Apuntes Tema 7 Sistemas formales

Recordamos la idea general de sistema formal que aprendimos en el tema 3:

Un sistema lgico es un conjunto de esquemas de argumento vlido, organizados en

esquemas bsicos y esquemas derivados. Un sistema lgico-formal es un sistema lgico que

usa un lenguaje formal para representar las formas de argumento vlido y que puede definirse

de forma puramente sintctica, sin hacer referencia a ningn contenido semntico.

Para definir un sistema formal hay que especificar:

su lenguaje, que a su vez queda definido especificando:

su vocabulario primitivo

sus reglas de formacin

su mecanismo deductivo, que queda definido al especificar:

sus axiomas

sus reglas de transformacin o de deduccin

Ahora que sabemos qu es la relacin de consecuencia, podemos ver los sistemas formales

como unos mecanismos generadores de consecuencias. (Al dar una semntica a LP, hemos

formulado una definicin que nos dice en qu consiste la relacin de consecuencia, y tenemos

unos mtodos de decisin que nos permiten contestar s o no a preguntas concretas sobre la

existencia de una relacin de consecuencia entre un conjunto y una frmula dados. Ahora

aprenderemos un sistema formal que nos permitir extraer consecuencias a partir de un

conjunto dado de premisas.)

7.1. Dos tipos de sistemas formales: leyes y reglasUn sistema formal se define mediante un conjunto de axiomas y un conjunto de reglas de

transformacin, pero es posible que el conjunto de axiomas sea vaco. Esta posibilidad hace

que habitualmente se distingan dos tipos de sistemas formales: aquellos cuyo conjunto de

axiomas es vaco y aquellos cuyo conjunto de axiomas es no vaco.

Los sistemas formales cuyo conjunto de axiomas es vaco quedarn definidos solamente

mediante un conjunto de reglas de transformacin. Se suelen llamar clculos de deduccin

natural. Los sistemas formales con un conjunto de axiomas no vaco quedan definidos

cuando se especifican tanto sus axiomas como sus reglas de transformacin. Estos sistemas se

suelen llamar clculos axiomticos.

Los sistemas formales axiomticos fueron los que primero aparecieron en la historia de la

lgica: la Conceptografa de Frege es el primer sistema axiomtico de lgica formal. Lo que

le interesa a Frege es formular de manera rigurosa los fundamentos de la aritmtica. Para eso,

necesita reducir los conceptos y leyes de la aritmtica a conceptos y leyes lgicas. Como

quiere garantizar que lo que pone en juego es la "pura lgica", busca unas leyes lgicas

bsicas (que le parecen verdades lgicas evidentes: son los axiomas de su sistema) y muestra

cmo las dems verdades lgicas se derivan de las bsicas mediante reglas lgicas (las reglas

de deduccin de su sistema). Lo que interesa en un sistema formal axiomtico es el conjunto

resultante de verdades lgicas (unas bsicas y otras derivadas mediante reglas), a las que

llamaremos leyes lgicas. Por eso a los sistemas axiomticos se les llama "sistemas de leyes".

Los sistemas formales de tipo axiomtico tuvieron mucho xito a principios del siglo XX

(aparte de Frege, otros dos lgicos-matemticos que hicieron importantes contribuciones a la

lgica fueron el britnico B. Russell y el alemn D. Hilbert). Pero en los aos treinta del siglo

XX los lgicos empiezan a interesarse menos por la fundamentacin de las verdades

matemticas y ms por el razonamiento matemtico mismo. En 1934 el lgico y matemtico

alemn Gerhard Gentzen publica un clculo que l llama de "deduccin natural", que ser el

origen de la otra manera de entender los sistemas formales, centrada no en las leyes lgicas,

sino en las reglas de deduccin (por eso se llaman "sistemas de reglas"). En los mismos aos,

los lgicos polacos estaban tambin trabajando con sistemas de reglas (por ejemplo, Stanislaw

Jakowski parece que haba inventado uno, aunque no lo public, hacia 1926).

En los sistemas de deduccin natural las reglas de deduccin son las que reflejan las leyes

de la argumentacin. En un sistema de deduccin natural hay muchas reglas de deduccin, y

son ellas las que estn organizadas en bsicas y derivadas. Lo que interesa no es demostrar

leyes lgicas, sino usar las reglas de deduccin para extraer consecuencias de premisas,

construyendo as deducciones. La invencin de sistemas de este tipo favoreci la evolucin de

la lgica desde su aplicacin a la fundamentacin de la matemtica hacia el estudio de la

argumentacin en general (porque, en principio, las deducciones lgicas reflejan mejor que

las demostraciones axiomticas los procesos "naturales" de razonamiento).

7.2. Deduccin natural: el sistema DNPVamos a aprender un sistema formal "de reglas" para la lgica proposicional, al que

llamaremos DNP (deduccin natural proposicional). Su lenguaje es LP, ya definido, y su

mecanismo deductivo no tiene axiomas, sino solamente reglas de deduccin. El mecanismo

deductivo de DNP nos permitir construir el conjunto de todas las deducciones posibles entre

frmulas de LP.

Una deduccin en DNP de la frmula A a partir del conjunto de premisas ( A)es una secuencia finita de frmulas de LP cuya ltima frmula es A, y en la que cada una de

las frmulas presentes est justificada por ser: o bien una premisa del conjunto , o bien unsupuesto cancelado (ms adelante sabremos qu es esto), o bien una frmula que se deriva de

frmulas anteriores mediante aplicacin de una regla de deduccin de DNP.

ejemplo: sabiendo que el modus ponens (AB), A B es una de las reglas de deduccin

de DNP, construir una deduccin de la frmula q a partir del conjunto {p, (pq)}1. p justificacin: es una premisa

2. (pq) justificacin: es una premisa

3. q justificacin: se sigue de 1 y 2 mediante el modus ponens

Puesto que hemos encontrado la deduccin, podemos decir que la frmula q se deduce (en

DNP) del conjunto {p, (pq)}, o que la frmula q es consecuencia sintctica (en DNP) delconjunto {p, (pq)}. Abreviadamente, escribiremos p, (pq) q.

Recordemos que un sistema formal es, en principio, una estructura vaca de contenido. Las

deducciones en DNP son construcciones puramente sintcticas. Despus, se puede dar un

contenido al sistema (nosotros ya lo hemos hecho: tenemos ya una semntica para LP) y

poner en relacin las nociones sintcticas con las semnticas. Por ejemplo, la nocin

sintctica de deduccin se relacionar con la nocin semntica de consecuencia. Pero, en

principio, el sistema se define sin ninguna alusin a nociones semnticas.

Definicin del sistema DNP:

Lenguaje para DNP (el lenguaje LP):

vocabulario primitivo:

variables proposicionales: p, q, r, s

conectivas: , , , ,

(parntesis izquierdo y derecho como smbolos auxiliares)

reglas de formacin:

si A es una variable proposicional, entonces A es una fbf de LP

si A es una fbf de LP, entonces A es una fbf de LP

si A y B son fbfs de LP y es una conectiva didica, entonces (AB) es una fbf deLP

ninguna otra secuencia de smbolos es fbf de LP

Mecanismo deductivo para DNP:

reglas bsicas de deduccin (no hay axiomas)

Las reglas de deduccin nos indican cundo una frmula se deduce de otras. Nos dicen qu

frmulas podemos aadir a una deduccin, a partir de las frmulas que ya tengamos escritas

en ella. Vamos a distinguir dos tipos de reglas: unas que nos dicen qu se deduce de una

determinada frmula ya presente en nuestra deduccin (reglas de eliminacin) y otras que

nos dicen de qu se deduce una determinada frmula que queremos aadir a la deduccin

(reglas de introduccin). Las clasificamos teniendo en cuenta la estructura de las frmulas:

en concreto, su conectiva principal. Para cada conectiva definiremos un par de reglas

bsicas: una de introduccin, que indicar cmo obtener una frmula cuyo signo lgico

principal sea esa conectiva (a partir de frmulas existentes en la deduccin), y otra de

eliminacin, que indicar qu frmulas se pueden obtener a partir de una frmula (existente

en la deduccin) cuyo signo lgico principal sea esa conectiva.

Reglas bsicas de INTRODUCCION Reglas bsicas de ELIMINACION

Introduccin de Conjuncin (IC) Eliminacin de Conjuncin (EC)

A

B

(A B)

B

A

(A B)

(A B)

A

(A B)

B

Introduccin de Disyuncin (ID) Eliminacin de Disyuncin (ED)

A

(A B)

B

(A B)

(A B)A

C

B

C

C

Teorema de Deduccin (TD) Modus Ponens (MP)

AB

(A B)

Reduccin al Absurdo (RA) Doble Negacin (DN)

A

(B B)

A

A

A

Introduccin de Bicondicional (IB) Eliminacin de Bicondicional (EB)

Representamos las reglas disponiendo las frmulas en vertical, usando una raya horizontal

en lugar del signo "" para indicar qu se deduce de qu. Lo que aparece encima de la rayahorizontal es lo que la regla dice que debemos tener en la deduccin para poder aplicar la

regla, y lo que aparece debajo de la raya horizontal es lo que podemos aadir en virtud de la

regla.

Las reglas ED, TD y RA son especiales: esas rayitas a la izquierda de las frmulas indican

que se ha trabajado con supuestos auxiliares: los supuestos (marcados con ) son frmulas que

no estaban en nuestra deduccin pero que aadimos cuando queremos (nos los "inventamos"),

y que nos ayudan provisionalmente a aplicar otras reglas de deduccin (la parte de la

deduccin que depende de un supuesto queda marcada prolongando la barra vertical que sale

del supuesto), pero que no deben estar en nuestra deduccin definitiva: por eso deben

"cancelarse" (se indica "cerrando" la barra vertical hacia la ltima frmula que hemos

obtenido en esta deduccin dependiente del supuesto: ). Cancelar un supuesto siempre nos

lleva a aadir a la deduccin la frmula que nos indica la regla correspondiente (la que

aparece debajo de la raya horizontal en la formulacin de la regla: esa es la frmula que se

deduce de las otras, mientras que el supuesto y toda la deduccin dependiente de l en

realidad no forman parte de la deduccin: una vez cancelado el supuesto, es como si

desaparecieran).

Estas reglas nos dicen cmo, partiendo de unas premisas, podemos ir aadiendo frmulas a

una lista hasta conseguir que esa lista de frmulas sea una deduccin de una determinada

frmula a partir de esas premisas. El mecanismo deductivo de DNP define el conjunto de

todas las deducciones que se pueden obtener entre frmulas de LP (de manera anloga a como

las reglas de formacin de LP nos permiten generar todas las fbfs de LP, las reglas de

deduccin de DNP nos permiten generar todas las deducciones posibles en DNP).

Construccin de una deduccin de la frmula A partir del conjunto de premisas :1. Se escriben una debajo de otra las frmulas del conjunto de premisas .2. Se aplican reglas de deduccin a las frmulas que nos interesen (ver seccin

"Estrategias"), con lo que se van aadiendo frmulas hasta obtener la frmula A como ltima

frmula de la secuencia.

A

(AB)

B

(AB)

A

B

(AB) (BA)

(BA) (AB)

(AB) (AB)

(AB) (AB)

(AB) (BA)

Cada vez que se aade una frmula, se numera y se aade a la derecha su justificacin (qu

regla hemos aplicado y a qu frmulas). Y, una vez que forma parte de la deduccin, es una

frmula ms a la que se pueden aplicar reglas de deduccin.

ejemplo:

deduccin (pq) p:

1. (pq) (premisa)

2. p (EC 1)

Esta secuencia de frmulas es la deduccin que buscbamos: su ltima frmula es p, y

cada frmula est justificada por ser: o premisa (1) o seguirse de frmulas anteriores (2).

3. En algunos casos se introducen frmulas que no son premisas ni se deducen de

frmulas anteriores en virtud de ninguna regla, sino que son supuestos ("premisas"

provisionales) que deben ser cancelados. Los supuestos se representan as: B, y dan lugar a

deducciones subsidiarias (que se indican prolongando la lnea vertical del supuesto) hasta que

se obtiene una frmula que permite cerrar el supuesto. Hay tres reglas que nos dicen cmo

cerrar supuestos (TD, ED y RA: ver seccin "Estrategias"): una vez cerrado, se aade a la

deduccin la frmula que nos indica la regla correspondiente y se escribe a la derecha de esa

frmula su justificacin. Entonces la deduccin subsidiaria queda eliminada de la deduccin

(no se pueden aplicar reglas de deduccin a las frmulas que quedan encerradas dentro de la

lnea vertical que se abre con el supuesto y se cierra con la frmula que nos ha permitido

cerrarlo: es como si no existieran en la deduccin). Una vez cerrado el supuesto, lo que la

deduccin subsidiara desaparecida deja en nuestra deduccin es la frmula que aadimos en

virtud de la regla correspondiente.

ejemplo:

1. (pq) (no es premisa ni se sigue de nada, es un supuesto provisional)

2. q (deduccin dependiente del supuesto, por EC 1)3. (rq) (sigue la deduccin subsidiaria, por ID 2: es la frmula que permite cerrar)4. ((pq)(rq)) (el supuesto se ha cancelado y queda esta frmula por TD 1-3)

Estrategias

a) Dos tipos de deduccin (directa o indirecta):

A veces es posible avanzar directamente desde las premisas (a las que seguramente se

aplicarn reglas de eliminacin) hacia la construccin de la conclusin (que puede ser un

"trozo" obtenido de descomponer las premisas, o puede que haya que construirla aplicando

reglas de introduccin).

ejemplos:

deduccin p p

1. p (premisa)

2. p (DN 1: era un trozo de la premisa)

deduccin p, q ((pq)r)

1. p (premisa)

2. q (premisa)

3. (pq) (IC 1, 2)

4. ((pq)r) (ID 3: hemos construido la conclusin usando reglas de introduccin)

Cuando la deduccin directa no es posible, hay que aplicar una deduccin indirecta por

reduccin al absurdo (utilizando la regla de deduccin que tiene este nombre). Se empieza

suponiendo lo contrario de lo que se busca (si queremos obtener A, se introduce como

supuesto auxiliar A) y se aplican reglas de deduccin hasta llegar a una contradiccin, es

decir, hasta aadir a nuestra deduccin una conjuncin de la forma (BB) (donde B puede

ser cualquier frmula). Una vez que est en la deduccin esa conjuncin, podremos cerrar el

supuesto mediante la regla RA y aadir a la deduccin, de acuerdo con la regla RA, la

negacin del supuesto.

ejemplo:

deduccin de p a partir del conjunto {q, q}1. q (premisa)

2. q (premisa)

3. p (supuesto provisional, para una reduccin al absurdo)

4. (qq) (IC 1, 2)

5. p (RA 3-4)

6. p (DN 5)

En algunas deducciones hay que combinar las dos estrategias. Ejemplo:

deduccin de (pq) a partir de {q, q}1. q (premisa)

2. q (premisa)

3. p (supuesto provisional, para una reduccin al absurdo)

4. (qq) (IC 1, 2)

5. p (RA 3-4)

6. p (DN 5)

7. (pq) (IC 1, 6)

b) Dos tipos de reglas (de introduccin y de eliminacin):

Como estrategia general para construir una deduccin, una vez escritas en la deduccin las

premisas (y cada vez que aadamos nuevas frmulas), hay que mirar qu tenemos (frmulas

ya presentes en la tabla) y qu buscamos (frmulas cuya presencia nos interesa en la

deduccin: quiz la conclusin, o quiz otra frmula que nos permita construir la conclusin

que buscamos).

Las reglas de eliminacin se aplican a las frmulas ya presentes en la tabla para obtener

nuevas frmulas cuya presencia interese en la deduccin.

si tenemos una conjuncin, podemos aadir a la deduccin cualquiera de sus partes

(tambin las dos, si nos interesa) por EC;

si tenemos una disyuncin, la regla ED nos dice cmo obtener una frmula nueva

introduciendo supuestos (cuidado: la regla ED no nos permite, en principio, obtener

las partes de la disyuncin, estas frmulas se ponen como supuestos, pero despus se

cancelan y lo que se obtiene es una frmula nueva, indicada con la metavariable C en la

formulacin de la regla);

si tenemos un condicional y su antecedente (las dos frmulas, por separado, deben estar

en nuestra deduccin), podemos aadir el consecuente por MP;

si tenemos una doble negacin, podemos aadir la frmula sin negacin por DN;

si tenemos un bicondicional, podemos aadir a la deduccin cualquiera de los dos

condicionales (AB) o (BA) (o los dos, si nos interesan) por EB.

Las reglas de introduccin se aplicarn en funcin de la conectiva principal de la frmula

que queramos obtener:

si buscamos una conjuncin, tendremos que obtener sus dos partes por separado y

aplicar la regla IC;

si buscamos una disyuncin, bastar con obtener una de sus partes y aplicar la regla ID;

si buscamos un condicional, tendremos que suponer su antecedente y tratar de obtener

su consecuente para aplicar despus la regla TD;

si buscamos una negacin, tendremos que suponer la frmula sin el negador y tratar de

obtener una contradiccin para aplicar la regla RA (esta regla se aplica en la estrategia

de demostracin indirecta, cuando la directa no es posible, aunque lo que se busca no

sea una negacin: en ese caso se supondr la frmula negada y se obtendr por RA la

doble negacin, que se elimina por DN);

si buscamos un bicondicional, el problema se reduce a la obtencin de los dos

condicionales correspondientes para aplicar despus IB.

En cuanto a la introduccin y eliminacin de supuestos, es importante introducir

nicamente aquellos supuestos que sepamos cmo van a ser eliminados. Slo hay tres reglas

que nos permitan cancelar supuestos (ED, TD y RA) y cada una de ellas debe utilizarse en el

momento adecuado: ED si hay una disyuncin que queramos eliminar, TD si buscamos un

condicional y RA cuando intentamos una reduccin al absurdo. Se pueden introducir nuevos

supuestos sin haber cancelado los anteriores, simplemente hay que tener cuidado al cerrarlos:

se cancelan en orden inverso al de su introduccin. Hay que acordarse de cerrar todos los

supuestos abiertos, y tener en cuenta que, una vez cancelado un supuesto, la subdeduccin

correspondiente deja de formar parte de la deduccin. Adems, en una ED, cada una de las

deducciones subsidiarias es independiente de la otra: no pueden aplicarse reglas de deduccin

a frmulas dependientes de uno de los supuestos mientras se trabaja en la subdeduccin

dependiente del otro supuesto.

ejemplo de deduccin con supuestos:

deduccin de (pr) a partir de {(qq), (qr)}Primero, escribimos las premisas

1. (qq)

2 (qr)

A continuacin, pensamos qu tenemos: una disyuncin, a la que podramos aplicar ED, y

un condicional, al que podramos aplicar MP si tuviramos su antecedente. Pensamos tambin

qu buscamos: un condicional, que obtendramos por TD. Decidimos entonces suponer el

antecedente del condicional que queremos obtener, y tratar de deducir su consecuente para

poder aplicar entonces TD.

3. p (supuesto: antecedente del condicional que buscamos)

Ahora buscamos el consecuente r, que podramos obtener aplicando MP a 2: para esto

necesitamos en la deduccin su antecedente q, que no podemos obtener, pero que est en la

disyuncin 1. Probamos a aplicar ED, introduciendo supuestos que nos permitan seguir

aplicando reglas:

4. q q (son dos supuestos independientes, las dos partes de la disyuncin 1)

Trabajamos con la primera subdeduccin:

5. r (MP 2, 4)

Esta frmula es justo la que nos interesaba: puede funcionar como la "C" de la regla ED.

Pasamos entonces al otro supuesto de la disyuncin, y tratamos de conseguir la misma

frmula. (Aqu es fcil, porque los dos supuestos son idnticos: repetimos lo que hemos

hecho antes. Pero normalmente hay que trabajar independientemente con cada uno de los

supuestos: incluso puede que las dos subdeducciones sean de distinta longitud, no importa.)

r (MP 2, 4)

Cuando tenemos las misma frmula obtenida a partir de los dos supuestos de la

disyuncin, la regla ED nos permite cancelar los dos supuestos y aadir a nuestra deduccin

esa misma frmula, ahora independiente de los supuestos y ya perfectamente justificada en la

deduccin. Quedara as:

1. (qq)

2 (qr)

3. p

4. q q

5. r (MP 2, 4) r (MP 2, 4)

6. r (ED 1, 4-5)

Todava queda un supuesto sin cerrar (3), pero ya tenemos el consecuente que

buscbamos: la regla TD nos permite cancelar el supuesto y aadir a la deduccin el

condicional que queramos obtener.

1. (qq)

2 (qr)

3. p

4. q q

5. r (MP 2, 4) r (MP 2, 4)

6. r (ED 1, 4-5)

7. (pr) (TD 3-6)

Una vez obtenida la conclusin (y cancelados todos los supuestos), la secuencia resultante

es una deduccin de (pr) a partir del conjunto dado de premisas.

Nociones sintcticas fundamentales del sistema formal DNP:

La nocin bsica en DNP es la nocin de deduccin de una frmula A a partir de un

conjunto de premisas .

Una deduccin en DNP de la frmula A a partir del conjunto de premisas es unasecuencia finita de frmulas de LP cuya ltima frmula es A, y en la que cada una de

las frmulas presentes est justificada por ser: o bien una premisa del conjunto , o bienun supuesto cancelado, o bien una frmula que se deriva de frmulas anteriores

mediante aplicacin correcta de una regla de deduccin de DNP.

Pero la presencia en DNP de reglas que funcionan con supuestos provisionales permite

construir deducciones sin premisas. Cuando el conjunto es el conjunto vaco, la deduccinse llama demostracin.

Una demostracin en DNP de la frmula A es una secuencia finita de frmulas de LP

cuya ltima frmula es A, y en la que cada una de las frmulas presentes est justificada

por ser: o bien un supuesto cancelado, o bien una frmula que se deriva de frmulas

anteriores mediante aplicacin correcta de una regla de deduccin de DNP.

La posibilidad de construir deducciones o demostraciones de frmulas determina las

siguientes propiedades sintcticas de frmulas:

Una frmula A es consecuencia sintctica de un conjunto en el sistema DNP sii esposible construir una deduccin de A a partir de en DNP (es decir, sii la frmula esdeducible de en DNP).

Una frmula A es una ley lgica del sistema DNP sii es posible construir una

demostracin de ella en DNP (es decir, sii la frmula es demostrable en DNP).

El sistema DNP tiene una propiedad metalgica interesante, que se llama teorema de

deduccin: si , A B entonces (AB). Como caso particular tenemos: si A Bentonces (AB), es decir, si una frmula B es consecuencia sintctica de otra A, elcondicional que tiene a A como antecedente y a B como consecuente es una ley lgica. El

teorema de deduccin permite relacionar as las nociones de deduccin (nocin bsica de los

sistemas de deduccin natural) y de ley lgica (nocin bsica de los sistemas axiomticos).

Aplicacin del sistema DNP a la demostracin de propiedades semnticas defrmulas:

Aunque un sistema formal se define independientemente de cualquier contenido

semntico, si se quiere que sirva para algo se construye con vistas a una "interpretacin

pretendida". Por ejemplo, los smbolos primitivos de LP quieren representar nexos y

enunciados, las reglas de formacin de LP quieren reflejar las estructuras del lenguaje natural

en las que se combinan enunciados simples para dar lugar a enunciados compuestos, y las

reglas de deduccin de DNP quieren reflejar esquemas de argumentacin correcta del

lenguaje natural. (Por ejemplo, hemos elegido MP como regla bsica de deduccin de DNP

porque, si "" expresa una condicin suficiente, el esquema (AB), A B se correspondecon un esquema correcto de argumentacin, el modus ponens.)

El que hayamos construido DNP con vistas a una semntica concreta hace que haya una

relacin entre las nociones sintcticas que acabamos de definir y las nociones semnticas del

tema 6. Por eso DNP puede usarse para demostrar propiedades y relaciones semnticas (y, por

tanto, validez de argumentos).

Para demostrar que una frmula A es una tautologa habr que construir una demostracin

de A en DNP (sin premisas): A.

Para demostrar que una frmula A es consecuencia (semntica) de un conjunto de

premisas habr que construir una deduccin de A a partir de : A.

Para demostrar que A y B son equivalentes, habr que construir dos deducciones: A By B A.

Para demostrar que el argumento A, B, C D es vlido, habr que construir una

deduccin de D a partir del conjunto {A, B, C}: A, B, C D.Muy importante: el hecho de que no sepamos construir la deduccin no quiere decir que

hayamos demostrado que la frmula no es tautologa o que el argumento no es vlido, etc.

Puede que sea posible construir la deduccin, pero no hayamos dado con ella. La deduccin

natural slo nos da respuestas afirmativas (s es vlido, s implica, s es tautologa cuando

tenemos la deduccin correcta), pero no negativas (si no tenemos la deduccin, no sabemos si

es vlido o no, si implica o no, etc.). Para garantizar la respuesta negativa (no es vlido, no es

tautologa, no implica, etc.) habra que aplicar un mtodo de los que dan una respuesta "s o

no" (tablas de verdad, tablas analticas).

Consejos prcticos para hacer deducciones:El nico truco para aprender a hacer deducciones es hacer muchas.

Algunas cosas con las que hay que tener cuidado:

Al trabajar con supuestos:

No es una buena estrategia suponer "a lo loco" (por ejemplo, no es una buena

estrategia: "necesito p, voy a suponer p"). Al introducir un supuesto, hay que pensar

ms en el resultado final (lo que est debajo de la raya horizontal en la formulacin

de la regla) que en el supuesto mismo. Porque el supuesto debe cancelarse, y esto

significa que:

siempre que se introduzca un supuesto hay que saber cmo se va a cancelar

(con ED, con TD o con RA): suponemos las partes de una disyuncin para

aplicar ED, suponemos el antecedente cuando buscamos un condicional y

pensamos aplicar TD, o suponemos la negacin de lo que buscamos para

aplicar RA. Si no tenemos una de estas tres cosas en perspectiva, es mejor

no introducir el supuesto.

una vez cancelado el supuesto, la subdeduccin y el supuesto mismo

desaparecen, y lo que queda en la deduccin es lo que la regla nos dice que

aadamos: esto es lo que hay que tener en la cabeza al introducir el

supuesto, hacia dnde nos llevar (es decir, s es una buena estrategia:

"necesito p, voy a suponer algo que me lleve a p").

Hay que recordar que, una vez cerrado el supuesto, no se pueden usar frmulas

dependientes de l (es decir, no se les pueden aplicar reglas a las frmulas que

quedan dentro de la raya de un supuesto cerrado).

Del mismo modo, hay que acordarse de que las subdeducciones de una ED son

independientes: cuando se trabaja con uno de los supuestos no se pueden usar

frmulas dependientes del otro. Y, una vez cerrados, desaparecen las dos

subdeducciones, como ocurre con cualquier supuesto cerrado.

No se pueden cerrar supuestos en desorden, ni dejar supuestos sin cerrar. Es

importante recordar esto, porque a veces obtenemos la frmula que buscbamos,

pero nos queda un supuesto abierto: todava no est terminada la deduccin, hay

que cerrarlo. O a veces obtenemos una frmula que queramos para cerrar un

supuesto, pero queda otro supuesto abierto por debajo: no se puede cerrar el de

arriba hasta que no se cierre el de abajo. Tampoco se puede cerrar slo uno de los

supuestos de una eliminacin de disyuncin dejando abierto el otro: se deben cerrar

los dos a la vez.

Tampoco se pueden "cerrar" supuestos inventndose una regla inexistente. Slo

cierran supuestos las reglas ED, TD y RA: debajo del cierre del supuesto tiene que

aparecer la frmula que estas reglas nos dicen que aadamos, y a su derecha deber

estar la justificacin (por ejemplo, ED 3, 4-8, o TD 2-6, o RA 3-4).

Al trabajar con disyunciones:

No confundir EC con ED: la eliminacin de disyuncin no nos permite deducir

ninguna de las partes de la disyuncin, sino que nos obliga a introducir supuestos,

deducir otra cosa, y obtener al final esa otra cosa como deducida de la disyuncin.

No es una buena estrategia introducir una disyuncin a menos que sea la

disyuncin que buscamos. A veces es tentador introducir una disyuncin con la

ilusin de luego eliminarla: no debe hacerse esto, aunque parezca tan fcil (porque

la regla ID nos permite "inventar" una parte teniendo la otra), porque lo que no es

fcil es eliminarla luego (hay que suponer las dos partes y tratar de llegar a la

misma conclusin "C": si nos hemos "inventado" una parte, es difcil que lo

consigamos).

En general, cuidado con qu frmulas se pueden usar en la deduccin:

No se pueden aplicar reglas a trozos de frmulas, siempre se aplican las reglas a la

conectiva principal. En concreto, ninguna regla nos sirve para eliminar (),(), () o (). Si aparecen frmulas con esta estructura en nuestradeduccin, es probable que nos sirvan para hacer la funcin de "B" en una

reduccin al absurdo: por ejemplo, si tenemos (), por algn lado aparecer(), y construiremos (()()), que ser el (BB) que nos permitircerrar el supuesto de la RA.

No se pueden usar frmulas que no pertenezcan a la deduccin (aunque parezca un

consejo tonto, cuidado con confundir con nuestra deduccin el enunciado del

problema que queremos resolver: la deduccin empieza con la primera lnea

numerada, el enunciado A, B C no pertenece a la deduccin).

No se pueden usar frmulas de supuestos cerrados o del "otro" supuesto en una ED.

S se pueden usar frmulas de supuestos abiertos, incluso el supuesto mismo.

S se pueden usar varias veces las mismas frmulas, y aplicarles las mimas o

distintas reglas, tantas veces como sea necesario.

Algunas estrategias generales, por "tipos" de ejercicios:

Cuando buscamos un condicional: habr que suponer el antecedente y buscar el

consecuente, para aplicar despus TD. Si el consecuente es otro condicional, se vuelve a

suponer (debajo del primer supuesto) su antecedente y se busca su consecuente. Si el

consecuente es otro condicional, etc. Al final se cierra toda la cadena de supuestos por

sucesivas aplicaciones de TD.

Cuando tenemos un condicional pero no podemos aplicar MP porque no tenemos su

antecedente: hay que construir ese antecedente (como si fuera un problema pequeito

dentro del otro) y, cuando se consigue aadir a la deduccin, se aplica MP

normalmente.

Cuando buscamos una disyuncin el problema se reduce a encontrar una de sus partes

(no hacen falta las dos para aplicar ID), aunque a veces es ms fcil probar

indirectamente, suponiendo la negacin de la disyuncin y buscando una contradiccin.

Cuando tenemos una disyuncin, hay que suponer las dos partes por separado, y

buscar una frmula C que podamos deducir independientemente a partir de cada una,

para despus cancelar los dos supuestos y aadir otra vez C ya sin depender de ningn

supuesto. El problema con ED es que nadie nos dice qu frmula es C: suele ser bueno

probar si C puede ser la conclusin que buscamos al final.

Cuando no hay manera de encontrar lo que buscamos, podemos probar por reduccin

al absurdo: suponemos su negacin y buscamos una contradiccin. A veces tenemos ya

en nuestra deduccin una frmula (B: una cualquiera) y su negacin (B). Esto es

bueno, porque nos permite deducir lo que queramos: suponemos su negacin,

introducimos la conjuncin (BB) y con ella cerramos el supuesto y obtenemos al

final la frmula que buscbamos.

Normalmente habr que combinar varias de estas estrategias: por ejemplo, suponer el

antecedente de un condicional que buscamos, a continuacin suponer la negacin de su

consecuente para obtenerlo por RA, eliminar una disyuncin para sacar una frmula que

es el antecedente de un condicional que ya tenemos y al que queremos aplicar MP, etc.

Reglas bsicas y reglas derivadas

Hemos hablado antes de las propiedades sintcticas de las frmulas, y hemos definido la

nocin de consecuencia sintctica. (Una frmula es consecuencia de un conjunto en elsistema DNP sii es posible construir una deduccin de A a partir de en DNP.) Ahora,podemos distinguir dos tipos de consecuencias sintcticas: mediatas e inmediatas.

Una frmula es consecuencia sintctica inmediata de un conjunto de frmulas cuando esel resultado de la aplicacin de una nica regla bsica a las frmulas de ese conjunto. Por

ejemplo, q es consecuencia inmediata de {(pq), p}, porque es el resultado de aplicar laregla MP a esas dos frmulas.

Una frmula es consecuencia sintctica mediata de un conjunto de frmulas cuando esel resultado de la aplicacin de varias reglas bsicas. Por ejemplo, la frmula (qr) es

consecuencia mediata de {(pq), p}, porque es el resultado de aplicar dos reglas dededuccin: primero MP para obtener q (como paso intermedio), y luego ID para obtener

(qr).

Ahora podemos observar que hay una correspondencia entre cada relacin de consecuencia

inmediata y una regla bsica:

(pq), p q se corresponde con el modus ponens

p, q, (pq) se corresponde con la introduccin de conjuncin, etc.

Anlogamente, podramos convertir en reglas de deduccin cualquiera de las deducciones

ms largas que podemos construir en DNP. Por ejemplo:

1. (pq) (premisa)

2. q (premisa)

3. p (supuesto provisional, para una reduccin al absurdo)

4. q (MP 1, 3)

5. (qq) (IC 4, 2)

6. p (RA 3-5)

Esta deduccin nos dice que p es consecuencia mediata de {(pq), q}, es decir:(pq), q p

Podramos usar esta relacin de consecuencia sintctica mediata para fundar una nueva

regla de deduccin (a la que llamaremos Modus Tollens):

(pq)

q

p

Decimos que esta es una regla de deduccin derivada, porque no est basada

inmediatamente en el significado de los nexos, sino que se justifica mediante una deduccin

previamente construida utilizando reglas bsicas.

Las reglas derivadas, si se usan en una deduccin, permiten simplificarla, porque se hace

en un solo paso lo que, por ejemplo, requerira cuatro (en el caso del modus tollens).

Podramos aadir al sistema DNP todas las reglas derivadas que quisiramos (siempre que

estuvieran justificadas por la correspondiente deduccin), pero esto no cambiara en nada la

capacidad deductiva de DNP: lo que se puede deducir de manera simplificada usando las

reglas derivadas, se puede deducir tambin sin ellas, aadiendo los pasos correspondientes a

la deduccin.

Una vez que tenemos una correspondencia entre deducciones y reglas de deduccin,

podemos decir que en un sistema de deduccin natural, lo que hace el papel de esquemas de

argumento vlido son las reglas de deduccin mismas: por eso se les llama "sistemas de

reglas". (En un sistema axiomtico, los esquemas de argumento vlido son las leyes lgicas:

por eso se les llama "sistemas de leyes".) Y la distincin tpica de los sistemas formales entre

"esquemas bsicos" y "esquemas derivados" se convierte, en los sistemas de deduccin

natural, en la distincin entre reglas bsicas y derivadas. (Es como si las reglas bsicas fueran

los axiomas, y las derivadas los teoremas.)

Nosotros no vamos a usar reglas derivadas en nuestras deducciones, pero s es

interesante conocer algunas de ellas (adems, puede servir como ejercicio el hacer la

deduccin que justifica a cada una de ellas).

Algunas reglas derivadas:

modus tollens contraposicin transitividad del

condicional

(AB) (AB) (AB)B (BA) (BC)A (AC)

silogismo disyuntivo dilema doble negacin

(AB) (AB) A

A (AC) AB (BC)

C

definicin de en de Morgan (/) definicin de en (AB) (AB) (AB)

(AB) (AB) (AB)

definicin de en de Morgan (/) definicin de en (AB) (AB) (AB)(AB) (AB) (AB)

7.3. Sistemas axiomticos: el sistema PMDel conjunto total de las leyes lgicas, los distintos sistemas formales eligen cules

colocan como leyes bsicas (son los axiomas) y formulan unas reglas de deduccin que les

permitan extraer como leyes derivadas el resto de las leyes del sistema. El que vamos a poner

como ejemplo es el sistema de Whitehead y Russell en Principia Mathematica (1910-1913).

Lenguaje LPM (para lgica proposicional):

smbolos primitivos:

variables proposicionales: p, q, r, s

conectivas: , , , ,

(usaremos nuestros parntesis como smbolos auxiliares)

reglas de formacin (anlogas a las de LP: queda como ejercicio formularlas)

Combinando los smbolos primitivos de manera adecuada, siguiendo las reglas de

formacin, se puede construir el conjunto de las frmulas bien formadas de LPM. Por

ejemplo, ((pq)r) es una fbf de LPM.

Mecanismo deductivo del sistema PM (para lgica proposicional):

axiomas:

A1: ((pp)p)

A2: (q(pq))

A3: ((pq)(qp))

A4: (((p(qr))(q(pr)))

A5: ((qr)((pq)(pr)))

reglas de deduccin (nos dicen qu frmula se deriva de otras):

R1 (regla de sustitucin): Si A y B son fbfs de PM, el resultado de sustituir en A todas las

apariciones de una misma variable proposicional por la frmula B es una fbf de PM que se

deriva de A.

ejemplo: (q(pq)) ((qr)(p(qr))) sust q/(qr)

R2 (regla de separacin): (AB), A B

R3 (reglas de definicin de conectivas): Si A es una fbf de PM en la que aparece una

conectiva didica , la frmula equivalente a A que resulta de aplicar las siguientesdefiniciones para cada es una frmula que se deriva de A. (AB)=df(AB)

(AB)=df(AB)

(AB)=df((AB)(BA))

ejemplo: ((pp)p) ((pp)p) def

Con el mecanismo deductivo de PM podemos construir demostraciones de leyes lgicas.

Son leyes lgicas de PM los cinco axiomas indicados antes, ms todas las frmulas que se

deriven de una ley lgica previamente establecida, de acuerdo con las reglas de deduccin de

PM. Una demostracin de la ley lgica A en el sistema PM ser una sucesin ordenada de

frmulas de LPM cuya ltima frmula sea A, y en la que todas las frmulas de la lista estn

justificadas por ser: o bien un axioma de PM, o bien una ley lgica previamente demostrada,

o bien una frmula que se derive de alguna(s) frmula(s) anterior(es) mediante aplicacin de

una regla de deduccin de PM.

Ejemplos:

Demostracin de la ley lgica (p(pp):

1. (q(pq)) justificacin: es el axioma 2

2. (p(pp) justificacin: se deriva de 1 por la regla de sustitucin (sust q/p)

Demostracin de la ley lgica ((p(qr))(q(pr))):

1. ((p(qr))(q(pr))) justificacin: es el axioma 4

2. ((p(qr))(q(pr))) justificacin: se deriva de 1 por sust p/p

3. ((p(qr))(q(pr))) justificacin: se deriva de 2 por sust q/q

4. ((p(qr))(q(qr))) justificacin: se deriva de 3 por def

5. ((p(qr))(q(pr))) justificacin: se deriva de 4 por def