apunte derivadas ok

Calculo Diferencial

Berry van der Veer

30 de septiembre de 2013

Indice general

1. Formulas de Derivadas 21.1. Definicion de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Linealidad de Derivadas y Derivadas de Polinomios . . . . . . 71.3. La Regla de Cadena y Derivadas de Funciones Exponenciales 91.4. Derivacion Implcita y Derivadas de Funciones Inversas . . . . 131.5. Regla del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. Regla del Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Construccion de Tabla de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.1. Funciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.2. Funciones Exponenciales y Logartmicas . . . . . . . . 261.7.3. Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.4. Funciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1

Captulo 1

Formulas de Derivadas

En este captulo veremos, cual es el concepto derivadas, y, como se define.

Problema 1.1 Sea y la posicion vertical de un objeto que viene en fun-cion del tiempo, x. Se desea saber la velocidad del objeto en un momentosdeterminado, digamos en x = a, dado que la velocidad es constante.

La velocidad en dicho punto es el cambio en posicion, relativo al tiempotrascurrido. Sea la velocidad v. Aparte del momento x = a consideramos unmomento posterior x = b, luego: b > a.

0 1 2 3 40

5

10

15

a b

y(a)

y(b)

x

y(x

)

Sean y(a) y y(b) las respectivas posiciones en los respectivos tiempos x = a

2

y x = b. La diferencia y(b) y(a) es proporcional a b a:y(b) y(a) = v(b a). (1.1)

Si dividimos por b a, nos damos cuenta que la velocidad es igual a lapendiente de la recta, que pasa por los puntos (a, y(a)) y (b, y(b)):

v =y(b) y(a)

b a . (1.2)

Para cualquier x la velocidad es constante. Sin embargo, este modelo no esrealista.

Consideramos el origen en y = 0. Si dejamos caer una piedra de una altura,y = h, tendra esta una velocidad igual a cero, luego decrece su velocidadprogresivamente, siendo negativa, hasta caer al suelo. Consideramos la sigu-iente grafica:

0 1 2 3 4

0

5

10

15

a p

b

c

x

y(x

)

La altura inicial es igual a y = 16. La velocidad para x = 0 es cero. Elloimplica que la recta tangente por (0, 16) es horizontal. El objetivo es dibu-jar la recta tangente para x = 0. El primer axioma de Euclides dice que,dado dos puntos, se puede trazar, una, solo una recta. Fijemos a = 0. Sitomamos b = 1 y trazamos una recta por (a, y(a)) y (b, y(b)), observamosque la pendiente de esta recta es distinta a 0 y negativa. Deberemos elegirotro punto, por ejemplo x = c, y trazar la recta por x = a y x = c. Nosdamos cuenta que la pendiente de esta recta es mas negativa todava. Si

3

elegimos x = p, constatamos que la recta por (a, y(a)) y (p, y(p)) es mashorizontal. Concluimos que, para tener una mejor aproximacion deberemosaproximarnos al punto x = a. Una recta mas horizontal todava por el punto(a, y(a)) se obtiene, eligiendo (q, y(q)) con a < q < p. Moviendo q hacia a,llega a ser mas horizontal la recta, que para el ojo, en algun momento dado,solo pasara por el punto (a, f(a)). Esta es la recta tangente.

El ultimo procedimiento se puede formalizar, usando el concepto lmite.La velocidad es:

v = lmba

y(b) y(a)b a . (1.3)

Sea:

x = b a, (1.4)

donde la letra griega, Delta, significa diferencia. Sustituimos:

v = lmx0

y(a+ x) y(a)x

. (1.5)

Hallamos una formula para la velocidad para cualquier tiempo x, si reem-plazamos a por x:

v(x) = lmx0

y(x+ x) y(x)x

. (1.6)

La expresion al lado derecho, nos devuelve siempre la pendiente de la rectatangente para x dado, y se llama funcion derivada, o bien, derivada. Normal-mente no trabajamos con velocidad, como posicion relativo al tiempo, sinocon otros problemas. Por ello, conviene sistematizar el concepto matematica-mente. Para este efecto deberemos introducir una notacion uniforme, definirde manera precisa los conceptos matematicos, dar las propiedades de ellos,con los respectivos teoremas. Ello nos permitira aplicar el mismo conceptoen otras situaciones.

4

1.1. Definicion de Derivadas

En la seccion introductoria vimos, de donde surge el concepto de derivadas.Consideramos una funcion cualquiera. Una comilla puesta sobre la funcionindicara derivada:

Definicion 1.1 Sea f(x) una funcion. La derivada de f(x) se define por:

f (x) = lmx0

f(x+ x) f(x)x

. (1.7)

Notacion 1.1 En lugar de la notacion anterior, tambien es posible anotar:

df

dx= lm

x0f(x+ x) f(x)

x. (1.8)

o bien:

df

dx= lm

x0f

x. (1.9)

Ejemplo 1.1 La derivada de la funcion:

f(x) = 3x+ 2, (1.10)

es:

f (x) = lmx0

[3(x+ x) + 2] [3x+ 2]x

=

lmx0

3x+ 3x+ 2 3x 2]x

= lmx0

3x

x= 3, (1.11)

Usted habra observado que la derivada no existe cuando no se defina ellmite. Ello nos lleva a la definicion de derivabilidad.

Definicion 1.2 Sea f(x) una funcion derivable. Se dice que f(x) es deriv-able en x = a, cuando existe R:

lmx0

f(x+ x) f(x)x

= lmx0

f(x+ x) f(x)x

= . (1.12)

La interpretacion geometrica de la definicion es que la curva de la funcionno es fluida, o bien, tiene una punta, en el lugar donde no es derivable.Cerramos esta seccion con un ejemplo de la ultima situacion expuesta.

5

Ejemplo 1.2 Demostrar que la siguiente funcion no es derivable en x = 0:

f(x) = |x|. (1.13)

Solucion:

Recordamos la definicion del valor absoluto:

|x| ={ x, x < 0x, x 0 (1.14)

Luego:

1. Por un lado:

lmx0

f(0 + x) f(0)x

= lmx0

|x| |0|x

= lmx0

xx

= 1. (1.15)

2. Por otro lado:

lmx0

f(0 + x) f(0)x

= lmx0

|x| |0|x

= lmx0

x

x= 1. (1.16)

3. Vemos que los dos lmites laterales son distintos. Por ello, la funcionno es derivable.

Observacion 1.1 Al considerar la funcion f(x) = |x| (vease la Figura 1.1),nos damos cuenta que esta tiene una punta en x = 0.Luego, la funcion no tiene una pendiente unica en dicho punto y no esderivable.

Terminaremos esta seccion con un teorema.

Teorema 1.1 Sea f(x) una funcion derivable en x = a. Entonces es con-tinua.Demostracion:

Debemos demostrar que:

lmxa f(x) = f(a). (1.17)

Aplicamos las propiedades algebraicas de lmites:

lmxa f(x) = lmxa[f(x) f(a)] + lmxa f(a) =

lmxa

f(x) f(a)x a lmxa(x a) + lmxa f(a) =

f (a) lmxa(x a) + lmxa f(a) = f

(a) 0 + f(a) = f(a), (1.18)

6

6 4 2 0 2 4 60

2

4

x

y(x

)

Figura 1.1: La funcion f(x) = |x|.

1.2. Linealidad de Derivadas y Derivadas de Poli-nomios

En la seccion anterior definimos la derivada. Ahora nos corresponde verlas propiedades y formulas basicas.

Propiedad 1.1 (Suma y resta de derivadas) Sean f(x) y g(x) funcionesderivables. Luego:

[f(x) g(x)] = f (x) g(x). (1.19)

Demostracion:

Aplicamos la definicion de derivadas:

[f(x) g(x)] = lmx0

[f(x+ x) g(x+ x)] [f(x) g(x)]x

=

lmx0

(f(x+ x) f(x)

x g(x+ x) g(x)

x

)=

lmx0

f(x+ x) f(x)x

lmx0

g(x+ x) g(x)x

= f (x) g(x). (1.20)

7

Propiedad 1.2 (Multiplicacion por constante) Sea f(x) una funcionderivable. Sea k R una constante. Luego:

[kf(x)] = kf (x). (1.21)

Demostracion:

[kf(x)] = lmx0

[kf(x+ x)] [kf(x)]x

=

k lmx0

f(x+ x) f(x)x

= kf (x). (1.22)

Teorema 1.2 Sea:

f(x) = xn, n N. (1.23)Luego:

f (x) = nxn1. (1.24)

Demostracion:

Aplicamos el teorema de los binomios a (x+ x)n:

(x+ x)n =

nk=0

(nk

)(x)k xnk. (1.25)

Aplicamos la definicion de la derivada:

f (x) = lmx0

(x+ x)n xnx

= (1.26)

lmx0

xn + n x xn1 + . . .+ n (x)n1 x+ (x)n xnx

= (1.27)

lmx0

n x xn1 + . . .+ n (x):n2

n1 x+ (x)>n1

n

x= (1.28)

lmx0

n xn1 + . . .+ n (x)n2 x+ (x)n1 = nxn1. (1.29)

De su forma mas general hallamos:

8

Corolario 1.1 Sea:

f(x) = anxn + an1xn1 + . . .+ a1x+ a0. (1.30)

Luego, la derivada es:

f(x) = nanxn1 + (n 1)an1xn2 + . . .+ a1. (1.31)

Demostracion:

Mediante el teorema 1.2 y las propiedades 1.1 y 1.2 se demuestra el corolario.

Cerramos la seccion con un problema matematico, y punto de reflexion.

Problema 1.2 Determinar la derivada de la funcion:

f(x) = (x2 + x+ 1)23. (1.32)

Observamos que este problema se podra resolver mediante la expansion deltrinomio y luego aplicar la formula hallada en el corolario. Cabe senalar queesta va de solucion es larga y no nos provee de una ampliacion conceptual.La regla de cadena nos brindara un calculo mas rapido y breve, la cualtrataremos en la proxima seccion.

1.3. La Regla de Cadena y Derivadas de FuncionesExponenciales

Primero repasamos dos conceptos referidos a funciones.

Definicion 1.3 La funcion de identidad es la funcion:

i : x x, x R. (1.33)

Definicion 1.4 Sea f(x) una funcion. Se dice que f(x) es una funcioncompuesta si:

(h(x) 6= i(x), h(x))(f(x) = g(h(x)). (1.34)

Teorema 1.3 (Regla de Cadena) Sea f(u(x)) una funcion compuesta,con f(u) y u(x) funciones derivables. Luego:

df

dx=df

du dudx. (1.35)

9

Demostracion:

Denotamos:

u(x+ x) = u+ u, u(x) = u, (1.36)

Se halla:

df

dx= lm

x0f(u(x+ x)) f(u(x))

x=

lmx 0u 0

f(u+ u) f(u)u

ux

=

lmu0

f(u+ u) f(u)u

lmx0

u(x+ x) u(x)x

=df

du dudx. (1.37)

En la seccion anterior hallamos la derivada de un polinomio. En esta seccionbuscaremos la derivada de:

f(x) = ex, (1.38)

con e el numero de Euler, definido por:

e = lmn

(1 +

1

n

)n. (1.39)

Antes de deducir una formula para la derivada de la funcion:

ex, (1.40)

necesitaremos introducir dos lemas.

Lema 1.1 La expresion ex puede escribirse como:

ex = lmn

(1 +

x

n

)n. (1.41)

Demostracion:

Consideramos 3 casos por separado:

10

1. Caso x = 0:

Por una parte:

e0 =

[lmn

(1 +

0

n

)]0= 1. (1.42)

Por otra parte:

lmn

(1 +

0

n

)n= lm

n 1n = 1. (1.43)

Por ello:

ex = lmn

(1 +

x

n

)n, x = 0. (1.44)

2. Caso x > 0:

Se hace la sustitucion:

1

m=x

n n = mx. (1.45)

Ademas se aplica la propiedad de multiplicacion de exponentes:

lmn

(1 +

x

n

)n= lm

m

(1 +

1

m

)mx=[

lmm

(1 +

1

m

)m]x= ex. (1.46)

3. Caso x < 0:

Se hace la sustitucion:

1

m= x

n n = mx. (1.47)

Ademas se aplica la propiedad de multiplicacion de exponentes:

lmn

(1 +

x

n

)n= lm

m

(1 1

m

)mx=

lmm

(m 1m

)mx= lm

m

(m

m 1)mx

=

11

lmm

(1 +

1

m 1)mx

=

lmm

(1 +

1

m 1)x(

1 +1

m 1)(m1)x

=[lmm

(1 +

1

m 1)x][

lmp

(1 +

1

p

)p]x= 1 ex = ex. (1.48)

Con este resultado podremos demostrar el siguiente teorema que nos proveyala formula solicitada.

Teorema 1.4 Sea:

f(x) = ex. (1.49)

Luego:

f (x) = ex. (1.50)

Demostracion:

Aplicamos el lema 1.1 y los teoremas 1.2 y 1.3.

f =d

dx

[lmn

(1 +

x

n

)n]= lm

nd

dx

[(1 +

x

n

)n]=

lmnn

1

n

(1 +

x

n

)n1= lm

n

(1 + xn

)n1 + xn

= lmn

(1 +

x

n

)n= ex. (1.51)

Corolario 1.2 La derivada de:

f(x) = ax, a > 0, (1.52)

es:

f (x) = ln(a) ax, a > 0, (1.53)

Demostracion:

Efectuamos cambio de base:

ax =(eln a

)x= ex ln a. (1.54)

Aplicamos el teorema anterior y la regla de cadena:

(ax) =(ex ln a

)= ln(a) ex ln a = ln(a) ax. (1.55)

12

Ahora que hemos determinado tanto la derivada de xn y de ex, determinare-mos la derivada de las respectivas funciones inversas: n

x y lnx. Para ello

necesitaremos utilizar la derivacion implcita.

1.4. Derivacion Implcita y Derivadas de FuncionesInversas

Definicion 1.5 Sea y una variable dependiente, e x una variable dependi-ente y = y(x). Una ecuacion de la forma:

A(y) = B(x), (1.56)

se llama implcita si A(y) 6= y.

Definicion 1.6 Se llama derivacion implcita la derivacion del lado izquier-da A(y) 6= y. Si A(y) = y, es explcita la derivacion.

Teorema 1.5 Consideramos la ecuacion implcita:

A(y) = B(x). (1.57)

Al aplicar derivacion implcita, obtenemos:

dy

dx dAdy

=dB

dx. (1.58)

Demostracion:

En ambos lados derivamos con respecto a x. Al lado izquierdo se aplica laregla de cadena, y hemos demostrado el teorema.


f(x) = nx, (1.59)

es:

f (x) =nx

nx, (1.60)

Demostracion:

13

Se tiene:

y = nx. (1.61)

Elevamos a n en ambos lados:

yn = x. (1.62)

Aplicamos derivacion implcita:

y (nyn1) = 1. (1.63)Eso es:

y =1

nyn1 y = y

nyn. (1.64)

Con (1.61) y (1.62), obtenemos:

y =1

nyn1 y =

nx

nx. (1.65)


f(x) = lnx, (1.66)

es:

f (x) =1

x. (1.67)

Demostracion:

Sea:

y = lnx. (1.68)

Hallamos:

ey = x. (1.69)

Aplicamos derivacion implcita:

y ey = 1. (1.70)

14

Ello da:

y =1

ey. (1.71)

Sustituimos (1.69):

y =1

elnx=

1

x. (1.72)

Finalmente, hay una formula general para determinar la derivada de unafuncion inversa cualquiera. Observamos la siguiente situacion, representadaen la Figura 1.4.

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

y = x

f(x) =x

f1(x) = x2

x

y

Podemos ver que la pendiente de la recta tangente de la funcion f en (9, 3),es precisamente el recproco de la pendiente de la recta tangente funcioninversa, f1 en (3, 9). Efectivamente, si uno refleja una funcion f(x) en larecta y = x, obtiene la funcion inversa, f1(x). Mas generalmente:

Teorema 1.6 Sea f(x) una funcion cuya inversa es f1(x). Luego:

[f1(x)] =1

f (f1(x)). (1.73)

Demostracion:

Partamos por la definicion de la funcion inversa:

f(f1(x)) = x. (1.74)

15

Mediante derivacion implcita hallamos:

df1

dx dfdf1

= 1. (1.75)

Ello conduce a:

df1

dx=

1dfdf1

. (1.76)

Por ultimo, cambiamos de notacion:

(f1)(x) =1

f (f1(x)). (1.77)

Hemos visto hasta ahora la derivada de funciones exponenciales y de poli-nomios. Por otra parte tambien dedujimos la derivada de cada una de lasrespectivas funciones inversas: del logaritmo y de la raz. Culminamos estaseccion mediante una formula explcita que nos permita encontrar la deriva-da de una funcion inversa de una funcion ya conocida.

Consideramos ahora el siguiente problema:

Problema 1.3 Determinar la derivada de:

h(x) = xex. (1.78)

Quizas esperemos para un producto una regla similar a la de la suma y resta,vale decir, para dos funciones f(x) y g(x):

(fg) = f g. (1.79)

Si tomamos f(x) = x y g(x) = ex, hallamos de cada una de las funciones laderivada senalada:

f (x) = 1, g(x) = ex. (1.80)

y obtendramos la siguiente derivada del producto:

(xex) = 1 ex = ex. (1.81)Sin embargo, senalamos que esta es la derivada de la funcion ex, o bien, dela funcion g(x). Si x 6= 1 es distinta la pendiente de la recta tangente porxex a la recta tangente por ex. Por ello, podemos concluir que hemos hechoun error. En la proxima seccion buscaremos una regla para determinar laderivada de un producto de funciones.

16

1.5. Regla del Producto

Como hemos visto en el problema anterior, la derivada de una multi-plicacion de funciones no es igual a las derivadas de cada funcion respecti-vamente multiplicadas. La derivada se calcula segun el teorema con el cualdamos inicio a la presente seccion.

Teorema 1.7 (Regla del Producto) Sean f(x) y g(x) dos funciones deriv-ables. Luego, el producto tambien es derivable, y se tiene:

[f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g(x). (1.82)

Demostracion:

Puesto que tanto f(x) como g(x) son derivables, hallamos:

f (x)g(x) + f(x)g(x) =

lmx0

f(x+ x) f(x)x

g(x) + f(x) lmx0

g(x+ x) g(x)x

=

lmx0

f(x+ x) f(x)x

lmx0

g(x+ x) +

f(x) lmx0

g(x+ x) g(x)x

=

lmx0

f(x+ x)g(x+ x) f(x)g(x+ x)x

+

lmx0

f(x)g(x+ x) f(x)g(x)x

=

lmx0

f(x+ x)g(x+ x) f(x)g(x)x

=

lmx0

(fg)(x+ x) (fg)(x)x

= (fg)(x). (1.83)

Observacion 1.2 Tambien es posible demostrar la regla del producto medi-ante aplicacion de logaritmo, las propiedades de logaritmo y luego derivacionimplcita:

ln(fg) = ln f + ln g. (1.84)

Tomamos la derivada con respecto a x de ambos lados, utilizando la regla decadena:

(fg)

fg=f

f+g

g. (1.85)

17

Multiplicamos ambos lados por fg:

(fg) = f g + fg. (1.86)

Ejemplo 1.3 Determine la derivada de:

f(x) = xex. (1.87)

Solucion:

Sean:

g(x) = x, h(x) = ex. (1.88)

Las respectivas derivadas son:

g(x) = 1, h(x) = ex. (1.89)

La regla del producto dice:

f = (gh) = gh+ gh. (1.90)

En este caso hallamos:

f = 1 ex + xex = (1 + x)ex. (1.91)

Tambien podemos determinar la derivada de expresiones algebraicas, sindesfactorizacion:

Ejemplo 1.4 Determinar la derivada de:

f(x) = (x2 + 4)11(x 3)37. (1.92)

Solucion:

Sean:

g(x) = (x2 + 4)11, h(x) = (x 3)37. (1.93)

Para encontrar la derivada de la funcion g(x) aplicamos una sustitucion:

u(x) = x2 + 4 dudx

= 2x. (1.94)

18

y:

dg

dx=dg

du dudx

= 2x 11 (x2 + 4)10. (1.95)

Las derivadas respectivas son:

g(x) = 22x(x2 + 4)10, h(x) = 37(x 3)36. (1.96)

Finalmente:

f (x) = 22x(x2 + 4)10 (x 3)37 + (x2 + 4)11 37(x 3)36 =(x2 + 4)10(x 3)36 [22x(x 3) + 37(x2 + 4)] =

(x2 + 4)10(x 3)36(59x2 66x+ 148). (1.97)

La regla del producto tambien podremos ocupar para demostrar el siguientecorolario que se desprende de dos corolarios anteriores.

Corolario 1.5 Si:

f(x) = xn, n Z, x 6= 0 (1.98)

Luego:

f (x) = nxn1. (1.99)

Demostracion:

Se utiliza el resultado:

f(x) = xn, n N f (x) = nxn1. (1.100)

y la regla del producto para demostrar esta misma regla para x Z N:

xn xn = 1, n N. (1.101)

Luego, por la regla del producto encontramos:

xn (xn) + (xn) xn = 0. (1.102)

o bien:

xn (nxn1) + (xn) xn = 0. (1.103)

19

De ah:

nx1 + (xn) xn = 0 nx1n + (xn) = 0(xn) = nxn1. (1.104)

Para n = 0 es evidente que:

(x0) = (1) = 0. (1.105)

Hemos demostrado:

f(x) = xn, n Z, x 6= 0 f (x) = nxn1. (1.106)

Corolario 1.6 Si:

f(x) = xn, n Q, x > 0, (1.107)

luego:

f (x) = nxn1, n Q, x > 0, (1.108)

Demostracion:

Un numero racional q se puede representar mediante una fraccion impropia,o una fraccion propia, como:

n = r +p

q, r Z, p N {0}, q N. (1.109)

Obtenemos:

xn = xr+ p

q = xr xp/q = xr ( qx)p. (1.110)

Sean:

g(x) = xr, h(x) = xp/q. (1.111)

Con el Corolario 1.3 calculamos la derivada de qx:

( qx) =

qx

qx=x1/q1

q. (1.112)

20

Aplicamos la regla de cadena:

h(x) = [( qx)p] = p

x1/q1

q (x1/q)p1 =

p

q x1/q1 x p1q = p

q xp/q1. (1.113)

y con el Corolario 1.5 la derivada de g(x):

g(x) = rxr1. (1.114)

Aplicamos la regla del producto:

f (x) = g(x)h(x) + g(x)h(x) = rxr1 xp/q + xr xp/q1 =rxr1+p/q +

p

q xr+p/q1 =

(r +

p

q

) xr+p/q1. (1.115)

Sustituimos:

n = r +p

q, (1.116)

y obtenemos:

f (x) = nxn1, n Q. (1.117)

Se observa que el numero n puede ser negativa. Si ademas es entera, esfuncion racional la funcion f(x). La forma mas general es:

f(x) =pmx

n + pm1xm1 + . . .+ p1x + p0qnxn + qn1xn1 + . . .+ q1x + p0

, m, n N. (1.118)

Si queremos tomar la derivada de esta funcion, deberemos determinar, efec-tivamente, la derivada de un cociente de dos funciones. Para dar termino aesta seccion intentaremos llegar a una formula mas general. Consideramosla equivalencia:

f

g g = f. (1.119)

Derivamos en ambos lados, aplicando a la izquierda la regla del producto:(f

g

) g + f

g g = f . (1.120)

21

O, bien: (f

g

) g = f fg

g. (1.121)

Reordenamos el lado derecho:(f

g

) g = f

g fgg

. (1.122)

Dividimos por la funcion g:(f

g

)=f g fg

g2. (1.123)

Esta regla se llama la regla del cociente. En la siguiente seccion resumimosel resultado en la forma de un teorema y daremos una demostracion masformal.

1.6. Regla del Cociente

En esta seccion trataremos la regla del cociente.

Teorema 1.8 (Regla del Cociente) Sean f(x) y g(x) dos funciones deriv-ables, luego: (

f

g

)=f g fg

g2. (1.124)

Demostracion:

Posibilidad 1: aplicar la definicion de la derivada:

f g fgg2

=f

g fg

g2=

lmx0

f(x+ x) f(x)x g(x) lmx0

f(x)g(x+ x) f(x)g(x)x g2(x) =

lmx0

f(x+ x) f(x)x g(x) lmx0

f(x)g(x+ x) f(x)g(x)x g2(x) =

22

lmx0

f(x+ x)

x g(x)

lm

x0f(x)

x g(x)

lmx0

f(x)g(x+ x)

x g2(x) +

lm

x0f(x)

x g(x) =

lmx0

f(x+ x)

x g(x) lmx0f(x)g(x+ x)

x g2(x) =

lmx0

g(x)

g(x+ x)

[lm

x0f(x+ x)

x g(x) lmx0f(x)g(x+ x)

x g2(x)]

=

lmx0

f(x+ x)g(x)

x g(x) g(x+ x) lm

x0f(x)

g(x)

x gA2(x)=

lmx0

f(x+ x)/g(x+ x) f(x))/g(x)x

=

(f

g

). (1.125)

Posibilidad 2: aplicar derivacion implcita:

Tomamos el logaritmo de fg y aplicamos las propiedades correspondientes:

ln

(f

g

)= ln f ln g. (1.126)

Tomamos la derivada en ambos lados:

ln

(f

g

)= (ln f) (ln g). (1.127)

Aplicamos la regla de cadena:

(f/g)

f/g=f

f g

g. (1.128)

Reescribimos el lado derecho:

(f/g)

f/g=f g fg

fg. (1.129)

Multiplicamos por f/g: (f

g

)=f g fg

g2. (1.130)

Ejemplo 1.5 Determinar la derivada de:

f(x) =x2 + 1

3x 4 . (1.131)

23

Solucion:

Sean:

g(x) = x2 + 1, h(x) = 3x 4. (1.132)

Hallamos las siguientes derivadas respectivamente:

g(x) = 2x, h(x) = 3. (1.133)

Aplicamos la regla del cociente:

f (x) =(gh

)=gh gh

g2=

2x(3x 4) 3(x2 + 1)(3x 4)2 =

3x2 8x 3(3x 4)2 . (1.134)

24

1.7. Construccion de Tabla de Derivadas

En esta seccion contruiremos una tabla de derivadas, de todas las fun-ciones que conocemos. Cabra pues, primero hacer un inventario de ellas, enun mapa de conceptos.

Funciones Algebraicas

RacionalesPoli-

nomios

Radicales

Trascen-dentales

Trigono-metricas

Aperiodi-cas

Expon-enciales

Loga-rtmicas

Figura 1.2: Mapa Conceptual de Funciones

Hemos tratado hasta ahora:

1. Las funciones algebraicas,

2. De las funciones tracendentales: las funciones aperiodicas.

1.7.1. Funciones Algebraicas

La regla establecido en el Corolario 1.6 se puede generalizar a potenciasde una variable independiente con exponentes reales.

Teorema 1.9 Sea:

f(x) = xr, r R. (1.135)

25

Luego, la derivada es:

f(x) = rxr1. (1.136)

Demostracion:

Sea:

y = xr. (1.137)

Tomese el logaritmo de ambos lados:

ln y = ln(xr), (1.138)

y, aplquense las propiedades de logaritmos:

ln y = r lnx, (1.139)

Tomese la derivada de ambos lados:

y

y=r

x, (1.140)

Con y = xr, se obtiene:

y

xr=r

x, (1.141)

Multiplicamos ambos lados por xr, y simplificamos:

y = rxr1. (1.142)

Este teorema se aplica en el caso de tener polinomios (con exponentes nat-urales) o funciones de radicales (con exponentes fraccionarios), o funcionesracionales cuyo denominador es un monomio (base con exponente negativoy entero). Las otras funciones racionales se derivan mediante la regla delcociente, tratada en la seccion anterior.

1.7.2. Funciones Exponenciales y Logartmicas

Hemos encontrado dos tipos de funciones trascendentales aperiodicas:

1. Las funciones exponenciales,

26

2. Las funciones logartmicas.

Vamos a resumir los resultados obtenidos en un teorema:

Teorema 1.10 Las derivadas de:

f(x) = ex, g(x) = ax, a > 0, (1.143)

donde e es el numero de Euler, y a cualquier numero real, son:

f (x) = ex, g(x) = ln a ax. (1.144)

Por otra parte, de las respectivas inversas:

h(x) = lnx, k(x) = loga x, (1.145)

hallamos las siguientes derivadas:

h(x) =1

x, k(x) =

1

x ln a. (1.146)

Demostracion:

Mediante el Teorema 1.4 y Corolario 1.2 hallamos:

f (x) = ex, g(x) = ln a ax. (1.147)

En el Corolario 1.4 se demostro que la derivada de h(x) es:

h(x) =1

x. (1.148)

Mediante cambio de base, obtenemos:

k(x) =lnx

ln a. (1.149)

Luego:

k(x) =1

x ln a. (1.150)

27

1.7.3. Funciones Trigonometricas

Por ultimo, analizaremos las funciones trascendentales periodicas: lasfunciones trigonometricas. Como es sabido, la funcion cosx y senx cumplencon la formula de Euler:

eix = cosx+ i senx, (1.151)

con i la unidad imaginaria, definida por:

i2 = 1. (1.152)

Puesto que la funcion senx es impar y la funcion cosx par, obtenemos:

eix = cosx i senx, (1.153)

De tal modo deducimos:

cosx =eix + eix

2, senx =

eix eix2i

. (1.154)

Teorema 1.11 Sean:

f(x) = senx, g(x) = cosx, h(x) = tanx, (1.155)


f (x) = cosx, g(x) = senx, h(x) = 1cos2 x

. (1.156)

Demostracion:

i Utilizamos (1.154) para obtener:

f(x) =eix eix

2i. (1.157)

Derivamos, aplicando la regla de suma y resta de derivadas y la regla decadena:

f (x) =ieix + ieix

2i=eix + eix

2= cosx. (1.158)

28

ii Utilizamos (1.154) para obtener:

g(x) =eix + eix

2. (1.159)

Derivamos, aplicando la regla de suma y resta de derivadas y la regla decadena:

g(x) =ieix ieix

2= e

ix eix2i

= senx, (1.160)

iii Recordamos:

h(x) = tanx =senx

cosx. (1.161)

Para determinar la derivada, utilizamos los resultados (??), (??) con laregla del cociente:

h(x) =cosx cosx ( senx senx)

cos2 x=

1

cos2 x. (1.162)

Definicion 1.7 Las funciones inversas de las funciones trigonometricas:

f(x) = senx, g(x) = cosx, h(x) = tanx, (1.163)

son:

f1(x) = arc senx, g1(x) = arc cosx, h1(x) = arctanx. (1.164)

Teorema 1.12 Sean:

f(x) = arc senx, g(x) = arc cosx, h(x) = arctanx, (1.165)


f (x) =1

1 x2 , g(x) = 1

1 x2 , h(x) =

1

x2 + 1. (1.166)

Demostracion:

29

i Sea:

y = arc senx. (1.167)

Tomamos el sen de ambos lados:

sen y = x. (1.168)

Derivamos ambos lados:

y cos y = 1. (1.169)

Ello da:

y =1

cos y. (1.170)

Utilizamos:

sen2 x+ cos2 x = 1 cosx =

1 sen2 x. (1.171)Sustituir (1.168) y (1.171) en (1.170) da:

y =1

1 x2 . (1.172)

ii Sea:

y = arc cosx. (1.173)

Tomamos cos de ambos lados:

cos y = x. (1.174)


y sen y = 1. (1.175)Ello da:

y = 1sen y

. (1.176)

Sustituir (1.174) y (1.171) en (1.181) da:

y = 11 x2 . (1.177)

30

iii Sea:

y = arctanx. (1.178)

Tomamos tan de ambos lados:

tan y = x. (1.179)


y

cos2 y= 1. (1.180)

Ello da:

y = cos2 y. (1.181)

Aplicamos la identidad trigonometrica:

cos2 y + sen2 y = 1 1 + tan2 y = 1cos2 y

, (1.182)

y obtenemos:

y =1

1 + tan2 y. (1.183)

Por ultimo, sutituimos (1.179):

y =1

x2 + 1. (1.184)

A parte de las inversas de las funciones trigonometricas ya nombradas, ex-isten tambien inversas multiplicativas de ellas:

Definicion 1.8 La cosecante (cscx), secante (secx) y cotangente (cotx)son las inversas multiplicativas de senx, cosx, tanx:

secx =1

cosx, cscx =

1

senx, cotx =

1

tanx. (1.185)


f(x) = secx, g(x) = cscx, h(x) = cotx, (1.186)

son respectivamente:

f (x) = tanx secx, g(x) = cotx cscx, h(x) = csc2 x. (1.187)

Demostracion:

31

i Hallamos mediante la regla del producto, o regla de cadena la siguientederivada para secx:

f (x) =d

dx

[1

cosx

]=

senx

cos2 x=

senx

cosx 1

cosx= tanx secx. (1.188)

ii Hallamos mediante la regla del producto, o regla de cadena la siguientederivada para cscx:

g(x) =d

dx

[1

senx

]= cosx

sen2 x=

cosxsenx

1senx

= cotx cscx. (1.189)

iii Para encontrar la derivada de cotx, aplicamos la regla del cociente:

h(x) = cosx cosx senx senx

sen2 x= 1

sen2 x= csc2 x. (1.190)


f(x) = arcsec x, g(x) = arccsc x, h(x) = arccot x, (1.191)

son respectivamente:

f (x) =1

xx2 1 , g

(x) = 1xx2 1 , h

(x) = csc2 x. (1.192)

Demostracion:

i Aplicamos la secante en ambos lados:

y = arcsec x secx = y. (1.193)

Usando:

secx =1

cosx, (1.194)

derivamos implicitamente:

y sen ycos2 y

= 1. (1.195)

32

y, reescribimos:

y sec2 y

csc y= 1. (1.196)

Usamos:

cos2 x+ sen2 x = 1 1sec2 x

+1

csc2 x= 1. (1.197)

Obtenemos:

ysec2 y

11 1

sec2 y

= 1. (1.198)

Sustituimos x = sec y:

yx2

11 1

x2

= 1. (1.199)

luego:

y =1

x2

1 1x2

. (1.200)

Finalmente:

y =1

xx2 1 . (1.201)

ii Aplicamos la cosecante en ambos lados:

y = arccsc x cscx = y. (1.202)

Usando:

cscx =1

senx, (1.203)


y cos ysen2 y

= 1. (1.204)

33

y, reescribimos:

y csc2 y

sec y= 1. (1.205)

Usamos (1.197): Obtenemos:

y csc2 y

11 1

csc2 y

= 1. (1.206)

Sustituimos x = csc y:

y x2

11 1

x2

= 1. (1.207)

luego:

y = 1x2

1 1x2

. (1.208)

Finalmente:

y = 1xx2 1 . (1.209)

iii Aplicamos la cotangente en ambos lados:

y = arccot x cotx = y. (1.210)derivamos implicitamente:

y csc2 y = 1. (1.211)La expresion (1.197) conduce a:

1 +cos2 y

sen2 y=

1

sen2 y 1 + cot2 y = csc2 y. (1.212)

Obtenemos:

y(1 + cot2 y) = 1. (1.213)Sustituimos x = cot y:

y(x2 + 1) = 1. (1.214)Finalmente:

y = 1x2 + 1

. (1.215)

34

1.7.4. Funciones Hiperbolicas

Definicion 1.9 Las funciones hiperbolicas son:

senhx =ex ex

2, coshx =

ex + ex

2, tanhx =

senhx

coshx, (1.216)

con funciones inversas:

arcsenh x, arccosh x, arctanh x. (1.217)

Ademas, definimos:

sech x =1

coshx, csch x =

1

senhx, cothx =

coshx

senhx, (1.218)

con funciones inversas:

arcsech x, arccsch x, arccoth x. (1.219)

Lema 1.2 (Identidad Hiperbolica) Se tiene la propiedad:

cosh2 x senh2 x = 1. (1.220)

Demostracion:

Hallamos:

cosh2 x senh2 x =(ex + ex

2

)2(ex ex

2

)2= (1.221)(

1

4

(e2x + e2x

)+

1

2

)(

1

4

(e2x + e2x

) 12

)= 1. (1.222)

Observacion 1.3 Consideramos:

x = coshu, y = senhu, (1.223)

Mediante el lema anterior, encontramos:

x2 y2 = 1. (1.224)Esta ecuacion es precisamente la ecuacion implcita de una hiperbola. Paralas funciones trigonometricas se conoce la identidad:

cos2 u+ sen2 u = 1. (1.225)

35

Con:

x = cosu, y = senu, (1.226)

obtenemos la ecuacion implcita del cuerpo conico que se llama crculo uni-tario:

x2 + y2 = 1. (1.227)

10 5 0 5 1010

5

0

5

10

10 5 0 5 1010

5

0

5

10

Lema 1.3 Podemos expresar una funcion exponencial con base e en termi-nos de funciones hiperbolicas:

ex = coshx+ senhx. (1.228)

Demostracion:

Hallamos:

coshx+ senhx =ex + ex

2+ex ex

2= ex. (1.229)

Lema 1.4 Podemos expresar una funcion logartmica con base e en unafuncion hiperbolica inversa:

lnx = arctanh

(x2 1x2 + 1

). (1.230)

Demostracion:

36

Comenzamos con:

tanhu =eu eueu + eu

. (1.231)

Sustituimos:

x = eu eu = 1x. (1.232)

Obtenemos:

tanh(lnx) =x x1x+ x1

. (1.233)

Tomamos arctanh de ambos lados:

lnx = arctanh

(x x1x+ x1

). (1.234)

Simplificamos:

lnx = arctanh

(x2 1x2 + 1

). (1.235)

Teorema 1.15 Toda funcion exponencial puede expresarse en funcioneshiperbolicas y toda funcion logartmica se puede escribir en funciones hiperboli-cas inversas.

Demostracion:

i Mediante cambio de base tenemos:

ax = eln ax. (1.236)

Aplicamos el Lema 1.3:

ax = cosh(x ln a) + senh(x ln a). (1.237)

ii Mediante cambio de base tenemos:

loga x =lnx

ln a. (1.238)

37

Aplicamos el Lema 1.4:

loga x = arctanh

(x2

ln2 a 1

x2

ln2 a+ 1

). (1.239)

Eso es:

loga x = arctanh

(x2 ln2 ax2 + ln2 a

). (1.240)

Consecuencia 1.1 Por el Teorema 1.15 y la Observacion 1.3 se concluyeque las funciones exponenciales y logartmicas se pueden considerar co-mo casos especiales de funciones hiperbolicas, superpuestas o compuestas.Por tanto, en el lugar de aperiodicas podra decir el mapa de conceptoshiperbolicas. Analogamente, se les llama funciones circulares a las fun-ciones trigonometricas.

Despues de esta introduccion, veremos las derivadas de todas las funcioneshiperbolicas.

Teorema 1.16 Sean:

f(x) = senhx, g(x) = coshx, h(x) = tanhx,

k(x) = sech x, m(x) = csch x, n(x) = cothx. (1.241)

Las respectivas derivadas son:

f (x) = coshx, g(x) = senhx, h(x) = sech2 x,k(x) = tanhx sech x, m(x) = cothx csch x,

n(x) = csch2 x. (1.242)

Demostracion:

i Es equivalente decir:

f(x) =ex + ex

2. (1.243)

Utilizamos la regla de cadena para ver que la derivada de ex es ex.Tambien aplicamos la regla de multiplicacion por constante:

f (x) =ex ex

2. (1.244)

38

Luego:

f (x) = senhx. (1.245)

ii Del mismo modo tenemos la implicacion:

g(x) =ex ex

2 g(x) = e

x + ex

2. (1.246)

Por tanto:

g(x) = coshx. (1.247)

iii Mediante la regla del cociente hallamos:

h(x) =senhx

coshx h(x) = cosh

2 x senh2 xcosh2 x

. (1.248)

Utilizamos el Lema 1.2 y obtenemos:

h(x) =1

cosh2 x= sech2 x. (1.249)

iv Aplicamos la regla del cociente:

k(x) = sech x =1

coshx k(x) = senhx

cosh2 x. (1.250)

Reescribimos:

k(x) = senhxcoshx

1coshx

= tanhx sech x. (1.251)

v Aplicamos la regla del cociente:

m(x) = csch x =1

senhx m(x) = coshx

senh2 x. (1.252)

Reescribimos:

m(x) = coshxsenhx

1senhx

= cothx csch x. (1.253)

vi Mediante la regla del cociente hallamos:

n(x) =coshx

senhx n(x) = senh

2 x cosh2 xsenh2 x

. (1.254)

Utilizamos el Lema 1.2 y obtenemos:

n(x) = 1senh2 x

= csch2 x. (1.255)

39

Teorema 1.17 Sean:

f(x) = arcsenh x, g(x) = arccosh x, h(x) = arctanh x,

k(x) = arcsech x, m(x) = arccsch x, n(x) = arccoth x, (1.256)


f (x) =1

x2 + 1, g(x) =

1x2 1 , h

(x) = 1x2 + 1

,

k(x) = 1x

1 x2 , m(x) = 1

xx2 + 1

, n(x) = 1x2 + 1

. (1.257)

Demostracion:

i Sea:

y = arcsenh x. (1.258)

Tomamos el senh de ambos lados:

senh y = x. (1.259)


y cosh y = 1. (1.260)

Ello da:

y =1

cosh y. (1.261)

Utilizamos:

cosh2 y senh2 y = 1 cosh y =

senh2 y + 1. (1.262)

Sustituir (1.259) y (1.262) en (1.273) da:

y =1

x2 + 1. (1.263)

40

ii Sea:

y = arccosh x. (1.264)

Tomamos el cosh de ambos lados:

cosh y = x. (1.265)


y senh y = 1. (1.266)

Ello da:

y =1

senh y. (1.267)

Utilizamos:

cosh2 y senh2 y = 1 senh y =

cosh2 y 1. (1.268)Sustituir (1.265) y (1.268) en (1.297) da:

y =1

x2 1 . (1.269)

iii Sea:

y = arctanh x. (1.270)

Tomamos tanh de ambos lados:

tanh y = x. (1.271)


y

cosh2 y= 1. (1.272)

Ello da:

y = cosh2 y. (1.273)

Aplicamos la identidad trigonometrica:

cosh2 y senh2 y = 1 1 tanh2 y = 1cosh2 y

, (1.274)

41

y obtenemos:

y = 1tanh2 y 1 . (1.275)

Por ultimo, sustituimos (1.271):

y = 1x2 1 . (1.276)

iv Aplicamos la secante hiperbolica en ambos lados:

y = arcsech x sech x = y. (1.277)

Usando:

sech x =1

coshx, (1.278)


y senh ycosh2 y

= 1. (1.279)

y, reescribimos:

y sech2 y

csch y= 1. (1.280)

Usamos:

cosh2 y senh2 y = 1 1sech2 y

1csch2 y

= 1. (1.281)

Obtenemos:

y sech2 y

11

sech2y1

= 1. (1.282)

Sustituimos x = sech y:

y x2

11x21

= 1. (1.283)

42

luego:

y = 1x2

1x2 1

. (1.284)

Finalmente:

y = 1x

1 x2 . (1.285)

v Aplicamos la cosecante hiperbolica en ambos lados:

y = arccsch x csch x = y. (1.286)Usando:

csch x =1

senhx, (1.287)


y cosh ysenh2 y

= 1. (1.288)

y, reescribimos:

y csch2 y

sech y= 1. (1.289)

Usamos (1.281) y obtenemos:

y csch2 y

11

csch2y+1

= 1. (1.290)

Sustituimos x = csch y:

y x2

11x2

+1

= 1. (1.291)

luego:

y = 1x2

1x2

+ 1. (1.292)

Finalmente:

y = 1xx2 + 1

. (1.293)

43

vi Sea:

y = arccoth x. (1.294)

Tomamos coth de ambos lados:

coth y = x. (1.295)


y

senh2 y= 1. (1.296)

Ello da:

y = senh2 y. (1.297)

Aplicamos la identidad hiperbolica:

cosh2 y senh2 y = 1 coth2 y 1 = 1senh2 y

, (1.298)

y obtenemos:

y = 1coth2 y 1 . (1.299)

Por ultimo, sustituimos (1.295):

y = 1x2 1 . (1.300)

1.7.5. Resumen

Hemos llegado a la siguiente tabla de derivadas:

44

Nr. f(x) f (x) Descripcion1. (c g)(x), c R c g(x) Multiplicacion por Constante2. (g h)(x) g(x) h(x) Suma y Resta de Funciones3. (g h)(x) g(x)h(x) + g(x)h(x) Regla del Producto4. (g/h)(x) g

(x)h(x)g(x)h(x)[h(x)]2

Regla del Cociente

5. g(u(x)) dgdu dudx Regla de Cadena6. f1(x) 1

f [f1(x)] Funciones Inversa

a. c, c R 0 Derivada de Constanteb. x 1 Funcion de Identidad

c. xr, r R rxr1 Potencias con Base Variabled. ex ex F. Exponencial con Base e

e. ax, a > 0 ln a ax F. Exponencialf. lnx x1 F. Logartmica con Base eg. loga x, a > 0 x

1/ ln a F. Logartmicah. cosx senx F. Trigonometricai. senx cosx Idem

j. tanx sec2 x Idem

k. secx tanx secx Ideml. cscx cotx cscx Idemm. cotx csc2 x Idemn. arc senx, arc cosx 1

1x2 F. Trigonometrica Inversan. arctanx, arccot x 1

x2+1Idem

o. arcsec x,arccsc x 1xx21 Idem

p. coshx senhx F. Hiperbolica

q. senhx coshx Idem

r. tanhx sech2 x Idem

s. sech x tanhx sech x Idemt. csch x cothx csch x Idemu. cothx csch2 x Idemv. arcsenh x 1

x2+1F. Hiperbolica Inversa

w. arccosh x 1x21 Idem

x. arctanh x, arccoth x 1x21 Idem

y. arcsech x 1x

1x2 Idemz. arccsch x 1

xx2+1

Idem

45

Captulo 2

Formulas de IntegralesIndefinidas

46

apunte derivadas ok

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