Download - Apunte Raíces
Races
Races
iv. Extensin del concepto de Potencia (Potencias de exponentes fraccionarios)
La definicin de POTENCIA con exponentes fraccionarios se hace por medio de los nmeros radicales (races), de manera que este tipo especial de POTENCIAS cumpla con las mismas PROPIEDADES de las de exponente entero. En consecuencia, se define:
, con y
o bien, para la base fraccionaria,
, donde
Donde el denominador del exponente es llamado ahora ndice de la raz, el cual debe ser un nmero natural, la base es llamada radicando y el numerador es llamado simplemente exponente del radicando.
Ejemplos: a.
b.
c.
d.
Se puede verificar mediante instanciaciones numricas, que se cumplen, al igual que con exponentes enteros, los Teoremas vistos ya anteriormente:
Teorema 1: Si se efecta el producto o multiplicacin de dos potencias de igual base racional y distinto exponente racional, entonces se puede expresar ste producto como la base elevada a la suma de los exponentes. Simblicamente
,
o bien, escritas estas potencias como races
, donde
, ,
Teorema 2: Si se efecta el cuociente o divisin de dos potencias de igual base racional y distinto exponente racional, entonces se puede expresar este cuociente como la base elevada a la resta de los exponentes. Simblicamente
,
o bien, escritas estas potencias como races
, donde
, ,
Teorema 3: Si tenemos una potencia de base y exponente racional elevada a otro exponente racional, entonces se puede expresar esta potencia como la base elevada al producto o multiplicacin de ambos exponentes. Simblicamente
,
o bien, escritas estas potencias como races
, ,
Teorema 4: Si tenemos el producto o multiplicacin de dos potencias de distinta base racional e igual exponente racional, entonces se puede expresar ste como el producto o multiplicacin de las bases elevado al exponente. Simblicamente
,
o bien, escritas estas potencias como races
, ,
Teorema 5: Si se efecta el cuociente o divisin de dos potencias de distinta base racional e igual exponente racional, entonces se puede expresar ste como el cuociente o divisin de las bases elevado al exponente. Simblicamente
,
o bien, escritas estas potencias como races
, ,
EJERCICIOS
a. De acuerdo a lo aprendido en el Mdulo de Estudio n 4, escribe en notacin de Raz las siguientes Potencias:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
b. Escribe las siguientes Races en notacin Potencias, simplificando al mximo y usando para ello los Teoremas correspondientes:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
c. En la Gua de Estudio se expres que la base debe ser positiva en el caso de que el exponente sea fraccionario, Cul crees que sea la razn? Hay casos donde la base puede ser un nmero entero o fraccionario menor que cero?
Escribe aqu tu respuesta y muestra ejemplos si es que es posible
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
v. Problemas Interesantes
a. A veces es posible formular situaciones contradictorias a partir de una aparente verdad, como la que indicaremos a continuacin:
Comencemos con la igualdad , que es cierta,
Sumamos , es decir queda , luego
Formamos el cuadrado , ahora
Extraemos la raz cuadrada, que queda
Sumando nos da , es decir . Cul es el error?
b. El Teorema de Pitgoras se expresa algebraicamente como
lo que nos indica, en palabras, que "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Ya has visto algunas aplicaciones de este Teorema en aos anteriores, pero hay algo que ahora vers con ms detencin. El valor de la hipotenusa de un tringulo rectngulo, como el de la figura, por ejemplo
B
c
a
A
C
b
est dado por y por , claro que ste ltimo valor no se considera en este caso, ya que estamos trabajando con longitudes; entonces si tenemos el tringulo rectngulo de catetos de medida 1, como en la figura
1
1
el valor de la hipotenusa es , valor que empezaremos a comprender de mejor manera a continuacin.
vi. La Radicacin
Definicin
La palabra RAZ proviene del latn radix, que significa raz. Esta operacin se expresa con el smbolo que es una variante de la letra r utilizada anteriormente, y fue introducido por el alemn Cristoph Rudolff () en . La notacin es la siguiente:
Donde es un nmero natural llamado ndice de la raz, es un nmero real llamado RADICANDO y corresponde al valor de la RAZ. Note que para encontrar el valor respectivo de la incgnita , consideraremos lo siguiente:
a. Valor que se calcula con
b. Valor que se calcula con
la Potenciacin
la RadicacinEn al caso a., la incgnita es calculada con la POTENCIACIN, que vimos en los mdulos anteriores, en cambio, el caso b. lo comenzaremos a ver a continuacin.
La radicacin tiene como objetivo hallar la base de la potencia, es decir, dados dos nmeros naturales y , le asociaremos un tercero cuyo valor es , que corresponde al nmero que elevado a nos d como resultado .
Veamos a travs de los siguientes ejemplos lo que ocurre en la definicin:
1. , ya que
2. , ya que
3. , ya que
4. , ya que
5. , ya que
6. , ya que
7. , ya que
8. , ya que
En los casos 1, 2, 4, 7 y 8 es fcil ver que el nico resultado posible de la raz pueden ser los mencionados, pero por ejemplo en el caso 5, segn la definicin de RAZ, podramos decir tambin que , ya que , lo que es totalmente correcto, y en el caso 6, , ya que , que tambin es cierto.
En general, a aquellas expresiones de la forma , donde representa a un ndice par y representa al radicando que es un nmero real mayor o igual a cero, se les puede asociar dos nmeros reales de igual mdulo y distinto signo.
Ejemplos:
a. y , ya que y
b. y , ya que y
c. y , ya que y , etc.
Recuerda:
Cuando el ndice es , la raz es llamada RAZ CUADRADA,
cuando el ndice es , la raz es llamada RAZ CBICA,
cuando el ndice es , la raz es llamada RAZ CUARTA,
cuando el ndice es , la raz es llamada RAZ QUINTA, etc.
Entonces, los valores reales de una raz dependen totalmente del ndice y del radicando de ella, lo que podemos resumir en la siguiente tabla
ndice
RadicandoPARIMPAR
NegativoNinguna raz real _________Una raz real
CeroUna raz real
Una raz real
PositivoDos races real
Una raz real
EJERCICIOS
a. Considerando lo aprendido en la Gua de Estudio, indique cul de las siguientes races tiene valor exacto:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
b. Escribe las siguientes potencias de exponente racional como races y calclalas cuando sea posible
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
vii. Clculo de races
Las races que calculamos anteriormente han tenido solamente como resultado nmeros enteros, entonces, veamos ahora qu ocurre en los casos como , , , , etc., para los cuales no existe un nmero entero que elevado al ndice nos d como resultado exactamente el radicando.
a. Calculemos una aproximacin de
Vamos a aproximar el valor de a las milsimas. El valor de se encuentra entre los valores de y , que son races exactas, es decir
Debemos comenzar a experimentar con nmeros decimales que estn entre y y buscar a aquel que multiplicado por s mismo nos d como resultado . Con el uso de la calculadora podemos ver que el primer decimal que se aproxima al valor de es , ya que si multiplicamos ste por s mismo da , en cambio, el decimal que lo sucede, que es , elevado a da , que es mayor que el radicando.
A continuacin podremos ver fcilmente que la centsima corresponde a , es decir el decimal ahora es , ya que al elevar al cuadrado da que es mayor que .
Finalmente podremos ver que la milsima aproximada del valor de es , es decir el decimal que nos quedara es , cuyo valor al cuadrado es , en cambio el valor de al cuadrado es .
Seguir este proceso infinitamente nos entregar una aproximacin cada vez ms exacta del valor de .
Construccin geomtrica de la raz de .
Analicemos la construccin geomtrica de la raz de .
Paso 1:
Construimos una recta numrica. Ya sabemos que el valor de la raz de se encuentra entre los nmeros y , ya que est entre y , entonces
|
|
|
|
0
1
2
3
Paso 2:
Luego trazamos una perpendicular de magnitud 1 en el nmero 1 de la recta numrica, y construimos un tringulo rectngulo con el origen. De acuerdo al Teorema de Pitgoras visto aos anteriores, podemos verificar de manera sencilla que la hipotenusa tiene magnitud , entonces para ubicar el valor de en la recta numrica, basta con trazar un arco con centro en el origen y magnitud que corte a la recta en exactamente el valor requerido, como vemos en la figura
1
0
1 2
3
Si queremos ubicar en la misma recta, basta con construir una perpendicular de magnitud 1, pero ahora desde el valor de , lo quedara de la siguiente manera:
1 1
0
1 2
3
De la misma manera podemos proceder para ubicar todos los valores de las races de ndice 2 o CUADRADAS en la recta numrica.
b. Calculemos una aproximacin de
Ahora aproximemos el valor de a las centsimas. El valor de se encuentra entre los valores de y , que son races exactas, es decir
Debemos comenzar a experimentar con nmeros decimales que estn entre y y buscar a aquel que multiplicado por s mismo tres veces nos d como resultado . Con el uso de la calculadora podemos ver que el primer decimal que se aproxima al valor de es , ya que si multiplicamos ste por s mismo tres veces da , en cambio, el decimal que lo sucede, que es , elevado a da , que es mayor que el radicando.
A continuacin podremos ver fcilmente que la centsima corresponde a , es decir el decimal ahora es , ya que al elevarlo al cubo da , en cambio al elevar al cubo el decimal que sigue que es da que es mayor que .
Al igual que en el caso anterior, el resultado ms exacto de lo encontraremos a medida que ms avancemos en la bsqueda de decimales.
Aproximacin numrica de races cuadradas
El mtodo anterior es de gran utilidad para encontrar races que no son exactas, pero este mtodo que te entregamos a continuacin, permite evitar el clculo extenso para encontrar una aproximacin decimal de races cuadradas.
Ejemplo: Calculemos la raz cuadrada de
a. Se divide el radicando en bloques en dos cifras empezando por las unidades. Se extrae la raz cuadrada entera del primer bloque y se baja el resto.
b. Se baja el siguiente bloque. Se duplica la raz, se baja y se busca la mayor cifra que colocada detrs del doble de la raz forme un nmero que multiplicado con dicha cifra est contenido en el radicando, del cual se resta y cuyo resultado se coloca bajo el ltimo bloque, como se indica a continuacin:
c. Se repite el proceso nuevamente, obteniendo lo siguiente:
Al llegar a cero el resto, concluimos que la operacin ha terminado, en la cual encontramos el valor de , el cual es .
EJERCICIOS
a. Calcula una aproximacin decimal de las siguientes races, llegando a tres decimales:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
xiii.
xiv.
xv.
b. Realiza la construccin geomtrica de las races cuadradas del ejercicio anterior
c. Calcula el valor de las siguientes races exactas, usando el mtodo aprendido en el Mdulo de Estudio n6
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
viii. Amplificacin y simplificacin de radicales
Basndonos en que las races pueden ser escritas como potencias de exponente racional, podemos realizar las siguientes operaciones que se indican en los siguientes ejemplos:
a. Amplificacin del ndice
Lo que podemos generalizar como
b. Simplificacin del ndice
Lo que podemos generalizar como
Esto nos permite igualar los ndices de cualquier conjunto de races, de manera de poder ordenarlas, en las cuales ser mayor aquel que tenga mayor radicando.
Ejemplo: Ordene las siguientes races de mayor a menor
Lo que se debe hacer en encontrar el MCM entre , y , de manera de obtener el valor del ndice al que debemos llegar, entonces
MCM=
Entonces debemos llegar al nmero como ndice, es decir, por ejemplo, en la primera raz, debemos amplificar su ndice y el exponente del radicando por , de manera que quede as
Y as con las dems, de manera de que queden de la siguiente forma:
De donde podemos ver fcilmente cul es mayor que la otra, solucionando slo la potencia:
Entonces quedan, en orden de mayor a menor
EJERCICIOS
a. Amplifica los ndices de las siguientes races por el nmero que se le indica y escrbalas como par ordenado:
i. por 3
ii. por 5
iii. por 2
iv. por 6
v. por 10
vi. por 4
vii. por 3
viii. por 8
ix. por 7
x. por 15
xi. por 8
xii. por 9
b. Simplifica los ndices de las siguientes races expresadas en pares ordenados, de manera que el ndice quede reducido al mnimo. Luego, escrbelos en notacin de Raz:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
c. Ordena los siguientes grupos de races, de menor a mayor, aplicando la igualacin de ndices vista en el Mdulo n7 de Estudio:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
ix. Herramientas para el trabajo con races (Teoremas)
Enunciaremos los siguientes teoremas, los cuales son equivalentes a los vistos en las guas de Estudio anteriores, pero ahora aplicables a nuestro estudio de las Races.
Teorema 1: Si se efecta el producto o multiplicacin de dos races de igual radicando racional y distinto ndice, entonces podemos conservar el radicando del que cuyo ndice radical ser el producto de los ndices y cuyo exponente corresponder a la suma de cada ndice multiplicado con el exponente de la otra raz. Simblicamente
, donde
, ,
Teorema 2: Si se efecta el cuociente o divisin de dos races de igual radicando racional y distinto ndice, entonces podemos conservar el radicando del que cuyo ndice radical ser el producto de los ndices y cuyo exponente corresponder a la resta de cada ndice multiplicado con el exponente de la otra raz. Simblicamente
, donde
, ,
Teorema 3: Si tenemos una raz de radicando racional bajo otra raz de igual o distinto ndice e igual o distinto exponente entero en el radicando, entonces podemos expresar esto como el radicando bajo una raz cuyo ndice es el producto de los ndices y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Simblicamente
, ,
Teorema 4: Si tenemos el producto o multiplicacin de dos potencias de distinto radicando racional e igual ndice natural, entonces se puede expresar ste como el producto o multiplicacin de los radicandos bajo la raz del mismo ndice. Simblicamente
, ,
Teorema 5: Si se efecta el cuociente o divisin de dos potencias de distinta base racional e igual exponente racional, entonces se puede expresar ste como el cuociente o divisin de las bases elevado al exponente. Simblicamente
, ,
Algunos casos concretos de aplicacin de estos Teoremas:
a. En este ejemplo, se aplic el Teorema 1:
b. En este ejemplo, se aplic el Teorema 2:
c. En este ejemplo, se aplic el Teorema 3:
d. En este ejemplo, se aplic el Teorema 4:
e. En este ejemplo, se aplic el Teorema 5:
EJERCICIOS
a. Desarrolla los siguientes clculos y reduce las expresiones algebraicas usando los Teoremas vistos en el Mdulo de Estudio n8
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
b. Coloca una V si la afirmacin es Verdadera y una F si es Falsa, de acuerdo a la aplicacin de las propiedades de las Races. En el caso que sea Falsa, indica la aplicacin correcta de acuerdo al problema:
i. ___
ii. ___
iii. ___
iv. ___
v. ___
vi. ___
vii. ___
viii. ___
ix. ___
x. ___
c. Efecta las siguientes operaciones:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
X. Reducir expresiones con radicales
Hay expresiones como por ejemplo
las cuales no se pueden reducir directamente, es decir, por ejemplo, no podemos sumar
,
pero aplicando los teoremas vistos, podemos reducir cada raz de manera de obtener radicandos homogneos, los que si se pueden sumar o restar, como veremos a continuacin
lo que nos transformara la expresin
en
, expresin que es igual a
Para poder reducir races por suma o resta, ellas deben ser de radicandos e ndices homogneos
Racionalizacin de fracciones
Racionalizar consiste en pasar de una fraccin a otra equivalente sin que aparezcan races en el denominador. Podemos destacar a travs de ejemplos, los siguientes casos:
a. Forma . Ejemplo:
Entonces, para racionalizar esta fraccin, debemos ver que el denominador tiene una raz de ndice 3 y exponente del radicando igual a 1. La expresin que multiplicaremos entonces por aquella fraccin es, en consecuencia
lo que nos produce el siguiente resultado
expresin que equivale a la inicial y que est racionalizada y reducida.
b. Forma . Ejemplo:
Para racionalizar esta fraccin, debemos multiplicar el denominador por aquella expresin que permita eliminar del denominador. En estos casos que el denominador es un binomio, debemos multiplicar ese binomio por su conjugado, que corresponde al mismo binomio, pero con la operacin cambiada, es decir
Expresin que es equivalente a la inicial, y que est racionalizada y reducida a su mnima expresin.
Ejercicios
a. Reduce las siguientes expresiones a su forma ms simple, de acuerdo a lo visto recientemente:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
b. Considerando que
,
y
, calcule:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
c. Racionaliza las siguientes fracciones:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
xiii.
xiv.
xv.
xvi.
PAGE 1
_975704381.unknown
_977131443.unknown
_977142114.unknown
_1108157247.unknown
_1108157304.unknown
_1108161990.unknown
_1108162082.unknown
_1108163294.unknown
_1108163336.unknown
_1108163433.unknown
_1108163434.unknown
_1108163422.unknown
_1108163414.unknown
_1108163295.unknown
_1108163296.unknown
_1108162402.unknown
_1108163268.unknown
_1108163277.unknown
_1108163286.unknown
_1108162403.unknown
_1108163186.unknown
_1108162101.unknown
_1108162401.unknown
_1108162045.unknown
_1108162057.unknown
_1108161991.unknown
_1108157339.unknown
_1108161988.unknown
_1108161989.unknown
_1108161959.unknown
_1108161960.unknown
_1108161958.unknown
_1108161957.unknown
_1108157320.unknown
_1108157331.unknown
_1108157311.unknown
_1108157279.unknown
_1108157286.unknown
_1108157295.unknown
_1108157280.unknown
_1108157265.unknown
_1108157272.unknown
_1108157255.unknown
_977145034.unknown
_977148037.unknown
_1096106924.unknown
_1096107635.unknown
_1108157229.unknown
_1108157239.unknown
_1096107845.unknown
_1096108002.unknown
_1096107723.unknown
_1096107471.unknown
_1096107532.unknown
_1096107256.unknown
_977148087.unknown
_977148149.unknown
_977148229.unknown
_977148116.unknown
_977148063.unknown
_977146425.unknown
_977147959.unknown
_977148015.unknown
_977147853.unknown
_977145499.unknown
_977145631.unknown
_977145330.unknown
_977143902.unknown
_977144535.unknown
_977144667.unknown
_977144848.unknown
_977144587.unknown
_977144389.unknown
_977144491.unknown
_977144041.unknown
_977142644.unknown
_977143673.unknown
_977143784.unknown
_977143314.unknown
_977142551.unknown
_977142565.unknown
_977142127.unknown
_977135113.unknown
_977135590.unknown
_977141743.unknown
_977141804.unknown
_977141944.unknown
_977141772.unknown
_977135701.unknown
_977135834.unknown
_977135638.unknown
_977135349.unknown
_977135428.unknown
_977135462.unknown
_977135401.unknown
_977135239.unknown
_977135281.unknown
_977135141.unknown
_977133982.unknown
_977134109.unknown
_977134145.unknown
_977135051.unknown
_977134128.unknown
_977134033.unknown
_977134095.unknown
_977134014.unknown
_977131838.unknown
_977131916.unknown
_977133960.unknown
_977131874.unknown
_977131761.unknown
_977131817.unknown
_977131735.unknown
_976292683.unknown
_977127250.unknown
_977130943.unknown
_977131164.unknown
_977131238.unknown
_977131315.unknown
_977131221.unknown
_977131089.unknown
_977131129.unknown
_977131072.unknown
_977128959.unknown
_977130283.unknown
_977130341.unknown
_977130378.unknown
_977130393.unknown
_977130355.unknown
_977130324.unknown
_977129007.unknown
_977129061.unknown
_977128982.unknown
_977128439.unknown
_977128922.unknown
_977128297.unknown
_976448296.unknown
_976480834.unknown
_976483533.unknown
_976514799.unknown
_976515408.unknown
_976515629.unknown
_976515308.unknown
_976490726.unknown
_976496065.unknown
_976514066.unknown
_976491949.unknown
_976490666.unknown
_976481266.unknown
_976481416.unknown
_976481479.unknown
_976481354.unknown
_976481137.unknown
_976481191.unknown
_976449709.unknown
_976476484.unknown
_976476533.unknown
_976480609.unknown
_976475961.unknown
_976448962.unknown
_976449339.unknown
_976448623.unknown
_976443017.unknown
_976444449.unknown
_976444615.unknown
_976445019.unknown
_976444602.unknown
_976444609.unknown
_976444595.unknown
_976443083.unknown
_976444179.unknown
_976443943.unknown
_976444063.unknown
_976443096.unknown
_976443067.unknown
_976295539.unknown
_976295620.unknown
_976441863.unknown
_976441901.unknown
_976442132.unknown
_976442401.unknown
_976441888.unknown
_976295635.unknown
_976295576.unknown
_976295586.unknown
_976295567.unknown
_976295374.unknown
_976295436.unknown
_976292760.unknown
_975729259.unknown
_975729336.unknown
_975995971.unknown
_975996303.unknown
_975996352.unknown
_976006052.unknown
_976006171.unknown
_976001350.unknown
_975996327.unknown
_975996236.unknown
_975996253.unknown
_975996041.unknown
_975729431.unknown
_975729524.unknown
_975729576.unknown
_975729474.unknown
_975729343.unknown
_975729303.unknown
_975729320.unknown
_975729329.unknown
_975729311.unknown
_975729274.unknown
_975729294.unknown
_975729266.unknown
_975728945.unknown
_975728963.unknown
_975729239.unknown
_975728955.unknown
_975704792.unknown
_975705021.unknown
_975704614.unknown
_975499259.unknown
_975502269.unknown
_975506253.unknown
_975506540.unknown
_975703563.unknown
_975703983.unknown
_975506552.unknown
_975506418.unknown
_975506490.unknown
_975506512.unknown
_975506366.unknown
_975506280.unknown
_975506300.unknown
_975506273.unknown
_975502657.unknown
_975502869.unknown
_975502915.unknown
_975505872.unknown
_975505222.unknown
_975505338.unknown
_975502890.unknown
_975502723.unknown
_975502778.unknown
_975502715.unknown
_975502511.unknown
_975502603.unknown
_975502633.unknown
_975502592.unknown
_975502292.unknown
_975502372.unknown
_975502281.unknown
_975501077.unknown
_975501350.unknown
_975501593.unknown
_975501663.unknown
_975502242.unknown
_975501976.unknown
_975501634.unknown
_975501526.unknown
_975501570.unknown
_975501364.unknown
_975501208.unknown
_975501309.unknown
_975501326.unknown
_975501286.unknown
_975501174.unknown
_975501187.unknown
_975501119.unknown
_975500329.unknown
_975500662.unknown
_975500902.unknown
_975501004.unknown
_975500914.unknown
_975500674.unknown
_975500362.unknown
_975500549.unknown
_975500341.unknown
_975499383.unknown
_975500248.unknown
_975499353.unknown
_975499371.unknown
_975499272.unknown
_975480502.unknown
_975496699.unknown
_975497212.unknown
_975497667.unknown
_975497761.unknown
_975497780.unknown
_975497696.unknown
_975497571.unknown
_975497592.unknown
_975497225.unknown
_975496884.unknown
_975497149.unknown
_975497162.unknown
_975496950.unknown
_975496781.unknown
_975496812.unknown
_975496765.unknown
_975484270.unknown
_975487769.unknown
_975496602.unknown
_975496643.unknown
_975495349.unknown
_975496004.unknown
_975496095.unknown
_975495896.unknown
_975493072.unknown
_975485041.unknown
_975485243.unknown
_975484496.unknown
_975484579.unknown
_975480813.unknown
_975480876.unknown
_975480889.unknown
_975480851.unknown
_975480640.unknown
_975480685.unknown
_975480586.unknown
_974273959.unknown
_974866936.unknown
_974874614.unknown
_974876372.unknown
_975397333.unknown
_975397384.unknown
_974876474.unknown
_974876555.unknown
_974875930.unknown
_974876333.unknown
_974875558.unknown
_974867609.unknown
_974867873.unknown
_974868062.unknown
_974867742.unknown
_974867266.unknown
_974867421.unknown
_974867096.unknown
_974791383.unknown
_974866408.unknown
_974866739.unknown
_974866784.unknown
_974866488.unknown
_974865797.unknown
_974866165.unknown
_974866322.unknown
_974866080.unknown
_974791591.unknown
_974277426.unknown
_974790568.unknown
_974790755.unknown
_974790264.unknown
_974274429.unknown
_974274589.unknown
_974275898.unknown
_974274223.unknown
_962375784.unknown
_962380263.unknown
_962382844.unknown
_962383553.unknown
_962384039.unknown
_962384238.unknown
_962384469.unknown
_968574658.unknown
_962384551.unknown
_962384334.unknown
_962384139.unknown
_962384195.unknown
_962384092.unknown
_962383885.unknown
_962384002.unknown
_962383944.unknown
_962383660.unknown
_962383260.unknown
_962383403.unknown
_962383129.unknown
_962382458.unknown
_962382641.unknown
_962382806.unknown
_962382842.unknown
_962382576.unknown
_962382639.unknown
_962381419.unknown
_962381934.unknown
_962381417.unknown
_962379020.unknown
_962379407.unknown
_962380261.unknown
_962379405.unknown
_962376146.unknown
_962379018.unknown
_962376050.unknown
_962374494.unknown
_962374723.unknown
_962375506.unknown
_962375782.unknown
_962375504.unknown
_962374613.unknown
_962374677.unknown
_962374547.unknown
_962374311.unknown
_962374421.unknown
_962374455.unknown
_962374321.unknown
_962374015.unknown
_962374047.unknown
_962373983.unknown