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7/23/2019 apuntes-de-apoyo-de-las-desigualdades.rtf

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A).- Resolucin dedesigualdades

Definicin: Una desigualdad es un enunciado o ecuacin en el que dosexpresiones no son iguales, tambin son parecidas a las ecuaciones solo que en

lugar de tener un signo de igual hay unos smbolos que son:, , . n unade!inicin decimos que:

"uponemos que # y $ pertenecen a los reales donde cumplen con lascondiciones siguientes:

X es mayor que Y

X es menor que Y

%esigualdades& %esigualdades o inecuaciones de primer grado con una incgnita

'a expresin , quiere decir que (a( no es igual a (b(. "eg)n los

*alores particulares de (a( y de (b(, puede tenerse , que se lee (a( mayor

que (b(, cuando la di!erencia es positi*a y ,que se lee (a( menor que

(b(, cuando la di!erencia es negati*a. %esigualdad (es la expresin de

dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra(. 'o mismo que

en las igualdades, en toda desigualdad, los trminos que est+n a la iquierda

del signo mayor o menor, !orman el primer miembro de la desigualdad,y los

trminos de la derecha, !orman el segundo miembro. %e la de!inicin de

desigualdad, lo mismo que de la escala de los n)meros algebraicos, se deducen

algunas consecuencias, a saber:-. /odo n)mero positi*o es mayor quecero.

Ejemplo:

,porque 0 -01 0 2. /odo n)mero negati*o es menor que cero

Ejemplo:

,porque -3 -01 -3 4. "i dos n)meros son negati*os, es mayor el quetiene menor *alor absoluto5

Ejemplo:

,porque --0-6-478 1 --09401 20


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Sentido de una desigualdad

'os signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las

desigualdades, seg)n que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo&

"e dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se

con*ierte en menor o*ice*ersa.

Resolucin de Desigualdades

lgunos problemas matem+ticos se plantean como desigualdades en lugar de

ecuaciones& 'as desigualdades se resuel*en de manera similar a una ecuacin&

;ara resol*er una desigualdad debemos determinar los *alores que satis!acen a

la desigualdad.

Desigualdades asolutas ycondicionales.

s como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades

condicionales, que son las ecuaciones5 as tambin hay dos clases de

desigualdades: las absolutas y las condicionales&

Desigualdad asoluta es aquella que se *eri!ica para cualquier *alor que seatribuya a las literales que !iguran en ella

emplo: a294>a

Desigualdad condicional es aquella que slo se *eri!ica para ciertos *alores delas literales:

emplo:

de x.que solamente satis!ace para x > =.n tal caso se dice que = es el lmite

'as desigualdades condicionales se llaman inecuaciones&


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!ropiedades:

". #na desigualdad no camia de sentido cuando se a$ade o se restaun mismo n%mero a cada miemro!ecti*amente si en la desigualdad se designa por (c( lo que !alta a (b(

para ser igual a (a(,se tiene:

adiendo un mismo n)mero, positi*o o negati*o a los miembros, sepuede escribir:

"uprimiendo (c( en el segundo miembro,resulta e*identemente

Ejemplos&) &&)

'. #na desigualdad no camia de sentido cuando se multiplican sus dosmiemros por un mismo factor positi(o, o se di(iden entre un mismodi(isor tami*n positi(o."ea la desigualdad , es decir ,

?ultiplicando ambos miembros de la desigualdad por un n)mero positi*o (m(,resulta:

"uprimiendo el trmino positi*o (cm(, en el segundo miembro disminuye, yse tiene:

"i (m( es recproco de un n)mero positi*o,queda e*idenciada la segunda partede esta propiedad.

Ejemplos&) &&)

+. #na desigualdad camia de sentido cuando se multiplican sus dosmiemros por un mismo factor negati(o o se di(iden entre un mismodi(isor,tami*n negati(o."ea la desigualdad , es decir ,

?ultiplicando ambos miembros de la desigualdad por el !actor negati*o -nse obtiene:


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"uprimiendo -cn,en el segundo miembro aumenta5 por tanto,

"i -n es recproca de un n)mero negati*o,queda demostrada la segunda partedel enunciado.

Ejemplos&) &&)

,. Si los dos miemros de una desigualdad son positi(os y se ele(an ala misma potencia,la desigualdad no camia de sentido."ea la desigualdad ,en la que (a( y (b( son positi*os.?ultiplicando susdos miembros por (b(,resulta:

n el primer de esta desigualdad, sustituyendo (b( por (a(, la desigualdadse re!uera5 por tanto:

Ejemplos&) &&)

-.Si los dos miemros de una desigualdad son negati(os y se ele(an a una

potencia de grado impar,no camia el sentido de la desigualdad pero /aycamio de sentido si el grado de la potencia es par."ea la desigualdad -a < -b a8 ?ultiplicando sus dos miembros por b2 seobtiene:

n el primer miembro,reemplaando b2 por a2,la desigualdad se re!uera5 luegose puede escribir:

b8 ?ultiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendoan+logas trans!ormaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sustrminos cambian de signo,y se tiene:

Ejemplos&) &&)


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0.Si se suman miemro a miemro (arias desigualdades de mismosentido resulta una desigualdad de mismo sentido que aqu*llas.

"ean las desigualdades "e puede escribir:

"umando miembro a miembro y suprimiendo ,se tiene,sucesi*amente:

&)%ado y

Ejemplos&&)%ado y

1.Si se restan miemro a miemro dos desigualdades de sentidocontrario resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo."ean las desigualdades y @n*irtiendo la segunda desigualdady sum+ndola a la primera se tiene

Aestando d 9 c de cada miembro,resulta:

Ejemplo%ado y


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&nter(alo: aiertos,cerrados y cominados

Definicin: "e llama inter*alo al conunto de n)meros reales comprendidos entre otros dosdados: a y b que se llaman extremos del inter*alo.

Intervalo abierto:&nter(alo aierto,2a,),es el conjunto de todos los n%meros reales mayoresque a y menores que .2a,) 3 {4 5 a 6 4 6 }

Intervalo cerrado:

&nter(alo cerrado,7a,8,es el conjunto de todos los n%meros reales mayoreso iguales que a y menores o iguales que .

7a,8 3 {4 5 a 9 4 9 }


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Este suplemento tiene el proposito de mostrar como resolver desigualdades que contienen una ex-

presion cuadr atica o una expresion racional. Los metodos que presentaremos difieren de los

desa- rrollados para resolver desigualdades lineales y desigualdades con valor absoluto. Como parte

delproceso de resolver la desigualdad cuadratica la rearreglaremos para que un lado sea igual a

cero. Luego factorizaremos la expresion cuadr aticaque se obtiene.

Eemplo !. "esuelva la desigualdad x# $ x # % &.

'(L)C*( +. Comenzamos factorizando la expresion cuadratica pues uno de los lados es igual a

cero.

x# $ x # % &

,x $ #,x ! % &

/ora resolvemos la ecuacion ,x $ #,x ! 0 &. 1enemos que

x $ # 0 & o x ! 0 &.

(btenemos que x 0 # o x 0 !. Estos valores dividen la recta real en tres intervalos2 , 3 #3

,#3 !3 ,!3 . 'abemos que x 0 # y en x 0 ! satisfacen la ecuacionx# $ x # 0 &. 4eseamos

determinar el signo de la espresion x# $ x # en los intervalos , 3 #3 ,#3 !3 ,!3 . 5ara

esto determinamos el signo de cada uno de los factores usando un valor de x en cada uno de los

intervalos. Este valor particular de x se conoce como valor prueba. 5or eemplo3 para determinar el

signo del factor x

# en el intervalo ,

3

# escogemos un valor de x que este en este intervalo3digamos x 0 y lo subustituimos en x #. (btenemos x # 0 # 0 . Luego x # es

negativo en el intervalo , 3 #. 5or otro lado x ! 0 6 ! 0 8 por lo que x ! es negativo

en el intervalo , 3 #. "epetimos este procedimiento para los otros dos intervalos. Construimos

una tabla3 llamada una tabla de signos3 para organizar la informacion obtenida2

*ntervalos , 3 # ,#3 ! ,!3

'igno de x $ #

'igno de x

!

$

$

$

'igno de ,x $ #,x ! $ $


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El signo de ,x $ #,x ! se obtiene multiplicando el signo de x # con el signo de x $ !. +os

interesa saber donde ,x $ #,x ! % &3 es decir donde ,x $ #,x ! es positiva. Esto ocurre en

, 3 # o en ,!3.


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Eemplo #. "esuelva la desigualdad x# 8x $ !#.

'(L)C*( +. 5rimero despeemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la

expresion resultante2

x# 8x $ !#

x#8x !# & ,x $ #,x 6 &.

"esolvemos la ecuacion ,x $ #,x 6 0 &. (btenemos que x $ # 0 & o x 6 0 &. Luego x 0 # o

x 0 6. /ora construimos una tabla de signos.

*ntervalos , 3 # ,#3 6 ,63

'igno de x $ #

'igno de x 6

$

$

$

'igno de ,x $ #,x 6 $ $

:uscamos todos los valores de x tales que ,x $ #,x 6 &. ,x $ #,x 6 es menor que cero en

el intervalo ,#3 6 e igual a cero en x 0 # y en x 0 6. Luego la solucion de la desigualdad es el

intervalo ;#3 6


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*ntervalos , 3 & ,&3 ,3

'igno de x

'igno de x 6

$

$

$

'igno de x,x $ $

:uscamos todos los valores de x tales que x,x = &. Esto ocurre en ,&3 .

Eemplo 8. "esuelva la desigualdad 8x# $ 9x 7.

'(L)C*( +. 5rimero despeemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la

expresion resultante2

8x#$ 9x 7

8x#$ 9x & ,#x $ ,#x ! &.

"esolvemos la ecuacion,#x $,#x ! 0 &. (btenemos que #x$ 0 & o #x! 0 &. Luego x 0

7

o x 0!

. /ora construimos una tabla de signos.

# # # #

:uscamos todos los valores de x tales que ,#x $ ,#x ! &. ,#x $ ,#x ! es mayor que cero

en el intervalo , 3 e igual a cero en x 0

!y en x 0

. Luego la solucionde la

desigualdad# # #es 3 ! 3

.

# #

/ora nos concentraremos en desigualdades racionales.

x $ !Eemplo . "esuelva la desigualdad

x !% &.

*ntervalos , 3 , 3 ! ,! ,

'igno de #x $

'igno de #x !

$

$

$

'igno de ,#x $ ,#x ! $ $

#

#


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'(L)C*( +. 5rimero determinemos donde el numerador es cero.

x $ ! 0 &

x 0 !

'egundo3 determinemos donde el denominador es cero.

x ! 0 &

x 0 !

)tilizando estos numeros dividimos la recta real en tres intervalos2

, 3 !3 ,!3 !3 ,!3.

/ora construimos una tabla de signos.

x !

:uscamos todos los valores de x tales que x$! % &. Luego la solucion de la desigualdad es , 3 !x>!

o ,!3

.

Eemplo 6. "esuelva la desigualdadx

x $ !

&.

'(L)C*( +. 5rimero determinemos donde el numerador es cero.

x 0 &

x 0 6

'egundo3 determinemos donde el denominador es cero.

x $ ! 0 &

x 0 !

*ntervalos , 3 ! ,!3 ! ,!3

'igno de x $ !

'igno de x !

$

$

$

x $ !'igno de $ $


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, 3 !3 ,!3 3 ,3.

/ora construimos una tabla de signos.

'igno de

:uscamos todos los valores de x tales que x> &. 4ebido a que la desigualdad envuelve una

expresion racional debemos ser cuidadosos al determinar la solucion. La expresionx>6 es menor que

cero en el intervalo ,!3 . ?eamos si en alguno de los extremos es cero. En x 0 tenemos

x 0

0

&0 &x $ ! $ ! 8

Luego incluimos x 0 8 en la solucion. /ora revisemos si en x 0 ! la expresion x> es cero.

x 0

! 0

8

x $ ! ! $ ! &

1enemos una division por cero. Luego en x 0 ! la expresion x> no esta definida por lo que no

puede ser cero. Concluimos que la solucion de la desigualdad x>6 & es el intervalo ,!3


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/ora determinemos donde el denominador es cero.

x 0 &

x 0 7


, 3 !@#3,!@#33 ,3.

/ora construimos la tabla de signos.

# #

'igno de x

#x !:uscamos todos los valores de x tales que &. Como en el eemplo anterior3 debemos ser

x 7

cuidadosos al determinar la solucion. 5rimero la expresion

#x !es mayor que cero en los inter-

x 7valos , 3 ! y ,3 . ?eamos si en alguno de los extremos es cero. En x 0 !

tenemos

# #

#x ! #,!

! ! ! &0 # 0 0 0 &x 7

# A A

#

#

Luego incluimos x 0 !#x ! en la solucion. /ora revisemos si en x 0 la expresion x 7

#x !0

#, !0

A

es cero.

x 7 ! &

#x !1enemos una division por cero. Luego en x 0 la expresi on

puede ser cero. Concluimos que la solucion de la desigualdad

x #x !

x

no esta definida por lo que no

& es , 3 ! < o ,3.

+(12 Los valores de la variable que /acen que el denominador de la expresion racional sea cero

+)+C se incluyen en la solucion.

*ntervalos , 3! ,! ,7 ,3

'igno de #x !

'igno de x

$

$

$

#x !$ $

!

#

#


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EBE"C*C*('2"esuelva la desigualdad ,solo los problemas con numeracion impar.

!. ,x $ #,x = &

#. x# % !6

. x# A = &

8. x,x $ ! % &

. x# % 8x

6. x# $ #x $ ! % &

7. x# x 6 &

9. x#

= !&

x

A. x# #x

!&. x# =

!!. 6x 9 %

x#

!#. 6x# $ x !# = &

!. x,x !

8

!8. #x# A

&

!. #x# = x $

6

'(L)C*(+E'

!. ,#3 7

. ,3

. , 3 & o ,83

7. ;#3

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