T5) ( 9,577624449 1012 T6 ) + (3,14897558 1015 T7 ) + (1,369204183 1017 T8 ) + (1,920093366 1020 T9 ) e = e ( 0,00066 P ( t t) E = ( 4744 / 273,16 + t ) e N = ( 77,7 / 273,16 + t ) ( P +e ) n = 1 + ( N 106 ) Correc. = n Dist. terreno. 1 mb. = 0,02952998 pulg.

86

TRANSFORMACION DE COORDENADAS

GEOGRAFICAS A GEOCENTRICASX = ( N + h ) cos cos Y = ( N + h ) cos sen Z = [ N ( 1 e2 ) + h ] sen a N= ( 1 e2 sen2 )

GEOCNTRICAS A GEOGRAFICAS

d = ( x2 + Y2 ) Y = arc. sen. d tg Z d Z + N e2 sen tg = d d h= cos N = arc. cos. d x = arc. tg. x Y

87

GEOCENTRICAS X sen + cos tg A = sen ( cos sen ) +z cos cos cos + cos sen + sen cos V = S cos sen sen sen + cos ) 2 + ( sen + cos)2 tg Z = cos cos + cos sen + sen

V DG = R S2 = x2 + 2 + S = ( x2 + 2 + 2 ) = X2 X1

Distancia Geodsica

= Y2 Y1

= Z2 Z1

A = azimut geodsico referido al norte. V = ngulo vertical referido al horizonte geodsico. e = [ ( z f ) f ] = (excentricidad del Elipsoide de Referencia)

88