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Apuntes de Hormigón Armado

ConstruAprende.com

Profesor : Sra. Silvana Cominetti Cotti-Cometti

2003

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti ConstruAprende.com Apuntes de Hormigón Armado

Página 2

ÍNDICE

1-. Generalidades:

1.1-. Acero chileno

1.2-. Hormigón

2-. Diseño a Rotura:

3-. Diseño de Losas Aisladas:

4-. Diseño de Campos de Losas

5-. Diseño de Estanques Rectangulares

6-. Diseño de Escalas

Apuntes de Hormigón Armado ConstruAprende.com Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti

Página 3

I-. Generalidades

Obra de H.A.: Es aquella compuesta por Hormigón y Armadura Metálica que pueden

resistir en forma conjunta las Solicitaciones Externas.

1-. Acero Chileno

Se fabrica en barras de 6mm hasta 36mm.

Lisas (ø6, 8, 10, 12 en rollos)

2 tipos

Con estrías (barras rectas ø8 → ø36)

CALIDAD A TRACCIÓN

MARCA ROTURA FLUENCIA

A 44 – 28 H 4400 Kg./cm2 2800 Kg./cm2 HH

A 56 – 35 H 5600 Kg./cm2 3500 Kg./cm2 HHH

A 63 – 42 H 6300 Kg./cm2 4200 Kg./cm2 HHHH

Curva Característica de Acero A 44 – 28 H


Página 4

Dúctil

Frágil

y p

1: Zona Elástica.

2: Zona de Transición (Fluencia Restringida).

3: Zona de Fluencia.

4: Zona de Endurecimiento por Deformación.

5: Zona de Estricción.

EL HORMIGÓN ES FRÁGIL Impedir la falla del Hormigón.

EL ACERO ES DÚCTIL Gran capacidad de deformación antes de romperse.

La DUCTILIDAD en el acero es inversamente proporcional a la resistencia.

Una forma de medir la ductilidad:

y

p

1 → Comport. Plástico

< 1 → Comport. Elástico

1.2-. Hormigón


Página 5

Cal.

Aluminio.

Cemento Silicato.

Áridos. Óxido Férrico.

Propiedades: - Mezcla Agua.

Aditivos.

- Hormigonadura Regular proceso

- Curado.

a) Retracción de Fraguado:

Se debe a cambios de volumen que ocurren en el Hormigón debido a la evaporación. Es

un proceso Exotérmico. Las zonas sufren diferentes deformaciones.

Depende de:

- Humedad Ambiente.

- Calidad del Cemento (+ ó – calor de hidratación).

- Temperatura Ambiente.

- Dosificación.

- Tipo de Fraguado.

- Etc.

Agrietamiento por Retracción:

o = 0,35 mm/m Valor Promedio

Valor más exacto:

5102,0101,0101005,08,0 CACHo

donde:

H : Humedad Ambiente (%).

C : Cantidad de Cemento.

CA : Relación Agua-Cemento.

b) Fluencia o CREEP del Hormigón:

Son deformaciones a largo plazo debidas a Carga Estática Sostenida.


Página 6

c) Control de Calidad del Hormigón:

- Ensayos No Destructivos.

- Ensayos Destructivos: Determinar la resistencia del Hormigón mediante probetas:

Cúbicas : 20x20 cm2 (Rc)

Cilíndricas o Prismáticas : 15x30 (Rp)

Rp = 0,86 Rc si Rc 400 Kg/cm2

Rp = 0,48 Rc + 152 si Rc > 400 Kg/cm2

(Rp < Rc ; Rp 0,82 0,85 Rc )

Clasificación de los hormigones por resistencia a la compresión

GRADO RESISTENCIA ESPECIFICADA, fc

MPa Kg/cm2

H5 5 50

H10 10 100

H15 15 150

H20 20 200

H25 25 250

H30 30 300

H35 35 350

H40 40 400

H45 45 450

H50 50 500

Recuperación Instantánea

Recuperación en el Tiempo

Al Descargar

Fluencia o

CREEP

Deformación

Instantánea

0 28 días 2 años T (Meses)


Página 7

Resistencia del hormigón en el tiempo

TIEMPO RESIST/Rc

3 días 30%

7 días 70%

28 días 100%

90 días 120%

Parámetros: - Tipo de hormigón.

- Tipo de Cemento.

- Condiciones ambientales (Humedad, temperatura)

- Relación a/c

- Etc.

RESISTENCIA f’c (Mpa)

H20 16

H25 20

H30 25

H35 30

H40 35

H45 40

H50 45

1 MPa = 10 Kg/cm2 '4730 cc fE (MPa) → Para hormigones normales.

Resistencia Característica:

64,11 bmbk

: Desviación tipo Relativa.

n

i

bibmn 1

1

bi : Resistencia de cada muestra.

N : Número de muestras.

Curva Característica de Hormigón


Página 8

tg = ET =

d

d = Módulo de Elasticidad Tangente.

1tg = ES =

= Módulo de Elasticidad Secante.

o = 0

d

d = Módulo de Elasticidad en el Origen.

Resistencia y Deformación del Hormigón

Hipótesis de Rotura:

1-. La rotura se produce al alcanzar, en un punto de una probeta, el esfuerzo normal máximo

soportable por el material en un ensayo de compresión o de tracción simple (RANKINE)

Aplicable a materiales frágiles → HORMIGÓN

2-. La rotura se produce por esfuerzo de corte máximo (COULOMB)

3-. La rotura se produce por deformación máxima.

4-. La rotura se produce por acumulación de Energía de deformación máxima que soporta el

material (VON MISSES)

Aplicable a materiales dúctiles → ACERO

b

Comportamiento Aprox. Lineal

=E 1

E = Módulo de Elasticidad

Del Hormigón


Página 9

Resistencia a la compresión → Rotura de probetas

Depende de:

1-. - Forma y tamaño de la probeta.

- Velocidad de aplicación de la carga.

- Superficie de carga.

- Centrado de la carga.

2-. - Dosificación del hormigón.

- Edad del hormigón.

- Temperatura de conservación.

Parámetros de Ensayo:

Forma y Tamaño: CUBOS → 15x40

CILINDROS → 15 (ø) x 30 (h)

Def.: 10hormigón

acero

b

ac

E

E

E

En → 15 en el rango usual

n puede llegar a 40 hasta que se colapsa.

cbcE (Kg/cm2)

14000

H

c8,33

25000

10000 H: Humedad ambiental en º/1

8500

Valores Normales:

2400H ~2500 Kg/m3 (Hormigón Armado)

2200H Kg/m3 Estructuras poco armadas (Hormigón solo)

7700acero ~7800 Kg/m3

340000HE Kg/cm2 6101,2 aceroE Kg/cm2

Cacero º100001,0 Coeficiente de Dilatación térmica.

Fenómenos de Contacto: Adherencia y Anclajes

1-. Adherencia


Página 10

Si l es grande, se produce fluencia del acero y el experimento no sirve.

Si l es pequeño, se producen grietas a 45º, extendiéndose hasta 3ø a lo largo con 1ø de

largo cada grieta.

Llamemos db al diámetro de la barra. En la sección transversal, la fuerza será igual a:

sb f

dF

4

2

y a lo largo de la barra, dado que se generan esfuerzos promedio de adherencia , el equilibrio da:

ldF b

de donde la longitud de desarrollo del anclaje será:

ldfd

bsb

4

2

4

bs dfl

'

cfK

Si la resistencia de adherencia es mayor o igual que el esfuerzo de fluencia de la barra de

sección transversal 4

2

bb

dA

, entonces

ybb fAld

por lo que se obtiene que la longitud de adherencia para una barra es:

ø

Distribución de τa : Tensión de Adherencia

F

τa

l 3ø

Distribución de a : Tensión de Adherencia Promedio

a


Página 11

'1

c

yb

b

f

fAKl

Para barras de diámetros pequeños:

Nº 11: '

04,0

c

yb

db

f

fAl

y ybdb fdl 0004,0

Para barras de diámetros grandes:

Nº 14: '

085,0

c

y

db

f

fl

Nº 18: '

11,0

c

y

db

f

fl

Para barra con resalte: '

03,0

c

yb

db

f

fdl

Con Ganchos:

12 db

4 a 6 db


Página 12

Separación Mínima entre Armaduras: 1ø

l

a dlF0

l

aa dll

0

1

lF a l

Fa

10 a 15 Kg/cm2

aTSMÁXlF

4

2

TS : Resistencia a la tracción de la barra de acero.

a : Resistencia por adherencia hormigón-acero.

Para anclar, no ayuda en nada aumentar l en el hormigón. Se estaría perdiendo. Interesa

conocer l.

4

a

TSl

1ø

3ø

4 a 6 db

4 a 6 db

ó 64 cm


Página 13

Para TS =1440 Kg/cm2:

a =10 Kg/cm2 l = 410

1440 36ø

Las normas recomiendan l = 40ø ~ 60ø (Anclaje Longitudinal)

2-. Anclajes por Curvatura

En barras con resaltes generalmente no se requiere curvatura, dado que la adherencia es

buena.

En barras lisas, o con tensiones muy grandes, se les debe dar curvatura.

En elemento de largo ΔS:

Eq. en t

:

22

CosFCosFF τ S

Eq. en n

: SSenFFF

2

F + ΔF

Δθ

ΔS

Δθ

2

Δθ

2

F

μ

τ

μΔS

n

t

F + ΔF

F

Anclaje por adherencia

Anclaje por adherencia

y por roce


Página 14

nSSu

τ tS

02

; 22

Sen ; 1

2

Cos

2

CosF τ S → S τ S →

dS

dF 1

SFF

222 ; SR →

SR

RS

FF

2

1

Si ΔF→0 RF 2

Se tiene:

af (f = Coef. fricción acero-hormigón)

aSSfS

aR

Ff

dS

dF

dS

R

Ff

dF

a

→ dSR

f

f

RF

dF

a

e integrando:

1 df

a

df

o ef

ReFF

en que el primer término de la suma corresponde a fricción debido a la curvatura, y el segundo a

adherencia amplificada por el efecto de fricción.

: ángulo de curvatura total.

Si las tensiones que se desarrollan son muy grandes, se termina con un gancho

normalizado.

La tendencia actual es no usar ganchos (Utilizar 40ø, sin doblar los fierros)

2,5ø (2ø)

INDITECHOR

C.E.B. 4ø (5ø ~ 7ø)

Barras de Armadura

Normal

Barras de Armadura

Mejorada


Página 15

3-. Traslapo en Barras para Hormigón

Las barras de acero vienen de 6 a 12 m. A pedido especial de 30 m.

3 tipos de empalme: Por traslapo.

Por soldadura → NO SE USA

Por Manguitos terrajados.

INN – NCh: 30ø con gancho.

2,5ø (2ø)

INDITECHOR

C.E.B. 4ø (5ø ~ 7ø)

Barras de Armadura

Normal

Barras de Armadura

Mejorada

≥30ø con gancho

≥50ø sin gancho

Esfuerzos se transmiten por adherencia

2ø ~ 4ø

20ø (Barras con resalte)

600ø (Barras lisas)

bk

C.E.B.


Página 16

50ø sin gancho.

ACI: 40ø

Disposición de las Armaduras

En vigas, el área mínima que se puede colocar es 2,5 º/oo en cada cara (5 º/oo en total). En

columnas es 5 º/oo por lado.

a) Viga Simplemente Apoyada con Carga Uniforme

b

h

Ámín = 2 º/oo = 0,002 bh

Zona de posible

Rótula Plástica

Armadura Longitudinal por

razones constructivas

Estribos. Razón

constructiva de

armadura. Absorbe

tensiones longitudinales

de corte

Armaduras principales de tracción


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b) Viga en Consola (Marquesina)

c) Fundación Aislada

Gran posibilidad de oxidación. Se recomienda usar recubrimiento alto (d).

Distancia Mínima entre Armaduras

ArmaduraPrincipal

Razones Constructivas

Armadura Principal

d

5 a 10 cm Emplantillado

Hormigón Pobre

Armadura Principal


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Recubrimientos Recomendados

ELEMENTO ESTADO DEL ELEMENTO

PROTEGIDO NO PROTEGIDO MUY EXPUESTO

Marcos 1,5 cm 2,0 cm 3,0 cm

Vigas 2,0 cm 2,5 cm 3,5 cm

Fundaciones 3,0 ~ 4,0 cm 4,0 ~ 6,0 cm 6,0 ~ 8,0 cm

Figuración del Hormigón

Depende de: - Tensiones en las armaduras traccionadas.

- Calidad del hormigón.

- Adherencia entre hormigón y acero.

- Recubrimiento de las armaduras.

- Etc.

Ancho de grietas:

mmk

krf

a

f

fmáx 3,0105,18,0 6'

en que:

%1f : Cuantía geométrica de armaduras referida a la sección afectada por

figuración.

: Ancho de la grieta.

r : Recubrimiento.

1,1 f 1,3 : Coeficiente de Seguridad.

: Diámetro armaduras.

a : Tensión de trabajo del acero.

0,04 k 0,07

Flexión Simple Flexión Compuesta

7,5 k’ 12

d1

Ø2

r Ø1

d1 ≥ ø

d1 ≥ 1,2 x ø máx. del árido

d1 ≥ 2 cm

0 ≤ ø ≤ 5 cm

2

21


Página 19

Ancho de grietas: (ACI – Ec. Gergely-Lutz)

mm de centésimasen 101,1 53

Adf CS

cd

ch

y

S

servicioS f

djA

Mf

6,0

Cd = Recubrimiento de hormigón.

A = Área de hormigón en tracción con centroide igual al de la armadura, dividida por el

número de barras

= Área de hormigón que rodea una barra.

exterior) el(en 33,0

(interior) 4,0

mm

mmmáx

Ventajas e Inconvenientes del Hormigón Armado

Ventajas:

1-. Adaptabilidad en la forma.

2-. Monolitismo. Capacidad de hacer uniones rígidas y una sola cosa entre los dos elementos.

C

CC

d

dC

h

A

fn


Página 20

3-. Buena resistencia al fuego. Mejor que el acero, pero no tan resistente coo la albañilería.

Normalmente resiste 800ºC ~ 1200ºC en condiciones especiales.

4-. Es más económico que el acero (para estructuras pequeñas).

5-. Resiste bien las fuerzas dinámicas.

Inconvenientes:

1-. Estructuras muy pesadas (no es posible efectuar grandes luces). Esto se resuelve con el

Hormigón Pretensado.

2-. En estructuras de membranas y/o cúpulas son difíciles de construir. Economía en materiales

(Hormigón y acero), pero mayor costo en moldaje y tiempo de construcción.

Métodos de Cálculo y Normas

1-. Ecuaciones de Equilibrio.

2-. Ecuaciones de Compatibilidad de Deformaciones (Navier-Bernoulli)

3-. Relaciones Constitutivas.

Hormigón Cable Resultante Cable de acero con

Tensión inicial


Página 21

En el acero se considera un comportamiento bi-lineal:

Despreciable

o

Diag. Tens. Def. del H.

Real C.E.B. Parábola-Rect.

ACI Rectángulo

Diag. Tens. Def. Idealizado del

Hormigón

2 º/oo 3,5 º/oo

0,85fC’

fC’

1

2 (acero) (acero) (acero)

>o

=3,5 º/oo

M

T

=E

0,85fC’

Teo. Elástica Teo. Inelástica

Parábola-Rect.

ACI

Rectángulo

M creciente desde 0 →M máx


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TEORÍA CLÁSICA: Diseño en base a verificaciones de tensiones.

Verifica l tensión máxima.

Se aplica un coeficiente de seguridad a las tensiones.

..HadmH

..acadmac

TEORÍA INELÁSTICA: Verifica las tensiones últimas o de agotamiento.

No verifica la tensión máxima, sino que determina el estado

tensional en el cual la pieza se colapsa. Se define un Estado

Último o de colapso, y a ese estado se chequea.

Se verifica la Resistencia Última de la pieza.

Se determinan las solicitaciones máximas con coeficientes

de mayoración y se comparan con las resistencias últimas.

Debe cumplirse:

Solicitaciones Mayoradas Resistencias Últimas

Conceptualmente la teoría inelástica es mejor y más real.

10 º/oo

fy

fy

y

y

E acero

Horm.

COMPRESION

TRACCIÓN


Página 23

piezaespesorBÁreaAÁreaCb

XBAXB

XAcálculob

cálculob

cálculob

8096,0

4286,0

381,0

bXC cálculobb 8096,0

El C.G. de A+B está a 0,587X del orígen, o bien a 0,42X del borde comprimido.

b

Diagramas de Tensiones de Rotura del Hormigón para

Variación Triangular de las Deformaciones

2 º/oo 3,5 º/oo

0,6b nominal

b cálculo =

A B

X

0,6b nominal Resultante

0,42X

Cb


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II-. Diseño a Rotura

Mn = Momento Nominal

ducciónCoef

ÚltimoMomentoMM u

nRe .

Se debe cumplir entonces:

un MM

Calores del Coeficiente de Reducción ø

SOLICITACIÓN ø

Tracción Axial 0,90

Flexión 0,90

Compresión con Flexión:

- Columnas con estribos 0,70

- Columnas zunchadas 0,75

- Columnas con cargas axiales pequeñas 0,75 ~ 0,90

Corte y Torsión 0,85

Aplastamiento 0,70

Combinaciones de Carga

LD 7,14,1

WLD 7,17,14,175,0

WD 3,19,0

ACIED

ELD

43,19,0

87,17,14,175,0

96. 433 4,19,0

4,1ofNCh

ED

ELD

Esta sección resiste

Mn


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Presión de tierra: H

HLD 7,17,14,1

HD 7,19,0

Fluidos: Reemplazar H por F

Impacto: Reemplazar L por (L + I)

Columnas Cortas – Compresión Simple

Resistencia del Acero: sty Af

Resistencia del Hormigón: Hormc Af '85,0

stgHorm AAA

Resistencia de la Sección:

stystgcn AfAAfP '85,0

un PP ø = 0,7

gA : Área total hormigón (Áreas bruta)

01,0mín g

st

A

A

06,0máx

Ag: Área Gruesa

de hormigón

Ast: Área de Acero

Pu

Pu: Carga Última

Pn ≥ Pu

ø


Página 26

Columnas con Hélice

stycc

s

spy

cn AfAsd

AffP

2,885,0 '

un PP ø = 0,75

donde:

ds : ø hélice.

spA : Área varilla helicoidal.

s : Paso hélice.

ccA : Área del núcleo de hormigón.

Acero

Δ

P

Zunchos H + A

Hormigón

P

b

a

Sup: a = 30

b = 20

Ast = 10 cm2

fc’ = 200

Resist. Horm. = stc Aabf '85,0

Estribos

Simples


Página 27

Cuantía Mínima para columnas Zunchadas (con hélice):

145,0

'

c

g

y

c

A

A

f

f

NOTA: Dimensiones Mínimas (Columnas Rectangulares)

ACI → 30 x 30 cm.

NCh → 20 x 20 cm

Ø hélice = ds

s


Página 28

y(x)

x

y

x

P

Pandeo

M=Py

EI

yP

dx

yd

2

2

0'' yEI

Py ;

EI

Pk 2

kxCosBkxSenAy

000 By

00 kxSenALy , A0 ,...2,1,0 , nnkL

L

n

EI

P

2

L

nEIP

2

22

L

EInP mín

crít

2

22

L

EInP mín

crít

, n = 1

A

Ii mínmín

22

2

22

iL

EA

L

iEAPE

Def.:

i

L

2

2

EE

donde :

=1 =0,5 =2 =0,7


Página 29

Falta aún considerar el fenómeno de pandeo, debido al cual se debe afectar las cargas por

un coeficiente mayor que 1. Se considera el efecto de pandeo multiplicando las cargas axiales por

el Coeficiente de Pandeo.

Coeficiente de Pandeo

PILARES ( ) y ZUNCHADOS ( )

SIMPLES ZUNCHADOS

Lp/b Lp/Dn

15 1,00 10 1,00

20 1,08 15 1,17

25 1,32 20 1,50

30 1,72 25 2,00

35 2,28 ------ ------

40 3,00 ------ ------

NOTA: VALORES INTERMEDIOS SE INTERPOLAN.

Pilares de sección rectangular con estribos simples en que 15bLp .

Pilares zunchados en que 10np DL .

En que: Lp: Longitud de pandeo = KL

Dn: Diámetro pilar.

b: Ancho pilar.

En pilares con sección diferente a la rectangular y con estribos simples se calcula primero

la esbeltez a la que corresponde de la tabla siguiente:

i

Lp

b

mín

A

Ii

= Lp/i

50 1,00

70 1,08

85 1,32

105 1,72

120 2,28

140 3,00


Página 30

Flexión Simple

1-. Sección Rectangular con Refuerzo en Tracción

ca 1

'

1

2''

2'

1

; 65,0

300 ; 3000008,085,0

300 ; 85,0

c

cc

c

fcm

Kgff

cmKg

f

a) 0F T = C con ss fAT

bafC c '85,0

baffA css '85,0

i) Falla Dúctil: ys ; 003,0c

ys ff baffA cys '85,0

bf

fAa

c

ys

'85,0

b) 0M

2

adTM n

bf

fAdfAM

c

ys

ysn '59,0

Definimos: db

As

(Cuantía) y

'

c

y

f

f

entonces queda:

h

b

As

d

c

s

r = 0,003 0,85fc’

fs

C

T

Mn


Página 31

59,01'2

cn fdbM

ii) Falla Balanceada:

003,0c

ys ; s

y

yE

f

s

sy

E

Eccfd

003,0

003,0 c

E

Efd

s

sy

003,0

003,0

cEfb

EA

db

A

sy

sss

b

003,0

003,0

pero y

c

y

cs

f

bcf

f

bafA

1

'' 85,085,0

sy

s

y

cb

Ef

E

f

f

003,0

003,085,0 1

'

iii) Falla Frágil: 003,0c ; ys

Error!

s = y

c

c =0,003

d

cdc

sc

s

y

yE

cfccd

003,0

s

y

E

cfcd

003,0003,0

C

c = 0,003

s < y

cdccdc

s

003,0

003,0

s


Página 32

sss Ef →

ss Ec

cdf

003,0

como a = β1·c:

a

Eadf s

s 1003,0

bafC c '85,0

ss Ea

adAT

1003,0

285,0

2

' adbaf

adCM cn

La cuantía de acero en tracción en elementos sujetos a flexión se limita de manera de

asegurar una falla dúctil. Se utiliza la cuantía de balance como límite de diseño.

Si o < b Falla del acero por tracción (Falla Dúctil).

Si o = b Falla balanceada.

Si o > b Falla por compresión del Hormigón (Falla Frágil). No es

conveniente.

Metodología de Diseño

Es siempre conveniente que la falla que se produzca sea del tipo dúctil y no frágil, por lo

que el diseño se realiza para conseguir una falla dúctil. Para esto se debe cumplir:

Mu ≤ Mn Mu = Momento último mayorado.

59,01'2 cu fdbM (); = 0,9 (: Factor de Seguridad)

Además hay que imponer la condición de armadura máxima para asegurar la falla dúctil:

balmáx 75,0 para Diseño No Sísmico.

025,0máx para Diseño Sísmico.

Armadura Mínima:

yf

14min y

'

'

min4 c

c

f

f


Página 33

Desarrollando la ecuación (*) se llega a:

2

'2

'' 89,185,085,0

y

cu

y

c

y

cs

f

fbM

f

dbf

f

dbfA

2-. Sección Rectangular con Refuerzo a la Compresión

El diseño a la flexión de secciones rectangulares con armadura a la compresión se realiza

mediante un proceso de tanteo. Inicialmente se supone que el refuerzo de tracción y el de

compresión han llegado a la tensión de fluencia y luego se modifican los resultados si se

encuentra que parte o todo el refuerzo no está en tal condición.

Ecuaciones de Diseño

Partiendo de la hipótesis inicial de que todo el acero está en fluencia:

bafC cc '85,0

yss fAC '

ys fAT

Equilibrio Cc + Cs= T

ysysc fAfAbaf ''85,0

bf

fAAa

c

yss

'

'

85,0

d’

h

b

d

c a

T

'

sA

sA

s

003,0c '85,0 cf

'

sf

sC

oC dy


Página 34

Relaciones de Proporción de Deformaciones (Verificación de que las armaduras entran en

tracción y compresión están en fluencia)

cdc

s 003,0'

'

s

y

sE

f

a

da

c

dc

'

1

'' 003,0003,0

ccd

s 003,0

s

y

sE

f

a

ad

c

cd

1003,0003,0

ca 1 1

ac

Si ambas desigualdades se cumplen, significa que las suposiciones iniciales han sido

correctas y por lo tanto el momento nominal se puede escribir como:

'''

285,0 ddfA

adbafM yscn

En caso que las desigualdades anteriores no se cumplan, es necesario recalcular el valor

de a a partir de las tensiones reales del acero.

bf

fAfAa

c

ssss

'

''

85,0

ssss Ea

daEf

'

1'' 003,0

ssss Ea

adEf

1003,0

'''

285,0 ddfA

adbafM yscn

Situación de Balance: ys

dfff

a syb

c

b

''

'85,0

1

'

s

sf

sE

yf

'

sf

sy Ef


Página 35

ys

syb

fE

dECa

003,0

003,0 (Por geometría)

y

s

ys

s

y

cb

f

f

fE

E

f

f '

1

'

003,0

003,085,0

Si suponemos ys ff '

dfff

a syb

c

b

''

'85,0

1

ACI: b

'' 75,0

con

'

'

1

'

6300

630085,0

yy

c

bff

f ( b de vigas simplemente armadas)

Las vigas doblemente armadas también pueden fallar por tracción del acero o compresión

del hormigón. En ambos casos de falla, el acero en compresión puede o no haber alcanzado la

fluencia.

Metodología de Diseño

Si el acero de tracción y de compresión se encuentran en fluencia, se diseñará con las

siguientes expresiones:

ys ff

ys ff '

bf

fAAa

c

yss

'

'

85,0

'''

285,0 ddfA

adbafMM yscnu ó bien

'''

2ddfAf

adAAM ysyssu

Si el acero de compresión no ha alcanzado la fluencia, se puede encontrar el esfuerzo en

él en términos de a. Luego, como '

sf no está en fluencia, en las ecuaciones se reemplaza yf por

'

sf .

bf

fAfAa

c

ssys

'

''

85,0


Página 36

yssssysss

C

cu fAAfAfAddfAa

dbafM

c

'''''''

285,0

ó bien

''''

2ddfAf

adAAM ssyssu

Las ecuaciones anteriores suponen que el acero a tracción está en fluencia, lo cual es

esencial para evitar la falla frágil.

Requisitos Adicionales

Especificaciones de Resistencias Mínimas:

- En el caso de unión (Viga – Pilar), la resistencia para momentos positivos no debe ser menor

que la mitad de la resistencia para momentos negativos en esa cara:

APOYOAPOYO MM )()( 5,0

- En cualquier sección a lo largo del elemento, la resistencia tanto para el momento positivo

como para el momento negativo no debe ser menor que un cuarto de la resistencia para el

momento máximo proporcionado en la cara de la unión:

APOYOMÁX

TRAMO

TRAMOM

M

M

25,0

)(

)(

Otro Procedimiento de Diseño (Vigas Doblemente Armadas)

1-. Se elige una sección.

2-. Se elige una cuantía de refuerzo a tracción: b b 75,0

3-. Se determina el momento nominal de la sección simplemente armada con:

'

2 59,01c

y

ynf

fdbfM ;

u

reqn

MM

Si reqnn MM , no es necesario agregar más acero.

4-. La diferencia de momentos nreqn MMM se toma agregando acero tal que el par de

fuerzas equilibren a la deferencia de momentos


Página 37

ss AA ' adicionales

y

nreqn

adicsfdd

MMA

'.

5-. Debe verificarse: dbf

AAy

adicss 14

.

Armaduras de Corte

Analogía con la Celosía

TCosCCosT

SenCSenT

i

i

45

CosSen

TTi

ys fA '

ys fA

'dd M

Armaduras de Construcción

Líneas de Compresión

Barras Inclinadas

Armaduras de Tracción

Bielas de Compresión en el Hormigón.

Se suponen a 45º

Ti C

45º T T+T


Página 38

sb

T

sbT

CosSen

sbTi

Si son estribos, = 90º 1 CosSen

db

Q

CosSend

sQTi

yvi fAT (Av: Área armadura inclinada)

CosSendf

Q

s

A

y

v

df

V

s

A

y

sv

Q = Vs

NOTA:

El área del estribo es 2A

Ej.: Suponer que se usa 8

4

8,0 2

8 A 4

8,02

2

vA

T T + T

s

b

d

A

A


Página 39

Diseño de Elementos Sometidos a Esfuerzos de Corte por Flexión

Hipótesis Básicas

1-. El corte será resistido mayoritariamente por los refuerzos transversales.

2-. Se conoce perfectamente la curva tensión – deformación del Hormigón.

3-. Se conoce perfectamente la curva tensión – deformación del Acero.

- Se desechará el uso de barras longitudinales dobladas para ayudar a soportar esfuerzos de

corte. Solamente se diseñarán estribos perpendiculares a la armadura longitudinal.

- El diseño de secciones transversales sometidas a corte se debe basar en:

Vu Vn si se realiza análisis estático.

Ve Vn si se realiza análisis sísmico.

Ve: Fuerza de corte obtenida considerando que los extremos de la viga entraron en la

fase plástica. No proviene de equilibrio de fuerzas.

Vu: Fuerza de corte entregado por el análisis estructural estático.

Vn: Resistencia nominal al corte: scn VVV

Vc: Resistencia nominal al corte resistido por el Hormigón.

Vs: Resistencia nominal al corte resistida por el Acero.

Representación de la Distribución del Esfuerzo de Corte

a lo largo de un elemento en Flexión

Vs: Corte soportado por el Acero transversal.

Vc: Corte soportado por la sección de Hormigón.

Vs

Vc

Vc

Vn

Vs

Vc

Vc

Vn


Página 40

Vigas

Corte por Flexión: es resistido por el Hormigón y por las armaduras transversales.

La fuerza de corte solicitante en Diseño Sísmico no se obtiene del análisis de esfuerzos,

sino que de la suposición de que los extremos de las vigas entran en la Fase Plástica. De esta

manera se conoce el máximo esfuerzo de corte sísmico que es capaz de producirse en la viga. En

base a esto se realiza un Diseño por Capacidad, protegiéndose contra la falla por corte..

El corte solicitante Ve se obtiene calculando los Momentos Plásticos (Mp) en los extremos

de la viga, a partir de la armadura longitudinal ya diseñada, con = 1 y suponiendo una tensión

de fluencia del acero 1,25 veces mayor que la real, es decir:

'

'2

25,1

59,011

c

y

cp

f

f

fdbM

Sección sin armadura a la compresión

ACI (Apéndice 21)

Puntos en que se calcula el Esfuerzo de Corte

El Esfuerzo de Corte se debe calcular en los puntos 1, 2, 3 y 4.

Ci: ½ ancho columna.

D: altura de la viga.

Eje Columna Eje Columna

1 2 3 4

Ci Ci 2d 2d

Zona de

Rótula

Plástica

Zona de

Rótula

Plástica

Ve Ve2d


Página 41

Determinación del Esfuerzo de Corte Solicitante

El esfuerzo de corte solicitante Ve NO SE OBTIENE DEL ANÁLISIS.

El esfuerzo de corte Ve se obtiene de suponer que los extremos de las vigas entraron en la

fase plástica.

Máximo esfuerzo de Corte Sísmico Diseño por Capacidad

Protección contra la falla por corte

Procedimiento

Sismo hacia la izquierda ()

Sismo hacia la derecha ()

LqL

MMV k

pp

5,0

21

1 LqL

MMV k

pp

5,0

'

2

'

1'

1

LqL

MMV k

pp

5,0

21

2 LqL

MMV k

pp

5,0

'

2

'

1'

2

Eje Col. Eje Col.

Eje Col. Eje Col.

V1 V2

Mp1 Mp2

L

qk = q2, q3, ..

qk = q2, q3, ..

L

Mp1’

Mp2’

V1’ V2’

Mp1 Mp2

Mp2’

Mp1’

V1

V2 V1’ V2’


Página 42

NOTA:

Las Combinaciones de Carga qk corresponden siempre a las Combinaciones de Carga con

Sismo que entrega la NCh 433.Of.96

Para cada combinación de carga (con sismo), se calcula V1, V2 (con + y – sismo)

22113

22112

,,,

,,,

VVVVq

VVVVq 21 , VVmáxVe

Para el caso más exigente (Ve), se calcula el esfuerzo de corte en la cara VCc y en la cara

VC2d.

Tomar las armaduras longitudinales de la viga

Calcular con estas los Mp (determinados con = 1 y con yy ff 25,1' )

Corte por Flexión

Armadura de Tracción (Flexión)

Armadura de Corte

(Vertical e Inclinada)

Círculo de Mohr

máx

(x,xy)

máx

xy

xy

xy

yx

yx

y 0

y 0

x x

2


Página 43

El Hormigón se rompería con T en un plano inclinado. Hay que coser la grieta colocando

armaduras verticales (estribos) o inclinadas, o ambas.

El Hormigón no resiste la tracción inclinada que se produce, y tiene inclinación variable

(Tensión Diagonal).

Diseño de Secciones Rectangulares y No Rectangulares sometidas a Corte

Se considerará que un elemento está sometido a corte sin influencia del corte producido

por torsión si:

yxfT cu

2'13,0

Tu: Momento Torsor máximo a que estará sometido el elemento.

x: Dimensión menor de la sección.

y: Dimensión mayor de la sección.

: Factor de minoración de la resistencia, para corte y torsión ( = 0,85)

Ej: Sección No Rectangular

c

c

y

y

x

y

y1

x1

y2

x2


Página 44

1-. Resistencia suministrada por el Hormigón

dbM

dVfV

p

eocc

1765,0 '

se debe cumplir la condición de:

dbfV cc '53,0 Kg

p

e

M

dV ó

u

u

M

dV 1 según corresponda

Vc : Resistencia Nominal al Corte proporcionada por el Hormigón.

Ve : Corte Máximo a que está sometida la viga, una vez que se ha plastificado el

elemento.

Vs : Resistencia Nominal proporcionada por la armadura transversal de refuerzo

al corte.

Vu : Fuerza de Corte Último obtenida del análisis.

2-. Resistencia suministrada por la Armadura Transversal

a) Armadura Mínima

En el caso de que Ve < 1/2Vc, en rigor no se debe disponer de armadura de

corte, pero considerando la seguridad de la estructura, se impone que la armadura

transversal sea igual a la mínima, con el fin de confinar el Hormigón y asegurar una falla

dúctil.

Si

ce VV 2

1 y ce VV

ARMADURA MÍNIMA y

vf

sbA

5,3

s : Separación entre estribos.

- Cuando yxfT cu

2'13,0 , el cálculo dispone el uso de armadura mínima de

corte, ésta será:


Página 45

y

Tvf

sbAA

5,32

Av : Área de la armadura de corte (cm2)

AT : Área de la armadura de torsión (cm2)

b) Armadura de Corte (Av)

Resistencia al corte de la armadura transversal

s

dfAV

yv

s

i) Diseño dentro de la posible Rótula Plástica:

Con los Momentos Plásticos se determina Vec y se calcula el coeficiente :

inCombinacióporMayorado

pp

pp

CLqL

MML

MM

5,021

21

Si 0,5 y '05,0 cgu fAP

df

V

df

V

s

A

y

ec

y

sv

con = 0,85 y se desprecia la contribución del Hormigón.

Si < 0,5 ó '05,0 cgu fAP

c

ec

yy

sv VV

dfdf

V

s

A

85,0

1

no se desprecia la contribución del Hormigón.

'53,0 cc fdbV Kg

Para esta zona se tienen las siguientes limitaciones:


Página 46

*)

cm

dSmáx

304

**) dbfKgVdb cs '1,25,3

ii) Diseño fuera de la zona de Rótula Plástica:

Se determina deV 2 y no se desprecia la contribución del Hormigón:

c

de

y

v VV

dfs

A

85,0

1 2

'53,0 cc fdbV

Limitaciones para esta zona:

*)

cm

dSmáx

304 si dbfV cs '1,1

**)

cm

dSmáx

602 si dbfV cs '1,1

En todas las secciones de la viga la armadura de corte no puede ser menor que la

mínima:

ymín

v

f

b

s

A

5,3

3-. Resistencia conjunta del Hormigón y la Armadura de Corte

scn VVV

Vn : Resistencia conjunta nominal.

Debe cumplirse:

ne VV


Página 47

Condiciones básicas que se deben cumplir en el diseño al corte:

- Se debe verificar que la resistencia a la fluencia de cálculo de la armadura utilizada

para absorber el corte no exceda los 4000 2cmKg

24000 cmKgf y

- Se debe cumplir que la resistencia soportada por la armadura transversal Vs, no sea

mayor que:

dbfV cs '1,2

Torsión Pura y con Esfuerzo de Corte

La Torsión Pura es poco frecuente. Generalmente se presenta junto a flexión, corte y

axial.

Torsión en elementos de H.A.

En general las secciones son rectangulares.

máx se produce en el extremo más cercano al C.G.

x < y

yxd

M

e

Tmáx 2

Comportamiento Elástico:

xy

1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 5,0

de 0,208 0,219 0,231 0,246 0,256 0,267 0,290 31

Para Comportamiento Inelástico dp tiene valores algo superiores:

xy 1,0

dp 31 21

Teoría de la Elasticidad.

Analogía de la Membrana.

x

y

máx

MT


Página 48

El ACI ha adoptado 3

1d

yx

M tmáx 2

3

Falla a 45º, si la pieza sólo cuenta con Hormigón.

º45CosMT Tb

yx

M

xCos

y

CosM

W

Tf TTb

Tb 22

3

º456

1

º45

La condición será: RTb ff

Tn Capacidad torsional nominal de la sección = Rfyx

3

2

con '5,7 cR ff

máx máx

1=máx

45º

La falla se produce como flexión en torno

al eje a - a

45º

Zona

Traccionada

Zona

Comprimida

a

a

x

y

45º

MT

Tb

TT

45º

MT

Tb

TT


Página 49

El ACI uso un coeficiente de reducción del 15% con lo que se obtiene:

35,785,0

2' yx

fT cnc

yxfT cnc

2'2 en p.s.i.

TAREA:

Revisar yxfT cnu

2'87,6 en m.k.s.

Efecto de la armadura longitudinal aumenta la resistencia a la torsión en 15%

Para un elemento adecuadamente armado, la figuración comienza cuando MT Tnc en

forma de espirales. La resistencia baja aproximadamente a la mitad, pero empieza a actuar la

armadura.

en que: yxfTT cncc

2'8,04,0 p.s.i.

Contribución del Refuerzo

T

TN

TCR

TS

TC

(1ª fisura)

TCR TNC (Hormigón sin armar)

TN = TC + TS

45º

P R

Sn

Sn

s

T

x1

y1

s

ynv

1 de piezas que cruzan el

plano de falla

s

gxnH

cot1 de piezas

horizontales que

cruzan el plano de

falla en la parte

superior o inferior


Página 50

Ensayos demostraron que en el momento de falla las barras verticales fallaron por

fluencia, en cambio las horizontales no.

yT

HSHHHSH fAyx

s

KyfACotg

s

xysnT 1111

11

TSH : Momento torsor que producen las fuerzas horizontales.

y1 : Brazo de palanca entre la fuerza de abajo y de arriba.

AT : Área de una barra del estribo.

Cotgf

fK

y

SH

H

Si xv = distancia entre la resultante de la cabeza de compresión R

y las barras verticales

de los estribos:

s

fAyxKxKfA

s

yxsnT

yTv

vyTvvvsv

11

11

en que: 1xKx vv

El torque final debido a los estribos será:

yTvHsvSHS fAs

yxKKTTT

11

Si vHT KK yTTs fAs

yxT

11

En elementos que tienen igual volumen de refuerzo longitudinal y transversal se

comprobó experimentalmente que:

5,133,066,01

1 x

yT

Finalmente:

yTTcN fAs

yxyxfT

112'8,0

Condición de igualdad de volúmenes de armaduras longitudinales y transversales:

211 yxAsA T


Página 51

11

2yx

s

AA T

A : Área total de refuerzo longitudinal.

TA : Área de una barra del refuerzo transversal.

Para que los estribos verticales fluyan antes de fallar el hormigón en compresión, el ACI

recomienda:

cs TT 4 Comportamiento Dúctil

- Interacción Torsión y Corte en Hormigón sin armar

NT y NV : Valores nominales últimos de torque y corte actuando simultáneamente.

NOT y NOV : Valores nominales últimos de la sección, actuando cada efecto por

separado.

22

1

N

N

NO

NO

NON

V

T

T

V

VV

dbfV

yxfT

cNO

cNO

'

2'

2

2 en p.s.i.

2

'

1

2

N

N

T

c

N

V

TC

dbfV

1

TN/TNO

VN/VNO

1


Página 52

yx

dbCT 2

U

U

N

N

V

T

V

T

Si UN VV OK

- Interacción de torsión y esfuerzo de corte en elementos armados

SCN

SCN

VVV

TTT

...

8,0

2

2'

'

ispyxfT

dbfV

cNO

cNO

2

2'

41

8,0

c

c

r

c

c

T

V

C

yxfT en p.s.i

2

2'

41

8,0

U

U

r

c

c

T

V

C

yxfT

Una vez determinado Tc, se toma el exceso de torque con TS

yTTS fA

s

yxT 11 ,

determinando una armadura que deberá ser adicionada a la determinada por flexión y corte.

Como se eligió U

U

C

C

T

V

T

V , el valor de VC quedará dado por

U

UCC

T

VTV

La armadura de corte se determinará con CUS VVV en los casos en que el ACI permite

considerar el aporte del hormigón al corte.

1

1

U

U

T

V

TorsiónQ TT AA

AS (Flexión)

Al (Torsión)


Página 53

- Rigidez torsional de secciones rectangulares y secciones T. L, ┌┐, I

L

CaTTorsionalRigidezkT

Sección Circular : 32

4dIC p

Sección Rectangular : yxC 3

xy

1,5 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4 5

0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291

Secciones T. L, ┌┐, I abiertas:

yxC 3

3

1

Secciones más complejas:

i

i

CG

LT

CG

LT

T

yx

yx

TC

CT

i

ii

iii

i

2

3

3

13

1

ii

xi

ii

imáx

yx

T

yx

T

32

3

1

3

para secciones compuestas:

3

1333,0

y1

y2

x2

x1

x

y

x

y

3

1


Página 54

Elemento Solo : yxfT cN

2'2

Elemento Armado : yxfT cc

2'8,0

yx

bdCT 2

TORSIÓN PURA


Página 55

Flexo-Compresión

ó

M

P = 0

Pb > P1 > 0

P1 = Pb

P2 > Pb

creciente

Mu

Mu

y u

P M

C

T

M P

Compresión

Pura

Momento

Puro

P = C - T


Página 56

Pb = P de balance (Acero fluye (y) y u = 3 º/oo)

Ductilidad: y

u

Falla por compresión secundaria:

- Tracción centrada y poca excentricidad.

- Flexión y solicitación axial con total aprovechamiento del alargamiento máximo

autorizado del refuerzo de acero.

- Flexión y solicitación axial con total aprovechamiento de la capacidad resistente de la

cabeza de compresión.

- Falla Balanceada (ACI)

- Flexión y solicitación axial con total aprovechamiento de la cabeza de compresión, pero

sin que el refuerzo alcance la fluencia FALLA FRÁGIL POR COMPRESIÓN

PRIMARIA.

- Compresión pura o con poca excentricidad.

Resistencia Última

Comportamiento

Cs + Cc + Ts em

N M

N

Cs

Cc

Ts

N

Mem

Pn

B’

Cs

Cc

Ts

0,85fc’

a

(d-c)

fs

c

fs’

d’

B’ = em + (d-c)

Pn

M

Pn

B’


Página 57

sssscn fAfAbafP '''85,0

''''

285,0 ddfA

adbafP sscn

En general, el acero a compresión de las columnas cargadas excéntricamente hasta la

carga última alcanza la resistencia de fluencia, excepto cuando:

- El nivel de carga es bajo.

- Se usa acero de alta resistencia.

- Se usan columnas pequeñas de manera que d’ es relativamente grande.

En general, se supone inicialmente ys ff ' para luego comprobar dicha hipótesis.

yss fAC '

ssyscn fAfAbafP ''85,0

'''

285,0 ddfA

adbafP yscn

La excentricidad de la carga determina 2 tipos clásicos de falla:

a) Rotura Dúctil: La falla del hormigón se produce una vez que As ha alcanzado fy (Falla por

compresión secundaria del hormigón).

b) Rotura Frágil: La cabeza de compresión del hormigón falla antes que As alcance fy (Falla

por compresión primaria del hormigón)

b.1-. Excentricidad pequeña: el acero se encuentra traccionado, pero con y < u

b.2-. Excentricidad muy pequeña: el acero se encuentra en compresión (Ts < 0)

El límite entre la falla dúctil y la falla frágil está dado por la condición de balance (s=y,

c = u = 0,003)


Página 58

Centroide Plástico

Es el punto de la sección donde al aplicar una carga de compresión, las deformaciones son

iguales en todos los puntos de la sección.

Ecuaciones de Diseño: (Columna armada simétricamente: As = As’)

syscu ffAbafP '85,0

''' 5,085,0 ddfAadbafBP yscu

'''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM ssyscu

Falla Balanceada ys ff

dfE

Ea

ys

s

b

1

003,0

003,0

Si se sustituye ba en las ecuaciones de diseño, y con ys ff , se obtiene Pb y PbBb’.

Luego se puede determinar el tipo de falla. Además se debe verificar ys ff ' . Para tal efecto se

usa:

s

y

sE

f

a

da

'

1' 003,0

Si As = As’ (diseño simétrico), el

centroide plástico coincide con el

centro de gravedad de la sección.

d’’

As As’

d

b

d’

fy fy’

Pu

Asfy 0,85fc’

As’fy

hbffAAP cyssu '' 85,0

P

Me

Se conoce el centriode

plástico


Página 59

Si se encuentra que la deformación del acero en compresión es menor que la deformación

de fluencia, s

y

sE

f' , se debe usar '

sf como:

ssss E

a

daEf

'

1'' 003,0

y sustituir '

sf en lugar de yf en las ecuaciones de diseño.

Si '

ss AA :

'''

2d

hd

uP

Me

a) Falla por tracción del acero:

Si bu PP se produce falla por tracción del acero, con lo que ys ff . Se despeja a de la

ecuación de Pu, y se determina As con la ecuación de momento último.

bf

Pa

c

u

'85,0

'

'' 5,085,0

ddf

addbaMA

y

us

Posteriormente se debe verificar ys ff ' , de lo contrario, calcular '

sf y resolver el

sistema en forma iterativa (En la ecuación de Mu, cambiar yf por '

sf )

b) Falla por compresión del hormigón:

Si bu PP , se produce una falla por compresión del hormigón antes que el acero fluya,

por lo tanto ys ff . Se debe calcular nuevamente sf :

fy

fs’

Es

ξs

s

y

yE

f

fy


Página 60

ssss E

a

adEf

1003,0

sss EaEdfa 003,0003,0 1

sss EdEafa 1003,0003,0

ss

s

Ef

Eda

003,0

003,0 1

Se sustituye este valor en las ecuaciones en las ecuaciones de diseño y se resuelve por

iteraciones, encontrando a y As. Luego se debe verificar ys ff ' ; de lo contrario, calcular '

sf y

resolver nuevamente por iteraciones.

DIAGRAMA DE INTERACCIÓN PARA UNA SECCIÓN DE COLUMNA DE HORMIGÓN CARGADA

EXCÉNTRICAMENTE Y DISEÑADA CON As

Pu

Pb Pb

Mb

Falla Flexo - Tracción

Falla por compresión del hormigón

Pu > Pb

Mu

Falla por tracción del acero

CO

MP

RE

SIÓ

N

TR

AC

CIÓ

N

Pu < Pb


Página 61

Metodología para el Diseño Sísmico de Columnas

Si se efectúa el análisis sísmico mediante algún método estático, los signos de los

esfuerzos resultantes son consistentes entre sí, y por lo tanto el diseño para este caso se realiza

con las cargas axiales máxima y mínima, y con el momento máximo obtenido de la envolvente de

esfuerzos.

En cambio, si se efectúa el análisis sísmico mediante análisis dinámico por S.M.E., los

resultados son siempre positivos, pues se realizan suposiciones del os máximos efectos.

En este caso se diseña con la carga axial máxima y con la carga axial mínima, y con el

módulo del momento máximo obtenido de las combinaciones de carga.

1er. Diseño: Máx 32 , uu MM ; Máx 32 , uu PP

2do. Diseño: Máx 32 , uu MM ; Mín 32 , uu PP

3er. Diseño: Máx 54 , uu MM ; Máx 54 , uu PP

4to. Diseño: Máx 54 , uu MM ; Mín 54 , uu PP

5to. Diseño: 11 , uu PM

En que 521 ,, , uuu MMM , 51 ,, uu PP , corresponden a los esfuerzos obtenidos de las

combinaciones de carga.

Factor de Reducción

7,01,0

2,09,0

'

gc

u

Af

P si gcb AfP '1,0

7,07,0

2,09,0

b

u

P

P si gcb AfP '1,0

ys

scb

fE

EdbfP

003,0

003,085,0 '2

De estos diseños se elige el que dé la cuantía de acero mayor.

Se debe verificar además, que la columna resista la compresión pura:

Se verifica la capacidad axial de la columna con = 0,7 y suponiendo la cuantía de acero

máxima:

06,0o ó 025,0o según corresponda


Página 62

máxnmáxu PP

''

85,006,085,08,0 cygcmáxu ffdbAfP

ACI 318- especifica que para componentes no pretensazos, no se debe tomar la

resistencia de carga axial de cálculo nP mayor que 0,8 de la carga axial de cálculo con una

excentricidad oP igual a cero.

Metodología de cálculo de momentos plásticos en columnas sometidas a flexo –

compresión

Mp se determina para la columna ya diseñada. Ahora el área de acero no es la incógnita,

sino el momento que resiste la columna con dicho acero para los diferentes niveles de carga axial

que resulten de las diferentes combinaciones de carga.

Se debe analizar el caso en que bu PP y bu PP .

a) Si Pu ≤ Pb:

El acero de tracción alcanza la fluencia ys ff , y el de compresión puede o no haberla

alcanzado.

Para calcular el momento plástico se emplea la carga axial última dividida por el REAL,

ya que de esta manera se está mayorando la carga y al moverse a través de la curva de interacción

se obtienen momentos plásticos mayores.

P

Pb

Pu > Pb

M2 Mb M1

Pu < Pb

M

M2 < M1. En este caso falla con

M2 y Pu >Pb

Pu

Pu

Pu /

Mp Mp Mb Mu

= 1

= Real (Función de Pu)


Página 63

i) Si el acero en compresión alcanza la fluencia, ys ff '

bf

P

ac

REAL

u

¡85,0

y con yss fff ' se determina de la ecuación de M con = 1 el momento plástico Mp:

'''' 5,085,0 ddfAaddbafM yscp

ii) Si el acero en compresión no alcanza la fluencia ys ff '

a

Edaf s

s

1' 003,0

y, reemplazando este valor en la ecuación para Pu:

ssscu ffAbafP '?85,0

y con Pu / se tiene:

0003,0003,085,0 '

1

2'

sssy

u

ssc EAdaAfP

EAbaf

Despejando a de esta ecuación, y calculando '

sf , se puede obtener, de la ecuación de

momentos, el momento plástico, haciendo = 1.

'''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM yssscp

b) Si Pu > Pb:

En este caso ys ff y '

sf puede o no haber alcanzado yf .

Para calcular el momento plástico se utiliza Pu / con = 1, pues cuando Pu > Pb, con

cargas axiales mayores se obtienen momentos plásticos menores.

i) Si ys ff '

a

Eadf s

s

1003,0

y:


Página 64

0003,0003,085,0 1

2' ssssuysc EAdaEAPfAbaf

De aquí se despeja a, se calcula fs, y se obtiene Mp con = 1.

'''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM ssyscp

ii) Si ys ff ' :

a

Eadf s

s

1003,0

a

Edaf s

s

1' 003,0

y:

0003,0006,085,0 '

1

2' ddEAaPEAbaf ssussc

despejando a se calcula Mp con = 1:

''''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM sssscp

NOTA:

Diseñar por capacidad considerando recomendaciones del ACI Columna fuerte – Viga

débil

Determinación de la esbeltez de la columna (), y del factor de modificación de los

momentos por efecto de esbeltez ()

El diseño a flexo – compresión debe efectuarse con Pu y uM , en que es un factor que

modifica el momento que actúa sobre la columna por efecto de ser ésta esbelta.

Si es mayor que los valores definidos de Esbeltez Límite:

c

u

M

P

P

C

1


Página 65

Esbeltez Límite:

2

1 1234M

M

r

LK u

COLUMNAS ARRIOTRADAS

22

r

LK u COLUMNAS NO ARRIOSTRADAS

br 288,0

Si la columna es arriostrada : 04,06,02

1 M

MCM (M1 < M2)

Si la columna es no arriostrada : 1MC

= Factor de reducción por capacidad (0,7 a 0,9)

2

2

u

cLK

EIP

Columna:

d

gc IEEI

1

1

5,2 ó

d

ss

gcIE

IEEI

1

1

5

Viga 1

Viga 2

AS1

AS2

Lu

LN2 LN1


Página 66

'5000 cc fE (MPa)

5,4,3,2.

7,14,1

CombM

SCPPM

SCPPLateralesFuerzasiónParticipac

SCyPPiónParticipac

mayor

mayor

d

12

3hb

TotalÁreaInerciaI g

Determinación de K:

NV

Uc

ALIE

LIE

1

NV

Uc

BLIE

LIE

2

12

3hbI c

LN : Luz libre de la viga (De eje a eje).

IV1 : Inercia de la sección agrietada de la viga = 23

3

1cd

E

EAcb

c

ss

ac 85,0 bf

Afa

c

sy

'85,0

Con estos valores se ingresa al ábaco (Tabla 34 ó 35) según corresponda (Arriostrado o

No Arriostrado).

Metodología:

1-. Determinación de IV1, IV2, Ic.

2-. Determinación de K.

3-. Cálculo de Pc:

d : MU1, MU2, …

EI

Pc

4-. Determinación de CM

5-. Cálculo de Diseño a Flexo – Compresión (PU, MU)


Página 67

NOTA: GA = A, etc.


Página 68

Requisitos Adicionales en Flexo – Compresión

Criterio Columna Fuerte – Viga Débil

Promueve la formación de rótulas plásticas en las vigas, logrando con esto:

1) Buscar un mecanismo de falla total, es decir, un mayor número de puntos de absorción

de energía.

2) Mantener las columnas sanas, concentrando la destrucción en las vigas, dado que la

reparación de éstas es más simple que la de las columnas.

3) Aprovechar la capacidad de absorción de energía de las vigas ya que son dúctiles. El

esfuerzo axial de compresión disminuye la ductilidad de las columnas.

Para cumplir este criterio se debe satisfacer la ecuación siguiente:

ge MM5

6

eM : Suma de los momentos en el centro de la unión que corresponde a la

resistencia de cálculo a la flexión de las columnas que forman el marco con

esa unión. La resistencia a flexión de esa columna debe calcularse

considerando la fuerza axial mayorada, concordante con la dirección de las

fuerzas sísmicas consideradas que producen una menor resistencia a la flexión.

Para obtener Se Me debe tomar el Pu de la combinación de cargas que dé el

menor momento Me, es decir, con la columna diseñada con las combinaciones

de carga especificadas por la norma de diseño. es el correspondiente al Pu

que se está considerando o perpendicular, según sea lo más desfavorable.

gM : Suma de los momentos en el centro de la unión que corresponde a las

resistencias a la flexión de cálculo de las vigas que forman marco con la unión.

El cálculo de Mg se realiza con = 0,9

Si la unión no satisface esta condición, se debe proporcionar a las columnas armaduras

transversales de confinamiento en toda su altura.


Página 69

El cálculo de gM y eM debe ser consistente con las armaduras que trabajan en la

dirección del sismo.

En todos los casos debe cumplirse: ge MM5

6

Pu

Pu ( = 1) Pu1

Pu2

Pu3

Pu4

Pu5

Mp

Pu / ( = 0,9)

Mu

SISMO

Pu i

Me1

AS2 AS1

Mg2

Mg1

Me2

Mg2

AS2

Pu ii

SISMO

AS1

Mg1

Me2

Me1


Página 70

Diseño de secciones rectangulares sometidas a Flexo – Tracción

Ecuaciones de Diseño

yso fAP 2

2

adfAM yso

bf

fAdfAM

c

ys

yso '7,1

U

U

o

N

No

o

o

P

MM

P

MM

P

M

= 0,9

ooooUo PMPMPM

o

ooooU

P

PMPMM

o

U

oUP

PMM

ys

U

c

ys

ysUfA

P

bf

fAdfAM

27,1 '

Desarrollando la ecuación anterior se obtiene el siguiente algoritmo que se resuelve por

iteraciones:

bf

fAdf

P

bf

fAdM

A

c

ys

y

U

c

ys

U

s

'

'

7,1

27,1

As

As

d’

d

em

Pu

Mu = Pu em

OBS: Mu y Pu se ingresan

en valor absoluto


Página 71

Diseño de Muros

1-. Muros con dinteles de acoplamiento

2-. Muros sin dinteles de acoplamiento

Diseño a Flexo – compresión armadura vertical distribuida uniformemente y

armadura de borde.

Armadura de borde Se diseña el muro como una columna a flexo –

compresión, para UM y UP .

Carga axial sísmica.

Los dinteles desarrollan fuertes

esfuerzos de corte.

No se hace en Chile en la práctica.

No conviene porque es muy difícil

de armar los dinteles.

Losa

Carga axial sísmica es Nula

d - d’


Página 72

Armadura uniformemente distribuida

Siempre los muros están trabajando bajo el punto de balance: Ub PP

Si la armadura de borde resulta excesiva, hay que considerar la armadura distribuida

(pequeño programa computacional) trabajando en conjunto.

Diseño para el esfuerzo de corte

yHcccvnU ffAVV '

H : Esfuerzo horizontal.

UV : Esfuerzo de diseño.

'

cf , yf : 2cmKg

c : Coeficiente que depende de la esbeltez del muro.

cvA : Área de la sección recta horizontal de muro 2cm

Limitaciones:

1) '

65,2 ccv

máx

muroporU fAV 2cmKg

2) '

12,2 ccp

máx

direcciónunaenpisoundemuroslostodosdeU fAV

Acp : Suma de las secciones rectas de todos los muros.

c

0,795

0,530

1,5 2,0 w

w

l

h


Página 73

La determinación de la armadura horizontal debe efectuarse con todas las combinaciones

de carga.

0025,0mín

H

NOTA: Es por cada lado.

Nunca colocar menos de 8 @ 20

Armadura Vertical: También se necesita en muros bajos por el efecto de puntal en el que la

armadura contribuye en horizontal y vertical.

Hv si 2w

w

l

h

0025,0v si 5,2w

w

l

h

0025,05,220025,0

H

w

wv

l

h si 5,22

w

w

l

h

Discusión de :

ACI: Si no se puede garantizar la falla por flexión = 0,85 = 0,6

Vv : Esfuerzo de corte máximo asociado a la falla por esfuerzo de corte.

Vm : Esfuerzo de corte máximo asociado a la falla por flexión.

hw

lw


Página 74

Ejemplo: Muro en voladizo

h

M

h

MHV

U

NflexiónporfallaM

U

MurodelNporfallav

VVHV corte

Falla por corte cuando Vv < VM = 0,6

Falla por flexión cuando Vv > VM = 0,85

Suponer = 0,6 Calcular todo Comparar Si no da

Rehacer todo con = 0,85

Pero el muro no es un voladizo:

Estimar yHcccvV ffAV '

VM = función de PU (Considerar PU máximo si estamos bajo Pb. A medida que aumenta

MN aumenta VN comparar con VM máx)

U

u

NMM

VMV VU, MU provienen del análisis

MN : Fórmula aproximada.

Diseñar con = 0,6 Chequear si la falla es por corte o por flexión

si la falla es por flexión Rediseñar con = 0,85 comprobar

H

h

MN : Capacidad flexural en la base


Página 75

Fórmula aproximada para MN en muro:

'

cw

U

fhl

N

'

cw

ys

fhl

Aq

wlq

qc

185,02

2'

1 28085,0 cmKgf c

wys

UwysN

l

c

fA

NlfAM 115,0 NU > 0 Compres.

h : Espesor muro.

lw : Dimensión horizontal del muro.

As : Área total (distribuido) vertical.


Página 76

Elementos sometidos a Compresión Biaxial (Columnas de Esquina)

Esfuerzos axiales en Compresión Biaxial

N

My

Mx

x

y

ey

ex

N

My N

Mx

f.n.

T C máx

yx eNM

xy eNM


Página 77

Existen 5 posibilidades de ubicación de la Línea Neutra:

La solución exacta pasa por la pre-suposición de una línea neutra, en que ésta define el

área de la cabeza de compresión y las barras en tracción. Es una solución iterativa, por tanteos.

Método Aproximado (Bresler – Palmer)

Superficie de falla

Curvas de Interacción

PN

MNX

MNY


Página 78

Mox es el momento en X tal que MNY = 0, con PN

Moy es el momento en torno a Y con MNX = 0, con PN

0,1

oy

NY

ox

NX

M

M

M

M

log

5,0log

ox

NX

M

M ó

oy

y

e

e

1,0 A

B

C

1,0

45º

1-

1-

oy

NY

M

M ó

ox

x

e

e

0,11

oy

NY

ox

NX

M

M

M

M

0,11

ox

NX

oy

NY

M

M

M

M

oy

NY

M

M

1,0

1,0

ox

NX

M

M

= 0,5

= 0,9

:

0,55 …

0,85

Página 395 (Nawy)


Página 79

AB: ox

NX

oy

NY

M

M

M

M 0,1

1

oy

NY

ox

NX

M

M

M

M

BC: ox

NX

oy

NY

M

M

M

M 0,1

1

ox

NX

oy

NY

M

M

M

M

Para las secciones rectangulares que tienen refuerzo distribuido uniformemente en todas

las caras de la columna, la relación ox

oy

M

M se puede tomar en forma aproximada igual a

h

b

1-. Para h

b

M

M

NX

NY oyNXNY Mh

bMM

1

2-. Para h

b

M

M

NX

NY oxNYNX Mb

hMM

1

Procedimiento:

1. Calcular los momentos de flexión uniaxial suponiendo igual número de barras en cada cara de

la columna. Suponer 5,0 a 0,7. Suponer NY

NX

M

M

b

h

Calcular el momento uniaxial equivalente requerido Mox o Moy. Si MNX es mayor que MNY,

usar Mox para el diseño y viceversa.

2. Suponer h, b, = ’ = 0,01 a 0,02 en cada una de las dos caras paralelas al eje de flexión del

momento equivalente mayor.

Darse unas barras iniciales.

Verificar la capacidad PN de la columna definida (PN requerido = UP ; = 0,7).

En el diseño final se debe usar iguales barras en todas las caras de la columna.

3. Calcular el momento resistente nominal REAL MoxN, para el momento uniaxial equivalente

con respecto l eje X, cuando Moy = 0.

Este valor debe ser mayor o igual a la resistencia requerida de momento Mox.

4. Calcular la resistencia de momento nominal REAL MoyN cuando Mox = 0.

5. Encontrar MNY introduciendo el valor oxN

NX

M

M y , obtenido del gráfico.


Página 80

6. Realizar un segundo tanteo, incrementando el valor de supuesto, si el MNY que se obtuvo del

gráfico es menor que el MNY requerido.

Repetir hasta converger, cambiando o la sección.

7. Diseñar el refuerzo lateral y detallar la sección.

NOTA: Estudiar el ejemplo en pág. 395 Nawy.


Página 81

Losas de Hormigón Armado

Losa: elemento delgado estado plano de tensiones

Límite para análisis plano: 5

1a

h

5

1b

h

Además deberá cumplirse la hipótesis de deformaciones () pequeñas

5

1

h

máx

Clasificación de Losas

Según su forma: rectangular, cuadrada, circular, triangular.

Según sus apoyos: Apoyadas en su contorno, en voladizo, contínuas en una o más

direcciones.

Según tipos de apoyo:

Apoyos lineales Losas perimetrales.

Apoyos Puntuales Losas plnas.

Según cargas: Cargas puntuales.

Cargas uniformes peso propio + sc de uso [t/m3]; H = 2,5 [t/m3]

b

a

h

h << a

h << b


Página 82

Cargas Triangulares presiones se agua o suelos.

Presiones en paredes de silos.

Cargas lineales [t/m] descarga de tabiques.

Se incorpora al análisis como una carga equivalente de intensidad:

q tab = 0,27p [t/m2]

p: peso del tabique por unidad de longitud.

Estanques de Hormigón Armado


Página 83

1-. Introducción

Recomendaciones:

a) Este tipo de estructuras deben ser impermeables para prevenir filtraciones del líquido

almacenado y efectos nocivos sobre el medio ambiente.

b) Deben tener resistencia suficiente a los agentes agresivos que almacenan.

c) Deben proporcionar una superficie suave y bien formada para evitar obstáculos al

flujo.

2-. Diseño

Definición de las cargas de diseño:

a) Peso Propio: paredes del estanque, losa de fondo, losa superior, fundaciones, apoyos,

estructuras anexas.

Recomendación: 3

.. 5,2 mTAH

b) Cargas por efecto del líquido almacenado. Su magnitud depende del líquido y de la

profundidad máxima que alcance éste dentro del estanque (efectos hidrostáticos e

hidrodinámicos)

Pesos específicos de líquidos más corrientes

LIQUIDO = Kg/m3

Agua 1000

Agua de mar 1020 1030

Vino 950 1000

Alcohol 780 820

Bencina 800 890

Glicerina 1260 1270

Petróleo 780 950

Vinagre 950 1050

Creosota 1050 1070

RECORDAR: Lecha contiene azúcar carcome el hormigón.

c) Sobrecargas: sobrecargas de diseño de escaleras, salas de máquina, etc.

d) Sismo


Página 84

e) Viento Definidas en Normas correspondientes.

f) Nieve

g) Empuje de tierra (en estanques enterrados)

3-. Propiedades de los materiales

Propiedades que deben lograrse en un buen diseño:

a) Facilidad para almacenar eficientemente el líquido, lo que se logra con:

- Impermeabilidad del concreto (usar razones a/c bajas con curado lento y aditivos

especiales)

- Minimizar el ancho de grietas (adecuado diseño y espaciamiento de las juntas)

- Juntas de expansión y construcción deben sellarse.

b) Durabilidad: resistencia por la acción de agentes agresivos o por erosión de las

superficies interiores del estanque por efecto del flujo que se genere. Se puede evitar con un buen

enlucido interior. En otros casos habrá que disponer de una superficie protectora de un material

resistente al líquido almacenado.

Algunos de los líquidos más agresivos al hormigón son:

- Sulfato de aluminio amoniacal.

- Sulfato de aluminio.

- Cloro.

- Bisulfito de Sodio.

- Hidróxido de Sodio.

- Ácido Sulfúrico.

4-. Diseño estructural


Página 85

Métodos Exactos: para estanques cilíndricos en algunos casos se pueden

plantear soluciones prácticas exactas. Método de

Elementos Finitos.

Métodos Aproximados: en estanques rectangulares se utilizan soluciones

aproximadas.

Cuidar las fundaciones: por las dimensiones que pueden tener estas estructuras, se puede

llegar a comprometer suelos de diferentes características. Se deben diseñar fundaciones que

reduzcan los efectos de asentamientos diferenciales que normalmente son causa de agrietamiento.

Se debe verificar la compresibilidad del suelo, el espesor de los estratos y las variaciones

de carga debidas a llenado y vaciado del estanque. ACI recomienda pruebas de carga en

posiciones donde existan, a nivel de la estructura, concentraciones de fuerza y hacer al menos

cuatro pruebas de carga por cada 100 m2.

Fuera de estas precauciones se debe también cuidar las variaciones que experimente el

nivel de la napa, pues una napa alta puede ocasionar el levantamiento de la losa de fondo cuando

el estanque está vacío.

Buscar alguna solución que reduzca o bien elimine el efecto de variación de cota de napa:

i) Sistemas de tuberías que incorporen agua al estanque cuando la napa sobrepase una

cierta altura crítica.

ii) Deprimir la napa.

iii) Sistema de alarma que indique cuando se deben llenar los estanques.

5-. Recomendaciones básicas de diseño (ACI)

h


Página 86

- Muros de más de 3 m. de altura, espesor mínimo: e = 30 cm.

- Refuerzo principal con barras de diámetro pequeño ( 6% de e).

- Refuerzo secundario de temperatura y retracción será de diámetro = 3%e.

- Esfuerzos admisibles:

DESCRIPCIÓN DE LA SOLICITACIÓN ESFUERZO RECOMENDADO (Kg/cm2)

- Relación entre módulos de Elasticidad n

- Flexión:

Fibra en compresión C

Fibra en tracción muros y fundaciones

- Corte:

Vigas sin refuerzo

Juntas sin refuerzo (de fricción)

Miembros con refuerzo

Corte en fundación

- Aplastamiento

n = 9

95

6

4

4,5

19

7

60

ACERO: A 44 – 28 H

A 63 – 42 H

1400

2000

Esfuerzos recomendados en carga de servicio para espaciamiento máximo 30 cm.

TAMAÑO BARRAS SOLICITACIÓN

MÁXIMO ESFUERZO

ADMISIBLE CARGA DE

SERVICIO

- Todas las barras

- 10, 12, 16

- 18, 20, 26

- Diámetros superiores

- Tracción directa.

- Miembros en flexión con exposición severa.

- Miembros en flexión con exposición normal


- Miembros en flexión con exposición normal.


- Miembros en flexión con exposición normal

980

1500

1

1260

1500

1190

1470

6-. Juntas


Página 87

- de expansión.

- de construcción.

Las juntas de expansión se disponen para absorber los cambios de dimensiones

producidos por variaciones de temperatura y humedad.

En elementos expuestos a la intemperie no deberán separarse a más de 15 m. y en

elementos enterrados, a más de 25 m.

El esfuerzo debe determinarse 5 cm. antes de la junta, y en ella debe colocarse un sello

que evite la filtración y que sea un material compresible (Ej.: compriband)

Tipos de Juntas

- En elementos que no estén expuestos a que llegue agua por el lado

- En elementos que están expuestos a que llegue agua

Escalas de Hormigón Armado

Sello

Sello

Contenedor (cobre o material

que no sea atacado por el

líquido)

Sello

5 cm

5 cm

Muro Contenedores

NOTA: Comitee Guide for

Joint Scalants for Concrete

Structurals, ACI – 1970, july.

Revision Ju 1976


Página 88

1-. Escaleras Simples

1) Peldaño en ménsula: El peldaño es el elemento principal que resiste. Se analiza como un

voladizo.

2) Escalera apoyada en vigas o muros laterales

En el caso en que los bordes longitudinales sean libres de apoyo, la escalera trabaja en la

dirección longitudinal presentándose un punto conflictivo en el análisis, que corresponde al

quiebre que se presenta en el descanso.

El análisis de este tipo de elementos se fundamenta en la teoría de losas plegadas y

atendiendo a las dimensiones transversales, podemos decir que una solución exacta es

Muro

Asegurar el anclaje de los

fierros al muro

Descanso Se analiza como una sola losa con las

cargas respectivas ( en peldaños que

en descansos ver norma de

sobrevarga), con la dimensión

proyectada L.

Planta

S.S. ó E.

S.S.

ó E.

S.S.

ó E.

L

S.S. ò E.

a


Página 89

prácticamente imposible. Se resuelve en forma aproximada, despreciando los efectos de

desplazamiento relativo que se genera en el caso de descanso intermedio.

CASOS ESPECIALES:

Se supone que la estructura trabaja en dirección longitudinal, por tener bordes

longitudinales libres.

En los casos (1) y (2) se supone un apoyo ficticio en B. En el caso (3) se suponen apoyos

ficticios en B y C. Se resuelven las estructuras y se superpone la reacción de signo negativo

correspondiente al apoyo ficticio.

El análisis del caso (2) es análogo.

Lib

re

Lib

re

Lib

re

Lib

re

Lib

re

Lib

re

s.s. s.s. s.s.

s.s. s.s. s.s.

(1) (2) (3)

A A

B

C B C

A

B C

D

RB

RB

MB

Tracciones

resultantes

Component

es de RB en

el plano de

la losa


Página 90

En el análisis del caso (3), si quisiéramos encontrar una solución exacta, debemos incluir

el efecto de desplazamientos relativos entre los nudos de intersección de planos, lo cual no es

simple de hacer. Por ello se considera que estos efectos son menores ante los debidos a cargas en

el plano y cargas normales a él. De todas maneras esta hipótesis debe ser verificada.

2-. Escaleras No Simples

Los sistemas son muy variados según sean los apoyos que se presenten en losas y

descansos.

En todos estos sistemas las losas se apoyan en las losas de piso, según las líneas AB y

A’B’, a través de muros, vigas o bien de la misma losa, corrientemente incorporando la viga a la

losa en este caso.

F

RB

RC

RB

RC

E

A B

P1 P2 Corresponde al dibujo de la Planta

Piso 1

AB

A’B’

Descanso

Intermedio EF

Losa

Losa

Piso 2


Página 91

Un punto de particular interés es la parte de la unión con el descanso intermedio, arista

EF.

De acuerdo a la situación de apoyo en la arista EF, y a los contornos del sistema se

diferencian las siguientes situaciones:

(1) Apoyos en AB y CD

La escala trabaja en sentido longitudinal.

El análisis se realiza aprovechando el análisis de escaleras simples con descanso.

Para el caso de P1 se generan compresiones en la losa y en el descanso, y en el caso P2 se

generan tracciones en la losa y el descanso.

Por efectos de estas fuerzas, en el descanso se produce un par cuyo efecto sobre el

descanso es el de un momento torsor que es equilibrado por el corte Q en el apoyo CD.

(2) Apoyos en AB, CD y EF (Viga en EF)

D C

B A P1 P2

C

C

T d

(P1) (P2)

P1

P2

D C


Página 92

Dependiendo de las dimensiones de esta viga EF, relativas a las dimensiones del descanso

y las losas, puede considerarse este apoyo como un empotramiento o un apoyo contínuo. En

cualquiera de las situaciones el análisis se realiza considerando como losa apoyada en CD y EF al

descanso, y las losas trabajando longitudinalmente apoyadas en AB y EF. Para diseñar la viga se

debe considerar las cargas del descanso y las reacciones de las losas.

(3) Apoyo en AB y muros en CE y DF

El descanso se apoya en CE y DF y se analiza como una losa con estos apoyos.

Para las losas es prudente calcularlas con una luz L definida por el apoyo AB y la sección

media del descanso con una condición de empotramiento o apoyo simple en la línea media del

descanso.

Si hay apoyo en CD, el descanso se analiza como una losa apoyada en 3 bordes.

F

F

B

E

A

P1 P2

D C

E

A B

L


Página 93

(4) Apoyo en todo el contorno ABCD

El descanso y las losas se apoyan en los muros.

Se calculan como losas apoyadas en 3 lados CAMPO DE LOSAS

El descanso se apoya en CE, CD y DF, y las losas en AB, CA y la línea media del

descanso, o AB, DB y la línea media del descanso.

(5) Apoyos en AC, DB y AB

L

F

L

D C

E

B A

D C


Página 94

Análogo al caso anterior con la diferencia que no existe el apoyo CD.

Descanso se calcula con apoyos en CE y FD, y las losas con apoyos en CA, AB y la línea

media del descanso.

(6) Apoyo solamente en AB

El análisis se efectúa longitudinalmente, quedando la siguiente configuración:

F E

B A

D C

F E

B A

EF

AB

A’B’

Se considera que el AB,

A’B’ y EF es axialmente

independiente


Página 95

Si P es la reacción de cada losa, en EF el esfuerzo vertical debido a esta reacción será 2P

(cada P proviene de cada losa). Esta fuerza P se descompone en dos fuerzas de tracción y de

compresión.

Sen

PCT 11

Por otra parte el descanso está en voladizo y transmite a la línea EF una carga y un

momento P1 y M1.

P1 se descompone igual que 2P Sen

PCT

2'' 1

11

Cada tramo estará sometido a estas fuerzas en su propio plano:

Sen

P

Sen

PN

2

1

y a un momento 2

1M en su extremo.

Entonces queda :

a

N

2

1M

2P

C1

T1

P1

M1


Página 96

(7) Apoyos en GH y CD (Pueden ser articulados o empotrados)

El análisis se efectúa igual que el CASO 1, pero a partir del análisis de losa simple CASO

3.

H

B

F

D C

E

A

G

C/D

P2

P1

E/F

AB

A’B’ G’/H’

G/H

AB

A’B’

P1

P2


Página 97

Situación en los apoyos:

Hay que verificar que el estado de tensiones sobre el muro (COMPRESIÓN) no sobrepasen

las tensiones admisibles. Esto es importante en el caso de muros de albañilería en que las

tensiones admisibles son bajas.

NOTA: Complementar este material con los Apuntes de A. Lucero.

M2 = MSUP

MFLECTOR

V

M1 = MINF

COMP

COMP

Hay que verificar torsión

Losa de descanso o escalera


Página 98

Losas de un solo tramo (según Czerny) Empotra. Perf.

Simple apoyo M = qa²/

Valores de en la tabla

Casos:

b/a Ma Mb Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao

1,0

1,1

1,2 1,3

1,4

1,5 1,6

1,7

1,8 1,9

2,0

27,2

22,4

19,1 16,8

15,0

13,7 12,7

11,9

11,3 10,8

10,4

27,2

17,9

29,1 30,9

32,8

34,7 36,1

37,3

38,5 39,4

40,3

41,2

31,9

25,9 21,7

18,8

16,6 15,0

13,8

12,8 12,0

11,4

29,4

28,8

28,9 29,7

30,8

32,3 34,3

35,9

37,9 38,0

38,8

11,9

10,9

10,1 09,6

09,2

08,9 08,7

08,5

08,4 08,3

08,2

29,4

27,3

24,5 22,4

21,0

19,8 19,0

18,3

17,8 17,4

17,1

41,2

45,1

48,8 51,8

54,3

55,6 56,5

57,8

58,8 59,0

59,2

11,9

10,9

10,2 09,7

09,3

09,0 08,8

08,6

08,4 08,3

08,3

61,7

46,1

35,5 28,5

23,7

20,4 17,9

16,0

14,6 13,4

12,5

35,1

32,9

31,7 31,2

31,4

32,1 33,9

35,4

37,8 40,0

42,4

14,3

12,7

11,5 10,7

10,0

09,5 09,2

08,9

08,7 08,5

08,4

35,1

31,7

29,4 27,8

26,6

25,8 25,2

24,7

24,4 24,3

24,1

61,7

67,2

71,5 73,5

74,6

75,8 77,0

77,0

77,0 77,0

77,0

14,3

13,5

13,0 12,6

12,3

12,2 12,0

12,0

12,0 12,0

12,0

b/a Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo

1,0

1,1

1,2 1,3

1,4

1,5 1,6

1,7

1,8 1,9

2,0

40,2

35,1

30,0 26,5

24,1

22,2 20,8

19,9

19,0 18,1

17,9

40,2

42,0

44,0 47,6

51,0

53,0 55,0

56,7

58,0 59,2

60,2

14,3

12,7

11,5 10,7

10,0

09,6 09,2

08,9

08,7 08,6

08,4

14,3

13,6

13,1 12,8

12,6

12,4 12,3

12,2

12,2 12,2

12,2

55,4

46,1

37,5 31,8

28,0

25,2 24,0

22,1

20,8 19,7

18,7

044,1

044,7

044,8 046,9

050,3

055,0 063,1

071,2

080,1 090,0

101,0

18,3

15,4

13,5 12,2

11,9

10,6 10,0

09,6

09,2 09,0

08,8

16,2

14,8

13,9 13,3

13,0

12,7 12,5

12,4

12,3 12,3

12,3

44,0

33,9

33,8 31,0

29,0

27,6 26,5

25,6

25,0 24,7

25,5

55,9

60,3

66,2 69,0

72,0

75,2 79,0

83,0

87,4 92,0

97,0

16,2

14,8

13,9 13,2

12,7

12,5 12,3

12,2

12,1 12,0

12,0

18,3

17,7

17,4 17,4

17,4

17,5 17,5

17,6

17,6 17,7

17,7

56,8

46,1

39,4 34,8

31,9

29,6 28,2

27,0

26,1 25,8

25,0

056,8

060,3

065,8 073,6

083,4

093,5 099,9

102,3

103,9 104,7

105,0

19,4

17,1

15,5 14,5

13,7

13,2 12,8

12,4

12,2 12,1

12,0

19,4

18,4

17,9 17,6

17,5

17,5 17,5

17,5

17,5 17,5

17,3

Losas Continuas

1

a

b

Ma

Mb 2

a

b

Ma

Mb

3

a

b

Ma

Mb 4

a

b

Ma

Mb

5

a

b

Ma

Mb 6

a

b

Ma

Mb 7

a

b

Ma

Mb 8

a

b 9

a

b

Mbo Mbo

Mao

Mao Mao

Mbo

Mao

Mbo

Ma

Mao

Ma

Mao

Mb

Mbo

Mb

Mbo


Página 99

Continuidad

Simple apoyo M = qa²/ ; M1j =(M01 + M0j)/2


p/g = 0,2

Casos:

b/a Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao

1,0

1,1 1,2

1,3

1,4 1,5

1,6

1,7 1,8

1,9

2,0

39,2

30,6 25,0

21,1

18,3 16,2

14,8

13,6 12,6

11,9

11,3

29,2

28,7 28,9

29,8

31,0 32,6

43,5

36,0 37,2

38,2

39,0

11,9

10,9 10,1

09,6

09,2 08,9

08,7

08,5 08,4

08,3

08,2

29,2

26,7 23,9

21,8

20,2 19,0

18,2

17,4 16,8

16,5

16,0

39,2

42,5 45,6

48,5

51,1 52,5

53,5

54,6 55,8

56,2

56,6

11,9

10,9 10,2

09,7

09,3 09,0

08,8

08,6 08,4

08,3

08,3

54,7

42,0 32,6

26,8

22,4 19,6

17,2

15,5 14,1

13,2

12,3

34,1

32,3 31,2

31,2

31,6 32,4

34,1

35,6 37,8

40,0

42,1

14,1

12,6 11,3

10,6

09,9 09,5

09,2

08,8 08,7

08,5

08,4

34,1

30,4 28,0

26,1

28,1 23,7

23,0

22,3 21,9

21,7

21,2

54,7

59,0 62,3

64,5

66,1 67,8

69,2

69,5 69,9

70,4

70,6

14,1

13,3 12,6

12,2

11,9 11,8

11,6

11,6 11,5

11,5

11,4


1,0

1,1

1,2 1,3

1,4 1,5

1,6

1,7 1,8

1,9

2,0

38,4

33,4

28,4 25,2

22,8 21,0

19,6

18,6 17,8

17,0

16,6

38,4

40,0

41,8 45,1

48,3 50,3

52,2

53,8 55,1

56,5

57,3

14,1

12,6

11,3 10,6

09,9 09,5

09,2

08,9 08,7

08,6

08,4

14,1

13,4

12,7 12,4

12,1 12,0

11,9

11,7 11,7

11,6

11,6

53,0

41,6

34,2 29,2

25,8 23,4

22,1

20,4 19,1

18,2

17,2

41,6

41,3

42,5 44,6

47,9 52,0

58,8

65,1 72,2

79,8

87,8

17,4

15,0

13,0 11,9

11,0 10,4

09,9

09,5 09,1

08,9

08,7

15,7

14,4

13,4 12,9

12,5 12,2

12,1

11,8 11,7

11,7

11,7

41,6

35,4

31,4 28,6

26,6 25,0

23,8

22,9 22,2

21,9

21,6

50,5

54,1

58,8 61,5

64,3 67,5

70,6

73,9 77,5

81,3

85,0

15,7

14,4

13,4 12,8

12,2 12,1

11,9

11,8 11,6

11,4

11,5

17,4

16,8

16,3 16,2

16,0 15,9

15,9

15,8 15,8

15,8

15,8

51,0

41,6

35,6 31,4

20,6 26,5

25,2

24,0 23,1

22,6

21,8

51,0

54,1

58,3 64,6

72,3 80,0

84,9

87,1 88,6

89,7

90,4

16,3

16,3

14,7 13,8

13,1 12,6

12,4

12,0 11,6

11,6

11,4

18,5

17,4

16,6 16,2

16,0 16,0

15,9

15,7 15,7

15,6

15,3

Losas Continuas

1

a

b

Ma

Mb

2

a

b

Ma

Mb 3

a

b

Ma

Mb 4

a

b

Ma

Mb

5

a

b

Ma

6

a

b 7

a

b 8

a

b

Mbo Mbo

Mao Mao

Mao

Mb

Mbo

Ma Mao

Ma Ma

Mao Mao

Mb Mb

Mbo Mbo

Mb

Mbo


Página 100

Continuidad



p/g = 0,3

Casos:


1,0

1,1 1,2

1,3

1,4 1,5

1,6

1,7 1,8

1,9

2,0

38,2

30,0 24,6

20,7

18,2 16,1

14,6

13,5 12,6

11,8

11,3

29,1

28,6 28,9

30,1

31,1 32,6

34,6

32,6 37,3

38,3

39,0

11,9

10,9 10,1

09,6

09,2 08,9

08,7

08,5 08,4

08,3

08,2

29,1

26,4 23,6

21,2

19,8 18,6

17,8

17,0 16,3

15,9

15,6

38,2

41,2 44,2

47,1

49,3 50,9

52,0

53,4 54,5

55,0

55,3

11,9

10,9 10,2

09,7

09,3 09,0

08,8

08,6 08,4

08,3

08,3

51,9

39,9 31,5

25,7

21,8 19,0

16,8

15,2 14,0

12,9

12,2

33,6

32,1 31,2

31,3

31,6 32,5

34,2

35,8 37,9

40,0

42,0

13,8

12,4 11,3

10,6

09,9 09,4

09,1

08,8 08,7

08,5

08,3

33,6

29,8 27,2

25,2

23,9 22,8

21,9

21,3 20,8

20,5

20,2

51,9

55,5 58,6

61,2

62,6 64,3

65,8

66,3 67,0

67,5

67,6

14,0

13,0 12,4

12,1

11,8 11,7

11,4

11,3 11,3

11,3

11,2


1,0

1,1

1,2 1,3

1,4 1,5

1,6

1,7 1,8

1,9

2,0

37,6

32,4

27,7 24,4

23,6 20,4

19,0

18,1 17,3

16,4

16,2

37,6

39,0

40,8 44,1

47,0 49,0

51,0

52,8 54,0

55,1

56,0

14,0

12,4

11,3 11,6

09,9 09,6

09,2

08,9 08,7

08,6

08,3

14,0

13,1

12,5 12,2

11,9 11,6

11,6

11,5 11,5

11,5

11,4

48,2

39,8

32,8 28,0

24,9 22,4

21,2

19,6 18,5

17,4

16,8

40,4

40,4

41,4 43,8

46,5 50,5

56,7

62,8 69,0

75,6

82,3

17,0

14,5

12,9 11,8

10,9 10,4

09,8

09,5 09,1

08,9

08,7

15,4

14,0

13,1 12,5

12,2 11,9

11,7

11,6 11,6

11,6

11,5

40,4

34,4

30,2 27,6

25,4 24,1

22,8

21,9 21,2

20,7

20,4

48,2

51,4

55,5 58,5

61,0 64,0

67,2

70,2 73,5

76,8

80,2

15,4

14,0

13,2 12,5

12,1 11,8

11,6

11,5 11,4

11,3

11,2

17,0

16,1

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17,1

16,5

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18,8 18,0

17,4

16,7

41,1

42,9

45,7 49,6

54,1 58,5

61,6

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66,1

67,2

Losas Continuas

1

a

b

Ma

Mb

2

a

b

Ma

Mb 3

a

b

Ma

Mb 4

a

b

Ma

Mb

5

a

b

Ma

Mb

Mbo Mbo

Mao Mao

Mao

Mbo

7

a

b 8

a

b 9

a

b

Ma Mao

Ma Ma

Mao Mao

Mb Mb

Mbo Mbo

Mb

Mbo


Página 105

Continuidad



p/g = 1,0

Casos:


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09,8

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11,2

2

a

b

Ma

Mb

3

a

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Mb 4

a

b

Ma

Mb 5

a

b

Ma

Mb

6

a

b

Ma

Mb

Mbo Mbo

Mao Mao

Mao

Mbo

7

a

b 8

a

b 9

a

b

Ma Mao

Ma Ma

Mao Mao

Mb Mb

Mbo Mbo

Mb

Mbo

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