Races

Races

iv. Extensin del concepto de Potencia (Potencias de exponentes fraccionarios)

La definicin de POTENCIA con exponentes fraccionarios se hace por medio de los nmeros radicales (races), de manera que este tipo especial de POTENCIAS cumpla con las mismas PROPIEDADES de las de exponente entero. En consecuencia, se define:

, con y

o bien, para la base fraccionaria,

, donde

Donde el denominador del exponente es llamado ahora ndice de la raz, el cual debe ser un nmero natural, la base es llamada radicando y el numerador es llamado simplemente exponente del radicando.

Ejemplos: a.

b.

c.

d.

Se puede verificar mediante instanciaciones numricas, que se cumplen, al igual que con exponentes enteros, los Teoremas vistos ya anteriormente:

Teorema 1: Si se efecta el producto o multiplicacin de dos potencias de igual base racional y distinto exponente racional, entonces se puede expresar ste producto como la base elevada a la suma de los exponentes. Simblicamente

,

o bien, escritas estas potencias como races

, donde

, ,

Teorema 2: Si se efecta el cuociente o divisin de dos potencias de igual base racional y distinto exponente racional, entonces se puede expresar este cuociente como la base elevada a la resta de los exponentes. Simblicamente

,

o bien, escritas estas potencias como races

, donde

, ,

Teorema 3: Si tenemos una potencia de base y exponente racional elevada a otro exponente racional, entonces se puede expresar esta potencia como la base elevada al producto o multiplicacin de ambos exponentes. Simblicamente

,

o bien, escritas estas potencias como races

, ,

Teorema 4: Si tenemos el producto o multiplicacin de dos potencias de distinta base racional e igual exponente racional, entonces se puede expresar ste como el producto o multiplicacin de las bases elevado al exponente. Simblicamente

,

o bien, escritas estas potencias como races

, ,

Teorema 5: Si se efecta el cuociente o divisin de dos potencias de distinta base racional e igual exponente racional, entonces se puede expresar ste como el cuociente o divisin de las bases elevado al exponente. Simblicamente

,

o bien, escritas estas potencias como races

, ,

EJERCICIOS

a. De acuerdo a lo aprendido en el Mdulo de Estudio n 4, escribe en notacin de Raz las siguientes Potencias:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

b. Escribe las siguientes Races en notacin Potencias, simplificando al mximo y usando para ello los Teoremas correspondientes:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

c. En la Gua de Estudio se expres que la base debe ser positiva en el caso de que el exponente sea fraccionario, Cul crees que sea la razn? Hay casos donde la base puede ser un nmero entero o fraccionario menor que cero?

Escribe aqu tu respuesta y muestra ejemplos si es que es posible

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

v. Problemas Interesantes

a. A veces es posible formular situaciones contradictorias a partir de una aparente verdad, como la que indicaremos a continuacin:

Comencemos con la igualdad , que es cierta,

Sumamos , es decir queda , luego

Formamos el cuadrado , ahora

Extraemos la raz cuadrada, que queda

Sumando nos da , es decir . Cul es el error?

b. El Teorema de Pitgoras se expresa algebraicamente como

lo que nos indica, en palabras, que "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Ya has visto algunas aplicaciones de este Teorema en aos anteriores, pero hay algo que ahora vers con ms detencin. El valor de la hipotenusa de un tringulo rectngulo, como el de la figura, por ejemplo

B

c

a

A

C

b

est dado por y por , claro que ste ltimo valor no se considera en este caso, ya que estamos trabajando con longitudes; entonces si tenemos el tringulo rectngulo de catetos de medida 1, como en la figura

1

1

el valor de la hipotenusa es , valor que empezaremos a comprender de mejor manera a continuacin.

vi. La Radicacin

Definicin

La palabra RAZ proviene del latn radix, que significa raz. Esta operacin se expresa con el smbolo que es una variante de la letra r utilizada anteriormente, y fue introducido por el alemn Cristoph Rudolff () en . La notacin es la siguiente:

Donde es un nmero natural llamado ndice de la raz, es un nmero real llamado RADICANDO y corresponde al valor de la RAZ. Note que para encontrar el valor respectivo de la incgnita , consideraremos lo siguiente:

a. Valor que se calcula con

b. Valor que se calcula con

la Potenciacin

la RadicacinEn al caso a., la incgnita es calculada con la POTENCIACIN, que vimos en los mdulos anteriores, en cambio, el caso b. lo comenzaremos a ver a continuacin.

La radicacin tiene como objetivo hallar la base de la potencia, es decir, dados dos nmeros naturales y , le asociaremos un tercero cuyo valor es , que corresponde al nmero que elevado a nos d como resultado .

Veamos a travs de los siguientes ejemplos lo que ocurre en la definicin:

1. , ya que

2. , ya que

3. , ya que

4. , ya que

5. , ya que

6. , ya que

7. , ya que

8. , ya que

En los casos 1, 2, 4, 7 y 8 es fcil ver que el nico resultado posible de la raz pueden ser los mencionados, pero por ejemplo en el caso 5, segn la definicin de RAZ, podramos decir tambin que , ya que , lo que es totalmente correcto, y en el caso 6, , ya que , que tambin es cierto.

En general, a aquellas expresiones de la forma , donde representa a un ndice par y representa al radicando que es un nmero real mayor o igual a cero, se les puede asociar dos nmeros reales de igual mdulo y distinto signo.

Ejemplos:

a. y , ya que y

b. y , ya que y

c. y , ya que y , etc.

Recuerda:

Cuando el ndice es , la raz es llamada RAZ CUADRADA,

cuando el ndice es , la raz es llamada RAZ CBICA,

cuando el ndice es , la raz es llamada RAZ CUARTA,

cuando el ndice es , la raz es llamada RAZ QUINTA, etc.

Entonces, los valores reales de una raz dependen totalmente del ndice y del radicando de ella, lo que podemos resumir en la siguiente tabla

ndice

RadicandoPARIMPAR

NegativoNinguna raz real _________Una raz real

CeroUna raz real

Una raz real

PositivoDos races real

Una raz real

EJERCICIOS

a. Considerando lo aprendido en la Gua de Estudio, indique cul de las siguientes races tiene valor exacto:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

b. Escribe las siguientes potencias de exponente racional como races y calclalas cuando sea posible

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

x.

xi.

xii.

vii. Clculo de races

Las races que calculamos anteriormente han tenido solamente como resultado nmeros enteros, entonces, veamos ahora qu ocurre en los casos como , , , , etc., para los cuales no existe un nmero entero que elevado al ndice nos d como resultado exactamente el radicando.

a. Calculemos una aproximacin de

Vamos a aproximar el valor de a las milsimas. El valor de se encuentra entre los valores de y , que son races exactas, es decir

Debemos comenzar a experimentar con nmeros decimales que estn entre y y buscar a aquel que multiplicado por s mismo nos d como resultado . Con el uso de la calculadora podemos ver que el primer decimal que se aproxima al valor de es , ya que si multiplicamos ste por s mismo da , en cambio, el decimal que lo sucede, que es , elevado a da , que es mayor que el radicando.

A continuacin podremos ver fcilmente que la centsima corresponde a , es decir el decimal ahora es , ya que al elevar al cuadrado da que es mayor que .

Finalmente podremos ver que la milsima aproximada del valor de es , es decir el decimal que nos quedara es , cuyo valor al cuadrado es , en cambio el valor de al cuadrado es .

Seguir este proceso infinitamente nos entregar una aproximacin cada vez ms exacta del valor de .

Construccin geomtrica de la raz de .

Analicemos la construccin geomtrica de la raz de .

Paso 1:

Construimos una recta numrica. Ya sabemos que el valor de la raz de se encuentra entre los nmeros y , ya que est entre y , entonces

|

|

|

|

0

1

2

3

Paso 2:

Luego trazamos una perpendicular de magnitud 1 en el nmero 1 de la recta numrica, y construimos un tringulo rectngulo con el origen. De acuerdo al Teorema de Pitgoras visto aos anteriores, podemos verificar de manera sencilla que la hipotenusa tiene magnitud , entonces para ubicar el valor de en la recta numrica, basta con trazar un arco con centro en el origen y magnitud que corte a la recta en exactamente el valor requerido, como vemos en la figura

1

0

1 2

3

Si queremos ubicar en la misma recta, basta con construir una perpendicular de magnitud 1, pero ahora desde el valor de , lo quedara de la siguiente manera:

1 1

0

1 2

3

De la misma manera podemos proceder para ubicar todos los valores de las races de ndice 2 o CUADRADAS en la recta numrica.

b. Calculemos una aproximacin de

Ahora aproximemos el valor de a las centsimas. El valor de se encuentra entre los valores de y , que son races exactas, es decir

Debemos comenzar a experimentar con nmeros decimales que estn entre y y buscar a aquel que multiplicado por s mismo tres veces nos d como resultado . Con el uso de la calculadora podemos ver que el primer decimal que se aproxima al valor de es , ya que si multiplicamos ste por s mismo tres veces da , en cambio, el decimal que lo sucede, que es , elevado a da , que es mayor que el radicando.

A continuacin podremos ver fcilmente que la centsima corresponde a , es decir el decimal ahora es , ya que al elevarlo al cubo da , en cambio al elevar al cubo el decimal que sigue que es da que es mayor que .

Al igual que en el caso anterior, el resultado ms exacto de lo encontraremos a medida que ms avancemos en la bsqueda de decimales.

Aproximacin numrica de races cuadradas

El mtodo anterior es de gran utilidad para encontrar races que no son exactas, pero este mtodo que te entregamos a continuacin, permite evitar el clculo extenso para encontrar una aproximacin decimal de races cuadradas.

Ejemplo: Calculemos la raz cuadrada de

a. Se divide el radicando en bloques en dos cifras empezando por las unidades. Se extrae la raz cuadrada entera del primer bloque y se baja el resto.

b. Se baja el siguiente bloque. Se duplica la raz, se baja y se busca la mayor cifra que colocada detrs del doble de la raz forme un nmero que multiplicado con dicha cifra est contenido en el radicando, del cual se resta y cuyo resultado se coloca bajo el ltimo bloque, como se indica a continuacin:

c. Se repite el proceso nuevamente, obteniendo lo siguiente:

Al llegar a cero el resto, concluimos que la operacin ha terminado, en la cual encontramos el valor de , el cual es .

EJERCICIOS

a. Calcula una aproximacin decimal de las siguientes races, llegando a tres decimales:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

x.

xi.

xii.

xiii.

xiv.

xv.

b. Realiza la construccin geomtrica de las races cuadradas del ejercicio anterior

c. Calcula el valor de las siguientes races exactas, usando el mtodo aprendido en el Mdulo de Estudio n6

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

viii. Amplificacin y simplificacin de radicales

Basndonos en que las races pueden ser escritas como potencias de exponente racional, podemos realizar las siguientes operaciones que se indican en los siguientes ejemplos:

a. Amplificacin del ndice

Lo que podemos generalizar como

b. Simplificacin del ndice

Lo que podemos generalizar como

Esto nos permite igualar los ndices de cualquier conjunto de races, de manera de poder ordenarlas, en las cuales ser mayor aquel que tenga mayor radicando.

Ejemplo: Ordene las siguientes races de mayor a menor

Lo que se debe hacer en encontrar el MCM entre , y , de manera de obtener el valor del ndice al que debemos llegar, entonces

MCM=

Entonces debemos llegar al nmero como ndice, es decir, por ejemplo, en la primera raz, debemos amplificar su ndice y el exponente del radicando por , de manera que quede as

Y as con las dems, de manera de que queden de la siguiente forma:

De donde podemos ver fcilmente cul es mayor que la otra, solucionando slo la potencia:

Entonces quedan, en orden de mayor a menor

EJERCICIOS

a. Amplifica los ndices de las siguientes races por el nmero que se le indica y escrbalas como par ordenado:

i. por 3

ii. por 5

iii. por 2

iv. por 6

v. por 10

vi. por 4

vii. por 3

viii. por 8

ix. por 7

x. por 15

xi. por 8

xii. por 9

b. Simplifica los ndices de las siguientes races expresadas en pares ordenados, de manera que el ndice quede reducido al mnimo. Luego, escrbelos en notacin de Raz:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

x.

c. Ordena los siguientes grupos de races, de menor a mayor, aplicando la igualacin de ndices vista en el Mdulo n7 de Estudio:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

ix. Herramientas para el trabajo con races (Teoremas)

Enunciaremos los siguientes teoremas, los cuales son equivalentes a los vistos en las guas de Estudio anteriores, pero ahora aplicables a nuestro estudio de las Races.

Teorema 1: Si se efecta el producto o multiplicacin de dos races de igual radicando racional y distinto ndice, entonces podemos conservar el radicando del que cuyo ndice radical ser el producto de los ndices y cuyo exponente corresponder a la suma de cada ndice multiplicado con el exponente de la otra raz. Simblicamente

, donde

, ,

Teorema 2: Si se efecta el cuociente o divisin de dos races de igual radicando racional y distinto ndice, entonces podemos conservar el radicando del que cuyo ndice radical ser el producto de los ndices y cuyo exponente corresponder a la resta de cada ndice multiplicado con el exponente de la otra raz. Simblicamente

, donde

, ,

Teorema 3: Si tenemos una raz de radicando racional bajo otra raz de igual o distinto ndice e igual o distinto exponente entero en el radicando, entonces podemos expresar esto como el radicando bajo una raz cuyo ndice es el producto de los ndices y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Simblicamente

, ,

Teorema 4: Si tenemos el producto o multiplicacin de dos potencias de distinto radicando racional e igual ndice natural, entonces se puede expresar ste como el producto o multiplicacin de los radicandos bajo la raz del mismo ndice. Simblicamente

, ,

Teorema 5: Si se efecta el cuociente o divisin de dos potencias de distinta base racional e igual exponente racional, entonces se puede expresar ste como el cuociente o divisin de las bases elevado al exponente. Simblicamente

, ,

Algunos casos concretos de aplicacin de estos Teoremas:

a. En este ejemplo, se aplic el Teorema 1:

b. En este ejemplo, se aplic el Teorema 2:

c. En este ejemplo, se aplic el Teorema 3:

d. En este ejemplo, se aplic el Teorema 4:

e. En este ejemplo, se aplic el Teorema 5:

EJERCICIOS

a. Desarrolla los siguientes clculos y reduce las expresiones algebraicas usando los Teoremas vistos en el Mdulo de Estudio n8

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

x.

xi.

xii.

b. Coloca una V si la afirmacin es Verdadera y una F si es Falsa, de acuerdo a la aplicacin de las propiedades de las Races. En el caso que sea Falsa, indica la aplicacin correcta de acuerdo al problema:

i. ___

ii. ___

iii. ___

iv. ___

v. ___

vi. ___

vii. ___

viii. ___

ix. ___

x. ___

c. Efecta las siguientes operaciones:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

X. Reducir expresiones con radicales

Hay expresiones como por ejemplo

las cuales no se pueden reducir directamente, es decir, por ejemplo, no podemos sumar

,

pero aplicando los teoremas vistos, podemos reducir cada raz de manera de obtener radicandos homogneos, los que si se pueden sumar o restar, como veremos a continuacin

lo que nos transformara la expresin

en

, expresin que es igual a

Para poder reducir races por suma o resta, ellas deben ser de radicandos e ndices homogneos

Racionalizacin de fracciones

Racionalizar consiste en pasar de una fraccin a otra equivalente sin que aparezcan races en el denominador. Podemos destacar a travs de ejemplos, los siguientes casos:

a. Forma . Ejemplo:

Entonces, para racionalizar esta fraccin, debemos ver que el denominador tiene una raz de ndice 3 y exponente del radicando igual a 1. La expresin que multiplicaremos entonces por aquella fraccin es, en consecuencia

lo que nos produce el siguiente resultado

expresin que equivale a la inicial y que est racionalizada y reducida.

b. Forma . Ejemplo:

Para racionalizar esta fraccin, debemos multiplicar el denominador por aquella expresin que permita eliminar del denominador. En estos casos que el denominador es un binomio, debemos multiplicar ese binomio por su conjugado, que corresponde al mismo binomio, pero con la operacin cambiada, es decir

Expresin que es equivalente a la inicial, y que est racionalizada y reducida a su mnima expresin.

Ejercicios

a. Reduce las siguientes expresiones a su forma ms simple, de acuerdo a lo visto recientemente:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

x.

xi.

xii.

b. Considerando que

,

y

, calcule:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

c. Racionaliza las siguientes fracciones:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

x.

xi.

xii.

xiii.

xiv.

xv.

xvi.

PAGE 1

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