apuntes de hormigón armado vpreiiminar1

7/24/2019 Apuntes de Hormign Armado Vpreiiminar1

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Apuntes de Hormign Armado

Profesor : Sra. Silvana Cominetti Cotti-Cometti

2003


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Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti Apuntes de Hormign Armado

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PRLOGO


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Apuntes de Hormign Armado Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti

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NDICE

1-. Generalidades:

1.1-. Acero chileno1.2-. Hormign

2-. Diseo a Rotura:

3-. Diseo de Losas Aisladas:

4-. Diseo de Campos de Losas

5-. Diseo de Estanques Rectangulares

6-. Diseo de Escalas


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Apuntes de Hormign Armado

Profesor : Silvana Cominetti Cotti-Cometti

2003


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I-. Generalidades

Obra de H.A.: Es aquella compuesta por Hormign y Armadura Metlica que puedenresistir en forma conjunta las Solicitaciones Externas.

1-. Acero Chileno

Calidad del Acero Dimetroe (mm)

Formas de Entrega

A44 28 H 6*, 8, 10 y 12 ROLLO6* a 36 RECTA

A63 42H 8, 10 y 12 ROLLO8 a 36 RECTA

* El dimetro de 6 mm se suministra slo en la calidad A44-28H y con superficie lisa. Todos los dems dimetros llevan resaltes.

CALIDAD A TRACCIN MARCAROTURA FLUENCIA

A 44 28 H 4400 Kg./cm2 2800 Kg./cm2 HH o A44A 56 35 H* 5600 Kg./cm2 3500 Kg./cm2 HHHA 63 42 H 6300 Kg./cm2 4200 Kg./cm2 HHHH o A63

* No disponible en el comercio

Curva Caracterstica de Acero A 44 28 H

1: Zona Elstica.2: Zona de Transicin (Fluencia Restringida).3: Zona de Fluencia.4: Zona de Endurecimiento por Deformacin.5: Zona de Estriccin.

2

2


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Dctil

Fr il

y p

EL HORMIGN ES FRGIL Hay que impedir la falla del Hormign.EL ACERO ES DCTIL Gran capacidad de deformacin antes de romperse.

La DUCTILIDADen el acero es inversamente proporcional a la resistencia.

Una forma de medir la ductilidad:

y

p

= 1 Comport. Plstico

< 1 Comport. Elstico

1.2-. Hormign

CalAluminio

Cemento Silicatoridos xido Frrico

Propiedades: - Mezcla AguaAditivos

- Hormigonadura- Curado

a) Retraccin de Fraguado:

Se debe a cambios de volumen que ocurren en el Hormign debido a la evaporacin. Esun procesoExotrmico. Las zonas sufren diferentes deformaciones.

Depende de:-

Humedad Ambiente.- Calidad del Cemento (+ calor de hidratacin).- Temperatura Ambiente.-

Dosificacin.- Tipo de Fraguado.- etc.


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Agrietamiento por Retraccin:

o = 0,35 mm/m Valor Promedio

Valor ms exacto:

( )[ ] ( )[ ] 5102,0101,0101005,08,0 ++= CACHo donde:

H : Humedad Ambiente (%).C : Cantidad de Cemento.

CA : Relacin Agua-Cemento.

b) Fluencia o CREEP del Hormign:

Son deformaciones a largo plazo debidas a Carga Esttica Sostenida.

c)Control de Calidad del Hormign:

-

Ensayos No Destructivos.- Ensayos Destructivos: Determinar la resistencia del Hormign mediante probetas:

Cbicas : 20x20 cm2 (Rc)Cilndricas o Prismticas : 15x30 (Rp)

Recuperacin Instantnea

Recuperacin en el Tiempo

Al Descargar

Fluencia oCREEP

DeformacinInstantnea

0 28 das2 aos T (Meses)


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Rp= 0,86 Rc si Rc400 Kg/cm2

Rp= 0,48 Rc+ 152 si Rc> 400 Kg/cm2

(Rp< Rc; Rp0,82 0,85 Rc)

Clasificacin de los hormigones por resistencia a la compresinGRADO RESISTENCIA ESPECIFICADA, fc

MPa Kg/cm2H5 5 50H10 10 100H15 15 150H20 20 200H25 25 250H30 30 300H35 35 350H40 40 400

H45 45 450H50 50 500

Resistencia del hormign en el tiempoTIEMPO RESIST/Rc

3 das 30%7 das 70%

28 das 100%90 das 120%

Parmetros:- Tipo de hormign.-

Tipo de Cemento.-

Condiciones ambientales (Humedad, temperatura)- Relacin A/C- Etc.

RESISTENCIA fc(Mpa)H20 16H25 20H30 25H35 30H40 35H45 40

H50 45

1 MPa = 10 Kg/cm2'4730 cc fE = (MPa) Para hormigones normales.


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Resistencia Caracterstica:

( ) 64,11= bmbk

: Desviacin tipo Relativa.

=

=n

ibibm n 1

1

bi : Resistencia de cada muestra.

N : Nmero de muestras.

Curva Caracterstica de Hormign

tg = ET=

d

d= Mdulo de Elasticidad Tangente.

1tg = ES=

= Mdulo de Elasticidad Secante.

o =0=

d

d= Mdulo de Elasticidad en el Origen.

b

Comportamiento Aprox. Lineal

=E1

E = Mdulo de ElasticidadDel Hormign


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Resistencia y Deformacin del Hormign

Hiptesis de Rotura:

1-. La rotura se produce al alcanzar, en un punto de una probeta, el esfuerzo normal mximosoportable por el material en un ensayo de compresin o de traccin simple (RANKINE)

Aplicable a materiales frgiles HORMIGN

2-. La rotura se produce por esfuerzo de corte mximo (COULOMB)3-. La rotura se produce por deformacin mxima.4-. La rotura se produce por acumulacin de Energa de deformacin mxima que soporta elmaterial (VON MISSES)

Aplicable a materiales dctiles ACERO

Resistencia a la compresin Rotura de probetasDepende de:

1-. - Forma y tamao de la probeta.- Velocidad de aplicacin de la carga.- Superficie de carga.- Centrado de la carga.

2-. - Dosificacin del hormign.- Edad del hormign.

- Temperatura de conservacin.Parmetros de Ensayo:

Forma y Tamao: CUBOS 15x40CILINDROS 15 () x 30 (h)

Def.: 10===hormign

acero

b

ac

E

E

E

En 15 en el rango usual

n puede llegar a 40 hasta que se colapsa.

cbcE = (Kg/cm2)

14000

Hc

8,33

25000

= 10000 H: Humedad ambiental en /1

8500


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Valores Normales:

2400=H ~2500 Kg/m3 (Hormign Armado)

2200=H Kg/m3 Estructuras poco armadas (Hormign solo)

7700=acero ~7800 Kg/m3340000HE Kg/cm

26101,2 =aceroE Kg/cm

2

[ ]Cacero 100001,0= Coeficiente de Dilatacin trmica.

Fenmenos de Contacto: Adherencia y Anclajes

1-. Adherencia

Si l es grande, se produce fluencia del acero y el experimento no sirve.

Si l es pequeo, se producen grietas a 45, extendindose hasta 3 a lo largo con 1 delargo cada grieta.

Separacin Mnima entre Armaduras: 1

Distribucin de a: Tensin de Adherencia

F

l3

Distribucin de a : Tensin de Adherencia Promedio


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=l

a dlF0

=l

aa dll 0

1

lF a = lF

a =

10 a 15 Kg/cm2

aTSMX lF

=

=4

2

TS : Resistencia a la traccin de la barra de acero.

a : Resistencia por adherencia hormign-acero.

Para anclar, no ayuda en nada aumentar len el hormign. Se estara perdiendo. Interesaconocer l.

4

=

a

TSl

Para TS =1440 Kg/cm2:

a =10 Kg/cm2 l =

410

1440 36

Las normas recomiendan l= 40 ~ 60 (Anclaje Longitudinal)

1

3


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2-. Anclajes por Curvatura

En barras con resaltes generalmente no se requiere curvatura, dado que la adherencia esbuena.

En barras lisas, o con tensiones muy grandes, se les debe dar curvatura.

En elemento de largo S:

Eq. en t)

: ( ) =

+22

CosFCosFF S

Eq. en n)

: ( ) SSenFFF =

++

2

+= nSSu ) tS )

02

;22

Sen ; 1

2

Cos

=

2

CosF S =S S

dS

dF= 1

F + F

S

2

2

F

S

n)

t)

F + F

F

Anclaje por adherencia

Anclaje por adherenciay por roce


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SFF =

+

222 ; SR =

= S

R

RS

FF =

=+

2

1

Si F0 RF = 2

Se tiene:

af += (f = Coef. friccin acero-hormign)

aSSfS +=

aR

Ff

dS

dF +=

dS

R

Ff

dF

a

=+

dSR

f

f

RF

dF

a

=+

e integrando:

( )1+= dfadfo efR

eFF

en que el primer trmino de la suma corresponde a friccin debido a la curvatura, y el segundo aadherencia amplificada por el efecto de friccin.: ngulo de curvatura total.

Si las tensiones que se desarrollan son muy grandes, se termina con un gancho

normalizado.

La tendencia actual es no usar ganchos (Utilizar 40, sin doblar los fierros)

3-. Traslapo en Barras para Hormign

Las barras de acero vienen de 6 a 12 m. A pedido especial de 30 m.

2,5 2

INDITECHOR

C.E.B.4(5 ~ 7)

Barras de ArmaduraNormal

Barras de ArmaduraMejorada


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3 tipos de empalme: Por traslapo.Por soldadura NO SE USAPor Manguitos terrajados.

INN NCh: 30 con gancho.50 sin gancho.

ACI: 40

2,5 2

INDITECHOR

C.E.B.4(5 ~ 7)

Barras de ArmaduraNormal

Barras de ArmaduraMejorada

30 con gancho

50 sin gancho

Esfuerzos se transmiten por adherencia

2 ~ 4

20 (Barras con resalte)

600 (Barras lisas)

k

C.E.B.


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Disposicin de las Armaduras

En vigas, el rea mnima que se puede colocar es 2,5 / ooen cada cara (5 /ooen total). Encolumnas es 5 /oopor lado.

a) Viga Simplemente Apoyada con Carga Uniforme

b

h

mn= 2,5 /oo= 0,0025 bh

Zona de posibleRtula Plstica

Armadura Longitudinal porrazones constructivas

Estribos. Raznconstructiva dearmadura. Absorbetensiones longitudinalesde corte

Armaduras principales de traccin

* ya no se usa


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b) Viga en Consola (Marquesina)

c) Fundacin Aislada

Gran posibilidad de oxidacin. Se recomienda usar recubrimiento alto (d).

Distancia Mnima entre Armaduras

Arm. Principal

Razones Constructivas

Armadura Principal

d

5 a 10 cmEmplantilladoHormign Pobre

d1

2

r

d d 1 2 x mx. del rido

d12 cm

0 5 cm

22

1

+


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Recubrimientos RecomendadosELEMENTO ESTADO DEL ELEMENTO

PROTEGIDO NO PROTEGIDO MUY EXPUESTOMarcos 1,5 cm 2,0 cm 3,0 cmVigas 2,0 cm 2,5 cm 3,5 cm

Fundaciones 3,0 ~ 4,0 cm 4,0 ~ 6,0 cm 6,0 ~ 8,0 cm

Fisuracin del Hormign

Depende de: - Tensiones en las armaduras traccionadas.- Calidad del hormign.- Adherencia entre hormign y acero.- Recubrimiento de las armaduras.- Etc.

Ancho de grietas:

mmk

krf

af

fmx 3,0105,18,06

'

+=

en que:

%1f : Cuanta geomtrica de armaduras referida a la seccin afectada por

figuracin.: Ancho de la grieta.

r : Recubrimiento.1,1

f

1,3 : Coeficiente de Seguridad.

: Dimetro armaduras.

a : Tensin de trabajo del acero.

0,04 k0,07Flexin Simple Flexin Compuesta

7,5 k12


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Ancho de grietas: (ACI Ec. Gergely-Lutz)

( )mmdecentsimasen101,1 53 = Adf CS

cdch

=

yS

servicioS fdjA

Mf

= 6,0

Cd = Recubrimiento de hormign.

A= rea de hormign en traccin con centroide igual al de la armadura, dividida por elnmero de barras = rea de hormign que rodea una barra.

=exterior)el(en33,0

interior)el(en4,0

mm

mmmx

Ventajas e Inconvenientes del Hormign Armado

Ventajas:

1-. Adaptabilidad en la forma.2-. Monolitismo. Capacidad de hacer uniones rgidas y una sola cosa entre los dos elementos.

3-. Buena resistencia al fuego. Mejor que el acero, pero no tan resistente como la albailera.Normalmente resiste 800 C ~ 1200C en condiciones especiales.4-. Es ms econmico que el acero (para estructuras pequeas).5-. Resiste bien las fuerzas dinmicas.

C

CC

d

dC

h

A

fn


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Inconvenientes:

1-. Estructuras muy pesadas (no es posible efectuar grandes luces). Esto se resuelve con elHormign Pretensado.

2-. En estructuras de membranas y/o cpulas son difciles de construir. Economa en materiales(Hormign y acero), pero mayor costo en moldaje y tiempo de construccin.

Mtodos de Clculo y Normas

1-. Ecuaciones de Equilibrio.2-. Ecuaciones de Compatibilidad de Deformaciones (Navier-Bernoulli)3-. Relaciones Constitutivas.

Des reciable

o

Diag. Tens. Def. del H.

Real C.E.B. Parbola-Rect.

ACI Rectn ulo

Diag. Tens. Def. Idealizado delHormign

2 /oo 3,5 /oo

0,85fC

fC

Hormign Cable ResultanteCable de acero conTensin inicial


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En el acero se considera un comportamiento bi-lineal:

TEORA CLSICA: Diseo en base a verificaciones de tensiones.Verifica la tensin mxima.Se aplica un coeficiente de seguridad a las tensiones.

..HadmH

..acadmac

10 /oo

fy

fy

y

y

E acero

Horm.

COMPRESION

TRACCIN

Teo. InelsticaParbola-Rect.

ACIRectngulo

M creciente desde 0M mx

1

2(acero) (acero) (acero)

>o = 3 /oo

M

T

=E

0,85fC

Teo. Elstica

Barras de Acero

De ormaciones de la Seccin

Tensiones en el Hormi n

M

TBarras de Acero


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TEORA INELSTICA: Verifica las tensiones ltimas o de agotamiento.No verifica la tensin mxima, sino que determina el estadotensional en el cual la pieza se colapsa. Se define un Estado ltimoo de colapso, y a ese estado se chequea.

Se verifica la Resistencia ltimade la pieza.Se determinan las solicitaciones mximas con coeficientes demayoracin y se comparan con las resistencias ltimas.

Debe cumplirse:

Solicitaciones Mayoradas Resistencias ltimas

Conceptualmente la teora inelstica es mejor y ms real.

piezaespesorBreaAreaCb +=

XBAXB

XAclculob

clculob

clculob

=+

=

=8096,04286,0

381,0

bXC clculobb = 8096,0

321

El C.G. de A+B est a 0,587X del origen, o bien a 0,42X del borde comprimido.

b

Diagramas de Tensiones de Rotura del Hormign para

Variacin Triangular de las Deformaciones

2 /oo 3,5 /oo

0,6b nominal

bclculo=

AB

X

0,6b nominal Resultante0 42X

Cb


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II-. Diseo a Rotura

Mn= Momento Nominal

duccinCoef

ltimoMomentoMM un Re.

=

Se debe cumplir entonces:

un MM

Valores del Coeficiente de Reduccin

SOLICITACIN Traccin Axial 0,90Flexin 0,90Compresin con Flexin:- Columnas con estribos 0,65- Columnas zunchadas 0,70- Columnas con cargas axiales pequeas 0,75 ~ 0,90Corte y Torsin 0,75Aplastamiento 0,65

Esta seccin resiste Mn

Mn


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Combinaciones de Carga

U = 1,4(D+F) (1)U = 1,2(D+F+T)+1,6(L+H)+0,5(Lr S R) (2)U = 1,2D +1,6(Lr S R) + (1,0L 0,8W) (3)U = 1,2D +1,6W + 1,0L + 0,5(Lr S R) (4)U = 1,2D + 1,0E + 1,0L + 0,2S (5)U = 0,9D + 1,6W + 1,6H (6)U = 0,9D + 1,0E +1,6H (7)

Con las siguientes excepciones:(a) Excepto en garajes, el factor de carga L en las ecuaciones (3) y (5) puede reducirse a 0,5

en las reas para reuniones con pblico y en todos los lugares donde la carga viva Lesmayor que 487 kg/m2(b) Donde las cargas de viento Wno hayan sido reducidos por un factor de directividad se

permite utilizar 1,3Wen lugar de 1,6Wen las ecuaciones 4 y 6.(c) Cuando las fuerzas ssmicas Eestn basadas en fuerzas ssmicas al nivel de esfuerzos de

trabajo debe usarse 1,4E en cambio de 1,0Een las ecuaciones 5 y 7(d) El factor para Hdebe ser cero en las ecuaciones 6 y 7 si la solicitacin causada por Hse

opone a las causadas por W o E. Cuando el empuje de tierra provee resistencia a lassolicitaciones de las otras fuerzas no debe incluirse en H pero debe incluirse en laresistencia de diseo.

( ) 96.4334,19,0

4,1 OfNChEDELD

+


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Columnas Cortas Compresin Simple

Resistencia del Acero: sty Af

Resistencia del Hormign: Hormc Af '85,0

stgHorm AAA =

Resistencia de la Seccin:

( ) stystgcn AfAAfP += '85,0

un PP = 0,65

gA : rea total hormign (reas bruta)

Cuantas Mnimas y Mximas:

g

st

A

A

=

01,0=mn

06,0=mx

Ag: rea Gruesade hormign

Ast: rea de Acero

Pu

Pu: Carga ltima

PnPu


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Columnas con Hlice

styccs

spycn AfAsd

AffP +

+=

2,885,0 '

un PP = 0,70

donde:

ds : hlice.

spA : rea varilla helicoidal.

s : Paso hlice.

ccA : rea del ncleo de hormign.

Acero

P

Estribos Simples

ZunchosH + A

Hormign

Pb

a

Sup: a = 30b = 20

Ast= 10 cm2

fc=200kg/cm2

Resist. Horm. = ( )stc Aabf '85,0

P


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Cuanta Mnima para columnas Zunchadas (con hlice):

145,0

'

c

g

y

c

A

A

f

f

NOTA: Dimensiones Mnimas (Columnas Rectangulares)

ACI 30 x 30 cmNCh 20 x 20 cm

hlice = ds

s


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y(x)

x

y

x

P

Pandeo

M=Py

EI

yP

dx

yd =

2

2

0'' =+ yEI

Py ;

EI

Pk =2

( ) ( )kxCosBkxSenAy += ( ) 000 == By ( ) ( ) 00 == kxSenALy , A0 ,...2,1,0, == nnkL

Ln

EIP =

2

=

LnEIP

222

L

EInP mncrt

=

2

22

L

EInP mncrt

=

, n = 1

A

Ii mnmn=

( )2

2

2

22

iL

EA

L

iEAPE

=

=

Def.:

i

L=

2

2

EE

=

donde :

=1 =0,5 =2 =0,7


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Falta an considerar el fenmeno de pandeo, debido al cual se debe afectar las cargas porun coeficiente mayor que 1. Se considera el efecto de pandeo multiplicando las cargas axiales porel Coeficiente de Pandeo.

Coeficiente de Pandeo

PILARES ( ) y ZUNCHADOS ()SIMPLES ZUNCHADOS

Lp/b Lp/Dn 15 1,00 10 1,0020 1,08 15 1,1725 1,32 20 1,5030 1,72 25 2,0035 2,28 ------ ------40 3,00 ------ ------

NOTA: VALORES INTERMEDIOS SE INTERPOLAN.

Pilares de seccin rectangular con estribos simples en que 15bLp .

Pilares zunchados en que 10np DL .

En que: Lp: Longitud de pandeo = KLDn: Dimetro pilar.b: Ancho pilar.

En pilares con seccin diferente a la rectangular y con estribos simples se calcula primero

la esbeltez a la que corresponde de la tabla siguiente:

i

Lp= b

mn

A

Ii=

= Lp/i 50 1,0070 1,0885 1,32105 1,72120 2,28140 3,00


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Flexin Simple

1-. Seccin Rectangular con Refuerzo en Traccin

ca = 1 ( )

>

='

1

2''

2'

1

;65,0

300;3000008,085,0

300;85,0

c

cc

c

fcm

Kgff

cmKgf

a) = 0F T = C con ss fAT = bafC c =

'85,0

baffA css ='85,0

i) Falla Dctil: ys = ; 003,0


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( ) = 59,01'2 cn fdbM

ii)

Falla Balanceada:

003,0=c

ys = ;s

yy E

f=

s

sy

E

Eccfd

+=

003,0

003,0 c

E

Efd

s

sy

+=

003,0

003,0

( ) cEfbEA

db

A

sy

sssb +

=

=

003,0

003,0

peroy

c

y

cs f

bcff

bafA == 1'' 85,085,0

( )sys

y

cb Ef

E

f

f

+

=

003,0

003,085,0 1'

iii) Falla Frgil: 003,0=c ; ys <

Error!

=

c

c=0,003

d

cdcsc

=

( )s

yy E

cfccd

== 003,0

s

y

E

cfcd

= 003,0003,0

C

c= 0,003

s< y

( )CdCCdC

s =

=003,0

003,0

s


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sss Ef = ( )

ss Ec

cdf

= 003,0

como a=1c:

( ) a

E

adf s

s = 1003,0 bafC c =

'85,0

( )ss Ea

adAT

= 1003,0

=

=2

85,02

' adbafa

dCM cn

La cuanta de acero en traccin en elementos sujetos a flexin se limita de manera de

asegurar una falla dctil. Se utiliza la cuanta de balance como lmite de diseo.

Si o< b Falla del acero por traccin (Falla Dctil).Si o= b Falla balanceada.Si o> b Falla por compresin del Hormign (Falla Frgil). No es

conveniente.

Metodologa de Diseo

Es siempre conveniente que la falla que se produzca sea del tipo dctil y no frgil, por lo

que el diseo se realiza para conseguir una falla dctil. Para esto se debe cumplir:

MuMn Mu=Momento ltimo mayorado.

( )( ) 59,01'2 = cu fdbM (); = 0,9

Adems hay que imponer la condicin de armadura mxima para asegurar la falla dctil:

balmx = 75,0 para Diseo No Ssmico.

025,0=mx para Diseo Ssmico.

Armadura Mnima:

yf

14min = (fyen kg/cm

2) y ),(4

'

min MPaenfff

fc

y

c

=


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Desarrollando la ecuacin (*) se llega a:

2

'2

'' 89,185,085,0

y

cu

y

c

y

cs

f

fbM

f

dbf

f

dbfA

=

2-. Seccin Rectangular con Refuerzo a la Compresin

El diseo a la flexin de secciones rectangulares con armadura a la compresin se realizamediante un proceso de tanteo. Inicialmente se supone que el refuerzo de traccin y el decompresin han llegado a la tensin de fluencia y luego se modifican los resultados si seencuentra que parte o todo el refuerzo no est en tal condicin.

Ecuaciones de Diseo

Partiendo de la hiptesis inicial de que todo el acero est en fluencia:

bafC cc ='85,0

yss fAC ='

ys fAT =

Equilibrio Cc+ Cs= T

ysysc fAfAbaf =+''85,0

( )

bf

fAAa

c

yss

=

'

'

85,0

d

h

b

d

c a

T

'sA

sA

s

003,0=c '85,0 cf

'sf

sC

oC dy


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Relaciones de Proporcin de Deformaciones (Verificacin de que las armaduras entran entraccin y compresin estn en fluencia)

cdc

s 003,0'

'

=

( ) ( )s

ys

E

f

a

da

c

dc

=

=

'1

'' 003,0003,0

ccds 003,0=

( ) ( )

s

ys E

f

a

ad

c

cd

=

= 1003,0003,0

ca = 1 1

ac=

Si ambas desigualdades se cumplen, significa que las suposiciones iniciales han sidocorrectas y por lo tanto el momento nominal se puede escribir como:

( )'''2

85,0 ddfAa

dbafM yscn +

=

En caso que las desigualdades anteriores no se cumplan, es necesario recalcular el valorde aa partir de las tensiones reales del acero.

bf

fAfAa

c

ssss

=

'

''

85,0

( )ssss Ea

daEf

==

'1'' 003,0

( )ssss Ea

adEf

== 1003,0

( )'''2

85,0 ddfAa

dbafM yscn +

=

Situacin de Balance: ys =

( ) dfff

a sybc

b = ''

'85,0

1

's

sf

sE

yf

'sf

sy Ef


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ys

syb fE

dECa

+

==003,0

003,0 (Por geometra)

y

s

ys

s

y

cb f

f

fE

E

f

f '1'

003,0

003,085,0+

+

=

Si suponemos ys ff ='

( ) dfff

a sybc

b = ''

'85,0

1

ACI: ( )b'' 75,0

con ( )

+

='

'

1'

6300

630085,0

yy

cb

ff

f ( b de vigas simplemente armadas)

Las vigas doblemente armadas tambin pueden fallar por traccin del acero o compresindel hormign. En ambos casos de falla, el acero en compresin puede o no haber alcanzado lafluencia.

Metodologa de Diseo

Si el acero de traccin y de compresin se encuentran en fluencia, se disear con lassiguientes expresiones:

ys ff = ys ff =

'

( )bf

fAAa

c

yss

=

'

'

85,0

( )

+

== '''2

85,0 ddfAa

dbafMM yscnu bien

( ) ( )

+

= '''2

ddfAfa

dAAM ysyssu

Si el acero de compresin no ha alcanzado la fluencia, se puede encontrar el esfuerzo enl en trminos de a. Luego, como 'sf no est en fluencia, en las ecuaciones se reemplaza yf por

'sf .

bf

fAfAa

c

ssys

=

'

''

85,0


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( ) ( ) yssssysssC

cu fAAfAfAddfAa

dbafM

c

=

+

= '''''''2

85,04434421

bien

( ) ( )

+

= ''''

2 ddfAfadAAM ssyssu

Las ecuaciones anteriores suponen que el acero a traccin est en fluencia, lo cual esesencial para evitar la falla frgil.

Requisitos Adicionales

Especificaciones de Resistencias Mnimas:

- En el caso de unin (Viga Pilar), la resistencia para momentos positivos no debe ser menorque la mitad de la resistencia para momentos negativos en esa cara:

APOYOAPOYO MM )()( 5,0 +

- En cualquier seccin a lo largo del elemento, la resistencia tanto para el momento positivocomo para el momento negativo no debe ser menor que un cuarto de la resistencia para elmomento mximo proporcionado en la cara de la unin:

APOYOMXTRAMO

TRAMO

MM

M

+

25,0)(

)(

Otro Procedimiento de Diseo (Vigas Doblemente Armadas)

1-. Se elige una seccin.2-. Se elige una cuanta de refuerzo a traccin: b< ( )b < 75,03-. Se determina el momento nominal de la seccin simplemente armada con:

=

'2 59,01

c

yyn f

fdbfM ;

ureqn

MM

Si reqnn MM > , no es necesario agregar ms acero.

4-. La diferencia de momentos nreqn MMM = se toma agregando acero tal que el par de

fuerzas equilibren a la deferencia de momentos


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ss AA =' adicionales

( ) ynreqn

adics fdd

MMA

=

'.

5-. Debe verificarse: dbf

AAy

adicss +14

.

Armaduras de Corte

Analoga con la Celosa

TCosCCosT

SenCSenT

i

i

=+

=

45

CosSen

TTi +

=

ys fA '

ys fA

( )'dd

Armaduras de Construccin

Lneas de Compresin

Barras Inclinadas

Armaduras de Traccin

Bielas de Compresin en el Hormign.Se suponen a 45

Ti C

45T T+T


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sb

T

= sbT =

CosSen

sbTi +

=

Si son estribos, = 90 1=+ CosSen

db

Q

=

( ) CosSendsQ

Ti +

=

yvi fAT = (Av: rea armadura inclinada)

( ) CosSendf

Q

s

A

y

v

+=

df

V

s

A

y

sv

= Q = Vs

NOTA:El rea del estribo es 2A

Ej.: Suponer que se usa 8

4

8,0 28 = A 4

8,02

2

= vA

T T + T

s

b

d

A

A


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Diseo de Elementos Sometidos a Esfuerzos de Corte por Flexin

Hiptesis Bsicas

1-. El corte ser resistido mayoritariamente por los refuerzos transversales.2-. Se conoce perfectamente la curva tensin deformacin del Hormign.3-. Se conoce perfectamente la curva tensin deformacin del Acero.

- Se desechar el uso de barras longitudinales dobladas para ayudar a soportar esfuerzos de

corte. Solamente se disearn estribos perpendiculares a la armadura longitudinal.

- El diseo de secciones transversales sometidas a corte se debe basar en:

Vu Vn si se realiza anlisis esttico.VeVn si se realiza anlisis ssmico.

Ve: Fuerza de corte obtenida considerando que los extremos de la viga entraron en lafase plstica.No proviene de equilibrio de fuerzas.

Vu: Fuerza de corte entregado por el anlisis estructural esttico.Vn: Resistencia nominal al corte: scn VVV += Vc: Resistencia nominal al corte resistido por el Hormign.Vs: Resistencia nominal al corte resistida por el Acero.

Representacin de la Distribucin del Esfuerzo de Cortea lo largo de un elemento en Flexin

Vs: Corte soportado por el Acero transversal.Vc: Corte soportado por la seccin de Hormign.

Vs

Vc

Vc

Vn

Vs

Vc

Vc

Vn


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Vigas

Corte por Flexin: es resistido por el Hormign y por las armaduras transversales.

La fuerza de corte solicitante en Diseo Ssmico no se obtiene del anlisis de esfuerzos,sino que de la suposicin de que los extremos de las vigas entran en la Fase Plstica. De estamanera se conoce el mximo esfuerzo de corte ssmico que es capaz de producirse en la viga. Enbase a esto se realiza unDiseo por Capacidad, protegindose contra la falla por corte..

El corte solicitante Vese obtiene calculando losMomentos Plsticos(Mp) en los extremosde la viga, a partir de la armadura longitudinal ya diseada, con = 1y suponiendo una tensinde fluencia del acero 1,25 veces mayor que la real, es decir:

( )[ ]

=

=

'

'2

25,1

59,011

c

y

cp

f

f

fdbM

Seccin sin armadura a la compresin

ACI (Apndice 21)

Puntos en que se calcula el Esfuerzo de Corte

El Esfuerzo de Corte se debe calcular en los puntos 1, 2, 3 y 4.

Ci: ancho columna.D: altura de la viga.

Eje Columna Eje Columna

1 2 3 4

Ci Ci2d 2d

Zona deRtulaPlstica

Zona deRtulaPlstica

Ve Ve2d


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Determinacin del Esfuerzo de Corte Solicitante

El esfuerzo de corte solicitante VeNO SE OBTIENE DEL ANLISIS.El esfuerzo de corte Vese obtiene de suponer que los extremos de las vigas entraron en la

fase plstica. Mximo esfuerzo de Corte Ssmico Diseo por Capacidad

Proteccin contra la falla por corte

Procedimiento

Sismo hacia la izquierda ()

Sismo hacia la derecha ()

LqL

MMV k

pp ++

= 5,0211 LqL

MMV k

pp +

= 5,0'

2'

1'1

LqL

MMV k

pp +

= 5,0212 LqL

MMV k

pp ++

= 5,0'

2'

1'2

Eje Col. Eje Col.

Eje Col. Eje Col.

V1 V2

Mp1 Mp2

L

qk= q2, q3, ..

qk= q2, q3, ..

L

Mp1

Mp2

V1V2

Mp1 Mp2

Mp2

Mp1

V1

V2 V1 V2


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NOTA:

Las Combinaciones de Carga qkcorresponden siemprea las Combinaciones de Carga conSismo que entrega la NCh 433.Of.96

Para cada combinacin de carga (con sismo), se calcula V1, V2(con + y sismo)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++

++

22113

22112

,,,

,,,

VVVVq

VVVVq ( ) ( ){ }= 21 ,VVmxVe

Para el caso ms exigente (Ve), se calcula el esfuerzo de corte en la cara VCcy en la caraVC2d.

Tomar las armaduras longitudinales de la viga Calcular con estas losMp(determinados con =1 y con yy ff = 25,1

' )

Corte por Flexin

Armadura de Traccin (Flexin)

Armadura de Corte(Vertical e Inclinada)

Crculo de Mohr

mx

(x,xy)

mxxy

xy

xy

yx

yx

y 0

y 0

xx2


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El Hormign se rompera con Ten un plano inclinado. Hay que coserla grieta colocando

armaduras verticales (estribos) o inclinadas, o ambas.El Hormign no resiste la traccin inclinada que se produce, y tiene inclinacin variable(Tensin Diagonal).

Diseo de Secciones Rectangulares y No Rectangulares sometidas a Corte

Se considerar que un elemento est sometido a corte sin influencia del corte producidopor torsin si:

yxfT cu 2'13,0

Tu: Momento Torsor mximo a que estar sometido el elemento.x: Dimensin menor de la seccin.y: Dimensin mayor de la seccin.: Factor de minoracin de la resistencia, para corte y torsin (= 0,85)

Ej: Seccin No Rectangular

c

c

y

y

x

y

y1x1

y2

x2


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1-. Resistencia suministrada por el Hormign

dbM

dVfV

p

eocc

+=

1765,0 '

se debe cumplir la condicin de:

dbfV cc '53,0 [ ]Kg

p

e

M

dV

u

u

M

dV 1 segn corresponda

Vc : Resistencia Nominal al Corte proporcionada por el Hormign.

Ve : Corte Mximo a que est sometida la viga, una vez que se ha plastificado elelemento.Vs : Resistencia Nominal proporcionada por la armadura transversal de refuerzo

al corte.Vu : Fuerza de Corte ltimo obtenida del anlisis.

2-. Resistencia suministrada por la Armadura Transversal

a) Armadura Mnima

En el caso de que Ve < 1/2Vc, en rigor no se debe disponer de armadura de

corte, pero considerando la seguridad de la estructura, se impone que la armaduratransversal sea igual a la mnima, con el fin de confinar el Hormign y asegurar una falladctil.

Si

ce VV 21

y ce VV <

ARMADURA MNIMAy

v f

sbA

= 5,3

s : Separacin entre estribos.

- Cuando > yxfT cu 2'13,0 , el clculo dispone el uso de armadura mnima decorte, sta ser:


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yTv

f

sbAA

+ 5,32

Av : rea de la armadura de corte (cm2)

AT : rea de la armadura de torsin (cm2)

b) Armadura de Corte (Av)

Resistencia al corte de la armadura transversal

s

dfAV yvs

=

i)

Diseo dentro de la posible Rtula Plstica:

Con los Momentos Plsticos se determina Vecy se calcula el coeficiente :

( )inCombinaciporMayoradopp

pp

CLqL

MML

MM

++

+

=

5,021

21

Si 0,5 y '05,0 cgu fAP <

dfV

dfV

sA

y

ec

y

sv

==

con = 0,85 y se desprecia la contribucin del Hormign.

Si < 0,5 '05,0 cgu fAP >

=

= c

ec

yy

sv VV

dfdf

V

s

A

85,0

1

no se desprecia la contribucin del Hormign.

'53,0 cc fdbV = [ ]Kg

Para esta zona se tienen las siguientes limitaciones:


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*)

cm

dSmx

304

**) ( ) dbfKgVdb cs '

1,25,3

ii) Diseo fuera de la zona de Rtula Plstica:

Se determina deV 2 y no se desprecia la contribucin del Hormign:

= c

de

y

v VV

dfs

A

85,0

1 2

'53,0 cc fdbV =

Limitaciones para esta zona:

*)

cm

dSmx

304 si dbfV cs >

'1,1

**)

cm

dSmx

602 si dbfV cs

'1,1

En todas las secciones de la viga la armadura de corte no puede ser menor que lamnima:

ymn

v

f

b

s

A =

5,3

3-. Resistencia conjunta del Hormign y la Armadura de Corte

scn VVV +=

Vn : Resistencia conjunta nominal.

Debe cumplirse:

ne VV


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Condiciones bsicas que se deben cumplir en el diseo al corte:

- Se debe verificar que la resistencia a la fluencia de clculo de la armadura utilizadapara absorber el corte no exceda los 4000 2cmKg

24000 cmKgfy

- Se debe cumplir que la resistencia soportada por la armadura transversal Vs, no seamayor que:

dbfV cs '1,2

Torsin Pura y con Esfuerzo de Corte

La Torsin Pura es poco frecuente. Generalmente se presenta junto a flexin, corte yaxial.

Torsin en elementos de H.A.

En general las secciones son rectangulares.

mxse produce en el extremo ms cercano al C.G.

x < y

yxd

M

e

Tmx 2

=

Comportamiento Elstico:

xy 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 5,0

de 0,208 0,219 0,231 0,246 0,256 0,267 0,290 31

Para Comportamiento Inelstico dptiene valores algo superiores:

xy 1,0

dp 31 21

Teora de la Elasticidad.Analoga de la Membrana.

x

y

mx

MT


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El ACI ha adoptado3

1=d

yx

Mtmx 2

3 =

Falla a 45, si la pieza slo cuenta con Hormign.

45CosMT Tb =

yx

M

xCos

y

CosM

W

Tf TTbTb 2

2

3

456

1

45 =

==

La condicin ser: RTb ff =

TnCapacidad torsional nominal de la seccin = Rfyx

3

2

con '5,7 cR ff =

mxmx

1=mx

45

La falla se produce como flexin en tornoal eje a - a

45

ZonaTraccionada

ZonaComprimida

a

a

x

y

45

MTTb

TT

45

MT

Tb

TT


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El ACI uso un coeficiente de reduccin del 15% con lo que se obtiene:

35,785,0

2' yxfT cnc =

yxfT cnc2'2 = en p.s.i.

TAREA:

Revisar yxfT cnu2'87,6 = en m.k.s.

Efecto de la armadura longitudinal aumenta la resistencia a la torsin en 15%

Para un elemento adecuadamente armado, la figuracin comienza cuando MT Tnc enforma de espirales. La resistencia baja aproximadamente a la mitad, pero empieza a actuar la

armadura.

en que: yxfTT cncc2'8,04,0 == p.s.i.

Contribucin del Refuerzo

T

TN

TCR

TS

TC

(1 fisura)

TCRTNC (Hormign sin armar)

TN= TC+ TS

45

P

R

r

Sn

Sn

s

T

x1

y1

==s

ynv

1 # de piezas que cruzan elplano de falla

==s

gxnHcot1 # de piezas

horizontales quecruzan el plano defalla en la partesuperior o inferior


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Ensayos demostraron que en el momento de falla las barras verticales fallaron porfluencia, en cambio las horizontales no.

yTH

SHHHSH fAyx

s

KyfACotg

s

xysnT === 1111

11

TSH : Momento torsor que producen las fuerzas horizontales.y1 : Brazo de palanca entre la fuerza de abajo y de arriba.AT : rea de una barra del estribo.

Cotgf

fK

y

SHH =

Sixv= distancia entre la resultante de la cabeza de compresin Rr

y las barras verticalesde los estribos:

s

fAyxKxKfA

s

yxsnT yTvvyTvvvsv

=== 111

1

en que: 1xKx vv =

El torque final debido a los estribos ser:

( ) yTvHsvSHS fAsyx

KKTTT

+=+= 11

Si vHT KK += yTTs fAsyxT = 11

En elementos que tienen igual volumen de refuerzo longitudinal y transversal secomprob experimentalmente que:

5,133,066,01

1 +=x

yT

Finalmente:

yTTcN fAsyxyxfT += 112'8,0

Condicin de igualdad de volmenes de armaduras longitudinales y transversales:

( ) 211 += yxAsA Tl


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( )112

yxs

AA T +

=l

lA : rea total de refuerzo longitudinal.

TA : rea de una barra del refuerzo transversal.

Para que los estribos verticales fluyan antes de fallar el hormign en compresin, el ACIrecomienda:

cs TT 4 Comportamiento Dctil

-

Interaccin Torsin y Corte en Hormign sin armar

NT y NV : Valores nominales ltimos de torque y corte actuando simultneamente.

NOT y NOV : Valores nominales ltimos de la seccin, actuando cada efecto porseparado.

22

1

+

=

N

N

NO

NO

NON

V

T

T

V

VV

=

=

dbfV

yxfT

cNO

cNO

'

2'

2

2en p.s.i.

+

=

2

'

1

2

N

NT

cN

V

TC

dbfV

1

TN/TNO

VN/VNO

1


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yx

dbCT 2

=

=

U

U

N

N

V

T

V

T

Si UN VV > OK

- Interaccin de torsin y esfuerzo de corte en elementos armados

SCN

SCN

VVV

TTT

+=

+= ...

8,0

22'

'

ispyxfT

dbfV

cNO

cNO

=

=

2

2'

41

8,0

+

=

c

c

r

cc

T

V

C

yxfT en p.s.i

2

2'

41

8,0

+

=

U

U

r

cc

T

V

C

yxfT

Una vez determinado Tc, se toma el exceso de torque con TS

= yTTS fAs

yxT 11 ,

determinando una armadura que deber ser adicionadaa la determinada por flexin y corte.

Como se eligiU

U

C

CTVTV = , el valor de V

Cquedar dado porU

UCC TVTV =

La armadura de corte se determinar con CUS VVV = en los casos en que el ACI permiteconsiderar el aporte del hormign al corte.

1

1

U

U

T

V

+ TorsinQ TT AA

AS(Flexin)

Al(Torsin)


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-

Rigidez torsional de secciones rectangulares y secciones T. L, , I

L

CaTTorsionalRigidezkT

=

Seccin Circular :32

4dIC p

==

Seccin Rectangular : yxC 3=

xy

1,5 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 45

0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291

Secciones T. L, , I abiertas:

yxC 33

1=

Secciones ms complejas:

i

i

CG

LT

CG

LT

=

= Tyx

yxT

C

CT

iii

iii

i

==

2

3

3

13

1

=

=

ii

xi

ii

imx

yx

T

yx

T

32

3

13

para secciones compuestas:

3

1333,0 =

y1

y2

x2

x1

x

y

x

y

3

1


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Elemento Solo : = yxfT cN 2'2Elemento Armado : = yxfT cc 2'8,0

=

yxbdCT 2

TORSIN PURA


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Flexo-Compresin

M

P = 0

Pb> P1> 0

P1= Pb

P2> Pb

creciente

Mu

Mu

y u

PM

C

T

MP

CompresinPura

MomentoPuro

P = C - T


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Pb= P de balance (Acero fluye (y) y u= 3 /oo)

Ductilidad:y

u

=

Falla por compresin secundaria:

- Traccin centrada y poca excentricidad.- Flexin y solicitacin axial con total aprovechamiento del alargamiento mximo

autorizado del refuerzo de acero.- Flexin y solicitacin axial con total aprovechamiento de la capacidad resistente de la

cabeza de compresin.- Falla Balanceada (ACI)

-

Flexin y solicitacin axial con total aprovechamiento de la cabeza de compresin, perosin que el refuerzo alcance la fluencia FALLA FRGIL POR COMPRESINPRIMARIA.

- Compresin pura o con poca excentricidad.

Resistencia ltima

Comportamiento

Cs+ Cc+ Ts em

NM

N

Cs

Cc

Ts

N

Mem =

Pn

B

Cs

Cc

Ts

0,85fca

(d-c)

fs

c

fs

d

B = em+ (d-c)

PnM

Pn

B


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sssscn fAfAbafP = m'''85,0

( )''''2

85,0 ddfAa

dbafP sscn +

=

En general, el acero a compresin de las columnas cargadas excntricamente hasta lacarga ltima alcanza la resistencia de fluencia, excepto cuando:

- El nivel de carga es bajo.-

Se usa acero de alta resistencia.- Se usan columnas pequeas de manera que des relativamente grande.

En general, se supone inicialmente ys ff =' para luego comprobar dicha hiptesis.

yss fAC ='

ssyscn fAfAbafP = m''85,0

( )'''2

85,0 ddfAa

dbafP yscn +

=

La excentricidad de la carga determina 2 tipos clsicos de falla:

a) Rotura Dctil: La falla del hormign se produce una vez queAsha alcanzadofy(Falla porcompresin secundaria del hormign).

b) Rotura Frgil: La cabeza de compresin del hormign falla antes queAsalcancefy(Fallapor compresin primaria del hormign)

b.1-. Excentricidad pequea: el acero se encuentra traccionado, pero con y< u

b.2-. Excentricidad muy pequea: el acero se encuentra en compresin (Ts< 0)

El lmite entre la falla dctil y la falla frgil est dado por la condicin de balance(s=y,c= u= 0,003)


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Centroide Plstico

Es el punto de la seccin donde al aplicar una carga de compresin, las deformaciones sonigualesen todos los puntos de la seccin.

Ecuaciones de Diseo: (Columna armada simtricamente: As= As)

( )syscu ffAbafP += '85,0 ( ) ( )''' 5,085,0 ddfAadbafBP yscu +=

( ) ( ) '''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM ssyscu ++=

Falla Balanceada ys ff =

dfE

Ea

ys

sb +

= 1003,0

003,0

Si se sustituye ba en las ecuaciones de diseo, y con ys ff = , se obtiene Pb y PbBb.

Luego se puede determinar el tipo de falla. Adems se debe verificar ys ff =' . Para tal efecto se

usa:

( )s

ys E

f

a

da

=

'1' 003,0

Si As = As (diseo simtrico), elcentroide plstico coincide con elcentro de gravedad de la seccin.

d

As As

d

b

d

fy fy

Pu

Asfy0,85fc

Asfy

( ) hbffAAP cyssu ++= '' 85,0

Me=

Se conoce el centriodeplstico


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Si se encuentra que la deformacin del acero en compresin es menor que la deformacin

de fluencia,s

ys E

f


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( )ssss Ea

adEf

== 1003,0

sss EaEdfa = 003,0003,0 1

sss EdEafa =+ 1003,0003,0

ss

s

Ef

Eda

+

=

003,0

003,0 1

Se sustituye este valor en las ecuaciones en las ecuaciones de diseo y se resuelve poriteraciones, encontrando ay As. Luego se debe verificar ys ff =

' ; de lo contrario, calcular 'sf y

resolver nuevamente por iteraciones.

DIAGRAMA DE INTERACCIN PARA UNA SECCIN DE COLUMNA DE HORMIGN CARGADAEXCNTRICAMENTE Y DISEADA CONAs

Pu

Pb Pb

Mb

Falla Flexo - Traccin

Falla por compresin del hormign

Pu> Pb

Mu

Falla por traccin del acero

COMPRESIN

TRACCIN

Pu< Pb


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Metodologa para el Diseo Ssmico de Columnas

Si se efecta el anlisis ssmico mediante algn mtodo esttico, los signos de losesfuerzos resultantes son consistentes entre s, y por lo tanto el diseo para este caso se realiza

con las cargas axiales mxima y mnima, y con el momento mximo obtenido de la envolvente deesfuerzos.En cambio, si se efecta el anlisis ssmico mediante anlisis dinmico por S.M.E., los

resultados son siempre positivos, pues se realizan suposiciones del os mximos efectos.En este caso se disea con la carga axial mxima y con la carga axial mnima, y con el

mdulo del momento mximo obtenido de las combinaciones de carga.

1er. Diseo: Mx ( )32 , uu MM ; Mx ( )32 , uu PP 2do. Diseo: Mx ( )32 , uu MM ; Mn ( )32 , uu PP 3er. Diseo: Mx ( )54 , uu MM ; Mx ( )54 , uu PP

4to. Diseo: Mx ( )54 , uu MM ; Mn ( )54 , uu PP 5to. Diseo: ( )11 , uu PM

En que 521 ,,, uuu MMM K , 51 ,, uu PP K , corresponden a los esfuerzos obtenidos de las

combinaciones de carga.

Factor de Reduccin

7,01,0

2,0

9,0 '

= gc

u

Af

P

si gcb AfP >

'

1,0

7,07,0

2,09,0

=

b

u

P

P si gcb AfP


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mxnmxu PP

( )'' 85,006,085,08,0 cygcmxu ffdbAfP +

ACI 318- especifica que para componentes no pretensazos, no se debe tomar laresistencia de carga axial de clculo nP mayor que 0,8 de la carga axial de clculo con unaexcentricidad oP igual a cero.

Metodologa de clculo de momentos plsticos en columnas sometidas a flexo compresin

Mpse determina para la columna ya diseada. Ahora el rea de acero no es la incgnita,sino el momento que resiste la columna con dicho acero para los diferentes niveles de carga axialque resulten de las diferentes combinaciones de carga.

Se debe analizar el caso en que bu PP > y bu PP .

a)

Si Pu Pb:

El acero de traccin alcanza la fluencia ys ff = , y el de compresin puede o no haberla

alcanzado.Para calcular el momento plstico se emplea la carga axial ltima dividida por el REAL,

ya que de esta manera se est mayorando la carga y al moverse a travs de la curva de interaccinse obtienen momentos plsticos mayores.

P

Pb

Pu> Pb

M2 MbM1

Pu< Pb

M

M2< M1. En este caso falla conM2y Pu>Pb

Pu

Pu

Pu/

Mp Mp Mb Mu

= 1

= Real (Funcin de Pu)


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i) Si el acero en compresin alcanza la fluencia, ys ff ='

bf

P

ac

REAL

u

= 85,0

y con yss fff ==' se determina de la ecuacin deMcon = 1 el momento plsticoMp:

( ) ( )'''' 5,085,0 ddfAaddbafM yscp +=

ii) Si el acero en compresin no alcanza la fluencia ys ff Pb:

En este caso ys ff < y'

sf puede o no haber alcanzado yf .

Para calcular el momento plstico se utiliza Pu / con = 1, pues cuando Pu> Pb, concargas axiales mayores se obtienen momentos plsticos menores.

i) Si ys ff ='

( )a

Eadf ss

= 1

003,0 y:

Nu=[Mu/ - 0.85f'c(0.003Es1d)/(fs+0.003Es)*b*{d-d"-0.5*0.003Es1d/(fs+0.003Es)}] * [(fy-fs)/(fsd"+fy(d-d'-d")] +


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0.00255Es1df 'cb/(fs+0.003Es)

Pu= [Mu/ - 0.85f'c(0.003Es1d)/(fs+0.003Es)*b*{d-d"-0.5*0.003Es1d/(fs+0.003Es)}] * [(fy-fs)/(fsd"+fy(d-

d'-d" )] + 0.00255Es1df 'cb/(fs+0.003Es)

(CHEQUEAR)....................

( ) 0003,0003,085,0 12' =++ ssssuysc EAdaEAPfAbaf

De aqu se despeja a, se calculafs, y se obtieneMpcon = 1.

( ) ( ) '''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM ssyscp ++=

ii) Si ys ff

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