apunte aplicaciones con ejercicios resueltos edo ubb
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Universidad del Bío Bío
Aplicaciones de Modelado con Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Septiembre del 2009
Ivonne Cancino Sánchez
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN
: Número de habitantes de una población en el tiempo " ".P t t
dP
k Pdt
donde es constante de proporcionalidadk
EJEMPLO: Suponga que la población de la Tierra cambia a una velocidad proporcional a la
población actual. En el tiempo 0t (año 1650) la población es de 82,5 10 habitantes. Para el
tiempo 300t (año 1950) la población será de 92,5 10 habitantes. Suponiendo que la mayor
cantidad de habitantes que puede soportar el planeta Tierra es de 102,5 10 ¿Cuándo se alcanzará
ese límite?
Solución:
Datos: 80 2,5 10P 9300 2,5 10P 10? 2,5 10P
dP dP
k P kdtdt P
0
0 0
0 ln
donde
k t C
C Ck t
k t
dPk dt P k t C P e
P
P e e e C
P t C e
Se reemplaza el dato inicial (tiempo cero) en la ecuación resultante, para obtener el valor de
la constante C .
0 0k t kP t C e P C e 1
8 8 2,5 10 2,5 10 k tC P t e
Luego, se reemplaza el dato con un tiempo dado en la ecuación P t , para obtener el valor
de la constante de proporcionalidad k .
3
8 8 300 9 8 300 300
3 8 7,68 10
2,5 10 300 2,5 10 2,5 10 2,5 10 10
ln 10 300 ln 10 7,68 10 2,5 10
300
k t k k k
t
P t e P e e e
k k k P t e
Finalmente se trabaja con la ecuación P t para obtener el tiempo " "t en que la población de
la tierra será de 102,5 10 habitantes.
3 3 3
3
8 7,68 10 8 7,68 10 10 8 7,68 10
7,68 10 3
3 3
2,5 10 ? 2,5 10 2,5 10 2,5 10
ln 100 ln 100 100 7,68 10 ln 100 600
7,68 10 7,68 10
t t t
t
P t e P e e
e t t t t
Respuesta: El límite de habitantes que puede soportar la Tierra se alcanzará en el año 2250.
DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA
: Masa del material radioactivo en el tiempo " ".Q t t
dQk Q
dt donde es constante de proporcionalidadk
EJEMPLO: La desintegración radiactiva se caracteriza por la semivida o número de años que
deben transcurrir para que se desintegren la mitad de los átomos iniciales de una muestra. La
semivida del isótopo Plutonio (Pu239) es de 24360 años. Suponiendo que en el accidente de
Chernóbil se liberaron 10 gramos de dicho isótopo, y sabiendo que el ritmo de desintegración es
proporcional a la masa ¿cuánto tiempo hará falta para que quede sólo un gramo?
Solución:
Datos: 0 10 .Q grs 0
24360 5 .2
QQ grs ? 1 .Q gr
dQ dQ
k Q kdtdt Q
0
0 0
0 ln
donde
k t C
C Ck t
k t
dQk dt Q k t C Q e
Q
Q e e e C
Q t C e
Se reemplaza el dato inicial (tiempo cero) en la ecuación resultante, para obtener el valor de
la constante C .
0 0k t kQ t C e Q C e 1
10 10 k tC Q t e
Luego, se reemplaza el dato con un tiempo dado en la ecuación Q t , para obtener el valor
de la constante de proporcionalidad k .
5
24360 24360 24360
5 2,85 10
110 24360 10 5 10
2
1ln
1 2 24360 ln 2,85 10 10
2 24360
k t k k k
t
Q t e Q e e e
k k k Q t e
Finalmente se trabaja con la ecuación Q t para obtener el tiempo " "t para que quede solo
un gramo de la sustancia.
5 5 5 52,85 10 2,85 10 2,85 10 2,85 10
5
5
110 ? 10 1 10
10
1ln
1 10 2,85 10 ln 80792
10 2,85 10
t t t tQ t e Q e e e
t t t
Respuesta: Hacen falta 80792 años para que quede un gramo del isótopo Plutonio (Pu239).
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
: Temperatura de un objeto en el tiempo " ".T t t
: Temperatura ambiente.mT
m
dTk T T
dt donde es constante de proporcionalidadk
EJEMPLO: Un pastel es retirado del horno a 210ºF y se deja a enfriar a una temperatura ambiente
de 70ºF. Después de 30 minutos, la temperatura del pastel es de140ºF ¿Cuándo estará a 100ºF?
Solución:
Datos: 70ºmT F 30 140ºT F
0 210ºT F ? 100ºT F
70 70
m
dT dT dTk T T k T kdt
dt dt T
0
0 0
0 ln 70 7070
70 donde
70 70
k t C
C Ck t
k t k t
dTk dt T k t C e T
T
e e T e C
C e T T t C e
Se reemplaza el dato inicial (tiempo cero) en la ecuación resultante, para obtener el valor de
la constante C .
070 0k t kT t C e T C e 1
70 210 70 140 140 70k tC C T t e
Luego, se reemplaza el dato con un tiempo dado en la ecuación T t , para obtener el valor
de la constante de proporcionalidad k .
30 30 30 30
0,023
1140 70 30 140 70 140 140 70 70 140
2
1 0,693 30 ln 0,023 140 70
2 30
k t k k k k
t
T t e T e e e e
k k k T t e
Finalmente se trabaja con la ecuación T t para obtener el tiempo " "t en que la temperatura
del pastel será de 100ºF.
0,023 0,023 0,023 0,023
0,023
140 70 ? 140 70 100 140 70 30 140
30 30 1,54 0,023 ln 67
140 140 0,023
t t t t
t
T t e T e e e
e t t t
Respuesta: El pastel tendrá una temperatura de 100ºF después de 67 minutos.
MEZCLAS
: Cantidad de sal en el estanque en el tiempo " ".A t t
1 2
e e s s
dAR R
dt
dAC f C f
dt
1
2
Rápidez con que la sustancia entra al estanque
Rápidez con que la sustancia sale del estanque
R
R
Concentración de entrada de la solución al estanque
Flujo de entrada de la solución al estanque
e
e
C
f
Concentración de salida de la solución desde el estanque
Flujo de salida de la solución desde el estanque
s
s
C
f
Masa de soluto
Volumen del solvente
C 0e s e sV t f f dt V t f f t V
EJEMPLO: Se disuelven inicialmente 50 libras de sal en un tanque que contiene 300 galones de
agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto; y luego la solución
adecuadamente mezclada se bombea fuera del estanque a razón de 2 galones por minuto. Si la
concentración que entra al tanque es de 2 lb/gal. a) Determine la cantidad de sal que hay en el
tanque en un instante cualquiera. b) ¿En qué instante se rebalsará el tanque si su capacidad
máxima es de 550 galones? c) ¿Cuánta sal hay después de 50 minutos?
Solución:
1R
2R
Datos: 0 50 lbA 2 lb/galeC ( )
lb/gal( )
s
A tC
V t
0 300 galonesV 3 gal/minef 2 gal/minsf
0
3 2 300 300
e s e sV t f f dt V t f f t V
V t t V t t
V t
2
e e s s
dAC f C f
dt
dA lb
dt gal
3gal
( )
min ( )
A t lb
V t gal 2
gal
222300 2ln 300 ln 300
2 2 2
2
min
2 ( ) 6
min 300 min
2 6 Edo Lineal
300
F.I: 300
Luego multiplicamos por el F.I :
2300 300 6 300
300
300
dtP t dt t t t
dA lb A t lb
dt t
dAA
dt t
t e e e e t
dAt t A t
dt t
dt A
dt
2
6 300t
2 3
300 2 300t A t C
2
2
300
2 300 300
t
A t t C t
Se reemplaza el dato inicial (tiempo cero) en la ecuación resultante, para obtener el valor de
la constante C .
2 2
7
27
2 300 300 0 2 0 300 0 300 50 60090000
-550 -550 90000 4,95 1090000
2 300 4,95 10 300 a) Cantidad de sal en el tanque en un instante cualquiera
CA t t C t A C
CC C
A t t t
.
b) Para obtener el tiempo " "t en que el tanque se rebalsará se iguala la capacidad máxima
del tanque con V t .
300 550 300 250V t t t t
Respuesta: El tanque se rebalsará a los 250 minutos.
c) 2750 2 50 300 4,95 10 50 300 50 295,92A A
Respuesta: A los 50 minutos el tanque contendrá 295,92 libras de sal.
OBSERVACIONES:
Si > 0e sf f el tanque se rebalsa.
Si < 0e sf f el tanque no se rebalsa.
Si el problema dice que se bombea agua pura hacia el tanque 0eC (la
concentración del agua es cero).
EJERCICIO RESUELTO BOLA DE NIEVE
Una bola de nieve se derrite de modo que la razón de cambio en su volumen es proporcional al
área de su superficie. Si la bola de nieve tiene inicialmente 4 pulgadas de diámetro y 30 minutos
después tiene 3 pulgadas de diámetro. ¿En que momento desaparecerá la bola de nieve?
Indicación: Volumen de una esfera: 34
3r t Área de una Esfera:
2
4 r t
Solución:
Datos: 0 4d 30 3d ? 0d
0 2r 30 1,5r ? 0r
3
2
4Teniamos que: Volumen de la bola de nieve.
3
Se deriva para obtener la razón de cambio 4
del volumen de la bola d
dVk S
dt
V t r t
V tdV drr t
dt dt
2
2 2 2
e nieve.
4 Área de la bola de nieve.
Luego, reemplazamos en :
4 4 4
S r t
drr t k r t r t
dt
2
4dr
k r tdt
drk
dt
dr kdt
dr k dt r t k t C
Se reemplaza el dato inicial (tiempo cero) en la ecuación resultante, para obtener el valor
de la constante C .
0 0 2 2r t k t C r k C C r t k t
Luego, se reemplaza el dato con un tiempo dado en la ecuación r t , para obtener el valor
de la constante de proporcionalidad k .
2 30 30 2 1,5 30 2 -0,5 30 -0,5 30
-0,5 1 1 2
30 60 60
r t k t r k k k k
k k r t t
Finalmente se trabaja con la ecuación final r t para obtener el tiempo " "t en que la bola de
nieve desaparecerá (La bola desaparece cuando el radio es cero).
1 1 1 1
2 ? 2 0 2 2 2 60 12060 60 60 60
r t t r t t t t t
Respuesta: La bola de nieve desaparecerá después de 120 minutos.