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UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE ECONOMIA Y NEGOCIOSDEPARTAMENTO DE ECONOMIA

ALGEBRA LINEALApunte del Curso

Mauricio Vargas S.

[email protected]

Apunte del Curso Algebra Lineal 1

Mauricio Vargas S.

Universidad de Chile

9 de agosto de 2009

1Este apunte se encuentra en estado de correccion y evolucion. Los contenidos se basan enlas clases del profesor Maximo Lira y de ninguna forma este apunte reemplaza las clases. Lafinalidad es reforzar las ideas principales y entregar demostraciones que no se tratan en clase.Puede contener y seguramente contiene errores, favor de comunicarlos a [email protected] reservados bajo licencia CreativeCommons (CC-BY-NC-ND)

Indice general

Contenidos I

1. Definiciones Previas 1

1.1. Ley de Composicion Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Ley de Composicion Externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Estructuras Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1. Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.2. Grupo Abeliano o Conmutativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3. Anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.4. Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Propiedades de los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1. Axiomas en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Matrices 11

2.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Suma de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2. Propiedades de la Suma de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3. Ponderacion de Matriz por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.4. Propiedades de la Ponderacion de Matriz por Escalar . . . . . . . . 13

ii INDICE GENERAL

2.2.5. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.6. Propiedades del Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.7. Transposicion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.8. Propiedades de la Transposicion de Matrices . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.9. Operaciones Elementales de Fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.10. Determinante de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.11. Operaciones Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Tipos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1. Matriz Fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2. Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3. Matriz Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.4. Matriz Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.5. Matriz Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.6. Matriz Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.7. Matriz Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.8. Matriz Antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.9. Matriz Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.10. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.11. Propiedades de la Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Polinomios de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Polinomio Caracterıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6. Metodos Para Invertir Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.1. Matriz Ampliada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.2. Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.3. Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7. Equivalencia por Filas de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.8. Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Sistemas de Ecuaciones Lineales 41

iii

3.1. Notacion Matricial de un Sistema de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1. Rango por Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2. Algoritmo tipo solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3. Soluciones de un S.E.L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1. Solucion general de un S.E.L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2. Solucion Particular de un S.E.L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4. Sistemas Homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5. Formas de Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.1. Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.2. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Escalares, Vectores y Espacios Vectoriales 53

4.1. Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2. Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4. Espacios Vectoriales Usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.1. Espacio Vectorial R2/R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.2. Rn/R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.3. Rn[x]/R (Polinomios reales de grado n sobre R) . . . . . . . . . . . . 59

4.4.4. C[a, b] (Funciones reales continuas sobre [a, b]) . . . . . . . . . . . . 59

4.5. Base de V/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.1. Bases Canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6. Dimension de V/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7. Vector de Coordenadas de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.8.1. Combinacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.8.2. Independencia Lineal de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.9. Operatoria Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.9.1. Suma de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

iv INDICE GENERAL

4.9.2. Ponderacion por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.9.3. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.9.4. Norma de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.9.5. Normas en Rn/R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.9.6. Angulo Entre Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.9.7. Producto Punto (o Producto Interno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.9.8. Propiedades del Producto Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.9.9. Productos Punto Usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.9.10. Producto Cruz (o Producto Vectorial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.9.11. Propiedades del Producto Cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5. Transformaciones Lineales 77

5.1. Transformacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1.1. Nucleo de una Trasformacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.2. Imagen de una Transformacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.3. Teorema de las Dimensiones (Nucleo - Imagen) . . . . . . . . . . . . 80

5.1.4. Tranformaciones Lineales e Independencia Lineal . . . . . . . . . . . 81

5.1.5. Transformacion Lineal Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.6. Transformacion Lineal Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.7. Matriz Reprensentante de una Transformacion Lineal . . . . . . . . 84

5.1.8. Propiedades de Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.9. ¿Como se Aplica la Matriz Representante? . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.10. Matriz de Pasaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.11. ¿Como se Relacionan las Matrices Representantes? . . . . . . . . . . 91

5.1.12. Matrices Similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2. Cambio de Base y Similaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6. Formas Bilineales 95

6.1. Formas Bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

v

6.2. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.3. Simetrıa y Antisimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4. Formas Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7. Referencias 99

Capıtulo 1

Definiciones Previas

1.1. Ley de Composicion Interna

Sean A,B conjuntos no vacıos. Una LCI sobre A es cualquier aplicacion o funcion de laforma:

f ∶ A ×A→ A

(a, b)→ f(a, b) ∈ A ∀ a ∈ A, b ∈ B

Tambien se usa la denominacion “operacion” para una LCI . En ese caso, en lugar de lanotacion funcional f(a, b) se usa la notacion operacional (Ejemplo: a∗b ). Ası la operacionse denota:

∗ ∶ A ×A→ A

(a, b)→ a ∗ b ∈ A ∀a ∈ A, b ∈ B

1.2. Ley de Composicion Externa

Sean A,B conjuntos no vacıos. Una LCI sobre A es cualquier aplicacion de la forma:

g ∶ A ×A→ B

(a, b)→ g(a, b) ∈ B ∀ a ∈ A, b ∈ B

En este caso la LCE tiene dominio de operadores en A

2 Definiciones Previas

1. La LCE opera sobre otro conjunto

2. En este dominio de operadores no llega la funcion

Tambien se usa la notacion operacional para una LCI :

∆ ∶ A ×A→ B

(a, b)→ a∆b ∈ B ∀a ∈ A, b ∈ B

Ejemplos :

1. R × p(x)→ p(x)3(1 + 3x − x2)→ 3 + 9x − 3x2

Los operadores son reales y polinomios

El dominio es de polinomios

2. (a + bx + cx2, d)→ ad + (a + b + c)(1 + 3x − 5x2,2)→ 2 + (−1) = 1

1.3. Estructuras Algebraicas

Una estructura algebraica es un ente matematico construido por:

1. Un conjunto y una o mas LCI

2. Dos o mas conjuntos, una o mas LCI y una o mas LCE

1.3.1. Grupo

Sea (A,∗) una estructura algebraica. Se cumple que es grupo si y solo si:

1. ∗ posee neutro, es decir: ∃e ∈ A/a ∗ e = e ∗ a = a ∀a ∈ A

2. ∗ es asociativa, es decir: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ A

3. ∗ es simetizable , es decir cada elemento de A posee un inverso a−1 y se cumple:a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e

3

1.3.2. Grupo Abeliano o Conmutativo

Sea (A,∗) una estructura algebraica que tiene estructura de grupo y ademas es conmu-tativa. Se cumple que es grupo abeliano si y solo si:

1. ∗ posee neutro, es decir: ∃e ∈ A/a ∗ e = e ∗ a = a ∀a ∈ A

2. ∗ es asociativa, es decir: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ A

3. ∗ es simetizable , es decir cada elemento de A posee un inverso a−1 y se cumple:a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e

4. ∗ es conmutativa , es decir para todos los elementos de A, a∗ b∗ c∗ ...∗n genera unmismo resultado independientemente de como se altere el orden en que operan loselementos. Tomando (a, b) ∈ A se cumple que a ∗ b = b ∗ a

1.3.3. Anillo

Sea (A,∗,∆) una estructura algebraica con 2 LCI . Se cumple que esta es estructura deanillo si y solo si:

1. (A,∗) es grupo abeliano

2. ∆ es asociativa.

3. ∆ distribuye con respecto a ∗

1.3.4. Cuerpo

Sea (A,∗,∆) una estructura algebraica con 2 LCI y que ambas tienen estructura degrupo abeliano. Se cumple que esta es estructura de cuerpo 1 si y solo si:

1. ∗ posee un neutro, todos sus elementos tienen un inverso contenido en A y estaoperacion es conmutativa

1Para la conmutatividad y clausura estas necesariamente se extienden para el caso en que se aplica ∗

o ∆ a (a, b, c, ..., n). Es decir a+b+c+...+n ∈ A a ⋅b ⋅c... ⋅n ∈ A como tambien a+b+c...+n = n+...+c+b+aa ⋅ b ⋅ c... ⋅ n = n ⋅ ... ⋅ c ⋅ b ⋅ a y todas las combinaciones posibles para la suma y el producto. En el casode la distributividad es analogo, la propiedad se cumple para a ∗ (b∆c∆...∆n), (a∆b) ∗ c ∗ ... ∗ n ytodas las combinaciones posibles.


2. ∆ posee un neutro, todos sus elementos tienen un inverso contenido en A y estaoperacion es conmutativa

3. A,∗,∆ es distributiva de la forma a∆(b ∗ c) = (a∆b) ∗ (a∆c)

4. Tanto ∗ como ∆ cumplen con la propiedad de clausura, es decir al efectuar unaoperacion entre dos o mas elementos de A el resultado debe pertenecer a A

Ejemplos :

1. (R,+, ⋅)

a) Neutro:a + 0 = 0 + a = aa ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a

b) Inverso:a + (−a) = (−a) + a = 0a ⋅ a−1 = a−1 ⋅ a = 1

c) Conmutatividad:a + b = b + aa ⋅ b = b ⋅ a

d) Distributividad:a(b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)

e) Clausura:(a + b) ∈ R ∧ (a ⋅ b) ∈ R

2. (C,+, ⋅)

a) Neutro:(a + bi) + (0 + 0i) = (0 + 0i) + (a + bi) = a + bi(a + bi) ⋅ (1 + 0i) = (1 + 0i) ⋅ (a + bi) = a + bi

b) Inverso:(a + bi) + [−(a + bi)] = [−(a + bi)] + (a + bi) = 0 + 0i(a + bi) ⋅ (a + bi)−1 = (a + bi)−1 ⋅ (a + bi) = 1 + 0i

c) Conmutatividad:(a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi)(a + bi) ⋅ (c + di) = (c + di) ⋅ (a + bi)

d) Distributividad:(a + bi)[(c + di) + (e + fi)] = [(a + bi) ⋅ (c + di)] + [(a + bi) ⋅ (e + fi)]

5

e) Clausura:[(a + bi) + (c + di)] ∈ C ∧ [(a + bi) ⋅ (c + di)] ∈ C

Observacion :

El neutro y el inverso deben estar contenidos en el conjunto. De esta forma los numerosreales tienen estructura de cuerpo (R,+, ⋅) y el neutro de la suma se asocia con 0, elneutro de la multiplicacion se asocia con 1 como tambien el inverso de la suma se asociacon −a,−b,−c, etc y el inverso del producto (siempre que a ≠ 0) estara contenido en R.

1.4. Propiedades de los Numeros Reales

Con lo expuesto anteriormente se sabe que los numeros reales forman un conjunto conestructura de grupo y por lo tanto estan sujetos a las propiedades de esta estructura. Sinembargo, estas propiedades pueden o no cumplirse dado un grupo cualquiera pero parael caso de los numeros reales se garantiza que estas propiedades se cumplen definiendoaxiomas (propiedades tautologicas que no se demuestran) pero que si permiten demostrarpropiedades del conjunto R.

1.4.1. Axiomas en R

1. Conmutatividad

a) Dados dos numeros reales x, y cualquiera, su suma tiene como resultado unnumero real, es decir:

(∀x, y ∈ R) x + y = y + x

b) Para el producto se cumple la misma propiedad, es decir:

(∀x, y ∈ R) x ⋅ y = y ⋅ x

2. Asociatividad

a) Dados tres numeros reales x, y, z cualquiera, su suma tiene como resultado unnumero real, es decir:

(∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z


b) Para el producto se cumple la misma propiedad, es decir:

(∀x, y.z ∈ R) x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z

Demostracion :

x + (y + z) = (x + z) + yEl axioma de asociatividad no dice que x + (y + z) = (x + z) + y pero usando losaxiomas ya dados se tiene que:

x + (y + z) = x + (z + y) /conmutatividad

x + (y + z) = (x + z) + y /asociatividad

En relacion con lo anterior se concluye que la suma con n terminos es conmutativasin alterar el resultado y es analogo para la multiplicacion.

3. Distributividad

a) (∀x, y, z ∈ R) x(y + z) = xy + xzb) (∀x, y, z ∈ R) (x + y)z = xz + yz

4. Existencia de elementos neutros

a) Elementos neutros para la suma

Con las propiedades de grupo se sabe que en R se cumple que

(∀x ∈ R) x + e = x

Esta propiedad garantiza a lo menos la existencia de un elemento neutro (puedehaber mas de uno) pero para el caso de la suma en R se sabe que el neutro es0 y por lo tanto es unico.

Demostracion : El neutro para la suma es unico

En base al axioma anterior sabemos que existe al menos un neutro e1 quecorresponde al cero. Supongamos que por otro camino hemos encontrado otroneutro e2 para la suma, de forma tal que se cumple:

(∀x ∈ R) x + e1 = x ∧ x + e2 = x

Si el neutro es unico entonces necesariamente e1 = e2, formando un sistema conlas ecuaciones enteriores se obtiene:

7

x + e1 = xx + e2 = x

Reemplazando x = e2 en (1) y x = e1 en (2) nos queda:

e2 + e1 = e2e1 + e2 = e1

De lo anterior se tiene que:

e1 = e1 + e2 = e2 + e1 = e2

b) Elementos neutros para el producto

Es analogo al caso de la suma. Con las propiedades de grupo se sabe que en Rse cumple que

(∀x ∈ R) x ⋅ e = x

Demostracion : El neutro para el producto es unico

En base al axioma anterior sabemos que existe al menos un neutro e1 quecorresponde al uno. Supongamos que por otro camino hemos encontrado otroneutro e2 para la suma, de forma tal que se cumple:

(∀x ∈ R) x ⋅ e1 = x ∧ x ⋅ e2 = x

Si el neutro es unico entonces necesariamente e1 = e2, formando un sistema conlas ecuaciones enteriores se obtiene:

x ⋅ e1 = xx ⋅ e2 = x

Reemplazando x = e2 en (1) y x = e1 en (2) nos queda:

e2 ⋅ e1 = e2e1 ⋅ e2 = e1

De lo anterior se tiene que:

e1 = e1 ⋅ e2 = e2 ⋅ e1 = e2

5. Existencia de elementos inversos

a) Elementos inversos para la suma

Con las propiedades de grupo se sabe que en R se cumple que

(∀x ∈ R) x + opuesto(x) = 0


Esta propiedad senala que existen elementos neutros asociados a x pero parael caso de la suma en R se sabe que el opuesto es −x y por lo tanto es unico.

Demostracion : El inverso para la suma es unico

En base al axioma anterior sabemos que existe al menos un inverso c1 quecorresponde al cero. Supongamos que por otro camino hemos encontrado otroneutro c2 para la suma, de forma tal que se cumple:

(∀x ∈ R) x + c1 = 0 ∧ x + c2 = 0

Si el neutro es unico entonces necesariamente c1 = c2, formando un sistema conlas ecuaciones enteriores se obtiene:

x + c1 = 0x + c2 = 0

Lo que se debe demostrar es que c1 = c2

PD c1 = c2En efecto, usando los axiomas anteriores:

c1 = c1 + 0

c1 = c1 + (x + c2)c1 = (c1 + x) + c2c1 = (x + c1) + c2c1 = 0 + c2c1 = c2

b) Elementos inversos para el producto

Es analogo al caso de la suma. Con las propiedades de grupo se sabe que en Rse cumple que

(∀x ∈ R) x ⋅ reciproco(x) = 1

Demostracion : El inverso para el producto es unico

En base al axioma anterior sabemos que existe al menos un neutro c1 quecorresponde al uno. Supongamos que por otro camino hemos encontrado otroneutro c2 para la suma, de forma tal que se cumple:

(∀x ∈ R) x ⋅ c1 = 1 ∧ x ⋅ c2 = 1

Si el inverso es unico entonces necesariamente c1 = c2, formando un sistema conlas ecuaciones enteriores se obtiene:

9

x ⋅ c1 = 1x ⋅ c2 = 1

PD c1 = c2En efecto, usando los axiomas anteriores: c1 = c1 ⋅ 1c1 = c1 ⋅ (x ⋅ c2)c1 = (c1 ⋅ x) ⋅ c2c1 = (x ⋅ c1) ⋅ c2c1 = 1 ⋅ c2c1 = c2

Capıtulo 2

Matrices

2.1. Matrices

Una matriz es una tabla de doble entrada de m filas y n columnas con coeficientes en elcuerpo K (que puede ser R o C).

Considerando los subconjuntos de N: { I = {1,2,3, . . . ,m}J = {1,2,3, . . . , n}

Toda matriz es, ademas, una funcion del tipo:

M ∶ I × J→ K

(i, j)→Mij ∈ K

Sea la matriz Amn, se denota genericamente:

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠

aij ∈ K, ∀i = {1,2,3, . . . ,m}, j = {1,2,3, . . . , n}

Mmn(K) corresponde a todas las matrices de m filas, n columnas y coeficientes en elcuerpo K incluyendo a la matriz Amn.

12 Matrices

2.1.1. Igualdad de Matrices

Dadas dos matrices Amn ∈Mmn(K),Bm′n′ ∈Mm′n′(K), diremos que son iguales si y solosi:

(m =m′) ∧ (n = n′) ∧ (∀ i = {1,2,3, . . . ,m} , j = {1,2,3, . . . , n} , aij = bij)

2.2. Operaciones con Matrices

2.2.1. Suma de Matrices

Definiendo una aplicacion (o funcion) sobreMmn(K) a partir de las operaciones definidasen el cuerpo K de la forma:

Mmn ×Mmn →Mmn

(Amn,Bmn)→ (A + B)mn

Se define la suma de matrices como: ∀ A,B ∈Mmn(K), A + B = aij + bij

Observacion : La suma de matrices (Mmn,+) tiene estructura de grupo abeliano.

Demostracion : Es directa (lo cual no quiere decir que es trivial o evidente) con laspropiedades del cuerpo K se cumple que la suma es asociativa y conmutativa.

2.2.2. Propiedades de la Suma de Matrices

1. Admite un neutro aditivo tal que Amn + 0mn = AmnEl neutro aditivo corresponde a M es decir:

0 =⎛⎜⎝

0 . . . 0⋮ ⋱ ⋮0 . . . 0

⎞⎟⎠∈Mmn(K)

Es sumamente importante senalar que el neutro aditivo para las matrices no esunico. Como se define la suma de matrices, la operacion suma sobre estas genera

13

otra matriz si y solo si sumamos matrices de igual orden ya que de otra manera laoperacion no esta definida.

El neutro aditivo para las matrices de 2 × 3 es 0M = 02×3, para las de de 5 × 2 es0M = 05×2, etc.

Generalizando para las matrices de m × n es 0M = 0m×n con cualquier m,n ∈ N. Porlo tanto, a diferencia de las propiedades de R en que el neutro aditivo es unico paraMmnK existen tantos neutros como ordenes de matrices posibles.

2. Admite un inverso aditivo tal que Amn + (−Amn) = 0mn

El inverso aditivo de Mmn =mmn es −Mmn = −mmn

Por ejemplo en M23(C)

( 1 + i 0 2 + 3ii 1 0

) + ( −1 − i 0 −2 − 3i−i −1 0

) = ( 0 0 00 0 0

) = 0M

Por lo tanto,

−( 1 + i 0 2 + 3ii 1 0

) = ( −1 − i 0 −2 − 3i−i −1 0

)

3. La suma de matrices es asociativa tal que: Amn + (Bmn + Cmn) = (Amn +Bmn)+ Cmn

2.2.3. Ponderacion de Matriz por Escalar

Definiendo una aplicacion (o funcion) sobreMmn(K) a partir de las operaciones definidasen el cuerpo K de la forma:

K ×Mmn →Mmn

(α,Amn)→ αAmn

Sea la matriz Pmn = αAmn esta se define por: Pij = αAij

2.2.4. Propiedades de la Ponderacion de Matriz por Escalar

Las siguientes propiedades se cumplen ∀ A,B ∈Mmn , α, β ∈ K :

1. α(Amn + Bmn) = αAmn + αBmn

14 Matrices

2. (α + β)Amn = αAmn + βAmn

3. α(βAmn) = (αβ)Amn

4. 1Amn = Amn

Estas propiedades son las mismas de las de un espacio vectorial y su demostracion par-ticular puede hacerse en forma analoga al caso de un espacio vectorial R2/R tomando dosmatrices cualquiera con n vectores de 2 componentes.

El conjunto de las matrices Mmn sobre el cuerpo K con la LCI suma de matrices y laLCE ponderacion por escalar constituye un espacio vectorial Mmn/K

2.2.5. Producto de Matrices

Dadas las matrices:A = aij ∈Mmr(K), B = bij ∈Mrn

Se define la aplicacionMmr ×Mrn →Mmn

(Amn,Bmn)→ (A + B)mn

y el producto C = AB como la matriz C ∈Mmn(K) tal que:

Cmn =r

∑k=1

aikbkj, i = {1,2,3, . . . ,m} j = {1,2,3, . . . , n}

2.2.6. Propiedades del Producto de Matrices

1. Asociatividad

Dadas las matrices A ∈Mpq, B ∈Mqr, C ∈Mrs, entonces:

A(BC) = (AB)C ∈Mps

Demostracion :

Para la matriz A en (i, j) se tiene aij = ∑nk=1 aij

15

Para la matriz B en (j, k) se tiene bjk = ∑nk=1 bjk

Para la matriz C en (k, l) se tiene ckl = ∑nk=1 ckl

En efecto,

Para la matriz AB en (i, k) se tiene

AB =n

∑k=1

aijbjk

Luego,

(AB)C =n

∑k=1

(aijbjk)ckl

De manera analoga, para la matriz BC en (j, l) se tiene

BC =n

∑k=1

bjkckl

Luego,

A(BC) =n

∑k=1

aijbjkckl

Finalmente,

(AB)C = ∑nk=1 (aijbjk)ckl

A(BC) = ∑nk=1 aij(bjkckl)

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭A(BC) = ∑nk=1 (aijbjk)ckl = (AB)C

2. Distributividad con Respecto a la Suma

Dadas las matrices A ∈Mpq, B,C ∈Mqs, se cumple que:

A(B + C) = (AB) + (AC) ∈Mps

Demostracion :

Definiendo Dpr = Apq(Bqr + Cqr) se tiene que:

eij =n

∑k=1

aik(bkj + ckj) ∀ i ∈ {1,2,3, . . . p,}, j ∈ {1,2,3, . . . , s}

16 Matrices

En efecto,

dij =n

∑k=1

aik(bkj + ckj)

dij =n

∑k=1

aikbkj + aikckj

dij =n

∑k=1

aikbkj +n

∑k=1

aikckj

Con la definicion de producto de matrices se puede formar una expresion equivalentea la anterior:

Dpr = (AB)ps + (AC)ps

Observacion : La multiplicacion de matrices no es conmutativa, notese que como sedefine la aplicacion y la distributividad el producto entre matrices con distinto numerode columnas no esta definido.

En el caso de matrices con igual numero de columnas o de matrices cuadradas de igualorden el producto tampoco es una conmutativo. Se puede observar claramente con elsiguiente ejemplo:

( 1 00 0

) ⋅ ( 0 02 0

) = ( 0 00 0

) ( 0 02 0

) ⋅ ( 1 00 0

) = ( 0 02 0

)

Como se senalo existe el caso particular de la matriz cuadrada y la matriz identidad, paraeste caso la matriz identidad es un neutro en la estructura algebraica (Mnn(K), ⋅)En efecto, dada A ∈Mnn(K) se tiene que Ann ⋅ Inn = Ann

Demostracion :

n

∑k=1

aikikj = aij ⋅ ijj = aij = Ann

Se concluye que para el caso de las matrices cuadradas la suma y el producto constituyenuna estructura algebraica (Mnn(K),+, ⋅) que es un anillo con unidad (existe un neutropara ⋅)

17

2.2.7. Transposicion de matrices

Dada una matriz A = aij ∈Mmn se define la aplicacion:

Mmn →Mnm

A→ T (A) = AT

Es decir, la matriz transpuesta de A, AT , corresponde a una matriz de orden n ×m apartir de una matriz de orden m × n de igual cantidad de elementos.

En esta aplicacion la transpuesta de AP×Q = ∑nk=1 aij se define:

AT =n

∑k=1

aji⇔ A =n

∑k=1

aij

Ejemplos :

1. ( 1 2 5 83 4 1 2

)T

=⎛⎜⎜⎜⎝

1 32 45 18 2

⎞⎟⎟⎟⎠

2.

⎛⎜⎜⎜⎝

1 5 3 25 2 0 13 0 3 62 1 6 4

⎞⎟⎟⎟⎠

Para este caso la matriz es simetrica

3. x = (2,4,1)⇒ A = ( 2 4 1 )

AT =⎛⎜⎝

241

⎞⎟⎠

2.2.8. Propiedades de la Transposicion de Matrices

1. (AT )T = A

Demostracion :

18 Matrices

((A)Tij)T = (A)Tji = Aij

2. (A + B)T = AT + BT

Demostracion :

Sean A,B ∈Mmn⇒ A + B ∈Mmn y definiendo C = A + B

En efecto,

Para la matriz C en (i, j) se tiene cij = ∑nk=1 aij + bij = ∑nk=1 aij +∑nk=1 bij

Para la matriz CT en (i, j) se tiene cji = ∑nk=1 aji + bij = ∑nk=1 aji +∑nk=1 bji

Luego, para A,B en (i, j)

(A)Tij = Aji = ∑nk=1 aji

(B)Tij = Bji = ∑nk=1 bji

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭AT + BT = ∑nk=1 aji +∑nk=1 bji = CT

3. (αA)T = aAT

Demostracion :

Sea Amn = A =⎛⎜⎝

a11 . . . a1n

⋮ ⋱ ⋮am1 . . . amn

⎞⎟⎠

Entonces,

α ⋅Amn = A =⎛⎜⎝

αa11 . . . αa1n

⋮ ⋱ ⋮αam1 . . . αamn

⎞⎟⎠= α ⋅

⎛⎜⎝

a11 . . . a1n

⋮ ⋱ ⋮am1 . . . amn

⎞⎟⎠

(A)Tmn = Anm =⎛⎜⎝

a11 . . . am1

⋮ ⋱ ⋮a1n . . . anm

⎞⎟⎠

αAnm =⎛⎜⎝

αa11 . . . αam1

⋮ ⋱ ⋮αa1n . . . αanm

⎞⎟⎠= α ⋅

⎛⎜⎝

a11 . . . am1

⋮ ⋱ ⋮a1n . . . anm

⎞⎟⎠= αAT

19

4. (AB)T = BTAT

Demostracion :

Sean las matrices A ∈Mpq y B ∈Mqr tal que C = AB

En efecto,

Para (i, j) de la matriz C se tiene que

cij =n

∑k=1

aikbkj

mientras que para (i, j) de la matriz CT se tiene que

cji =n

∑k=1

akibjk

debido a la transposicion.

Luego, cji = ∑nk=1 akibjk = ∑nk=1 bjkaki

Sea la matriz D = BTAT

Para (i, j) se cumple que dij = ∑nk=1 (B)Tqr(A)Tpq

dij =∑k = 1n(B)Tik(A)Tkj ⇔ dij =∑k = 1nbkiajk

dij =∑k = 1nbkiajk =∑k = 1najkbki = (AB)ji = (CT )ij

Finalmente,

C = AB⇔ CT = (AB)T

20 Matrices

2.2.9. Operaciones Elementales de Fila

Se definen como aplicaciones del tipo:

Mmn →Mmn

AP×Q → e(AP×Q)

Existen 3 clases de operaciones inversas:

1. Operacion eij

Consiste en intercambiar de posicion las filas (i, j).

Ejemplo :

AP×Q =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

⎞⎟⎟⎟⎠

e13↝ BP×Q =⎛⎜⎜⎜⎝

a31 a32 a33 a34

a21 a22 a23 a24

a11 a12 a13 a14

a41 a42 a43 a44

⎞⎟⎟⎟⎠

Observacion : AP×Q ≠ BP×Q = BP×Q

2. Operacion ej(λ)Consiste en ponderar la fila j por el escalar λ ≠ 0

Ejemplo :

AP×Q =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

⎞⎟⎟⎟⎠

e2(−5)↝ BP×Q =⎛⎜⎜⎜⎝

a31 a32 a33 a34

−5a21 −5a22 −5a23 −5a24

a11 a12 a13 a14

a41 a42 a43 a44

⎞⎟⎟⎟⎠

3. Operacion eij(λ)Consiste en sumar a la fila i, la fila j ponderada por el escalar λ ≠ 0. El resultadoqueda en la fila i

Ejemplo :

AP×Qe31(−5)↝ BP×Q

21

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

⎞⎟⎟⎟⎠

e31(−5)↝⎛⎜⎜⎜⎝

a31 a32 a33 a34

a21 a22 a23 a24

a11 − 5a31 a12 − 5a32 a13 − 5a33 a14 − 5a34

a41 a42 a43 a44

⎞⎟⎟⎟⎠

Tambien se definen operaciones inversas . Cada operacion elemental de fila posee unainversa que es tambien una operacion de fila.

En efecto,

1. (eij)−1 = eij

2. [ej(λ)]−1 = ej(λ)

3. [eij(λ)]−1 = eij(λ)

2.2.10. Determinante de una Matriz

Esta aplicacion de define:

Mmn/K→ K

AP×Q → det(AP×Q) ∈ K

El determinante ses la suma de todos los productos posibles entre elementos de AP ×Q,a los que se atribuye un signo, con la condicion de no repetir filas ni columnas en cadaproducto.

El signo atribuido a cada producto es del de (−1)n en el que n es el numero de cmabiosal orden de columnas.

Ejemplos :

1. AP×P = ( a11 a12

a21 a22)

Los productos posibles son: b11 ⋅ b22, (n = 0)⇒ signo+ b12 ⋅ b21, (n = 1)⇒ signo−Luego, det(AP×P ) = b11 ⋅ b22 − b12 ⋅ b21

22 Matrices

2. BP×P = ( 1 52 4

)

det(AP×P ) = 1 ⋅ 4 − 5 ⋅ 2 = −6

2.2.11. Operaciones Inversas

Cada operacion elemental de fila posee una inversa que tambien es una operacion ele-mental de fila.

Ya definidas las operaciones elementales de fila, se tiene que:

1. (eij)−1 = eij

2. [ej(λ)]−1 = ej(λ−1)

3. [eij(λ)]−1 = eij(−λ)

2.3. Tipos de Matrices

2.3.1. Matriz Fila

El caso especial de las matrices de 1×n es una notacion alternativa para un vector k ∈ Kn

es decir, la matrizM1×n contiene las componentes (k1, k2, k3, . . . , kn) del vector k. De estofluye que una matriz de orden m × n contiene las componentes de m vectores Kn.

Ejemplo :

k ∈ K3 = (x, y, z)⇒M1×3 = ( a11 a21 a31 ) = ( x y z )

2.3.2. Matriz Cuadrada

Son aquellas matrices Mmn tal que m = n es decir, el numero de filas es igual al numerode columnas.

En las matrices cuadradas se denomina diagonal principal al subconjunto de elementos(entradas) de la matriz amn que cumplen que i = j.Ejemplo :

23

A =⎛⎜⎝

1 3 26 5 47 2 4

⎞⎟⎠

Diagonal principal: {a11, a22, a33} = {1,5,4}

2.3.3. Matriz Triangular

Matriz Triangular Superior

Sea Bmn una matriz cuadrada, esta es ademas triangular superior si:

{ bij = 0 si i > jm = n

Ejemplo :

B =⎛⎜⎝

1 4 20 6 80 0 7

⎞⎟⎠

Matriz Triangular inferior

Sea Bmn una matriz cuadrada, esta es ademas triangular inferior si:

{ bij = 0 si i < jm = n

Ejemplo :

B =⎛⎜⎝

1 4 20 6 80 0 7

⎞⎟⎠

2.3.4. Matriz Diagonal

Sea Cmn una matriz cuadrada, esta es ademas diagonal si es superior e inferior a la vez si:

{ cij = 0 si i ≠ jm = n

24 Matrices

Ejemplo :

C =⎛⎜⎝

1 0 00 3 00 0 2

⎞⎟⎠

2.3.5. Matriz Escalar

Sea Dmn una matriz cuadrada y diagonal, esta es ademas escalar si:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

dij = 0 si i ≠ jdij = k si i = jm = n

Ejemplo :

C =⎛⎜⎝

7 0 00 7 00 0 7

⎞⎟⎠= 7 ⋅

⎛⎜⎝

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎟⎠

2.3.6. Matriz Identidad

Sea Imn una matriz escalar, esta es ademas identidad si y solo si:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

dij = 0 si i ≠ jdij = 1 si i = jm = n

Ejemplo :

C =⎛⎜⎝

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎟⎠

Que corresponde a una matriz identidad de 3 × 3.

Observacion: La matriz identidad se denota Imn y se cumple que siempre es una matrizcuadrada. La matriz identidad no es unica, existen matrices identidad de orden m×n quepuede ser 1 × 1, 2 × 2, etc.

25

2.3.7. Matriz Simetrica

La matriz Smn es simetrica si y solo si:

{ Es una matriz cuadrada (m = n)sij = sji ∀i, j

Ejemplo :

C =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 5 3 2 05 2 0 1 83 0 3 6 72 1 6 4 00 8 7 0 5

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Que corresponde a una matriz simetrica de 5 × 5.

2.3.8. Matriz Antisimetrica

La matriz S ′mn es antisimetrica si y solo si:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Es una matriz cuadrada (m = n)sij = −sji si i ≠ jsij = 0 si i = j

Ejemplo :

C =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 −5 −3 −2 05 0 0 1 83 0 0 6 72 −1 −6 0 00 −8 −7 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Se verifica que a31 = 3 ∧ a13 = −3, a24 = 1 ∧ a42 = −1, etc.

2.3.9. Matriz Nula

La matriz Nmn correponde al neutro aditivo para las matrices, es decir correponde al 0My se cumple que: nij = 0 ∀i, j

Ejemplo:

26 Matrices

C =⎛⎜⎝

0 00 00 0

⎞⎟⎠

Que corresponde a una matriz de 3 × 2

Observacion : La matriz nula no es unica, existen matrices nulas de orden m×n pero a

diferencia de la matriz identidad esta no necesariamente es cuadrada.

2.3.10. Matriz Inversa

Para algunas matrices cuadradas existe la matriz inversa y esta cuando existe al multi-plicarse con su inversa (la matriz original) genera una matriz identidad. Tal condicion seexpresa:

Sea Ann esta matriz es invertible si y solo si ∃ A−1nn tal que:

Ann ⋅A−1nn = A−1

nn ⋅Ann = Inn

Observacion : Este es un caso particular en que se cumple la conmutatividad en el

producto de matrices.

Ejemplos :

1. Sea A = ( 1 51 6

)

De manera temporal supondremos que existe A−1

Sea A−1 = ( x1 y1

x2 y2)

Entonces, A ⋅A−1 = ( 1 52 6

) ⋅ ( x1 y1

x2 y2) = ( 1 0

0 1)

⇒ ( x1 + 5x2 y1 + 5y1

x2 + 6x2 y2 + 6y2) = ( 1 0

0 1)

27

⇒

x1 + 5x2 = 1x2 + 6x2 = 0y1 + 5y1 = 0y2 + 6y2 = 1

⇒ x1 + 5x2 = 1x2 + 6x2 = 0

⇒ x1 = 6, x2 = −1

⇒ y1 + 5y1 = 0y2 + 6y2 = 1

⇒ y1 = −5, y2 = 1

Por lo tanto,

A−1 = ( 6 −5−1 1

)

A es invertible.

2. Sea B = ( 1 22 4

)

De manera temporal supondremos que existe A−1

Sea A−1 = ( x1 y1

x2 y2)

Entonces, A ⋅A−1 = ( 1 22 4

) ⋅ ( x1 y1

x2 y2) = ( 1 0

0 1)

⇒ ( x1 + 2x2 y1 + 2y1

2x2 + 4x2 2y2 + 4y2) = ( 1 0

0 1)

⇒

x1 + 2x2 = 12x2 + 4x2 = 0y1 + 2y1 = 02y2 + 4y2 = 1

⇒ x1 + 2x2 = 12x2 + 4x2 = 0

⇒ 2x1 + 4x2 = 12x2 + 4x2 = 0

⇒ Contradicccion

Por lo tanto,

28 Matrices

A no es invertible ya que el sistema no tiene solucion.

2.3.11. Propiedades de la Inversa

1. Si A es invertible, entonces A−1 es unica

Demostracion :

Sea A ∈Mnn(K) es invertible si y solo si existe A−1 ∈Mnn(K) tal que:

AA−1 = A−1A = Inn

Supongamos que existen dos inversas para A tal que:

AB = AC = InnBA = CA = Inn

Luego,

B = B(AC)B = (BA)CB = InnCB = C

2. (A−1)−1 = A

Demostracion :

Sea A ∈Mnn(K) tal que det(A) ≠ 0 entonces A−1 esta definida.

Entonces,

(A−1)−1 ⋅A−1 = A ⋅A−1

(A−1)−1 ⋅A−1 = Inn[(A−1)−1 ⋅A−1]A = Inn ⋅A(A−1)−1[A−1 ⋅A] = A(A−1)−1[A ⋅A−1] = A(A−1)−1 ⋅ Inn = A

29

(A−1)−1 = A

3. (AB)−1 = B−1 ⋅A−1

Demostracion :

Sea Ann y Bnn entonces AB esta definida y AB ∈Mnn(K)Luego, si A y B admiten inversa ya que ambas ∈Mnn(K) con n cualquier enterofinito.

AB(B−1A−1)A(BB−1)A−1

A(Inn)A−1

AA−1

Inn

Tambien se debe demostrar para B−1A−1(AB)[B−1A−1(AB)]T

(AB)T (B−1A−1)T

(BTAT )[(AT )−1(BT )−1]BT [AT (AT )−1](BT )−1

BTInn(BT )−1

BT (BT )−1

Inn

4. (AT )−1 = (A−1)T

Demostracion :

Sea A ∈Mnn(K) y det(A) ≠ 0 entonces, A es invertible. Para AT ∈Mnn si det(AT ) ≠0 entonces AT es invertible.

AT ⋅ (AT )−1 = AT ⋅ (A−1)T

Inn = AT ⋅ (A−1)T

30 Matrices

(AT )−1 ⋅ Inn = AT ⋅ (A−1)T

(AT )−1 = (AT )−1[AT ⋅ (A−1)T ](AT )−1 = [(AT )−1 ⋅AT ](A−1)T

(AT )−1 = [AT ⋅ (AT )−1](A−1)T

(AT )−1 = Inn ⋅ (A−1)T

(AT )−1 = A−1)T

5. (A + B)−1 ≠ A−1 + B−1 salvo en casos particulares

Observacion : Solo algunas matrices son invertibles, como ya se vio existen casos en queuna matriz no admite inversa y que algunas matrices cuadradas son invertibles. Se puedecomprobar que existe la inversa verificando que el determinante sea distinto a cero parauna matriz dada.

2.4. Polinomios de Matrices

Tomando la forma generica de un polinomio p(x) = anxn+an−1xn−1+. . .+a1x+a0 se define,a partir de esto, el polinomio de matrices de la forma:

p ∶Mnn(K)→Mnn(K)

Ann → p(A)

De esta forma se tiene que p(A) = bnAn + bn−1An−1 + . . . + b1A + b0(bn corresponde a un coeficiente cualquiera como puede ser an, cn, etc. Se denota b paraevitar confusiones con algun aij ∈ Ann.)

2.5. Polinomio Caracterıstico

Sea la matriz A ∈Mnn(K). El polinomio caracterıstico de A se define:

p(λ) = det(A − λInn) = λn + an−1λn−1 + . . . + a1λ + a0

31

El polinomio caracterıstico cumple las siguientes propiedades:

1. Es de grado n

2. Es monico

3. ∣det(A)∣ = ∣a0∣ tal que si λ = 0 entonces, det(−A) = a0

4. Como consecuencia del item anterior, (−1)ndet(A) = a0

Sustituyendo λ por la matriz A se tiene que:

p(A) = An + an−1An−1 + . . . + a1A + a0

A partir de esta sustitucion se tiene la ecuacion caracterıstica de una matriz que consisteen igualar el polinomio caracterıstico de esta a cero.

2.6. Metodos Para Invertir Matrices

2.6.1. Matriz Ampliada

Para una matriz A ∈Mnn(K) se puede escribir la matriz identidad correspondiente anexaa la matriz A, es decir:

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . a1n 1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 0

a21 a22 a23 . . . a2n 0 0 1 ⋯ 0

⋮ ⋱ ⋮

an1 an2 an3 . . . ann 0 0 0 ⋯ 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Luego se aplican operaciones elementales hasta obtener una matriz identidad al ladoizquierdo (la matriz original) y el resultado que se obtiene a partir de la matriz identidadanexa corresponde a la inversa de A.

Ejemplo :

32 Matrices

Invertir, si es posible, la matriz A =⎛⎜⎝

2 1 −15 2 −30 2 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

2 1 −1 1 0 05 2 −3 0 1 00 2 1 0 0 1

⎞⎟⎠

e1(1/2)↝

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

11

2

−1

2

1

20 0

5 2 −3 0 1 0

0 2 1 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

e21(−5)↝

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

11

2

−1

2

1

20 0

0 −12

−12

−52 1 0

0 2 1 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

e2(−2)↝

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

11

2

−1

2

1

20 0

0 1 1 5 −2 0

0 2 1 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

e32(−2)↝

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

11

2

−1

2

1

20 0

0 1 1 5 −2 0

0 0 −1 −10 4 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

e23(1)↝

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

11

2

−1

2

1

20 0

0 1 0 −5 2 1

0 0 −1 −10 4 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

e3(−1)↝

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

11

2

−1

2

1

20 0

0 1 0 −5 2 1

0 0 1 10 −4 −1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

e12(−1/2)↝

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0−1

23 −1

−1

2

0 1 0 −5 2 1

0 0 1 10 −4 −1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

e13(1/2)↝

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 8 −3 −1

0 1 0 −5 2 1

0 0 1 10 −4 −1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

A−1 =⎛⎜⎝

8 −3 −1−5 2 110 −4 −1

⎞⎟⎠

33

2.6.2. Matriz Adjunta

Sea la matriz A ∈ Mnn(K) se define la adjunta como la transpuesta de la matriz decofactores. Cada cofactor Aij corresponde al determinante de la matriz AT ∈Mnn(K) sinconsiderar la columna i y la columna j cuyo resultado se multiplica por (−1)i+j:

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

⋮ ⋱ ⋮

an1 an2 an3 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⇒ AT =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a11 a21 a31 . . . an1

a12 a22 a32 . . . an2

⋮ ⋱ ⋮

a1n a2n a3n . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

A modo de simplificar se pueden renombrar los elementos de la matriz AT tal que:

AT =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

b11 b12 a13 . . . b1n

b21 b22 b23 . . . b2n

⋮ ⋱ ⋮

bn1 bn2 bn3 . . . bnn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

adj(A) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

A11 A12 A13 . . . A1n

A21 a22 A23 . . . A2n

⋮ ⋱ ⋮

An1 An2 An3 . . . Ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

T

⇒ adj(A) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

A11 A21 A31 . . . An1

A12 A22 A32 . . . An2

⋮ ⋱ ⋮

A1n A2n A3n . . . Ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

34 Matrices

adj(A) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

(−1)i+j ⋅ det⎛⎜⎝

b22 . . . b2n⋮ ⋱ ⋮bn2 . . . bnn

⎞⎟⎠

. . . (−1)i+j ⋅ det⎛⎜⎝

b21 . . . b2i⋮ ⋱ ⋮bn1 . . . bnj

⎞⎟⎠

⋮ ⋱ ⋮

(−1)i+j ⋅ det⎛⎜⎝

b12 . . . b1n⋮ ⋱ ⋮bi2 . . . bin

⎞⎟⎠

. . . (−1)i+j ⋅ det⎛⎜⎝

b11 . . . b1j⋮ ⋱ ⋮bij . . . bij

⎞⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Considerando el producto

P = A ⋅ adj(A) =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

⋮ ⋱ ⋮an1 an2 an3 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎠⋅⎛⎜⎜⎜⎝

A11 A21 A31 . . . An1

A12 A22 A32 . . . An2

⋮ ⋱ ⋮A1n A2n A3n . . . Ann

⎞⎟⎟⎟⎠

Si i = j entonces,

pjj = aj1 ⋅Aj1 + aj2 ⋅Aj2 + . . . + ajn ⋅Ajn =n

∑1

ajkAjk = det(A)

Si i ≠ j entonces,

pij = ai1 ⋅Aj1 + ai2 ⋅Aj2 + . . . + ain ⋅Ajn

Para este caso pij = 0 ya que corresponde al determinante de una matriz con filas repetidas(filas L.D ).

A ⋅ adj(A) =⎛⎜⎜⎜⎝

det(A) 0 0 . . . 00 det(A) 0 . . . 0⋮ ⋱ ⋮0 0 0 . . . det(A)

⎞⎟⎟⎟⎠= det(A)

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0⋮ ⋱ ⋮0 0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎠

Por lo tanto, A ⋅ adj(A) es una matriz diagonal y se tiene que:

A ⋅ adj(A) = det(A) ⋅ Inn

A−1[A ⋅ adj(A)] = A−1 ⋅ det(A)

35

A−1 = adj(A)det(A)

Teorema 2.6.1 Una matriz A ∈Mnn(K) es invertible si y solo si det(A) ≠ 0

Ejemplo :

Invertir (si es posible) la matriz A =⎛⎜⎝

1 3 52 1 83 1 4

⎞⎟⎠

det(A) = 39

adj(A) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

det( 1 81 4

) −det( 2 83 4

) det( 2 13 1

)

−det( 3 51 4

) det( 1 53 4

) −det( 1 33 1

)

det( 3 51 8

) −det( 1 52 8

) det( 1 32 1

)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

T

=⎛⎜⎝

−30 −16 −1−7 −11 819 2 −5

⎞⎟⎠

T

adj(A) =⎛⎜⎝

−30 −7 19−16 −11 2−1 8 −5

⎞⎟⎠

A−1 = adj(A)det(A) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−30

39

−7

39

19

39

−16

39

−11

39

2

39

−1

39

8

39

−5

39

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

2.6.3. Teorema de Cayley-Hamilton

A partir de la definicion de polinomio caracterıstico de una matriz, se puede enunciar elteorema de Cayley-Hamilton :

36 Matrices

Teorema 2.6.2 Toda matriz cuadrada es raız de su polinomio caracterıstico que se

define pA(λ) = det(A − λI)Es decir, A + an−1An−1 + . . . + a1A + a0I = 0

Sea la matriz A ∈Mnn(K). Entonces por definicion de polinomio caracterıstico se tiene:

p(λ) = det(A − λInn) = λn + an−1λn−1 + . . . + a1λ + a0

Sustituyendo λ por la matriz A e igualando a cero se tiene que:

p(A) = An + an−1An−1 + . . . + a1A + a0) = 0(x)

Ejemplo :

A3×2 = ( 1 23 4

)

p(λ) = det(A − λI) = det( 1 − λ 23 4 − λ ) = (1 − λ)(4 − λ) − 6 = λ2 − 5λ − 2

Luego, λ2 − 5λ − 2 = 0

Reemplazando λ por la matriz A e igualando a cero

A2 − 5A − 2I = 0

( 7 1015 22

) − ( 5 1015 20

) − ( 2 00 2

) = ( 0 00 0

)

Se comprueba que:

( 7 − 5 − 2 10 − 1015 − 15 22 − 20 − 2

) = ( 0 00 0

)

Aplicando el teorema de Cayley-Hamilton para invertir la matriz del ejemplo anterior setiene que para el polinomio caracterıstico 1

p(λ) = λ2 − 5λ − 2 si λ = 0 entonces, ∣det(A)∣ = ∣ − 2∣1El polinomio caracterıstico de una matriz corresponde a p(λ) = λn+an−1λ

n−1+ . . .+a1λ+a0 mientrasque la ecuacion caracterıstica corresponde al polinomio λn + an−1λ

n−1 + . . . + a1λ + a0 = 0

37

Luego, a partir de A2 − 5A − 2I = 0 se puede formar la expresion A − 5I − 2A−1 = 0

En consecuencia,

A−1 = A − 5I2

A−1 =( 1 2

3 4) − ( 5 0

0 5)

2

A−1 =( −4 2

3 −1)

2

A−1 =⎛⎜⎜⎝

−2 1

3

2

−1

2

⎞⎟⎟⎠

Comprobando,

( 1 23 4

) ⋅⎛⎜⎜⎝

−2 1

3

2

−1

2

⎞⎟⎟⎠= ( 1 0

0 1)

2.7. Equivalencia por Filas de una Matriz

Sea AP×Q definimos el espacio fila de A como el subespacio KQ/K generado por sus filasleıdas como n-tuplas .

Ejemplo :

A3×2 =⎛⎜⎝

1 23 51 8

⎞⎟⎠

El espacio fila de A equivale a lin(A) = {(1,2), (3,5), (1,8)} ∈ R2/R y es L.D.

La dimension del espacio fila se denomina rango por filas .

38 Matrices

2.8. Valores y Vectores Propios

Para una matriz de n×n. A partir del polinomio caracterıstico se obtiene un valor λ quecorresponde a las soluciones del polinomio caracterıstico tal.

A partir de los valores propios se obtiene un vector propio asociado de la forma

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

λ ± aλ ± bλ ± c. . .λ ± z

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Ejemplo :

Sea A = ( 4 −52 −3

)

El polinomio caracterıstico corresponde a

P (λ) = A = ( 4 − λ −52 −3 − λ ) = (4 − λ)(−3 − λ) + 10 = −(4 − λ)(3 + λ) + 10 = 0

P (λ) = −(12 + λ − λ2) + 10 = λ2 − λ − 2 = (λ − 2)(λ + 1)

Los valores propios son:

λ1 = 2 con multiplicidad algebraica igual a 1

λ2 = −1 con multiplicidad algebraica igual a 1

El vector propio se obtiene a partir de

(A − λI) ⋅ ( xy

) = ( 00

)

Para λ1 se obtiene el vector propio

(A − λI) ⋅ ( xy

) = ( 2 52 −1

) ⋅ ( xy

)( 00

)

⇒ 2x + 5y = 02x − y = 0

39

⇒ y = 0 ∧ x = 0⇒ vλ1 = ( 00

)

Propuesto : Resolver para λ2

Capıtulo 3

Sistemas de Ecuaciones Lineales

3.1. Notacion Matricial de un Sistema de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones tiene una notacion de la forma:

a11x1 + a12y1 + . . . + a1nz1 = b1a21x2 + a22y2 + . . . + a2nz2 = b2⋮ ⋱ ⋮

am1xm + am2ym + . . . + amnzm = bm

La notacion matricial de esta forma es:

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 ⋯ amn

⎞⎟⎟⎟⎠⋅⎛⎜⎜⎜⎝

xy⋮z

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

b1b2⋮bm

⎞⎟⎟⎟⎠

Esto ultimo se puede expresar como A ⋅ x = b.De esta forma, aplicando operaciones elementales se puede resolver un sistema de ecua-ciones ya que mediante esta operacion se puede despejar una componente (o incognita)y tambien se pueden encontrar incompatibilidades determinando los tipos de solucionencontrando filas L.D .

42 Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ejemplo :

x + y = 32x + 2y = 6

La notacion matricial es:

( 1 12 2

) ⋅ ( xy

) = ( 36

)

Para la matriz A se obtiene:

( 1 12 2

) e21(−2)↝ ( 1 10 0

)

Con esto se obtiene:

( 1 10 0

) ⋅ ( xy

) = ( 36

)

⇒ x + y = 3, 0 = 6

Por lo tanto el sistema es incompatible y no hay solucion.

Otra forma de saber las soluciones o si existe solucion es usando el determinante de lamatriz

det( 1 12 2

) = 1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 = 0

Si el determinante es cero entonces hay filas L.D y no se puede determinar la solucion.

3.1.1. Rango por Filas

Definiendo r = rango y n = numero de incognitas. El rango por filas de una matriz corre-sponde al numero de filas L.I que contiene. Se determina escalonando la matriz y segunel numero de filas L.I que se encuentren se dan los siguientes casos:

43

1. Solucion unica: Si y solo si existe un vector c que es solucion del sistema.

Ejemplo :

3x + y = 55x + 2y = 8

Como se senalo, si la solucion es unica se debe buscar un vector solucion c. Paraesto se puede obtener [I ∣ c]. Es decir, se obtiene x = c1, y = c2, . . . , z = cn

( 3 1 55 2 8

)e1(

13)

↝ ( 1 13

53

5 2 8) e2(−5)↝ ( 1 1

353

0 13

−13

) e12(−1)↝ ( 1 0 20 1

3−13

) e2(3)↝

( 1 0 20 1 −1

)

( xy

) = ( 2−1

)

2. Infinitas soluciones: Si se da el caso de que se pueda formar uno o mas pivotesirreparables, vale decir, una fila que inevitablemente contendra al 0 entonces elrango de la matriz sera menor a la cantidad de filas y para esta situacion se tieneque r < n

Ejemplo :

x + 2y − 3z = 62x − y + 4z = 24x + 3y − 2z = 14

Para desarrollar esto se escalona el sistema A ⋅ x = b y se obtiene [A ∣ b]

⎛⎜⎝

1 2 −3 62 −1 4 24 3 −2 14

⎞⎟⎠e21(−2)↝

⎛⎜⎝

1 2 −3 60 −5 10 −104 3 −2 14

⎞⎟⎠e31(−4)↝

⎛⎜⎝

1 2 −3 60 −5 10 −100 −5 10 −10

⎞⎟⎠e32(−1)↝

⎛⎜⎝

1 2 −3 60 −5 10 −100 0 0 0

⎞⎟⎠

Entonces, r = 2, n = 3⇒ r < n y las soluciones son infinitas.


3. No hay solucion: Si el sistema es incompatible y esto se puede verificar luego deescalonar o directamente.

Ejemplo :

x + 2y = 62x + 4y = 2

( 1 2 62 4 2

) e21(−1)↝ ( 1 2 61 2 −4

)

⇒ ( 1 21 2

) ⋅ ( xy

) = ( 6−4

)⇒ x + 2y = 6 ∧ x + 2y = −4⇒ C

3.2. Algoritmo tipo solucion

Para el sistem A ⋅ x = b si r = n entonces hay solucion unica y si r < n ∃ ∞ soluciones.Para determinar las soluciones de un sistema de puede realizar lo siguiente:

1. Definir la matriz ampliada [A∣I]

2. Escalonar y obtener el rango.

3. Si se obtiene [0M∣c] ∀ c ≠ 0 entonces el sistema es incompatible.

4. En caso de que no ocurra lo senalado en el punto (3) entonces se tienen dos casosposibles: r = n ∨ r < nPara r = n existen soluciones particulares y una solucion general.

3.3. Soluciones de un S.E.L

3.3.1. Solucion general de un S.E.L

El conjunto de todas las soluciones particulares del S.E.L A ⋅ x = b corresponde a lasolucion general del sistema.

Ejemplos :

45

1.x + y + z = 02x + 3y − z = 4

De la ecuacion (1) se obtiene z = −x − y

Reemplazando en (2) se obtiene 3x + 4y = 4⇒ y = 4 − 3x

4= 1 − 3x

4

La solucion general sera⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

x

1 − 3x4

−1 − x4

⎞⎟⎟⎟⎠

2.x + 2y − 3z = 62x − y + 4z = 24x + 3y − 2z = 14

La matriz aumentada queda:

⎛⎜⎝

1 2 −3 62 −1 4 24 3 −2 14

⎞⎟⎠e21(−2)↝

⎛⎜⎝

1 2 −3 60 −5 10 −104 3 −2 14

⎞⎟⎠e31(−4)↝

⎛⎜⎝

1 2 −3 60 −5 10 −100 −5 10 −10

⎞⎟⎠e32(−1)↝

⎛⎜⎝

1 2 −3 60 −5 10 −100 0 0 0

⎞⎟⎠

La variable libre es z por lo que despejando se obtiene:

x = 6 − 2y + 3z

y = −10−10z−5 = 2 + 2z

x = 2 − z

La solucion general del sistema es:

S =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠∈ R3 /

⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

2 − z2 + 2zz

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

220

⎞⎟⎠+ z ⋅

⎛⎜⎝

−121

⎞⎟⎠

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭


3.3.2. Solucion Particular de un S.E.L

Las soluciones particulares son todos los valores que se admiten en la solucion general.Para el caso anterior una solucion particular esta dada por un valor de x que este definidoen las componentes (x, y, z).

El ejemplo anterior admite, entre otros valores, x = 0 tal que x1 =⎛⎜⎝

01−1

⎞⎟⎠

y x = 1 tal que

x1 =⎛⎜⎜⎜⎝

1

14

−54

⎞⎟⎟⎟⎠

Estos valores corresponden a soluciones particulares del sistema y existen tantas solucionescomo valores que no indefinan las ecuaciones dadas.

3.4. Sistemas Homogeneos

Para un sistema de la forma A ⋅ x = b si se cumple que b = 0 se tiene A ⋅ x = 0 y entoncesel sistema sera homogeneo. Entonces, todo sistema homogeneo tiene como solucion x1 =0, x2 = 0, x3 = 0, . . . , xn = 0.

Si las filas de A son L.I , es decir det(A) ≠ 0, entonces el sistema admite otras soluciones.

Teorema 3.4.1 La solucion de un sistemas homogeneo es s.e.v en Kn. Si llamamos S al

conjunto solucion de A ⋅ x = b entonces:

1. 0 ∈ S

2. a, b ∈ S⇒ (a⊕ b) ∈ S

3. c ∈ S⇒ αc ∈ S

47

3.5. Formas de Resolucion

3.5.1. Metodo de Gauss

Si el sistema A ⋅ x = b es un S.E.L compatible y tiene tantas ecuaciones como incognitas,es decir que tiene solucion unica se tienen la siguiente implicancia: Las filas de la matrizA son L.I ⇒ det(A) ≠ 0

Dadas estas condiciones se puede invertir la matriz A y se obtiene:

A ⋅ x = b

A−1A ⋅ x = A−1b

x = A−1b

Otra forma de obtener la solucion es de la siguiente forma:

1. Se escribe la matriz aumentada [A∣b]

2. Se aplican operaciones elementales hasta obtener [I ∣c]

3. x = c es la solucion del sistema.

Ejemplo :

Obtener las soluciones para el sistema:

1

x+ 1

y+ 1

z= 10

2

x− 3

y− 4

z= −22

3

x+ 2

y− 1

z= −12

Primero, se puede aplicar un cambio de variable para simplificar la resolucion:

Sea1

x= x′, 1

y= y′, 1

z= z′


x′ + y′ + z′ = 102x′ − 3y′ − 4z′ = −223x′ + 2y′ − z′ = −12

Luego, la notacion matricial corresponde a:

⎛⎜⎝

1 1 1 102 −3 −4 −223 2 −1 −12

⎞⎟⎠

e21(−2)↝⎛⎜⎝

1 1 1 100 −5 −6 −423 2 −1 −12

⎞⎟⎠

e31(−3)↝

⎛⎜⎝

1 1 1 100 −5 −6 −420 −1 −4 −42

⎞⎟⎠

e21(−5)↝⎛⎜⎝

1 1 1 100 0 14 1680 −1 −4 −42

⎞⎟⎠

e2(114)

↝

⎛⎜⎝

1 1 1 100 0 1 120 −1 −4 −42

⎞⎟⎠

e32(4)↝⎛⎜⎝

1 1 1 100 0 1 120 −1 0 6

⎞⎟⎠

e3(−1)↝

⎛⎜⎝

1 1 1 100 0 1 120 1 0 −6

⎞⎟⎠

e3(−1)↝⎛⎜⎝

1 1 0 −20 0 1 120 1 0 −6

⎞⎟⎠

e13(−1)↝

⎛⎜⎝

1 0 0 40 0 1 120 1 0 −6

⎞⎟⎠

e23↝⎛⎜⎝

1 0 0 40 1 0 −60 0 1 12

⎞⎟⎠

Entonces, x′ = 4, y′ = −6, z′ = 12⇒ x = 1

4, y = −1

6, z = 1

12

3.5.2. Regla de Cramer

Tal como en el caso anterior se tiene que si el sistema A ⋅ x = b es un S.E.L compatibley tiene tantas ecuaciones como incognitas, es decir que tiene solucion unica se tienen lasiguiente implicancia: Las filas de la matriz A son L.I ⇒ det(A) ≠ 0

Dadas estas condiciones se puede invertir la matriz A y se obtiene:

A ⋅ x = b

A−1A ⋅ x = A−1b

49

x = A−1b

Bajo estas condiciones la solucion x = A−1b se determina a partir de la matriz A−1 tal que:

A−1 = adj(A)det(A)

Sea la matriz A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠

A−1 = adj(A)det(A) =

⎛⎜⎜⎜⎝

A11 A12 A13 . . . A1n

A21 A22 A23 . . . A2n

⋮ ⋱ ⋮Am1 am2 Am3 . . . Amn

⎞⎟⎟⎟⎠

T

det(A)

Se tiene que Aij = (−1)i+j ⋅ det(A′) siendo A′ la matriz resultante de aplicar el desarrollo

de Laplace a la columna j. Es decir, A l.c j→ aij ⋅A′

En la matriz adjunta no se consideran los factores que ponderan a la matriz A′.Considerando la componente j-esima de la ecuacion anterior se obtiene:

xj =

( Aj1 Aj2 Aj3 . . . Ajn ) ⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

b1b2b3⋮bn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

det(A) = Aj1b1 +Aj2b2 +Aj3b3 + . . . +Ajnbndet(A)

xj =n

∑1

Ajnbn ⋅1

det(A)

Entonces, xj =∆j

∆con ∆j = det(A′′) siendo A′′ la matriz que se obtiene reemplazando la

columna j por el vector b, es decir:


A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠⇒ A′′

b=⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . b1a21 a22 a23 . . . b2⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 am3 . . . bn

⎞⎟⎟⎟⎠

Ejemplo :

Resolver el sistema usando la Regla de Cramer

1

x+ 1

y+ 1

z= 5

2

x− 3

y− 4

z= −11

3

x+ 2

y− 1

z= −6

Como en el caso anterior se puede aplicar un cambio de variable para simplificar la res-olucion:

Sea1

x= x′, 1

y= y′, 1

z= z′

x′ + y′ + z′ = 52x′ − 3y′ − 4z′ = −113x′ + 2y′ − z′ = −6

x′ = ∆x

∆=

det⎛⎜⎝

5 1 1−11 −3 −4−6 2 −1

⎞⎟⎠

det⎛⎜⎝

1 1 12 −3 −43 2 −1

⎞⎟⎠

= 15 + 24 + (−22) − 18 − (−40) − 11

3 + (−12) + 4 − (−9) − (−2) − (−8) = 28

14= 2

⇒ x = 1

x′= 1

2

51

y′ = ∆y

∆=

det⎛⎜⎝

1 5 12 −11 −43 −6 −1

⎞⎟⎠

det⎛⎜⎝

1 1 12 −3 −43 2 −1

⎞⎟⎠

= 15 + 24 + (−22) − 18 − (−40) − 11

14= −42

14= −3

⇒ y = 1

y′= −1

3

z′ = ∆y

∆=

det⎛⎜⎝

1 1 52 −3 −113 2 −6

⎞⎟⎠

det⎛⎜⎝

1 1 12 −3 −43 2 −1

⎞⎟⎠

= 18 + (−33) + 20 − (−45) − (−22) − (−12)14

= 84

14= 6

⇒ z = 1

z′= 1

6

Capıtulo 4

Escalares, Vectores y EspaciosVectoriales

4.1. Escalar

Se define escalar como toda maginitud que queda expresada cuando se conoce su mag-nitud y la unidad de medicion.

Ejemplos :

1. Masa: 50kg, 16oz

2. Temperatura: -6°C, 32°F, 273K

3. Tiempo: 5 segundos

4. Rapidez: 10 km/h, 36 m/s

5. Volumen: 4 m3

4.2. Vector

Se define vector como una magnitud que se define con tres propiedades que le son carac-terısticas:

54 Escalares, Vectores y Espacios Vectoriales

a

1. Modulo: La longitud del vector (un vector contiene un segmento). En este caso es

el segmento OA y corresponde a√

32 + 42.

2. Direccion: Recta que contiene al vector. En este caso el vector esta contenido en la

recta de forma canonica y = 4

3x

3. Sentido: La orientacion que toma el vector. En este caso es desde el punto (0,0)hasta el punto (3,4) y se ubica en el cuadrante I). Por convenio se divide el planocartesiano en cuatro cuadrantes de la forma siguiente:

I)II)

III) IV)

55

Si no se especifican las 3 propiedades anteriores, el vector no esta definido. Los vectoresse denotan a, b, c, ..., n y su expresion en el plano es de la forma a = {ax, ay, az, ..., an}.

Ejemplos :

1. Velocidad: Un movil se mueve en uno o mas ejes respecto de un centro de referencia.La velocidad es la variacion de distancia respecto del tiempo y puede tomar valoresnegativos, no ası la rapidez que correponde al modulo de la velocidad.

2. Desplazamiento: Un movil puede ir de A a B que no es lo mismo que de B a A.Entonces, es importante especificar el sentido de la “flecha” que describe el vectordesplazamiento.

3. Aceleracion: Dependiendo del sentido una fuerza puede acelerar o desacelerar unmovil por lo que el modulo por si solo no define la aceleracion.

Los vectores de la figura son todos de igual modulo pero su direccion y sentido no soniguales. Por esto que es importante definir que un vector se define mediante estas trespropiedades.


Los vectores son n-dimensionales , es decir, estan contenidos en planos en Kn (K puede serR o C) pero por razones geometricas (no es posible graficar en mas de tres dimensiones)todo vector en el espacio esta contenido en planos en R2 o R3.

Todo vector en Kn se denota a = (a1, a2, . . . , an) y tambien se puede denotar en forma dematriz . Un vector de n-componentes , en este caso 3, se denota mediante una matriz filacomo se vio en el capıtulo 2 tal que:

a ∈ R3 = ( ax ay az )

Para esclarecer aun mas sirve como ejemplo el caso de un alumna que llamaremos Trixi. El desplazamiento de su casa, que queda en Diagonal Paraguay, desde un punto A a la

facultad ubicada en un punto B es el vectorÐ→AB que no es lo mismo que el desplazamiento

opuestoÐ→BA. Ambas distancias tienen igual modulo, misma direccion pero sentido inverso.

Mediante graficos esto queda expresado claramente en los ejes (x, y) y (x, y, z). Existenmuchos mas ejemplos como el de la velocidad de una piedra que cae con moudulo igual asu rapidez, direccion vertical y sentido hacia el centro de la tierra.

4.3. Espacio Vectorial

Sea V un conjunto de vectores {a, b, c, ..., n} dotado de una LCI ⊕ denominada suma yque ademas este conjunto tiene estructura de grupo abeliano.

Sea ademas, K un conjunto de escalares {α,β, γ, ..., λ} dotado de dos LCI (+, ⋅) tal que(K,+, ⋅) tiene estructura de cuerpo. Entonces, V/K es un ejjespacio vectorial.

4.4. Espacios Vectoriales Usuales

4.4.1. Espacio Vectorial R2/R

Consideremos V = R2 = R × R = {(x, y)/x ∈ R ∧ y ∈ R} que corresponde a vectores paresordenados de numeros reales.

La suma en este caso se define:

a = (x, y)b = (p, q) } a⊕ b = (x, y)⊕ (p, q) = (x + p, y + q)

57

Con esta definicion el neutro de la suma de vectores en R2 es:

0 = (0,0) En efecto, a + 0 = (x, y) + (0,0) = (x + 0, y + 0) = (x, y)

Para el caso de un vector polinomio cabe senalar que el neutro no correponde al 0 sino al

0(x), es decir:p(x) = a + bx + cx2 + . . . + nxn0(x) = 0 + 0x + 0x2 + . . . + 0xn

}

Para el cuerpo K tomamos el cuerpo (R,+, ⋅) y finalmente consideramos la LCE entre Ry R2 que se define:

R ×R2 → R2

(α, a) = (α(x, y))→ αa = α(x, y) = (αx,αy)

Demostracion : R2/R es un espacio vectorial

Se pueden verificar las propiedades ya senaladas de la LCE K ×V:

1. α(a⊕ b) = αa⊕ αbEn efecto, α(a⊕ b) = α[(x, y)⊕ (p, q)]α(a⊕ b) = α(x + p, y + q)α(a⊕ b) = (α(x + p), α(y + q))α(a⊕ b) = (αx + αp), αy + αq)α(a⊕ b) = (αx,αy)⊕ (αp,αq)α(a⊕ b) = α(x, y)⊕ α(p, q)α(a⊕ b) = αa⊕ αb

2. (α + β)a = αa⊕ βaEn efecto,

(α + β)a = (α + β)(x, y)(α + β)a = ((α + β)x , (α + β)y)(α + β)a = (αx + βx , αy + βy)(α + β)a = (αx,αy) + (βx + βy)(α + β)a = αa + βa


3. α(βa) = (αβ)aEn efecto,

α(βa) = α(β(x, y))α(βa) = α[(βx, βy)]α(βa) = (αβx,αβy)α(βa) = αβ(x, y)

4. 1a = aEn efecto,

1a = 1(x, y)1a = (1x,1y)1a = (x, y)1a = a

Las propiedades se han verificado con pares ordenados de numeros reales por lo que sedemuestra que R2/R es un espacio vectorial.

Observacion : Aquı solo se ha demostrado un caso particular. La demostracion es valida

para R2/R y no para cualquier espacio vectorial que puede ser R3/R, Rn/R, etc.

4.4.2. Rn/R

Corresponde a: Rn/R =n−veces

³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µ(R ×R ×R × . . . ×R)

Todo vector en Rn/R se denota x = {(x1, x2, x3, . . . , xn)/xj ∈ R ∀j = {1,2,3, . . . , n}}

La suma en este espacio es analoga al caso de pares ordenados, es decir:

x⊕ y = (x1, x2, x3, . . . , xn)⊕ (y1, y2, y3, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, . . . , xn + yn)

La ponderacion por escalar tambien es analoga al caso de pares ordenados, se cumple:

αx = α(x1, x2, x3, . . . , xn) = (αx1, αx2, αx3, . . . , αxn)

Observacion : Los vectores en Rn/R se denominan n-tuplas

59

4.4.3. Rn[x]/R (Polinomios reales de grado n sobre R)

Corresponde a :

Rn[x]²pol

/R = {p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn/aj ∈ R ∀j = {(1,2,3, . . . , n}}

La suma en este espacio es analoga al caso de pares ordenados, es decir:

(p⊕ q)(x) = (a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn)⊕ (b0 + b1x + b2x2 + . . . + bnxn)(p⊕ q)(x) = (a0 + b0) + (a1x + b1x) + (a2x2 + b2x2) + . . . + (anxn + bnxn)

La ponderacion por escalar en este espacio es analoga al caso de pares ordenados, es decir:

αp(x) = α ⋅ p(x) = α(a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn)αp(x) = αa0 + αa1x + αa2x2 + . . . + αanxn

El neutro para este espacio corresponde a 0(x), es decir: 0 + 0x + 0x2 + . . . + 0xn

Observaciones :

1. 0(x) numericamente es cero pero conceptualmente es un polinomio.

2. n indica el grado mayor de un polinomio, de esta forma un espacio de orden ncontiene todos los polimios de grado ≤ n.

3. Un polinomio se puede expresar como n-tupla, ejemplo: 2 + 3x + 4x2 → (2,3,4)

4.4.4. C[a, b] (Funciones reales continuas sobre [a, b])

Suma de vectores:ÐÐ→f + g(x) =Ð→f (x) +Ð→g (x)

Ponderacion por escalar: (Ð→αf)(x) = α ⋅Ð→f (x)

Elemento neutro:Ð→0 (x) = 0 ∀x ∈ [a, b]

4.5. Base de V/K

Sea V/K un espacio vectorial, entonces el conjunto A = {a1, a2, a3, . . . , an} es una base deV/K si y solo si:


1. A es linealmente independiente

2. lin(A) = V/K

Cuando se cumplen ambas condiciones A es un conjunto libre (linealmente independiente)y generador , es decir que con combinaciones lineales de A se puede formar cualquier vectorde V/K.

Ejemplo :

E = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de R3/R

1. E es linealmente independiente.

En efecto, α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) = (0,0,0)⇒ (α,0,0) + (0, β,0) + (0,0, γ) = (0,0,0)⇒ α = β = γ = 0

2. E es generador de R3/REn efecto, sea (x, y, z) cualquier vector de R3/R se cumple que:

(x, y, z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)(x, y, z) = (x,0,0) + (0, y,0) + (0,0, z)(x, y, z) = (x, y, z)⇒ (x, y, z) ∈ lin(E) ∀(x, y, z) ∈ R3

4.5.1. Bases Canonicas

Se define base canonica como toda base formada unicamente por vectores unitarios talque solo una de las componentes de cada vector es no nula e igual a 1. Para toda basecanonica se cumple lo siguiente:

Sea ci el i-esimo vector canonico, necesariamente ci {0 si i ≠ j1 si i = j Siendo j la componente

j-esima del vector i-esimo . Es decir, cuando la componente tiene la misma cardinalidadque el vector entonces la componente toma el valor 1.

Para el caso de un vector polinomio la base canonica se define: E = {1, x, x2, . . . , xn}

61

4.6. Dimension de V/K

Sea V/K un espacio vectorial, entonces todas las bases de V/K tienen la misma cardinal-idad.

Se define dimension del espacio V/K a la cardinalidad de sus bases. De este conceptosurge el de vector de coordenadas de x que se define:

4.7. Vector de Coordenadas de x

Sea A = {a1, a2, a3, . . . , an} y x ∈ V cualquier vector. Entonces se puede expresar x de laforma:

x = α1a1 + α2a2 + α3a3 + . . . + αnan =n

∑k=1

αkxk

Es decir, x se puede formar a partir de una combinacion lineal de vectores del conjuntoal que pertenece.

El vector de coordenadas de x con respecto a la base A corresponde a la n-tupla:

[x]A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

α1

α2

α3

⋮αn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Ejemplo :

1. En R3/R sea la base D = {(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} y el vector x = (2,8,5)Se tiene que x = −6(1,0,0) + 3(1,1,0) + 5(1,1,1)

Por lo tanto el vector de coordenadas corresponde a: [x]D =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−635

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦2. Determine base y dimension para W1 ∩W2 si

W1 = {(x, y, z,w) ∈ R4/x + y −w = 0}W2 = {(x, y, z,w) ∈ R4/x −w = 0}

Sea u ∈ W1 ∩W2 tal que:


a + b −d = 0a −d 0

⇒ a + b − d = 0 ∧ b = 0

⇒ a = du = (a, b, c, d) = (a,0, c, a) = a(1,0,0,1) + c(0,0,1,0)u es generado por {(1,0,0,1), (0,0,1,0)} que es linealmente independiente

∴ {(1,0,0,1), (0,0,1,0)} es base de dimension (cardinalidad) 2 de W1 ∩W2

4.8. Subespacio Vectorial

Sea V/K un espacio vectorial y W ⊆ V tal que W ≠ φ. Entonces W/K es un s.e.v. de V/Ksi y solo si cumple con el teorema de caracterizacion:

Teorema 4.8.1 W ⊆ V es s.e.v. de V/K si y solo si:

1.Ð→0 ∈ W lo cual comprueba que W ≠ φ

2. (Ð→a ,Ð→b ) ∈ W⇒ (Ð→a ⊕Ð→b ) ∈ W ∀(Ð→a ,Ð→b ) ∈ W, α ∈ K

3. Ð→a ∈ W⇒ αÐ→a ∈ W ∀(Ð→a ,Ð→b ) ∈ W, α ∈ K

Ejemplo :

En R2/R sea W ⊆ R2[x]/W = {p(x) = a + bx + cx2, p(1) = 0}Probar que W/R es un s.e.v. de R2[x]/R

1. SeaÐ→0 (x) = 0 + 0x + 0x2 tenemos que

Ð→0 (x)∣x=1 = 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 12 = 0

⇒ Ð→0 (x) ∈ W⇒W ≠ φ

2. SeanÐ→p (x) = a + bx + cx2

Ð→q (x) = d + ex + fx2 } ∈ W⇒Ð→p (1) +Ð→q (1) = 0

Entonces,ÐÐÐ→(p + q)(x) =Ð→p (x) +Ð→q (x)

Por lo tantoÐÐÐ→(p + q)(1) =Ð→p (1) +Ð→q (1) = 0 + 0 = 0⇒

ÐÐÐ→(p + q)(x) ∈ W

63

3. Sea Ð→p x = a + bx + cx2 ∈ W⇒ p(1) = 0 y ademas α ∈ REntonces, (αÐ→p )(x) = α ⋅Ð→p (x)(αÐ→p )(1) = α ⋅Ð→p (1) = α ⋅ 0 = 0

⇒ (α ⋅Ð→p ∈ W)

∴W es un s.e.v

4.8.1. Combinacion Lineal

Sea A = {x1, x2, x3, . . . , xn} ⊆ V/K que puede ser un conjunto de caracter finito o infinito.Una combinacion lineal de A es todo vector de la forma:

a =n

∑k=1

αjxj a = lin(A)

El concepto de combinacion lineal lleva al concepto de independencia lineal que se definecomo sigue:

4.8.2. Independencia Lineal de un Conjunto

Sea A = {x1, x2, x3, . . . , xn} ⊆ V/K, se cumple que A es linealmente independiente si y solosi:

a =n

∑k=1

αkxk = 0⇒ (α1 = α2 = α3 = . . . = αn = 0)

Es decir, A es un conjunto linealmente independiente cuando la unica forma de obteneruna combinacion lineal nula es que todos los escalares de la combinacion sean 0. Si estono se cumple, entonces el conjunto necesariamente es linealmente dependiente.

Ejemplos :

1. Verificar que (3, 52) es combinacion lineal de A = {(1,0), (0,2)}

En efecto, α(1,0) + β(0,2) = (3,5

2)

(α,2β) = (3,5

2)


α = 3

2β =5

2

⇒ α = 3, β = 5

4

∴ es combinacion lineal de A

2. Demostrar que B = A − {aj} con (A,B) ⊆ V/K es un conjunto linealmente dependi-ente.

En efecto, aj ∈ V/K⇒ aj ∈ lin(B)

aj =n

∑k=1,k≠j

αkxk ⇒ aj = α1a1 + α2a2 + α3a3 + . . . + αj−1aj−1 + αj+1aj+1 + . . . + αnan

0 = α1a1 + α2a2 + α3a3 + . . . + αj−1aj−1 − aj aj + αj+1aj+1 + . . . + αnan

La combinacion lineal nula es linealmente dependiente ya que aj esta ponderado por−1.

4.9. Operatoria Vectorial

4.9.1. Suma de Vectores

Dados dos o mas vectores estos se pueden sumar directamente. Para el caso de dos vec-tores a = (x1, y1) , b = (x2, y2) estos se suman componente a componente1 , es decira + b = (x1 + x2, y1 + y2). Ası se establece la regla del paralelogramo que define que parasumar dos vectores cualquiera se debe hacer lo siguiente:

1. Dados a y b para obtener a + b se dibuja b a continuacion de a.

2. Ambos vectores se trasladan hasta completar un paralelogramo.

1Componente de un vector: La componente de un vector es la proyeccion de un vector sobre uno delos ejes en que esta contenido, es decir es el valor que el vector tiene en un eje.Ejemplo : a = (3,2)⇒ a∣x = 3 (componente x) y a∣y = 2 (componente y)

65

3. El vector que va desde el inicio de a hasta el final de b es a + b. Una consecuenciaimportante de esto es que la suma de vectores no es conmutativa ya que invertir elorden de la suma invierte el sentido del vector resultante.

a

b

b'

a'a+b

y

x x y

z

a

a+b

b

En caso de tener dos o mas vectores sumados se hace de la misma manera. Para el casodel paralelogramo deberıan sumarse los vectores de a pares para ası poder formar elparalelogramo y no otra figura. En forma algebraica la suma de n-vectores no presentadiferencia con la suma de dos vectores. Es importante senalar que la suma de vectoresesta definida solo cuando se aplica a vectores de igual numero de componentes.

De otra forma, se pueden sumar vectores mediante la regla del triangulo que consisteen copiar el vector que se suma a continuacion de otro y el vector resultante va desde elorigen del primer vector hasta el final del vector sumado.

a

b

a+b


Resta de Vectores

Como tal la resta de vectores no existe. La “resta” de vectores consiste en sumar el inversode un vector a otro.

Ejemplos : Dados a = (4,2) , b = (−2,1) , c = (−1,0) , d = (3,−8) , e = (−2,−7)

1. a + b = (2,3)

2. a − c = a + (−c) = (4,2) + [−(−1,0)] = (4,2) + (1,0) = (5,2)

3. a + b + c + d + e = ([4 − 2 − 1 + 3 − 2], [2 + 1 + 0 − 8 − 7]) = (2,−12)

4. a − b − c − d − e = ([−4 + 2 + 1 − 3 + 2], [−2 − 1 − 0 + 8 + 7]) = (−2,12)

5. a + b + d + c = ([4 − 2 + 3 − 1], [2 + 1 − 8 + 0]) = (4,−5)

4.9.2. Ponderacion por Escalar

Dado un vector cualquiera ponderar por un escalar consiste en multiplicar todas lascomponentes del vector por un mismo valor. De este modo si a = (x, y, z) entonces,αa = (αx,αy,αz) tal que α puede alterar el modulo y el sentido del vector.

Ejemplos : Dados a = (1,2,4) , b = (−2,0,1) , c = (−4,6,3)

1.1

2c = (−2,3,

3

2)

2. 2a − c + 10b = (2,4,8) + (4,−6,−3) + (−20,0,10) = (−12,−2,15)

Si consideramos una LCE entre K y V de la forma:

K ×V→ V

(α, a)→ αa

αa es vector a ponderado por escalar α.

Se cumple que:

67

1. α(a⊕ b) = αa⊕ αb

2. (α + β)a = αa⊕ βa

3. α(βa) = (αβ)a

4. 1a = a

Entonces la estructura (V,K,⊕,+, ⋅,K ×V) es un espacio vectorial.

Notacion de espacio vectorial:

(V,K,⊕,+, ⋅,K ×V) ≡ V/K

4.9.3. Producto Cartesiano

Sean A,B conjuntos de vectores no vacıos. Definimos el producto cartesiano de A,B comoel conjunto:

A ×B = {(A,B)/a ∈ A ∧ b ∈ B}

Es decir, al efectuar producto cartesiano a dos conjuntos de vectores, se obtiene unconjunto de combinaciones de vectores contenidos tanto en A como en B. Es importantesenalar que tal operacion no contiene todas las combinaciones posibles ya que al efectuarA×B se obtienen combinaciones de B sobre A y en otros casos es el segundo termino queopera sobre el primero. Adicionalmente, el producto cartesiano se puede realizar entreconjuntos de vectores de distinto numero de componentes.

Ejemplos :

1. A = (1,2) ∧B = (α,β, γ)A ×B = {(1, α), (1, β), (1, γ), (2, α), (2, β), (2, γ)}

2. B ×A = {(α,1), (α,2), (β,1), (β,2), (γ,1), (γ,2)}

3. A ×A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

Por igualdad de pares ordenados:

(a, b) = (x, y)⇔ (a = x) ∧ (b = y))

De lo anterior se tiene que A ×B ≠ B ×A


4.9.4. Norma de un Vector

Dado un vector en Kn este cumple con las propiedades de un vector ya senaladas. Parael caso de vectores de R2 y R3 se puede emplear el teorema de pitagoras para determinarel modulo de un vector que en forma general se denomina norma . En todo espacio V/Kse puede definir una aplicacion:

V→ R+ ∪ {0}a→ ∥a∥

Esta aplicacion cumple las siguiente propiedades:

1. ∥a∥ ≥ 0

2. ∥a∥ = 0 ⇔ a = 0

3. ∥αa∥ = ∣α∣ ⋅ a

4. ∥a + b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥ (desigualdad triangular)

4.9.5. Normas en Rn/R

La norma de un vector se clasifica arbitrariamente asignando numeros:

1. Norma 1

∥a∥1 = ∥(a1, a2, a3, . . . , an)∥1 =n

∑k=1

aj

2. Norma 2 (o Norma Euclıdea , esta es la que se usa comunmente a menos que seindique otra cosa)

∥a∥2 = [n

∑k=1

∣aj ∣2]1/2

=√

∣a1∣2 + ∣a2∣2 + ∣a1∣3 + . . . + an∣2

3. Norma 3

∥a∥3 = [n

∑k=1

∣aj ∣3]1/3

= 3√

∣a1∣3 + ∣a2∣3 + ∣a1∣3 + . . . + an∣3

69

4. Norma infinito (o del supremo)

∥a∥∞ = sup{∣ak∣}nk=1

Ejemplo :

∥(2,8,3,0)∥∞ = 8

En efecto,

lımn→∞

n√

∣2∣n + ∣ − 8∣n + ∣3∣n

lımn→∞

n

¿ÁÁÀ∣2∣n + ∣ − 8∣n + ∣3∣n

∣ − 8∣n ⋅ ∣ − 8∣n

∣ − 8∣ ⋅ lımn→∞ n

¿ÁÁÁÁÀ

∣ 1

−4∣n

²≈0

+∣1∣n + ∣ 3

−8∣n

²≈0

∣ − 8∣ ⋅ lımn→∞

n√

∣1∣n = 8

4.9.6. Angulo Entre Vectores

Dado un espacio vectorial V/K, el angulo entre dos vectores a, b de este espacio se definesegun la relacion:

cos∠(a, b) = < a, b >∥a∥ ⋅ ∥b∥

Ejemplo en R2


a

b

Para determinar el angulo serıa ası:

cos∠(a, b) = < (2, [4 − 1]), (3, [3 − 1]) >√22 + (4 − 1)2 ⋅

√32 + (3 − 1)2

= 6 + 6√13 ⋅

√13

= 12

13

Luego, el angulo correspondiente es: arccos(1213) = 22○37′12′′

4.9.7. Producto Punto (o Producto Interno)

Sea V/K un espacio vectorial . Se define el producto punto sobre V como cualquieraplicacion del tipo:

V ×V→ K

(a, b)→ < a, b > ∈ K ∀ a, b ∈ V

Es una operacion cuyo resultado es un escalar . Se denota < a, b > o en forma alternativaa ● b

4.9.8. Propiedades del Producto Punto

El producto punto cumple lo siguiente:

1. Asociatividad: Si aparece una suma junto con el producto punto se puede asociarrespecto de la suma.

71

a) Para el caso de vectores:

< a + b, c >=< a, c > + < b, c >

b) Para el caso de matrices (siempre y cuando las operaciones esten bien definidas):

< A + B,C >= tr(CTA) + tr(CTB)

c) Para el caso de polinomios:

< p(x) + q(x), r(x) >=< p(x), r(x) > + < q(x), r(x) >

d) Para el caso de funciones reales continuas en [a, b]< f(x) + g(x), h(x) >=< f(x), h(x) > + < g(x), h(x) >

2. Distributividad: Si el producto punto se pondera por un escalar, este distribuyerespecto de cada termino del producto punto


α < a, b >=< αa, b >=< a, αb >


α < A,B >= α ⋅ tr(BTA)


α < p(x), q(x) >=< αp(x), q(x) >=< p(x), αq(x) >

d) Para el caso de funciones reales continuas en [a, b]α < f(x), g(x) >=< αf(x), g(x) >=< f(x), αg(x) >

3. Conmutatividad: En Rn el producto punto es conmutativo tal que:


< a, b >=< b, a >

Para el caso de Cn se cumple que el producto punto es conmutativo respectode su conjugacion, es decir, se cumple que:

< a, b >= < b, a >a ● b = b ● a


Ejemplo en C : Si < a, b >= 3 + 2i entonces, < b, a >= 3 − 2i⇔ < b, a > = 3 + 2i


< A,B >=< B,A >tr(BTA) = tr(ATB)


< p(x), q(x) >=< q(x), p(x) >

d) Para el caso de funciones reales continuas en [a, b]< f(x), g(x) >=< g(x), f(x) >

4. Otra propiedad, no menos importante, es que el producto punto es siempre mayoro igual a cero (< a, b >≥ 0) y esto se cumple con todos los casos ya mencionados.

Ejemplo :

Demostrar que en M2×2 < A,A >= tr(ATA) es producto punto

Se debe demostrar que se cumplen las propiedades mencionadas

1. PD < A,A > ≥ 0

Como < A,A >= ⟨( a11 a12

a21 a22) ,( a11 a12

a21 a22)⟩

Se tiene entonces que

⟨( a11 a12

a21 a22) ,( a11 a12

a21 a22)⟩ = tr(ATA)

Luego,

tr(ATA) = tr⎛⎜⎝

a211 + a2

21 a11a12 + a21a22

a11a12 + a21a22 a212 + a2

22

⎞⎟⎠= a2

11 + a212 + a2

21 + a222

En base a lo anterior se tienen dos casos,

73

a) (A ●A = 0)⇔ (a211 + a2

12 + a221 + a2

22 = 0)

Es directo que si a11 = a12 = a21 = a22 = 0

b) (A ●A > 0)⇔ (a112 + a212 + a2

21 + a222 > 0)

Esto implica que se debe demostrar lo siguiente:

A ●A > 0 ∀ M2×2 − {( 0 00 0

)}

En efecto, si {a11, a12, a21, a22} ∈ R − {0}

⇒ (a211 + a2

12 + a221 + a2

22) > 0

⇒ tr⎛⎜⎝

a211 + a2

21 a11a12 + a21a22

+a11a12 + a21a22 a2

12 + a222

⎞⎟⎠> 0

2. Conmutatividad

PD < A,A >=< A,A >

Es directo que se cumple la igualdad.

3. Distributividad

PD α < A,A >=< αA,A >=< A, αA >

a) α < A,A >= α ⋅ tr⎛⎜⎝

a211 + a2

21 a11a12 + a21a22

a11a12 + a21a22 a212 + a2

22

⎞⎟⎠

b) < αA,A >= tr [α( a11 a12

a21 a22)( a11 a12

a21 a22)]

< αA,A >= tr⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣α⎛⎜⎝

a211 + a2

21 a11a12 + a21a22

a11a12 + a21a22 a212 + a2

22

⎞⎟⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

< αA,A >= α ⋅ tr⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎛⎜⎝

a211 + a2

21 a11a12 + a21a22

a11a12 + a21a22 a212 + a2

22

⎞⎟⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦


c) < A, αA >= tr [( a11 a12

a21 a22) ⋅ α( a11 a12

a21 a22)]

< A, αA >= tr⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣α⎛⎜⎝

a211 + a2

21 a11a12 + a21a22

a11a12 + a21a22 a212 + a2

22

⎞⎟⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

< A, α ⋅A >= αtr⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎛⎜⎝

a211 + a2

21 a11a12 + a21a22

a11a12 + a21a22 a212 + a2

22

⎞⎟⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Se cumple que 1) = 2) = 3)

4. Asociatividad

PD < A + B,C >=< A,C > + < B,C >

< A + B,C >= tr(CT [A + B])< A + B,C >= tr(CTA + CTB)< A + B,C >= tr(CTA) + tr(CTB)< A + B,C >=< A,C > + < B,C >

∴ tr(BTA) es producto punto en M2(R)

4.9.9. Productos Punto Usuales

1. Producto punto entre vectores en Rn

< a, b >=< (a1, a2, a3, . . . , an), (b1, b2, b3, . . . , bn) >= a1b1 + a2b2 + a3b3 + . . . + anbn< a, b >= ∑nk=1 akbk

Para el caso de R2 o R3 se puede emplear < a, b >= ∣a∥b∣ cos(α). En la esta ecuacion

α corresponde a ∠(a, b) = arc cos( a ⋅ b∥x∥ ⋅ ∥y∥)

2. Producto punto entre matrices

< A,B >= tr(BTA) = tr(ATB) si y solo si BTA esta definida.

75

3. Producto punto entre polinomios en Rn

< p(x), q(x) >=< a0 + a1x + a2x2, . . . , anxn , b0 + b1x + b2x2, . . . , bnxn >< p(x), q(x) >= ∑nk=1 akbk

4. Producto punto entre funciones reales continuas en [a, b]< f(x), g(x) >= ∫

b

a [f(x)g(x)]dx

4.9.10. Producto Cruz (o Producto Vectorial)

En R3 puede definirse una aplicacion que define producto entre vectores tal que al efectuarla operacion producto cruz (denotada con el operador ×) se obtiene como resultado otrovector. Entonces, se tiene lo siguiente:

R3 ×R3 → R3

(a, b)→ a × b ∈ R3 ∀ (a, b) ∈ R3

4.9.11. Propiedades del Producto Cruz

1. Se cumple que el producto cruz genera otro vector tal que: (a × b) ⊥ a ∧ (a × b) ⊥ b

2. La forma operacional es: ∥a × b∥ = ∥a∥ ⋅ ∥b∥ ⋅ sen(α)

3. Se cumple que < a × b, a >=< a × b, b >= 0 dada la condicion de ortogonalidad

4. Para calcular producto cruz mediante determinantrs (ası no se consideran las nor-mas como en el caso anterior) se toman los vectores de la base canonica R3:i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1) y dados los vectores (a, b) ∈ R3. Con estose define a × b:

a × b = det⎛⎜⎝

i j kax ay azbx by bz

⎞⎟⎠

5. El producto cruz no es conmutativo y esto es claramente visible con la forma ma-tricial aunque tal vez no lo es a primera vista por medio de las normas.

Ejemplo


Dados dos vectores [a = (5,0,√

2), b = (2,1,√

2)] ∈ R3 entonces,

a × b =RRRRRRRRRRRRRRR

i j k

5 0√

2

2 1√

2

RRRRRRRRRRRRRRR= i(−

√2) − j(3

√2) + k(5)

b × a =RRRRRRRRRRRRRRR

i j k

2 1√

2

5 0√

2

RRRRRRRRRRRRRRR= i(

√2) − j(−3

√2) + k(−5)

Capıtulo 5

Transformaciones Lineales

5.1. Transformacion Lineal

Sean U/K y V/K espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Se define una transfor-macion lineal de U en V como una funcion (lineal) del tipo:

f ∶ U/K→ B/Kx→ f(x) ∈ V ∀x ∈ U

Toda transformacion lineal cumple las siguiente propiedades:

1. f(αx) = αf(x) ∀x ∈ U, α ∈ K

2. f(x + y) = f(x) + f(y) ∀x, y ∈ U, α ∈ K

Notar que, si f es lineal entonces f(0U) = 0V. Con esto, se tiene que f(0) = 0, cabepreguntarse: ¿Existen otros vectores cuya imagen sea 0V?

Efectivamente existen, se tiene que se da el caso en que ∃x ≠ 0U/f(x) = 0V exceptopara transformaciones lineales inyectivas (recordar que una funcion inyectiva cumplela condicion de que cada elemento del recorrido es generado por un unico elemento deldominio de la misma funcion.)

Ejemplos :

1. f ∶ R2/R→ R/R

78 Transformaciones Lineales

(a, b)→ f(a, b) = 2a − 5b es lineal

En efecto,

a) f[(a, b) + (x, y)] = f[(a + x, b + y)]f[(a, b) + (x, y)] = 2(a + x) − 5(b + y)f[(a, b) + (x, y)] = (2a − 5b) + (2x − 5y)f[(a, b) + (x, y)] = f(a, b) + f(x, y)

b) f[α(a, b)] = f(αa,αb)f[α(a, b)] = 2αa − 5αb

f[α(a, b)] = α(2a − 5b)f[α(a, b)] = αf(a, b)

∴ f(a, b) es una transformacion lineal .

2. Sea G ∶M3×3/R→ R/R

A→ G(A) = tr(A)

Probar que es una transformacion lineal

En efecto,

a) G[A + B] =n

∑j=1

(ajj + bjj)

G[A + B] =n

∑j=1

ajj +n

∑j=1

bjj

G[A + B] = tr(A) + tr(B)G[A + B] = G(A) +G(B)

b) G(αA) = αn

∑j=1

ajj

G(αA) = α ⋅ tr(A)G(αA) = αG(A)

∴ G(A) es una transformacion lineal .

79

5.1.1. Nucleo de una Trasformacion Lineal

Sea f ∶ U/K → V/K una transformacion lineal . Llamaremos nucleo de f al siguientesubconjunto de U:

ker(f) = {x ∈ U/f(x) = 0V}

Demostracion : ker(f) es subespacio vectorial

1. f(0U) = 0V ⇒ 0U ∈ ker(f) ⇒ ker(f) ≠ φ

2. Sean (x, y) ∈ ker(f)⇒ f(x) = f(y) = 0V

⇒ f(x) + f(y) = 0V + 0V

⇒ f(x + y) = 0V

⇒ (x + y) ∈ ker(f)

3. Sea x ∈ ker(f)⇒ f(x) = 0V

⇒ αf(x) = α0V

⇒ f(αx) = 0V

⇒ αx ∈ ker(f)

∴ ker(f) es subespacio vectorial .

5.1.2. Imagen de una Transformacion Lineal

Dada una transformacion lineal f ∶ U/K→ V/K, la imagen de f es el conjunto:

im(f) = {y ∈ V/∃x ∈ U, f(x) = y}

Demostracion : im(f) es subespacio vectorial

Usando el teorema de caracterizacion se tiene:

1. f(0x) = 0 ⋅ f(x) = 0 ⇒ 0 ⊆ V ⇒ im(f) ≠ φ


2. Si (αy1, βy2) ∈ im(f) y ademas (α,β) ∈ K entonces, existen x1 + x2 ∈ U tales queαf(x1) = αy1 ∧ βf(x2) = βy2. De esta forma se tiene que:

αy1 + βy2 = f(αx1 + βx2)⇒ αy1 + βy2 = f(αx1) + f(βx2)

5.1.3. Teorema de las Dimensiones (Nucleo - Imagen)

Sea f ∶ U/K→ V/K una transformacion lineal la dimension de esta se puede descomponerde la forma:

dim(U) = dim[ker(f)] + dim[im(f)]

Demostracion :

Dada una transformacion lineal f cualquiera, supongamos los conjuntos

{A = {a1, a2, a3, . . . , av} base de ker(f)B = {a1, a2, a3, . . . , av, av+1, . . . , an} base de U

Es decir, B es una extension de A tal que cumple con ser base de U

Sea ademas C = {f(av+1), . . . , f(an)} base de im(f).

Tomando un vector v ∈ im(f) cualquiera, es decir v ∈ V, supongamos que existe un vectoru ∈ U tal que f(u) = v.

Como B es base de U se tiene que

u = α1 ⋅ a1 + α2 ⋅ a2 + α3 ⋅ a3 + . . . + αv ⋅ av + αv+1 ⋅ av+1 + . . . + αn ⋅ an

Y debido a esto ultimo tambien se tiene

v = f(u) = α1 ⋅f(a1)+α2 ⋅f(a2)+α3 ⋅f(a3)+ . . .+αv ⋅f(av)+αv+1 ⋅f(av+1)+ . . .+αn ⋅f(an)

Ya que {a1, a2, a3, . . . , av} es base de ker(f) se tiene quef(u1) = f(u2) = f(u3) = . . . = f(uv) = 0

De acuerdo al ultimo parrafo v se reduce a

v = f(u) = αv+1 ⋅ f(av+1) + . . . + αn ⋅ f(an)

81

v es combinacion lineal de C. Se debe probar que C es linealmente independiente .

Supongamos que αv+1 ⋅ f(av+1) + . . . + αn ⋅ f(an) = 0V, reescribiendo queda

f(αv+1 ⋅ av+1 + . . . + αn ⋅ an) = 0V

⇒ (αv+1 ⋅ av+1 + . . . + αn ⋅ an) ∈ ker(f)

Debido a que el vector (αv+1 ⋅ av+1+ . . .+αn ⋅ an) ∈ ker(f) existiran escalares no nulos talesque

αv+1 ⋅ av+1 + . . . + αn ⋅ an = λ1 ⋅ a1 + λ2 ⋅ a2 + λ3 ⋅ a3 + . . . + λv ⋅ avαv+1 ⋅ av+1 + . . . + αn ⋅ an − λ1 ⋅ a1 − λ2 ⋅ a2 − λ3 ⋅ a3 − . . . − λv ⋅ av = 0V

De las condiciones iniciales, a partir de B se tiene que a1, a2, a3, . . . , av, av+1, . . . , an eslinealmente independiente y por lo tanto se cumple que

αv+1 = . . . = αn = 0

∴ C es base de im(f) y se tiene entonces que

dim(U) = v + (n − v) = ndim(U) = dim[ker(f)] + dim[im(f)]

5.1.4. Tranformaciones Lineales e Independencia Lineal

Sea U/K→ V/K una transformacion lineal cualquiera. Considerando los conjuntos:

{ A = {x1, x2, x3 . . . , xn} ⊆ UB = {f(x1), f(x2), f(x3) . . . , f(xn)} ⊆ V

cabe preguntarse si el conjunto y su respectiva transformacion son L.I , en caso de nocumplirse esto se origina una combinacion nula de vectores en A

Suponiendo B L.I , ¿Es A L.I ?

Respuesta

f(α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn) = f(0U)⇒ α1 ⋅ fx1 + α2 ⋅ fx2 + . . . + αn ⋅ fxn = 0V


⇒ α1 = α2 = . . . = αn∴ A es L.I

Suponiendo A L.I , ¿Es B L.I ?

Respuesta

f(α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn) = 0V

⇒ (α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn) ∈ ker(f)

Suponiendo ker(f) = 0U

⇒ α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn = 0U

⇒ α1 = α2 = . . . = αn∴ B es L.I

Si B = f(A) es L.I entonces A es L.I . Ademas si A es L.I y ker(f) = 0U entonces B esL.I

Importante : Si f ∶ U/K→ V/K es una transformacion lineal y ademas se tiene que

1. ker(f) =Ð→0U

2. f(x) = f(y)

De la condicion 2. se obtiene: f(x) − f(y) =Ð→0V ⇒ f(x − y) =Ð→0V

Es decir,ÐÐÐÐ→(x − y) ∈ ker(f)

De la condicion 1. se tiene queÐÐÐÐ→(x − y) =Ð→0U. Por lo tanto, x = y

Conclusion : ker(f) = 0U ⇒ f es inyectiva.

Supongamos ahora que se cumple:

1. f ∶ U/K→ V/K es una transformacion lineal inyectiva.

2. f(x) = 0V

De esta forma se tiene que: x ≠ y⇒ f(x) ≠ f(y)

83

5.1.5. Transformacion Lineal Inyectiva

Sea f ∶ U/K → V/K una transformacion lineal . Sera biyectiva a partir de la condicion:[f(u1 = f(u2)⇒ [u1 = u2]

Sea x ∈ ker(f), entonces para obtener ker(f) se tiene f(x) = 0VSe sabe ademas que f(0U) = 0V a partir de lo cual se tiene x = 0U

Entonces, ker(f) = {0U}

Inversamente, supongamos ker(f) = {0V} y ademas f(x) = f(y)

⇒ f(x) − f(y) = 0V

⇒ f(x − y) = 0V

⇒ (x − y) ∈ ker(f)⇒ (x − y) = 0U (a partir de la hipotesis ker(f) = 0U)

⇒ x = y⇒ f es inyectiva

∴ f es una transformacion lineal inyectiva ⇔ ker(f) = {0U}

5.1.6. Transformacion Lineal Biyectiva

Sea f ∶ U/K→ V/K una transformacion lineal . Sera biyectiva a partir de dos condiciones:que sea inyectiva y sobreyectiva.

La dimension de la transformacion lineal se puede separar de la siguiente forma:

dim(U) = dim[ker(f)] + dim[im(f)]

f es inyectiva ⇔ ker(f) = 0U

f es sobreyectiva ⇔ im(f) = V

Cumpliendose estas dos condiciones con f biyectiva se tiene que

dim(U) = dim(V)


5.1.7. Matriz Reprensentante de una Transformacion Lineal

Sean

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f ∶ U/K→ V/K una transformacion lineal

A = {a1, a2, a3 . . . , ap} ⊆ U

B = {b1, b2, b3 . . . , bq} ⊆ V

Tal que A y B son bases de U y V respectivamente. Se tiene que f(aj) ∈ V ∀j = {1,2, . . . p}y se tiene la relacion

aj → f(aj)U→ V

Entonces, se puede escribir

f(a1) = α11b1 + α21b2 + . . . + αq1bqf(a2) = α12b1 + α22b2 + . . . + αq2bq⋮f(aj) = α1j b1 + α2j b2 + . . . + αqj bq⋮f(ap) = α1pb1 + α2pb2 + . . . + αqpbq

Tal que q y p son las dimensiones de A y B respectivamente.

A partir del sistema anterior definimos la matriz representante de f (con respecto a lasbases de A y B) como:

([f]A,B)Q×P =⎛⎜⎜⎜⎝

α11 α12 α13 . . . α1j . . . α1p

α21 α22 α23 . . . α2j . . . α2p

⋮ ⋱ ⋮ ⋮αq1 αq2 αq3 . . . αqj . . . αqp

⎞⎟⎟⎟⎠

Ejemplo

Sea f ∶ R2[x]/R→M2×2(R)

85

f(a + bx + cx2) = ( a − c a + 2c2a 3c − 2a

)

1. Hallar ker(f), im(f) y sus dimensiones

Para hallar ker(f)

f(a + bx + cx2) = ( a − c a + 2c2a 3c − 2a

) = ( 0 00 0

)

⇒

a − c = 0a + 2c = 02a = 03c − 2a = 0

Se tiene que a = 0 (ecuacion 3) y reemplazando en la ecuacion 2 se obtiene c = 0. Deesta forma

p(x) ∈ ker(f)⇔ p(x) = bx

La base de ker(f) es {x} y es de dimension 1.

Para hallar im(f)

Si lin[p(x)] = U ⇒ < lin[p(x)] >= im(f)Descomponemos f de la forma {1, x, x2}, entonces reemplazando en f(a + bx + cx2)

f(1) = ( 1 12 −3

)

f(x) = ( 0 00 0

)

f(x2) = ( −1 20 3

)

Por lo tanto, un generador de im(f)es:

{( 1 12 −3

) ,( 0 00 0

) ,( −1 20 3

)}

Dado que 0M una base de im(f) es:


{( 1 12 −3

) ,( −1 20 3

)}

∴ dim[im(f)] = 2

2. Hallar la matriz representante con respecto a las bases

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

{1,1 + 2x,x2} = A

( 1 00 0

) ,( 1 10 0

) ,( 1 11 0

) ,( 1 11 1

) = B

f(1) = ( 1 12 −3

) = 0 ⋅ ( 1 00 0

) − 1 ⋅ ( 1 10 0

) + 5 ⋅ ( 1 11 0

) − 3 ⋅ ( 1 11 1

)

f(1 + 2x) = ( 1 12 −3

) = 0 ⋅ ( 1 00 0

) − 1 ⋅ ( 1 10 0

) + 5 ⋅ ( 1 11 0

) − 3 ⋅ ( 1 11 1

)

f(x2) = ( −1 20 3

) = −3 ⋅ ( 1 00 0

) + 2 ⋅ ( 1 10 0

) − 3 ⋅ ( 1 11 0

) + 3 ⋅ ( 1 11 1

)

De esto obtenemos la transpuesta de la matriz de factores, es decir

⎛⎜⎝

0 −1 5 −30 −1 5 −3−3 2 −3 3

⎞⎟⎠

T

=⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 3−1 −1 25 5 −33 −3 3

⎞⎟⎟⎟⎠

Que corresponde a [f]A,B

5.1.8. Propiedades de Transformaciones Lineales

1. Suma

Sean f ∶ U/K→ V/K y g ∶ U/K→ V/K transformaciones lineales .

Entonces, f + g ∶ U/K→ V/K tal que (f + g)(x) = f(x) + f(x) es lineal.

Se cumple que [f + g]A,B = [f]A,B + [g]A,B

87

2. Ponderacion por escalar

Sea f ∶ U/K→ V/K una transformacion lineal.

Entonces, λf ∶ U/K→ V/K es lineal.

Se cumple que [λf]A,B = λ[f]A,B + [g]A,B

Es importante senalar que

λ(f + g) = (λf) + (λg)

(λ + φ)f = (λf) + (φf)

(λφ)f = λ(φf)

λf = f

3. Composicion

Sean f ∶ U/K→ V/K y g ∶ U/K→ V/K transformaciones lineales .

Entonces, g(f) ∶ U/K→ V/K tal que (g ○ f)(x) = g(f(x)) es lineal.

Se cumple que [g ○ f]A,C = [g]B,C + [f]A,B. Es importante senalar que las matricesrepresentantes de este caso van en conjuntos distintos entre si.

5.1.9. ¿Como se Aplica la Matriz Representante?

Tal como aparece en las secciones anteriores partimos de la condicion:

Sean

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f ∶ U/K→ V/K una transformacion lineal

A = {a1, a2, a3 . . . , ap} ⊆ U

B = {b1, b2, b3 . . . , bq} ⊆ V

Tal que A y B son bases de U y V respectivamente. Tomando un vector x ∈ U se tiene lasiguiente relacion: A→ B⇔ A→ E→ E→ B


Para el caso de la matriz representante la lectura es de derecha a izquierda tal que

[f]A,B = [I]E,E[f]A,B[I]A,E

Denotar la transformacion lineal [f]A,B como [I]A,E[f]A,B[I]E,E es incorrecto y cabesenalar que [I]E,E y [I]A,E corresponden a matrices de cambio de base

Observacion :

En una matriz representante de vectores propios, los valores propios correspondientes seubican en la diagonal. Es decir la suma de los valores propios es igual a la traza de lamatriz representante y el producto de los valores propios es igual al determinante de lamatriz representante.

Dada una base de vectores propios A = {a1 + a2 + . . . + an} se cumple que:

f(a1) = λ1a1 + 0 + . . . + 0

f(a2) = 0 + λ1a1 + . . . + 0

⋮

f(an) = 0 + 0 + . . . + λnan

Propiedad Basica de la Matriz representante

[f]A,B[x]A = [f(x)]B

89

Ejemplo :

Sea f ∶ R1[x]/R→M2×2(R)

p(x) = a + bx→ ( a ba − b a + b )

Obtener la matriz representante de las bases canonicas

{1, x} y {( 1 00 0

) ,( 0 10 0

) ,( 0 01 0

) ,( 0 00 1

)}


f(1) = ( 1 01 1

) = 1 ⋅ ( 1 00 0

) + 0 ⋅ ( 0 10 0

) + 1 ⋅ ( 0 01 0

) + 1 ⋅ ( 0 00 1

)

f(x) = ( 0 1−1 1

) = 0 ⋅ ( 1 00 0

) + 1 ⋅ ( 0 10 0

) − 1 ⋅ ( 0 01 0

) + 1 ⋅ ( 0 00 1

)

Por lo tanto, la matriz representante es

⎛⎜⎜⎜⎝

1 00 11 −11 1

⎞⎟⎟⎟⎠

A partir de esto se puede calcular la transformacion lineal correspondiente a un vectorde coordenadas. Para calcular la transformacion correspondiente al vector 5 − 3x se tiene

[f(5 − 3x)] =⎛⎜⎜⎜⎝

1 00 11 −11 1

⎞⎟⎟⎟⎠⋅ (5 − 3x) =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 00 11 −11 1

⎞⎟⎟⎟⎠⋅ ( 5

−3) =

⎛⎜⎜⎜⎝

5−382

⎞⎟⎟⎟⎠⇒ p(5 − 3x) = ( 5 −3

8 2)

5.1.10. Matriz de Pasaje

Sea U/K un espacio vectorial de dimension n. Definimos la aplicacion lineal:

I ∶ Kn/K→ Kn/K

[x]A → [x]B

Lo cual corresponde a un cambio de base. Cada vector de la base de partida se puedeexpresar como combinacion lineal de los vectores de la base de llegada.

Ejemplo :

Dadas las bases de R2

A = {( 10

) ,( 11

)}

E = {( 10

) ,( 01

)}

91

La matriz de pasaje de A a E corresponde a

[I]A,E = ( 1 10 1

)

Se obtiene a partir de la descomposicion

( 10

) = 1 ⋅ ( 10

) + 0 ⋅ ( 01

)

( 11

) = 1 ⋅ ( 10

) + 1 ⋅ ( 01

)

La matriz de pasaje de E a A corresponde a

[I]E,A = ( 1 −10 1

)

Se obtiene a partir de la descomposicion

( 10

) = 1 ⋅ ( 10

) + 0 ⋅ ( 11

)

( 01

) = −1 ⋅ ( 10

) + 1 ⋅ ( 11

)

A partir de esto se tiene que [I]A,E = [I]−1E,A

5.1.11. ¿Como se Relacionan las Matrices Representantes?

Con respecto a distintas bases, para las matrices representantes de f ∶ U/K → V/K setiene la siguiente relacion:

[f]C,D = [I]B,D[f]A,B[I]C,A


Un caso particular de lo anterior es cuando se tiene una transformacion linealf ∶ U/K→ U/K tal que la representacion esquematica serıa ası:

Entonces, para este ultimo caso se tiene:

[f]B,B = [I]A,B[f]A,A[I]B,A

Si denotamos [I]B,A = P y [I]A,B = P−1

Entonces, [f]B,B = P−1[f]A,AP

5.1.12. Matrices Similares

Basandose en el apartado anterior, si tomamos un caso particular en que dadas las matricescuadradas A,D,P tal que P es invertible y se cumple la relacion A = P−1DP

93

Entonces, A y D son matrices similares tal que:

A2 = A ⋅A = (P−1DP) ⋅ (P−1DP) = P−1D2P

A3 = A2 ⋅A = (P−1D2P) ⋅ (P−1DP) = P−1D3P⋮An = P−1DnP

5.2. Cambio de Base y Similaridad

A partir de lo ya expuesto en este capıtulo asumamos una transformacion lineal tal quef ∶ U → U. Definimos la matriz representante (tal como se vio con lectura de izquierda aderecha) de la forma

Capıtulo 6

Formas Bilineales

6.1. Formas Bilineales

Supongamos un espacio vectorial B/K sobre el cual se define la aplicacion

f ∶ V ×V→ K

(x, y)→ f(x, y)

Tal aplicacion es una forma bilineal si y solo si se cumple:

1. f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y)

2. f(αx, y) = α ⋅ f(x, y)

3. f(x, y1 + y2) = f(x, y1) + f(x, y2)

4. f(x, βy) = β ⋅ f(x, y)

Dado un conjunto cualquiera de vectores A = {a1, a2, a3, . . . , an} que supondremos es basede V. Se puede formar la matriz de Gram de una forma bilineal generica.

Se expresa:

G =⎛⎜⎜⎜⎝

f(a1, a1) f(a1, a2) . . . f(a1, an)f(a2, a1) f(a2, a2) . . . f(a2, an)

⋮ ⋱ . . . ⋮f(an, a1) f(an, a2) . . . f(an, an)

⎞⎟⎟⎟⎠

96 Formas Bilineales

G corresponde a la matriz de Gram de f respecto de la base A y se cumple

f(x, y) = [x]TAG[y]A

En esta relacion [x], [y] son los vectores de coordenadas con respecto a la base a la queesta referida G

Ejemplo :

f[(x, y)(α,β)] = 3xα − 2xβ + 5yα

Respecto de la base canonica en R2: {(1,0), (0,1)} se tiene

f[(1,0), (1,0)]3 ⋅ 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 ⋅ 1 = 3

f[(1,0), (0,1)] = 3 ⋅ 1 ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 5 ⋅ 0 ⋅ 1 = −2

f[(0,1), (1,0)] = 3 ⋅ 0 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 ⋅ 1 = 5

f[(0,1), (0,1)] = 3 ⋅ 0 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0

Ası la matriz de Gram correspondiente es:

G = ( 3 −25 0

)

Cabe senalar que en este ejemplo se presenta lo siguiente:

[(x, y)] = ( x y )

[(α,β)] = ( αβ

)

f[(x, y), (α,β)] = ( x y ) ⋅ ( 3 −25 0

) ⋅ ( αβ

) = ( x y ) ⋅ ( 3α − 2β5α

)

f[(x, y), (α,β)] = 3xα − 2xβ + 5yα

97

6.2. Cambio de Base

Sean F y G son matrices de Gram asociadas a una forma bilineal f con respecto a lasbases de A y B respectivamente y P la matriz de pasaje de A a B entonces, se tiene que

f = PTGP

6.3. Simetrıa y Antisimetrıa

Dada f ∶ U × U → K una forma bilineal . Se establece que las condiciones de simetrıa oantisimetrıa son:

1. Simetrica: Si f(x, y) = f(y, x)

2. Antisimetrica: Si f(x, y) = −f(y, x)

Ejemplo :

f ∶ R2 ×R2 → R

f[(x, y), (α,β)] = 5xα + 8xβ + 8yα + 20yβ

Corresponde a una forma bilineal simetrica ya que los coeficientes cruzados son iguales.

Importante : Toda forma bilineal se puede expresar como la suma de uan forma bilinealsimetrica con una forma bilineal antisimetrica.

6.4. Formas Cuadraticas

Sea f ∶ U ×U→ K es una forma bilineal simetrica . Entonces, la aplicacion

w ∶ U→ Kx→ w(x) = f(x, x)

es una forma cuadratica

Se tien ademas que x→ w(x) = f(x, x) es forma cuadratica si y solo si:

1. w(αx) = α2 ⋅w(x) ∀ α ∈ K

98 Formas Bilineales

2. f ∶ U ×U→ K

(x, y)→ f(x, y) = 1

2[w(x + y) −w(x) −w(y)] es bilineal simetrica

Capıtulo 7

Referencias

1. Algebra Lineal, Stanley, Grossman. Editorial Mc Graw Hill, 1996

2. Algebra Lineal Teorıa y Ejercicios, Seymour Lipschutz, Editorial McGraw Hill, 1995.

3. Teorıa y Problemas de Matrices. Frank Ayres, Serie Schaum, 1969.

4. Tutorıa de Algebra Lineal, Publicaciones DIM/CMM, 2008

apunte del curso - u-cursos.cl

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