OPTIMIZACION PARA ESTUDIANTESDEINGENIERIA1Jorge Amaya A.Departamento deIngenieraMatem atica yCentrodeModelamiento Matem aticoUniversidad deChile4demarzode20141Los comentarios son bienvenidos:jamaya@dim.uchile.clIndicegeneral1. MatematicasparalaOptimizaci on 41.1. ElproblemadeOptimizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Conjuntosconvexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Poliedros:caracterizaci onypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. Puntosextremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3. Direccionesydireccionesextremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.4. Proyecci onsobreconjuntosconvexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.5. Separaci ondeconvexos:teoremasdeFarkasyGordan . . . . . . . . . 281.3. Funcionesconvexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.1. Conjuntosrelevantesasociadosafuncionesconvexas. . . . . . . . . . 381.3.2. Funcionesconvexasdiferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392. Caracterizaci ondeoptimalidad 462.1. Denici ondelproblemadeOptimizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2. Condicionesdeoptimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.1. Optimizaci onsinrestricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.2. Optimizaci onconrestricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493. Programaci onLineal 573.1. Introducci onyejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. Resoluci ondeproblemasdeProgramaci onLineal:algoritmoSimplex . . . . 5913.2.1. FaseIIdelalgoritmoSimplex:mejorarsoluci onencurso . . . . . . . 613.2.2. Fase I del algoritmo Simplex:obtener una soluci on inicial b asicafactible 683.3. Programaci onLinealEntera(ramicaci onyacotamiento). . . . . . . . . . . 724. DualidadenProgramaci onLinealyAplicaciones 774.1. Denici ondedualidadyprincipalespropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2. Interpretaci onecon omicadeladualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3. Dualdecualquierproblemalineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.4. AlgoritmoSimplex-dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.5. Introducci onalan alisispost-optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5.1. Variaci onenloscoecientesdelafuncionobjetivo. . . . . . . . . . . 884.5.2. Variaci onenelvectorderecursos(oladoderecho). . . . . . . . . . . 904.5.3. Introducci ondeunanuevaactividad(ovariable) . . . . . . . . . . . . 924.5.4. Introducci ondeunanuevarestricci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . 945. Modelosparaujosenredes 985.1. Motivaci onydescripci ondeproblemascl asicos. . . . . . . . . . . . . . . . . 985.1.1. Problemadeasignaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.2. Problemadetransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.3. Problemadeujom aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.4. Problemadecaminom ascorto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2. Resoluci ondelproblemadetransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2.1. Obtenerunasoluci onb asicafactibleinicial(FaseI) . . . . . . . . . . 1075.2.2. Examinarsiunasoluci onb asicafactiblees optima . . . . . . . . . . . 1115.2.3. Modicarunasoluci onb asicafactible(sinoes optima) . . . . . . . . 1135.3. Flujodecostomnimo:mejoramientodeunasoluci onencurso . . . . . . . . 1146. AlgoritmosparaProgramaci onnoLineal 1206.1. Optimizaci onsinrestricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12126.1.1. Metododelgradiente(descensomaspronunciado) . . . . . . . . . . . 1216.1.2. MetododeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.1.3. Metododepaso(minimizaci onunidimensional) . . . . . . . . . . . . 1296.2. Optimizaci onconrestricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.2.1. Metododelgradienteproyectado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.2.2. Metododedireccionesadmisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.2.3. Metododepenalizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413Captulo1MatematicasparalaOptimizaci on1.1. ElproblemadeOptimizaci onLa formulaci onmatem aticade un problemade Optimizaci onse escribehabitualmenteen laforma:(P) minimizar (omaximizar) f(x)x Sdondexesel vectordevariablesdedecisi on, f: S IReslafunci onobjetivoyS IRnes el conjuntofactible. De aqu en adelante trabajaremos solamente con la formu-laci onenterminosproblemademinimizaci on, sabiendoqueel otrocasoescompletamentean alogo.Amenudoelconjuntofactibleest adescritomedianteS= x IRn/gi(x) 0 i = 1, . . . , m, x X IRnyse dice que las expresiones gi(x)0 i =1, . . . , mrepresentanel conjunto de re-striccionesdelproblema(P).ElsubconjuntoXpuederepresentar,porejemplo,elprimercuadrantedeIRn,lasvariablesenteras, olasvariablesbinarias. SiS=IRn, el problemasedir airrestricto.Unvector x IRnquepertenezcaal conjuntoSsellamarasoluci on(opunto)factiblede(P).Siadem assatisfacequef( x) f(x) x S,4sediraque xessoluci on optimaosimplementesoluci onde(P).Dependiendo de las caractersticas particulares del problema, este recibe nombres y tratamien-tos especiales para su resolucion. Dos casos de interes, son el de la programaci onlineal (fygisonfuncioneslinealesanes i)ylaprogramaci onlinealentera(enqueademaslasvariabless olotomanvaloresenteros). Tambientrataremoslateoraytecnicasdesoluciondeunproblemaconfuncionesnolineales.Unconceptoesencial paraentenderc omoplantearyresolverunproblemadeoptimizaci oneseldeconvexidad.Mostraralgodelateorab asicadelan alisisconvexoysuvinculaci onconlateoradeoptimizaci onsonlosobjetivosdelassiguientessecciones.1.2. ConjuntosconvexosDenici on1.2.1SeaS IRn, S ,= .SedicequeSesconvexo1six + (1 )y S x, y S, [0, 1]Geometricamente, estadenici onsepuedeinterpretarcomosigue:unconjuntonovacoesconvexosi dadosdospuntosdel conjunto, el segmentoderectaquelosuneest acontenidoendichoconjunto(verFigura1.1).yyxxa) b)Figura1.1: El conjuntodelaguraa)esconvexo. El conjuntodelagurab)noesconvexo, puesexisteunsegmentoderecta,uniendodospuntosdelconjunto,quenoest aincluidoenel conjunto.Ejemplo1.2.1Unespaciovectorialesunconjuntoconvexo(enparticular,IRnloes).1Por convenci on, el conjunto vaco sera considerado convexo5Demostraci on.Directopues, pordenicion, unespaciovectorial escerradoparalasumaylaponderaci onporescalar.Ejemplo1.2.2S= x IR3/x1 + 2x2 x3= 2esunconjuntoconvexo.Demostraci on.Seanx, y S, [0, 1]. Pordenici ondel conjuntoS, estosignicaquex1 + 2x2 x3= 2 e y1 + 2y2y3 = 2.Vemosquex + (1 )y=__x1 + (1 )y1x2 + (1 )y2x3 + (1 )y3__perteneceaS,puesx1 + (1 )y1 + 2x2 + (1 )y2 x3 + (1 )y3 =(x1 + 2x2x3) + (1 )(y1 + 2y2y3) =2 + 2(1 ) = 2Denici on1.2.2Seana IRn, IRjos.Sellamahiperplanoal conjuntoH= x IRn/aTx = UnhiperplanoHdenedossemiespacios:H = x IRn/aTx H+= x IRn/aTx Porejemplo, enel casoH= x IR3/x1 + 2x2 x3=2setienequeaT=(1, 2, 1)y = 2.Losdossemiespaciosasociadosson:H= x IR3/x1 + 2x2 x3 2H+= x IR3/x1 + 2x2 x3 2.Ejemplo1.2.3UnsemiespacioSenIRnesunconjuntoconvexo.Demostraci on.Consideremosa IRny IR,quedenenelsemiespacioS= x IRn/aTx .Seanx, y S, [0, 1],entonces621-2x3x 2x1HH-H+Figura1.2:SemiespaciosgeneradosporelhiperplanoHaTx + (1 )y = aTx + (1 )aTy + (1 ) = Luegox + (1 )y S y,porlotanto,Sesconvexo.Proposici on1.2.1SeanS1yS2dosconjuntosconvexos.EntoncesS1 S2esunconjuntoconvexo.Demostraci on.Seanx, y S1 S2, [0, 1].Entoncesx, y S1 x + (1 )y S1yx, y S2 x + (1 )y S2,puestoqueS1yS2sonconvexos.Luegox + (1 )y S1 S2,esdecir,S1 S2esconvexo.7Observaci on1.2.1Observemosque:i) Estapropiedadsepuedegeneralizarf acilmenteaunaintersecci oncualquieradecon-vexos.Estoes,siesunconjuntoarbitrario,inclusononumerable, y Sesunaclasedeconjuntosconvexos,entonces

Sesunconjuntoconvexo.ii) Aunque del Ejemplo 1.2.3 puede concluirse facilmente que un hiperplano es un conjuntoconvexo(reemplazandolasdesigualdadesporigualdades), podemosusarestaproposi-ci onparaprobarqueunhiperplanoesunconjuntoconvexo,dadoqueesintersecci ondeconvexos.Ejemplo1.2.4Sistemadedesigualdadeslineales:a11x1 + ... + a1nxn b1...am1x1 + ... + amnxn bmconaij, bi, xj IR, i = 1, . . . , m,j= 1, . . . , n.ElsistemaseanotaAx b,conA = (aij)i=1...m;j=1...n, b =___b1...bm___.ElconjuntoS= x IRn/Ax beslaintersecciondemsemiespaciosdelaformaSi= x IRn/Aix bi(donde Aidenota la la i-esima de la matriz A), los cuales, seg un vimos en el Ejemplo 1.2.3,sonconjuntosconvexos. Luego,porlaProposici on1.2.1,Sesconvexo.Denici on1.2.3Seanx1, . . . , xk IRn, 1, . . . , k IR+talesquek

i=1i=1. El vectorx =k

i=1ixisedicecombinaci onconvexadeloskvectoresx1, . . . , xk.Denici on1.2.4SeaS IRn(nonecesariamenteconvexo).Sedenelaenvolturacon-vexadeS,delamanerasiguiente:co(S) = k

i=1ixi/k IN,x1, . . . , xk IRn, 1, . . . , k IR+,k

i=1i= 1.8Esdecir,eselconjuntodetodaslasposiblescombinacionesconvexasdepuntosdeS.Observaci on1.2.2SeanS, S

IRn,entonces:S co(S).Sesconvexosiysolosico(S) = S.SiS S

entoncesco(S) co(S

).yyxxa) b)Figura 1.3:La envolturaconvexadelconjuntode la gura a)coincidecon el,porserconvexo.Paraelconjuntodelagurab),lalneas olidadelimitasuenvolturaconvexa.Ejemplo1.2.5Laenvolturaconvexadelosn umerosracionalesesIR.Ejemplo1.2.6Seanv1=__520__, v2=__673__, v3=__031__, v4=__341__vectoresenIR3.SuenvolturaconvexaquedadeterminadaporelpoliedrodelaFigura1.4,cuyosverticesestandadosporel conjuntodevectores v1, v2, v3, v4.Proposici on1.2.2co(S)esunconjuntoconvexo.Demostraci on. Seanx, y co(S),esdecir,x =k

i=1ixi, y=m

i=1iyi9012345623456710123Figura 1.4: La envoltura convexa del conjunto de puntos se nalados queda determinada por un poliedrocuyosverticesestandadosporunsubconjuntodel conjuntodepuntos.dondex1, . . . , xn, y1, . . . , ym Sy1, . . . , n, 1, . . . , m, sonponderadoresdelascombina-cionesconvexas.Sea [0, 1] yx + (1 )y= k

i=1ixi + (1 )m

i=1iyi.Llamandozi= xi, i= i, i = 1, . . . , kyzk+i= yi, k+i= (1 )ii = 1, . . . , m,setienequex + (1 )y=k+m

i=1iziconzi S,i [0, 1], i = 1, . . . , k + m yk+m

i=1i= 1.Luegopordenici onsetienequex + (1 )y co(S),porlotantoco(S)esconvexo.Proposici on1.2.3El conjuntoco(S)esel convexom aspeque no(enel sentidodelain-clusi on)quecontieneaS,esdecir,co(S) =

C IRn/Cconvexo, S C.Demostraci on.Seax C IRn/Cconvexo, S C.Entoncesx C, Cconvexo,talqueS C.Luegox co(S),queesunconvexoparticularquecontieneaS.10Seanahorax co(S) yCunconvexo cualquieraque contiene aS. Entonces co(S) co(C) = C,porlotantox C.Luego,x

C IRn/Cconvexo, S C.Ejercicio1.2.1SeanS1yS2convexos, IR. Sedenelasumayponderaci ondecon-juntoscomosigue:S1 + S2= x + y /x S1, y S2S1= x/x S1PruebequeS1 + S2yS1sonconvexos.1.2.1. Poliedros: caracterizaci onypropiedadesDenici on1.2.5Se llama poliedro a un conjunto de la forma T= x IRn/Ax b conA /mn(IR)yb IRm,esdecir,unpoliedroesunaintersecci onnitadesemiespacios.Proposici on1.2.4 T

= x IRn/Ax = b,x 0esunpoliedro.2Demostraci on.Claramente,elconjunto T

quedarepresentadopor elsiguientesistemadeinecuacioneslineales:__AAI__x __bb0__dondeIlamatrizidentidadendimensi onn.LlamandoA

=__AAI__, b

=__bb0__,seobtieneunsistemadelaformaT= x IRn/A

x b

,queesiguala T

.Luego, T

esunpoliedro.2x 0 si y solamente sixi 0 i = 1, . . . , n11Observaci on1.2.3Es obvioque T

=x IRn/Ax bes unpoliedro. Enefecto: comoxIRnesirrestricto,bastamultiplicarel sistemadedesigualdadespor-1,ydenirA

=-A,b

=-b.Proposici on1.2.5Todopoliedroesunconjuntoconvexo.Demostraci on.VerEjemplo1.2.4.Sedir aqueunpoliedro T= x IRn/Ax = b, x 0est aescritoenformacanonica.Enlosucesivotrabajaremosconestarepresentacion.Proposici on1.2.6Unpoliedroesunconjuntocerrado.Demostraci on. Sea Tel poliedro x IRn/Ax=b, x 0yconsideremos x T(ad-herenciaocerradurade T).Mostraremosque x T.Como x T,existeunasucesi on xken Ttalque lmkxk= x.Ademas, k 0,elpuntoxkvericaAxk= bxk 0Tomandolmite(yporcontinuidaddelafunci onlinealx Ax)setiene:A x = b x 0Luego x TyporlotantoT T. Dadoquesecumplesiempreque T T, seobtieneT= T,luego Tescerrado.Ejemplo1.2.7C= x IR2/ x1 + x2 2, x1 + x2 4, x2 4, x1 0, x2 0.Matricialmenteestopuedeescribirsedelasiguientemanera:__1 11 10 11 00 1___x1x2_______24400______ElconjuntoCesunpoliedro,convexoycerrado,peronoacotado,tal comoseapreciaenlaFigura1.5.12Cxy244(2,4)(1,3)(4,0)Figura1.5:ElconjuntoCesunpoliedro,convexoycerrado,peronoacotado.1.2.2. PuntosextremosDenici on1.2.6SeaSIRnunconjuntoconvexo, S,= . Unvector x S se llamapuntoextremodeS si nopuedeserrepresentadocomocombinaci onconvexadeotrosdos puntosdistintosdel convexo. Es decir,si x = x1 +(1 )x2,conx1, x2 Sy ]0, 1[,entoncesx = x1= x2.Ejemplo1.2.8Veamosalgunoscasosdeconjuntosconvexosysuspuntosextremos.a) Sea S=B(0,1), labola unitariaen IRn. El conjuntode puntos extremos quedarepresen-tadopor x IRn/ |x| = 1,queeslafronteradeS.b) El conjuntodepuntosextremosdelpoliedrodel Ejemplo1.2.6esE=_____520__,__673__,__031__,__341_____.c) El conjuntodepuntosextremosdeunsemiespaciocerradoesvaco.13d) SeanU=__00_,_11_,_13_,_ 24_,_02__yS= coU****(0,0)(1,1)(1,3)(-2,4)y>=x(0,2)*y>=-2x x 0,construyamoslossiguientesvectoresy= x + z= x Es claro que y, z T, para sucientementepeque no. Ademas x ,= y, y ,= zy z ,= x, por lotanto x =12y +12zes combinacion convexa de dos puntos distintos en T, luego no es extremo(contradicci on).As, A1, . . . , Aksonlinealmenteindependientes, loqueimplica, enparticular, quek m.Podemos agregar Ak+1, . . . , Am (eventualmente reordenando columnas) para obtener un con-junto maximal (recordar que A es de rango m) y denir B= [A1, . . . , Am], que es una matrizinvertible,yN= [Am+1, . . . , An].Conesto, Asepuedeescribir enlaformaA=[B, N], amenos deunareordenaci ondelascolumnas.SetieneentonceslasequivalenciasAx = b n

i=1xiAi= b m

i=1xiAi +n

i=m+1xiAi= bNotandox =_xBxN_,conxB=___x1...xm___ 0, xN=___xm+1...xn___=___0...0___,laecuaci onanteriorseescribe:BxB + NxN= bdedondexB= B1b.18Corolario1.2.1El n umerodepuntos extremos deunpoliedroenlaformacan onicaesnito.Demostraci on.Hayalosumo_nm_formasdeelegirlasmcolumnasindependientesdeA,ycadamatrizBest aasociadaalom asaunpuntoextremo.Ejemplo1.2.9ConsideremosunpoliedroenlaformacanonicadadoporlasmatricesA =_2 1 0 10 0 1 2_yb =_11_Calculemos sus puntos extremos. De acuerdo al corolario anterior, existen a lo sumo 6 puntosextremosdadoquehay6formasposiblesdeelegirlamatrizB.(1) B=_2 10 0_noesinvertible.(2) B=_2 00 1_esinvertible,peroB1b =_121_noesunvectorpositivo.(3) B=_2 10 2_esinvertibleyel vectorB1b=_3412_tienetodassuscoodenadaspositivas.(4) B=_1 00 1_esinvertible,peroB1b =_11_noesunvectorpositivo.(5) B=_1 10 2_esinvertibleyel vectorB1b=_3212_tienetodassuscoodenadaspositivas.(6) B=_0 11 2_esinvertible,peroB1b =_ 31_noesunvectorpositivo.Los casos (3) y (5) nos entregan puntos extremos para el poliedro en estudio, s olo falta ubicarlosvaloresresultantesenlasposicionescorrectas:Lamatrizdel caso(3)tomalascolumnasprimeraycuartadelamatrizA, luegoelvectorpuntoextremocorrespondienteser a____340012____.19Lamatrizdel caso(5)tomalascolumnassegundaycuartadelamatrizA, luegoelvectorpuntoextremocorrespondienteser a____032012____.Denici on1.2.7Se llama poltopo a la envoltura convexa de un conjunto nito de puntos.Deacuerdoconestadenici on, puedeconcluirsefacilmentequetodopoltopoesenvolturaconvexa de sus puntos extremos. Es obvio, adem as, que todo poltopo es un poliedro. Luego,parecenatural preguntarsesi todopoliedropuedeescribirsecomocombinacionconvexadesus puntos extremos. Larespuestaes negativa, cuandoel poliedroes noacotado. EnelEjemplo 1.2.7observamos que los puntos del poliedroque noest anenlasupercie deltri angulodenidoporlospuntos_13_,_24_y_40_, nopuedenserexpresadoscomocombinaci onconvexadeesostrespuntosextremos.Ejemplo1.2.10SeaS= x IR2/x2 [x1[.Dadoquex2 [x1[ x2 x1 x2, x2 0,setieneS= x IR2/x1 x2 0, x1 x2 0, x2 0o,enformamatricial__1 11 10 1__x 0.ComoesposibleverenlaFigura1.8, el origenesel unicopuntoextremoyning unpuntodel poliedroSpuedeexpresarsecomocombinaci onconvexadesuspuntosextremos.Luego,parapoliedrosnoacotadosintroduciremosunnuevoconcepto,enlasubsecci onsiguiente.1.2.3. DireccionesydireccionesextremasDenici on1.2.8SeaS IRn, unconjuntoconvexo. Unvectord IRn, d ,=0, sedicedirecci ondeSsi x Ssetienequex + d S, 0.20d2d1Figura1.8: El origenes el unicopuntoextremodel poliedrodelagurayd1, d2sonsus unicasdireccionesextremas.Consideremoselpoliedro T= x IRn/Ax = b, x 0 .Unadirecci onde Tdebesatisfacerque x T:A(x + d) = b 0x + d 0 0Luego,desdireccionde TsiysolamentesisatisfaceelsistemaAd = 0, d 0.Denici on1.2.9Dosdireccionesd1yd2sediranigualessid1=d2paraalg un>0.Seescribir ad1= d2,sinohayposibleconfusi on.Denici on1.2.10SeaSunconvexocerradoyd IRnunadirecci ondeS.Sedicequedesdirecci onextremasi, dadasd1yd2, direccionesdeS, talesqued=d1 + d2paraalg un, > 0,entoncessetienequed = d1= d2.Es decir, d no puede expresarse como combinaci on lineal positiva (estricta) de dos direccionesdistintas.21Ejemplo1.2.11EnlaFigura1.8, d1yd2sondireccionesextremasytodaotradirecci onseescribecomocombinaci onlinealpositivadeellas.Conloquehemoshechohastaaqu,unapreguntainteresantees:existiraalgunacaracteri-zaciondelasdireccionesextremas,equivalentealaobtenidaparapuntosextremos?Escribamos lamatrizAquerepresentael poliedroescritoenlaformacan onicatal comoenel casodepuntosextremos, esdecir, A=[B, N] yconsideremosd=_ B1ajej_conB1aj 0,dondeajescolumnadeN.Elvectorejtienecoordenadasnulas,salvoun1enlaposici onqueindicael ndicej.Veriquemosquedesdireccion:enefecto,d 0 yAd = [B, N]_ B1ajej_= BB1aj + Nej= aj+ aj= 0.Supongamos que noes extrema.Entoncesexistend1y d2, direccionesde Tdistintasentres,talesquedescombinacionlinealpositivadeellas,esdecir,d =_ B1ajej_= 1d1 + 2d2, paraalgunos 1, 2> 0.Entoncesd1yd2tendr annecesariamentelaforma:d1=_d111ej_, d2=_d212ej_paraalgunos1, 2 0talesque1 + 2= 1.Comod1y d2sondireccionesde TentoncesAd1= Ad2= 0.Luego[B, N]_d111ej_= Bd11 + 1Nej= Bd11 + 1aj= 0 d11= 1B1aj[B, N]_d212ej_= Bd21 + 2Nej= Bd21 + 2aj= 0 d21= 2B1ajporlotantod1= d2= d(enelsentidodelaigualdaddedirecciones),loquemuestraquedesdireccionextrema.Depaso,seobservaque1, 2 ,= 0puestoqued1yd2sondirecciones.Loexplicadoanteriormente nos permiteformular el teoremadecaracterizaci ondedirec-cionesextremas.22Teorema1.2.2Seaunpoliedro T= x IRn/Ax = b, x 0, dondeA /mn(IR)esde rango m y b IRm. Una direcci ond IRnes direcci on extrema de Tsi y solo si la matrizA se puede descomponer, eventualmente reordenando sus columnas, en la forma A = [B, N],dondeB /mm(IR)esinvertibleydesunm ultiplopositivoded=_ B1ajej_conB1aj 0,dondeaj N(esunvectorcolumnadeN)yejesel j-esimovectordelabasecan onicadeIRnm.Corolario1.2.2Eln umerodedirecciones extremas deunpoliedroenlaformacan onicaesnito.Demostraci on. Hay a lom as_nm_ formas de elegir B1y como hayn m columnas enN,entonces(n m)_nm_eseln umerom aximodedireccionesextremas.Ejemplo1.2.12Volvamosal Ejemplo1.2.9. Deacuerdoal corolarioanterior, existen12posibles direcciones extremas, por lotantonodesarrrollaremos el c alculocompleto. S oloconsideraremosel siguientecaso: tomemos lamatriz Bformadapor lasegundaycuartacolumnasdeA,esdecirB=_1 10 2_.LuegoN=_2 00 1_yB1N=_2 120 12_. El productodeB1conlaprimeracolumnadeNnoesnegativo,porlotanto,nonospermitecalcularunadirecci onextrema.Sinem-bargo,el productoconlasegundacolumnadeNesnegativo.Talcomoenel casodepuntosextremos,solobastaordenar lainformaci on paradecirqued =____012112____esdirecci onextremadelpoliedro.Paraconcluirestasecci on,enunciaremos, sindemostrar,unteoremadecaracterizaci onqueligatodoloquehemosdesarrolladoenestasecci on.Teorema1.2.3Sea T= x IRn/Ax = b,x 0, dondeA /mn(IR)esderangomyb IRn. Seanx1, . . . , xklospuntosextremosyd1, . . . , dllasdireccionesextremasde T.23Entonces,x Tsiysolosipuede serescritocomolasumadeunacombinaci on convexadelospuntosextremosyunacombinaci onlinealpositivadelasdireccionesextremas,esdecir,x =k

i=1ixi +l

j=1jdjdondei 0 i = 1, . . . , k,k

i=1i= 1, j 0,j= 1, . . . , l.Teorema1.2.4 T= x IRn/Ax = b, x 0 ,= tieneal menosunadirecci onsi ys olosi Tesnoacotado.Demostraci on.(=) Si Ttiene una direccion d, entonces es no acotado puesto que dado x Tse tiene quex + d T, 0yporlotanto lm|x + d| = .(=) Supongamos que Tes no acotado y que no posee direcciones. Entonces tampoco poseeedireccionesextremas y, por el teorema anterior, todo punto x Tpuede escribirse de la for-max =k

i=1ixi,paraalgunosi 0,i = 1, . . . , k,k

i=1i= 1.Porladesigualdadtriangular|x| =____k

i=1ixi____k

i=1i|xi| k

i=1|xi| < x Tloquecontradiceque Tseanoacotado.Ejercicio1.2.2Sea S un convexo. Demuestre que x Ses punto extremo si y s olo si Sxesconvexo.Ejercicio1.2.3ProbarquesiSesunconjuntonito,co(S)esunpoliedro.1.2.4. Proyecci onsobreconjuntosconvexosTeorema1.2.5SeaSunconjuntoconvexo, cerrado, novacoenIRn, y IRn, y / S.Entonces,existeun unico x Squeminimizalafunci on24y: S IRx y(x) = |y x|Demostraci on.Existencia:Sea=nfy(x)/x S.Existeunasucesi onminimizante xkkIN Stalquey(xk) , k .UsandolapropiedadconocidacomoLeydelParalel ogramo,|u + v|2+|u v|2= 2 |u|2+ 2 |v|2,parau = xk y,v = xl y, tenemos|xk xl|2= 2 |xk y|2+ 2 |xl y|2|xk + xl 2y|2= 2 |xk y|2+ 2 |xl y|24__12xk +12xl y__2Notarque, porconvexidaddeS,setieneque12xk +12xl S,luego__12xk +12xl y__22,porlotanto,|xk xl|2 2 |xk y|2+ 2 |xl y|242Si k, l , setieneque |xk y| y |xl y| , luego |xk xl|20, esdecir,xkkINes unasucesi onde Cauchyen IRny, por lo tanto, convergea un cierto x S, puesSescerrado.Porcontinuidaddelanorma,y( x) = .Unicidad: Sea x S, x ,= x, tal quey( x) =. Demaneraan alogaalaparteanterior,sellegaa | x x|2 2 | x y|2+ 2 | x y|242,queesigualacero,luego x = x.Observaci on1.2.4Elteoremaanterioresv alidoparalanormaeuclideana,perosiseusaotra norma, entonces es posible que la proyecci on no quede bien denida al no haber unicidad.Enloquesigue,salvoindicacionexpresaencontrario,siempreentenderemosqueseusalanormaeuclideana.Denici on1.2.11SeaSunconvexocerradonovaco.i) Paray IRn,sedeneladistanciadeyaS,pord(y, S) = mny(x)/x S.25*yd(y,S)P (y)Sx_SFigura1.9:DistanciayproyecciondelpuntoyalconjuntoSii) Paray IRn,sedenelaproyecci ondeysobreS,mediantePS(y) = arg mny(x)/x S = x S,siendo xel unicoquesatisfacey( x) y(x), x S.Observaci on1.2.5Lanotacionarg mnseleecomoelargumentoqueminimiza.Clara-mente,siy Ssetienequed(y, S) = 0yPS(y) = y.Por otraparte, deaqu enadelanteusaremos lanotaci on u, v) parael productointernohabitualenIRnpero,comointerpretamoslosvectoresdeIRncomocolumnas,esequivalenteescribiruTv.Teorema1.2.6SeanSunconvexocerradonovacoey/ S.Setienequey x, x x) 0, x Ssiysolamentesi xminimizay(x).26Demostraci on.Supongamosqueparacierto x IRnsetiene y x, x x) 0, x S.Entonces|y x|2= |y x (x x)|2= |y x|2+|x x|22y x, x x) |y x|2+|x x|2 |y x|2Estoimplicaque |y x| |y x|,x S.Esdeciry( x) y(x),x S.Inversamente, si xminimizayenS,entonces x S:|y x|2= |y x (x x)|2= |y x|2+|x x|22y x, x x) |y x|2+|x x|22y x, x x)Luego y x, x x) 12|x x|2, x S.ComoSes unconjuntoconvexoy x S, entonces x + (1 ) x S, ]0, 1[ yporlotanto:y x, x + (1 ) x x) 12|x + (1 ) x x|2dedondey x, x x) 2|x x|2Tomando 0+,setieneelresultado.Geometricamente, el teorema anterior quiere decir que la proyecci onde ysobre Sse alcanzaenunpunto xtalqueeltrazoy xesortogonalalconjunto.Teorema1.2.7SeaSunconvexocerradonovaco,entonces |PS(x) PS(y)| |x y| ,x, y IRn.Observaci on1.2.6Estoesequivalenteadecirquesi Sunconvexocerradonovaco, lafunci ondeproyecci onPSesdeLipschitz(continua).Ejercicio1.2.4Demuestreel Teorema1.2.7.27_xySFigura1.10:ProyecciondeysobreS.1.2.5. Separaci ondeconvexos: teoremasdeFarkasyGordanTeorema1.2.8(Hahn-Banach) SeaSunconvexocerradonovaco, y / S. Entoncesexistenp IRn,p ,= 0, IR,talesquepTy > pTx , x S.ySH={z/p z=} tFigura1.11:Hesel hiperplano separadorentreSey.Demostraci on. Deacuerdoalodesarrolladoenlasubsecci onanterior, existe un unico x Stalque y x, x x) 0, x S.28Seanp = y x ,= 0y = p, x).Tenemosquep, x x) 0, x Sporlotantop, x) p, x) = x S (1.1)Porotroladop, x x) = p, x y + y x) = p, x y) +p, y x) = p, x y) +|p|2 0,x Sloqueimplicaquep, x) +|p|2 p, y), x S.Como |p|2,= 0,setienequep, x) < p, y), x S (1.2)Por (1.1), se tiene que p, x) x Sy por (1.2), se tiene que < p, y), lo que concluyelademostraci on.Elteoremaanteriorintroducelanoci ondehiperplanoseparador(verFigura1.11).Denici on1.2.12SeaSunconvexocerradonovaco.Unhiperplanosoportante deSesunhiperplanoHtal queH S ,= y S H+ S H.EstosemuestraenlaFigura1.12.SH3b)Sa)HH12Figura1.12:Paralaguraa),H1yH2sondoshiperplanossoportantesenelpuntose nalado.Cuando denimos los poliedros, los caracterizamos como una intersecci on nita de semiespa-cios. El siguiente teorema nos permitir a deducir una caracterizaci on similar para un conjuntoconvexonovacocualquiera.29Teorema1.2.9SeaS IRnunconjuntoconvexoysea xunpuntoenlafronteradeS.EntoncesStieneunhiperplanosoportanteen x.Corolario1.2.3SeaSunconvexocerradonovaco.EntoncesS=

Wsemiespacio/S WObservaci on1.2.7Notequelaintersecci onanteriornoesnecesariamentenita.Demostraci on. Bastatomarlossemiespaciosgeneradosportodosloshiperplanossopor-tantesdelconvexo,quecontenganaS.Teorema1.2.10(Farkas) SeaA /mn(IR), c IRn. Unoys olounodelossiguientessistemastienesolucion:(1)Ax 0,cTx > 0(2)ATy = c,y 0Demostraci on. Supongamos que (2) tiene soluci on, es decir, que existe y0tal queATy= c.Si (1) tuviese solucion, existirax IRntal que Ax 0, cTx>0. Premultiplicandolaprimeradesigualdadpory 0, setienequeyTAx=(ATy)Tx=cTx 0, locual esunacontradicci on.Porlotanto(1)notienesoluci on.Supongamosahoraque(2)notienesoluci on. SeaS= IRn/=ATy, y 0, queesunconvexo,cerradoynovaco.Como(2)notienesolucion,entoncesc/ S.Luegoexistenp ,= 0, IRtalesquep, c) > y p, ) , S.Como= 0 S, 0,loqueimplicap, c) > 0 (1.3)De p, ) S,setieneque p, ATy) = Ap, y) , y 0.30Supongamos queAptieneunacoordenadaestrictamentepositiva, digamos (Ap)1, ycon-sideremosy= _____10...0_____, > 0.Entonces(Ap)1 > 0,loqueesunacontradicci on,puessepuedeelegirsucientementegrandedemododeviolarladesigualdad, dadoque(Ap)1> 0.Luego,Apnotienecoordenadaspositivas,esdecir,Ap 0 (1.4)De(1.3)y(1.4)sededuceque(1)tienesolucionparax = p.Ejercicio1.2.5SeaA /mn(IR), c IRn. Unoys olounodelossiguientessistemastienesoluci on:(1)Ax 0,x 0,cTx > 0(2)ATu c,u 0Bastaconsiderarlamatriz A =_AI_yaplicarFarkas.Teorema1.2.11SeanS1yS2,conjuntosconvexos novacos enIRn, talesqueS1S2= .ExisteunhiperplanoqueseparaS1yS2,esdecir,existep IRnnonulotal quepTx1 pTx2x1 S1, x2 S2.Demostraci on.ConsideremoselconjuntoS= x/x = x2 x1, x1 S1, x2 S2 = S2 S1.SededucedelEjercicio(1.2.1)queSesunconvexo.Ademas,esclaroque0/ S(enefecto,0 SimplicaraqueS1 S2 ,= ).Luego,usandoelTeorema1.2.8,existep ,= 0talquepTx 0 x Sdedondeseconcluyeque31S1S2HFigura 1.13: En el caso de la gura, el hiperplano separador de los dos conjuntos convexos es soportanteparalaclausuradeambos.pT(x2 x1) 0 x1 S1, x2 S2loquepruebaelteorema.Teorema1.2.12(Gordan) Sea A /mn(IR). Entonces uno y solo uno de los siguientessistemastienesolucion:(1)Ax < 0(2)ATp = 0,p 0,p ,= 0Demostraci on.Supongamos primero que (1) tiene soluci on, es decir, que existe x IRntalqueAx < 0.Demostraremosque(2)notienesoluci on.Sino,existirap IRn, p 0,p ,= 0talqueATp = 0.Entonces, premultiplicando(1) por pTse obtienequepTAx 0talque |x x| [f (x) f ( x)[ .35Seaentonces >0. Dadoque x int(S)existe>0tal quelaboladecentro xyra-dioest aincluidaenS,esdecir,B( x, ) S.Claramente x ei S,coneivectordelabasecan onica.Luego,esclaroque x =12( x + ei) +12( x ei)yestoimplica(porconvexidaddef)f( x) 12f( x + ei) +12f( x ei) i = 1, . . . , ndedonde0 12f( x + ei) f( x) +12f( x ei) f( x).De aqu se desprende que i, f( x+ei)f( x) y f( xei)f( x) no pueden ser simultanea-mentenegativos.Sea K= m axf( xei)f( x),i = 1, . . . , n, 0 K< , y denamos = mnn,nK.Seani 0i = 1, . . . , n,talesquex x =n

i=1idi,condi=_eisi xi xi 0eisi xi xi< 0Luego, |x x|2=____n

i=1idi____2=n

i=1n

j=1ijdidj=n

i=12i |di|2= 2n

i=12i 2.As,setienequen

i=12i 22= mn1n2,2n2K2,loqueimplicaenparticularquei mn1n,nK i = 1, . . . , n.36Entonces,f(x) = f(x x + x) = f(n

i=1idi + x) = f(n

i=11n(nidi + x))n

i=11nf(nidi + x) =1nn

i=1f[(1 ni) x + ni( x + di)]1nn

i=1[(1 ni)f( x) + nif( x + di)]= f( x) +n

i=1i[f( x + di) f( x)]Luego(deladenici ondeKyporlacotaestablecidaparaim asarriba),f (x) f( x) n

i=1i[f( x + di) f ( x)] Kn

i=1i Paraterminar,faltaprobarquef ( x) f(x) .Seay= 2 x x.Notemosque |y x| = | x x| ,luego,f(y) f( x) .Perof( x) = f(12y +12x) 12f(y) +12f(x)implicaque12[f ( x) f(x)] 12[f(y) f( x)] 12.Luego, [f (x) f( x)[ ysetieneelresultado.Unafunci onconvexapodranosercontinuaentodosudominio, sinembargo, el teoremaanterior dice que los puntos de discontinuidadse encuentranen la frontera, como muestraelsiguienteejemplo.Ejemplo1.3.2SeaS= x/ [x[ 1yf: S IR,denidaporf (x) =_x2[x[ < 12 [x[ = 1Lafunci onfesconvexa, continuaenint (S)ylospuntosdediscontinuidad 1, 1est anenlafronteradeS.371.3.1. ConjuntosrelevantesasociadosafuncionesconvexasDenici on1.3.5Seaf: S IRnIR,conS ,= unconjuntocualquiera.Para IRsedenenlossiguientesconjuntos(verFigura1.16)N(f) = x IRn/f(x) ,elconjuntodenivel.C(f) = x IRn/f(x) = ,curvadenivel.epi(f) = (x, ) S IR/f(x) ,el epgrafodef.x1x2x11,x2] f(x) N=[xCf(x)={x1,x2}fepi(f)* *Figura1.16:Conjuntodenivel,curvadenivel yepgrafodeunafunci onrealf.Teorema1.3.2Seaunafuncionf: S IRn IR,conSconvexo.Setieneque(i) fesconvexasiysolosiepi(f)esunconjuntoconvexo(ii) Sifesconvexa,entoncesN(f)esconvexo.Demostraci on.38(i)Seafconvexa.Sean(x, ), (y, ) epi(f), [0, 1].Entonces,porconvexidad(x, ) + (1 )(y, ) = (x + (1 )y, + (1 )) S IRComofesconvexa,entoncesf(x + (1 )y) f(x) + (1 )y + (1 ),puestoquef(x) y f(y) .Luego,(x, ) + (1 )(y, ) epi(f),porlotantoepi(f)esconvexo.Seaahoraepi(f)unconjuntoconvexo.Claramentesetieneque(x, f(x)), (y, f(y)) epi(f)y,porlotanto,para [0, 1]setiene(x, f(x)) + (1 )(y, f(y)) epi(f).Esdecir,(x + (1 )y,f(x) + (1 )f(y)) epi(f),dedondeseconcluyequefesconvexa.(ii)Seanx, y N(f).Setienequef(x) yf(y) ,porlotantof(x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y) dedondex + (1 )y N(f).Larecprocade(ii)noescierta: paralafunci on(iv)del Ejemplo1.3.1, N(f)esconvexo IR,sinembargolafuncionnoesconvexa.1.3.2. FuncionesconvexasdiferenciablesDenici on1.3.6SeaS IRn,novaco,f: S IR, x S, y d ,= 0tal que x + d S [0, [,alg un> 0.Sedeneladerivadadireccional def enel punto x, enladirecci ond, por(cuandoellmiteexiste)39f

( x, d) =lm0+f( x + d) f( x)IRdondeIR = IR , +.Denici on1.3.7SeaS IRn, novaco. Unafunci onf: S IRsedicediferenciableen x int (S)siexiste f( x) IRntal quef(x) = f( x) +f( x)T(x x) + o (x x) x Sdondelmx xo (x x)|x x|= 0.Teorema1.3.3SifesdiferenciableenelinteriordeS,entoncesf

( x, d) = f( x)Td.Demostraci on.Sea x int (S),comofesdiferenciablesetienequef (x) = f ( x) +f( x)T(x x) + o(x x) x S.Seax = x + d S(para > 0sucientementepeque no),luegof ( x + d) = f ( x) +f( x)T(d) + o(d)implicaf ( x + d) f ( x)= f( x)Td +o(d)|d||d|Tomandolmitecuando 0+,seobtienef

( x, d) = f( x)Td.Lasiguienteproposici ongarantizalaexistenciadeladerivadadireccional delasfuncionesconvexas(bajociertaship otesisgenerales).Proposici on1.3.1Seaf: S IR,convexa.Sean x S, y d ,= 0talesqueexiste> 0quecumple x + d S,paratodo [0, [.Entoncesf

( x, d)existe.Demostraci on.Sean0 < 1< 2< .Entoncesf( x + 1d) = f(12( x + 2d) + (1 12) x) 12f( x + 2d) + (1 12)f( x)40implicaf( x + 1d) f( x)1f( x + 2d) f( x)2As, la funcion () =f( x + d) f( x)es mon otona (no decreciente) y por lo tanto nf>0()existe(estamosenIR).Pero nf>0() =lm0+() = f

( x, d),luegoladerivadadireccionalexiste.El teoremasiguientepermitecaracterizarlaconvexidaddelasfuncionesdiferenciables, es-tableciendo que el hiperplano soportante de la funci on, en un punto cualquiera de la fronteradelepgrafo,acotainferiormentealafunci on.Teorema1.3.4(Caracterizaci ondeconvexidadenel casodiferenciable)Seaf:S IRunafunciondiferenciableenS IRn,convexo.Entoncesfesconvexasiys olosif(x) f( x) +f( x)T(x x),x, x S.Demostraci on.()Seafconvexa.Dadosx, x Ssetienequef(x + (1 ) x) f(x) + (1 )f( x), [0, 1]Reordenando,tenemosquef( x + (x x)) f( x) f(x) f( x), [0, 1[ytomandolmite 0+:f

( x, d) = f( x)T(x x) f(x) f( x)queimplicaf(x) f( x) +f( x)T(x x), x, x S.()Seanx, x S.Entonces,f(x) f(x + (1 ) x) +f(x + (1 ) x), (1 )(x x)) [0, 1]f( x) f(x + (1 ) x) +f(x + (1 ) x), ( x x)) [0, 1]41Multilplicandolaprimeradesigualdadpor,lasegundapor(1 )ysumando,setienef(x) + (1 )f( x) f(x + (1 ) x) [0, 1]Esdecir,fesconvexa.Observaci on1.3.1Es directo probar que f, satisfaciendo las hip otesis del teorema anterior,esestrictamenteconvexasiys olosif(x) > f( x) +f( x)T(x x), x, x S, x ,= x.Corolario1.3.1Seaf: S IRunafunciondiferenciable enS IRn,convexo. Entoncesfesconvexasiys olosi f(x2) f(x1), x2 x1) 0, x1, x2 S.Demostraci on.Deacuerdoalteoremaanterior,f(x1) f(x2) +f(x2), x1 x2) x1, x2 Sf(x2) f(x1) +f(x1), x2 x1) x1, x2 SSumandolasdesigualdadesanteriores,setieneque0 f(x2), x1 x2) +f(x1), x2x1) = f(x2) +f(x1), x2 x1)esdecir, f(x2) f(x1), x2 x1) 0 x1, x2 S.Denici on1.3.8SeaSIRn, novaco. Unafunci onf : SIRse dicedos vecesdiferenciableen xsiexiste f( x) IRnyH( x) /nn(IR)tal quef(x) = f( x) +f( x)T(x x) +12 (x x)TH ( x) (x x) + o (x x) x Sdondeo (x x)[[x x[[2 0six xLamatrizH ( x)sellamamatrizHessianadefen x:H ( x) =__2f( x)x212f( x)x1x2

2f( x)x1xn......2f( x)xixj...2f( x)xnx1 2f( x)x2n__42Teorema1.3.5(Caracterizaci ondeconvexidadparaunafunci ondosvecesdiferenciable)SeaS IRnunabierto, convexo,novaco,yseaf:S IRdosvecesdiferenciableenS.Entoncesfesconvexasiys olosiH (x)essemi-denidapositiva x S.Demostraci on.()Sea x S.Queremosprobarque x IRn, xTH ( x) x 0.ComoSes abierto, x IRn, x + x S, parasucientemente peque no. Del Teore-ma1.3.4setienequef ( x + x) f( x) + f( x)Tx, x IRnAdemas,f( x + x) = f( x) + f( x)Tx +22xTH ( x) x + o (x) , x IRnRestandolasdosecuaciones,setieneque0 22xTH ( x) x o (x) x IRndedonde,xTH ( x) x +22o (x) 0 x IRn.Parax ,= 0 (elcasox = 0 esdirecto), dividamospor |x|2y tomemoslmitecuando 0+paraobtenerquexTH ( x) x 0 x IRn,esdecir,queH ( x)essemi-denidapositiva.()Seanx, x S.Porteoremadelvalormediof(x) = f( x) +f( x)T(x x) +12 (x x)TH( x) (x x)con x = x + (1 )x S,paraalg un ]0, 1[.ComoH( x)essemi-denidapositiva,(x x)TH( x) (x x) 0,luegof(x) f( x) +f( x)T(x x) x, x SPorelTeorema1.3.4,fesconvexa.43Ejemplo1.3.3Seaf_x1x2_= x215x22 + 2x1x2 + 10x110x2.Deseamosvericarsifesconvexa,c oncavaoningunadeellas.Podemosescribirfdeunamaneram asconvenientecomosigue:f_x1x2_=_10, 10__x1x2_+_x1, x2__ 1 11 5_ _x1x2_=_10, 10__x1x2_+12_x1, x2__ 2 22 10_ _x1x2_Luego,H(x) =_ 2 22 10_(nodependeexplcitamentedex).Calculemossusvalorespropios:det_ 2 22 10 _= (2 + ) (10 + ) 4 = 2+ 12 + 16 = 0dedonde1= 1,5279 y 2= 10,4721.Comoambosvaloressonnegativos,H(x)esdenidanegativa.Luego,porelteoremaante-rior, f esconcava. M asa un, comolodemuestrael siguienteresultado, f esestrictamenteconcava.Corolario1.3.2SeaS IRnunabierto, convexo, novaco, yseaf : S IRdosvecesdiferenciableenS.Setieneque,(i) siH(x)esdenidapositivaencadapuntodeS,entoncesfesestrictamenteconvexa.(ii) sifesestrictamenteconvexa,entoncesH(x)essemi-denidapositivaentodopuntodeS.Demostraci on.(i) Analogamente a la segunda parte de la demostraci on del teorema anterior, de la igualdadf(x) = f( x) +f( x)T(x x) +12 (x x)TH( x) (x x)44yusandoelhechoqueH(x)esdenidapositiva,seobtienef(x) > f( x) +f( x)T(x x) x, x S,x ,= x,PorlaObservaci on1.3.1,estoesequivalenteadecirquefesestrictamenteconvexa.(ii)Notarquelm0_xT|x|H ( x)x|x|+ 2o (x)2|x|2_> 0implicaxTH ( x) x 0 x IRn,esdecir,H( x)essemi-denidapositiva.45Captulo2Caracterizaci ondeoptimalidad2.1. Denici ondelproblemadeOptimizaci onEnestecaptulotrataremoselproblema:(P) mn f(x)x SCon S IRn, generalmentedenido por ecuaciones no necesariamentelineales, que llamare-mos regi onfactibley funa funci on cualquiera. Ciertamente, si Ses un poliedro y fes linealentoncessetratadelcasodelaProgramaci onLineal.Denici on2.1.1Unpuntox Ssediramnimolocaldefsiexiste > 0quecumplaf(x) f(x),x Stalque |xx| < .Esdecir,existeunavecindaddexdondedichopuntoesmnimo.Denici on2.1.2Unpuntox Ssediramnimoglobal def enSsi f(x) f(x),x S.Esdecir,xessoluci onde(P).Enterminosdel lenguajeutilizado,un elemento x Ssellamasoluci onfactible de(P) ysi xresuelve(P)sepuededecirqueessoluci on, soluci on optima, mnimo,osoluci onglobaldelproblema.Teorema2.1.1Seaf : S IR, conSconvexonovaco, ysea xunasolucionlocal delproblema(P).Entonces,46(i) Sifesconvexa, xesmnimoglobal.(ii) Sifesestrictamenteconvexa, xesel unicomnimoglobal.Demostraci on.(i)Sea > 0talquef( x) f(x), x V( x) = x S/ [[ x x[[ < ysupongamosque xnoes optimoglobal.Esdecir,existey Stalquef(y) < f ( x).Luego,para ]0, 1[,f(y + (1 ) x) f(y) + (1 ) f( x) < f( x) + (1 ) f( x) = f( x),parasucientementepeque no(enrealidadbastaconelegir 0Denotaremospor T( x) = d / f( x)Td < 0alconjuntodedireccionesdedescenso.Ademas,por simplicidadnotacionalysinohayposibleconfusi on,escribiremos / = /( x) yT = T( x).Ambosconjuntospuedenservacos.49Teorema2.2.4Seaf: IRn IRdiferenciable en x S.Si xesmnimolocaldelproblema(P) mn f(x)x Sentonces, / T = .Demostraci on.Razonandopor contradicci on,supongamosqueexisted /T, entoncesd / =existe> 0talque x + d S, [0, [ yd T =existe > 0talquef( x + d) < f( x), [0, [.Luegof( x +d) 0 = mn 63, 44 = 1.65 sx1x2x3x4z0 0 3 -1 01 0 -3 3 60 1 -8 4 4 rCriterio de pivoteo (mejorar soluci onencurso): se hace entrar alabase alguna(cualquiera) variablenob asicacuyocostoreducidoseanegativo. Seaxslaelegida. Paradecidircualeslavariablequeentraensureemplazo,sebuscalalartalquebr ars= mnbi ais/ ais> 0ysepivoteasobreelcoecienteenlaposicion(r, s).AlgoritmoSimplex(FaseII)Consideremos el siguientecuadrofactible, es decir, suponemos quebi 0, i =1, . . . , m,quelamatrizAcontieneunaidentidad, correspondientealascolumnasb asicas, yqueloscostosreducidosdelasvariablesb asicassonnulos. c1 cn z a11 a1nb1...... am1 amnbm(1) Si cj 0 j= 1, . . . , n,entonceslasolucionencursoenoptima.Lasvariablesb asicassonigualesa biylasnob asicassonnulas.(2) Si cj 0paraalg un i,sedeterminartal quebr ars= mnbi ais/ ais> 0ysepivoteaen ars,paradespuesvolvera(1).Loscoecientessonmodicadosseg un: aij aij ais arj arsparai ,= r66 arj arj arsbi bi aisbr arsparai ,= rbr br ars cj cj cs arj ars z z csbr arsObservaci on3.2.1Notarqueestocorrespondeprecisamenteal pivoteodeGaussparalaresoluci ondesistemasdeecuacioneslineales.Ejemplo3.2.4Consideremosmn x13x2x1+x2 33x1+x2 2x1, x2 0Elproblema,escritoenlaformacanonica,queda:mn x13x2+0x3+0x4x1+x2+x3= 33x1+x2+x4= 2xi 0 i = 1, 2, 3, 4Escribamoslatabla: sx1x2x3x4z-1 -3 0 0 01 1 1 0 3-3 1 0 1 2 r(pivoteando) sx1x2x3x4z-10 0 0 3 64 0 1 -1 1 r-3 1 0 1 2

x1x2x3x4z0 0 5/2 1/2 17/21 0 1/4 -1/4 1/40 1 3/4 1/4 11/467Deestecuadronalidenticamosx=_141140 0_Tcomolasoluci on optima,luegoelvalor optimoesz= 17/2Denici on3.2.4Si unaom as variables b asicas sonnulas, entonces lasoluci onsedicedegenerada.Encasocontrario,lallamaremosno-degenerada.Observaci on3.2.2Cuandolasoluci onxdeunPLesdegenerada,existemasdeunabaseasociadaaesevertice. Enefecto, si x IRntienep0, entonces el poliedroes vaco, es decir,(P)esinfactible.Ejemplo3.2.5Consideremosm ax x1+2x2x1+x2 1x1x2= 0x1 4xi 0 i = 1, 269Escribamoselproblemaensuformacan onica:(P) mn x12x2x1+x2x3= 1x1+x4= 4x1x2= 0xi 0 i = 1, 2, 3, 4Luego, agregando las variables articiales x5, x6, x7 (son tres, dado el n umero de restriccionesdelproblema(P),tenemos:mn x5+x6+x7x1+x2x3+x5= 1x1+x4+x6= 4x1x2+x7= 0xi 0 i = 1, . . . , 7Yatenemosplanteadoelproblemaquenecesitamosresolver.Escribamoslatablayaplique-moselmetodoSimplex1:3 0 1 1 0 0 0 51 1 1 0 1 0 0 11 0 0 1 0 1 0 41 1 0 0 0 0 1 0 x1= ( 0 0 0 0 1 4 0 )TPrimeraiteraci on:0 3 1 1 0 0 3 50 2 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 41 1 0 0 0 0 1 0x2= ( 0 0 0 0 1 4 0 )TSegundaiteraci on:0 0 1/2 1 3/2 0 3/2 7/20 1 1/2 0 1/2 0 1/2 1/20 0 1/2 1 1/2 1 1/2 7/2 1 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2x3= (12120 0 0720 )T1las negrillas se nalan las variables en la base para cada iteraci on.70Terceraiteraci on:0 0 0 0 1 1 1 00 1 1/2 0 1/2 0 1/2 1/20 0 1/2 1 1/2 1 1/2 7/21 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2x4= (12120720 0 0 )TEnla ultimaiteraciontodas las variables articiales salende labase, los costos reduci-dosasociadostomantodoselvalor1yz= 0.Yatenemos unasoluci onb asicafactible. Ahoraeliminamos las variables articiales yre-calculamosloscostosreducidosyelvalorobjetivoparaestasoluci on:0 1 1/2 0 1/20 0 1/2 1 7/21 0 1/2 0 1/2Elvectordecostosest adadoporcT=_1 2 0 0_T,porlotanto:cTB=_c2c4c1_T=_2 0 1_T, cTN=_c3_=_0_Elordenenqueseescribeelcostoparalasvariablesbasicasdependedel vectorenlabasecan onicaquelasmismastienenasociado.ReconozcamoslasmatricesByNenelproblemaoriginal(P):B=__1 0 10 1 11 0 1__, N=__100__Loscostosreducidosser an: cTB=_0 0 0_, cTN= cTN _2 0 1___1 0 10 1 11 0 1__1__100__. .= 1271_121212_Tcolumnanob asicadelcuadroEntantoque:Tb =_2 0 1___1/27/21/2__=12Conestoelcuadroqueda:0 0 1/2 0 1/20 1 1/2 0 1/20 0 1/2 1 7/2 1 0 1/2 0 1/2Iterandounavezseg unlaFaseIIalgoritmoSimplex,obtenemos:0 0 0 1 40 1 0 1 40 0 1 2 71 0 0 1 4conlocualxT=_4 4 7 0_essolucion optimaparaelproblema,yelvalordelafuncionobjetivoes (Tb) = 4(recordemosquehicimoselcambiomax z= mnz).3.3. Programaci onLineal Entera(ramicaci onyaco-tamiento)En estasecci onpresentamosunaforma de resolverel problemade Programaci on Lineal conlarestricci onadicional deintegridaddealgunasdelasvariables. Uncasoparticularmuyimportantedeestoesaquel enquealgunasvariablespuedentomarsolamentelosvalores0 o1(variables binarias odedecisi on). Suponiendoquelos costos sonn umeros enteros,introduciremoselmetodoatravesdeunejemplosimple;consideremos(P) mn 51x1+90x2x1+x2 65x1+9x2 45x1, x2 IN72El metodo funciona de la siguiente manera: se resuelve primero el problema relajado siguiente:(P0) mn 51x1+90x2x1+x2 65x1+9x2 45x1, x2 0La relajaci on corresponde a cambiar el conjunto IN por IR+, pero en el caso de variables 0-1,larelajaci oncorresponderaaimponerrestriccionesdeltipoxi [0,1].Lasoluci onde(P0)es (x1,x2)=(94,154 ), convalorz0=452, 25. Si denotamoszal de-sconocidovalor optimo de (P), entonceses claroque z0 z, pues la regi on factible de (P0)contienealaregi onfactiblede(P).Dadoqueloscostossonenteros,sepuedededucirunacotade(P): z 453.Acotamos unadelas variables (x1), quetomavalornoentero, enlaformax1 2obi-enx1 3.Esodividelaregi onfactibleendossubregionesqueconformanunapartici ondelaregi onfactiblede(P).Seresuelveporseparadolosdossubproblemasasgenerados:(P11) mn 51x1+90x2x1+x2 65x1+9x2 45x1 2x1, x2 0(P12) mn 51x1+90x2x1+x2 65x1+9x2 45x1 3x1, x2 0sabiendoque lasoluci onde(P) se encuentraenunadelas dos subregiones factibles deestosproblemas(P11)y(P12).Veamosentonceslassolucionesdeestosproblemas:para(P11):(x1,x2) = (2,4),z11= 462;para(P12):(x1,x2) = (3,103 ),z12= 453.Dado que (P11) tiene solucion entera, representa una soluci on factible para el problema orig-inal (P). Entonceseseproblemayanodar aorigenasubproblemas, puesnohayvariablesparasubdividir,yestableceunacotaparalafunci onobjetivo:z 462.Analogamente, el problema (P12) tiene una soluci on no entera, de modo que su valor optimo73esunacotainferiordelvalor optimodelproblema(P)original,esdecir,z 453.Enestaetapacorresponde entonces subdividir seg unel subproblema(P12), enlaforma:x2 3obienx2 4. Lavariablex2, enestecaso, esla unicaquepermiteramicar, peroen general puede haber muchasy en ese casose elige cualquiera. Tenemosentoncesdos sub-problemasapartirde(P12):(P21) mn 51x1+90x2x1+x2 65x1+9x2 45x1 3x2 3x1, x2 0(P22) mn 51x1+90x2x1+x2 65x1+9x2 45x1 3x2 4x1, x2 0Lassolucionesrespectivasson:para(P21):(x1,x2) = (185 ,3),z21= 453, 6;para(P22):(x1,x2) = (3,4),z22= 513.Estoentregaelnuevointervalo:454 z 462.Si denotamos(Pk)aunsubproblemacualquieradelaramicaci on, entoncessedetieneelproceso de b usqueda en la rama correspondiente cada vez que ocurre una de las 3 situacionessiguientes:Elsubproblema(Pk)esinfactible. Cualquierramicaci on(quecorrespondeaagregarrestricciones)quesehagadeahenadelantegenerar asubproblemasinfactibles.Elsubproblema(Pk)entregaunasoluci onentera.Dadoquelaregi onfactiblede(Pk)est a contenida en la regi on factible del problema (P), entonces la soluci on del subprob-lemaesfactiblepara(P)yporlotantoproveeunacotasuperiordelvalor optimozbuscado.El subproblema(Pk) tiene solucion no entera y su valor optimo es mayor que la menorcotasuperiordezestablecidaporlossubproblemasprecedentesquehanentregadosolucionesenteras.Paralaaplicaci ondeestasreglashayquetenerencuentaque:74Cadavezqueseencuentraunsubproblemaconsolucionentera, segeneraunacotasuperiordez.Cadavezqueseencuentraunsubproblemacon solucionnoentera,sepuederamicarysedisponedeunanuevacotainferiordez.Estos dos hechos permiten establecer una sucesi on decrecientede intervalos que contienen elvalorzyquepuedenserusadoscomocriteriodedetenci on,cuandonosebuscanecesaria-mentelasoluci on optimade(P),sinoquesolamenteunabuenaaproximaci ondeella.En nuestroejemplo, la rama a partir de (P22) debe detenersepor dos razones: tiene solucionenteraytambienelvalorz22= 513esmayorquelamejorcotaz 462.Contrariamente, sepuederamicardenuevoapartirdel problema(P21), seg unlavaria-ble x1, quetoma el valor 18/5 en dichoproblema. Siguiendoesteproceso sellega nalmentealasoluci ondelproblemaoriginal:(x1,x2) = (9,0),z= 459,queprovienedelaresoluci ondelsubproblema:mn 51x1+90x2x1+x2 65x1+9x2 45x1 3x2 3x1 4x2 2x1 6x2 1x1 8x2 0x1,x2 0Este metodo, si bien es convergente, puede ser muy ineciente del punto de vista del inmenson umerodesubproblemasquepuedesernecesarioresolverparallegaralasoluci on. Enelejemploaqu presentado, des olodosvariables, hasidonecesariobajar hastael novenonivel del arbolyresolver17subproblemasparaencontrarlasoluci on. Muchainvestigacionsehallevadoacaboconelndemejorarlaecienciadeestemetodob asicoyactualmentese dispone de muy buenas estrategias de solucion para problemas muy grandes (varios miles75o eventualmentemillones de variables) de Programaci on Lineal Mixta (con variables enterasycontinuas).Como ultimocomentario, sepuedeobservarquesi sehubieseaproximadolasoluci ondelprimer problema relajado (P0) al entero m as cercano, se habra propuesto la soluci on aproxi-mada(x1,x2) = (2,4), z= 462,que estabastante lejos de lasoluci onexactaencontradamediante el metodo. Ese es unpeligro que se corre cuando se resuelve el problema relajado y luego se aproximan los valoresdelasvariablesal enteromascercano. Eventualmenteestetipodesolucionesaproximadaspuedeserinfactible.P11 P0 P12 P21 P22 P31 P32 P41 P42 P51 P52 P61 P62 P71 P72 P81 P82 z > 15Jx=(9/4, 15/4) x1 < 2 x1> J x2 < Jx2> 1 z < 162,sol. entera z < 51J,sol. entera z > 151 x1 < J x1> 1 z < 171,sol. entera infactible z > 15J infactible z > 151 x2 < 2 x2> J x1 < 5 x1> 6 z > 156 x2 < 1 x2> 2 z > 156 x1 < 7 x1> 8 z > 158 infactible x2 < 0 x2> 1 z < 198,sol. entera z < 186,sol. entera z < 159,sol. entera ptimax=(9, 0) z > 158 Figura3.1:Arboldesubproblemas.76Captulo4DualidadenProgramaci onLinealyAplicacionesComenzaremoselestudiodeladualidadenprogramaci onlinealconunejemplo.Ejemplo4.0.1Una f abrica produce tres artculos en cantidades x1, x2, x3, los cuales utilizandosmateriasprimasensuelaboraci on,digamosayb.El procesodeproducci ondebesatisfacerlosiguiente:1) Paraproducirunaunidaddel artculo1senecesitan2unidadesdel recursoay5delrecursob.Paraproducirunaunidaddel artculo2senecesitan3unidadesdel recursoay2delrecursob.Paraproducir unaunidaddel artculo3senecesita1unidaddel recursoay1delrecursob.2) El recursoaestadisponiblehasta10unidadesyelrecursobhasta20unidades.El preciounitariodeventadel producto1es$4,el del producto2es$1yel del producto3es$5.El problemadel fabricanteser ael demaximizarsusutilidades(susingresosporventa, enesteejemplo)sujetoasusrestriccionesenlaproduccion.Elproblemaseplanteaentoncesenlaforma:77(P) m ax 4x1+x2+5x32x1+3x2+x3 105x1+2x2+x3 20xi 0 i = 1, 2, 3Tomemosunacombinaci onlinealpositivadelasrestricciones,conmultiplicadoresy1, y2:y1(2x1 + 3x2 + x3) + y2(5x1 + 2x2 + x3) 10y1 + 20y2Estoquepuedereescribirsedelaforma:x1(2y1 + 5y2) + x2(3y1 + 2y2) + x3(y1 + y2) 10y1 + 20y2Siimponemoslascondiciones:2y1+5y2 43y1+2y2 1y1+y2 5(4.1)entonces,z= 4x1 + x2 + 5x3 10y1 + 20y2 = ,es decir, acota superiormente a la funci on objetivo de (P) cuando se satisface (4.1). Luego,esrazonablepreguntarsesi el mnimodelafunci onesigual m aximodelafunci onz. Esdecir,planteamoselsiguienteproblemaasociadoalosmultiplicadoresyi:(D) mn 10y1+20y22y1+5y2 43y1+2y2 1y1+y2 5y1, y2 0yquisieramos averiguar si el valor maximode z ( optimode(P)) coincide conel valormnimode( optimode(D)).Notemosquehemospartidodeunproblemadelaforma(P) m ax_4 1 5___x1x2x3__78_2 3 15 2 1___x1x2x3___1020_x1, x2, x3 0yhemosllegadoaotrodelaforma(D) mn_10 20__y1y2___2 53 21 1___y1y2___415__y1, y2 0Masa un,seobservaquelasolucionde(P)esx= (0, 0, 10)T,conz= 50ylasoluci onde(D) es y = (5, 0)Tcon w= 50. La igualdad z= wes una propiedad que precisaremosenlasecci onsiguiente.4.1. Denici ondedualidadyprincipalespropiedadesLoexpuestoenlasecci onprecedentemotivalasiguientedenici ondedualidad.Denici on4.1.1Sea(P) m ax cTxAx bx 0unproblemaquellamaremosproblemaprimal.El problema:(D) mn bTyATy cy 0sellamar aproblemadual de(P).Teorema4.1.1Ladualidadessimetrica,esdecir,el dual de(D)es(P).79Demostraci on.Parademostraresteteorematomaremoselproblema:(D) mn bTyATy cy 0ylotransformaremos paraescribirloenformaprimal, es decir, comounproblemademaximizaci on, conrestricciones detipo , ypositividadenlasvariables. Estoes, (D)esequivalentea:(D) m ax (b)Ty(A)Ty cy 0Elproblemadualasociadoa(D),seg unladenici onanterior,es:mn (c)Tx(A)x bx 0queasuvezesequivalentea:(P) m ax cTxAx bx 0queesentonceseldualde(D).Observaci on4.1.1El teorema precedente muestra que la denominaciones de primal y dualson arbitrarias, en el sentido que ambos problemas son duales mutuos. As, como se ver a m asadelante, cualquierproblema puede ser denominado primal ysudual, quesiempre existe, noes unico,enel sentidoqueunmismoproblemapuedeescribirseenmasdeunaforma.Una noci onlimpia de dualidadrequiere que las variables de unproblemapertenezcanaunespaciocuyadimensionseaigual al n umeroderestriccionesdel dual (porrestriccionesentendemoslasecuacionesoinecuacioneslineales, sinincluirlascondicionesdesignodelasvariables).80El teorema siguiente muestra que la funcion objetivo del problema dual acota a la del primalyviceversa.Teorema4.1.2(DualidadDebil) Sea(P) m ax cTxAx bx 0unproblemaprimaly(D) mn bTyATy cy 0sudual. Si Ty Tdenotanrespectivamentelosconjuntosfactiblesde(P)y(D), entoncesparatodox T,y T,secumplecTx bTy.Demostraci on.SimultiplicamosporxT( 0)lainecuaci onATy c,seobtienequexTATy xTc,dedondecTx (Ax)Ty bTy,puesy 0.Corolario4.1.1Sean xe ypuntosfactiblespara(P)y(D).SicT x = bT y,entonces xe ysonoptimosrespectivos.Demostraci on.EsconsecuenciadirectadelTeoremadeDualidadDebil:bT y = cT x bTy ypuntofactiblede(D),esdecir, yesoptimode(D).cT x = bT y cTx xpuntofactiblede(P),esdecir, xesoptimode(P).Ejercicio4.1.1El dual delproblemadeProgramacionLinealest andar(P) mn cTxAx = bx 0eselproblema(D) m ax bTyATy c81Hint. Pararesolveresteejercicio,sesugieredesdoblarlarestricci onde igualdad enel prob-lema(P),escribirlaenforma yluegoaplicarladenici ondedualidad.Teorema4.1.3(DualidadFuerte) Consideremoslaparejaprimal-dual(P) mn cTxAx = bx 0y(D) m ax bTyATy cEntonces,para z,valormnimode(P)y ,valorm aximode(D),setiene:a) Si zesnito,entonces tambienloesysecumple z= b) Si esnito,entonces ztambienloesysecumple z= c) Si(P)esnoacotado,entonces(D)esinfactibled) Si(D)esnoacotado,entonces(P)esinfactibleDemostraci on.a) Dadoque zesnito, existeun x(puntoextremoosolucionb asicafactible), queessolucionde (P). Entonces existe tambienB, submatriz de A=[B, N], tal que sepuedeescribir x=_B1b0_=_ xB xN_. Ademas, enel optimoloscostosreducidosdelasvariablesnobasicassonpositivos,esdecirpara= BTcBsetienecTN TN 0loqueimplicaNT cN.Probaremos quees solucionb asicafactible optimade(D), conlocual, =bTseranito.Enefecto,esfactiblepara(D),pues82AT=_BTNT_BTcB=_cBNT__cBcN_= cyesoptimopara(D),pues = bT= bTBTcB=_cTBcTN__B1b0_= cT x = zporlotanto,porelTeoremadeDualidadDebil,esoptimo.b) An alogo.c) Sabemosque(P)esnoacotado. Supongamosentoncesqueexiste ytal queAT y c(estoeslafactibilidaddeldual).Por el Teoremade Dualidad Debil, se sabe que bT y cTx para todo x primal-factible.Estodiceque(P)esacotado,loqueestableceunacontradicci on.d) An alogo.Resumamoslosresultadosanterioresenelsiguientecuadro:PrimalDual znito (P)noacotado (P)infactible nito S No No(D)noacotado No No S(D)infactible No S S/NoEjercicio4.1.2Indiqueunejemplodeunparprimal-dual, enqueambosproblemasseaninfactibles.Teorema4.1.4(HolguraComplementaria) Consideremoslaparejaprimal-dual(P) mn cTxAx = bx 0(D) m ax bTyATy cSeanxe y,optimosrespectivosde(P)y(D),y s= c ATy.EntoncesxTs= 0.Inversamente, si xeysonfactibles paralos problemasprimal ydual, respectivamente,ysixTs= 0,entonceslassolucionesxeysonoptimasrespectivaspara(P)y(D).83Demostraci on:PorelTeoremadeDualidadFuerte,si xeyson optimosrespectivosde(P)y(D),entoncescTx= bTy,dedondesetienecTx= bTy = xTATy = xT(c s) = xTc xTs,loqueimplicaxTs= 0.Inversamente, xTs=0implica que xTc xTATy=0, es decir, cTx bTy=0,queeslacondiciondeoptimalidaddexey.Observaci on4.1.2LacondiciondeholguracomplementariaxTs= 0sepuedeexpresar,enformaequivalente,por xisi= 0 i = 1, .., n.Observaci on4.1.3El sistema que se deduce de la aplicacion del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker:Ax = bATy + u = cuTx = 0x, u 0correspondetambienaunaaplicaci ondel TeoremadeHolguraComplementaria.Enefecto,laprimeraecuaci onestablecelafactibilidaddelasoluci onprimal x; lasegunda, establecelafactibilidaddelasoluci ondual y, puestoque lavariabledeholguraues nonegativa;nalmente, la tercera ecuaci on caracteriza la optimalidad, de acuerdo al Teorema de HolguraComplementaria.4.2. Interpretaci onecon omicadeladualidadEl dual deunproblemalineal surgenaturalmente delas condiciones deoptimalidaddelproblemaprimal (P)(condicionesdeKarush-Kuhn-Tucker). Mostraremosquesi el proble-ma primal tiene una interpretaci on econ omica, entonces tambien el dual y los valores optimosdelasvariablesdualespuedenserinterpretadoscomoprecios.Comoyavimos x=_xB0_=_B1b0_es unasolucionb asicafactibleparaunpro-gramalinealenlaformaest andar.BajoelsupuestoquexB> 0,unapeque naperturbacion84del lado derecho b no provoca un cambio en la base optima. Luego, cuando b es reemplazadoporb + b,lanuevasoluci on optimasetransformaenx

=_x

B0_=_B1b + B1b0_yelvalor optimodelafuncionobjetivoseperturbaenz= cTBB1b = Tbdonde=BTcBesel multiplicadordel problemaprimal enel optimo. Comoprobamosenel teoremadedualidadfuerte, eslasolucion optimadel problemadual. Claramente,ipuedeversecomoelpreciomarginaldeli-esimorecurso(esdecir,elladoderechobi),yaquedaelcambioenelvalor objetivo optimopor unidaddeincrementoeneserecurso.Estainterpretaci onpuedesermuy util, puesindicalacantidadm aximaqueunoest adispuestoapagarporaumentarlacantidaddel i-esimorecurso. Notequelascondicionesdeholguracomplementariaimplican que el precio marginal para un recurso es cero si tal recurso no fuecompletamenteutilizadoenel optimo.Otrosnombresdadosaesteprecioenel optimosonpreciosombraypreciodeequilibrio.Veamos ahora otra interpretaci on econ omica posible. Supongamos que estamos bajo compe-tenciaperfectayunproductorresuelve:(P) m ax cTxAx bx 0es decir, deseamaximizar las utilidades dadas porel vector depreciosc, sujetoalas re-stricciones decapacidaddesurma. Enel optimolasrestricciones nonecesariamentesecumplen con igualdad, es decir podran sobrar ciertas materias primas que se pueden venderen el mercadoen un cierto precio, dado por el vector 0. Entonces,lo que esteproductorresuelvees:m ax cTx + T(b Ax)x 0As,lasutilidadesdelarmaestandadaspor:() = m axTb + (c AT)Tx, x 0 = Tb + m ax(c AT)Tx, x 0Lasposiblessolucionesdeesteproblemasondos:85Sielvector(c AT)tienetodassuscomponentesnegativas,dadoqueelvectorxespositivo,setienequeelm aximoescero,y() = Tb.Sielvector(c AT)tienealgunacoordenadapositiva,entonces,porelmismoargu-mento,elsubproblemademaximizaci onesnoacotado,luego() = .Entoncessetiene() =_bT si (c AT) 0, 0 sinoque es lautilidaddel productor, enfunci onde . El mercado, que es cruel, asignaalproductor el mnimo de utilidades, a traves de la jacion de precios. Como conoce la situaci ondecostoseinfraestructura(suponiendoinformaci oncompleta),entoncesresuelve:(D) mn bTAT c 0queeselproblemadualasociadoalproblema(P)delproductor.4.3. DualdecualquierproblemalinealLa tabla siguiente permite deducir f acilmente el dual de cualquier problema de ProgramacionLineal.Prob.deminimizaci on Prob.demaximizaci ontipoderestriccion variableasociada 0 0= irrestrictatipodevariable restriccionasociada 0 0 irrestricta =4.4. AlgoritmoSimplex-dualSupongamos quetenemoselsiguientecuadrodualfactible, esdecir,los costosreducidossonpositivos, peroel ladoderechobnoesnecesariamentepositivo(lasoluci onb asicaencurso86noespositiva,luegonoesfactible).Entonces,consideramos: cTN= cTN cTBB1N 0(condiciondedual-factibilidad)N= B1N,b = B1b,A = [I,N]0 cTN zINbLossiguientespasosresumenelAlgoritmoSimplex-dual:(1) Si b 0i = 1, .., m,entonceslasolucionencursoes optima.Sino,ira(2).(2) Elegircualquierrtalque br< 0.Si arj0 j =1, .., nentonces el problemadual es noacotado, es decir, elproblemaprimalesinfactible.Sialg un arj< 0,pasara(3).(3) Elegirlacolumnastalque: cs ars= m ax cj arj/ arj< 0eira(4).(4) Pivotearenlaposici on(r, s)yvolvera(1).4.5. Introducci onalanalisispost-optimalMuchasveces,unavezresueltoelproblemalineal:mn cTxAx = bx 087se desea examinar el comportamiento de la soluci on si se modica alguno de sus parametros.Algunosdeestoscambiospuedenser:Variaci onenloscoecientesdelafuncionobjetivo.Variaci onenelvectorderecursos.Introducci ondeunanuevavariable.Introducci ondeunanuevarestricci on.Puede suceder que nuestro problema sea muy complejo y no se desee resolver completamentede nuevo parta analizar estos cambios, por ejemplo por problemas de tiempo de c omputo. Lassiguientessubseccionesexaminanestoscasos,sobrelabasedeejemplossimples. El estudiodel comportamiento de la soluci on de un problema lineal, como funci on de ciertos par ametrosdelproblema,tambienseconocecomoan alisisdesensibilidad.4.5.1. Variaci onenloscoecientesdelafunci onobjetivoConsideremoselsiguienteproblema:mn 20x116x212x3x1 4002x1+x2+x3 10002x1+2x2+x3 1600x1, x2, x3 0Una soluci on inicial es x0= (0, 0, 0)T(notar que es un punto extremo del poliedro). El cuadroSimplexiniciales:20 16 12 0 0 0 01 0 0 1 0 0 4002 1 1 0 1 0 10002 2 1 0 0 1 1600Luegodepivotear,sellegaalsiguientecuadronal:4 0 0 0 8 4 144002 0 1 0 2 1 4000 1 0 0 1 1 6001 0 0 1 0 0 40088Porlotanto,lasoluci ones:x=__0600400__xholg=__40000__Labaseestacompuestapor[x3, x2, x4] yel valor optimoes-14400.Quesucedesi nosin-formanqueelcoecientec1vale-30enlugarde-20?Examinemosloscostosreducidos(losdem aselementosdel cuadro, esdecir, B1N, B1b,ycTBB1bnosufrenalteraciones, dadoquec1noparticipaenellos). Tenemosque c5=8y c6= 4nosemodican,y c1= c1cTBB1A1= 30 _12 16 0___201__= 6.Poresto,elcuadronalcambiaaunoquenosatisfaceoptimalidad:6 0 0 0 8 4 144002 0 1 0 2 1 4000 1 0 0 1 1 6001 0 0 1 0 0 400Porlotantosepuedepivotearparamejorarlasoluci onencurso, haciendoentrarx1alabase:0 0 3 0 14 1 156001 0120 1 122000 1 0 0 1 1 6000 0 121 012200ylanuevasoluci ones:x=__2006000__xholg=__20000__Labasecambi oa[x1, x2, x4]yelvalormnimocay oa-15600.Quesucedesic1= 20semodicaac1= 20 + ?Retomemoselasunto: c1= c1cTBB1a1= (20 + ) _12 16 0___201__= 4 + ,89queespositivocuando 4. Esdecir, el rangoparael coecientec1conel quelabaseoptima[x3, x2, x4]nocambieesc1 24.Veamos otrocaso. Supongamos ahoraque el coeciente perturbadoes c2= 16ypasaaser 16 + .Elvectordecostosqueda:c =________2016 + 12000________Recordemos que las tres primeras componentes de este vector correspondenalos costosestructuralesylas ultimastrescorrespondenalasvariablesdeholgura, yporlotantosoncero.Examinemosloscostosreducidos: cTN= cTN cTb B1N=_20 0 0__12 16 + 0___2 2 10 1 11 0 0__=_4 8 + 4 _Estoscostosreducidosdelasvariablesnobasicassonpositivos, esdecirpreservanlaopti-malidad,cuando:8 4osea,labase[x2, x3, x4]nocambiasi:24 c2 12Engeneral,sielvectorccambiaa csedebeevaluar cTN= cTN cTBB1Nydecidir:si cTN 0,labase optimanocambiays olohayquereevaluar cTBB1b = z.si cTN0,seiteraconalgoritmoSimplex.4.5.2. Variaci onenelvectorderecursos(oladoderecho)Tomemoselmismoejemploysupongamosqueelvectorbcambiaab.Labase optimaparabes[x3, x2, x4]entoncessetieneque:90B=__0 0 11 1 01 2 0__yB1=__0 2 10 1 11 0 0__NotemosquelamatrizB1espartedelcuadronal.Setieneque:SiB1b 0,lasoluci onencursoa unes optima.Si B1b0, la soluci on no es factible (primal), pero los costos reducidos no han sufridocambios, luegoel cuadronal presentaunasoluci onprimal-infactibleydual-factible.EntoncessedebeiterarconelalgoritmoSimplex-dual.Veamosloconunejemplo:supongamosqueb =__10010001600__,porlotanto:B1b =__400600100__ 0As,labaseoptimanocambia,pero:x=________x1x2x3x4x5x6________=________060040010000________Ademas,z= cTBB1b =_12 16 0___400600100__= 14400.Unapreguntainteresantees: cu al esel rangopara b, demodoquelabaseoptimanosemodique?Paraello,bastacalcular:B1b =__0 2 10 1 11 0 0_____b1b2b3___=___2b2b3b2 +b3b1___ 091Deaqusededucequeparaquesecumplalacondici ondeoptimalidadsedebetener:b1 0b2 b3 2b2Notemosqueenesteejemplolosdatosoriginalessatisfacenestascondiciones.4.5.3. Introducci ondeunanuevaactividad(ovariable)Supongamos que, en el ejemplo, se introduce la variable x4con costo c4= 10 y coecientesA4=__101__enlamatriz,esdecir,elproblemasetransformaen:mn 20x116x212x310x4x1+x4 4002x1+x2+x3 10002x1+2x2+x3+x4 1600x1, x2, x3 0yelcuadroiniciales(incluyendolasvariablesdeholgura):20 16 12 10 0 0 0 01 0 0 1 1 0 0 4002 1 1 0 0 1 0 10002 2 1 1 0 0 1 1600Si serealizalamismasecuenciadeiteracionesparaalcanzarlabase optimadel problemaoriginal,elcuadronales:4 0 0 6 0 8 4 144002 0 1 1 0 2 1 4000 1 0 1 0 1 1 6001 0 0 1 1 0 0 400Aqu,convieneobservarque: c4= c4 cTBB1A4,esdecir, c4= 10 _12 16 0___0 2 10 1 11 0 0____101__= 692Ademas:B1A4=__0 2 10 1 11 0 0____101__=__111__Por lo tanto, basta agregar la columna correspondiente a la nueva variable en el cuadro naloriginal.Estacolumnaes:__c4cTBB1A4B1A4__enquec4eselcostodelavariablenuevayA4eselvectorcolumnadedichavariable,enlamatrizderestricciones.En este caso, la nuevavariable tiene costo reducido 6 < 0, y por lo tanto puede entrar a labase.Aselcuadroqueda:10 0 0 0 6 8 4 168003 0 1 0 1 2 1 8001 1 0 0 1 1 1 2001 0 0 1 1 0 0 400Lanuevavariablepermitedisminuirelcostototaldesde-14400a-16800siendolasoluci onnal:x=____0200800400____Observaci on4.5.1Podra la nuevavariable producir no acotamiento? Larespuestaes s.LacondicionparaelloesqueB1A4 0.En el ejemplo, nos interesa calcular para que valores del nuevo costo c4 la variable introducidaesirrelevanteeneloptimo(esdecir,nopertenecealabase optima).Lacondici onparaelloesque: c4= c4cTBB1A4 0 loqueimplica c4 cTBB1A4= 4934.5.4. Introducci ondeunanuevarestricci onEstamostratandoelproblema:mn cTxAx = bx 0Cuyocuadro optimo,salvoreordenamiento,est adadopor:0 cTN cTBB1N cTb B1bI B1N B1bSupongamosqueseagregalarestricci on:dTx d0Enqued IRnyd0 IR.Esdecir,agregamos:dTx + xn+1= d0Conxn+1unavariabledeholgura.As,elproblemaoriginalsepuedeplantearcomo:mn cTBxB + cTNxN+ 0xn+1BxB + NxN+ 0xn+1= bdTBxB + dTNxN+ xn+1= d0xB, xN, xn+1 0enqued =_dBdN_.Obien,elnuevoproblemaes:mn_cT0__xxn+1__A 0dT1_ _xxn+1_=_bd0_x, xn+1 094Agreguemosxn+1alabase,esdecirpropongamos:B=_B 0dTB1_cuyainversaes:B1=_B10dTBB11_Comosemodicaelcuadronal?Veamosterminoatermino: cTN= cTN _cTB0_ B1_NdtN_= cTN cTBB1N (loscostosreducidosnocambian)B1_bd0_=_B10dTBB11_ _bd0_=_B1bdTBB1b + d0__cTB0_ B1_bd0_= cTBB1b.0 cTN cTBB1N 0 cTb B1bI B1N 0 B1b0 dTN dTBB1N 1 d0dTBB1bLuego,Sid0dTBB1b 0,lasoluci onpropuestaenlosdatosoriginalessiguesiendo optima,soloquelaholguraxn+1entraalabaseconvalord0dTBB1b.Si d0dTBB1b < 0, la soluci on propuesta noesfactible, pues la holgura xn+1toma unvalornegativo. IterarconalgoritmoSimplex-dual, pivoteandosobrelalaagregada.En este caso, si dTNdTBB1N 0, el problema (primal) es infactible, dado que el dualesnoacotado.95Retomemoselproblemadelinicio:mn 20x116x212x3x1 4002x1+x2+x3 10002x1+2x2+x3 1600x1, x2, x3 0Siseagregalarestriccion:x1 + x2 + x3 800,esdecir,d0= 800dT=_1 1 1 0 0 0_Entonces,dTB=_1 1 0_[x3, x2, x4]dTN=_1 0 0_[x1, x5, x6]dTN dTBB1N=_1 0 0__1 1 0___2 2 10 1 11 0 0__=_1 1 0_d0dTBB1b = 800 _1 1 0___400600400__= 200Elcuadro optimodelproblemaoriginal,4 0 0 0 8 4 144002 0 1 0 2 1 4000 1 0 0 1 1 6001 0 0 1 0 0 400setransformaen(agregandounalayunacolumna):4 0 0 0 8 4 0 144002 0 1 0 2 1 0 4000 1 0 0 1 1 0 6001 0 0 1 0 0 0 4001 0 0 0 1 0 1 20096Al pivotear con Simplex-dual, la ultima variable sale de la base (entra la primera) generandounnuevocuadrooptimoyunanuevasolucion:0 0 0 0 4 4 4 140000 0 1 0 0 1 2 00 1 0 0 1 1 0 6000 0 0 1 1 0 1 2001 0 0 0 1 0 1 200demodoquex=_200 600 0 200 0 0 0_Tyz= 14000.Esta tecnica para recalcular soluciones optimas cuando se ha agregado una restriccion, puedeser muy util en la resolucion de problemas de Programaci on Lineal Entera mediante el meto-dodeRamicacionyAcotamiento,explicadoanteriormente.97Captulo5ModelosparaujosenredesEsta area de la Optimizacion es muy importante ya que existen muchos problemas de estruc-turaparticularquesepuedenexpresarmediantelanociondegrafoored.Muchosdeestosproblemas yaestabanplanteados yconcitabanel interes delos matem aticos eingenierosantesdelaaparici onformaldelaProgramaci onLineal.5.1. Motivaci onydescripci ondeproblemasclasicosEnestecaptulointroduciremoselproblemadeujodecostomnimo(FCM),atravesdecuatroproblemasespeccosquesoncasosparticularesde el:a) Problemadeasignaci onb) Problemadetransportec) Problemadeujomaximod) ProblemadelcaminomascortoDenici on5.1.1Un grafo es un par (^, /), donde ^es un conjunto nito y / ^^.Aloselementosen ^selesllamanodosyalosparesordenadosen /selesllamaarcos.Notemos que los arcos sondirigidos, es decir, el par (i, j)/es distinguible del par(j, i) /, que representaun arco en el sentido contrario. En el grafo de la gura la cantidadentre parentesis(b) representala oferta en cada nodo (si b > 0 el nodo ofrece la cantidad b,981 53 24 Origen (15, 4) (15, 1) (10, 6) (4, 2) (8, 4) Destino Destino (, 2) (, 2) (5, 3) (4, 1) (20) (-15) (-5) Figura5.1: Ejemplo de un grafo o red.sib < 0elnododemandalacantidadb,siesceroentoncesesunnododetrasbordo).Lanotaci on (uij, cij) sobrecada arco, indicala capacidad ocota superior del arco uijy el costounitariocijdelujoxij,queeslacantidadenviadadesdeiaj.Engeneral,sobrelosarcossepuedeimponercotasinferiorysuperior,deltipolij xij uij.El problemageneral corresponde aencontrar un ujofactible, de costomnimo. Entonceselproblemaes:(FCM) mn

(i,j)Acijxij

j/(i,j)Axij

k/(k,i)Axki= bii ^lij xij uij(i, j) /La primera restricci on dice que lo que entrega el nodo i es igual a su oferta m as lo que recibe,dadoqueel terminodel ladoizquierdorepresentaladiferenciaentreel ujosalienteyel ujoentranteal nodo. Lasegundarestriccon, dicequeel ujosobreunarcodeberespetarentrelascotasdelmismo(enmuchoscasosseusalij= 0yuij= ).99Notemos que cadaarcoaparece s oloendos restricciones yaque unarcoparticipasola-mente en dos nodos: en uno como arco entrante y en otro como arco saliente. Cabe destacarque la matriz A resultante es de rango incompleto (igual a n1, en que n es la cardinalidadde ^).Enefecto,lasumadelaslasescero,esdecirsonlinealmentedependientes. Comoharemosenloquesigueelsupuesto(esencialentodoestecaptulo)quen

i=1bi= 0,esdecirquelaofertaigualaalademanda, entoncesel sistemadeecuacionesdel problema(FCM)tieneunaecuaci onredundante.Entodocaso,esesupuestonohaceperdergeneral-idadaltratamientodelosproblemasqueveremosm asadelante.Normalmente,lasvariablesestructuralesdelproblemasonconsideradasenteras,demaneraqueelproblemageneraldeujodecostomnimopuedeescribirsedelaforma:(FCM) mn

(i,j)AcijxijAx = blij xij uij(i, j) /xij IN (i, j) /Ciertamente, esposiblelevantarlarestricci ondeintegridaddelasvariablesyel problemasigueteniendosentido, peroenestetextonosremitimosal casodevariablesenteras. Losdatos del problemadel ejemplode la gura puedenentoncesresumirseen la siguientetabla:x12x13x23x24x25x34x35x45x53nodo/costo 4 4 2 2 6 1 3 2 1 oferta1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 202 1 0 1 1 1 0 0 0 0 03 0 1 1 0 0 1 1 0 1 04 0 0 0 1 0 1 0 1 0 55 0 0 0 0 1 0 1 1 1 15capacidad 15 8 4 10 15 5 4Laslas1a5deestecuadrorepresentanlasrestriccionesdeequilibrioyseobservaquelamatrizAtienelaslaslinealmentedependientes(sumancero).Dehecho,encadacolumnahay solamente dos coecientesno nulos, un 1 y un -1, dado que cada arco es emergente paraunnodoeincidenteparaotro.100En lo que sigue del captulo describiremos los 4 problemas antes mencionados, para luego en-tregar un metodo de resoluci on del problema de transporte y una forma de mejorar solucionesfactiblesdelproblemamasgeneral(FCM).5.1.1. Problemadeasignaci onSupongamos que el gerente de alg un gran supermercado, que consta de 50 cajas, desean sabercomoasignar50cajerasaestascajas, demaneraqueel rendimientoseael mejorposible(medido seg un alg un criterio). Si hicieramos esta asignaci on probando cada conguraci on decajerasycajas, entoncesel tiempoparaencontrarlamejorserasimplementeprohibitivo,a un para los computadoresmas r apidos disponibles.Un buen ejerciciopara mejor compren-derestacomplejidadesestimareltiempodeejecucionsielcomputadorpudieserealizarunmill ondeestasevaluacionesporsegundo, sabiendoqueson50! conguracionesaevaluar.Esaqu dondeentraajugarunpapel importantelaProgramaci onLineal, comounafor-macientcadeeliminarmuchosmillonesdeconguacionesmediantesimplescriteriosdecomparaci onyunasucesi ondec alculosrelativamentem assencillos.1 n n 2 1 2 i j Cajeras Cajas Figura 5.2: Problema de asignacion. Hay nn arcos, que corresponden a las variables del problema.101Lasvariablesenestecasoson:xij=_1 sialnodo(cajera)ilecorrespondeelnodo(caja)j0 sinoEsteproblemaseescribe:m axn

i=1n

j=1cijxijn

j=1xij=1 i = 1, . . . , n (acadacajera,unasolacaja)n

i=1xij=1 j= 1, . . . , n (acadacaja,unasolacajera)xij 0, 1 i, j= 1, . . . , nLos coecientes cijrepresentanlos rendimientos delas cajeras encadacajaylafuncionobjetivopersiguemaximizarelrendimientototal.Este problema de asignaci on es claramente un caso particular del problema (FCM) plantea-do al inicio del captulo. En este caso, los nodos-cajera tienen oferta igual a 1 (pueden realizarun servicio) y los nodos-caja tienen demanda igual a 1 (solicitan ser servidos por una cajera).Lo nodos-cajera no tienen arcos entrantes pues no demandan y, similarmente, los nodos-cajanotienenarcossalientes,puesnoofrecen.Lasvariablessonenteras,concotas0y1.5.1.2. ProblemadetransporteConsideremos un grafo con un conjunto de n nodos de partida, con ofertas ai 0, i = 1, . . . , nymnodosdellegadacondemandasbj 0, j= 1, . . . , m.Cadaarco(i, j)tieneasociadouncostounitariodetransportecij.Supongamos,porahora,que

ni=1ai=

mj=1bj,esdecir, laofertatotalesigualalatotal.Estacondici onnoesrestrictiva,enelsentidoquesihubiesediscrepancia,bastaracrearunnodoarticialenlasofertasoenlasdemandas,seg unseaelcaso,perohabraqueprecisarcuidadosamenteloscostosdelosarcosligadosalnodoarticial.Enelcasoqueesoscostosseannulos, losarcosligadosal nodoarticial puedenserinterpretadoscomovariablesdeholgura.Otrosupuestoesquelasofertasydemandassonn umerosenteros,lotendrimpor-tanciaenlaresoluci on,comoveremosm asadelante.Entonces, se dene el problemade transportecomoel de minimizaci onde los costos de1021 m n 2 1 2 i j Origen Destino a1 a2 ai an b1 b2 bi bm Figura 5.3: Problema de transporte. Hay nm arcos, que corresponden a las variables del problema.transporte de los ujos, de manerade satisfacer exactamente laofertaencadanododeorigenylademandaencadanododedestino.Elproblemaseescribe:mnn

i=1m

j=1cijxijm

j=1xij=aii = 1, . . . , n (oferta)n

i=1xij=bjj= 1, . . . , m (demanda)xij IN i = 1, . . . n, j= 1, . . . mEnesteproblemaseconsideraqueexistentodoslosarcosentrenodosdeorigenynodosdedestino. Lasrestriccionesquedandenidasdeesaformayaque, paralosnodosdeorigen,lasecuacionessondeltipo(ujosaliente-ujoentrante=demanda):

j/(i,j)Axij

k/(k,i)Axki = ai,103y,enestecaso

k/(k,i)Axki = 0.Analogamente,enelcasodelademandasetieneque

k/(j,k)Axjk

k/(k,j)Axkj= bjy

k/(j,k)Axjk= 0.Podemos notar que el problemade asignaci on puedetambien ser interpretadocomo un casoparticulardelproblemadetransporte.5.1.3. ProblemadeujomaximoEsteproblemaesel dedeterminarel ujomaximoposibledeunnodoorigenofuente(s)dadoaunnododestinoosumidero(t)conrestriccionesdecapacidadenlosarcos.Si denotamos xtsal ujocorrespondiente a(devolver) transportar lacantidadnal, des-detas,notamosquemax xtsesequivalenteamaximizarelujototaltransportadodesdesat,dadoqueelsistemasemantieneenequilibrio.Luego,elproblemaseescribedelasiguientemaneram ax xtss.a.

jxsj

kxksxts=0 (balanceens)

jxtj+ xts

kxkt=0 (balanceent)

jxij

kxki=0 i ,= s,t(balanceentrenodosintermedios)0 xij uij(i, j) /

donde /

= / (t, s).Todaslassumasseextiendensobrelosarcosexistentesysedebeasignarcapacidaduts= alarcoarticial(t, s).Si ^denotael conjuntode todos los nodos (incluidos syt), unaformam as compacta1041 5 3 24 6 OrigenDestino 2 2 5 1 4 4 3 8 Figura5.4: Problema de ujo m aximo. Sobre los arcos se indica la capacidad.deescribiresteproblemaserasimplemente:m ax xtss.a.

j/(i,j)A

xij

k/(k,i)A

xki=0 i ^(balanceenlosnodos)0 xij uij(i, j) /

Se puede advertir que si existe un camino orientado desde s a t, cuyos arcos tienen capacidadinnita,entonceselproblemaesnoacotado.5.1.4. Problemadecaminom ascortoEsteproblematienecomoobjetivoencontrarelcaminom ascortoentreelnodosyelnodot en un grafo dado, es decir,encontrar unasecuenciade arcos dirigidos y adyacentesentresyt,delongitudmnima.Lalongituddel arcopuedeser interpretadaenterminos decosto, tiempo, distancia, etc.Elproblemaseescribe1051 5 3 24 6 Origen Destino 0 5 10 11 3 7 30 1 12 8 2 Figura5.5: Problema de camino m as corto. Sobre los arcos se indica la distancia.mn

(i,j)Acijxijs.a.

jxsj= 1 (nodosofreceunaunidad)

kxkt= 1 (nodotdemandaunaunidad)

jxij

kxki= 0 i ,= s,t (balanceennodosintermedios)xij 0, 1 (i, j) /Esta formulacion se basa en que una unidad de producto viaja desde el nodo origen s al nododestinot, demaneraquealminimizarelcostototalseest adeniendouncaminodecostomnimo. El nodoorigenesoferenteyel nododestinoesdemandante, siendolosrestantesnodosdeoferta(demanda)nula.1065.2. Resoluci ondelproblemadetransporteLaresoluci ondelproblemadetransporteser aaquabordadausandoelalgoritmoSimplex,adaptadoalaestructuraparticulardeesteproblema. Paraesto, describiremostresetapasdelalgortimo,asaber:Obtenerunasoluci onb asicafactibleinicial.Examinarsiunasoluci onb asicafactiblees optima.Modicarunasoluci onb asicafactible(sinoes optima).5.2.1. Obtenerunasoluci onbasicafactibleinicial (FaseI)El sisetmadeecuaciones(restricciones)del problemadetransporteesdel tipoAx=b, enquelamatrizAesdeorden(n + m) (nm)ytieneencadacolumnaun1,un-1yelrestoson ceros (esto, porque cada arco es saliente desde un nodo y entrante en otro, y no participaen lasdem asecuaciones).Por estaraz on, dadoquesehasupuestoquelaoferta total igualaa la demandatotal, entoncesel sistematiene una ecuaci on redundante.Esosignicaque lasbasestendrann + m1variables.Sepuede probar que las bases deeste problemasonarboles, es decir subgrafos deunaestructuraparticularquedenimosacontinuaci on.Denici on5.2.1Unarbolesungrafoquesatisface:Esconexo, esdecir, existeunasecuenciadearcosentredosnodoscualesquiera(sinconsiderarlaorientaci ondelosarcos),yNocontieneciclos, es decir, partiendodeunnodonosepuedevolverael porunasecuenciadearcosadyacentes(sinimportarlaorientaci on).Unaformasimple de encontrar un arbol enungrafocorrespondiente aunproblemadetransporteesel procedimientodesaturaci onquedescribiremosacontinuaci onatravesdeunejemplo. Consideremostresnodosdeofertaycuatronodosdedemanda, dadosporelgrafo mostrado en la gura siguiente.Las ofertas y demandas son indicadas en el grafo y loscostosunitariosdetransporteest andadosporlamatriz:107C=__8 6 10 99 12 13 714 9 16 5__1 4 2 1 2 3 3 Ofertas Demandas 35 50 40 45 20 30 30 Figura5.6: Ejemplo de problema de transporte.Procedimientodesaturaci on: Sean + mel n umerodenodosdel grafo. Dadoqueelsistema de ecuaciones correspondiente a las restricciones de balance o equilibrio en los nodostieneunaecuaci onredundante, enlasoluci onb asicafactibledebenhabern + m 1arcoscon ujos positivos y los dem asest an en cero, es decir,nm(n +m1) arcos son arcos nobasicos(nulos).Esto,pueslasbasesdeesteproblemasondeordenn + m1.El metodode saturaci on empiezacuandose saturael primer arco(elegidoarbitrariamente),estoes, seeligeunarcoal cual seleasignael maximoujoposible, satisfaciendoas lademandadelosnodosdemandantes, luegoseprosiguedelamismamaneraconelrestodelos arcos, hastasatisfacer lademandadetodos los nodos. Observemos el ejemplo, con3nodos-origendeofertas35, 50y40respectivamente, y4nodos-destinocondemandas45,1081 4 2 1 2 3 3 Ofertas Demandas 35 50 40 45 20 30 30 35 10 20 20 10 30 Figura5.7: Procedimiento de saturaci on20,30y30.Alprimerarco(1, 1) seasignaelujox11= 35,queelm aximoposibleycorre-spondealaofertadelnodo-origen1.Esoquieredecirqueelnodo-origen1quedasaturado,enel sentidoqueyaentregotodasuoferta. El nodo-destino1, queconestotienedeman-daresidual igual a10,puedesersaturadodesdeel nodo-origen2, el cual quedaconofertaresidual iguala40.Esas40unidadespuedensertrasladadasalnodo-destino2,conlocualel nodo-origen 2 queda saturado y el nodo-destino 2 tiene demanda residual cero. Este es uncasoespecial, puestoqueseasignaentoncesujodevalorceroalarco(3, 2).Repitiendoelprocedimiento, el nodo-origen 3 entrega 10 unidades al nodo-destino 3 y 30 al nodo-destino 4.Notarqueesteprocedimientoproduceunasoluci onfactiblequecorrespondeaunabase,pueselgrafoasgeneradoesun arbolde6arcos(estoes3+4-1).Ademassepuedegenerardistintas bases factiblescambiandoel ordendesaturacion. Enel ejemploseusoel ordencorrelativodelosnodosdeorigenydestino, perobastaraconreordenarlosparaqueesteprocedimientogeneraraunabasedistinta.Por otro lado, podemos calcular el costos asociado a esta soluci on, el cual resulta ser z= 1180.109Procedimientodesaturaci onacostomnimo. Comohemosdicho,elordendesatu-raci on es irrelevante, de manera que podemos ir haciendo entrar los arcos a la base, de acuerdoa los costos de estos, buscando producir una soluci on de bajo costo esperado. Entonces ahorasaturamossiguiendoencadapasoel costomnimo, esdecir, comenzamossaturandodesdeel arco que poseeel menor costoal de mayor costo. Esteprocedimientotambien produce unarbolosoluci onb asicafactible.1 4 2 1 2 3 3 Ofertas Demandas 35 50 40 45 20 30 30 15 20 30 20 10 30 Figura5.8: Procedimiento de saturaci on a costo mnimoEn el ejemplo, el arco de costo mas bajo es el arco (3, 4), de manera que saturamos x34= 30yestevalordeujoserestadelosdosnodosinvolucrados, locual hacequelademandadel nodoseanulaylaofertadel nodo1serebajaa10. Comoel nododestino4satisfacesudemanda, entonceseseliminadodel procesolocual signicaqueseprocedeaeliminartodos los arcos incidentes en el. De los restantes arcos, el de mnimo costo es (1, 2), y se debesaturar entoncesx12= 20, quedandola oferta del nodo 1 en valor 15 y la demandadel nodo2envalor0.Seprocedeaeliminarahoradelprocesoalnododestino2.Siguiendodeestaformasellegaaunabase(arbol)queconstadelosarcos(1, 1), (1, 2),(2, 1), (2, 3), (3, 3)y(3, 4), cuyovalordefunci onobjetivoesz=1080. Notarqueesalgomenor que el valor de la solucion anterior, obtenida por el proceso de saturaci on simple, peroestonocorrespondeaunapropiedadsinom asbienaunasimplecasualidad.1105.2.2. Examinarsi unasoluci onbasicafactiblees optimaNotemos que si los datos ai, bjson enteros, entonces los ujos xijson enteros (de acuerdo a losprocedimientosquehemosdescrito),puessetrata dediferenciasden umeros enteros(dadosporlasofertasydemandas). Estomuestraquetodoslospuntosextremosdel problemadetransportetienencoordenadasenteras, enel casodeofertasydemandasenteras. Porestarazon,elproblemadeoptimizaci onlinealesdeltipocanonicomn cTx, s.a.Ax = d, x 0,en el cual no se impone la condicion de integridad de las variables de manera explcita. Notarqueelvectordest adadoporunacolumnaqueconcatenalosvectoresa = (ai)yb = (bj).Lasrestriccionessondedostipos:deoferta(n)ydedemanda(m).Esdecir,haydostiposde variables duales, que llamaremos uiy vj, asociadas respectivamante a los nodos de origenydedestino.Entonceselproblemadualsepuedeescribir(D) m axn

i=1aiui +m

j=1bjvjui + vj ciji = 1, . . . , n,j= 1, . . . , mdadoqueencadacolumnadelamatrizAhaysolamentedoscoecientesigualesa1ylosrestantessonnulos.Supongamosentoncesquetenemosunasoluci onb asicafactible(unasoluci onfactibleconestructurade arbol,tal comola ultima,generadaporlasaturaci onacostom asbajo).Loscostosreducidosparalasvariablesb asicasest andadospor cTB= cTB TB= 0en que T= (uT, vT) es el vector de variables duales. De all, dada la estructura de la matrizB,setiene() cij= cij uivj= 0 paratodoarcob asicoAnalogamente,loscostosreducidosparalasvariablesnob asicasson cTN= cTN TN,loqueimplica() cij= cij uivjparatodoarconobasicoEl conjuntode ecuaciones () representaunsistemade m+n 1ecuaciones ym +nincognitas, derangom + n 1. Entoncespodemosjarunavariabledual (cualquiera)en111unvalor arbitrarioyusar ()paraencontrar todas las restantes variables duales (esoesposible,dado queel sistemarecorre un arbol, en el cual en cadapasose puededespejar unavariableuiovj). Enesteejemplo(puedesercualquiervariableyencualquiervalorreal),jamos u1= 0, loqueimplicaquev1= 8 ylosvalores delas dem asvariablesdualesquedandeterminadasas:1 4 2 1 2 3 3 u1=0 c11=8 v4=1 v3=12 v2=6 v1=8 u3=4 u2=1 c33=16 c23=13 c21=9 c12=6 c34=5 Figura5.9: Procedimiento de determinaci on de variables dualesConestosvaloresesposibledeterminarloscostosreducidosdelosarcosnob asicos,usandolassecuaciones(), demaneradedecidirsi algunopuedeentraralabase(costoreducidonegativo).Estoes, c13= 2 c14= 8 c22= 5 c24= 5 c31= 2 c32= 1Essabidoquesi cij 0,paratodoarconob asico,entonceslasolucionencursoesoptima.Enestecasoesonoesciertoyseobservaquedosarcospuedenentraralabase,mejorando112el valor de la funcion objetivo. En la secci on siguiente mostraremos c omo iterar para realizarelcambiodebase.5.2.3. Modicarunasoluci onbasicafactible(si noes optima)Decidimos ingresar la variable x13a la base, es decir aumentaremos el ujo de ese arco hastala saturaci on, de manera de mantener factibilidad. Naturalmente, al aumentar el ujo en esearco, sedebenmodicarlosujosdelosarcosdel cicloquelaintroducci ondepropioarcogeneraenel arbolb asico,talcomosemuestraenelgrafo.1 4 2 1 2 3 3 35 50 40 45 20 30 30 15- 30+ 20-

20 30 10 Figura5.10: Aumento del ujo en arco que entra a la base.Lascondicionesdefactibilidadquedebecumplirelvalorsolamentesedebenimponerenlosarcosdelcicloqueelarcoingresadogenera,talcomoseindicaenlagura.Entonces,seimpone:15 0 030 + 020 0113lo que implica que 0 15. El mayor decrecimientode la funci on objetivo se obtiene con=15,locual implicaquelavariable(arco)x11seanulaysaledelabase(si haymasdeuna arco que se anula al maximizar , entoncessolamenteuno de ellos debe salir de la base,quedandolos dem asen la base con valor de ujo igual a cero). En nuestroejemplo, la nuevasolucionb asicaest adadaporelgrafosiguiente,convalordelafunci onobjetivoz= 1050.1 4 2 1 2 3 3 Ofertas Demandas 35 50 40 45 20 30 30 15 20 45 5 10 30 Figura5.11: Nueva soluci on b asica.Esteprocedimientosepuedeentoncesreiterar, realizandodenuevolosc alculosmostradosenlasecci onanterior,hastaquetodosloscostosreducidosseanmayoresoigualesacero.5.3. Flujo de costo mnimo: mejoramiento de una solu-ci onencursoEn esta secci on trataremos el problema de c omo vericar optimalidad de una soluci on b asicafactibleycomomejorarla,paraelproblemageneral deujodecostom nimo.Loquehare-mosseraesencialmenteextenderlosconceptosintroduciosenlasseccionesanterioressobreel problema de transporte. No trataremos aqu el problema de encontrar una soluci on b asicafactible(ofaseI),sinoquesupondremosqueellaesconocida.114Consideremosdenuevoelproblemadelejemplointroductoriodeestecaptulo:1 53 24 Origen (15, 4) (15, 1) (10, 6) (4, 2) (8, 4) Destino Destino (, 2) (, 2) (5, 3) (4, 1) (20) (-15) (-5) Figura5.12: Problema de ujo de costo mnimo.Comohemosvisto,esteproblemasepuedeescribirdelamanerasiguiente:(FCM) mn

(i,j)Acijxij

j/(i,j)Axij

k/(k,i)Axki= bii ^lij xij uij(i, j) /pero, en este ejemplo, usamos lij= 0 para todos los arcos. En este caso, tampoco imponemosdemaneraexplcitalaintegridaddelasvariablesdeujo(enelcasodeofertasydemandasenteras),pueslasbasesfactiblessontambienarboles.Seannel n umerodenodosdelaredym=#/, el n umerodearcos. Lamatrizdel grafoesdenmylasbasesest ancompuestas porn 1arcos, comoenel casodel ejemplo,mostradoenelgrafom asabajo.Losarcosnodibujadosseentiendendeujonulo.Labaseindicadaest acompuestapor4arcos: (1, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 4). Losarcos(1, 3)y(3, 5)no1151 53 24 Origen 12 3 10 2 8 Destino Destino 5 (20) (-15) (-5) Figura5.13: Base del problema de ujo. Los valores de los ujos est an indicados en los arcos.son b asicos, pero tampoco tienen ujo nulo. Extenderemos ahora el concepto de base al casodelaprogramaci onlinealconcotas,queeselcasodelproblemadeujodecostomnimo.Extensi on del concepto de base. Consideremos el problema escrito en la forma canonica:mn cTxAx = bl x udondelyusonvectores. Enel casodel problemadeujoqueestamosconsiderando, Aesdel ordennmyderangolascompleto, eventualmente, enel casodeunproblemadeujo, eliminandounalaredundante.Sedeneentonceslabasedelamanerasiguiente:seaA=[B, N] unadescomposici ondelamatrizderestriccionesyseanlasvariablesxByxNlascoordenadascorrespondientesdelavariablex.Igualmente,consideremoslasparticionescorrespondientesparalascotasyelvectordecostos:lB,lN,uB,uN,cBycN.Unavariable nobasicaesaquellajadaenalgunadesuscotasylasvariablesbasicassedeterminanresolviendoelsistemadeecuaciones(respetandosuscotas).Entonces:116xNi= lNiuNilB xB uB,dondeBxB= b NxNEn el caso del problema de ujo del ejemplo los arcos (1, 3) y (3, 5) son no b asicos y est an ensu cota superior. De manera an aloga al caso del problema de transporte, los costos reducidossepuedendeterminarusandousandoelhechoque cTB= cTB TB= 0,enqueTeselvectordevariablesdualesy,dadalaestructuradelamatrizBenestecaso,setieneque(

) cij= i jparatodoarcobasico.Analogamente,loscostosreducidosparalasvariablesnob asicasson cTN= cTN TN,loqueimplica(

) cij= cij i + jparatodoarconobasico.Condici ondeoptimalidad. Sedicequelasolucionencursoesoptimasisesatisfacelosiguiente: cij 0 silij= xij(encotainferior) cij= 0 silij< xij< uij cij 0 sixij= uij(encotasuperior)Lasecuaciones(

), paralasvariablesbasicas,permitendeterminarlosvaloresdelas varia-bles duales.Dado que hay n nodos y n1 arcos b asicos, basta jar arbitrariamente el valordeunavariabledual.Paraelcasodelejemplo,jemos2= 0,dedondeseobtiene: =__40126__Luego, secalculanloscostosreducidosdelosarcosnob asicosmediante(

), dedondeseobtiene:117 c13= c13 (1 3) = 1 c23= c23 (2 3) = 1 c35= c35 (3 5) = 2 c45= c45 (4 5) = 2 c53= c53 (5 3) = 6Regladeentradaalabase. Soncandidatosparaingresaralabase:Arcosnob asicosdecostoreducidonegativoqueest anensucotainferior.Arcosnob asicosdecostoreducidopositivoqueest anensucotasuperior.En este caso, solamente el ujo x45 puede entrar a la base, pues esta en su cota inferior (cero)ytienecostoreducidonegativo( c45= 2).1 53 24 Origen 12 3 10- 2+ 8 Destino Destino 5 (20) (-15) (-5) Figura5.14: Ciclo generado por la variable que entra a la base.Seaelujodelarco(4, 5).Porfactibilidad,sedebecumplir:0 2 + 40 0 10 10118demaneraque0 2,loqueimplicaqueelarco(2, 4)saledelabase(alcanzasucotasuperior)ysegeneraunanuevasolucionb asica, queconstadelasvariablesx12, x25, x34yx45.1 53 24 Origen 12 3 8 4 8 Destino Destino 5 (20) (-15) (-5) 2 Figura5.15: Nueva soluci on b asica factible.Esteprocesosepuedeentoncesrepetir,demaneradevericarsiestasoluci ones optimay,sinoloes,mejorarladelamismamaneraaqumostrada.Notar que el valor del ujo() que entraalabase se considerasiempre positivo, perosi se tratara de un arco que esta fuera de la base, pero en su cota superior, este valor deberaser restadoa ese ujo. En consecuenciase procede en los dem as arcos del ciclo generado poresearco.Amododeejercicio, sesugierecontinuarel procedimientohastalaoptimalidad, indican-doencadaiteracionelvalordelafunci onobjetivo.119Captulo6AlgoritmosparaProgramaci onnoLinealEnestecaptuloestudiaremosalgunosmetodosnumericosparalaresoluci ondelproblemamnf(x)x Sdondelafuncionf : IRnIRes engeneral diferenciable(enalgunos casos, puedesernecesarioimponercondicionesadicionales)yel conjuntoSesunconvexonovacoenIRn.EnelcasoqueS= IRnsehabladeOptimizaci onsinrestricciones.Aunqueel conjuntoSpuedetenernaturalezabastantevariableygeneral, enestecaptu-loconsideramos solamenteel casoenqueSpuedeser descritomedianteunconjuntodeigualdadesydesigualdades,esdecir,mn f(x)gi(x) 0, i = 1, . . . , mhj(x) = 0, j= 1, . . . , lenquenormalmentesuponemosquetantogi, i = 1, . . . , mcomohj, j= 1, . . . , lsondifer-enciables.EstosedenominaOptimizaci onconrestricciones.Esquemageneral deresolucion.Laresoluci onnumericadeestosproblemasser aabor-dadasiguienteunesquemaiterativo: dadounpuntodepartidax0 Sseconstruyeunasucesi on xk,contenidaenS,seg unlaformulaxk+1= xk + kdk120donde dkes unadireccionde descenso(es decir, f(xk)Tdk 0, k= 0, x0 IRn[1] Si |f(xk)|1/2obienx0< 1/2,entonceslasuc