apuntes sobre el hormigón armado...1 apuntes sobre el hormigón armado autores: ruperto martínez...

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Apuntes sobre el hormigón armado

Autores: Ruperto Martínez Cuesta,

Juan Carlos Arroyo Portero y R. Martínez Palazón

Edición 09/03/2006

[email protected]

www.areadecalculo.com

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Objetivo de estos apuntes ............................................................................................... 4

Materiales de construcción............................................................................................. 6

El hormigón ..................................................................................................................... 6

Módulo de deformación longitudinal ........................................................................... 8

Coeficciente de Poisson ................................................................................................ 8

Resistencia a tracción.................................................................................................... 8

La instrucción EHE ........................................................................................................ 9

Estados límite .................................................................................................................. 9

Estados límite últimos (ELU) ..................................................................................... 10

Estados límite de servicio (ELS)................................................................................. 10

Acciones ......................................................................................................................... 12

Valor característico de una acción .............................................................................. 12

Valores representativos de una acción........................................................................ 13

Valor de cálculo de una acción ................................................................................... 15

Combinación de acciones ............................................................................................. 17

Para Estados Límite Últimos ...................................................................................... 17

Ejemplo....................................................................................................................... 18

Para Estados Límite de Servicio ................................................................................. 18

Ejemplo....................................................................................................................... 19

Coeficientes para la resistencia de los materiales ..................................................... 19

Prólogo: DIMENSIONAMIENTO.............................................................................. 22

Flexión............................................................................................................................ 22

Hipótesis ..................................................................................................................... 24

Leyes de los materiales ............................................................................................... 25

Hormigón ................................................................................................................ 26

Acero....................................................................................................................... 27

3

Diagrama de pivotes ................................................................................................... 28

Flexión simple............................................................................................................. 30

Dimensionamiento a flexión simple ....................................................................... 30

Flexión simple: resumen de las fórmulas ................................................................... 33

Flexión compuesta: resumen de las fórmulas ............................................................. 34

Cortante ......................................................................................................................... 37

Sección de comprobación (EHE)................................................................................ 39

Resistencia de la bielas (Vu1) ...................................................................................... 39

Resistencia de los tirantres (Vu2) ................................................................................ 40

Fórmulas simplificadas ............................................................................................... 41

Sin armadura a cortante .......................................................................................... 41

Con armadura a cortante ......................................................................................... 41

Colocación de las armaduras tranversales (EHE)....................................................... 42

Fisuración ...................................................................................................................... 44

Teoría relativa al cálculo de la abertura de fisura ....................................................... 44

Formulación de la EHE............................................................................................... 48

Limitaciones normativas de la abertura de fisura ....................................................... 50

Longitudes de anclaje ................................................................................................... 52

Cuantía Geométrica mínima........................................................................................ 53

Según el artículo 42.3.5 de la EHE............................................................................. 53

Otros Elementos.......................................................................................................... 54

Recubrimientos ............................................................................................................. 55

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OBJETIVO DE ESTOS APUNTES

Basados en la instrucción española EHE, estos apuntes resumen el funcionamiento del

hormigón dentro de las estructuras. Tratan las situaciones más habituales debiendo

consultar las instrucciones correspondientes para completar la información.

Para cualquier consulta sobre el contenido, puede dirigirse a: [email protected]

En www.areadecalculo.com existen una serie de ayudas desarrolladas por un equipo de

ingenieros en colaboración con el autor de estos apuntes para el cálculo de elementos de

hormigón.

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Parte I

El hormigón

La instrucción EHE

Los estados límite

Autores: Ruperto Martínez Cuesta y Juan Carlos Arroyo Portero

[email protected]


[email protected] www.areadecalculo.com

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MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN

Los materiales principales utilizados en la construcción de estructuras son el acero

estructural y el hormigón (armado o pretensado). Pueden utilizarse como materiales

predominantes en la estructura o pueden usarse conjuntamente (construcción mixta).

Cada uno tiene sus ventajas e inconvenientes que se pueden resumir así:

• El hormigón resiste el fuego y la humedad mejor que el acero.

• El hormigón no resiste la tracción, el acero si.

• El hormigón tiene antes el límite de rotura. No es apropiado para edificaciones

de gran altura.

Acero Límite elástico

(fyk) N/mm2

B-400 S(de armar) 400

B-500 S(de armar) 500

A-52 (estructural) 360

Tipo de

hormigón HA-25 HA-30 HA-35 HA-40 HA-45 HA-50

Resistencia

característica

(fck) N/mm2

25 30 35 40 45 50

El hormigón es un material frágil, mientras que el acero es dúctil. Según el diccionario

de la Real Academia Española:

frágil: (Del lat. fragĭlis). adj. Quebradizo, y que con facilidad se hace pedazos.

dúctil: (Del lat. ductĭlis). adj. Dicho de un metal: Que admite grandes

deformaciones mecánicas en frío sin llegar a romperse.

En el caso del hormigón, dúctil hace referencia a la poca deformación que adquiere el

hormigón antes de la ruptura (¡poca pero no nula!).

A la hora de elegir es importante el aspecto socio-económico: precio de la mano de

obra, cercanía de los suministradores, etc.

EL HORMIGÓN

Hormigón (piedra artificial) = cemento + áridos (grava y arena) + fraguado.

Para su correcta ejecución hay que realizar adecuadamente las labores de encofrado,


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compactación, vibrado, curado y realizar juntas donde sea necesario.

A partir de las acciones sobre los elementos de hormigón podemos empezar a calcular o

dimensionar.

Para acciones que producen tracciones será indispensable utilizar armadura dentro del

hormigón.

Tipos de hormigón según la armadura:

hormigón en masa: sin armadura resistente,

hormigón armado: con armadura pasiva resistente,

hormigón pretensado: con armadura activa y pasiva resistente.

Para vigas, pilares y losas, entre otros elementos, se usan barras corrugadas de

diámetros tipificados:

Diámetro mm 6 8 10 12 16 20 25 32 40 mm

Área cm2 0.28 0.50 0.79 1.13 2.01 3.14 4.91 8.04 12.57 cm2

0.79 1.29 1.92 3.14 5.15 8.05 12.95Suma de los dos diámetros anteriores

Podemos comprobar que la suma del área de los dos diámetros anteriores es similar al

área de cada diámetro. El diámetro 14, si bien aparece en la instrucción, no se utiliza.


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MÓDULO DE DEFORMACIÓN LONGITUDINAL

Para los cálculos de estructuras en los que intervienen

elementos de hormigón, como vigas, pilares y/o losas, es

imprescindible aplicar un módulo de que relacione la

deformación del elemento según las cargas aplicadas.

Por el comportamiento del hormigón, este dato en la

realidad no es constante como se puede deducir de la

figura.

εεεε

σσσσ

Diagrama tensión-

deformación

Podemos aproximarnos mediante las fórmulas de la EHE cuyos resultados se detallan

en la tabla y que se basan en las fórmulas

,

Resistenciacaracterísticaa los 28 días

Resistencia mediadel hormigón a los

28 días

Pendiente enel origen

Secante

fck (N/mm2) fcmj (N/mm2) E0j (N/mm2) Ej (N/mm2)

25 33 32.1E+3 27.3E+330 38 33.6E+3 28.6E+335 43 35.0E+3 29.8E+340 48 36.3E+3 30.9E+345 53 37.6E+3 31.9E+350 58 38.7E+3 32.9E+3

En la práctica, los valores utilizados por defecto en programas de cálculo o en ejemplos

en publicaciones técnicas son:

N/mm2 kN/m2

20.0E+03 20.0E+0625.0E+03 25.0E+06

Módulo de deformación del hormigón, E,

comunmente utilizados

COEFICCIENTE DE POISSON

Este coeficiente relaciona la deformación longitudinal y la deformación transversal. En

el hormigón (y en general, en las rocas no alteradas), es siempre 0.2.

RESISTENCIA A TRACCIÓN

Como se ha indicado al principio del capítulo, la resistencia a tracción del hormigón es

muy pequeña en comparación con la resistencia a compresión. La fórmula que da la


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EHE es:

H-25 H-30 H-35 H-40 H-45 H-50

fck 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0

fctm 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

% 10.3 9.7 9.2 8.8 8.4 8.1

LA INSTRUCCIÓN EHE

La EHE es la instrucción que rige en España. Hay otras para otros países como las que

han salido de la escuela EEUU (ACI, ASCE) y las de la escuela europea (Eurocódigo y

CEB, ahora FIB).

Los Capítulos de la EHE son, a grandes rasgos:

• Seguridad (Estados Límites)

• Clasificación y combinación de acciones

• Conceptos de análisis estructural

• Propiedades de los materiales

• Durabilidad

• Cálculos relativos a los Estados Límite Últimos (ELU, “ULS”)

• Cálculos relativos a los Estados Límite de Servicio (ELS,”SLS”)

• Ejecución

• Control

ESTADOS LÍMITE

Las estructuras deben cumplir, entre otros, los requisitos de Estabilidad, Resistencia,

Funcionalidad y Durabilidad. El procedimiento utilizado para garantizar que se cumplen

estos requisitos con una adecuada fiabilidad o, dicho de otro modo, con una

probabilidad suficientemente pequeña, es el Método de los Estados Límite.

Si la estructura supera alguno de los Estados Límite se puede considerar que esta ya no

cumple las funciones para las que ha sido proyectada.

Dicho método diferencia los Estados Límite Últimos y los Estados Límite de Servicio

agrupando la resistencia y la estabilidad como Últimos y los funcionales como de

Servicio. Los relacionados con la durabilidad, de momento, se tratan de forma aparte.

Así,los Estados Límite Últimos están relacionados con la rotura y los de Servicio con la

utilización.


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ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS (ELU)

Para el cálculo de secciones se utilizan los esfuerzos de cálculo que serán ponderados.

es decir, su valor característico será multiplicado por un factor.

La estructura debe cumplir la condición:

Rd > Sd

que significa que la Resistencia (R), convenientemente ponderada (Rd) debe ser mayor

que el efecto de la acción (S) siendo (Sd) la acción ponderada.

Se utiliza el sufijo “d” para indicar que son los esfuerzos ponderados o de cálculo.

ESTADOS LÍMITE DE SERVICIO (ELS)

La estructura debe cumplir la condición:

Cd > Ed

que significa que el valor admisible del Estado Límite de Servicio a comprobar (Cd),

debe ser mayor que el efecto de la acción (Ed).

E.L.U Nivel de estudio Descripción

Rotura (*) Sección Por exceso de cortante, flexión, torsión, etc.

Pandeo Parte o toda la estructura

Equilibrio Estructura completa Vuelco, deslizamiento, etc.

Fatiga Sección Rotura por la acción de cargas repetidas

E.L.S. Nivel de estudio Descripción

Fisuración (*) Sección Excesiva abertura de fisuras

Deformaciones Parte o toda la estructura Excesivas flechas o giros

Vibraciones Parte o toda la estructura Producción excesiva de algún tipo de vibraciones

Estados Límite Últimos

Estados Límite de Servicio

(*) Comprobaciones más comunes en estructuras de hormigón disponibles en www.areadecalculo.com

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Parte II

Acciones

Combinaciones


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ACCIONES

Las acciones que intervienen en una estructura pueden tener diferentes orígenes y

diferentes formas de aparición (variables o constantes, en el tiempo o en el espacio) En

función de esta diversidad caben diferentes clasificaciones. Las más importantes son:

Por su origen Descrición Ejemplos

Directas Se aplican sobre la estructura

Indirectas Tienen su origen en la propia estructuraRetracción,variaciones de temperatura,...

Por su variaciónen el tiempo

Descrición Ejemplos

Permanentes Permanecen en la estructura todo el tiempo de vida Peso propio (dead loads)

Variables Pueden estar, o no, aplicadas en la estructura Sobrecarga de uso (live loads)

Estas dos clasificaciones, sobretodo la segunda (cargas permanentes y cargas variables),

son importantes por que se utilizan para diferenciar coeficientes de ponderación en

función del tipo de carga.

La norma y este Curso no hacen mención del valor de las acciones de las estructuras

aunque sí se comentarán las diferentes formas de combinar acciones para obtener

valores ponderados Sd de los efectos de las acciones.

Las acciones en las estructuras tienen un tratamiento estadístico. Las acciones no son

una variable determinista, con un valor concreto y medible sino que son una variable

estadística con un rango de valores que puede llegar a oscilar mucho.

VALOR CARACTERÍSTICO DE UNA ACCIÓN

Un determinado tipo de acción se considera como una “población”. Por ejemplo, la

carga de uso de un edificio de viviendas se puede considerar como una población que,

en determinados momentos será pequeña, en otros momentos tendrá un valor normal y

en otros un valor grande. Si se asume que la población tiene una distribución de

probabilidades similar a una distribución de Gauss (distribución normal), dicha

población tendrá:


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Valor característico

(o característico superior)

Ak

tiene una pequeña probabilidad de aparición, o dicho de otro modo, con un 95% de probabilidad de que la carga sea menor y, por tanto, un 5% por ciento de probabilidad de que la carga sea mayor.

Valor medio Am

tiene la máxima probabilidad de aparición, o dicho de otro modo, con un 50% de probabilidad de que la carga sea menor y, por tanto, un 50% por ciento de probabilidad de que la carga sea mayor

Valor característico inferior

Ak,inf

tiene una pequeña probabilidad de aparición, o dicho de otro modo, con un 5% de probabilidad de que la carga sea menor y, por tanto, un 95% por ciento de probabilidad de que la carga sea mayor

El valor utilizado en la teoría de estructuras es, casi siempre, el valor característico Ak,

es decir, aquél que tiene una probabilidad de ser excedido del 5%. Es lógico utilizar un

valor que en la realidad casi nunca es excedido.

Probabilidad de laaparición de la acción A

Am

50%50%

AmAm, inf

5% 5%

Valor de la acción A

VALORES REPRESENTATIVOS DE UNA ACCIÓN

En ciertas comprobaciones, sobretodo las relativas a Estados Límite de Servicio como la

fisuración, las normas no exigen que se cumplan las máximas limitaciones para la carga

total (permanentes +variables) sino que se entiende que es suficiente que se garanticen

para una cierta fracción de la carga (perm. + ΨxVariables).


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Estos coeficientes Ψ, menores que la unidad, se aplican a las cargas variables ya que las

permanentes, por su propia definición, siempre están con su valor máximo.

Así, cada carga variable tiene:

Valor característico Ak

tiene una pequeña probabilidad de aparición, o dicho de otro modo, con un 95% de probabilidad de que la carga sea menor y, por tanto, un 5% por ciento de probabilidad de que la carga sea mayor.

Valor de combinación

Y 0Ak

es el que se utiliza para cuando, además de esa carga, existen otras de distinto origen (por ejemplo uso y viento). Este valor es menor que el característico.

Valor frecuente Y 1Akes el valor que es “frecuente” encontrarlo en la estructura. Este valor es menor que el de combinación.

Valor cuasipermanente

Y 2Ak

es el valor cuasipermanente de la acción, o sea la fracción de esa carga que está de forma cuasipermanente en la estructura. Este valor es menor que el frecuente.

Las palabras “frecuente” y “cuasipermanente” están asociadas al lenguaje estadístico y,

los coeficientes Ψi tienen valores diferentes para cada carga. Por ejemplo, el valor

cuasipermanente de la sobrecarga de libros de una biblioteca será mayor que el valor

cuasipermanente de la sobrecarga de uso de una vivienda.

Los coeficientes Ψ deben venir definidos en las normas de acciones y las normas de

materiales deberán exigir en qué comprobaciones se exigen qué tipos de cargas. Así, la

EHE exige que se compruebe la fisuración para la combinación cuasipermanente de

acciones.

La norma española de acciones no define los diferentes valores representativos de sus

acciones, exclusivamente ofrece valores característicos. Por lo tanto, cuando se quieren

aplicar este tipo de disminuciones de acciones hay que acudir a normativas europeas,

por ejemplo, el Eurocódigo.

Para el caso de edificación, tal y como se verá en el siguiente apartado, la EHE propone

unos valores que permiten tener en cuenta los valores de combinación.


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VALOR DE CÁLCULO DE UNA ACCIÓN

Para el análisis y dimensionamiento de estructuras, las acciones deben estar

convenientemente ponderadas. Además de utilizar el valor característico (valor no

superado el 95% de las ocasiones) que es ya un valor alto de la acción que se considere,

éste se debe ponderar por un coeficiente de ponderación de acciones. Es decir, la

estrategia de seguridad que se sigue es, por un lado probabilística, al tener en cuenta la

distribución estadística de la población acción; y por otro lado, tiene un tratamiento

determinista, incluyendo un coeficiente de ponderación, que es un número. Esta mezcla

de dos conceptos, determinista y probabilista, dan nombre al método de seguridad

seguido que es el método semiprobabilista.

El valor de cálculo de una acción Ad es el resultado de multiplicar su valor característico

por el coeficiente de ponderación de acciones γF. es decir

Ad = γF Ak

O, si se quiere incorporar el coeficiente Ψ que corresponda en cada caso,

Ad = γF Ψ Ak

Probabilidad de laaparición de la acción A

Ak

Valor de la acción A

Ad

Mayoración

γγγγ ·Ak

Los coeficientes de ponderación de acciones, técnicamente llamados coeficientes

parciales de seguridad de las acciones, dependen del tipo de acción y en la EHE se

supeditan, además, al nivel de control de la ejecución. Relacionar el coeficiente de la


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acción al control de la ejecución no parece teóricamente muy consistente por que no

parece que la incertidumbre de, por ejemplo, la sobrecarga de uso en viviendas dependa

mucho de cómo éstas se construyan, pero la norma lo indica y aquí se da fe de ello.

Los coeficientes de ponderación de acciones son los siguientes:

PermanentesG

VariablesQ

Intenso Normal Intenso NormalPeso propio VientoCarga muerta Sobre carga de uso

PermanentesG

VariablesQ

Intenso Normal Intenso NormalPeso propio VientoCarga muerta Sobre carga de uso

Nivel de controlde ejecución



1.35 1.5


1.5 1.6

1 1 0 0

gQ

gQ

Mayoración de las acciones en ELU

gG

gG

Efecto desfavorable

Efecto favorable

Favorable Desfavorable

Permanentes G

Peso propioCarga muerta

Variables Q

VientoSobre carga

AccidentalesSismo 1 1

gQ

gA

0 1

Mayoración de las accionesSituación sísmica

Efecto

1 1

gG

NOTAS:

• Hay más tipos de acciones (pretensado, accidentales, fluencia,...) con otros

coeficientes de ponderación, pero los tabulados son los más utilizados en

edificación.


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• Estos coeficientes son para la evaluación de los Estados Límite Últimos. Para

Estados Límite de Servicio estos coeficientes son 1,0 para todas las cargas de

efecto desfavorable.

COMBINACIÓN DE ACCIONES

Las acciones se combinan para obtener los efectos más desfavorables en la estructura.

Las combinaciones se forman con todas las cargas posibles existentes en la estructura,

fundamentalmente permanentes y sobrecargas.

Sin entrar en la formulación matemática general de todos los tipos de combinaciones, se

plantean aquí las más comunes que son utilizadas en edificación.

PARA ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS

La letra G denomina a las acciones permanentes y la letra Q a las acciones variables.

Las combinaciones a realizar para la evaluación de Estados Límite Últimos son:

A) Con una sola acción variable

S (gG * Gk) + (gQ * Qk)

B) Con dos o más acciones variables

S (gG * Gk) + 0.9 * S (gQ * Qk)

C) Situaciones sísmicas con una acción variable

S (gG * Gk) + gA * Asismo + 0.8 * S (gQ * Qk)

En el caso de dos o más acciones variables, por ejemplo, con sobrecarga de uso y

viento, hay que tener en cuenta que en la estructura puede haber o sólo sobrecarga de

uso o solo viento. Así, las combinaciones que hay que utilizar son:

1) Con sobrecarga de uso

S (g G * Gk) + g Q * SC.uso

2) Con viento

S (g G * Gk) + g Q * Viento

3) Con viento y sobrecarga de uso

S (g G * Gk) + 0.9 * (g Q Viento + gQ SC.uso)

En el caso de que haya sismo, además de, por ejemplo, dos diferentes sobrecargas, las


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tres situaciones propuestas, 1, 2, 3, dan lugar a cuatro combinaciones, las tres anteriores

más la de tipo C, de sismo.

EJEMPLO

Si tenemos una estructura sobre la que pueden actuar el viento y la sobrecarga de uso,

establecer las combinaciones posibles. Nivel de control normal.

1.5 x Peso propio + 1.6 x Viento1.5 x Peso propio + 1.6 x SC.uso

(*) 1.5 x Peso propio + 1.44 x (SC.uso + Viento) (1.44=0.9*1.6)


(*) 1.0 x Peso propio + 1.44 x (SC.uso + Viento) (1.44=0.9*1.6)

1.5 x Peso propio + 1.6 x SC.uso

1.0 x Peso propio + 1.6 x SC.uso

1.5 x Peso propio + 1.6 x Viento

1.0 x Peso propio + 1.6 x Viento

1.0 x Peso propio

(*) Para el armado de vigas y pilares, combinaciones dominantes en general.

Peso propio desfavorable, SC.uso favorable

Peso propio favorable, SC.uso favorable

Todas favorables

Todas las cargas son desfavorables

Peso propio favorable, resto desfavorable

Peso propio desfavorable, Viento favorable

Peso propio favorable, viento favorable

PARA ESTADOS LÍMITE DE SERVICIO

Las posibles combinaciones a realizar para la evaluación de los Estados Límite de

Servicio son:


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a) Combinación poco probable

S Gk + Qk

S Gk + 0.9 * S Qk

2) Combinación cuasipermanente

S Gk + 0.6 * Qk

La combinación poco probable (también llamada combinación característica) se aplica a

la comprobación del ELS de deformaciones.

La combinación cuasipermanente se aplica a la comprobación del ELS de fisuración

para estructuras de hormigón armado.

EJEMPLO

Si tenemos una estructura sobre la que pueden actuar el viento y la sobrecarga de uso,

establecer las combinaciones posibles para ELS. Nivel de control normal.

1.0 x Peso propio + 1 x Viento1.0 x Peso propio + 1 x SC.uso1.0 x Peso propio + 0.9 x (SC.uso + Viento)


Combinación poco probable

Combinación cuasipermanente

COEFICIENTES PARA LA RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

Para la utilización de los materiales en el proyecto de estructuras se realiza, también, un

tratamiento estadístico y una posterior corrección mediante un coeficiente de seguridad,

que en este caso es de minoración. Es decir, se sigue el tratamiento semiprobabilista.

La resistencia de los materiales estructurales es una población estadística que tendrá,

por tanto, un valor medio, y dos valores característicos, uno superior y otro inferior.

El significado de la palabra “característico” es la misma que en el caso de acciones, es

decir, es aquél valor que deja un 5% de probabilidad a un lado de la curva. En el caso de

materiales, evidentemente, se utilizará el valor característico que garantiza un 95% de

probabilidad de que la resistencia sea mayor.

Al contrario que en las acciones que se escogía el valor característico superior, en

materiales se opera con el valor característico inferior.


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Probabilidad de laaparición de la resistencia R

Resitencia , R del material M

Rmedia

5% 95%

RK

A partir del valor característico de la resistencia Rk, se obtiene el valor de cálculo de la

resistencia Rd, mediante la expresión:

Rd = Rk / γM

Los coeficientes γM de los materiales son:

HORMIGÓN g c = 1,5

ACERO DE ARMAR g s = 1,15

Tipo de hormigón HA-25 HA-30 HA-35 HA-40 HA-45 HA-50

Resistencia característica (fck)

2

25 30 35 40 45 50

Resistencia decálculo (fcd)

16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

N/mm2

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Parte III

Flexión


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PRÓLOGO: DIMENSIONAMIENTO

En el cálculo de las estructuras de hormigón intervienen varios procesos. En capítulos

anteriores se ha visto como combinar las acciones, cuales son las resistencias

características de los materiales a considerar, la instrucción a utilizar, etc. En

asignaturas como resistencia de materiales y cálculo de estructuras se enseña a obtener

los esfuerzos sobre una estructura a partir de las acciones.

Lo que trataremos en este capítulo es como dimensionar las secciones a partir de los

esfuerzos obtenidos. El dimensionamiento consiste generalmente en obtener la

armadura suficiente para las secciones críticas de manera que estas resistan cumpliendo

la normativa todas las acciones a las que se verá sometida. Es importante recordar que:

• para dimensionar una sección es necesario tener en cuenta todas las hipótesis y

seleccionar la armadura que hace que la sección resista en todas las hipótesis

(envolvente),

• si la armadura obtenida es excesiva para la sección de hormigón (diámetros muy

grandes, pequeña separación entre barras), habrá que considerar aumentar dicha

sección y volver a calcular la armadura.

Otra forma complementaria de calcular una sección es la comprobación: a partir de una

sección ya dimensionada, se estudia para diferentes hipótesis si esa sección es

suficiente.

Las acciones principales para dimensionar una sección de hormigón son las de flexión y

cortante. En los casos que sea necesario habrá que tener en cuenta también el

punzonamiento y (raramente) la torsión. En algunas secciones también habrá que

considerar el esfuerzo rasante (secciones en T, por ejemplo).

Es importante recordar en este punto que para concluir el dimensionamiento hay que

comprobar además:

• armaduras mínimas,

• longitudes de anclaje,

• si es el caso, fisuración, deformaciones y ELS en general.

FLEXIÓN

El cálculo a flexión es uno de los principales en las secciones de hormigón. Podemos

decir que siempre habrá esfuerzos a flexión en una estructura. Si estos esfuerzos son

únicamente momentos flectores, estaremos en flexión simple. Esto sucede en las vigas


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biapoyadas, por ejemplo.

Si los momentos van acompañados de esfuerzos axiles estaremos en flexión compuesta,

cosa que sucede en los pilares de una estructura, por ejemplo.

Obtenidos los esfuerzos finales (con las acciones debidamente ponderadas) en las

secciones críticas, y a partir de unas dimensiones de la sección dadas, podemos aplicar

las fórmulas que nos darán el área de acero necesaria.

A partir de las dimensiones y la armadura podremos realizar la comprobación con el

diagrama de momentos / axiles en el que podremos situar los diferentes estados de carga

y comprobar si están “dentro” de la zona de seguridad. Por ejemplo:

Las cruces muestran diferentes combinaciones axil / momento.

A continuación se van a tratar una serie de consideraciones teóricas para después

resumir las fórmulas prácticas que nos permitirán dimensionar a flexión una sección

rectangular.


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HIPÓTESIS

Las hipótesis necesarias para calcular una sección sometida a tensiones normales

provocadas por un esfuerzo de flexión y axil son:

• Evidentemente la sección debe estar en equilibrio, es decir, las tensiones

provocadas por los esfuerzos deben equilibrar a dichos esfuerzos.

M M

N NZi

Esfuerzos Tensiones

N = Ssi Ai

M = Ssi Ai Zi

• La rebanada, que tiene ambas caras planas antes del esfuerzo, después del

esfuerzo las sigue conservando planas.

M M

N

Plano Plano

Este hecho físico significa que la ley de deformaciones de las fibras de la

rebanada es lineal.

M M

N

DEFORMACIONES

línea recta

• Existe adherencia perfecta entre el acero y el hormigón. Esto quiere decir que la

deformación del acero es idéntica a la del hormigón adyacente.


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M M

Nεs = εcεs = εc

N

O, lo que es lo mismo, la ley de deformaciones de la rebanada es la misma para

el acero que para el hormigón de la sección.

LEYES DE LOS MATERIALES

Los materiales que componen la sección de hormigón estructural son el hormigón y el

acero.

Para resolver un problema de tensiones normales es preciso conocer cómo se comportan

dichos materiales ante este tipo de solicitación. Es decir: ¿Cómo y cuanto responden

ante una tensión normal (perpendicular al plano de la sección)?

nn

e

Sección unitaria (1)

e - ∆∆∆∆e

Dicho de otro modo, cuánto se deforma ante una tensión o qué tensión adquiere ante

una deformación.

Esta relación entre tensión y deformación se cuantifica mediante un gráfico (s, e)

denominado ecuación constitutiva del material.


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εεεε

σσσσ

MATERIAL ELÁSTICO o LINEAL

εεεε

σσσσ

MATERIAL ELÁSTICO/PLÁSTICO

ZONA ELÁSTICA

ZONA PLÁSTICA

Los materiales reales suelen tener un complicado comportamiento, o sea, que su

ecuación constitutiva real es compleja y de difícil formulación.

La técnica utiliza simplificaciones de la curva real cuyos resultados sean

suficientemente aproximados. Las curvas (ecuaciones constitutivas) que se proponen

son las más comúnmente utilizadas en hormigón estructural y son, lógicamente,

simplificaciones de las curvas reales.

Hormigón

La ecuación constitutiva real es de la forma

εεεε

σσσσ

La ecuación constitutiva simplificada que se utilizará en adelante es la denominada

“rectangular” o “plástica”.

0,85·f cd

0,2· εεεε máx εεεε máx ≤ 3,5 o / oo

εεεε

σσσσ


27

Esta ecuación se puede describir de otra forma, más comprensiva

DEFORMACIONES

εεεεmáx

0,2·εεεεmáx

0,2·x

x

0,85·fed

0,8·x

0,2·x

Acero

La ecuación constitutiva real es de la forma

εεεε

σσσσ

La ecuación constitutiva simplificada que se utilizará es:

εεεε

σσσσ

Es

f yd

10 o / oo

(10·10 -3 )

εεεε y


28

DIAGRAMA DE PIVOTES

Antes de proseguir es conveniente recordar que

los materiales elásticos puros (lineales, no plásticos) alcanzan su rotura cuando alcanzan

su máxima tensión, es decir, se puede asegurar que su rotura se produce cuando su

tensión (s) se hace igual a su resistencia (f). En cambio, un material plástico puede

tener una tensión igual a su resistencia y no haber roto.

Por ejemplo, los puntos 1, 2 ó 3 de la ecuación constitutiva del acero no son de rotura y,

sin embargo, su tensión es la máxima. La rotura del acero se alcanzará en el punto A,

cuando se deforme una cantidad del 1%.

εεεε

σσσσ

10 o / oo

1 2 3 A

Por este hecho, la rotura de una sección, que se alcanzará cuando uno de sus materiales

rompe, se localizará en las deformaciones, no en las tensiones.

Si en la sección (rebanada) se dibujan, a la altura de cada material, las deformaciones

máximas que admiten, A, B, C, entonces, los posibles planos de agotamiento (rotura)

serán los que pasen por A, por B ó por C.


29

REBANADA

10 o/oo 2 o/oo

3,5 o/ooB

A

C

dx

Así pues, los planos de rotura serán todos aquellos que pasen por un pivote.

De la EHE:

• Dominio 1: Tracción simple o compuesta en donde toda la sección está en tracción. Las rectas de

deformación giran alrededor del punto A correspondiente a un alargamiento del acero más

traccionado del 10 por 1000.

• Dominio 2: Flexión simple o compuesta en donde el hormigón no alcanza la deformación de

rotura por flexión. Las rectas de deformación giran alrededor del punto A.

• Dominio 3: Flexión simple o compuesta en donde las rectas de deformación giran alrededor del

punto B correspondiente a la deformación de rotura por flexión del hormigón ecu= 3,5 por 1.000.

El alargamiento de la armadura más traccionada está comprendido entre el 10 por 1.000 y ey,

siendo ey, el alargamiento correspondiente al límite elástico del acero.

• Dominio 4: Flexión simple o compuesta en donde las rectas de deformación giran alrededor del

punto B. El alargamiento de la armadura más traccionada está comprendido entre ey, y 0.

• Dominio 4a: Flexión compuesta en donde todas las armaduras están comprimidas y existe una

pequeña zona de hormigón en tracción. Las rectas de deformación giran alrededor del punto B.

• Dominio 5: Compresión simple o compuesta en donde ambos materiales trabajan a compresión.

Las rectas de deformación giran alrededor del punto C definido por la recta correspondiente a la

deformación de rotura del hormigón por compresión, ecu = 2 por 1.000.


30

FLEXIÓN SIMPLE

De todos los planos posibles que agotan una sección, sólo algunos de ellos pueden ser

de flexión simple. Concretamente aquellos que tengan una parte de la sección en

tracción y otra parte en compresión. Visto de otra forma, pueden ser planos de flexión

simple todos aquellos cuya fibra neutra esté dentro de la sección.

DEFORMACIONES

1 2

3

A

B

ab

• Zona a: planos que pivotan en A, desde el plano 1 al 2. Estos planos de

agotamiento indican que la sección rompe por el acero.

• Zona b: planos que pivotan en B, desde el plano 2 al 3. Estos planos de

agotamiento indican que la sección rompe por el hormigón.

Dimensionamiento a flexión simple

Para dimensionar una sección a flexión simple se debe buscar el plano de agotamiento,

que se conocerá si se conoce la posición de la fibra neutra, x.

La otra incógnita del problema es la cantidad de armadura de tracción, As.

Las dos incógnitas (x, As) se obtienen mediante la utilización de las ecuaciones de

equilibrio de axiles y momentos.


31

hd

x 0,8·x

0,85·fcd

fyd T

C

0,4·x

d - 0,4·x

DEFORMACIONES TENSIONES FUERZAS

A

Equilibrio de axiles:

C = T

C = 0.85·fcd·0.8·x·b

T = As·fyd

=> 0.85·fcd·b·0.8·x = As·fyd => As·fyd = 0.68·fcd·b·x (1)

Equilibrio de momentos:

C·(d·0.4·x) = Md => 0.85·fcd·b·0.8·x·(d - 0.9·x) = Md (2)

Resolviendo estas dos ecuaciones con las dos incógnitas x y As, se obtiene:

As = 0.68 fcd ·b·x/fyd

En este razonamiento se ha supuesto que la tensión del acero es fyd y, por tanto, la fibra

neutra no puede ser inferior a xlim.

A

B

εy

Si x es mayor que xlim, la formulación obtenida no es válida. Además, si x> xlim, la

tensión del acero es menor a su máxima tensión y el acero no se aprovecharía con su

máxima capacidad.

Para evitar esto, para x> xlim, es decir, para Md>Mlim, se busca otra solución de armado

que garantice que el acero en tracción trabaja a su tensión máxima. En estos casos, la

estrategia de dimensionamiento pretende conseguir que el plano de agotamiento se,

justamente, el plano límite. Para ello se procede de la siguiente forma:

• Se dimensiona una parte del Md, concretamente Mlim, mediante armadura de


32

tracción, tal y como se ha descrito mediante el procedimiento anterior.

• El resto, hasta Md, es decir un momento de valor Md-Mlim, se resiste mediante

armadura simétrica en ambas caras, de compresión y tracción.

+ =

As para Mlím para Md - Mlím para Md

A's

A's

A's

As + A's

El Momento límite, Mlim, es

3,5o/oo

εy

x

0,85·fcd

0,8·xL

fyd

DEFORMACIONES TENSIONES

para Acero B-500

xL = 0,617·d

Mlím = 0,85·fcd·b·0,8·xL·(d - 0,4·xL)

Mlím = 0,316·frd·b·d2

para Acero B-400

Mlím = 0,333·fcd·b·d2

Para garantizar, por razones de durabilidad, una deformación mínima del acero, se

puede limitar la profundidad de la fibra neutra a x = 0,45d. En este caso, el momento a

partir del cual se dispone armadura de compresión es M = 0,252fcdbd2


33

FLEXIÓN SIMPLE: RESUMEN DE LAS FÓRMULAS

A partir de la teoría expuesta y siguiendo las recomendaciones del libro "Hormigón

Armado" de P. Montoya, A. García Meseguer y F. Morán”, se exponen las fórmulas a

aplicar para el dimensionamiento de una sección rectangular a flexión simple.

El sentido del momento Md y las variables de partida son los representados en las

figuras.

(Si el momento está en el sentido opuesto, “dp” pasa a estar en la parte inferior de la

sección y “d” va de la fibra inferior a la armadura superior).

Los pasos a seguir para el dimensionamiento son:

1. Calcular el momento límite con la fórmula:

Mmin 0.252 b⋅ d2

⋅ fcd⋅:=

2. Si el momento de cálculo es menor que el momento mínimo no es necesaria la

armadura de comprimida. Para obtener la armadura a tracción utilizamos las

ecuaciones de equilibrio para obtener “y” y después, el área de armadura

necesaria:

y d 1 1Md

0.425 b⋅ d2

⋅ fcd⋅−−

⋅:=

=>

Atrac 0.85 b⋅ y⋅

fcd

fyd⋅:=

3. Si el momento de cálculo es mayor que el momento mínimo,

la armadura comprimida es: y la armadura traccionada es:

Acomp

Md Mmin−

d dp−

1

fyd⋅:=

Atrac

0.306 b⋅ d⋅ fcd⋅

fydAcomp+:=


34

FLEXIÓN COMPUESTA: RESUMEN DE LAS FÓRMULAS

La teoría para estudiar la flexión compuesta es similar a la vista en los apartados

anteriores. En este curso solo consideraremos los principios ya vistos y un resumen de

las fórmulas que nos permitirán dimensionar las secciones rectangulares sometidas a

flexión compuesta.

A partir de la teoría expuesta y siguiendo las recomendaciones del libro "Hormigón

Armado" de P. Montoya, A. García Meseguer y F. Morán”, se exponen las fórmulas a

aplicar para el dimensionamiento de una sección rectangular a flexión compuesta.

El sentido del momento Md y las variables de partida son los representados en las

figuras:

Notaciones:

µNd excen⋅

b d2

⋅ fcd⋅:=

νNd

b d⋅ fcd⋅:=

δp

dp

d:=

Si excen > d:

Si m < 0.252:

ω µ1 1.245 µ⋅−

0.983 1.687 µ⋅−⋅ ν−:=

ωp 0.:=

Atrac ω b⋅ d⋅fcd

fyd⋅:=

Acomp=0

Si m > 0.252:

ωpµ 0.252−

1 δp−:=

ω ωp 0.31+ ν−:=

Atrac ω b⋅ d⋅fcd

fyd⋅:=

Acomp ωp b⋅ d⋅

fcd

fyd⋅:=


35

Si excen < d:

Este es un caso poco común ya que cuando hay momentos y axiles la

excentricidad no suele ser tan pequeña. Una solución es forzar a que la

excentricidad sea ligeramente superior a “d” y emplear las fórmulas anteriores.

Otras soluciones pasan por utilizar armaduras simétricas. Para su cálculo se

pueden utilizar los diagramas de interacción que figuran en diferentes

publicaciones.

36


Parte IV

Cortante


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37

CORTANTE

Cuando el material de la estructura es isótropo y lineal, el comportamiento a cortante de

la sección transversal es sencillo de formular ya que la distribución de tensiones

tangenciales viene dada por la fórmula y la gráfica siguientes:

V

V

ττττ

V·S

I ·b ττττ = = = =

Esta es, una ley parabólica de tensiones tangenciales cuyo valor es cero en los extremos

y máximo en el centro de gravedad de la sección transversal.

Esto se complica cuando el comportamiento del material no es lineal y se complica más

cuando la sección está compuesta por varios materiales diferentes y, además, cada

sección transversal es diferente.

En el caso del hormigón armado la sección transversal tiene acero y hormigón y,

además, cada 10,15 ó 20 cm existe un cerco (estribo) que se dispone para resistir el

cortante.

Por ello, el estudio de los efectos del cortante en elementos de hormigón armado no

puede realizarse sección a sección sino que se tiene que tener en cuenta el elemento

completo ó al menos una parte.

La teoría más utilizada para explicar el comportamiento de un elemento de hormigón

armado es la analogía de la celosía, ya enunciada por Mörsch y Ritter a principios del

siglo XX.

Esta analogía consiste en establecer un mecanismo resistente como el de la figura.


38

F F

F

c c cc c c c c

c c c c c c

t

t t t t t t

t t tt t t t

En la cercha se aprecian varios elementos.

Los que resisten la flexión:

• El cordón comprimido (superior).

• El cordón traccionado (inferior).

El mecanismo resistente a cortante:

• Las “bielas” inclinadas comprimidas.

• Los “tirantes” verticales (o inclinadas según se dispongan los cercos)

traccionados.

Bielas de compresión oblicua Vu1

hormigón VcuTirantes de tracción trasversal Vu2

acero (cercos) Vsu

+

hormigón

La formulación de la EHE, y otras muchas, limita la resistencia de ambos elementos,

bielas y tirantes.

Esfuerzo cortante ≤ Resistencia de las bielas (Vd ≤ Vu1)

Esfuerzo cortante ≤ Resistencia de los tirantes (Vd ≤ Vu2)


39

La denominación de “bielas” y “tirantes” recuerda que esta analogía es la base de la

moderna teoría de cálculo de las “BIELAS Y TIRANTES” que es una generalización de

esta analogía para cualquier tipo de elemento estructural.

En muchas normativas, la resistencia de los tirantes tiene en cuenta tanto el acero de los

cercos como el hormigón que resiste por una serie de mecanismos (pasador, arco, etc.)

una parte de la tracción del tirante. Las expresiones de dichas resistencias son diferentes

en las distintas normativas.

SECCIÓN DE COMPROBACIÓN (EHE)

La comprobación del agotamiento por compresión oblicua en el alma Vrd ≤ Vu1, se

realizaría en el borde del apoyo y no en su eje.

La comprobación correspondiente al agotamiento por tracción en el alma Vrd ≤ Vu2 se

efectúa para una sección situada a una distancia de un canto útil del borde del apoyo

directo.

RESISTENCIA DE LA BIELAS (VU1)

En la EHE, la resistencia de las bielas se obtiene mediante la fórmula:

donde:

f1cd = Resistencia a compresión del hormigón = 0,60 fcd

b0 = Anchura neta mínima del elemento, igual al ancho de la sección en

secciones rectangulares.

K = Coeficiente de reducción por efecto del esfuerzo axil

donde:

σ'cd = Tensión axil efectiva en la sección (tracción positiva)

Nd = Esfuerzo axil de cálculo (tracción positiva) incluyendo el

pretensado con su valor de cálculo


40

Ac = Área total de la sección de hormigón

α = Ángulo de las armaduras con el eje de la pieza.

θ = Ángulo entre las bielas de compresión de hormigón y el eje de la

pieza. Se adoptará un valor que cumpla: 0,5 ≤ cotgθ ≤ 2,0

RESISTENCIA DE LOS TIRANTRES (VU2)

En la EHE, la resistencia de los tirantes CON ARMADURA DE CORTANTE se

obtiene mediante la fórmula:

Vu2 = Vcu + Vsu

Siendo:

Vsu = Contribución de la armadura transversal de alma a la resistencia a esfuerzo

cortante,

Vsu = z senα(cotgα + cotg θ ) Σ Αα fyα,d

donde:

Aα = Área por unidad de longitud de cada grupo de armaduras que forman un

ángulo α con la directriz de la pieza

fyα,d = min (fyk, 400 N/mm2) Esta tensión se limita a 400 N/mm2 para minimizar

la fisuración por cortante del elemento.

z = Brazo mecánico. A falta de cálculos más precisos puede adoptarse el valor

aproximado z = 0,9d.

Vcu = Contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante.

con fck expresado en N/mm2, donde:

b0 = Anchura neta mínima del elemento, igual al ancho de la sección en

secciones rectangulares.

σ'cd = Tensión axil efectiva en la sección (tracción positiva)

Nd = Esfuerzo axil de cálculo (tracción positiva) incluyendo el

pretensado con su valor de cálculo

Ac = Área total de la sección de hormigón

d = canto útil de la sección.


41

ξ 1200

dmm+:=

dmm = d en milímetros.

ρ1 = cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada, pasiva y activa

adherente, anclada a una distancia igual o mayor que d a partir de la sección de

estudio.

,

Sin armadura a cortante,

Vu2 = Vcu

FÓRMULAS SIMPLIFICADAS

Si particularizamos para el caso común en que el ángulo de las bielas es β = 45º y el

ángulo de los cercos (estribos) es α = 90º, obtenemos unas fórmulas más sencillas.

Sin armadura a cortante

Solo es necesario comprobar Vu2 (=Vcu).

con fck expresado en N/mm2.

Con armadura a cortante

Para esfuerzos axiles de cálculo y de pretensado despreciables:

Vu1 = 0,30 fcd b d

Vsu = 0.9 d Αα fyα,d

Vu2 = Vcu + Vsu

siendo Vcu el mismo que en el caso anterior.


42

COLOCACIÓN DE LAS ARMADURAS TRANVERSALES (EHE)

La separación st, entre armaduras transversales deberá cumplir las condiciones

siguientes para asegurar un adecuado confinamiento del hormigón sometido a

compresión oblicua.

st 0,80 d 300 mm si Vrd ≤ 1/5Vu1

st 0,60 d 300 mm si 1/5 Vu1< Vrd 2/3Vu1

st 0,30 d 200 mm si Vrd > 2/3 Vu1

43


Parte V

Fisuración


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44

FISURACIÓN

El hormigón tiene muy poca resistencia a la tracción. En las zonas traccionadas del

elemento, el que trabaja es el acero. Así, el acero debe elongarse mucho más de lo que

el hormigón que lo circunda y por ello se rompe provocando lo que se conoce como

“fisura”.

Las fisuras en las secciones de hormigón armado a flexión pueden considerarse

normales, ya que son la prueba de que el acero dispuesto está trabajando

adecuadamente.

Ahora bien, aunque las fisuras deben existir para demostrar el buen comportamiento y

dimensionamiento del elemento, éstas deben ser suficientemente pequeñas por varios

motivos, fundamentalmente por estética y durabilidad.

TEORÍA RELATIVA AL CÁLCULO DE LA ABERTURA DE FISURA

El cálculo de la abertura de fisura es el producto de una deformación media por la

separación entre fisuras. En este apartado se pretende explicar este producto y el

significado y la formulación de ambas variables.

Para ello se parte de un tirante (elemento a tracción) suficientemente fisurado, con n

fisuras y de longitud l.

N N

Las leyes de deformaciones de los materiales a lo largo del tirante son:

Ley de deformaciones del acero

N N

εεεεs,II

llll

εεεεs,I

Se observa que, entre fisuras, la deformación del acero (y su tensión) es menor ya que el

hormigón contribuye a resistir el esfuerzo N. En cambio, en la fisura, donde el

hormigón no existe, la deformación del acero (y su tensión) debe ser mayor ya que sólo


45

el acero resiste el esfuerzo N.

Ley de deformaciones del hormigón

εεεεs,I = εεεεc,I

N N

εεεεs,II

llll

Se observa que en la fisura, ya que el hormigón está roto (no existe), la deformación es

nula. En cambio, entre fisuras, el hormigón es capaz de colaborar con el acero en la

resistencia, llegando a tener una deformación máxima igual a la deformación del acero

(por compatibilidad de deformaciones en zonas donde la adherencia perfecta y no se ha

degradado por el efecto local de la fisura).

Si se quisiese calcular la elongación total del tirante, debería hacerse a partir del

material que existe a lo largo de todo el tirante, es decir, con la ley de deformaciones del

acero. El hormigón no puede utilizarse para esta cuenta porque en las fisuras no existe.

Recordemos, además, que la elongación de un tirante se calcula mediante el área de la

ley de deformaciones. Así, en este caso, la elongación es el área rayada de la figura.

El hormigón no ha podido elongarse en toda esa cantidad por que en las fisuras se ha

roto. El hormigón solo ha podido elongarse la cantidad que indica el área de su ley de

deformaciones (∆Lc), que es menor que la elongación del acero.

El tirante se ha alargado una cantidad ∆L. El hormigón solo ha sido capaz de


46

deformarse una cantidad ∆Lc. Por tanto, la diferencia entre la elongación del tirante

(igual a la del acero) y la elongación del hormigón (área de la figura siguiente) se ha

convertido en fisuras, en n fisuras.

Con este razonamiento se puede formular:

n w = ∆Ls-∆Lc, , ó lo que es lo mismo,

w = (∆Ls-∆Lc)/n

Por otro lado, la separación de fisuras s, es:

s = L/n

Finalmente se puede escribir:

w = s (∆Ls-∆Lc)/L ,ó también,

w = s (εs-εc)

Si se llama εsrm= (εs-εc) que es la deformación relativa media del acero respecto del

hormigón, queda la expresión normativa

w = s εsrm

El comportamiento del tirante, visto de forma gráfica es el siguiente:

N

∆∆∆∆L

εεεεsAs

((((εεεεs r m)

Es·AsNεεεε = disminución de la

deformaciónporque el hormigón colabora entre fisuras("tension stiffening")

comportamientodel tirante si sólohubiese acero(estado II)

comportamiento del tirante si no se fisura(estado I)

comportamiento real (εεεεs r m)

Se observa que la deformación real del tirante se puede calcular restando a la

deformación del tirante si tuviese solo acero (N/EsAs) una cantidad, llamada “tension

stiffening” que es la colaboración del hormigón, es decir que el hormigón trabajando a

tracción entre fisuras impide que el acero se deforme todo lo que libremente (sin


47

hormigón) haría. Formulando genéricamente esta deformación se tiene:

εsrm = εs – “T.S”

La cuantificación de la colaboración del hormigón se puede hacer de varias formas

según las diversas teorías, desde una suposición de linealidad hasta una suposición de

variación cuadrática. Sea cual sea la hipótesis de comportamiento del T.S., las

formulaciones normativas se parecen mucho.

Variación lineal Variación cuadrática

La expresión de la separación entre fisuras tiene una raíz fundamentalmente

experimental, relacionando ésta con el recubrimiento (c), con la separación entre barras

(s) y con las áreas de hormigón que rodean la armadura (Ac,ef) y el área de armadura

(As).

La expresión de la deformación se alinea con una variación cuadrática del T.S. y la hace

depender de la tensión en la armadura en estado II en el momento preciso de producirse

la fisuración (σsr) (es decir, para el esfuerzo de fisuración, Mfis) con la tensión, también

en estado II, pero en el momento en el que se está calculando la fisura (σs) (es decir,

para el esfuerzo de cálculo de la fisura que es el momento de la combinación

cuasipermanente de acciones).

Gráficamente, las tensiones se calculan en los puntos 1 y 2 del gráfico:

N

∆∆∆∆L

1

2

Esfuerzo de las cargas cuasipermanente

Esfuerzo de fisuración


48

FORMULACIÓN DE LA EHE

La abertura característica de fisura se calculará mediante la siguiente expresión:

Wk =β sm εsm

donde:

β = Coeficiente que relaciona la abertura media de fisura con el valor

característico y vale 1,3 para fisuración producida por acciones indirectas

solamente y 1,7 para el resto de los casos.

sm = Separación media de fisuras, expresada en mm.

εsm = Alargamiento medio de las armaduras, teniendo en cuenta la colaboración

del hormigón entre fisuras.

c = Recubrimiento de hormigón.

s = Distancia entre barras longitudinales. Si s>15 se tomará s=15 .

En el caso de vigas armadas con n barras, se tomará s=b/n siendo b el ancho de

la viga.

k1 = Coeficiente que representa la influencia del diagrama de tracciones en la

sección, de valor genérico donde ε1, y ε2 son las deformaciones

máxima y mínima calculadas en sección fisurada, en los límites de la zona

traccionada. En la figura inferior se dan valores concretos.


49

= Diámetro de la barra traccionada más gruesa o diámetro equivalente en el caso de grupo de barras.

Ac, eficaz = Área de hormigón de la zona de recubrimiento, en donde las barras a tracción influyen de forma efectiva en la abertura de las fisuras (ver figura).

As = Sección total de las armaduras situadas en el área Ac, eficaz

σs = Tensión de servicio de la armadura pasiva en la hipótesis de sección

fisurada.

Es = Módulo de deformación longitudinal del acero.


50

k2 = Coeficiente de valor 1,0 para los casos de carga instantánea no repetida y

0,5 para los restantes.

σsr = Tensión de la armadura en la sección fisurada en el instante en que se

fisura el hormigón, lo cual se supone que ocurre cuando la tensión de tracción en

la fibra más traccionada de hormigón alcanza el valor fct, m.

LIMITACIONES NORMATIVAS DE LA ABERTURA DE FISURA

Las normas obligan a controlar la abertura de las fisuras a valores que rondan las pocas

décimas de milímetro. Concretamente, la EHE, en función del ambiente en el que está el

elemento estructural, lo limita a valores que oscilan entre una y cuatro décimas de

milímetro. La siguiente tabla es un resumen de la tabla de la norma EHE:

Ambiente w [mm]

I (interior no agresivo) 0,4

II (interiores húmedos y exteriores) 0,3

III (marino) 0,2

IV (marino en zona de marea) 0,1

51


Tablas

Autor: Ruperto Martínez Cuesta

[email protected]



52

LONGITUDES DE ANCLAJE

φ (� �

) H-25 H-30 H-35 H-40 H-45 H-505 150 150 150 150 150 1506 150 150 150 150 150 1507 175 175 175 175 175 1758 200 200 200 200 200 2009 225 225 225 225 225 22510 250 250 250 250 250 25011 275 275 275 275 275 27512 300 300 300 300 300 30014 350 350 350 350 350 35016 400 400 400 400 400 40020 600 520 500 500 500 50025 938 813 750 688 625 62532 1536 1331 1229 1126 1024 102440 2400 2080 1920 1760 1600 1600

φ (� �

) H-25 H-30 H-35 H-40 H-45 H-505 179 179 179 179 179 1796 214 214 214 214 214 2147 250 250 250 250 250 2508 286 286 286 286 286 2869 321 321 321 321 321 32110 357 357 357 357 357 35711 393 393 393 393 393 39312 429 429 429 429 429 42914 500 500 500 500 500 50016 571 571 571 571 571 57120 840 728 714 714 714 71425 1313 1138 1050 963 893 89332 2150 1864 1720 1577 1434 143440 3360 2912 2688 2464 2240 2240

B 500 posición I, prolongación recta

B 500 posición II, prolongación recta

a) Posición l, de adherencia buena, para las armaduras que durante el hormigonado forman con la horizontal un ángulo comprendido entre 45º y 90º o que en el caso de formar un ángulo inferior a 45º, están situadas en la mitad inferior de la sección o a una

b) Posición ll, de adherencia deficiente, para las armaduras que, durante el hormigonado, no se encuentran en ninguno de los casos anteriores.

Longitud de anclaje básica de barras corrugadas: lb

Patilla, gancho y gancho en U

La longitud neta de anclaje se define como: lb,neta = lbb(As/As,real)

Siempre será igual o menor que la longitud básica (ver artículo 66 de EHE)

Tipo de anclaje

Prolongación recta

TABLA 66.5.2.b Valores de b

Barra transversal soldada

Compresión

1

1

0,7

Tracción

1

0,7(*)

0,7


53

CUANTÍA GEOMÉTRICA MÍNIMA

Estas cuantías sirven para limitar la fisuración producidas por temperatura y retracción.

SEGÚN EL ARTÍCULO 42.3.5 DE LA EHE

B 400 S B 500 S

4.0 4.0

Cuantía mínima de toda la armadura longitudinal. Mínimo 6 barras en secciones circulares y 4 en rectangulares.

2.0 1.8

Cuantía mínima de cada una de las armaduras, longitudinal y transversal repartida en las dos caras. Las losas apoyadas sobre el terreno requieren un estudio especial.

3.3 2.8

Cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara opuesta una armadura mínima igual al 30% de la consignada.

4.0 3.2

La armadura mínima horizontal deberá repartirse en ambas caras. Para muros vistos por ambas caras debe disponerse el 50% en cada cara. Para muros vistos por una sola cara podrán disponerse hasta 2/3 de la armadura total en la cara vista.

1.2 0.9

La cuantía mínima vertical es la correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara opuesta una armadura mínima igual al 30% de la consignada.

Figuras

Muros armadurahorizontal

Muros armaduravertical

NotasTipo de acero

Pilares

Losas

Vigas

Elemento estructural

Cara detracción

Para más detalle, consultar la EHE.


54

OTROS ELEMENTOS

La EHE no hace referencia a otros elementos estructurales como los indicados a

continuación.

PILOTES Se pueden tratar como los pilares

PANTALLAS Pueden tratarse como muros de obra.

LOSAS DE

CIMENTACIÓN

Se pueden tratar como losas aunque también son tratadas como

elementos lineales y da como cuantía mínima 1.5 por mil en cada

dirección.

ZAPATAS Se pueden tratar como el caso de losas de cimentación para la

armadura inferior.

Hay quien la considera innecesaria la armadura superior aunque es

buena práctica poner una cuantía mínima, sobre todo si se puede

producir “levantamiento” con lo que la cara superior entra en

tracción.


55

RECUBRIMIENTOS

Según el artículo 37.2.4 de la EHE, el recubrimiento es “El recubrimiento de hormigón

es la distancia entre la superficie exterior de la armadura (incluyendo cercos y estribos)

y la superficie del hormigón más cercana.”

Tabla 37.2.4 (EHE) Recubrimientos mínimos Resistencia

característica del hormigón [N/mm2]

Tipo de elemento RECUBRIMIENTO MÍNIMO [mm] SEGÚN LA CLASE DE EXPOSICIÓN (**)

I IIa IIb IIIa IIIb IIIc IV Qa Qb Qc

25 ≤ fck <40 general 20 25 30 35 35 40 35 40 (*) (*)

elementos prefabricados y

láminas

15 20 25 30 30 35 30 35 (*) (*)

fck ≥ 40 general 15 20 25 30 30 35 30 35 (*) (*)

elementos prefabricados y

láminas

15 20 25 25 25 30 25 30 (*) (*)

(*) Para más detalle, consultar la EHE.

56


Bibliografía

Comisión permanente del hormigón (CPH)

(1999)

Instrucción de Hormigón Estructural

EHE

P. Montoya, A. García Meseguer y F.

Morán” (2000) Hormigón Armado

J. Calavera, E. González, J. Fernández, F.

Valenciano (1997) Manual de Ferralla

Área de cálculo, diseño y construcción S. L. WWW.AREADECALCULO.COM

apuntes sobre el hormigón armado...1 apuntes sobre el hormigón armado autores: ruperto martínez...

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